Maestría en Matemática · 2026

Análisis de la estabilidad local y global soluciones periódicas y dinámicas no lineal en el modelo oscilatorio de una masa conectada a un alambre elástico

Este trabajo de grado estudia un oscilador no lineal de segundo orden con fuerza restauradora saturable suave, amortiguamiento lineal y forzamiento periódico. El modelo se caracteriza porque su componente saturable se estabiliza para grandes desplazamientos, mientras que la fuerza restauradora total mantiene un crecimiento asintóticamente lineal. Esta combinación lo sitúa fuera del marco de los osciladores polinómicos clásicos y genera una reorganización global del retrato de fase. En una primera etapa se analiza el sistema conservativo. Se demuestra que, al cruzar el umbral crítico α=1, el equilibrio trivial pierde estabilidad y emerge una estructura energética de doble pozo. Asimismo, se caracteriza de manera explícita una órbita homoclínica que actúa como separatriz y organiza la dinámica global del sistema. Posteriormente se estudia el efecto de perturbaciones periódicas de pequeña amplitud sobre dicha estructura homoclínica. Mediante la aplicación del método de Melnikov, se obtienen umbrales analíticos explícitos que garantizan la ruptura transversal de la separatriz, evidenciando la aparición de comportamientos dinámicos más complejos. Finalmente, se aborda el problema de la existencia de soluciones periódicas forzadas. Para ello, se emplea el método de sub- y supersoluciones, tanto con pares bien ordenados como de orden invertido, reformulando el problema como una ecuación de punto fijo para un operador compacto. A través de la teoría del grado de Leray–Schauder, se establecen condiciones suficientes de existencia, no existencia y multiplicidad de soluciones T-periódicas. Los resultados teóricos se complementan con validaciones numéricas basadas en el método de shooting y el análisis de los multiplicadores de Floquet.