LICENCIATURA EN MATEMÁTICA Y FÍSICA · 2024
Los ideales y los retículos de Dedekind en la génesis del álgebra moderna : una visión histórico-epistemológica
En este trabajo de grado se realiza un análisis de orden histórico-epistemológico acerca de cómo las nociones de ideal y retículo propuestas por Richard Dedekind gestan los primeros desarrollos que dan paso a la estructuración del algebra. Se inicia identificando el estado de la matemática de la época, luego se exponen las obras más representativas de Dedekind, posterior a esto se expone el problema principal por el cual surge la necesidad de incorporar nuevos dominios numéricos que dan paso a la definición de ideal, para finalmente presentar los elementos que construyen el concepto de lattice o retículo. También se expone la relación entre estos dos grandes conceptos en el camino hacia un estructuralismo que luego caracterizará las matemáticas del siglo XX.
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Contenido
- AGRADECIMIENTOS:p. 3
- RESUMENp. 4
- ABSTRACTp. 4
- ÍNDICE DE TABLASp. 7
- ÍNDICE DE FIGURASp. 8
- INTRODUCCIÓNp. 10
- CAPÍTULO 1p. 14
- DEDEKIND Y LA EMERGENCIA DEL ESTRUCTURALISMO EN MATEMÁTICASp. 14
- 1.1 ALGUNOS APORTES DE DEDEKIND AL NACIENTE ESTRUCTURALISMO MATEMÁTICOp. 16
- 1.2 DEDEKIND Y LA CONSTRUCCIÓN DE LOS REALESp. 19
- 1.3 DEDEKIND Y LA ESTRUCTURA DE LOS NÚMEROS NATURALESp. 22
- CAPÍTULO 2p. 31
- EL GERMEN DE LA TEORÍA DE LOS IDEALES DE DEDEKINDp. 31
- 2.1 CONCEPTOS BÁSICOS DE LA TEORÍA DE IDEALESp. 31
- 2.1.1 Anillo, cuerpo y dominio de integridadp. 35
- 2.1.2 El concepto de Idealp. 38
- 2.2 LOS IDEALES DE DEDEKIND: BREVE CONTEXTUALIZACIÓN HISTÓRICAp. 40
- 2.2.1 Los números enteros complejos de Gaussp. 45
- 2.2.2 Otra generalización de los enteros racionalesp. 52
- CAPÍTULO 3p. 57
- UNA MIRADA A LA TEORÍA DE RETÍCULOS DE DEDEKINDp. 57
- 3.1 NOCIONES BÁSICAS DE LA TEORÍA DE RETÍCULOSp. 57
- 3.1.1 Definición de retículo y algunos ejemplosp. 65
- 3.1.2 Retículo algebraicop. 78
- 3.1.3 Retículo distributivo y modularp. 84
- 3.2 LA TEORÍA DE RETÍCULOS DE DEDEKIND: BREVE CONTEXTUALIZACIÓN HISTÓRICAp. 92
- CONCLUSIONESp. 98
- REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICASp. 103
- Tabla 1 Doble entrada para el ínfimop. 68
- Tabla 2 Doble entrada para el Supremop. 69
- Tabla 3 Doble Entrada para el Supremo, Completap. 70
- Tabla 4 Doble Entrada para el Ínfimo, Completap. 70
- Tabla 5 Verificación de Simetría Respecto a la Diagonal para el Ínfimop. 71
- Tabla 6 Verificación de Simetría Respecto a la Diagonal para el Supremop. 72
- Tabla 7 Verificación de los Elementos de la Diagonal para el Ínfimop. 73
- Tabla 8 Verificación de los Elementos de la Diagonal para el Supremop. 73
- Tabla 9 Verificación de Fila y Columna para Elementos Principales, Ínfimop. 74
- Tabla 10 Verificación de Fila y Columna para Elementos Principales, Supremop. 75
- Tabla 11 Verificación del elemento que devuelve así mismo, Ínfimop. 76
- Tabla 12 Verificación del elemento que devuelve así mismo, Supremop. 76
- Tabla 13 Supremo para D6, a ∨b = sup{a, b}p. 79
- Tabla 14 Ínfimo para D6 a ∧b = infa, bp. 80
- Tabla 15 Resumen de equivalencias entre retículo ordenado y retículo algebraicop. 81
- Figura 1 Relaciones de inclusión en partes de ap. 58
- Figura 2 Relaciones de inclusión en partes de A, simplificadop. 59
- Figura 3 Diagrama de Hassep. 60
- Figura 4 Diagrama de Hasse para 𝐷18p. 61
- Figura 5 Ejemplo de diagrama de Hassep. 62
- Figura 6 Diagrama de Hasse del conjunto Ap. 64
- Figura 7 A relacionado con Bp. 66
- Figura 8 Diagrama de Hasse para 𝐷12p. 66
- Figura 9 Diagrama de Hasse del conjunto Ap. 68
- Figura 10 Diagrama de Hasse para 𝐷6p. 79
- Figura 11 Correspondencia entre Retículo Ordenado, y Retículo Algebraicop. 81
- Figura 12 Diagrama de Hasse del conjunto Ap. 82
- Figura 13 Diagrama de Hasse del conjunto Ap. 83
- Figura 14 Diagrama de Hasse del conjunto Ap. 85
- Figura 15 Diagrama de Hasse de un retículo de cinco elementos llamado 𝑀5p. 86
- Figura 16 Diagrama de Hasse de un retículo de cinco elementos llamado 𝑁5p. 87
- Figura 17 Diagrama de Hasse de un retículop. 87
- distributividadp. 88
- elementop. 88
- definidosp. 90
- definidosp. 91