ADA. Paskín Matemático · 2026
La evolución de la transformada de Fourier hacia el álgebra abstracta
La Transformada Rápida de Fourier (FFT, por sus siglas en inglés) revolucionó el análisis armónico y el procesamiento de señales al reducir drásticamente la complejidad de la convolución discreta mediante el uso de raíces primitivas de la unidad y sus conjugados en el cuerpo de los números complejos ℂ. Sin embargo, su dependencia analítica de la aritmética de coma flotante introduce errores de truncamiento que resultan intolerables en entornos que exigen exactitud criptográfica. En este artículo se expone la transición hacia la Transformada Numérica Teórica (NTT), una variante discreta que traslada el algoritmo a la rigidez de los anillos finitos ℤ₍q₎. Al redefinir la evaluación polinomial sobre raíces primitivas de la unidad modulares, la NTT garantiza un cómputo exacto, libre de redondeos. Asimismo, ante la amenaza del algoritmo cuántico de Shor sobre los criptosistemas clásicos, se introduce la criptografía basada en retículos (LBC) como una posible solución a la amenaza cuántica. Se muestra cómo la NTT se erige como el núcleo algorítmico indispensable para el problema Ring‑LWE en el anillo cociente Rq=Zq[x]/⟨xn+1⟩, facilitando la convolución negacíclica en tiempo asintótico O(nlogn) para la estandarización de esquemas post‑cuánticos modernos como CRYSTALS‑Kyber.