Maestría en Matemáticas · 2026

Métodos numéricos de elementos virtuales para problemas de valores propios

Resumen

En esta tesis se estudian métodos numéricos basados en el Método de Elementos Virtuales (VEM) para la aproximación de problemas de valores propios asociados al modelo de Brinkman, el cual describe el flujo de fluidos en medios porosos y presenta importantes aplicaciones en mecánica de fluidos y problemas de ingeniería. El trabajo se enfoca en el desarrollo de formulaciones mixtas adecuadas que permiten caracterizar el espectro del problema continuo y establecer un marco teórico sólido para su aproximación numérica. Inicialmente, se presentan los fundamentos matemáticos necesarios, incluyendo resultados relacionados con espacios de Hilbert, operadores lineales, teoría espectral y espacios de Sobolev, que permiten formular rigurosamente el problema y analizar sus propiedades de existencia y unicidad. Posteriormente, se introduce la formulación mixta del problema de Brinkman y se construyen espacios discretos basados en el Método de Elementos Virtuales, definiendo las correspondientes formas bilineales discretas y sus propiedades fundamentales, tales como acotación, coercividad y estabilidad mediante la condición inf-sup. Además, se establece la formulación espectral del problema y se analiza la convergencia del método, obteniendo estimaciones de error para los valores propios y las autofunciones aproximadas. Finalmente, se presentan diversos experimentos numéricos que permiten validar los resultados teóricos y evidencian la eficiencia y precisión del método propuesto. Los resultados obtenidos confirman que el Método de Elementos Virtuales constituye una herramienta robusta y flexible para la aproximación numérica de problemas espectrales asociados al modelo de Brinkman, ofreciendo una alternativa efectiva frente a métodos clásicos en el análisis numérico de ecuaciones diferenciales parciales.