Trabajo de grado · 2015
Introducción al cálculo de variaciones aplicado al control óptimo: Guía metodologíca de aprendizaje
El Cálculo de variaciones es un método matemático que permite buscar máximos y mínimos de funcionales continuos definidos sobre un funcional. Tiene múltiples aplicaciones, entre ellas está el uso en control óptimo para hallar el controlador de un sistema de control que maximice o minimice una condición especificada. En este Proyecto se desarrolla se estudia la metodología del Cálculo de Variaciones, se desarrollan ejercicios propuestos en algunos textos de la literatura técnica y se realiza una guía para facilitar la comprensión de los principios del Cálculo de Variaciones y su aplicación al Control Optimo. Se estudia el Cálculo de Variaciones aplicado al Control Óptimo, específicamente los temas “problema de punto final fijo” y “problema de punto final móvil”. Se estudió la herramienta matemática Maple y se utilizó en el desarrollo de los ejercicios, para resolver ecuaciones matemáticas complejas; el uso de MAPLE facilitó la obtención de la expresión de Euler–Lagrange y la solución de ecuaciones diferenciales, pasos importantes para encontrar el extremal. Una vez culminado el estudio de la teoría se difundió los resultados obtenidos presentando a la comunidad UPB-Bucaramanga en un seminario introductorio al Cálculo de Variaciones aplicado al Control Optimo.
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Contenido
- RESUMEN GENERAL DE TRABAJO DE GRADOp. 7
- INTRODUCCIONp. 11
- OBJETIVOSp. 13
- 3.1 Objetivo Generalp. 13
- 3.2 Objetivos Específicosp. 13
- METODOLOGIAp. 14
- MARCO TEORICOp. 15
- 5.1 Control Óptimop. 15
- 5.2 Máximos y Mínimosp. 15
- 5.3 Cálculo de Variacionesp. 17
- 5.2.1 Problema de Euler Lagrangep. 18
- 5.4 MAPLEp. 19
- DESARROLLO DEL PROYECTOp. 20
- 6.1 PROBLEMA DE PUNTO FINAL FIJOp. 20
- 6.1.1 Variación suavep. 22
- 6.1.2 Variación fuertep. 23
- 6.1.3 Primera condición necesariap. 24
- 6.2 PROBLEMAS EN LOS QUE EL PUNTO FINAL NO SE HA FIJADOp. 31
- 6.2.1 Formas Especiales de la Condición de Transversalidadp. 34
- 6.3 VERIFICACIÓN DE LAS CURVAS DE MINIMIZACIÓNp. 38
- 6.4 PROBLEMAS ISOPERIMÉTRICOSp. 48
- 6.5 CONDICIONES SUFICIENTESp. 53
- 6.5.1 Campos de extrémalesp. 54
- 6.6 INTEGRAL INVARIANTE DE HILBERTp. 58
- CONCLUSIONESp. 62
- RECOMENDACIONESp. 64
- BIBLIOGRAFIAp. 65
- ANEXOSp. 66
- 10.1 Solucionario de Ejercicios Propuestosp. 66
- 10.2 Tutorial de MAPLEp. 94
- una sola variable...……………………………………………….…p. 16
- Curvas que unen dos puntos………………………………….…p. 21
- Variación suave………………………………………………….…p. 23
- Variación fuerte……………………………………………………p. 24
- t1 fijo…………………………………………………………………p. 36
- Variaciones de tipo suaves………………………………………p. 42
- Figura 1.10 Variaciones suaves de tipo (iii)…………………………………p. 44
- Figura 1.11 Dos curvas de minimización con esquinas……………………p. 47
- ……………………………p. 57
- Figura 1.21 Ventana Para Modificar Rango de Grafica………………………p. 99
- Figura 1.25 Ventana “Solve symbolically”……………………………………p. 102