Maestría en Matemáticas · 2025
Geodesics on Riemannian manifolds defined by the parameter space of Artificial Neural Networks
Solo ficha. El repositorio marca este trabajo como «De acuerdo con la naturaleza del uso concedido, la presente licencia parcial se otorga a título gratuito por el máximo tiempo legal colombiano, con el propósito de que en dicho lapso mi (nuestra) obra sea explotada en las condiciones aquí estipuladas y para los fines indicados, respetando siempre la titularidad de los derechos patrimoniales y morales correspondientes, de acuerdo con los usos honrados, de manera proporcional y justificada a la finalidad perseguida, sin ánimo de lucro ni de comercialización. De manera complementaria, garantizo (garantizamos) en mi (nuestra) calidad de estudiante (s) y por ende autor (es) exclusivo (s), que la Tesis o Trabajo de Grado en cuestión, es producto de mi (nuestra) plena autoría, de mi (nuestro) esfuerzo personal intelectual, como consecuencia de mi (nuestra) creación original particular y, por tanto, soy (somos) el (los) único (s) titular (es) de la misma. Además, aseguro (aseguramos) que no contiene citas, ni transcripciones de otras obras protegidas, por fuera de los límites autorizados por la ley, según los usos honrados, y en proporción a los fines previstos; ni tampoco contempla declaraciones difamatorias contra terceros; respetando el derecho a la imagen, intimidad, buen nombre y demás derechos constitucionales. Adicionalmente, manifiesto (manifestamos) que no se incluyeron expresiones contrarias al orden público ni a las buenas costumbres. En consecuencia, la responsabilidad directa en la elaboración, presentación, investigación y, en general, contenidos de la Tesis o Trabajo de Grado es de mí (nuestro) competencia exclusiva, eximiendo de toda responsabilidad a la Pontifica Universidad Javeriana por tales aspectos. Sin perjuicio de los usos y atribuciones otorgadas en virtud de este documento, continuaré (continuaremos) conservando los correspondientes derechos patrimoniales sin modificación o restricción alguna, puesto que, de acuerdo con la legislación colombiana aplicable, el presente es un acuerdo jurídico que en ningún caso conlleva la enajenación de los derechos patrimoniales derivados del régimen del Derecho de Autor. De conformidad con lo establecido en el artículo 30 de la Ley 23 de 1982 y el artículo 11 de la Decisión Andina 351 de 1993, "Los derechos morales sobre el trabajo son propiedad de los autores", los cuales son irrenunciables, imprescriptibles, inembargables e inalienables. En consecuencia, la Pontificia Universidad Javeriana está en la obligación de RESPETARLOS Y HACERLOS RESPETAR, para lo cual tomará las medidas correspondientes para garantizar su observancia.»: el PDF no es público, así que aquí no hay texto para leer. Ver la ficha en el repositorio.
Resumen
Artificial Neural Networks (ANNs) are becoming increasingly important in machine learning and artificial intelligence due to their ability to uncover complex relationships in data, regardless of its structure. While various methods, primarily based in gradient descent optimization, have been developed for training ANNs, these methods are applied in Euclidean space, which imposes certain limitations due to its flat geometry. To overcome these limitations, this thesis explores the use of Riemannian manifolds (called Neuromanifolds), equipped with the Fisher information metric derived from the parameters of an ANN. This topological space allows for the definition of geodesics, which represent potential optimisation paths for training ANNs. The thesis studies the properties of geodesics on Neuromanifolds to propose a method for establishing the optimal parameter set that minimises the prediction error of an ANN. This approach incorporates statistical and probabilistic properties of ANN models to appropriately define a Riemannian manifold based on the general Fisher metric, reflecting the structure of the network. The proposed training method is developed through approximations based in mathematical statistics and numerical methods and is evaluated on a dummy dataset to assess its effectiveness and potential for real-world applications.