Matemáticas · 2026

Modelo de criminalidad en ecuaciones diferenciales con retardo

Resumen

Este trabajo de grado estudia un modelo matemático para describir la interacción entre una población no criminal y una población criminal mediante ecuaciones dife renciales. El modelo se construye de manera progresiva, partiendo de una estructura inspirada en Lotka–Volterra e incorporando una respuesta funcional de Holling tipo II, crecimiento logístico generalizado, intervención institucional y respuesta social. Prime ro se analiza el caso sin retardo, donde se demuestra la buena formulación del sistema mediante resultados de existencia, unicidad, positividad, invarianza del ortante no ne gativo y existencia global de soluciones. Además, se determinan los puntos de equilibrio y se estudia su estabilidad local a partir de la linealización. Posteriormente, se introduce un retardo temporal en el proceso de reclutamiento criminal, lo que lleva a formular el problema en un espacio funcional de historias. En este caso se estudian nuevamente las propiedades básicas del modelo, los puntos de equilibrio y la ecuación característica asociada al sistema linealizado. Finalmente, se presentan simulaciones numéricas que permiten comparar el comportamiento del sistema con y sin retardo. Los resultados muestran que el retardo puede influir en la velocidad de convergencia, en la aparición de oscilaciones transitorias y en la forma como las trayectorias se aproximan a los equilibrios.