Maestría en Educación Matemática · 2026
Secuencia de enseñanza para la comprensión y deducción de propiedades de triángulos hiperbólicos en un entorno de geometría dinámica
Este trabajo presenta los resultados de una investigación desarrollada bajo la metodología del experimento de enseñanza, cuyo propósito fue diseñar, implementar y evaluar una secuencia didáctica orientada al desarrollo de los tres primeros niveles de razonamiento del modelo de Van Hiele en relación con las propiedades del triángulo hiperbólico. La secuencia se diseñó en el Aula Virtual de GeoGebra e integró la caracterización de los niveles de Van Hiele para los procesos de descripción, definición y demostración propuesta por Algarín y Fiallo (2013). Como punto de partida, se elaboró una caracterización a priori de los niveles 1, 2 y 3 de razonamiento respecto a propiedades específicas del triángulo hiperbólico, tomando como modelo de representación el disco de Poincaré. Esta caracterización constituyó la conjetura central del experimento y orientó el diseño de las actividades. La secuencia fue implementada en el curso de Didáctica de la Geometría durante el primer semestre de 2025 en la Universidad Industrial de Santander. El análisis de los resultados permitió refinar tanto la caracterización inicial como la secuencia de enseñanza. Como productos de la investigación se ofrece una caracterización refinada de los niveles de razonamiento de Van Hiele relacionada con las propiedades del triángulo hiperbólico, ampliando su aplicación más allá del ámbito euclidiano, y una secuencia de enseñanza como propuesta didáctica fundamentada teórica y metodológicamente para la enseñanza de dichas propiedades. Finalmente, se presentan reflexiones sobre las implicaciones de aplicar el modelo de Van Hiele en un contexto geométrico no euclidiano.
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Contenido
- 1. Antecedentes y problema de investigaciónp. 16
- 1.1. Historia y la epistemología de la geometría hiperbólicap. 17
- estudio de los procesos matemáticos y el avance entre niveles mediante el uso de GeoGebrap. 19
- 1.2.1. El modelo de Van Hielep. 19
- 1.2.2. Procesos de la actividad matemáticap. 22
- 1.2.3. Modelo de Van Hiele y geometría dinámicap. 22
- 1.2.4. El uso de Geogebra en la geometría hiperbólicap. 25
- 1.2.5. Enseñanza de las geometrías no euclidianas, en particular, la geometría hiperbólicap. 26
- 1.3. El experimento de enseñanza como metodología de Investigaciónp. 29
- 1.4. Planteamiento del problemap. 32
- 1.5. Pregunta de investigaciónp. 32
- 1.6. Objetivosp. 33
- 1.6.1. Objetivo generalp. 33
- 1.6.2. Objetivos específicosp. 33
- 2. Marco teóricop. 34
- 2.1. Modelo de Van Hielep. 35
- 2.1.1. Niveles de razonamientop. 36
- 2.1.2. Evaluaciónp. 52
- 2.1.3. Fases de aprendizajep. 53
- 2.2. Procesos de la actividad matemáticap. 22
- 2.3. Geometría hiperbólicap. 59
- 2.3.1. El sistema axiomático formal de la geometría euclidianap. 60
- 2.3.2. Definiciones y resultados de la geometría hiperbólicap. 65
- 2.3.3. El modelo del disco de Poincarép. 68
- 3. Metodología de investigaciónp. 71
- 3.1. Productos de una investigación basada en un experimento de enseñanzap. 71
- 3.2. Participantes del experimento de enseñanzap. 72
- 3.3. Fases del experimento de enseñanzap. 73
- 3.3.1. Preparación del experimentop. 73
- 3.3.2. Experimentaciónp. 74
- 3.3.3. Análisis de datosp. 74
- 3.4. Conjeturap. 75
- 3.4.1. Primera dimensión de la conjetura: ¿qué enseñar?p. 75
- 3.4.2. Segunda dimensión de la conjetura: ¿cómo enseñar?p. 105
- 4. Análisis de resultadosp. 183
- 4.1. Resultados nivel 1p. 183
- 4.1.1. Descriptor emergente:p. 214
- 4.2. Análisis de resultados nivel 2p. 214
- 4.3. Análisis de resultados nivel 3p. 280
- 5. Versión refinada de los productos de la investigaciónp. 293
- 5.1. Versión refinada de la caracterización de nivelesp. 293
- 5.2. Versión refinada de la secuencia de enseñanzap. 298
- 6. El modelo de Van Hiele para la enseñanza de la geometría hiperbólicap. 304
- 7. Conclusionesp. 310
- Referencias bibliográficasp. 314
- Tabla 1 Algunas representaciones en el disco de Poincarép. 69
- Tabla 2 Versión refinada de la caracterización del primer nivelp. 293
- Tabla 3 Versión refinada de la caracterización del segundo nivelp. 295
- Tabla 4 Versión refinada de la caracterización del tercer nivelp. 297
- Figura 1 Disco de Poincarép. 107
- Figura 2 Segmento hiperbólicop. 107
- Figura 3 Recta hiperbólicap. 113
- Figura 4 Segmento hiperbólico y segmento euclidianop. 118
- Figura 5 Recta hiperbólica y recta euclidianap. 119
- Figura 6 Semirrecta hiperbólica y semirrecta euclidianap. 122
- Figura 7 Triángulo hiperbólicop. 123
- Figura 8 Triángulos hiperbólicos y triángulo euclidianop. 125
- Figura 9 Construcción de un triángulo euclidiano equiláterop. 129
- Figura 10 Construcción de un triángulo hiperbólico equiláterop. 130
- Figura 11 Suma de los ángulos internos de un triángulop. 133
- Figura 12 Triángulos hiperbólicos congruentes por reflexiónp. 135
- Figura 13 Ángulos internos de un triángulo hiperbólico equiláterop. 136
- Figura 14 Construcción de un triángulo hiperbólico isóscelesp. 138
- Figura 15 Desigualdad triangular hiperbólicap. 140
- Figura 16 Construcción de la bisectriz hiperbólicap. 142
- Figura 17 Medianas de un triángulo hiperbólicop. 145
- Figura 18 Mediatrices concurrentes en un punto exterior del triángulo hiperbólicop. 147
- Figura 19 Mediatrices concurrentes en un punto interior del triángulo hiperbólicop. 147
- Figura 20 Mediatrices no concurrentesp. 147
- Figura 21 Triángulo hiperbólico equiláterop. 149
- Figura 22 Mediatrices de un triángulo hiperbólico isóscelesp. 149
- Figura 23 Mediatrices de un triángulo hiperbólico escalenop. 150
- Figura 24 Mediatrices concurrentes de un triángulo hiperbólico acutángulop. 151
- Figura 25 Mediatrices no concurrentes de un triángulo hiperbólico acutángulop. 151
- Figura 26 Mediatrices no concurrentes dentro del disco de Poincarép. 152
- Figura 27 Alturas de un triángulo hiperbólicop. 153
- Figura 28 Líneas y puntos notables coincidentes en un triángulo hiperbólico equiláterop. 155
- Figura 29 Línea de Euler de un triángulo hiperbólico isóscelesp. 156
- Figura 30 Exploración del criterio de congruencia hiperbólica AAAp. 160
- Figura 31 Exploración del criterio de congruencia hiperbólica LALp. 164
- Figura 32 Comparación de triángulos hiperbólicos equiláterosp. 166
- Figura 33 Reflexión de triángulos hiperbólicosp. 168
- Figura 34 Criterio de congruencia hiperbólica LLLp. 169
- Figura 35 Exploración del teorema de Pitágoras en el disco de Poincarép. 171
- Figura 37 Cuadrilátero de Saccherip. 176
- Figura 38 Construcción de un cuadrilátero de Saccherip. 177
- Figura 39 Teorema de Pitágoras a partir de la semejanza euclidianap. 179
- Figura 40 Invalidez del teorema de Pitágoras en la geometría hiperbólicap. 181
- Figura 41 Criterio AAA en la geometría hiperbólicap. 182
- Figura 42 Ejemplo fallido del cálculo del ángulo entre la recta hiperbólica y el borde del discop. 192