Matemáticas · 2026

Introducción a la topología algebraica: Grupo fundamental y homología simplicial

Resumen

En este trabajo se presenta una introducción didáctica a la Topología Algebraica, centrada en el estudio de dos de sus herramientas fundamentales: el grupo fundamental, también conocido como primer grupo de homotopía, y el primer grupo de homología simplicial. Inicialmente, se desarrollan preliminares de Topología y Álgebra necesarios para com prender las construcciones y resultados abordados en capítulos posteriores. Posteriormente, se introduce el concepto de homotopía como deformación continua entre aplicaciones, estudiando sus propiedades principales y construyendo progresivamente la teoría necesaria para definir el grupo fundamental. A partir de esta herramienta, se presentan diversas aplicaciones clásicas y relevantes, entre ellas una demostración topológica del Teorema Fundamental del Álgebra, resultados relacionados con teoremas de punto fijo como el Teorema de Brouwer y el estudio del Teorema de Seifert–van Kampen, el cual permite descomponer espacios topológicos complejos en subespacios más simples para facilitar el cálculo de su grupo fundamental. En una segunda parte, se desarrolla la teoría de homología simplicial, introduciendo con ceptos como símplices, complejos simpliciales, cadenas, ciclos y bordes, con el objetivo de construir el primer grupo de homología simplicial. Posteriormente, se estudia el Teorema de Mayer–Vietoris como una herramienta fundamental para el cálculo de grupos de homo logía, desempeñando un papel análogo al Teorema de Seifert–van Kampen en el contexto homológico. Asimismo, se presentan diversos ejemplos de cálculo del grupo H1 en espacios topológicos como el toro, bouquets de círculos y otros espacios de interés. Finalmente, el trabajo incorpora apoyos computacionales e interactivos orientados a la visualización didáctica de conceptos clave de ambas teorías, así como aplicaciones relacionadas con análisis de trayectorias, robótica, análisis de redes y grafos, procesamiento topológico de imágenes y análisis topológico de datos. Se incluye además una breve discusión comparativa sobre ventajas prácticas del primer grupo de homología frente al grupo fundamental en determinados contextos computacionales y aplicados.