MODELOS MATEM ´ATICOS DEL AMOR:

REVISI ´ON Y COMPARACI ´ON

Martin Alexander, Aldana Usma * martina.aldanau@konradlorenz.edu.co Barreto Ni˜no, Laura Alejandra ** lauraa.barreton@konradlorenz.edu.co Resumen

...

1.

Introducci´on: G´enesis y Evoluci´on La modelaci´on de fen´omenos cotidianos y del comportamiento humano no es reciente; sin embargo, la matematizaci´on rigurosa de las relaciones afectivas, entendidas como sistemas din´amicos acoplados, encuentra su punto de inflexi´on a finales del siglo XX. Hist´oricamente, el estudio de la estabilidad en sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO) se hab´ıa confinado a fen´omenos f´ısicos o biol´ogicos. No fue hasta el trabajo seminal de Strogatz [Str88], quien, bajo la inspiraci´on de la literatura Shakesperiana - Romeo y Juelita, formaliz´o la din´amica di´adica mediante sistemas lineales de primer orden.

Este enfoque pionero postul´o que las variaciones temporales del afecto pod´ıan describirse mediante un campo vectorial en un espacio de fases bidimensional. Si bien el modelo inicial ofrec´ıa una soluci´on anal´ıtica cerrada, su naturaleza lineal impon´ıa una restricci´on topol´ogica severa. A partir de esta base fundacional, la literatura ha evolucionado hacia una mayor sofisticaci´on te´orica. La modelizaci´on ha transitado desde la linealidad determinista hacia sistemas no lineales. Autores como Rinaldi [Rin98] introdujeron la no homogeneidad para modelar el “atractivo innato”, mientras que en Gottman et al. [GCCS98], los autores trasladaron el an´alisis al dominio discreto mediante ecuaciones en diferencias, logrando una alta capacidad predictiva. En la frontera actual, la incorporaci´on de la teor´ıa del caos por Sprott[Spr04] y el an´alisis de sistemas con retardo temporal (DDE) por Bielczyk et al. [BBF12], han demostrado que las relaciones amorosas exhiben propiedades de hipersensibilidad a las condiciones iniciales.

Para entender c´omo las matem´aticas han ayudado a explicar las relaciones amorosas, presentamos una revisi´on de varios modelos que han surgido a lo largo del tiempo. La informaci´on se organiza siguiendo el orden en que estos modelos fueron propuestos en la literatura, lo que permite observar c´omo ha evolucionado el inter´es por describir el amor a trav´es *Departamento de matem´aticas, Fundaci´on universitaria Konrad Lorenz **Departamento de matem´aticas, Fundaci´on universitaria Konrad Lorenz. de ecuaciones y c´omo se han ido complejizando las ideas para representar mejor las emociones humanas.

2.

Modelo lineal de Strogatz, 1988 Steven H. Strogatz es un reconocido matem´atico aplicado y divulgador; fue pionero en trasladar las herramientas de la din´amica no lineal al ´ambito de las relaciones humanas. En 1988, utilizando el cl´asico romance de Romeo y Julieta como caso de estudio, propuso un sistema de ecuaciones diferenciales lineales para modelar las emociones de dos individuos [Str18]. En este modelo, denotamos por R la tasa de cambio del amor de Romeo hacia Julieta y J la respectiva tasa de cambio del amor de Julieta hacia Romeo:

dR dt = aR+bJ dJ dt = cR+dJ.

(1)

(2)

Adicionalmente; a y d reflejan la tendencia de cada persona a desarrollar sentimientos por s´ı misma, autoafectividad. b y c representan la influencia que tiene el sentimiento del otro sobre sus emociones.

Dependiendo de los valores de estos coeficientes, la relaci´on puede crecer, estabilizarse o deteriorarse; ver 1 y 2. Este modelo sent´o las bases para posteriores an´alisis m´as complejos de din´amicas emocionales.

El modelo de Strogatz sent´o las bases conceptuales que permitieron analizar patrones b´asicos de evoluci´on emocional. Sin embargo, debido a la suposici´on de linealidad del modelo, result´o demasiado simplista para capturar la complejidad real de las interacciones humanas.

Modelos matem´aticos del amor Figura 1: Plano de fase sistema (1, 2) con constantes positivas. Figura 2: Plano de fase sistema (1, 2) con a,d > 0 y b,c < 0.

3.

Modelo modificado de Rinaldi, 1998 Una d´ecada m´as tarde, el ingeniero italiano Sergio Rinaldi identific´o una pieza faltante en el rompecabezas cl´asico: la afinidad a priori. Apoy´andose en su experiencia en la teor´ıa de sistemas aplicada a la sociolog´ıa, Rinaldi enriqueci´o las ecuaciones introduciendo t´erminos constantes para representar el “atractivo innato”. Esta sutil pero profunda extensi´on matem´atica permiti´o modelar din´amicas m´as reales y cotidianas, como el amor a primera vista o el peso de las diferencias culturales desde el inicio de la relaci´on. Rinaldi propuso una ampliaci´on al modelo de Strogatz, introduciendo t´erminos constantes p y q para incorporar una atracci´on o repulsi´on innata entre los individuos [Rin98]. Las ecuaciones de este modelo son:

dR dt = aR+bJ + p, dJ dt = cR+dJ +q.

(3)

(4)

Estos nuevos par´ametros permiten que el amor surja incluso si inicialmente no hay sentimientos, o que las emociones se vean afectadas por factores externos como diferencias culturales, ideol´ogicas o experiencias pasadas. El modelo de Rinaldi aporta flexibilidad al an´alisis de las relaciones humanas, permitiendo contemplar situaciones m´as realistas. Figura 3: Plano de fase sistema (3,4) con constantes positivas. Figura 4: Plano de fase sistema (3, 4) con a,b,c, p > 0 y d,q <

0.

Alcances:

Incorpora atracci´on/repulsi´on innata (p y q).

Pask´ın Matem´atico Vol. 8 No 2 (2026) 9-16.

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Permite modelar relaciones que surgen de la nada. Considera influencias externas, como las diferencias culturales.

M´as flexible que el modelo cl´asico.

Limitaciones:

Mantiene la linealidad del modelo original. No considera efectos no lineales, como la saturaci´on emocional.

Sobre-simplifica factores contextuales.

4.

Modelo de Gottman, 1999 El salto de la abstracci´on matem´atica a la realidad cl´ınica fue liderado por el psic´ologo John Gottman. A partir de horas de observaci´on emp´ırica de parejas de reci´en casados, y en colaboraci´on con investigadores de biolog´ıa matem´atica, Gottman tradujo los patrones de comunicaci´on humana en ecuaciones en diferencias no lineales. El resultado fue revolucionario: los autores cuantificaron las respuestas emocionales de cada miembro de la pareja e identificaron par´ametros que describen c´omo la emoci´on de uno influye en la del otro, y desarrollaron un modelo capaz de predecir la estabilidad marital y el riesgo de divorcio emp´ırico, demostrando que la matem´atica pod´ıa ser una herramienta de diagn´ostico en la psicolog´ıa [GCCS98].

Este modelo se formula en t´erminos de ecuaciones de la forma:

Xt+1 = (1−r)Xt +I +∑f(Yt), Yt+1 = (1−s)Yt +J +∑g(Xt),

(5)

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donde Xt y Yt representan los estados emocionales de cada persona en el tiempo t, r y s son par´ametros de autorregulaci´on, I y J describen predisposiciones individuales, y f y g modelan la influencia no lineal que cada miembro de la pareja ejerce sobre el otro.

El an´alisis del sistema permiti´o clasificar las relaciones en trayectorias estables (que tienden al equilibrio y satisfacci´on) o inestables (que divergen hacia el conflicto y posible ruptura). De acuerdo con los resultados emp´ıricos, el modelo alcanz´o una precisi´on cercana al 94% para predecir divorcios en un seguimiento longitudinal.

Alcances:

Primer modelo formal aplicado directamente a la predicci´on de divorcios.

Integra la teor´ıa psicol´ogica de la interacci´on con din´amica no lineal.

Permite simular patrones de comunicaci´on positivos y negativos.

Base del enfoque de Gottman en la terapia de pareja. Limitaciones:

Requiere datos experimentales detallados (observaci´on de interacciones).

La cifra de 94% de exactitud ha sido cuestionada por cr´ıticas metodol´ogicas.

El modelo simplifica factores contextuales y culturales. En conclusi´on, el modelo de Gottman representa una de las aplicaciones m´as influyentes de las matem´aticas al estudio de las relaciones humanas, al conectar directamente patrones de comunicaci´on con predicciones sobre la estabilidad matrimonial. Comparado con Strogatz, este modelo da un paso importante al incorporar factores externos, pero sigue siendo limitado en su capacidad predictiva para relaciones reales.

5.

Modelo no lineal de Sprott, 2004 El f´ısico Julien C. Sprott, experto en sistemas din´amicos complejos, llev´o la modelizaci´on un paso m´as all´a al abordar la “saturaci´on emocional”. Desde su perspectiva, el afecto no crece de forma ilimitada; a veces, el exceso de amor asfixia la relaci´on. Al integrar no linealidades que simulan este desgaste natural, Sprott comprob´o la existencia matem´atica del “caos rom´antico”: din´amicas relacionales que son completamente deterministas, pero donde variaciones min´usculas en el comportamiento generan resultados del todo impredecibles [Spr04].

El sistema se plantea de la siguiente forma: dR dt = aR+bJ(1−J)+ p, dJ dt = cR(1−R)+dJ +q,

(7)

(8)

donde los t´erminos (1 −J) y (1 −R) indican que, a medida que el amor de uno crece mucho, puede disminuir la respuesta del otro. Esto introduce el concepto de caos rom´antico, donde peque˜nas variaciones iniciales generan resultados impredecibles.

Personalidades identificadas por Sprott:

Eager beaver (Castor ansioso): a > 0, b > 0. Narcissistic nerd (Nerd narcisista): a > 0, b < 0. Cautious lover (Amante cauteloso): a < 0, b > 0. Hermit (Ermita˜no): a < 0, b < 0.

Alcances:

Modelos matem´aticos del amor Figura 5: Plano de fase sistema (7, 8) Personalidad Eager beaver.

Figura 6: Plano de fase sistema (7, 8)Personalidad Narcissistic nerd.

Introduce efectos de saturaci´on emocional (1−J) y (1− R).

Modela el “exceso de amor” que puede ser contraproducente.

Permite comportamientos complejos como el caos rom´antico.

Ampl´ıa a tri´angulos amorosos (6 dimensiones). Limitaciones:

Mayor complejidad matem´atica.

Dificultad para estimar par´ametros en casos reales. No consideran retrasos temporales en las respuestas. Figura 7: Plano de fase sistema (7, 8)Personalidad Cautious lover.

Figura 8: Plano de fase sistema (7, 8)Personalidad Hermit.

6.

Felmlee, 2010: Atracci´on fatal Por su parte, la soci´ologa matem´atica Diane Felmlee formaliz´o una paradoja dolorosa y frecuente: la “atracci´on fatal”. Su enfoque emplea funciones de utilidad decrecientes para describir c´omo aquellos mismos rasgos que inicialmente resultan irresistibles en una pareja, por ejemplo, una extrema independencia, pueden transformarse, con el paso del tiempo y la habituaci´on, en la principal fuente de conflicto, insatisfacci´on y eventual ruptura amorosa [FOF10]. Desde un punto de vista formal, este proceso puede representarse con una funci´on de utilidad decreciente: U(t) = αA(t)−βA(t)2,

(9)

donde U(t) expresa la utilidad percibida de una cualidad A(t) en el tiempo t, α refleja el atractivo inicial del rasgo y β captura el efecto de saturaci´on o desgaste.

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Ejemplos t´ıpicos:

La independencia admirada puede percibirse m´as tarde como frialdad o distancia.

La pasi´on intensa puede transformarse en celos o posesividad.

Alcances:

Explica un mecanismo frecuente en la transici´on de atracci´on a insatisfacci´on.

Conecta la teor´ıa psicol´ogica con representaciones din´amicas sencillas.

Limitaciones:

El modelo es principalmente conceptual y cualitativo. No considera expl´ıcitamente la interacci´on bidireccional entre ambos miembros de la pareja.

7.

Ghosh, 2011: Modelo con funci´on de esfuerzo Finalmente, Koushik Ghosh introdujo el ingrediente del libre albedr´ıo y la perseverancia: el esfuerzo E(t). Al a˜nadir el “esfuerzo conductual” como una tercera variable en juego, Ghosh elev´o el sistema topol´ogico a tres dimensiones. Este modelo no solo captura la complejidad del cortejo activo, sino que permite calcular el delicado punto de inflexi´on en el cual esforzarse demasiado por atraer a la otra persona se vuelve, de hecho, contraproducente [Gho11]. El modelo propuesto es:

dR dt = aR+bJ(n−J)+ p, dJ dt = −cR(m−R)+dJ +cE(u−E)+q, dE dt = fR+gJ(n−J)+r,

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donde n y m son niveles cr´ıticos de amor; u es el nivel en el cual el esfuerzo E se vuelve contraproducente. Este enfoque ampl´ıa modelos previos.

Figura 9: Plano de fase sistema (10, 11,12). An´alisis del modelo: Se utiliza el criterio de Routh- Hurwitz para analizar la estabilidad de los puntos de equilibrio a partir de la matriz jacobiana:

J =   a b(n−J)

0

−c(m−R) d +cu−2cE cJ f g(n−J) −gJ  .

Tambi´en se investigan las condiciones para la aparici´on de oscilaciones peri´odicas mediante una bifurcaci´on de Hopf. Alcances:

Introduce la variable de esfuerzo (E) expl´ıcitamente. Modela el punto donde el esfuerzo se vuelve contraproducente.

Permite an´alisis de estabilidad m´as sofisticados e incluye bifurcaciones de Hopf.

Limitaciones:

Complejidad aumentada (3 ecuaciones).

Dificultad para medir el esfuerzo emp´ıricamente. No considera retardos temporales.

8.

Introducci´on del retardo de tiempo en la din´amica amorosa (Bielczyk et al., 2012) Un equipo de investigadores polacos liderado por la matem´atica Urszula Fory´s, experta en la aplicaci´on de ecuaciones diferenciales con retardo (DDE) a la biolog´ıa, not´o una falla fundamental en todos los modelos previos: asum´ıan que las personas reaccionaban a las emociones de su pareja de forma instant´anea. Sin embargo, en la psicolog´ıa humana, procesar un sentimiento toma tiempo. Al introducir un par´ametro de

Modelos matem´aticos del amor Figura 10: Plano de fases sistema (13, 14).

retardo temporal, τ, Bielczyk, Bodnar y Fory´s lograron demostrar matem´aticamente que tomarse un respiro, un retardo adecuado, puede estabilizar una relaci´on fr´agil [BBF12]. Por el contrario, si el tiempo de reacci´on es excesivo, el sistema se desestabiliza, arrojando a la pareja a un ciclo de dolorosas oscilaciones afectivas.

Desde un punto de vista anal´ıtico, la introducci´on del tiempo de procesamiento emocional transforma el sistema de EDOs cl´asico en un sistema de Ecuaciones Diferenciales con Retardo (DDE - Delay Differential Equations). Conservando la notaci´on base, el sistema acoplado con un retardo discreto ´unico (τ > 0) se define formalmente como:

dR(t) dt = aR(t)+bJ(t −τ), dJ(t) dt = cR(t −τ)+dJ(t).

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En esta formulaci´on, la tasa de cambio emocional en el instante t no depende del estado de la pareja en ese mismo instante, sino del estado evaluado en el tiempo hist´orico t −τ. Topol´ogicamente, esto implica que el espacio de fases se vuelve de dimensi´on infinita. La estabilidad del origen ya no se determina por un polinomio caracter´ıstico simple, sino por una ecuaci´on trascendente que involucra funciones exponenciales complejas (e−λτ). El an´alisis de las ra´ıces de esta ecuaci´on demuestra que, al variar el par´ametro de bifurcaci´on τ, un par de autovalores conjugados puede cruzar el eje imaginario hacia el semiplano izquierdo, estabilizando asint´oticamente un foco previamente inestable.

Un retardo adecuado puede estabilizar una relaci´on inestable.

Retardos demasiado largos pueden generar inestabilidad, llevando a oscilaciones emocionales intensas. Alcances:

Modela tiempos de procesamiento emocional (τ). Explica por qu´e algunas relaciones oscilan. Mayor realismo psicol´ogico.

Limitaciones:

No incorpora variables contextuales.

Dificultad para estimar τ emp´ıricamente.

9.

Influencia de factores externos:

pandemia y emociones (Gheorghita et al., 2024) La modelizaci´on del amor no pod´ıa ignorar el mayor experimento social de nuestro siglo: los confinamientos por la pandemia de COVID-19. Un equipo de investigadores encabezado por A. Gheorghita [GAT+24] dio un paso in´edito al acoplar la topolog´ıa del modelo cl´asico con el impacto de los estresores macroambientales. Al adaptar el sistema de Strogatz para incluir variables expl´ıcitas de aislamiento social y niveles de ansiedad [GAT+24], este modelo representa la frontera actual de la sociolog´ıa cuantitativa. Demuestra de manera rigurosa c´omo perturbaciones extremas del entorno logran penetrar la frontera de la relaci´on, alterando la estabilidad de la matriz emocional y llevando los v´ınculos al l´ımite de su capacidad de carga.

Matem´aticamente, Gheorghita et al. abordan la influencia del entorno expandiendo el espacio de par´ametros mediante el uso de EDOs lineales no homog´eneas con coeficientes constantes. Para capturar el impacto sist´emico de la pandemia, el modelo base de Strogatz es perturbado mediante vectores de forzamiento externo que representan m´etricas como el aislamiento social (I) y la ansiedad global (A):

dR dt = aR+bJ +α1I +β1A, dJ dt = cR+dJ +α2I +β2A,

(15)

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donde αi y βi (i ∈{1,2}) son las susceptibilidades contextuales que cuantifican la vulnerabilidad de cada individuo ante la crisis. En t´erminos de din´amica de sistemas, la inclusi´on de estos estresores externos constantes (I,A > 0) act´ua como una funci´on de transferencia que desplaza el estado de equilibrio topol´ogico (R∗,J∗) lejos del origen bidimensional. Si la magnitud del vector de forzamiento supera la capacidad de resiliencia del sistema (determinada por la traza negativa de la matriz principal), el punto cr´ıtico puede ser empujado hacia cuadrantes de afecto negativo irreversible, simulando matem´aticamente el colapso de la relaci´on bajo presi´on externa.

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Figura 11: Plano de fase sistema (15,16).

Alcances:

Primer modelo que incluye el contexto expl´ıcitamente. Captura efectos de crisis como COVID-19.

Limitaciones:

Enfoque reciente: requiere validaci´on emp´ırica. No unifica todas las dimensiones previas.

10.

Comparaci´on de los modelos matem´aticos de relaciones amorosas Al analizar los modelos presentados, se identifica una evoluci´on clara en la modelizaci´on matem´atica de las relaciones amorosas, donde cada nuevo modelo intenta superar las limitaciones de los anteriores incorporando nuevas dimensiones de an´alisis.

10.1.

Evoluci´on de los enfoques Complejidad creciente: La evoluci´on muestra un tr´ansito desde las ecuaciones diferenciales lineales de Strogatz (1988) hacia sistemas cada vez m´as complejos. Se incorporan: Factores externos constantes (Rinaldi, 1998). Din´amicas de comunicaci´on emp´ırica y no lineal (Gottman, 1999).

Saturaci´on emocional y caos (Sprott, 2004). Esfuerzo conductual (Ghosh, 2011).

Retardos temporales (Bielczyk, 2012).

Influencia del contexto social (Gheorghita, 2024). Capacidad predictiva: Los modelos iniciales son ´utiles para entender din´amicas b´asicas, pero el de Gottman alcanza la m´as alta capacidad predictiva emp´ırica (94% en estudios de divorcio). Los modelos de Sprott y Ghosh enriquecen el marco matem´atico con no linealidades, mientras que Bielczyk a˜nade realismo psicol´ogico al contemplar retardos temporales. El de Gheorghita aporta un enfoque contempor´aneo al incluir el contexto social y cultural .

En conjunto, la evoluci´on refleja un movimiento desde lo lineal y abstracto hacia enfoques m´as ricos, interdisciplinarios y cercanos a la realidad, aunque a costa de mayor complejidad matem´atica y emp´ırica.

Figura 12: Tabla de combinaciones de signos de los par´ametros en el modelo de Strogatz y su interpretaci´on emocional. Agradecimientos El presente articulo divulgativo fue el resultado de una exploraci´on minuciosa que buscaba entender la dualidad entre las emociones humanas y la matem´aticas.

Agradecemos a los profesores Wilmar Bola˜nos y Ruth Torres por su apoyo y orientaci´on, al semillero de historia y epistemiologia y nuestras familias por acompa˜narnos durante este trabajo.

Referencias.

[BBF12] Natalia Bielczyk, Marek Bodnar, and Urszula Fory´s, Delay can stabilize: Love affairs dynamics, Applied Mathematics and Computation 219 (2012), no. 8, 3923–3937.

[FOF10] Diane Felmlee, David Orzechowicz, and Carmen Fortes, Fairy tales: Attraction and stereotypes in same-gender relationships, Sex roles 62 (2010), no. 3, 226–240.

[GAT+24] A. Gheorghit¸˘a, D. Arot˘arit¸ei, M. Turnea, M. Ilea, I. Duduca, and M. Rotariu, Affective modeling as a special dimension of human personality using systems of differential equations with constant coefficients, World Wide Journal of Multidisciplinary Research and Development 10 (2024), no. 6.

[GCCS98] John M. Gottman, James Coan, Sybil Carrere, and Catherine Swanson, Predicting marital happiness and stability from newlywed interactions, Journal of Marriage and the Family 60 (1998), no. 1, 5–22.

Modelos matem´aticos del amor [Gho11] Koushik Ghosh, Love between two individuals in a romantic relationship: A newly proposed mathematical model, Proceedings of the 7th imt-gt international conference on mathematics, statistics and its applications (icmsa 2011), 2011, pp. 23. [Rin98] Sergio Rinaldi, Love dynamics: The case of linear couples, Applied Mathematics and Computation 95 (1998), no. 2-3, 181–192. [Spr04] JC Sprott, Dynamical models of love, Nonlinear dynamics, psychology, and life sciences 8 (2004), no. 3, 303–314. [Str18] Steven H Strogatz, Nonlinear dynamics and chaos with student solutions manual, (No Title) (2018).

[Str88] Steven H. Strogatz, Love affairs and differential equations, Mathematics Magazine 61 (1988), no. 1, 35.

Declaraci´on de uso de inteligencia artificial Nosotros, Martin Alexander Aldana Usma y Laura Alejandra Barreto Ni˜no, como estudiantes, declaramos que hemos utilizado apoyo de la inteligencia artificial en la realizaci´on de gr´aficos y revisi´on gramatical.

Acerca de los autores:

Mart´ın Alexander Aldana Usma es estudiante de octavo semestre de Matem´aticas en la Fundaci´on Universitaria Konrad Lorenz. Aparte de las matem´aticas, disfruta dibujar, aprender sobre educaci´on e historia y resolver cubos Rubik. Su sue˜no es recorrer el mundo e impartir matem´aticas de manera creativa .

Laura Alejandra Barreto Ni˜no es estudiante de s´eptimo semestre de Ingenier´ıa de Sistemas.Ha recibido dos reconocimientos por excelencia acad´emica y ha representado a su universidad en escenarios acad´emicos de car´acter internacional. Su inter´es se centra en la investigaci´on y en la reflexi´on sobre los fundamentos y el desarrollo del conocimiento matem´atico.