Ramón Alfonso Gallego Rendón Juan José Mora Flórez Ricardo Alberto Hincapié Isaza Modelizado y análisis de cortocircuito en sistemas eléctricos

Ramón Alfonso Gallego Rendón (Circasia, Quindío, Colombia, 1957).

Ph.D. Ingeniería Eléctrica (Universidade Estadual de Campinas - UNICAMP). Ingeniero Electricista de la Universidad Tecnológica de Pereira.

Profesor titular de la Facultad de Ingenierías en el Programa de Ingeniería Eléctrica de la Universidad Tecnológica de Pereira. Coautor de los libros: Introducción al problema de enrutamiento de vehículos en la logística de distribución, (2020), Flujo de potencia óptimo en sistemas de transmisión de energía eléctrica, (2019), Flujo de carga en sistemas de transmisión: modelamiento y análisis, (2016), Técnicas Heurísticas y metaheurísticas, (2016).

Ha publicado artículos en revistas especializadas nacionales e internacionales.

Pertenece al Grupo de planeamiento en sistemas eléctricos y al Grupo de aplicaciones en optimización y procesos estocásticos

(GAOPE).

ragr@utp.edu.co Juan José Mora Flórez (Concepción, Santander, Colombia, 1972).

Ph.D. Ingeniería Eléctrica de la Universitat de Girona, Ingeniero Electricista de la Universidad Industrial de Santander.

Profesor titular de la Facultad de Ingenierías en el Programa de Ingeniería Eléctrica de la Universidad Tecnológica de Pereira. Ha publicado artículos en revistas especializadas nacionales e internacionales.

Pertenece al Grupo Investigación de conceptos emergentes en energía eléctrica (ICE3) y al Grupo de planeamiento en sistemas eléctricos. jjmora@utp.edu.co La Editorial de la Universidad Tecnológica de Pereira tiene como política la divulgación del saber científico, técnico y humanístico para fomentar la cultura escrita a través de libros y revistas científicas especializadas.

Las colecciones de este proyecto son: Trabajos de Investigación, Ensayos, Textos Académicos y Tesis Laureadas.

Este libro pertenece a la Colección Trabajos de Investigación.

Ricardo Alberto Hincapié Isaza (Pereira, Risaralda, Colombia, 1976).

Ph.D. Ingeniería Eléctrica e Ingeniero Electricista de la Universidad Tecnológica de Pereira. Profesor titular de la Facultad de Ingenierías en el Programa de Ingeniería Eléctrica de la Universidad Tecnológica de Pereira. Ha publicado artículos en revistas especializadas nacionales e internacionales.

Pertenece al Grupo de planeamiento en sistemas eléctricos y al Grupo desarrollo en investigación de operaciones (DINOP). ricardohincapie@utp.edu.co

Modelizado y análisis de cortocircuito en sistemas eléctricos Ramón Alfonso Gallego Rendón Juan José Mora Flórez Ricardo Alberto Hincapié Isaza Colección Trabajos de Investigación Programa de Ingeniería Eléctrica Facultad de Ingenierías

2021

Reservados todos los derechos © Ramón Alfonso Gallego Rendón, 2021 © Juan José Mora Flórez, 2021 © Ricardo Alberto Hincapié Isaza, 2021 ©Universidad Tecnológica de Pereira Primera edición Proyecto de investigación: Planeamiento de redes de distribución de energía eléctrica considerando el concepto de micro-redes”, inscrito con el código 6-19-8 Universidad Tecnológica de Pereira Vicerrectoría de Investigaciones, Innovación y Extensión Editorial Universidad Tecnológica de Pereira Pereira, Colombia Coordinador editorial:

Luis Miguel Vargas Valencia luismvargas@utp.edu.co Teléfono 313 7381 Edificio 9, Biblioteca Central “Jorge Roa Martínez” Cra. 27 No. 10-02 Los Álamos, Pereira, Colombia www.utp.edu.co Montaje y producción:

David Restrepo Suárez Universidad Tecnológica de Pereira Pereira Gallego Rendón, Ramón Alfonso Modelizado y análisis de cortocircuito en sistemas eléctricos / Ramón Alfonso Gallego Rendón, Juan José Mora Flórez y Ricardo Alberto Hincapié Isaza. – Pereira : Universidad Tecnológica de Pereira, 2021.

255 páginas. – (Colección Trabajos de investigación).

ISBN: 978-958-722-585-3

e-ISBN: 978-958-722-587-7

1. Teoría de redes 2. Análisis de sistemas – Circuitos eléctricos

3. Distribución de energía eléctrica 4. Líneas eléctricas 5. Consumo

de energía eléctrica 6. Transformadores eléctricos 7. Localización de fallas (Ingeniería)

CDD. 621.319

CONTENIDO

Prólogo............................................................................................................ 13 CAPÍTULO UNO.......................................................................................... 15 Introducción................................................................................................... 16 1.1 Fallas en sistemas eléctricos de potencia .................................................. 16 1.2. Fenómeno de cortocircuito....................................................................... 16 1.3. Efecto de los cortocircuitos en la red....................................................... 19

1.4. Falla en un circuito R-L con fuentes sinusoidales y constantes............... 20

1.4.1. Interpretación de la ecuación........................................................... 22

1.4.2. Cálculo de la corriente de cortocircuito asimétrico......................... 23

1.4.3. Ejemplo de cálculo del factor de asimetría...................................... 26

1.5. Modelización de elementos y análisis de cortocircuito............................ 27

CAPÍTULO DOS........................................................................................... 29 Representación del sistema mediante componentes simétricas................. 30 2.1. Aspectos fundamentales........................................................................... 30 2.1.1. Teorema de Fortescue...................................................................... 31

2.1.2. Descripción análitica de las componentes a b c............................... 32

2.1.3. Expresiones de corriente en componentes simétricas y corrientes des-

balanceadas............................................................................................ 35

2.1.4. Potencia aparente en términos de componentes simétricas............. 35

2.2. Análisis de los tipos de conexión en impedancia de secuencia................ 36

2.2.1. Circuitos conectados en estrella (aterrizados)................................. 36

2.2.2. Circuitos conectados en estrella sin aterrizar................................... 39 2.2.3. Circuitos conectados en delta.......................................................... 39 2.3. Conformación de las redes de secuencia.................................................. 41 CAPÍTULO TRES......................................................................................... 43 Modelización de los elementos...................................................................... 44 3.1. Generador síncrono.................................................................................. 44

3.1.1. Cortocircuito trifásico en terminales del generador......................... 46

3.1.2. Estados del generador síncrono para estudios de cortocircuito....... 48

3.1.3. Modelo del generador síncrono de secuencia positiva.................... 49

3.1.4. Modelo del generador síncrono de secuencia negativa................... 50

3.1.5. Modelo del generador de secuencia cero......................................... 52

3.1.6. Circuitos de secuencia del generador síncrono con conexión a

tierra ......................................................................................................... 53 3.2. Generador distribuido............................................................................... 54 3.3. Motor........................................................................................................ 55

3.3.1. Motor síncrono................................................................................. 56 3.3.2. Motor asíncrono............................................................................... 56 3.4. Transformador.......................................................................................... 57 3.4.1. Introducción..................................................................................... 57

3.4.2. Impedancia de secuencia positiva del transformador trifásico........ 59

3.4.3. Impedancia de secuencia cero del transformador trifásico............. 60

3.4.3.1. Transformador trifásico de núcleo acorazado y banco trifásico..61

3.4.3.2. Transformador trifásico de núcleo acorazado o banco trifásico con

impedancia de aterrizaje. .................................................................... 63

3.4.3.3. Transformador trifásico de tipo núcleo...................................... 66

3.4.4. Autotransformador........................................................................... 73

3.4.5. Representación del transformador para la conformación de la matriz

𝑍𝑏𝑢𝑠............................................................................................................................. 80

3.4.6. Desfasamiento angular en la secuencia positiva y negativa de trans-

formadores trifásicos.............................................................................. 82

3.4.7. Descripción general para determinar el desfasamiento angular en la

red de secuencia positiva y negativa de los transformadores trifásicos.84

3.4.8. Grupos de conexiones de un transformador trifásico e índice

horario........................................................................................................ 87 3.5. Líneas de transmisión............................................................................... 92

3.5.1. Modelo de la línea en impedancia de secuencia.............................. 93

3.5.1.1. Impedancia de secuencia positiva.............................................. 93

3.5.1.2. Impedancia de secuencia negativa............................................. 94

3.5.1.3. Impedancia de secuencia cero.................................................... 94

3.5.2. Circuito de secuencia de una línea de transmisión.......................... 96

3.6. Carga......................................................................................................... 98 CAPÍTULO CUATRO................................................................................ 101 Representación matricial de las redes de energía eléctrica..................... 102 4.1. Introducción............................................................................................ 102 4.2. Reducción de nodos usando Kron.......................................................... 103 4.3. Esquemas de ordenamiento nodal.......................................................... 107 4.4. Factorización triangular.......................................................................... 110 4.5. Descomposición de Cholesky................................................................. 114 4.6. Algoritmo de construcción de la matriz 𝑌𝑏𝑢𝑠.......................................... 119

4.7. Cálculo de la matriz 𝑍𝑏𝑢𝑠 mediante el proceso de factorización 𝐿𝐷𝑈....124

4.8. Corrección de la 𝑌𝑏𝑢𝑠 por efectos mutuos............................................. 127

4.9. Concepto básico usado en la construcción manual de la matriz 𝑍𝑏𝑢𝑠...131

4.10. Algoritmo para la formación de la 𝑍𝑏𝑢𝑠................................................ 137

4.10.1. Elemento radial sin acoplamiento mutuo..................................... 138

4.10.2. Elemento de enlace sin acoplamiento mutuo............................... 142

4.10.3. Elemento radial con acoplamiento mutuo................................... 147

4.10.4. Elemento de enlace con acoplamiento mutuo.............................. 150

4.11. Modificación de la matriz 𝑍𝑏𝑢𝑠........................................................................155 4.12. Transformaciones sin variación de potencia......................................... 157 CAPÍTULO CINCO.................................................................................... 160 Fallas simétricas (3Φ).................................................................................. 161 5.1. Cálculo de fallas simétricas (3Φ) usando 𝑍𝑏𝑢𝑠......................................................................161 5.2. Cálculo de la impedancia equivalente.................................................... 164

5.3. Consideraciones prácticas para el cálculo de fallas trifásicas................ 166

5.3.1. Consideraciones para la modelización del generador.................... 166

5.3.2. Consideraciones para la modelización de la carga........................ 167

CAPÍTULO SEIS........................................................................................ 168 Estudio de los tipos de falla......................................................................... 169 6.1. Modelizado del fallo............................................................................... 170

6.2. Procedimiento para el cálculo de tensiones nodales de falla.................. 174

6.3. Modelizado de fallas............................................................................... 177 6.3.1. Falla línea-tierra o falla monofásica.............................................. 178 6.3.2. Falla línea-línea o falla bifásica..................................................... 181 6.3.3. Falla línea-línea-tierra o falla bifásica a tierra............................... 183 6.3.4. Falla trifásica a tierra..................................................................... 187

6.3.5. Corriente de falla línea-línea y línea-tierra en función de la corriente

de falla trifásica.................................................................................... 189

6.3.6. Análisis del cortocircuito línea-tierra considerando impedancia de

falla...................................................................................................... 190 6.4. Resistencia del arco eléctrico................................................................. 213 6.5. Transformadores de aterrizaje................................................................ 214 6.5.1. Transformador de aterrizaje 𝑌𝑎𝑡𝑒𝑟𝑟𝑖𝑧𝑎𝑑𝑜 − Δ..........................................214 6.5.2. Transformador de aterrizaje Zig-Zag............................................. 215 CAPÍTULO SIETE..................................................................................... 220 Fallas debido a conductores abiertos......................................................... 221 7.1. Equivalente de Thévenin........................................................................ 223 7.2. Modelizado de las redes de secuencia.................................................... 224 7.2.1. Red de secuencia positiva.............................................................. 224 7.2.2. Red de secuencia negativa y cero.................................................. 225 7.3. Modelizado para uno o dos conductores abiertos................................... 229

7.3.1. Un conductor abierto..................................................................... 229 7.3.2. Dos conductores abiertos............................................................... 230 Referencias................................................................................................... 239

Figura nro. 1.1. Circuito equivalente R-L...................................................... 20 Figura nro. 1.2. Corriente de cortocircuito trifásico en el generador cuando 𝛼 < 𝛷................................................................................................................ 22 Figura nro. 1.3. Corriente de cortocircuito trifásico en el generador cuando 𝛼 > 𝛷................................................................................................................ 23 Figura nro. 1.4. Red eléctrica de tres nodos.................................................. 26 Figura nro. 1.5. Equivalente de Thévenin en el nodo 2................................. 26 Figura nro. 1.6. Representación de una red eléctrica.................................... 27 Figura nro. 2.1. Descomposición de un sistema de vectores a b c en 0 1 2... 32 Figura nro. 2.2. Diagrama fasorial a b c y 0 1 2........................................... 33 Figura nro. 2.3. Conexión circuito estrella (aterrizado)................................ 37 Figura nro. 2.4. Representación en redes de secuencia 0 1 2........................ 38 Figura nro. 2.6. Conexión de circuito estrella sin aterrizar........................... 39 Figura nro. 2.7. Conexión de circuito delta................................................... 40 Figura nro. 3.1. Generador síncrono de polos salientes................................ 45 Figura nro. 3.2. Máquina generadora sometida a un cortocircuito trifásico..46 Figura nro. 3.3. Corriente de cortocircuito trifásico en el generador........... 47 Figura nro. 3.4. Desarrollo de la envolvente en el tiempo............................. 47 Figura nro. 3.5. Curva de corriente vs tiempo en falla.................................. 48 Figura nro. 3.6. Curva característica de la reactancia vs tiempo en falla.... 49 Figura nro. 3.7. Modelo de secuencia positiva del generador....................... 50 Figura nro. 3.8. Circuito equivalente del generador de secuencia positiva.. 50 Figura nro. 3.9. Modelo de secuencia negativa del generador...................... 51 Figura nro. 3.10. Circuito equivalente del generador de secuencia negativa........................................................................................................... 52 Figura nro. 3.11. Modelo de secuencia cero del generador........................... 52 Figura nro. 3.12. Circuito equivalente del generador de secuencia cero...... 53 Figura nro. 3.13. Representación del generador en impedancias de secuencia...................................................................................................... 54 Figura nro. 3.14. Red trifásica de secuencia cero del generador.................. 54 Figura nro. 3.15. Circuitos equivalentes de secuencia del motor síncrono... 56 Figura nro. 3.16. Circuitos de secuencia positiva y negativa de la máquina asíncrona...................................................................................................... 57 Figura nro. 3.17. Transformador trifásico de tipo núcleo............................. 58 Figura nro. 3.18. Transformador trifásico de tipo acorazado....................... 58

FIGURAS

Figura nro. 3.19. Prueba de cortocircuito en el transformador..................... 59 Figura nro. 3.20. Prueba de cortocircuito en el transformador para secuencia cero............................................................................................................... 60 Figura nro. 3.21. Cálculo de 𝑍0 en un transformador trifásico, con conexión 𝑌aterrizado - 𝑌aterrizado............................................................................................ 61 Figura nro. 3.22. Transformador trifásico con conexión 𝑌aterrizado - Δ............. 62 Figura nro. 3.23. Transformador trifásico con conexión 𝑌aterrizado - 𝑌............. 63 Figura nro. 3.24. Transformador trifásico con impedancia de aterrizaje..... 63 Figura nro. 3.25. Conexión de la red de secuencia cero del transformador trifásico acorazado....................................................................................... 65 Figura nro. 3.26. Sistema eléctrico de cuatro nodos...................................... 66 Figura nro. 3.27. Componentes de secuencia cero del ejemplo 3.1............... 66 Figura nro. 3.28. Flujo de secuencia cero del transformador trifásico tipo núcleo........................................................................................................... 67 Figura nro. 3.29. Prueba de cortocircuito del transformador trifásico tipo núcleo. Red de secuencia cero..................................................................... 68 Figura nro. 3.30. Red de secuencia cero del transformador trifásico de tipo columna con conexión 𝑌aterrizado - 𝑌aterrizado....................................................... 69 Figura nro. 3.31. Prueba de cortocircuito transformador trifásico de tipo núcleo. Red de secuencia cero..................................................................... 69 Figura nro. 3.32. Red de secuencia cero del transformador trifásico de tipo núcleo con conexión𝑌𝑎𝑡𝑒𝑟𝑟𝑖𝑧𝑎𝑑𝑜 - 𝑌.................................................................. 70 Figura nro. 3.33. Transformador trifásico de tipo núcleo con conexión 𝑌𝑎𝑡𝑒𝑟𝑟𝑖𝑧𝑎𝑑𝑜 - Δ.......................................................................................... 70 Figura nro. 3.34. Red de secuencia cero del transformador trifásico de tipo núcleo con conexión 𝑌𝑎𝑡𝑒𝑟𝑟𝑖𝑧𝑎𝑑𝑜 - Δ................................................................. 71 Figura nro. 3.35. Resumen de conexiones de secuencia cero del transformador trifásico de tipo núcleo................................................................................. 72 Figura nro. 3.36. Autotransformador elevador.............................................. 73 Figura nro. 3.37. Representación simbólica del autotransformador............. 74 Figura nro. 3.38. Ensayo de cortocircuito en el autotransformador.............. 74 Figura nro. 3.39. Circuito equivalente del autotransformador...................... 75 Figura nro. 3.40. Representación de la operación del autotransformador.... 76 Figura nro. 3.41. Autotransformador del ejemplo 3.2................................... 79 Figura nro. 3.42. Representación del transformador..................................... 81 Figura nro. 3.43. Transformador trifásico con conexión 𝑌 - Δ...................... 83 Figura nro. 3.44. Diagrama de fasores de corriente...................................... 84 Figura nro. 3.45. Diagrama de devanados.................................................... 85

Figura nro. 3.46. Componentes de secuencia positiva................................... 85 Figura nro. 3.47. Componentes de secuencia negativa.................................. 86 Figura nro. 3.48. Referencia de tensión......................................................... 88 Figura nro. 3.49. Referencia de tensión y fasores de tensión en el primario..90 Figura nro. 3.50. Forma de conexión inicial................................................. 90 Figura nro. 3.51. Fasores de tensión en el secundario.................................. 91 Figura nro. 3.52. Fasores de tensión superpuestos........................................ 91 Figura nro. 3.53. Conexión interna de un transformador trifásico 𝑌𝑦6....... 92 Figura nro. 3.54. Prueba de cortocircuito en la línea de transmisión........... 93 Figura nro. 3.55. Efecto del campo magnético, generado por la corriente de secuencia cero.............................................................................................. 94 Figura nro. 3.56. Caminos de la corriente de secuencia cero....................... 95 Figura nro. 3.57. Medición de la impedancia de secuencia cero de la línea..96 Figura nro. 3.58. Circuito de secuencia de una línea.................................... 96 Figura nro. 3.59. Representación de la línea como impedancias de secuencia...................................................................................................... 98 Figura nro. 3.60. Valor de la 𝐼𝑐𝑐 con y sin carga........................................... 99 Figura nro. 4.1. Red eléctrica de 4 nodos del ejemplo 4.1........................... 105 Figura nro. 4.2. Red eléctrica de 5 nodos.................................................... 106 Figura nro. 4.3. Red eléctrica sin ordenamiento nodal................................ 108 Figura nro. 4.4. Red eléctrica con ordenamiento nodal.............................. 109 Figura nro. 4.5. Red eléctrica de 5 nodos para solucionar el modelo DC...116 Figura nro. 4.6. Red de cuatro nodos sin fuente de tensión......................... 120 Figura nro. 4.7. Red de cuatro nodos con fuente de tensión en el nodo 1 y demás nodos en corto................................................................................. 120 Figura nro. 4.8. Red de 4 nodos con fuente de tensión en el nodo 2 y demás nodos en corto............................................................................................ 121 Figura nro. 4.9. Red de 4 nodos con fuente de tensión en el nodo 3 y demás nodos en corto............................................................................................ 122 Figura nro. 4.10. Red de 4 nodos con fuente de tensión en el nodo 4 y demás nodos en corto............................................................................................ 123 Figura nro. 4.12. Representación de líneas mutuamente acopladas............ 128 Figura nro. 4.13. Efectos mutuos entre líneas de transmisión..................... 130 Figura nro. 4.14. Red eléctrica del ejemplo 4.8........................................... 132 Figura nro. 4.15. Red con inyección de corriente en el nodo 1................... 133 Figura nro. 4.16. Red con inyección de corriente en el nodo 2................... 134 Figura nro. 4.17. Red con inyección de corriente en el nodo 3................... 135 Figura nro. 4.18. Red con inyección de corriente en el nodo 4................... 136

Figura nro. 4.19. Instalación del elemento radial 𝑝𝑞 sin acoplamiento mutuo.......................................................................................................... 139 Figura nro. 4.20. Red radial de 5 nodos del ejemplo 4.9............................. 141 Figura nro. 4.21. Instalación del elemento de enlace p q sin acoplamiento mutuo.......................................................................................................... 143 Figura nro. 4.22. Red enmallada de 4 nodos del ejemplo 4.10.................... 146 Figura nro. 4.23. Instalación del elemento radial 𝑝 − 𝑞 con acoplamiento mutuo.......................................................................................................... 147 Figura nro. 4.24. Red radial de seis nodos con acoplamientos mutuos....... 150 Figura nro. 4.25. Instalación del elemento de enlace 𝑝 − 𝑞 con acoplamiento mutuo.......................................................................................................... 151 Figura nro. 4.26. Red de 5 nodos con acoplamiento mutuo del ejemplo

4.12............................................................................................................. 154

Figura nro. 4.27. Red eléctrica de 4 nodos del ejercicio propuesto 4.2...... 156 Figura nro. 4.28. Red eléctrica de 4 nodos del ejemplo 4.13....................... 158 Figura nro. 5.1. Simulación de una falla en el nodo 3 empleando la matriz 𝑍𝑏𝑢𝑠......................................................................................................................................162 Figura nro. 5.2. Circuito equivalente en el nodo 𝑘...................................... 165 Figura nro. 5.3. Modelizado del generador síncrono.................................. 167 Figura nro. 6.1. Representación del fallo..................................................... 171 Figura nro. 6.2. Equivalente de secuencia positiva, negativa y cero........... 172 Figura nro. 6.3. Diagrama unifilar del ejemplo 6.1..................................... 172 Figura nro. 6.4. Red de secuencia positiva del ejemplo 6.1......................... 173 Figura nro. 6.5. Red de secuencia negativa del ejemplo 6.1........................ 174 Figura nro. 6.6. Red de secuencia cero del ejemplo 6.1.............................. 174 Figura nro. 6.7. Falla trifásica y monofásica a tierra................................. 177 Figura nro. 6.8. Falla línea-línea y línea-línea-tierra................................. 178 Figura nro. 6.9. Falla línea-tierra en la fase a............................................ 178 Figura nro. 6.10. Redes equivalentes de secuencia...................................... 179 Figura nro. 6.11. Representación gráfica del fallo línea-tierra................... 180 Figura nro. 6.12. Falla línea-línea............................................................... 181 Figura nro. 6.13. Representación gráfica del fallo línea-línea.................... 183 Figura nro. 6.14. Fallo bifásico línea-línea-tierra....................................... 184 Figura nro. 6.15. Representación del fallo línea-línea-tierra...................... 186 Figura nro. 6.16. Representación del fallo trifásico a tierra....................... 187 Figura nro. 6.17. Circuito equivalente del fallo trifásico a tierra............... 189 Figura nro. 6.18. Red de energía eléctrica del ejemplo 6.2......................... 192 Figura nro. 6.19. Red de secuencia positiva del ejemplo 6.2....................... 193

Figura nro. 6.20. Red de secuencia cero del ejemplo 6.2............................ 194 Figura nro. 6.21. Modelo de fallo línea-tierra en el nodo 2........................ 195 Figura nro. 6.22. Circuito simplificado. Primer caso.................................. 195 Figura nro. 6.23. Secuencia cero. Primer caso............................................ 198 Figura nro. 6.24. Secuencia positiva. Primer caso...................................... 199 Figura nro. 6.25. Secuencia negativa. Primer caso..................................... 199 Figura nro. 6.26. Modelo de falla línea-línea-tierra en el nodo 2............... 200 Figura nro. 6.27. Modelo de falla línea-línea-línea en el nodo 2................ 202 Figura nro. 6.28. Modelo de la falla línea-línea.......................................... 204 Figura nro. 6.29. Red de energía eléctrica del ejemplo 6.3......................... 206 Figura nro. 6.30. Red de secuencia positiva del ejemplo 6.3....................... 207 Figura nro. 6.31. Red de secuencia negativa del ejemplo 6.3...................... 208 Figura nro. 6.32. Red de secuencia cero del ejemplo 6.3............................ 208 Figura nro. 6.33. Representación del transformador de aterrizaje 𝑌𝑎𝑡𝑒𝑟𝑟𝑖𝑧𝑎𝑑𝑜 − Δ................................................................................................ 214 Figura nro. 6.35. Secuencia cero del transformador 𝑌𝑎𝑡𝑒𝑟𝑟𝑖𝑧𝑎𝑑𝑜−Δ.................. 215 Figura nro. 6.36. Transformador de aterrizaje Zig-Zag.............................. 216 Figura nro. 6.37. Representación del transformador Zig-Zag..................... 217 Figura nro. 6.38. Sistema generador-transformador................................... 217 Figura nro. 6.39. Modelo de falla línea-tierra en el nodo 𝐾....................... 218 Figura nro. 6.40. Sistema generador-transformador con aterrizaje............ 218 Figura nro. 7.1. Representación de un fallo debido a un conductor abierto.....

221

Figura nro. 7.2. Representación de un fallo debido a dos conductores abiertos....................................................................................................... 222 Figura nro. 7.3. Equivalente de Thévenin entre los nodos m-n.................... 223 Figura nro. 7.4. Representación de la falla debido a la apertura de fases..224 Figura nro. 7.5. Representación de la falla debido a la apertura de fases (red de secuencia positiva)................................................................................ 225 Figura nro. 7.6. Representación simplificada de la falla............................. 225 Figura nro. 7.7. Red de secuencia negativa................................................. 226 Figura nro. 7.8. Red simplificada de secuencia negativa............................. 226 Figura nro. 7.9. Modelo equivalente para las tres redes de secuencia........ 228 Figura nro. 7.10. Modelo equivalente con un conductor abierto................ 230 Figura nro. 7.11. Modelo equivalente con dos conductores abiertos.......... 232 Figura nro. 7.12. Ejemplo de falla serie...................................................... 232 Figura nro. 7.13. Red de secuencia positiva del ejemplo 7.1....................... 233 Figura nro. 7.14. Red de secuencia cero del ejemplo 7.1............................ 233

Figura nro. 7.15. Equivalente de Thévenin del ejemplo 7.1......................... 234 Figura nro. 7.16. Falla por la apertura de la fase a.................................... 235 Figura nro. 7.17. Circuito por falla de la apertura de la fase a.................. 236 Figura nro. 7.18. Circuito reducido por falla de la apertura de la fase a... 236 Figura nro. 7.19. Falla por la apertura de las fases b y c........................... 237 Figura nro. 7.20. Circuito por falla de la apertura de las fases b y c.......... 238

Las fallas en la red de energía eléctrica ocasionan altos flujos de corriente las cuales son suministradas por las fuentes generadoras y su aporte depende de la distancia eléctrica al nodo afectado. Estas corrientes son conocidas como corrientes de falla. Si éstas no son eliminadas rápidamente, pueden presentar graves problemas en la operación del sistema eléctrico, ya que causan calentamiento en los elementos de la red, grandes esfuerzos electromecánicos en líneas y trasformadores, y problemas de estabilidad de tensión en los nodos del sistema y en las máquinas generadoras. Bajo esta situación, se tiene como prioridad identificar rápidamente el sitio de la falla y permitir en los menores tiempos posibles la apertura de los interruptores de potencia con el fin de aislar dicho lugar del resto del sistema.

Existen diferentes tipos de fallas en un sistema eléctrico de potencia. Estas fallas pueden ser categorizadas en función de su tiempo de duración (transitorias o permanentes) o del número de fases del sistema que están involucrados (monofásicas, bifásicas, trifásicas o su relación con la tierra). Su naturaleza tiene origen diverso y las causas más frecuentes son las descargas atmosféricas que ionizan el aire entre las estructuras y las fases, lo que se conoce como fallo línea-tierra. Otro tipo de falla menos frecuente, pero de mayor impacto, corresponde a aquella que compromete las tres fases, la cual es de gran interés para el estudio de coordinación de las protecciones de fase.

Para estudiar el comportamiento e impacto de las fallas, la red se analiza en estado sub-transitorio o transitorio lo cual depende del diseño de la máquina generadora y si se considera o no el devanado amortiguador; los demás elementos se modelan frecuentemente de forma estática. Estos aspectos son de especial interés, ya que repercuten directamente en una mayor precisión al momento de analizar la presencia de una falla o de evitarla (en el caso del sistema de protecciones) y la forma como el sistema de potencia se comporta frente a esta situación. Sustentado en lo anterior, este libro se presenta como una fuente de información que permite entender de forma clara los conceptos básicos sobre el problema de cortocircuito. Este constituye un soporte adicional al material complementario en la orientación de diversas asignaturas de Ingeniería Eléctrica, relacionadas con el análisis de cortocircuito. Adicionalmente, establece un soporte para entender el impacto que tiene la penetración de fuentes alternas de energía (conocidas como generadores distribuidos) en los sistemas eléctricos actuales. Por lo anterior, en este libro se presentan las herramientas matemáticas para el estudio de componentes de secuencia, la modelización de los elementos de la red de energía eléctrica, el modelo matemático de la red a través de las matrices de admitancia e impedancia nodal, y el modelo de los tipos de fallas y su aplicación en sistemas eléctricos de potencia.

Para presentar el conocimiento básico del tema, este texto describe de manera ordenada los elementos involucrados en el análisis de cortocircuito en cada uno de los capítulos. En el Capítulo uno inicialmente se explican conceptos generales utilizadas en el estudio de fallas. Luego, se estudia el comportamiento de la corriente en el tiempo en un circuito RL y haciendo uso de una red se explica el cálculo de la corriente asimétrica. Finalmente, se presentan las Prólogo

generalidades del modelizado de los elementos de red en estado subtransitorio. En el Capítulo dos se presentan aspectos fundamentales de las componentes simétricas, se explica el concepto de los tipos de conexión en redes de secuencia y finalmente las reglas para la conformación de las redes monofásicas de secuencia positiva, negativa y cero. En el Capítulo tres se explica el modelado en redes de secuencia del generador, el motor síncrono, la máquina de inducción, el transformador, las líneas de transmisión y la carga. En el Capítulo cuatro se detalla la conformación de la matriz Ybus con acoples, la conformación de la matriz Zbus mediante factorización LDU y Cholesky, y el uso del algoritmo de inyección de corrientes. Finalmente, se presenta la aplicación de la matriz Zbus en el análisis de contingencias mediante su modificación. En el Capítulo cinco se explica el uso de la matriz Zbus en estudios de cortocircuito aplicados al fallo simétrico. En el Capítulo seis se modelan los diferentes tipos de fallas shunt, simétricas y asimétricas, luego se realizan ejemplos de aplicación, y finalmente se describen el arco eléctrico y los transformadores de aterrizaje. En el Capítulo siete se describen los fallos por conductores abiertos en una o dos fases, se modelan los dos tipos de fallos en redes de secuencia y se explican los circuitos de secuencia que son resueltos.

Introducción Las fallas en los sistemas eléctricos de potencia son fenómenos que se mitigan con acciones de planeación, diseño, operación y mantenimiento, pero desafortunadamente son inevitables. Existen varias clasificaciones de los tipos de fallas; para el análisis en sistemas de potencia, se definen como fallas serie y fallas paralelo. Las fallas serie consisten en el aumento de la impedancia de línea de una o varias fases, mientras que las fallas paralelo se caracterizan por la disminución de la impedancia de aislamiento entre las fases o entre fase y tierra. Finalmente, desde el punto de vista de la protección de los sistemas eléctricos de potencia, las fallas también se pueden caracterizar como autoextinguibles, transitorias o permanentes. Debido a que las fallas paralelo o de cortocircuito son las más comunes y las de mayor incidencia en el sistema de potencia, este fenómeno se analizará con mayor profundidad en este documento.

Una falla es cualquier evento que interfiere con el flujo de corriente desde las fuentes hacia las cargas y ocasiona que el sistema se encuentre en un punto de operación normalmente alejado del

1.1 Fallas en sistemas eléctricos de potencia

1.2. Fenómeno de cortocircuito

16

Ramón Alfonso Gallego Rendón, Juan José Mora Flórez, Ricardo Alberto Hincapié Isaza

nominal. Este nuevo punto de operación tiene que ser superado de una manera rápida, para lo cual contribuye el sistema de protecciones. En caso de que la situación de falla no se supere, se puede presentar una desconexión parcial de una gran parte del sistema o un colapso total. En las fallas paralelo, las corrientes que fluyen en las diferentes partes de un sistema de potencia difieren de aquellas que fluyen unos ciclos más tarde, justo antes de que los interruptores encargados retiren la sección en falla. Todas estas corrientes son ampliamente diferentes de las corrientes que fluirían en la condición nominal y en estado estable. Las fallas tienen una ocurrencia aleatoria tanto en tiempo como en localización en el sistema eléctrico y deben ser rápidamente eliminadas para evitar daños en los elementos de la red. El conocimiento de la información del sistema eléctrico en condiciones de cortocircuito es de vital importancia, tanto para la operación como la planeación de los sistemas. En términos generales, esta información se aprovecha en:

Dimensionamiento de la línea de transmisión en relación con la temperatura máxima soportable.

Selección de disyuntores en cuanto a su capacidad de interrupción.

Dimensionamiento de transformadores de corriente.

Coordinación de protecciones.

Diseño y análisis de subestaciones debido a la presencia de cortocircuito. Dos de los factores de los que depende la selección apropiada de los interruptores son la corriente que fluye inmediatamente después de que ocurre una falla de cortocircuito y la corriente que el interruptor debe interrumpir. En el análisis de fallas se calculan los valores de esas corrientes para los tipos de fallas en los diferentes puntos del sistema. Estos resultados son usados en la operación y la planeación de los sistemas de potencia y en la selección de interruptores, coordinación y calibración de los equipos de protecciones. La mayoría de las fallas de cortocircuito en líneas de transmisión son originadas por descargas atmosféricas. La falla en el sistema se origina por la trayectoria a tierra que es creada por la descarga atmosférica y la cual es conectada a través de la torre de transmisión. La gran diferencia de tensión entre el conductor y la torre origina la ionización del aire entre estos elementos. De este modo, se conforma la trayectoria a tierra para la carga inducida por la descarga atmosférica. Al establecerse un camino entre el conductor y la torre, se produce un flameo. Esto es consecuencia de la diferencia de tensión creada por la descarga atmosférica entre el conductor y la torre aterrizada que lo sostiene. Una vez se establece el paso a tierra por la baja impedancia resultante, la falla se alimenta por el sistema, es decir, por todos los elementos con capacidad de entregar energía a la red.

Luego de presentarse la falla de cortocircuito, actúa el sistema de protecciones con el fin de cortar el suministro de energía al punto de falla. Lo anterior posibilita la extinción del camino Modelizado y análisis de cortocircuito en sistemas eléctrico

formado entre el conductor y la torre gracias a la desionización del aire entre ambos puntos. Por lo general, los interruptores se reconectan en un intervalo aproximadamente de 20 ciclos; tiempo en el cual se lleva a cabo la desionización evitando que se restablezca el arco. La experiencia en la operación de líneas de transmisión muestra que la reconexión ultrarrápida de los interruptores es exitosa en la mayoría de las fallas. Si esto no ocurre es porque se trata de fallas permanentes, en donde no es posible la reconexión.

La duración de la falla de cortocircuito depende sobre todo de los dispositivos de protección y de los elementos de corte empleados en la red. Cuando el cortocircuito es de larga duración, los dispositivos de regulación, tales como los reguladores de tensión y los reguladores de potencia-frecuencia, pueden tener una influencia considerable sobre los fenómenos transitorios. Si el cortocircuito es de alta corriente o el sistema de protecciones no actúa adecuadamente, el sistema puede llegar a un punto de operación inestable —como consecuencia de la salida de algunos de los generadores— o a un colapso total.

La localización del punto de cortocircuito dentro de la red está directamente asociada con la influencia que tienen las máquinas sincrónicas en la magnitud de la falla. Las fallas de cortocircuitos en la red pueden ser originadas por diferentes causas que pueden ser clasificadas así:

Por aislamiento: debido a la presencia de elevados niveles de tensión, al diseño inadecuado del nivel de aislamiento, al material defectuoso, a problemas de fabricación o al envejecimiento del material.

Problemas mecánicos, originados por la naturaleza: estos se deben principalmente a la acción del viento, nieve, contaminación o vegetación.

Problemas eléctricos: debido principalmente a descargas atmosféricas directas e indirectas, maniobras de interruptores o sobretensión en el sistema. Problemas de naturaleza térmica: debido a calentamientos en los elementos. Problemas de mantenimiento: originados por mala ubicación de elementos, personal inadecuado, elementos de reposición con defectos o inspección inadecuada. Vandalismos, sabotaje, incendios o inundaciones: estos corresponden a otros problemas que ocasionan cortocircuitos.

Entre las fallas permanentes se tienen aquellas que son causadas por líneas que caen a tierra, por cadena de aisladores que se rompen debido a las cargas de hielo, por daños permanentes en las torres o por fallas de los apartarrayos. El cortocircuito de mayor ocurrencia es el línea-tierra, donde el 4 % es del tipo permanente y el 96 % del tipo temporal [1, 2, 3, 4]. Si se desea tener una idea de la ocurrencia de fallas en los sistemas de generación, subestaciones y transmisión, se tiene para el primero un 6 % de ocurrencia de fallos; en el segundo, 5 %; y en el tercero, el 89 % [5, 6]. Por la naturaleza del sistema de energía eléctrica, la red de

18

Ramón Alfonso Gallego Rendón, Juan José Mora Flórez, Ricardo Alberto Hincapié Isaza

transmisión es la de mayor ocurrencia y la razón es que esta abarca grandes zonas geográficas en diferentes topografías. La experiencia ha mostrado que entre el 70 % y 80 % de las fallas en las líneas de transmisión son fallas monofásicas a tierra (o línea a tierra). Aproximadamenteen el 5 % de las fallas intervienen las tres fases con o sin tierra (fallas trifásicas simétricas) [3, 5, 7]. Otras fallas son línea-línea y línea-línea-tierra. Con excepción de la trifásica, todas las fallas anteriores originan un desbalance entre las fases y, por tanto, se conocen como fallas asimétricas. Otro tipo de fallo de menor severidad es el denominado fallo-serie. Este es el resultado de una inapropiada operación de los interruptores al no presentar un cierre simultáneo de los tres polos, quedando sin cerrar una o dos de las fases. También se presenta por la rotura total o parcial de uno o dos conductores sin considerar el efecto por contacto a tierra, o por contacto entre estos [8]. Para el cálculo de fallo de cortocircuito se requiere del equivalente de Thévenin el cual es representado por un generador con una impedancia equivalente en serie con una fuente de voltaje. La representación del equivalente se puede realizar en componentes 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎o secuencia 012. A pesar de que las dos componentes pueden ser usadas en el estudio de redes de transmisión y de distribución, la primera se utiliza más en el estudio de redes desquilibradas como las redes de distribución y la segunda en el estudio de redes equilibradas, como las de transmisión. Dado que los cortocircuitos son situaciones anormales, es importante evitarlos por completo. Como lo anterior no es posible, se debe contar con un sistema de protección apropiado, que sea lo suficientemente sensible y rápido, que identifique adecuadamente el fallo y que retire la menor parte del sistema de potencia fallado en el menor tiempo posible. Entre los principales efectos del cortocircuito están:

Corrientes elevadas que ocasionan:

• Calentamiento, lo cual disminuye el período de vida útil de los elementos del sistema

al perder su nivel de aislamiento. Esto ocasiona su fundición en algunos casos.

• Esfuerzos electromecánicos excesivos que pueden romper los aisladores de sujeción o

los propios conductores. En el caso de los transformadores, puede conllevar a grandes esfuerzos en la bobinas los cuales pueden ocasionar daños físicos en estas. Caídas de tensión que pueden producir:

• Desconexión de motores debido a la caída de contactores.

• Efecto inverso de sobretensión el cual se presenta en ciertos tipos de falla como el

monofásicos a tierra. En estos, dependiendo del grado de aterrizaje del sistema en el punto de falla, se pueden originar aumentos en la tensión de las fases sanas.

1.3. Efecto de los cortocircuitos en la red

Modelizado y análisis de cortocircuito en sistemas eléctrico

El tratamiento de las fallas de cortocircuito debe realizarse en función del tiempo, desde la ocurrencia del evento en un tiempo igual a cero hasta su completa estabilización, donde el planteamiento teórico de la corriente de falla en el dominio del tiempo debe hacerse usando ecuaciones diferenciales [9, 10].

Con el propósito de ilustrar el comportamiento transitorio de una corriente 𝑖𝑖(𝑡𝑡), se presenta en la Figura nro. 1.1 un circuito RL en serie con una fuente de voltaje, lo cual corresponde al equivalente de Thévenin del sistema, visto en el punto de la falla. + − 𝑉𝑉𝑚𝑚sen (𝜔𝜔𝜔𝜔+ 𝛼𝛼) 𝑖𝑖(𝑡𝑡) 𝐿𝐿 + − 𝐿𝐿𝑑𝑑𝑑𝑑(𝑡𝑡) 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑅𝑅 + − 𝑅𝑅× 𝑖𝑖(𝑡𝑡) Figura nro. 1.1. Circuito equivalente R-L.

Elaboración propia.

En el análisis de los sistemas eléctricos, un modelo simplificado corresponde al equivalente de Thévenin. A través de este equivalente puede ser estudiada la situación del nodo y se puede considerar el efecto de toda la red. El modelo del generador se analiza en estado subtransitorio para el análisis del cortocircuito. De la segunda ley de Kirchhoff se tiene la ecuación diferencial homogénea con coeficientes constantes, descrita en (1.1), donde 𝑉𝑉𝑚𝑚= √ 2𝑉𝑉. La solución de dicha ecuación es de la forma 𝑖𝑖(𝑡𝑡) = 𝑖𝑖ℎ(𝑡𝑡) + 𝑖𝑖𝑝𝑝(𝑡𝑡) (homogénea y particular). Por lo tanto: 𝑉𝑉𝑚𝑚sen(𝑤𝑤𝑤𝑤+ 𝛼𝛼) = 𝑅𝑅𝑅𝑅(𝑡𝑡) + 𝐿𝐿𝑑𝑑𝑑𝑑(𝑡𝑡) 𝑑𝑑𝑑𝑑

(1.1)

Riesgo para la estabilidad del sistema:

Los cortocircuitos amenazan con romper el sincronismo de los generadores del sistema al producir un cambio sustancial en sus condiciones operativas. Esto es ocasionado por las exigencias de energía que el cortocircuito efectúa a los generadores del sistema, los cuales dependen de las distancias del generador al punto del cortocircuito; así, los más cercanos al punto de fallo contribuyen en un mayor porcentaje a su alimentación.

1.4. Falla en un circuito R-L con fuentes sinusoidales y constantes

20

Ramón Alfonso Gallego Rendón, Juan José Mora Flórez, Ricardo Alberto Hincapié Isaza

Donde 𝑉𝑉𝑚𝑚= √ 2𝑉𝑉. La solución de dicha ecuación es de la forma 𝑖𝑖(𝑡𝑡) = 𝑖𝑖ℎ(𝑡𝑡)+𝑖𝑖𝑝𝑝(𝑡𝑡), homogénea y particular. A partir de (1.1) se plantean las ecuaciones descritas en (1.2) y (1.3), las cuales corresponden a la solución homogénea de la corriente 𝑖𝑖ℎ(𝑡𝑡) —o respuesta natural transitoria—, y a la solución particular 𝑖𝑖𝑝𝑝(𝑡𝑡) —o respuesta forzada—, respectivamente: 𝑖𝑖𝑖𝑖+ 𝐿𝐿𝑑𝑑𝑖𝑖 𝑑𝑑𝑡𝑡 = 0

(1.2)

𝑖𝑖𝑝𝑝(𝑡𝑡) = 𝐴𝐴sen(𝑤𝑤𝑤𝑤+ 𝛼𝛼) + 𝐵𝐵cos(𝑤𝑤𝑤𝑤+ 𝛼𝛼)

(1.3)

La solución de las corrientes 𝑖𝑖ℎ(𝑡𝑡) e 𝑖𝑖𝑝𝑝(𝑡𝑡) tiene la forma que se presenta en (1.4) y (1.5), a saber: 𝑖𝑖ℎ(𝑡𝑡) = 𝑘𝑘𝑘𝑘𝑝𝑝𝑝𝑝

(1.4)

𝑖𝑖𝑝𝑝(𝑡𝑡) = 𝐴𝐴sen(𝑤𝑤𝑤𝑤+ 𝛼𝛼) + 𝐵𝐵cos(𝑤𝑤𝑤𝑤+ 𝛼𝛼)

(1.5)

Al solucionar las ecuaciones presentadas en (1.4) y (1.5), se obtienen las ecuaciones (1.6) y (1.7):

𝑖𝑖ℎ(𝑡𝑡) = 𝑘𝑘𝑘𝑘−(𝑅𝑅∕𝐿𝐿)𝑡𝑡

(1.6)

𝑖𝑖𝑝𝑝(𝑡𝑡) = 𝑉𝑉𝑚𝑚 𝑍𝑍[sen(𝑤𝑤𝑤𝑤+ 𝛼𝛼−𝜙𝜙)]

(1.7)

Al sumar la respuesta natural y forzada se obtiene:

𝑖𝑖(𝑡𝑡) = 𝑘𝑘𝑘𝑘−(𝑅𝑅∕𝐿𝐿)𝑡𝑡+ 𝑉𝑉𝑚𝑚 𝑍𝑍sen(𝑤𝑤𝑤𝑤+ 𝛼𝛼−𝜙𝜙)

(1.8)

Si se evalúa 𝑘𝑘para la condición inicial 𝑖𝑖(0+) en t = 0 y 𝑉𝑉= 𝑉𝑉𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚sen(𝑤𝑤𝑤𝑤+ 𝛼𝛼), se tiene que: 𝑘𝑘= −𝑉𝑉𝑚𝑚 𝑍𝑍sen(𝛼𝛼−𝜙𝜙)

(1.9)

Al reemplazar 𝑘𝑘 se observa que existe una variación senoidal que disminuye exponencialmente con el tiempo, como se presenta a continuación: Modelizado y análisis de cortocircuito en sistemas eléctrico

𝑖𝑖(𝑡𝑡) = 𝑉𝑉𝑚𝑚 𝑍𝑍 ⏞⎴⎴⎴⎴⏞⎴⎴⎴⎴⏞ [sen(𝑤𝑤𝑤𝑤+ 𝛼𝛼−𝜙𝜙) + ⏞⎴⎴⎴⎴⏞⎴⎴⎴⎴⏞ sen(𝛼𝛼−𝜙𝜙)𝑒𝑒−𝑡𝑡∕𝜏𝜏]

(1.10)

Siendo, 𝑍𝑍= √ 𝑅𝑅2 + 𝑤𝑤2𝐿𝐿2

(1.11)

𝜙𝜙= 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴(𝑤𝑤𝑤𝑤 𝑅𝑅)

(1.12)

𝜏𝜏= 𝐿𝐿 𝑅𝑅

(1.13)

El período subtransitorio está caracterizado en el tramo 𝑎𝑎𝑎𝑎, en las figuras 1.2 y 1.3, y corresponde al período inicial de la corriente de cortocircuito. Con la atenuación del subtransitorio entra el período transitorio, indicado en el tramo 𝑏𝑏𝑏𝑏. Después de su desaparición, se entra en el período de régimen permanente, caracterizado por la región ubicada después del punto 𝑐𝑐. Se observa que el período transitorio se caracteriza por un decaimiento más suave y con mayor período respecto al subtransitorio.

𝑤𝑤𝑤𝑤 𝑖𝑖(𝑡𝑡)

-

-

−2 ∗𝑉𝑉𝑚𝑚∗sen(𝛼𝛼−𝛷𝛷) 𝑍𝑍 −𝑉𝑉𝑚𝑚∗sen(𝛼𝛼−𝛷𝛷) 𝑍𝑍 a b c Período subtransitorio Período transitorio Período de estado estable Figura nro. 1.2. Corriente de cortocircuito trifásico en el generador cuando 𝛼𝛼𝛼𝛼𝛼. Elaboración propia.

1.4.1. Interpretación de la ecuación

22

Ramón Alfonso Gallego Rendón, Juan José Mora Flórez, Ricardo Alberto Hincapié Isaza

En el estudio de algunas de las aplicaciones sobre el cortocircuito, se requiere determinar sus condiciones extremas, sobre todo en aquellas donde es necesario conocer las interacciones dinámicas de las fuerzas electromagnéticas en las instalaciones y la capacidad de cierre de los disyuntores, como tambien lo correspondiente a la actuación de los mecanismos de apertura del disyuntor y el tiempo de extinsión del arco eléctrico dentro de la cámara [11, 12]. Las condiciones extremas se presentan en el primer medio ciclo, después de presentada la falla (durante el periodo subtransitorio), momento en el cual la máquina presenta el mínimo valor de reactancia. Estas condiciones, calculadas con base en la corriente asimétrica; además de ser usada en el dimensionamiento de equipos con capacidad de interrumpir el cortocircuito (entre los que se tiene el disyuntor, reconectador y fusible); también se usa en la selección de equipos de medida como son los transformadores de corriente y transformadores de distribución y de potencia, debido a la posible saturación de los núcleos magnéticos. Como se discutió en la sección anterior, la corriente de cortocircuito es asimétrica y está compuesta por una componente de corriente alterna simétrica y una continua. Dependiendo del momento del cortocircuito, el valor de la corriente inicial podría estar entre un valor de cero o un valor máximo. El valor de cero se presenta cuando la componente continua presenta el mismo valor, pero de signo opuesto, respecto a la componente simétrica; sin embargo, los estudios se realizan para condiciones extremas.

El valor de la corriente asimétrica se expresa de la siguiente forma: 𝑖𝑖(𝑡𝑡)asimétrica = 𝑖𝑖(𝑡𝑡)simétrica + 𝑖𝑖(𝑡𝑡)continua

(1.14)

𝑤𝑤𝑤𝑤 𝑖𝑖(𝑡𝑡)

-

-

2 ∗𝑉𝑉𝑚𝑚∗sen(𝛼𝛼−𝛷𝛷)

𝑍𝑍 𝑉𝑉𝑚𝑚∗sen(𝛼𝛼−𝛷𝛷) 𝑍𝑍 a b c Período subtransitorio Período transitorio Período de estado estable Figura nro. 1.3. Corriente de cortocircuito trifásico en el generador cuando 𝛼𝛼𝛼𝛼𝛼. Elaboración propia.

1.4.2. Cálculo de la corriente de cortocircuito asimétrico

Modelizado y análisis de cortocircuito en sistemas eléctrico

La expresión análitica con la cual se logra determinar el dimensionamiento del disyuntor es obtenida mediante la superposición de la componente continua y la envolvente de la simétrica, estando las dos localizadas en el mismo lado. Su expresión es: 𝑖𝑖(𝑡𝑡)asimétrica = (𝐼𝐼 ′′ max −𝐼𝐼 ′ max) 𝑒𝑒 − 𝑡𝑡 𝜏𝜏subtransitorio +(𝐼𝐼 ′ max −𝐼𝐼max) 𝑒𝑒 − 𝑡𝑡 𝜏𝜏transitorio +(𝐼𝐼max −𝐼𝐼0) 𝑒𝑒 − 𝑡𝑡 𝜏𝜏continuo

(1.15)

Donde 𝐼𝐼0 es el valor inicial de la corriente alterna. La constante de tiempo continua depende de la relación 𝑋𝑋∕𝑅𝑅del circuito, la cual es recorrida por la corriente de cortocircuito. Si se supone que 𝐼𝐼0 = 0, se obtiene la siguiente corriente:

𝑖𝑖(𝑡𝑡) = 𝑉𝑉max 𝑍𝑍 ∗sen(𝜔𝜔𝜔𝜔+ 𝛼𝛼−𝜙𝜙) −𝑉𝑉max 𝑍𝑍 ∗sen(𝛼𝛼−𝜙𝜙) ∗𝑒𝑒 − 𝑅𝑅 𝑙𝑙𝑡𝑡

(1.16)

Donde 𝑖𝑖(𝑡𝑡) es la corriente asimétrica y el ángulo 𝜙𝜙corresponde al desfase de 𝑣𝑣(𝑡𝑡) e 𝑖𝑖(𝑡𝑡). La constante de tiempo continua es:

𝜏𝜏dc = 𝐿𝐿 𝑅𝑅= 𝜔𝜔𝜔𝜔 𝜔𝜔𝜔𝜔= 𝑋𝑋 𝑅𝑅∗1 𝜔𝜔

(1.17)

Como se observa, la corriente 𝑖𝑖(𝑡𝑡) está compuesta de una componente simétrica y otra continua decreciente, como se ilustra en (1.18), (1.19) y (1.20): 𝑖𝑖(𝑡𝑡)asimétrica = 𝑖𝑖(𝑡𝑡)simétrica + 𝐼𝐼dc(𝑡𝑡)

(1.18)

𝑖𝑖(𝑡𝑡)simétrica = 𝑉𝑉max Z ∗sen(𝜔𝜔𝜔𝜔+ 𝛼𝛼−𝜙𝜙)

(1.19)

𝐼𝐼dc(𝑡𝑡) = −𝑉𝑉max Z ∗sen(𝛼𝛼−𝜙𝜙) ∗𝑒𝑒 − 𝑅𝑅 𝑙𝑙𝑡𝑡

(1.20)

La corriente asimétrica tiene los siguientes casos especiales: Si la corriente inicial 𝑖𝑖(𝑡𝑡) asimétrica es igual a cero, entonces 𝐼𝐼dc(0) = 𝑖𝑖(0) simétrica (componente continua en 𝑡𝑡= 0, igual y de signo opuesto a la simétrica).

24

Ramón Alfonso Gallego Rendón, Juan José Mora Flórez, Ricardo Alberto Hincapié Isaza

Si sen(𝛼𝛼−𝜙𝜙) = 0 (con cierre en t = 0), no existe la componente continua, por lo que la componente asimétrica es igual a la simétrica. Bajo esta condición, el ángulo de la tensión es igual al factor de potencia.

El caso extremo se presenta cuando sen(𝛼𝛼−𝜙𝜙) es máximo, correspondiente al máximo valor de la componente continua. En este caso, la ecuación de corriente es escrita como: 𝑖𝑖(𝑡𝑡) = 𝑉𝑉max Z ∗sen(𝜔𝜔𝜔𝜔+ 90◦) −𝑉𝑉max Z ∗sen(90◦) ∗𝑒𝑒− 𝑅𝑅 𝑋𝑋𝜔𝜔𝜔𝜔

(1.21)

𝑖𝑖(𝑡𝑡) = 𝑉𝑉max Z ∗cos(𝜔𝜔𝜔𝜔) −𝑉𝑉max Z ∗𝑒𝑒− 𝑅𝑅 𝑋𝑋𝜔𝜔𝜔𝜔

(1.22)

La corriente asimétrica, expresada en términos de la magnitud de la corriente simétrica, es: 𝑖𝑖(𝑡𝑡)asimétrica = √ 2𝐼𝐼simétrica ∗cos(𝜔𝜔𝜔𝜔) − √ 2𝐼𝐼simétrica ∗𝑒𝑒− 𝑅𝑅 𝑋𝑋𝜔𝜔𝜔𝜔

(1.23)

El valor eficaz de la corriente simétrica es:

𝐼𝐼simétrica = 1 √

2

∗𝑉𝑉max 𝑍𝑍

(1.24)

El valor eficaz de la corriente asimétrica es:

𝐼𝐼2 asimétrica = 𝐼𝐼2 simétrica + ( √ 2𝐼𝐼simétrica 𝑒𝑒− 𝑅𝑅 𝑋𝑋𝜔𝜔𝜔𝜔)2 = 𝐼𝐼2 simétrica + 2𝐼𝐼2 simétrica 𝑒𝑒− 2𝑅𝑅 𝑋𝑋𝜔𝜔𝜔𝜔 = 𝐼𝐼2 simétrica (1 + 2𝑒𝑒− 2𝑅𝑅 𝑋𝑋𝜔𝜔𝜔𝜔)

(1.25)

Por lo tanto:

𝐼𝐼2 asimétrica 𝐼𝐼2 simétrica = (1 + 2𝑒𝑒− 2𝑅𝑅 𝑋𝑋𝜔𝜔𝜔𝜔)

(1.26)

Al obtener la raíz cuadrada de la ecuación (1.26), se obtiene el factor 𝐹𝐹𝐹𝐹, presentado en la ecuación (1.27). Este factor representa la condición extrema del cortocircuito, la cual ocurre cuando el ángulo de la tensión es tal que (𝛼𝛼−𝜙𝜙) = 90o. Como se puede observar, 𝐹𝐹𝐹𝐹depende de la frecuencia de la red, de la relación 𝑋𝑋∕𝑅𝑅y del tiempo transcurrido después del cierre. 𝐹𝐹𝐹𝐹= 𝐼𝐼asimétrica 𝐼𝐼simétrica = √

1 + 2𝑒𝑒−

2𝑅𝑅 𝑋𝑋𝜔𝜔𝜔𝜔

(1.27)

Modelizado y análisis de cortocircuito en sistemas eléctrico

Dada la red de energía eléctrica, mostrada en la Figura nro. 1.4, calcular el factor de asimétria de la corriente de cortocircuito en el nodo 2. La condición extrema de la corriente se presenta cuando el ángulo de la tensión es tal que (𝛼𝛼−𝜙𝜙) = 90o. Para el cálculo de la corriente se desprecian las cargas; así, la tensión en todos los nodos de la red se considera igual al nominal. La frecuencia de la red es 60 Hz.

1

2

3

𝑉𝑉𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚sen (𝜔𝜔𝜔𝜔+ 𝛼𝛼)

0.01

0.1

0.02

0.2

0.02

0.2

0.02

0.2

Figura nro. 1.4. Red eléctrica de tres nodos.

Elaboración propia.

Los parámetros del equivalente de Thévenin en el nodo 2 son: 𝑅𝑅= 0.0233, 𝑋𝑋= 0.2333 y 𝜔𝜔= 2𝜋𝜋𝜋𝜋= 377, como se ilustra en la Figura nro. 1.5.

2

0.0233

0.2333

𝑉𝑉𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚sen (𝜔𝜔𝜔𝜔+ 𝛼𝛼) Figura nro. 1.5. Equivalente de Thévenin en el nodo 2.

Elaboración propia.

Una vez se determina el equivalente de Thévenin en el nodo 2, se pide cálcular el factor de

1.4.3. Ejemplo de cálculo del factor de asimetría

26

Ramón Alfonso Gallego Rendón, Juan José Mora Flórez, Ricardo Alberto Hincapié Isaza

asimétria, el cual relaciona la corriente de cortocircuito asimétrica y la simétrica. Al aplicar la ecuación (1.27), se tiene que:

𝐹𝐹𝐹𝐹= √

1 + 2𝑒𝑒−75.3𝑡𝑡

Para el cálculo del tiempo de falla 𝑡𝑡, se supone que se presenta en el primer medio ciclo después de ocurrida la falla. Así, el tiempo en el que ocurre la falla es: 𝑡𝑡1 2ciclo =

1

2 ×

1

60 =

1

120seg Al sustituir el tiempo en que ocurre la falla en la ecuación para obtener el 𝐹𝐹𝐹𝐹, resulta: 𝐹𝐹𝐹𝐹= √

1 + 2𝑒𝑒

−

75.3

120 =

√

1 + 2𝑒𝑒−0.6275 = 1.438

Esto quiere decir que la 𝑖𝑖(𝑡𝑡)asimétrica es igual a 1.438 veces la 𝑖𝑖(𝑡𝑡)simétrica. El tiempo a ser considerado debe ser el correspondiente a la actuación de los mecanismos de apertura del disyuntor, conjuntamente con el tiempo de extinción del arco eléctrico dentro de la cámara del disyuntor. Si el tiempo cálculado estuviera dentro del período subtransitorio se usaría la reactancia 𝑋𝑋 ′′ 𝑑𝑑del generador síncrono, pero si estuviera en el período transitorio, se emplearía la reactancia 𝑋𝑋 ′ 𝑑𝑑.

En la Figura nro. 1.6 se observa una representación de los elementos que constituyen un sistema de energía eléctrica como el generador, el transformador, la línea y la carga, además de otros elementos como bancos de condensadores e inductores.

M

1

2

3

4

𝑌𝑌aterrizado ∆−𝑌𝑌aterrizado ∆−𝑌𝑌aterrizado 𝑌𝑌aterrizado Figura nro. 1.6. Representación de una red eléctrica.

Elaboración propia.

1.5. Modelización de elementos y análisis de cortocircuito

Modelizado y análisis de cortocircuito en sistemas eléctrico

Las fallas paralelo o de cortocircuito ocasionan grandes cambios en la operación y pueden ser clasificadas en dos grupos: simétricas y asimétricas. Las primeras son resueltas a través de la modelización de secuencia positiva. Las segundas requieren de la modelización de las secuencias positivas, negativas y cero, en caso de fallos a tierra; y de secuencia positiva y negativa, si no existe relación con tierra.

En la modelización de la red para estudios de cortocircuito, se representan matemáticamente cada uno de los elementos en tres redes de secuencia denominadas positiva, negativa y cero [9]. De estos elementos, el generador es del tipo dinámico por lo que su representación es afectada por el fallo y se lleva a cabo en tres tiempos, denominados subtransitorio, transitorio y de estado estable.

Respecto a estudios de cortocircuito se requiere de una representación en el tiempo en que este ocurre. Para efectos de análisis, se usa el estado subtransitorio. De esta forma, el generador se representa en estado subtransitorio para las redes de secuencia positiva, negativa y cero. El transformador, la línea y la carga son elementos estáticos por lo que su representación no es afectada por la ocurrencia de la falla en el sistema. La representación de estos elementos es llevada a cabo en redes de secuencia positiva, negativa y cero para lo cual se usan las componentes simétricas. A diferencia de los elementos dinámicos, los estáticos no se ven afectados por los estados subtransitorio y transitorio. Adicionalmente, la máquina síncrona tiene una modelización especial, dependiendo del estado analizado; diferente a lo que sucede con las líneas y los transformadores.

28

Ramón Alfonso Gallego Rendón, Juan José Mora Flórez, Ricardo Alberto Hincapié Isaza

La transformada para obtener las componentes simétricas es una herramienta matemática utilizada en el estudio de circuitos eléctricos polifásicos en condiciones de balance y/o desbalance, como el caso de los cortocircuitos simétricos y asimétricos. Dado lo anterior, las componentes simétricas se constituyen en una herramienta muy útil tanto para el cálculo de las fallas asimétricas, como en el caso de las fallas trifásicas (simétricas). Las primeras ideas de descomposición de las redes eléctricas en componentes de secuencia fueron propuestas en 1895 mediante la descomposición del campo magnético, estacionario y pulsatorio, generado por el estator del motor monofásico, en dos campos girando de manera simultánea y en direcciones opuestas. Posteriormente, la idea de las componentes simétricas fue formulada por [13], quien consiguió formular una herramienta análitica para la descomposición de cualquier sistema de n fasores desequilibrados en (𝑛𝑛−1) componentes simétricas equilibradas y una componente homopolar. Esta idea fue adaptada y aplicada en el estudio de los sistemas eléctricos de potencia, ya que permite la aplicación de las técnicas conocidas en el estudio de sistemas eléctricos balanceados a los sistemas desbalanceados.

Representación del sistema mediante componentes simétricas

2.1. Aspectos fundamentales

30

Ramón Alfonso Gallego Rendón, Juan José Mora Flórez, Ricardo Alberto Hincapié Isaza

El teorema formulado por Fortescue establece que un sistema de 𝑛𝑛fasores desequilibrados puede ser descompuesto en (𝑛𝑛−1) sistemas de 𝑛𝑛fasores equilibrados y desfasados en un ángulo igual a (2𝜋𝜋∕𝑛𝑛) los cuales, en conjunto, se denominan componentes simétricas [8, 13]. La expresión analítica es representada en (2.1):̂ 𝑉𝑉𝑎𝑎=̂ 𝑉𝑉𝑎𝑎0 +̂ 𝑉𝑉𝑎𝑎1 +̂ 𝑉𝑉𝑎𝑎2 +

...

+̂ 𝑉𝑉𝑎𝑎(𝑛𝑛−1)̂ 𝑉𝑉𝑏𝑏=̂ 𝑉𝑉𝑏𝑏0 +̂ 𝑉𝑉𝑏𝑏1 +̂ 𝑉𝑉𝑏𝑏2 +

...

+̂ 𝑉𝑉𝑏𝑏(𝑛𝑛−1)̂ 𝑉𝑉𝑐𝑐=̂ 𝑉𝑉𝑐𝑐0 +̂ 𝑉𝑉𝑐𝑐1 +̂ 𝑉𝑉𝑐𝑐2 +

...

+̂ 𝑉𝑉𝑐𝑐(𝑛𝑛−1) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮̂ 𝑉𝑉𝑛𝑛=̂ 𝑉𝑉𝑛𝑛0 +̂ 𝑉𝑉𝑛𝑛1 +̂ 𝑉𝑉𝑛𝑛2 +

...

+̂ 𝑉𝑉𝑛𝑛(𝑛𝑛−1)

(2.1)

En el sistema de componentes, las fases 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎son representadas por 𝑛𝑛fasoreŝ 𝑉𝑉𝑎𝑎,̂ 𝑉𝑉𝑎𝑎, ...,̂ 𝑉𝑉𝑛𝑛, que giran a la misma velocidad en la red. Cada uno de los fasores es descompuesto en 𝑛𝑛fasores, denominados componentes de secuencia 0, 1, 2, ..., (𝑛𝑛−1). Cada secuencia la componen 𝑛𝑛fasores equilibrados, iguales en magnitud e igualmente desfasados. El desfase 𝜃𝜃𝑘𝑘 de los fasores consecutivos es dado por:

𝜃𝜃𝑘𝑘= 𝑘𝑘(2𝜋𝜋 𝑛𝑛)

(2.2)

Estos fasores se definen de la siguiente forma:

Secuencia cero: son 𝑛𝑛fasores con el mismo módulo y en fase (homopolares), girando en el mismo sentido y con la misma velocidad que el sistema original. Secuencia 1: son 𝑛𝑛fasores con el mismo módulo, con desfase de 2𝜋𝜋∕𝑛𝑛, girando en el mismo sentido y con la misma velocidad que el sistema original.

Secuencia 2: son 𝑛𝑛fasores con el mismo módulo, con desfase de 2(2𝜋𝜋∕𝑛𝑛), girando en el mismo sentido y con la misma velocidad que el sistema original. Secuencia k: son 𝑛𝑛fasores con el mismo módulo, con desfase de 𝑘𝑘(2𝜋𝜋∕𝑛𝑛), girando en el mismo sentido y con la misma velocidad que el sistema original. Conforme a lo anterior las secuencias de orden par tienen secuencias girando en sentido contrario a las de orden impar. Así, las secuencias de orden par producen campos giratorios contrarios a los del sistema original.

Adicionalmente, mediante la aplicación del teorema de Fortescue al estudio de redes de transmisión trifásicas, se tiene que tres fasores desbalanceados de un sistema trifásico se pueden

2.1.1. Teorema de Fortescue

Modelizado y análisis de cortocircuito en sistemas eléctrico

descomponer en tres sistemas trifásicos de tres fasores balanceados, denominados componentes simétricas de secuencia positiva, negativa y cero. Estas componentes se presentan en la Figura nro. 2.1. Estos se describen a continuación:

Componentes de secuencia positiva: es un conjunto de tres fasores balanceados (de igual magnitud y desfasados 120o uno de otro) con la misma secuencia de fase que los fasores originales.

Componentes de secuencia negativa: es un conjunto de tres fasores balanceados (de igual magnitud y desfasados 120o uno de otro) con secuencia de fase opuesta al sistema original desbalanceado y con velocidad sincrónica opuesta a la de la secuencia positiva. Componentes de secuencia cero: es un conjunto de tres fasores iguales en magnitud y con desfasamiento de cero grados (homopolares), que giran en el mismo sentido de secuencia del sistema original desbalanceado.

Vc Va Vb Vc Va Vb Va Vb Vc

1

1

1

2

2

2

0

0

0

Figura nro. 2.1. Descomposición de un sistema de vectores a b c en 0 1 2. Elaboración propia.

La descripción analítica de las componentes simétricas se presenta en el siguiente conjunto de ecuaciones:

𝑉𝑉a = 𝑉𝑉(0) a + 𝑉𝑉(1) a + 𝑉𝑉(2) a 𝑉𝑉b = 𝑉𝑉(0) b + 𝑉𝑉(1) b + 𝑉𝑉(2) b 𝑉𝑉c = 𝑉𝑉(0) c + 𝑉𝑉(1) c + 𝑉𝑉(2) c

(2.3)

2.1.2. Descripción análitica de las componentes a b c

32

Ramón Alfonso Gallego Rendón, Juan José Mora Flórez, Ricardo Alberto Hincapié Isaza

Va1 Vb1 Vc1 Va2 Vb2 Vc2 Va0 Vb0 Vc0 Va Vb Vc Figura nro. 2.2. Diagrama fasorial a b c y 0 1 2.

Elaboración propia.

El diagrama fasorial que reúne el sistema de fasores desbalanceado original y los tres sistemas de fasores balanceados se observa en la Figura nro. 2.2.

En el modelo matemático, el sistema de fasores de secuencia positiva, negativa y cero es equilibrado; por lo tanto, basta con analizar una única fase. Así, las componentes 𝑉𝑉b y 𝑉𝑉c se expresan en función de 𝑉𝑉a, como se ilustra en (2.4), en donde el operador 𝑎𝑎se expresa como 1∠120o.

𝑉𝑉(0) a = 𝑉𝑉(0) b = 𝑉𝑉(0) c 𝑉𝑉(1) b = a2𝑉𝑉(1) a 𝑉𝑉(1) c = a𝑉𝑉(1) a 𝑉𝑉(2) b = a𝑉𝑉(2) a 𝑉𝑉(2) c = a2𝑉𝑉(2) a

(2.4)

Al reemplazar las ecuaciones de cada componente de fase en la detección de las componentes simétricas para el sistema trifásico, el modelo se expresa de la siguiente forma: ⎡ ⎢ ⎢ ⎣ 𝑉𝑉a 𝑉𝑉b 𝑉𝑉c ⎤ ⎥ ⎥ ⎦ = ⎡ ⎢ ⎢ ⎣ 𝑉𝑉(0) a + 𝑉𝑉(1) a + 𝑉𝑉(2) a 𝑉𝑉(0) a + a2𝑉𝑉(1) a + a𝑉𝑉(2) a 𝑉𝑉(0) a + a𝑉𝑉(1) a + a2𝑉𝑉(2) a ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

(2.5)

Modelizado y análisis de cortocircuito en sistemas eléctrico

Al despejar las componentes a b c del modelo anterior, en función de las componentes 0 1 2, se tiene:

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ 𝑉𝑉a 𝑉𝑉b 𝑉𝑉c ⎤ ⎥ ⎥ ⎦ = ⎡ ⎢ ⎢ ⎣

1

1

1

1

a2 a

1

a a2 ⎤ ⎥ ⎥ ⎦ ⎡ ⎢ ⎢ ⎣ 𝑉𝑉(0) a 𝑉𝑉(1) a 𝑉𝑉(2) a ⎤ ⎥ ⎥ ⎦ = 𝐴𝐴 ⎡ ⎢ ⎢ ⎣ 𝑉𝑉(0) a 𝑉𝑉(1) a 𝑉𝑉(2) a ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

(2.6)

Donde la matriz 𝐴𝐴se define como:

𝐴𝐴= ⎡ ⎢ ⎢ ⎣

1

1

1

1

a2 a

1

a a2 ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

(2.7)

Se observa que las ecuaciones fueron expresadas en el modelo en función de la fase a, dado que los sistemas de secuencia positiva, negativa y cero son equilibrados. De esta forma, la red trifásica podrá ser representada a través de tres redes monofásicas independientes. Esta última característica se debe a que los elementos que constituyen la red de transmisión son diseñados de forma simétrica y su operación es equilibrada.

Finalmente, el inverso de la matriz 𝐴𝐴es:

𝐴𝐴−1 = 1

3

⎡ ⎢ ⎢ ⎣

1

1

1

1

a a2

1

a2 a ⎤ ⎥ ⎥ ⎦ = 1 3𝐴𝐴∗

(2.8)

Por lo tanto, los voltajes en componentes simétricas 0 1 2 se pueden expresar, en función de los voltajes en componentes a b c, de la siguiente manera:

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ 𝑉𝑉(0) a 𝑉𝑉(1) a 𝑉𝑉(2) a ⎤ ⎥ ⎥ ⎦ = 𝐴𝐴−1 ⎡ ⎢ ⎢ ⎣ 𝑉𝑉a 𝑉𝑉b 𝑉𝑉c ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

(2.9)

De las ecuaciones anteriores se puede observar que 𝑉𝑉(0) a =

1

3(𝑉𝑉a + 𝑉𝑉b + 𝑉𝑉c). Para el caso de sistemas con operación balanceada, se cumple que 𝑉𝑉a + 𝑉𝑉b + 𝑉𝑉c = 0; por lo tanto, no existe componente de secuencia cero.

34

Ramón Alfonso Gallego Rendón, Juan José Mora Flórez, Ricardo Alberto Hincapié Isaza

Las corrientes en componentes simétricas 0 1 2 también se pueden expresar, en función de las componentes de fase a b c, de la siguiente manera: ⎡ ⎢ ⎢ ⎣ 𝐼𝐼(0) a 𝐼𝐼(1) a 𝐼𝐼(2) a ⎤ ⎥ ⎥ ⎦ = 𝐴𝐴−1 ⎡ ⎢ ⎢ ⎣ 𝐼𝐼a 𝐼𝐼b 𝐼𝐼c ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

(2.10)

De manera similar, las corrientes en componentes de fase a b c se pueden expresar, en función de las componentes simétricas 0 1 2, de la siguiente forma: ⎡ ⎢ ⎢ ⎣ 𝐼𝐼a 𝐼𝐼b 𝐼𝐼c ⎤ ⎥ ⎥ ⎦ = 𝐴𝐴 ⎡ ⎢ ⎢ ⎣ 𝐼𝐼(0) a 𝐼𝐼(1) a 𝐼𝐼(2) a ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

(2.11)

Si se conocen las componentes simétricas del voltaje y la corriente, se puede calcular la potencia del sistema. Por definición, la potencia aparente en un sistema trifásico es la suma de la potencias de cada una de las fases, como se observa a continuación: 𝑆𝑆3𝜑𝜑= 𝑉𝑉a𝑖𝑖∗ a + 𝑉𝑉b𝑖𝑖∗ b + 𝑉𝑉c𝑖𝑖∗ c

(2.12)

Si la ecuación anterior se expresa en forma vectorial, se tiene que: 𝑆𝑆3𝜑𝜑= [𝑉𝑉a𝑉𝑉b𝑉𝑉c] ⎡ ⎢ ⎢ ⎣ 𝑖𝑖a 𝑖𝑖b 𝑖𝑖c ⎤ ⎥ ⎥ ⎦ ∗

(2.13)

Reemplazando los voltajes y las corrientes en componentes simétricas, se determina la ecuación (2.14), a saber:

𝑆𝑆3𝜑𝜑= [𝐴𝐴𝐴𝐴012]𝑇𝑇[𝐴𝐴𝐴𝐴012]∗= 𝑉𝑉𝑇𝑇 012𝐴𝐴𝑇𝑇𝐴𝐴∗𝐼𝐼∗

012

(2.14)

2.1.3. Expresiones de corriente en componentes simétricas y

corrientes desbalanceadas

2.1.4. Potencia aparente en términos de componentes simétricas

Modelizado y análisis de cortocircuito en sistemas eléctrico

Dado que 𝐴𝐴𝑇𝑇𝐴𝐴∗= 3 ⎡ ⎢ ⎢ ⎣

1

0

0

0

1

0

0

0

1

⎤ ⎥ ⎥ ⎦

(2.15)

Entonces, la potencia 3𝜑𝜑en componentes a b c es:

𝑆𝑆3𝜑𝜑= 𝑉𝑉a𝑖𝑖∗ a + 𝑉𝑉b𝑖𝑖∗ b + 𝑉𝑉c𝑖𝑖∗ c

(2.16)

Y la potencia 3𝜑𝜑en componentes 0 1 2 es:

𝑆𝑆3𝜑𝜑= 3𝑉𝑉(0) a 𝑖𝑖(0)∗ a + 3𝑉𝑉(1) a 𝑖𝑖(1)∗ a + 3𝑉𝑉(2) a 𝑖𝑖(2)∗ a

(2.17)

Sin embargo, cuando la potencia compleja 𝑆𝑆3𝜑𝜑se expresa en por unidad con una base trifásica de VA, desaparece el multiplicador 3. Por lo tanto, la potencia aparente total se calcula en componentes simétricas 0 1 2, de la siguiente forma:

𝑆𝑆3𝜑𝜑= 𝑉𝑉(0) a 𝑖𝑖(0)∗ a + 𝑉𝑉(1) a 𝑖𝑖(1)∗ a + 𝑉𝑉(2) a 𝑖𝑖(2)∗ a

(2.18)

En esta sección se presenta el análisis de las conexiones a partir del concepto de las impedancias de secuencia.

En este caso, la corriente por el neutro 𝐼𝐼𝑛𝑛se define a partir de la siguiente ecuación: 𝐼𝐼𝑛𝑛= (𝐼𝐼a + 𝐼𝐼b + 𝐼𝐼c) = (𝐼𝐼0 a + 𝐼𝐼1 a + 𝐼𝐼2

a) + (𝐼𝐼0

b + 𝐼𝐼1 b + 𝐼𝐼2

b) + (𝐼𝐼0

c + 𝐼𝐼1 c + 𝐼𝐼2 c)

(2.19)

Si la expresión anterior se agrupa en cada una de las respectivas componentes 0 1 2, se obtiene:

2.2. Análisis de los tipos de conexión en impedancia de secuencia

2.2.1. Circuitos conectados en estrella (aterrizados)

36

Ramón Alfonso Gallego Rendón, Juan José Mora Flórez, Ricardo Alberto Hincapié Isaza

𝐼𝐼𝑛𝑛= (𝐼𝐼0 a + 𝐼𝐼0 b + 𝐼𝐼0

c) + (𝐼𝐼1

a + 𝐼𝐼1 b + 𝐼𝐼1

c) + (𝐼𝐼2

a + 𝐼𝐼2 b + 𝐼𝐼2 c)

(2.20)

Adicionalmente, se conoce que:

(𝐼𝐼1 a + 𝐼𝐼1 b + 𝐼𝐼1

c) = (𝐼𝐼2

a + 𝐼𝐼2 b + 𝐼𝐼2

c) = 0

(2.21)

Por lo tanto, 𝐼𝐼𝑛𝑛= 3𝐼𝐼0 a

(2.22)

Lo anterior se ilustra en la Figura nro. 2.3, donde se observa que la caída de tensión entre neutro y tierra es 3𝐼𝐼0 a𝑍𝑍𝑛𝑛.

+

-

Vn +

-

Van Zy Zy Zy Zn i i i a b c Figura nro. 2.3. Conexión circuito estrella (aterrizado). Elaboración propia.

Por otro lado, la tensión entre fase y tierra para cada una de las fases a b c se puede expresar como sigue:

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ 𝑉𝑉a 𝑉𝑉b 𝑉𝑉c ⎤ ⎥ ⎥ ⎦ = ⎡ ⎢ ⎢ ⎣ 𝑉𝑉a𝑛𝑛 𝑉𝑉b𝑛𝑛 𝑉𝑉c𝑛𝑛 ⎤ ⎥ ⎥ ⎦ + ⎡ ⎢ ⎢ ⎣ 𝑉𝑉𝑛𝑛 𝑉𝑉𝑛𝑛 𝑉𝑉𝑛𝑛 ⎤ ⎥ ⎥ ⎦ = 𝑍𝑍𝑦𝑦 ⎡ ⎢ ⎢ ⎣ 𝐼𝐼a 𝐼𝐼b 𝐼𝐼c ⎤ ⎥ ⎥ ⎦ + 3𝐼𝐼𝑜𝑜 a𝑍𝑍𝑛𝑛 ⎡ ⎢ ⎢ ⎣

1

1

1

⎤ ⎥ ⎥ ⎦

(2.23)

Modelizado y análisis de cortocircuito en sistemas eléctrico

Si se reemplazan las componentes de fase a b c en función de las componentes simétricas 0 1 2, se obtiene:

𝐴𝐴 ⎡ ⎢ ⎢ ⎣ 𝑉𝑉𝑜𝑜 a 𝑉𝑉1 a 𝑉𝑉2 a ⎤ ⎥ ⎥ ⎦ = 𝑍𝑍𝑦𝑦𝐴𝐴 ⎡ ⎢ ⎢ ⎣ 𝐼𝐼𝑜𝑜 a 𝐼𝐼1 a 𝐼𝐼2 a ⎤ ⎥ ⎥ ⎦ + 3𝐼𝐼𝑜𝑜 a𝑍𝑍𝑛𝑛 ⎡ ⎢ ⎢ ⎣

1

1

1

⎤ ⎥ ⎥ ⎦

(2.24)

Multiplicando la ecuación por 𝐴𝐴−1 se tiene:

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ 𝑉𝑉𝑜𝑜 a 𝑉𝑉1 a 𝑉𝑉2 a ⎤ ⎥ ⎥ ⎦ = 𝑍𝑍𝑦𝑦 ⎡ ⎢ ⎢ ⎣ 𝐼𝐼𝑜𝑜 a 𝐼𝐼1 a 𝐼𝐼2 a ⎤ ⎥ ⎥ ⎦ + 3𝐼𝐼𝑜𝑜 a𝑍𝑍𝑛𝑛 ⎡ ⎢ ⎢ ⎣

1

0

0

⎤ ⎥ ⎥ ⎦

(2.25)

Si se expresan las ecuaciones de tensión en componentes 0 1 2, se obtiene: 𝑉𝑉𝑜𝑜 a = (𝑍𝑍𝑦𝑦+ 3𝑍𝑍𝑛𝑛) 𝐼𝐼𝑜𝑜 a = 𝑍𝑍0 𝐼𝐼𝑜𝑜 a

(2.26)

𝑉𝑉1 a = 𝑍𝑍𝑦𝑦𝐼𝐼1 a = 𝑍𝑍1 𝐼𝐼1 a

(2.27)

𝑉𝑉2 a = 𝑍𝑍𝑦𝑦𝐼𝐼2 a = 𝑍𝑍2 𝐼𝐼2 a

(2.28)

Las ecuaciones (2.26), (2.27) y (2.28), representadas en circuitos de secuencia cero, positiva y negativa; se muestran en el circuito de las figuras 2.4 y 2.5, el cual es equivalente al circuito planteado originalmente en componentes de secuencia a b c en la Figura nro. 2.3. Zy Zy Zy 3Zn i i i a a a + + +

-

-

-

0

1

2

{ { Z Z Va

2

{ Z

0

1

2

Va

1

Va

0

Figura nro. 2.4. Representación en redes de secuencia 0 1 2. Elaboración propia.

38

Ramón Alfonso Gallego Rendón, Juan José Mora Flórez, Ricardo Alberto Hincapié Isaza

En este caso no existe conexión entre el neutro y la tierra; por lo tanto, no existe flujo de corriente de secuencia cero, ya que 𝑍𝑍𝑛𝑛= ∞. Esto se indica a través del circuito abierto entre el neutro y el nodo de referencia en el circuito de secuencia cero, como se presenta en la Figura nro. 2.6. +

-

Van Zy Zy Zy i i i a b c Zy Zn = α ai

0

+ − Va

0

Figura nro. 2.6. Conexión de circuito estrella sin aterrizar.

Elaboración propia.

Un circuito conectado en ∆no tiene trayectoria a tierra; por lo tanto, las corrientes de línea que fluyen dentro de la conexión no contienen componentes de secuencia cero, como se representa en la Figura nro. 2.7.

+

-

Vn +

-

Van Zy Zy Zy Zn i i i a b c in = 3 ia

0

V Vbc ab Vca +

-

+

-

+

-

Figura nro. 2.5. Conexión de circuito estrella aterrizado en componentes a b c. Elaboración propia.

2.2.2. Circuitos conectados en estrella sin aterrizar

2.2.3. Circuitos conectados en delta

Modelizado y análisis de cortocircuito en sistemas eléctrico

∆ Z Z Z ∆ ∆ Z ∆ +

-

Va

0

ia

0

Figura nro. 2.7. Conexión de circuito delta.

Elaboración propia.

A partir de lo anterior, se demuestra cómo en los circuitos conectados en ∆que tienen solamente impedancias, sin fuentes y sin acoplamiento mutuo, no puede haber alguna corriente circulante de secuencia cero.

Los tensiones en cada una de las fases del circuito conectado en delta en componentes a b c son:

𝑉𝑉ab = 𝑍𝑍∆𝐼𝐼ab

(2.29)

𝑉𝑉bc = 𝑍𝑍∆𝐼𝐼bc

(2.30)

𝑉𝑉ca = 𝑍𝑍∆𝐼𝐼ca

(2.31)

La suma de tensiones en la trayectoria delta en componentes a b c es igual a cero y se expresa de la siguiente forma:

𝑉𝑉ab + 𝑉𝑉bc + 𝑉𝑉ca = 0

(2.32)

𝑉𝑉ab = 𝑉𝑉𝑜𝑜 ab + 𝑉𝑉1 ab + 𝑉𝑉2 ab

(2.33)

40

Ramón Alfonso Gallego Rendón, Juan José Mora Flórez, Ricardo Alberto Hincapié Isaza

𝑉𝑉bc = 𝑉𝑉𝑜𝑜 bc + 𝑉𝑉1 bc + 𝑉𝑉2 bc

(2.34)

𝑉𝑉ca = 𝑉𝑉𝑜𝑜 ca + 𝑉𝑉1 ca + 𝑉𝑉2 ca

(2.35)

Al reemplazar las ecuaciones (2.33), (2.34) y (2.35) en la ecuación (2.32), se tiene: 𝑉𝑉ab + 𝑉𝑉bc + 𝑉𝑉ca = 𝑉𝑉𝑜𝑜 ab + 𝑉𝑉𝑜𝑜 bc + 𝑉𝑉𝑜𝑜 ca = 3𝑉𝑉𝑜𝑜 ab = 0

(2.36)

Por consiguiente:

3𝑍𝑍∆𝐼𝐼𝑜𝑜 ab = 0

(2.37)

Finalmente, se observa que las componentes de secuencia cero se anulan, siendo 𝐼𝐼𝑜𝑜 ab = 0 y 𝑉𝑉𝑜𝑜 ab = 0.

En esta sección se ilustran algunas suposiciones y consideraciones relevantes que deben ser tenidos en cuenta para la conformación de las redes de secuencia. Estos aspectos son: En cada una de las redes de secuencia, la caída de voltaje en cualquiera de los elementos depende de la respectiva impedancia y del flujo de corriente de esa secuencia. Lo anterior, dado que todos los elementos de la red son diseñados de forma simétrica. Estos, al ser modelizados matemáticamente a través de elementos matriciales con componentes simétricas, son transformados en matrices diagonales; denominadas de secuencia positiva, negativa y cero, totalmente independientes.

Las impedancias 𝑍𝑍1 y 𝑍𝑍2 son iguales en cualquier circuito estático. En elementos dinámicos como la máquina sincrónica, las dos impedancias presentan valores diferentes tanto para la máquina de polos lisos como de polos salientes, con y sin arrollamiento amortiguador. Los turbogeneradores representan un caso especial, en el cual la reactancia subtransitoria de eje directo y la negativa son aproximadamente iguales. Con fines académicos, se pueden considerar iguales las impedancias de secuencia positiva y negativa para estado subtransitorio en la máquina sincrónica.

2.3. Conformación de las redes de secuencia

Modelizado y análisis de cortocircuito en sistemas eléctrico

En cualquier parte de la red, el valor de 𝑍𝑍0 es por lo general diferente a 𝑍𝑍1 y 𝑍𝑍2, debido a que aquel incorpora el efecto del neutro y la tierra, a diferencia de 𝑍𝑍1 y 𝑍𝑍2 que no los tiene. Solamente los circuitos de secuencia positiva de las máquinas rotatorias contienen fuentes de voltaje de secuencia positiva.

El neutro es la referencia para los voltajes de secuencia positiva y negativa. Los voltajes fase-neutro de secuencia positiva y negativa son iguales a los voltajes fase-tierra, si existe una conexión física de impedancia cero u otra de valor finito entre el neutro y la tierra del circuito real.

No fluyen corrientes de secuencia positiva y negativa entre los puntos neutro y de tierra. No se incluye 𝑍𝑍𝑛𝑛en las conexiones físicas entre el neutro y tierra en los circuitos de impedancia positiva y negativa, pero sí se representa en la impedancia de secuencia cero con 3𝑍𝑍𝑛𝑛.

En el cálculo de cortocircuito en sistemas de alta potencia generalmente se desprecia el efecto resistivo, por lo cual los elementos se modelan solo por su reactancia. Los valores obtenidos serán los más altos y dan un margen de seguridad en los valores calculados. En las redes de secuencia de los transformadores trifásicos se efectúa un tratamiento especial. La red de secuencia cero se altera según el tipo de conexión. La red de secuencia positiva y negativa es alterada por el desfasamiento angular entre el primario y el secundario. Este desfasamiento es tenido en cuenta después de efectuado el cálculo de cortocircuito en la red.

42

Ramón Alfonso Gallego Rendón, Juan José Mora Flórez, Ricardo Alberto Hincapié Isaza

El generador es el elemento más importante en la operación en los sistemas de potencia actuales y es el encargado de suministrar la energía requerida por los usuarios de la red. Asimismo, este mantiene los niveles de tensión y frecuencia dentro de un rango establecido para garantizar la calidad, continuidad y estabilidad del sistema [9, 12, 14].

Una representación gráfica del generador síncrono de polos salientes se muestra en la Figura nro. 3.1, en donde se observan sus principales componentes: el rotor y el estator (también denominado devanado de armadura). El tipo de máquina está determinada por el rotor el cual puede ser de polos lisos o polos salientes. El devanado del rotor se alimenta con una fuente de señal continua que proviene de la excitatriz. En el estator de la máquina síncrona se produce un campo magnético giratorio que sigue al campo magnético inducido en el rotor y cuya velocidad de rotación la define el primo motor. Dicho campo también puede provenir de una turbina que usa recurso hidráulico o térmico, para el caso específico de los grandes generadores síncronos. Los tipos de turbina hidráulica dependen de la altura del embalse respecto a la casa de máquinas; y los tipos térmicos, del tipo de recurso: carbón, gas natural o algún tipo de combustible líquido.

3.1. Generador síncrono

Modelización de los elementos

44

Ramón Alfonso Gallego Rendón, Juan José Mora Flórez, Ricardo Alberto Hincapié Isaza

𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵 𝐼𝐼𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸 N S Armadura Rotor 𝐼𝐼𝑐𝑐 𝐼𝐼𝑏𝑏 𝐼𝐼𝑎𝑎 + − 𝑣𝑣𝑎𝑎 + − 𝑣𝑣𝑐𝑐 + − 𝑣𝑣𝑏𝑏 𝜔𝜔 Figura nro. 3.1. Generador síncrono de polos salientes.

Tomado de [12].

En caso de un cortocircuito en el sistema de potencia, el generador síncrono entra en etapa subtranstoria, donde se disminuye ostensiblemente el valor de su impedancia. En este etapa, se inyecta una elevada corriente de cortocircuito al sistema. Esta se elimina con el funcionamiento del sistema de protección mediante la apertura de disyuntores. Esto último se constituye en la razón por la cual el generador es considerado un elemento activo, que responde ante cambios en el sistema de potencia.

En los generadores síncronos, es común encontrar un devanado denominado amortiguador. En régimen permanente, el generador gira a la velocidad síncrona por lo cual no existe deslizamiento y tampoco inducción de corrientes en el devanado amortiguador. La presencia de este devanado se percibe durante cortocircuitos. Esto da lugar a alteraciones entre el campo magnético giratorio del estator y del rotor, e induce corrientes en el arrollamiento amortiguador. Estas corrientes producen un flujo magnético que actúa como freno acelerante e impiden mayores oscilaciones del rotor. De esta manera, se mejora la estabilidad en el generado síncrono. En suma, el arrollamiento amortiguador permite mejorar la estabilidad del sistema. La desventaja es que incrementa la corriente de cortocircuito y, por lo tanto, también incrementa el dimensionamiento de los disyuntores, reconectadores y transformadores de corriente. Cabe mencionar que un generador síncrono sin devanado amortiguador no tiene período subtransitorio y el cortocircuito se presenta dentro del período transitorio. Finalmente, el arrollamiento amortiguador se coloca en la cabeza del polo del rotor. Es el principal responsable de la aparición del período subtransitorio en el generador. Su forma de acción es la misma que la de una jaula de ardilla de una máquina de inducción. En una máquina sincrónica el flujo a través del entrehierro no es el mismo en el instante en el que ocurre el cortocircuito, que el de unos pocos ciclos más tarde. El cambio de flujo está Modelizado y análisis de cortocircuito en sistemas eléctrico

determinado por la acción combinada del campo, la armadura y los devanados amortiguadores o partes de acero del rotor cilíndrico.

Después de que ocurre la falla, los periodos subtransitorio, transitorio y de estado permanente se caracterizan por la reactancia subtransitoria 𝑋𝑋 ′′ 𝑑𝑑, la reactancia transitoria 𝑋𝑋 ′ 𝑑𝑑y la reactancia de estado permanente 𝑋𝑋𝑑𝑑, respectivamente. El generador presenta entonces una reactancia interna variable que inicia con un valor pequeño hasta lograr una reactancia de régimen permanente. Dado que la reactancia es variable, resulta difícil calcular la corriente de cortocircuito. Por esto, se asume el valor superior de la envolvente y se divide en tres períodos de tiempo: subtransitorio, transitorio y de régimen permanente.

En generadores síncronos el valor de la resistencia de los arrollamientos del estator es pequeña frente a la reactancia. Esta es la razón por la cual su impedancia interna se suele representar solo por su valor de reactancia.

En caso de un cortocircuito trifásico en terminales del generador se origina, como respuesta, la presencia de corrientes elevadas en sus terminales. Por tratarse de un cortocircuito simétrico, su representación matemática es obtenida usando el circuito de secuencia positiva. En la Figura nro. 3.2 se muestra la máquina generadora, sometida a un cortocircuito trifásico. Sus condiciones operativas se definen fundamentalmente por su tensión nominal y velocidad sincrónica.

+ −Fuente 𝐼𝐼campo Excitatriz Rotor Estator 𝑖𝑖c(𝑡𝑡) 𝑖𝑖a(𝑡𝑡) 𝑖𝑖b(𝑡𝑡) t = 0 Figura nro. 3.2. Máquina generadora sometida a un cortocircuito trifásico. Tomado de [12].

En las tres fases se presentan corrientes con igual característica, desfasadas una de otra 120◦.

3.1.1. Cortocircuito trifásico en terminales del generador

46

Ramón Alfonso Gallego Rendón, Juan José Mora Flórez, Ricardo Alberto Hincapié Isaza

Dichas corrientes dependen del instante de cierre del interruptor, son asimétricas, y se encuentran constituidas por una componente continua y otra alterna. La continua decrece con el tiempo y su efecto se debe a propiedades del campo magnético. Dado que las variaciones en las corrientes inician en un valor igual a cero, estas no se conciben como drásticas. Las corrientes presentes en el momento del cortocircuito tienen la forma expuesta en la Figura nro. 3.3.

𝑡𝑡 𝑖𝑖(𝑡𝑡) Corriente de cortocircuito Período subtransitorio Período transitorio Período de estado estable Figura nro. 3.3. Corriente de cortocircuito trifásico en el generador. Elaboración propia.

Independientemente del momento en el cual ocurre el cierre del disyuntor, las corrientes del cortocircuito están contenidas en la envolvente. Por esta razón, para el estudio de la corriente de cortocircuito, basta con analizar el comportamiento de la envolvente la cual representa el efecto de dichas corrientes.

La corriente de cortocircuito inicia con valores elevados y luego cae paulatinamente hasta alcanzar el período de régimen permanente de cortocircuito. En la Figura nro. 3.4 se observa la variación de la envolvente en el tiempo la cual contiene los periodos subtransitorio, transitorio y de estado estable.

𝑡𝑡 𝑖𝑖(𝑡𝑡) a b c d 𝐼𝐼′′ max 𝐼𝐼′ max 𝐼𝐼max Figura nro. 3.4. Desarrollo de la envolvente en el tiempo.

Elaboración propia.

Modelizado y análisis de cortocircuito en sistemas eléctrico

El generador es un elemento dinámico que responde ante cambios presentados en la operación de la red, como es el caso del cortocircuito. Esta corriente se afecta por el valor de la reactancia en las etapas subtransitoria, transitoria y de estado estable. El mayor valor de la corriente se presenta en la etapa subtransitoria y el menor en la etapa de estado estable, como se muestra en la Figura nro. 3.5. En las reactancias ocurre el proceso inverso: inician con un valor bajo en la etapa subtransitoria y crecen hasta que el generador logra el estado estable; esto es |𝐼𝐼 ′′| > |𝐼𝐼 ′| > |𝐼𝐼| y 𝑋𝑋 ′′ 𝑑𝑑< 𝑋𝑋 ′ 𝑑𝑑< 𝑋𝑋𝑑𝑑) lo cual se aprecia en la Figura nro.

3.6.

i(t) i’’ i’ i t 1 t 2 t Figura nro. 3.5. Curva de corriente vs tiempo en falla. Elaboración propia.

Los diferentes estados del generador se caracterizan por el valor de la reactancia que se muestran en la Figura nro. 3.6, la cual se define de la siguiente manera: Reactancia subtransitoria 𝑋𝑋 ′′: se calcula como 𝑋𝑋 ′′ =̄ 𝑉𝑉∕𝐼𝐼 ′′, dondē 𝑉𝑉corresponde al valor eficaz de la tensión fase-neutro en los terminales del generador síncrono (antes del cortocircuito) e 𝐼𝐼 ′′ corresponde al valor eficaz de la corriente de cortocircuito del período subtransitorio.

Reactancia transitoria 𝑋𝑋 ′: se define como 𝑋𝑋 ′ =̄ 𝑉𝑉∕𝐼𝐼 ′, donde 𝐼𝐼 ′ corresponde al valor eficaz de la corriente de cortocircuito del período transitorio. Reactancia síncrona 𝑋𝑋: se determina como 𝑋𝑋=̄ 𝑉𝑉∕𝐼𝐼.

3.1.2. Estados del generador síncrono para estudios de

cortocircuito

48

Ramón Alfonso Gallego Rendón, Juan José Mora Flórez, Ricardo Alberto Hincapié Isaza

t 1 t 2 t x d d d x’ x’’ x (t) Figura nro. 3.6. Curva característica de la reactancia vs tiempo en falla. Elaboración propia.

Cuando ocurre un cortocircuito, las características específicas de los generadores tienen una gran influencia sobre sus variaciones temporales. Para representar y calcular las relaciones del cortocircuito, se suele considerar una tensión constante y se supone que el fenómeno de amortiguamiento de la corriente simétrica se origina por el crecimiento de las reactancias del generador, las que se denominan:

Reactancia sincrónica 𝑋𝑋𝑋𝑋o reactancia de eje directo de estado permanente. Reactancia transitoria 𝑋𝑋′𝑑𝑑o reactancia de eje directo de estado transitorio. Reactancia subtransitoria 𝑋𝑋′′𝑑𝑑o reactancia de eje directo de estado subtransitorio. Las constantes de tiempo que se asocian a cada estado se denotan 𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇′𝑑𝑑y 𝑇𝑇′′𝑑𝑑, respectivamente. Las tensiones internas de la máquina para cada estado se denominan fuerza electromotriz subtransitoria (𝑉𝑉′′), fuerza electromotriz transitoria (𝑉𝑉′) y fuerza electromotriz sincrónica (𝑉𝑉).

La representación trifásica de la red de secuencia positiva se presenta en la Figura nro. 3.7.

3.1.3. Modelo del generador síncrono de secuencia positiva

Modelizado y análisis de cortocircuito en sistemas eléctrico

+ − 𝑉𝑉𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑍𝑍1 + − 𝑉𝑉𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑍𝑍1 + −𝑉𝑉𝑏𝑏𝑏𝑏 𝑍𝑍1 𝑖𝑖1 a 𝑖𝑖1 c 𝑖𝑖1 b Figura nro. 3.7. Modelo de secuencia positiva del generador.

Elaboración propia.

Para el análisis de cortocircuito, el generador se representa por el circuito equivalente por fase de un elemento conectado en estrella; para lo cual, se selecciona la fase 𝑎𝑎como referencia, tal y como se presenta en la Figura nro. 3.8.

− + 𝐸𝐸′ a 𝑗𝑗𝑗𝑗′′ a 𝑖𝑖1 a + − 𝑉𝑉1 a n Figura nro. 3.8. Circuito equivalente del generador de secuencia positiva. Elaboración propia.

Como el generador es un elemento activo en el sistema de potencia, su representación circuital es una fuente de tensión en serie con una reactancia. Finalmente, la representación del generador para la secuencia positiva es independiente de su conexión (estrella o delta), del tipo de fallo estudiado (simétrico o asimétrico), y de su conexión entre neutro y tierra. La representación trifásica de la red de secuencia negativa se presenta en la Figura nro. 3.9.

3.1.4. Modelo del generador síncrono de secuencia negativa

50

Ramón Alfonso Gallego Rendón, Juan José Mora Flórez, Ricardo Alberto Hincapié Isaza

𝑍𝑍2 𝑍𝑍2 𝑍𝑍2 𝑖𝑖2 a 𝑖𝑖2 c 𝑖𝑖2 b Figura nro. 3.9. Modelo de secuencia negativa del generador.

Elaboración propia.

Cuando se analizan fallos asimétricos se debe representar el generador por los circuitos equivalentes de secuencia positiva, negativa y cero. Para el cálculo de la reactancia de secuencia negativa a través de ensayos de prueba en laboratorio, el arrollamiento de campo de la máquina se coloca en cortocircuito y la velocidad de giro corresponde a la síncrona en el sentido de la secuencia positiva. En paralelo, se conecta otro generador síncrono que inyecta corrientes por las fases lo cual provoca tensiones en las bobinas del estator en secuencia a2, b2, c2. De este modo, se presenta en el generador de prueba la secuencia de fase a c b, que es contraria a la a b c de la secuencia positiva.

El cortocircuito en el arrollamiento de campo se debe a que el sistema de excitación de la máquina síncrona se comporta como un cortocircuito para la señal sinusoidal alterna en el momento de presentarse el cortocircuito en el sistema de potencia.

Durante el tiempo que permanece el cortocircuito en el sistema de potencia no existen los periodos subtransitorio y transitorio en la secuencia negativa. Por esta razón, su reactancia es conocida como reactancia de secuencia negativa, expresada como (3.1), donde 𝑉𝑉a e 𝐼𝐼a corresponden a la tensión y corriente, medidas en la fase del estator, en la prueba descrita anteriormente.

𝑋𝑋2 = 𝑉𝑉a 𝐼𝐼a

(3.1)

El circuito equivalente, para la fase a del generador síncrono de secuencia negativa en estrella equivalente, se presenta en la Figura nro. 3.10.

Modelizado y análisis de cortocircuito en sistemas eléctrico

𝑗𝑗𝑗𝑗2 𝑖𝑖2 a + − 𝑉𝑉2 a n Figura nro. 3.10. Circuito equivalente del generador de secuencia negativa. Elaboración propia.

En términos generales, el generador síncrono es un elemento simétrico que balancea las tensiones en sus terminales. Por esta razón, no existen tensiones de secuencia negativa y cero. Finalmente, la reactancia de secuencia negativa se define por (3.2) en el caso de los generadores síncronos de polos salientes con arrollamiento amortiguador:

𝑋𝑋2 = 𝑋𝑋′′ 𝑑𝑑+ 𝑋𝑋′′ 𝑞𝑞

2

(3.2)

La representación trifásica de la red de secuencia cero se presenta en la Figura nro. 3.11. 𝑍𝑍𝑔𝑔0 𝑍𝑍𝑔𝑔0 𝑍𝑍𝑔𝑔0 𝑖𝑖0 a 𝑖𝑖0 c 𝑖𝑖0 b 3𝑖𝑖0 a Figura nro. 3.11. Modelo de secuencia cero del generador.

Elaboración propia.

Para determinar la reactancia de secuencia cero a través de ensayos en el laboratorio, el estator del generador se somete a tensiones iguales en cada uno de sus arrollamientos y el circuito de

3.1.5. Modelo del generador de secuencia cero

52

Ramón Alfonso Gallego Rendón, Juan José Mora Flórez, Ricardo Alberto Hincapié Isaza

campo se cortocircuita girando en el mismo sentido de la velocidad síncrona —en el sentido de la secuencia positiva—. Así, los terminales del estator se cortocircuitan y se conectan a un generador síncrono monofásico. La reactancia síncrona de secuencia cero se calcula de acuerdo a (3.3), donde 𝑉𝑉es la tensión medida en el voltímetro en las fases del estator conectado en estrella equivalente, e 𝑖𝑖0 es la corriente medida en la fase del estator:

𝑋𝑋0 = 𝑉𝑉 𝑖𝑖0

(3.3)

El circuito equivalente para la fase a del generador síncrono de secuencia cero en estrella equivalente, sólidamente aterrizado y con resistencia de tierra cero, se presenta en la Figura nro. 3.12.

𝑗𝑗𝑗𝑗0 𝑖𝑖0 a + − 𝑉𝑉0 a n Figura nro. 3.12. Circuito equivalente del generador de secuencia cero. Elaboración propia.

En el modelo del generador síncrono con conexión a tierra, se presenta una diferencia respecto al anterior, ya que en la red de secuencia cero se incluye tres veces la impedancia de conexión a tierra, como se muestra en la Figura nro. 3.13.

La conexión a tierra de los generadores favorece la sensibilidad frente al fallo línea-tierra en terminales de la máquina, ya que, de no existir esta conexión, no será posible que actúe el sistema de protecciones ante fallas desbalanceadas a tierra. Otra forma de aterrizaje se obtiene a través de transformadores 𝑌𝑌aterrizado −∆operando en vacío. Para este, las impedancias de secuencia positiva y negativa presentan un valor muy alto. También, se puede conectar el transformador de aterrizaje en zigzag. Así, las corrientes de secuencia positiva y negativa serían bloqueadas por el autotransformador.

3.1.6. Circuitos de secuencia del generador síncrono con conexión

a tierra Modelizado y análisis de cortocircuito en sistemas eléctrico

Va Va Va Zgo Zo }

2

1

3Zn Z Z Van − +

2

1

0

Figura nro. 3.13. Representación del generador en impedancias de secuencia. Elaboración propia.

La red trifásica de secuencia cero es representada como se muestra en la Figura nro. 3.14. 𝑍𝑍𝑔𝑔0 𝑍𝑍𝑔𝑔0 𝑍𝑍𝑔𝑔0 𝑖𝑖0 a 𝑖𝑖0 c 𝑖𝑖0 b 𝑍𝑍𝑛𝑛 3𝑖𝑖0 a Figura nro. 3.14. Red trifásica de secuencia cero del generador. Elaboración propia.

Los generadores tradicionales o fuentes convencionales de energía (FCE) tienen como fuente primaria recursos hidráulicos, gas natural, carbón o combustibles líquidos. Estos elementos están

3.2. Generador distribuido

54

Ramón Alfonso Gallego Rendón, Juan José Mora Flórez, Ricardo Alberto Hincapié Isaza

conectados generalmente a los sistemas de transmisión o subtransmisión, y su capacidad de generación se da a gran escala.

Sin embargo, en los últimos años han surgido nuevas tecnologías que han permitido generar energía eléctrica a partir de diversos tipos de fuentes primarias. Dado que esta fuente primaria no es la usada por las FCE, estos elementos también se conocen como fuentes no convencionales de energía (FNCE). Dentro de las FNCE se encuentran las fuentes no convencionales de energía renovables (FNCER). Allí se destacan la generación eólica, geotérmica, solar, mareomotriz y los pequeños aprovechamientos hidráulicos.

Las FNCER, empleadas actualmente en los sistemas eléctricos, son conocidas como generadores distribuidos (GD). Estos tienen como principal característica su baja capacidad de generación, y están conectados a lo largo de los sistemas de distribución o cerca de los centros de consumo.

La penetración de estos elementos en los sistemas eléctricos representa grandes ventajas operativas como la disminución de pérdidas, el mejoramiento de la regulación de tensión, la cargabilidad de elementos y la confiabilidad de la red, entre otros. Sin embargo, también ha generado nuevos problemas como la circulación de flujos de corriente en ambos sentidos, la posibilidad de flujos inversos en transformadores de distribución y subestaciones, y el aumento de los niveles de cortocircuito de la red.

En esa dirección, con el fin de evitar operaciones indeseadas de los sistemas de protecciones o daños en los elementos de la red, es importante considerar el impacto de los GD cuando se van a conectar a un sistema eléctrico.

El modelizado de los GD, bajo situaciones de cortocircuito, depende del tipo de tecnología y su fundamento o no en inversores. Para los GD basados en inversores, como los eólicos (tipo IV) y fotovoltaicos, se emplea la inyección al cortocircuito de una fuente de corriente de secuencia positiva. En la secuencia negativa y cero no se inyecta corriente por lo que queda como un circuito abierto. La corriente de aporte se asume como el 110 % de la corriente nominal del inversor. Para los GD que no están basados en inversores, el lector se puede remitir a otros numerales de este capítulo.

La máquina síncrona puede operar ya sea como generador o motor dependiendo del sentido de la potencia eléctrica (si sale, corresponde a un generador; si entra, a un motor). Respecto a la máquina asíncrona, generalmente se utiliza como motor [15, 12]. El modelo matemático de la máquina síncrona y asíncrona, cuando se opera como motor, se presenta a continuación.

3.3. Motor

Modelizado y análisis de cortocircuito en sistemas eléctrico

La rotación de la máquina operando como motor se mantiene por la energía eléctrica que este toma de la red. Esta entra en la bobina del estator y crea un campo magnético giratorio que arrastra al campo magnético creado por la excitación del rotor. El acoplamiento de los dos campos magnéticos hace girar el rotor a velocidad síncrona. Esta máquina, cuando actúa como motor, se utiliza en aplicaciones donde se requiere velocidad constante.

En caso de un cortocircuito en la red y debido a la alta inercia rotacional de la máquina, su rotor continua girando, induciendo tensiones en el estator. A partir de ese momento, estas pasan a alimentar la falla. Después de ese momento, la máquina ya no se comporta como una máquina síncrona, ya que su velocidad disminuye lentamente hasta detenerse. Debido a que el sistema de protecciones es rápido, se considera la corriente inicial de cortocircuito proveniente del motor. De esta índole, el modelo del circuito equivalente por fase es el mismo que el del generador.

Los modelos equivalentes por fase se presentan en la Figura nro. 3.15. 𝑗𝑗𝑗𝑗′′ a 𝑖𝑖a1 + − 𝑉𝑉a1 n 𝑗𝑗𝑗𝑗2 𝑖𝑖a2 + − 𝑉𝑉a2 n 𝑗𝑗𝑗𝑗0 𝑖𝑖a0 + − 𝑉𝑉a0 n Figura nro. 3.15. Circuitos equivalentes de secuencia del motor síncrono. Elaboración propia.

Si la duración del cortocircuito es menor a 0.2 segundos (tiempo de operación del disyuntor), los motores y los compensadores sincrónicos pueden tratarse como generadores sincrónicos. Es también denominado motor de inducción. Su rotor gira a una velocidad inferior a la síncrona. La diferencia de velocidad del campo del estator y del rotor produce el deslizamiento del rotor. Este induce corrientes en las barras de la jaula o las bobinas. Estas corrientes crean un campo giratorio que se acopla con un cierto desfasamiento al campo magnético del estator y hace girar el motor. Este campo giratorio del rotor es originado por la excitación que proviene del estator.

3.3.1. Motor síncrono

3.3.2. Motor asíncrono

56

Ramón Alfonso Gallego Rendón, Juan José Mora Flórez, Ricardo Alberto Hincapié Isaza

En caso de una falla en un lugar próximo a los terminales del motor, las tensiones en terminales del estator se reducen según el valor de la impedancia de la falla. De manera instantánea, la fuente de excitación en el estator disminuye. Si bien, el flujo magnético residual existente en el núcleo del rotor no puede desaparecer instantáneamente; su valor cae rápidamente y se hace cero en aproximadamente cuatro ciclos.

De esta forma, el motor de inducción se comporta como un generador en los cuatro ciclos siguientes al fallo y aporta corriente de cortocircuito. Esta contribución se da en el periodo subtransitorio. En los siguientes periodos, la máquina pierde toda su energía. Si los dispositivos de protección actúan con un tiempo superior mayor a los cuatro ciclos, generalmente no se considera la influencia del motor asíncrono.

El circuito equivalente de secuencia positiva y negativa se muestra en la Figura nro. 3.16 donde 𝑋𝑋𝑠𝑠es la reactancia de dispersión de las bobinas del estator y 𝑋𝑋𝑟𝑟la reactancia de dispersión de las bobinas del rotor, referida al estator.

𝑗𝑗(𝑋𝑋𝑠𝑠+ 𝑋𝑋𝑟𝑟) 𝑖𝑖a1 + − 𝑉𝑉a1 𝑗𝑗(𝑋𝑋𝑠𝑠+ 𝑋𝑋𝑟𝑟) 𝑖𝑖a2 + − 𝑉𝑉a2 Figura nro. 3.16. Circuitos de secuencia positiva y negativa de la máquina asíncrona. Elaboración propia.

El motor de inducción no tiene un circuito equivalente de secuencia cero debido a que normalmente tiene una conexión en delta. En caso de conexiones en Y, su equivalente es el mismo que en el caso del generador.

El transformador permite interconectar elementos del sistema a diferentes niveles de tensión. En el sistema de potencia se tienen varios tipos de transformadores que dependen básicamente del tipo de núcleo utilizado. Estos se clasifican como tipo núcleo, acorazado y banco de transformadores [16, 17].

El transformador más utilizado en redes de energía eléctrica es el tipo núcleo, el cual se

3.4. Transformador

3.4.1. Introducción

Modelizado y análisis de cortocircuito en sistemas eléctrico

muestra en la Figura nro. 3.17.

𝑛𝑛𝑠𝑠 𝑛𝑛𝑝𝑝 Primario Secundario Figura nro. 3.17. Transformador trifásico de tipo núcleo.

Elaboración propia.

El transformador trifásico de núcleo acorazado se ilustra en la Figura nro. 3.18. Este transformador es de mayor rendimiento, utiliza mayor cantidad de ferro-silicio de grano orientado y es de mayor tamaño. Además, tiene un mayor costo de construcción, respecto al tipo núcleo.

En este tipo de transformador es costumbre invertir el sentido del arrollamiento de la bobina del brazo central. Esto ocasiona que la densidad de flujo magnético sea la misma en los brazos laterales. De esta forma, se suele proporcionar un ahorro en los cuatro brazos laterales del 57 % del material [18]. Adicionalmente, por sus características de diseño, el transformador trifásico acorazado tiene una impedancia de cortocircuito menor que el transformador trifásico de tipo núcleo.

𝑛𝑛𝑝𝑝 𝑛𝑛𝑠𝑠 𝑛𝑛𝑝𝑝 𝑛𝑛𝑠𝑠 𝑛𝑛𝑝𝑝 𝑛𝑛𝑠𝑠 Figura nro. 3.18. Transformador trifásico de tipo acorazado.

Elaboración propia.

58

Ramón Alfonso Gallego Rendón, Juan José Mora Flórez, Ricardo Alberto Hincapié Isaza

El transformador trifásico de banco de transformadores se conforma por tres transformadores monofásicos idénticos, los cuales operan de manera separada e interconectados de acuerdo a las necesidades requeridas. En esta configuración, los flujos magnéticos de las unidades monofásicas no presentan interacción, es decir, operan de forma desacoplada y su desempeño es similar al del transformador trifásico de tipo acorazado.

El núcleo de los transformadores, usados en los sistemas eléctricos, se construyen con un material de ferro-silicio de granos orientados. La orientación del material en el mismo sentido del flujo magnético origina la disminución de la reluctancia magnética y las pérdidas por histéresis. Los circuitos equivalentes de secuencia de los transformadores trifásicos dependen de las conexiones de los devanados primario y secundario. Adicionalmente, las diferentes combinaciones de los devanados Y y ∆determinan las configuraciones de los circuitos de secuencia cero y el desfase en los circuitos de secuencia positiva y negativa. El transformador tipo núcleo es el más utilizado en redes de distribución y en niveles de transmisión con no muy altos niveles de transformación de energía. El acorazado es de mejor calidad y rendimiento que el anterior; sin embargo, requiere de más material y, por ende, resulta más costoso. El banco de transformadores monofásicos generalmente es usado en la transformación de grandes cantidades de potencia. Presenta dos grandes ventajas: su facilidad de transporte hasta el lugar de instalación (comparado con los otros dos tipos) y una mayor confiabilidad en la operación.

El banco trifásico conformado por transformadores monofásicos del tipo núcleo o acorazado tiene igual comportamiento al transformador trifásico acorazado cuando se analiza la corriente de secuancia cero. La impedencia de secuencia cero depende del tipo de transformador, de la forma de su núcleo magnético y del tipo de conexión de las bobinas primaria y secundaria. La impedancia de secuencia positiva se obtiene a través de ensayos de cortocircuito del transformador. Para dar con esta no se considera el efecto de magnetización y pérdidas en el núcleo [9]. La prueba se efectúa cortocircuitando el arrollamiento secundario y energizando el primario a tensión reducida. De tal forma que en el secundario se obtenga la corriente nominal secundaria del transformador. En la Figura nro. 3.19 se presenta la prueba de cortocircuito. V A 𝑖𝑖nominal Primario Secundario Figura nro. 3.19. Prueba de cortocircuito en el transformador.

Tomado de [12].

3.4.2. Impedancia de secuencia positiva del transformador

trifásico Modelizado y análisis de cortocircuito en sistemas eléctrico

Las corrientes de secuencia cero son iguales en las tres fases y su retorno solo es posible a través de un circuito cerrado. La impedancia de secuencia cero (𝑍𝑍0) es obtenida a través de la prueba de cortocircuito [12, 19]. La prueba se presenta en la Figura nro. 3.20. 𝑖𝑖0𝑝𝑝 𝑖𝑖0𝑠𝑠 Primario Secundario 3𝐼𝐼0𝑝𝑝 + −𝑉𝑉 Figura nro. 3.20. Prueba de cortocircuito en el transformador para secuencia cero. Tomado de [12].

El valor de la impedancia se calcula de acuerdo a (3.5), a saber: 𝑍𝑍0 = 𝑉𝑉 𝐼𝐼0𝑝𝑝

(3.5)

La impedancia 𝑍𝑍0 es influenciada por el tipo de conexión de las bobinas en el primario y secundario, así como también el tipo de núcleo (banco de transformadores, acorazado o núcleo). A continuación, se presentan diversos tipos de conexión para los transformadores mencionados.

La impedancia por fase de cortocircuito en el transformador se expresa en (3.4): 𝑍𝑍cc = 𝑉𝑉 √

3 ∗𝐼𝐼

Ω(Primario)

(3.4)

Por ser el transformador un elemento pasivo y estático del sistema de potencia, la secuencia de fase negativa es analizada a través de la positiva. De ese modo, la prueba de cortocircuito da el mismo resultado. Dicho de otro modo, el valor de la impedancia de secuencia positiva y negativa son iguales (𝑍𝑍1 = 𝑍𝑍2).

3.4.3. Impedancia de secuencia cero del transformador trifásico

60

Ramón Alfonso Gallego Rendón, Juan José Mora Flórez, Ricardo Alberto Hincapié Isaza

Conexión Yaterrizado - Yaterrizado:

El banco trifásico formado por transformadores monofásicos presenta el mismo comportamiento que el transformador trifásico de núcleo acorazado cuando es analizado para la red de secuencia cero. La impedancia de secuencia cero del transformador se presenta en la Figura nro. 3.21.

𝑖𝑖0 c 𝑖𝑖0 b 𝑖𝑖0 a 𝑖𝑖0 𝐴𝐴 𝑖𝑖0 𝐵𝐵 𝑖𝑖0 𝐶𝐶 3𝑖𝑖a0 3𝑖𝑖𝐴𝐴0 3𝑖𝑖a0 + −𝑉𝑉 3𝑖𝑖𝐴𝐴0 Figura nro. 3.21. Cálculo de 𝑍𝑍0 en un transformador trifásico, con conexión 𝑌𝑌aterrizado - 𝑌𝑌aterrizado. Tomado de [12].

En la ecuación (3.6) se presenta la impedancia de secuencia cero, vista en el lado primario. 𝑍𝑍0 = 𝑉𝑉 𝑖𝑖0 a

(3.6)

En el banco de trasformadores monofásicos y en el tipo núcleo acorazado, los caminos de los flujos de secuencia positiva, negativa y cero son los mismos. Por esto, las impedancias de secuencia son iguales (𝑍𝑍0 = 𝑍𝑍1 = 𝑍𝑍2).

Conexión 𝑌𝑌aterrizado - ∆:

En la Figura nro. 3.22 se presenta la conexión de transformadores 𝑌𝑌aterrizado - ∆.

3.4.3.1.

Transformador trifásico de núcleo acorazado y banco trifásico. Modelizado y análisis de cortocircuito en sistemas eléctrico

𝑖𝑖0 𝐶𝐶𝐶𝐶 𝑖𝑖0 𝐴𝐴𝐴𝐴 𝑖𝑖0 𝐵𝐵𝐵𝐵 𝑖𝑖0 c 𝑖𝑖0 b 𝑖𝑖0 a 3𝑖𝑖a0 + −𝑉𝑉 𝑖𝑖𝑛𝑛=0 Figura nro. 3.22. Transformador trifásico con conexión 𝑌𝑌aterrizado - ∆. Tomado de [12].

El transformador tiene dos valores de impedancia de secuencia cero. En el lado 𝑌𝑌aterrizado la impedancia 𝑍𝑍0 = 𝑉𝑉 𝑖𝑖0 a = 𝑍𝑍1 = 𝑍𝑍2. En el lado ∆, al no existir corriente, 𝑍𝑍0 = ∞.

Conexión 𝑌𝑌- ∆:

En este tipo de conexión, no se tiene corriente de secuencia cero dado que no existe retorno para la corriente. Así, la impedancia de secuencia cero (𝑍𝑍0), vista en ambos lados, asume un valor ∞.

Conexión ∆- ∆:

En esta conexión, como en el caso anterior, no existe retorno de corriente en ambos lados del transformador. Por lo tanto, la impedancia de secuencia cero, vista desde los dos lados, es ∞. En la representación gráfica, la impedancia de secuencia cero forma un lazo conectado a tierra, indicando la posibilidad de circulación de corriente dentro de la ∆. Conexión 𝑌𝑌𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎- 𝑌𝑌:

La representación circuital se presenta en la Figura nro. 3.23.

62

Ramón Alfonso Gallego Rendón, Juan José Mora Flórez, Ricardo Alberto Hincapié Isaza

+ −𝑉𝑉 Figura nro. 3.23. Transformador trifásico con conexión 𝑌𝑌𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎- 𝑌𝑌. Tomado de [12].

Al no existir corriente de secuencia cero en el lado secundario, tampoco existirá en el lado primario. Por esto, la impedancia de secuencia cero, vista en ambos lados, es infinita. Conexión 𝑌𝑌- 𝑌𝑌:

Al igual que en el caso anterior, la impedancia de secuencia cero, vista en ambos lados, es infinita.

3.4.3.2.

Transformador trifásico de núcleo acorazado o banco trifásico con impedancia de aterrizaje.

La impedancia que conecta el punto neutro con tierra está sometida a tres veces la corriente de secuencia cero que pasa a través de la fase. Por lo tanto, para simular la caída de tensión por fase, el valor de la impedancia es multiplicada por un factor de tres. En la Figura nro. 3.24 se presenta un transformador estrella-estrella, aterrizado en ambos lados del transformador a través de una impedancia que conecta neutro con tierra.

𝑖𝑖0 c 𝑖𝑖0 b 𝑖𝑖0 a 𝑖𝑖0 𝐴𝐴 𝑖𝑖0 𝐵𝐵 𝑖𝑖0 𝐶𝐶 𝑍𝑍𝑚𝑚 3𝑖𝑖a0 𝑍𝑍𝑛𝑛 3𝑖𝑖𝐴𝐴0 + −𝑉𝑉 3𝑖𝑖𝐴𝐴0 Figura nro. 3.24. Transformador trifásico con impedancia de aterrizaje. Tomado de [12].

Modelizado y análisis de cortocircuito en sistemas eléctrico

Así, la impedancia vista en ambos lados del transformador es 𝑍𝑍0 + 3𝑍𝑍𝑚𝑚+ 3𝑍𝑍𝑛𝑛, y está dada según el recorrido de la corriente. Las impedancias 𝑍𝑍𝑚𝑚y 𝑍𝑍𝑛𝑛, descritas en la Figura nro. 3.24 son la suma de los efectos en los tramos recorridos, los cuales son listados a continuación: Impedancia del elemento conectado entre neutro y la malla de tierra. Impedancia de la malla de tierra.

Impedancia del cable de guarda de la línea.

Resistencia de la tierra que acompaña la línea.

Resistencia al pie de la torre de la línea en el punto del cortocircuito. En la Figura nro. 3.25 se representa el equivalente de la red de secuencia cero para las diferentes formas de conexión de los transformadores con impedancia de aterrizaje.

64

Ramón Alfonso Gallego Rendón, Juan José Mora Flórez, Ricardo Alberto Hincapié Isaza

Zn Zn Zo Zn Zo Zn Zo Zo Zo Conexion Circuito equivalente de secuencia cero.

Figura nro. 3.25. Conexión de la red de secuencia cero del transformador trifásico acorazado. Elaboración propia.

A continuación, se presenta un ejemplo que proporciona un mejor entendimiento de los conceptos expuestos previamente.

Modelizado y análisis de cortocircuito en sistemas eléctrico

Ejemplo 3.1:

A partir de la red de la Figura nro. 3.26, representar la red de secuencia cero. Y Y Y Y Y K L M N Figura nro. 3.26. Sistema eléctrico de cuatro nodos.

Elaboración propia.

Para este caso, la red de secuencia cero se presenta en la Figura nro. 3.27. K L M N Figura nro. 3.27. Componentes de secuencia cero del ejemplo 3.1. Elaboración propia.

3.4.3.3.

Transformador trifásico de tipo núcleo.

En el caso del transformador trifásico tipo núcleo, no existe camino de retorno dentro del núcleo. A diferencia del banco monofásico o tipo acorazado, el flujo de secuencia cero hace camino a través del tanque y retorna por el medio, como se muestra en la Figura nro. 3.28 [12].

66

Ramón Alfonso Gallego Rendón, Juan José Mora Flórez, Ricardo Alberto Hincapié Isaza

𝑖𝑖0 𝑖𝑖0 𝑖𝑖0 𝛷𝛷0 𝛷𝛷0 𝛷𝛷0𝑇𝑇 𝛷𝛷0𝑇𝑇 Figura nro. 3.28. Flujo de secuencia cero del transformador trifásico tipo núcleo. Tomado de [12].

En la Figura nro. 3.28 los flujos magnéticos 𝛷𝛷0 de las columnas están en fase y, al ser sumados en el punto central, se ven obligados a formar un camino cerrado. De este modo, su paso es forzado a través de la carcasa del transformador, del aceite, de los herrajes y, finalmente, del aire que rodea el transformador. Este flujo de secuencia cero es representado matemáticamente a través de un arrollamiento con conexión delta, conocido con el nombre de delta ficticio. De esta forma, el transformador trifásico tipo núcleo de dos arrollamientos se estudia para la secuencia cero como un transformador trifásico de tres arrollamientos, sabiendo que el delta ficticio se asume con conexión a tierra.

Modelizado y análisis de cortocircuito en sistemas eléctrico

La conexión del circuito, equivalente por fase de la secuencia cero al transformador trifásico, tipo núcleo de dos arrollamientos, es la misma que la del transformador trifásico, tipo acorazado, de tres arrollamientos.

Conexión 𝑌𝑌𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎- 𝑌𝑌𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎:

Las condiciones para la red de secuencia cero en el transformador trifásico de tipo núcleo son representadas en la Figura nro. 3.29, donde el ciclo del flujo de secuencia cero que circula a través de la estrella del transformador y el aire para retornar al mismo es representado por un tercer devanado con conexión delta. Este se denomina delta ficticio. 𝑖𝑖0 𝑝𝑝 𝑖𝑖0 𝑝𝑝 𝑖𝑖0 𝑝𝑝 𝑖𝑖0 𝑠𝑠 𝑖𝑖0 𝑠𝑠 𝑖𝑖0 𝑠𝑠 3𝑖𝑖0𝑝𝑝 3𝑖𝑖0𝑠𝑠 3𝑖𝑖𝑜𝑜𝑜𝑜 + −𝑉𝑉 3𝑖𝑖0𝑠𝑠 𝑖𝑖0∆ 𝑖𝑖0∆ 𝑖𝑖0∆ Ficticio Figura nro. 3.29. Prueba de cortocircuito del transformador trifásico tipo núcleo. Red de secuencia cero. Tomado de [12].

Como se observa en la Figura nro. 3.29, las corrientes de secuencia cero circulan por los arrollamientos primario y secundario, así como por el delta ficticio. Para la determinación del circuito equivalente, los cálculos son efectuados asumiendo dos terminales cada vez. Esto da como resultado tres circuitos para ser modelizados de manera conjunta. De esta forma, las secuencias positiva y negativa son analizadas como un transformador de dos arrollamientos, mientras que la secuencia cero es analizada como uno de tres arrollamientos. Para el arrollamiento terciario (delta ficticio), se asume una impedancia de 4.5 𝑍𝑍0. De esta forma, el circuito equivalente es el ilustrado en la Figura nro. 3.30:

68

Ramón Alfonso Gallego Rendón, Juan José Mora Flórez, Ricardo Alberto Hincapié Isaza

4.5𝑍𝑍0 𝑍𝑍0 𝑍𝑍0 neutro = tierra Figura nro. 3.30. Red de secuencia cero del transformador trifásico de tipo columna con conexión 𝑌𝑌𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎- 𝑌𝑌𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎.

Tomado de [12].

Conexión 𝑌𝑌𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎- 𝑌𝑌:

El modelo para la red de secuencia cero se presenta en la Figura nro. 3.31. 𝑖𝑖0 𝑝𝑝 𝑖𝑖0 𝑝𝑝 𝑖𝑖0 𝑝𝑝 3𝑖𝑖0𝑝𝑝 3𝑖𝑖𝑜𝑜𝑜𝑜 + −𝑉𝑉 𝑖𝑖0∆ 𝑖𝑖0∆ 𝑖𝑖0∆ Ficticio Figura nro. 3.31. Prueba de cortocircuito transformador trifásico de tipo núcleo. Red de secuencia cero. Tomado de [12].

La corriente de secuencia cero circula por el arrollamiento primario al tener camino hacia el arrollamiento delta ficticio, mientras que por el secundario no circula corriente. El circuito equivalente de secuencia cero se muestra en la Figura nro. 3.32. Modelizado y análisis de cortocircuito en sistemas eléctrico

4.5𝑍𝑍0 𝑍𝑍0 neutro = tierra Figura nro. 3.32. Red de secuencia cero del transformador trifásico de tipo núcleo con conexión 𝑌𝑌𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎- 𝑌𝑌.

Tomado de [12].

Se puede observar que, en el transformador acorazado, no existe flujo de corriente de secuencia cero por el arrollamiento primario. En el tipo núcleo, la impedancia del primario a tierra es de 5.5 𝑍𝑍0, por lo que la corriente es pequeña; lo suficiente para operar el sistema de protección del relé —localizado en el neutro— o de secuencia cero del reconectador. Conexión 𝑌𝑌𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎- ∆:

La red de secuencia cero se ilustra en la Figura nro. 3.33.

𝑖𝑖0∆ 𝑖𝑖0∆ 𝑖𝑖0∆ 𝑖𝑖0 𝑝𝑝 𝑖𝑖0 𝑝𝑝 𝑖𝑖0 𝑝𝑝 3𝑖𝑖0𝑝𝑝 3𝑖𝑖𝑜𝑜𝑜𝑜 + −𝑉𝑉 𝑖𝑖0∆ 𝑖𝑖0∆ 𝑖𝑖0∆ Ficticio Figura nro. 3.33. Transformador trifásico de tipo núcleo con conexión 𝑌𝑌𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎- ∆. Tomado de [12].

70

Ramón Alfonso Gallego Rendón, Juan José Mora Flórez, Ricardo Alberto Hincapié Isaza

Se observa que el delta ficticio está en paralelo con el arrollamiento delta del transformador del secundario. Para este transformador, el circuito equivalente de la red de secuencia cero se muestra en la Figura nro. 3.34.

0.85𝑍𝑍0 𝑍𝑍0

2

neutro = tierra Figura nro. 3.34. Red de secuencia cero del transformador trifásico de tipo núcleo con conexión 𝑌𝑌𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎- ∆.

Tomado de [12].

Cuadro de conexión para el transformador trifásico de tipo núcleo: En la Figura nro. 3.35 se resume el esquema de conexión de secuencia cero para un transformador trifásico de tipo núcleo [12].

Modelizado y análisis de cortocircuito en sistemas eléctrico

Cuadro de conexión 𝑌𝑌aterrizado - 𝑌𝑌aterrizado 𝑍𝑍0∆−ficticio 𝑍𝑍0 𝑍𝑍0 neutro = tierra 𝑌𝑌aterrizado - 𝑌𝑌 𝑍𝑍0∆−ficticio 𝑍𝑍0 neutro = tierra 𝑌𝑌- 𝑌𝑌aterrizado 𝑍𝑍0∆−ficticio 𝑍𝑍0 neutro = tierra 𝑌𝑌aterrizado - ∆ 𝑍𝑍0∆∕∕𝑍𝑍0∆−ficticio 𝑍𝑍0∕2 neutro = tierra ∆- 𝑌𝑌aterrizado 𝑍𝑍0∆∕∕𝑍𝑍0∆−ficticio 𝑍𝑍0∕2 neutro = tierra Figura nro. 3.35. Resumen de conexiones de secuencia cero del transformador trifásico de tipo núcleo. Elaboración propia.

72

Ramón Alfonso Gallego Rendón, Juan José Mora Flórez, Ricardo Alberto Hincapié Isaza

En el autotransformador, las bobinas están directamente conectadas y la energía se transmite a través del flujo magnético por el núcleo, y la conducción directa por el arrollamiento o bobina [16, 12].

Al compararse con el transformador común, la impedancia de cortocircuito cambia, así como tambiśus características nominales, las cuales varían de acuerdo al tipo de conexión. En el transformador común, el valor de impedancia se obtiene a través de pruebas de cortocircuito en el laboratorio. Una vez obtenido el valor de impedancia, se puede transferir al otro lado del transformador por medio de la relación de transformación en términos de impedancia. Si, por ejemplo, se obtiene en el secundario 𝑍𝑍𝑆𝑆𝑆𝑆, se transfiere al primario así: 𝑍𝑍𝑃𝑃𝑃𝑃= ( 𝑁𝑁𝑃𝑃 𝑁𝑁𝑆𝑆)

2

𝑍𝑍𝑆𝑆𝑆𝑆. En valores pu, se expresa de la siguiente forma:

𝑍𝑍𝑆𝑆𝑆𝑆pu = 𝑍𝑍𝑆𝑆𝑆𝑆 𝑉𝑉2 𝑆𝑆base 𝑆𝑆base = 𝑍𝑍𝑃𝑃𝑃𝑃 𝑉𝑉2 𝑃𝑃base 𝑆𝑆base = 𝑍𝑍𝑃𝑃𝑃𝑃𝑝𝑝𝑝𝑝

(3.7)

Un transformador común conectado como autotransformador elevador se presenta en la Figura nro. 3.36 y su representación simbólica se presenta en la Figura nro. 3.37. P V + − P N S N S V + − auto S V + − auto P V + − Figura nro. 3.36. Autotransformador elevador.

Tomado de [12].

La relación de transformación para el transformador común es 𝑟𝑟1𝜙𝜙= 𝑁𝑁𝑃𝑃 𝑁𝑁𝑆𝑆. En cambio, la relación del autotranformador es 𝑟𝑟𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎= 𝑁𝑁𝑃𝑃 𝑁𝑁𝑃𝑃+𝑁𝑁𝑆𝑆. Por lo tanto:

𝑟𝑟𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎= 𝑉𝑉𝑃𝑃 𝑉𝑉𝑃𝑃+ 𝑉𝑉𝑆𝑆 = 𝑁𝑁𝑃𝑃 𝑁𝑁𝑃𝑃+ 𝑁𝑁𝑆𝑆 =

1

1 +

𝑁𝑁𝑆𝑆 𝑁𝑁𝑃𝑃 =

1

1 +

1

𝑟𝑟1𝜙𝜙 =

1

𝑟𝑟1𝜙𝜙+1 𝑟𝑟1𝜙𝜙 = 𝑟𝑟1𝜙𝜙 𝑟𝑟1𝜙𝜙+ 1

(3.8)

En el autotransformador la impedancia de cortocircuito puede ser calculada en ambos lados, en donde el valor de la impedancia en el secundario es igual a la del transformador común.

3.4.4. Autotransformador

Modelizado y análisis de cortocircuito en sistemas eléctrico

auto S V + − auto P V + − P V + − S V + − Figura nro. 3.37. Representación simbólica del autotransformador. Elaboración propia.

En la Figura nro. 3.38 se representa la prueba de cortocircuito. Como se puede observar, los puntos 𝑎𝑎y 𝑏𝑏se encuentran al mismo potencial, por lo que la fuente de tensión 𝑉𝑉𝑆𝑆está conectada directamente al devanado secundario. Así, 𝑍𝑍𝑆𝑆𝑆𝑆𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎= 𝑉𝑉𝑆𝑆 𝑖𝑖𝑆𝑆(igual que en el caso del transformador común).

En la Figura nro. 3.39 se presenta el circuito equivalente del autotransformador. a sV b si Figura nro. 3.38. Ensayo de cortocircuito en el autotransformador. Tomado de [12].

74

Ramón Alfonso Gallego Rendón, Juan José Mora Flórez, Ricardo Alberto Hincapié Isaza

auto S V + − auto P V + − P N P S N N + SP Z Figura nro. 3.39. Circuito equivalente del autotransformador.

Tomado de [12].

De la Figura nro. 3.39, la impedancia de cortocircuito se refiere al primario usando (3.9): 𝑍𝑍𝑃𝑃𝑃𝑃𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎= ( 𝑁𝑁𝑃𝑃 𝑁𝑁𝑃𝑃+ 𝑁𝑁𝑆𝑆

)

2

𝑍𝑍𝑆𝑆𝑆𝑆= 𝑟𝑟2 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑍𝑍𝑆𝑆𝑆𝑆= ( 𝑟𝑟1𝜙𝜙 𝑟𝑟1𝜙𝜙+ 1)

2

𝑍𝑍𝑆𝑆𝑆𝑆

(3.9)

Con el fin de comparar la impedancia de cortocircuito del transformador común (vista en el primario), con la del autotransformador (también vista allí), se tiene: 𝑍𝑍𝑃𝑃𝑃𝑃𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎= ( 𝑁𝑁𝑃𝑃 𝑁𝑁𝑃𝑃+ 𝑁𝑁𝑆𝑆

)

2

𝑍𝑍𝑆𝑆𝑆𝑆= ( 𝑁𝑁𝑆𝑆 𝑁𝑁𝑃𝑃+ 𝑁𝑁𝑆𝑆

)

2

(𝑁𝑁𝑃𝑃 𝑁𝑁𝑆𝑆

)

2

𝑍𝑍𝑆𝑆𝑆𝑆

(3.10)

Por lo tanto, 𝑍𝑍𝑃𝑃𝑃𝑃𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎= ( 𝑁𝑁𝑆𝑆 𝑁𝑁𝑃𝑃+ 𝑁𝑁𝑆𝑆

)

2

𝑍𝑍𝑃𝑃𝑃𝑃= (

1

𝑟𝑟1𝜙𝜙+ 1)

2

𝑍𝑍𝑃𝑃𝑃𝑃

(3.11)

De la ecuación anterior se confirma que la impedancia de cortocircuito, vista en el primario del autotransformador, es diferente a la del transformador común. Aquella tiene un valor menor. En relación con el transformador común, los datos de placa del autotransformador se calculan utilizando el circuito equivalente de la Figura nro. 3.40, de acuerdo a (3.12): 𝑆𝑆𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎= 𝑉𝑉𝑃𝑃𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎× 𝑖𝑖𝑃𝑃𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎= 𝑉𝑉𝑆𝑆𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎× 𝑖𝑖𝑆𝑆𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎

(3.12)

Dado que:

𝑉𝑉𝑃𝑃𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎= 𝑉𝑉𝑃𝑃 𝑉𝑉𝑆𝑆𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎= 𝑉𝑉𝑃𝑃+ 𝑉𝑉𝑆𝑆 𝑖𝑖𝑃𝑃𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎= 𝑖𝑖𝑃𝑃+ 𝑖𝑖𝑆𝑆 𝑖𝑖𝑆𝑆𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎= 𝑖𝑖𝑆𝑆

(3.13)

Modelizado y análisis de cortocircuito en sistemas eléctrico

auto S P S V V V = + + − auto P P V V = + − P V + − S V + − auto S S i i = Pi P N S N auto Pi Figura nro. 3.40. Representación de la operación del autotransformador. Elaboración propia.

Al expresar la ecuación 3.12 en función de las variables del transformador común, descritas previamente, se obtiene:

𝑆𝑆𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎= 𝑉𝑉𝑃𝑃(𝑖𝑖𝑃𝑃+ 𝑖𝑖𝑆𝑆) = (𝑉𝑉𝑃𝑃+ 𝑉𝑉𝑆𝑆)𝑖𝑖𝑆𝑆

(3.14)

Respecto a la relación de corrientes, las fuerzas magnetomotrices en las bobinas del primario y secundario son iguales. Por lo anterior:

𝑁𝑁𝑃𝑃𝑖𝑖𝑃𝑃= 𝑁𝑁𝑆𝑆𝑖𝑖𝑆𝑆⇒𝑖𝑖𝑆𝑆= 𝑁𝑁𝑃𝑃 𝑁𝑁𝑆𝑆 𝑖𝑖𝑃𝑃

(3.15)

Uniendo las dos ecuaciones anteriores, se tiene que: 𝑆𝑆𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎= 𝑉𝑉𝑃𝑃(𝑖𝑖𝑃𝑃+ 𝑁𝑁𝑃𝑃 𝑁𝑁𝑆𝑆 𝑖𝑖𝑃𝑃) = 𝑉𝑉𝑃𝑃𝑖𝑖𝑃𝑃(𝑁𝑁𝑃𝑃 𝑁𝑁𝑆𝑆 + 1)

(3.16)

Así, la relación de potencia entre el autotransformador y el transformador monofásico es: 𝑆𝑆𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎= 𝑆𝑆1𝜙𝜙(𝑁𝑁𝑃𝑃 𝑁𝑁𝑆𝑆 + 1) = 𝑆𝑆1𝜙𝜙

(

𝑟𝑟1𝜙𝜙+ 1

)

(3.17)

Dado lo anterior, la relación de bases del autotransformador y el transformador monofásico es:

76

Ramón Alfonso Gallego Rendón, Juan José Mora Flórez, Ricardo Alberto Hincapié Isaza

𝑆𝑆𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏= (𝑁𝑁𝑃𝑃 𝑁𝑁𝑆𝑆 + 1) 𝑆𝑆1𝜙𝜙𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏=

(

𝑟𝑟1𝜙𝜙+ 1

)

𝑆𝑆1𝜙𝜙𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏

(3.18)

Las tensiones bases del autotransformador son: 𝑉𝑉𝑃𝑃𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏= 𝑉𝑉𝑃𝑃𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏

(3.19)

𝑉𝑉𝑆𝑆𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏= 𝑉𝑉𝑃𝑃𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏+ 𝑉𝑉𝑆𝑆𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏

(3.20)

La impedancia del autotransformador en pu es la misma en ambos lados, como se observa a continuación:

𝑍𝑍𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎pu = 𝑍𝑍𝑆𝑆𝑆𝑆𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑉𝑉2 𝑆𝑆𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏 𝑆𝑆𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏 = 𝑍𝑍𝑃𝑃𝑃𝑃𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑉𝑉2 𝑃𝑃𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏 𝑆𝑆𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏

(3.21)

Respecto al primer término de la ecuación anterior, se tiene que: 𝑍𝑍𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎pu = 𝑍𝑍𝑆𝑆𝑆𝑆𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 (𝑉𝑉𝑃𝑃𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏+𝑉𝑉𝑆𝑆𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏)

2

(

𝑁𝑁𝑃𝑃 𝑁𝑁𝑆𝑆 +1)𝑆𝑆1𝜙𝜙𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏 = 𝑍𝑍𝑆𝑆𝑆𝑆

(

𝑁𝑁𝑃𝑃 𝑁𝑁𝑆𝑆 𝑉𝑉𝑆𝑆𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏+𝑉𝑉𝑆𝑆𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏)

2

(

𝑁𝑁𝑃𝑃 𝑁𝑁𝑆𝑆 +1)𝑆𝑆1𝜙𝜙𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏

(3.22)

Por ende, 𝑍𝑍𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎pu =

(

𝑁𝑁𝑆𝑆 𝑁𝑁𝑃𝑃+𝑁𝑁𝑆𝑆)

2

𝑍𝑍𝑃𝑃𝑃𝑃 𝑉𝑉2 𝑃𝑃𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏

(

𝑁𝑁𝑃𝑃 𝑁𝑁𝑆𝑆 +1)𝑆𝑆1𝜙𝜙𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏 = ⎛ ⎜ ⎜ ⎝

1

𝑁𝑁𝑃𝑃 𝑁𝑁𝑆𝑆+ 1 ⎞ ⎟ ⎟ ⎠

2

𝑍𝑍𝑃𝑃𝑃𝑃 𝑉𝑉2 𝑃𝑃𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏

(

𝑁𝑁𝑃𝑃 𝑁𝑁𝑆𝑆 +1)𝑆𝑆1𝜙𝜙𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏

(3.23)

Al comparar las impedancias vistas en el primario y secundario, se obtiene: 𝑍𝑍𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎pu = 𝑍𝑍𝑃𝑃𝑃𝑃

(

𝑁𝑁𝑃𝑃 𝑁𝑁𝑆𝑆 +1)

2

𝑉𝑉2 𝑃𝑃𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏

(

𝑁𝑁𝑃𝑃 𝑁𝑁𝑆𝑆 +1)𝑆𝑆1𝜙𝜙𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏 = 𝑍𝑍𝑆𝑆𝑆𝑆

(

𝑁𝑁𝑃𝑃 𝑁𝑁𝑆𝑆 +1)

2

𝑉𝑉2 𝑆𝑆𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏

(

𝑁𝑁𝑃𝑃 𝑁𝑁𝑆𝑆 +1)𝑆𝑆1𝜙𝜙𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏

(3.24)

Por lo tanto, Modelizado y análisis de cortocircuito en sistemas eléctrico

𝑍𝑍𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎pu = 𝑍𝑍𝑃𝑃𝑃𝑃

(

𝑁𝑁𝑃𝑃 𝑁𝑁𝑆𝑆+ 1) 𝑉𝑉2 𝑃𝑃𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏 𝑆𝑆1𝜙𝜙𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏 = 𝑍𝑍𝑆𝑆𝑆𝑆

(

𝑁𝑁𝑃𝑃 𝑁𝑁𝑆𝑆+ 1) 𝑉𝑉2 𝑆𝑆𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏 𝑆𝑆1𝜙𝜙𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏

(3.25)

Finalmente, 𝑍𝑍𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎pu = 𝑍𝑍𝑃𝑃𝑃𝑃pu

(

𝑁𝑁𝑃𝑃 𝑁𝑁𝑆𝑆+ 1) = 𝑍𝑍𝑆𝑆𝑆𝑆pu

(

𝑁𝑁𝑃𝑃 𝑁𝑁𝑆𝑆+ 1)

(3.26)

Así, en el transformador monofásico, se tiene que:

𝑍𝑍𝑇𝑇1𝜙𝜙pu = 𝑍𝑍𝑆𝑆𝑆𝑆pu = 𝑍𝑍𝑃𝑃𝑃𝑃pu

(3.27)

Conforme a lo anterior, la impedancia del autotransformador en términos del transformador común en pu es:

𝑍𝑍𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎pu = 𝑍𝑍𝑇𝑇1𝜙𝜙pu

(

𝑁𝑁𝑃𝑃 𝑁𝑁𝑆𝑆+ 1) = 𝑍𝑍𝑇𝑇1𝜙𝜙pu

(

𝑟𝑟1𝜙𝜙+ 1

)

(3.28)

De la ecuación anterior, se puede verificar que la impedancia del transformador común, conectado como autotransformador, resulta ser menor. A continuación, se presenta un ejemplo que contiene los conceptos ilustrados previamente. Ejemplo 3.2:

Dado un transformador monofásico con una capacidad de 500 kVA, una relación de transformación de 67 kV/33 kV y una impedancia de cortocircuito de 7 %, determinar sus características al ser conectado como autotransformador elevador. La Figura nro. 3.41 muestra las características del autotransformador. Como 𝑉𝑉𝑃𝑃𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 = 67 kV y 𝑉𝑉𝑆𝑆𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 = 100 kV entonces la relación de transformación del autotransformador es:

𝑟𝑟𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎= 67 kV

100 kV = 0.67

Los valores obtenidos al aplicar las ecuaciones descritas en este numeral, se presentan a continuación:

78

Ramón Alfonso Gallego Rendón, Juan José Mora Flórez, Ricardo Alberto Hincapié Isaza

auto S P S V V V = + + − auto P P V V = + −

33 kV

+ − + − auto S S i i = Pi P N S N auto Pi

67 kV

Figura nro. 3.41. Autotransformador del ejemplo 3.2. Elaboración propia.

La impedancia en ohmios, vista en el secundario del autotransformador, es: 𝑍𝑍𝑆𝑆𝑆𝑆𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎= 0.07 (33.000 𝑉𝑉)

2

500.000 𝑉𝑉𝑉𝑉= 152.46 Ω

La impedancia del autotransformador en pu es: 𝑍𝑍𝑆𝑆𝑆𝑆𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎pu = 𝑍𝑍𝑆𝑆𝑆𝑆𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑉𝑉2 𝑆𝑆𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏 𝑆𝑆𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏 =

152.46 Ω

(100.000 𝑉𝑉)2

( 67

33+1

)

500.000 𝑉𝑉𝑉𝑉

= 0.0231 pu La impedancia, en ohmios, vista en el primario del autotransformador, es: 𝑍𝑍𝑃𝑃𝑃𝑃𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎= 0, 07 ( 33.000 𝑉𝑉

100.000 𝑉𝑉)

2 (67.000 𝑉𝑉)

2

500.000 𝑉𝑉𝑉𝑉= 68.43 Ω

La impedancia del autotransformador en pu es: 𝑍𝑍𝑃𝑃𝑃𝑃𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎pu = 𝑍𝑍𝑃𝑃𝑃𝑃𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑉𝑉2 𝑃𝑃𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏 𝑆𝑆𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏 =

68.43 Ω

(67.000 𝑉𝑉)2

( 67

33+1

)

500.000 𝑉𝑉𝑉𝑉

= 0.0231 pu La capacidad del autotransformador en MVA es: 𝑆𝑆𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎= (67

33 + 1) 0.5 MVA = 1.515 MVA

La relación de transformación del autotransformador es: 𝑉𝑉𝑃𝑃𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎= 67 kV ; 𝑉𝑉𝑠𝑠𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎= 100 kV Modelizado y análisis de cortocircuito en sistemas eléctrico

𝑍𝑏𝑏𝑏 La red de energía eléctrica es representada a través de las redes de secuencia positiva, negativa y cero. Para todos los tipos del transformador trifásico, las redes de secuencia positiva y negativa se representan haciendo uso de la impedancia de cortocircuito, en las cuales no se considera el tipo de conexión y el tipo de núcleo usado en el transformador. Para el caso de la red de secuencia cero, se tiene en cuenta la influencia tanto del tipo de conexión empleado como el tipo de núcleo usado. En la Figura nro. 3.42 se presenta la conexión de un transformador tipo núcleo acorazado con conexión ∆−𝑌𝑌aterrizado, en el cual se ha generado el nodo 𝑝𝑝y se divide en dos tanto la impedancia de secuencia positiva como la de secuencia cero. Existen ciertas aplicaciones, como es el caso del análisis de contingencias, donde se requiere retirar el transformador. En estos casos, en el modelo, se incorpora un nuevo nodo (p) de tal forma que el transformador pueda ser ingresado y/o retirado.

Retirar un elemento de la matriz 𝑍𝑍𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏se lleva a cabo al colocar, en paralelo con el elemento a retirar, una impedancia del mismo valor, pero con signo contrario. El tratamiento a este elemento es el mismo que el realizado a un elemento de enlace, en el cual se crea un nodo ficticio que posteriormente es eliminado haciendo uso del proceso de reducción de Kron.

3.4.5. Representación del transformador para la conformación de

la matriz 𝑍𝑏𝑢𝑠

80

Ramón Alfonso Gallego Rendón, Juan José Mora Flórez, Ricardo Alberto Hincapié Isaza

L K L Z K L Z K L L Z 2 Z 2 Z 2 Z 2 p p K K Y Red de secuencia positiva Red de secuencia cero.

Red de secuencia positiva Red de secuencia cero.

Figura nro. 3.42. Representación del transformador.

Elaboración propia.

En un sistema con transformadores ∆−𝑌𝑌, se requiere una atención especial en los circuitos abiertos que se encuentran en la red de secuencia cero cuando se usan las aplicaciones computacionales del algoritmo de construcción de la matriz 𝑍𝑍𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏. Considerar, por ejemplo, el transformador (𝑌𝑌−∆) que está sólidamente aterrizado y conectado entre las barras 𝐾𝐾y 𝐿𝐿de la Figura nro. 3.42.

Las conexiones a la barra 𝐾𝐾de las redes de secuencia positiva y negativa pueden ser retiradas fácilmente al aplicar el algoritmo de construcción de las matrices 𝑍𝑍1 𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏y 𝑍𝑍2 𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏de la manera usual; esto es, al añadir el negativo de la impedancia de dispersión 𝑍𝑍entre las barras 𝐾𝐾y 𝐿𝐿en las redes Modelizado y análisis de cortocircuito en sistemas eléctrico

Tres transformadores monofásicos iguales pueden conectarsen de tal manera que tres devanados en ∆, a determinada tensión nominal, y tres devanados en 𝑌𝑌, a otra tensión nominal, formen un transformador trifásico. De acuerdo a esto, se tienen conexiones para transformadores en 𝑌𝑌-∆, ∆− 𝑌𝑌, 𝑌𝑌−𝑌𝑌y ∆−∆. Si cada uno de los transformadores monofásicos tiene tres devanados (primario, secundario y terciario), se pueden conectar dos conjuntos en 𝑌𝑌y uno en ∆, o dos pueden estar en ∆y uno en 𝑌𝑌.

En lugar de usar tres transformadores monofásicos idénticos, es también usual usar una unidad trifásica que tiene las tres fases sobre la misma estructura de acero. La teoría es la misma para los transformadores trifásicos y para el banco trifásico de transformadores monofásicos. La ventaja de la unidad trifásica es que requiere de menos acero para formar el núcleo y, por tanto, es más económica y ocupa menos espacio que tres unidades monofásicas. Por otro lado, tres unidades monofásicas tienen la ventaja de que, en caso de una falla, se reemplaza sólo una unidad del banco trifásico en vez de perder todo el banco. Si una falla ocurre en un banco ∆−∆, que se compone de tres unidades separadas, se puede remover uno de las transformadores monofásicos y los dos restantes todavía pueden operar como un transformador trifásico a kVA reducidos; esta conexión se llama delta abierta.

Las bobinas primarias y secundarias de los transformadores están instaladas en la misma columna. De esta naturaleza, están sometidas al mismo flujo magnético. El acoplamiento es determinado por las marcas de polaridad. Así, las corrientes de los arrollamientos del primario y secundario están en fase de tal forma que las corrientes entran por la marca de un arrollamiento y salen por la marca del otro arrollamiento.

Como consecuencia de la diversidad de conexión de los arrollamientos primarios y secundarios del transformador trifásico, las corrientes de ambos lados pueden presentar distintos grados de desfasamiento y pueden ser clasificadas como pares o impares. Los pares se presentan en conexión 𝑌𝑌−𝑌𝑌y ∆−∆, y los impares en conexión 𝑌𝑌−∆y ∆−𝑌𝑌. Los pares son denominados como 0, 2, 4, 6, 8, 10 y los impares 1, 3, 5, 7, 9, 11. Estos valores, al ser multiplicados por 30, dan el desfasamiento en grados.

de secuencia positiva y negativa. Sin embargo, no se aplica una estrategia similar a la matriz de secuencia cero 𝑍𝑍0 𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏, ya que en este caso no existe conexión entre 𝐾𝐾y 𝐿𝐿. Al adicionar (-𝑍𝑍) entre las barras 𝐾𝐾y 𝐿𝐿, no se elimina la conexión de secuencia cero. Con el fin de tener procedimientos similares para todas las redes de secuencia, se puede usar la estrategia de incluir un nodo interno 𝑝𝑝, como se muestra en la Figura nro. 3.42. Al conectar (-𝑍𝑍/2) entre las barras 𝐿𝐿y 𝑝𝑝en cada uno de los circuitos de secuencia, se elimina la conexión del transformador en la barra 𝐿𝐿. Los circuitos abiertos se pueden representar en el algoritmo por medio de ramas con impedancias arbitrariamente grandes (por ejemplo, 106 pu).

3.4.6. Desfasamiento angular en la secuencia positiva y negativa

de transformadores trifásicos

82

Ramón Alfonso Gallego Rendón, Juan José Mora Flórez, Ricardo Alberto Hincapié Isaza

El desfasamiento angular en la conexión ∆−𝑌𝑌y 𝑌𝑌−∆depende de cómo sea efectuada la conexión en el lado de la ∆. Si se considera una secuencia de fase a b c, de tal forma que el inicio de la bobina de la fase a se conecte al final de la bobina de la fase b, se obtiene un desfasamiento angular de 30◦para la secuencia positiva y −30◦para la secuencia negativa. El desfasamiento de secuencia positiva de 30◦se analiza en la Figura nro. 3.43 para la conexión 𝑌𝑌−∆. En este caso, están en fase las corrientes 𝑖𝑖a1 con 𝑖𝑖′ a1, 𝑖𝑖b1 con 𝑖𝑖′ b1, e 𝑖𝑖c1 con 𝑖𝑖′ c1.

𝑖𝑖a1 𝑖𝑖b1 𝑖𝑖c1 𝑖𝑖′ a1 𝑖𝑖′ b1 𝑖𝑖′ c1 𝑖𝑖𝐴𝐴1 𝑖𝑖𝐵𝐵1 𝑖𝑖𝐶𝐶1 ▴ ▴ ■ ■ Figura nro. 3.43. Transformador trifásico con conexión 𝑌𝑌- ∆.

Elaboración propia.

Aplicando la primera ley de Kirchhoff en cada nodo de la ∆, se obtiene: 𝑖𝑖𝐴𝐴1 = 𝑖𝑖′ a1 −𝑖𝑖′ b1

(3.29)

𝑖𝑖𝐵𝐵1 = 𝑖𝑖′ b1 −𝑖𝑖′ c1

(3.30)

𝑖𝑖𝐶𝐶1 = 𝑖𝑖′ c1 −𝑖𝑖′ a1

(3.31)

Al comparar las corrientes de entrada y salida, se tienen los fasores de la Figura nro. 3.44: Modelizado y análisis de cortocircuito en sistemas eléctrico

Los terminales de alta tensión de los transformadores trifásicos se señalan convencionalmente con las letras 𝐻𝐻1, 𝐻𝐻2 y 𝐻𝐻3 y las de baja tensión con 𝑋𝑋1, 𝑋𝑋2 y 𝑋𝑋3. En los transformadores 𝑌𝑌−𝑌𝑌o ∆−∆los señalamientos se hacen de forma que las tensiones al neutro de los terminales 𝐻𝐻1, 𝐻𝐻2 y 𝐻𝐻3 están en fase con las tensiones al neutro de los terminales 𝑋𝑋1, 𝑋𝑋2 y 𝑋𝑋3, respectivamente. Por supuesto, los devanados en ∆no tienen neutro, pero la parte del sistema a la que están conectados tiene conexión a tierra. Así, la tierra sirve como un neutro efectivo bajo condiciones balanceadas y, por lo tanto, se puede hablar de la existencia de tensiones al neutro de los terminales de la ∆. Para cumplir con los estándares americanos, los terminales de los transformadores 𝑌𝑌-∆y ∆-𝑌𝑌 se señalan de forma que las tensiones al neutro de 𝐻𝐻1, 𝐻𝐻2 y 𝐻𝐻3 se adelantan en 30◦a las tensiones al neutro de los terminales (𝑋𝑋1, 𝑋𝑋2 y 𝑋𝑋3), respectivamente.

Las tensiones y corrientes de secuencia positiva se identifican por el superíndice 1 y los de secuencia negativa por el 2. En un conjunto de tensiones línea a neutro de secuencia positiva, 𝑉𝑉1 𝐵𝐵 atrasa en 120◦a 𝑉𝑉1 𝐴𝐴, mientras que 𝑉𝑉1 𝐶𝐶atrasa a 𝑉𝑉1 𝐴𝐴en 240◦; en un conjunto de tensiones línea a neutro de secuencia negativa, 𝑉𝑉2 𝐵𝐵adelanta en 120◦a 𝑉𝑉2 𝐴𝐴, mientras 𝑉𝑉2 𝐶𝐶lo hace en 240◦a 𝑉𝑉2 𝐴𝐴. Es importante resaltar que en sistemas desbalanceados se debe tener especial cuidado en distinguir 𝑖𝑖c1 𝑖𝑖′ c1 𝑖𝑖b1 𝑖𝑖′ b1 𝑖𝑖a1 𝑖𝑖′ a1 𝑖𝑖𝐴𝐴1 30◦ 𝑖𝑖𝐵𝐵1 30◦ 𝑖𝑖𝐶𝐶1 30◦ Figura nro. 3.44. Diagrama de fasores de corriente.

Elaboración propia.

En la Figura nro. 3.44 el desfasamiento angular es verificado al comparar la corriente de secuencia del lado estrella con la corriente del lado ∆. Se observa que la corriente 𝑖𝑖𝐴𝐴1 del lado delta se adelanta 30◦en relación a la corriente 𝑖𝑖a1 del lado en estrella [12].

3.4.7. Descripción general para determinar el desfasamiento

angular en la red de secuencia positiva y negativa de los transformadores trifásicos

84

Ramón Alfonso Gallego Rendón, Juan José Mora Flórez, Ricardo Alberto Hincapié Isaza

entre las tensiones a neutro y las que son a tierra, ya que pueden ser diferentes. En la Figura nro. 3.45 se presenta un transformador trifásico con conexión 𝑌𝑌-∆, donde el lado en 𝑌𝑌es el de alta tensión. El devanado 𝐴𝐴−𝑛𝑛es la fase en el lado conectado en Y, que se encuentra enlazado magnéticamente con el devanado de la fase a b del lado conectado en ∆. La localización de los puntos sobre los devanados muestra que 𝑉𝑉𝐴𝐴𝐴𝐴está siempre en fase con 𝑉𝑉ab, independiente de la secuencia de fases.

𝐼𝐼𝐵𝐵 𝐼𝐼𝐴𝐴 𝐼𝐼𝐶𝐶 𝐼𝐼ba 𝐼𝐼cb 𝐼𝐼ac A B C 𝐻𝐻1 𝐻𝐻2 𝐻𝐻3 a b c 𝑋𝑋1 𝑋𝑋2 𝑋𝑋3 Figura nro. 3.45. Diagrama de devanados.

Elaboración propia.

Los estándares americanos requieren que, para designar las terminales 𝐻𝐻1 y 𝑋𝑋1 en transformadores 𝑌𝑌-∆, la caída de tensión al neutro de secuencia positiva en 𝐻𝐻1 adelante en 30◦a la caída de tensión al neutro de secuencia positiva en 𝑋𝑋1 sin importar si el devanado ∆o si el 𝑌𝑌 está en el lado de alta tensión. De igual forma, la tensión de 𝐻𝐻2 y 𝐻𝐻3 al neutro adelanta en 30◦a la tensión 𝑋𝑋2 y 𝑋𝑋3 al neutro, respectivamente. Los diagramas fasoriales para las componentes de tensión de secuencia positiva y negativa se presentan en las figuras 3.46 y 3.47. A B C 𝑉𝑉a 𝑉𝑉b 𝑉𝑉c 𝑉𝑉ba 𝑉𝑉ac 𝑉𝑉bc a b c 𝑉𝑉ba 𝑉𝑉ac 𝑉𝑉cb 𝑉𝑉a 𝑉𝑉b 𝑉𝑉c Figura nro. 3.46. Componentes de secuencia positiva.

Elaboración propia.

Modelizado y análisis de cortocircuito en sistemas eléctrico

A C B 𝑉𝑉a 𝑉𝑉c 𝑉𝑉b 𝑉𝑉ac 𝑉𝑉ba 𝑉𝑉cb c a b 𝑉𝑉ba 𝑉𝑉ac 𝑉𝑉cb 𝑉𝑉a 𝑉𝑉b 𝑉𝑉c Figura nro. 3.47. Componentes de secuencia negativa.

Elaboración propia.

Si 𝑁𝑁1 y 𝑁𝑁2 representan el número de espiras en los devanados de alta y baja tensión de cualquier fase entonces:

𝑉𝑉1 𝐴𝐴= (𝑁𝑁1 𝑁𝑁2 )𝑉𝑉1 ab

(3.32)

𝑉𝑉2 𝐴𝐴= (𝑁𝑁1 𝑁𝑁2 )𝑉𝑉2 ab

(3.33)

De la geometría de las figuras de componentes de secuencia anteriores, se tiene que: 𝑉𝑉1 𝐴𝐴= (𝑁𝑁1 𝑁𝑁2

)

√ 3(𝑉𝑉1 a∠30◦)

(3.34)

𝑉𝑉2 𝐴𝐴= (𝑁𝑁1 𝑁𝑁2

)

√ 3(𝑉𝑉2 a∠−30◦)

(3.35)

Igualmente, las corrientes en el transformador 𝑌𝑌-∆están desplazadas 30◦en la dirección de las tensiones, debido a que los ángulos de fase de las corrientes con respecto a sus tensiones asociadas están determinados por la impedancia de la carga. La relación entre la tensión línea-línea nominal del devanado en Y y la tensión línea-línea nominal del devanado en ∆es igual a √ 3(𝑁𝑁1∕𝑁𝑁2). Por lo tanto, al seleccionar las bases de tensión línea-línea sobre los dos lados del transformador con esta misma relación, se obtiene lo siguiente en pu:

86

Ramón Alfonso Gallego Rendón, Juan José Mora Flórez, Ricardo Alberto Hincapié Isaza

𝑉𝑉1 𝐴𝐴= (𝑉𝑉1 a)(1∠30◦)

(3.36)

𝐼𝐼1 𝐴𝐴= (𝐼𝐼1 a)(1∠30◦)

(3.37)

𝑉𝑉2 𝐴𝐴= (𝑉𝑉2 a)(1∠−30◦)

(3.38)

𝐼𝐼2 𝐴𝐴= (𝐼𝐼2 a)(1∠−30◦)

(3.39)

La impedancia del transformador y las corrientes de magnetización se manejan de manera separada del desfasamiento, lo cual puede ser representado por un transformador ideal. Esto explica por qué, de acuerdo a las expresiones anteriores, las magnitudes de tensión y de corriente (en pu) son exactamente las mismas a ambos lados del transformador. El desfasamiento en tensión puede ser indicado a través de un transformador ideal que tenga una relación de espiras dada por e𝑗𝑗𝑗𝑗∕6. Dado que 𝑉𝑉1 𝐴𝐴∕𝐼𝐼1 𝐴𝐴= 𝑉𝑉1 a∕𝐼𝐼1 a, los valores de impedancia por unidad son los mismos independientemente del lado del transformador ideal a que estén referidos. El desfasamiento tampoco afecta los flujos de potencia real y reactiva porque el que tiene la corriente se compensa con el de tensión en el rango de valores involucrados. Esto se puede demostrar fácilmente al escribir (en pu) la potencia compleja para cada lado del transformador (𝑌𝑌−∆) o (∆−𝑌𝑌). A saber:

𝑉𝑉1 𝐴𝐴𝐼𝐼1 ∗ 𝐴𝐴= (𝑉𝑉1 a∠30◦)(𝐼𝐼1 ∗ a ∠−30◦) = 𝑉𝑉1 a𝐼𝐼1 ∗ a

(3.40)

El desfase angular entre las corrientes y tensiones de las bobinas del primario y secundario dependen del tipo de conexión que posean el transformador, la carga y las impedancias de las bobinas. El desplazamiento angular, provocado por el tipo de conexión, se conoce como grupo de conexión horario, debido a que cada una de estas conexiones es múltiplo de 30◦. Esto sucede porque los fasores de tensión o de corriente se ubican sobre las horas del reloj.

3.4.8. Grupos de conexiones de un transformador trifásico e

índice horario Modelizado y análisis de cortocircuito en sistemas eléctrico

La norma americana sugiere que, para especificar la conexión de un transformador, las fases de los bornes primarios deben ser letras mayúsculas (𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴); y en el secundario, minúsculas (𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎). Además, se debe detallar con un subíndice entre 0 y 11 el desplazamiento angular que depende de la conexión entre el primario y secundario, y la dirección de las corrientes relacionadas al sentido de arrollamiento de cada bobina. La metodología para determinar el desplazamiento angular entre el primario y el secundario, según el tipo de conexión, considera los pasos descritos a continuación [20]:

a. La conexión se hace a partir de la red de secuencia positiva. De ese modo, la fase 𝐴𝐴se toma

como la referencia horaria, ubicada en la zona 0 del reloj. Las fases 𝐵𝐵y 𝐶𝐶se encuentran desfasadas −120◦y 120◦, respectivamente; ubicando a 𝐵𝐵en la zona 4 y a 𝐶𝐶en la zona 8 (ver la Figura nro. 3.48).

0

1

5

7

11

6

2

4

8

10

3

9

𝑉𝑉𝐴𝐴 𝑉𝑉𝐵𝐵 𝑉𝑉𝐶𝐶 Figura nro. 3.48. Referencia de tensión.

Elaboración propia.

b. Determinar la tensión en los arrollamientos del lado primario (𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴). Las tensiones

dependen de cómo están conectadas las bobinas. En el caso de conexión 𝑌𝑌, la tensión de alimentación coincide con la 𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓(fuerza electromagnética) que se establece en cada bobina. Para la conexión ∆, la 𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓de cada bobina se da por una resta fasorial entre las tensiones aplicadas en el terminal positivo y negativo.

c. Hallar las marcas de polaridad en el transformador. Cada fase primaria-secundaria

se encuentra arrollada sobre el mismo pie de columna y comparten el mismo flujo magnético. Dado lo anterior, las corrientes por fase entre primario y secundario son paralelas y, dependiendo del sentido en que están arrolladas las bobinas, podrían estar en fase 0◦o en contrafase 180◦. Si las marcas están enfrentadas, las corrientes de la fase primaria-secundaria están en fase, y si están cruzadas entonces las corrientes estarán en contrafase.

d. Obtener la tensión en los arrollamientos del lado secundario (𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎). Las tensiones dependen

de cómo están conectadas las bobinas. En el caso de la conexión 𝑌𝑌, la tensión en terminales

88

Ramón Alfonso Gallego Rendón, Juan José Mora Flórez, Ricardo Alberto Hincapié Isaza

coincide con la 𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓que se establece en cada bobina. Para la conexión ∆, la 𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓de cada bobina se da por una resta fasorial entre las tensiones de cada terminal.

e. Superponer los fasores de tensión del primario 𝑉𝑉𝐴𝐴, 𝑉𝑉𝐵𝐵y 𝑉𝑉𝐶𝐶con los fasores de tensión del

secundario 𝑉𝑉𝑎𝑎, 𝑉𝑉𝑏𝑏y 𝑉𝑉𝑐𝑐. La diferencia angular dada entre la tensión del primario 𝑉𝑉𝐴𝐴y la tensión del secundario 𝑉𝑉𝑎𝑎se conoce como desplazamiento angular. La hora a la que apunta este último fasor determina el grupo de conexión.

En los índices horarios y los desplazamientos angulares existen algunas consideraciones que se deben tener en cuenta en el diseño de transformadores trifásicos. Estas son: En los grupos horarios 0, 1, 2, 10 y 11, las marcas del transformador se encuentran enfrentadas.

En los grupos horarios 4, 5, 6, 7 y 8, las marcas del transformador se encuentran cruzadas. No se pueden efectuar conexiones 𝐷𝐷𝑦𝑦y 𝑌𝑌𝑑𝑑pares.

No se pueden efectuar conexiones 𝐷𝐷𝑑𝑑y 𝑌𝑌𝑦𝑦impares. Se debe tener en cuenta que las únicas conexiones 𝑌𝑌𝑦𝑦pares y posibles son 𝑌𝑌𝑦𝑦0 y 𝑌𝑌𝑦𝑦6.

Por otro lado, cuando se conoce el grupo de conexión horario de un transformador trifásico, se puede determinar su conexión interna y los ángulos de impedancia de secuencia positiva y negativa. Esto es importante en la protección de sistemas eléctricos dado que, conocer la conexión interna de un transformador, es primordial para realizar la coordinación, los ajustes de relés diferenciales y las conexiones en paralelo. El proceso para definir la conexión interna de un grupo de conexión se detalla en el siguiente ejemplo.

Ejemplo 3.3:

Determinar la conexión interna de un transformador trifásico 𝑌𝑌𝑦𝑦6. Para determinar la conexión interna del transformador es necesario aplicar la metodología que determina el desplazamiento angular a partir de las consideraciones en el diseño de los transformadores trifásicos. Sus pasos pueden explicitarse del siguiente modo:

a. Establecer la referencia de tensión (ver la Figura nro. 3.49).

Modelizado y análisis de cortocircuito en sistemas eléctrico

𝑉𝑉𝐴𝐴 𝑉𝑉𝐵𝐵 𝑉𝑉𝐶𝐶 𝐴𝐴′, 𝐵𝐵′, 𝐶𝐶′ Figura nro. 3.49. Referencia de tensión y fasores de tensión en el primario. Elaboración propia.

b. Determinar los fasores de tensión del primario (ver la Figura nro. 3.49).

c. Precisar si las corrientes primario-secundarias están en fase o contrafase. Al ser una

conexión con un índice horario 6, las marcas de polaridad están cruzadas. Por esto, las corrientes por fase primario-secundarias están en contrafase (ver la Figura nro. 3.50). 𝐼𝐼𝐴𝐴 𝐴𝐴 𝐴𝐴′ 𝐼𝐼𝑎𝑎 𝑎𝑎′ 𝑎𝑎 𝐼𝐼𝐵𝐵 𝐵𝐵 𝐵𝐵′ 𝐼𝐼𝑏𝑏 𝑏𝑏′ 𝑏𝑏 𝐼𝐼𝐶𝐶 𝐶𝐶 𝐶𝐶′ 𝐼𝐼𝑐𝑐 𝑐𝑐′ 𝑐𝑐 Figura nro. 3.50. Forma de conexión inicial.

Elaboración propia.

d. Obtener los fasores de tensión en el secundario (ver la Figura nro. 3.51).

90

Ramón Alfonso Gallego Rendón, Juan José Mora Flórez, Ricardo Alberto Hincapié Isaza

𝑉𝑉′ 𝑎𝑎 𝑉𝑉′ 𝑏𝑏 𝑉𝑉′ 𝑐𝑐 𝑎𝑎′, 𝑏𝑏′, 𝑐𝑐′ Figura nro. 3.51. Fasores de tensión en el secundario.

Elaboración propia.

e. Superponer los fasores de tensión en el primario y el secundario (ver la Figura nro. 3.52).

0

1

5

7

11

6

2

4

8

10

3

9

𝑉𝑉′ 𝑎𝑎 𝑉𝑉′ 𝑏𝑏 𝑉𝑉′ 𝑐𝑐 𝑎𝑎′, 𝑏𝑏′, 𝑐𝑐′ 𝑉𝑉𝐴𝐴 𝑉𝑉𝐵𝐵 𝑉𝑉𝐶𝐶 𝐴𝐴′, 𝐵𝐵′, 𝐶𝐶′ Figura nro. 3.52. Fasores de tensión superpuestos.

Elaboración propia.

Nótese que en el diagrama fasorial de la Figura nro. 3.52, la tensión 𝑉𝑉𝐴𝐴del primario y 𝑉𝑉𝑎𝑎del secundario están desfasadas 180◦y la segunda está apuntando hacia el índice horario 6. También, se puede apreciar que la fase 𝐴𝐴𝐴𝐴′ está en paralelo con la fase 𝑎𝑎𝑎𝑎′ en sentidos opuestos y sus marcas están cruzadas, ya que ambas se ubican sobre el mismo pie de columna; esto mismo sucede para las fases restantes. Finalmente, al ser una conexión 𝑌𝑌𝑦𝑦6, sus puntos de conexión 𝐴𝐴′𝐵𝐵′𝐶𝐶′ y 𝑎𝑎′𝑏𝑏′𝑐𝑐′ se encuentran cortocircuitados. La conexión interna del transformador 𝑌𝑌𝑦𝑦6 se muestra en la Figura nro. 3.53.

Modelizado y análisis de cortocircuito en sistemas eléctrico

Las líneas de transmisión son las encargadas de transportar las energía desde los centros de carga. Estas interconectan generadores, subestaciones y demás elementos requeridos en la operación de los sistemas eléctricos [21]. Estas líneas recorren grandes distancias geográficas y, debido a este hecho, son elementos sujetos a una gran cantidad de fallos. Por ello, estas deben estar protegidas y vigiladas para minimizar los riesgos operativos. De los elementos que constituyen las redes eléctricas, la línea de transmisión es el elemento que más cantidad de fallos reporta [22]. Algunos de estos fallos son:

Gran cantidad de elementos que compone las líneas.

Grandes distancias geográficas recorridas por las líneas.

Descargas atmosféricas.

Impacto ambiental.

Clima (temperatura, humedad, viento, lluvia, etc.).

Salinidad.

𝐼𝐼𝐴𝐴 𝐴𝐴 𝐴𝐴′ 𝐼𝐼𝑎𝑎 𝑎𝑎′ 𝑎𝑎 𝐼𝐼𝐵𝐵 𝐵𝐵 𝐵𝐵′ 𝐼𝐼𝑏𝑏 𝑏𝑏′ 𝑏𝑏 𝐼𝐼𝐶𝐶 𝐶𝐶 𝐶𝐶′ 𝐼𝐼𝑐𝑐 𝑐𝑐′ 𝑐𝑐 A a B b C c Figura nro. 3.53. Conexión interna de un transformador trifásico 𝑌𝑌𝑦𝑦6. Elaboración propia.

3.5. Líneas de transmisión

92

Ramón Alfonso Gallego Rendón, Juan José Mora Flórez, Ricardo Alberto Hincapié Isaza

Vegetación.

Fallas geográficas.

Vandalismo.

Respecto al cálculo del fallo, la línea se constituye en un elemento limitador de la corriente de cortocircuito al tener una impedancia alta: mientras más alejado sea el fallo de los centros de generación, mayor es la influencia en la alteración del nivel de cortocircuito. En el caso de las redes de distribución, se observa una gran impedancia entre el punto de cortocircuito y los generadores, viéndose disminuida la influencia del modelo del generador. De ese modo, con los modelos subtransitorio, transitorio y de estado estable se tendrán resultados similares. Los sistemas de transmisión con niveles de tensión mayor a 115 kV presentan una alta relación reactancia-resistencia, por lo que el desfase de las corrientes están cerca a los 90◦. En sistemas secundarios de distribución, el desfase se acerca a los 20◦. En sistemas de alimentadores primarios y redes de subtransmisión, el desfase está entre estos dos valores [18].

3.5.1.1.

Impedancia de secuencia positiva.

Esta impedancia puede ser obtenida a través de cálculos matemáticos o por medio de pruebas en el laboratorio. El cálculo matemático y las pruebas de laboratorio son llevadas a cabo aplicando tensiones trifásicas, equilibradas en la entrada de la línea, y cortocircuitando el otro extremo. En la Figura nro. 3.54 se presenta la prueba realizada, donde la impedancia de secuencia positiva es 𝑍𝑍1 = 𝑉𝑉1 a∕𝑖𝑖1 a.

+ − 𝑉𝑉1 a + − 𝑉𝑉1 c + − 𝑉𝑉1 b 𝑖𝑖c1 𝑖𝑖b1 𝑖𝑖a1 Figura nro. 3.54. Prueba de cortocircuito en la línea de transmisión. Elaboración propia.

Dada la dificultad de efectuar la prueba anterior, se consideran las características del conductor y su disposición geométrica. El cálculo de la impedancia se realiza bajo el presupuesto de que la línea es perfectamente equilibrada, es decir, los conductores tienen las mismas características, están igualmente espaciados y son transpuestos para compensar desequilibrios dados por los campos magnéticos de fases, los cables de guarda, el herraje y la tierra recorrida por la línea de transmisión.

3.5.1. Modelo de la línea en impedancia de secuencia

Modelizado y análisis de cortocircuito en sistemas eléctrico

3.5.1.2.

Impedancia de secuencia negativa.

Por ser la línea de transmisión un elemento estático, su modelo de impedancia no se ve afectada por la secuencia de fase y su comportamiento es idéntico al de la secuencia positiva. Por lo tanto, la impedancia de secuencia negativa presenta el mismo valor que la de secuencia positiva.

3.5.1.3.

Impedancia de secuencia cero.

Las corrientes de secuencia cero por los conductores son iguales y están forzadas a retornar por caminos diferentes: el cable de guarda, la tierra recorrida por la línea o el suelo de menor distancia a la subestación. En el caso de redes de distribución, este se presenta por el neutro y el suelo que acompaña la línea. Las corrientes de secuencia cero que circulan por los conductores generan campos magnéticos que enlazan el cable de guarda y el suelo bajo la tierra, como se muestra en la Figura nro. 3.55 [23]. X x x x x x tierra cable de guarda Figura nro. 3.55. Efecto del campo magnético, generado por la corriente de secuencia cero. Elaboración propia.

Como se observa en la Figura nro. 3.55, en la tierra es inducida una corriente de retorno. Generalmente, las líneas son largas y recorren terrenos con características diferentes. Por eso, debe ser calculado un valor de resistividad media de terreno; este valor es calculado con base en un estudio de tierras. Como se observa en la figura, no todo el flujo generado por las tres corrientes en las fases es concatenado por el cable de guarda y tierra. Parte de este induce en la tierra que sigue el camino de menor oposición (menor distancia) del punto de fallo a la subestación. Así, la corriente de secuencia cero retorna por varios caminos, como se observa en la Figura nro. 3.56 [23].

94

Ramón Alfonso Gallego Rendón, Juan José Mora Flórez, Ricardo Alberto Hincapié Isaza

x Corriente cable de guarda Corriente por tierra Corriente tierra liberada Figura nro. 3.56. Caminos de la corriente de secuencia cero.

Tomado de [12].

La corriente de secuencia cero de la línea es igual a:

3𝐼𝐼0 = 𝐼𝐼𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐+ 𝐼𝐼𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐+ 𝐼𝐼𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙

(3.41)

La impedancia de secuencia cero es difícil de calcular, ya que dependiendo del punto del cortocircuito, la corriente de secuencia cero puede tener diversos caminos, como se muestra en la Figura nro. 3.56. El cálculo de la impedancia de secuencia cero fue propuesta por J.R Carson en [23]. Allí, la resistividad del terreno es dada en función de la altura media de la línea en relación al suelo, la frecuencia de la red y las características del conductor. La impedancia de secuencia cero de la línea de transmisión puede ser calculada a través de mediciones, como se presenta en la Figura nro. 3.57. Allí, el valor de la impedancia de secuencia cero es 𝑍𝑍0 = 𝑉𝑉∕𝑖𝑖a0. Modelizado y análisis de cortocircuito en sistemas eléctrico

3𝐼𝐼a0 3𝐼𝐼a0 + −𝑉𝑉 𝑖𝑖a0 𝑖𝑖b0 𝑖𝑖c0 Figura nro. 3.57. Medición de la impedancia de secuencia cero de la línea. Elaboración propia.

Generalmente, el valor de la impedancia de secuencia cero de la línea es mayor que el de secuencia positiva en un factor de 2 a 6 [9]. Actualmente, se procura diseñar los cables de guarda con cables de mejor calidad para obtener un mayor retorno y así tener un menor retorno por tierra. De esta forma, la malla de tierra puede ser reducida gracias a las menores tensiones de toque y de paso que originan las corrientes de retorno por tierra [23]. El circuito de secuencia de una línea de transmisión se presenta en la Figura nro. 3.58. a b c n i i i i a b c n Zaa Zaa Zaa Znn } Zan Zan } } Zan Zab { Zab { Zab { a’ b’ c’ n’ Figura nro. 3.58. Circuito de secuencia de una línea.

Elaboración propia.

Los valores de las caídas de tensión entre los extremos de cada fase son:

3.5.2. Circuito de secuencia de una línea de transmisión

96

Ramón Alfonso Gallego Rendón, Juan José Mora Flórez, Ricardo Alberto Hincapié Isaza

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ 𝑉𝑉aa′ 𝑉𝑉bb ′ 𝑉𝑉cc′ ⎤ ⎥ ⎥ ⎦ = ⎡ ⎢ ⎢ ⎣ 𝑍𝑍𝑠𝑠 𝑍𝑍𝑚𝑚 𝑍𝑍𝑚𝑚 𝑍𝑍𝑚𝑚 𝑍𝑍𝑠𝑠 𝑍𝑍𝑚𝑚 𝑍𝑍𝑚𝑚 𝑍𝑍𝑚𝑚 𝑍𝑍𝑠𝑠 ⎤ ⎥ ⎥ ⎦ ⎡ ⎢ ⎢ ⎣ 𝐼𝐼a 𝐼𝐼b 𝐼𝐼c ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

(3.42)

Los valores de 𝑍𝑍𝑠𝑠y 𝑍𝑍𝑚𝑚son calculados con las siguientes expresiones: 𝑍𝑍𝑠𝑠= 𝑍𝑍𝑎𝑎𝑎𝑎+ 𝑍𝑍𝑛𝑛𝑛𝑛−2𝑍𝑍𝑎𝑎𝑎𝑎

(3.43)

𝑍𝑍𝑚𝑚= 𝑍𝑍𝑎𝑎𝑎𝑎+ 𝑍𝑍𝑛𝑛𝑛𝑛−2𝑍𝑍𝑎𝑎𝑎𝑎

(3.44)

Al transformar las ecuaciones anteriores en componentes simétricas, se obtiene: 𝐴𝐴 ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ 𝑉𝑉(0) aa′ 𝑉𝑉(1) aa′ 𝑉𝑉(2) aa′ ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ = ⎧ ⎨ ⎩ ⎡ ⎢ ⎢ ⎣ 𝑍𝑍𝑠𝑠−𝑍𝑍𝑚𝑚 𝑍𝑍𝑠𝑠−𝑍𝑍𝑚𝑚 𝑍𝑍𝑠𝑠−𝑍𝑍𝑚𝑚 ⎤ ⎥ ⎥ ⎦ + ⎡ ⎢ ⎢ ⎣ 𝑍𝑍𝑚𝑚 𝑍𝑍𝑚𝑚 𝑍𝑍𝑚𝑚 𝑍𝑍𝑚𝑚 𝑍𝑍𝑚𝑚 𝑍𝑍𝑚𝑚 𝑍𝑍𝑚𝑚 𝑍𝑍𝑚𝑚 𝑍𝑍𝑚𝑚 ⎤ ⎥ ⎥ ⎦ ⎫ ⎬ ⎭ 𝐴𝐴 ⎡ ⎢ ⎢ ⎣ 𝐼𝐼(0) a 𝐼𝐼(1) a 𝐼𝐼(2) a ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

(3.45)

Por lo tanto:

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ 𝑉𝑉(0) 𝑎𝑎𝑎𝑎′ 𝑉𝑉(1) 𝑎𝑎𝑎𝑎′ 𝑉𝑉(2) 𝑎𝑎𝑎𝑎′ ⎤ ⎥ ⎥ ⎦ = ⎡ ⎢ ⎢ ⎣ 𝑍𝑍𝑠𝑠+ 2𝑍𝑍𝑚𝑚 𝑍𝑍𝑠𝑠−𝑍𝑍𝑚𝑚 𝑍𝑍𝑠𝑠−𝑍𝑍𝑚𝑚 ⎤ ⎥ ⎥ ⎦ ⎡ ⎢ ⎢ ⎣ 𝐼𝐼(0) 𝑎𝑎 𝐼𝐼(1) 𝑎𝑎 𝐼𝐼(2) 𝑎𝑎 ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

(3.46)

De lo anterior, se deduce que los valores de 𝑍𝑍0, 𝑍𝑍1 y 𝑍𝑍2 son: 𝑍𝑍0 = 𝑍𝑍𝑠𝑠+ 2𝑍𝑍𝑚𝑚

(3.47)

𝑍𝑍1 = 𝑍𝑍𝑠𝑠−𝑍𝑍𝑚𝑚

(3.48)

Modelizado y análisis de cortocircuito en sistemas eléctrico

𝑍𝑍2 = 𝑍𝑍𝑠𝑠−𝑍𝑍𝑚𝑚

(3.49)

Con base en la ecuación anterior, la representación de la línea como impedancias de secuencia se muestra en la Figura nro. 3.59.

a ia a’ Z

0

n n’ i i a a n n Z 2

0

a a

1

2

a’ n’ n’ a’

1

Z Figura nro. 3.59. Representación de la línea como impedancias de secuencia. Elaboración propia.

La carga es un elemento importante en el sistema electrico de potencia [24]. Dependiendo del valor de la corriente de cortocircuito en los nodos del sistema, la corriente de la carga se considera o no para el cálculo de la corriente por los elementos del sistema. Una forma de explicar qué tanto influye la corriente de carga al valor de la corriente en el momento del cortocircuito es aplicar el teorema de superposición de las corrientes producidas

3.6. Carga

98

Ramón Alfonso Gallego Rendón, Juan José Mora Flórez, Ricardo Alberto Hincapié Isaza

por la carga con la corriente de cortocircuito sin carga. De esta forma, se obtiene la verdadera corriente de cortocircuito del sistema eléctrico. La superposición considera que: 𝐼𝐼𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡= 𝐼𝐼𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐+ 𝐼𝐼𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓

(3.50)

Donde 𝐼𝐼𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡es la corriente que circula por los elementos del sistema considerando carga. Las corrientes de carga son básicamente limitadas por las impedancias de la carga con factores de potencia mayores a 0.85. Por lo tanto, el ángulo entre la tensión fase-neutro y las corrientes es pequeño, es decir, muy cercano a un comportamiento resistivo.

Por otro lado, las corrientes de cortocircuito son básicamente limitadas por los parámetros del sistema. Estos son de carácter inductivo; por lo tanto, los valores de las corrientes de cortocircuito son grandes y con un ángulo entre la tensión fase-neutro y la corriente cercano a los 90◦. En la Figura nro. 3.60 se presenta la relación de las corrientes de cortocircuito y de carga con la tensión fase-neutro.

𝐼𝐼𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓 𝐼𝐼𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 𝑉𝑉𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡−𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛 𝐼𝐼𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 Figura nro. 3.60. Valor de la 𝐼𝐼𝑐𝑐𝑐𝑐con y sin carga.

Tomado de [12].

Como se observa en la Figura nro. 3.60, a medida que aumenta el valor de la corriente de cortocircuito del sistema, la magnitud de la corriente de cortocircuito —considerando carga y sin considerarla—, prácticamente es igual. Quiere decir que la contribución de la corriente de la carga al cortocircuito es muy pequeña y podría ser despreciada. Además de lo anterior, no hay necesidad de calcular con presición la corriente de cortocircuito; basta con tener un valor cercano. Esto es fundamental para la coordinación y selección de las protecciones del sistema eléctrico. La Modelizado y análisis de cortocircuito en sistemas eléctrico

prioridad de las protecciones es la rapidez con la que se eliminan las corrientes de cortocircuito para minimizar los daños en los elementos del sistema.

De ser necesario una mayor precisión en el cálculo de las corrientes teniendo en cuenta las corrientes de la carga, como condición inicial, se calculan las tensiones nodales obtenidas a través de un programa de flujo de carga. En el momento antes de la falla, el sistema de transmisión —con elementos simétricos— opera de manera balanceada. Por lo tanto, las tensiones obtenidas son de secuencia positiva. Las tensiones de secuencia negativa y cero son iguales a cero al no existir desequilibrio en la red. Las tensiones obtenidas con el flujo de carga son entonces usadas en el cálculo de las corrientes de cortocircuito.

Otra forma simplificada de considerar la corriente de carga en el cálculo de la corriente de cortocircuito es a través del modelo de la carga estática. De esta forma, podría modelarse como impedancia en función del valor de la potencia y tensión nominal. Una vez se determina el valor de la impedancia, se incluye en la matriz 𝑍𝑍𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏. Para esto, se considera conectada entre el nodo al cual está conectada la carga y el nodo tierra.

100

Ramón Alfonso Gallego Rendón, Juan José Mora Flórez, Ricardo Alberto Hincapié Isaza

Las redes de energía eléctrica son definidas por medio de modelos matemáticos que pueden ser de diferente tipo. Estas dependen de la aplicación y exactitud en los resultados. Estos modelos pueden ser algebraicos lineales, no lineales o integro-diferenciables. El tipo de solución depende de su aplicación. Los modelos algebraicos lineales pueden ser representados por medio de arreglos matriciales, expresados en función de variables nodales, como son la tensión y la corriente nodal. Los modelos no lineales pueden ser linealizados alrededor de un punto para ser resueltos como modelos lineales. Los modelos integro-diferenciales, en algunos casos, son representados haciendo uso de matrices [8].

Una forma de representar matemáticamente las redes eléctricas, usando modelos lineales, relaciona las variables nodales de tensión y corriente, en las cuales la corriente se expresa en función de la tensión o viceversa. En el primer caso, 𝑖𝑖𝑁𝑁= 𝑌𝑌𝑁𝑁× 𝑉𝑉𝑁𝑁expresa la corriente nodal en función de las tensiones nodales; y en el segundo caso, 𝑉𝑉𝑁𝑁= 𝑍𝑍𝑁𝑁× 𝑖𝑖𝑁𝑁expresa las tensiones nodales en función de las corrientes nodales. En ambos casos anteriores, la representación de la red se lleva a cabo a través de las matrices de admitancia e impedancia nodal. La matriz de admitancia nodal [𝑌𝑌𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏] es interpretada como la conectividad física entre los Representación matricial de las redes de energía eléctrica

4.1. Introducción

102

Ramón Alfonso Gallego Rendón, Juan José Mora Flórez, Ricardo Alberto Hincapié Isaza

nodos del sistema y la matriz de impedancia nodal [𝑍𝑍𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏] como la conectividad eléctrica entre los nodos del sistema.

En la conformación de la matriz [𝑌𝑌𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏] se usan algoritmos planteados con base en la ley de Ohm y las leyes de Kirchhoff.

El primer algoritmo es general, ya que incluye elementos con acoplamiento mutuo de la forma:

𝑌𝑌𝑁𝑁= 𝐴𝐴𝑇𝑇𝑌𝑌𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝐴𝐴

(4.1)

Donde 𝐴𝐴es la matriz incidencia elemento-nodo y 𝑌𝑌𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝corresponde a la matriz admitancia primitiva.

El segundo algoritmo no incluye elementos por acoplamiento mutuo; sin embargo, existen procedimientos de fácil implementación que lo complementan:

• 𝑌𝑌𝑘𝑘𝑘𝑘=

𝑛𝑛∑ 𝑖𝑖=0 𝑦𝑦𝑘𝑘𝑘𝑘. Así, 𝑦𝑦𝑘𝑘𝑘𝑘corresponde a la admitancia primitiva que conecta los nodos 𝑘𝑘−𝑖𝑖 (𝑖𝑖= nodos vecinos que conectan al nodo 𝑘𝑘).

• 𝑌𝑌𝑘𝑘𝑘𝑘= −𝑦𝑦𝑘𝑘𝑘𝑘, donde 𝑦𝑦𝑘𝑘𝑘𝑘es la admitancia primitiva que conecta los nodos 𝑘𝑘−𝑖𝑖.

• 𝑌𝑌𝑘𝑘𝑘𝑘= 0 (si no existe conexón entre los nodos 𝑘𝑘−𝑖𝑖).

En la conformación de la matriz [𝑍𝑍𝑁𝑁] se emplea:

𝑍𝑍𝑁𝑁= [𝑌𝑌𝑁𝑁]−1. En este caso se usan técnicas de factorización 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿y Cholesky, así como también técnicas de matrices dispersas y de programación compacta. Un algoritmo basado en inyecciones de corriente que emplea conceptos de las leyes de Kirchhoff y ley de Ohm.

En este tipo de reducción, el valor de la variable en el vector independiente, asociado al nodo que se desea eliminar, es igual a cero. Así, el modelo 𝑖𝑖𝑁𝑁= 𝑌𝑌𝑁𝑁𝑉𝑉𝑁𝑁implica una inyección de corriente igual a cero en el nodo a eliminar y, en el modelo 𝑉𝑉𝑁𝑁= 𝑍𝑍𝑁𝑁𝑖𝑖𝑁𝑁, la tensión nodal del nodo eliminado presenta un valor igual a cero.

En los dos casos anteriores, el procedimiento usado en la eliminación de los nodos es el mismo tanto para la matriz de admitancia como para la de impedancia nodal (solo cambia su

4.2. Reducción de nodos usando Kron

Modelizado y análisis de cortocircuito en sistemas eléctrico

aplicación). Para la matriz de admitancia nodal se usa la reducción de redes determinando un nuevo equivalente de redde y para la matriz de impedancia nodal se emplea la eliminación de nodos temporales en el algoritmo de inyección de corrientes, en donde se asigna una tensión de referencia nodal del tipo virtual igual a cero.

En este caso, el procedimiento se usa en la reducción de un único nodo. Cuando se trata de equivalentes de redes eléctricas, se emplean otros procedimientos basados en el algoritmo de eliminación gaussiana. El procedimiento de reducción se ilustra a continuación: [ 𝐼𝐼𝐴𝐴

0 ] = [

𝑌𝑌𝐴𝐴𝐴𝐴 𝑌𝑌𝐴𝐴𝐴𝐴 𝑌𝑌𝐵𝐵𝐵𝐵 𝑌𝑌𝐵𝐵𝐵𝐵 ] [ 𝑉𝑉𝐴𝐴 𝑉𝑉𝐵𝐵 ]

(4.2)

El sistema de ecuaciones (4.2) es escrito como (4.3) y (4.4), de la siguiente manera: [ 𝐼𝐼𝐴𝐴 ] = [ 𝑌𝑌𝐴𝐴𝐴𝐴 ] 𝑉𝑉𝐴𝐴+ [ 𝑌𝑌𝐴𝐴𝐴𝐴 ] 𝑉𝑉𝐵𝐵

(4.3)

[

0

] = [ 𝑌𝑌𝐵𝐵𝐵𝐵 ] 𝑉𝑉𝐴𝐴+ [ 𝑌𝑌𝐵𝐵𝐵𝐵 ] 𝑉𝑉𝐵𝐵

(4.4)

De la ecuación (4.4) se obtiene:

𝑉𝑉𝐵𝐵= − [ 𝑌𝑌𝐵𝐵𝐵𝐵 ]−1 [ 𝑌𝑌𝐵𝐵𝐵𝐵 ] 𝑉𝑉𝐴𝐴

(4.5)

Si se reemplaza (4.4) por (4.3), se tiene:

[ 𝐼𝐼𝐴𝐴 ] = [ 𝑌𝑌𝐴𝐴𝐴𝐴 ] 𝑉𝑉𝐴𝐴− [ 𝑌𝑌𝐴𝐴𝐴𝐴 ] [ 𝑌𝑌𝐵𝐵𝐵𝐵 ]−1 [ 𝑌𝑌𝐵𝐵𝐵𝐵 ] 𝑉𝑉𝐴𝐴

(4.6)

Al considerar variables comunes, se obtiene:

[ 𝐼𝐼𝐴𝐴 ] = [ 𝑌𝑌𝐴𝐴𝐴𝐴−𝑌𝑌𝐴𝐴𝐴𝐴𝑌𝑌−1 𝐵𝐵𝐵𝐵𝑌𝑌𝐵𝐵𝐵𝐵 ] 𝑉𝑉𝐴𝐴

(4.7)

Por lo tanto, la matriz equivalente corresponde a:

𝑌𝑌 equivalente 𝐴𝐴𝐴𝐴 = [ 𝑌𝑌𝐴𝐴𝐴𝐴−𝑌𝑌𝐴𝐴𝐴𝐴𝑌𝑌−1 𝐵𝐵𝐵𝐵𝑌𝑌𝐵𝐵𝐵𝐵 ]

(4.8)

104

Ramón Alfonso Gallego Rendón, Juan José Mora Flórez, Ricardo Alberto Hincapié Isaza

Ejemplo 4.1:

En la Figura nro. 4.1 se muestra un sistema de 4 nodos donde la corriente nodal inyectada en 4 es cero. De acuerdo a esto, eliminar el nodo 4 de la matriz de admitancia nodal que representa la red.

1

2

3

4

Figura nro. 4.1. Red eléctrica de 4 nodos del ejemplo 4.1. Elaboración propia.

La representación matricial tiene la forma:

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ 𝑖𝑖1 𝑖𝑖2 𝑖𝑖3 𝑖𝑖4 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ = ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ 𝑌𝑌11 𝑌𝑌12 𝑌𝑌13 𝑌𝑌14 𝑌𝑌21 𝑌𝑌22 𝑌𝑌23 𝑌𝑌24 𝑌𝑌31 𝑌𝑌32 𝑌𝑌33 𝑌𝑌34 𝑌𝑌41 𝑌𝑌42 𝑌𝑌43 𝑌𝑌44 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ 𝑉𝑉1 𝑉𝑉2 𝑉𝑉3 𝑉𝑉4 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ Se sabe que 𝑖𝑖4 = 0; por lo tanto, al reemplazar, se obtiene: ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ 𝑖𝑖1 𝑖𝑖2 𝑖𝑖3

0

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ = ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ 𝑌𝑌11 𝑌𝑌12 𝑌𝑌13 𝑌𝑌14 𝑌𝑌21 𝑌𝑌22 𝑌𝑌23 𝑌𝑌24 𝑌𝑌31 𝑌𝑌32 𝑌𝑌33 𝑌𝑌34 𝑌𝑌41 𝑌𝑌42 𝑌𝑌43 𝑌𝑌44 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ 𝑉𝑉1 𝑉𝑉2 𝑉𝑉3 𝑉𝑉4 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ Si se aplica la formulacioń descrita anteriormente, se tiene: 𝑌𝑌𝐴𝐴𝐴𝐴= ⎡ ⎢ ⎢ ⎣ 𝑌𝑌11 𝑌𝑌12 𝑌𝑌13 𝑌𝑌21 𝑌𝑌22 𝑌𝑌23 𝑌𝑌31 𝑌𝑌32 𝑌𝑌33 ⎤ ⎥ ⎥ ⎦ ; 𝑌𝑌𝐴𝐴𝐴𝐴= ⎡ ⎢ ⎢ ⎣ 𝑌𝑌14 𝑌𝑌24 𝑌𝑌34 ⎤ ⎥ ⎥ ⎦ 𝑌𝑌𝐵𝐵𝐵𝐵= [ 𝑌𝑌41 𝑌𝑌42 𝑌𝑌43 ] ; 𝑌𝑌𝐵𝐵𝐵𝐵= [ 𝑌𝑌44 ] 𝑌𝑌 equivalente 𝐴𝐴𝐴𝐴 = [ 𝑌𝑌𝐴𝐴𝐴𝐴 − 𝑌𝑌𝐴𝐴𝐴𝐴𝑌𝑌−1 𝐵𝐵𝐵𝐵𝑌𝑌𝐵𝐵𝐵𝐵 ] Modelizado y análisis de cortocircuito en sistemas eléctrico

𝑌𝑌𝐴𝐴𝐴𝐴𝑌𝑌−1 𝐵𝐵𝐵𝐵𝑌𝑌𝐵𝐵𝐵𝐵= ⎡ ⎢ ⎢ ⎣ 𝑌𝑌14 𝑌𝑌24 𝑌𝑌34 ⎤ ⎥ ⎥ ⎦ [

1

𝑌𝑌44 ] [ 𝑌𝑌41 𝑌𝑌42 𝑌𝑌43 ] = ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ 𝑌𝑌14𝑌𝑌41 𝑌𝑌44 𝑌𝑌14𝑌𝑌42 𝑌𝑌44 𝑌𝑌14𝑌𝑌43 𝑌𝑌44 𝑌𝑌24𝑌𝑌41 𝑌𝑌44 𝑌𝑌24𝑌𝑌42 𝑌𝑌44 𝑌𝑌24𝑌𝑌43 𝑌𝑌44 𝑌𝑌34𝑌𝑌41 𝑌𝑌44 𝑌𝑌34𝑌𝑌42 𝑌𝑌44 𝑌𝑌34𝑌𝑌43 𝑌𝑌44 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ 𝑌𝑌 equivalente 𝐴𝐴𝐴𝐴 = ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ 𝑌𝑌11 − 𝑌𝑌14𝑌𝑌41 𝑌𝑌44 𝑌𝑌12 − 𝑌𝑌14𝑌𝑌42 𝑌𝑌44 𝑌𝑌13 − 𝑌𝑌14𝑌𝑌43 𝑌𝑌44 𝑌𝑌21 − 𝑌𝑌24𝑌𝑌41 𝑌𝑌44 𝑌𝑌22 − 𝑌𝑌24𝑌𝑌42 𝑌𝑌44 𝑌𝑌23 − 𝑌𝑌24𝑌𝑌43 𝑌𝑌44 𝑌𝑌31 − 𝑌𝑌34𝑌𝑌41 𝑌𝑌44 𝑌𝑌32 − 𝑌𝑌34𝑌𝑌42 𝑌𝑌44 𝑌𝑌33 − 𝑌𝑌34𝑌𝑌43 𝑌𝑌44 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ Se observa que este procedimiento es sistematizable, ya que se considera que 𝑘𝑘es el nodo a eliminar y el elemento (𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖) es modificado como sigue: 𝑌𝑌 equivalente 𝑖𝑖𝑖𝑖𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛 = 𝑌𝑌𝑖𝑖𝑖𝑖𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎− 𝑌𝑌𝑖𝑖𝑖𝑖𝑌𝑌𝑘𝑘𝑘𝑘 𝑌𝑌𝑘𝑘𝑘𝑘

(4.9)

Ejercicio propuesto 4.1:

Construir la matriz 𝑌𝑌𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵para el sistema mostrado en la Figura nro. 4.2 y después eliminar el nodo 5 usando para esto el método de reducción de Kron.

1

2

5

3

4

Figura nro. 4.2. Red eléctrica de 5 nodos.

Elaboración propia.

Los datos eléctricos de las ramas son:

106

Ramón Alfonso Gallego Rendón, Juan José Mora Flórez, Ricardo Alberto Hincapié Isaza

El ordenamiento de filas y columnas del arreglo matricial, que resulta del ordenamiento de ecuaciones y variables del modelo matemático, tiene como objetivo minimizar la aparición de nuevos elementos como resultado de los procedimientos de solución de dichas ecuaciones. Estas resultan del procedimiento de inversión de matrices.

El modelo a resolver, mencionado anteriormente, es del tipo 𝐴𝐴𝐴𝐴= 𝑏𝑏, donde la variable 𝑋𝑋 corresponde a la incógnita y es resuelta a través de reemplazos sucesivos de las variables de una ecuación en las otras. Es descrito como 𝑋𝑋= 𝐴𝐴−1𝑏𝑏𝑏 En el proceso de inversión de la matriz 𝐴𝐴, algunas posiciones con valor cero pasan a tomar un valor diferente a cero y son denominados elementos de relleno. Con el fin de minimizar el número de estos elementos, las filas y columnas de la matriz 𝐴𝐴son ordenadas usando algún algoritmo de optimización de ordenamiento nodal los cuales pertenecen a la familia de algoritmos de optimización combinatorial, cuyo resultado resulta de estudios de las diversas combinaciones de ordenamiento de ecuaciones y variables del modelo.

Los primeros esquemas de ordenamiento para aplicaciones en ingeniería eléctrica fueron propuestos por W. Tinney. Él los denominó I, II y III, respectivamente [25]. En el primero, el orden se asigna según el número de conexiones físicas al nodo y su orden es de menor a mayor número. En el segundo esquema de ordenamiento se asigna a la lista de ordenamiento un solo nodo a la vez. Cada vez que esto sucede, se simula la inversa de la matriz; el nodo que menos elementos nuevos introduzca en el procedimiento se selecciona para la posición actual. De esa forma, la matriz se va reduciendo en tamaño de uno. En el tercer esquema de ordenamiento se efectúa un estudio exhaustivo simulando, en cada caso, la primera posición para todos los nodos. Después de la selección un nodo, se repite el proceso con los nodos no ordenados; de esta forma, el tamaño de la matriz se reduce en uno hasta llegar a una matriz de [1 × 1]. En el campo de la ingeniería eléctrica existen una gran variedad de algoritmos heurísticos y metaheurísticos, usados en procedimientos de ordenamiento nodal. A continuación, se presenta un ejemplo de aplicación de uno de los esquemas descritos previamente. 𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅 𝑅𝑅 𝑅𝑅 𝑅𝑅∕2

1 −2

0.0316

0.2114

0.105

1 −3

0.0152

0.0944

0.072

2 −3

0.0121

0.0700

0.082

2 −4

0.0140

0.1250

0.096

2 −5

0.0230

0.055

0.043

3 −4

0.0246

0.150

0.175

4 −5

0.0102

0.170

0.202

4.3. Esquemas de ordenamiento nodal

Modelizado y análisis de cortocircuito en sistemas eléctrico

Ejemplo 4.2:

En el siguiente ejemplo se aplica el ordenamiento denominado Tinney I con el fin de explicar la minimización de los denominados elementos de relleno. Además, se muestra cómo el orden de solución de las filas y columnas de la matriz afecta la capacidad de memoria y el tiempo de cálculo, lo cual puede ser un factor determinante en la convergencia cuando se trata de procesos iterativos.

Caso 1: Sistema sin ordenamiento nodal.

La Figura nro. 4.3 ilustra una red de cinco nodos en la que no se efectúa ordenamiento nodal.

2

3

4

1

5

Figura nro. 4.3. Red eléctrica sin ordenamiento nodal.

Elaboración propia.

La estructura física del sistema anterior se representa de la siguiente forma:

1

2

3

4

5

x x x x x x x

0

x

0

x

0

x

0

0

x x

0

x

0

x

0

0

0

x Al simular la inversa de la matriz anterior, se observa que en algunas posiciones cambia el valor de cero por uno diferente. Estas posiciones están marcadas con *.

1

2

3

4

5

x x x x x x x * x * x * x * * x x * x * x * * * x

108

Ramón Alfonso Gallego Rendón, Juan José Mora Flórez, Ricardo Alberto Hincapié Isaza

Caso 2: Aplicación del ordenamiento nodal denominado Tinney I En la Figura nro. 4.4 se presenta la red después de aplicar el ordenamiento Tinney I. Este sistema es simple y levemente enmallado. Por esa razón, cualquier tipo de ordenamiento nodal seguramente encuentra un orden en el cual no se presenten elementos de relleno.

4

3

2

5

1

Figura nro. 4.4. Red eléctrica con ordenamiento nodal.

Elaboración propia.

La estructura física representada en una matriz es como sigue:

1

2

3

4

5

x x x x x x x x x x x x x x x En el proceso de factorización de esta matriz no aparecen elementos de relleno. Sin embargo, algunos de los elementos existentes fueron alterados como se observa a continuación:

1

2

3

4

5

x x x x x x x x x’ x’ x x x x’ x”” Después de ordenados los nodos y simulada la inversa de la matriz, no se presenta alteración en los elementos que son iguales a cero. Sin embargo, cabe destacar que este no es el caso general de las redes eléctricas en las cuales, a pesar de que se efectúa un ordenamiento de nodos, aparecen algunos elementos de relleno. Se trata, en este caso, de minimizar el número de estos elementos. Un tipo de estructura especial son las redes radiales. Allí, aplicar un esquema adecuado de ordenamiento nodal trae como ventaja que no aparecen elementos de relleno en el proceso de Modelizado y análisis de cortocircuito en sistemas eléctrico

Este procedimiento es frecuentemente utilizado en el estudio de sistemas de potencia a gran escala. Debido al gran tamaño que presentan los arreglos matriciales que surgen de los modelos matemáticos que representan los sistemas eléctricos, se hace necesario considerar un método efectivo para la inversión de matrices. Este procedimiento es aplicado con las matrices dispersas, la cual es una característica propia de las matrices en el estudio de las redes eléctricas. Además de las dos anteriores, se debe contar con algoritmos de programación confiables. Frecuentemente en los estudios de sistemas eléctricos, los parámetros y configuración permanecen fijos mientras que las condiciones de operación difieren debido a cambios que se presentan en las fuentes y/o sumideros externos. Dado lo anterior, se aprovecha la invariabilidad de las matrices y que solo cambia el vector independiente. Por lo tanto, es posible realizar procedimientos de factorización que son mantenidos para un gran número de simulaciones. Así, para el problema de flujo de carga y de cortocircuito se mantienen fijas las estructuras de las matrices jacobianas y 𝑌𝑌𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏. Por ende, su factorización se mantiene constante y puede ser usada para un gran número de simulaciones.

Los modelos matemáticos planteados son arreglos matriciales. Un modelo matemático, lineal y básico es de la forma 𝑖𝑖𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏= 𝑌𝑌𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑉𝑉𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏. En este caso, una vez conocido el vector de corrientes, se calcula el vector de tensiones. Por esto, es necesario invertir la matriz 𝑌𝑌𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏. Esta matriz es descompuesta en factores 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿facilitando su inversión (𝑌𝑌𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏= 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿). También puede ser escrita como 𝑌𝑌𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏= 𝐿𝐿𝐿𝐿, donde la matriz 𝐷𝐷está incluida en 𝐿𝐿. Al proceso de encontrar 𝐿𝐿y 𝑈𝑈se le denomina factorización [19].

Para concretar estos conceptos se presentan, a continuación, las matrices 𝐿𝐿y 𝑈𝑈de un sistema de 4 nodos.

𝐿𝐿= ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ 𝑌𝑌11 𝑌𝑌21 𝑌𝑌(1)

22

𝑌𝑌31 𝑌𝑌(1)

32

𝑌𝑌(2)

33

𝑌𝑌41 𝑌𝑌1)

42

𝑌𝑌(2)

43

𝑌𝑌(3)

44

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ 𝑈𝑈= ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

1

𝑌𝑌12 𝑌𝑌11 𝑌𝑌13 𝑌𝑌11 𝑌𝑌14 𝑌𝑌11

1

𝑌𝑌(1)

23

𝑌𝑌(1)

22

𝑌𝑌(1)

24

𝑌𝑌(1)

22

1

𝑌𝑌(2)

34

𝑌𝑌(2)

33

1

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

(4.10)

Se aprecia que 𝐿𝐿y 𝑈𝑈son factores triangulares, inferior y superior de la matriz 𝑌𝑌𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏. Su producto obtención de la matriz inversa. De esta forma, son resueltos los modelos de la forma 𝐼𝐼𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏= 𝑌𝑌𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏× 𝑉𝑉𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏como 𝑉𝑉𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏= 𝑌𝑌−1 𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏× 𝐼𝐼𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏. Esto permite aplicar técnicas de empaquetamiento sin tener que prever nuevas posiciones, ya que las posiciones de 𝑌𝑌𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏y 𝑌𝑌−1 𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏serán las mismas; solo cambian su valor en algunas de las posiciones actuales.

4.4. Factorización triangular

110

Ramón Alfonso Gallego Rendón, Juan José Mora Flórez, Ricardo Alberto Hincapié Isaza

es igual a 𝑌𝑌𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏.

Ejemplo 4.3:

Determinar los factores 𝐿𝐿𝐿𝐿para un sistema de 4 nodos, donde no existe conexión entre todos los nodos. La matriz 𝑌𝑌𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏es:

1

2

3

4

1

𝑌𝑌𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏=

2

3

4

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ 𝑌𝑌11 𝑌𝑌12 𝑌𝑌13 𝑌𝑌14 𝑌𝑌21 𝑌𝑌22 𝑌𝑌23 𝑌𝑌24 𝑌𝑌31 𝑌𝑌32 𝑌𝑌33 𝑌𝑌34 𝑌𝑌41 𝑌𝑌42 𝑌𝑌43 𝑌𝑌44 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ Para la determinación de los factores se aplica el procedimiento de eliminación gaussiana. El procedimiento se inicia en el nodo 1 y se denomina primer paso. Así, sucesivamente, en el siguiente paso se sigue con el nodo 2, que se denomina segundo paso. De acuerdo a esto, para un sistema de 4 nodos, se requieren 4 pasos. Por lo tanto, Primer paso:

1

2

3

4

1

2

3

4

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

1

𝑌𝑌12 𝑌𝑌11 𝑌𝑌13 𝑌𝑌11 𝑌𝑌14 𝑌𝑌11

0

𝑌𝑌(1)

22

𝑌𝑌(1)

23

𝑌𝑌(1)

24

0

𝑌𝑌(1)

32

𝑌𝑌(1)

33

𝑌𝑌(1)

34

0

𝑌𝑌(1)

42

𝑌𝑌(1)

43

𝑌𝑌(1)

44

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ 𝐿𝐿= ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ 𝑌𝑌11 𝑌𝑌21 𝑌𝑌31 𝑌𝑌41 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ 𝑈𝑈= ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

1

𝑌𝑌12 𝑌𝑌11 𝑌𝑌13 𝑌𝑌11 𝑌𝑌14 𝑌𝑌11 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ Segundo paso:

1

2

3

4

Modelizado y análisis de cortocircuito en sistemas eléctrico

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

1

𝑌𝑌(1)

23

𝑌𝑌(1)

22

𝑌𝑌(1)

24

𝑌𝑌(1)

22

0

𝑌𝑌(2)

33

𝑌𝑌(2)

34

0

𝑌𝑌(2)

43

𝑌𝑌(2)

44

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ 𝐿𝐿= ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ 𝑌𝑌11 𝑌𝑌21 𝑌𝑌(1)

22

𝑌𝑌31 𝑌𝑌(1)

31

𝑌𝑌41 𝑌𝑌(1)

42

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ 𝑈𝑈= ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

1

𝑌𝑌12 𝑌𝑌11 𝑌𝑌13 𝑌𝑌11 𝑌𝑌14 𝑌𝑌11

1

𝑌𝑌(1)

23

𝑌𝑌(1)

22

𝑌𝑌(1)

24

𝑌𝑌(1)

22

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ Tercer paso:

1

2

3

4

1

2

3

4

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

1

𝑌𝑌(2)

34

𝑌𝑌(2)

33

0

𝑌𝑌(3)

44

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ 𝐿𝐿= ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ 𝑌𝑌11 𝑌𝑌21 𝑌𝑌(1)

22

𝑌𝑌31 𝑌𝑌(1)

32

𝑌𝑌(2)

33

𝑌𝑌41 𝑌𝑌(1)

42

𝑌𝑌(2)

43

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ 𝑈𝑈= ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

1

𝑌𝑌12 𝑌𝑌11 𝑌𝑌13 𝑌𝑌11 𝑌𝑌14 𝑌𝑌11

1

𝑌𝑌(1)

23

𝑌𝑌(1)

22

𝑌𝑌(1)

24

𝑌𝑌(1)

22

1

𝑌𝑌(2)

34

𝑌𝑌(2)

33

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ Cuarto paso:

1

2

3

4

1

2

3

4

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

1

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ En resumen, los factores de las matrices [L] y [U] son los siguientes:

112

Ramón Alfonso Gallego Rendón, Juan José Mora Flórez, Ricardo Alberto Hincapié Isaza

𝐿𝐿= ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ 𝑌𝑌11 𝑌𝑌21 𝑌𝑌(1)

22

𝑌𝑌31 𝑌𝑌(1)

32

𝑌𝑌(2)

33

𝑌𝑌41 𝑌𝑌(1)

42

𝑌𝑌(2)

43

𝑌𝑌(3)

44

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ 𝑈𝑈= ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

1

𝑌𝑌12 𝑌𝑌11 𝑌𝑌13 𝑌𝑌11 𝑌𝑌14 𝑌𝑌11

1

𝑌𝑌(1)

23

𝑌𝑌(1)

22

𝑌𝑌(1)

24

𝑌𝑌(1)

22

1

𝑌𝑌(2)

34

𝑌𝑌(2)

33

1

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ De los factores anteriores se sabe que 𝑌𝑌𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏= 𝐿𝐿× 𝐷𝐷× 𝑈𝑈. Si se desea solucionar el sistema de ecuaciones̄ 𝐼𝐼= [𝑌𝑌𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏]̄𝑉𝑉, dondē 𝐼𝐼es conocido ȳ 𝑉𝑉es la variable a determinar; se sigue el procedimiento descrito a continuación:

Primer paso:

Si se tiene, 𝐼𝐼𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏= 𝐿𝐿× 𝐷𝐷× 𝑈𝑈× 𝑉𝑉𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏

(4.11)

Se supone que:

𝑋𝑋= 𝐷𝐷× 𝑈𝑈× 𝑉𝑉𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏

(4.12)

Por lo tanto, 𝐼𝐼𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏= 𝐿𝐿×𝑋𝑋y se soluciona 𝑋𝑋. Esta parte del proceso resuelve de manera implícita la primera ley de Kirchhoff. Así, el vector 𝑋𝑋corresponde a flujos de corriente por los elementos de la red.

Segundo paso:

Si se considera que 𝑋𝑋= 𝐷𝐷× 𝑈𝑈× 𝑉𝑉𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏

(4.13)

Se supone que:

𝑌𝑌= 𝑈𝑈× 𝑉𝑉𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏

(4.14)

Por lo tanto, 𝑋𝑋= 𝐷𝐷× 𝑈𝑈y se soluciona 𝑌𝑌. En este paso, se resuelve de manera implícita la ley de Ohm. De ese modo, el vector 𝑌𝑌corresponde a la tensión en los elementos de la red. Modelizado y análisis de cortocircuito en sistemas eléctrico

Frecuentemente, algunos problemas son representados por medio de modelos lineales, dependiendo del grado de precisión requerido del problema a examinar; un ejemplo de ello es el flujo de carga 𝐷𝐷𝐷𝐷. Otra aplicación de modelos lineales es la linealización de modelos no lineales alrededor de un punto de operación. Este es el caso del flujo de carga AC. Este se resuelve con el método de Newton Raphson.

Un modelo lineal que representa la operación de los sistemas de energía eléctrica en estado estacionario se expresa de la siguiente manera en forma matricial:̄ 𝑃𝑃= [𝐵𝐵]̄ 𝜃𝜃

(4.16)

En este problema, la solución de la variable de estadō 𝜃𝜃se determina mediante el producto de la inversa de la matriz [𝐵𝐵] por el vector̄ 𝑃𝑃. La inversa de una matriz tiene un elevado costo computacional considerando el gran número de operaciones y requerimientos de memoria. La inversa de la matriz [𝐵𝐵] es posible si el sistema de ecuaciones es linealmente independiente. Por lo tanto,̄ 𝜃𝜃= [𝐵𝐵] −1̄ 𝑃𝑃

(4.17)

Entre los pasos para la solución de este problema están el ordenamiento de las ecuaciones, el almacenamiento compacto de la información, los algoritmos de programación eficientes y los procedimientos de descomposición. En el proceso de descomposición, la matriz es almacenada en matrices triangulares o vectores, de manera compacta. Estas matrices almacenan registros de memoria de los procesos de inversa de la matriz. Esta es calculada con base en el proceso de eliminación gaussiana. Estos se definen como triangular superior (eliminación gaussiana progresiva) o triangular inferior (eliminación gaussiana regresiva). Existen múltiples esquemas de factorización, entre los que se destacan dos para aplicaciones en ingeniería eléctrica: descomposición 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿y descomposición de Cholesky [26]. El primero Tercer paso:

Siendo, 𝑌𝑌= 𝑈𝑈× 𝑉𝑉𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏

(4.15)

Se resuelve el vector de tensiones nodales. En este paso se resuelve de manera implícita la segunda ley de Kirchhoff. Por esto, el vector 𝑉𝑉𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏corresponde a las tensiones nodales.

4.5. Descomposición de Cholesky

114

Ramón Alfonso Gallego Rendón, Juan José Mora Flórez, Ricardo Alberto Hincapié Isaza

tiene un carácter general y se obtiene registrando sistemáticamente los cálculos del proceso de eliminación gaussiana. El segundo procedimiento es más rápido y eficiente computacionalmente, pero requiere que la matriz sea simétrica y semi-definida positiva. Se dice que una matriz [𝐵𝐵] es semidefinida positiva cuando:

[𝑋𝑋] 𝑇𝑇⋅[𝐵𝐵] ⋅[𝑋𝑋] > 0 ∀𝑥𝑥𝑖𝑖≠0

(4.18)

Esta propiedad la cumple la matriz de barras [𝐵𝐵] utilizada en la solución del flujo DC, en donde se soluciona el problemā 𝜃𝜃= [𝐵𝐵]−1̄𝑃𝑃. El objetivo es descomponer la matriz [𝐵𝐵] como el producto de una matriz triangular inferior [𝐶𝐶] por su transpuesta [𝐶𝐶]𝑇𝑇. Así, todos los elementos de la diagonal son positivos. El procedimiento para el cálculo de los factores 𝐶𝐶𝑖𝑖𝑖𝑖es descrito en el siguiente arreglo matricial:

⎛ ⎜ ⎜ ⎝ 𝐵𝐵11 𝐵𝐵12 ⋯ 𝐵𝐵1𝑛𝑛 𝐵𝐵21 𝐵𝐵22 ⋯ 𝐵𝐵1𝑛𝑛 ⋮ ⋮ 𝐵𝐵𝑛𝑛1 𝐵𝐵𝑛𝑛2 ⋯ 𝐵𝐵𝑛𝑛𝑛𝑛 ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ = ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ 𝐶𝐶11 𝐶𝐶21 𝐶𝐶22 ⋮ 𝐶𝐶𝑛𝑛1 𝐶𝐶𝑛𝑛2 ⋯ 𝐶𝐶𝑛𝑛𝑛𝑛 ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ ⋅ ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ 𝐶𝐶11 𝐶𝐶12 ⋯ 𝐶𝐶1𝑛𝑛 𝐶𝐶22 ⋯ 𝐶𝐶1𝑛𝑛 ⋮ 𝐶𝐶𝑛𝑛𝑛𝑛 ⎞ ⎟ ⎟ ⎠

(4.19)

El procedimiento para el cálculo de los factores 𝐶𝐶𝑖𝑖𝑖𝑖establece la igualdad de dos matrices término a término, de la siguiente manera:

𝐵𝐵11 = 𝐶𝐶11 ⋅𝐶𝐶11 ⇒ 𝐶𝐶11 = (𝐵𝐵11)1∕2

(4.20)

El proceso con la columna uno sigue con el término (2,1) hasta llegar a (𝑛𝑛,1), de la siguiente forma:

𝐵𝐵21 = 𝐵𝐵12 = 𝐶𝐶21 ⋅𝐶𝐶11 + 𝐶𝐶22 ⋅(0) ⇒ 𝐶𝐶21 = 𝐵𝐵21∕𝐶𝐶11

(4.21)

𝐵𝐵31 = 𝐵𝐵13 = 𝐶𝐶31 ⋅𝐶𝐶11 + 𝐶𝐶32 ⋅(0) + 𝐶𝐶33 ⋅(0) ⇒ 𝐶𝐶31 = 𝐵𝐵31∕𝐶𝐶11

(4.22)

𝐵𝐵𝑛𝑛1 = 𝐵𝐵1𝑛𝑛= 𝐶𝐶𝑛𝑛1 ⋅𝐶𝐶11 + 𝐶𝐶𝑛𝑛2 ⋅(0) + 𝐶𝐶𝑛𝑛3 ⋅(0) + ⋯+ 𝐶𝐶𝑛𝑛3 ⋅(0) ⇒ 𝐶𝐶𝑛𝑛1 = 𝐵𝐵𝑛𝑛1 𝐶𝐶11

(4.23)

De esta misma forma, se inicia el proceso con la columna dos hasta llegar a la columna 𝑛𝑛. Modelizado y análisis de cortocircuito en sistemas eléctrico

Ejemplo 4.4:

Determinar los ángulos de las tensiones nodales para el sistema de 5 barras de la Figura nro. 4.5. En este sistema se asume el nodo 5 como nodo de referencia, por lo que el ángulo 𝜃𝜃5 = 0. Las reactancias de las ramas en pu son:

Rama 1-2: 1/25 Rama 2-4: 1/18 Rama 2-5: 1/18 Rama 3-4: 1/28 Rama 3-5: 1/12 Rama 4-5: 1/15   P = 1.2 pu

1

?

P = -0.7 pu

2

?

P = -0.7 pu

3

?P = -0.7 pu

4

  P = 0.9 pu

5

Figura nro. 4.5. Red eléctrica de 5 nodos para solucionar el modelo DC. Elaboración propia.

Para el cálculo de los ángulos de las tensiones nodales se conforma la matriz [𝐵𝐵], correspondiente a la parte imaginaria de la matriz 𝑌𝑌𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏. Esta matriz es descompuesta en los

116

Ramón Alfonso Gallego Rendón, Juan José Mora Flórez, Ricardo Alberto Hincapié Isaza

factores [𝐶𝐶] usando el método de factorización de Cholesky. A partir de las matrices, producto de la descomposición, se obtienen los ángulos sin tener que recurrir a la inversa directamente. El proceso de factorización es como sigue:

⎛ ⎜ ⎜ ⎝

25

−25

0

0

−25

61

0

−18

0

0

40

−28

0

−18 −28

61

⎞ ⎟ ⎟ ⎠ = ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ 𝐶𝐶11 𝐶𝐶21 𝐶𝐶22 ⋮ 𝐶𝐶𝑁𝑁1 𝐶𝐶𝑁𝑁2 ⋯ 𝐶𝐶𝑁𝑁𝑁𝑁 ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ ⋅ ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ 𝐶𝐶11 𝐶𝐶12 ⋯ 𝐶𝐶1𝑁𝑁 𝐶𝐶22 ⋯ 𝐶𝐶1𝑁𝑁 ⋮ 𝐶𝐶𝑁𝑁𝑁𝑁 ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ Los términos 𝑐𝑐𝑖𝑖𝑖𝑖se calculan igualando los términos de la matriz del lado izquierdo con los términos resultantes del lado derecho, lo cual es obtenido siguiendo el siguiente procedimiento:

25

= 𝐶𝐶11 ⋅𝐶𝐶11 ⇒ 𝐶𝐶11 =

5

−25 = 𝐶𝐶11 ⋅𝐶𝐶21 ⇒ 𝐶𝐶21 = −5

0

= 𝐶𝐶11 ⋅𝐶𝐶31 ⇒ 𝐶𝐶31 =

0

0

= 𝐶𝐶11 ⋅𝐶𝐶41 ⇒ 𝐶𝐶41 =

0

61

= 𝐶𝐶21 ⋅𝐶𝐶21 + 𝐶𝐶22 ⋅𝐶𝐶22 ⇒ 𝐶𝐶22 =

6

0

= 𝐶𝐶31 ⋅𝐶𝐶21 + 𝐶𝐶32 ⋅𝐶𝐶22 ⇒ 𝐶𝐶32 =

0

−18 = 𝐶𝐶41 ⋅𝐶𝐶21 + 𝐶𝐶42 ⋅𝐶𝐶22 ⇒ 𝐶𝐶42 = −3

40

= 𝐶𝐶31 ⋅𝐶𝐶31 + 𝐶𝐶32 ⋅𝐶𝐶32 + 𝐶𝐶33 ⋅𝐶𝐶33 ⇒ 𝐶𝐶33 =

6.325

−28 = 𝐶𝐶31 ⋅𝐶𝐶41 + 𝐶𝐶32 ⋅𝐶𝐶42 + 𝐶𝐶33 ⋅𝐶𝐶43 ⇒ 𝐶𝐶43 = −4.427

61

= 𝐶𝐶41 ⋅𝐶𝐶41 + 𝐶𝐶42 ⋅𝐶𝐶42 + 𝐶𝐶43 ⋅𝐶𝐶43 + 𝐶𝐶44 ⋅𝐶𝐶44 ⇒ 𝐶𝐶44 =

5.692

Luego, para determinar los ángulos, se procede de la siguiente manera:̄ 𝑃𝑃= [𝐶𝐶] ⋅[𝐶𝐶] 𝑇𝑇⋅̄ 𝜃𝜃

(4.24)

Si se definē 𝑋𝑋= [𝐶𝐶] 𝑇𝑇⋅̄ 𝜃𝜃

(4.25)

Luego, se reemplaza (4.25) en (4.24) y se obtiene:̄ 𝑃𝑃= [𝐶𝐶] ⋅̄ 𝑋𝑋

(4.26)

Posteriormente, se despejā 𝑋𝑋. Esto permite encontrar los siguientes valores: Modelizado y análisis de cortocircuito en sistemas eléctrico

̄𝑋𝑋= ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

0.2400

0.0833

−0.1107 −0.1651 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

(4.27)

Una vez se hallā 𝑋𝑋, se despeja 𝜃𝜃de la ecuación̄ 𝑋𝑋= [𝐶𝐶] 𝑇𝑇⋅̄ 𝜃𝜃, de la siguiente forma:̄ 𝜃𝜃= ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

0.0474

−0.0006 −0.0378 −0.0290 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ (radianes)

(4.28)

La factorización de Cholesky presenta un menor esfuerzo computacional frente a la factorización 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿. No obstante, su aplicación está restringida a matrices simétricas y semidefinidas positivas.

Como es característico en los sistemas eléctricos, la matriz [𝐵𝐵] es dispersa. En conjunto con la técnica de factorización triangular, el almacenamiento compacto y las técnicas especializadas de programación aceleran los cálculos y disminuyen los requerimientos de memoria computacional. Se dice que una matriz es dispersa cuando la mayor parte de sus elementos son cero, aspecto que es característico en las redes de energía eléctrica. El grado de dispersidad puede ser representado por medio de un valor que relaciona la cantidad de elementos de valor cero con respecto a la cantidad total de elementos. En sistemas de potencia de gran tamaño, el grado de dispersidad es mayor al 95 %. Este aumenta a medida que el tamaño del sistema es mayor. Existen múltiples técnicas de dispersidad, las cuales deben cumplir tres principios básicos: Minimizar la cantidad de datos almacenados (requerimientos de memoria). Minimizar el número de operaciones realizadas (tiempo de cálculo). Preservar la dispersidad.

La filosofía base es almacenar solo los elementos no nulos de la matriz, los cuales pueden ser reunidos en un conjunto de vectores que contengan la información necesaria para ubicar la posición del elemento en la matriz, como también los elementos denominados «de relleno».

118

Ramón Alfonso Gallego Rendón, Juan José Mora Flórez, Ricardo Alberto Hincapié Isaza

𝑌𝑏𝑏𝑏 Este algoritmo es basado en el concepto de la matriz de admitancia indefinida. Generalmente, en los estudios de cortocircuito se usa la matriz de impedancia nodal. Sin embargo, su construcción a través de algoritmos directos es algo dispendiosa. Por tal motivo, es costumbre construir inicialmente la matriz de admitancia nodal usando un algoritmo de fácil implementación. Posteriormente, es invertida con el empleo de alguna técnica eficiente [27]. El modelo matemático de la matriz de admitancia nodal es escrito de la forma 𝐼𝐼𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏 = [𝑌𝑌𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏][𝑉𝑉𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏]. En la determinación de sus elementos, se usa el siguiente concepto: 𝑌𝑌𝑖𝑖𝑖𝑖= 𝐼𝐼𝑖𝑖 𝑉𝑉𝑗𝑗 |𝑉𝑉𝑘𝑘=0, 𝑘𝑘= 1, 2, ⋯, 𝑛𝑛; 𝑘𝑘≠𝑗𝑗

(4.29)

Los elementos de la matriz 𝑌𝑌𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏son determinados aplicando una fuente de voltaje de 1 pu en el nodo 𝑗𝑗y cortocircuitando los demás nodos de la red. El elemento 𝑌𝑌𝑖𝑖𝑖𝑖de la matriz 𝑌𝑌𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏obedece a la relación de la corriente inyectada en el nodo 𝑖𝑖y el voltaje aplicado en el nodo 𝑗𝑗. A continuación, se presenta un ejemplo con el fin de contextualizar lo descrito previamente. Ejemplo 4.5:

Determinar la matriz de admitancia nodal para la red mostrada en la Figura nro. 4.6.

El uso de los esquemas de dispersidad depende del problema en particular y de características como simetría de la matriz, necesidad de alterar la estructura de la matriz, o necesidad de memoria o velocidad de cálculo.

Para hacer más eficiente un programa de flujo de carga deben utilizarse de forma combinada las técnicas de dispersidad, ordenamiento nodal, factorización triangular y algoritmos eficientes de programación.𝑌

4.6. Algoritmo de construcción de la matriz 𝑌𝑏𝑢𝑠

Modelizado y análisis de cortocircuito en sistemas eléctrico

𝑌𝑌12 𝑌𝑌34 𝑌𝑌13 𝑌𝑌24 𝑌𝑌30 Figura nro. 4.6. Red de cuatro nodos sin fuente de tensión.

Elaboración propia.

El algoritmo inicia con el nodo 1, continúa con el 2, hasta completar los nodos de la red. Inicialmente, a la red mostrada en la Figura nro. 4.6 se conecta una fuente de voltaje de 1 pu en el nodo 1 y se cortocircuitan los nodos 2, 3 y 4, como se observa en la Figura nro. 4.7.

1

2

3

4

Y12 Y34 Y13 Y24 Y30 +

-

1p.u Figura nro. 4.7. Red de cuatro nodos con fuente de tensión en el nodo 1 y demás nodos en corto. Elaboración propia.

El algoritmo para encontrar la matriz 𝑌𝑌𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏se plantea con base en la ley de Ohm y las leyes de Kirchhoff, como se ilustra a continuación.

En el nodo 𝑖𝑖se aplica la primera ley de Kirchhoff 𝐼𝐼𝑖𝑖= ∑𝑛𝑛 𝑗𝑗=1 𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖, para 𝑖𝑖= 1, 2, 3 y 4.

El flujo de corriente es expresado en función de tensiones nodales y la admitancia, usando la segunda ley de Kirchhoff y la ley de Ohm, como sigue:

120

Ramón Alfonso Gallego Rendón, Juan José Mora Flórez, Ricardo Alberto Hincapié Isaza

𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖= (𝑉𝑉𝑖𝑖−𝑉𝑉𝑗𝑗)𝑦𝑦𝑖𝑖𝑖𝑖

(4.30)

Al reemplazarlo, se obtiene:

𝐼𝐼𝑖𝑖= 𝑛𝑛∑ 𝑗𝑗=1 (𝑉𝑉𝑖𝑖−𝑉𝑉𝑗𝑗)𝑦𝑦𝑖𝑖𝑖𝑖

(4.31)

La tensión del nodo 𝑖𝑖= 𝑉𝑉𝑖𝑖y las demás tensiones nodales son iguales a cero. Por lo tanto, 𝐼𝐼𝑖𝑖= 𝑚𝑚∑ 𝐽𝐽=1 𝑉𝑉𝑖𝑖𝑌𝑌𝑖𝑖𝑖𝑖, 𝐼𝐼𝐽𝐽= −𝑉𝑉𝑖𝑖𝑌𝑌𝑖𝑖𝑖𝑖, 𝐽𝐽= 1, ..., 𝑛𝑛𝑛𝑛≠𝑖𝑖

(4.32)

Las corrientes nodales de la Figura nro. 4.7 se determinan con base en la ecuación anterior, como sigue:

𝐼𝐼1 = 𝑦𝑦12 + 𝑦𝑦13; 𝐼𝐼2 = −𝑦𝑦12; 𝐼𝐼3 = −𝑦𝑦13; 𝐼𝐼4 = 0

(4.33)

Los elementos de la columna 1 de la matriz de admitancia nodal son: 𝑌𝑌11 = 𝐼𝐼1 𝑉𝑉1 = 𝑦𝑦12 + 𝑦𝑦13 𝑌𝑌21 = 𝐼𝐼2 𝑉𝑉1 = −𝑦𝑦12 𝑌𝑌31 = 𝐼𝐼3 𝑉𝑉1 = −𝑦𝑦13 𝑌𝑌41 = 𝐼𝐼4 𝑉𝑉1 = 0

(4.34)

Luego, a la red de la Figura nro. 4.6 se conecta una fuente de voltaje de 1 pu en el nodo 2 y se cortocircuitan los nodos 1, 3 y 4, como se observa en la Figura nro. 4.8.

1

2

3

4

Y12 Y34 Y13 Y24 Y30 +

-

1p.u Figura nro. 4.8. Red de 4 nodos con fuente de tensión en el nodo 2 y demás nodos en corto. Elaboración propia.

Modelizado y análisis de cortocircuito en sistemas eléctrico

Las corrientes nodales de la Figura nro. 4.8 son las siguientes: 𝐼𝐼1 = −𝑦𝑦12; 𝐼𝐼2 = 𝑦𝑦12 + 𝑦𝑦24; 𝐼𝐼3 = 0; 𝐼𝐼4 = −𝑦𝑦24

(4.35)

Los elementos de la columna 2 de la matriz de admitancia nodal son: 𝑌𝑌12 = 𝐼𝐼1 𝑉𝑉2 = −𝑦𝑦12 𝑌𝑌22 = 𝐼𝐼2 𝑉𝑉2 = 𝑦𝑦12 + 𝑦𝑦24 𝑌𝑌32 = 𝐼𝐼3 𝑉𝑉2 = 0 𝑌𝑌42 = 𝐼𝐼4 𝑉𝑉2 = −𝑦𝑦24

(4.36)

Posteriormente, a la red de la Figura nro. 4.6 se conecta una fuente de voltaje de 1 pu en el nodo 3 y se cortocircuitan los nodos 1, 2 y 4, como se observa en la Figura nro. 4.9.

1

2

3

4

Y12 Y34 Y13 Y24 Y30 +

-

1p.u Figura nro. 4.9. Red de 4 nodos con fuente de tensión en el nodo 3 y demás nodos en corto. Elaboración propia.

Las corrientes nodales de la Figura nro. 4.9 son las siguientes: 𝐼𝐼1 = −𝑦𝑦13; 𝐼𝐼2 = 0; 𝐼𝐼3 = 𝑦𝑦13 + 𝑦𝑦34 + 𝑦𝑦30; 𝐼𝐼4 = −𝑦𝑦34

(4.37)

Los elementos de la columna tres de la matriz de admitancia nodal son: 𝑌𝑌13 = 𝐼𝐼1 𝑉𝑉3 = −𝑦𝑦13 𝑌𝑌23 = 𝐼𝐼2 𝑉𝑉3 = 0 𝑌𝑌33 = 𝐼𝐼3 𝑉𝑉3 = 𝑦𝑦13 + 𝑦𝑦34 + 𝑦𝑦30 𝑌𝑌43 = 𝐼𝐼4 𝑉𝑉3 = −𝑦𝑦34

(4.38)

Finalmente, a la red de la Figura nro. 4.6 se conecta una fuente de voltaje de 1 pu en el nodo 4 y se cortocircuitan los nodos 1, 2 y 3, como se observa en la Figura nro. 4.10.

122

Ramón Alfonso Gallego Rendón, Juan José Mora Flórez, Ricardo Alberto Hincapié Isaza

Y12 Y34 Y13 Y24 Y30 +

-

1p.u Figura nro. 4.10. Red de 4 nodos con fuente de tensión en el nodo 4 y demás nodos en corto. Elaboración propia.

Las corrientes nodales de la Figura nro. 4.10 son las siguientes: 𝐼𝐼1 = 0; 𝐼𝐼2 = −𝑦𝑦24; 𝐼𝐼3 = −𝑦𝑦34; 𝐼𝐼4 = 𝑦𝑦24 + 𝑦𝑦34

(4.39)

Los elementos de la columna 4 de la matriz de admitancia nodal son: 𝑌𝑌14 = 𝐼𝐼1 𝑉𝑉4 = 0 𝑌𝑌24 = 𝐼𝐼2 𝑉𝑉4 = −𝑦𝑦24 𝑌𝑌34 = 𝐼𝐼3 𝑉𝑉4 = −𝑦𝑦34 𝑌𝑌44 = 𝐼𝐼4 𝑉𝑉4 = 𝑦𝑦24 + 𝑦𝑦34

(4.40)

Después de aplicar el procedimiento anterior, se obtiene la matriz 𝑌𝑌𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏, a saber: 𝑌𝑌𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏=

1

2

3

4

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ 𝑦𝑦12 + 𝑦𝑦13 −𝑦𝑦12 −𝑦𝑦13

0

−𝑦𝑦12 𝑦𝑦12 + 𝑦𝑦24

0

−𝑦𝑦24 −𝑦𝑦13

0

𝑦𝑦13 + 𝑦𝑦34 + 𝑦𝑦30 −𝑦𝑦34

0

−𝑦𝑦24 −𝑦𝑦34 𝑦𝑦24 + 𝑦𝑦34 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

(4.41)

Ejemplo 4.6:

Corrección por efecto mutuo. Suponer que en la red existe acoplamiento mutuo (𝑦𝑦𝑚𝑚) entre las ramas que conectan los nodos p q y r s, donde los nodos 𝑝𝑝y 𝑟𝑟son marcados con polaridad. En este acoplamiento, una tensión positiva de r a s produce una tensión positiva de p a q, suponiendo una admitancia mutua positiva. Con base en la Figura nro. 4.11 se calculan las corrientes producidas por los efectos mutuos, como sigue: 𝑖𝑖𝑟𝑟𝑟𝑟 = 𝑦𝑦𝑚𝑚(𝑉𝑉𝑝𝑝−𝑉𝑉𝑞𝑞) = 𝑦𝑦𝑚𝑚× 𝑉𝑉𝑝𝑝−𝑦𝑦𝑚𝑚× 𝑉𝑉𝑞𝑞 𝑖𝑖𝑠𝑠𝑠𝑠 = −𝑦𝑦𝑚𝑚(𝑉𝑉𝑝𝑝−𝑉𝑉𝑞𝑞) = −𝑦𝑦𝑚𝑚× 𝑉𝑉𝑝𝑝+ 𝑦𝑦𝑚𝑚× 𝑉𝑉𝑞𝑞 𝑖𝑖𝑝𝑝𝑝𝑝 = 𝑦𝑦𝑚𝑚(𝑉𝑉𝑟𝑟−𝑉𝑉𝑠𝑠) = 𝑦𝑦𝑚𝑚× 𝑉𝑉𝑟𝑟−𝑦𝑦𝑚𝑚× 𝑉𝑉𝑠𝑠 𝑖𝑖𝑞𝑞𝑞𝑞 = −𝑦𝑦𝑚𝑚(𝑉𝑉𝑟𝑟−𝑉𝑉𝑠𝑠) = −𝑦𝑦𝑚𝑚× 𝑉𝑉𝑟𝑟+ 𝑦𝑦𝑚𝑚× 𝑉𝑉𝑠𝑠

(4.42)

Modelizado y análisis de cortocircuito en sistemas eléctrico

p q Ypq Yrs s r Ym Figura nro. 4.11. Corrección de la matriz de admitancia nodal por efectos mutuos. Elaboración propia.

Las corrientes producidas por los valores propios de cada elemento son: 𝑖𝑖𝑟𝑟𝑟𝑟 = 𝑦𝑦𝑟𝑟𝑟𝑟(𝑉𝑉𝑟𝑟−𝑉𝑉𝑠𝑠) 𝑖𝑖𝑠𝑠𝑠𝑠 = −𝑦𝑦𝑟𝑟𝑟𝑟(𝑉𝑉𝑟𝑟−𝑉𝑉𝑠𝑠) 𝑖𝑖𝑝𝑝𝑝𝑝 = 𝑦𝑦𝑝𝑝𝑝𝑝(𝑉𝑉𝑝𝑝−𝑉𝑉𝑞𝑞) 𝑖𝑖𝑞𝑞𝑞𝑞 = −𝑦𝑦𝑝𝑝𝑝𝑝(𝑉𝑉𝑝𝑝−𝑉𝑉𝑞𝑞)

(4.43)

Al superponer la respuesta de la corriente, producida por los valores propios y efectos mutuos, se obtiene:

𝑖𝑖𝑟𝑟= 𝑖𝑖𝑟𝑟𝑟𝑟+ 𝑖𝑖𝑟𝑟𝑟𝑟 = 𝑦𝑦𝑟𝑟𝑟𝑟(𝑉𝑉𝑟𝑟−𝑉𝑉𝑠𝑠) + 𝑦𝑦𝑚𝑚(𝑉𝑉𝑝𝑝−𝑉𝑉𝑞𝑞) 𝑖𝑖𝑠𝑠= 𝑖𝑖𝑠𝑠𝑠𝑠+ 𝑖𝑖𝑠𝑠𝑠𝑠 = −𝑦𝑦𝑟𝑟𝑟𝑟(𝑉𝑉𝑟𝑟−𝑉𝑉𝑠𝑠) − 𝑦𝑦𝑚𝑚(𝑉𝑉𝑝𝑝−𝑉𝑉𝑞𝑞) 𝑖𝑖𝑝𝑝= 𝑖𝑖𝑝𝑝𝑝𝑝+ 𝑖𝑖𝑝𝑝𝑝𝑝 = 𝑦𝑦𝑝𝑝𝑝𝑝(𝑉𝑉𝑝𝑝−𝑉𝑉𝑞𝑞) + 𝑦𝑦𝑚𝑚(𝑉𝑉𝑟𝑟−𝑉𝑉𝑠𝑠) 𝑖𝑖𝑞𝑞= 𝑖𝑖𝑞𝑞𝑞𝑞+ 𝑖𝑖𝑞𝑞𝑞𝑞 = −𝑦𝑦𝑝𝑝𝑝𝑝(𝑉𝑉𝑝𝑝−𝑉𝑉𝑞𝑞) − 𝑦𝑦𝑚𝑚(𝑉𝑉𝑟𝑟−𝑉𝑉𝑠𝑠)

(4.44)

Finalmente, se expresan de forma matricial como sigue:

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ 𝑖𝑖𝑟𝑟 𝑖𝑖𝑠𝑠 𝑖𝑖𝑝𝑝 𝑖𝑖𝑞𝑞 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ = 𝑟𝑟 𝑠𝑠 𝑝𝑝 𝑞𝑞 ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ 𝑌𝑌𝑟𝑟𝑟𝑟 −𝑌𝑌𝑟𝑟𝑟𝑟 𝑌𝑌𝑚𝑚 −𝑌𝑌𝑚𝑚 −𝑌𝑌𝑟𝑟𝑟𝑟 𝑌𝑌𝑟𝑟𝑟𝑟 −𝑌𝑌𝑚𝑚 𝑌𝑌𝑚𝑚 𝑌𝑌𝑚𝑚 −𝑌𝑌𝑚𝑚 𝑌𝑌𝑝𝑝𝑝𝑝 −𝑌𝑌𝑝𝑝𝑝𝑝 −𝑌𝑌𝑚𝑚 𝑌𝑌𝑚𝑚 −𝑌𝑌𝑝𝑝𝑝𝑝 𝑌𝑌𝑝𝑝𝑞𝑞 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ 𝑉𝑉𝑟𝑟 𝑉𝑉𝑠𝑠 𝑉𝑉𝑝𝑝 𝑉𝑉𝑞𝑞 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ (4.45)𝑍𝐿𝐿𝐿𝑍𝑏𝑏𝑏𝑏𝐿𝐿𝐿 Los elementos de la matriz 𝑍𝑍𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏se pueden calcular fácilmente. Por ejemplo, para un cortocircuito en el nodo 𝑚𝑚, solo se requiere de la columna 𝑚𝑚de la matriz 𝑍𝑍𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏. El procedimiento se ilustra a continuación.

4.7. Cálculo de la matriz 𝑍𝑏𝑢𝑠 mediante el proceso de factorización 𝐿𝐷𝑈

124

Ramón Alfonso Gallego Rendón, Juan José Mora Flórez, Ricardo Alberto Hincapié Isaza

Inicialmente, se obtiene la matriz 𝑍𝑍𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏:

1

2

⋮ 𝑚𝑚 ⋮ 𝑛𝑛 ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ 𝑍𝑍11 𝑍𝑍12 ⋯ 𝑍𝑍1𝑚𝑚 ⋯ 𝑍𝑍1𝑛𝑛 𝑍𝑍21 𝑍𝑍22 ⋯ 𝑍𝑍2𝑚𝑚 ⋯ 𝑍𝑍2𝑛𝑛 ⋮ ⋮ ⋯ ⋮ ⋯ ⋮ 𝑍𝑍𝑚𝑚1 𝑍𝑍𝑚𝑚2 ⋯ 𝑍𝑍𝑚𝑚𝑚𝑚 ⋯ 𝑍𝑍𝑚𝑚𝑚𝑚 ⋮ ⋮ ⋯ ⋮ ⋯ ⋮ 𝑍𝑍𝑛𝑛1 𝑍𝑍𝑛𝑛2 ⋯ 𝑍𝑍𝑛𝑛𝑛𝑛 ⋯ 𝑍𝑍𝑛𝑛𝑛𝑛 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

0

0

⋮

1

⋮

0

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ = ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ 𝑍𝑍1𝑚𝑚 𝑍𝑍2𝑚𝑚 ⋮ 𝑍𝑍𝑚𝑚𝑚𝑚 ⋮ 𝑍𝑍𝑛𝑛𝑛𝑛 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ = 𝑍𝑍(𝑚𝑚) 𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏

(4.46)

Se observa, a continuación, que el producto de 𝑌𝑌𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵∗𝑍𝑍𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵= 𝐼𝐼(matriz identidad): 𝑌𝑌𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑍𝑍𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑒𝑒𝑘𝑘= 𝐼𝐼𝐼𝐼𝑘𝑘⇒𝑌𝑌𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵∗𝑍𝑍𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏 ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

0

0

⋮

1

⋮

0

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ 𝑚𝑚= 𝑌𝑌𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝑍𝑍(𝑚𝑚) 𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏= ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

0

0

⋮

1

⋮

0

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ 𝑚𝑚

(4.47)

Luego, se factoriza la matriz 𝑌𝑌𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏y se expresa en función de las matrices [𝐿𝐿] y [𝑈𝑈], recordando que [𝑌𝑌𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏] = [𝐿𝐿][𝑈𝑈]. Al ser reemplazada en la expresión anterior, se obtiene: [𝐿𝐿] [𝑈𝑈] 𝑍𝑍𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏= ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

0

0

⋮

1

⋮

0

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ 𝑚𝑚

(4.48)

Ejemplo 4.7:

Determinar los elementos de la columna 3 de la matriz 𝑍𝑍𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏de un sistema de

4 nodos, en donde todos los nodos se conectan entre sí. De acuerdo a esto:

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ 𝐿𝐿11 𝐿𝐿21 𝐿𝐿22 𝐿𝐿31 𝐿𝐿32 𝐿𝐿33 𝐿𝐿41 𝐿𝐿42 𝐿𝐿43 𝐿𝐿44 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

1

𝑢𝑢12 𝑢𝑢13 𝑢𝑢14

1

𝑢𝑢23 𝑢𝑢24

1

𝑢𝑢34

1

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ 𝑍𝑍13 𝑍𝑍23 𝑍𝑍33 𝑍𝑍43 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ = ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

0

0

1

0

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ Este vector columna 𝑍𝑍3 𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏se resuelve en dos etapas, de la siguiente forma: Modelizado y análisis de cortocircuito en sistemas eléctrico

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ 𝐿𝐿11 𝐿𝐿21 𝐿𝐿22 𝐿𝐿31 𝐿𝐿32 𝐿𝐿33 𝐿𝐿41 𝐿𝐿42 𝐿𝐿43 𝐿𝐿44 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ 𝑋𝑋1 𝑋𝑋2 𝑋𝑋3 𝑋𝑋4 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ = ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

0

0

1

0

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ Al solucionar el sistema anterior, se tiene:

𝑋𝑋1 = 0; 𝑋𝑋2 = 0; 𝑋𝑋3 = 𝑙𝑙 𝐿𝐿33 ; 𝑋𝑋4 = − 𝐿𝐿43 𝐿𝐿44 𝐿𝐿33 Finalmente, se determina la columna 𝑍𝑍3 𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏:

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

1

𝑢𝑢12 𝑢𝑢13 𝑢𝑢14

1

𝑢𝑢23 𝑢𝑢24

1

𝑢𝑢34

1

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ 𝑍𝑍13 𝑍𝑍23 𝑍𝑍33 𝑍𝑍43 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ = ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ 𝑋𝑋1 𝑋𝑋2 𝑋𝑋3 𝑋𝑋4 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ Al resolver, se obtiene:

𝑍𝑍43 = 𝑋𝑋4 𝑍𝑍33 = 𝑋𝑋3 −𝑢𝑢34𝑍𝑍43 Si solo se requieren estos elementos, el proceso se detiene. En caso contrario, continúa el proceso.

𝑍𝑍23 = 𝑋𝑋2 −𝑢𝑢23𝑍𝑍33 −𝑢𝑢24𝑍𝑍43 𝑍𝑍13 = 𝑋𝑋1 −𝑢𝑢12𝑍𝑍23 −𝑢𝑢13𝑍𝑍33 −𝑢𝑢14𝑍𝑍43 En algunas aplicaciones se requiere calcular el equivalente de Thévenin entre dos nodos. Estos dos nodos son diferentes del nodo tierra; es el caso del estudio de conductor abierto. Ahora bien, para calcular la diferencia de los vectores̄ 𝑚𝑚ȳ 𝑛𝑛, se realiza el siguiente procedimiento: como [𝑌𝑌𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏] [𝑍𝑍𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏] es igual a la matriz identidad, [𝑌𝑌𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏] [𝑍𝑍𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏] = [𝐼𝐼] ⇒[𝑌𝑌𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏] [𝑍𝑍𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏] [𝑒𝑒𝑚𝑚−𝑒𝑒𝑛𝑛] = [𝐼𝐼] [𝑒𝑒𝑚𝑚−𝑒𝑒𝑛𝑛]

126

Ramón Alfonso Gallego Rendón, Juan José Mora Flórez, Ricardo Alberto Hincapié Isaza

Por lo tanto, [𝑌𝑌𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏] [𝑍𝑍𝑚𝑚−𝑛𝑛 𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏] = [𝑒𝑒𝑚𝑚−𝑒𝑒𝑛𝑛] Si se expresa la matriz [𝑌𝑌𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏] en las matrices [𝐿𝐿] y [𝑈𝑈], se obtiene: [𝐿𝐿] [𝑈𝑈] [𝑍𝑍𝑚𝑚−𝑛𝑛 𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏] = [𝑒𝑒𝑚𝑚−𝑒𝑒𝑛𝑛] Finalmente, 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿(𝑚𝑚−𝑛𝑛) 𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏 = ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

0

⋮ +1 ⋮ −1 ⋮

0

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ 𝑚𝑚 𝑛𝑛 Donde, 𝑍𝑍(𝑚𝑚−𝑛𝑛) 𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏 = 𝑍𝑍(𝑚𝑚) 𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏−𝑍𝑍(𝑛𝑛) 𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑌𝑌𝑏𝑏𝑏 El análisis se extiende a dos líneas mutuamente acopladas que son parte de una red de mayor tamaño las cuales no están acopladas a ninguna otra rama. De acuerdo a esto, se tiene la impedancia 𝑍𝑍𝑎𝑎conectada entre m y n, y la impedancia 𝑍𝑍𝑏𝑏entre p q. Las impedancias 𝑍𝑍𝑎𝑎y 𝑍𝑍𝑏𝑏están acopladas a través de la impedancia 𝑍𝑍𝑀𝑀. El modelo matemático que las relaciona se ilustra a continuación. Allí, se expresan las tensiones primitivas en función de impedancias y corrientes primitivas:

[ 𝑉𝑉𝑎𝑎 𝑉𝑉𝑏𝑏 ] = [ 𝑍𝑍𝑎𝑎 𝑍𝑍𝑀𝑀 𝑍𝑍𝑀𝑀 𝑍𝑍𝑏𝑏 ] [ 𝑖𝑖𝑎𝑎 𝑖𝑖𝑏𝑏 ]

(4.49)

El siguiente modelo corresponde a la inversa del modelo anterior, es decir, se expresan las corrientes primitivas en función de admitancias y tensiones primitivas. A partir de este modelo y

4.8. Corrección de la 𝑌𝑏𝑢𝑠 por efectos mutuos

Modelizado y análisis de cortocircuito en sistemas eléctrico

sustituyendo las variables primitivas por variables nodales, se determina un modelo que establece la relación entre las variables nodales de tensión y corriente, de la siguiente forma: [ 𝑍𝑍𝑎𝑎 𝑍𝑍𝑀𝑀 𝑍𝑍𝑀𝑀 𝑍𝑍𝑏𝑏 ] −1 =

1

𝑍𝑍𝑎𝑎𝑍𝑍𝑏𝑏−𝑍𝑍2 𝑀𝑀 [ 𝑍𝑍𝑏𝑏 −𝑍𝑍𝑀𝑀 −𝑍𝑍𝑀𝑀 𝑍𝑍𝑎𝑎 ] = [ 𝑌𝑌𝑎𝑎 𝑌𝑌𝑀𝑀 𝑌𝑌𝑀𝑀 𝑌𝑌𝑏𝑏 ]

(4.50)

[ 𝑌𝑌𝑎𝑎 𝑌𝑌𝑀𝑀 𝑌𝑌𝑀𝑀 𝑌𝑌𝑏𝑏 ] [ 𝑉𝑉𝑎𝑎 𝑉𝑉𝑏𝑏 ] = [ 𝑖𝑖𝑎𝑎 𝑖𝑖𝑏𝑏 ]

(4.51)

En la Figura nro. 4.12 se representa matemáticamente el efecto mutuo entre ambas líneas. m n q p i i i i m p n q ia ib YM Y Y a b V V a b Figura nro. 4.12. Representación de líneas mutuamente acopladas. Elaboración propia.

Las tensiones primitivas de la Figura nro. 4.12, expresadas en función de tensiones nodales, son:

[ 𝑉𝑉𝑎𝑎 𝑉𝑉𝑏𝑏 ] = [ 𝑉𝑉𝑚𝑚 −𝑉𝑉𝑛𝑛 𝑉𝑉𝑝𝑝 −𝑉𝑉𝑞𝑞 ] = [ 1 −1

0

0

0

0

1

−1 ] ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ 𝑉𝑉𝑚𝑚 𝑉𝑉𝑛𝑛 𝑉𝑉𝑝𝑝 𝑉𝑉𝑞𝑞 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ = 𝐴𝐴 ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ 𝑉𝑉𝑚𝑚 𝑉𝑉𝑛𝑛 𝑉𝑉𝑝𝑝 𝑉𝑉𝑞𝑞 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⇒𝑉𝑉𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝= 𝐴𝐴𝐴𝐴𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏

(4.52)

Las corrientes nodales, expresadas en función de corrientes primitivas, son: ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ 𝑖𝑖𝑚𝑚 𝑖𝑖𝑛𝑛 𝑖𝑖𝑝𝑝 𝑖𝑖𝑞𝑞 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ = 𝑚𝑚 𝑛𝑛 𝑝𝑝 𝑞𝑞 ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

1

0

−1

0

0

1

0

−1 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ [ 𝑖𝑖𝑎𝑎 𝑖𝑖𝑏𝑏 ] = 𝐴𝐴𝑇𝑇[ 𝑖𝑖𝑎𝑎 𝑖𝑖𝑏𝑏 ] ⇒𝐼𝐼𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏= 𝐴𝐴𝑇𝑇𝐼𝐼𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝

(4.53)

128

Ramón Alfonso Gallego Rendón, Juan José Mora Flórez, Ricardo Alberto Hincapié Isaza

El modelo primitivo, descrito anteriormente, es: [ 𝑌𝑌𝑎𝑎 𝑌𝑌𝑀𝑀 𝑌𝑌𝑀𝑀 𝑌𝑌𝑏𝑏 ] [ 𝑉𝑉𝑎𝑎 𝑉𝑉𝑏𝑏 ] = [ 𝑖𝑖𝑎𝑎 𝑖𝑖𝑏𝑏 ]

(4.54)

Si se reemplaza 𝑉𝑉𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝= 𝐴𝐴𝐴𝐴𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏, se obtiene: [ 𝑌𝑌𝑎𝑎 𝑌𝑌𝑀𝑀 𝑌𝑌𝑀𝑀 𝑌𝑌𝑏𝑏 ] 𝐴𝐴 ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ 𝑉𝑉𝑚𝑚 𝑉𝑉𝑛𝑛 𝑉𝑉𝑝𝑝 𝑉𝑉𝑞𝑞 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ = [ 𝑖𝑖𝑎𝑎 𝑖𝑖𝑏𝑏 ]

(4.55)

Si se multiplica a ambos lados por 𝐴𝐴𝑇𝑇, se determina: 𝐴𝐴𝑇𝑇[ 𝑌𝑌𝑎𝑎 𝑌𝑌𝑀𝑀 𝑌𝑌𝑀𝑀 𝑌𝑌𝑏𝑏 ] 𝐴𝐴 ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ 𝑉𝑉𝑚𝑚 𝑉𝑉𝑛𝑛 𝑉𝑉𝑝𝑝 𝑉𝑉𝑞𝑞 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ = 𝐴𝐴𝑇𝑇[ 𝑖𝑖𝑎𝑎 𝑖𝑖𝑏𝑏 ]

(4.56)

Si se considera que 𝐼𝐼𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏= 𝐴𝐴𝑇𝑇𝐼𝐼𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝, se halla: 𝐴𝐴𝑇𝑇[ 𝑌𝑌𝑎𝑎 𝑌𝑌𝑀𝑀 𝑌𝑌𝑀𝑀 𝑌𝑌𝑏𝑏 ] 𝐴𝐴 ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ 𝑉𝑉𝑚𝑚 𝑉𝑉𝑛𝑛 𝑉𝑉𝑝𝑝 𝑉𝑉𝑞𝑞 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ = ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ 𝑖𝑖𝑚𝑚 𝑖𝑖𝑛𝑛 𝑖𝑖𝑝𝑝 𝑖𝑖𝑞𝑞 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

(4.57)

Del modelo anterior, 𝑌𝑌𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏= [𝐴𝐴𝑇𝑇][𝑌𝑌𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝][𝐴𝐴]. Para la red de la Figura nro. 4.12, la matriz 𝑌𝑌𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏 es:

𝑚𝑚 𝑛𝑛 𝑝𝑝 𝑞𝑞 ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ 𝑌𝑌𝑎𝑎 −𝑌𝑌𝑎𝑎 𝑌𝑌𝑀𝑀 −𝑌𝑌𝑀𝑀 −𝑌𝑌𝑎𝑎 𝑌𝑌𝑎𝑎 −𝑌𝑌𝑀𝑀 𝑌𝑌𝑀𝑀 𝑌𝑌𝑀𝑀 −𝑌𝑌𝑀𝑀 𝑌𝑌𝑏𝑏 −𝑌𝑌𝑏𝑏 −𝑌𝑌𝑀𝑀 𝑌𝑌𝑀𝑀 −𝑌𝑌𝑏𝑏 𝑌𝑌𝑏𝑏 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ 𝑉𝑉𝑚𝑚 𝑉𝑉𝑛𝑛 𝑉𝑉𝑝𝑝 𝑉𝑉𝑞𝑞 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ = ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ 𝑖𝑖𝑚𝑚 𝑖𝑖𝑛𝑛 𝑖𝑖𝑝𝑝 𝑖𝑖𝑞𝑞 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

(4.58)

Si no se considera acoplamiento mutuo, el modelo resultante es el siguiente: Modelizado y análisis de cortocircuito en sistemas eléctrico

𝑚𝑚 𝑛𝑛 𝑝𝑝 𝑞𝑞 ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ 𝑌𝑌𝑎𝑎 −𝑌𝑌𝑎𝑎 −𝑌𝑌𝑎𝑎 𝑌𝑌𝑎𝑎 𝑌𝑌𝑏𝑏 −𝑌𝑌𝑏𝑏 −𝑌𝑌𝑏𝑏 𝑌𝑌𝑏𝑏 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ 𝑉𝑉𝑚𝑚 𝑉𝑉𝑛𝑛 𝑉𝑉𝑝𝑝 𝑉𝑉𝑞𝑞 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ = ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ 𝑖𝑖𝑚𝑚 𝑖𝑖𝑛𝑛 𝑖𝑖𝑝𝑝 𝑖𝑖𝑞𝑞 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

(4.59)

Al comparar los modelos con y sin acople, se determina una ecuación para establecer la corrección por efectos de acoplamiento mutuo en la matriz 𝑌𝑌𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏. En esta comparación se observan 8 posiciones diferentes de la matriz 𝑌𝑌𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏, debido a la combinación de los nodos de 2 en 2. El acople es del mismo signo del tomado de la 𝑌𝑌primitiva cuando la combinación se da entre nodos marcados y no marcados entre sí; es de signo contrario del tomado de la 𝑌𝑌primitiva cuando se efectúa entre uno marcado y otro no marcado.

Dada la Figura nro. 4.13, las posiciones de la matriz 𝑌𝑌𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏son corregidas con los siguientes valores:

𝑌𝑌𝑀𝑀= 𝑌𝑌𝑚𝑚𝑚𝑚−𝑝𝑝𝑝𝑝= 𝑌𝑌𝑝𝑝𝑝𝑝−𝑚𝑚𝑚𝑚

(4.60)

m n p YM q Figura nro. 4.13. Efectos mutuos entre líneas de transmisión.

Elaboración propia.

En las posiciones 𝑚𝑚𝑚𝑚, 𝑝𝑝𝑝𝑝, 𝑛𝑛𝑛𝑛y 𝑞𝑞𝑞𝑞(correspondiente a la combinación de marcado-marcado y no marcado-no marcado), se suma el valor de 𝑌𝑌𝑀𝑀. En las posiciones 𝑚𝑚𝑚𝑚, 𝑞𝑞𝑞𝑞, 𝑛𝑛𝑛𝑛y 𝑝𝑝𝑝𝑝 (correspondiente a la combinación de marcado-no marcado), se resta el valor de 𝑌𝑌𝑀𝑀. De esta forma, se consideran los elementos fuera de la diagonal que aparecen en la matriz de admitancia primitiva como 𝑌𝑌𝑚𝑚𝑚𝑚−𝑝𝑝𝑝𝑝y 𝑌𝑌𝑝𝑝𝑝𝑝−𝑚𝑚𝑚𝑚. Este procedimiento se repite hasta que todos los efectos por acoplamiento mutuo sean incluidos en la matriz 𝑌𝑌𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏.

130

Ramón Alfonso Gallego Rendón, Juan José Mora Flórez, Ricardo Alberto Hincapié Isaza

𝑍𝑏𝑏𝑏 Este método está basado en el concepto de la reacción de la tensión nodal frente a una inyección de corriente en un nodo; es decir, al inyectar una corriente en un nodo, se obtiene una variación de tensión en los nodos de la red. La relación de la variación de tensión y de corriente nodal inyectada se expresa de la siguiente manera:

𝜕𝜕𝜕𝜕𝑖𝑖 𝜕𝜕𝜕𝜕𝑗𝑗 ≈∆𝐸𝐸𝑖𝑖 ∆𝑖𝑖𝑗𝑗

(4.61)

La expresión anterior tiene unidades de impedancia nodal correspondientes a los términos 𝑍𝑍𝑖𝑖𝑖𝑖de la matriz 𝑍𝑍𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏, los cuales dan lugar al concepto básico aplicado en este procedimiento. El concepto 𝜕𝜕𝜕𝜕𝑖𝑖 𝜕𝜕𝜕𝜕𝑗𝑗≈ ∆𝐸𝐸𝑖𝑖 ∆𝑖𝑖𝑗𝑗= 𝑍𝑍𝑖𝑖𝑖𝑖se explica a continuación. Si se inyecta una corriente de 1 amp en el nodo 𝑗𝑗, se ocasiona una elevación de tensión en los nodos del sistema, lo cual es interpretado así:

𝑍𝑍𝑖𝑖𝑖𝑖= 𝑍𝑍𝑗𝑗𝑗𝑗= ∆𝐸𝐸𝑖𝑖 ∆𝑖𝑖𝑗𝑗 = ∆𝐸𝐸𝑖𝑖

1

(voltios) (amperios) = (Ω)

(4.62)

Para ilustrar mejor este concepto, a continuación se presenta un ejemplo detallado del proceso descrito.

Ejemplo 4.8:

Construir la matriz 𝑍𝑍𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏para el sistema mostrado en la Figura nro. 4.14. Este representa una red eléctrica constituida por elementos resistivos, utilizando el concepto 𝑍𝑍𝑖𝑖𝑖𝑖= ∆𝐸𝐸𝑖𝑖∕∆𝑖𝑖𝑗𝑗.

4.9. Concepto básico usado en la construcción manual de la matriz 𝑍𝑏𝑢𝑠

Modelizado y análisis de cortocircuito en sistemas eléctrico

1Ω 1Ω 1Ω 1Ω 1Ω Figura nro. 4.14. Red eléctrica del ejemplo 4.8.

Elaboración propia.

El método inicia inyectando una corriente de 1 amperio en el nodo 1 y calculando las tensiones respecto a tierra, de cada uno de los nodos. Al establecer la relación de la tensión nodal que se calcula y la inyección de corriente de 1 Ωen el nodo 1, se pueden determinar los elementos de la columna 1 de la matriz 𝑍𝑍𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏. El proceso continúa inyectando la fuente de corriente de 1 Ωen los demás nodos y calculando las tensiones nodales respecto a tierra. La relación tensión nodal/corriente nodal determina los elementos 𝑍𝑍𝑖𝑖𝑖𝑖de la matriz 𝑍𝑍𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏. Esta matriz se construye en 4 pasos, correspondientes a los 4 nodos que conforman la red.

Primer paso: Determinación de los elementos 𝑍𝑍11, 𝑍𝑍21, 𝑍𝑍31 y 𝑍𝑍41 de la matriz 𝑍𝑍𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏, inyectando una corriente de 1 A en el nodo 1 (ver Figura nro. 4.15).

132

Ramón Alfonso Gallego Rendón, Juan José Mora Flórez, Ricardo Alberto Hincapié Isaza

1/4 A 3/4 A 1/4 A 1/4 A

1 A

1A Figura nro. 4.15. Red con inyección de corriente en el nodo 1. Elaboración propia.

De ese modo, 𝑉𝑉1 = 1

3

4𝑉𝑉 ⇒ 𝑍𝑍11 = 1

3

4 Ω

𝑉𝑉2 = 1

1

2𝑉𝑉 ⇒ 𝑍𝑍21 = 1

1

2 Ω

𝑉𝑉3 = 1𝑉𝑉 ⇒ 𝑍𝑍31 = 1 Ω 𝑉𝑉4 = 1

1

4𝑉𝑉 ⇒ 𝑍𝑍41 = 1

1

4 Ω

Segundo paso: Determinación de los elementos 𝑍𝑍12, 𝑍𝑍22, 𝑍𝑍32 y 𝑍𝑍42 de la matriz 𝑍𝑍𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏, inyectando una corriente de 1 A en el nodo 2 (ver Figura nro. 4.16). Modelizado y análisis de cortocircuito en sistemas eléctrico

1 A

1/2 A 1/2 A 1/2 A 1/2 A 1A Figura nro. 4.16. Red con inyección de corriente en el nodo 2. Elaboración propia.

Por lo tanto, 𝑉𝑉1 = 1

1

2𝑉𝑉 ⇒ 𝑍𝑍12 = 1

1

2 Ω

𝑉𝑉2 = 2𝑉𝑉 ⇒ 𝑍𝑍22 = 2 Ω 𝑉𝑉3 = 1𝑉𝑉 ⇒ 𝑍𝑍32 = 1 Ω 𝑉𝑉4 = 1

1

2𝑉𝑉 ⇒ 𝑍𝑍42 = 1

1

2 Ω

Tercer paso: Determinación de los elementos 𝑍𝑍13, 𝑍𝑍23, 𝑍𝑍33 y 𝑍𝑍43) de la matriz 𝑍𝑍𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏, inyectando una corriente de 1 A en el nodo 3 (ver Figura nro. 4.17).

134

Ramón Alfonso Gallego Rendón, Juan José Mora Flórez, Ricardo Alberto Hincapié Isaza

1A 1A Figura nro. 4.17. Red con inyección de corriente en el nodo 3. Elaboración propia.

Dado lo anterior, 𝑉𝑉1 = 1𝑉𝑉 ⇒ 𝑍𝑍13 = 1 Ω 𝑉𝑉2 = 1𝑉𝑉 ⇒ 𝑍𝑍23 = 1 Ω 𝑉𝑉3 = 1𝑉𝑉 ⇒ 𝑍𝑍33 = 1 Ω 𝑉𝑉4 = 1𝑉𝑉 ⇒ 𝑍𝑍43 = 1 Ω Cuarto paso: Determinación de los elementos 𝑍𝑍14, 𝑍𝑍24, 𝑍𝑍34 y 𝑍𝑍44 de la matriz 𝑍𝑍𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏, inyectando una corriente de 1 A en el nodo 4 (ver Figura nro. 4.18). Modelizado y análisis de cortocircuito en sistemas eléctrico

1A 1/4 A 3/4 A 1/4 A 1/4 A 1A Figura nro. 4.18. Red con inyección de corriente en el nodo 4. Elaboración propia.

Por lo tanto, 𝑉𝑉1 = 1

1

4𝑉𝑉 ⇒ 𝑍𝑍14 = 1

1

4 Ω

𝑉𝑉2 = 1

1

2𝑉𝑉 ⇒ 𝑍𝑍24 = 1

1

2𝑉𝑉Ω 𝑉𝑉3 = 1𝑉𝑉 ⇒ 𝑍𝑍34 = 1 Ω 𝑉𝑉4 = 1

3

4𝑉𝑉 ⇒ 𝑍𝑍44 = 1

3

4 Ω

Como resultado de los cuatro pasos anteriores se tiene la formación de la matriz 𝑍𝑍𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏, como se presenta a continuación:

𝑍𝑍𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵=

1

2

3

4

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

1

3

4

1

1

2

1

1

1

4

1

1

2

2

1

1

1

2

1

1

1

1

1

1

4

1

1

2

1

1

3

4

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ De la matriz 𝑍𝑍𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏construida anteriormente, se observan las siguientes características:

1

2

3

4

136

Ramón Alfonso Gallego Rendón, Juan José Mora Flórez, Ricardo Alberto Hincapié Isaza

𝑍𝑏𝑏𝑏 Este algortimo está fundamentado, además de las leyes de Kirchhoff y la ley de Ohm, en el concepto que explica los elementos 𝑍𝑍𝑖𝑖𝑖𝑖de la matriz 𝑍𝑍𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏(𝑍𝑍𝑖𝑖𝑖𝑖= 𝜕𝜕𝜕𝜕𝑖𝑖∕𝜕𝜕𝜕𝜕𝑗𝑗) y que representa la reacción de la tensión frente a la inyección de corriente en un nodo. En este algoritmo se inyecta una corriente en el nodo i y se miden tensiones nodales, como resultado de la inyección en los nodos del sistema. La relación tensión nodal/corriente nodal corresponde a los elementos de la matriz 𝑍𝑍𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏.

Para la sistematización de la matriz 𝑍𝑍𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏se establece un procedimiento de forma ordenada con las siguientes reglas básicas:

Se conforma paso a paso; por lo tanto,los elementos son instalados uno a la vez. El proceso termina cuando todos los elementos de la red han sido instalados. Respecto al elemento que va a ser instalado, pueden presentarse dos situaciones: que el elemento sea radial (no genere malla) o que el elemento sea un enlace (genere una malla); cada alternativa de estas tiene su propio desarrollo. Además de lo anterior, se debe contemplar la posibilidad de que el elemento a instalar esté acoplado con algunos de los elementos previamente ensamblados. El primer elemento instalado debe estar conectado a la referencia con el fin de que, al inyectar la corriente en cualquier nodo, se tenga retorno a tierra. En la medida en que se instalen elementos debe observarse que no se presenten sistemas aislados; esto quiere decir que la red instalada en todo momento no debe presentar zonas no conectadas.

Cada vez que se instala un nuevo elemento debe conformarse la matriz [z]-primitiva con los elementos previamente instalados, incluido además el elemento a instalar. De esta forma, se obtiene la matriz [y]-primitiva. Aquí se debe tener especial cuidado en la inversión de la matriz [z]-primitiva, dividiendo la matriz en elementos acoplados y no acoplados para facilitar el proceso de inversión.

El concepto básico es: 𝑍𝑍𝑖𝑖𝑖𝑖= ∆𝐸𝐸𝑖𝑖∕∆𝑖𝑖𝑗𝑗.

Es simétrica.

Es dominante.

Es no-dispersa.

El algoritmo de formación es general y puede ser usado en la construcción de redes DC y AC.

Se asume el nodo tierra como referencia.𝑍

4.10. Algoritmo para la formación de la 𝑍𝑏𝑢𝑠

Modelizado y análisis de cortocircuito en sistemas eléctrico

Al instalar un elemento, se determina si es del tipo radial o enlace y si posee acoplamientos con elementos previamente ensamblados con el fin de establecer la ecuación correspondiente.

Los pasos para realizar el ensamblaje de la matriz 𝑍𝑍𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏son: Ordenar los elementos de tal forma que produzcan un circuito conectado (se debe tener especial cuidado en el agrupamiento de acoples mutuos sucesivos). Iniciar con un elemento conectado a la referencia.

Construir la matriz [z]-primitiva para obtener la matriz [y]-primitiva. Antes de ensamblar un nuevo elemento, verificar si tiene acoples mutuos con otros elementos e identificar cuales de esos acoples son con líneas previamente ensambladas. Determinar el tipo de línea a ensamblar: radial sin acople, malla sin acople, radial con acople mutuo y malla con acople mutuo.

Los pasos para obtener la matriz 𝑌𝑌𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝([y]-primitiva) son: Conformar la matriz [z]-primitiva con los elementos previamente ensamblados (incluyendo el que se va a ensamblar con sus correspondientes acoplamientos mutuos). Invertir la [z]-primitiva encontrada en el paso anterior para determinar la [y]-primitiva. Extraer el vector⃗𝑝𝑝𝑝𝑝, correspondiente al elemento a instalar (en este vector se encuentran los acoplamientos mutuos y valores propio de⃗𝑝𝑝𝑝𝑝).

Cada vez que se incorpora un nuevo elemento a la matriz 𝑍𝑍𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏, se repite el proceso. De esta forma, el tamaño de la [z]-primitiva crece a medida que avanza el proceso. Finalmente, se desarrollan los procedimientos para las instalación de elementos radiales y enlaces sin acoplamiento mutuo.

El elemento radial se caracteriza por los dos nodos que lo conectan; uno de ellos hace parte de la matriz 𝑍𝑍𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏actual y ya ha sido instalado; el otro no forma parte de la matriz 𝑍𝑍𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏y es el nuevo nodo a ser instalado en el sistema. Por lo tanto, la matriz 𝑍𝑍𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏es ampliada en una fila y una columna,

4.10.1. Elemento radial sin acoplamiento mutuo

138

Ramón Alfonso Gallego Rendón, Juan José Mora Flórez, Ricardo Alberto Hincapié Isaza

correspondiente al nuevo nodo. El procedimiento por medio del cual se determinan los nuevos elementos (fila y columna) de la matriz 𝑍𝑍𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏, se describe a continuación [28]. Para ilustrar el concepto, se debe asumir que se va a instalar el elemento p q en el sistema. En esa dirección p corresponde a un nodo previamente instalado y q, al nuevo nodo (ver Figura nro. 4.19).

0

0

1

2

8

i k

0

p Sistema eléctrico con 𝑘𝑘nodos previamente instalados incluido el de referencia

1

2

i

1 pu

p k

0

𝑌𝑌𝑝𝑝𝑝𝑝

1 pu

q + − 𝑉𝑉𝑝𝑝 + − 𝑉𝑉𝑞𝑞 Figura nro. 4.19. Instalación del elemento radial 𝑝𝑝𝑝𝑝sin acoplamiento mutuo. Tomado de [28].

Los elementos de la nueva fila y la nueva columna de la matriz 𝑍𝑍𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏son denominados como elementos de la diagonal y fuera de la diagonal. De esta forma, se determinan las ecuaciones para los elementos de la 𝑍𝑍𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏de la diagonal y fuera de la diagonal. Para los elementos fuera de la diagonal se inyecta una corriente de 1 pu en el nodo i y se determina la tensión del nodo q, aplicando las leyes de Kirchhoff y la ley de Ohm. Al aplicar la segunda ley de Kirchhoff en la malla 0-p-q-0, se obtiene:

𝑉𝑉𝑞𝑞−𝑉𝑉𝑝𝑝= 0 ⇒𝑉𝑉𝑞𝑞= 𝑉𝑉𝑝𝑝⇒ 𝑉𝑉𝑞𝑞 𝑖𝑖𝑖𝑖 = 𝑉𝑉𝑝𝑝 𝑖𝑖𝑖𝑖

(4.63)

Modelizado y análisis de cortocircuito en sistemas eléctrico

Del concepto descrito anteriormente, se tiene que:

𝑍𝑍𝑞𝑞𝑞𝑞= 𝑉𝑉𝑞𝑞 𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑍𝑍𝑝𝑝𝑝𝑝= 𝑉𝑉𝑝𝑝 𝑖𝑖𝑖𝑖

(4.64)

Por lo anterior, se concluye que 𝑍𝑍𝑞𝑞𝑞𝑞= 𝑍𝑍𝑝𝑝𝑝𝑝.

Para los elementos de la diagonal se inyecta una corriente de 1 pu en el nodo q y se determina su tensión. Al aplicar la segunda ley de Kirchhoff en la malla 0-p-q-0, se obtiene: 𝑉𝑉𝑞𝑞−1 𝑌𝑌𝑝𝑝𝑝𝑝 −𝑉𝑉𝑝𝑝= 0

(4.65)

Se despeja el voltaje del nodo q y se obtiene:

𝑉𝑉𝑞𝑞= 𝑉𝑉𝑝𝑝+ 1 𝑌𝑌𝑝𝑝𝑝𝑝 ⇒ 𝑉𝑉𝑞𝑞 𝑖𝑖𝑞𝑞 = 𝑉𝑉𝑝𝑝 𝑖𝑖𝑞𝑞 + 𝑖𝑖𝑞𝑞 𝑦𝑦𝑝𝑝𝑝𝑝

1

𝑖𝑖𝑞𝑞

(4.66)

De este modo, 𝑍𝑍𝑞𝑞𝑞𝑞= 𝑉𝑉𝑞𝑞 𝑖𝑖𝑞𝑞 𝑍𝑍𝑝𝑝𝑝𝑝= 𝑉𝑉𝑝𝑝 𝑖𝑖𝑞𝑞

(4.67)

Por lo anterior, se concluye que:

𝑍𝑍𝑞𝑞𝑞𝑞= 𝑍𝑍𝑝𝑝𝑝𝑝+ 1 𝑌𝑌𝑝𝑝𝑝𝑝

(4.68)

La estructura de la matriz 𝑍𝑍𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏, después de instalado el nuevo elemento radial p q es la siguiente:

𝑝𝑝 𝑝𝑝 ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ 𝑉𝑉1 𝑉𝑉2 ⋮ 𝑉𝑉𝑝𝑝 ⋮ 𝑉𝑉𝑘𝑘 𝑉𝑉𝑞𝑞 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ =

1

2

⋮ 𝑝𝑝 ⋮ 𝑘𝑘 𝑞𝑞 𝑍𝑍11 𝑍𝑍12 ⋯ 𝑍𝑍1𝑝𝑝 ⋯ 𝑍𝑍1𝑘𝑘 𝑍𝑍1𝑞𝑞 𝑍𝑍21 𝑍𝑍22 ⋯ 𝑍𝑍2𝑝𝑝 ⋯ 𝑍𝑍2𝑘𝑘 𝑍𝑍2𝑞𝑞 ⋮ ⋮ ⋯ ⋮ ⋯ ⋮ ⋮ 𝑍𝑍𝑝𝑝1 𝑍𝑍𝑝𝑝2 ⋯ 𝑍𝑍𝑝𝑝𝑝𝑝 ⋯ 𝑍𝑍𝑝𝑝𝑝𝑝 𝑍𝑍𝑝𝑝𝑝𝑝 ⋮ ⋮ ⋯ ⋮ ⋯ ⋮ ⋮ 𝑍𝑍𝑘𝑘1 𝑍𝑍𝑘𝑘2 ⋯ 𝑍𝑍𝑘𝑘𝑘𝑘 ⋯ 𝑍𝑍𝑘𝑘𝑘𝑘 𝑍𝑍𝑘𝑘𝑘𝑘 𝑍𝑍𝑞𝑞1 𝑍𝑍𝑞𝑞2 ⋯ 𝑍𝑍𝑞𝑞𝑞𝑞 ⋯ 𝑍𝑍𝑞𝑞𝑞𝑞 𝑍𝑍𝑞𝑞𝑞𝑞 ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ 𝑖𝑖1 𝑖𝑖2 ⋮ 𝑖𝑖𝑝𝑝 ⋮ 𝑖𝑖𝑘𝑘 𝑖𝑖𝑞𝑞 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

140

Ramón Alfonso Gallego Rendón, Juan José Mora Flórez, Ricardo Alberto Hincapié Isaza

Ejemplo 4.9:

Construir la matriz 𝑍𝑍𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏para la red con topología radial de 6 nodos (incluida la referencia). Esta se expone en la Figura nro. 4.20. Emplear las ecuaciones descritas anteriormente.

1Ω 1Ω 1Ω 1Ω 1Ω

0

1

2

3

4

5

Figura nro. 4.20. Red radial de 5 nodos del ejemplo 4.9.

Elaboración propia.

El resultado al aplicar el algoritmo para la formación de la matriz 𝑍𝑍𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏es el siguiente: Para el elemento 0-1:

1

𝑍𝑍𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵= 1

1

Para el elemento 1-2:

1

2

𝑍𝑍𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵= 1

2

1

1

1

2

Para el elemento 1-3:

Modelizado y análisis de cortocircuito en sistemas eléctrico

𝑍𝑍𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵=

1

2

3

1

1

1

1

2

1

1

1

2

Para el elemento 2-4:

1

2

3

4

𝑍𝑍𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵=

1

2

3

4

1

1

1

1

1

2

1

2

1

1

2

1

1

2

1

3

Para el elemento 3-5:

𝑍𝑍𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏=

0

1

2

3

4

5

0

0

0

0

0

0

0

1

1

1

1

1

0

1

2

1

2

1

0

1

1

2

1

2

0

1

2

1

3

1

0

1

1

2

1

3

El enlace se caracteriza porque los dos nodos que lo conectan han sido previamente instalados en la matriz 𝑍𝑍𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏. Para ilustrar este concepto, se debe considerar la Figura nro. 4.21. Allí, se puede observar la creación del nodo ficticio L. Entre los nodos P y L se conecta la admitancia del elemento a instalar, donde 𝑒𝑒𝐿𝐿representa la diferencia de tensión entre los nodos L y q (voltaje nodal a calcular). Se asume el nodo q como referencia virtual para efectos del cálculo de tensión respecto al nodo L. Para tal fin, se aplican las leyes de Kirchhoff y la ley de Ohm. Es preciso aclarar que entre los nodos L y q no existe flujo de corriente, pero existe una diferencia de tensión [28].

4.10.2. Elemento de enlace sin acoplamiento mutuo

142

Ramón Alfonso Gallego Rendón, Juan José Mora Flórez, Ricardo Alberto Hincapié Isaza

q

0

0

1

2

8

i k

0

p Sistema eléctrico con 𝑘𝑘nodos Previamente instalados incluido el de referencia

1

2

i

1 pu

p q k

0

L + − 𝑒𝑒𝐿𝐿

1 pu

𝑌𝑌𝑝𝑝𝑝𝑝 Figura nro. 4.21. Instalación del elemento de enlace p q sin acoplamiento mutuo. Tomado de [28].

Para los elementos fuera de la diagonal se inyecta una corriente de 1 pu en el nodo i y se determina la diferencia de tensión entre los nodos L y q. Al aplicar la segunda ley de Kirchhoff en los ciclos 0-p-L-0 y 0-L-q-0, se obtiene: 𝑉𝑉𝑝𝑝−𝑉𝑉𝐿𝐿= 0

(4.69)

𝑉𝑉𝐿𝐿−𝑒𝑒𝐿𝐿−𝑉𝑉𝑞𝑞= 0

(4.70)

Al sustituir la primer ecuación en la segunda, se obtiene: 𝑉𝑉𝑝𝑝−𝑒𝑒𝐿𝐿−𝑉𝑉𝑞𝑞= 0 ⇒𝑒𝑒𝐿𝐿= 𝑉𝑉𝑝𝑝−𝑉𝑉𝑞𝑞

(4.71)

Al dividir las tensiones nodales por la corriente inyectada en i, se tiene que: 𝑒𝑒𝐿𝐿 𝑖𝑖𝑖𝑖 = 𝑉𝑉𝑝𝑝 𝑖𝑖𝑖𝑖 − 𝑉𝑉𝑞𝑞 𝑖𝑖𝑖𝑖

(4.72)

Modelizado y análisis de cortocircuito en sistemas eléctrico

Como:

𝑍𝑍𝑙𝑙𝑙𝑙= 𝑒𝑒𝑙𝑙 𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑍𝑍𝑝𝑝𝑝𝑝= 𝑉𝑉𝑝𝑝 𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑍𝑍𝑞𝑞𝑞𝑞= 𝑉𝑉𝑞𝑞 𝑖𝑖𝑖𝑖

(4.73)

Entonces, 𝑍𝑍𝑙𝑙𝑙𝑙= 𝑍𝑍𝑝𝑝𝑝𝑝−𝑍𝑍𝑞𝑞𝑞𝑞

(4.74)

Para los elementos de la diagonal se inyecta una corriente de 1 pu en el nodo L y se determina la diferencia de tensión entre el nodo L y q. Al aplicar la segunda ley de Kirchhoff, se obtiene: 𝑉𝑉𝑝𝑝+ 1 𝑌𝑌𝑝𝑝𝑝𝑝 −𝑉𝑉𝐿𝐿= 0

(4.75)

𝑉𝑉𝐿𝐿−𝑒𝑒𝐿𝐿−𝑉𝑉𝑞𝑞= 0

(4.76)

Al sustituir la primer ecuación en la segunda, se obtiene:

𝑉𝑉𝑝𝑝+ 𝑙𝑙 𝑌𝑌𝑝𝑝𝑝𝑝 −𝑒𝑒𝐿𝐿−𝑉𝑉𝑞𝑞= 0 ⇒𝑒𝑒𝐿𝐿= 𝑉𝑉𝑝𝑝−𝑉𝑉𝑞𝑞+ 1 𝑌𝑌𝑝𝑝𝑝𝑝

(4.77)

Al dividir las tensiones nodales por la corriente inyectada en 𝐿𝐿se tiene que: 𝑒𝑒𝑙𝑙 𝑖𝑖𝑙𝑙 = 𝑉𝑉𝑝𝑝 𝑖𝑖𝑙𝑙 − 𝑉𝑉𝑞𝑞 𝑖𝑖𝑙𝑙 + 1 𝑌𝑌𝑝𝑝𝑝𝑝

(4.78)

Como, 𝑍𝑍𝑙𝑙𝑙𝑙= 𝑒𝑒𝑙𝑙 𝑖𝑖𝑙𝑙 𝑍𝑍𝑝𝑝𝑝𝑝= 𝑉𝑉𝑝𝑝 𝑖𝑖𝑙𝑙 𝑍𝑍𝑞𝑞𝑞𝑞= 𝑉𝑉𝑞𝑞 𝑖𝑖𝑙𝑙

(4.79)

144

Ramón Alfonso Gallego Rendón, Juan José Mora Flórez, Ricardo Alberto Hincapié Isaza

Entonces, 𝑍𝑍𝑙𝑙𝑙𝑙= 𝑍𝑍𝑝𝑝𝑝𝑝−𝑍𝑍𝑞𝑞𝑞𝑞+ 1 𝑌𝑌𝑝𝑝𝑝𝑝

(4.80)

Al adicionar el elemento denominado enlace se crea el nodo L, el cual genera en la matriz 𝑍𝑍𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏una nueva fila y una nueva columna. Para su formación, se asume el nodo q como nodo de referencia virtual, respecto al cual se calcula la tensión 𝑒𝑒𝐿𝐿. Posteriormente, los nodos L y q son cortocircuitados, por lo que 𝑒𝑒𝑙𝑙asume un valor igual cero. De esta forma, el nodo L es eliminado, utilizando el proceso de reducción de Kron, como se presenta a continuación:

1

2

𝑝𝑝 𝑝𝑝 𝑝𝑝 ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ 𝑉𝑉1 𝑉𝑉2 ⋮ 𝑉𝑉𝑝𝑝 ⋮ 𝑉𝑉𝑞𝑞 ⋮ 𝑉𝑉𝑘𝑘 𝑒𝑒𝐿𝐿 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ =

1

2

⋮ 𝑝𝑝 ⋮ 𝑞𝑞 ⋮ 𝑘𝑘 𝑙𝑙 𝑍𝑍11 𝑍𝑍12 ⋯ 𝑍𝑍1𝑝𝑝 ⋯ 𝑍𝑍1𝑞𝑞 ⋯ 𝑍𝑍1𝑘𝑘 𝑍𝑍1𝑙𝑙 𝑍𝑍21 𝑍𝑍22 ⋯ 𝑍𝑍2𝑝𝑝 ⋯ 𝑍𝑍2𝑞𝑞 ⋯ 𝑍𝑍2𝑘𝑘 𝑍𝑍2𝑙𝑙 ⋮ ⋮ ⋯ ⋮ ⋯ ⋮ ⋯ ⋮ ⋮ 𝑍𝑍𝑝𝑝1 𝑍𝑍𝑝𝑝2 ⋯ 𝑍𝑍𝑝𝑝𝑝𝑝 ⋯ 𝑍𝑍𝑝𝑝𝑝𝑝 ⋯ 𝑍𝑍𝑝𝑝𝑝𝑝 𝑍𝑍𝑝𝑝𝑝𝑝 ⋮ ⋮ ⋯ ⋮ ⋯ ⋮ ⋯ ⋮ ⋮ 𝑍𝑍𝑞𝑞1 𝑍𝑍𝑞𝑞2 ⋯ 𝑍𝑍𝑞𝑞𝑞𝑞 ⋯ 𝑍𝑍𝑞𝑞𝑞𝑞 ⋯ 𝑍𝑍𝑞𝑞𝑞𝑞 𝑍𝑍𝑞𝑞𝑞𝑞 ⋮ ⋮ ⋯ ⋮ ⋯ ⋮ ⋯ ⋮ ⋮ 𝑍𝑍𝑘𝑘1 𝑍𝑍𝑘𝑘2 ⋯ 𝑍𝑍𝑘𝑘𝑘𝑘 ⋯ 𝑍𝑍𝑘𝑘𝑘𝑘 ⋯ 𝑍𝑍𝑘𝑘𝑘𝑘 𝑍𝑍𝑘𝑘𝑘𝑘 𝑍𝑍𝑙𝑙1 𝑍𝑍𝑙𝑙2 ⋯ 𝑍𝑍𝑙𝑙𝑙𝑙 ⋯ 𝑍𝑍𝑙𝑙𝑙𝑙 ⋯ 𝑍𝑍𝑙𝑙𝑙𝑙 𝑍𝑍𝑙𝑙𝑙𝑙 ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ 𝑖𝑖1 𝑖𝑖2 ⋮ 𝑖𝑖𝑝𝑝 ⋮ 𝑖𝑖𝑞𝑞 ⋮ 𝑖𝑖𝑘𝑘 𝑖𝑖𝐿𝐿 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ Ejemplo 4.10:

Para el sistema enmallado de 5 nodos (incluida la referencia), mostrado en la Figura nro. 4.22, emplear el algoritmo para la formación de la matriz 𝑍𝑍𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏usando elementos radiales y de enlace, sin acoplamiento mutuo.

Modelizado y análisis de cortocircuito en sistemas eléctrico

1Ω 1Ω 1Ω 1Ω 1Ω Figura nro. 4.22. Red enmallada de 4 nodos del ejemplo 4.10.

Elaboración propia.

El orden en el cual se han adicionado los elementos es (0-3), (3-1), (1-2), (3-4) y (2-4). Al momento de ser adicionado el elemento (2-4), se tiene la matriz 𝑍𝑍𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏, presentada a continuación. Se observa que esta rama (llamada enlace), cierra una malla. La adición de este elemento genera un nodo ficticio l, tal como se muestra en la matriz.

3

1

2

4

𝑙𝑙

3

1

2

4

𝑙𝑙

1

1

1

1

0

1

2

2

1

1

1

2

3

1

2

1

1

1

2

-1

0

1

2

-1

4

Al eliminar el nodo ficticio l, se obtiene:

3

1

2

4

3

1

2

4

1

1

1

1

1

1

3

4

1

1

2

1

1

4

1

1

1

2

2

1

1

2

1

1

1

4

1

1

2

1

3

4

Si se reordenan los nodos se presenta la siguiente matriz la cual es similar a la obtenida en la sección 4.9.

146

Ramón Alfonso Gallego Rendón, Juan José Mora Flórez, Ricardo Alberto Hincapié Isaza

Como se mencionó anteriormente, al instalar un elemento radial, la matriz 𝑍𝑍𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏crece en una fila y una columna. En este caso, se requiere conocer el valor de los acoplamientos mutuos con los elementos previamente instalados. Para esto, se conforma la matriz 𝑧𝑧𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝y se invierte para determinar la matriz 𝑦𝑦𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝. Al observar en la matriz 𝑦𝑦𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝la columna correspondiente al elemento que se va a instalar, se puede conocer con qué elementos previamente instalados existe acoplamiento mutuo.

La Figura nro. 4.23 ilustra este concepto. A continuación, se expone el procedimiento para instalar el elemento p q en el sistema, siendo p un nodo previamente instalado y q el nuevo nodo.

0

0

1

2

8

i k

0

p r s 𝑌𝑌𝑟𝑟𝑟𝑟 𝑌𝑌𝑝𝑝𝑝𝑝−𝑟𝑟𝑟𝑟 Sistema eléctrico con 𝑘𝑘nodos previamente instalados incluido el de referencia

1

2

i

1 pu

p k

0

𝑌𝑌𝑝𝑝𝑝𝑝

1 pu

q + − 𝑉𝑉𝑝𝑝 + − 𝑉𝑉𝑞𝑞 Figura nro. 4.23. Instalación del elemento radial 𝑝𝑝−𝑞𝑞con acoplamiento mutuo. Tomado de [28].

1

2

3

4

1

2

3

4

1

3

4

1

1

2

1

1

1

4

1

1

2

2

1

1

1

2

1

1

1

1

1

1

4

1

1

2

1

1

3

4

4.10.3. Elemento radial con acoplamiento mutuo

Modelizado y análisis de cortocircuito en sistemas eléctrico

Para elementos fuera de la diagonal se inyecta una corriente de 1 pu en el nodo i, donde la corriente y la tensión por acoplamiento son calculadas de la siguiente manera: 𝑖𝑖𝑝𝑝𝑝𝑝−𝑟𝑟𝑟𝑟= 𝑌𝑌𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝(𝑉𝑉𝑟𝑟−𝑉𝑉𝑠𝑠)

(4.81)

Se asumen las marcas en 𝑟𝑟y 𝑝𝑝. Por lo tanto, la corriente creada en el acople entra por el nodo q y sale por el nodo p. De esta forma, el voltaje de acoplamiento tiene el potencial más alto en el nodo q:

𝑉𝑉𝑝𝑝𝑝𝑝−𝑟𝑟𝑟𝑟= 𝑌𝑌𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝(𝑉𝑉𝑟𝑟−𝑉𝑉𝑠𝑠) 𝑌𝑌𝑝𝑝𝑝𝑝

(4.82)

Al aplicar la segunda ley de Kirchhoff en la malla 0-q-p-0, se obtiene: 𝑉𝑉𝑞𝑞− 𝑌𝑌𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝(𝑉𝑉𝑟𝑟−𝑉𝑉𝑠𝑠) 𝑌𝑌𝑝𝑝𝑝𝑝 −𝑉𝑉𝑝𝑝= 0 ⇒𝑉𝑉𝑞𝑞= 𝑉𝑉𝑝𝑝+ 𝑌𝑌𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝(𝑉𝑉𝑟𝑟−𝑉𝑉𝑠𝑠) 𝑌𝑌𝑝𝑝𝑝𝑝

(4.83)

Al dividir la ecuación de tensión nodal por la corriente nodal 𝑖𝑖se tiene: 𝑉𝑉𝑞𝑞 𝑖𝑖𝑖𝑖 = 𝑉𝑉𝑝𝑝 𝑖𝑖𝑖𝑖 + 𝑌𝑌𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝(𝑉𝑉𝑟𝑟−𝑉𝑉𝑠𝑠) 𝑌𝑌𝑝𝑝𝑝𝑝∗𝑖𝑖𝑖𝑖

(4.84)

Como, 𝑍𝑍𝑞𝑞𝑞𝑞= 𝑉𝑉𝑞𝑞 𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑍𝑍𝑝𝑝𝑝𝑝= 𝑉𝑉𝑝𝑝 𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑍𝑍𝑟𝑟𝑟𝑟= 𝑉𝑉𝑟𝑟 𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑍𝑍𝑠𝑠𝑠𝑠= 𝑉𝑉𝑠𝑠 𝑖𝑖𝑖𝑖

(4.85)

Entonces, 𝑍𝑍𝑞𝑞𝑞𝑞= 𝑍𝑍𝑝𝑝𝑝𝑝+ 𝑌𝑌𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝(𝑍𝑍𝑟𝑟𝑟𝑟−𝑍𝑍𝑠𝑠𝑠𝑠) 𝑌𝑌𝑝𝑝𝑝𝑝

(4.86)

148

Ramón Alfonso Gallego Rendón, Juan José Mora Flórez, Ricardo Alberto Hincapié Isaza

Para los elementos de la diagonal se inyecta una corriente de 1 pu en el nodo q y se calcula su tensión. Con las marcas en r y p, la corriente de acople es 𝑖𝑖𝑝𝑝𝑝𝑝−𝑟𝑟𝑟𝑟= 𝑌𝑌𝑝𝑝𝑝𝑝−𝑟𝑟𝑟𝑟(𝑉𝑉𝑟𝑟−𝑉𝑉𝑠𝑠), la cual entra por el nodo q y sale por el nodo p. De esta forma, la tensión de acoplamiento tiene potencial más alto en el nodo q.

Al aplicar la segunda ley de Kirchhoff en la malla 0-q-p-0, se tiene: 𝑉𝑉𝑞𝑞−1 𝑌𝑌𝑝𝑝𝑝𝑝 − 𝑌𝑌𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝(𝑉𝑉𝑟𝑟−𝑉𝑉𝑠𝑠) 𝑌𝑌𝑝𝑝𝑝𝑝 −𝑉𝑉𝑝𝑝= 0

(4.87)

Al despejar la tensión del nodo q se obtiene:

𝑉𝑉𝑞𝑞= 𝑉𝑉𝑝𝑝+ 1 𝑌𝑌𝑝𝑝𝑝𝑝 + 𝑌𝑌𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝(𝑉𝑉𝑟𝑟−𝑉𝑉𝑠𝑠) 𝑌𝑌𝑝𝑝𝑝𝑝

(4.88)

Al dividir la ecuación de tensión nodal por la corriente nodal 𝑞𝑞, se tiene: 𝑉𝑉𝑞𝑞 𝑖𝑖𝑞𝑞 = 𝑉𝑉𝑝𝑝 𝑖𝑖𝑞𝑞 + 1 𝑌𝑌𝑝𝑝𝑝𝑝 + 𝑌𝑌𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝(𝑉𝑉𝑟𝑟−𝑉𝑉𝑠𝑠) 𝑌𝑌𝑝𝑝𝑝𝑝𝑖𝑖𝑞𝑞

(4.89)

Como, 𝑍𝑍𝑞𝑞𝑞𝑞= 𝑉𝑉𝑞𝑞 𝑖𝑖𝑞𝑞 𝑍𝑍𝑝𝑝𝑝𝑝= 𝑉𝑉𝑝𝑝 𝑖𝑖𝑞𝑞 𝑍𝑍𝑟𝑟𝑟𝑟= 𝑉𝑉𝑟𝑟 𝑖𝑖𝑞𝑞 𝑍𝑍𝑠𝑠𝑠𝑠= 𝑉𝑉𝑠𝑠 𝑖𝑖𝑞𝑞

(4.90)

Entonces, 𝑍𝑍𝑞𝑞𝑞𝑞= 𝑍𝑍𝑝𝑝𝑝𝑝+ 1 𝑌𝑌𝑝𝑝𝑝𝑝 + 𝑌𝑌𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝(𝑍𝑍𝑟𝑟𝑟𝑟−𝑍𝑍𝑠𝑠𝑠𝑠) 𝑌𝑌𝑝𝑝𝑝𝑝

(4.91)

Modelizado y análisis de cortocircuito en sistemas eléctrico

Ejemplo 4.11:

Para el sistema de 6 nodos (incluido el de referencia) de la Figura nro. 4.24, formar la matriz 𝑍𝑍𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏con acoplamientos mutuos.

1Ω 1Ω 1Ω 1Ω 1Ω

0

1

2

3

4

5

Ω

0.25

Figura nro. 4.24. Red radial de seis nodos con acoplamientos mutuos. Elaboración propia.

La matriz 𝑍𝑍𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏, mostrada a continuación, representa matemáticamente la red eléctrica de la Figura nro. 4.24, la cual consta de 6 nodos y 5 ramas, dos de las cuales presentan acoplamiento mutuo.

0

1

2

3

4

5

𝑍𝑍𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏=

0

1

2

3

4

5

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

1.00

1.00

1.00

1.00

1.00

0.00

1.00

2.00

1.00

2.00

1.00

0.00

1.00

1.00

2.00

1.00

2.00

0.00

1.00

2.00

1.00

3.00

1.25

0.00

1.00

1.00

2.00

1.25

3.00

La Figura nro. 4.25 ilustra este concepto. En esa dirección, se propone instalar el elemento p-q en el sistema, teniendo presente que p y q corresponden a nodos ya instalados y con acoplamiento mutuo con otros elementos previamente instalados [28].

4.10.4. Elemento de enlace con acoplamiento mutuo

150

Ramón Alfonso Gallego Rendón, Juan José Mora Flórez, Ricardo Alberto Hincapié Isaza

q

0

0

1

2

8

i k

0

p r s 𝑌𝑌𝑟𝑟𝑟𝑟 𝑌𝑌𝑝𝑝𝑝𝑝−𝑟𝑟𝑟𝑟 Sistema eléctrico con 𝑘𝑘nodos previamente instalados incluido el de referencia

1

2

i

1 pu

p q k

0

L + − 𝑒𝑒𝐿𝐿

1 pu

𝑌𝑌𝑝𝑝𝑝𝑝 Figura nro. 4.25. Instalación del elemento de enlace 𝑝𝑝−𝑞𝑞con acoplamiento mutuo. Tomado de [28].

Para los elementos fuera de la diagonal, inicialmente se calcula la corriente y la tensión de acoplamiento:

𝑖𝑖𝑝𝑝𝑝𝑝−𝑟𝑟𝑟𝑟= 𝑌𝑌𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝(𝑉𝑉𝑟𝑟−𝑉𝑉𝑠𝑠)

(4.92)

𝑉𝑉𝑝𝑝𝑝𝑝−𝑟𝑟𝑟𝑟= 𝑌𝑌𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝(𝑉𝑉𝑟𝑟−𝑉𝑉𝑠𝑠)∕𝑌𝑌𝑝𝑝𝑝𝑝

(4.93)

Una vez se calcula la inducción de tensión por acoplamiento mutuo en el elemento a instalar y se inyecta una corriente de 1 pu en el nodo i, se aplica la segunda ley de Kirchhoff en el ciclo 0 p L 0, asumiendo el nodo 𝑞𝑞como referencia virtual. Así, 𝑒𝑒𝐿𝐿es la tensión nodal medida entre L y q:

𝑉𝑉𝑝𝑝+ 𝑌𝑌𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝(𝑉𝑉𝑟𝑟−𝑉𝑉𝑠𝑠) 𝑌𝑌𝑝𝑝𝑝𝑝 −𝑉𝑉𝑙𝑙= 0

(4.94)

Modelizado y análisis de cortocircuito en sistemas eléctrico

𝑉𝑉𝑙𝑙−𝑒𝑒𝑙𝑙−𝑉𝑉𝑞𝑞= 0

(4.95)

Al sustituir la primer ecuación en la segunda, se obtiene: 𝑉𝑉𝑝𝑝+ 𝑌𝑌𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝(𝑉𝑉𝑟𝑟−𝑉𝑉𝑠𝑠) 𝑌𝑌𝑝𝑝𝑝𝑝 −𝑒𝑒𝑙𝑙−𝑉𝑉𝑞𝑞= 0 ⇒𝑒𝑒𝑙𝑙= 𝑉𝑉𝑝𝑝−𝑉𝑉𝑞𝑞+ 𝑌𝑌𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝(𝑉𝑉𝑟𝑟−𝑉𝑉𝑠𝑠) 𝑌𝑌𝑝𝑝𝑝𝑝

(4.96)

Al dividir las tensiones nodales por la corriente inyectada en i, se tiene que: 𝑒𝑒𝐿𝐿 𝑖𝑖𝑖𝑖 = 𝑉𝑉𝑝𝑝 𝑖𝑖𝑖𝑖 − 𝑉𝑉𝑞𝑞 𝑖𝑖𝑖𝑖 + 𝑌𝑌𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝(𝑉𝑉𝑟𝑟−𝑉𝑉𝑠𝑠) 𝑌𝑌𝑝𝑝𝑝𝑝𝑖𝑖𝑖𝑖

(4.97)

Como:

𝑍𝑍𝑙𝑙𝑙𝑙= 𝑒𝑒𝑙𝑙 𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑍𝑍𝑝𝑝𝑝𝑝= 𝑉𝑉𝑝𝑝 𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑍𝑍𝑟𝑟𝑟𝑟= 𝑉𝑉𝑟𝑟 𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑍𝑍𝑠𝑠𝑠𝑠= 𝑉𝑉𝑠𝑠 𝑖𝑖𝑖𝑖

(4.98)

Entonces, 𝑍𝑍𝑙𝑙𝑙𝑙= 𝑍𝑍𝑝𝑝𝑝𝑝−𝑍𝑍𝑞𝑞𝑞𝑞+ 𝑌𝑌𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝(𝑍𝑍𝑟𝑟𝑟𝑟−𝑍𝑍𝑠𝑠𝑠𝑠) 𝑌𝑌𝑝𝑝𝑝𝑝

(4.99)

Para los elementos de la diagonal, una vez se calcula la inducción de tensión por acoplamiento mutuo en el elemento a instalar y se inyecta una corriente de 1 pu en el nodo L, se aplica la segunda ley de Kirchhoff en los ciclos 0 p L 0 y 0 L q 0: 𝑉𝑉𝑝𝑝+ 1 𝑌𝑌𝑝𝑝𝑝𝑝 + 𝑌𝑌𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝(𝑉𝑉𝑟𝑟−𝑉𝑉𝑠𝑠) 𝑌𝑌𝑝𝑝𝑝𝑝 −𝑉𝑉𝑙𝑙= 0

(4.100)

𝑉𝑉𝑙𝑙−𝑒𝑒𝑙𝑙−𝑉𝑉𝑞𝑞= 0

(4.101)

152

Ramón Alfonso Gallego Rendón, Juan José Mora Flórez, Ricardo Alberto Hincapié Isaza

Luego, se sustituye la primer ecuación en la segunda para obtener la tensión nodal (𝑒𝑒𝐿𝐿), la cual mide la tensión entre L y q, donde q se asume como referencia virtual. Así, 𝑉𝑉𝑝𝑝+ 𝑙𝑙 𝑌𝑌𝑝𝑝𝑝𝑝 + 𝑌𝑌𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝(𝑉𝑉𝑟𝑟−𝑉𝑉𝑠𝑠) 𝑌𝑌𝑝𝑝𝑝𝑝 −𝑒𝑒𝑙𝑙−𝑉𝑉𝑞𝑞= 0 ⇒𝑒𝑒𝑙𝑙= 𝑉𝑉𝑝𝑝−𝑉𝑉𝑞𝑞+ 1 𝑌𝑌𝑝𝑝𝑝𝑝 + 𝑌𝑌𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝(𝑉𝑉𝑟𝑟−𝑉𝑉𝑠𝑠) 𝑌𝑌𝑝𝑝𝑝𝑝

(4.102)

Al dividir las tensiones nodales por la corriente inyectada en l, se obtiene: 𝑒𝑒𝑙𝑙 𝑖𝑖𝑙𝑙 = 𝑉𝑉𝑝𝑝 𝑖𝑖𝑙𝑙 − 𝑉𝑉𝑞𝑞 𝑖𝑖𝑙𝑙 + 1 𝑌𝑌𝑝𝑝𝑝𝑝 + 𝑌𝑌𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝(𝑉𝑉𝑟𝑟−𝑉𝑉𝑠𝑠) 𝑌𝑌𝑝𝑝𝑝𝑝𝑖𝑖𝑙𝑙

(4.103)

Y como, 𝑍𝑍𝑙𝑙𝑙𝑙= 𝑒𝑒𝑙𝑙 𝑖𝑖𝑙𝑙 𝑍𝑍𝑝𝑝𝑝𝑝= 𝑉𝑉𝑝𝑝 𝑖𝑖𝑙𝑙 𝑍𝑍𝑟𝑟𝑟𝑟= 𝑉𝑉𝑟𝑟 𝑖𝑖𝑙𝑙 𝑍𝑍𝑟𝑟𝑟𝑟= 𝑉𝑉𝑟𝑟 𝑖𝑖𝑙𝑙

(4.104)

Entonces, 𝑍𝑍𝑙𝑙𝑙𝑙= 𝑍𝑍𝑝𝑝𝑝𝑝−𝑍𝑍𝑞𝑞𝑞𝑞+ 1 𝑌𝑌𝑝𝑝𝑝𝑝 + 𝑌𝑌𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝(𝑍𝑍𝑟𝑟𝑟𝑟−𝑍𝑍𝑠𝑠𝑠𝑠) 𝑌𝑌𝑝𝑝𝑝𝑝

(4.105)

Ejemplo 4.12:

Con base en la red mostrada en la Figura nro. 4.20, se construye la red eléctrica mostrada en la Figura nro. 4.26 y se adiciona una línea entre los nodos 4 y 5, cuya impedancia es 1Ω.

Modelizado y análisis de cortocircuito en sistemas eléctrico

0.25Ω 1Ω 1Ω 1Ω 1Ω 1Ω 1Ω Figura nro. 4.26. Red de 5 nodos con acoplamiento mutuo del ejemplo 4.12. Elaboración propia.

La siguiente matriz 𝑍𝑍𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏corresponde a la representación matemática de la red mostrada en la Figura nro. 4.26. El orden de ingreso de los elementos es: 0-1, 1-2, 1-3, 2-4, 3-5 y el último corresponde al enlace 4-5. El cálculo de los elementos de la columna y fila 𝐿𝐿se hace con base en las ecuaciones descritas anteriormente para los elementos de la diagonal y fuera de la diagonal. El resultado obtenido es:

0

1

2

3

4

5

𝐿𝐿 𝑍𝑍𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏=

0

1

2

3

4

5

𝐿𝐿

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

1.00

1.00

1.00

1.00

1.00

0.00

0.00

1.00

2.00

1.00

2.00

1.00

1.00

0.00

1.00

1.00

2.00

1.00

2.00

-1.00

0.00

1.00

2.00

1.00

3.00

1.25

1.75

0.00

1.00

1.00

2.00

1.25

3.00

-1.75

0.00

0.00

1.00

-1.00

1.75

-1.75

4.50

Al aplicar reducción de Kron se obtiene:

0

1

2

3

4

5

154

Ramón Alfonso Gallego Rendón, Juan José Mora Flórez, Ricardo Alberto Hincapié Isaza

𝑍𝑏𝑏𝑏 La matriz 𝑍𝑍𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏puede ser alterada en sus parámetros lo cual depende del tipo de estudio que se efectúe. Por ejemplo, estudios como el de contingencias requieren de entrada y/o salida de elementos. Esto altera la estructura de dicha matriz. En general, en el estudio de los sistemas eléctricos, existen una serie de situaciones que requieren de la modificación de su estructura y parámetros. Entre las modificaciones más empleadas en el análisis de las redes eléctricas se tienen:

Adición de elementos.

Eliminación de elementos.

Cambio de impedancia.

Cambio del nodo de referencia.

Para el caso de la eliminación de elementos de la matriz 𝑍𝑍𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏, el procedimiento empleado consiste en conectar una línea con impedancia negativa entre los nodos entre los cuales se contempla llevar a cabo su eliminación; el valor de esta impedancia debe ser igual al de la línea que se desee eliminar.

Si la línea a eliminar presenta acoples mutuos, además de considerar la impedancia propia de la línea con signo negativo, se consideran los mismos acoples mutuos de la línea que será eliminada. Esta información es tomada de la matriz de admitancia primitiva. Ejercicio propuesto 4.2:

Conformar la matriz impedancia de barra 𝑍𝑍𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏para el sistema mostrado en la Figura nro. 4.27. Los datos del sistema se presentan en la siguiente tabla. 𝑍𝑍𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏=

0

1

2

3

4

5

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

1.00

1.00

1.00

1.00

1.00

0.00

1.00

1.78

1.22

1.61

1.39

0.00

1.00

1.22

1.78

1.39

1.61

0.00

1.00

1.61

1.39

2.32

1.93

0.00

1.00

1.39

1.61

1.93

2.32𝑍

4.11. Modificación de la matriz 𝑍𝑏𝑢𝑠

Modelizado y análisis de cortocircuito en sistemas eléctrico

(1)

(2)

Referencia Figura nro. 4.27. Red eléctrica de 4 nodos del ejercicio propuesto 4.2. Tomado de [19].

Número Impedancia Propia Impedancia Mutua del elemento Conexión Impedancia Conexión Impedancia

1

1-2(1)

0.6

— —

4

1-2(2)

0.4

1-2(1)

0.2

2

1-3

0.5

1-2(1)

0.2

3

3-4

0.5

— —

5

2-4

0.2

— — Con base en la información anterior, seguir el siguiente procedimiento: Formar la matriz impedancia 𝑍𝑍𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏.

Modificar la matriz impedancia obtenida en el punto anterior, adicionando un nuevo elemento entre los nodos 2-4 con una impedancia de 0.3 Ωy acoplado con el elemento conectado entre los nodos 3-4 con una impedancia mutua de 0.1 Ω. Modificar la matriz impedancia obtenida en el punto anterior, removiendo el nuevo elemento conectado entre 2 y 4.

156

Ramón Alfonso Gallego Rendón, Juan José Mora Flórez, Ricardo Alberto Hincapié Isaza

Las pérdidas de potencia en una red de energía eléctrica son descritas de la siguiente forma: 𝑆𝑆𝐿𝐿= 𝑉𝑉1𝑖𝑖∗

1 + ...... + 𝑉𝑉𝑛𝑛𝑖𝑖∗

𝑛𝑛

(4.106)

En forma vectorial, se pueden escribir de la siguiente forma, donde V e I contienen valores nodales:

𝑆𝑆𝐿𝐿= 𝑉𝑉𝑇𝑇𝐼𝐼∗

(4.107)

Si se supone que se transforman las corrientes nodales de la forma 𝐼𝐼= 𝐶𝐶𝐶𝐶𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛entonces, Bajo esta situación, las tensiones nodales se pueden escribir como: 𝑉𝑉= 𝑍𝑍𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛= 𝑍𝑍𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏(𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛)𝐼𝐼𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛

(4.108)

Luego, al aplicar el concepto de invarianza en potencia, se tiene que: 𝑆𝑆𝐿𝐿= (𝑍𝑍𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝐼𝐼)𝑇𝑇𝐼𝐼∗= 𝐼𝐼𝑇𝑇𝑍𝑍𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝐼𝐼∗

(4.109)

Si se reemplaza, se obtiene:

𝑆𝑆𝐿𝐿= (𝐶𝐶𝐶𝐶𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛)𝑇𝑇𝑍𝑍𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏(𝐶𝐶𝐶𝐶𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛)∗

(4.110)

𝑆𝑆𝐿𝐿= 𝐼𝐼𝑇𝑇 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝐶𝐶𝑇𝑇𝑍𝑍𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝐶𝐶∗𝐼𝐼∗ 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛

(4.111)

𝑆𝑆𝐿𝐿= 𝐼𝐼𝑇𝑇 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑍𝑍𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏(𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛)𝐼𝐼∗ 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛

(4.112)

𝑍𝑍𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏(𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛) = 𝐶𝐶𝑇𝑇𝑍𝑍𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝐶𝐶∗

(4.113)

4.12. Transformaciones sin variación de potencia

Modelizado y análisis de cortocircuito en sistemas eléctrico

𝑆𝑆𝐿𝐿= 𝐼𝐼𝑇𝑇 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑍𝑍𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏(𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛)𝐼𝐼∗ 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛= 𝑉𝑉𝑇𝑇 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝐼𝐼∗ 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛

(4.114)

𝑆𝑆𝐿𝐿= 𝑉𝑉𝑇𝑇𝐶𝐶∗𝐼𝐼∗ 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛= (𝐶𝐶∗𝑇𝑇𝑉𝑉)𝑇𝑇𝐼𝐼∗ 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛

(4.115)

𝑉𝑉𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛= 𝐶𝐶∗𝑇𝑇𝑉𝑉

(4.116)

𝑍𝑍𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏(𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛) = 𝐶𝐶𝑇𝑇𝑍𝑍𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝐶𝐶∗

(4.117)

Ejemplo 4.13:

Cambiar el nodo de referencia considerando la Figura nro. 4.28. 𝑍𝑍𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏

-



-

 𝑖𝑖2 𝑖𝑖4 𝑖𝑖3 𝑖𝑖1  

 

 

 

2

4

1

3

Figura nro. 4.28. Red eléctrica de 4 nodos del ejemplo 4.13. Elaboración propia.

Dada la primera ley de Kirchhoff, se tiene que: 𝑖𝑖𝑛𝑛+ 𝑖𝑖1 + 𝑖𝑖2 + 𝑖𝑖3 + 𝑖𝑖4 = 0

158

Ramón Alfonso Gallego Rendón, Juan José Mora Flórez, Ricardo Alberto Hincapié Isaza

Si se cambia la referencia al nodo 4, entonces 𝑖𝑖4 ya no es independiente y queda expresada en función de las otras corrientes, así:

𝑖𝑖4 = −𝑖𝑖1 −𝑖𝑖2 −𝑖𝑖3 −𝑖𝑖𝑛𝑛 Por lo tanto, ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ 𝑖𝑖1 𝑖𝑖2 𝑖𝑖3 𝑖𝑖4 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ = ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

1

0

0

0

0

1

0

0

0

0

1

0

−1 −1 −1 −1 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ 𝑖𝑖1 𝑖𝑖2 𝑖𝑖3 𝑖𝑖𝑛𝑛 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ Las corrientes 𝑖𝑖1, 𝑖𝑖2, 𝑖𝑖3 no se modifican y la corriente 𝑖𝑖4 se reemplaza por 𝑖𝑖𝑛𝑛, la cual aparece en el nuevo vector de corrientes 𝑖𝑖𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛. De acuerdo a esto, la nueva matriz 𝑍𝑍𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏se expresa como 𝑍𝑍𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏= 𝐶𝐶𝑇𝑇𝑍𝑍𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝐶𝐶de la siguiente forma: 𝑍𝑍𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏(𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛) = ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

1

0

0

−1

0

1

0

−1

0

0

1

−1

0

0

0

−1 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ 𝑍𝑍11 𝑍𝑍12 𝑍𝑍13 𝑍𝑍14 𝑍𝑍21 𝑍𝑍22 𝑍𝑍23 𝑍𝑍24 𝑍𝑍31 𝑍𝑍32 𝑍𝑍33 𝑍𝑍34 𝑍𝑍41 𝑍𝑍42 𝑍𝑍43 𝑍𝑍44 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

1

0

0

0

0

1

0

0

0

0

1

0

−1 −1 −1 −1 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ Modelizado y análisis de cortocircuito en sistemas eléctrico

𝑍𝑏𝑏𝑏 Para ilustrar los conceptos desarrollados en este capítulo se considera la red equivalente monofásica del sistema trifásico equilibrado de la Figura nro. 5.1. En este sistema, se desprecia la carga como condición inicial al momento del cortocircuito y, de esa forma, se asume una tensión plana en todos los nodos de la red. Se selecciona el nodo 3 para este estudio y se designa 𝑉𝑉𝐹𝐹como la tensión en las barras de la red eléctrica antes de ocurrir el fallo [28]. En el nodo 3 se simula un cortocircuito trifásico sólido a tierra, sumando en dicho nodo una tensión 𝑉𝑉𝑓𝑓de igual magnitud y de signo opuesto; de esta forma, fluye una corriente 𝑖𝑖 ′′ 𝐹𝐹entre fase y neutro en este nodo. Si las fuentes 𝑉𝑉 ′′

1 y 𝑉𝑉

′′

4 se cortocircuitan, entonces 𝐼𝐼

′′ 𝐹𝐹es la única fuente que alimenta la red actuando como fuente externa. Aplicando el principio de superposición, la tensión nodal después de ocurrido el cortocircuito es:

𝑉𝑉𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏= 𝑉𝑉𝑜𝑜 𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏+ ∆𝑉𝑉𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓= 𝑉𝑉𝑜𝑜 𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏+ 𝑍𝑍𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏× [𝑖𝑖𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓]

(5.1)

La primera parte de la tensión se debe a las fuentes generadores y la segunda es consecuencia de la corriente de cortocircuito. Allí, 𝑉𝑉0 𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏representa las tensiones nodales antes de presentarse el fallo e 𝑖𝑖𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓, la corriente de cortocircuito.

Fallas simétricas (3Φ)

5.1. Cálculo de fallas simétricas (3Φ) usando 𝑍𝑏𝑢𝑠

161

Ramón Alfonso Gallego Rendón, Juan José Mora Flórez, Ricardo Alberto Hincapié Isaza

i ’’F +

-

-

+ V V F F { { { { T 1

4

T

1

G

4

G V V ’’ ’’

1

4

Figura nro. 5.1. Simulación de una falla en el nodo 3 empleando la matriz 𝑍𝑍𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏. Elaboración propia.

Debido a la corriente de cortocircuito en el nodo 3, la variación de la tensión nodal es: ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ∆𝑉𝑉1 ∆𝑉𝑉2 ∆𝑉𝑉3 ∆𝑉𝑉4 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ = ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ∆𝑉𝑉1 ∆𝑉𝑉2 −𝑉𝑉𝐹𝐹 ∆𝑉𝑉4 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ = ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ 𝑍𝑍11 𝑍𝑍12 𝑍𝑍13 𝑍𝑍14 𝑍𝑍21 𝑍𝑍22 𝑍𝑍23 𝑍𝑍24 𝑍𝑍31 𝑍𝑍32 𝑍𝑍33 𝑍𝑍34 𝑍𝑍41 𝑍𝑍42 𝑍𝑍43 𝑍𝑍44 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

0

0

−𝑖𝑖 ′′ 𝐹𝐹

0

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

(5.2)

Por lo tanto, ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ∆𝑉𝑉1 ∆𝑉𝑉2 −𝑉𝑉𝐹𝐹 ∆𝑉𝑉4 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ = −𝑖𝑖 ′′ 𝐹𝐹 ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ 𝑍𝑍13 𝑍𝑍23 𝑍𝑍33 𝑍𝑍44 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

(5.3)

Modelizado y análisis de cortocircuito en sistemas eléctrico

De la tercera fila, se obtiene que −𝑉𝑉𝐹𝐹= −𝑖𝑖 ′′ 𝐹𝐹𝑍𝑍33. Al despejar la corriente, se tiene que 𝑖𝑖 ′′ 𝐹𝐹= 𝑉𝑉𝐹𝐹∕𝑍𝑍33. La corriente 𝑖𝑖 ′′ 𝐹𝐹que está siendo inyectada en el nodo 3 ocasiona cambios en las tensiones de las barras del sistema, como se ilustra a continuación: ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ∆𝑉𝑉1 ∆𝑉𝑉2 ∆𝑉𝑉3 ∆𝑉𝑉4 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ = −𝑉𝑉𝐹𝐹 𝑍𝑍33 ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ 𝑍𝑍13 𝑍𝑍23 𝑍𝑍33 𝑍𝑍43 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ = ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ 𝑍𝑍13 𝑍𝑍33𝑉𝑉𝐹𝐹 𝑍𝑍23 𝑍𝑍33𝑉𝑉𝐹𝐹 −𝑉𝑉𝐹𝐹 𝑍𝑍43 𝑍𝑍33𝑉𝑉𝐹𝐹 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

(5.4)

Si se supone que antes de la falla no existen cargas en la red entonces todos las tensiones nodales son iguales a 𝑉𝑉𝐹𝐹.

Al abrir la fuente del cortocircuito y colocar de nuevo las fuentes 𝑉𝑉 ′′

1 y 𝑉𝑉

′′ 4, las corrientes y tensiones en cualquier parte de la red serán iguales a las que habían antes de la falla; estos valores son denominados como tensiones de pre-falla.

Por principìo de superposición, estas tensiones de pre-falla se suman a los cambios calculados anteriormente para obtener las tensiones totales que hay después de que ocurre la falla. Si se supone que antes de la falla no existan cargas, no fluyen corrientes de pre-falla y no hay diferencias de tensión a través de las impedancias de las ramas; entonces, todos las tensiones nodales de la red son iguales a 𝑉𝑉𝐹𝐹.

Las tensiones nodales después de presentarse el fallo se calculan como: ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ 𝑉𝑉1 𝑉𝑉2 𝑉𝑉3 𝑉𝑉4 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ = ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ 𝑉𝑉𝐹𝐹 𝑉𝑉𝐹𝐹 𝑉𝑉𝐹𝐹 𝑉𝑉𝐹𝐹 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ + ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ∆𝑉𝑉1 ∆𝑉𝑉2 ∆𝑉𝑉3 ∆𝑉𝑉4 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ = ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ 𝑉𝑉𝐹𝐹 − 𝑍𝑍13𝑖𝑖 ′′ 𝐹𝐹 𝑉𝑉𝐹𝐹 − 𝑍𝑍23𝑖𝑖 ′′ 𝐹𝐹 𝑉𝑉𝐹𝐹 − 𝑉𝑉𝐹𝐹 𝑉𝑉𝐹𝐹 − 𝑍𝑍43𝑖𝑖 ′′ 𝐹𝐹 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ = 𝑉𝑉𝐹𝐹 ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

1 −

𝑍𝑍13 𝑍𝑍33

1 −

𝑍𝑍23 𝑍𝑍33

0

1 −

𝑍𝑍43 𝑍𝑍33 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

(5.5)

De esta forma, las tensiones de los nodos de la red en el momento del cortocircuito son calculadas con base en tensiones de pre-falla y la matriz 𝑍𝑍𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏. A continuación, se presenta el procedimiento para el cálculo de una falla trifásica en el nodo

k. Es importante resaltar que solamente la columna 𝑘𝑘de la matriz 𝑍𝑍𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏es necesaria en el cálculo

del cortocircuito en dicho nodo:

La corriente de falla en el nodo 𝑘𝑘es:

𝑖𝑖 ′′ 𝐹𝐹= 𝑉𝑉𝐹𝐹∕𝑍𝑍𝑘𝑘𝑘𝑘.

(5.6)

Si se desprecia la corriente de pre-falla, entonces 𝑉𝑉𝐹𝐹= 1∠0◦.

163

Ramón Alfonso Gallego Rendón, Juan José Mora Flórez, Ricardo Alberto Hincapié Isaza

Las compañias generadoras de electricidad suministran datos a los consumidores, quienes deben determinar las corrientes de falla con el fin de especificar los interruptores apropiados para una planta industrial o para un sistema de distribución que se conecta al sistema de la compañia en cierto punto.

La compañia informa al consumidor los MVA de cortocircuito esperados a tensión nominal, en lugar de dar la impedancia de Thévenin de secuencia positiva. Además de este dato, se suministra la información de la corriente de cortocircuito para el fallo línea-tierra. Por lo tanto, para calcular la impedancia equivalente; inicialmente, se calcula la reactancia de secuencia positiva con base en el modelo del cortocircuito trifásico y el dato de los MVA de cortocircuito. Posteriormente, se supone que la reactancia de secuencia positiva es igual a la negativa en el punto de estudio. Con base en el modelo del cortocircuito de línea-tierra, el valor de la corriente de cortocircuito para el fallo de línea-tierra y el valor de las reactancias de secuencia positiva y negativa, calculadas anteriormente, se calcula el valor de la reactancia de secuencia cero. De esta forma, queda conformado el circuito equivalente en componentes de secuencia en el punto donde se desea conectar el nuevo sistema a la red.

Para el cálculo de la reactancia de secuencia positiva, inicialmente se obtienen los MVA de cortocircuito, donde |𝐼𝐼𝑐𝑐𝑐𝑐| corresponde a la magnitud de la corriente en amperios 𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟para la falla trifásica:

La tensión nodal en el nodo j es:

𝑉𝑉𝑗𝑗= 𝑉𝑉𝑓𝑓−𝑍𝑍𝑗𝑗𝑗𝑗𝑖𝑖 ′′ 𝐹𝐹= 𝑉𝑉𝐹𝐹−𝑍𝑍𝑗𝑗𝑗𝑗(𝑉𝑉𝐹𝐹∕𝑍𝑍𝑘𝑘𝑘𝑘)

(5.7)

Con 𝑗𝑗= 1,..., número de nodos del sistema. Los elementos 𝑍𝑍𝑗𝑗𝑗𝑗y 𝑍𝑍𝑘𝑘𝑘𝑘se pueden observar en la columna 𝑘𝑘de la matriz 𝑍𝑍𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏.

Los flujos de corrientes subtransitorias en las ramas de la red son 𝑖𝑖 ′′ 𝑖𝑖𝑖𝑖. La impedancia del elemento al cual se le calcula la corriente se representa por 𝑧𝑧𝑖𝑖𝑖𝑖. Las tensiones del nodo 𝑖𝑖y el nodo 𝑗𝑗son:

𝑉𝑉𝑖𝑖= 𝑉𝑉𝐹𝐹−𝑍𝑍𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖 ′′ 𝐹𝐹

(5.8)

𝑉𝑉𝑗𝑗= 𝑉𝑉𝐹𝐹−𝑍𝑍𝑗𝑗𝑗𝑗𝑖𝑖 ′′ 𝐹𝐹

(5.9)

Por lo tanto, 𝑖𝑖 ′′ 𝑖𝑖𝑖𝑖= 𝑉𝑉𝑖𝑖−𝑉𝑉𝑗𝑗 𝑧𝑧𝑖𝑖𝑗𝑗 = −𝑖𝑖 ′′ 𝐹𝐹( 𝑍𝑍𝑖𝑖𝑖𝑖−𝑍𝑍𝑗𝑗𝑗𝑗 𝑧𝑧𝑖𝑖𝑗𝑗 ) = −𝑉𝑉𝐹𝐹 𝑧𝑧𝑖𝑖𝑗𝑗( 𝑍𝑍𝑖𝑖𝑖𝑖−𝑍𝑍𝑗𝑗𝑗𝑗 𝑍𝑍𝑘𝑘𝑘𝑘

)

(5.10)

5.2. Cálculo de la impedancia equivalente

Modelizado y análisis de cortocircuito en sistemas eléctrico

MVA 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐= √

3 (kVnominales) |𝐼𝐼𝑐𝑐𝑐𝑐|103

(5.11)

La potencia base se especifica como: MVA𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏= √

3 (𝑘𝑘𝑘𝑘𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏) |𝐼𝐼𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏|103

(5.12)

Por lo tanto, si 𝑘𝑘𝑘𝑘𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛= 𝑘𝑘𝑘𝑘𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏, entonces al dividir los MVA de cortocircuito por el valor base se obtiene:

MVA cortocircuito pu = |𝐼𝐼𝑐𝑐𝑐𝑐| pu

(5.13)

Como, |𝑖𝑖𝐹𝐹| = 𝑉𝑉𝑡𝑡𝑡 |𝑍𝑍𝑡𝑡𝑡|

(5.14)

Entonces, |𝑍𝑍𝑡𝑡𝑡| = 𝑉𝑉𝑡𝑡𝑡 |𝑖𝑖𝐹𝐹| = 𝑉𝑉𝑡𝑡𝑡 |MVA |de c.c. pu

(5.15)

El circuito equivalente se presenta en la Figura nro. 5.2. k iF Vth Zth Circuito equivalente Figura nro. 5.2. Circuito equivalente en el nodo 𝑘𝑘. Elaboración propia.

165

Ramón Alfonso Gallego Rendón, Juan José Mora Flórez, Ricardo Alberto Hincapié Isaza

Para calcular la reactancia de secuencia cero, se parte del modelo de fallo línea-tierra, como sigue:

𝐼𝐼𝑓𝑓= 𝑉𝑉𝑘𝑘 𝑍𝑍1 + 𝑍𝑍2 + 𝑍𝑍0 + 3𝑍𝑍𝑛𝑛

(5.16)

Asumiendo que la impedancia de falla 𝑍𝑍𝑛𝑛es cero y que la parte resistiva de las impedancias de secuencia positiva, negativa y cero tienen valor cero, entonces: 𝐼𝐼𝑓𝑓= 𝑉𝑉𝑘𝑘 𝑋𝑋1 + 𝑋𝑋2 + 𝑋𝑋0

(5.17)

Despejando la reactancia de secuencia cero 𝑋𝑋0 en función de 𝑋𝑋1, 𝑋𝑋2, la corriente 𝐼𝐼𝑓𝑓y la tensión nominal del nodo 𝑉𝑉𝑘𝑘, se obtiene:

𝑋𝑋0 = 𝑉𝑉𝑘𝑘 𝐼𝐼𝑓𝑓 −[𝑋𝑋1 + 𝑋𝑋2]

(5.18)

En la práctica se calcula la máxima corriente alterna de cortocircuito, teniendo en cuenta que esta se presenta durante el período subtransitorio. Las máquinas generadoras son representadas en el estado subtransitorio por una fuente de tensión constante y una impedancia subtransitoria. La modelización se muestra en la Figura nro. 5.3.

En la Figura nro. 5.3, 𝑉𝑉 ′′ 𝑔𝑔representa la tensión generada en la máquina en condiciones subtransitorias. Esta fuente de tensión es constante bajo la hipótesis de que todos los enlaces de flujo en el interior de la máquina permanecen constantes durante el tiempo de falla; por lo tanto, esta tensión subtransitoria es igual a la de pre-falla. Generalmente, esta tensión se supone próxima a la del nodo al cual está conectado el generador en estado estacionario.

5.3. Consideraciones prácticas para el cálculo de fallas trifásicas

5.3.1. Consideraciones para la modelización del generador

Modelizado y análisis de cortocircuito en sistemas eléctrico

En la solución de sistemas de gran tamaño (sistemas donde las corrientes de contribución a la falla son muy superiores a las de la carga), se hacen las siguientes simplificaciones: Se desprecian las corrientes de pre-falla 𝑖𝑖𝑜𝑜 𝑘𝑘.

Se aproximan las tensiones de pre-falla 𝑉𝑉𝑜𝑜a 1 pu en todos los nodos de la red. En sistemas donde las corrientes de la carga son representativas frente a la corriente de falla (lo cual ocurre en sistemas con bajos niveles de cortocircuito), se debe ejecutar inicialmente un flujo de carga para encontrar 𝐼𝐼𝑜𝑜 𝑖𝑖𝑖𝑖y 𝑉𝑉𝑜𝑜.

La influencia de las cargas puede ser representada de la siguiente forma: Incluyéndola en la matriz 𝑍𝑍𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏, como impedancias constantes (𝑍𝑍= 𝑉𝑉2∕𝑆𝑆∗). Ejecutando un flujo de carga para determinar los flujos de corriente por las líneas y sumarlas a las corrientes calculadas en el cortocircuito, con condiciones iniciales de tensión de 1 pu. Ejecutando un flujo de carga para determinar las tensiones nodales que servirán como condiciones iniciales de la tensión en el cortocircuito.

Despreciando las cargas, lo cual equivale a suponer que todos las tensiones nodales son 1 pu g’’ V g x Figura nro. 5.3. Modelizado del generador síncrono.

Elaboración propia.

5.3.2. Consideraciones para la modelización de la carga

167

Ramón Alfonso Gallego Rendón, Juan José Mora Flórez, Ricardo Alberto Hincapié Isaza

La mayoría de los cortocircuitos que ocurren en un sistema de potencia involucran una o dos de las fases. Esto ocasiona un desbalance en el sistema. De esta índole, este cortocircuito es del tipo desequilibrado y se denomina asimétrico. Sin embargo, hay otros tipos de fallos debido a la mala operación de interruptores trifásicos, en los cuales uno o dos de sus polos no cierran y se dejan momentáneamente una o dos de las fases abiertas. Este mismo fallo se presenta gracias al rompimiento de fases; sin comprometer un contacto con otras fases o con el nodo de tierra, el cual es denominado serie. Así, las fallas pueden ser clasificadas como fallas shunt simétricas y asimétricas, y fallas serie de una o dos fases abiertas [1, 9, 8, 19]. Las fallas shunt asimétricas son línea-tierra, línea-línea y línea-línea-tierra. Cuando hay una falla que involucre la tierra, dicha trayectoria puede o no contener una impedancia; este último caso se denomina fallo sólido y se le asigna un valor igual a cero debido a la dificultad para obtener dicho valor. Además, al considerar la impedancia de fallo cero, se da un margen de seguridad en la obtención de la corriente de falla. Generalmente, la impedancia de falla es determinada por las empresas de distribución a través de ensayos experimentales.

Por otro lado, las fallas shunt simétricas son línea-línea-línea y línea-línea-línea-tierra. Este tipo de fallas solo comprometen la red de secuencia positiva. Por tal motivo, las corrientes son del tipo positivo y, para su estudio, no se incluye el neutro ni la tierra. La falla serie de uno o dos conductores abiertos ocasionan fallas asimétricas-serie que pueden presentarse debido a la ruptura de una o dos de las fases; o la inadecuada operación Estudio de los tipos de falla

169

Ramón Alfonso Gallego Rendón, Juan José Mora Flórez, Ricardo Alberto Hincapié Isaza

de interruptores, fusibles u otros mecanismos que no permiten sacar de operación las tres fases simultáneamente.

El estudio de cortocircuito es aplicable en diversos casos que tienen que ver con el diseño, la operación y el planeamiento de las redes de energía eléctrica. Entre dichos casos se destacan: La dimensión de la línea de transmisión debido al límite soportable por elevación de temperatura.

La dimensión de la línea de transmisión debido al límite soportable de fuerzas que deben soportar los aisladores en el momento del cortocircuito.

La dimensión del disyuntor en lo que hace referencia a contactos y capacidad disruptiva de la cámara de extinción del arco eléctrico.

El dimensionamiento del transformador de corriente debido al nivel de saturación de la curva de magnetización. Esto define el grado de precisión.

El estudio de la coordinación de relés.

El estudio de sobretensiones a frecuencia industrial.

El tiempo de actuación de relés y el tiempo de eliminación de fallas; esta información es usada en el estudio de estabilidad de sistemas de transmisión.

Para el modelizado del fallo en un punto del sistema, se supone que las corrientes de fallo 𝑖𝑖𝐹𝐹𝐹𝐹, 𝑖𝑖𝐹𝐹𝐹𝐹e 𝑖𝑖𝐹𝐹𝐹𝐹salen de cada una de las fases. Para representar los diversos tipos de fallos (simétricos y asimétricos en una, dos o tres fases), se considera la Figura nro. 6.1. El sistema en el punto de fallo es representado por el equivalente de Thévenin, el cual es mostrado en componentes de secuencia por medio de los elementos de la diagonal de la matriz 𝑍𝑍𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏. El fallo se representa en componentes a b c como se ilustra en la Figura nro. 6.1 y, posteriormente, se convierte en componentes de secuencia. De esta forma, se establece una relación entre el equivalente del sistema y el fallo.

6.1. Modelizado del fallo

Modelizado y análisis de cortocircuito en sistemas eléctrico

a b c Ifa Ifb Ifcc Figura nro. 6.1. Representación del fallo.

Elaboración propia.

Los equivalentes del sistema en un punto (equivalente de Thévenin), son establecidos con base en las redes monofásicas de secuencia positiva, negativa y cero. Estas son el resultado de modelar cada uno de los elementos que constituye la red en componentes de secuencia. A partir de las redes monofásicas se determinan las matrices de impedancia de secuencia positiva, negativa y cero. En estas matrices los elementos de la diagonal son utilizados en la formación de los equivalentes de Thévenin, y aquellos que están fuera de la diagonal son utilizados en el cálculo de tensiones nodales y flujos de corrientes a través de los elementos del sistema. Estas matrices son descritas en forma simbólica como se ilustra a continuación. Para la matriz de impedancia de secuencia positiva, se tiene que:

𝑍𝑍1 𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏=

1

2

⋮ ⋮ 𝑛𝑛 ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ 𝑍𝑍1

11

𝑍𝑍1

12

⋯ ⋯ 𝑍𝑍1 1𝑛𝑛 𝑍𝑍1

21

𝑍𝑍1

22

⋯ ⋯ 𝑍𝑍1 2𝑛𝑛 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 𝑍𝑍1 𝑛𝑛1 𝑍𝑍1 𝑛𝑛2 ⋯ ⋯ 𝑍𝑍1 𝑛𝑛𝑛𝑛 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

(6.1)

De igual forma, se determinan las matrices de secuencia negativa y cero, así: 𝑍𝑍2 𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏=

1

2

⋮ ⋮ 𝑛𝑛 ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ 𝑍𝑍2

11

𝑍𝑍2

12

⋯ ⋯ 𝑍𝑍2 1𝑛𝑛 𝑍𝑍2

21

𝑍𝑍2

22

⋯ ⋯ 𝑍𝑍2 2𝑛𝑛 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 𝑍𝑍2 𝑛𝑛1 𝑍𝑍2 𝑛𝑛2 ⋯ ⋯ 𝑍𝑍2 𝑛𝑛𝑛𝑛 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

(6.2)

171

Ramón Alfonso Gallego Rendón, Juan José Mora Flórez, Ricardo Alberto Hincapié Isaza

𝑍𝑍0 𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏=

1

2

⋮ ⋮ 𝑛𝑛 ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ 𝑍𝑍0

11

𝑍𝑍0

12

⋯ ⋯ 𝑍𝑍0 1𝑛𝑛 𝑍𝑍2

21

𝑍𝑍0

22

⋯ ⋯ 𝑍𝑍0 2𝑛𝑛 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 𝑍𝑍0 𝑛𝑛1 𝑍𝑍0 𝑛𝑛2 ⋯ ⋯ 𝑍𝑍0 𝑛𝑛𝑛𝑛 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

(6.3)

Con base en la información obtenida en las matrices de impedancias de secuencia positiva, negativa y cero se determinan los equivalentes de Thévenin en el nodo de interés, para cada una de las redes de secuencia. Los equivalentes tienen la presentación evidenciada en la Figura nro. 6.2:

− +

1

Zkk

1

Vka

1

Ifa + − Vf Vka − +

0

0

0

Ifa Zkk Vka

2

2

2

Zkk − Ifa + Figura nro. 6.2. Equivalente de secuencia positiva, negativa y cero. Elaboración propia.

Ejemplo 6.1:

Para el sistema de la Figura nro. 6.3, se representan los equivalentes del sistema en el nodo 𝑘𝑘, para cada una de las redes de secuencia.

M L K N 𝑌𝑌𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 ∆−𝑌𝑌𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑌𝑌𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎−∆ 𝑌𝑌𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑌𝑌 Figura nro. 6.3. Diagrama unifilar del ejemplo 6.1.

Elaboración propia.

Como las redes de transmisión están compuestas por elementos simétricos y su operación es equilibrada. Entonces, antes de presentase el fallo, solo se contempla la red de secuencia positiva. Modelizado y análisis de cortocircuito en sistemas eléctrico

De esta forma, las tensiones del nodo de pre-falla de secuencia positiva son obtenidas usando un flujo de carga y la tensiones nodales de secuencia negativa y cero son iguales a cero. La representación de la red de secuencia positiva del sistema de la Figura nro. 6.3, se presenta en la Figura nro. 6.4. En esta, 𝑖𝑖𝐹𝐹𝐹𝐹es la corriente que fluye desde el sistema hacia la falla y sus componentes simétricas son 𝑖𝑖1 𝐹𝐹𝐹𝐹, 𝑖𝑖2 𝐹𝐹𝐹𝐹e 𝑖𝑖0 𝐹𝐹𝐹𝐹, las cuales fluyen hacia afuera de sus respectivas redes de secuencia. Así, las corrientes −𝑖𝑖1 𝐹𝐹𝐹𝐹, −𝑖𝑖2 𝐹𝐹𝐹𝐹y −𝑖𝑖0 𝐹𝐹𝐹𝐹representan las corrientes que se inyectan debido a la falla en la barra 𝑘𝑘en las redes de secuencia, positiva, negativa y cero. +

-

+

-

+

-

+

-

k Vf p Zkk Ifa K Vka Vf

EQUIVALENTE EN K

1

1

1

P Figura nro. 6.4. Red de secuencia positiva del ejemplo 6.1.

Elaboración propia.

Las representaciones de las redes de secuencia negativa y cero se presentan en las figuras 6.5 y 6.6, respectivamente:

173

Ramón Alfonso Gallego Rendón, Juan José Mora Flórez, Ricardo Alberto Hincapié Isaza

k p Zkk Ifa K Vka

EQUIVALENTE EN K

P

2

2

2

Figura nro. 6.5. Red de secuencia negativa del ejemplo 6.1. Elaboración propia.

K p 𝑍𝑍0 𝑘𝑘𝑘𝑘 𝐼𝐼0 𝑓𝑓𝑓𝑓 K p 𝑉𝑉0 𝑘𝑘𝑘𝑘

EQUIVALENTE EN K

Figura nro. 6.6. Red de secuencia cero del ejemplo 6.1. Elaboración propia.

Cuando se calculan las corrientes de falla 𝐼𝐼𝐼𝐼1 𝑎𝑎, 𝐼𝐼𝐼𝐼2 𝑎𝑎e 𝐼𝐼𝐼𝐼0 𝑎𝑎se determina su efecto en la variación de las tensiones nodales del sistema en cada red de secuencia. Este cálculo requiere de las tensiones

6.2. Procedimiento para el cálculo de tensiones nodales de falla

Modelizado y análisis de cortocircuito en sistemas eléctrico

de pre-falla y de la matriz 𝑍𝑍𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏en componentes de secuencia, como se ilustra a continuación: ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ∆𝑉𝑉120 1𝑓𝑓𝑓𝑓 ∆𝑉𝑉120 2𝑓𝑓𝑓𝑓 ⋮ ∆𝑉𝑉120 𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘 ⋮ ∆𝑉𝑉120 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ =

1

2

⋮ 𝑘𝑘 ⋮ 𝑛𝑛 𝑍𝑍120

11

𝑍𝑍120

12

⋯ 𝑍𝑍120 1𝑘𝑘 ⋯ 𝑍𝑍120 1𝑛𝑛 𝑍𝑍120

21

𝑍𝑍120

22

⋯ 𝑍𝑍120 2𝑘𝑘 ⋯ 𝑍𝑍120 2𝑛𝑛 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 𝑍𝑍120 𝑘𝑘1 𝑍𝑍120 𝑘𝑘2 ⋯ 𝑍𝑍120 1𝑘𝑘 ⋯ 𝑍𝑍120 𝑘𝑘𝑘𝑘 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 𝑍𝑍120 𝑛𝑛1 𝑍𝑍120 𝑛𝑛2 ⋯ 𝑍𝑍120 𝑛𝑛𝑛𝑛 ⋯ 𝑍𝑍120 𝑛𝑛𝑛𝑛

0

0

⋮ −𝑖𝑖120 𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘 ⋮

0

(6.4)

Las tensiones nodales resultantes del sistema son calculadas como la suma de las tensiones de pre-falla y la variación de tensión debido a las corrientes de falla. Las tensiones de pre-falla son calculadas de las condiciones del sistema en estado estacionario y, para esto, se usa el flujo de carga; otra forma simplificada es suponer una tensión plana de 1∠0◦en todos los nodos del sistema. Las tensiones de falla son calculadas de la siguiente manera (donde el vector de tensión [𝑉𝑉1 𝐹𝐹] se denomina tensión de pre-falla):

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ 𝑉𝑉120 1𝑎𝑎 𝑉𝑉120 2𝑎𝑎 ⋮ 𝑉𝑉120 𝑘𝑘𝑘𝑘 ⋮ 𝑉𝑉120 𝑛𝑛𝑛𝑛 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ = ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ 𝑉𝑉1 𝐹𝐹 𝑉𝑉1 𝐹𝐹 ⋮ 𝑉𝑉1 𝐹𝐹 ⋮ 𝑉𝑉1 𝐹𝐹 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ + ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ∆𝑉𝑉120 1𝑎𝑎 ∆𝑉𝑉120 2𝑎𝑎 ⋮ ∆𝑉𝑉120 𝑘𝑘𝑘𝑘 ⋮ ∆𝑉𝑉120 𝑛𝑛𝑛𝑛 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

(6.5)

Una vez son conocidas las componentes simétricas −𝑖𝑖1 𝐹𝐹𝐹𝐹, −𝑖𝑖2 𝐹𝐹𝐹𝐹e −𝑖𝑖0 𝐹𝐹𝐹𝐹de las corrientes de falla en la barra 𝑘𝑘, se determinan las tensiones de secuencia de la barra 𝑗𝑗del sistema. Cuando la falla se presenta en la barra 𝑘𝑘, solo los elementos en las columnas 𝑘𝑘de la matriz 𝑍𝑍1 𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏, 𝑍𝑍2 𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏y 𝑍𝑍0 𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏 son requeridos en los cálculos. Las tensiones en la barra 𝑗𝑗se presentan a continuación. Allí, los elementos 𝑍𝑍𝑗𝑗𝑗𝑗se denominan impedancias de transferencia y corresponden a los elementos fuera de la diagonal de la matriz 𝑍𝑍𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏:

𝑉𝑉0 𝑗𝑗𝑗𝑗 =

0 −𝑍𝑍0

𝑗𝑗𝑗𝑗.𝑖𝑖0 𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘 𝑉𝑉1 𝑗𝑗𝑗𝑗 = 𝑉𝑉𝐹𝐹−𝑍𝑍1 𝑗𝑗𝑗𝑗.𝑖𝑖1 𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘 𝑉𝑉2 𝑗𝑗𝑗𝑗 =

0 −𝑍𝑍2

𝑗𝑗𝑗𝑗.𝑖𝑖2 𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘 ⎧ ⎨ ⎩ 𝑗𝑗= 1, ....., 𝑛𝑛 𝑘𝑘= barra del fallo

(6.6)

Si la tensión de pre-falla de la barra 𝑗𝑗no es 𝑉𝑉𝐹𝐹

1 entonces se reemplaza 𝑉𝑉𝐹𝐹por el valor real de

secuencia positiva de la tensión de pre-falla en esa barra (condiciones de pr-efallo2) [29]. El cálculo de la tensión en la barra 𝑘𝑘se presenta a continuación. Allí, los elementos 𝑍𝑍𝑘𝑘𝑘𝑘se 1Esta puede corresponder a una tensión plana 1∠0◦.

2Estas son obtenidas al ejecutar el flujo de carga del sistema antes de ocurrir la falla.

175

Ramón Alfonso Gallego Rendón, Juan José Mora Flórez, Ricardo Alberto Hincapié Isaza

denominan impedancias de Thévenin y corresponden a los elementos de la diagonal de la matriz 𝑍𝑍𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏, a saber:

𝑉𝑉0 𝑘𝑘𝑘𝑘 =

0 −𝑍𝑍0

𝑘𝑘𝑘𝑘.𝑖𝑖0 𝐹𝐹𝐹𝐹 𝑉𝑉1 𝑘𝑘𝑘𝑘 = 𝑉𝑉𝐹𝐹−𝑍𝑍1 𝑘𝑘𝑘𝑘.𝑖𝑖1 𝐹𝐹𝐹𝐹 𝑉𝑉2 𝑘𝑘𝑘𝑘 =

0 −𝑍𝑍2

𝑘𝑘𝑘𝑘.𝑖𝑖2 𝐹𝐹𝐹𝐹

(6.7)

En el cálculo de los elementos de la matriz 𝑍𝑍𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏generalmente se determinan los elementos de la columna correspondiente al nodo de fallo. De esta forma, si el nodo en estudio es 𝑘𝑘, se determina el elemento 𝑍𝑍𝑘𝑘𝑘𝑘y los elementos 𝑍𝑍𝑘𝑘𝑘𝑘(con 𝑗𝑗= 1, ..., nodos), lo cual corresponde a la columna 𝑘𝑘de la matriz 𝑍𝑍𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏. Como los sistemas eléctricos de la vida real generalmente son de gran tamaño, se aplican técnicas matemáticas para solo determinar los elementos de la matriz 𝑍𝑍𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏, requeridos en el cálculo.

Por otro lado, para la representación de la impedancia de falla se emplea 𝑍𝑍𝐹𝐹. Esta impedancia aparece en los modelos de los fallos monofáficos, bifásicos y trifásicos. El cálculo de 𝑍𝑍𝑓𝑓merece especial atención y depende del recorrido de la corriente de falla. El cortocircuito línea-línea y trifásico está influenciado por la impedancia del arco. En el fallo línea-línea-tierra y línea-tierra se involucran la impedancia del arco, neutro, el cable de guarda y tierra. Por esta razón, las empresas deben realizar estudios de tierra debido a la gran variedad de suelos que guardan relación con la línea de transmisión, así como la influencia de las variaciones climatológicas en la impedancia de tierra.

Si el en cálculo del cortocircuito se considera un 𝑍𝑍𝐹𝐹= 0, se denomina fallo sólido. Cuando se usa este valor, se calcula el máximo valor de la corriente y, por lo tanto, son los valores más conservadores. Sin embargo, 𝑍𝑍𝐹𝐹tiene rara vez un valor de cero.

La impedancia de fallo 𝑍𝑍𝐹𝐹depende de una serie de parámetros entre los que se destacan la resistencia del arco (producida durante el cortocircuito), de la torre y de la tierra en la que está instalada la torre. Como el valor de 𝑍𝑍𝐹𝐹está influenciado por el tipo de tierra y dado que las redes eléctricas están construidas sobre diferentes tipos de terreno, en cada uno de los sistemas de energía se tendrá que calcular la impedancia de falla.

En el estudio del cortocircuito línea-tierra, en redes primarias de distribución, se debe tener especial cuidado con el cálculo de 𝑍𝑍𝑓𝑓, ya que tendrá gran influencia en el valor de la corriente de falla. Aquel suele ocasionar algún grado de distorsión en la coordinación de protecciones. Si el valor estimado de 𝑍𝑍𝑓𝑓es menor que el valor real, la corriente calculada tendrá un valor superior al real. Así, el sistema de protecciones queda coordinado para corrientes superiores a las que realmente enfrenta el sistema. De presentarse la caída de un conductor a tierra, su corriente podría no ser detectada por el sistema de protecciones, quedando la fase a tierra y a tensión nominal. Esto pondría en peligro la vida de personas y de animales. El problema aumenta en tierras arenosas-silicosas, en donde el material fundido por el arco se solidifica y crea una capa vitrificada alrededor del conductor. Esta hace las veces de material aislante. El peligro esta en la reconexión del sistema, ya que este vuelve a operar sin que la falla sea detectada. Modelizado y análisis de cortocircuito en sistemas eléctrico

En las figuras 6.7 y 6.8 son representados diversos tipos de fallos simétricos y asimétricos. Para su representación, el fallo simétrico (trifásico y trifásico a tierra), representado por el contacto de las tres fases o de las tres fases y tierra, solo requiere la red de secuencia positiva por ser del tipo simétrico.

Los fallos asimétricos corresponden a fallas línea-tierra, línea-línea y línea-línea-tierra. Por su asimétria, en el punto de fallo, se presentan corrientes de secuencia positiva, negativa y cero. Por esa razón, su análisis requiere de la representación de las redes de secuencia positiva, negativa y cero para los casos del fallo línea-tierra y línea-línea-tierra, y de la representación de las redes de secuencia positiva y negativa para el fallo línea-línea [19].

b c a a b c Zfa Zfb Zfc Zf Zf Zf Ifa Ifb Ifcc Ifa Figura nro. 6.7. Falla trifásica y monofásica a tierra.

Elaboración propia.

6.3. Modelizado de fallas

177

Ramón Alfonso Gallego Rendón, Juan José Mora Flórez, Ricardo Alberto Hincapié Isaza

Es el tipo de falla más común. Es originada por descargas atmosféricas, o por el contacto de un conductor con estructuras aterrizadas o con la tierra. Esta falla se representa en la Figura nro. 6.9:

K a b c Zf Zf Ifa Zf Figura nro. 6.9. Falla línea-tierra en la fase a.

Elaboración propia.

Una vez se establecen las condiciones en el punto de fallo, se plantea el modelo matemático con base en las leyes de Kichhoff y la ley de Ohm. Las ecuaciones resultantes de corriente y a b c Ifb Ifcc Zf b a c Ifb Ifcc Zf Figura nro. 6.8. Falla línea-línea y línea-línea-tierra.

Elaboración propia.

6.3.1. Falla línea-tierra o falla monofásica

Modelizado y análisis de cortocircuito en sistemas eléctrico

tensión, de acuerdo a las características del fallo línea-tierra, se presentan a continuación: 𝑖𝑖𝐹𝐹𝐹𝐹≠0 𝑖𝑖𝐹𝐹𝐹𝐹= 0 𝑖𝑖𝐹𝐹𝐹𝐹= 0 𝑉𝑉𝑘𝑘𝑘𝑘= 𝑍𝑍𝐹𝐹.𝑖𝑖𝐹𝐹𝐹𝐹

(6.8)

El modelo de fallo anterior es planteado en componentes a b c y se requiere su transformación a componentes simétricas 0 1 2. Por lo tanto, para la corriente se tiene que: ⎡ ⎢ ⎢ ⎣ 𝑖𝑖0 𝐹𝐹𝐹𝐹 𝑖𝑖1 𝐹𝐹𝐹𝐹 𝑖𝑖2 𝐹𝐹𝐹𝐹 ⎤ ⎥ ⎥ ⎦ = 1

3

⎡ ⎢ ⎢ ⎣

1

1

1

1

𝑎𝑎 𝑎𝑎2

1

𝑎𝑎2 𝑎𝑎 ⎤ ⎥ ⎥ ⎦ ⎡ ⎢ ⎢ ⎣ 𝑖𝑖𝐹𝐹𝐹𝐹

0

0

⎤ ⎥ ⎥ ⎦

(6.9)

Después de realizadas las operaciones, se obtiene:

𝑖𝑖0 𝐹𝐹𝐹𝐹= 𝑖𝑖1 𝐹𝐹𝐹𝐹= 𝑖𝑖2 𝐹𝐹𝐹𝐹= 𝑖𝑖𝐹𝐹𝐹𝐹

3

(6.10)

Por lo anterior, se observa que 𝐼𝐼𝐹𝐹𝐹𝐹= 3𝑖𝑖0 𝐹𝐹𝐹𝐹.

De la ecuación de tensión obtenida en el punto del fallo en componentes a b c, se tiene que 𝑉𝑉𝑘𝑘𝑘𝑘= 𝑍𝑍𝐹𝐹𝑖𝑖𝐹𝐹𝐹𝐹. Al ser transformada en componentes de secuencia 0 1 2, se obtiene que 𝑉𝑉0,1,2 𝑘𝑘𝑘𝑘 son las tensiones vistas para cada una de las redes de secuencia en el nodo 𝑘𝑘en la siguiente expresión: 𝑉𝑉0 𝑘𝑘𝑘𝑘+ 𝑉𝑉1 𝑘𝑘𝑘𝑘+ 𝑉𝑉2 𝑘𝑘𝑘𝑘= 3𝑍𝑍𝐹𝐹.𝑖𝑖0 𝐹𝐹𝐹𝐹

(6.11)

Con base en los circuitos equivalentes de Thévenin de las redes de secuencia en el punto de fallo (nodo k) y las ecuaciones anteriormente deducidas para el fallo línea-tierra, se obtiene el circuito equivalente del fallo, como se observa en la Figura nro. 6.10: − +

1

Zkk

1

Vka

1

Ifa + − Vf Vka − +

0

0

0

Ifa Zkk Vka

2

2

2

Zkk − Ifa + Figura nro. 6.10. Redes equivalentes de secuencia.

Elaboración propia.

179

Ramón Alfonso Gallego Rendón, Juan José Mora Flórez, Ricardo Alberto Hincapié Isaza

Dados los circuitos equivalentes de las redes de secuencia 0 1 2 (vistos en el nodo k), y presentados en la Figura nro. 6.10, se tiene que: 𝑉𝑉0 𝑘𝑘𝑘𝑘= −𝑍𝑍0 𝑘𝑘𝑘𝑘𝑖𝑖0 𝐹𝐹𝐹𝐹 𝑉𝑉1 𝑘𝑘𝑘𝑘= 𝑉𝑉𝐹𝐹−𝑍𝑍1 𝑘𝑘𝑘𝑘𝑖𝑖1 𝐹𝐹𝐹𝐹 𝑉𝑉2 𝑘𝑘𝑘𝑘= −𝑍𝑍2 𝑘𝑘𝑘𝑘𝑖𝑖2 𝐹𝐹𝐹𝐹

(6.12)

Al reemplazar los voltajes obtenidos de las redes de secuencia equivalentes en la ecuación del fallo línea-tierra en el nodo k, se determina:

−𝑍𝑍0 𝑘𝑘𝑘𝑘𝑖𝑖0 𝐹𝐹𝐹𝐹+ 𝑉𝑉𝐹𝐹−𝑍𝑍1 𝑘𝑘𝑘𝑘𝑖𝑖0 𝐹𝐹𝐹𝐹−𝑍𝑍2 𝑘𝑘𝑘𝑘𝑖𝑖2 𝐹𝐹𝐹𝐹= 3𝑍𝑍𝐹𝐹.𝑖𝑖0 𝐹𝐹𝐹𝐹

(6.13)

La ecuación finalmente se organiza como sigue:

𝑉𝑉𝐹𝐹= (𝑍𝑍0 𝑘𝑘𝑘𝑘+ 𝑍𝑍1 𝑘𝑘𝑘𝑘+ 𝑍𝑍2 𝑘𝑘𝑘𝑘+ 3𝑍𝑍𝐹𝐹)𝑖𝑖0 𝐹𝐹𝐹𝐹

(6.14)

Siendo la corriente de falla de secuencia cero como se presenta a continuación: 𝑖𝑖0 𝐹𝐹𝐹𝐹= 𝑉𝑉𝐹𝐹 (𝑍𝑍0 𝑘𝑘𝑘𝑘+ 𝑍𝑍1 𝑘𝑘𝑘𝑘+ 𝑍𝑍2 𝑘𝑘𝑘𝑘+ 3𝑍𝑍𝐹𝐹)

(6.15)

La representación gráfica del fallo línea-tierra se presenta en la Figura nro. 6.11: + + V

2

ka V

1

ka V

0

ka f 3Z

2

+

1

fa I

2

1

0

fa I fa I fa I − − −

1

0

kk kk Z Z kk Z Figura nro. 6.11. Representación gráfica del fallo línea-tierra. Elaboración propia.

Modelizado y análisis de cortocircuito en sistemas eléctrico

La representación de una falla entre las fases b y c, las cuales se conectan a través de una impedancia 𝑍𝑍𝐹𝐹, se presenta en la Figura nro. 6.12:

Ifb b Ifcc c a Zf Figura nro. 6.12. Falla línea-línea.

Elaboración propia.

Usando las leyes de Kirchhoff, se establecen las siguientes relaciones en el punto de falla: 𝑖𝑖𝐹𝐹𝐹𝐹= 0

(6.16)

𝑖𝑖𝐹𝐹𝐹𝐹= −𝑖𝑖𝐹𝐹𝐹𝐹

(6.17)

𝑉𝑉𝑘𝑘𝑘𝑘−𝑉𝑉𝑘𝑘𝑘𝑘= 𝑖𝑖𝐹𝐹𝐹𝐹𝑍𝑍𝐹𝐹

(6.18)

Una vez se obtienen las condiciones de falla 𝑖𝑖𝐹𝐹𝐹𝐹= 0 y 𝑖𝑖𝐹𝐹𝐹𝐹= −𝑖𝑖𝐹𝐹𝐹𝐹en componentes a b c, se transforman a componentes 0 1 2 como sigue:

6.3.2. Falla línea-línea o falla bifásica

181

Ramón Alfonso Gallego Rendón, Juan José Mora Flórez, Ricardo Alberto Hincapié Isaza

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ 𝑖𝑖0 𝐹𝐹𝐹𝐹 𝑖𝑖1 𝐹𝐹𝐹𝐹 𝑖𝑖2 𝐹𝐹𝐹𝐹 ⎤ ⎥ ⎥ ⎦ = 1

3

⎡ ⎢ ⎢ ⎣

1

1

1

1

𝑎𝑎 𝑎𝑎2

1

𝑎𝑎2 𝑎𝑎 ⎤ ⎥ ⎥ ⎦ ⎡ ⎢ ⎢ ⎣

0

𝑖𝑖𝐹𝐹𝐹𝐹 −𝑖𝑖𝐹𝐹𝐹𝐹 ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

(6.19)

Al resolver las ecuaciones, se obtiene que 𝑖𝑖0 𝐹𝐹𝐹𝐹= 0 e 𝑖𝑖1 𝐹𝐹𝐹𝐹= −𝑖𝑖2 𝐹𝐹𝐹𝐹. Se observa entonces que la tensión y corriente de secuencia cero son iguales a cero y, por lo tanto, esta red no estará presente en el circuito equivalente del fallo línea-línea. De la restricción de conservación de la energía que se obtiene al aplicar la segunda ley de Kirchhoff en componentes a b c, se tiene que:

𝑉𝑉𝑘𝑘𝑘𝑘−𝑉𝑉𝑘𝑘𝑘𝑘= 𝑖𝑖𝐹𝐹𝐹𝐹𝑍𝑍𝐹𝐹

(6.20)

Dado que la corriente 𝑖𝑖0 𝐹𝐹𝐹𝐹= 0 entonces las tensiones de secuencia cero también son iguales a cero, es decir, 𝑉𝑉0 𝑘𝑘𝑘𝑘= 𝑉𝑉0 𝑘𝑘𝑘𝑘= 𝑉𝑉0 𝑘𝑘𝑘𝑘. La ecuación de tensión, expresada en componentes de secuencia, es:

(𝑉𝑉0 𝑘𝑘𝑘𝑘+ 𝑉𝑉1 𝑘𝑘𝑘𝑘+ 𝑉𝑉2 𝑘𝑘𝑘𝑘) −(𝑉𝑉0 𝑘𝑘𝑘𝑘+ 𝑉𝑉1 𝑘𝑘𝑘𝑘+ 𝑉𝑉2 𝑘𝑘𝑘𝑘) = (𝑖𝑖0 𝐹𝐹𝐹𝐹+ 𝑖𝑖1 𝐹𝐹𝐹𝐹+ 𝑖𝑖2 𝐹𝐹𝐹𝐹)𝑍𝑍𝐹𝐹

(6.21)

Al reemplazar los valores de secuencia cero de corriente y de tensión, se tiene que: (𝑉𝑉1 𝑘𝑘𝑘𝑘+ 𝑉𝑉2 𝑘𝑘𝑘𝑘) −(𝑉𝑉1 𝑘𝑘𝑘𝑘+ 𝑉𝑉2 𝑘𝑘𝑘𝑘) = (𝑖𝑖1 𝐹𝐹𝐹𝐹+ 𝑖𝑖2 𝐹𝐹𝐹𝐹)𝑍𝑍𝐹𝐹

(6.22)

Expresando la ecuación anterior en función de la fase a, se obtiene: (𝑎𝑎2 −𝑎𝑎)(𝑉𝑉1 𝑘𝑘𝑘𝑘−𝑉𝑉2 𝑘𝑘𝑘𝑘) = (𝑎𝑎2 −𝑎𝑎)𝑖𝑖1 𝐹𝐹𝐹𝐹𝑍𝑍𝐹𝐹

(6.23)

Por lo tanto, 𝑉𝑉1 𝑘𝑘𝑘𝑘−𝑉𝑉2 𝑘𝑘𝑘𝑘= 𝑖𝑖1 𝐹𝐹𝐹𝐹𝑍𝑍𝐹𝐹

(6.24)

De esta ecuación se obtiene el circuito equivalente del fallo línea-línea que se muestra en la Figura nro. 6.13:

Modelizado y análisis de cortocircuito en sistemas eléctrico

+ − Zkk

1

Zkk

2

Zf Ifa Ifa

1

2

Vka

1

Vka

2

+ + − − Vf Figura nro. 6.13. Representación gráfica del fallo línea-línea. Elaboración propia.

Finalmente, del circuito anterior se obtiene que: 𝑖𝑖1 𝐹𝐹𝐹𝐹= −𝑖𝑖2 𝐹𝐹𝐹𝐹= 𝑉𝑉𝐹𝐹 𝑍𝑍1 𝑘𝑘𝑘𝑘+ 𝑍𝑍2 𝑘𝑘𝑘𝑘+ 𝑍𝑍𝐹𝐹

(6.25)

La conexión de esta falla se muestra en la Figura nro. 6.14:

6.3.3. Falla línea-línea-tierra o falla bifásica a tierra

183

Ramón Alfonso Gallego Rendón, Juan José Mora Flórez, Ricardo Alberto Hincapié Isaza

b c a Ifb Ifcc Zf Figura nro. 6.14. Fallo bifásico línea-línea-tierra. Elaboración propia.

De la Figura nro. 6.14 se observa que 𝑖𝑖𝐹𝐹𝐹𝐹= 0 y 𝑉𝑉𝑘𝑘𝑘𝑘= 𝑉𝑉𝑘𝑘𝑘𝑘= (𝑖𝑖𝐹𝐹𝐹𝐹+ 𝑖𝑖𝐹𝐹𝐹𝐹)𝑍𝑍𝐹𝐹. Al transformar las corrientes de componentes a b c, a componentes 0 1 2, se tiene que: ⎡ ⎢ ⎢ ⎣ 𝑖𝑖0 𝐹𝐹𝐹𝐹 𝑖𝑖1 𝐹𝐹𝐹𝐹 𝑖𝑖2 𝐹𝐹𝐹𝐹 ⎤ ⎥ ⎥ ⎦ = 1

3

⎡ ⎢ ⎢ ⎣

1

1

1

1

𝑎𝑎 𝑎𝑎2

1

𝑎𝑎2 𝑎𝑎 ⎤ ⎥ ⎥ ⎦ ⎡ ⎢ ⎢ ⎣

0

𝑖𝑖𝐹𝐹𝐹𝐹 𝑖𝑖𝐹𝐹𝐹𝐹 ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

(6.26)

Conforme a lo anterior, la corriente de secuencia cero es: 𝑖𝑖0 𝐹𝐹𝐹𝐹= (𝑖𝑖𝐹𝐹𝐹𝐹+ 𝑖𝑖𝐹𝐹𝐹𝐹)

3

(6.27)

Por lo tanto, 3𝑖𝑖0 𝐹𝐹𝐹𝐹= (𝑖𝑖𝐹𝐹𝐹𝐹+ 𝑖𝑖𝐹𝐹𝐹𝐹)

(6.28)

Modelizado y análisis de cortocircuito en sistemas eléctrico

Al sustituir 𝑉𝑉𝑘𝑘𝑘𝑘por 𝑉𝑉𝑘𝑘𝑘𝑘, se obtiene: ⎡ ⎢ ⎢ ⎣ 𝑉𝑉0 𝑘𝑘𝑘𝑘 𝑉𝑉1 𝑘𝑘𝑘𝑘 𝑉𝑉2 𝑘𝑘𝑘𝑘 ⎤ ⎥ ⎥ ⎦ = 1

3

⎡ ⎢ ⎢ ⎣

1

1

1

1

𝑎𝑎 𝑎𝑎2

1

𝑎𝑎2 𝑎𝑎 ⎤ ⎥ ⎥ ⎦ ⎡ ⎢ ⎢ ⎣ 𝑉𝑉𝑘𝑘𝑘𝑘 𝑉𝑉𝑘𝑘𝑘𝑘 𝑉𝑉𝑘𝑘𝑘𝑘 ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

(6.29)

Donde, 𝑉𝑉1 𝑘𝑘𝑘𝑘= 𝑉𝑉𝑘𝑘𝑘𝑘+ 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑘𝑘𝑘𝑘+ 𝑎𝑎2𝑉𝑉𝑘𝑘𝑘𝑘

3

(6.30)

𝑉𝑉2 𝑘𝑘𝑘𝑘= 𝑉𝑉𝑘𝑘𝑘𝑘+ 𝑎𝑎2𝑉𝑉𝑘𝑘𝑘𝑘+ 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑘𝑘𝑘𝑘

3

(6.31)

De las ecuaciones anteriores, se concluye que 𝑉𝑉1 𝑘𝑘𝑘𝑘= 𝑉𝑉2 𝑘𝑘𝑘𝑘. Dado que la tensión de secuencia cero es 𝑉𝑉0 𝑘𝑘𝑘𝑘= 𝑉𝑉𝑘𝑘𝑘𝑘+ 2𝑉𝑉𝑘𝑘𝑘𝑘

3

(6.32)

Entonces, 3𝑉𝑉0 𝑘𝑘𝑘𝑘= 𝑉𝑉𝑘𝑘𝑘𝑘+ 2𝑉𝑉𝑘𝑘𝑘𝑘

(6.33)

La ecuación anterior se transforma en componentes de secuencia de la siguiente manera: 3𝑉𝑉0 𝑘𝑘𝑘𝑘= 𝑉𝑉0 𝑘𝑘𝑘𝑘+ 𝑉𝑉1 𝑘𝑘𝑘𝑘+ 𝑉𝑉2 𝑘𝑘𝑘𝑘+ 2(3𝑍𝑍𝐹𝐹∗𝑖𝑖0 𝐹𝐹𝐹𝐹)

(6.34)

2𝑉𝑉0 𝑘𝑘𝑘𝑘= 2𝑉𝑉1 𝑘𝑘𝑘𝑘+ 2(3𝑍𝑍𝐹𝐹∗𝑖𝑖0 𝐹𝐹𝐹𝐹)

(6.35)

𝑉𝑉1 𝑘𝑘𝑘𝑘= 𝑉𝑉0 𝑘𝑘𝑘𝑘−(3𝑍𝑍𝐹𝐹∗𝑖𝑖0 𝐹𝐹𝐹𝐹)

(6.36)

185

Ramón Alfonso Gallego Rendón, Juan José Mora Flórez, Ricardo Alberto Hincapié Isaza

𝑉𝑉1 𝑘𝑘𝑘𝑘= 𝑉𝑉2 𝑘𝑘𝑘𝑘

(6.37)

Finalmente, la condición de corriente en la fase sin corto establece, en componentes de secuencia, que 𝑖𝑖𝐹𝐹𝐹𝐹= 𝑖𝑖0 𝐹𝐹𝐹𝐹+ 𝑖𝑖1 𝐹𝐹𝐹𝐹+ 𝑖𝑖2 𝐹𝐹𝐹𝐹= 0.

De acuerdo a la ecuaciones de tensión y de corriente expresadas anteriormente, los tres equivalentes de redes de secuencia 0 1 2 se conectan en paralelo como se presenta en la Figura nro. 6.15:

Zkk Ifa K Vka P

2

2

2

+

-

Zkk Ifa K Vka Vf

1

1

P Zkk

0

3Zf

1

Ifa K Vka P

0

0

Figura nro. 6.15. Representación del fallo línea-línea-tierra.

Elaboración propia.

Al solucionar el circuito anterior, se obtienen las tres corrientes de falla en componentes 0 1 2, como sigue:

𝑖𝑖1 𝐹𝐹𝐹𝐹= 𝑉𝑉𝐹𝐹 𝑍𝑍1 𝑘𝑘𝑘𝑘+ [ 𝑍𝑍2 𝑘𝑘𝑘𝑘(𝑍𝑍0 𝑘𝑘𝑘𝑘+3𝑍𝑍𝐹𝐹) 𝑍𝑍2 𝑘𝑘𝑘𝑘+𝑍𝑍0 𝑘𝑘𝑘𝑘+3𝑍𝑍𝐹𝐹]

(6.38)

𝑖𝑖2 𝐹𝐹𝐹𝐹= −𝑖𝑖1 𝐹𝐹𝐹𝐹[ 𝑍𝑍0 𝑘𝑘𝑘𝑘+ 3𝑍𝑍𝐹𝐹 𝑍𝑍2 𝑘𝑘𝑘𝑘+ 𝑍𝑍0 𝑘𝑘𝑘𝑘+ 3𝑍𝑍𝐹𝐹 ]

(6.39)

Modelizado y análisis de cortocircuito en sistemas eléctrico

La representación gráfica de este tipo de falla se muestra en la Figura nro. 6.16: Ifa a Ifb b Ifcc c Zfa Zfb Zfc Zg ifa + ifb + ifc Figura nro. 6.16. Representación del fallo trifásico a tierra. Elaboración propia.

Para esta falla, las ecuaciones de tensiones nodales en componentes a b c son: ⎡ ⎢ ⎢ ⎣ 𝑉𝑉𝑘𝑘𝑘𝑘 𝑉𝑉𝑘𝑘𝑘𝑘 𝑉𝑉𝑘𝑘𝑘𝑘 ⎤ ⎥ ⎥ ⎦ = ⎡ ⎢ ⎢ ⎣ 𝑍𝑍𝐹𝐹+ 𝑍𝑍𝑔𝑔 𝑍𝑍𝑔𝑔 𝑍𝑍𝑔𝑔 𝑍𝑍𝑔𝑔 𝑍𝑍𝐹𝐹+ 𝑍𝑍𝑔𝑔 𝑍𝑍𝑔𝑔 𝑍𝑍𝑔𝑔 𝑍𝑍𝑔𝑔 𝑍𝑍𝐹𝐹+ 𝑍𝑍𝑔𝑔 ⎤ ⎥ ⎥ ⎦ ⎡ ⎢ ⎢ ⎣ 𝑖𝑖𝐹𝐹𝐹𝐹 𝑖𝑖𝐹𝐹𝐹𝐹 𝑖𝑖𝐹𝐹𝐹𝐹 ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

(6.41)

𝑖𝑖0 𝐹𝐹𝐹𝐹= −𝑖𝑖1 𝐹𝐹𝐹𝐹[ 𝑍𝑍2 𝑘𝑘𝑘𝑘 𝑍𝑍2 𝑘𝑘𝑘𝑘+ 𝑍𝑍0 𝑘𝑘𝑘𝑘+ 3𝑍𝑍𝐹𝐹 ]

(6.40)

6.3.4. Falla trifásica a tierra

187

Ramón Alfonso Gallego Rendón, Juan José Mora Flórez, Ricardo Alberto Hincapié Isaza

Al transformar las ecuaciones anteriores en componentes de secuencia 0 1 2, se obtiene: ⎡ ⎢ ⎢ ⎣ 𝑉𝑉0 𝑘𝑘𝑘𝑘 𝑉𝑉1 𝑘𝑘𝑘𝑘 𝑉𝑉2 𝑘𝑘𝑘𝑘 ⎤ ⎥ ⎥ ⎦ = 1

3

⎡ ⎢ ⎢ ⎣

1

1

1

1

𝑎𝑎 𝑎𝑎2

1

𝑎𝑎2 𝑎𝑎 ⎤ ⎥ ⎥ ⎦ ⎡ ⎢ ⎢ ⎣ 𝑍𝑍𝐹𝐹+ 𝑍𝑍𝑔𝑔 𝑍𝑍𝑔𝑔 𝑍𝑍𝑔𝑔 𝑍𝑍𝑔𝑔 𝑍𝑍𝐹𝐹+ 𝑍𝑍𝑔𝑔 𝑍𝑍𝑔𝑔 𝑍𝑍𝑔𝑔 𝑍𝑍𝑔𝑔 𝑍𝑍𝐹𝐹+ 𝑍𝑍𝑔𝑔 ⎤ ⎥ ⎥ ⎦ ⎡ ⎢ ⎢ ⎣

1

1

1

1

𝑎𝑎2 𝑎𝑎

1

𝑎𝑎 𝑎𝑎2 ⎤ ⎥ ⎥ ⎦ ⎡ ⎢ ⎢ ⎣ 𝑖𝑖0 𝐹𝐹𝐹𝐹 𝑖𝑖1 𝐹𝐹𝐹𝐹 𝑖𝑖2 𝐹𝐹𝐹𝐹 ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

(6.42)

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ 𝑉𝑉0 𝑘𝑘𝑘𝑘 𝑉𝑉1 𝑘𝑘𝑘𝑘 𝑉𝑉2 𝑘𝑘𝑘𝑘 ⎤ ⎥ ⎥ ⎦ = 1

3

⎡ ⎢ ⎢ ⎣

1

1

1

1

𝑎𝑎 𝑎𝑎2

1

𝑎𝑎2 𝑎𝑎 ⎤ ⎥ ⎥ ⎦ ⎧ ⎨ ⎩ ⎡ ⎢ ⎢ ⎣ 𝑍𝑍𝐹𝐹

0

0

0

𝑍𝑍𝐹𝐹

0

0

0

𝑍𝑍𝐹𝐹 ⎤ ⎥ ⎥ ⎦ + ⎡ ⎢ ⎢ ⎣ 𝑍𝑍𝑔𝑔 𝑍𝑍𝑔𝑔 𝑍𝑍𝑔𝑔 𝑍𝑍𝑔𝑔 𝑍𝑍𝑔𝑔 𝑍𝑍𝑔𝑔 𝑍𝑍𝑔𝑔 𝑍𝑍𝑔𝑔 𝑍𝑍𝑔𝑔 ⎤ ⎥ ⎥ ⎦ ⎫ ⎬ ⎭ ⎡ ⎢ ⎢ ⎣

1

1

1

1

𝑎𝑎2 𝑎𝑎

1

𝑎𝑎 𝑎𝑎2 ⎤ ⎥ ⎥ ⎦ ⎡ ⎢ ⎢ ⎣ 𝑖𝑖0 𝐹𝐹𝐹𝐹 𝑖𝑖1 𝐹𝐹𝐹𝐹 𝑖𝑖2 𝐹𝐹𝐹𝐹 ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

(6.43)

1

3

⎡ ⎢ ⎢ ⎣

1

1

1

1

𝑎𝑎 𝑎𝑎2

1

𝑎𝑎2 𝑎𝑎 ⎤ ⎥ ⎥ ⎦ ⎡ ⎢ ⎢ ⎣ 𝑍𝑍𝐹𝐹

0

0

0

𝑍𝑍𝐹𝐹

0

0

0

𝑍𝑍𝐹𝐹 ⎤ ⎥ ⎥ ⎦ ⎡ ⎢ ⎢ ⎣

1

1

1

1

𝑎𝑎2 𝑎𝑎

1

𝑎𝑎 𝑎𝑎2 ⎤ ⎥ ⎥ ⎦ = ⎡ ⎢ ⎢ ⎣ 𝑍𝑍𝐹𝐹

0

0

0

𝑍𝑍𝐹𝐹

0

0

0

𝑍𝑍𝐹𝐹 ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

(6.44)

1

3

⎡ ⎢ ⎢ ⎣

1

1

1

1

𝑎𝑎 𝑎𝑎2

1

𝑎𝑎2 𝑎𝑎 ⎤ ⎥ ⎥ ⎦ ⎡ ⎢ ⎢ ⎣ 𝑍𝑍𝑔𝑔 𝑍𝑍𝑔𝑔 𝑍𝑍𝑔𝑔 𝑍𝑍𝑔𝑔 𝑍𝑍𝑔𝑔 𝑍𝑍𝑔𝑔 𝑍𝑍𝑔𝑔 𝑍𝑍𝑔𝑔 𝑍𝑍𝑔𝑔 ⎤ ⎥ ⎥ ⎦ ⎡ ⎢ ⎢ ⎣

1

1

1

1

𝑎𝑎2 𝑎𝑎

1

𝑎𝑎 𝑎𝑎2 ⎤ ⎥ ⎥ ⎦ = ⎡ ⎢ ⎢ ⎣ 3𝑍𝑍𝑔𝑔

0

0

0

0

0

0

0

0

⎤ ⎥ ⎥ ⎦

(6.45)

Las ecuaciones del fallo trifásico a tierra, escritas en componentes de secuencia, son: 𝑉𝑉0 𝑘𝑘𝑘𝑘= (3𝑍𝑍𝑔𝑔+ 𝑍𝑍𝐹𝐹)𝑖𝑖0 𝐹𝐹𝐹𝐹

(6.46)

𝑉𝑉1 𝑘𝑘𝑘𝑘= 𝑍𝑍𝐹𝐹. 𝑖𝑖1 𝐹𝐹𝐹𝐹

(6.47)

𝑉𝑉2 𝑘𝑘𝑘𝑘= 𝑍𝑍𝐹𝐹. 𝑖𝑖2 𝐹𝐹𝐹𝐹

(6.48)

El circuito equivalente para el fallo trifásico a tierra es simulado con base en las ecuaciones anteriores y el equivalente de red, visto en el nodo de fallo, se presenta en la Figura nro. 6.17: Modelizado y análisis de cortocircuito en sistemas eléctrico

A continuación, se presentan las corrientes de falla línea-línea y línea-tierra en función de la corriente de falla trifásica. Este valor es dado por: 𝐼𝐼𝑐𝑐𝑐𝑐3𝜙𝜙= 1 𝑍𝑍1 = 𝐼𝐼1 𝑎𝑎

(6.49)

Donde 𝐼𝐼1 𝑎𝑎es la corriente trifásica de secuencia positiva. Por lo tanto, Para una falla línea-línea, se tiene:

𝐼𝐼1 𝑎𝑎=

1

𝑍𝑍1 + 𝑍𝑍2

(6.50)

Si se supone que 𝑍𝑍1 = 𝑍𝑍2, entonces 𝐼𝐼1 𝑎𝑎= (1∕2)𝑍𝑍1. Sabiendo que las condiciones del fallo línea-línea son 𝐼𝐼𝑎𝑎= 0 e 𝐼𝐼𝑏𝑏≠0 entonces:

𝐼𝐼𝑏𝑏= 𝐼𝐼0 𝑏𝑏+ 𝐼𝐼1 𝑏𝑏+ 𝐼𝐼2 𝑏𝑏= 𝐼𝐼0 𝑎𝑎+ 𝑎𝑎2𝐼𝐼1 𝑎𝑎+ 𝑎𝑎𝑎𝑎2 𝑎𝑎

(6.51)

Dado que las condiciones del fallo línea-línea en componentes de secuencia son 𝐼𝐼1 𝑎𝑎= −𝐼𝐼2 𝑎𝑎e 𝐼𝐼0 𝑎𝑎= 0 entonces, al reemplazar en la ecuación anterior, se obtiene: Figura nro. 6.17. Circuito equivalente del fallo trifásico a tierra. Elaboración propia.

Zkk Ifa K Vka P

0

0

0

3Zg+Zf Zkk Ifa K Vka P

2

2

2

Zf +

-

Zkk Ifa K Vka Vf

1

1

P Zf

1

6.3.5. Corriente de falla línea-línea y línea-tierra en función de la

corriente de falla trifásica

189

Ramón Alfonso Gallego Rendón, Juan José Mora Flórez, Ricardo Alberto Hincapié Isaza

𝐼𝐼𝑏𝑏= 0 + 𝑎𝑎2𝐼𝐼1 𝑎𝑎−𝑎𝑎𝑎𝑎1 𝑎𝑎= (𝑎𝑎2 −𝑎𝑎)𝐼𝐼1 𝑎𝑎= √ 3∠−90◦𝐼𝐼1 𝑎𝑎

(6.52)

La corriente de falla línea-línea de secuencia positiva es 𝐼𝐼1 𝑎𝑎= (1∕2)𝑍𝑍1 y, al reemplazarse en la corriente de falla en la fase 𝐼𝐼𝑏𝑏, se obtiene: 𝐼𝐼𝑏𝑏= √ 3∠−90𝑜𝑜

1

2𝑍𝑍1 = √

3

2

1

𝑍𝑍1 = √

3

2 𝐼𝐼𝑐𝑐𝑐𝑐3𝜙𝜙

(6.53)

Para una falla línea-tierra, se tiene:

𝐼𝐼1 𝑎𝑎=

1

𝑍𝑍0 + 𝑍𝑍1 + 𝑍𝑍2

(6.54)

Si se supone que 𝑍𝑍1 = 𝑍𝑍2 entonces 𝐼𝐼1 𝑎𝑎= (1∕𝑍𝑍0 + 2𝑍𝑍1). Si 𝑍𝑍1 = 𝑍𝑍0 entonces 𝐼𝐼1 𝑎𝑎= (1∕3)𝑍𝑍1.

Como para la falla línea-tierra la corriente de falla en la fase a es 𝐼𝐼𝑎𝑎= 3𝐼𝐼1 𝑎𝑎entonces, 𝐼𝐼𝑎𝑎= 3 1 3𝑍𝑍1 = 1 𝑍𝑍1

(6.55)

De la ecuación anterior se puede observar que 𝐼𝐼𝑎𝑎= 𝐼𝐼𝑐𝑐𝑐𝑐3𝜙𝜙. Este valor corresponde a lo anterior bajo el caso hipotético de que 𝑍𝑍0 = 𝑍𝑍1 = 𝑍𝑍2. Las condiciones de la falla línea-tierra son 𝑉𝑉𝑎𝑎𝑎𝑎= 𝑍𝑍𝑓𝑓∗𝑖𝑖𝑎𝑎𝑎𝑎con 𝑖𝑖𝑎𝑎𝑎𝑎≠0 e 𝑖𝑖𝑏𝑏𝑏𝑏= 𝑖𝑖𝑐𝑐𝑐𝑐= 0. Al transformarse en componentes de secuencia usando componentes simétricas, se obtiene: 𝑖𝑖1 𝑎𝑎= 𝑖𝑖2 𝑎𝑎= 𝑖𝑖0 𝑎𝑎= 𝑖𝑖𝑎𝑎𝑎𝑎

3

(6.56)

𝑉𝑉0 𝑎𝑎+ 𝑉𝑉1 𝑎𝑎+ 𝑉𝑉2 𝑎𝑎= 𝑍𝑍𝑓𝑓∗(𝑖𝑖0 𝑎𝑎+ 𝑖𝑖1 𝑎𝑎+ 𝑖𝑖2 𝑎𝑎)

(6.57)

Por lo tanto,

6.3.6. Análisis del cortocircuito línea-tierra considerando

impedancia de falla Modelizado y análisis de cortocircuito en sistemas eléctrico

𝑉𝑉0 𝑎𝑎+ 𝑉𝑉1 𝑎𝑎+ 𝑉𝑉2 𝑎𝑎= 3𝑍𝑍𝑓𝑓∗(𝑖𝑖1 𝑎𝑎)

(6.58)

De los equivalentes de Thévenin se sabe:

𝑉𝑉0 𝑎𝑎= −𝑍𝑍0𝑖𝑖0 𝑎𝑎

(6.59)

𝑉𝑉1 𝑎𝑎= 1 −𝑍𝑍1𝑖𝑖1 𝑎𝑎

(6.60)

𝑉𝑉2 𝑎𝑎= −𝑍𝑍2𝑖𝑖2 𝑎𝑎

(6.61)

Para calcular la corriente de falla, las tensiones se reemplazan en función de las corrientes, de la siguiente forma:

(−𝑍𝑍0𝑖𝑖0 𝑎𝑎) + (1 −𝑍𝑍1𝑖𝑖1 𝑎𝑎) + (−𝑍𝑍2𝑖𝑖2 𝑎𝑎) = 3𝑍𝑍𝑓𝑓𝑖𝑖1 𝑎𝑎

(6.62)

Al ser iguales las tres corrientes de falla en componentes de secuencia, se tiene:

1 −[𝑍𝑍0 + 𝑍𝑍1 + 𝑍𝑍2]𝑖𝑖1

𝑎𝑎= 3𝑍𝑍𝑓𝑓𝑖𝑖1 𝑎𝑎

(6.63)

Por lo tanto,

1 = [𝑍𝑍0 + 𝑍𝑍1 + 𝑍𝑍2 + 3𝑍𝑍𝑓𝑓] 𝑖𝑖1

𝑎𝑎

(6.64)

Al despejar la corriente:

𝑖𝑖1 𝑎𝑎=

1

(𝑍𝑍0 + 𝑍𝑍1 + 𝑍𝑍2 + 3𝑍𝑍𝑓𝑓)

(6.65)

191

Ramón Alfonso Gallego Rendón, Juan José Mora Flórez, Ricardo Alberto Hincapié Isaza

Donde 𝑍𝑍𝑓𝑓es la impedancia de falla, la cual es de difícil obtención. Como se mencionó anteriormente, su valor depende del tipo de terreno en donde ocurre la falla y las características propias de las redes de energía eléctrica.

Las primeras recomendaciones para el cálculo de la impedancia de falla surgen en los Estados Unidos de América. Allí, se proponía el cálculo con base en una resistencia eléctrica de la tierra de 40∕3 Ω[30]. Sin embargo, debido a la existencia de suelos con características de resistividad diferentes, las empresas de energía eléctrica han estudiado la resistividad eléctrica de los terrenos en donde se han construido redes y han determinando valores más ajustados a la realidad. Los valores obtenidos pueden estar enmarcados en el rango 40∕3 [Ω] a 100∕3 Ω[31]. Ejemplo 6.2:

Dado el sistema de la Figura nro. 6.18 se efectúan cálculos de la corriente de cortocircuito en el nodo 2 cuando se presentan diferentes tipos de fallas. Como se observa en esta figura, se desprecia la carga por lo que se asume como condición inicial tensiones de 1∠0◦. De esta naturaleza, se debe considerar una 𝑆𝑆𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏= 100 MVA, un 𝑉𝑉𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏= 20 kV y una 𝐼𝐼𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏= 2886.7 amp.

1

2

3

4

𝑌𝑌𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 ∆−𝑌𝑌𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑌𝑌−∆ 𝑌𝑌𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 Figura nro. 6.18. Red de energía eléctrica del ejemplo 6.2. Elaboración propia.

Los datos del sistema son:

Para los generadores:

Capacidad: 100 MVA.

Tensión nominal: 20 kV.

Reactancia subtransitoria: 𝑋𝑋 ′′ = 𝑋𝑋1 = 𝑋𝑋2 = 0.20 pu Reactancia de secuencia cero: 𝑋𝑋0 = 0.04 pu Para los transformadores:

Capacidad (𝑇𝑇1, 𝑇𝑇2): 100 MVA.

Relación de transformación: 20∕345 kV.

Reactancia de dispersión: 𝑋𝑋= 0.08 pu Para la línea de transmisión:

Modelizado y análisis de cortocircuito en sistemas eléctrico

Reactancia de secuencia positiva: 𝑋𝑋1= 0.15 pu Reactancia de secuencia cero: 𝑋𝑋0= 0.50 pu En condiciones iniciales, las tensiones nodales en los cuatro nodos de la red son 1∠0 ◦; de esta forma, se desprecia el flujo de corriente debido a la carga cuando se produce el cortocircuito. Una vez se conoce la información del sistema, se efectúa la representación de las redes de secuencia positiva, negativa y cero en diagramas de impedancia. Luego, con base en estos valores, se conforman las matrices de impedancia nodal.

La representación de la red de secuencia positiva se muestra en la Figura nro. 6.19:

1 0

o j0.2 j0.08

1

1 0

o j0.2 j0.08

2

3

4

j0.15 Figura nro. 6.19. Red de secuencia positiva del ejemplo 6.2.

Elaboración propia.

La conformación de la matriz 𝑍𝑍𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏de la red de secuencia positiva, con base en la Figura nro. 6.19, es:

𝑍𝑍1 𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏= 𝐽𝐽∗

1

2

3

4

0.1437

0.1211

0.0789

0.0563

0.1211

0.1696

0.1104

0.0789

0.0789

0.1104

0.1696

0.1211

0.0563

0.0789

0.1211

0.1437

Dado que, en este caso, se asume que la impedancia de secuencia positiva es igual a la negativa en los generadores, las matrices de impedancia de secuencia positiva y negativa son iguales. Por lo tanto, 𝑍𝑍1 𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏= 𝑍𝑍2 𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏.

La representación de la red de secuencia cero se muestra en la Figura nro. 6.20:

193

Ramón Alfonso Gallego Rendón, Juan José Mora Flórez, Ricardo Alberto Hincapié Isaza

j0.50 j0.08 j0.04 j0.04 Figura nro. 6.20. Red de secuencia cero del ejemplo 6.2.

Elaboración propia.

La conformación de la matriz 𝑍𝑍𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏de la red de secuencia cero, con base en la Figura nro. 6.20, es:

𝑍𝑍𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏= 𝐽𝐽∗

1

2

3

4

0.04

0

0

0

0

0.08

0.08

0

0

0.08

0.58

0

0

0

0

0.04

Con el fin de ahondar más en la aplicación de los conceptos ilustrados previamente, a continuación, se estudian los diferentes tipos de cortocircuito y se calculan las corrientes de cortocircuito, las tensiones nodales en el momento de la falla y los flujos de corriente por los elementos de la red.

Primer caso: falla L-T En la Figura nro. 6.21 se muestra el modelo de la falla sólida línea-tierra, la cual está conformada por los equivalentes de Thévenin del sistema de secuencia positiva, negativa y cero; vistas en el punto del fallo. El circuito reducido de la falla línea-tierra se muestra en la Figura nro. 6.22.

Modelizado y análisis de cortocircuito en sistemas eléctrico

𝐼𝐼2 𝐹𝐹𝐹𝐹

2

𝑗𝑗0.1696 + − 1∠0 𝑗𝑗0.1696 𝐼𝐼1 𝐹𝐹𝐹𝐹

2

𝑗𝑗0.08 𝐼𝐼0 𝐹𝐹𝐹𝐹

2

3𝑍𝑍𝐹𝐹=0 Figura nro. 6.21. Modelo de fallo línea-tierra en el nodo 2. Elaboración propia.

If j0.4192

1 0

Figura nro. 6.22. Circuito simplificado. Primer caso. Elaboración propia.

Al solucionar el circuito anterior se determina la corriente de falla en componentes de secuencia 0 1 2, como sigue:

𝑖𝑖0 𝐹𝐹𝐹𝐹= 𝑖𝑖1 𝐹𝐹𝐹𝐹= 𝑖𝑖2 𝐹𝐹𝐹𝐹= 1∠0o 𝐽𝐽(0.1696 + 0.1696 + 0.08) = 1∠0o 𝐽𝐽0.4192 Por lo tanto, 𝑖𝑖0 𝐹𝐹𝐹𝐹= −𝐽𝐽2.385.

De las ecuaciones anteriores, para el fallo L-T se dedujo que 𝑖𝑖0 𝐹𝐹𝐹𝐹= 𝑖𝑖1 𝐹𝐹𝐹𝐹= 𝑖𝑖2 𝐹𝐹𝐹𝐹= 𝑖𝑖𝐹𝐹𝐹𝐹∕3. Por lo anterior,

195

Ramón Alfonso Gallego Rendón, Juan José Mora Flórez, Ricardo Alberto Hincapié Isaza

𝑖𝑖𝐹𝐹𝐹𝐹= 3𝑖𝑖0 𝐹𝐹𝐹𝐹= 3(−𝐽𝐽2.385) = −𝐽𝐽7.155pu Dado que la corriente de falla es 7.155 veces la corriente base del sistema, esto puede traer serias consecuencias al sistema si no se despeja rápidamente la falla. Al ser la corriente base igual a 100MVA∕( √

3 ∗345KV) = 167.35 amp entonces, por la fase, la corriente de falla es:

𝑖𝑖𝐹𝐹𝐹𝐹= −𝐽𝐽7.155(167.35) = 1197∠270o amp Para el cálculo de la tensión en el nodo 4 se usan impedancias de transferencia entre el nodo bajo cortocircuito y el nodo al cual se le desea calcular la tensión (en este caso, el nodo 4). Por lo tanto, 𝑉𝑉0 4𝑎𝑎= −𝑍𝑍0 42𝑖𝑖0 𝐹𝐹𝐹𝐹= −(𝐽𝐽0)(−𝐽𝐽2.385) = 0 𝑉𝑉1 4𝑎𝑎= 𝑉𝑉𝐹𝐹−𝑍𝑍1 42𝑖𝑖1 𝐹𝐹𝐹𝐹= 1∠0o −(𝐽𝐽0.0789)(−𝐽𝐽2.385) 𝑉𝑉2 4𝑎𝑎= −𝑍𝑍2 42𝑖𝑖2 𝐹𝐹𝐹𝐹= −(𝐽𝐽0.0789)(−𝐽𝐽2.385) 𝑉𝑉0 4𝑎𝑎= 0 pu 𝑉𝑉1 4𝑎𝑎= 0.8118 pu 𝑉𝑉2 4𝑎𝑎= −0.1881 pu Expresando en componentes a b c:

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ 𝑉𝑉4𝑎𝑎 𝑉𝑉4𝑏𝑏 𝑉𝑉4𝑐𝑐 ⎤ ⎥ ⎥ ⎦ = ⎡ ⎢ ⎢ ⎣

1

1

1

1

𝑎𝑎2 𝑎𝑎

1

𝑎𝑎 𝑎𝑎2 ⎤ ⎥ ⎥ ⎦ ⎡ ⎢ ⎢ ⎣

0

0.8118

−0.1881 ⎤ ⎥ ⎥ ⎦ ⎡ ⎢ ⎢ ⎣ 𝑉𝑉4𝑎𝑎 𝑉𝑉4𝑏𝑏 𝑉𝑉4𝑐𝑐 ⎤ ⎥ ⎥ ⎦ = ⎡ ⎢ ⎢ ⎣

0.6237

0.8118∠240◦ − 0.1881∠120◦ 0.8118∠120◦ − 0.1881∠240◦ ⎤ ⎥ ⎥ ⎦ = ⎡ ⎢ ⎢ ⎣

0.6237

0.92038∠−109.8054◦ 0.92038∠109.8054◦ ⎤ ⎥ ⎥ ⎦ Modelizado y análisis de cortocircuito en sistemas eléctrico

Al igual que en el caso anterior, para el cálculo de la tensión en los nodos 1, 2 y 3, se usan las impedancias de transferencia entre el nodo bajo cortocircuito y el nodo al cual se le desea calcular la tensión. Por lo tanto, 𝑉𝑉0 2𝑎𝑎= 0 −𝑍𝑍0

22 × 𝑖𝑖0

𝑓𝑓𝑓𝑓= 0 −𝑗𝑗0.08 × −𝑗𝑗2.385 = −0.1908 𝑉𝑉1 2𝑎𝑎= 𝑉𝑉𝐹𝐹−𝑍𝑍1

22 × 𝑖𝑖1

𝑓𝑓𝑓𝑓= 1 −𝑗𝑗0.1696 × −𝑗𝑗2.385 = 0.5955 𝑉𝑉2 2𝑎𝑎= 0 −𝑍𝑍2

22 × 𝑖𝑖2

𝑓𝑓𝑓𝑓= 0 −𝑗𝑗0.1696 × −𝑗𝑗2.385 = −0.4045 𝑉𝑉0 3𝑎𝑎= 0 −𝑍𝑍0

23 × 𝑖𝑖0

𝑓𝑓𝑓𝑓= 0 −𝑗𝑗0.08 × −𝑗𝑗2.385 = −0.1908 𝑉𝑉1 3𝑎𝑎= 𝑉𝑉𝐹𝐹−𝑍𝑍1

23 × 𝑖𝑖1

𝑓𝑓𝑓𝑓= 1 −𝑗𝑗0.1104 × −𝑗𝑗2.385 = 0.7367 𝑉𝑉2 3𝑎𝑎= 0 −𝑍𝑍2

23 × 𝑖𝑖2

𝑓𝑓𝑓𝑓= 0 −𝑗𝑗0.1104 × −𝑗𝑗2.385 = −0.2633 𝑉𝑉0 1𝑎𝑎= 0 −𝑍𝑍0

21 × 𝑖𝑖0

𝑓𝑓𝑓𝑓= 0 −0 × −𝑗𝑗2.385 = 0 𝑉𝑉1 1𝑎𝑎= 𝑉𝑉𝐹𝐹−𝑍𝑍1

21 × 𝑖𝑖1

𝑓𝑓𝑓𝑓= 1 −𝑗𝑗0.1211 × −𝑗𝑗2.385 = 0.711 𝑉𝑉2 1𝑎𝑎= 0 −𝑍𝑍2

21 × 𝑖𝑖2

𝑓𝑓𝑓𝑓= 0 −𝑗𝑗0.1211 × −𝑗𝑗2.385 = −0.289 Los flujos de corriente por las líneas 1-2 y 3-2 son: 𝑖𝑖0 𝑎𝑎12 = (0 −(−0.1908)) ∞ = 0 𝑖𝑖1 𝑎𝑎12 = (0.711 −0.5955) 𝑗𝑗0.08 = −𝑗𝑗1.444

197

Ramón Alfonso Gallego Rendón, Juan José Mora Flórez, Ricardo Alberto Hincapié Isaza

𝑖𝑖2 𝑎𝑎12 = (−0.289 −(−0.4045)) 𝑗𝑗0.08 = −𝑗𝑗1.444 𝑖𝑖0 𝑎𝑎32 = (−0.1908 −(−0.1908)) 𝑗𝑗0.50 = 0 𝑖𝑖1 𝑎𝑎32 = (0.7367 −0.5955) 𝑗𝑗0.15 = −𝑗𝑗0.9413 𝑖𝑖2 𝑎𝑎32 = (−0.2633 −(−0.4045)) 𝑗𝑗0.15 = −𝑗𝑗0.9413 El cálculo de la corriente de secuencia cero, debido a la conexión a tierra del transformador entre los nodos 1 y 2, es:

𝑖𝑖02 = (0 −(−0.1908)) 𝑗𝑗0.08 = −𝑗𝑗2.385 A continuación, en las figuras 6.23, 6.24 y 6.25 se presenta el balance de corrientes en componentes de secuencia en el nodo 2.

1

2

3

0

0

0

−𝑗𝑗2.385 𝑖𝑖0 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎2 = −𝑗𝑗2.385 Figura nro. 6.23. Secuencia cero. Primer caso. Elaboración propia.

Modelizado y análisis de cortocircuito en sistemas eléctrico

−𝑗𝑗1.444−𝑗𝑗0.9413 𝑖𝑖1 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎2 = −𝑗𝑗2.385 Figura nro. 6.24. Secuencia positiva. Primer caso. Elaboración propia.

1

2

3

−𝑗𝑗1.444−𝑗𝑗0.9413 𝑖𝑖1 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎2 = −𝑗𝑗2.385 Figura nro. 6.25. Secuencia negativa. Primer caso. Elaboración propia.

La tensión del nodo 2 en componentes a b c es: ⎡ ⎢ ⎢ ⎣ 𝑉𝑉2𝑎𝑎 𝑉𝑉2𝑏𝑏 𝑉𝑉2𝑐𝑐 ⎤ ⎥ ⎥ ⎦ = ⎡ ⎢ ⎢ ⎣

1

1

1

1

𝑎𝑎2 𝑎𝑎

1

𝑎𝑎 𝑎𝑎2 ⎤ ⎥ ⎥ ⎦ ⎡ ⎢ ⎢ ⎣ −0.1908

0.5955

−0.4055 ⎤ ⎥ ⎥ ⎦ = ⎡ ⎢ ⎢ ⎣

0

−0.1908 +0.5955∠240◦ +(−0.4055)∠120◦ −0.1908 +0.5955∠120◦ +(−0.4055)∠240◦ ⎤ ⎥ ⎥ ⎦ ⎡ ⎢ ⎢ ⎣ 𝑉𝑉2𝑎𝑎 𝑉𝑉2𝑏𝑏 𝑉𝑉2𝑐𝑐 ⎤ ⎥ ⎥ ⎦ = ⎡ ⎢ ⎢ ⎣

0.0008

0.91279∠−108.2465◦ 0.91279∠108.2465◦ ⎤ ⎥ ⎥ ⎦ Segundo caso: falla línea-línea La corriente de falla expresada en componentes de secuencia es: 𝑖𝑖1 𝐹𝐹𝐹𝐹= −𝑖𝑖2 𝐹𝐹𝐹𝐹= 1∠0◦ 𝑗𝑗0.1696 + 𝑗𝑗0.1696 = −𝑗𝑗2.948 La tensión expresada en componentes de secuencia es: 𝑉𝑉1 2𝑎𝑎= 𝑉𝑉2 2𝑎𝑎= 1∠0◦−𝑗𝑗0.1696 −𝑗𝑗2.948 = −𝑗𝑗2.948 × 𝑗𝑗0.1696 = 0.5

199

Ramón Alfonso Gallego Rendón, Juan José Mora Flórez, Ricardo Alberto Hincapié Isaza

𝑉𝑉0 2𝑎𝑎= 0 Para el cálculo de la tensión en el nodo 2, en el momento de la falla, se usa la siguiente ecuación:

𝑉𝑉0,1,2 𝑗𝑗𝑗𝑗 = 𝑉𝑉𝑗𝑗𝑗𝑗−𝑍𝑍0,1,2 𝑗𝑗𝑗𝑗 × 𝑖𝑖0,1,2 𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹 Por lo tanto, 𝑉𝑉0 2𝑎𝑎= 0 −𝑍𝑍0

22 × 𝑖𝑖0

𝑓𝑓𝑓𝑓= 0 −𝑗𝑗0.08 × 0 = 0 𝑉𝑉1 2𝑎𝑎= 𝑉𝑉𝐹𝐹−𝑍𝑍1

22 × 𝑖𝑖1

𝑓𝑓𝑓𝑓= 1 −𝑗𝑗0.1696 × −𝑗𝑗2.948 = 0.5 𝑉𝑉2 2𝑎𝑎= 0 −𝑍𝑍2

22 × 𝑖𝑖2

𝑓𝑓𝑓𝑓= 0 −𝑗𝑗0.1696 × 𝑗𝑗2.948 = 0.5 Tercer caso: falla L-L-T En la Figura nro. 6.26 se muestra el modelo de falla sólida línea-línea-tierra en el nodo 2: + − 1∠0𝑜𝑜 𝑗𝑗0.1696 𝑖𝑖1 𝐹𝐹𝐹𝐹

2

2

2

+ − 𝑉𝑉1 2𝑎𝑎𝑗𝑗0.1696 𝑖𝑖2 𝐹𝐹𝐹𝐹 + − 𝑉𝑉2 2𝑎𝑎 𝑗𝑗0.08 𝑖𝑖0 𝐹𝐹𝐹𝐹 3𝑍𝑍𝐹𝐹=0 + − 𝑉𝑉0 2𝑎𝑎 Figura nro. 6.26. Modelo de falla línea-línea-tierra en el nodo 2. Elaboración propia.

Del circuito de la Figura nro. 6.26, se tiene: Modelizado y análisis de cortocircuito en sistemas eléctrico

𝑖𝑖1 𝐹𝐹𝐹𝐹= 1∠0◦ 𝑗𝑗0.1696 + [(𝑗𝑗0.1696 × 𝑗𝑗0.08) 𝑗𝑗0.1696 + 𝑗𝑗0.08 ] = 1∠0◦ 𝑗𝑗0.1696 + 𝑗𝑗0.0543 = −𝑗𝑗4.4653 𝑖𝑖2 𝐹𝐹𝐹𝐹= 𝑗𝑗4.4653 × ( 𝑗𝑗0.08 𝑗𝑗0.1696 + 𝑗𝑗0.08) = 𝑗𝑗1.4313 𝑖𝑖0 𝐹𝐹𝐹𝐹= 𝑗𝑗4.4653 × ( 𝑗𝑗0.1696 𝑗𝑗0.1696 + 𝑗𝑗0.08) = 𝑗𝑗3.034 La tensión en el nodo 2 es: 𝑉𝑉0 2𝑎𝑎= 0 −𝑗𝑗0.08 × −𝑗𝑗3.034 = 0.2427 𝑉𝑉1 2𝑎𝑎= 1 −𝑗𝑗0.1696 × −𝑗𝑗4.4653 = 0.2427 𝑉𝑉2 2𝑎𝑎= 0 −𝑗𝑗0.1696 × 𝑗𝑗1.4313 = 0.2427 Por lo tanto, ⎡ ⎢ ⎢ ⎣ 𝑉𝑉2𝑎𝑎 𝑉𝑉2𝑏𝑏 𝑉𝑉2𝑐𝑐 ⎤ ⎥ ⎥ ⎦ = ⎡ ⎢ ⎢ ⎣

1

1

1

1

𝑎𝑎2 𝑎𝑎

1

𝑎𝑎 𝑎𝑎2 ⎤ ⎥ ⎥ ⎦ ⎡ ⎢ ⎢ ⎣

0.2427

0.2427

0.2427

⎤ ⎥ ⎥ ⎦ Si se soluciona la expresión anterior, se obtiene: 𝑉𝑉2𝑎𝑎= 0.7281 𝑉𝑉2𝑏𝑏= 0.2427 + 0.2427∠240◦+ 0.2427∠120◦= 0 𝑉𝑉2𝑐𝑐= 0.2427 + 0.2427∠120◦+ 0.2427∠240◦= 0 𝑉𝑉2𝑎𝑎= 0.7281

201

Ramón Alfonso Gallego Rendón, Juan José Mora Flórez, Ricardo Alberto Hincapié Isaza

𝑉𝑉2𝑏𝑏= 0 𝑉𝑉2𝑐𝑐= 0 Cuarto caso: falla L-L-L El modelo de la falla se muestra en la Figura nro. 6.27. Por ser una falla simétrica, la corriente de falla de secuencia negativa y cero son iguales a cero. Por lo tanto, 𝑖𝑖2 𝐹𝐹𝐹𝐹= 𝑖𝑖0 𝐹𝐹𝐹𝐹= 0.

+ − 1∠0𝑜𝑜 𝑗𝑗0.1696 𝑖𝑖1 𝐹𝐹𝐹𝐹

2

Figura nro. 6.27. Modelo de falla línea-línea-línea en el nodo 2. Elaboración propia.

La corriente de falla de secuencia positiva es: 𝑖𝑖1 𝐹𝐹𝐹𝐹= 1∠0◦ 𝑗𝑗0.1696 = −𝑗𝑗5.896 Las tensiones de los nodos 1, 2, 3 y 4 son:

𝑉𝑉0 2𝑎𝑎= 0 𝑉𝑉1 2𝑎𝑎= 1 −𝑗𝑗0.1696 × −𝑗𝑗5.896 = 0 𝑉𝑉0 2𝑎𝑎= 0 Modelizado y análisis de cortocircuito en sistemas eléctrico

𝑉𝑉0 1𝑎𝑎= 0 𝑉𝑉1 1𝑎𝑎= 1 −𝑗𝑗0.1211 × −𝑗𝑗5.896 = 0.286 𝑉𝑉2 1𝑎𝑎= 0 𝑉𝑉0 3𝑎𝑎= 0 𝑉𝑉1 3𝑎𝑎= 1 −𝑗𝑗0.1104 × −𝑗𝑗5.896 = 0.349 𝑉𝑉2 3𝑎𝑎= 0 𝑉𝑉0 4𝑎𝑎= 0 𝑉𝑉1 4𝑎𝑎= 1 −𝑗𝑗0.0789 × −𝑗𝑗5.896 = 0.5348 𝑉𝑉2 4𝑎𝑎= 0 Por las líneas 1-2 y 3-2 los flujos de corriente de secuencia negativa y cero son iguales a cero. El flujo de corriente de secuencia positiva por estas líneas es: 𝑖𝑖𝑎𝑎1−2 = 0.286 −0 𝑗𝑗0.08 = −𝑗𝑗3.575 𝑖𝑖𝑎𝑎3−2 = 0.349 −0 𝑗𝑗0.15 = −𝑗𝑗2.327 El aporte en corriente de los generadores 1 y 2 al cortocircuito en el nodo 2 es −𝑗𝑗10319.95 amp y −𝑗𝑗6705.8 amp, respectivamente. Estos valores permiten determinar que el aporte de cada generador al cortocircuito guarda relación con la distancia eléctrica entre ellos.

203

Ramón Alfonso Gallego Rendón, Juan José Mora Flórez, Ricardo Alberto Hincapié Isaza

Quinto caso: falla línea-línea El modelo de la falla se muestra en la Figura nro. 6.28. + − 1∠0𝑜𝑜 𝑗𝑗0.1696 𝑖𝑖1 𝐹𝐹𝐹𝐹

2

+ − 𝑉𝑉1 2𝑎𝑎

2

𝑍𝑍𝐹𝐹=0 𝑗𝑗0.1696 𝑖𝑖2 𝐹𝐹𝐹𝐹 + − 𝑉𝑉2 2𝑎𝑎 Figura nro. 6.28. Modelo de la falla línea-línea. Elaboración propia.

Para esta falla se tiene que 𝑉𝑉1 2𝑎𝑎= 𝑉𝑉2 2𝑎𝑎. Por lo tanto, 𝑖𝑖1 𝐹𝐹𝐹𝐹= 1∠0◦∕[2(𝐽𝐽0.1696)] = 1∠0◦∕[𝐽𝐽0.3392] = −𝐽𝐽2.9481 𝑉𝑉1 2𝑎𝑎= 𝑉𝑉2 2𝑎𝑎= 1 −𝑍𝑍22𝑖𝑖1 𝐹𝐹𝐹𝐹= 1 −(𝐽𝐽0.1696)(−𝐽𝐽2.9481) = 0.5 La tensión del nodo 2 en componentes a b c es: 𝑉𝑉2𝑎𝑎= 𝑉𝑉0 2𝑎𝑎+ 𝑉𝑉1 2𝑎𝑎+ 𝑉𝑉2 2𝑎𝑎= 1∠0◦pu 𝑉𝑉2𝑏𝑏= 𝑉𝑉0 2𝑎𝑎+ 𝑎𝑎2𝑉𝑉1 2𝑎𝑎+ 𝑎𝑎𝑎𝑎2 2𝑎𝑎= 0 + 𝑎𝑎20.5 + 𝑎𝑎0.5 = 0.5∠180◦pu 𝑉𝑉2𝑐𝑐= 𝑉𝑉0 2𝑎𝑎+ 𝑎𝑎2𝑉𝑉1 2𝑎𝑎+ 𝑎𝑎𝑎𝑎2 2𝑎𝑎= 0 + 𝑎𝑎0.5 + 𝑎𝑎20.5 = 0.5∠180◦pu La tensión entre líneas en el nodo 2 es: Modelizado y análisis de cortocircuito en sistemas eléctrico

𝑉𝑉2,𝑎𝑎𝑎𝑎= 𝑉𝑉2𝑎𝑎−𝑉𝑉2𝑏𝑏= (1 + 𝐽𝐽0) −(−0.5 + 𝐽𝐽0) = 1.5∠0◦ 𝑉𝑉2,𝑏𝑏𝑏𝑏= 𝑉𝑉2𝑏𝑏−𝑉𝑉2𝑐𝑐= (−0.5 + 𝐽𝐽0) −(−0.5 + 𝐽𝐽0) = 0 𝑉𝑉2,𝑐𝑐𝑐𝑐= 𝑉𝑉2𝑐𝑐−𝑉𝑉2𝑎𝑎= (−0.5 + 𝐽𝐽0) −(1.0 + 𝐽𝐽0) = 1.5∠180◦ Si se multiplican las tensiones por el valor base se tiene que: 𝑉𝑉2,𝑎𝑎𝑎𝑎= (1.5∠0◦) 345 √

3

= 299∠0◦kV 𝑉𝑉2,𝑏𝑏𝑏𝑏= 0 𝑉𝑉2,𝑐𝑐𝑐𝑐= (1.5∠180◦) 345 √

3

= 299∠180◦kV La tensión en el nodo 4 es:

𝑉𝑉◦ 4𝑎𝑎= −𝑍𝑍42𝑖𝑖0 𝐹𝐹𝐹𝐹= 0 𝑉𝑉1 4𝑎𝑎= 𝑉𝑉𝐹𝐹−𝑍𝑍1

42 𝑖𝑖1

𝐹𝐹𝐹𝐹= 1∠0◦−(𝐽𝐽0.0789)(−𝐽𝐽2.9481) = 0.7674 𝑉𝑉2 4𝑎𝑎= −𝑍𝑍2 42𝑖𝑖2 𝐹𝐹𝐹𝐹= −(𝐽𝐽0.0789)(𝐽𝐽2.9481) = 0.2326 La tensión en el nodo 2 en componentes a b c es: 𝑉𝑉4𝑎𝑎= 𝑉𝑉0 4𝑎𝑎+ 𝑉𝑉1 4𝑎𝑎∗𝑉𝑉2 4𝑎𝑎= 0 + 0.7674 + 0.2326 = 1∠0◦

205

Ramón Alfonso Gallego Rendón, Juan José Mora Flórez, Ricardo Alberto Hincapié Isaza

𝑉𝑉4𝑏𝑏= 𝑉𝑉0 4𝑎𝑎+ 𝑎𝑎2𝑉𝑉1 4𝑎𝑎+ 𝑎𝑎𝑎𝑎2 4𝑎𝑎= 0 + 0.7674∠240◦+ 0.2326∠120◦= 0.667∠−136◦ 𝑉𝑉4𝑐𝑐= 𝑉𝑉0 4𝑎𝑎+ 𝑎𝑎𝑎𝑎1 4𝑎𝑎+ 𝑎𝑎2𝑉𝑉2 4𝑎𝑎= 0 + 0.7674∠120◦+ 0.2326∠240◦= 0.681∠137 Ejemplo 6.3:

Dado el sistema de la Figura nro. 6.29, se pueden modelar los elementos en valores pu para cada una de las redes de secuencia. Luego, con base en estos valores, se construyen los diagramas de impedancia de secuencia positiva, negativa y cero. Después, se elaboran las matrices de admitancia nodal para cada red de secuencia y se determinan las matrices de impedancia nodal de secuencia positiva, negativa y cero. Finalmente, se calcula en el nodo 7 una falla monofásica sólida, trifásica sólida y bifásica. Para esto, se emplea una 𝑆𝑆𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏= 30 MVA y un 𝑉𝑉𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏= 13.8 kV en el nodo 1.𝑇𝑀𝑌𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑌𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑌 Figura nro. 6.29. Red de energía eléctrica del ejemplo 6.3. Elaboración propia.

Los datos de los generadores 𝐺𝐺1 y 𝐺𝐺2, y el motor 𝑀𝑀son: Generador 𝐺𝐺1: 𝑋𝑋0=5 %, 𝑋𝑋1=15 %, 𝑋𝑋2=20 %, 𝑋𝑋𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛=1 Ω, 30 MVA, 13.8 kV Generador 𝐺𝐺2: 𝑋𝑋0=4 %, 𝑋𝑋1=13 %, 𝑋𝑋2=18 %, 𝑋𝑋𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛=2 Ω, 20 MVA, 18 kV Motor: 𝑋𝑋0=5 %, 𝑋𝑋1=12 %, 𝑋𝑋2=16 %, 10 MVA, 13.8 kV Los transformadores 𝑇𝑇1, 𝑇𝑇2 y 𝑇𝑇3 son tipo núcleo acorazado y sus datos son: Transformador 𝑇𝑇1: 𝑋𝑋1=10 %, 35 MVA, 13.2 kV / 138 kV Transformador 𝑇𝑇2: 𝑋𝑋1=10 %, 20 MVA, 138 kV / 18 kV𝑆𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑉𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏 0.7𝐿𝐿1

1

2

3

4

5

6

7

∆−𝑌𝑌𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑌𝑌𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑌𝑌−∆ 𝑌𝑌 𝑌𝑌𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎−𝑌𝑌𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑌𝑌𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 𝐺𝐺1 𝑇𝑇1 𝐿𝐿1 𝑇𝑇3 𝑀𝑀 𝐿𝐿2 𝑇𝑇2 𝐺𝐺2 Modelizado y análisis de cortocircuito en sistemas eléctrico

Transformador 𝑇𝑇3: 𝑋𝑋1=12 %, 15 MVA, 138 kV / 13.2 kV Los datos de las líneas 𝐿𝐿1 y 𝐿𝐿2 son:

Línea 𝐿𝐿1: 𝑋𝑋0=90 Ω, 𝑋𝑋1=210 Ω Línea 𝐿𝐿2: 𝑋𝑋0=40 Ω, 𝑋𝑋1=160 Ω En la red de la Figura nro. 6.29 se simula una falla al 70 % de la línea 𝐿𝐿1, respecto al nodo

2. De acuerdo a esto, se requiere identificar el nodo 7 en la construcción de las matrices de

admitancia e impedancia nodal. En la primera etapa del ejemplo, se lleva a cabo un modelizado de cada uno de los elementos para estudio en estado subtransitorio; en esta etapa, se efectúa el análisis de cortocircuito. En la segunda etapa, se lleva a cabo la unificación de la información en valores pu. De esta forma, se construye la base de datos del sistema. Finalmente, en la tercera etapa, se conforman las redes de secuencia positiva, negativa y cero. Desde la Figura nro. 6.30 hasta la 6.32 se representan las redes de secuencia positiva, negativa y cero, respectivamente. Luego, estas redes son usadas en la conformación de los modelos matemáticos que relacionan las variables nodales 𝐼𝐼bus y 𝑉𝑉bus, de la siguiente forma: 𝐼𝐼bus = [𝑌𝑌bus] ∗𝑉𝑉bus 𝑉𝑉bus = [𝑍𝑍bus] ∗𝐼𝐼bus 𝐽𝐽0.078 𝐽𝐽0.0903 𝐽𝐽0.0387 𝐽𝐽0.219 𝐽𝐽0.36 n 𝐽𝐽0.0576 𝐽𝐽0.137 𝐽𝐽0.178 n 𝐽𝐽0.15 n

1

2

3

4

5

6

7

𝐽𝐽0.129 Figura nro. 6.30. Red de secuencia positiva del ejemplo 6.3.

Elaboración propia.

207

Ramón Alfonso Gallego Rendón, Juan José Mora Flórez, Ricardo Alberto Hincapié Isaza

𝐽𝐽0.078 𝐽𝐽0.0903 𝐽𝐽0.0387 𝐽𝐽0.219 𝐽𝐽0.48 n 𝐽𝐽0.0576 𝐽𝐽0.137 𝐽𝐽0.247 n 𝐽𝐽0.20 n

1

2

3

4

5

6

7

𝐽𝐽0.129 Figura nro. 6.31. Red de secuencia negativa del ejemplo 6.3. Elaboración propia.

𝐽𝐽0.0784

0

𝐽𝐽0.2118 𝐽𝐽0.09078 𝐽𝐽0.2305 𝐽𝐽0.137 𝐽𝐽0.0549

3 × (𝐽𝐽0.1694)

0

𝐽𝐽0.05

3 × (𝐽𝐽0.1575)

0

1

2

3

4

5

6

7

𝐽𝐽0.3026𝐽 Figura nro. 6.32. Red de secuencia cero del ejemplo 6.3. Elaboración propia.

Una vez conocidos los diagramas de impedancia de las redes de secuencia, se determinan las matrices de admitancia e impedancia nodal, como se observa a continuación: Modelizado y análisis de cortocircuito en sistemas eléctrico

𝑌𝑌1 𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏= 𝐽𝐽

1

2

3

4

5

6

7

1

−19.49

12.82

2

12.82

−23.89

11.07

3

−47.77

4.57

17.36

25.84

4

4.57

−7.35

5

17.36

−24.66

7.30

6

7.30

−12.92

7

11.07

25.84

−36.91 𝑌𝑌2 𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏= 𝐽𝐽

1

2

3

4

5

6

7

1

−17.82

12.82

2

12.82

−23.89

11.07

3

−47.77

4.57

17.36

25.84

4

4.57

−6.65

5

17.36

−24.66

7.30

6

7.30

−11.35

7

11.07

25.84

−36.91 𝑌𝑌0 𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏= 𝐽𝐽

1

2

3

4

5

6

7

1

−1.91

2

−17.48

4.72

3

−15.35

4.34

11.02

4

∞

5

4.34

−11.64

7.30

6

7.30

−9.09

7

4.72

11.02

−15.74 𝑍𝑍1 𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏= 𝐽𝐽

1

2

3

4

5

6

7

1

0.1114

0.0914

0.0582

0.0362

0.0492

0.0278

0.0682

2

0.1389

0.0885

0.0550

0.0748

0.0423

0.1036

3

0.1380

0.0862

0.1172

0.0662

0.1236

4

0.1896

0.0729

0.0412

0.0768

5

0.1478

0.0835

0.1045

6

0.1246

0.0590

7

0.1447

209

Ramón Alfonso Gallego Rendón, Juan José Mora Flórez, Ricardo Alberto Hincapié Isaza

𝑍𝑍2 𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏= 𝐽𝐽

1

2

3

4

5

6

7

1

0.1410

0.1180

0.0799

0.0549

0.0695

0.0447

0.0913

2

0.1640

0.1110

0.0763

0.0965

0.0621

0.1269

3

0.1626

0.1117

0.1414

0.0909

0.1471

4

0.2272

0.0971

0.0625

0.1011

5

0.1730

0.1113

0.1279

6

0.1597

0.0823

7

0.1681

𝑍𝑍0 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵= 𝐽𝐽

1

2

3

4

5

6

7

1

0.5236

2

0.0737

0.0557

0.0419

0.0337

0.0611

3

0.2709

0.2037

0.1638

0.2064

4

0

5

0.3265

0.2625

0.1552

6

0.3212

0.1248

7

0.2264

Con base en las matrices de secuencia positiva, negativa y cero de la impedancia nodal, se calculan las corrientes de falla línea-tierra y trifásica al 70 % de la línea 2-3, partiendo del nodo 2. Esto se muestra en la Figura nro. 6.29, a saber: Primer caso: falla sólida línea-tierra en el nodo 7 En condiciones iniciales, el sistema está operando sin carga; por lo tanto, la tensión en todos los nodos de la red es 1 pu. De ese modo, 𝑖𝑖1 𝐹𝐹𝐹𝐹= 𝑖𝑖2 𝐹𝐹𝐹𝐹= 𝑖𝑖0 𝐹𝐹𝐹𝐹= 𝑉𝑉7 𝑍𝑍0

77 + 𝑍𝑍1

77 + 𝑍𝑍2

77

=

1

𝐽𝐽(0.2264 + 0.1447 + 0.1681) = −𝐽𝐽1.8546 pu De acuerdo a esto, la corriente de falla 𝑖𝑖𝐹𝐹𝐹𝐹= 3 × 𝑖𝑖𝐹𝐹𝐹𝐹

1 = −𝐽𝐽5.5638 pu. Como la 𝑉𝑉𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏1 = 13.8

kV y la 𝑆𝑆𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏1 = 30 MVA entonces la tensión base en el nodo 7 es: 13.2kV 138kV = 13.8kV 𝑉𝑉𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏7 Dado lo anterior, Modelizado y análisis de cortocircuito en sistemas eléctrico

𝑉𝑉𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏7 = 144.27kV 𝑉𝑉7 = 138kV 144.27kV = 0.95654pu Como la 𝑆𝑆𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏7 = √ 3𝑉𝑉𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏7 × 𝑖𝑖𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏7 entonces:

𝑖𝑖𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏7 =

30MVA

√

3 × 144.27kV

= 120.06A Por lo anterior, la corriente de falla en la fase 𝑎𝑎es 𝑖𝑖𝐹𝐹𝐹𝐹= 667.97A. Segundo caso: falla sólida línea-línea-línea-tierra en el nodo 7 Se mantienen las mismas condiciones del caso anterior. Por lo tanto, la corriente de falla trifásica es:

𝑖𝑖1 𝐹𝐹𝐹𝐹= 𝑉𝑉7 𝑍𝑍1

77

=

1

𝐽𝐽0.1447 = −𝐽𝐽6.911pu Pasando esta corriente a unidades físicas, se tiene que 𝑖𝑖𝐹𝐹𝐹𝐹= 829.72A. La potencia de cortocircuito en componentes a b c es: 𝑆𝑆𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏= √

3 × 138 × 103 × 829.72 = 198.32MVA

Expresando esta potencia en componentes 0 1 2, se tiene que: 𝑆𝑆012 3𝜙𝜙−𝑐𝑐𝑐𝑐pu = 0.95654 × 6.911 = 6.61064pu Pasando esta potencia a unidades físicas, se tiene que 𝑆𝑆3𝜙𝜙−𝑐𝑐𝑐𝑐= 198.32 MVA. Para este caso, se desea conocer el aporte de los generadores en los nodos 1, 4 y 6 al fallo trifásico del nodo 7.

Es preciso recordar que la distancia eléctrica es conocida con base en las impedancias de transferencia de la matriz 𝑍𝑍𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏. De esta forma, para identificar la impedancia eléctrica de los generadores al punto de falla, se identifican, en la matriz 𝑍𝑍𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏, las impedancias entre el nodo

211

Ramón Alfonso Gallego Rendón, Juan José Mora Flórez, Ricardo Alberto Hincapié Isaza

bajo falla y los nodos donde se conectan los generadores 𝑍𝑍17, 𝑍𝑍47 y 𝑍𝑍67. Para este ejemplo, se tiene que 𝑍𝑍17 = 0.0682 pu, 𝑍𝑍47 = 0.0768 pu y 𝑍𝑍67 = 0.0590 pu. Se puede observar que el orden de cercanía eléctrica al punto de falla es 4, 1 y 6.

Para verificar este resultado se calculan las tensiones en dichos nodos al momento de la falla. Por lo anterior, 𝑉𝑉𝐽𝐽= 𝑉𝑉𝑜𝑜 𝐽𝐽−𝑍𝑍𝐽𝐽𝐽𝐽× 𝑖𝑖𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 Así, 𝐽𝐽=1,4,6 y 𝐾𝐾=7. Aplicando la expresión anterior y sabiendo que 𝑖𝑖𝑐𝑐𝑐𝑐3𝜙𝜙= −𝐽𝐽6.911 pu entonces:

𝑉𝑉1 = 1 −𝑍𝑍17 × 𝑖𝑖𝑐𝑐𝑐𝑐3𝜙𝜙= 1 −(𝐽𝐽0.0682) × (−𝐽𝐽6.911) = 1 −0.4713 = 0.5287 𝑉𝑉4 = 1 −𝑍𝑍47 × 𝑖𝑖𝑐𝑐𝑐𝑐3𝜙𝜙= 1 −(𝐽𝐽0.0768) × (−𝐽𝐽6.911) = 1 −0.5308 = 0.4692 𝑉𝑉6 = 1 −𝑍𝑍67 × 𝑖𝑖𝑐𝑐𝑐𝑐3𝜙𝜙= 1 −(𝐽𝐽0.0590) × (−𝐽𝐽6.911) = 1 −0.4077 = 0.5923 Como la máquina más afectada es aquella con mayor impacto en la tensión entonces el orden de afectación corresponde a las máquinas en los nodos 4, 1 y 6, respectivamente. El aporte de los generadores a la falla, además de depender de la tensión nodal, también depende de las características propias de la máquina representada por su reactancia subtransitoria. De este modo, 𝐼𝐼𝐺𝐺1 = 1 −0.5287 𝐽𝐽0.15 = −𝐽𝐽3.142 𝐼𝐼𝑀𝑀4 = 1 −0.4692 𝐽𝐽0.36 = −𝐽𝐽1.474 𝐼𝐼𝐺𝐺6 = 1 −0.5923 𝐽𝐽0.178 = −𝐽𝐽2.2904 Tercer caso: falla sólida línea-línea en el nodo 7 Para una falla sólida línea-línea:

𝑖𝑖1 𝐹𝐹𝐹𝐹= −𝑖𝑖2 𝐹𝐹𝐹𝐹=

1

𝑍𝑍1

77 + 𝑍𝑍2

77

Modelizado y análisis de cortocircuito en sistemas eléctrico

Así, 𝑖𝑖1 𝐹𝐹𝐹𝐹=

1

𝐽𝐽0.1447 + 𝐽𝐽0.1681 =

1

𝐽𝐽0.3128 = −𝐽𝐽3.1969 Cuarto caso: caso especial En este caso se da respuesta a la siguiente pregunta: ¿Bajo qué consideraciones la corriente de falla línea-tierra es igual a la trifásica? Inicialmente, como 𝐼𝐼𝑎𝑎= 3𝐼𝐼1 𝑎𝑎entonces:

𝐼𝐼1 a L-T =

1

𝑍𝑍1 𝑘𝑘𝑘𝑘+ 𝑍𝑍2 𝑘𝑘𝑘𝑘+ 𝑍𝑍0 𝑘𝑘𝑘𝑘 Si se supone que 𝑍𝑍1 𝑘𝑘𝑘𝑘= 𝑍𝑍2 𝑘𝑘𝑘𝑘= 𝑍𝑍0 𝑘𝑘𝑘𝑘entonces:

𝐼𝐼1 a L-T =

1

3𝑍𝑍1 𝑘𝑘𝑘𝑘 Por lo tanto, 𝐼𝐼a L-T = 3 × 𝐼𝐼1 a L-T =

3

3 × 𝑍𝑍1

𝑘𝑘𝑘𝑘 =

1

𝑍𝑍1 𝑘𝑘𝑘𝑘 𝐼𝐼fallo 3𝜙𝜙=

1

𝑍𝑍1 𝑘𝑘𝑘𝑘 La ionización del medio es proporcionada por el calentamiento del aire al paso de la corriente eléctrica. Esta posibilita la aparición del arco eléctrico. El arco es del tipo resistivo y su valor puede ser incorporado en los diferentes modelos de los estados de la corriente de cortocircuito. La resistencia del arco es calculada de acuerdo a Warrington, como se ilustra a continuación: 𝑅𝑅𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎= 28707 ∗𝐿𝐿 𝐼𝐼1.4 [Ω]

(6.66)

Donde 𝐿𝐿es la longitud del arco e 𝐼𝐼la corriente eléctrica, cuyos valores son menores o iguales a 1000 A.

6.4. Resistencia del arco eléctrico

213

Ramón Alfonso Gallego Rendón, Juan José Mora Flórez, Ricardo Alberto Hincapié Isaza

Muchos sistemas operan aislados de tierra o a través de una alta impedancia. A pesar de las ventajas que esto trae, se destaca una desventaja que consistente en la insensibilidad a la falla línea-tierra, ya que en este tipo de falla no es posible la actuación del sistema de protección. Con el fin de tener la ventaja del sistema aislado y al mismo tiempo tener un sistema con alta sensibilidad al fallo línea-tierra, se hace uso del transformador de aterrizaje [12]. Este transformador opera en vacío y tiene las siguientes características:

Impedancia infinita en operación normal.

Baja impedancia en fallos relacionados con tierra, la cual es una característica propia de los sistemas aterrizados.

Para desempeñar esta función existe dos tipos de transformadores: el primero es denominado transformador de aterrizaje 𝑌𝑌𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎−∆y el segundo es denominado transformador de aterrizaje en Zig-Zag.𝑌𝑌𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 La conexión de este transformador se muestra en la Figura nro. 6.33: 𝑖𝑖0𝐴𝐴 3𝑖𝑖𝑎𝑎0 𝑖𝑖𝑐𝑐0 𝑖𝑖𝑎𝑎0 𝑖𝑖𝑏𝑏0 Red de energía eléctrica ▴ ■ ■ ▴ Figura nro. 6.33. Representación del transformador de aterrizaje 𝑌𝑌𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎−∆. Tomado de [12].

Este transformador opera en vacío, por lo que solo circula la corriente de excitación la cual es de muy bajo valor. De acuerdo a esto, en operación normal, las impedancias de secuencia positiva y negativa presentan un valor muy alto.

Al ocurrir un fallo línea-tierra en la red se genera una corriente de secuencia cero que retorna por tierra y sube por la conexión a tierra de la estrella y con reflejo en la delta del transformador.

6.5. Transformadores de aterrizaje

6.5.1. Transformador de aterrizaje 𝑌𝑎𝑡𝑒𝑟𝑟𝑖𝑧𝑎𝑑𝑜 − Δ

Modelizado y análisis de cortocircuito en sistemas eléctrico

Por lo tanto, en el momento de la falla el sistema, es aterrizado a través de la impedancia de secuencia cero del transformador.

Los modelos de impedancia de secuencia del transformador son los mismos estudiados anteriormente y se representan en la Figura nro. 6.34.

𝑋𝑋1 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿∆ 𝑋𝑋2 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿∆ 𝑋𝑋0 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿∆ Secuencia positiva Secuencia negativa Secuencia cero Figura nro. 6.34. Impedancia de secuencia del transformador 𝑌𝑌𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎−∆. Elaboración propia.

Como el transformador opera en vacío, solo se requiere el modelo de secuencia cero. Su representación se muestra en la Figura nro. 6.35:

𝑋𝑋0 𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁= 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 Figura nro. 6.35. Secuencia cero del transformador 𝑌𝑌𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎−∆. Elaboración propia.

Se trata de un transformador común con relación de transformación 1 ∶1. Este transformador es conectado como autotransformador y las bobinas entre primario y secundario son conectadas a fases distintas y comparten el flujo magnético 𝛷𝛷0. Cuando el autotransformador es conectado en zigzag, las componentes de secuencia positiva y negativa son bloqueadas. La representación gráfica de un transformador de aterrizaje Zig-Zag se muestra en la Figura nro. 6.36:

6.5.2. Transformador de aterrizaje Zig-Zag

215

Ramón Alfonso Gallego Rendón, Juan José Mora Flórez, Ricardo Alberto Hincapié Isaza

𝐼𝐼𝑎𝑎0 𝐼𝐼𝑏𝑏0 𝐼𝐼𝑐𝑐0 3𝐼𝐼𝑎𝑎0 𝐼𝐼𝐴𝐴0 𝐼𝐼𝐵𝐵0 𝐼𝐼𝐶𝐶0 Red de energía eléctrica 𝛷𝛷0 𝛷𝛷0 𝛷𝛷0 𝛷𝛷0 𝛷𝛷0 𝛷𝛷0 ■ ■ ▴ ▴ Figura nro. 6.36. Transformador de aterrizaje Zig-Zag.

Tomado de [12].

Al producirse la falla línea-tierra, las corrientes de secuencia cero que están en fase suben a través del punto aterrizado. En las bobinas conectadas a cada pierna se producen contraflujos magnéticos que resultan ser idénticos. Así, en cada pierna del transformador los flujos se anulan dando paso a la corriente de secuencia cero a través de la bobinas. De esta forma, el transformador aterriza el sistema a través de una impedancia de secuencia cero y de bajo valor. El circuito equivalente es el mismo obtenido para el transformador 𝑌𝑌𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎−∆. El valor de la impedancia de secuencia cero del transformador Zig-Zag es pequeña y estimada en aproximadamente 0.1𝑍𝑍1 por lo que es adecuada en redes eléctricas fuertemente aisladas. El transformador Zig-Zag se representa como se ilustra en la Figura nro. 6.37. Modelizado y análisis de cortocircuito en sistemas eléctrico

𝑖𝑖𝑎𝑎0 𝑖𝑖𝑏𝑏0 𝑖𝑖𝑐𝑐0 3𝑖𝑖𝑎𝑎0 c b a ▴ ▴ ■ ■ Figura nro. 6.37. Representación del transformador Zig-Zag.

Tomado de [12].

De la Figura nro. 6.37 se observa que gráficamente las bobinas están en paralelo cuando están localizadas en la misma pierna.

Para el caso de la falla línea-tierra, en el tramo generador-transformador no se presenta corriente de cortocircuito, ya que se trata de un sistema aislado de tierra en dicho tramo. Esto se ilustra en la Figura nro. 6.38.

Generador Transformador ∆−𝑌𝑌𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 K Y Figura nro. 6.38. Sistema generador-transformador.

Elaboración propia.

El modelo de la falla línea-tierra en el nodo 𝐾𝐾se presenta en la Figura nro. 6.39.

217

Ramón Alfonso Gallego Rendón, Juan José Mora Flórez, Ricardo Alberto Hincapié Isaza

𝑍𝑍1 𝑘𝑘𝑘𝑘𝐼𝐼1 𝑓𝑓𝑓𝑓 + −𝑉𝑉1 𝑍𝑍2 𝑘𝑘𝑘𝑘𝐼𝐼2 𝑓𝑓𝑓𝑓 𝑖𝑖0 𝑓𝑓𝑓𝑓 3𝑍𝑍𝑓𝑓 𝑖𝑖1 𝑓𝑓𝑓𝑓=0 Figura nro. 6.39. Modelo de falla línea-tierra en el nodo 𝐾𝐾.

Elaboración propia.

Para dar solución al problema anterior se conecta en el tramo generador-transformador un transformador de aterrizaje con conexión 𝑌𝑌𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎−∆operando en vacío, como se muestra en la Figura nro. 6.40.

Generador Transformador ∆−𝑌𝑌𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 K Y 𝑌𝑌𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎−∆ Figura nro. 6.40. Sistema generador-transformador con aterrizaje.

Elaboración propia.

El modelo de la falla línea-tierra en el nodo 𝐾𝐾en el cual se ha instalado un transformador de aterrizaje, se presenta en la Figura nro. 6.41.

𝑍𝑍1 𝑘𝑘𝑘𝑘𝐼𝐼1 𝑓𝑓𝑓𝑓 + −𝑉𝑉1 𝑍𝑍2 𝑘𝑘𝑘𝑘𝐼𝐼2 𝑓𝑓𝑓𝑓 𝑍𝑍0 𝑘𝑘𝑘𝑘𝑖𝑖0 𝑓𝑓𝑓𝑓 3𝑍𝑍𝑓𝑓 𝑖𝑖1 𝑓𝑓𝑓𝑓𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖0 Figura nro. 6.41. Sistema generador-transformador con transformador de aterrizaje en el nodo 𝐾𝐾. Elaboración propia.

En estos casos es importante proteger el generador limitando las corrientes de cortocircuito a valores bajos. Esto se obtiene conectando una impedancia de aterrizaje al generador. Esta Modelizado y análisis de cortocircuito en sistemas eléctrico

impedancia debe tener un valor adecuado con el fin de proteger al generador para corrientes altas y, a la red, de la presencia de sobretensiones. Los tipos de aterrizaje pueden ser: sólido a tierra, con resistencia, con inductancia, con capacitancia y aterrizaje resonante. Algunos aspectos que pueden ser considerados para el aterrizaje son: El sistema se considera aterrizado si 𝑋𝑋0 ≤3𝑋𝑋1 y 𝑅𝑅0 < 𝑅𝑅1, de tal manera que la tensión fase-tierra no sobrepase el 38.5 % de la tensión nominal durante la falla línea-tierra. El sistema se considera aislado si 𝑋𝑋0 > 3𝑋𝑋1 y 𝑅𝑅0 ≥𝑅𝑅1 de tal manera que la tensión fase-tierra sobrepasa el 38.5 % de la tensión nominal durante la falla línea-tierra.

219

Ramón Alfonso Gallego Rendón, Juan José Mora Flórez, Ricardo Alberto Hincapié Isaza

Cuando se abre una fase de un circuito trifásico y balanceado, se crea un desbalance y fluyen corrientes asimétricas, presentando el sistema una situación anormal de operación [8]. El origen de esta situación puede ser debido a una inadecuada conexión de uno o más interruptores del sistema o por el rompimiento de una o dos de las fases sin que exista contacto entre estas y cualquier otra superficie. Esta última situación se ilustra en las figuras 7.1 y 7.2, donde se observan los fallos debido a uno y dos conductores abiertos, respectivamente [19]. m n p p Ia Ib Ic A B C Figura nro. 7.1. Representación de un fallo debido a un conductor abierto. Elaboración propia.

Fallas debido a conductores abiertos

221

Ramón Alfonso Gallego Rendón, Juan José Mora Flórez, Ricardo Alberto Hincapié Isaza

Ic C A B Ia m n p p Ib p p Figura nro. 7.2. Representación de un fallo debido a dos conductores abiertos. Elaboración propia.

En las figuras 7.1 y 7.2 se ilustra una sección de un circuito trifásico en el que las corrientes de línea en las fases respectivas son 𝐼𝐼𝑎𝑎, 𝐼𝐼𝑏𝑏e 𝐼𝐼𝑐𝑐con las direcciones positivas desde la barra 𝑚𝑚a la 𝑛𝑛. En la Figura nro. 7.1, la fase a está abierta entre los puntos p y p ′ mientras que, en la Figura nro. 7.2, las fases b y c están abiertas entre los mismos dos puntos. El procedimiento para simular la apertura de una o dos de las fases es como sigue. Para efectuar este análisis es necesario determinar las condiciones de falla de conductor abierto; para lograrlo, se abren primero las tres fases entre los puntos p y p ′ y se aplican cortocircuitos en las fases que se muestran cerradas en las figuras 7.1 y 7.2. El desarrollo que se presenta a continuaciónón, sigue este razonamiento.

Es lo mismo abrir las tres fases que quitar la línea m-n, para después adicionar las impedancias de las barras m y n en los puntos p y p ′, lo cual será llevado a cabo en impedancias de secuencia 0 1 2. Si la línea m-n tiene las impedancias de secuencia 𝑍𝑍0, 𝑍𝑍1 y 𝑍𝑍2, se puede simular la apertura de las tres fases al adicionar, entre las barras m-n, las impedancias negativas −𝑍𝑍0, −𝑍𝑍1 y −𝑍𝑍2 en los equivalentes de Thévenin, correspondientes a las tres redes de secuencia del sistema original. Para ejemplificar esto, se considera la Figura nro. 7.3. En esta figura se muestra la conexión de −𝑍𝑍1 al equivalente de Thévenin de secuencia positiva entre las barras m-n. Las impedancias mostradas son los elementos 𝑍𝑍(1) 𝑚𝑚𝑚𝑚, 𝑍𝑍(1) 𝑛𝑛𝑛𝑛y 𝑍𝑍(1) 𝑚𝑚𝑚𝑚= 𝑍𝑍(1) 𝑛𝑛𝑛𝑛de la matriz de impedancias de barra de secuencia positiva 𝑍𝑍(1) 𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏del sistema original. Allí, 𝑍𝑍𝑡𝑡𝑡−𝑚𝑚𝑚𝑚es la impedancia de Thévenin, vista entre los nodos m-n.

Modelizado y análisis de cortocircuito en sistemas eléctrico

A continuación, se ilustra cómo obtener el equivalente de Thévenin de un sistema [32]. Dado que:

𝑉𝑉1 ⋮ 𝑉𝑉𝑚𝑚 ⋮ 𝑉𝑉𝑛𝑛 ⋮ 𝑉𝑉𝑘𝑘 = 𝑍𝑍11 ⋯ 𝑍𝑍1𝑚𝑚 ⋯ 𝑍𝑍1𝑛𝑛 ⋯ 𝑍𝑍1𝑘𝑘 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 𝑍𝑍𝑚𝑚1 ⋯ 𝑍𝑍𝑚𝑚𝑚𝑚 ⋯ 𝑍𝑍𝑚𝑚𝑚𝑚 ⋯ 𝑍𝑍𝑚𝑚𝑚𝑚 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 𝑍𝑍𝑛𝑛1 ⋯ 𝑍𝑍𝑛𝑛𝑛𝑛 ⋯ 𝑍𝑍𝑛𝑛𝑛𝑛 ⋯ 𝑍𝑍𝑛𝑛𝑛𝑛 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 𝑍𝑍𝑘𝑘1 ⋯ 𝑍𝑍𝑘𝑘𝑘𝑘 ⋯ 𝑍𝑍𝑘𝑘𝑘𝑘 ⋯ 𝑍𝑍𝑘𝑘𝑘𝑘 ∗

0

⋮

1

⋮ −1 ⋮

0

(7.1)

Entonces, 𝑉𝑉𝑚𝑚= 𝑍𝑍𝑚𝑚𝑚𝑚−𝑍𝑍𝑚𝑚𝑚𝑚

(7.2)

𝑉𝑉𝑛𝑛= 𝑍𝑍𝑛𝑛𝑛𝑛−𝑍𝑍𝑛𝑛𝑛𝑛

(7.3)

Por lo tanto, 𝑍𝑍𝑡𝑡𝑡−𝑚𝑚𝑚𝑚= 𝑉𝑉𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑖𝑖𝑚𝑚 = 𝑉𝑉𝑚𝑚−𝑉𝑉𝑛𝑛

1

= (𝑍𝑍𝑚𝑚𝑚𝑚−𝑍𝑍𝑚𝑚𝑚𝑚) −(𝑍𝑍𝑛𝑛𝑛𝑛−𝑍𝑍𝑛𝑛𝑛𝑛)

(7.4)

Como 𝑍𝑍𝑡𝑡𝑡es una matriz simétrica, se tiene que 𝑍𝑍𝑚𝑚𝑚𝑚= 𝑍𝑍𝑛𝑛𝑛𝑛. Por ende: n m 1𝑝𝑝𝑝𝑝 Sistema eléctrico n m 1𝑝𝑝𝑝𝑝 𝑍𝑍𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 Figura nro. 7.3. Equivalente de Thévenin entre los nodos m-n. Elaboración propia.

7.1. Equivalente de Thévenin

223

Ramón Alfonso Gallego Rendón, Juan José Mora Flórez, Ricardo Alberto Hincapié Isaza

Las tensiones 𝑉𝑉𝑚𝑚y 𝑉𝑉𝑛𝑛son los valores de secuencia positiva de la fase a en las barras m y n, antes de que ocurra la falla del conductor abierto y después de retirada la línea m-n. Para representar las fracciones de la línea rota m-n se adicionan las impedancias de secuencia positiva 𝑘𝑘𝑘𝑘1 y (1−𝑘𝑘)𝑍𝑍1 (con 0 ≤𝑘𝑘≤1), desde la barra m al punto p y desde la barra n al punto p ′, respectivamente.

La tensión 𝑉𝑉(1) 𝑎𝑎 es la componente de secuencia positiva de la fase a de las caídas de tensión 𝑉𝑉𝑝𝑝𝑝𝑝′,𝑎𝑎, 𝑉𝑉𝑝𝑝𝑝𝑝′,𝑏𝑏y 𝑉𝑉𝑝𝑝𝑝𝑝′,𝑐𝑐desde p hasta p ′ en los conductores de fase. La caída de tensión de secuencia positiva 𝑉𝑉(1) 𝑎𝑎y las correspondientes componentes de secuencia negativa y cero (𝑉𝑉(2) 𝑎𝑎y 𝑉𝑉(0) 𝑎𝑎) toman valores diferentes que dependen de cuál de las fallas de conductor abierto se está considerando. Entre los nodos m y n se calcula la impedancia de Thévenin 𝑍𝑍𝑡𝑡𝑡−𝑚𝑚𝑚𝑚antes de la ocurrencia de la falla. Con el fin de simular la eliminación de la línea m-n, se conecta entre los nodos m-n una impedancia del mismo valor de la línea con signo negativo. Posteriormente, se simula el rompimiento de la línea colocando la impedancia 𝐾𝐾𝐾𝐾1 entre el nodo p y m, y (1 −𝑘𝑘)𝑍𝑍1 entre los nodos p’ y n, como se observa en la Figura nro. 7.4. Entre los nodos p y p’ se conoce el valor de la caída de tensión de secuencia positiva, denotado como 𝑉𝑉1 𝑎𝑎[19].

Znm=Zmn

1

1

Zmm-Zmn

1

1

Znn-Znm

1

1

Zthmn

1

Zpp

1

-Z1 kZ1 (1-k)Z1 p p m n Vm Vn

-

+

-

+ Figura nro. 7.4. Representación de la falla debido a la apertura de fases. Tomado de [19].

De la Figura nro. 7.4 se puede llegar al equivalente de la Figura nro. 7.5 al reemplazar la caída de tensión 𝑉𝑉(1) 𝑎𝑎en serie con la impedancia [𝑘𝑘𝑘𝑘1 + (1 −𝑘𝑘)𝑍𝑍1], por la corriente 𝑉𝑉(1) 𝑎𝑎∕𝑍𝑍1 en paralelo con la impedancia 𝑍𝑍1. En esta última figura se anula el paralelo de −𝑍𝑍1 y 𝑍𝑍1. 𝑍𝑍𝑡𝑡𝑡−𝑚𝑚𝑚𝑚= 𝑍𝑍𝑚𝑚𝑚𝑚+ 𝑍𝑍𝑛𝑛𝑛𝑛−2𝑍𝑍𝑚𝑚𝑚𝑚

(7.5)

7.2. Modelizado de las redes de secuencia

7.2.1. Red de secuencia positiva

Modelizado y análisis de cortocircuito en sistemas eléctrico

Znm=Zmn

1

1

Znn-Znm

1

1

Zthmn

1

Zmm-Zmn

1

1

-Z1 m n Vm Vn

-

+

-

+ Z1 Z1 Va

1

Figura nro. 7.5. Representación de la falla debido a la apertura de fases (red de secuencia positiva). Tomado de [19].

En la Figura nro. 7.4 los valores de 𝑍𝑍𝑚𝑚𝑚𝑚, 𝑍𝑍𝑛𝑛𝑛𝑛, 𝑍𝑍𝑚𝑚𝑚𝑚y 𝑍𝑍𝑛𝑛𝑛𝑛son obtenidos de la matriz 𝑍𝑍𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏. Las tensiones 𝑉𝑉𝑚𝑚y 𝑉𝑉𝑛𝑛son los de operación balanceada de la fase a en las barras m y n, antes de que ocurra la falla de conductor abierto. La representación simplificada de la falla se puede observar en la Figura nro. 7.6.

Znm=Zmn

1

1

Znn-Znm

1

1

Zthmn

1

Zmm-Zmn

1

1

m n Vm Vn

-

+

-

+ Z1 Va

1

Figura nro. 7.6. Representación simplificada de la falla.

Tomado de [19].

Las consideraciones anteriores para la red de secuencia positiva se aplican directamente a las redes de secuencia negativa y cero, pero se debe recordar que estas últimas no contienen fuentes internas propias, ya que el sistema antes de la falla opera en condición balanceada y, por lo tanto, no existen tensiones de secuencia diferentes a la positiva.

Al dibujar los circuitos equivalentes de secuencia negativa y cero, se sobreentiende que el origen de las corrientes 𝑉𝑉(2) 𝑎𝑎∕𝑍𝑍2 y 𝑉𝑉(0) 𝑎𝑎∕𝑍𝑍0 (al igual que la corriente 𝑉𝑉(1) 𝑎𝑎∕𝑍𝑍1)) es la falla de

7.2.2. Red de secuencia negativa y cero

225

Ramón Alfonso Gallego Rendón, Juan José Mora Flórez, Ricardo Alberto Hincapié Isaza

conductor abierto en el sistema entre los puntos p y p’. Las tensiones 𝑉𝑉(1) 𝑎𝑎, 𝑉𝑉(2) 𝑎𝑎y 𝑉𝑉(0) 𝑎𝑎son cero y las fuentes de corriente desaparecen si no hay un conductor abierto. De las figuras 7.7 y 7.8 se observa que cada una de las corrientes de secuencia 𝑉𝑉(0) 𝑎𝑎∕𝑍𝑍0, 𝑉𝑉(1) 𝑎𝑎∕𝑍𝑍1 y 𝑉𝑉(2) 𝑎𝑎∕𝑍𝑍2 se pueden considerar como un par de inyecciones de corriente en las barras m y n de la red de secuencia. Znm=Zmn

2

2

Zthmn

2

Zmm-Zmn

2

2

Znn-Znm

2

2

Zpp

2

p p m n -Z2 kZ2 (1-k)Z2 Figura nro. 7.7. Red de secuencia negativa.

Tomado de [19].

Del sistema original se pueden usar las matrices de impedancias de barra 𝑍𝑍0 𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏, 𝑍𝑍1 𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏y 𝑍𝑍2 𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏de la configuración normal del sistema para determinar los cambios de tensión debido a la falla de conductor abierto.

Znm=Zmn

2

2

Zmm-Zmn

2

2

Zthmn

2

Znn-Znm

2

2

m n Z1 Va

2

Figura nro. 7.8. Red simplificada de secuencia negativa. Tomado de [19].

En primer lugar, se deben encontrar las expresiones para las componentes simétricas 𝑉𝑉0 𝑎𝑎, 𝑉𝑉1 𝑎𝑎y 𝑉𝑉2 𝑎𝑎de las caídas de tensión a través de los puntos de falla p y p’. Estas tensiones originan conjuntos de inyecciones de corriente en las redes de secuencia de la configuración normal, como se observa en las configuraciones anteriores. Por lo tanto, Modelizado y análisis de cortocircuito en sistemas eléctrico

𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆 𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆 𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 En la barra (m) 𝑉𝑉1 𝑎𝑎∕𝑍𝑍1 𝑉𝑉2 𝑎𝑎∕𝑍𝑍2 𝑉𝑉0 𝑎𝑎∕𝑍𝑍0 En la barra (n) −𝑉𝑉1 𝑎𝑎∕𝑍𝑍1 −𝑉𝑉2 𝑎𝑎∕𝑍𝑍2 −𝑉𝑉0 𝑎𝑎∕𝑍𝑍0 Al multiplicar las matrices de impedancia de barra por los vectores de corriente, se obtienen los cambios en las componentes simétricas de la tensión de la fase a de cada barra i, como se ilustra a continuación:

Secuencia cero:∆𝑉𝑉0 𝑖𝑖= 𝑍𝑍0 𝑖𝑖𝑖𝑖−𝑍𝑍0 𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑍𝑍0 𝑉𝑉0 𝑎𝑎 Secuencia positiva:∆𝑉𝑉1 𝑖𝑖= 𝑍𝑍1 𝑖𝑖𝑖𝑖−𝑍𝑍1 𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑍𝑍1 𝑉𝑉1 𝑎𝑎 Secuencia negativa:∆𝑉𝑉2 𝑖𝑖= 𝑍𝑍2 𝑖𝑖𝑖𝑖−𝑍𝑍2 𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑍𝑍2 𝑉𝑉2 𝑎𝑎 ⎫ ⎪ ⎬ ⎪ ⎭ 𝑖𝑖= 1, 2, ..., 𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖 Antes de desarrollar las ecuaciones para la tensión en cada tipo de falla de conductor abierto, se desarrollan las expresiones para las impedancias equivalentes de Thévenin de las redes de secuencia, vistas desde los puntos de falla p y p’:

𝑍𝑍1 𝑝𝑝𝑝𝑝′ = 𝐾𝐾𝐾𝐾1 + 𝑍𝑍1 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡(−𝑍𝑍1) 𝑍𝑍1 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡−𝑍𝑍1 + (1 −𝐾𝐾)𝑍𝑍1 = −𝑍𝑍2

1

𝑍𝑍1 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡−𝑍𝑍1

(7.6)

La tensión de circuito abierto desde p hasta p’ se obtiene por la división de tensiones, como sigue:

𝑉𝑉𝑝𝑝𝑝𝑝′ = −𝑍𝑍1 𝑍𝑍1 𝑡𝑡𝑡−𝑍𝑍1 (𝑉𝑉𝑚𝑚−𝑉𝑉𝑛𝑛)

(7.7)

𝑉𝑉𝑝𝑝𝑝𝑝′ = 𝑍𝑍1 𝑝𝑝𝑝𝑝′ 𝑍𝑍1 (𝑉𝑉𝑚𝑚−𝑉𝑉𝑛𝑛)

(7.8)

Antes de que se abra cualquiera de los conductores, la corriente 𝐼𝐼𝑚𝑚𝑚𝑚en la fase a de la línea m-n es de secuencia positiva y está dada por:

𝐼𝐼𝑚𝑚𝑚𝑚= 𝑉𝑉𝑚𝑚−𝑉𝑉𝑛𝑛 𝑍𝑍1

(7.9)

227

Ramón Alfonso Gallego Rendón, Juan José Mora Flórez, Ricardo Alberto Hincapié Isaza

Al sustituir 𝐼𝐼𝑚𝑚𝑚𝑚en la ecuación anterior, se obtiene: 𝑉𝑉𝑝𝑝𝑝𝑝′ = 𝑍𝑍1 𝑝𝑝𝑝𝑝′ 𝑍𝑍1 (𝑉𝑉𝑚𝑚−𝑉𝑉𝑛𝑛) = 𝑍𝑍1 𝑝𝑝𝑝𝑝′𝐼𝐼𝑚𝑚𝑚𝑚

(7.10)

Análogamente, el equivalente de secuencia negativa y cero es: 𝑍𝑍2 𝑝𝑝𝑝𝑝′ = −𝑍𝑍2

2

𝑍𝑍2 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡−𝑍𝑍2

(7.11)

𝑍𝑍0 𝑝𝑝𝑝𝑝′ = −𝑍𝑍2

0

𝑍𝑍0 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡−𝑍𝑍0

(7.12)

Los modelos equivalentes para las tres redes de secuencia (positiva, negativa y cero) se ilustran en la Figura nro. 7.9.

+

-

Zpp Ia p Va ImnZpp

1

1

Zpp Ia p Va

0

0

0

Zpp Ia p Va

2

2

2

1

Figura nro. 7.9. Modelo equivalente para las tres redes de secuencia. Elaboración propia.

Modelizado y análisis de cortocircuito en sistemas eléctrico

Considerar que se abre la fase a, conlleva a tener presente que 𝑖𝑖𝑎𝑎= 0. Expresando esta corriente en componentes simétricas, se tiene que 𝑖𝑖0 𝑎𝑎+ 𝑖𝑖1 𝑎𝑎+ 𝑖𝑖2 𝑎𝑎= 0. Las corrientes descritas anteriormente son las componentes simétricas de la corriente de línea 𝑖𝑖𝑎𝑎desde p hasta p’. Como las fases b y c están cerradas, entonces 𝑉𝑉𝑝𝑝𝑝𝑝′𝑏𝑏= 0 y 𝑉𝑉𝑝𝑝𝑝𝑝′𝑐𝑐= 0 [19]. Al descomponer las caídas de tensión serie a través del punto de falla en sus componentes simétricas, se obtiene:

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ 𝑉𝑉0 𝑎𝑎 𝑉𝑉1 𝑎𝑎 𝑉𝑉2 𝑎𝑎 ⎤ ⎥ ⎥ ⎦ = 1

3

⎡ ⎢ ⎢ ⎣

1

1

1

1

𝑎𝑎 𝑎𝑎2

1

𝑎𝑎2 𝑎𝑎 ⎤ ⎥ ⎥ ⎦ ⎡ ⎢ ⎢ ⎣ 𝑉𝑉𝑝𝑝𝑝𝑝′

0

0

⎤ ⎥ ⎥ ⎦ = 1

3

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ 𝑉𝑉𝑝𝑝𝑝𝑝′, 𝑎𝑎 𝑉𝑉𝑝𝑝𝑝𝑝′, 𝑎𝑎 𝑉𝑉𝑝𝑝𝑝𝑝′, 𝑎𝑎 ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

(7.13)

Esto es:

𝑉𝑉0 𝑎𝑎= 𝑉𝑉1 𝑎𝑎= 𝑉𝑉2 𝑎𝑎= 𝑉𝑉𝑝𝑝𝑝𝑝′, 𝑎𝑎

3

(7.14)

De lo anterior, se observa que satisface las siguientes ecuaciones: 𝐼𝐼0 𝑎𝑎+ 𝐼𝐼1 𝑎𝑎+ 𝐼𝐼2 𝑎𝑎= 0

(7.15)

𝑉𝑉0 𝑎𝑎= 𝑉𝑉1 𝑎𝑎= 𝑉𝑉2 𝑎𝑎

(7.16)

Si se conectan en paralelo los equivalentes de Thévenin de las redes de secuencia en los puntos p y p’, se obtiene la representación de la Figura nro. 7.10.

7.3. Modelizado para uno o dos conductores abiertos

7.3.1. Un conductor abierto

229

Ramón Alfonso Gallego Rendón, Juan José Mora Flórez, Ricardo Alberto Hincapié Isaza

+ − 𝐼𝐼𝑚𝑚𝑚𝑚× 𝑍𝑍1 𝑝𝑝𝑝𝑝′ 𝑍𝑍1 𝑝𝑝𝑝𝑝′ 𝑖𝑖1 𝐹𝐹𝐹𝐹 p p p + − 𝑉𝑉1 𝑎𝑎 𝑍𝑍2 𝑝𝑝𝑝𝑝′ 𝑖𝑖2 𝐹𝐹𝐹𝐹 + − 𝑉𝑉2 𝑎𝑎𝑍𝑍0 𝑝𝑝𝑝𝑝′ 𝑖𝑖0 𝐹𝐹𝐹𝐹 + − 𝑉𝑉0 𝑎𝑎 p’ p’ p’ k k k Figura nro. 7.10. Modelo equivalente con un conductor abierto. Elaboración propia.

Al solucionar el circuito de la Figura nro. 7.10, se obtienen las tensiones 𝑉𝑉0 𝑎𝑎, 𝑉𝑉1 𝑎𝑎y 𝑉𝑉2 𝑎𝑎, como se ilsutra a continuación:

𝑉𝑉0 𝑎𝑎= 𝑉𝑉1 𝑎𝑎= 𝑉𝑉2 𝑎𝑎= (𝐼𝐼𝑚𝑚𝑚𝑚) 𝑍𝑍0 𝑝𝑝𝑝𝑝′𝑍𝑍1 𝑝𝑝𝑝𝑝′𝑍𝑍2 𝑝𝑝𝑝𝑝′ 𝑍𝑍0 𝑝𝑝𝑝𝑝′𝑍𝑍1 𝑝𝑝𝑝𝑝′ + 𝑍𝑍1 𝑝𝑝𝑝𝑝′𝑍𝑍2 𝑝𝑝𝑝𝑝′ + 𝑍𝑍2 𝑝𝑝𝑝𝑝′𝑍𝑍0 𝑝𝑝𝑝𝑝′

(7.17)

Por lo tanto, las corrientes que circulan en las redes de secuencia son: 𝑖𝑖0 𝑎𝑎= 𝑉𝑉0 𝑎𝑎∕𝑍𝑍0

(7.18)

𝑖𝑖1 𝑎𝑎= 𝑉𝑉1 𝑎𝑎∕𝑍𝑍1

(7.19)

𝑖𝑖2 𝑎𝑎= 𝑉𝑉2 𝑎𝑎∕𝑍𝑍2

(7.20)

Si se abren las fases a y b se debe considerar 𝑖𝑖𝑏𝑏= 𝑖𝑖𝑐𝑐= 0. Por lo tanto,

7.3.2. Dos conductores abiertos

Modelizado y análisis de cortocircuito en sistemas eléctrico

𝑉𝑉𝑝𝑝𝑝𝑝′, 𝑎𝑎= 𝑉𝑉0 𝑎𝑎+ 𝑉𝑉1 𝑎𝑎+ 𝑉𝑉2 𝑎𝑎= 0

(7.21)

Al descomponer las corrientes en sus componentes simétricas se obtiene: 𝐼𝐼0 𝑎𝑎= 𝐼𝐼1 𝑎𝑎= 𝐼𝐼2 𝑎𝑎= 𝐼𝐼𝑎𝑎

3

(7.22)

Las ecuaciones planteadas se satisfacen al conectar en serie el equivalente de Thévenin de las redes de secuencia entre los puntos p y p’, como se observa a continuación, donde 𝐼𝐼𝑚𝑚𝑚𝑚es la corriente de pre-falla en la fase a de la línea m-n, antes de abrir los circuitos en las fases b y c: 𝐼𝐼0 𝑎𝑎= 𝐼𝐼2 𝑎𝑎= 𝐼𝐼1 𝑎𝑎= (𝐼𝐼𝑚𝑚𝑚𝑚) 𝑍𝑍1 𝑝𝑝𝑝𝑝′ (𝑍𝑍0 𝑝𝑝𝑝𝑝′ + 𝑍𝑍1 𝑝𝑝𝑝𝑝′ + 𝑍𝑍2 𝑝𝑝𝑝𝑝′)

(7.23)

𝑉𝑉1 𝑎𝑎= 𝐼𝐼1 𝑎𝑎(𝑍𝑍2 𝑝𝑝𝑝𝑝′ + 𝑍𝑍0 𝑝𝑝𝑝𝑝′) = (𝐼𝐼𝑚𝑚𝑚𝑚) 𝑍𝑍1 𝑝𝑝𝑝𝑝′(𝑍𝑍2 𝑝𝑝𝑝𝑝′ + 𝑍𝑍0 𝑝𝑝𝑝𝑝′) (𝑍𝑍1 𝑝𝑝𝑝𝑝′ + 𝑍𝑍2 𝑝𝑝𝑝𝑝′ + 𝑍𝑍0 𝑝𝑝𝑝𝑝′)

(7.24)

𝑉𝑉2 𝑎𝑎= −𝐼𝐼2 𝑎𝑎𝑍𝑍2 𝑝𝑝𝑝𝑝′ = (𝐼𝐼𝑚𝑚𝑚𝑚) −𝑍𝑍1 𝑝𝑝𝑝𝑝′.𝑍𝑍2 𝑝𝑝𝑝𝑝′ (𝑍𝑍1 𝑝𝑝𝑝𝑝′ + 𝑍𝑍2 𝑝𝑝𝑝𝑝′ + 𝑍𝑍0 𝑝𝑝𝑝𝑝′)

(7.25)

𝑉𝑉0 𝑎𝑎= −𝐼𝐼0 𝑎𝑎𝑍𝑍0 𝑝𝑝𝑝𝑝′ = (𝐼𝐼𝑚𝑚𝑚𝑚) −𝑍𝑍1 𝑝𝑝𝑝𝑝′.𝑍𝑍0 𝑝𝑝𝑝𝑝′ (𝑍𝑍1 𝑝𝑝𝑝𝑝′ + 𝑍𝑍2 𝑝𝑝𝑝𝑝′ + 𝑍𝑍0 𝑝𝑝𝑝𝑝′)

(7.26)

El modelo equivalente cuando se tienen dos conductores abiertos, se ilustra en la Figura nro. 7.11.

231

Ramón Alfonso Gallego Rendón, Juan José Mora Flórez, Ricardo Alberto Hincapié Isaza

fa I fa I fa I − − − + + + V

2

V

0

pp Z mn I pa pa pa pp pp pp

1

fa I

2

1

1

V

0

2

0

Z

1

Z Z Figura nro. 7.11. Modelo equivalente con dos conductores abiertos. Elaboración propia.

Ejemplo 7.1:

Si se considera el sistema de la Figura nro. 7.12, se puede analizar el cambio de tensión en el nodo 3 al presentarse una falla en uno y dos conductores que conectan dicha barra.

M

1

2

3

4

𝑌𝑌con Z de aterrizaje ∆−𝑌𝑌𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑌𝑌𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎−∆ 𝑌𝑌𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 𝐺𝐺1 𝑇𝑇1 𝐿𝐿 𝑇𝑇2 Figura nro. 7.12. Ejemplo de falla serie.

Elaboración propia.

La tensión nominal del nodo 3 es 115 kV y la 𝑆𝑆𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏=100 MVA. Los otros parámetros del sistema son:

Generador 𝐺𝐺1: 𝑋𝑋0=0.04 pu, 𝑋𝑋1=0.20 pu, 𝑋𝑋2=0.20 pu, 𝑋𝑋𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛=0.05 pu Transformadores 𝑇𝑇1 y 𝑇𝑇2: 𝑋𝑋1=0.08 pu Línea L: 𝑋𝑋1=0.15 pu, 𝑋𝑋2=0.40 pu Motor M: 𝑋𝑋0=0.15 pu, 𝑋𝑋1=0.25 pu, 𝑋𝑋2=0.25 pu En el momento del fallo, la máquina solicita una potencia de 80 MVA con factor de potencia de 0.8 en atraso. Bajo esta situación, las redes de secuencia positiva y cero resultantes, se presentan en las figuras 7.13 y 7.14, respectivamente.

Modelizado y análisis de cortocircuito en sistemas eléctrico

+ − 𝑉𝑉𝐹𝐹 𝑗𝑗0.2 + −𝑉𝑉𝐹𝐹 𝑗𝑗0.25 𝑗𝑗0.08 𝑗𝑗0.15 𝑗𝑗0.08 Figura nro. 7.13. Red de secuencia positiva del ejemplo 7.1. Elaboración propia.

De la Figura nro. 7.13 se tiene que:

𝑍𝑍1 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵= 𝑍𝑍2 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵= 𝑗𝑗

1

2

3

4

0.147

0.126

0.087

0.066

0.126

0.177

0.122

0.092

0.087

0.122

0.187

0.141

0.066

0.092

0.141

0.168

1

2

3

4

𝑗𝑗0.04

3 × 𝑗𝑗0.05

𝑗𝑗0.15 𝑗𝑗0.08 𝑗𝑗0.40 𝑗𝑗0.08 Figura nro. 7.14. Red de secuencia cero del ejemplo 7.1. Elaboración propia.

De la Figura nro. 7.14 se tiene que:

233

Ramón Alfonso Gallego Rendón, Juan José Mora Flórez, Ricardo Alberto Hincapié Isaza

𝑍𝑍0 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵= 𝑗𝑗

1

2

3

4

0.19

0

0

0

0

0.069

0.011

0

0

0.011

0.069

0

0

0

0

0.15

El equivalente de Thévenin en el punto del fallo se presenta en la Figura nro. 7.15. + − 𝐼𝐼𝑚𝑚𝑚𝑚𝑍𝑍1 𝑝𝑝𝑝𝑝′ 𝑍𝑍1 𝑝𝑝𝑝𝑝′ 𝑖𝑖1 𝑎𝑎 + − 𝑉𝑉1 𝑎𝑎 Secuencia (+) 𝑍𝑍2 𝑝𝑝𝑝𝑝′ 𝑖𝑖2 𝑎𝑎 + − 𝑉𝑉2 𝑎𝑎 Secuencia (-) 𝑍𝑍0 𝑝𝑝𝑝𝑝′ 𝑖𝑖0 𝑎𝑎 + − 𝑉𝑉0 𝑎𝑎 Secuencia cero Figura nro. 7.15. Equivalente de Thévenin del ejemplo 7.1. Elaboración propia.

Si se sabe que 𝑉𝑉𝑝𝑝𝑝𝑝′ = (𝑉𝑉𝑚𝑚−𝑉𝑉𝑛𝑛) 𝑍𝑍′ 𝑍𝑍𝑝𝑝𝑝𝑝′ = 𝐼𝐼𝑚𝑚𝑚𝑚× 𝑍𝑍1 𝑝𝑝𝑝𝑝′ 𝑍𝑍1 𝑝𝑝𝑝𝑝′ = −𝑍𝑍2

1

𝑍𝑍𝑡𝑡𝑡−𝑚𝑚𝑚𝑚−𝑍𝑍1 𝑍𝑍𝑡𝑡𝑡−𝑚𝑚𝑚𝑚= 𝑍𝑍𝑚𝑚𝑚𝑚+ 𝑍𝑍𝑛𝑛𝑛𝑛−2𝑍𝑍𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑆𝑆= 𝑉𝑉× 𝐼𝐼∗⇒𝐼𝐼= 𝑆𝑆∗∕𝑉𝑉∗ Se calcula la corriente de secuencia positiva por la línea 2-3 antes de ocurrido el fallo. Como la potencia transferida por la línea 2-3 es 64 MW y 48 MVAr entonces: 𝑖𝑖2−3 = 0.64 −𝑗𝑗0.48

1 + 𝑗𝑗0.0

= 0.64 −𝑗𝑗0.48 pu 𝑍𝑍1 𝑡𝑡𝑡−𝑚𝑚𝑚𝑚= 𝑍𝑍2 𝑡𝑡𝑡−𝑚𝑚𝑚𝑚= 𝑗𝑗(0.177 + 0.187 −2 × 0.122) = 𝑗𝑗0.12 pu Modelizado y análisis de cortocircuito en sistemas eléctrico

𝑍𝑍0 𝑡𝑡𝑡−𝑚𝑚𝑚𝑚= 𝑗𝑗(0.069 + 0.069 −2 × 0.011) = 𝑗𝑗0.116 pu Como la impedancia de secuencia de la línea 2-3 es: 𝑋𝑋1 = 0.15pu 𝑋𝑋0 = 0.40pu Entonces, 𝑍𝑍1 𝑝𝑝𝑝𝑝′ = −(𝑗𝑗0.15)2 𝑗𝑗0.12 −𝑗𝑗0.15 = 0.0225 −𝑗𝑗0.03 = 𝑗𝑗0.85pu 𝑍𝑍2 𝑝𝑝𝑝𝑝′ = 𝑗𝑗0.85pu 𝑍𝑍0 𝑝𝑝𝑝𝑝′ = −(𝑗𝑗0.40)2 𝑗𝑗0.116 −𝑗𝑗0.4 =

0.16

−𝑗𝑗0.284 = 𝑗𝑗0.563pu Primer caso: Falla por la apertura de la fase a La representación circuital bajo esta situación, se ilustra en la Figura nro. 7.16. + − 𝐼𝐼23 × 𝑍𝑍1 𝑝𝑝𝑝𝑝′ 𝑍𝑍1 𝑝𝑝𝑝𝑝′ 𝑖𝑖1 𝑎𝑎 p p p + − 𝑉𝑉1 𝑎𝑎 𝑍𝑍2 𝑝𝑝𝑝𝑝′ 𝑖𝑖2 𝑎𝑎 + − 𝑉𝑉2 𝑎𝑎𝑍𝑍0 𝑝𝑝𝑝𝑝′ 𝑖𝑖0 𝑎𝑎 + − 𝑉𝑉0 𝑎𝑎 p’ p’ p’ Figura nro. 7.16. Falla por la apertura de la fase a. Elaboración propia.

235

Ramón Alfonso Gallego Rendón, Juan José Mora Flórez, Ricardo Alberto Hincapié Isaza

Sabiendo que 𝑉𝑉1 𝑎𝑎= 𝑉𝑉2 𝑎𝑎= 𝑉𝑉0 𝑎𝑎, se determina el circuito de la Figura nro. 7.17. + − (0.408 + 𝑗𝑗0.544) 𝑗𝑗0.85 𝑖𝑖1 𝑎𝑎 p p p + − 𝑉𝑉1 𝑎𝑎 𝑗𝑗0.85 𝑖𝑖2 𝑎𝑎 + − 𝑉𝑉2 𝑎𝑎𝑗𝑗0.563 𝑖𝑖0 𝑎𝑎 + − 𝑉𝑉0 𝑎𝑎 p’ p’ p’ Figura nro. 7.17. Circuito por falla de la apertura de la fase a. Elaboración propia.

Considerando lo expuesto previamente, se determinan las caídas de tensión de secuencia positiva, negativa y cero en la línea 2-3. La representación circuital se observa en la Figura nro.

7.18.

+ − (0.408 + 𝑗𝑗0.544) 𝑗𝑗0.85 𝑖𝑖1 𝑎𝑎 p + − 𝑉𝑉1 𝑎𝑎 p 𝑗𝑗0.339 𝑖𝑖2 𝑎𝑎 + − 𝑉𝑉2 𝑎𝑎 Figura nro. 7.18. Circuito reducido por falla de la apertura de la fase a. Elaboración propia.

De la Figura nro. 7.18, se tiene que:

𝑖𝑖1 𝑎𝑎= 0.408 + 𝑗𝑗0.544 𝑗𝑗1.189 = 0.68∠36.87◦ 1.189∠90◦= 0.572∠−53.13◦ Modelizado y análisis de cortocircuito en sistemas eléctrico

𝑉𝑉1 𝑎𝑎= (0.408 + 𝑗𝑗0.544) −(𝑗𝑗0.85)(0.572∠−53.13◦) 𝑉𝑉1 𝑎𝑎= (0.408 + 𝑗𝑗0.544) −0.486∠32.87◦ 𝑉𝑉1 𝑎𝑎= (0.408 + 𝑗𝑗0.544) −(0.408 + 𝑗𝑗0.204) 𝑉𝑉1 𝑎𝑎= 𝑗𝑗0.28 = 𝑉𝑉2 𝑎𝑎= 𝑉𝑉0 𝑎𝑎 Por lo tanto, la variación de tensión en el nodo 3 es: ∆𝑉𝑉1

3 =

𝑍𝑍1

32 −𝑍𝑍1

33

𝑍𝑍1 × 𝑉𝑉1 𝑎𝑎= 𝑗𝑗0.122 −𝑗𝑗0.187 𝑗𝑗0.15 × 𝑗𝑗0.28 = −𝑗𝑗0.121 ∆𝑉𝑉2

3 =

𝑍𝑍2

32 −𝑍𝑍2

33

𝑍𝑍2 × 𝑉𝑉2 𝑎𝑎= 𝑗𝑗0.122 −𝑗𝑗0.187 𝑗𝑗0.15 × 𝑗𝑗0.28 = −𝑗𝑗0.121 ∆𝑉𝑉0

3 =

𝑍𝑍0

32 −𝑍𝑍0

33

𝑍𝑍0 × 𝑉𝑉0 𝑎𝑎= 𝑗𝑗0.011 −𝑗𝑗0.069 𝑗𝑗0.4 × 𝑗𝑗0.28 = −𝑗𝑗0.041 Segundo caso: Falla por la apertura de las fases b y c La representación circuital bajo esta situación, se ilustra en las figuras 7.19 y 7.20. + − 𝐼𝐼23 × 𝑍𝑍1 𝑝𝑝𝑝𝑝′ 𝑍𝑍1 𝑝𝑝𝑝𝑝′ 𝑖𝑖1 𝑎𝑎 + − 𝑉𝑉1 𝑎𝑎 𝑍𝑍2 𝑝𝑝𝑝𝑝′ 𝑖𝑖2 𝑎𝑎 + − 𝑉𝑉2 𝑎𝑎 𝑍𝑍0 𝑝𝑝𝑝𝑝′ 𝑖𝑖0 𝑎𝑎 + − 𝑉𝑉0 𝑎𝑎 𝑖𝑖1 𝑎𝑎=𝑖𝑖2 𝑎𝑎=𝑖𝑖0 𝑎𝑎 Figura nro. 7.19. Falla por la apertura de las fases b y c. Elaboración propia.

237

Ramón Alfonso Gallego Rendón, Juan José Mora Flórez, Ricardo Alberto Hincapié Isaza

+ − (0.408 + 𝑗𝑗0.544) 𝑗𝑗0.85 𝑖𝑖1 𝑎𝑎 + − 𝑉𝑉1 𝑎𝑎 𝑗𝑗0.85 𝑖𝑖2 𝑎𝑎 + − 𝑉𝑉2 𝑎𝑎 𝑗𝑗0.563 𝑖𝑖0 𝑎𝑎 + − 𝑉𝑉0 𝑎𝑎 𝑖𝑖1 𝑎𝑎 Figura nro. 7.20. Circuito por falla de la apertura de las fases b y c. Elaboración propia.

De la Figura nro. 7.20, se tiene que:

𝑖𝑖1 𝑎𝑎=

0.408 + 𝑗𝑗0.544

𝑗𝑗0.85 + 𝑗𝑗0.85 + 𝑗𝑗0.503 = 0.408 + 𝑗𝑗0.544 𝑗𝑗2.263 = 0.68∠36.87◦ 2.263∠90◦ 𝐼𝐼1 𝑎𝑎= 0.3∠−53.13◦= 𝑖𝑖2 𝑎𝑎= 𝑖𝑖0 𝑎𝑎 𝑉𝑉1 𝑎𝑎= 𝐼𝐼23 × 𝑍𝑍1 𝑝𝑝𝑝𝑝′ −𝑍𝑍1 𝑝𝑝𝑝𝑝′ × 𝑖𝑖1 𝑎𝑎= (0.408 + 𝑗𝑗0.544) −(𝑗𝑗0.85 × 0.3∠−53.13◦) 𝑉𝑉2 𝑎𝑎= 𝑍𝑍2 𝑝𝑝𝑝𝑝′ × 𝑖𝑖2 𝑎𝑎= −𝑗𝑗0.85 × 0.3∠−53.13◦ 𝑉𝑉0 𝑎𝑎= 𝑍𝑍0 𝑝𝑝𝑝𝑝′ × 𝑖𝑖0 𝑎𝑎= −𝑗𝑗0.85 × 0.3∠−53.13◦ Por lo tanto, la variación de tensión en el nodo 3 es: ∆𝑉𝑉1

3 = 𝑗𝑗0.122 −𝑗𝑗0.187

𝑗𝑗0.15 × 0.425∠36.87◦= −𝑗𝑗0.433 × 0.425∠36.87◦= 0.184∠−53.13◦ ∆𝑉𝑉2

3 = 𝑗𝑗0.122 −𝑗𝑗0.187

𝑗𝑗0.15 × (−0.255∠36.87◦) = −𝑗𝑗0.433 × (−0.255∠36.87◦) = 0.110∠126.87◦ ∆𝑉𝑉0

3 = 𝑗𝑗0.011 −𝑗𝑗0.069

𝑗𝑗0.4 × (−0.255∠36.87◦) = −𝑗𝑗0.103 × (−0.255∠36.87◦) = 0.026∠−53.13◦ Modelizado y análisis de cortocircuito en sistemas eléctrico

[1] J. Das, Power System Protective Relaying.

CRC Press, 2017.

[2] A. Dos Santos and M. C. De Barros, “Stochastic modeling of power system faults,” Electr. Power Syst. Res., vol. 126, pp. 29–37, 2015.

[3] G. Morales-España, J. Mora-Flórez, and H. Vargas-Torres, “Elimination of multiple estimation for fault location in radial power systems by using fundamental single-end measurements,” IEEE Trans. Power Deliv., vol. 24, no. 3, pp. 1382–1389, Jun. 2009. [4] G. Kjolle, O. Gjerde, B. Hjartsjo, H. Engen, L. Haarla, L. Koivisto, and P. Lindblad, “Protection system faults–a comparative review of fault statistics,” in 2006 Int. Conf. on Probab. Meth. App. to Power Syst.

Stockholm, Sweden: IEEE, 2006, pp. 1–7.

[5] P. Heine and M. Lehtonen, “Voltage sag distributions caused by power system faults,” IEEE Trans. on Power Syst., vol. 18, no. 4, pp. 1367–1373, 2003.

[6] S. Babu, E. Shayesteh, and P. Hilber, “Analysing correlated events in power system using fault statistics,” in 2016 Int. Conf. on Prob. Meth. App. to Power Syst. (PMAPS), Beijing, China, Dec. 2016, pp. 1–6.

[7] J. L. Blackburn and T. J. Domin, Protective relaying: principles and applications. CRC Press,

2015.

[8] T. Gonen, Modern power system analysis.

CRC Press, 2013.

[9] P. M. Anderson, Analysis of faulted power systems.

IEEE Press New York, 1995, vol. 445.

[10] A. Acosta, Introducción al análisis de circuitos eléctricos: un enfoque generalizado. Pereira:

Editorial Universidad Tecnológica de Pereira, 2017.

[11] N. Tleis, Power systems modelling and fault analysis: theory and practice. Elsevier, 2007.

Referencias

239

Ramón Alfonso Gallego Rendón, Juan José Mora Flórez, Ricardo Alberto Hincapié Isaza

[12] G. Kindermann, Curto-circuito.

Saggra Luzzatto, 1997.

[13] C. L. Fortescue, “Method of symmetrical co-ordinates applied to the solution of polyphase networks,” Trans. of the Am. Inst of Elect. Eng., vol. 37, no. 2, pp. 1027–1140, 1918. [14] R. Le Doeuff and M. E. H. Zaïm, Rotating Electrical Machines. Wiley Online Library, 2010.

[15] J. A. Melkebeek, Electrical Machines and Drives.

Springer, 2018.

[16] S. Perez-Londoño and J. López-Quintero, Transformadores eléctricos. Pereira: Editorial Universidad Tecnológica de Pereira, 2018.

[17] J. Winders, Power transformers: principles and applications. CRC Press, 2002.

[18] J. H. Harlow, Electric power transformer engineering.

CRC Press, 2003.

[19] J. Grainger and W. Stevenson, Análisis de sistemas de potencia. McGraw Hill, 1996.

[20] L. L. J. Muñoz Galeano, N. and F. Villada Duque, “Metodología para la determinación del desplazamiento angular en transformadores trifásicos,” TecnoLógicas, vol. 20, no. 38, pp. 41–53, 2017.

[21] T. Gonen, Electrical power transmission system engineering: analysis and design. CRC Press,

2011.

[22] M. Farzaneh, S. Farokhi, and W. A. Chisholm, Electrical design of overhead power transmission lines.

McGraw Hill, 2013.

[23] J. Carson, “Wave propagation in overhead wires with ground return,” Bell Syst. Tech. J., vol. 5, no. 4, pp. 539–554, 1926.

[24] L. Chavarro-Barrera, S. Pérez-Londoño, and J. Mora-Flórez, “An adaptive approach for dynamic load modeling in microgrids,” IEEE Trans. on Smart Grid, Jul. 2021. [25] W. F. Tinney and C. E. Hart, “Power flow solution by newton’s method,” IEEE Trans. on Power Appar. and Syst., no. 11, pp. 1449–1460, 1967.

[26] N. J. Higham, Analysis of the Cholesky decomposition of a semi-definite matrix. Oxford University Press, 1990.

[27] B. D. Anderson, P.M. and A. Shah, “An indefinite admittance network description for fault computation,” IEEE Trans. on Power Appar. and Syst., vol. 89, no. 6, pp. 1215–1219, 1970. [28] G. Stagg and A. El-Abiad, Computer methods in power systems analysis. McGraw Hill, 1968. [29] G.-E. M. Gallego, R.A. and A. Escobar-Zuluaga, Flujo de carga en sistemas de transmisión - Modelamiento y análisis.

Pereira: Editorial Universidad Tecnológica de Pereira, 2016.

[30] J. Dagenhart, “The 40-ohm ground fault phenomenon,” in 1999 Rur. Electr. Power Conf. (Cat. No. 99CH36302).

IEEE, 1999, pp. C4/1–C4/3.

Modelizado y análisis de cortocircuito en sistemas eléctrico

[31] Y. Zhong, X. Kang, Z. Jiao, Z. Wang, and J. Suonan, “A novel distance protection algorithm for the phase-ground fault,” IEEE Trans. on Power Del., vol. 29, no. 4, pp. 1718–1725, 2013. [32] J. Monticelli, Fluxo de carga em redes de energia elétrica.

Blucher, 1983.

241

Ramón Alfonso Gallego Rendón, Juan José Mora Flórez, Ricardo Alberto Hincapié Isaza

Este libro fue terminado por la editorial de la Universidad Tecnologica de Pereira en abril del 2021, bajo el cuidado de los autores. Pereira, Risaralda, Colombia.

La Editorial de la Universidad Tecnológica de Pereira tiene como política la divulgación del saber científico, técnico y humanístico para fomentar la cultura escrita a través de libros y revistas científicas especializadas.

Las colecciones de este proyecto son:

Trabajos de Investigación, Ensayos, Textos Académicos y Tesis Laureadas.

Este libro pertenece a la Colección Trabajos de Investigación.

Facultad de Ingenierías En este libro se presenta el modelamiento y análisis del sistema de transmisión para situaciones en las cuáles ocurren cambios bruscos en la operación, debido a fallas shunt y/o serie. El libro inicia describiendo el comportamiento de la corriente en el tiempo debido a la presencia de un fallo, lo que explica la presencia de los estados subtransitorio, transitorio y de estado estable. Conocido el estado en el cual ocurre el fallo, se modelan los elementos para el análisis del sistema en estado subtransitorio. Estos elementos se clasifican como estáticos (transformadores y líneas) y dinámicos (fuentes generadoras). Los primeros mantienen las características del estado estacionario y los segundos al presentar variaciones, deben modelarse en estado subtrasitorio o transitorio. Con el fin de facilitar el estudio, el modelamiento de los elementos se lleva a cabo en componentes de secuencia. De esa forma, un sistema que es trifásico, simétrico y equilibrado, se estudia a través de tres redes de secuencia monofásicas e independientes entre sí. Luego se conforman tres redes monofásicas, denominadas de secuencia positiva negativa y cero, donde la información de cada red es unificada haciendo uso de los valores en por unidad. Con base en esta información, se plantea un modelo matemático lineal que relaciona tensiones y corrientes nodales a través de la matriz Zbus. Con base en la información del sistema y el tipo de fallo, se determina la corriente de cortocircuito en el punto del fallo. Para el cálculo anterior, los fallos se modelan mediante programación matemática, haciendo uso de las leyes de Kirchhoff y la ley de Ohm, y se plantean en función de los elementos de la matriz Zbus y las condiciones de prefalla, obtenidos con un flujo de carga. Calculada la corriente de falla, se determina su influencia en la operación de la red a través de las tensiones nodales, con las cuales es posible obtener el estado operativo del sistema bajo estas condiciones. e-ISBN: 978-958-722-587-7 Colección Trabajos de Investigación