1. La plaza intermedia

En el centro hist´orico de una ciudad se est´an remodelando varias plazas cuadradas. En el plano de dise˜no urbano se tienen las siguientes ´areas:

La Plaza Menor ocupa un cuadrado de ´area 10m2. A la derecha, la Plaza Mayor ocupa un cuadrado de ´area 20m2.

Para unirlas, la alcald´ıa ha decidido construir una plaza intermedia tambi´en de forma cuadrada, como se muestra en la siguiente figura:

Figura 1: Plazas en el centro de la ciudad. El c´alculo del ´area es fundamental para estimar el costo de adoquinado, el n´umero de bancos y ´arboles que podr´an colocarse, as´ı como para definir la capacidad de visitantes en la nueva plaza.

Pregunta ¿Cu´al es el ´area de la plaza intermedia en metros cuadrados?

2. Iluminaci´on acumulada

En una avenida se instalan luminarias numeradas n = 1,2,3,.... La potencia ´util de la luminaria n tiene dos factores de reducci´on:

Figura 2: Luminarias en la avenida.

1. Un decaimiento por distancia proporcional a 1/n2.

2. Un factor de eficiencia que se reduce a la mitad con cada

nueva luminaria, es decir, un decaimiento exponencial 1/2n.

La contribuci´on total de la luminaria n a la iluminaci´on de la avenida es En =

1

2nn2 .

Preguntas

1. Justifique la convergencia de todas las contribuciones En

∞ ∑ n=1

1

2nn2 .

2. ¿Qu´e significa f´ısicamente que la iluminaci´on total sea

finita, aunque se instalen infinitas luminarias?

3. Calcule el valor de convergencia.

3. Interferencia de dos antenas

En un laboratorio se colocan dos antenas perpendiculares que emiten ondas electromagn´eticas: una en la direcci´on del eje x y otra en la direcci´on del eje y.

Paskin challenge La intensidad acumulada de cada onda sigue un patr´on logar´ıtmico, modelado por ln(x) y ln(y).

La energ´ıa se debilita al propagarse, representado por el factor

1

√xy.

Al encontrarse, las ondas interfieren de manera oscilatoria, descrita por cos(x+y).

La intensidad combinada en un punto (x,y) del plano est´a dada por la funci´on f(x,y) = ln(x) ln(y) √xy cos(x+y).

Y puede verse gr´aficamente como se muestra en la siguiente figura:

Figura 3: Interferencia de ondas de dos antenas. Gr´afica elaborada en Geogebra.

La intensidad total que llega a toda la regi´on puede modelarse como la integral doble I = Z ∞

0

Z ∞

0

ln(x) ln(y) √xy cos(x+y)dxdy.

Pregunta Calcule el valor exacto de la integral I.

Reglas de Participaci´on:

Elegibilidad:

Todas las lectores son invitados a enviar sus soluciones sin importar nacionalidad, edad o afiliaci´on. Las mejores soluciones ser´an publicadas en nuestra pr´oxima edici´on. Documento Soluci´on:

Las soluciones debe presentarse de manera individual en un documento formal, escrito en espa˜nol, en el que se explique de manera detallada la soluci´on al problema planteado. La primera p´agina del documento debe contener por lo menos los siguientes seis elementos:

(1) El nombre completo de la persona participante.

(2) Afiliaci´on.

(3) Municipio o ciudad de residencia.

(4) Tel´efono y correo electr´onico de contacto.

El cuerpo del documento, que sigue a esta primera p´agina, puede tener cualquier extensi´on para informar sobre la soluci´on.

Los y las participantes pueden usar libros, blogs, computadores, internet o programas computacionales. Aunque los problemas estar´an destinados a un an´alisis te´orico, los participantes pueden realizar experimentos relevantes y presentar los datos resultantes en su trabajo si lo desean. En caso de que se utilicen, cada soluci´on debe incluir una lista de todas las referencias.

Las soluciones pueden usar algoritmos y herramientas computacionales existentes (que incluyen no solo herramientas disponibles gratuitamente, sino tambi´en herramientas dentro de sistemas como Matlab o Mathematica), siempre que se mencionen y citen correctamente y los m´etodos se expliquen claramente en la soluci´on del problema. Cualquier c´odigo de programaci´on, si se escribi´o uno, debe incluirse como un ap´endice de la soluci´on. Sin embargo, todos los algoritmos, m´etodos y resultados deben explicarse en el texto principal del documento para recibir consideraci´on durante la evaluaci´on. Las soluciones enviadas pueden incluir ecuaciones, gr´aficos, figuras y tablas. Cada soluci´on debe incluir como m´ınimo:

(1) Una corta introducci´on del problema, tal como lo inter-

pret´o la persona participante.

(2) Una explicaci´on de todas las suposiciones y aproxima-

ciones realizadas.

(3) Justificaci´on de todo el trabajo realizado.

(4) Una breve discusi´on de las fortalezas y debilidades del

enfoque adoptado.

Env´ıo de la soluci´on:

Las soluciones pueden enviarse como archivos .pdf, .odf, .doc o docx. Cada participante debe enviar su soluci´on por correo electr´onico a paskin@konradlorenz.edu.co y los documentos deben recibirse antes de la siguiente edici´on. El documento completo debe incluirse como un archivo adjunto al correo electr´onico. No env´ıe un enlace al documento en un servicio en la nube como Google Docs, Dropbox, etc. Una vez recibida la soluci´on se le notificar´a la recepci´on en un plazo menor a cinco d´ıas h´abiles. Si usted no recibe confirmaci´on, comun´ıquese con el editor de la revista.