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Leidy Catherinne Sánchez Jesús Muciño ScotiaGBS del grupo Scotiabank Centro de Ciencias Matemáticas UNAM-Morelia leidy.sanchez@scotiabank.com

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Esta publicación puede ser difundida y reproducida con fines académicos y científicos por todos aquellos que tengan a bien hacer un correcto uso de su contenido.

ISSN 2665-2471

Fundación Universitaria Konrad Lorenz: Tel: (57 1) 347 23 11, Carrera 9 Bis No. 62- 43 Bogotá – Colombia, email: info@konradlorenz.edu. Carácter académico: Institución Universitaria. Personería Jurídica por Resolución 18537 del 4 de noviembre de 1981 del Ministerio de Educación Nacional. Institución de Educación Superior sujeta a inspección y vigilancia por el Ministerio de Educación Nacional (Art. 2.5.3.2.10.2, Decreto 1075 de 2015).

EN ESTE N ´UMERO

* Juan Pablo Hern´andez Rodas

- La trascendentalidad de π - p´ag. 1

Juan Camilo Buitrago Cruz y Gonzalo Medina - Homomorfismos entre cu´adruplas indescomponibles-Caso preinyectivo - p´ag. 8 Adolfo Margain y Abimael Bengochea

- ´Orbitas peri´odicas en problemas de n-cuerpos - p´ag. 17

Jeisson Cruz Amaya, Andersson Hincapie Amaya y Alberto Arias Guzm´an

- Din´amica de competencia entre sistemas operativos: un enfoque

Lotka-Volterra - p´ag. 22 Leidy Catherinne S´anchez

- MateKuento - p´ag. 30

John A. Arredondo y Alejandro C´ardenas

- Pask´ın Challenge - p´ag. 34

*Pask´ın Matem´atico Vol. 6 No 2 (2024)

LA TRASCENDENTALIDAD DE π Juan Pablo Hern´andez Rodas * jphernand@unal.edu.co

1.

Resumen El n´umero pi (π ), una constante matem´atica que ha fascinado a cient´ıficos, matem´aticos y entusiastas por milenios, trasciende su simple definici´on como la relaci´on entre la circunferencia y el di´ametro de un c´ırculo. Su naturaleza irracional y trascendente lo coloca en una categor´ıa especial dentro del universo num´erico. Desde su aparici´on en antiguas civilizaciones hasta su papel crucial en la ciencia moderna, pi ha demostrado ser un elemento crucial en el desarrollo del pensamiento matem´atico y cient´ıfico. En ´este art´ıculo veremos con la trascendencia de pi va m´as all´a de una implicaci´on num´erica, simbolizando la b´usqueda humana de conocimiento y la belleza inherente en las leyes matem´aticas que gobiernan nuestro universo.

2.

Introducci´on Un problema muy importante para los matem´aticos desde la ´epoca de la antigua Grecia, consist´ıa en responder si era posible o no, encontrar un polinomio racional no nulo que tuviera al n´umero π como raiz. Apenas en el a˜no 1882, el matem´atico Alem´an Carl Louis Ferdinand Lindemann logr´o dar una prueba de la trascendencia del n´umero π, es decir, demostr´o que el n´umero π no puede ser raiz de ning´un polinomio racional. En este art´ıculo se discutir´an las herramientas necesarias para entender la prueba sobre la trascendencia del n´umero π dada por Lindemann.

Probar si el n´umero π es trascendente o no, fue un problema que llam´o la atenci´on de grandes matem´aticos desde hace miles de a˜nos. Por ejemplo, uno de los famosos problemas de regla y comp´as planteados por los antiguos griegos, es la cuadratura del c´ırculo, que consist´ıa en decidir si era posible con regla y comp´as construir un cuadrado con la misma ´area de un c´ırculo de radio uno. Este fue un problema que no tuvo respuesta por mucho tiempo, hasta que a finales del siglo XIX, con el desarrollo de la teor´ıa de cuerpos, se observ´o que el conjunto de todos los n´umeros construibles con regla y comp´as tienen una estructura algebraica conocida con el nombre de cuerpo, y que todos los n´umeros construibles con regla y comp´as son algebraicos, es decir, son raiz de alg´un polinomio racional.

El problema de la cuadratura del c´ırculo es equivalente a decidir si el n´umero π es construible con regla y comp´as. En *Departamento de Matem´atica y Estad´ıstica, Universidad Nacional de Colombia, sede Manizales 1882, con la prueba de la trascendencia del n´umero π dada por Lindemann, se pudo concluir que el n´umero π no es construible con regla y comp´as, y por lo tanto, la cuadratura del c´ırculo no es posible con regla y comp´as.

En este art´ıculo se va a introducir las nociones y resultados de la teor´ıa de cuerpos, necesarios para desarrollar las ideas de la demostraci´on sobre la trascendencia de π dadas por Lindemann en 1882.

3.

Preliminares La teor´ıa de Galois es un ´area de la matem´atica que gira en torno a estructuras algebraicas conocidas con el nombre de cuerpos, y que, gracias a un gran teorema conocido como el teorema de Galois, relacionan estas estructuras algebraicas con otras estructuras conocidas como grupos. Esta conexi´on entre cuerpos y grupos permiti´o, por ejemplo, resolver los tres problemas griegos de regla y comp´as, adem´as de responder en general cuando un pol´ıgono regular es construible o no con regla y comp´as.

Tambi´en, usando este gran teorema, es posible dar otra prueba del teorema fundamental del ´algebra, teorema que fue inicialmente demostrado por el matem´atico Alem´an Carl Friedrich Gauss en 1799.

La teor´ıa de cuerpos y la teor´ıa de Galois est´a desarrollada a partir del estudio de unas estructuras algebraicas conocidas como cuerpos, junto con el estudio de extensiones de cuerpos. Una extensi´on de cuerpos es simplemente un homomorfismo de cuerpos no trivial ϕ : K →F, que se suele escribir como K ⊂F o F|K. La notaci´on K ⊂F se debe a que K se puede identificar con el cuerpo ϕ(K) que claramente es un subconjunto de F. En este art´ıculo se usar´a la notaci´on F|K como referencia a que F es una extensi´on de K. Todos los cuerpos resultan ser extensiones de Q o de Zp con p primo. En este art´ıculo, dado que el objeto de estudio, el n´umero π, vive en la extensi´on de cuerpos C|Q, se har´a ´enfasis en extensiones de los n´umeros racionales.

Al tener una extensi´on de cuerpos F|K, el cuerpo F adquiere estructura de K-espacio vectorial, ya que al estar los elementos de K dentro de F, tiene sentido la multiplicaci´on de un elemento de K por uno de F. Se sabe que todo K-espacio vectorial V tiene asociada una dimensi´on definida como el cardinal de cualquier base para el espacio vectorial y denotada dimK(V). Esto permite definir el ´ındice de una extensi´on F|K como [F : K] = dimK(F).

Una extensi´on F|K se dice que es finita si [F : K] < ∞.Por

La trascendentalidad de π - Juan Pablo Hern´andez Rodas ejemplo, como consecuencia de que R no es contable y Q si es contable, se tiene que la extensi´on R|Q no es finita. Dentro del estudio de las extensiones de cuerpos, existen unas extensiones conocidas con el nombre de extensiones algebraicas. Si F|K es una extensi´on de cuerpos, un elemento α ∈F se dice que es algebraico sobre K, si existe un polinomio no nulo p(x) ∈K[x] tal que p(α) = 0.

Una extensi´on F|K es algebraica si todo elemento de F es algebraico sobre K. Los elementos de C que son algebraicos sobre Q se llamar´an algebraicos. Por ejemplo α = √

2 es al-

gebraico. Los elementos de C que no son algebraicos ser´an llamados n´umeros trascendentes o trascendentales. Por ejemplo, el n´umero π es trascendental, como se mostrar´a en este art´ıculo.

4.

N´umeros algebraicos enteros La noci´on de elementos algebraicos est´a dada solo para extensiones de cuerpos, sin embargo, aunque Z no es un cuerpo (es solo un anillo), se dice que un n´umero complejo α es algebraico entero si existe un polinomio m´onico p(x) ∈Z[x] tal que p(α) = 0. Por ejemplo, i ∈C es algebraico entero ya que es raiz del polinomio m´onico x2 +1 ∈Z[x]. El conjunto de los n´umeros algebraicos enteros denotados por Z, resulta ser un anillo conmutativo con unidad. Una relaci´on importante entre los n´umeros algebraicos y los n´umeros algebraicos enteros, es que todo n´umero algebraico multiplicado por un n´umero natural adecuado se convierte en algebraico entero.

Proposici´on 1. Si α ∈C es algebraico, existe un n´umero natural n ∈Z tal que nα es algebraico entero. Demostraci´on. Suponiendo que p(x) = xm + qm−1xm−1 + ··· + q1x + q0 ∈Q[x] es tal que p(α) = 0. Considerando n ∈N tal que nqi ∈Z para todo i = 1,...,m; entonces si q(x) = xm +nqm−1xm−1 +···+nm−1q1x+nmq0, es claro que q(x) ∈Z[x] y q(nα) = 0 ya que q(nα) = nmαm +nqm−1nm−1αm−1 +···+nm−1q1nα +nmq0 = nm[αm +qm−1αm−1 +···+q1α +q0] = 0.

En el anillo de los n´umeros enteros Z, se sabe que existe un conjunto de n´umeros llamados n´umeros primos, que permiten expresar de manera ´unica cualquier entero como producto de potencias de primos distintos, resultado conocido con el nombre de teorema fundamental de la aritm´etica. Como consecuencia, todo n´umero entero es divisible por solo finitos n´umeros primos.

Claramente, todos los n´umeros enteros son algebraicos enteros, es decir, Z ⊂Z. Por lo tanto, en particular, los n´umeros primos son algebraicos enteros, y surge la siguiente pregunta: ¿Los n´umeros algebraicos enteros son tambi´en divisibles por solo finitos primos?

Definici´on 1. Dados α,β ∈Z, se dice que β divide a α, entonces β|α, si existe γ ∈Z tal que α = γβ. Ahora se demostrar´a que todo n´umero algebraico entero es divisible por solo finitos n´umeros primos. Para esto se necesita introducir una cantidad entera asociada a cada n´umero algebraico entero, que tiene como divisores primos a todos los posibles divisores primos del n´umero algebraico entero. Se debe tener en cuenta que toda extensi´on F|Q finitamente generada por elementos algebraicos es simple, es decir, es de la forma F = Q(α) para cierto α ∈F.

Teorema 1 (Teorema del elemento primitivo). Toda extensi´on de cuerpos F|Q finitamente generada por elementos algebraicos es de la forma F = Q(α), para cierto α ∈F. Demostraci´on. Basta demostrar que toda extensi´on F = Q(α,β) donde α y β son algebraicos, es de la forma F = Q(γ) para cierto γ ∈F.

Suponga que P(x),Q(x) ∈Q[x] son los polinomios m´onicos minimales de α y β respectivamente. Al factorizar estos polinomios en C[x] se tiene que P(x) = (x −α1)···(x −αn) con α = α1, y Q(x) = (x−β1)···(x−βm) con β = β1, donde adem´as αi̸ = α y βi̸ = β para todo i̸ = 1. Como el n´umero de cocientes de la forma αi−α β−βj con j̸ = 1 son finitos y el cuerpo Q es infinito, se puede escoger un racional q ∈Q que sea diferente de todos estos cocientes.

Si se define γ = α + qβ ∈F, se probar´a que Q(α,β) = Q(γ).

En efecto, al considerar H(x) = P(γ −qx) ∈Q(γ)[x]. Se puede notar que H(β) = P(α) = 0 y H(βi)̸ = 0 para todo i̸ = 1, ya que H(βi) = P(γ −qβi) y α + qβ −qβi̸ = αj para todo j = 1,...,n, ya que la igualdad implica q = α j−α β−βi con i̸ = 1.

Lo anterior implica que (Q(x),H(x)) = (x −β) en C[x], por lo tanto (Q(x),H(x)) = (x−β) en Q(γ)[x] y por lo tanto, x− β ∈Q(γ)[x], es decir, β ∈Q(γ). Como γ = α +qβ entonces α ∈Q(γ) y as´ı se concluye que Q(γ) = Q(α,β). El teorema anterior permite ver f´acilmente que para toda extensi´on finita F|Q, el conjunto Hom(F|Q) = {σ : F → C : σ homomorfismo de cuerpos y σ|Q = id} tiene cardinal [F : Q].

Para ver esto, vale la pena resaltar que dada una extensi´on finita F|Q se tiene que F = Q(α) para cierto α ∈F algebraico, donde si [F : Q] = n entonces el polinomio m´onico minimal p(x) de α es de grado n. Si p(x) = (x −α1)···(x −αn) en C[x] con α = α1, entonces αi̸ = αj para todo i̸ = j ya que Q tiene caracter´ıstica cero, y por lo tanto, al ser p(x) irreducible no tiene raices m´ultiples, as´ı, si σ ∈Hom(Q(α)|Q) entonces σ(α) ∈{α1,...,αn} y cada asignaci´on σ(α) ∈ {α1,...,αn} define un elemento de Hom(Q(α)|Q). Por lo tanto |Hom(Q(α)|Q)| = [Q(α) : Q].

Definici´on 2. Dada una extensi´on finita de cuerpos F|K, se sabe que F es un K-espacio vectorial de dimensi´on finita. Al definir la norma NF|Q : F →K como la funci´on que en cada α ∈F est´a definida como el determimante de la transformaci´on K-lineal Tα : F →F que env´ıa x 7→αx.

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3

En la definici´on anterior, se puede observar que si F = K(α) con α ∈F algebraico sobre K, entonces NK(α)|K(α) = (−1)na0 = α1α2 ···αn, donde α1,...,αn son las raices del polinomio minimal para α en su cuerpo de descomposici´on y a0 es su t´ermino independiente. En efecto, suponga P(x) = xn +an−1xn−1 +···+a1x+a0 ∈K[x] es el polinomio m´onico minimal para α, luego [K(α) : K] = n. Si PTα(x) ∈K[x] denota el polinomio caracter´ıstico de la transformaci´on lineal Tα, entonces PTα(x) es de grado n y tiene a α como raiz, luego por la minimalidad de P(x) se sigue que P(x) = PTα(x). Ahora, de ´algebra lineal Se sabe que si P(x) = (x−α1)···(x−αn) en L[x], donde L es el cuerpo de descomposici´on de P(x), y α = α1, entonces det(Tα) = (−1)nP(0) = α1α2 ···αn. Observaci´on 1. Si se tiene una extensi´on de cuerpos F|Q y que α ∈F es algebraico sobre Q. Se sabe que si [Q(α) : Q] = n entonces |Hom(Q(α)|Q)| = n. Si Hom(Q(α)|Q) = {σ1,...,σn}, entonces NQ(α)|Q(α) = σ1(α)···σn(α). Demostraci´on. Si p(x) ∈Q[x] es el polinomio m´onico minimal para α, entonces σi(α) es raiz de p(x) para todo i = 1,...,n. Adem´as cada homomorfismo σi est´a determinado por el valor en α, lo que implica que σ1(α),...,σn(α) son todas las distintas raices de p(x). De lo anterior se concluye que NQ(α)|Q(α) = σ1(α)···σn(α).

Dado que el determinante de un producto de matrices cuadradas del mismo tama˜no es el producto de los determinantes de las matrices, se tiene entonces la siguiente propiedad de la norma definida anteriormente.

Proposici´on 2. Suponga que F|K es una extensi´on finita, entonces dados α,β ∈F se tiene que NF|K(αβ) = NF|K(α)NF|K(β).

Adem´as, si r ∈K y [F : K] = n, entonces NF|K(r) = rn. Demostraci´on. Note que Tαβ = Tα ◦Tβ, luego al tomar determinante se tiene que det(Tαβ) = det(Tα)det(Tβ), de donde se concluye la primera parte.

Ahora, si r ∈K entonces Tr : F →F que env´ıa x 7→rx coincide con la transformaci´on lineal rIn, donde In : F →F es la funci´on identidad. Por lo tanto, det(Tr) = det(rIn) = rn, lo que muestra la segunda parte de la proposici´on. Si α ∈C es algebraico, entonces la extensi´on Q(α)|Q es finita, luego por definici´on NQ(α)|Q(α) ∈Q. Ahora, si α ∈C es algebraico entero, entonces NQ(α)|Q(α) ∈Z. Para ver esto, si q(x) ∈Z[x] es m´onico de grado minimal tal que q(α) =

0. Observe que q(x) es irreducible en Z[x] por ser de grado

minimal, luego como q(x) es m´onico, del lema de Gauss se sigue que q(x) es irreducible en Q[x]. As´ı, se tiene que q(x) ∈ Z[x] es el polinomio m´onico minimal para α, pero como se mostr´o anteriormente, si q(x) = xn+an−1xn−1+···+a1x+a0 entonces NQ(α)|Q = (−1)na0 ∈Z.

La discusi´on anterior permite formular la siguiente proposici´on, la cu´al permitir´a demostrar que los n´umeros algebraicos enteros tienen solo finitos divisores primos. Proposici´on 3. Si α ∈C es algebraico entero y p|α donde p es un n´umero primo, entonces p|NQ(α)|Q(α). Demostraci´on. Suponga que [Q(α) : Q] = n. Si p|α entonces α = pβ para cierto β ∈Z. Por lo tanto, NQ(α)|Q(α) = NQ(α)|Q(pβ) = pnNQ(α)|Q(β). Se sabe que NQ(α)|Q(α) ∈ Z y como α = pβ entonces Q(α) = Q(β), por lo tanto NQ(α)|Q(β) = NQ(β)|Q(β) ∈Z. Se concluye que p | NQ(α)|Q(α).

Como consecuencia se tiene el siguiente corolario. Corolario 1. Si α ∈C es algebraico entero, entonces α es divisible por un n´umero finito de primos. Demostraci´on. De la proposici´on anterior, si p | α entonces p | NQ(α)|Q(α). Como se mostr´o anteriormente, NQ(α)|Q(α) ∈ Z y por lo tanto, es divisible por solo finitos n´umeros primos.

5.

Polinomios sim´etricos elementales Dado un cuerpo K y el anillo de polinomios K[x1,...,xn], se dice que un polinomio es sim´etrico, si al aplicarle cualquier permutaci´on a las variables se obtiene el mismo polinomio, es decir, si p(xσ(1),...,xσ(n)) = p(x1,...,xn) para todo σ ∈ Sn, donde Sn denota el grupo de biyecciones de {1,...,n} en {1,...,n}.

Un teorema famoso debido a Gauss, muestra que todos los polinomios sim´etricos son generados como ´algebra por finitos elementos conocidos con el nombre de polinomios sim´etricos elementales.

Estos polinomios sim´etricos elementales se construyen de la siguiente forma. Se considera el polinomio H(x) = (x − x1)(x−x2)···(x−xn) en la variable x. Al destruir el producto se obtienen los coeficientes de H(x) en t´erminos de x1,...,xn, estos coeficientes son llamados los polinomios sim´etricos elementales en las variables x1,...,xn. Es decir, H(x) = xn +(−1)1s1(x1,...,xn)xn−1 +···+ +(−1)n−1sn−1(x1,...,xn)x+(−1)nsn(x1,...,xn), donde si(x1,...,xn) = ∑ 1≤j1<···<ji≤n x j1 ···xji.

Observe que H(x) = (x −xσ(1))···(x −xσ(n)) para todo σ ∈Sn, por lo tanto, los coeficientes del polinomio H(x) son invariantes bajo σ, para todo σ ∈Sn, lo que muestra que s1,...,sn son polinomios sim´etricos en las variables x1,...,xn. Haciendo uso de los polinomios sim´etricos elementales y de los siguientes lemas, se van a caracterizar todos los subconjuntos finitos de una extensi´on finita F|Q que son fijados por todos los homomorfismos de cuepos de F en C que dejan fijo a Q.

Este primer lema es una consecuencia del lema de Zorn y es un resultado muy importante en la teor´ıa de cuerpos, ya que permite mostrar la unicidad, salvo isomorfismos, de la clausura algebraica de un cuerpo.

La trascendentalidad de π - Juan Pablo Hern´andez Rodas Lema 1. Suponga que F|K es una extensi´on algebraica y que L es un cuerpo algebraicamente cerrado. Entonces todo homomorfismo de cuerpos τ : K →L se puede extender a un homomorfismo de cuerpos σ : F →L tal que σ|K = µ. F σ

K i O µ / L

.

Demostraci´on. SE considera la familia F de todas las parejas (E,τ) donde E es un cuerpo intermedio entre K y F y τ : E → L es un homomorfismo de cuerpos tal que τ|K = µ. F E O τ

K O µ / L

.

Esta familia claramente es no vac´ıa ya que (K,µ) ∈F. Se ordena parcialmente la familia F con el orden: (E,τ) ≤ (E′,τ′) si E ⊆E′ y τ′|E = τ. Se considera ahora una cadena {(Eα,τα)}α∈A de F. Por ser una cadena, la uni´on E = S α∈A Eα resulta ser un cuerpo y claramente K ⊆E ⊆F. Adem´as, si se define τ : E →L como τ(e) = τα(e) si e ∈Eα, entonces τ es un homomorfismo de cuerpos tal que τ|K = µ (τ est´a bien definido ya que si e ∈Eα y e ∈Eβ entonces como todos los elementos de la cadena son comparables, al suponer que (Eα,τα) ≤(Eβ,τβ), se tiene que τβ(e) = τα(e)). Por lo tanto, (E,τ) ∈F y claramente (Eα,τα) ≤(E,τ). Esto muestra que la cadena {(Eα,τα)}α∈A tiene cota superior, luego del lema de Zorn se concluye que F tiene un elemento maximal (E,τ).

Al probar que E = F. Suponga por el absurdo que E ⊊ F, luego existe α ∈F tal que α /∈E. Como la extensi´on F|K es algebraica, entonces E(α)|E es algebraica. Suponga que p(x) = xn + en−1xn−1 + ··· + e1x + e0 ∈E[x] es el polinomio m´onico minimal para α. Al definir τ(p(x)) = xn + τ(en−1)xn−1 + ··· + τ(e1)x + τ(e0), entonces τ(p(x)) ∈ L[x] y como L es algebraicamente cerrado, τ(p(x)) = (x − β1)···(x −βn) con β1,...,βn ∈L. Definiendo τ′ : E(α) →L como τ′(e) = τ(e) para todo e ∈E y τ′(α) = β1. De esta form,a se obtiene un homomorfismo de cuerpos τ′ : E(α) →L tal que τ′|K = µ, lo cual contradice la maximalidad de (E,τ). Se concluye entonces que E = F.

Lema 2. Suponga que F|Q es una extensi´on algebraica. Si α ∈F es tal que σ(α) = α para todo σ ∈Hom(F|Q), entonces α ∈Q.

Demostraci´on. Suponga por el absurdo que α /∈Q. Por lo tanto, el polinomio m´onico minimal p(x) para α tiene grado mayor que uno, lo que permite escoger β ∈C raiz de p(x) con β̸ = α. Con esto se puede definir un homomorfismo de cuerpos µ : Q(α) →C como µ(q) = q para todo q ∈Q y µ(α) = β, as´ı se tiene µ ∈Hom(Q(α)|Q) tal que µ(α) = β̸ = α.

Ahora, como F|Q es algebraica y C es algebraicamente cerrado, del lemma 1 se sabe que µ se puede extender a un homomorfismo σ ∈Hom(F|Q) tal que σ|Q(α) = µ. De esta forma se tiene σ ∈Hom(F|Q) tal que σ(α) = µ(α)̸ = α, lo cual es absurdo.

Observaci´on 2. Suponga que set tiene una colecci´on de polinomios distintos A = {q1(x1,...,xn),...,qm(x1,...,xn)}. Si σ ∈Sn es un permutaci´on cuya acci´on sobre A, definida como σ(qi(x1,...,xn)) = qi(xσ(1),...,xσ(n)), define una biyecci´on σ : A →A, entonces se tiene la siguiente igualdad de polinomios:

m ∏ i=1 (x−qi(x1,...,xn)) = m ∏ i=1 (x−qi(xσ(1),...,xσ(n))).

El lema anterior y esta ´ultima observaci´on, tiene como consecuencia la siguiente proposici´on.

Proposici´on 4. Suponga que F|Q es una extensi´on finita y que α1,...,αn son elementos distintos de F tales que σ|{α1,...,αn} es una biyecci´on para todo σ ∈Hom(F|Q). Suponga adem´as que A = {β1,...,βm} es una colecci´on de polinomios distintos en Q[x1,...,xn] tales que todo elemento de Sn define una biyecci´on de A en A. Entonces se tiene que n ∏ i=1 (x−βi(α1,...,αn)) ∈Q[x].

Demostraci´on. De la observaci´on anterior se tiene que m ∏ i=1 (x−qi(x1,...,xn)) = m ∏ i=1 (x−qi(xτ(1),...,xτ(n))), para toda permutaci´on τ ∈Sn.

Evaluando en α1,...,αn en la ecuaci´on anterior, se tiene que m ∏ i=1 (x−qi(α1,...,αn)) = m ∏ i=1 (x−qi(ατ(1),...,ατ(n))), para toda permutaci´on τ ∈Sn.

Por otro lado, cada elemento σ ∈Hom(F|Q) al definir una biyecci´on σ : {α1,...,αn} →{α1,...,αn}, define una permutaci´on de Sn definida como σ(i) = j si σ(αi) = αj, por lo tanto, σ(αi) = ασ(i).

Con esta notaci´on se concluye de la ´ultima ecuaci´on que m ∏ i=1 (x−qi(α1,...,αn)) = m ∏ i=1 (x−qi(σ(α1),...,σ(αn))), para todo σ ∈Hom(F|Q).

Se observa que para cada σ ∈Hom(F|Q), como σ es homomorfismo y σ|Q = id, entonces dado q(x1,...,xn) ∈Q[x1,...,xn] se tiene que σ(q(α1,...,αn)) = q(σ(α1),...,σ(αn)). Se considera el polinomio p(x) = n ∏ i=1 (x−βi(α1,...,αn)) ∈F[x].

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5

Cada homomorfismo σ ∈Hom(F|Q) se extiende a un homomorfismo de anillos σ : F[x] →C[x] definido de la siguiente forma: si q(x) = amxm + ··· + a1x + a0 ∈F[x], entonces σ(q(x)) = σ(am)xm +···+σ(a1)x+σ(a0) ∈C[x]. De lo anterior se tiene que σ(p(x)) = m ∏ i=1 (x−σ(βi(α1,...,αn))) = m ∏ i=1 (x−βi(σ(α1),...,σ(αn))) = p(x), para todo σ ∈Hom(F|Q).

Finalmente, si p(x) = xm + am−1xm−1 + ··· + a1x + a0, de lo anterior se tiene que σ(ai) = ai para todo σ ∈Hom(F|Q), y esto para todo i = 0,...,m −1. As´ı, del lema 2 se concluye que ai ∈Q para todo i = 0,...,m −1, y por lo tanto, p(x) ∈ Q[x].

6.

Identidad de Euler y la funci´on exponencial La identidad de Euler es una ecuaci´on que relaciona los s´ımbolos matem´aticos e,π,0 y 1 de la siguiente manera: eiπ + 1 = 0. La identidad se sigue inmediatamente una vez que se defina la funci´on exponencial compleja. Vale la pena recordar que para z = a + ib ∈C, ez = eaeib, donde eib = cos(b)+isen(b). En particular, eiπ = cos(π)+isen(π) = −1, y por lo tanto, eiπ +1 = 0.

Una propiedad de la funci´on exponencial, que es consecuencia de la f´ormula de integraci´on por partes, es´a relacionada con el comportamiento de la integral de un producto de la funci´on exponencial por un polinomio.

Teorema 2. Suponga que p(x) ∈C[x] es un polinomio de grado n. Entonces Z e−zp(z)dz = −e−z

n ∑ i=0 p(i)(z) !

,

donde p(i)(z) denota la i-´esima derivada de la funci´on p(x). En otras palabras, la funci´on −e−z  ∑n i=0 p(i)(z)  es una antiderivada de e−zp(z).

Demostraci´on. Una demostraci´on del teorema se obtiene derivando el t´ermino de la derecha de la ecuaci´on y observando simplemente que coincide con el t´ermino dentro de la integral. Ahora, si no se conociera la igualdad a la que se quiere llegar, esta prueba perder´ıa su valor. Por esta raz´on, se demostrar´a el teorema observando como deducir la igualdad del teorema usando integraci´on por partes.

Se observa que como p(z) es un polinomio de grado n, entonces p(i)(z) ≡0 para todo i ≥n+1.

Ahora, recordando que la f´ormula de integraci´on por partes es una consecuencia de la regla de Leibniz o regla de la derivada de un producto.

Usando integraci´on por partes se tiene que Z e−zp(z)dz = −e−zp(z)+ Z e−zp(1)(z)dz.

Si se aplica la igualdad anterior a la integral R e−zp(1)(z)dz se tiene que Z e−zp(z)dx = −e−zp(z)−e−zp(1)(z)+ Z e−zp(2)(z)dz.

Continuando de manera recursiva, entonces Z e−zp(z)dz = −e−z[p(z)+ p(1)(z)+···+ p(n)(z)]+ + Z e−zp(n+1)(z)dz, y como p(n+1)(z) ≡0, se obtiene la igualdad deseada.

7.

Trascendentalidad de π Se presentar´a c´omo usando todo lo discutido anteriormente, Lindemann logr´o demostrar que el n´umero π es trascendental, es decir, no es raiz de ning´un polinomio racional no nulo. Suponiendo por el absurdo que el n´umero π no es trascendental, es decir, es algebraico. Como el n´umero i ∈C es algebraico ya que es raiz del polinomio racional x2 + 1, entonces iπ tambi´en es algebraico (el conjunto de los n´umeros algebraicos forma un cuerpo). Suponiendo que q(x) = (x −α1)···(x −αn) ∈Q[x] es el polinomio m´onico minimal para iπ y suponiendo que α1 = iπ.

Se observa que σ|{α1,...,αn} : {α1,...,αn} →{α1,...,αn} es una biyecci´on para todo σ ∈Hom(F|Q), donde F = Q(α1,...,αn), ya que todo elemento σ ∈Hom(F|Q) es inyectivo y si α es raiz de q(x) entonces σ(α) es tambi´en raiz de q(x).

Ahora, para cada k = 1,...,n se considera la colecci´on de polinomios distintos en Q[x1,...,xn], dada por ∆k = {xi1 + ···+xik : 1 ≤i1 < ··· < ik ≤n}. Se observa que toda permutaci´on τ ∈Sn define una biyecci´on τ : ∆k →∆k. De la proposici´on 2, se tiene que para todo k = 1,...,n, Pk(x) = ∏ 1≤i1<···<ik≤n (x−(αi1 +···+αik)) ∈Q[x].

Por lo tanto, el polinomio P(x) = P1(x)···Pn(x) ∈Q[x] tiene como raices a todos los elementos de la forma αi, 1 ≤i ≤n, αi +αj, 1 ≤i < j ≤n,

...

αi1 +···+αik, 1 ≤i1 < ··· < ik ≤n,

...

α1 +···+αn.

Si se listan estos elementos como β1,...,βm, se observa que estos elementos no son necesariamente distintos. Ahora,

La trascendentalidad de π - Juan Pablo Hern´andez Rodas suponiendo que β1,...,βk son los elementos de esta lista que son diferentes de cero.

Entonces P(x) = ∏m i=1(x−βi) = xm−k ∏k i=1(x−βi) ∈Q[x], lo que implica que H(x) = k ∏ i=1 (x−βi) ∈Q[x].

Como β1,...,βk son algebraicos sobre Q, de la proposici´on 1, existe N ∈Z tal que Nβi ∈Z para i = 1,...,k, por lo tanto L(x) = NkH(x) ∈Z[x], es decir, sus coeficientes son algebraicos enteros.

Para cada n´umero primo p, se considera el polinomio fp(z) = N p−1 (p−1)!zp−1L(z)p y la integral compleja Ip,i = Z βi

0

e−z fp(z)dz, para i = 1,...,k. Se observa que |Ip,i| ≤ Np−1 (p−1)!Ci para cierta constante Ci, y esto para todo i = 1,...,k, luego

k ∑ i=1 eβiIp,i

≤ N p−1 (p−1)!C, donde C = k max i=1 {|eβiCi|}.

As´ı se tiene que la sucesi´on {sp = ∑k i=1 eβiIp,i}p primo converge a cero, ya que la serie ∑ p primo Np−1 (p−1)! es convergente.

Por otro lado, la sucesi´on {∑k i=1 eβiIp,i}p primo, es una sucesi´on no nula (no se vuelve cero despu´es de un punto) de n´umeros enteros, lo que es claramente una contradicci´on. En efecto, como consecuencia del teorema 2 y del teorema fundamental del c´alculo en los complejos, se tiene que Ip,i = −e−βi " d ∑ j=0 f (j) p (βi) # + " d ∑ j=0 f (j) p (0) #

,

(1)

donde d es el grado del polinomio fp(z). Ahora, se puede notar que f (j) p (z) = N p−1 (p−1)!

j ∑ l=0  j l  (zp−1)(l)(L(z)p)(j−l).

(2)

En la ecuaci´on anterior, se observa que si l < p −1 entonces la funci´on (zp−1)(l) evaluada en cero es cero, es decir, (zp−1)(l)(0) = 0, lo que muestra que f (j) p (0) = 0 si j < p−1.

Por otro lado, si l > p −1 es claro que (zp−1)(l) ≡0, luego para j > p−1 se tiene que f (j) p (0) = N p−1 (p−1)!

 j p−1  (p−1)!(L(z)p)(j−(p−1))(0) = pDp,j, donde Dp,j = 1 pN p−1j p−1
(L(z)p)(j−p+1)(0).

Observe que p | (L(z)p)(j−p+1)(0) para j ≥p y por lo tanto, Dp,j ∈Z cuando j ≥p.

Si j = p−1, entonces f (p−1) p

(0) = N p−1L(0)p.

Se observa que como L(x) ∈Z[x] entonces N p−1L(0)p ∈Z y pDp,j ∈Z. Se puede notar tambi´en que como los coeficientes de L(x) pertenecen al cuerpo Q(β1,...,βk) y βi ∈F = Q(α1,...,αn) para i = 1,...,k, entonces N p−1L(0)p ∈F y pDp,j ∈F. Esto permite concluir lo siguiente. f (j) p (0) =   

0

si j < p−1 pDp,j si j > p−1 N p−1L(0)p si j = p−1

,

(3)

donde N p−1L(0)p, pDp,j ∈Z ∩F.

Para computar f (j) p (βi), se observa que en general, si q(x) ∈K[x] es un polinomio que tiene como ra´ız a β ∈K, es decir, q(x) = (x −β)h(x), entonces (q(x)p)(j)(β) = 0 si j < p y p! divide a (q(x)p)(j)(β) si j ≥p. En efecto, como q(x)p = (x−β)ph(x)p entonces se tiene que (q(x)p)(j) = j ∑ l=0  j l  ((x−β)p)(l)(h(x)p)(j−l).

(4)

Ahora, como ((x−β)p)(j) = p!

(p−j)!(x−β)p−j para j < p entonces ((x −β)p)(j)(β) = 0 si j < p. Esto permite decir que (q(x)p)(j)(β) = 0 si j < p.

Por otro lado, ((x −β)p)(p) = p!, luego ((x −β)p)(j) = 0 si j > p. As´ı, de la ´ultima ecuaci´on se sigue que (q(x)p)(j)(β) =  j p  p!(h(x)p)(j−p)(β), si j ≥p.

Se concluye entonces que (q(x)p)(j)(β) = 0 si j < p y p! | (q(x)p)(j)(β) si j ≥p.

Se usar´a lo anterior para computar f (j) p (βi). Recordando que fp(z) = Np−1 (p−1)!zp−1L(z)p. Como βi es ra´ız de L(z), de la discusi´on anterior se sigue que (L(z)p)(j)(βi) = 0 si j < p y p! | (L(z)p)(j)(βi) en Z si j ≥p.

Por otro lado, como f (j) p (z) = N p−1 (p−1)!

j ∑ l=0  j l  (L(z)p)(l)(zp−1)j−l entonces si j < p se tiene que f (j) p (βi) = 0 para i = 1,...,k, y si j ≥p entonces f (j) p (βi) = N p−1 (p−1)!

 j p  (L(z)p)(p)(βi)(zp−1)j−p(βi) = pEp,j,i, donde Ep,i,j ∈Z ∩F y F = Q(α1,...,αn). Se concluye entonces que f (j) p (βi) = 

0

si j < p pEp,j,i si j ≥p ,

Pask´ın Matem´atico Vol. 6 No 2 (2024) 1-7.

7

con Ep,j,i ∈Z ∩F.

Volviendo a la ecuaci´on 1, los computos anteriores implican que Ip,i = −e−βi " d ∑ j=p pEp,j,i # + " N p−1L(0)p + d ∑ j=p pDp,j #

,

= −e−βi(pEp,i)+(N p−1L(0)p + pDp), donde Ep,i = ∑d j=p Ep,j,i y Dp = ∑d j=p Dp,j.

Haciendo la suma para i = 1,...,k se obtiene que k ∑ i=1 eβiIp,i = (N p−1L(0)p + pDp)

k ∑ i=1 eβi !

−pEp.

(5)

Por otro lado, hay que recordar que α1 = iπ y que 1 + eiπ = 0, por lo tanto, ∏n i=1(1 + eαi) = 0. Al destruir este producto anterior se tiene que

0 = 1+

n ∑ i=1 eαi !

+···+

∑ 1≤i1<···<is eαi1+···+αis !

+···+e∑n i=1 αi, = 1+ m ∑ i=1 eβi = 1+(m−k)+ k ∑ i=1 eβi,

(6)

donde recordando que β1,...,βk son los no nulos. De la ´ultima ecuaci´on se sigue que ∑k i=1 eβi = t = k−m−1 ∈ Z.

Reemplazando en la ecuaci´on 5, se obtiene que k ∑ i=1 eβiIp,i = t(N p−1L(0)p + pDp)−pEp, = tN p−1L(0)p −p(tDp −Ep).

Como L(0),Dp,Ep ∈Z∩F, entonces sp = ∑k i=1 eβiIp,i ∈Z∩F, donde F = Q(α1,...,αn).

Se puede notar que σ(sp) = sp para todo σ ∈Hom(F|Q), luego por el lema 2 se tiene que sp ∈Q. Como sp es algebraico entero y sp ∈Q, entonces sp ∈Z (los ´unicos racionales que son algebraicos enteros son los n´umeros enteros). Se puede observar que sp = 0 ⇔tN p−1L(0)p = p(tDp −Ep). Por otro lado, se sabe por el corolario 1 que existen finitos primos que dividen a L(0), luego, suponiendo que p1,..., pa son todos los divisores primos de t,N y L(0), entonces los divisores primos de tN p−1L(0)p est´an en el conjunto de primos {p1,..., pa}. Por lo tanto, Sp̸ = 0 para todo p /∈{p1,..., pa}. Esto muestra que la sucesi´on {sp}p primo no es nula, es decir, no se vuelve cero despu´es de un punto, pero esta sucesi´on es una sucesi´on de enteros que converge a cero, lo cual es absurdo.

Se concluye entonces que el n´umero π es trascendental. Referencias.

[Lan12] Serge Lang, Algebra, Springer Science & Business Media, 2012. [Ian22] Stewart Ian, Galois theory, Chapman and Hall/CRC, 2022. [Iva05] Niven Ivan, Irrational Numbers, Cambridge University Press, 2005. Acerca del autor: El profesor Juan Pablo trabaja en las ´areas de ´algebra conmutativa, ´algebra homol´ogica y geometr´ıa algebraica, y tiene un inter´es en general por la matem´atica y las aplicaciones de esta ciencia a otras ´areas. Es amante de la guitarra cl´asica.