Licenciatura en Matemáticas · 2025
Acercamiento histórico–epistemológico al concepto de derivada para favorecer las competencias matemáticas en estudiantes de educación media
Actualmente la enseñanza y aprendizaje de la derivada representa un reto escolar en la educación media. Por ello, el objetivo de esta investigación consistió en diseñar, implementar y valorar una secuencia didáctica orientada hacia el aprendizaje de la derivada como razón de cambio desde una perspectiva histórico-epistemológica, promoviendo el desarrollo de competencias matemáticas en estudiantes de décimo y undécimo grado. El estudio se fundamenta en el análisis histórico-epistemológico de la derivada (Vrancken y Engler, 2013); el papel de la historia de las matemáticas en su enseñanza (Guacaneme, 2016) y el concepto de ser ciudadano matemáticamente competente (MEN, 2006). La investigación de Diseño de corte cualitativa (Molina et al. 2011) se conforma de cuatro etapas: los elementos teóricos, la construcción, implementación y análisis de la secuencia didáctica, aplicada a 23 estudiantes del Semillero Matemático Euler de la UIS, donde se administró una prueba diagnóstica, dos talleres y una evaluación final. Los resultados evidencian que las actividades promovieron una resignificación y superación de obstáculos epistemológicos del concepto de función, razón de cambio, noción de límite, recta tangente y la derivada como la mejor aproximación a la velocidad en un instante. Además, el uso de GeoGebra facilitó la comprensión y visualización de la derivada como el límite del cociente incremental. Este análisis permitió rediseñar la secuencia didáctica como guía para orientar futuros diseños.
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Contenido
- Introducciónp. 16
- Capítulo 1: Planteamiento del problemap. 21
- Capítulo 2: Antecedentesp. 27
- 2.1 El papel de la historia y la epistemología en la enseñanza de las matemáticasp. 27
- 2.2 Potencial didáctico de la historia y la epistemología en el pensamiento variacionalp. 29
- 2.3 La derivada como objeto de estudio en la didáctica de las matemáticasp. 31
- 2.4 Competencias matemáticas cimentadas en aspectos curriculares nacionalesp. 34
- 2.5 Enseñanza y aprendizaje de la derivada en la educación media y superiorp. 37
- 2.5.1 Enseñanza y aprendizaje de la derivada en relación con el docentep. 38
- 2.5.2 Enseñanza y aprendizaje de la derivada en relación con el estudiantep. 39
- Capítulo 3: Aspectos teóricos y conceptualesp. 42
- 3.1 Historia de las matemáticas en la enseñanza de las matemáticasp. 42
- 3.2 Análisis histórico–epistemológico del concepto de derivadap. 45
- 3.2.1 El mundo antiguop. 46
- 3.2.2 La edad mediap. 47
- 3.2.3 La edad modernap. 48
- 3.2.4 Finales de la edad modernap. 53
- 3.2.5 Edad contemporáneap. 58
- 3.3 Aspectos conceptuales de la derivadap. 60
- 3.3.1 La conexión entre lo gráfico y lo analítico en la construcción de la derivadap. 62
- 3.4 Competencias del pensamiento variacional en relación con la derivadap. 64
- Capítulo 4: Metodologíap. 68
- 4.1 Etapa I: Elementos teóricos de la investigaciónp. 69
- 4.2 Etapa II: Construcción de la secuencia didácticap. 73
- 4.2.1 Actividades diseñadasp. 73
- 4.2.2 Estructura de la secuenciap. 75
- 4.2.3 Trayectoria hipotética del aprendizajep. 76
- 4.3 Epata III: implementación de la secuencia didácticap. 77
- 4.4 Etapa IV: Análisis retrospectivop. 79
- Capítulo 5: Análisis de los datosp. 82
- 5.1 Potencial didáctico del componente histórico-epistemológico en la secuencia didácticap. 83
- 5.1.1 Primer Taller: Explorando los cimientos del cálculop. 83
- 5.1.2 Segundo taller: Aproximación histórica al concepto de derivadap. 95
- 5.2 Desarrollo de competencias a través de la mirada histórico-epistemológicap. 104
- 5.2.1 Resultados de la prueba diagnósticap. 107
- 5.2.2 Análisis del desarrollo de las competencias cognitivasp. 113
- 5.2.3 Análisis del desarrollo de las competencias procedimentalesp. 126
- 5.2.4 Análisis del desarrollo de las competencias actitudinalesp. 141
- 5.2.5 Resultados de la prueba finalp. 150
- 5.3 Rediseño de la secuencia didácticap. 157
- 5.3.1 Diagnóstico de la secuencia didáctica implementadap. 157
- 5.3.2 Orientaciones para la implementación de la secuencia didácticap. 170
- Capítulo 6. Conclusionesp. 197
- 6.1 Consideraciones finalesp. 202
- 7. Referencias bibliográficasp. 205
- Figura 1 Tareas de covariación implementadas en Carlson (2002/2003)p. 32
- Figura 2 Representaciones de la derivadap. 33
- Figura 3 La Historia de las Matemáticas en la Enseñanza de las Matemáticasp. 42
- Figura 4 Estrategias de enseñanza y aprendizaje usando la historia de las matemáticasp. 43
- Figura 5 Gráfica del Teorema de Galileo de un cuerpo con movimiento uniformep. 49
- Figura 6 Proceso de Fermat para hallar máximos y mínimosp. 51
- Figura 7 Gráfica de Fermat para el problema de la tangente a una curvap. 51
- Figura 8 Diagrama usado por Newton para explicar su método de las tangentesp. 54
- Figura 9 La obtención de la tangente con el triángulo característico de Leibnizp. 56
- Figura 10 Acercamientos por derecha y por izquierda de la derivada gráficamentep. 62
- Figura 11 Competencias variacionales sobre la derivada en sus tres dimensionesp. 67
- Figura 12 Esquema metodológicop. 69
- Figura 13 Competencias matemáticas en relación con la derivadap. 72
- Figura 14 Imagen de los participantes del pilotaje de la secuencia didácticap. 79
- Figura 15 Descubriendo razones de cambio con el experimento de Galileop. 86
- Figura 16 Siguiendo las huellas de Galileo en Pisa: Un análisis gráfico del movimientop. 87
- Figura 17 Explorando conceptos de tangencia a una curvap. 90
- Figura 18 La carrera con más de 2000 años sin resolver: Aquiles y la tortugap. 93
- Figura 19 El rectángulo de mayor áreap. 96
- Figura 20 Historieta del método de Fermat en GeoGebrap. 97
- Figura 21 Historieta del método de Newton y Leibniz del cociente incrementalp. 100
- Figura 22 Problema del lanzamiento verticalp. 102
- Figura 23 Simulación para la comprensión de la derivada adaptado de Rodríguez (2020)p. 103
- Figura 24 Procedimiento de exploración para el problema de Aquiles y la tortugap. 109
- Figura 26 Respuesta de la tabla de razones de cambiop. 129
- Figura 27 Segunda parte de la actividad tangencia a una curvap. 130
- Figura 28 Imagen del cálculo de f(x+e) en el método de Fermatp. 137
- Figura 29 Respuesta de Est17 después de explorar el método de Fermatp. 138
- Figura 30 Estudiantes participan hallando razones cambiop. 143
- Figura 31 Retroalimentación del concepto de función y razón de cambiop. 143
- Figura 32 Actividad vivencial sobre la recta tangente a una curvap. 144
- Figura 33 Mejora en los procedimientos de Est12 en la noción de límitep. 145
- Figura 34 El método de Fermat presentado con lenguaje técnicop. 147
- Figura 35 Respuestas de Est17 y Est8 en la evaluación finalp. 150
- Figura 36 Algunas respuestas de Est12 en la prueba diagnósticap. 152
- Figura 37 Procedimientos en los conocimientos previos de la prueba finalp. 153
- Figura 38 Respuesta de Est12 en el problema de calcular e interpretar la derivadap. 155
- Figura 39 Respuesta de Est1 sobre el impacto de la historia en su aprendizajep. 155
- Figura 40 Competencias cognitivas, procedimentales y actitudinales del primer tallerp. 172
- Figura 41 Indicadores de logro y presaberes de la actividad del concepto de funciónp. 173
- Figura 42 Situación problemática sobre la trayectoria de un proyectilp. 174
- Figura 43 Indicadores de logro de la actividad del concepto de razón de cambiop. 176
- Figura 44 Situación problemática sobre el lanzamiento de pelotas sobre un planop. 177
- Figura 45 Rediseño de la situación problemática del análisis gráfico del movimientop. 178
- Figura 47 Rediseño de la situación problemática de la recta tangentep. 181
- Figura 48 Actividad sobre aproximaciones de rectas secantes a la recta tangentep. 182
- Figura 49 Aproximaciones de la razón de cambio a la pendiente de la recta tangentep. 182
- Figura 51 Indicadores de logro y saberes previos de la actividad de la noción de límitep. 184
- Figura 52 Rediseño de la actividad de la noción de límitep. 185
- Figura 53 Indicadores de logro de la actividad de los infinitésimos de Fermatp. 187
- Figura 54 Rediseño de la actividad del método de Fermat parte 1p. 188
- Figura 55 Rediseño de la actividad del método de Fermat parte 2 y 3p. 189
- Figura 56 Indicadores de logro y saberes previos de la actividad sobre la derivadap. 190
- Figura 57 Situación problemática del problema del lanzamiento verticalp. 191
- Figura 58 Applet del problema del lanzamiento vertical parte 1p. 192
- Figura 59 Actividad sobre la aproximación a la razón de cambio instantáneap. 193
- Figura 60 Applet sobre el estudio de la razón de cambio instantáneap. 194
- Figura 62 Resultados generales por competenciasp. 199
- Tabla 1 Competencias en la educación secundaria en relación con la derivadap. 35
- Tabla 2 Elementos de la secuencia didáctica de Gutiérrez (2019)p. 44
- Tabla 3 Análisis Histórico–epistemológico de la derivada en los siglos XVI y XVIIp. 52
- Tabla 4 Análisis histórico–epistemológico de la derivada en el siglo XVIIp. 57
- Tabla 5 Análisis histórico–epistemológico de la derivada en la edad contemporáneap. 60
- Tabla 6 Definición de competencia, habilidad cognitiva y pensamiento variacionalp. 65
- Tabla 8 Sistematización de los acercamientos histórico - epistemológicos de la derivadap. 70
- Tabla 9 Descripciones de las actividades del taller 1 y taller 2p. 73
- Tabla 10 Elementos que componen la estructura de cada actividadp. 75
- Tabla 11 Cronograma de actividades para la ejecución de la secuencia didácticap. 78
- Tabla 12 Competencias cognitivas, procedimentales y actitudinales del primer tallerp. 84
- Tabla 13 Indicadores de logro para el concepto de función y razón de cambiop. 85
- Tabla 14 Indicadores de logro de la actividad: tangencia a una curvap. 89
- Tabla 15 Conectando conceptos de tangencia a una curvap. 91
- Tabla 16 Indicadores de logro de la noción del concepto de límitep. 93
- Tabla 17 Competencias cognitivas, procedimentales y actitudinales del segundo tallerp. 95
- Tabla 18 Indicadores de logro de la actividad del método de Fermatp. 96
- Tabla 19 Indicadores de logro para la noción del concepto de derivadap. 99
- Tabla 20 Análisis preliminar de razón de cambio instantáneap. 101
- Tabla 21 Resultados de la Prueba Diagnóstica vs Resultados de la Prueba Finalp. 105
- Tabla 22 Resultados de la prueba diagnósticap. 107
- Tabla 23 Nociones de recta tangente a una curva en la prueba diagnósticap. 110
- Tabla 24 Indicadores de logro de la competencia cognitiva del primer tallerp. 113
- Tabla 25 Rejilla de respuestas de y Concepto de función y razón de cambiop. 114
- Tabla 26 Rejilla de respuestas de concepto de recta tangente a una curvap. 117
- Tabla 27 Transcripción sobre la actividad de la recta tangentep. 117
- Tabla 28 Discusión sobre la noción de límitep. 119
- Tabla 29 Indicadores de logro de la competencia cognitiva del segundo tallerp. 121
- Tabla 30 Caracterización de las nociones de infinitesimal en el método de Fermatp. 123
- Tabla 31 Rejilla de respuestas sobre el problema del lanzamiento verticalp. 124
- Tabla 32 Fragmento de la discusión sobre el problema del lanzamiento verticalp. 124
- Tabla 33 Indicadores de logros de la competencia procedimental del taller 1p. 126
- Tabla 34 Respuestas procedimentales sobre el concepto de función y razón de cambiop. 127
- Tabla 35 Respuestas de la relación entre razones de cambio y la recta tangentep. 130
- Tabla 36 Rejilla de respuestas de la actividad de Aquiles y la tortugap. 132
- Tabla 37 Fragmento de audio del análisis procedimental de Aquiles y la tortugap. 133
- Tabla 38 Registro de audio de la expresión del límitep. 134
- Tabla 39 Indicadores de logros de la competencia procedimental del taller 2p. 135
- Tabla 40 Fragmento sobre introducción el problema del rectángulo de área máximap. 135
- Tabla 41 Discusión grupal de la expresión general del método de Fermatp. 137
- Tabla 42 Respuesta del cálculo de la velocidad promedio en Geogebrap. 139
- Tabla 43 Fragmento de audio del cálculo de la velocidad instantáneap. 140
- Tabla 44 Indicadores de logro de la competencia actitudinal del primer tallerp. 142
- Tabla 45 Indicadores de logro de la competencia actitudinal del segundo tallerp. 146
- Tabla 46 Discusión del método de Fermatp. 148
- Tabla 47 Rejilla de respuestas sobre el ejemplo de Newton y Leibnizp. 149
- Tabla 48 Resultados de la prueba final vs prueba diagnósticap. 151
- Tabla 49 Impacto del contexto histórico en el aula de matemáticasp. 156
- Tabla 50 Evaluación de la actividad del concepto de función y razón de cambiop. 159
- Tabla 51 Evaluación de la actividad del concepto de recta tangente a una curvap. 160
- Tabla 52 Evaluación de la actividad de la noción de límitep. 161
- Tabla 53 Evaluación de la actividad de los infinitésimosp. 163
- Tabla 54 Evaluación de la actividad del límite del cociente infinitesimalp. 164
- Tabla 55 Competencias del rediseño de la secuencia didácticap. 165
- Tabla 56 Indicadores de logro del rediseño del primer tallerp. 166
- Tabla 57 Indicadores de logro del rediseño del segundo tallerp. 167