UNIDAD DIDÁCTICA DE TEORÍA DE GRUPOS EN EDUCACIÓN MEDIA

RICHARD SEBASTIAN JARAMILLO QUINTERO

KELLY VANESSA PEÑA RODRIGUEZ

UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE PEREIRA

FACULTAD DE CIENCIAS BÁSICAS

LICENCIATURA EN MATEMÁTICAS Y FÍSICA

PEREIRA

2020

UNIDAD DIDÁCTICA DE TEORÍA DE GRUPOS EN EDUCACIÓN MEDIA

RICHARD SEBASTIAN JARAMILLO QUINTERO

KELLY VANESSA PEÑA RODRIGUEZ

ANTEPROYECTO

DIRIGIDO POR:

JULIÁN GUZMÁN BAENA

UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE PEREIRA

FACULTAD DE CIENCIAS BÁSICAS

LICENCIATURA EN MATEMÁTICAS Y FÍSICA

PEREIRA

2020

TABLA DE CONTENIDO

INTRODUCCIÓN……………………………………………………………………… 4

PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA……………………………………………….. 5

JUSTIFICACIÓN ..…………………………………………………………………...... 7

OBJETIVO GENERAL………………………………………………………………… 9

OBJETIVOS ESPECIFICOS………………………………………………………….. 10

MARCO REFERENCIAL…………………………………………………………...... 11

Marco histórico…………..…………………………………………………… 11

Marco conceptual……………………………………………………………… 13

METODOLOGÍA……………………………………………………………………... 38

Tipo de investigación………………………………………………………….. 38 Enfoque de la investigación……………………………………………………. 38 Técnicas de recolección de información……………………………………….. 39 Fases………………………………………………………………………….... 40

ESQUEMA TEMÁTICO……………………………………………………………… 43

PARTICIPANTES EN EL PROYECTO……………………………………………… 44

CRONOGRAMA…………………………………………………………………........ 45

BIBLIOGRAFIA…………………………………………………………………….... 46

ANEXOS…………………………………………………………………………….... 48

INTRODUCCIÓN

El proyecto de investigación tiene como propósito exponer una unidad didáctica que permita orientar a los docentes de matemáticas en el componente académico sobre el proceso de enseñanza y aprendizaje de alumnos que se encuentran en la educación media, con el fin de formar las competencias pertinentes basados en los principales fundamentos de la teoría de grupos.

La característica principal de esta unidad didáctica es que se basa en los tres elementos que componen una situación de aprendizaje, que según Zapata (2008), son: “los resultados de aprendizaje o el contenido (qué se aprende), los procesos (cómo se aprende) y las condiciones de aprendizaje (lo que ha de cumplir una actividad o una situación para que el aprendizaje se produzca).”

La investigación que se realizó para formalizar el instrumento de trabajo que permitiera formar las bases sobre teoría de grupos, parte del interés por acercar a los estudiantes de la educación media, es decir de los grados décimo y undécimo, al álgebra moderna y sus aplicaciones, lo cual se obtiene por medio de la profundización en las definiciones y propiedades del álgebra elemental y abstracta.

PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA

Cuando se analizan los currículos de las diferentes instituciones con respecto a su componente matemático se debe reconocer que, en los últimos años la educación ha logrado una cercanía entre los conceptos y la práctica, es decir, los conceptos abstractos y que requieren de mayor esfuerzo para su entendimiento, se llevan a un contexto donde el estudiante puede vincular ese saber específico en su vida cotidiana o sirve de referencia en el mundo laboral. Pero, si bien se reconoce ese esfuerzo y esa transición aún se requiere de mucha transversalización y aplicabilidad en otras asignaturas o en su día a día. En estos currículos es evidente la profundización en el álgebra clásica, que, si bien es importante como fundamento para todo el desarrollo de los pensamientos matemáticos, existen otras alternativas dentro del mundo de las ciencias exactas los cuales podrían enriquecer los conocimientos previos y futuros de los estudiantes, además de lograr la articulación entre varios campos de la misma matemática, dado que, dentro de los currículos solo se tocan de forma tangencial y no directa. Unas pequeñas nociones de las teorías de conjuntos, números y grupos son parte de la formación académica de las instituciones, pero en la mayoría de casos no cuentan con el reconocimiento y la relación necesaria con las demás ramas de las matemáticas lo que se convierte en un inconveniente en aras de lograr la integralidad al menos dentro del mismo área de estudio. Como muestra de lo anterior, la mayoría de los estudiantes sólo reconocen dentro de las matemáticas la aritmética, álgebra tradicional, la trigonometría, el cálculo, geometría y estadística. Gracias a los fundamentos del álgebra tradicional contamos con los recursos tecnológicos y de comprensión de nuestro entorno, pero esta rama de la matemática antigua ha abierto

camino a una nueva álgebra, conocida como álgebra moderna, la cual se ha convertido en sustento de diferentes y nuevas teorías en la innovación y avance tecnológico. La utilidad del álgebra moderna ha causado interés en diferentes áreas del saber y ha llevado a que encuentren con fascinación que, dentro de las matemáticas, logran no solo el sustento científico puro, si no que les ha permitido solucionar algunas de sus teorías. Por lo tanto, las instituciones que prestan el servicio de la educación media, que no empiecen a implementar el álgebra moderna como asignatura, continuarán atrasadas frente al entendimiento de los nuevos conocimientos matemáticos y por ende en su aplicabilidad.

JUSTIFICACIÓN

En el proceso educativo, el docente está llamado no solo a generar el espacio propicio para el aprendizaje respecto a la construcción de conocimiento sino a crear las condiciones necesarias para que haya una relación significativa entre el qué, cómo y cuándo se aprende. La unidad didáctica logra la integralidad en los conceptos propios de cada una de las áreas analizadas en la media educativa, llevándolos a un escenario de articulación de saberes adquiridos en varias ramas de las matemáticas. El diseño de las guías se torna en una herramienta útil para el estudiante y el docente debido a que están planteadas de tal manera que se parte siempre de lo conocido, dando tiempo para la reflexión y acercándolos a los conceptos y definiciones.

Comúnmente, las aplicaciones de los conceptos se orientan cuando el estudiante ha apropiado el proceso, olvidando el origen y raíces de las bases matemáticas, pues estas siempre buscan darles solución a las situaciones problemas; las actividades de la unidad didáctica retoman y estimulan ese pensamiento a priori permitiendo a los estudiantes explorar, plantear y originar soluciones para posteriormente modelarlas en definiciones, axiomas, teoremas o teorías ya estudiadas o demostradas. De forma directa el módulo de aprendizaje da el reconocimiento a diferentes aristas de las matemáticas aún no reconocidas por los estudiantes, puntualmente las estudiadas en teoría de números, conjuntos y en especial en grupos. Por otro lado, la unidad facilita la función que por esencia tiene la educación: explicar los fenómenos que tienen lugar en el entorno, a través de un proceso sistemático donde interactúan el docente, estudiante, medio y saber.

Los conocimientos y la innovación tecnológica avanzan siendo sujeto de una necesidad de afianzar conceptos ya existentes y de nuevas consideraciones, de ahí la evolución de teorías y aplicaciones de estas; la unidad didáctica incentiva esa transformación en los currículos con propósito de acercarnos a esa nuevas alternativas que la ciencia plantea, evitando el rezago con temáticas que si bien son relevantes, se pueden complementar y en consecuencia el proceso de enseñanza y aprendizaje logra ser mucho más significativo, competitivo y eficiente.

OBJETIVO GENERAL

Integrar conceptos de teoría de grupos con la estructura curricular establecida en el área de matemáticas, mediante una unidad didáctica orientada a la educación media.

OBJETIVOS ESPECÍFICOS

1. Analizar, con base en los lineamientos curriculares, algunos contenidos del área de

matemáticas relacionados con teorías de conjuntos, números y cálculo.

2. Diseñar una unidad didáctica que integre los conocimientos básicos de la teoría de

grupos con el álgebra elemental.

3. Aplicar y evaluar la unidad didáctica en un curso de educación media.

MARCO REFERENCIAL

Marco histórico El álgebra es la rama de las matemáticas que estudia o se centra en las estructuras, cantidades y relaciones. Este marco de estudio posibilita la solución sistemática de ecuaciones en diferentes áreas, por lo cual el álgebra se compone de múltiples ciencias: El álgebra lineal, multilineal, homológica, conmutativa, diferencial, booleana, vectorial, elemental y moderna.

El álgebra elemental puede describir una generalización bajo leyes matemáticas de las operaciones con números, cumpliendo con las propiedades que poseen los procesos aritméticos. Su estudio en la educación media da solución a situaciones problema, pero, además permite la ampliación de estas soluciones a otros cuestionamientos posibilitando nuevas relaciones. Las ecuaciones de análisis algebraico surgen en general de una situación problema, que según Mesa (1998) se define así: “Una situación problema es un espacio de interrogantes frente a los cuales el sujeto está convocado a responder. En el campo de las matemáticas, una situación problema se interpreta como un espacio pedagógico que posibilita tanto la conceptualización como la simbolización y la aplicación comprensiva de algoritmos para plantear y resolver problemas de tipo matemático.”

Estas situaciones juegan un papel relevante en el desarrollo de las diferentes teorías, teoremas, leyes y fundamentos matemáticos dado que estas ciencias surgen para dar respuesta o solución a estas necesidades.

1El álgebra sincopada precede al álgebra simbólica, ya que en esta etapa todavía se usaban algunas expresiones o abreviaturas, por ejemplo, los matemáticos italianos del renacimiento usaban la expresión “la cossa” para referirse a una incógnita.

El álgebra data de hace 4.000 años donde los babilonios y egipcios emplearon métodos para la resolución de situaciones concretas. Antes del álgebra en estas culturas fue de gran interés las mediciones, los cálculos geométricos y el desarrollo de los distintos sistemas de numeración que empleaban enfoques y nociones basadas en la aritmética, lo cual permitió posteriormente el surgimiento de otras áreas de conocimiento matemático. Con un marco aritmético de referencia los babilonios dieron un paso hacia el formalismo matemático creando procesos y soluciones generales para múltiples problemas. Sus avances más significativos se basan en emplear símbolos en lugar de números y con estas variables establecer ecuaciones lineales, cuadráticas e indeterminadas con sus respectivas soluciones dentro del conjunto de los números positivos. Los babilonios lograron articular, extender y clasificar los fundamentos algebraicos en 4 categorías que según Ruiz, son:

● Álgebra simbólica, en el que se manejan símbolos tanto para la incógnita como

para las operaciones y relaciones.

● Álgebra sincopada1, se comenzaron a utilizar símbolos para representar la

incógnita y las operaciones elementales. representada por la Aritmética de Diofanto (s. III d.C.) en que los tratados siguen escritos en idioma vernáculo, pero con algunos términos técnicos escritos mediante abreviaturas.

● Álgebra retórica, en el que todas las expresiones se escribían utilizando la lengua

común. Son los textos de Euclides, Apolonio y Arquímedes, entre otros.

● Álgebra diagramática o álgebra geométrica cuyo origen se remonta, como se

verá más adelante, a la época de Babilonia (entre 2000 y 1600 a. C) y fue dada a conocer por Euclides en el libro II de los Elementos. Se opera con diagramas para obtener resolución de ecuaciones, aunque en el caso de Mesopotamia sólo ha

llegado ha perdurado el texto retórico. Los escritos se redactan en lenguaje ordinario.

Marco conceptual Para el diseño de la unidad didáctica se tuvo como fundamento matemático apartes registrados en algunos textos como: Topología de James R. Munkres, Teoría y problemas de topología general de Seymour Lipschutz, Introducción a la teoría números: ejemplos y algoritmos de Walter Mora, Análisis matemático de Tom Apóstol y, Grupos I: semigrupos y monoides de Carlos Ruiz de Velasco y Bellas; además de revistas registradas en la internet respecto a la temática algebraica a desarrollar.

1. Conjuntos: Se toman las siguientes definiciones:

El concepto de conjunto aparece en todas las ramas de la matemática. Intuitivamente, un conjunto es una lista o colección de objetos bien definidos. Los conjuntos se representan por letras mayúsculas A, B, X, Y, ... Los objetos comprendidos en un conjunto son los elementos del conjunto y se representan por letras minúsculas a, b, x, y, … La proposición “p es un elemento de A” o, equivalentemente “p pertenece a A” se expresa:

𝑝∈𝐴 La negación de 𝑝∈𝐴 se escribe 𝑝∉𝐴.

Son los dos modos de especificar un conjunto particular. Un modo consiste en la numeración efectiva, cuando ello es posible, de sus elementos. Por ejemplo: 𝐴= {𝑎, 𝑒, 𝑖, 𝑜, 𝑢} Denota el conjunto A cuyos elementos son las letras a, e, i, o y u. Obsérvese que los elementos están separados por comas y encerrados en llaves {}. El otro modo

consiste en definir las propiedades que caracterizan los elementos del conjunto. Por ejemplo:

𝐵= {𝑥: 𝑥 𝑒𝑠 𝑢𝑛 𝑒𝑛𝑡𝑒𝑟𝑜, 𝑥 0} que se lee “B es el conjunto de las x tales que x es un entero y x es mayor que cero”, representa el conjunto B cuyos elementos son enteros positivos, se utiliza una letra, generalmente la x, para simbolizar un elemento arbitrario del conjunto; los dos puntos significan “tal que” y la coma significa “y”.

Habitualmente utilizaremos las letras mayúsculas A, B, … para representar conjuntos, y las letras minúsculas para representar objetos o elementos pertenecientes a estos conjuntos. Si un objeto a pertenece a un conjunto A, expresamos este hecho con la notación.

𝑎 ∈𝐴 Si a no pertenece a A, expresaremos esta situación escribiendo 𝑎∉𝐴 Los conjuntos pueden ser finitos o infinitos. Un conjunto es finito cuando consta de n elementos diferentes, considerando a n como un entero positivo; en caso contrario, es un conjunto infinito. En particular, cuando un conjunto consta de un solo elemento recibe el nombre de conjunto unitario.

El símbolo de igualdad “=” se utiliza a lo largo de todo el libro para significar identidad lógica. De modo que cuando escribamos a=b estaremos queriendo decir que “a” y “b” son símbolos para el mismo objeto. Análogamente, la ecuación A=B establece que “A” y “B” son símbolos distintos para el mismo conjunto; esto es, A y B están formado precisamente por los mismos elementos.

Si 𝑎 y 𝑏 son objetos distintos 𝑎 ≠ 𝑏 ; si A y B son conjuntos diferentes, escribiremos A≠B.

Dos conjuntos A y B son iguales, lo que denota A=B, si constan de los mismos elementos, esto es, si todo elemento de A pertenece a B y todo elemento de B pertenece a A. La negación de A=B se escribe A≠B.

Diremos que A es un subconjunto de B si cada elemento de A es también un elemento de B y expresamos este hecho escribiendo 𝐴⊂𝐵 Nada en esta definición impide que A sea diferente de B; de hecho, si A=B, es cierto que A⊂B y que B⊂A. Si A⊂B pero A es distinto de B, diremos que A es un subconjunto propio de B y escribiremos 𝐴⊆𝐵 Las relaciones ⊂ y ⊆ se denominan inclusión e inclusión propia, respectivamente. Si A⊂B, también se escribe B⊂A, y se lee “B contiene a A” Se cumple que dos conjuntos A y B son iguales sii A⊂B y B⊂A. En toda la aplicación de la teoría de los conjuntos que se consideran son subconjuntos de un conjunto determinado. Este conjunto se llama conjunto universal o universo del discurso y se denota por U. Conviene además introducir el concepto de conjunto vacío, esto es un conjunto que no contiene elementos. Este conjunto se representa por Ø, se considera finito y es un subconjunto de cualquier otro conjunto. Así Ø ⊂ 𝐴⊂𝑈.

El conjunto vacío, tal como lo indica su nombre, es el conjunto “que no tiene elementos”. Algunos estudiantes pueden sorprenderse con la noción de “conjunto vacío”. El problema es similar al que surgió cuando se necesitó introducir el número

0. Es simplemente una cuestión formal que simplifica mucho el trabajo en

matemáticas… El conjunto vacío es solamente una convención y las matemáticas seguirían funcionando igual de bien sin la introducción de este concepto. Pero es un convenio adecuado, ya que nos proporciona una muy buena herramienta para trabajar y previene situaciones difíciles a la hora de demostrar determinados resultados.

1.1.Operaciones con conjuntos:

1.1.1. Unión:

Dados dos conjuntos A y b, se puede construir un nuevo conjunto formado por los elementos de A junto con los elementos de B. Este conjunto se llama la unión de A y B y se expresa por 𝐴∪𝐵. Formalmente. se define:

𝐴∪𝐵= {𝑥| 𝑥∈𝐴 𝑜 𝑥∈𝐵} La palabra “o”, en el español ordinario, es ambigua. El enunciado “P o Q” significa algunas veces “P o Q o ambos”, y otras veces quiere decir “P o Q pero no ambos”. En matemáticas no podemos admitir esa ambigüedad. Debemos decidirnos por un significado u otro, pues de lo contrario reinaría la confusión. Los matemáticos han decidido utilizar la palabra “o” con el primer significado, de forma que la frase “P o Q” significa “P o Q o ambos simultáneamente”. Si queremos indicar que “P o Q pero no ambos” entonces debemos incluir explícitamente la frase “pero no ambos”. Con este significado, la ecuación 𝐴∪𝐵 no tiene ninguna ambigüedad; establece que 𝐴∪𝐵está formado por los elementos x que pertenecen ya a A, ya a B, ya a ambos simultáneamente.

La unión de dos conjuntos A y B, que se denota 𝐴∪𝐵, es el conjunto de todos los elementos que pertenecen simultáneamente a A o a B, es decir: 𝐴∪𝐵= {𝑥: 𝑥∈𝐴 𝑜 𝑥∈𝐵}

Aquí se utiliza “o” con el significado de “y/o”.

1.1.2. Intersección:

La intersección entre dos conjuntos A y B, se denota 𝐴∩𝐵, es el conjunto de los elementos que pertenecen simultáneamente a A y a B, es decir:

𝐴 ∩𝐵= {𝑥: 𝑥∈𝐴 𝑦 𝑥∈𝐵}

Si 𝐴 ∩𝐵= Ø, es decir, si A y B no tienen elementos comunes, se dice que A y B son disyuntos.

Dados dos conjuntos A y B, otra forma de construir un nuevo conjunto consiste en tomar la parte común de A y B. Este conjunto se llama conjunto intersección de A y B y se representa por 𝐴 ∩𝐵, Formalmente, se define:

𝐴 ∩ 𝐵= {𝑥| 𝑥∈𝐴 𝑦 𝑥∈𝐵}

Ahora bien, ¿qué ocurre cuando los conjuntos no tienen elementos en común? ¿qué significa entonces el símbolo 𝐴 ∩𝐵? Para hacerle frente a esta situación, se tiene encuenta la definición especial de conjunto vacío. Utilizando esta definición, expresaremos el hecho de que A y B no tengan ningún elemento en común escribiendo:

𝐴 ∩𝐵=Ø.

1.1.3. Complemento relativo:

El complemento relativo de un conjunto B respecto a un conjunto A p, simplemente la diferencia de A y B, se denota A∖B, es el conjunto de los elementos que pertenecen a A pero que no pertenecen a B. Eso es:

𝐴∖𝐵= {𝑥: 𝑥∈𝐴, 𝑥∉𝐵}

obsérvese que 𝐴∖𝐵 y B son disjuntos, es decir, (𝐴∖𝐵) ∩ 𝐵= Ø. Existe otra operación de los conjuntos que, en ocasiones resulta muy útil. se trata de la diferencia de dos conjuntos, que denotamos A-B, y que se define como el conjunto formado por aquellos elementos de A que no pertenecen a B. Formalmente, 𝐴−𝐵= {𝑥| 𝑥∈𝐴 𝑦 𝑥∉𝐵} En ocasiones, también se denomina complemento de B relativo a A, o el complemento de B en A.

1.1.4. Complemento absoluto:

El complemento absoluto o, simplemente, complemento de un conjunto A, que se denota como 𝐴𝑐es el conjunto de los elementos que no pertenecen a A, es decir, 𝐴𝑐= {𝑥: 𝑥∈𝑈, 𝑥∉𝐴} En otras palabras 𝐴𝑐es la diferencia del conjunto universal U y el conjunto A.

2. Divisibilidad:

Los números enteros son el ingrediente principal en teoría de números. En esta sección, establecemos brevemente la notación y el significado de algunos símbolos que se relacionan con los enteros y que serán de amplio uso en el texto. Además, se establecen algunos principios que se usan ampliamente en los argumentos. En lo que sigue, usaremos la siguiente notación:

a.) ℕ= {0, 1, 2, ...} y ℕ+ = {1, 2, ...}.

b.) ℤ+ = {1, 2, ...} = ℕ+ c.) ℝ+ = {x ∈ ℝ : x > 0}.

2.1.Principio del Buen Orden:

Todo conjunto no vacío de números naturales contiene un elemento mínimo. En particular, si SZ y si S tiene al menos un elemento positivo, entonces S tiene un entero positivo mínimo.

2.2.Principio del palomar:

Si k es un entero positivo y k + 1 o más objetos son asignados a k cajas, entonces hay al menos alguna caja a la que se le asignaron dos o más objetos.

2.3.Principio de Inclusión-Exclusión:

Sean A y B dos conjuntos finitos. Entonces |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B| Históricamente, el primer ejemplo que se conoce en el que se usó inducción matemática aparece en el libro “Arithmeticorum Libri Duo” de Francesco Maurolico (1494-1575). En este libro, entre otras cosas, Maurolico presenta gran variedad de propiedades de los enteros y las pruebas de estas propiedades. Para las demostraciones, él planteó el método de inducción matemática. La primera vez que se usa el método, es para probar que la suma de los primeros n enteros impares es n2. El nombre “inducción matemática”, lo usó por primera vez el matemático inglés John Wallis.

Sean a, b enteros con 𝑏≠0. Decimos que b divide a a si existe un entero c tal que a = bc. Si b divide a a escribimos b|a Sean a, b, d, p, q ∈ Z.

a.) Si d|a y d|b entonces d| (ax + by) para cualquier x, y ∈ ℤ

b.) Si d| (p + q) y d|p ⇒ d|q.

c.) Si a, b ∈ Z+ y b|a ⇒𝑎≥𝑏 d.) Si a|b, entonces a|mb, con m ∈ ℤ.

e.) Si a, b ∈ ℤ, a|b y b|a ⇒ |a| = |b|

2.4.Algoritmo de la división:

Si la división no es exacta, no todo está perdido: Como hacíamos en la escuela, la división de a por b la podemos expresar como un cociente y un resto. Por ejemplo, la división de 23 por 3 es 7 y queda un resto r=2, es decir, 23 = 7*3 + 2. Gráficamente,

Sean a, b ∈ ℤ con 𝑏≠0. Existen q, r ∈ Z únicos tales que a = bq + r con 0 ≤𝑟< |𝑏|

2.5.Congruencias módulo m:

Recordemos que estábamos usando ‘ r = a mod m ’ para indicar el resto (en el teorema de la di- al dividir por m, es decir si a mod m = b mod m. Como a = qm + a mod m y b = qm + b mod m visión) de dividir a por m. Dos números son congruentes módulo m si dejan el mismo residuo entonces 𝑚 | (𝑏−𝑎). Todos los números son congruentes módulo m = 1. Si usamos m = 2, los pares son congruentes con los pares (resto 0 módulo 2) y los impares con los impares (resto 1 módulo 2). En general, la idea es ‘agrupar’ los números según el residuo que dejan

al dividir por m. Estos subconjuntos constituyen una partición de Z de tal manera que podemos trabajar no con todo Z sino con un grupo de representantes. Sea m ∈ ℤ, m ≥1. Decimos que a es congruente con b módulo m si 𝑚 | (𝑏−𝑎). Escribimos 𝑎 ≡𝑏 (𝑚𝑜𝑑 𝑚)

Teorema: Si 𝑎 ≡𝑏 (𝑚𝑜𝑑 𝑚) se tiene que:

(i) 𝑏−𝑎 ≡0 (𝑚𝑜𝑑 𝑚) (ii) a = mk + b, para algún k ∈ ℤ (iii) a mod m = b mod m Un cuadrado mágico es un arreglo de n × n números en el que la suma de las entradas de cada fila o columna siempre es la misma. Por ejemplo, consideremos el cuadrado mágico 3×3.

[

4

2

6

0

7

5

8

3

1

], tanto filas como columnas suman 12.

En la actualidad hay varios métodos para construir cuadrados mágicos. En 1693, se publicó el libro Una nueva relación histórica del reino de Siam, escrito por Simon De La Loubère, donde describe un método para construir cuadrados mágicos para cualquier n impar, el método es llamado el “Método Siamés”. En 1929 D.N. Lehmer investigó, por medio de congruencias, una generalización de este método. El resultado es una manera sencilla de colocar los números 0, 1, … , 𝑛2 −1 en un arreglo 𝑛× 𝑛 de tal manera que sea un cuadrado mágico. Este método, llamado método del “paso uniforme”, calcula la entrada (i, j), usando congruencias, en la que se debe colocar cada uno de los números 𝑘= 0, 1, … , 𝑛2 −1 para que el arreglo resulte “mágico”.

La relación “congruente módulo m”, denotada por brevedad con “≡𝑚”, se define así: 𝑎≡𝑏 (𝑚𝑜𝑑 𝑚) ⟺𝑚 | (𝑏−𝑎) La relación “≡𝑚” es una relación de equivalencia, es decir, particiona ℤ en clases (de equivalencia.) El conjunto cociente “ℤ≡𝑚 ⁄ ”, es el conjunto de clases de equivalencia.

También se usa la notación ℤℤ𝑚 ⁄ o ℤ𝑚. Denotamos con a la clase cuyo representante es a, es decir, En ℤ𝑚, a = {b ∈ ℤ : 𝑎≡𝑏 (𝑚𝑜𝑑 𝑚)}. En particular, 0 = m. Si a ∈ Z y a = mk + r con 0 ≤𝑟< 𝑚, entonces 𝑎 ≡𝑏 (𝑚𝑜𝑑 𝑚). Entonces es natural tomar como representante de clase los residuos positivos más pequeños, es decir 𝑎= 𝑎 𝑚𝑜𝑑 𝑚 (recordemos que 𝑎 𝑚𝑜𝑑 𝑚 denota el más pequeño residuo ≥0 de dividir a por m).

2.6.Suma y producto en Zm Ahora nos interesa ver Zm desde el punto de vista de su estructura algebraica. Esto no solo nos permite usar un lenguaje común, sino que también nos permite usar resultados generales de la teoría de grupos, por ejemplo. Podemos definir operaciones de suma y producto en Zm de la siguiente manera: a + b= (a+b) mod m i.e. a + b es el resto de dividir a + b por m a * b= (a*b) mod m i.e. a * b es el resto de dividir a * b por m Teorema: en Zm, a.) a es una unidad si y solo si mcd (a, m) = 1; b.) a es divisor de cero si y solo si 1 < mcd (a, m) < m.

3. Par ordenado- relaciones y funciones:

3.1.Par ordenado:

Dados dos conjuntos A y B, se llama conjunto producto de A y B, y se presentar por AxB, al conjunto de todos los pares ordenados <a, b>, donde 𝑎∈𝐴 𝑦 𝑏∈𝐵, es decir, 𝐴× 𝐵= {< 𝑎, 𝑏> : 𝑎∈𝐴, 𝑏∈𝐵} El producto de un conjunto con sí mismo, digamos A×A, se denota 𝐴2. La noción de “par ordenado”, <a, b>, se define rigurosamente por <a, b> = {|a|, |a, b|} A partir de esta definición, se puede probar la propiedad de “orden”. <a, b>= <c, d> implica a=c y b=d Existe todavía otra forma de construir nuevos conjuntos a partir de unos dados; lleva implícita la noción de un “par ordenado” de objetos. Cuando estudiamos en geometría analítica, de lo primero que nos convencemos es de que tenemos que elegir un eje de x y un eje de y en el plano. Así, cada punto del plano se corresponde de manera única con un par ordenado (x, y) de números reales (de hecho, cuando se estudia geometría de manera más profunda, el plano se define como el conjunto de pares ordenados de los números reales).

La noción de par ordenado se puede generalizar al caso de los conjuntos. Dados dos conjuntos A y B, definimos su producto cartesiano A×B como el conjunto de todos los pares ordenados (a, b) para los cuales a es un elemento de A y b es un elemento de B. Formalmente,

𝐴× 𝐵= {(𝑎, 𝑏)| 𝑎∈𝐴 𝑦 𝑏∈𝐵}

Esta definición supone que el conjunto de “par ordenado” ya es conocido. Puede considerarse aquí de modo intuitivo, como la noción de “conjunto”, o puede expresarse como una definición en términos de operaciones de conjuntos ya introducidas. Esta última sería la ecuación.

(a, b) = { |a|, |a, b|} Se define el par ordenado (a, b) como una colección de conjuntos. Si a ≠ b, esta definición nos dice que (a, b) es una colección de los conjuntos, uno de los cuales es un conjunto unipuntual y el otro es un conjunto de dos elementos. La primera coordenada del par ordenado se define como el único elemento que pertenece a ambos conjuntos, y la segunda coordenada como el elemento que pertenece sólo a un conjunto {a}, ya que {a, a} ={a} en este caso. Su primera y segunda coordenada son ambas iguales y coinciden con el elemento de este único conjunto. En honor a la verdad, hay que decir que la mayoría de los matemáticos piensan en un par ordenado como un concepto primitivo más bien que no como una colección de conjuntos.

3.2.Relación:

Una relación binaria (o relación) 𝑅 entre un conjunto A y un conjunto B asocia a cada par < 𝑎, 𝑏> de A×B sólo una de las proposiciones siguientes: (i) “𝑎 está relacionado con 𝑏”, lo que se expresa por 𝑎 𝑅 𝑏. (ii) “𝑎 no está relacionado con 𝑏”, lo que se expresa por 𝑎 𝑅 𝑏. Una relación entre un conjunto A y el mismo conjunto A es una relación en A.

Una Relación 𝑅 entre A y B es un subconjunto de A×B. El dominio de una relación 𝑅 entre A y B es el conjunto de los primeros elementos de los pares ordenados de 𝑅 y el dominio de las imágenes es el conjunto de los segundos elementos, es decir: Dominio de 𝑅= {𝑎: < 𝑎, 𝑏>∈𝑅} Dominio de las imágenes de 𝑅= {𝑏: < 𝑎, 𝑏>∈𝑅} La inversa de R, denotada 𝑅−1, es la relación entre B y A definida por: 𝑅−1 = {< 𝑏, 𝑎>: < 𝑎, 𝑏>∈𝑅} Una relación en un conjunto A es un subconjunto C del producto cartesiano A×A. Si C es una relación en A, usamos la notación xCy para expresar lo mismo que (x, y) ∈ C. Se leerá “x está en la relación C con y” una relación de equivalencias en un conjunto A es una relación C que verifica las siguientes tres propiedades:

(1) (Reflexividad) xCx para todo x∈ A.

(2) (Simetría) si xCy, entonces yCx.

(3) (Transitividad) si xCy e yCz, entonces xCz.

3.3.Función:

Si a cada elemento de un conjunto A se le hace corresponder un único elemento de un conjunto B, se dice que el conjunto f de tales asociaciones es una función (o aplicación) de A en B y se denota por:

𝑓: 𝐴→𝐵 o 𝐴 𝑓→ 𝐵 El único elemento de B que, por la función f, le corresponde a 𝑎∈𝐴 se representa por f(a) y se llama valor de f en a o, también, imagen de a por f, el codominio es B, A toda función, 𝑓: 𝐴→𝐵 le corresponde en A×B una relación definida por: {< 𝑎, 𝑓(𝑎) >: 𝑎∈𝐴}

Este es el grafo de f. El dominio de imágenes o dominio de valores de f, denotado por f[A], es el conjunto de las imágenes, es decir, f[A]=|f(a): a∈A| Se define que dos funciones f: A→B y g: A→B son iguales, y se expresa f: =g, sii f(a)=g(a) para todo 𝑎∈𝐴, i.e sii tienen el mismo grafo. En consecuencia, no se hace distinción entre una función y su grafo. Un subconjunto f de 𝐴× 𝐵, i.e. una relación entre A y b, es una función sii posee la siguiente propiedad:

[F] Todo 𝑎∈𝐴 aparece como primer elemento de sólo un par ordenado < 𝑎, 𝑏> de f. La negación de f=g se escribe f≠g y corresponde a la proposición: ∃𝑎∈𝐴 tal que f(a)≠g(a).

Una regla de asignación es un subconjunto r del conjunto cartesiano 𝐶× 𝐷 de dos conjuntos, con la propiedad de que cada elemento de C aparece como la primea coordenada de a a lo sumo un par ordenado de r.

Así, un conjunto r de 𝐶× 𝐷 es una regla de asignación si:

[(𝑐, 𝑑) ∈𝑟 𝑦 (𝑐, 𝑑′) ∈𝑟] ⇒[𝑑= 𝑑′] Una función f es una regla de asignación r, junto con un conjunto B que contiene al conjunto imagen de r. El dominio A de la regla r también se llama el dominio de la función f, el conjunto imagen de r también se llama el conjunto imagen de f, y el conjunto B se llama el rango de f.

Si f es una función con dominio A y rango B, expresamos este hecho escribiendo: f: A→B Que se lee “f es una función de A a B”, o simplemente “f aplica A en B”. Algunas veces se visualiza f como una transformación geométrica que físicamente lleva los puntos de A en puntos de B.

Si f:A→B y si a es un elemento de A, representado por f(a) el único elemento de B que la regla que determina f asigna a a; se llama el valor de f en a, o a veces la imagen de a por

f. Formalmente, si r es la regla de la función f, entonces f(a) representa lo único elemento

de B tal que (a,f(a)) ∈ 𝑟.

3.3.1. Funciones inyectivas, sobreyectivas, biyectivas y compuestas:

Una función f: A→B es inyectiva (o uno-a-uno) si elementos distintos de A tienen imágenes distintas, es decir, si f(a)=f(a’) ⇒ a=a’ Una función f: A→B es sobreyectiva (o sobre) si todo b∈B es imagen de algún a∈A, esto es, si b∈B ⇒ ∃a∈𝐴 tal que f(a)=b.

De donde, si f es sobreyectiva, f[A]=B.

Si una función es simultáneamente inyectiva y sobreyectiva, se dice que es biyectiva. Se dice que una función f: A→B es inyectiva (o uno-a-uno) si para cada par de puntos distintos de A, sus imágenes por f son distintas. Se dice que es sobreyectiva (o que f aplica A sobre B) si cada elemento de B es la imagen por la función f de algún elemento de A. Si f es la vez inyectiva y sobreyectiva, se dice que es biyectiva (o se llama correspondencia uno-a-uno).

Más formalmente, f es inyectiva si [f(a)=f(a’)]⇒[a=a’] y f es sobreyectiva si [b∈B]⇒[b=f(a) para al menos un a∈A]

Dadas las funciones f: A→B y g: B→C, definimos la composición g ∘ f de f y g como la función g ∘ f: A→C definida por la ecuación (g ∘ f) (a)=g(f(a)). Formalmente, g ∘ f: A→C es una función cuya regla es {(a, c) | para algún b∈B, f(a)=b y g(b)=c}.

4. Grupos

4.1.Operación binaria:

Una operación binaria interna en un conjunto X es una aplicación 𝑓: 𝑋× 𝑋→𝑋 Para abreviar se dirá “operación” en lugar de “operación binaria interna”, siempre que no haya riesgo de confusión. Cuando una aplicación f se considere como una operación en X, la imagen f ((x1, x2)) de cada par (x1, x2) ∈ X × X se escribe (según los casos) de alguna de las formas x1.x2, x1x2, x1 + x2, x1 ∗ x2, x1 ∘ x2, ...

En las dos primeras se dice que la notación es multiplicativa y en la tercera se dice que la notación es aditiva.

Una operación ∗ en un conjunto X es asociativa si: x1 ∗ (x2 ∗ x3) = (x1 ∗ x2) ∗ x3, para todo x1, x2, x3 ∈ X Una operación ∗ en un conjunto X es conmutativa si x1 ∗ x2 = x2 ∗ x1, para todo x1, x2 ∈ X Cuando se usa notación aditiva, se supone que la operación es conmutativa y que, por tanto, x1+x2 = x2+x1, para todo x1, x2 ∈ X.

Una operación ∗ en un conjunto X posee elemento unidad (elemento neutro) si hay un elemento e ∈ X que cumpla:

x ∗ e = x = e ∗ x, para todo x ∈ X Si la notación es aditiva, se dice “elemento neutro” y si es multiplicativa (o, en general, no aditiva) se dice “elemento unidad”. Nótese que en la definición se exige que e sea un elemento del conjunto X.

4.2.Semigrupos y monoides:

Un semigrupo es un par S = (S, ∗) formado por un conjunto (no vacío) S y una operación ∗ en S asociativa. Un semigrupo conmutativo o abeliano es un semigrupo en el que la operación es conmutativa.

Un monoide es un semigrupo M = (M, ∗) con elemento unidad. Explícitamente: Un monoide es un par M = (M, ) donde M es un conjunto y es una operación en M tales que:

1. a ∗ (b ∗ c) = (a ∗ b) ∗ c, para todo a, b, c ∈ M.

2. Hay un elemento e ∈ M tal que a ∗ e = a = e ∗ a para todo a ∈ M.

Un monoide M = (M, ∗) en el que la operación es conmutativa: a ∗ b = b ∗ a, para todo a, b ∈ M, Se denomina monoide conmutativo o abeliano.

Un elemento u de un monoide M = (M, ∗) es una unidad si hay un elemento v ∈ M tal que:

u ∗ v = e = v ∗ u, Donde e es el elemento unidad de M.

Debe ponerse especial atención con el fin de no confundir el elemento unidad, e, de un monoide M con una unidad de M. Dado que en todo monoide M se verifica e ∗ e = e, el elemento unidad de M es una unidad de M.

4.3.Grupo:

Un grupo es un par G = (G, ∗) donde G es un conjunto y “∗” es una operación en G : G × G → G (a, b)↦a∗ b tales que se cumplan las condiciones siguientes (los axiomas de grupo):

1. La operación es asociativa:

a∗ (b∗c) = (a∗b) ∗c, para todo a, b, c ∈ G.

2. Hay un elemento e ∈ G tal que:

a∗e = a = e∗a, para todo a ∈ G.

Para cada a ∈ G hay un elemento aj ∈ G tal que:

a∗aj = e = aj∗a.

Dos elementos a y b de un grupo conmutan si a∗b = b∗a. Un grupo G es conmutativo o abeliano si todo par de elementos de él conmutan. Si el conjunto G es finito, entonces se dice que el grupo G es finito y se denota por |𝐺| el número de elementos de G; en otro caso se dice que el grupo G es infinito y se pone |𝐺| = ∞. En todo grupo se cumplen las siguientes propiedades elementales, derivadas directamente de la definición de grupo:

Sea G = (G, .) un grupo.

1. Si e, ej son elementos de G tales que a∗e = a = e∗a, para todo a ∈ G, y a∗ej = a = ej∗a,

para todo a ∈ G, entonces ej = e.

En consecuencia, el elemento e del axioma 2 de la definición de grupo es único; se dice que e es el elemento unidad del grupo G, y se pone, habitualmente, e = 1 si se utiliza notación multiplicativa; [se pone e = 0 si la notación es aditiva, en cuyo caso 0 se denomina el elemento neutro o cero del grupo].

2. Sea a un elemento de G, si a’, a’’ son elementos de G tales que

a∗a’= e = a’∗a, y a∗a’’ = e = a’’∗a, Entonces a’ = a’’. En consecuencia, dado a∈ G, el elemento a’ del axioma 3 de la definición de grupo es único; se dice que a’ es el elemento inverso de a y se pone, habitualmente, a’ = a−1 si la notación es multiplicativa; [si la notación usada es aditiva entonces se escribe a’ = -a y se dice que -a es el opuesto de a].

4.4.Grupo Abeliano:

(G, ∗) es un grupo abeliano con respecto a la operación si:

1. (G, ∗) es un grupo.

2. (G, ∗) tiene la propiedad conmutativa.

4.5.Homomorfismo:

Sea la función 𝑓: 𝐺1 →𝐺2, donde (𝐺1, ∗), (𝐺2,@) son su operación ∗ y @, respectivamente.

f se dice homomorfismo de grupos si se cumple que:

∀𝑎, 𝑏 ∈ 𝐺1,𝑓(𝑎∗𝑏) = 𝑓(𝑎) @ 𝑓(𝑏).

4.5.1. Monomorfismo:

Si f es inyectiva (uno-a-uno), entonces se dice que f es un monomorfismo.

4.5.2. Epimorfismo:

Si f es sobreyectiva, entonces se dice que f es un epimorfismo.

4.5.3. Isomorfismo:

Si f es biyectiva, entonces se dice que f es un isomorfismo.

METODOLOGÍA

En esta sección se describe la metodología que se emplea para diseñar e implementar la unidad didáctica de teoría de grupos en la educación media, tomando como punto de partida el tipo de investigación y estableciendo las diferentes etapas del proceso de aplicación de las unidades didácticas.

Tipo de investigación La propuesta de generar una unidad didáctica sobre teoría de grupos en la educación media es una investigación aplicada de tipo exploratorio, ya que plantea modificar el contenido que se orienta en el sistema educativo colombiano y es un tema que se ha abordado en pocas ocasiones cuando se formulan investigaciones referentes a los lineamientos curriculares en el sector educativo del territorio nacional.

Enfoque de la investigación El enfoque de la investigación es de carácter cualitativo, ya que la primera fase de la misma consiste en realizar una prueba diagnóstica sobre los conocimientos que tienen los estudiantes de la Institución Educativa Sur Occidente de Pereira sobre teoría de conjuntos, de números y cálculo. Luego, a partir de los resultados obtenidos se completa el contenido de las guías que conforman la unidad didáctica de teoría de grupos. Es decir que la recolección y el análisis de los datos precede a la elaboración del módulo de aprendizaje.

Técnicas de recolección de información El primer instrumento es el plan de área de matemáticas facilitado por la Institución Educativa Sur Occidente de Pereira.

El segundo instrumento es la prueba diagnóstica aplicada a los estudiantes del curso, donde se evalúan los conocimientos previos sobre teoría de conjuntos, de números y cálculo, por medio de un documento escrito y cuyas preguntas están relacionadas con el contenido de los planes de área proporcionados por la institución. El tercer instrumento son las guías de la unidad didáctica que contiene diversas actividades enfocadas en fortalecer y ampliar las definiciones sobre teoría de conjuntos, de números, cálculo y teoría de grupos.

El cuarto instrumento es la observación de los educandos, donde se analiza el componente procedimental y actitudinal de aprendizaje durante el trabajo de la unidad didáctica. Este instrumento se divide en dos partes según la interacción con los estudiantes: participante, ya que uno de los investigadores se comunica con ellos; no participante, ya que el otro investigador registra el comportamiento de los estudiantes durante las sesiones de los cuatro capítulos manteniéndose al margen de las actividades.

El quinto instrumento es la evaluación final, que consiste en un documento escrito que debe ser completado por los estudiantes de forma individual, donde se condensan los temas de los diferentes capítulos.

El sexto instrumento corresponde a los recursos didácticos, que según Mattos (1963) son los medios materiales de que se dispone para conducir el aprendizaje de los estudiantes, los cuales son usados durante diversas sesiones de la investigación.

Fases El proyecto sobre la unidad didáctica de teoría de grupos en educación media, se llevará a cabo en cinco fases:

Fase 1: Reconocimiento de la muestra.

La muestra se encuentra conformada por los estudiantes de grado undécimo matriculados en la Institución Educativa Sur Occidente de Pereira, con los cuales se completarán diez sesiones (un periodo académico) para cumplir con la etapa de recolección de información en la investigación.

Fase 2: Evaluación conceptual de diagnóstico.

En el mes de enero del 2020, durante la segunda semana del primer periodo académico, se realiza una evaluación diagnóstica donde se obtiene información sobre los conocimientos previos que poseen los estudiantes sobre los temas de conjuntos, el algoritmo de la división y funciones.

La prueba diagnóstica se realizó por medio de la plataforma Google Forms donde se formularon preguntas de respuesta abierta, ya que la intención fue evaluar las capacidades de orden superior sobre el contenido anteriormente mencionado. Esto se desarrolla durante la primera sesión.

Fase 3: Diseño y aplicación de la unidad didáctica.

Tomando como base de referencia los datos obtenidos en la evaluación diagnóstica, los estándares básicos de competencia, los derechos básicos de aprendizaje (expedidos por el Ministerio de Educación Nacional), el plan de área de la Institución Educativa Sur Occidente de Pereira, teoría y problemas de topología general de , introducción a la teoría

de números, grupos I. semigrupos y monoides, se diseñan cuatro capítulos que conforman la unidad didáctica de teoría de grupos en educación media, los cuales permiten integrar las diferentes áreas de las matemáticas, así:

➢ El capítulo I se enfoca en la teoría de conjuntos.

➢ El capítulo II se enfoca en la teoría de números.

➢ El capítulo III se enfoca en cálculo.

➢ El capítulo IV se enfoca en la teoría de grupos.

Cada capítulo presenta diferentes actividades que permiten atravesar las diversas situaciones del proceso de enseñanza y aprendizaje, para cada definición matemática. La primera propuesta de cada subtema se denomina situación de acción ya que, según Guy Brousseau, le permite al estudiante plantear una hipótesis, formular y aplicar una estrategia de solución. Las actividades posteriores les permiten intercambiar ideas, proponer diferentes métodos de solución, exponerlos frente al grupo, analizar y evaluar los aportes de los compañeros, es decir que se encuentran ante una situación de comunicación y validación. Finalmente, se estipula la situación de institucionalización, donde se formaliza la definición matemática que corresponda. Cada capítulo de la unidad didáctica abarca dos sesiones, donde uno de los encargados del proyecto orienta a los estudiantes con respecto a las labores que debe cumplir y las definiciones presentadas, mientras que el otro encargado realiza una observación externa, sin intervenir en el proceso educativo.

Fase 4: Evaluación sumativa.

En la última sesión, después de haber finalizado los cuatro capítulos de la unidad didáctica, se propone una evaluación final o sumativa que permite obtener información

sobre el proceso de enseñanza y aprendizaje, enfocada en el componente conceptual de las guías desarrolladas.

Esta actividad se aplica por medio de un documento escrito que contiene preguntas cerradas, con el fin de evaluar la comprensión que los estudiantes tienen sobre el contenido desarrollado en las sesiones anteriores.

Fase 5: Análisis de los resultados.

En esta etapa se realizará el análisis de los datos obtenidos en las diferentes técnicas de recolección, usadas durante todo el proceso de la investigación, lo que permite validar la viabilidad de la unidad didáctica de teoría de grupos en educación media.

ESQUEMA TEMÁTICO

Para el desarrollo de la unidad didáctica se tiene como propuesta el manejo de cuatro capítulos.

Capítulo I: En esta primera instancia se toma como referente los conjuntos. Se define que es un conjunto, se exponen los principales tipos de conjuntos, sus características principales, relaciones y operaciones entre conjuntos. (Ver anexo 1) Capítulo II: La referencia de este capítulo es el algoritmo de la división. Se abarca división, congruencias y clases residuales módulo m, operaciones entre clases residuales y las tablas de Cayley. (Ver anexo 2) Capítulo III: Para este tercer capítulo se toman las relaciones y funciones, partiendo de la definición de par ordenado, producto cartesiano, relación, función y las clases de funciones. (Ver anexo 3) Capítulo IV: En este cuarto capítulo se llega a grupos, se establece la operación binaria, semigrupo, monoide, grupo, grupo abeliano, monomorfismo, isomorfismo y epimorfismos. (Ver anexo 4)

PARTICIPANTES EN EL PROYECTO

Los estudiantes que desarrollan el anteproyecto y en consecuencia el proyecto desde la concepción de la idea, planeación, investigación, aplicación y presentación son los estudiantes Kelly Vanesa Peña Rodríguez y Richard Sebastián Jaramillo Quintero. El director del proyecto el Magister Julián Guzmán Baena.

CRONOGRAMA

El diagrama de Gantt de este proyecto, muestra el cronograma de cada una de las tareas que se ejecutan para completar la investigación.

BIBLIOGRAFÍA

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http://aprende.colombiaaprende.edu.co/sites/default/files/naspublic/DBA_Matem%C3% A1ticas.pdf

ANEXOS

Anexo 1: Primer capítulo de la unidad didáctica.

Anexo 2: Segundo capítulo de la unidad didáctica.

Anexo 3: Tercer capítulo de la unidad didáctica.

Anexo 4: Cuarto capítulo de la unidad didáctica.