Maestría en Matemática · 2026

Problema isorperimétrico en el plano aplicando geometría integral

En este trabajo se estudia el problema isoperimétrico en el plano mediante herramientas de la geometría diferencial, la geometría integral y el cálculo variacional. Se presenta, en primer lugar, un hito histórico que permite situar el problema dentro del desarrollo de la geometría y comprender cómo sus distintas formulaciones y demostraciones han sido refinadas a lo largo del tiempo, hasta consolidarse en su formulación clásica conocida como el teorema isoperimétrico. El eje central del trabajo se desarrolla desde la geometría integral plana, mediante el análisis de la función soporte, la medida cinemática y las ecuaciones de Poincaré y Blaschke. A partir de estas herramientas, se expone una demostración de la desigualdad isoperimétrica basada en conceptos de la geometría integral y se estudia el refinamiento de Bonnesen de la desigualdad isoperimétrica. De manera complementaria, se examinan otros enfoques relevantes presentes en la literatura, como la demostración de Schmidt, basada en el teorema de Green, y la demostración variacional de Weierstrass, apoyada en resultados fundamentales del cálculo de variaciones. El principal aporte de este trabajo consiste en ofrecer una exposición y comparación de resultados y demostraciones presentes en la literatura, con el fin de ofrecer una comprensión más clara y estructurada de los conceptos. En este sentido, el trabajo articula distintos enfoques del problema isoperimétrico para resaltar sus conexiones, alcances y fundamentos matemáticos. Finalmente, se introduce el método directo del cálculo variacional como una perspectiva general, que amplía el alcance del estudio y abre posibilidades para futuros desarrollos en esta línea de investigación.