Enfoque pedagógico y estrategias didácticas para la enseñanza y el aprendizaje de la regla de tres: Un camino hacia la transición de un modelo educativo de integración a una educación inclusiva

Jairo Alberto Ruiz Botero Para optar al título de Doctor en Ciencias de la Educación

Director:

PhD. Javier Gracia Calandín Doctor en Filosofía

Facultad de Ciencias de la Educación, Universidad Tecnológica de Pereira Doctorado en Ciencias de la Educación Área Pensamiento Educativo y Comunicación Pereira, 8 de abril de 2025

Dedicatoria A mi madre, Amparo Botero, por esos silencios que decían más que mil palabras, y por ese amor que siempre se manifestó en cada uno de sus actos.

Dedico esta tesis a esa mujer que, un día, me permitió ver casi su alma: cuando le pusieron los audífonos, cuando me habló de su niñez, y cuando su rostro se iluminó al entender lo que este logro significaría para la seguridad de nuestra familia. Hoy, con su misma profesión, comprendo sus ausencias. Y aunque tengo el apoyo de mi esposa e hijos, y el de ella —con todo lo que nunca contó—, sé que su lucha por sacarme adelante fue inmensa.

Con el tiempo he comprendido que aquello que calló —las noches sin dormir, el esfuerzo de cubrir todo sin dejar que se notara el cansancio, las lágrimas que solo vio el silencio— fue parte de ese amor total que solo una madre entrega. Ese sacrificio, que ahora reconozco desde mi propia experiencia, es una herencia de amor que espero honrar siempre. A Ángela María, mi compañera de ruta, porque ha sido amor, paciencia y fuerza en cada tramo del camino. A Ana María y Manuel David, mis hijos, por enseñarme que el verdadero aprendizaje ocurre cuando se ama lo que se enseña y se vive lo que se aprende. A Santiago, ese hijo que solo estuvo tres días en nuestro tiempo, pero que para Ana María es y será siempre su hermano. Porque el amor de una hermana no necesita lógica, solo memoria y alma.

A María José, nuestra hija que nos acompañó casi hasta el final del embarazo y que se quedó en el corazón, en ese lugar donde habitan los que partieron antes de llegar. A su manera, nos sigue alumbrando.

Y a Dakota, nuestra compañera de cuatro patas, porque también hay afectos que ladran y nos cuidan sin pedir nada a cambio. Aunque ya no esté, fue parte de la ternura que hizo hogar. A mis estudiantes, quienes, con sus luchas, sus silencios, sus maneras únicas de aprender, despertaron en mí la necesidad de buscar respuestas. En sus dificultades me vi reflejado, sobre todo cuando el insomnio me hizo comprender lo que es estar presente sin estar del todo. Gracias por enseñarme que la diversidad no se estudia: se vive, y que la educación solo es real cuando abraza a todos.

A Dios, porque los tiempos del Señor son perfectos. Y aunque esta vida ha sido una montaña rusa, con su devenir de altos y bajos, todo ha llegado cuando debía llegar: cuando fue perfecto. Gracias totales. Que cada día me acerque más a Ti y a todos los míos. Este logro no es solo mío: es de quienes caminan conmigo, de quienes me enseñaron que ser doctor no es solo un título, sino una forma más humana de mirar el mundo. Y a las generaciones futuras —a mis hijos y a quienes vendrán—: lo que hoy alcanzamos con esfuerzo y amor no debe terminar aquí. Todo lo que se construye puede disfrutarse, pero lo que se transmite permanece. Este es un punto de inflexión en nuestra historia familiar. No olviden que hubo quienes, desde el pasado, trabajamos por hacer del futuro un lugar más lleno de posibilidades. Que este legado no se consuma, sino que se multiplique. No solo para ustedes, sino para todos.

Agradecimientos A Dios, por encima de todas las cosas, porque sus tiempos han sido perfectos. En cada paso, en cada silencio y en cada oportunidad, su presencia ha guiado este proceso con sabiduría y amor.

A mi exestudiante Alexandra Herrera, quien con sus preguntas y su experiencia fue la chispa que encendió mi interés por investigar sobre este tema. Su realidad abrió el camino de una búsqueda que terminó convirtiéndose en mi propósito.

A mi madre y a mi esposa, por ser impulsoras incansables de este doctorado. Por confiar, por sostenerme cuando flaqueé y por creer que este logro era posible incluso antes que yo mismo.

A mi coordinadora Patricia Pungo y gestora del proyecto Ojitos Lectores, por su generosidad y humanidad al permitirme entrar en su cotidianidad, por abrir su tiempo y su escucha. Su confianza le dio sentido humano a esta investigación. Gracias por pensar y trabajar en este maravilloso proyecto que desarrolla y promueve el respeto por todas las formas de vida humanas y animales, además del respeto por la diversidad, una situación que se refleja en el ambiente del aula y en las acciones de nuestros estudiantes.

A la doctora Cecilia Luca, mi primera directora, por introducirme con pasión al mundo de la diversidad funcional y por guiarme en la lectura de autores que transformaron mi forma de ver la educación y la diferencia.

Al doctor Javier Gracia, mi director, por aceptar este acompañamiento académico con compromiso y empatía. Gracias por entender mis tiempos, por respetar mis silencios y, sobre todo, por los mensajes de aliento que siempre me recordaron que otro mundo —más justo y humano— es posible. Su ejemplo como académico y ser humano fue para mí una brújula en este proceso.

A la doctora Consuelo, directora del doctorado, por su guía firme y respetuosa, por facilitar los puentes necesarios entre directores y momentos clave de este camino. Su disposición y liderazgo marcaron una diferencia profunda en la manera como transité esta etapa formativa. A Diana, secretaria del programa, por su eficiencia, amabilidad y atención constante. Gracias por estar siempre atenta a cada requerimiento, por resolver con prontitud y por hacer que todo fluyera incluso en medio de las dificultades. Su labor silenciosa pero comprometida fue fundamental.

A mis compañeras, colegas y amigas Catalina Cardona y Pamela Ríos, por acompañarme con complicidad, por brindarme sus espacios de aula para experimentar y compartir ideas, y especialmente a Pamela por su tiempo, dedicación y apoyo en la construcción de adecuaciones y propuestas.

A Óscar, esposo de mi amiga Carla, porque sin saberlo, me regaló una nueva perspectiva sobre el método facilitador, que terminó por enriquecer mi propuesta de investigación. A la doctora Isabel Tamarit, por sus recomendaciones y aportes valiosos al capítulo del libro. Su mirada crítica y propositiva fue esencial para mejorar el contenido y la coherencia del texto.

A mi compañera docente, Maira Manso, por su trabajo de revisión de estilo. Su mirada detallada ayudó a mejorar la claridad y precisión del documento, permitiendo que mis ideas fueran comprendidas con mayor fluidez.

A los jurados Juan Fernando López López, Carlos Abraham Villalba y nuevamente Isabel Tamarit, por leer cuidadosamente el documento, por sus apreciaciones profundas, críticas y afectuosas. Sus observaciones no solo mejoraron este trabajo, sino que también me hicieron

sentir acompañado y respetado como investigador. Gracias por tomarse el tiempo, por leerme desde el compromiso y la sensibilidad.

A la maestra Fátima Álvarez, de la Escuela de Pensamiento Libre, quien sin conocerme compartió sus textos conmigo. A través de su obra y su vida, me inspiró profundamente. Su visión de un aula como espacio de vida, donde ensayamos el mundo que deseamos, me hizo enamorarme aún más de la educación inclusiva.

A mis estudiantes, por ser el verdadero motivo de esta búsqueda. En ellos vi el rostro de la diferencia, del reto y de la esperanza. Aprendí que la diversidad no se investiga solo con teoría: se vive en cada mirada, en cada silencio, en cada logro pequeño pero significativo. A mi familia: a mi esposa Ángela María, a mis hijos Ana María y Manuel David, por su compañía, amor incondicional y paciencia durante todo este proceso. A mi madre Amparo Botero, por todo lo ya dicho y lo que aún no soy capaz de expresar con palabras. A mi familia extendida: mi suegra Silvia, la tía Gloria, Beto, Miriam, Joselo, Alejandra, Nicolás y Juan David, por los momentos compartidos, por sus palabras de ánimo y por ser parte de esta historia con sus gestos sencillos pero trascendentales. A mis compañeros de cohorte, con quienes compartí horas de clase, lecturas, dudas y sueños. Y a mis compañeros del libro colectivo, por brindarme la oportunidad de participar en esa publicación, que fue un espacio de encuentro y aprendizaje invaluable. A mis compañeros de trabajo, por sufrir mis cambios de ánimo y, sin embargo, siempre brindarme una sonrisa. Su presencia cotidiana fue un alivio en los días más exigentes, y su paciencia, una forma silenciosa de apoyo que valoro profundamente.

A la Universidad Tecnológica de Pereira, mi alma máter, y a todos los visionarios que la fundaron y la siguen haciendo posible día a día. Doy gracias a Dios por haberme permitido vivir y formarme en este espacio tan maravilloso en todos los sentidos: su campus lleno de vida, sus estudiantes con sueños, y sus funcionarios que siempre estuvieron dispuestos a acompañar el camino. La UTP no solo me formó como profesional, sino también como ser humano. A la comunidad educativa de la Institución Educativa Juan Manuel González, por permitirme aplicar y repensar mis prácticas. A todos los estudiantes que me “sufrieron” durante este proceso, gracias por su paciencia y por seguir adelante conmigo, incluso cuando mis jornadas eran largas y mi mente estaba dividida entre el aula, la familia y la tesis. Combinar estos tres espacios no fue fácil: ser docente, padre y estudiante de doctorado al mismo tiempo fue un reto que me exigió estar en muchos lugares a la vez, muchas veces sin estar del todo. Aun así, su presencia, sus preguntas y sus silencios me ayudaron a seguir. Este trabajo es el resultado de muchos esfuerzos individuales, pero también de una red de afectos, conocimientos y encuentros.

A todos, gracias por ser parte de esta travesía.

Tabla de Contenido Lista de figuras .............................................................................................................................. 23 Lista de tablas ............................................................................................................................... 32 Lista de anexos ............................................................................................................................. 33

1.

Introducción ........................................................................................................................... 34 1.1 Problema ................................................................................................................................. 40 1.2 Justificación ............................................................................................................................ 45 1.3 Pregunta.................................................................................................................................. 55 1.4 Objetivos ................................................................................................................................. 55 1.4.1 Objetivo General............................................................................................... 55 1.4.2 Objetivos específicos ....................................................................................... 55 1.5 Metodología ............................................................................................................................ 56 1.5.1 Estudio de caso ................................................................................................ 57 1.5.1.1 Unidad de trabajo .......................................................................................... 59 1.5.1.2 Diseño metodológico del estudio de caso .................................................... 60 1.5.1.2.1 Justificación del uso del estudio de caso ........................................................................ 60 1.5.1.2.2 Características del Estudio de Caso Aplicadas ................................................................ 60 1.5.1.2.3 Estrategias Didácticas Propuestas .................................................................................. 61 1.5.1.3 Fases del Estudio de Caso ........................................................................... 61 1.5.1.4 Recopilación de Datos .................................................................................. 62 1.5.1.5 Análisis de los Resultados ............................................................................ 62 1.6 Estructura del documento ....................................................................................................... 63

2.

Educación inclusiva ............................................................................................................... 66 2.1 Educación inclusiva como derecho ........................................................................................ 74 2.1.1 Educación como derecho ................................................................................. 74 2.1.2 Educación como derecho en los tratados internacionales .............................. 77 2.1.3 Marco legal Colombia....................................................................................... 80 2.1.4 ¡No tenemos excusas!...................................................................................... 81 2.2 Diferencias entre un modelo integrador y una educación inclusiva ...................................... 84 2.3 Principios educación inclusiva ................................................................................................ 91 2.3.1 Centros educativos que acogen la diversidad ................................................. 94 2.3.2 Un currículo amplio, común y flexible .............................................................. 95 2.3.3 Métodos de enseñanza y aprendizaje interactivo ........................................... 97 2.3.4 Apoyo a los profesores..................................................................................... 97 2.3.5 Participación de los padres y comunidad ........................................................ 98 2.3.6 Principio democrático ....................................................................................... 98 2.4 Barreras del sistema educativo que impiden una educación inclusiva ................................. 99 2.4.1 La exclusión .................................................................................................... 100 2.4.2 Barreras debidas al docente .......................................................................... 103 2.4.3 Barreras arquitectónicas ................................................................................ 106 2.5 Prácticas de educación inclusiva en el aula. ....................................................................... 107 2.5.1 Diálogo y observación de la práctica entre colegas docentes ...................... 108 2.5.2 Aprendizaje cooperativo ................................................................................. 111

2.5.3 Comunidades de aprendizaje, CA ................................................................. 114 2.5.4 Flexibilización del currículo ............................................................................ 119 2.5.5 Diseño Universal para el Aprendizaje, DUA .................................................. 122 2.5.5.1 Principios del DUA. .......................................................................................................... 123 2.5.5.2 El DUA y la educación inclusiva. ...................................................................................... 125 2.6 Conclusiones ........................................................................................................................ 126

3.

Las Dificultades en el Aprendizaje (DA) ............................................................................. 131 3.1 Los cinco constructos de la definición de la NJCLD ............................................................ 133 3.2 Clasificación de las DA ......................................................................................................... 134 3.3 Dificultades de aprendizaje de la lectura. ............................................................................ 137

3.3.1 Barreras debidas a dificultades de aprendizaje lectoras de base visual o de

superficie.............................................................................................................................. 139

3.3.2 Barreras debidas a dificultades de aprendizaje lectoras de base fonológica 140

3.3.3 Barreras debidas a dificultades de aprendizaje lectoras mixtas ................... 142 3.4 Dificultades de aprendizaje de la escritura. ......................................................................... 142 3.4.1 Dificultades de aprendizaje por disgrafía superficial ..................................... 144 3.4.2 Dificultades de aprendizaje por disgrafía fonológica ..................................... 145 3.4.3 Dificultades de aprendizaje por disgrafía mixta ............................................. 146 3.5 Dificultades en el Aprendizaje de las Matemáticas, DAM ................................................... 146 3.5.1 Dificultades en el aprendizaje del cálculo ...................................................... 150 3.5.1.1 Características de los alumnos con dificultades de aprendizaje del cálculo. ................... 151 3.5.2 Dificultades en la solución de problemas ...................................................... 153

3.5.3 Tipologías de las DAM ................................................................................... 160 3.5.3.1 Tipología de Ladislav Kosc. .............................................................................................. 160 3.5.3.2 Subtipos propuestos por David Geary. ............................................................................ 162 3.6 Barreras asociadas a las DA para una educación inclusiva ................................................ 167 3.7 Conclusiones ........................................................................................................................ 169

4.

Claves para una educación matemática inclusiva: revisión bibliográfica y principios fundamentales ............................................................................................................................ 172 4.1 Principios clave para una enseñanza efectiva de las matemáticas .................................... 176 4.1.1 Principio 1: ética de cuidado y diversidad ...................................................... 176 4.1.2 Principio 2: aprendizaje colaborativo y autónomo ......................................... 177

4.1.3 Principio 3: construir sobre el pensamiento del estudiantado y adaptar la

enseñanza ........................................................................................................................... 177 4.1.4 Principio 4: tareas matemáticas significativas y desafiantes ........................ 178 4.1.5 Principio 5: establecer conexiones entre ideas y contextos .......................... 178 4.1.6 Principio 6: evaluación formativa y comprensiva ........................................... 178 4.1.7 Principio 7: comunicación matemática y argumentación .............................. 179 4.1.8 Principio 8: lenguaje matemático accesible y significativo ............................ 180 4.1.9 Principio 9: uso efectivo de herramientas y representaciones ...................... 180

4.1.10 Principio 10: conocimiento profundo y actualizado de los docentes ........... 181

4.2 Componentes clave para promover una educación matemática inclusiva ......................... 182 4.3 Beneficios del aprendizaje cooperativo en la educación matemática inclusiva .................. 183

4.4 Beneficios del Diseño Universal para el Aprendizaje en la educación matemática inclusiva

..................................................................................................................................................... 184

4.5 Estrategias para fomentar la participación de las familias en la educación matemática

inclusiva ...................................................................................................................................... 185 4.6 Fomentando la sensibilidad en educación matemática inclusiva ........................................ 188 4.7 Promoviendo una evaluación inclusiva y centrada en el aprendizaje ................................. 190 4.8 Conclusiones ........................................................................................................................ 192

5.

Desde la razón hasta la proporcionalidad .......................................................................... 196 5.1 La fracción ............................................................................................................................ 197 5.1.1 Fenomenología de las fracciones .................................................................. 199 5.1.2 Diferentes formas de entender el concepto de fracción ................................ 201

5.1.3 Barreras para el aprendizaje del concepto de fracción desde la enseñanza 203

5.2 Razón .................................................................................................................................... 210 5.2.1 Noción de razón ............................................................................................. 212 5.2.2 Diferencias entre fracciones y razones .......................................................... 215 5.2.3 Razones internas y externas.......................................................................... 217 5.2.3.1 Razones en o entre espacios de medida. ........................................................................ 217 5.2.3.2 Razones en o entre sistemas ........................................................................................... 219 5.2.4 Las barreras aprendizaje vinculadas a la razón ............................................ 220 5.3 Proporcionalidad ................................................................................................................... 222 5.3.1 Razonamiento proporcional ........................................................................... 224 5.3.2 Barreras para el aprendizaje de razonamiento proporcional ........................ 227

5.4 Proporción ............................................................................................................................. 228 5.4.1 Magnitudes directamente proporcionales ...................................................... 230 5.4.2 Magnitudes inversamente proporcionales ..................................................... 231 5.4.3 Barreras aprendizaje de la proporcionalidad ................................................. 232 5.5 Acerca de la sobre-generalización de la linealidad.............................................................. 235 5.5.1 Barreras aprendizaje sobre-generalización de la linealidad ......................... 236 5.6 Conclusiones ........................................................................................................................ 238

6.

Propuesta para la enseñanza de la regla de tres ............................................................... 243 6.1 Recoger la voz del estudiantado .......................................................................................... 244 6.1.1 Notas post-it ................................................................................................... 245 6.2 Construcción de los conceptos previos ................................................................................ 247 6.2.1 Relación .......................................................................................................... 248 6.2.1.1 Primer momento: acercamiento al concepto de relación. .............................................. 248 6.2.1.2 Segundo momento: acercamiento contextual al concepto de relación. ......................... 248 6.2.1.3 Tercer momento: actividad de trabajo cooperativo. ....................................................... 249 6.2.1.4 Cuarto momento: definición matemática del concepto de relación. .............................. 253 6.2.2 Magnitud, verbo y sujeto ................................................................................ 255 6.2.2.1 Magnitudes correlacionadas. .......................................................................................... 259 6.2.2.2 Magnitudes directamente correlacionadas. .................................................................... 260 6.2.2.3 Magnitudes inversamente correlacionadas. ............................................... 262 6.2.2.4 Actividad. ..................................................................................................... 265 6.2.3 Verbos generadores y conversión de problemas .......................................... 270 6.2.3.1 Verbo o acción de hacer. ................................................................................................. 271

6.2.3.2 Verbo o acción de consumir. ........................................................................................... 276 6.2.3.3 Acción de comprar o pagar. ............................................................................................ 279 6.3 Razón .................................................................................................................................... 282

6.3.1 Primer momento: discusión alrededor de situaciones problema .................. 282

6.3.2 Segundo momento: definición de razón ........................................................ 283

6.3.3 Tercer momento: establecer una razón a partir de una relación gráfica ...... 284

6.3.4 Cuarto momento: diferencias entre una relación y una razón ...................... 285

6.3.5 Quinto momento: actividad de trabajo cooperativo sobre razones ............... 286

6.4 Proporcionalidad ................................................................................................................... 289 6.4.1 Proporción ...................................................................................................... 290 6.4.1.1 Demostración de una proporción. .................................................................................. 290 6.4.2 Condición de regularidad ............................................................................... 293 6.4.2.1 Formas en que se presenta la condición de regularidad. ................................................ 294 6.4.2.2 Consideraciones adicionales para que exista proporcionalidad aritmética. .................... 295 6.5 Método alternativo de solución de problemas por regla de tres .......................................... 296

6.5.1 Método propuesto a través del uso de la regla de tres simple directa.......... 297

6.5.1.1 Paso 1: representación gráfica del problema. ................................................................. 298 6.5.1.2 Paso 2: principio de regularidad y condiciones mínimas. ................................................ 299 6.5.1.3 Paso 3: aplicación de criterios para el uso de aumenta y disminuye. .............................. 300 6.5.1.4 Paso 4: análisis de la correspondencia y determinación del tipo de proporcionalidad. .. 301

6.5.1.5 Paso 5: Método facilitador para problemas de regla de tres, superando barreras de

aprendizaje. ................................................................................................................................ 303 6.6 Conclusiones ........................................................................................................................ 333

7.

Fases de implementación y observación ............................................................................ 336 7.1 Planificación de la fase de implementacion ......................................................................... 336

7.1.1 Temporización ................................................................................................ 337 7.1.2 Distribución Temporal de las Sesiones ......................................................... 337 7.1.3 Secuenciación ................................................................................................ 340 7.3 Implementacion de la estrategia didactica ........................................................................... 345 7.3.1 Implementación de las notas Post-it .............................................................. 345 7.3.1.1 Preparación. .................................................................................................................... 346 7.3.1.2 Ejecución. ........................................................................................................................ 346 7.3.1.3 Discusión. ........................................................................................................................ 347 7.3.1.4 Cierre............................................................................................................................... 348 7.3.1.5 Analisis de las respuestas. ............................................................................................... 348

7.3.1.6 Expansión del alcance de la actividad: entrevistas a otras docentes ........ 350

7.3.1.6.1 Análisis de la entrevista a la docente de matemáticas. ................................................ 351 7.3.1.6.2 Análisis de la entrevista a la docente de Artes ............................................................. 354

7.3.1.7 Reflexiones Finales: Notas Post-it y Contribuciones hacia la Consecución de

una Educación Inclusiva ...................................................................................................... 358 7.3.2 Pre test ............................................................................................................................... 360 7.3.2.1 Implementación del Pre-test ....................................................................... 361 7.3.2.2 Resultado del Pre-test ................................................................................. 363 7.3.2.3 Análisis de Resultados del Pre-test ............................................................ 365 7.3.2.4 Proceso reflexivo ......................................................................................... 374 7.3.3 Sección 3: Construcción de conceptos previos - Explorando relaciones en la vida cotidiana (55 minutos) ................................................................................................................................ 375 7.3.3.1 Introducción y explicación del objetivo de la sesión (10 min) .................... 375

7.3.3.2 Presentación de ejemplos de relaciones en la vida cotidiana (25 min) ..... 376

7.3.3.3 Actividad de Trabajo Cooperativo (15 min) ................................................ 377 7.3.3.4 Conclusión y Cierre de la Sesión (5 min) ................................................... 377 7.3.3.5 Observaciones y reflexión ........................................................................... 377 7.3.4 Sesión 4: Definición matemática y representación gráfica de una relación (55 minutos) 379 7.3.4.1 Introducción a la definición matemática de relaciones (10 min) ................ 379 7.3.4.2 Ejemplos prácticos (10 min) ........................................................................ 380 7.3.4.3 Representación Gráfica de Relaciones (15 min) ........................................ 384 7.3.4.4 Actividad de trabajo cooperativo (15 min) .................................................. 386

7.3.4.5 Evaluación oral de los aprendizajes y conclusiones finales (5 min) .......... 387

7.3.4.6 Observaciones y reflexiones ....................................................................... 387 7.3.4.6.1 Consideraciones para estudiantes con autismo. .......................................................... 387 7.3.5 Sesión 5: Magnitud, verbo y sujeto (55 minutos) .............................................................. 388 7.3.5.1 Introducción y Explicación de Conceptos (15 min) .................................... 388 7.3.5.2 Práctica Guiada (20 min) ............................................................................ 390 7.3.5.3 Actividad de Trabajo Cooperativo (20 min) ................................................ 391 7.3.5.4 Análisis de las tareas recibidas en el grupo 7A .......................................... 394 7.3.5.5 Observaciones y reflexiones ....................................................................... 396 7.3.5.6 Consideraciones para Estudiantes Daltónicos ........................................... 399 7.3.6 Sesión 6: Magnitudes correlacionadas (55 minutos) ........................................................ 400

7.3.6.1 Introducción del tema y explicación de tipos de correlación (10 min)........ 401

7.3.6.2 Ejemplos y trabajo guiado para identificar tipo de correlación (15 min) .... 403

7.3.6.3 Práctica de correlaciones (15 min) ............................................................. 406 7.3.6.4 Actividad de trabajo cooperativo (15 min) .................................................. 406 7.3.6.5 Observaciones y reflexiones ....................................................................... 409

7.3.6.6 Sesión adicional de trabajo cooperativo: magnitudes correlacionadas y tipos

de correlación ...................................................................................................................... 410 7.3.7 Sesión 7: Verbos generadores y conversión de problemas (55 minutos) ........................ 417

7.3.7.1 Introducción y explicación de la utilidad de los verbos generadores (15 min)

............................................................................................................................................. 417

7.3.7.2 Análisis del verbo “hacer” (10 min) ............................................................. 417 7.3.7.3 Análisis del verbo “consumir” (10 min) ....................................................... 419 7.3.7.4 Análisis de los verbos “comprar” y “pagar” (10 min) .................................. 420 7.3.7.5 Actividad de trabajo cooperativo (15 min) .................................................. 421 7.3.7.6 Observaciones y reflexiones ....................................................................... 421 7.3.8 Sesión 8: Explicación de la condición de regularidad (55 minutos) ................................. 423

7.3.8.1 Introducción y explicación del concepto de condición de regularidad (10 min)

............................................................................................................................................. 423

7.3.8.2 Ejemplos ilustrativos de condición de regularidad (15 min) ....................... 424

7.3.8.3 Identificación de la condición de regularidad en problemas dados (15 min)

............................................................................................................................................. 427

7.3.8.4 Consideraciones adicionales para que exista proporcionalidad aritmética (10

min) ...................................................................................................................................... 427 7.3.8.5 Actividad guiada (5 min) .............................................................................. 427

7.3.8.6 Observaciones y reflexiones ....................................................................... 428 7.3.9 Sesión 9: Método facilitador de regla de tres para la solución de problemas de magnitudes directamente e inversamente proporcionales (55 minutos) ....................................................... 428 7.3.9.1 Introducción y explicación del método facilitador (8 min) ........................... 428 7.3.9.2 Actividad guiada: Solución de un problema (10 min) ................................. 436

7.3.9.3 Ejemplo de solución de problema de magnitudes inversamente

proporcionales aplicando la técnica de inversión y el método facilitador (5 min) .............. 439 7.3.9.4 Ejercicio de aplicación práctica (5 min) ...................................................... 439 7.3.9.5 Observaciones y reflexiones ....................................................................... 439

7.3.10 Sesión 10: Solución de problemas directamente e inversamente proporcionales con el

método facilitador (55 minutos) .................................................................................................. 442

7.3.10.1 Revisión, identificación de las barreras de aprendizaje y corrección de la

tarea (15 min) ...................................................................................................................... 442

7.3.10.2 Explicación, socialización de la actividad y conformación de equipos (5 min)

............................................................................................................................................. 445

7.3.10.3 Trabajo cooperativo: Solución de problemas, retroalimentación docente y

evaluación grupal (25 min) .................................................................................................. 446 7.3.10.4 Conclusión y cierre (10 min) ..................................................................... 448 7.3.11 Sesión 11: Evaluación Formativa (55 minutos) .............................................................. 451 7.3.11.1 Explicación y entrega de la evaluación (5 min) ........................................ 451 7.3.11.2 Realización de la evaluación formativa (40 min) ...................................... 452 7.3.11.3 Recogida de evaluaciones y retroalimentación inicial (10 min) ............... 455

7.3.11.4 Evaluación Formativa ................................................................................ 455 7.3.11.5 Observaciones durante la actividad .......................................................... 457 7.3.11.6 Observaciones y reflexiones sobre la evaluación formativa .................... 457 7.3.12 Sesión 12: Consolidación y Cierre (55 minutos) ............................................................. 479 7.3.12.1 Revisión y resumen de los conceptos aprendidos (15 min) ..................... 479

7.3.12.2 Actividad final para consolidar el aprendizaje, retroalimentación grupal de la

evaluación formativa (30 min) ............................................................................................. 480 7.3.12.3 Discusión y cierre (10 min)........................................................................ 482 7.3.13 Sesión 13: Regla de tres compuesta (55 minutos) ......................................................... 483 7.3.13.1 Explicación de la regla de tres compuesta (15 min) ................................. 483

7.3.13.2 Ejemplo: Solución de un problema de regla de tres compuestos con el

método facilitador (15 min) .................................................................................................. 484

7.3.13.3 Práctica guiada de solución de un problema de regla de tres compuestos

combinado (12 min) ............................................................................................................. 488 7.3.13.4 Discusión, retroalimentación, conclusión y cierre (5 min) ........................ 488 7.3.13.5 Observaciones y Reflexiones ................................................................... 489

7.3.14 Sesión 14: Solución de problemas de regla de tres compuesta con el uso del método

facilitador (55 minutos) ............................................................................................................... 490 7.3.14.1 Ejemplo problema genérico (10 min) ........................................................ 490

7.3.14.2 Explicación, socialización de la actividad y conformación de equipos (5 min)

............................................................................................................................................. 499

7.3.14.3 Trabajo cooperativo: Solución de problemas, retroalimentación docente y

evaluación grupal (30 min) .................................................................................................. 499 7.3.14.4 Presentación de soluciones y retroalimentación (10 min) ........................ 499 7.3.14.5 Observaciones y Reflexiones ................................................................... 500 7.3.14.6 Reflexiones Adicionales ............................................................................ 500 7.3.15 Sesión 15: evaluación formativa (55 minutos) ................................................................ 501 7.3.15.1 Explicación y entrega de la evaluación (5 min) ........................................ 501 7.3.15.2 Realización de la Evaluación Formativa (40 min) .................................... 502

7.3.15.3 Recogida de Evaluaciones y Retroalimentación Inicial (10 min) ............. 502

7.3.15.4 Observaciones y Reflexiones durante la actividad ................................... 503 7.3.15.5 Observaciones y reflexiones sobre la evaluación formativa .................... 505 7.3.16 Sesión 16: Reflexión y Consolidación Final de los Conceptos Trabajados (55 minutos)

..................................................................................................................................................... 520

7.3.16.1 Introducción y Objetivos de la Sesión (5 min) .......................................... 520 7.3.16.2 Reflexión Guiada sobre el Aprendizaje (20 min) ...................................... 520

7.3.16.3 Retroalimentación de las Evaluaciones y Aprendizajes Clave (15 min) .. 521

7.3.16.4 Consolidación final de los conceptos trabajados (10 min) ....................... 522 7.3.16.5 Cierre y Agradecimientos (5 min) ............................................................. 523

8.

Resultados y análisis ........................................................................................................... 525 8.1 Conexión entre objetivos, metodología y resultados ........................................................... 525 8.1.1 Identificar las barreras para la educación inclusiva. ...................................... 525

8.1.2 Análisis de la enseñanza y el aprendizaje de la proporcionalidad ................ 526 8.1.3 Diseño de una estrategia adaptada de la regla de tres ................................. 527 8.1.4 Evaluación de la efectividad de la estrategia didáctica. ................................ 528 8.2 Percepción de estudiantes y familias sobre la estrategia didáctica propuesta ................... 530 8.2.1 Utilidad de las actividades y métodos ............................................................ 530 8.2.2 Barreras superadas gracias a las actividades ............................................... 531 8.2.3 Impacto del uso de representaciones gráficas .............................................. 532 8.2.4 Confianza e interés en matemáticas.............................................................. 533 8.2.5 Reflexiones sobre las percepciones recogidas ............................................. 534 8.3 Análisis entre el pre-test y pos-test ...................................................................................... 535 8.4 Análisis cualitativo Final: evaluación de la estrategia didáctica .......................................... 539

8.4.1 Condición de regularidad y riesgos de sobre-generalización de la linealidad:

............................................................................................................................................. 540

8.4.2 Compromiso y participación de los estudiantes: ........................................... 541 8.4.3 Desempeño en problemas de mayor complejidad: ....................................... 541 8.4.4 Apoyo y motivación del docente: ................................................................... 542 8.4.5 Reflexiones sobre la diversidad y la inclusión ............................................... 543

8.4.6 Evaluación de la estrategia didáctica basada en la evaluación formativa .... 544

8.5 Conclusiones y recomendaciones para mejoras futuras .................................. 545

9.

Conclusiones generales ...................................................................................................... 547 9.1 Identificación de barreras para la educación inclusiva ........................................................ 550

9.2 Estrategia didáctica para la educación inclusiva ................................................................. 550 9.3 Enseñanza y aprendizaje de la proporcionalidad ................................................................ 551 9.4 Propuesta didáctica para la inclusión ................................................................................... 551 9.5 Reflexión final ....................................................................................................................... 552

10.

Referencias bibliográficas ............................................................................................... 553

11.

ANEXOS .......................................................................................................................... 577 Anexo A. Guía de trabajo para clase de matemáticas: recogiendo la voz del estudiantado a través de notas post-it ........................................................................................................................... 577 Anexo B. Guía de trabajo para clase de artes: recogiendo la voz del estudiantado a través de notas post-it................................................................................................................................. 581 Anexo C. Pre-test con apoyos visuales para evaluar razonamiento proporcional y dificultades matemáticas ................................................................................................................................ 584

Lista de figuras Figura 1 Diferencias: exclusión, segregación, inclusión e integración .......................... 90 Figura 2 Ejemplos de grupos excluidos de la educación o marginados dentro de esta 92 Figura 3 Principios de la educación inclusiva.................................................................. 94 Figura 4 Procesos afectados por las dificultades aprendizaje de la lectura ................. 138 Figura 5 Principales dificultades específicas en el aprendizaje de las matemáticas ... 150 Figura 6 Errores más frecuentes en el cálculo .............................................................. 152 Figura 7 Representaciones de la forma en que se concreta el todo en una fracción analizada desde la relación parte -todo ..................................................................................... 200 Figura 8 Representación gráfica de la fracción 1/8 para ejemplificar la barrera de aprendizaje vinculada un refuerzo del pensamiento aditivo ...................................................... 203 Figura 9 Ejemplo de una situación en la que la partición se da de forma poco regular

..................................................................................................................................................... 204

Figura 10 La misma fracción, diferentes unidades: ¿por qué no se pueden sumar? .. 205 Figura 11 Representación gráfica de la fracción impropia 54....................................... 206 Figura 12 Ejemplo de actividad con magnitudes continuas y discretas ....................... 208 Figura 13 Representación de la proporción directa propuesta por Vergnaud .............. 218 Figura 14 Diagrama sobre ideas que deben abordarse en la instrucción de fracciones según Lamon (2006) ................................................................................................................... 227 Figura 15 Proceso de evaluación y representación gráfica de una relación ................ 252 Figura 16 Relación profesores – estudiantes que hay en el colegio ............................ 254

Figura 17 Relación estudiante – profesores que hay en el colegio .............................. 254 Figura 18 Representación relación profesores – estudiantes que hay en un colegio .. 255 Figura 19 Relación consumo alimento vacas - día ....................................................... 259 Figura 20 Efecto del aumento de las vacas en los días que dura el alimento ............. 260 Figura 21 Relación metros pared –kilogramos de pintura ............................................ 261 Figura 22 Efecto del aumento de los metros de pared en los kilogramos de pintura requeridos ................................................................................................................................... 261 Figura 23 Efecto de la disminución de los metros de pared en los kilogramos de pintura requeridos ................................................................................................................................... 262 Figura 24 Relación cantidad pintores con días obra ..................................................... 263 Figura 25 Efecto del aumento pintores en los días duración obra ............................... 264 Figura 26 Efecto de la disminución de los pintores en los días de duración obra ....... 264 Figura 27 Relación mano obra- tiempo con verbo hacer .............................................. 272 Figura 28 Efecto del aumento mano de obra en el tiempo con verbo hacer ................ 272 Figura 29 Representación gráfica del ejemplo del contexto propio .............................. 273 Figura 30 Efecto de aumentar la mano de obra en el tiempo de duración de un hacer

..................................................................................................................................................... 274

Figura 31 Tipo de corresponsabilidad, mano de obra y tiempo con el verbo hacer .... 274 Figura 32 Relación vacas y días que dura la paja ........................................................ 278 Figura 33 Efecto disminución de las vacas en los días que dura la paja ..................... 278 Figura 34 Proceso de Análisis y Determinación del Tipo de Correlación ..................... 280

Figura 35 Relación estudiantes – profesores en un colegio ......................................... 284 Figura 36 Representación como razón de la relación estudiantes – profesores ......... 285 Figura 37 Relación entre mujeres víctimas de violencia y mujeres .............................. 287 Figura 38 Razón entre mujeres víctimas de violencia y mujeres ................................. 287 Figura 39 Comparativo entre relación y razón con el ejemplo de mujeres víctimas de violencia ...................................................................................................................................... 288 Figura 40 Procedimiento a seguir para determinar proporciones................................. 291 Figura 41 Parte 1 del procedimiento a seguir para solucionar problema de valor – incógnita ...................................................................................................................................... 292 Figura 42 Parte 2 del procedimiento a seguir para solucionar problema de valor – incógnita ...................................................................................................................................... 292 Figura 43 Relación dinero a pagar -metros cúbicos de agua ....................................... 297 Figura 44 Relación dinero a pagar - incógnita .............................................................. 297 Figura 45 Representación gráfica del problema costo del agua .................................. 298 Figura 46 Aplicación criterio de cambio en la magnitud de entrada pago de dinero ... 300 Figura 47 Análisis del tipo de correspondencia con la magnitud de salida metros cúbicos de agua ....................................................................................................................................... 301 Figura 48 Aplicación método facilitador problemas regla de tres, relación dinero pagado

– metros cúbicos de agua........................................................................................................... 305

Figura 49 Ecuación resultante tras aplicar los pasos 2 y 3 del método facilitador problemas regla de tres .............................................................................................................. 305 Figura 50 Simplificación de la ecuación ........................................................................ 306

Figura 51 Representación gráfica del problema consumo alimentos estudiantes- días de víveres ......................................................................................................................................... 306 Figura 52 Técnica de Inversión en Problemas Inversamente Proporcionales ............. 307 Figura 53 Representación gráfica luego de aplicar la técnica de Inversión en el problema inversamente proporcional estudiantes- días de víveres campamento .................................... 308 Figura 54 Aplicación método facilitador problemas regla de tres relaciones cantidad de estudiantes- días de víveres ....................................................................................................... 309 Figura 55 Ecuación producto del análisis de los magnitudes estudiantes- días de víveres

..................................................................................................................................................... 309

Figura 56 Resultado de la simplificación de la ecuación .............................................. 310 Figura 57 Proceso de Análisis y Resolución de Problemas de Regla de Tres con el Método Alternativo Propuesto .................................................................................................... 312 Figura 58 Representación gráfica del problema de cosecha de cerezas..................... 314 Figura 59 Aplicación criterio de cambio en las magnitudes granjero y días de cosecha

..................................................................................................................................................... 315

Figura 60 Efecto del aumento granjeros en los kilogramos de cereza cosechada ...... 316 Figura 61 Análisis del tipo de correspondencia de la magnitud granjero con kilogramos de cereza cosechada .................................................................................................................. 317 Figura 62 Efecto del aumento días de cosecha en los kilogramos de cereza cosechada

..................................................................................................................................................... 317

Figura 63 Análisis del tipo de correspondencia de la magnitud días de cosecha con kilogramos de cereza cosechada ............................................................................................... 318

Figura 64 Tipo de correspondencia entre las magnitudes granjeros y días de cosecha con la magnitud kilogramos de cereza cosechada .................................................................... 319 Figura 65 Aplicación método facilitador problemas regla de tres relaciones cantidad de estudiantes- días de víveres ....................................................................................................... 320 Figura 66 Ecuación construida a partir del análisis de las magnitudes ........................ 321 Figura 67 Resultado de la simplificación ....................................................................... 321 Figura 68 Representación gráfica del problema de construcción de muro .................. 322 Figura 69 Aplicación criterio de cambio en las magnitudes obreros, metros de muro y horas/día ..................................................................................................................................... 323 Figura 70 Efecto del aumento de los obreros en los días construcción del muro ........ 325 Figura 71 Análisis del tipo de correspondencia de la magnitud obreros con días construcción muro ....................................................................................................................... 325 Figura 72 Efecto del aumento de la longitud del muro en los días dura la obra .......... 326 Figura 73 Análisis del tipo de correspondencia de la magnitud longitud muro con días dura la obra ................................................................................................................................. 326 Figura 74 Efecto del aumento de las horas/ día en los días dura la obra .................... 327 Figura 75 Análisis del tipo de correspondencia de la magnitud horas con los días de duración de la obra ..................................................................................................................... 327 Figura 76 Tipo de correspondencia entre las magnitudes obreros, metros de muro y horas/día con días dura la obra .................................................................................................. 328 Figura 77 Técnica de inversión en problemas inversamente proporcionales aplicada al problema de construcción de muro ............................................................................................ 330

Figura 78 Representación gráfica luego de aplicar la técnica de Inversión en las magnitudes inversamente proporcional del problema de construcción de muro ...................... 331 Figura 79 Aplicación Método facilitador problemas regla de tres compuesta en el problema de la construcción del muro ....................................................................................... 332 Figura 80 Ecuación producto del problema de la construcción del muro ..................... 332 Figura 81 Resultado de la simplificación ....................................................................... 332 Figura 82 Actividad notas Post-It ................................................................................... 347 Figura 83 Fallas en los procesos de traducción de los estudiantes ............................. 365 Figura 84 Evidencia de solución a través de pensamiento aditivo ............................... 366 Figura 85 Evidencia de errores de traducción............................................................... 367 Figura 86 Imagen del Pre-Test desarrollado por la estudiante con autismo ................ 371 Figura 87 Relación entre animales y el número de patas ............................................. 381 Figura 88 Relación entre animales y su clasificación como vertebrados ..................... 383 Figura 89 Relación profesores – estudiantes que hay en el colegio ............................ 384 Figura 90 Relación estudiante – profesores que hay en el colegio .............................. 384 Figura 91 Ejemplo compartido a los acudientes y estudiantes vía WhatsApp ............. 392 Figura 92 Tarea compartida a los acudientes y estudiantes a través de WhatsApp ... 393 Figura 93 Solución de la tarea realizada por la estudiante con autismo ...................... 395 Figura 94 Respuesta sobre la preferencia entre verbo y magnitud de una estudiante 398 Figura 95 Impacto de la cantidad de arepas en el tiempo de preparación de Doña Rosa

..................................................................................................................................................... 402

Figura 96 Correlación entre el aumento de metros de pared y los kilogramos de pintura requeridos ................................................................................................................................... 404 Figura 97 Correlación entre el aumento de pintores y la duración en días de la obra. 405 Figura 98 Hoja de apoyo visual para facilitar el análisis de correlación entre magnitudes

..................................................................................................................................................... 413

Figura 99 Introducción del verbo 'hacer' para analizar el impacto del aumento de mano de obra en el tiempo requerido ................................................................................................... 417 Figura 100 Efecto de aumentar la mano de obra en el tiempo de duración en un hacer cotidiano ...................................................................................................................................... 418 Figura 101 Efecto de la disminución de las vacas en los días de duración de la paja 419 Figura 102 Relación entre comprar y pagar: efecto del aumento en la cantidad sobre el dinero necesario ......................................................................................................................... 420 Figura 103 Representación gráfica del problema costo del agua ................................ 429 Figura 104 Aplicación del criterio de cambio en la magnitud de entrada “pago de dinero”

..................................................................................................................................................... 431

Figura 105 Análisis del tipo de correspondencia con la magnitud de salida “metros cúbicos de agua” ......................................................................................................................... 432 Figura 106 Aplicación del método facilitador problemas regla de tres: relación entre dinero pagado y metros cúbicos de agua ............................................................................................. 433 Figura 107 Ecuación obtenida mediante la aplicación del método facilitador .............. 434 Figura 108 Trabajo de la estudiante con autismo en la representación gráfica y análisis de correlación entre magnitudes ................................................................................................ 436

Figura 109 Ejemplos simplificados para practicar el método facilitador con magnitudes directa e inversamente proporcionales ...................................................................................... 443 Figura 110 Indicador "C.R." en las respuestas de los estudiantes sobre la condición de regularidad .................................................................................................................................. 463 Figura 111 Errores en la identificación de la condición de regularidad ........................ 465 Figura 112 Errores de comprensión incompleta en el ajuste de la magnitud de salida467 Figura 113 Errores en la organización de datos en la representación gráfica del problema

7-2 ............................................................................................................................................... 468

Figura 114 Representación gráfica del problema de la cosecha de cerezas: análisis de organización de datos ................................................................................................................. 484 Figura 115 Aplicación del criterio de cambio en las magnitudes: granjero y días de cosecha ....................................................................................................................................... 485 Figura 116 Tipo de correspondencia: relación entre la cantidad de granjeros y los kg de cerezas recolectados, y entre los días de cosecha y los kg de cerezas recolectados ............. 485 Figura 117 Determinación de la correlación entre magnitudes: directa (D.C.) o inversa (I.C.) en un problema resuelto por estudiantes .......................................................................... 487 Figura 118 Representación gráfica del problema de construcción de muro ................ 490 Figura 119 Aplicación criterio de cambio en las magnitudes obreros, metros de muro y horas/día ..................................................................................................................................... 491 Figura 120 Análisis del efecto en los días que demora la obra con el cambio de las otras magnitudes .................................................................................................................................. 493 Figura 121 Análisis de las correlaciones en las reglas de tres simples para resolver una regla de tres compuesta ............................................................................................................. 494

Figura 122 Técnica de inversión en problemas inversamente proporcionales aplicada al problema de construcción de muro ............................................................................................ 496 Figura 123 Representación gráfica luego de aplicar la técnica de Inversión en las magnitudes inversamente proporcional del problema de construcción de muro ...................... 497 Figura 124 Aplicación Método facilitador problemas regla de tres compuesta en el problema de la construcción del muro ....................................................................................... 498 Figura 125 Ecuación resultante de aplicar el método facilitador en el problema de la construcción del muro ................................................................................................................. 498 Figura 126 Comparación de Resultados: Pre-test vs. Post-test 7A ............................. 536 Figura 127 Comparación de Resultados: Pre-test vs. Post-test 7B ............................. 537

Lista de tablas Tabla 1 Porcentaje de promedio de respuestas incorrectas en cada aprendizaje evaluado en matemáticas ............................................................................................................................. 43 Tabla 2 Diferencias de integración e inclusión ................................................................ 86 Tabla 3 Principales diferencias, integración e inclusión educativa ................................. 88 Tabla 4 Principios y pautas del DUA ............................................................................. 125 Tabla 5 Características de los subtipos de DAM ........................................................... 165 Tabla 6 Diferencias entre fracción y razón .................................................................... 215 Tabla 7 Síntesis razón como función ............................................................................. 219 Tabla 8 Comparativo relación y razón ........................................................................... 286 Tabla 9 Secuenciación de las sesiones: Temática, Actividades y Tareas.................... 337 Tabla 10 Tabla de frecuencia del Pre-test del grupo 7A ............................................... 363 Tabla 11 Tabla de frecuencia del Pre-test del grupo 7B ............................................... 364 Tabla 12 Tabla de condiciones de regularidad asociadas a verbos generadores........ 425 Tabla 13 Resultados de la evaluación de la regla de tres simple en el grupo 7A, categorizados por errores conceptuales y procedimentales ..................................................... 462 Tabla 14 Resultados de la evaluación de la regla de tres simple en el grupo 7B, categorizados por errores conceptuales y procedimentales ..................................................... 476 Tabla 15 Resultados de la evaluación de la regla de tres compuesta en la prueba piloto del grupo de grado octavo, categorizados por errores conceptuales y procedimentales ......... 508 Tabla 16 Resultados de la evaluación de la regla de tres compuesta en la prueba piloto en el grupo de séptimo, categorizados por errores conceptuales y procedimentales .............. 515

Lista de anexos Anexo A. Guía de trabajo para clase de matemáticas: recogiendo la voz del estudiantado a través de notas post-it ............................................................................................................. 577 Anexo B. Guía de trabajo para clase de artes: recogiendo la voz del estudiantado a través de notas post-it ........................................................................................................................... 581 Anexo C. Pre-test con apoyos visuales para evaluar razonamiento proporcional y dificultades matemáticas ............................................................................................................ 584

1. Introducción

Es una realidad que el sistema educativo colombiano en la actualidad se encuentra integrado por diferentes tipos de estudiantado y que ello incide de manera determinante dentro de los procesos pedagógicos y educativos desarrollados al interior de sus aulas. Por ejemplo, si se observa con detenimiento, es muy posible que en ellas se logre identificar un grupo con diversidad funcional, la cual puede abarcar diversas áreas del orden sensorial, neurológico, cognitivo, comunicativo, psicológico, físico-motriz (Romañach y Lobato, 2005). De igual manera, también sería posible la presencia de otro que esté conformado por un alumnado poseedor de capacidades excepcionales, y, finalmente, un último constituido por otra clase de diversidad, como lo puede ser la étnica, cultural, etc. De allí que, a la hora de pensarse en las acciones a realizar dentro de las mismas, sea necesario partir del hecho de que estas son esencialmente heterogéneas.

En respuesta a lo anterior, durante las últimas décadas, se ha planteado como uno de los propósitos desde las políticas del gobierno implementar una educación inclusiva, justa y equitativa, que responda a las necesidades de todo el estudiantado. No obstante, resulta paradójico destacar que a pesar de lo aquí expuesto en muchos casos, dentro de las dinámicas propias de la escuela, es el estudiante quien debe procurar adaptarse a estas y no al revés (Blanco, 2006).

Una de las razones para que dicha situación se dé se encuentra en la manera en que esta problemática ha sido abordada dentro de las instituciones educativas, las cuales se han acogido a modelos integradores y no propios de una educación inclusiva, lo que termina por afectar el desarrollo y apropiación social del conocimiento del estudiantado. En este punto, es importante señalar la diferencia entre un modelo de integración y la educación inclusiva. Así, en el primero cualquier estudiante con diversidad participa del

aprendizaje en un aula regular junto al resto del alumnado, pero se le exige que se adecúe a lo que esta le ofrece, sin que se tengan en cuenta las particularidades de su condición dentro de los procesos que se realizan. Por el contrario, en la inclusión, o educación inclusiva, se parte del supuesto básico de que es necesario realizar modificaciones en el sistema para que se ocupe de todos y cada uno, lo que lleva a que estos “no tienen por qué adaptarse a la normalidad, pues no son anormales, sino que el entorno y el medio les entorpecen su vivir” (Padilla, 2011, p.678). La educación inclusiva se concibe como un proceso constante para buscar las mejores formas de responder a la diversidad. Se trata de aprender a vivir con la diferencia y a la vez de estudiar cómo aprovechar las experiencias derivadas de la misma, “de tal forma que estas últimas lleguen a considerarse más positivamente como incentivo para fomentar el aprendizaje, tanto de niños como de adultos” (UNESCO, 2008, p. 21). Es por ello que tener aulas con modelos integradores aleja a muchos que poseen algún tipo de diversidad de la posibilidad de entender la realidad y/o el contexto de la clase, impidiéndoles adquirir y tener las herramientas requeridas para tal fin, ya que la forma en que se les presentan los conceptos no es acorde con las herramientas de interpretación que poseen de manera previa.

La UNESCO (2005) habla de inclusión en los siguientes términos:

Es un proceso que permite abordar y responder a la diversidad de las necesidades de todos los educandos a través de una mayor participación en el aprendizaje, las actividades culturales y comunitarias y reducir la exclusión dentro y fuera del sistema educativo. Lo anterior implica cambios y modificaciones de contenidos, enfoques, estructuras y estrategias basados en una visión común que abarca a todos los niños en edad escolar y la convicción de que es responsabilidad del sistema educativo regular educar a todos los niños y niñas. El objetivo de la inclusión es brindar respuestas apropiadas al amplio espectro de necesidades de aprendizaje, tanto en entornos formales como no formales de la educación. La educación inclusiva, más que un tema marginal

que trata sobre cómo integrar a ciertos estudiantes a la enseñanza convencional, representa un enfoque que examina cómo transformar los sistemas educativos y otros entornos de aprendizaje, con el fin de responder a la diversidad de los estudiantes. El propósito de la educación inclusiva es crear un ambiente donde los maestros y estudiantes se sientan cómodos ante la diversidad y la perciban no como un problema, sino como un desafío y una oportunidad para enriquecer el entorno de aprendizaje (p.13). De lo anterior se puede deducir que la educación inclusiva trasciende el ámbito educativo, manifestándose en otros escenarios, como lo son el laboral, el de la salud, el de la participación social, etc., con lo cual apunta a todas las esferas que de algún modo tienen que ver con la calidad de vida de las personas (Gine, 2004).

En este sentido se debe hacer evidente el carácter estratégico que posee la escuela como espacio de preparación para la vida adulta, en especial si se comprende que una educación donde no se respete la diversidad genera discriminación y, en consecuencia, como afirma Medina García (2017):

La segregación escolar desde la escuela induce también a la segregación social y a la marginación de la vida activa. Sin embargo, la inclusión fomenta actitudes positivas y favorece la integración en la vida adulta. Por ello, es necesario comprender que todos somos diferentes y que denominaciones como discapacidad y desigualdad no resuelven nada (p. 71).

En el año 2006 en La Convención de las Naciones Unidas sobre los Derechos de las Personas con Discapacidad (Naciones Unidas, 2008), se garantizó el derecho a la educación inclusiva, pero no llegó a definir con precisión la inclusión en la educación. En 2016 la Organización Naciones Unidas (2016), realizo la Observación general Nº 4 del artículo 24 de la

Convención de las Naciones Unidas sobre los Derechos de las Personas con Discapacidad de

2006 (Naciones Unidas, 2008), en la cual se definió la educación inclusiva como:

un proceso de reforma sistémica que conlleva cambios y modificaciones en el currículo, los métodos de enseñanza, los enfoques, las estructuras y las estrategias de la educación para superar los obstáculos con la visión de que todos los alumnos de los grupos de edad pertinentes tengan una experiencia de aprendizaje equitativa y participativa y el entorno que mejor corresponda a sus necesidades y preferencias. La inclusión de los alumnos con diversidad funcional en las clases convencionales sin los consiguientes cambios estructurales, por ejemplo, en la organización, el currículo y las estrategias de enseñanza y aprendizaje, no constituye inclusión. Además, la integración no garantiza automáticamente la transición de la segregación a la inclusión. (p. 4). En el informe de seguimiento de la educación en el mundo realizado por la UNESCO (2020),se reconoce que la inclusión en la educación es, ante todo, un proceso que busca atender de manera integral la diversidad de necesidades de todos los niños, jóvenes y adultos. Este proceso no solo busca eliminar las barreras al derecho a la educación, sino que también cambiar la cultura, las políticas y la práctica de las escuelas ordinarias a fin de dar cabida e incluir efectivamente a todos los educandos. En este proceso, se implementan medidas que aceptan la diversidad y crean un sentimiento de pertenencia, arraigadas en la creencia que cada persona es valiosa e igualmente digna, tiene potencial y debe ser respetada, independientemente de su diversidad (social, cultural, biológica, intelectual, afectiva, etc.). El informe destaca la importancia de reconocer que la educación inclusiva va más allá de la atención exclusiva a las personas con discapacidades, resaltando su contribución al objetivo de inclusión social. Se subraya que los mismos mecanismos excluyentes afectan a diversas personas debido a factores como género, edad, ubicación geográfica, pobreza, origen étnico, pertenencia a pueblos indígenas, lengua, religión, migración o situación de desplazamiento,

orientación sexual o expresión de identidad de género, encarcelamiento, creencias y actitudes. Es evidente que el sistema educativo y el contexto cultural muchas veces no reconocen ni abordan la diversidad y multiplicidad de necesidades. En este sentido, la sociedad ha jugado un papel crucial al establecer normas, definir principios de normalidad y percibir la diferencia como una anomalía.

En consecuencia, la educación inclusiva emerge como un elemento clave para avanzar en el camino de superar la exclusión social, aunque no se puede afirmar que por sí sola la elimine. No obstante, como el docente es quien le da vida en el aula, este debe procurar no solo transmitir conocimiento, sino también implantar la semilla para la construcción de sociedades más democráticas, equitativas e inclusivas, pues, como lo expresa Fátima Álvarez (Álvarez, 2022). El aula ha de ser una escuela para la vida, un lugar para ensayar el mundo deseable al que aspiramos. Y ello, más allá del deber legal, como deber moral de nuestras sociedades en las que todos hemos de tener cabida (p. 114).

Sin embargo, existen múltiples barreras que impiden una educación inclusiva real y efectiva (Ruiz Botero, 2022), como son la exclusión, las debidas al docente (entre las que se podría nombrar la falta de formación en este campo), las arquitectónicas, entre otras. Por tal razón es fundamental instaurar un proceso de búsqueda y eliminación o mitigación, empezando por aquellas que afectan la participación y el aprendizaje.

En este contexto, la educación inclusiva debe ser entendida como una invitación a educar en la diversidad, generando ambientes donde todo el mundo se sienta apreciado y reconocido en su igual dignidad, de modo que pueda desarrollar el modo de vida que tiene razones para valorar (Gracia, 2018).

En este sentido, las matemáticas juegan un papel trascendental en el proyecto de vida del estudiantado (Ritchie y Bates, 2013). Sin embargo, es importante reconocer que dentro de

esta área del conocimiento muchos suelen encontrar diferentes obstáculos que les impiden tener un acercamiento y un desarrollo adecuado de sus habilidades, las cuales pueden estar ligadas a factores como una mala instrucción, aspectos motivacionales, entre otros (D. Hammill, 1990), a los que se puede añadir elementos intrínsecos al individuo, como son las Dificultades de Aprendizaje, DA, y las Dificultades de Aprendizaje en Matemáticas, DAM (American Speech- Language-Hearing Association, 1998; National Joint Committee on Learning Disabilities, 1991; Romero P. & Lavigne C., 2005) Por tal motivo, dentro de este proceso investigativo se ha planteado la necesidad de vislumbrar estas barreras y entender cómo afectan el aprendizaje de las matemáticas. Además, se han identificado y descrito aspectos claves para una Educación Matemática Inclusiva, lo que demuestra que, si bien existen desafíos, también hay enfoques y estrategias específicas que pueden mejorar la enseñanza y el aprendizaje de esta área para todo el estudiantado, independientemente de sus habilidades y características individuales. La educación inclusiva en el ámbito de las matemáticas no solo implica brindar igualdad de oportunidades en el acceso a esta materia, sino también considerar las diversas formas de aprender y abordar sus conceptos, asegurando que cada individuo pueda desarrollar su potencial y participar plenamente en su proceso educativo.

Adicional a lo anterior, al promoverla no solo se están superando las barreras en el aula, sino que también se está contribuyendo a una sociedad más equitativa y justa, donde cada persona tenga la oportunidad de alcanzar su máximo desarrollo.

Por ende, uno de los fines de este trabajo es centrarse en identificar las barreras asociadas a la enseñanza y/o aprendizaje de los conceptos de fracciones, razones, proporcionalidad y proporciones. Con el objetivo de desarrollar una estrategia didáctica que contribuya al abordaje de problemas de proporcionalidad directa e inversa, tanto simple como

compuesta, mediante un método alternativo basado en la regla de tres para la solución de los mismos.

Con este enfoque, se busca aportar a los esfuerzos por avanzar hacia un futuro en el que la educación sea verdaderamente accesible y enriquecedora para cada individuo, sin importar sus diferencias, y, con ello, contribuir en la construcción una sociedad más justa e incluyente.

1.1 Problema

En diferentes ámbitos nacionales e internacionales se aborda la temática de una educación inclusiva y de calidad. Sin embargo, no se puede considerar que una educación posea tales características si no se implementan estrategias efectivas para abordar y responder a la diversidad de necesidades de todos los educandos a través de la disminución de las barreras del aprendizaje.

El sistema educativo colombiano enfrenta el desafío de responder a la diversidad funcional presente en sus aulas, la cual puede abarcar áreas del orden sensorial, neurológico, cognitivo, comunicativo, psicológico y físico-motriz (Romañach y Lobato, 2005). Además, de diversidad como puede ser la étnica, cultural, entre otras diversidades. A pesar de los esfuerzos gubernamentales por implementar una educación inclusiva, la realidad refleja que, en muchos casos, son los estudiantes quienes deben adaptarse a las dinámicas escolares, contradiciendo el principio fundamental de una educación que responde a las necesidades de todos (Blanco,

2006).

Dicho lo anterior se debe resaltar la importancia de distinguir entre el modelo de integración y la educación inclusiva. Mientras que la integración implica que el estudiante con diversidad se adapte a un aula regular sin tener en cuenta sus particularidades, la educación inclusiva propone modificaciones en el sistema para abordar las necesidades individuales,

reconociendo que la diversidad no requiere adaptación a una supuesta "normalidad" (Padilla,

2011).

La educación inclusiva, según la UNESCO (2005), es un proceso constante que busca responder a la diversidad, no solo en entornos educativos formales sino también en otros ámbitos de la vida. Sin embargo, muchas instituciones educativas colombianas se han aferrado a modelos integradores, afectando el desarrollo del conocimiento de los estudiantes. La Convención de las Naciones Unidas sobre los Derechos de las Personas con Discapacidad (Naciones Unidas, 2008) y su Observación general Nº 4 (2016) definen la educación inclusiva como un proceso de reforma sistémica que requiere cambios en currículos, métodos de enseñanza, enfoques y estructuras para garantizar una experiencia de aprendizaje equitativa y participativa.

El informe de seguimiento de la educación en el mundo de la UNESCO (2020) destaca la importancia de reconocer la diversidad y cambiar las culturas, políticas y prácticas educativas para incluir a todos los educandos. Sin embargo, persisten barreras que impiden una educación inclusiva efectiva, como la falta de formación docente en este campo y barreras arquitectónicas (Ruiz Botero, 2022).

En este contexto, se torna imperativo considerar cómo las barreras afectan específicamente el aprendizaje de las matemáticas, una disciplina fundamental en el proyecto de vida del estudiantado (Ritchie y Bates, 2013). Obstáculos como las dificultades de aprendizaje en matemáticas, destacan la necesidad apremiante de una Educación Matemática Inclusiva. Por otra parte, el área de matemáticas es considerada como una de las que mayor frustración genera. En este sentido, la proporcionalidad, un componente fundamental dentro del currículum matemático, ha sido identificado como “uno de los más complejos matemáticamente hablando y de los más difíciles de enseñar” (Torres & Deulofeu, 2018, p. 105). Estudios previos

han revelado que los adolescentes tempranos y muchos adultos tienen dificultad con los conceptos básicos de fracciones, tasas y proporción, y con problemas relacionados con estos (Hart, 1988; Lesh et al., 1988; Noelting, 1980a; Singh, 2000; Vergnaud, 1983). Resolver problemas de proporcionalidad se hace necesario en la medida en que dicha noción está presente en muchos ámbitos de la vida cotidiana, además de ser una temática presente en todos los niveles de las matemáticas escolares, así como en la estructura descriptiva de la física y otras ciencias (S. M. Cohen, 2012). Sin embargo, las ideas de proporcionalidad no suelen ser comprendidas debido a que es común que sean reemplazadas rápidamente y se enseñen de manera mecánica utilizando la regla de tres (Ramírez y Block, 2009). Aunque esta técnica puede ser útil para obtener la respuesta a un problema, su aplicación de forma algorítmica no proporciona un aprendizaje enriquecedor y brinda pocas oportunidades para que el estudiantado pueda asimilar elementos fundamentales de la proporcionalidad y su aplicación contextual (Cohen, 2012).

Las pruebas PISA 2022 para Colombia revelan un panorama preocupante, donde apenas el 29 % de los estudiantes alcanzó al menos el Nivel 2 de desempeño en matemáticas, significativamente por debajo del promedio de la OCDE, que es del 69 % (OECD, 2023). Los estudiantes en este nivel son capaces de emplear algoritmos, fórmulas, convenciones o procedimientos básicos y hacer interpretaciones literales de los resultados (OCDE, 2022),sugiriendo que la mayoría de los estudiantes colombianos pueden abordar problemas sin razonar profundamente sobre los datos, siendo en el Nivel 3 donde se da la opción de "seleccionar y aplicar estrategias simples de solución de problemas" (OCDE, 2022, p. 16). En la Institución Educativa Juan Manuel González (IEJMG), una entidad de carácter oficial ubicada en Dosquebradas (Risaralda) que presta los servicios educativos a 1226 estudiantes, de los cuales 604 cursan básica secundaria y media, se observan dificultades entre los estudiantes de secundaria al resolver problemas de proporcionalidad. Incluso muchos que

logran determinan la solución tienden a hacerlo de manera mecánica, limitándose a dar solución de una forma algorítmica, sin realizar un análisis previo de la información. Esta problemática, evidenciada en el estudiantado de la institución, no es ajena a contextos universitarios, como lo demuestran estudios previos realizados en Colombia (Vidales, 2018), y España (Gairín & Oller,

2012).

Los resultados de las pruebas SABER 11º del año 2022 para los estudiantes de la IEJMG muestran que, a pesar de que los porcentajes de respuestas incorrectas son comparables con el promedio nacional, son mayores en relación con los resultados de las otras instituciones educativas de la Entidad Territorial Certificada (ETC) Dosquebradas. La información consignada en la Tabla 1 revela que, en matemáticas los estudiantes de IEJMG presentan barreras para el aprendizaje en la aplicación de procedimientos, como la regla de tres, por ejemplo. Estos resultados en la Tabla 1 resaltan que en general los estudiantes no comprenden cuando los procedimientos son válidos para el contexto y presentan dificultades para validar si sus respuestas son coherentes y tengan sentido en el contexto del problema cuantitativo dado. Demostrando que en muchas ocasiones realizan soluciones a problemas de una forma algorítmica sin razonar sobre los datos, lo que es consistente con los resultados nacionales de las pruebas PISA.

Tabla 1 Porcentaje de promedio de respuestas incorrectas en cada aprendizaje evaluado en matemáticas Porcentaje de promedio de respuestas incorrectas en cada aprendizaje evaluado en matemáticas Aprendizaje

IEJMG

Colombia Entidad territorial certificada (Dosquebradas) Frente a un problema que involucre información cuantitativa, plantea e implementa estrategias que lleven

54%

54%

47%

a soluciones adecuadas.

Comprende y transforma la información cuantitativa y esquemática presentada en distintos formatos

38%

41%

36%

Valida procedimientos y estrategias matemáticas utilizadas para dar solución a problemas

61%

60%

56%

Nota. Tomada de Reportes de resultados para establecimientos educativos 2022-4 del ICFES para la

IEJMG

http://www.icfesinteractivo.gov.co/resultados-saber2016web/pages/publicacionResultados/agregados/saber11/agregadosEstablecimiento.jsf#No-backbutton Estas observaciones y los resultados de la evaluaciones PISA indican que el pensamiento variacional, definido como el reconocimiento, percepción, identificación y la caracterización de la variación y el cambio en diferentes contextos (Ministerio de Educación Nacional, 2006), podría desempeñar un papel preponderante en las barreras que enfrentan los estudiantes al resolver problemas de variación proporcional. La falta de comprensión de este pensamiento variacional puede limitar su capacidad para aplicar estrategias más avanzadas en la resolución de problemas matemáticos, impactando directamente en su desempeño académico y en la adquisición de competencias esenciales para su desarrollo integral (Lamon, 2006). La implementación de una estrategia didáctica inclusiva que aborde la resolución de problemas de proporcionalidad mediante el método de regla de tres se presenta como un desafío significativo. La necesidad de garantizar que todos los estudiantes adquieran la capacidad de identificar la existencia de una variación proporcional entre dos magnitudes, determinando su

tipo (directa o inversa), y de verificar el cumplimiento del principio de regularidad (Gairín y Escolano, 2009; Gairín y Oller, 2012) se convierte en un problema crucial. Esta tarea se vuelve esencial para prevenir la sobre-generalización de la linealidad, fenómeno identificado como riesgoso en la literatura (De Bock et al., 2007). La complejidad radica en desarrollar una estrategia didáctica de enseñanza y aprendizaje efectiva que atienda la diversidad de necesidades de los estudiantes, en lo relacionado con las competencias de la proporcionalidad y evitando la simplificación excesiva que pueda conducir a malentendidos y limitaciones conceptuales. Este problema adquiere mayor relevancia en el contexto de la Institución Educativa Juan Manuel González y puede extenderse a otros entornos educativos, exigiendo una solución integral que aborde tanto la diversidad de habilidades y conocimientos de los estudiantes como las mejores prácticas pedagógicas en la enseñanza de las matemáticas.

1.2 Justificación

Las discusiones que se dan en torno a la educación a nivel nacional e internacional plantean la necesidad de que la misma debe darse en unas condiciones de calidad e inclusión. Esto constituye una oportunidad para que el docente reconozca como uno de los principios básicos de la educación inclusiva el hecho de que todo el estudiantado pueda participar de manera significativa y aprender en la escuela. No obstante, lo anterior le exige enseñar con un alto nivel intelectual en clases que pueden ser heterogéneas desde el punto de vista académico, lingüístico, racial, social, de capacidades cognitivas, entre otras. Por lo tanto, es necesario para él generar diferentes estrategias que faciliten abordar y responder a la diversidad de los educandos, llevando a la disminución de las barreras del aprendizaje y propiciando una mayor participación, , tanto en el aula como en la cultura escolar (Booth y Ainscow, 2015). Así mismo, si la sociedad ha de ser inclusiva, desde la escuela se debe trabajar en ello apoyando los principios que sustentan esta noción, es decir, enseñando a convivir

con la diversidad, a respetar la diferencia y a comprender que todas las personas son igualmente dignas.

Al mismo tiempo, una educación inclusiva que propenda el desarrollo humano debe procurar que el estudiantado sienta, exprese y comprenda que la vulnerabilidad es parte del ciclo de vida y puede manifestarse de diferentes formas, como lo son dificultades de aprendizaje, diversidad funcional (Romañach y Lobato, 2005), diferencias culturales y/o situaciones personales difíciles, entre otras. En otras palabras, todas las personas son vulnerables a lo largo de sus vidas de distintas formas, por lo que la cuestión no es privarse de esa experiencia, cuyos frutos son los miedos y los temores, sino aprovecharla como parte de la vida humana. Por un lado, el estado de miedo y temor puede conducir al encuentro con el otro, que se reconoce y vivencia igualmente vulnerable, creando espacios para la empatía y comprensión mutua. De igual modo, el asumirse frágil pone de manifiesto en el estudiantado la necesidad de apoyarse en otros, permitiéndole experimentar y entender que en muchas ocasiones, lejos de ser autosuficiente y bastarse a sí mismo para realizar las actividades que se propone, se encuentra entrelazado a los demás, es decir, “las personas somos interdependientes, porque en el fondo nos necesitamos unos a otros” (Gracia, 2022, p. 29). Así mismo, esta condición exige que tanto estudiantes, como docentes, padres, madres, familias y en general la comunidad educativa, procuren visibilizar y eliminar o mitigar las barreras existentes para la participación y el aprendizaje.

A su vez, una educación inclusiva no debe pretender perpetuar un modelo que está relacionado con las ideas de perfección y “normalidad” (Romañach y Lobato, 2005, p.3), al contrario, entiende que la diversidad es algo natural y busca que cada persona logre un desarrollo pleno académico y social, reconociéndola como una oportunidad de aprendizaje experiencial. Por ejemplo, al respecto, Gracia (2022) resalta que las personas con diversidad funcional

“atesoran un conocimiento práctico de cómo conducir una vida ante el sufrimiento, la incertidumbre y la discriminación” (p. 39).

Es así que la escuela debe brindar igualdad de oportunidades y posibilidades de llevar la vida en un ámbito que permita la libertad de elegir y valorar tanto a nivel personal como de clase (Gracia, 2018). Además, la escuela en su conjunto debe procurar no ser excluyente, flexibilizando el currículo y desarrollando estrategias didácticas que permitan al estudiantado lograr sus objetivos, puesto que, en la sociedad actual, ninguna meta educativa debería considerarse lograda a menos que se haya conseguido para todos. Así las cosas, se hace necesario investigar en el aula nuevas formas de enseñar matemáticas en concordancia con una educación inclusiva. En esta medida, dentro del presente trabajo se propone llevar a cabo una investigación que permita implementar una estrategia didáctica para la enseñanza y aprendizaje de la regla de tres simple y compuesta. Esto con el propósito de que todo el estudiantado, sin excepción, disponga de las herramientas didácticas para comprender y solucionar problemas de proporcionalidad directa e inversa.

La razón para escoger este tema se fundamenta en que los problemas de proporcionalidad son un elemento presente en todos los niveles de las matemáticas escolares y en la vida cotidiana, además de ser uno de los más complejos de abordar en el aula (Torres y Deulofeu, 2018). Para explicar mejor lo dicho sería conveniente señalar algunos ejemplos de cómo el desarrollo de investigaciones en el campo de las matemáticas vinculadas a problemas de proporcionalidad ha permitido construir y fortalecer estrategias didácticas, contribuyendo a la disminución de las barreras de aprendizaje en entornos escolares.

En primer lugar, cabe mencionar a Noelting (1980), quien a partir de un problema extracurricular representó el concepto de proporción comparando mezclas de cantidades variables de vasos de jugo de naranja y agua. Con la realización de esta investigación logró

determinar cómo el problema sería significativo o no para el individuo según la etapa de desarrollo en la que se encuentre, facilitándole estructurar un esquema acorde al nivel para ayudar a su resolución. Además, estableció que dichas etapas se dan en un orden constante. También encontró que los problemas con razones enteras de las cantidades eran más fáciles que aquellos cuyas razones no eran enteras.

Por otra parte, Karplus et al. (1983) determinaron que las estrategias utilizadas por el estudiantado y el tipo de comparación en las tareas de razonamiento proporcional se ven afectadas por el contexto y el contenido numérico del problema e, incluso, por la tarea inmediatamente anterior. Así mismo, concluyeron que la aparición de dimensiones inhibe la estrategia aditiva, lo cual indica que parte del alumnado es sensible al significado de los datos y no solo a sus magnitudes numéricas En otro ejemplo, Vergnaud (1983) desarrolló una representación esquemática para ilustrar la estructura de los problemas multiplicativos, la cual denominó isomorfismo de medidas y se encuentra conformada por una proporción directa simple entre dos espacios de medida 𝑀1 y 𝑀2. De esta manera, reconoció diferentes clases de procedimientos en la solución de una proporción directa de tres datos conocidos, identificando que las estrategias de solución usadas por el estudiantado abarcaban la aplicación de una razón escalar (razón entre dos cantidades del mismo espacio de medida) o la razón de función (comprende el cociente entre cantidades de los dos espacios); incluso ambas, o ninguna. Además, observó que solo el 1% de los alumnos utilizaba el algoritmo de la regla de tres, lo cual para el autor se debía a que este no es un pensamiento natural porque relaciona dos espacios de medida durante la multiplicación. En este sentido, el autor observó que se usaban procedimientos con razones escalares con más frecuencia que los de función. De hecho, resaltó que, aunque estas habilidades se enseñan, el desarrollo es lento y se tarda algunos años en utilizarlas con éxito en los diferentes casos numéricos. Incluso llegó a encontrarse que, terminado el ciclo escolar, parte del

estudiantado no lograba dar con la solución de los problemas más simples. Esto lo llevó a reconocer que, aunque la mayoría progresa, los problemas de un nivel bajo son dominados por la mayoría solo en el último nivel de la escuela secundaria temprana (14-15 años). De la misma manera, indicó que, en el razonamiento proporcional, se debe pasar de un método aditivo de comparación a uno multiplicativo, lo que podría explicar el conocido error aditivo en tareas de proporción.

Otro autor que vale la pena mencionar es Hart (1988), quien señaló que, en general, la capacidad de razonar proporcionalmente en un sentido cuantitativo no se manifiesta hasta después de los 11-13 años. Además, la investigación que desarrolló llegó a las siguientes conclusiones: 1) el estudiantado tienden a preferir una razón entre (razón escalar), cuando hallar la solución a un problema se puede establecer por medio de una razón entre o una razón dentro de (razón funcional); 2) la importancia de los números que intervienen en las proporciones, siendo las proporciones desiguales y no enteras las más difíciles a la hora de resolver problemas;

3) el estudiantado evita manipular fracciones; 4) la existencia de métodos incorrectos de

razonamiento que podrían identificarse en muchas muestras, por ejemplo, la estrategia de suma incorrecta.

También pudo identificar un perfil de aprendiz, al que llamó sumadores, que compartía las siguientes características: 1) reemplazan la multiplicación por sumas repetidas en preguntas fáciles, 2) agregan una diferencia fija en preguntas de ampliación que tenían una mayor complejidad o involucraron proporciones distintas de n: 1 o n: 2, 3) nunca multiplican por una fracción y, 4) son conscientes de la distorsión en las cifras, pero tienen poca idea de cómo reemplazar la estrategia que condujo al error.

En un estudio longitudinal que desarrolló a través de tres pruebas que se concretaron a lo largo de dos años, se determinó que estos no superan la estrategia de suma incorrecta. A partir de una intervención que realizó a este grupo, procuró convencerlos de que su propio

método de solución producía distorsión y luego buscó persuadirlos de que la operación necesaria era la multiplicación, pudiendo determinar que debido a deficiencias observadas en la multiplicación de fracciones tendían al fracaso. En síntesis para Hart (1988) cabría afirmar lo siguiente:

A la mayoría de los infantes les resulta difícil resolver problemas matemáticos que involucran proporciones. Sin embargo: 1) hay evidencia de que los pequeños y el estudiantado de secundaria menos exitoso tienen un sentido de lo que parece correcto o de lo que parece ser una distorsión; 2) los números usados para establecer una comparación son importantes porque el éxito es posible si no se involucra la manipulación de fracciones desconocidas; 3) un gran número de infantes resuelven problemas de proporción usando principalmente métodos aditivos que producen resultados sin emplear la operación de multiplicación; 4) la enseñanza de las fracciones debe complementarse con tareas que ayuden al estudiantado a conceptualizar lo que están haciendo con estos números; y, 5) de todas las edades, la niñez parece preferir buscar modos de solución aditivos incluso cuando el problema podría sugerir métodos multiplicativos. Cuando los primeros no sirven, el éxito no se alcanza hasta bien entrados los años de la educación secundaria.

Otro aporte investigativo que es necesario referenciar es el de Lesh et al. (1988), quienes reconocieron el razonamiento proporcional como un concepto fundamental, en la medida en que constituye la piedra angular de la aritmética de la escuela primaria y de todo lo que sigue. Adicional a esto, manifestaron que el hecho de que un estudiante obtenga la respuesta correcta a un problema de proporcionalidad es una condición necesaria, pero no suficiente, para determinar si usa un pensamiento proporcional, ya que muchos de estos se prestan a soluciones puramente algorítmicas. De hecho, se podrían notar relaciones numéricas simples (dado que a es tres veces b, x debe ser tres veces d) o usar un algoritmo de memoria, como la multiplicación cruzada. Una muestra de esto es que para resolver proporciones del tipo a/b = x/d, al

estudiantado se les suele enseñar el método de multiplicación cruzada a*d = x*b, donde x = a*d/b. Sin embargo, su uso generalizado evita el razonamiento proporcional en lugar de facilitarlo, impidiendo avanzar en la comprensión de problemas relacionados con la proporción. Los autores también sugieren que la proporcionalidad se debe dominar inicialmente en casos pequeños y restringidos de los posibles escenarios del problema. Luego, la competencia se extiende gradualmente a clases más grandes. Así mismo, el razonamiento proporcional abarca espectros más amplios y complejos de habilidades cognitivas que incluyen dimensiones tanto matemáticas como psicológicas. Por ejemplo, aunque matemáticamente la tasa tres cuartos de millas por hora se considera equivalente a la relación tres millas por cuatro horas, desde una perspectiva psicológica existen peligros en los tipos precedentes de generalidad matemática, porque es solo en un nivel de comprensión bastante sofisticado que se considera equivalente.

Por último, Singh (2000) sugirió que muchos conceptos dentro del dominio de la estructura de la multiplicación no se enseñan bien y, por lo tanto, no se aprenden como es debido, por lo cual es necesario comprender lo suficiente el significado de la multiplicación y la división para poder ver su relevancia en un proceso de iteración. Sus hallazgos también sugieren que enseñar al estudiantado a usar la estrategia de razón unitaria (encontrar la tasa para uno y multiplicar para obtener la tasa para muchos) como un enfoque estándar para problemas proporcionales puede dificultarle el desarrollo de un razonamiento multiplicativo. Gairín y Escolano (2009) destacan que la enseñanza de la regla de tres como técnica en el razonamiento proporcional para resolver problemas de valor perdido a menudo se limita a descripciones algorítmicas, sin una justificación conceptual. Esta falta de conceptualización deja a los estudiantes sin la capacidad de evaluar su pertinencia, llevando a los estudiantes a aplicar la regla de tres en contextos no proporcionales, disminuyendo su utilidad y conexión con el razonamiento proporcional en situaciones del mundo real. En consecuencia, destaca la

importancia de incorporar una base conceptual sólida en la enseñanza de técnicas como la regla de tres, proporcionando así a los alumnos las herramientas necesarias para evaluar la idoneidad de su aplicación.

La falta de conceptualización también conduce a que la estructura de los problemas juegue un papel crucial en el desarrollo del razonamiento proporcional. La forma como se plantean las preguntas puede inducir al estudiante a encontrar soluciones inapropiadas. Por ejemplo, cuando se presenta un problema con una incógnita, existe la tendencia de asumir automáticamente que se trata de una proporción, lo que lleva a la aplicación de algoritmos memorizados incluso en contextos no proporcionales (Gairín y Oller, 2012; Lesh et al., 1988; Dooren Van et al., 2005). Torres (2015) destaca la importancia de cultivar en el alumnado la habilidad para distinguir entre situaciones proporcionales y no proporcionales. Con este propósito, sugiere que los profesores utilicen un enfoque pedagógico que incluya la presentación de un listado variado de situaciones de proporcionalidad frente a escenarios en los que no puede aplicarse, pero en los que el alumno tiende a aplicarla erróneamente. Un ejemplo concreto seria: “Mamá pone 3 toallas a secar. Después de 12 horas están secas. Si el vecino tiende 6 toallas en el tendedero, ¿cuánto tardarán en secarse?” (Torres, 2015, p. 70), o en el ámbito de la educación física, 'Juan recorre los 100 m en su mejor tiempo en 25 segundos, ¿cuánto tardará en recorrer 200 m?'. Este listado abarcaría actividades de proporcionalidad, actividades aditivas, actividades afines y actividades constantes, permitiendo a los alumnos identificar y comprender las diferencias entre contextos variados y desarrollar una comprensión más sólida de la aplicación adecuada de la proporcionalidad.

La enseñanza y el aprendizaje sobre linealidad y relaciones directamente proporcionales son fundamentales en el ciclo escolar, ya que proporcionan modelos útiles para abordar situaciones tanto prácticas como teóricas en la ciencia. Sin embargo, surge una preocupación significativa relacionada con la sobre-generalización de la linealidad, conocida como la "ilusión

de linealidad", que lleva a los alumnos a aplicar conceptos lineales o proporcionales de manera indiscriminada, incluso en situaciones donde no son apropiados. Este fenómeno, observado desde la antigüedad, se ejemplifica en la creencia de Aristóteles (384-322 A.C.), quien afirmaba que la velocidad a la que cae un objeto es proporcional a su peso, una idea aceptada durante casi 2000 años hasta que Galileo (1564-1642) demostró su falsedad (Hewitt, 2007). Bock De et al. (2007) mencionan que, aunque existen numerosas prácticas, documentos e informes donde se alude a la “ilusión de la linealidad”, solo hasta años cercanos al 2007 se reportan investigaciones sistemáticas de este fenómeno. En la revisión realizada por Christodoulou (2022), se destaca que los estudiantes muestran tendencias a aplicar modelos lineales a tareas no proporcionales que involucran longitud, área y volumen. Existe la tendencia de los estudiantes a usar reglas intuitivas, como el cambio en la magnitud A lleva a un cambio en la magnitud B de la misma manera, incluso en situaciones no proporcionales. Se debe procurar un entorno didáctico adecuado para integrar la linealidad como una herramienta necesaria para la resolución de problemas. Respecto a esto último, se podría señalar que la enseñanza y aprendizaje del método de regla de tres para la solución de problemas de proporcionalidad debe velar por que los estudiantes estén en capacidad de determinar si existe una correlación entre las magnitudes y su tipo, además de la condición de regularidad (Gairín y Escolano, 2009; Gairín y Oller, 2012), con el fin de evitar lo que se ha llamado la sobre-generalización de la linealidad. Como se puede inferir a partir de lo expuesto, llevar a cabo procesos investigativos relacionados con la enseñanza de las matemáticas permite promover acciones enmarcadas en un trabajo que busca propiciar una educación inclusiva. Por esta razón, la presente propuesta tiene como objetivo desarrollar una estrategia didáctica enfocada en la enseñanza de la regla de tres simple y compuesta. Esta estrategia, concebida con un enfoque pedagógico inclusivo, busca capacitar a todo el estudiantado, sin importar el tipo de capacidades que posean, para que adquieran las habilidades necesarias para

dar solución a problemas de proporcionalidad directa e inversa. Para lograr desarrollar la estrategia didáctica y facilitar la transición hacia una educación verdaderamente inclusiva, se hace esencial identificar y eliminar las barreras para el aprendizaje y la participación de los alumnos al interior de contextos escolares heterogéneos. Todo esto se desarrolla alineado con los objetivos de la investigación, que busca no solo proporcionar herramientas didácticas, si no también abordar activamente las barreras para una educación inclusiva. El Diseño Universal para el Aprendizaje (DUA) proporciona un marco clave en este sentido, promoviendo la creación de entornos educativos flexibles que ofrezcan múltiples formas de representación, expresión y participación para garantizar que todo el estudiantado, incluyendo aquellos con diversidad funcional cognitiva, pueda acceder al contenido. En el caso de la enseñanza de la regla de tres, el DUA sugiere utilizar representaciones visuales, ejemplos prácticos y manipulativos que permitan a los estudiantes comprender de manera significativa las relaciones proporcionales (CAST, 2018).

La regla de tres, una herramienta común en la enseñanza de la proporcionalidad, puede adaptarse utilizando enfoques que combinen métodos visuales y prácticos, facilitando así la comprensión de este concepto tanto para estudiantes que enfrentan dificultades cognitivas como para aquellos que no las tienen.

Finalmente, al emplear ejemplos del mundo real y contextos significativos, como lo señala Singh (2000), la enseñanza de la regla de tres puede ser mucho más accesible para todos los estudiantes, ya que permite conectar el aprendizaje abstracto con situaciones cotidianas. Al incluir problemas cotidianos y relevantes, la estrategia didáctica propuesta facilita la adquisición de habilidades matemáticas fundamentales en un entorno inclusivo, donde todo el estudiantado puede participar activamente y desarrollar competencias esenciales para su vida escolar y cotidiana.

1.3 Pregunta

Partiendo de lo que se ha expuesto al interior del presente documento, donde se ha postulado la relevancia que posee el desarrollo de actividades investigativas en torno a la enseñanza de competencias propias del área de matemáticas, inmersa en un contexto de educación inclusiva, la pregunta de investigación que orientará el desarrollo de las actividades dentro del proceso es:

¿Cómo pueden diseñarse e implementarse de manera efectiva estrategias didácticas para la enseñanza y el aprendizaje de la proporcionalidad, considerando la diversidad funcional cognitiva, con el propósito de eliminar o mitigar las barreras para el aprendizaje y la participación, y promover un cambio sistémico hacia la educación inclusiva?

1.4 Objetivos

Con el propósito de poder dar respuesta a la pregunta planteada se establecen los siguientes objetivos que direccionan las fases a través de las cuales se estructurará el presente proceso investigativo.

1.4.1 Objetivo General

Proponer y aplicar estrategias didácticas que introduzcan un método alternativo, mediante una adaptación de la regla de tres, para resolver problemas de proporcionalidad y facilitar el aprendizaje en estudiantes de séptimo grado de la Institución Educativa Juan Manuel González, promoviendo la transición hacia una educación inclusiva a través de un enfoque de investigación con estudio de caso.

1.4.2 Objetivos específicos

1) Identificar, a través de la revisión de la literatura, las barreras que obstaculizan el logro

de una educación inclusiva en el contexto educativo.

2) Analizar las prácticas de enseñanza y aprendizaje de la proporcionalidad, a través de la

revisión de la literatura, para comprender cómo interactúan los estudiantes con este concepto y determinar las barreras que se presentan en el proceso.

3) Diseñar una estrategia didáctica adaptada de la regla de tres, considerando la diversidad

funcional cognitiva de los estudiantes, para mitigar las barreras en el aprendizaje y la participación.

4) Evaluar la efectividad y aplicabilidad de la estrategia didáctica diseñada mediante un

estudio de caso, recopilando datos cualitativos y cuantitativo sobre su impacto en el aprendizaje y obteniendo retroalimentación detallada de los estudiantes de séptimo grado de la Institución Educativa Juan Manuel González.

1.5 Metodología

Esta investigación adopta un enfoque combinado que incluye una revisión sistemática de la literatura y un estudio de caso, diseñados para desarrollar, implementar y evaluar la efectividad de una estrategia didáctica propuesta para la enseñanza y el aprendizaje de la regla de tres en la solución de problemas de proporcionalidad. Este enfoque permite un análisis profundo y contextualizado, revelando cómo las interacciones en el aula y las barreras para el aprendizaje influyen en la eficacia de las intervenciones propuestas.

La revisión bibliográfica comprendió una exploración exhaustiva de fuentes académicas, incluyendo Google Académico, ScienceDirect, Scopus, SpringerLink, Taylor & Francis Group entre otras. Se emplearon palabras clave tales como "educación inclusiva", "barreras para el aprendizaje" y "estrategias inclusivas". Esta fase del estudio permitió identificar y conceptualizar las barreras estructurales, curriculares, sociales y emocionales que dificultan la implementación de una educación inclusiva efectiva. Los resultados de esta revisión se integraron en los capítulos 2, 3 y 5 proporcionando una base teórica robusta. A partir de las barreras identificadas y las

estrategias para superarlas, se desarrolló en el capítulo 6 una estrategia didáctica innovadora, que incluye una adaptación de la regla de tres para su enseñanza en un contexto inclusivo. La segunda fase de la metodología se centra en un estudio de caso, implementado para evaluar la efectividad de la estrategia didáctica desarrollada. Este enfoque permitirá observar directamente las interacciones y dinámicas en el aula, así como recoger datos cualitativos y cuantitativos sobre el impacto de la estrategia en el aprendizaje de los estudiantes. El estudio de caso explorará cómo la estrategia diseñada aborda las barreras identificadas y promueve un cambio sistémico hacia una educación más inclusiva. Se utilizarán técnicas como observación participante, entrevistas y análisis de las producciones estudiantiles para obtener un panorama comprensivo de la efectividad y barreras persistentes de la intervención educativa.

1.5.1 Estudio de caso

En esta investigación se ha seleccionado el estudio de caso como la estrategia metodológica más adecuada para explorar la implementación de estrategias didácticas adaptadas al aprendizaje de la regla de tres en estudiantes con diversidad funcional cognitiva. Este método permite un análisis detallado y contextualizado de fenómenos complejos dentro de su contexto real, lo cual es fundamental para comprender no solo el impacto de las estrategias en el aprendizaje, sino también las interacciones que se dan dentro del aula y las barreras que surgen durante este proceso (Stake, 1999; Yin, 1994).

El estudio de caso, como señala Álvarez Álvarez & San Fabián Maroto (2012), es especialmente valioso para revelar situaciones educativas complejas, invisibilizadas por la cotidianeidad, permitiendo comprender procesos internos y exponer dilemas y contradicciones, facilitando la reflexión sobre las prácticas educativas. Este enfoque es esencial en esta investigación, ya que permite al investigador-docente observar de manera directa las interacciones entre estudiantes, las estrategias didácticas y el contexto escolar, con el fin de

identificar tanto las barreras como las oportunidades que se presentan en el aprendizaje de la proporcionalidad.

A diferencia de otros enfoques de investigación, el estudio de caso ofrece una visión holística, capturando la complejidad de las relaciones que configuran una situación particular, como señala Stake (1999). Según Álvarez Álvarez y San Fabián Maroto (2012), el valor de este enfoque radica en su capacidad para describir e interpretar fenómenos educativos dentro de su entorno real. En este estudio, se investiga cómo las estrategias didácticas propuestas contribuyen a mitigar las barreras para el aprendizaje y la participación en un entorno inclusivo, ofreciendo una perspectiva profunda y práctica para su replicación en otros contextos similares, resaltando la importancia de comprender y aplicar las percepciones y experiencias de los participantes en el diseño de intervenciones educativas efectivas. El estudio de caso permite también una observación directa y detallada de fenómenos contemporáneos, con el objetivo de extraer conclusiones útiles y aplicables, según lo explica Yin (1994). Esta metodología no solo permite entender el proceso de implementación de las estrategias didácticas, sino también evaluar su efectividad en superar obstáculos para el aprendizaje. Al emplear este enfoque, el investigador-docente obtiene la oportunidad de reflexionar críticamente sobre su práctica pedagógica, adaptando las estrategias didácticas de manera dinámica conforme surgen nuevas demandas en el entorno del aula. Esta capacidad de ajuste en tiempo real es esencial para responder adecuadamente a las necesidades cambiantes de los estudiantes y mejorar continuamente los procesos de enseñanza y aprendizaje. Aunque el estudio de caso se enfrenta a críticas por su limitada capacidad de generalización estadística, su fortaleza reside en proporcionar generalizaciones analíticas, donde una teoría previamente desarrollada se utiliza como una plantilla con la que se comparan los resultados empíricos del estudio de caso (Yin, 1994). Más allá de la estadística, este método

profundiza en la comprensión analítica de las interacciones y barreras educativas, ofreciendo perspectivas críticas para la innovación y mejora educativa continua. La subjetividad del investigador, lejos de ser un obstáculo, se considera un recurso crucial para una comprensión más rica y matizada del impacto de las estrategias didácticas propuestas. Stake (1999) sugiere que una subjetividad bien gestionada y consciente puede enriquecer significativamente el análisis, permitiendo que la investigación no solo documente el proceso y los resultados de la intervención didáctica, sino que también fomente una reflexión crítica y la adaptación continua de estrategias educativas.

Esta metodología, por tanto, no solo captura el detalle y la complejidad de las estrategias educativas en acción, sino que también promueve un entendimiento profundo que es crucial para la implementación efectiva de prácticas didacticas innovadoras y el desarrollo de nuevas teorías educativas. El cuidado en la motivación y los métodos del investigador asegura la replicabilidad de los hallazgos y su aplicabilidad en mejorar prácticas educativas en variados contextos.

1.5.1.1 Unidad de trabajo

La unidad de análisis en este estudio está compuesta por dos grupos de estudiantes de grado séptimo en la Institución Educativa Juan Manuel González, seleccionados debido a la presencia de estudiantes con diversidad funcional cognitiva. Esta selección nos permitirá observar de manera directa cómo las estrategias impactan su aprendizaje: Grupo 7A: 37 estudiantes, incluyendo una estudiante con autismo.

Grupo 7B: 36 estudiantes, varios de ellos con dificultades de aprendizaje. Este enfoque nos permitirá analizar cómo las estrategias didácticas propuestas funcionan en un entorno inclusivo, observando tanto las barreras como las oportunidades de aprendizaje que se presentan.

1.5.1.2 Diseño metodológico del estudio de caso

1.5.1.2.1 Justificación del uso del estudio de caso

El estudio de caso ha sido seleccionado por su capacidad de proporcionar una visión detallada y contextualizada de fenómenos educativos en situaciones reales. Stake (1999) y Yin, (1994) señalan que este enfoque es ideal para investigaciones que buscan entender cómo y por qué ocurren ciertos fenómenos en el aula, lo cual es relevante para este trabajo. La implementación de estrategias didácticas adaptadas para estudiantes con diversidad funcional exige un enfoque que permita observar las interacciones y adaptaciones que surgen de manera natural en el proceso de enseñanza-aprendizaje.

El investigador-docente, como observador participante, puede registrar de manera directa las interacciones que ocurren en el aula y ajustar las estrategias conforme emergen nuevas barreras cognitivas o logros educativos. Este enfoque de estudio de caso proporciona una ventaja dinámica al permitir la intervención y ajuste en tiempo real, lo que aumenta la efectividad de las estrategias didácticas adaptadas (Álvarez Álvarez & San Fabián Maroto, 2012).

1.5.1.2.2 Características del Estudio de Caso Aplicadas

Este estudio sigue los principios metodológicos del estudio de caso, como lo proponen Álvarez Álvarez y San Fabián Maroto (2012) y Pérez Serrano (1994). Las características fundamentales incluyen:

Descripción contextualizada del fenómeno educativo: Se analiza cómo las estrategias didácticas adaptadas se implementan en un contexto específico, teniendo en cuenta las características individuales de los estudiantes y el entorno escolar. Enfoque holístico: El estudio de caso permite observar la situación completa, capturando la complejidad de las interacciones entre docentes, estudiantes y estrategias didácticas (Álvarez Álvarez & San Fabián Maroto, 2012).

Heurística: El enfoque heurístico busca iluminar la comprensión del fenómeno educativo, permitiendo al investigador y a los lectores obtener una visión detallada y aplicable (Álvarez Álvarez & San Fabián Maroto, 2012).

Relaciones e interacciones: Este estudio se centra en las relaciones entre los actores educativos y las interacciones en el aula, lo que exige la participación activa del investigador (Stake, 1999).

1.5.1.2.3 Estrategias Didácticas Propuestas

Las estrategias didácticas diseñadas para este estudio se centran en la reducción de la carga cognitiva y en el uso de métodos visuales para mejorar la comprensión de la proporcionalidad. Estas incluyen:

Verbos generadores: Se utilizarán verbos como "hacer", "consumir", "comprar" y "pagar" para contextualizar situaciones matemáticas cotidianas.

Método facilitador gráfico-visual: Este enfoque gráfico permite una representación visual de problemas de proporcionalidad, tanto directa como inversa, para ayudar a estudiantes con diversidad funcional cognitiva a comprender mejor los conceptos. Trabajo cooperativo: Se promoverá el trabajo en grupos pequeños para facilitar el aprendizaje cooperativo y las interacciones entre estudiantes con diferentes capacidades.

1.5.1.3 Fases del Estudio de Caso

El estudio de caso se llevará a cabo en las siguientes fases:

Fase de planificación: Se diseñarán actividades didácticas que respondan a las barreras cognitivas identificadas en los estudiantes.

Fase de implementación: El investigador-docente guiará la implementación de las estrategias y actuará como observador participante, ajustando las estrategias conforme se detecten barreras.

Fase de observación: Se recogerán datos mediante la observación participante, con el objetivo de documentar las interacciones y el impacto de las estrategias. Fase de análisis de resultados: Se analizarán los datos cualitativos y cuantitativos para evaluar el impacto de las estrategias.

1.5.1.4 Recopilación de Datos

La recolección de datos en este estudio de caso incluirá diversas técnicas:  Observación participante: Como docente-investigador, se llevará un registro detallado de las actividades en el aula, poniendo especial atención en la participación de los estudiantes con diversidad funcional cognitiva.

 Evaluaciones del rendimiento académico: Se compararán los resultados obtenidos antes y después de la implementación de las estrategias didácticas.  Análisis de las producciones escritas: Se analizarán los ejercicios de los estudiantes para evaluar su comprensión de la proporcionalidad.

1.5.1.5 Análisis de los Resultados

El análisis de los datos se centrará en identificar patrones que evidencien la mejora en el aprendizaje de la proporcionalidad. Se utilizará un enfoque inductivo, lo que permitirá extraer conclusiones basadas en la observación de los estudiantes y en los resultados obtenidos en las evaluaciones. Además, se buscarán evidencias de cómo las estrategias didácticas lograron eliminar o mitigar barreras de aprendizaje.

Este análisis no solo permitirá evaluar el impacto de las estrategias en el rendimiento académico, sino también en la participación y motivación de los estudiantes, con el objetivo de desarrollar una enseñanza más inclusiva y efectiva.

1.6 Estructura del documento

Con el fin de aportar a la práctica docente, la realización de esta propuesta de investigación se enmarcará en la búsqueda de estrategias didácticas para la enseñanza y el aprendizaje de la regla de tres que fomenten el tránsito de un modelo de integración a una educación inclusiva. Para ello, en el capítulo 1 se realizará un análisis que permita vislumbrar hasta qué punto la educación ofrecida al estudiantado en el contexto colombiano es acorde a sus necesidades, facilitándoles desarrollar sus capacidades cognitivas y sociales para posibilitarles la vida “que tiene razones para elegir y valorar” (Gracia, 2018, p.60).

En el capítulo 2 se estudiará el concepto de educación inclusiva en contraposición al de modelo integrador. Todo ello con el objetivo de determinar si lo que se observa en un aula regular es acorde al primero desde una perspectiva social y teórica. Así mismo, se hará alusión al tipo de obstáculos que se dan al interior del sistema educativo para la aplicación eficiente de un modelo de educación inclusiva.

Dentro del capítulo 3 se realizará una descripción de las Dificultades de Aprendizaje en Matemáticas, DAM, dado que la comprensión de estas se considera relevante para el desarrollo de la investigación al brindar una guía para entender cómo procesan la información las personas que las presentan. Con ello, se favorecerá la comprensión de los errores que son más propensos a cometer, lo cual contribuirá a la consecución de las estrategias didácticas que faciliten la enseñanza y el aprendizaje de la regla de tres. Debido a que con el término DAM se engloban diferentes tipos de dificultades, el enfoque se centrará en los tres subtipos propuestos por Geary (2004): a) dificultades que se presentan en la ejecución de procedimientos aritméticos, b)

dificultades en la memoria semántica, y c) dificultades en las habilidades viso-espaciales de la información numérica.

En el capítulo 4, se presentará una revisión bibliográfica que explorará y describirá las claves para una educación matemática inclusiva. Así, se abordarán aspectos esenciales, tales como el diseño curricular inclusivo, el fomento del respeto y aceptación de la diversidad, el enfoque en habilidades múltiples, y la implementación de una enseñanza colaborativa y dedicada, entre otras. Además, se examinarán diez principios clave para lograr una enseñanza efectiva de las matemáticas, seguido por la identificación de componentes clave para promover una educación matemática inclusiva, todo esto con el objetivo de resaltar las acciones concretas que los docentes pueden llevar a cabo para contribuir a este propósito. En el capítulo 5 se estudiarán los conceptos de razón, proporción y proporcionalidad, identificando las barreras que se presentan para el aprendizaje de los mismos, así como la noción de sobre-generalización de la linealidad. Ello con el fin de construir una estrategia que garantice a todo el estudiantado desarrollar la capacidad de determinar si existe una variación proporcional entre dos magnitudes y su tipo, al igual que comprender el cumplimiento del principio de regularidad.

En el capítulo 6, tomando como base los análisis desarrollados al interior de los capítulos anteriores, se procederá a la construcción de una propuesta para la enseñanza de la regla de tres en la que se establezca un tránsito de un modelo integrador a uno de educación inclusiva. En el capítulo 7, se detalla la implementación de una estrategia didáctica centrada en un método facilitador diseñado para resolver problemas de proporcionalidad y superar las barreras de aprendizaje previamente identificadas. Se expondrá cómo esta estrategia se aplicó en aulas de séptimo grado, demostrando su capacidad para fomentar un aprendizaje inclusivo. Además,

se incluirá un estudio de caso para monitorear el impacto de la estrategia, enfocándose especialmente en su efectividad entre estudiantes con diversidad funcional cognitiva. En el Capítulo 8, se evaluará el cumplimiento de los objetivos de la tesis y se explorarán las percepciones de estudiantes y familias sobre la efectividad del método facilitador. Utilizando encuestas, entrevistas y observaciones, se recopilarán datos cualitativos y cuantitativos para evaluar la aceptación del método, los desafíos enfrentados y los éxitos obtenidos. También se discutirá cómo estas percepciones influyen en la relación de los estudiantes con las matemáticas. En el capítulo 9, se ofrece una reflexión crítica del proceso de investigación, desde la formulación teórica hasta la implementación práctica del método facilitador. Se analiza cómo la investigación ha contribuido al desarrollo de la educación matemática inclusiva, especialmente en la eliminación de barreras para el aprendizaje y la participación. Se destacarán tanto los avances conseguidos como los desafíos enfrentados. Finalmente, se presentarán recomendaciones para futuras investigaciones y prácticas docentes que aspiren a promover un enfoque educativo más inclusivo y efectivo.

2. Educación inclusiva

La educación inclusiva es un concepto que en la actualidad es foco de interés por parte de diferentes entidades e instituciones a nivel nacional e internacional, las cuales abogan por la implementación de prácticas de este tipo en las aulas. Aunque existe gran variedad de formas para entenderla a nivel mundial, Echeita y Cuevas (2011) reconocen que “el significado del término “educación inclusiva” o “inclusión educativa” continúa siendo confuso” (p. 26), llegando a ser asociado exclusivamente a la discapacidad y a las necesidades educativas especiales, lo que en realidad se aleja de su connotación y pone de manifiesto la situación de integración que afrontan los niños en las escuelas regulares (UNESCO, 2008).

En este punto se debe aclarar que integración e inclusión no pueden ser considerados sinónimos. Cuando un estudiante es integrado en la escuela, este se adapta a ella y a la cultura dominante, sin garantizar su aprendizaje y participación en condiciones de igualdad, llegando a experimentar procesos de exclusión. En educación, la exclusión no solo afecta al estudiantado que nunca han tenido acceso al sistema o han desertado del mismo, sino que también atañe a quienes, estando inmersos, sufren discriminaciones o son segregados por su origen social y cultural, su género, sus niveles de rendimiento, o sus dificultades para aprender a causa de la baja calidad de las escuelas (Blanco, 2006).

Cabe aclarar que no basta con integrar a estudiantes tradicionalmente marginados para generar procesos de inclusión. Esto es lo que se puede calificar como un paradigma de colocación, es decir, cuando la educación inclusiva se conceptualiza como un lugar y no como un servicio (Peters, 2004). Por este motivo, el sistema educativo y otros entornos de aprendizaje deben ser transformados con el fin de responder a la diversidad, desde el desarrollo de políticas, programas y experiencias que de verdad garanticen el derecho de todos los alumnos a una educación de calidad junto con sus compañeros de edades similares. De igual manera, en la

práctica se debe iniciar un proceso a través del cual se pueda responder de manera eficiente a la diversidad.

Adicionalmente, la sociedad debe evaluar los esquemas habituales de pensamiento y las acciones instauradas en varios ámbitos de la vida social, desde donde se forma una actitud, un sistema de valores y creencias, en la mente de los niños, niñas y jóvenes a lo largo de su ciclo escolar. Echeita y Sandoval (2002) manifiestan que en la actualidad se debe dialogar sobre educación inclusiva para combatir los procesos de exclusión presentes en la sociedad, además de aprender a convivir con la diferencia y aprender a aprender de esta. Desde tal perspectiva se expondrán algunas definiciones expresadas por organismos internacionales, autores e investigadores acerca del tema.

Se comenzará por la Organización de las Naciones Unidas para la Educación, la Ciencia y la Cultura, UNESCO, (2005) que expresa:

La educación inclusiva puede ser concebida como un proceso que permite abordar y responder a la diversidad de las necesidades de todos los educandos a través de una mayor participación en el aprendizaje, las actividades culturales y comunitarias y reducir la exclusión dentro y fuera del sistema educativo. Lo anterior implica cambios y modificaciones de contenidos, enfoques, estructuras y estrategias basados en una visión común que abarca a todos los niños en edad escolar y la convicción de que es responsabilidad del sistema educativo regular educar a todos los niños y niñas. El objetivo de la inclusión es brindar respuestas apropiadas al amplio espectro de necesidades de aprendizaje tanto en entornos formales como no formales de la educación. La educación inclusiva, más que un tema marginal que trata sobre cómo integrar a ciertos estudiantes a la enseñanza convencional, representa un enfoque que examina cómo transformar los sistemas educativos y otros entornos de aprendizaje, con el fin de responder a la diversidad del estudiantado. El propósito de la educación inclusiva es permitir que los

maestros y estudiantes se sientan cómodos ante la diversidad y la perciban no como un problema, sino como un desafío y una oportunidad para enriquecer el entorno de aprendizaje. La inclusión hace hincapié en brindar oportunidades para la participación equitativa de las personas con discapacidades (física, social y / o emocional) siempre que sea posible en la educación general, pero deja abierta la posibilidad de elección personal y opciones de asistencia e instalaciones especiales para quienes la necesitan (p. 13). El fragmento en cursiva hace alusión a la omisión que hacen de esta definición Echeita y Cuevas (2011) al citar en su artículo, lo cual puede dar a entender que, a su juicio, hablar de educación inclusiva implica que la escuela debe estar disponible para todos los estudiantes que pertenezcan a una comunidad y no contempla sistemas paralelos.

Ahora bien, la definición de la UNESCO reconoce que en esta clase de educación se debe responder de forma adecuada a la diversidad (social, cultural, biológica, intelectual, afectiva, etc.), buscando que todos los educandos se sientan cómodos ante ella y logren comprenderla como un espacio para enriquecerse. Al ser un proceso, se debe procurar buscar de forma continua las formas más adecuadas de abordarla y dar respuesta a su presencia. Además, se hace énfasis en que la participación en actividades culturales, deportivas, académicas y, en general, en la cultura escolar dentro y fuera del sistema educativo, resulta en algo positivo porque, como lo plantean Echeita y Sandoval (2002), el objetivo último de la educación inclusiva debe ser lograr a su vez una sociedad inclusiva. Este planteamiento de una u otra forma conduce a buscar, sembrar las semillas que permitan generar una conciencia colectiva donde se luche contra cualquier tipo de exclusión.

Para ilustrar mejor este punto se propone la siguiente reflexión: un padre puede pensar que su hijo se encuentra en una escuela inclusiva, porque nunca ha experimentado ningún tipo de exclusión dentro de esta. Pero ante la pregunta: ¿su hijo ha salido al cine con sus compañeros del colegio? El padre responde: “no”. De la respuesta del padre se puede concluir que, si bien el

estudiante experimenta procesos de inclusión al interior de la escuela (Swedeen, 2009), estos no se dan de forma activa por fuera de esta, por lo que, en consonancia con la definición ofrecida de educación inclusiva, la misma no se está logrando de manera efectiva. En otras palabras, está incluido dentro de la escuela y posiblemente excluido de las actividades de la comunidad. “La inclusión significa participar en la comunidad de todos en términos que garanticen y respeten el derecho, no sólo a estar o pertenecer, sino a participar de forma activa, política y civilmente en la sociedad, en el aprendizaje, en la escuela, etc.” (Latas, 2002, p. 18) Retomando las definiciones que se llevan a cabo con relación a la inclusión educativa, vale la pena señalar la propuesta por Booth y Ainscow (2015):

Proceso sin fin que tiene que ver con la participación de las personas, la creación de sistemas de participación y sus ajustes, y la promoción de valores inclusivos. Se trata de aumentar la participación de todos en las culturas, las comunidades y el curriculum y la reducción de todas las formas de exclusión y discriminación. Se refiere a escuchar las voces de los estudiantes y actuar en consecuencia para responder a sus demandas. Está tan relacionado con las familias y con el personal en los centros escolares como lo está con los estudiantes. No podemos apoyar la participación de los estudiantes si los adultos que trabajan con ellos no tienen voz en las decisiones que afectan a su trabajo (p.24). Se puede observar como para los autores esta debe promover el diálogo participativo e igualitario entre todos los miembros de la comunidad educativa, así como la mejora de las condiciones escolares para responder a la diversidad del estudiantado, aplicando estrategias donde “todo el mundo se sienta valorado por igual” (Booth y Ainscow, 2015, p. 26) a partir de la promoción de valores inclusivos. Booth y Aiscow destacan cinco que pueden contribuir de forma más efectiva a establecer una educación inclusiva: igualdad, participación, comunidad, respeto a la diversidad y sostenibilidad.

Es importante destacar que dentro de esta definición se hace referencia a la educación inclusiva como un proceso sin fin. Esto es determinante porque la establece como algo que se da a lo largo del tiempo, que implica el descubrimiento progresivo de las barreras que la obstaculizan y el diseño de planes de actuación para disminuir su impacto. Se trata, pues, de una búsqueda interminable de las formas más adecuadas de responder a la diversidad para aumentar la participación y el aprendizaje (Booth y Ainscow, 2015). Para Mir (1997), explicado por Arnaiz (2004) La educación inclusiva se centra en cómo apoyar las cualidades, las necesidades de cada uno y de todos los estudiantes en la comunidad escolar, para que se sientan bienvenidos, seguros y alcancen el éxito. Requiere pensar en la heterogeneidad del alumnado como una situación normal del grupo/clase y poner en marcha una planificación educativa acorde, que permita utilizar a los docentes tanto distintos niveles instrumentales y actitudinales como recursos intrapersonales e interpersonales que beneficien a todos los alumnos (p. 5-6).

Esta forma de concebir la educación inclusiva pone de manifiesto que desde lo institucional se debe buscar que cada estudiante potencie sus cualidades, brindándole los apoyos requeridos para superar sus necesidades, en un ambiente de igualdad y respeto que procure una educación de calidad. A esto se añade que el docente debe pensar de manera reflexiva las prácticas desde sus propias experiencias de aula, para así recrear otros métodos y reinventar material de enseñanza desde la diversidad, permitiendo con ellos mejorar su accionar y ampliar su ámbito de trabajo (Arnaiz, 2004).

En consonancia con esto, Casanova (2011) señala que en la educación inclusiva: El sistema educativo debe ser: el que posea las características necesarias que le permitan atender a todo tipo de alumnos en sus aulas comunes, sin separar ni escolarizar

en paralelo a los que presentan peculiaridades del tipo que sean, que debe derivar en una sociedad inclusiva, democrática al fin, que valore las diferencias de todos los ciudadanos y se enriquezca con ellas (p. 11).

Se deben dirigir sus esfuerzos a conseguir que el sistema educativo y, por lo tanto, cada centro docente, disponga de los recursos de todo tipo adecuados para atender al conjunto de la población que está en su área de influencia, con toda su diversidad. La convivencia en la diversidad es un reto que tiene planteada la educación, con vistas a alcanzar una sociedad inclusiva, consecuente con la democracia como régimen social y de gobierno (p. 13).

No existe espontáneamente por el hecho de que el niño tenga acceso abierto a la escuela ordinaria, sino que esa accesibilidad debe dirigirse al aprendizaje en plenitud de derechos y de igualdad de oportunidades con el resto de sus compañeros. Y para lograrlo, todavía falta compromiso generalizado y preparación en el conjunto del sistema educativo (p. 18). Como modelo supone una calidad educativa mejor para todos: de lo contrario no debería asumirse ni generalizarse, sino que habría que buscar otras alternativas más deseables (p. 20) (Sin cursiva en el original).

De acuerdo con esta propuesta, la educación inclusiva exige que todos los alumnos que pertenecen a una comunidad, independientemente de su diversidad, puedan acceder a una escuela común a ellos. No queriendo decir con esto que la educación sea inclusiva con solo garantizar el acceso. Para que esto se dé, exige que todos reciban una educación de calidad en igualdad de oportunidades, con una oferta educativa que asegure las condiciones necesarias para su permanencia.

Una educación que favorezca un ambiente en el que la diversidad sea valorada y vista como una oportunidad para enriquecer el aprendizaje, priorizando la formación en ciudadanía

para la democracia y la convivencia, promoviendo aprendizajes contextualizados en el aula desde el ejercicio pleno de los derechos.

En este sentido, Echeita y Ainscow (2011) proponen que, a la hora de establecer una definición de educación inclusiva con la comunidad educativa para fines estratégicos, pueden resultar útiles los siguientes elementos:

a) Entender que la inclusión es un proceso. Es decir, ha de ser vista como una búsqueda,

reflexión y análisis constante de formas más adecuadas de responder a la diversidad del alumnado. Se trata de aprender a vivir con la diversidad y a la vez estudiar cómo sacar partido de esta.

b) Ser consciente de que la inclusión busca la presencia, la participación y el éxito de todo

el estudiantado. Aquí, el término presencia se refiere al contexto donde son educados los alumnos y el nivel de fiabilidad y puntualidad con que asisten a las clases, resaltando que lo importante no es el lugar, sino la interdependencia que se establece con la participación y el aprendizaje. A su vez, el término participación se refiere a la calidad de sus experiencias mientras se encuentran en la escuela; por lo tanto, implica hacer parte del aprendizaje, los juegos o trabajar en colaboración con otros. Se trata de que los alumnos hagan elecciones e incorporen sus puntos de vista, sus voces y, más profundamente, se valore su bienestar personal y social. Por último, el término éxito tiene que ver con los resultados de aprendizaje obtenidos por el estudiante con relación al currículo.

c) Comprender que la inclusión precisa la identificación y la eliminación de barreras.

Genéricamente, se debe entender por barreras las creencias y actitudes que la comunidad educativa tiene frente a procesos de inclusión, las cuales se concretan en la cultura, las políticas y las prácticas escolares individuales y colectivas, evidenciándose en la interacción con la diversidad. Estas muchas veces generan exclusión, marginación o fracaso escolar. Por lo tanto,

para mejorar la inclusión resulta estratégico detectar cuáles son, dónde se sitúan, a quiénes afectan. Todo ello con el fin de realizar planes de mejora para mitigarlas o eliminarlas.

d) Establecer que la inclusión pone particular énfasis en aquellos grupos de alumnos que

podrían estar en riesgo de marginalización, exclusión, o fracaso escolar. Esto supone asumir la responsabilidad moral de asegurar la presencia, la participación y el éxito de los grupos que tradicionalmente han sido marginados y/o excluidos. Además de aquellos que desde las estadísticas de la escuela se encuentren en mayor riesgo o en condiciones de vulnerabilidad. Como complemento a lo propuesto por Echeita y Ainscow (2011), Booth y Ainscow (2015) hacen énfasis en la importancia de la participación como parte del desarrollo de procesos de inclusión efectivos en los entornos escolares a través de generación de espacios de diálogo y escucha. Sin embargo, se debe tener presente que los mismos se deben desarrollar en condiciones de igualdad, honestidad y confianza, reconociendo al otro como interlocutor y entendiendo que escuchar puede ser más importante que hablar; permitiendo que “lo que cuenta en la conversación es negociado y, poco a poco, se convierte en una responsabilidad compartida” (Booth y Ainscow, 2015, p.23). Por ejemplo, una forma de lograr esto podría ser realizar un diálogo en torno a estos elementos con la participación tanto de los profesores como de las familias, lo cual puede constituirse en un punto de partida hacia una mayor inclusión. Lo anterior se puede constatar en la investigación realizada por Echeita y Ainscow (2011) donde logran identificar dos factores que al estar estrechamente relacionados pueden facilitar o inhibir de manera considerable la promoción de prácticas educativas inclusivas. “Estos factores son: la claridad de la definición en relación con la idea de inclusión, y las formas de evidencia que se utilizan para medir el rendimiento educativo, en un sentido amplio del término rendimiento” (p. 32).

De todo esto se desprende que la educación inclusiva debe ser entendida como una invitación a educar en la diversidad, donde se permita que todo el mundo se sienta valorado y

vea reconocida su igual dignidad, de modo que pueda desarrollar el modo de vida que tiene razones para valorar (Gracia, 2018). No se debe entender la educación inclusiva como una invitación a responder a la diversidad, porque, si el sistema y las condiciones se limitan a ello, el resultado podría ser la creación de centros de enseñanza segregados (escuelas, colegios, educación formal, mundo laboral, entre otros) o la generación de agrupaciones al interior de estos para estudiantes con características comunes (desempeño académico similar, discapacidad, religión o estatus socioeconómico) y, consecuentemente, el establecimiento de una jerarquía de valor dentro de cada centro de enseñanza (Booth y Ainscow, 2015). Sin mencionar que la respuesta a la diversidad lleva a caracterizar al estudiantado por criterios, como el desempeño académico, que traen consigo etiquetas en las que se señala una mayor o menor capacidad, situación que limita los logros futuros y afecta a la auto-expectativa.

2.1 Educación inclusiva como derecho

2.1.1 Educación como derecho

La “Declaración Universal de los Derechos Humanos”, adoptada y proclamada por la Asamblea General de las Naciones Unidas el 10 de diciembre de 1948, “es el primer antecedente que se genera en términos de reconocer la libertad e igualdad de todos los seres humanos en dignidad y derechos sin distinción de ninguna naturaleza” (Jiménez & Ortega, 2018, p. 86). En su artículo 26 se consagra el derecho universal que tienen todos los miembros de la sociedad (sin distinción de raza, género, religión, cultura, edad, diversidad funcional, entre otros) de acceder a la educación, al menos en la instrucción elemental y fundamental, en condiciones de gratuidad y obligatoriedad: “la educación tendrá por objeto el pleno desarrollo de la personalidad humana y el fortalecimiento del respeto a los derechos humanos y a las libertades fundamentales” (Asamblea General de las Naciones Unidas, 1948, artículo 26).

Aunque este derecho se reconoce ampliamente a nivel internacional y en las legislaciones de todos los países, para Blanco (2009) su garantía es concebida en muchos casos únicamente en lo que respecta al acceso. Por tanto, se generan políticas orientadas a aumentar la cobertura en detrimento de la calidad y la igualdad de oportunidades Esta forma de aplicarlo representa un gran problema para atender la diversidad del alumnado, puesto que no se da una adaptación al interés superior de cada niño o niña. Esto es lo que determina que en la mayoría de los casos el estudiantado se vea en la obligación de adecuarse al sistema, en lugar de que este se adecue a ellos (Segura, 2006). La relatora especial sobre los derechos a la educación, Tomasevski (2004), identificó que los gobiernos, para garantizar el derecho a recibir educación en todas sus formas y niveles, deben trabajar en procurar cumplir con cuatro características interrelacionadas, a saber: la disponibilidad, la accesibilidad, la aceptabilidad y la adaptabilidad, las cuales se explicarán a continuación:

a) Disponibilidad. Debe haber instituciones y programas de enseñanza en

cantidad suficiente en el ámbito del Estado Parte. Las condiciones para que funcionen dependen de numerosos factores, entre otros, en el contexto de desarrollo en el que actúan; por ejemplo, las instituciones y los programas probablemente necesiten edificios u otra protección contra los elementos, instalaciones sanitarias para ambos sexos, agua potable, docentes calificados con salarios competitivos, materiales de enseñanza, etc.; algunos necesitarán además bibliotecas, servicios de informática, tecnología de la información, etc.

b) Accesibilidad. Las instituciones y los programas de enseñanza han de ser

accesibles a todos, sin discriminación, en el ámbito del Estado Parte. La accesibilidad consta de tres dimensiones que coinciden parcialmente:

i)No discriminación. La educación debe ser accesible a todos, especialmente a los grupos no vulnerables de hecho y de derecho, sin discriminación por ninguno de los motivos prohibidos (véanse los párrafos 31 a 37 sobre la no discriminación); ii) Accesibilidad material. La educación ha de ser asequible materialmente, ya sea por su localización geográfica de acceso razonable (por ejemplo, una escuela vecinal) o por medio de la tecnología moderna (mediante el acceso a programas de educación a distancia); iii) Accesibilidad económica. La educación ha de estar al alcance de todos. Esta dimensión de la accesibilidad está condicionada por las diferencias de redacción del párrafo 2 del artículo 13 respecto de la enseñanza primaria, secundaria y superior: mientras que la enseñanza primaria ha de ser gratuita para todos, se pide a los Estados Partes que implanten gradualmente la enseñanza secundaria y superior gratuita.

c) Aceptabilidad. La forma y el fondo de la educación, comprendidos los

programas de estudio y los métodos pedagógicos, han de ser aceptables (por ejemplo, pertinentes, adecuados culturalmente y de buena calidad) para los estudiantes y, cuando proceda, los padres; este punto está supeditado a los objetivos de la educación mencionados en el párrafo 1 del artículo 13 y a las normas mínimas que el Estado apruebe en materia de enseñanza.

d) Adaptabilidad. La educación ha de tener la flexibilidad necesaria para

adaptarse a las necesidades de sociedades y comunidades en

transformación y responder a las necesidades de los alumnos en contextos culturales y sociales variados (Comité de Derechos Económicos, Sociales y Culturales, 1999, párr. 2 del artículo 13).

2.1.2 Educación como derecho en los tratados internacionales

Los tratados son una de las fuentes principales para la formulación del derecho internacional. Mediante estos, los estados asumen compromisos jurídicos. Frente a lo anterior, el derecho a la educación es definido en los seis instrumentos internacionales de derechos humanos más importantes:

a) 1965: “Convención Internacional sobre la Eliminación de todas las formas de

Discriminación Racial”, con 182 ratificaciones.

b) 1966: “Pacto Internacional de Derechos Económicos, Sociales y Culturales”, con 171

ratificaciones.

c) 1966: “Pacto Internacional de Derechos Civiles y Políticos”, con 173 ratificaciones.

d) 1979: “Convención sobre la Eliminación de todas las formas de Discriminación contra la

Mujer”, con 189 ratificaciones.

e) 1989: “Convención sobre los Derechos del Niño”, cuenta con el mayor número de

ratificaciones, 196.

f) 2006: “Convención sobre los derechos de las personas con discapacidad”, con 184

ratificaciones.

Todos los países han ratificado al menos uno de ellos. Colombia lo ha hecho con todos. Al interior de estos documentos se definen diferentes aspectos del derecho a la educación, entendiendo que este debe ser considerado como: a) un derecho civil y político, ya que demanda del gobierno la admisión de establecimientos educativos que respeten su libertad; b) un derecho

social y económico, lo cual significa que los gobiernos deben asegurar su gratuidad y obligatoriedad para todos los niños y las niñas en edad escolar; c) un derecho cultural, lo que implica el respeto a la diversidad, en particular, a través de los derechos de las minorías; d) uno de los derechos de los niños y las niñas, aspecto en el que se enfatizan la igualdad de oportunidades y el principio de no-discriminación.

Por otra parte, se reconoce la responsabilidad compartida para su cumplimiento por parte de cuatro actores principales:

1) El gobierno obligado a asegurar el derecho a la educación;

2) el niño o la niña como el titular privilegiado del derecho a la educación, con el

deber de educarse porque la educación es obligatoria;

3) los padres, que son los “primeros educadores”; y

4) los educadores profesionales, es decir, los maestros y las maestras, los

profesores y las profesoras (Tomasevski, 2004, p.354) (Comillas en texto original). Además, hay que mencionar que, dentro de toda la legislación internacional, el artículo 13 del Pacto Internacional de Derechos Económicos, Sociales y Culturales es reconocido como el de mayor alcance y más exhaustivo con respecto a este derecho. Así mismo, se señala como objetivo fundamental que "la educación debe orientarse hacia el pleno desarrollo de la personalidad humana" (Comité de Derechos Económicos, Sociales y Culturales, 1999b, párr. 1). Por otro lado, la “Convención sobre los Derechos de las Personas con Discapacidad” (Asamblea General de las Naciones Unidas, 2006) es el primer tratado donde se hace mención a un sistema de educación inclusiva:

Los Estados Partes reconocen el derecho de las personas con discapacidad a la educación. Con miras a hacer efectivo este derecho sin discriminación y sobre la base de

la igualdad de oportunidades, los Estados Partes asegurarán un sistema de educación inclusivo a todos los niveles, así como la enseñanza a lo largo de la vida (Artículo 24) (Cursiva propia).

En los tratados anteriores solo se hacen alusiones a lo que se considera una educación inclusiva, porque como afirman Jiménez y Ortega (2018):

Solo hasta finales del siglo XX e inicios del XXI se configura una política para la inclusión con miras a garantizar una educación de calidad para todos, por ello los países miembros de los organismos internacionales realizan encuentros que permiten formular declaraciones en las cuales se ofrecen lineamientos, orientaciones y proyectos de trabajo en torno a estos propósitos. En general dichos pronunciamientos son adoptados, sin embargo, el cumplimiento y seguimiento presenta dificultades, las que se formulan como declaraciones no tienen poder vinculante legal, pero las que se formulan como convenciones sí, dependiendo para su aplicación la firma de adhesión y ratificación por parte de cada estado miembro (p.86).

Para finalizar, hablar de inclusión educativa, analizada desde la perspectiva de los derechos, no es una cuestión netamente retórica, sino que implica reconocer un cambio sustantivo en lo que se refiere a la forma en que se orientan las políticas desde las cuales se desarrollan acciones en este sentido. Un ejemplo claro de ello se puede ver en la manera como en la “Declaración de Salamanca” (UNESCO, 1994), tan importante en los últimos 31 años, esta es vista como un criterio orientativo, moralmente importante, pero que no necesariamente compromete a sus destinatarios. Sin embargo, a partir de la “Convención de los Derechos de las Personas con Discapacidad” (2006) lo que se establece es que la educación inclusiva es un derecho positivo, lo que obliga a las autoridades a crear las condiciones para su disfrute efectivo, identificando y removiendo las barreras que impidan su ejercicio, puesto que en caso contrario se estarían generando situaciones de discriminación (Echeita y Cuevas, 2011).

2.1.3 Marco legal Colombia

La legislación colombiana respalda de manera contundente el derecho a la educación inclusiva, reflejando un compromiso explícito con la atención y garantía de los derechos de las personas con diversidad funcional. En consonancia con los tratados internacionales mencionados, la constitución política colombiana de 1991, en su artículo 47, establece la obligación de implementar políticas de previsión, rehabilitación e integración social para las personas con diversidad funcional física, sensoriales y psíquicos, proporcionando la atención especializada que requirieran.

la ley general de educación (ley 115 de 1994) complementa este enfoque al establecer que la educación de personas con diversidad funcional debe ser parte integral del servicio público educativo. Además, La ley 1098 de 2016, conocida como el código de infancia y adolescencia, tiene como finalidad garantizar a los niños, niñas y adolescentes su pleno desarrollo en el seno de la familia y de la comunidad, estableciendo la primacía de sus derechos sobre los demás. En su artículo 36 establece que todo niño, niña o adolecente que presente algún tipo de diversidad funcional tendrá derecho a la educación gratuita.

La Ley Estatutaria 1618 de 2013 (República de Colombia. Congreso de la República, 2013) se centra en la protección de los derechos de las personas con diversidad funcional, estableciendo mecanismos de protección y medidas para eliminar toda forma de discriminación tanto escolar como social. Esta ley busca promover una cultura de respecto a la diversidad, asegurar el acceso a una educación de calidad que brinde oportunidades de mejora y contribuya a cerrar brechas de inequidad. En el marco de un sistema de educación inclusivo a todos los niveles, tanto para las personas en edad escolar como para los adultos, permitiendo la enseñanza a lo largo de la vida.

Es importante destacar el Decreto 1421 de 2017, emitido por Ministerio de Educación Nacional de Colombia (2017a), como un paso significativo hacia la implementación efectiva de la educación inclusiva. Este decreto reglamenta la atención educativa a la población con discapacidad, estableciendo principios fundamentales de inclusión, diversidad y pertinencia. Su ámbito de aplicación abarca aspectos cruciales como acceso, permanencia y calidad, con el propósito de permitir que los estudiantes transiten por la educación desde preescolar hasta la educación superior, reforzando así la visión de un sistema educativo inclusivo y progresivo. Este marco legal refleja el compromiso de Colombia con la construcción de un sistema educativo que garantice la participación plena y equitativa de todo el alumnado, independientemente de su diversidad, reafirmando así el cumplimiento de los tratados internacionales y los principios de inclusión educativa

2.1.4 ¡No tenemos excusas!

La educación es un derecho humano intrínseco y un medio indispensable para el ejercicio de otros. “El derecho a la educación es el epítome de la indivisibilidad y la interdependencia de todos los derechos humanos” (Comité de Derechos Económicos, Sociales y Culturales, 1999a, párr. 2). Es decir, si se negase la disponibilidad, la accesibilidad, la aceptabilidad y la adaptabilidad del servicio educativo, y, acorde a este tiempo, si no se implementa una educación inclusiva, se estarían negando automáticamente otros múltiples derechos. Lograr establecer una educación inclusiva y de calidad para los niños, niñas, adolescentes, y en general para cualquier persona, debe ser un compromiso compartido por cada uno de los cuatro actores en la educación: Estado, familia, escuela y estudiantes. Esto es especialmente relevante, ya que constituye el principal medio que permite a adultos y menores económicamente marginados participar plenamente en sus comunidades y superar la pobreza social. La educación juega un papel crucial al brindarles la oportunidad de salir de la pobreza y mejorar su situación económica y social. A su vez, desempeña un papel decisivo en la emancipación de la mujer, encontrando,

por ejemplo, que al aumentar el acceso de las niñas a esta se presenta una disminución de los matrimonios infantiles.

Finalmente, es un instrumento a partir del cual se puede combatir la segregación social, puesto que, tal como lo expone Medina Garcia (2017) “la segregación escolar desde la escuela induce también a la segregación social y a la marginación de la vida activa” (p. 71). Es así como, una educación inclusiva permite fomentar actitudes positivas hacia la diversidad y sirve para buscar mejores formas de disminuir las barreras de aprendizaje de grupos poblacionales que tradicionalmente han sido excluidos de acceder al conocimiento en igualdad de oportunidades, con lo cual es un paso decisivo a la hora de impulsar la garantía de este derecho y de muchos otros. No obstante, afirmar que solo con una educación inclusiva es posible compensar las desigualdades sociales y eliminar las múltiples formas de discriminación presentes en nuestras sociedades es dejar de lado otros factores que inciden en este tipo de dinámicas. Es semejante a pensar que las políticas educativas incluyentes por sí solas crean igualdad de oportunidades en la sociedad, hacen que los Estados sean más democráticos (aunque forme a las personas para ello), generan sociedades más cohesivas y/o pacíficas (aunque forme en habilidades para la acción colectiva y para la resolución pacífica de conflictos), o que lleven a una distribución social de los recursos equitativa (Reimers, 2002, p.16). Por lo tanto, es necesario desarrollar en paralelo políticas económicas y sociales que propendan por crear una sociedad incluyente, con la capacidad de proveer oportunidades a las personas para el pleno desarrollo de su personalidad y para que cada persona pueda vivir la vida que “tiene razones para elegir y valorar” (Gracia, 2018, p. 60).

En la “Declaración Mundial sobre Educación para Todos y Marco de Acción para Satisfacer las Necesidades Básicas de Aprendizaje” (1990) se reconocía que las naciones de la tierra han realizado grandes esfuerzos por garantizar este derecho consagrado desde la Declaración Universal. Sin embargo, para la época aún persistía el analfabetismo funcional (leer

sin comprender, escribir sin comunicar), llegando incluso a estimarse presente en 960 millones de adultos, siendo dos tercios de esta población mujeres. En contraste a estas cifras se establecía que el conocimiento crecía de forma vertiginosa. Esto conllevaba que se diera la aparición de numerosas realizaciones científicas y culturales, a las cuales claramente no podían acceder dichas personas, o quienes carecieran de los medios para hacerlo. Como consecuencia, se estaban restringiendo las posibilidades de los grupos en desventaja para aprender o mejorar su calidad de vida. Lo anterior permite señalar que no basta con brindar acceso a la educación fundamental, sino que se deben procurar los medios para que todos los niños, jóvenes y adultos tengan la oportunidad de alcanzar y mantener sus necesidades básicas de aprendizaje. Estas necesidades abarcan tanto las herramientas esenciales para el aprendizaje (como la lectura y la escritura, la expresión oral, el cálculo, la solución de problemas) como los contenidos básicos del aprendizaje (conocimientos teóricos y prácticos, valores y actitudes) necesarios para que los seres humanos puedan sobrevivir, desarrollar plenamente sus capacidades, vivir y trabajar con dignidad, participar plenamente en el desarrollo, mejorar la calidad de su vida, tomar decisiones fundamentadas y continuar aprendiendo (UNESCO, 1990, p. 3).

Para su logro se puede aportar desde una educación inclusiva, estableciendo una búsqueda constante de las mejores prácticas que eliminen o mitiguen las barreras para la participación y el aprendizaje.

Aunque la amplitud de estas necesidades básicas puede cambiar con el transcurso del tiempo, y depende de una forma u otra de la cultura y el país donde se vive, con su consecución progresiva se pueden potencializar e incrementar las posibilidades de los individuos para un desarrollo humano permanente.

En síntesis, no existen excusas para establecer un sistema educativo inclusivo desde un enfoque de la educación como derecho, porque con la educación inclusiva se alienta a la búsqueda interminable por aumentar el aprendizaje, por lo tanto, se propende lograr una enseñanza efectiva, desde una perspectiva en la cual todos se sientan igualmente dignos. Así mismo, todas las personas pueden llegar a experimentar barreras en algún momento de sus vidas que les evitan la participación plena y efectiva en la sociedad, en igualdad de condiciones con las demás. Estas pueden ser actitudinales, establecidas por el entorno, o permanentes, como en el caso de aquellas con diversidad funcional. La educación inclusiva debe procurar su descubrimiento progresivo con el posterior diseño de planes de actuación para disminuir su impacto.

Con una educación inclusiva se busca la presencia, la participación y el éxito de todo el estudiantado (Echeita y Cuevas, 2011), desde una perspectiva que responda de forma adecuada a la diversidad de necesidades de los educandos. Además, promueve ambientes de aceptación y comodidad, combatiendo cualquier forma de discriminación.

Por último, se reconoce el valor de las contribuciones que realizan todo el estudiantado al bienestar general y a la diversidad de sus comunidades de cara a alcanzar una sociedad inclusiva, consecuente con la democracia, donde todos tengan un goce de los derechos humanos y las libertades fundamentales. Además, la plena participación de las personas tendrá como resultado un mayor sentido de pertenencia, al igual que la consecución de avances significativos en el desarrollo económico, social y humano de la sociedad, y en la erradicación de la pobreza.

2.2 Diferencias entre un modelo integrador y una educación inclusiva

Como se ha expuesto, el término de educación inclusiva crea confusión en muchos países. Para algunos está asociado exclusivamente a la discapacidad y a las necesidades educativas especiales, lo que lleva a que esta sea equiparada a la integración educativa, cuando

en realidad se trata de dos enfoques distintos. Como consecuencia, las políticas de inclusión han terminado por considerarse una responsabilidad de las áreas centradas en la atención de la educación especial, la cual se remite a personas con diversidad funcional cognitiva y/o motora, entre otros, dejando de lado otros grupos que también son excluidos y discriminados dentro del sistema educativo, e impidiendo el desarrollo de políticas educativas inclusivas integrales (Blanco, 2006). En este sentido, es necesario precisar las diferencias encontradas con relación a estos dos enfoques.

Por un lado, la integración educativa se refiere a la escolarización de alumnos con Necesidades Educativas Especiales, NEE, en una escuela ordinaria, donde se aspira a hacer efectivo el derecho de estos a educarse en las aulas, brindándoles los apoyos necesarios para facilitar su proceso educativo y su autonomía.

Por el otro, la educación inclusiva busca crear una educación de calidad para todos, haciendo énfasis en los grupos a los que tradicionalmente se les ha negado este derecho. Así, procura enfocarse en todos, no solo en el estudiantado con diversidad funcional. De igual manera, la integración educativa implica que el estudiante es quien debe adaptarse a la escuela, y no ésta a él. Su permanencia o avance con el grupo quedan supeditados a que sea capaz de seguir el plan de estudios abordado por todos los demás alumnos de la clase.

En contraposición, la educación inclusiva se concibe como un proceso que implica cambios y modificaciones del currículo, enfoques, estructuras y estrategias basados en la convicción de que es responsabilidad del sistema educativo educar a todos los niños y niñas. De esta manera, la integración educativa ha estado más enfocada en transformar la educación especial, para apoyar la integración de estudiantes con NEE, transfiriendo el modelo de atención propio de esta a las escuelas regulares, que en cambiar su cultura y prácticas para

que sean capaces de atender la diversidad del alumnado. Por el contrario, la educación inclusiva cambia aquellos factores del contexto educativo y de la enseñanza que limitan la participación y el aprendizaje no sólo de los niños y jóvenes integrados, sino de todo el estudiantado, eliminando los diferentes tipos de discriminación que tienen lugar al interior de la escuela (Blanco, 2006). Desde esta perspectiva, con un modelo de integración educativa, lo que se está fomentando es la constitución de una sociedad integradora, enfocada únicamente en las personas con discapacidad. Mientras que, la educación inclusiva promueve el respeto a la diversidad en todas sus formas (social, cultural, biológica, intelectual, afectiva, funcional, entre otras diversidades) y la lucha contra cualquier tipo de discriminación. En definitiva, se propende porque todos los niños estén incluidos en la vida educativa, y con ello, también en la social y comunitaria.

Son varios los autores que contrastan las diferencias existentes entre integración e inclusión (Arnaiz, 2003; Carretero, 2005; Luque Parra, 2006; Moriña, 2004) lo que queda condensado en la Tabla 2 construida por Fernández et al. (2010): Tabla 2 Diferencias de integración e inclusión Diferencias de integración e inclusión Integración educativa Inclusión educativa (Arnaiz, 2003) Competición.

Selección.

Individualidad.

Prejuicios.

Visión individualizada.

Modelo técnico-racional.

Cooperación / solidaridad.

Respeto a las diferencias.

Comunidad.

Valoración de las diferencias.

Mejora para todos y para todas.

Investigación reflexiva.

(Carretero Díaz, 2005) Marco de referencia: normalización. Objeto: educación especial.

Alcance: alumnado con NEE.

Principio: igualdad.

Foco: Se centra en los alumnos y alumnas.

Marco de referencia: Derechos Humanos. Objeto: educación general.

Alcance: todo el alumnado.

Principio: equidad.

Foco: centro y comunidad.

Integración educativa Inclusión educativa (Luque Parra, 2006) Intervención centrada en el alumno o alumna.

Acción limitada al aula y al currículum. Diagnóstico y prescripción de medidas. Adaptación curricular individualizada en el alumno o alumna.

Programación diferente para el alumnado con NEE.

Apoyo individual al alumno o alumna. Personal de apoyo para el alumno o alumna.

Especialistas evalúan y valoran a los alumnos y alumnas con NEE.

Intervención centrada en el entorno.

La acción abarca el centro y su organización. Resolución de problemas en colaboración. Cambio de estrategias, de metodología del profesorado y de Organización del centro. Una educación que sirva para todos y todas. Apoyo al profesorado y a la comunidad. Personal de apoyo asesora al profesorado. Especialistas asesoran el proceso de inclusión.

(Moriña Díez, 2004) Puerta de acceso, en una dirección de fuera a dentro. Programa operativo y acción de política educativa.

Pretende evitar la exclusión. Marco de pertenencia y de participación. Sistema de valores y de creencias. Favorece a la comunidad.

Nota. Tabla tomada de Fernández et al. (2010) construida a partir de las propuestas de(Arnaiz, 2003; Carretero, 2005; Luque Parra, 2006; Moriña, 2004). También está la propuesta de “Escola de Gente-Comunicação em Inclusão" (2002), donde se abordan las principales diferencias de un modelo de integración educativa y uno de educación inclusiva, las cuales quedan contrastadas en la Tabla 3. Tabla 3 Principales diferencias, integración e inclusión educativa Principales diferencias, integración e inclusión educativa Educación inclusiva Integración educativa Participación total e incondicional (los niños no necesitan prepararse para ir a la escuela). Participación parcial y condicionada (los niños se preparan en escuelas especiales para poder asistir a la regular, donde son etiquetados o atendidos por docentes de educación especial).

Exige rupturas del sistema educativo y transformaciones profundas. Hace concepciones al sistema educativo y se contenta con transformaciones superficiales Los cambios benefician a todos los miembros de la comunidad educativa Se realizan los cambios pensando prioritariamente en los

(no se sabe quién gana más, sino que todas las personas ganan).

estudiantes con diversidad funcional (consolida la idea que ellas ganan más). La comunidad educativa se adapta para identificar y eliminar las barreras y con esto se vuelve más atenta a las necesidades de todos.

El estudiante integrado se debe adaptar a coexistir con las barreras que se le presentan, ya que a estas solo se les hacen ajustes.

Defiende el derecho a la educación de todas las personas, e invita a aprender en la diversidad (cultural, racial, sexual, funcional, etc.) Defiende el derecho de las personas con diversidad funcional. La educación inclusiva busca calidad para todas las personas. La Integración educativa busca calidad en estructuras que atienden apenas a las personas con diversidad funcional consideradas aptas. Nota. Esta tabla es una adaptación de la construida por “Escola de Gente- Comunicaçãoem Inclusão" (2002, 16-17) Como se puede observar, existen grandes diferencias entre un modelo de integración educativa y uno de educación inclusiva. Más aún, es necesario recalcar que la educación inclusiva propende a una universalidad en la educación (básica, al menos), la cual no se ha logrado con el modelo integrador. Si el reto es transformar la escuela frente a los altos índices de exclusión, discriminación, desigualdades y las barreras educativas presentes, en un contexto que involucre a todo el estudiantado, y no solo a los que poseen diversidad funcional, la educación inclusiva se presenta como una alternativa ideal. Añádase a esto que, si la escuela no establece un proceso para buscar la presencia, la participación y el éxito de su estudiantado a nivel comunitario, sin excepción, así como la búsqueda y eliminación de las barreras existentes, es factible que se esté fomentando, sin desearlo, un escenario de segregación. En consecuencia, se tendría una educación que no

contribuye a superar las desigualdades, ni a reducir la brecha social. Después de todo, el modelo educativo tiene efectos en la construcción de una sociedad (excluyentes, segregadas, integradas o inclusivas).

Para ayudar a aclarar mejor lo expuesto en estos últimos párrafos se presenta la Figura 1, que permite desde una representación visual ver sus diferencias. Figura 1 Diferencias: exclusión, segregación, inclusión e integración Diferencias: exclusión, segregación, inclusión e integración

Nota. Figura tomada de https://www.dobleequipovalencia.com/inclusion-e-integracion-10diferencias/ Como se puede observar, con la integración, aquellos que inicialmente se encontraban en un sistema segregado son atendidos en la escuela regular, lo cual supone meter dentro al que estaba fuera. Esto trae consigo que en muchas ocasiones lo que se logra es una integración física, que no contempla la social o académica. Por su parte, el concepto de inclusión presupone que todos están dentro, y esa es una diferencia fundamental. El objetivo básico de la inclusión es no dejar a nadie fuera de la escuela ordinaria, tanto educativa, como física y socialmente. El

interés se centra en identificar las barreras que lo impiden y eliminarlas, con lo cual se beneficia a cada miembro de la escuela. Estos cambios deben llevar al alumnado, profesorado y familias a modificar su perspectiva sobre la escuela, puesto que lo que se busca ya no es integrar a algunos alumnos, sino aumentar la participación, desarrollando un sentido de comunidad y apoyo mutuo que fomente una educación de calidad y el respeto a la diversidad (García, 2013).

2.3 Principios educación inclusiva

Al igual que muchos derechos, el de la educación se ha ido haciendo extensivo con el paso del tiempo a grupos tradicionalmente marginados. Para Tomasevski (2003), su realización progresiva a lo largo del proceso de superación de las exclusiones puede condensarse en tres etapas fundamentales.

En la primera se habla de una educación segregada, donde se le concede el ingreso al sistema a los que se les ha denegado históricamente (los pueblos indígenas, niños con diversidad funcional, no ciudadanos, entre otros), pero a través de escuelas especiales. En la segunda se cambia la perspectiva con el objeto de avanzar a una integración educativa. Allí, los grupos segregados son admitidos en la escuela general, pero se deben adaptar a ella y coexistir con las barreras que se le presentan. Por ejemplo, los niños inmigrantes o indígenas no son atendidos en su lengua materna y solo están en contacto con versiones de la historia de la cultura dominante, las cuales desconocen su cosmovisión. La tercera alude a una educación inclusiva, en la que ocurre el proceso inverso. De esta manera se procura el derecho igualitario de todas las personas a la educación y se exige que la enseñanza se adapte a la diversidad presente en el aula, atendiendo a las necesidades educativas de todos y procurando de forma continua la identificación y eliminación de las diferentes barreras que se presenten.

Resumiendo, se ha seguido desde un camino de exclusión, ofreciendo educación solo a unos pocos que cumplieran con los criterios para acceder a esta, prosiguiendo con una educación segregada en la cual se establecían características para pertenecer a ella, dando paso a la integración educativa. Para el momento actual se procura el desarrollo de una educación inclusiva en la escuela.

Atendiendo a lo anterior, la UNESCO (2009) describe que los niños que trabajan, que pertenecen a grupos indígenas, a comunidades rurales, a minorías étnicas y lingüísticas, nómadas y aquellos afectados por el VIH y SIDA, constituyen algunos de los grupos marginados del sistema. Además, señala que, a pesar de los procesos de integración, aquellos con diversidad funcional siguen viviendo procesos de exclusión, representando un tercio de la población infantil no escolarizada.

Figura 2 Ejemplos de grupos excluidos de la educación o marginados dentro de esta Ejemplos de grupos excluidos de la educación o marginados dentro de esta

Nota. Figura tomada de UNESCO, 2009, Directrices sobre políticas de inclusión en la educación.

Organización de las Naciones Unidas para la educación, la Ciencia y la Cultura. p. 9. De esta forma, se evidencia la necesidad de realizar la transición a una educación inclusiva al interior del sistema, como una forma de permitir a estos grupos de niños, y a otros, ser escolarizados, pero, de una forma que tenga en cuenta sus especificidades y se adapte a ellas. Siendo así, es conveniente identificar los principios de la educación inclusiva, con miras a orientar la forma de actuar y las acciones por parte de la comunidad educativa desde su esencia. Para no asignarle algunos que no le corresponden, se acudirá a los listados por Porras (2009), quien reconoce como base de la integración educativa el:

a) Principio de normalización

b) Principio de sectorización

c) Principio de integración

d) Principio de NEE

A su vez, otros autores (Ainscow, 1995, 2001; Arnaiz, 1996; Beacham y Rouse, 2012; Echeita y Cuevas, 2011; López Melero, 2012; UNESCO, 2009) señalan como representativos estos que se presentan en la Figura 3.

Figura 3 Principios de la educación inclusiva Principios de la educación inclusiva

Nota. Adaptado de Fernández et al. (2010).

2.3.1 Centros educativos que acogen la diversidad

Se da esta denominación a los centros educativos donde el estudiantado da la bienvenida a la diversidad y honran las diferencias. En ellos, el docente se preocupa porque todos se sientan

Centros educativos que acogen la diversidad Un currículo amplio, común y flexible Métodos de enseñanza y aprendizaje interactivo Apoyo a los profesores Participación de los padres y comunidad Principio Democrático

PRINCIPIOS

DE LA

EDUCACIÓN INCLUSIVA

incluidos, estableciendo una atmósfera social que promueva el respeto por las diferencias, a la vez que propende por ambientes que fomentan aprender desde varios niveles. Durante las clases se establece una política/práctica en la cual todos los alumnos, independiente de su diversidad, se sienten valorados. De igual forma, se procura respetar el derecho de los niños a estar en una clase regular y en un colegio que hace parte de la comunidad a la que pertenecen (García, 2013).

Dentro de los mismos se reconoce que acoger la diversidad implica entender que a través del aumento de la participación de todas las personas (con independencia de sus características sociales, biológicas, intelectuales, afectivas, etc.) en el aprendizaje, las actividades culturales y comunitarias, se incrementan los intercambios de experiencias vicarias y las oportunidades de educar-se comunicándose con otros. Esto facilita un proceso de reestructuración global para responder (lejos de posturas fragmentarias) a la diversidad de barreras de aprendizaje y participación (Latas, 2002). De esta manera, es posible superar la actual separación entre la educación para todos y la educación para aquellos que son considerados diferentes, con la firme convicción de que corresponde al sistema ordinario educar a todos los niños y niñas (UNESCO, 2009):

La inclusión y el respeto por la diversidad no son principios limitados a los estudiantes con discapacidades o a los estudiantes con talento; las diferencias de raza, religión, etnia, entorno familiar, nivel económico y capacidad están presentes en todas las clases. En las aulas inclusivas, los compañeros pueden aprender y ayudarse entre sí en todas estas dimensiones con una instrucción eficaz y un apoyo fuerte (Arnaiz, 1996, p. 8).

2.3.2 Un currículo amplio, común y flexible

Un currículo amplio es aquel que conoce, comprende y respeta la diversidad en sus formas, modos y ritmos de acercarse al conocimiento. Este debe estar direccionado a eliminar

cualquier manifestación de injusticia, insolidaridad, intolerancia o segregación, para fomentar el desarrollo de habilidades equivalentes a sus necesidades y posibilidades. Se trata de un currículo común, no de uno diferenciado e individualizado, que puede impedir la relación con otros estudiantes y los adultos (Booth y Ainscow, 2015). De ahí que es- y debe ser- una herramienta para la inclusión que no puede convertirse en la práctica en un instrumento de exclusión, dando a unos una educación de calidad y privando a otros de ella, porque si esta produce desarrolló, su falta da lugar al subdesarrollo (López, 2008). A su vez, con él se debe dar sentido a la diferencia, la cual puede convertirse en un medio para potenciar las relaciones entre el alumnado (López, 2001).

De acuerdo con lo expuesto por García (2013), el currículo debe ser flexible porque: Con frecuencia, el «currículum estándar» incapacita a las personas directamente implicadas en el proceso de aprendizaje, ya que «el currículo» viene definido de antemano por asesores de los ministerios de educación y por especialistas que lo seleccionan a partir de unos materiales estandarizados, sin tener en cuenta las preocupaciones de los alumnos y profesores maestros. En este sentido, la escuela de la diversidad tiene que dejar de hacer esfuerzos inútiles para hacer adaptaciones curriculares y buscar una alternativa a estas (p. 84).

Así, donde las clases son heterogéneas, este debe ser flexible para dar cabida a la eliminación de las barreras físicas, sensoriales, afectivas y cognitivas que afectan el acceso al aprendizaje y la participación de los alumnos. Por tal motivo, debe permitir cambios y modificaciones en los contenidos curriculares, enfoques, estructuras y estrategias, respondiendo a las diferencias individuales, con el fin de ser beneficiosos para todos los niños y niñas. Esto puede conducir a que se deje de lado el currículo ordinario, llegando incluso a desarrollarse propuestas como la del “currículo global basado en los derechos” (Booth y Ainscow, 2015, p. 40).

2.3.3 Métodos de enseñanza y aprendizaje interactivo

El profesorado debe pasar de estar al mando a ser quien guía el aprendizaje. Es decir, el modelo de aula de un profesor que conduce todas las actividades para satisfacer las necesidades de una clase entera de estudiantes por sí solo es reemplazado por estructuras en las que estos participan preponderantemente con actividades donde trabajan juntos, se enseñan mutuamente y contribuyen activamente en su propia educación y en la de sus compañeros, con la orientación del maestro. Ello implica que se opte por estrategias acordes con ese tipo de enseñanza. Una de ellas puede ser la implementación de las nuevas tecnologías y recursos educativos digitales en las aulas, ya que podrían facilitar al profesor adaptarse de forma más adecuada a la multiplicidad de estilos y ritmos de aprendizaje.

Por otro lado, la incorporación de actividades de aprendizaje ancladas al trabajo colaborativo que impulsen el despliegue de habilidades como la empatía, la solidaridad y la escucha activa, lo cual puede potenciar una cultura escolar más democrática, en la que se genere un ambiente de construcción colectiva y no de competencia entre el estudiantado (Arnaiz, 1996; Cruz, 2016; Fernández et al., 2010).

Ahora bien, también es necesario que el profesor establezca un ambiente en el que la diversidad, en todas sus formas, sea acogida y reconocida por el grupo, convirtiendo las posibles barreras en oportunidades para enriquecer las clases, en vez de convertirlas en elementos que pueden perturbar sus dinámicas (López, 2001).

2.3.4 Apoyo a los profesores

Para que se pueda establecer una educación inclusiva en las instituciones se hace necesario apoyar a los profesores y profesionales de la educación con programas de formación que les permitan desarrollar las competencias necesarias para lograr que la diversidad sea beneficiosa en el aula. También, deben fortalecerse aquellas que permitan el descubrimiento de

las barreras (actitudinales, de aprendizaje, de participación, etc.) y el diseño de planes de actuación para disminuir su impacto (UNESCO, 2009).

En este sentido, se deben generar espacios para la cooperación y la reflexión entre profesores y otros profesionales (terapeutas del lenguaje, terapeutas físicos y ocupacionales, orientadores escolares, etc.) sobre las prácticas y estrategias utilizadas en sus clases, combatiendo el aislamiento profesional. El desarrollo de métodos de enseñanza en las escuelas inclusivas se da, a menudo, en función de la colaboración, intercambio de experiencias y diálogo participativo e igualitario de varias personas. (Arnaiz, 1996; UNESCO, 2009). Por último, es vital que se le conceda al profesor mayor libertad para que elija sus métodos y más tiempo para el trabajo orientado en el aula (Beacham y Rouse, 2012; UNESCO,

2009).

2.3.5 Participación de los padres y comunidad

La educación inclusiva implica fomentar la participación y colaboración de padres, madres, familias y comunidad, como parte del proceso de re significación y transformación de la escuela. Así mismo, sus aportes en la elaboración de los planes y programas de estudios se deben reconocer como recursos valiosos en apoyo de la inclusión.

Además, la educación tiene lugar en múltiples contextos, tanto formales como no formales, y en el seno de las familias y de la comunidad en su conjunto, siendo estos claves para apoyar todos los aspectos de la educación inclusiva. Por otra parte, es vital la participación de estos actores en las actividades de la escuela y que desempeñen una función activa en la vida de los alumnos dentro y fuera de esta (UNESCO, 2009).

2.3.6 Principio democrático

Las bases de la inclusión social se encuentran en la educación escolar, la cual no debe dejarse a merced de la voluntad de cada profesional. Todos los profesores deben asumir la

responsabilidad del aprendizaje de los alumnos o alumnas, sin exclusiones, ya que sólo así es posible hacer realidad el derecho fundamental de educación de los niños y niñas (Gómez, 2011; Echeita y Cuevas, 2011; Ainscow, 1995; 2001).

2.4 Barreras del sistema educativo que impiden una educación inclusiva

La educación inclusiva se presenta como una vía apropiada para proporcionar igualdad de oportunidades en la educación, luchando contra la discriminación y fomentando la interacción de todos los jóvenes en un ambiente compartido, sin importar sus características o antecedentes. Al ser considerada un derecho, debe seguir el principio de universalidad, garantizando calidad, equidad y excelencia. Esto implica contar con los recursos necesarios, tanto técnicos como humanos, para brindar una educación centrada en cada individuo, beneficiando a todo estudiantado (Ruiz Botero, 2022).

Es especialmente importante enfocarse en la inclusión de aquellos alumnos que enfrentan mayores desventajas para evitar su exclusión social. De esta manera, las clases pueden reflejar mejor la diversidad de la sociedad y crear una atmósfera social que promueva el respeto por las diferencias. No obstante, esta transformación educativa no debe limitarse únicamente al ámbito escolar, sino que debe involucrar a toda la comunidad, incluyendo padres, madres, familias, tutores y otros actores del entorno escolar. De esta forma, será posible promover cambios significativos y sistemáticos para eliminar las barreras que obstaculizan una educación inclusiva y de calidad (Ministerio de Educación de España, 2010). La inclusión educativa se concentra en identificar y superar barreras para el aprendizaje y la participación, lo que implica recopilar, comparar y evaluar información de diversas fuentes para planificar mejoras en las políticas y prácticas educativas. Por lo que es crucial utilizar información de diferentes tipos para fomentar la creatividad y la resolución de problemas.

Por tal motivo, a continuación, se mencionan algunas de las barreras que restringen el acceso a una educación inclusiva:

2.4.1 La exclusión

El término "exclusión" se emplea en diversas disciplinas, lo que puede llevar a significados distintos y hacer que sea un concepto complejo, contradictorio y difícil de definir con precisión. En política social, por ejemplo, es comúnmente utilizado, describiéndose como: Un proceso por el cual ciertos individuos son empujados al límite de la sociedad y se les impide participar plenamente en virtud de su pobreza, o de la falta de competencias básicas y oportunidades de aprendizaje a lo largo de la vida, o como resultado de la discriminación. Esto aleja del trabajo, los ingresos y oportunidades educativas, así como sociales y actividades y redes comunitarias. Ellos tienen poco acceso al poder y a los cuerpos de toma de decisiones y, por lo tanto, a menudo se siente impotentes e incapaces de tomar control sobre las decisiones que afectan su vida diaria (European Commission, 2010, p.7) En educación, Kearney (2011) la relaciona con la representación de lo que ocurre con los estudiantes que son expulsados por razones de disciplina y comportamiento inapropiado. No obstante, alude a que en educación inclusiva es usado no solo para describir aspectos de la ausencia física, sino también factores menos evidentes, y en particular, fuerzas ocultas que dificultan que un alumno tenga un acceso justo y pleno a participar de todo lo que sucede en la escuela. Es así como un estudiante puede estar en la escuela, pero experimentar exclusión con relación al plan de estudios, actividades culturales, grupos de amistades, etc. Sin embargo, los factores que contribuyen a esta exclusión pueden estar tan arraigados en la estructura y cultura de una escuela que pasan desapercibidos e indiscutidos (Slee y Allan, 2001). Así, la exclusión puede manifestarse de manera evidente o de forma oculta Por

consiguiente, un primer paso para abordarla es hacerla visible De ahí que sea necesario mencionar algunas actitudes, comportamientos y actuaciones relacionadas y explicadas por Ruiz Botero (2022), en su trabajo basado en una revisión bibliográfica, que favorecen la exclusión:

a) Profesores que no aceptan la diversidad como algo positivo y enriquecedor, limitando

el desarrollo de procesos de enseñanza y aprendizaje de calidad. En general, la actitud del profesor puede generar una confrontación intercultural que lleva a la marginación y la exclusión (Montánchez Torres et al., 2017).

b) Establecer sistemas de clasificación del estudiantado. Esto construye una línea

divisoria que permite a algunas personas ser incluidas y a otras no, la cual representa lo socialmente construido y considerado normal o digno, dando lugar a lo que es aceptable y, por ende, incluido, y a lo que es inaceptable y excluido. Los criterios para la exclusión están cimentados en la etiqueta de lo diferente. Históricamente, la clasificación se ha basado en atributos como capacidad, género, clase social y etnia, aunque ahora se están reconociendo otros como la sexualidad y la diversidad funcional (Kearney, 2011; López Melero, 2011).

c) Extender la inclusión que se está dando en el ámbito educativo al social. Por ejemplo,

los padres pueden segregar a sus hijos de su grupo de iguales por miedo al rechazo o a que suceda algo (González Gil et al., 2019).

d) Falta de cultura escolar. Para lograr una educación inclusiva se deben revisar sus

aspectos más profundos. Se hace necesario examinar factores como las actitudes, los valores, las normas y las prácticas arraigadas. Por otra parte, estudios reportan que, aunque se lleve a cabo toda la planificación, modificación del currículo y otras acciones a menudo asociadas con la educación inclusiva, esto no es suficiente. Se hace necesario ubicarla dentro de la cultura de la escuela para que esta tenga sentido en toda la comunidad educativa (Kearney, 2011). De acuerdo con esto, se recomienda el diálogo y la participación tanto de profesores como familias

en lo que se refiere a los elementos propuestos por Echeita y Cuevas (2011). Además, el diálogo debe conducirse desde la igualdad, honestidad y confianza, reconociendo al otro como interlocutor válido, y teniendo una disposición mayor a la escucha que al habla.

e) Acoso escolar. El comportamiento de intimidación, sea que se dé en las aulas o por

medios tecnológicos, puede tener un efecto devastador en el desarrollo y comportamiento del estudiantado (Saylor y Leach, 2009). Los niños con diversidad funcional tienen el doble de probabilidades que sus compañeros de ser víctimas. Este se puede materializar en insultos, señalamientos, actos donde son ridiculizados y etiquetados como estúpidos. Sin embargo, es necesario señalar que actitudes condescendientes por parte del personal docente y un trato diferencial también pueden llegar a catalogarse como formas de acoso (Pivik et al., 2002). Mclaughlin et al. (2010) recogen datos estadísticos contenidos en literatura relacionada con los índices de vulnerabilidad al acoso escolar de los estudiantes con diversidad funcional y/o dificultades de aprendizaje, donde se sugiere que pudo haber sido experimentado por: • El 83% de los niños con dificultades de aprendizaje.

• El 82% de los niños con problemas de fluidez (aquellos con un tartamudeo). • El 39% de los niños con dificultades del habla y del lenguaje.

• El 30% de los niños con dificultades de lectura.

Adicional a esto, los niños con condiciones comórbidas (por ejemplo, dificultades de aprendizaje con ansiedad, entre otras) tienden a presentar niveles más altos de victimización entre pares (Mclaughlin et al., 2010). Así mismo, los niños migrantes o pertenecientes a una etnia, religión u origen diferente al del común de su escuela pueden verse afectados por prácticas de este tipo que llevan a que se generen procesos de discriminación que pueden ser exacerbados por condiciones de pobreza (Tomasevski, 2004).

f) Exclusión de estudiantes con diversidad funcional. Con el fin de descubrir cómo los

estudiantes con diversidad funcional estaban siendo excluidos de la escuela y dentro de ella, Kearney (2011) realizó una investigación y halló que las principales formas en que se evidencia es a través de:

i.

La negación de inscripción y/o asistencia a la escuela a tiempo completo. ii.

La falta de conocimiento y comprensión por parte del maestro.

iii.

La negación de acceso y participación en el plan de estudios.

iv.

El ser intimidado.

v.

Las creencias y prácticas inapropiadas en relación con la financiación. vi.

La falta de cuidado, valoración y responsabilidad por parte del personal de la escuela.

vii.

Las malas relaciones entre los padres y el personal de la escuela. viii.

Las creencias y prácticas inapropiadas en relación con los ayudantes de maestros.

2.4.2 Barreras debidas al docente

“Es importante entender que la persona encargada de dar vida a la educación inclusiva en el aula es el docente, quien, a través del ejercicio cotidiano de su labor” (Ruiz Botero, 2022), aunado a sus actitudes y acciones, puede crear un entorno propicio o no. Si se aspira a tener una escuela inclusiva, los profesores deben transformar su mentalidad y dejar de centrarse únicamente en el sujeto de aprendizaje, sus peculiaridades y su entorno familiar, para enfocarse en modificar los procesos de enseñanza y aprendizaje. Esto implica rechazar las explicaciones tradicionales del fracaso escolar, que culpan exclusivamente a las características de ciertos alumnos y sus familias, y en su lugar, se requiere que esté dispuesto a reevaluarse a sí mismo.

Por una parte, es esencial que los docentes abandonen el papel de meros transmisores de conocimiento y se embarquen en un proceso de investigación constante sobre su propio que hacer, lo que les permitirá descubrir progresivamente las barreras del aprendizaje y la participación. De esta manera, podrán diseñar planes de acción para reducir el impacto de dichas barreras (Ruiz Botero, 2022).

No obstante, no basta solamente con que el docente posea una voluntad de cambio y esté interesado en promover una educación inclusiva. Muchas veces, él mismo se puede encontrar con barreras que le dificultan esta tarea.

Por ejemplo, González Gil et al. (2019) reportan la falta de formación en atención a la diversidad como una de las principales problemáticas a las que se enfrentan los docentes. Existe una gran brecha entre la teoría que han recibido y la realidad en el aula. Así mismo, resaltan la necesidad que tienen de recibir capacitación enfocada al desarrollo de estrategias metodológicas o el diseño y búsqueda de recursos didácticos. A su vez, muchos de los programas de formación docente brindan poca formación pedagógica, dando como resultado unas competencias y habilidades de docencia insuficientes.

Otro aspecto que estos autores resaltan es que los enfoques de enseñanza se encuentran centrados en el trabajo individual, dejando de considerar que a los alumnos que presentan barreras para el aprendizaje se les debe dedicar una atención personalizada, implicando ello una falta de tiempo para dar una respuesta educativa de calidad. Esto se complementa con el hecho de que el docente no contempla enfoques de aprendizaje colaborativo, por lo tanto, no se aprovechan las posibilidades para potenciar al máximo la participación y elevar los niveles de aprendizaje de todos los educandos (UNESCO, 2008). Por último, aluden a una comprensión por parte del docente de que la educación inclusiva es un modelo para garantizar el acceso y atención a cierto tipo de estudiantes que han sido

excluidos de la escuela regular (por ejemplo, estudiantes con diversidad funcional) y no que se encuentra dirigido a todos.

Por su parte, López Melero (2011) señala como otra barrera el hecho de que el docente no vea el aula como una comunidad de convivencia y aprendizaje, por lo que limita el intercambio de experiencias o puntos de vista a través del diálogo, trabajo cooperativo y solidario. Concebirlas como comunidades de este tipo lleva al profesorado a planificar las clases como una unidad, donde todo el alumnado sabe que puede haber algún compañero o compañera con dificultades para el aprendizaje, pero que, si le ayuda, va a superarlas. A esto se añade una tendencia a justificar el fracaso escolar como algo tradicional inherente a las características de determinado alumnado y sus familias, sin preocuparse por investigar cuáles son las dificultades que impiden la participación y el aprendizaje de los mismos.

Así mismo, Kearney (2011) menciona las bajas expectativas por parte del docente hacia algunos estudiantes como otro elemento a considerar en esta lista. Esto puede generar, por ejemplo, que los estudiantes con diversidad funcional lleguen a percibir que se espera menos de ellos que de sus compañeros. Además, acepta trabajos de un nivel inferior y da una retroalimentación inadecuada. En complemento a esto, clasifica y/o crea grupos para estudiantes con características comunes (desempeño académico, diversidad funcional, religión, estatus socioeconómico, entre otras), generando que sean percibidos como los otros. Tal conducta constituye una base para la exclusión. Por esto, el autor manifiesta que para que los sistemas de educación inclusiva sean una realidad se debe enseñar en la diversidad y el profesor debe considerar a todo el estudiantado como nosotros, no ellos. Después de todo, es importante señalar que la noción de diferencia no es una verdad que reside dentro de los individuos, sino una construcción social, cultural y política.

Por su parte, Montánchez Torres et al. (2017) listan los siguientes elementos como parte de las barreras que identifican:

a) Insuficientes sistemas de acreditación del profesorado.

b) Bajo nivel de formación pedagógica del profesorado.

c) Débil calidad de programas educativos y de formación docente

d) Poca investigación a nivel nacional sobre capacitación docente.

e) Carencia de formación inclusiva y contenidos adecuados para atender a grupos

desfavorecidos y marginados de la sociedad.

f) Prácticas pedagógicas descontextualizadas.

g) Poco debate institucional en materia educativa e inclusión.

2.4.3 Barreras arquitectónicas

Barreras arquitectónicas son todos aquellos “obstáculos físicos” que dificultan el acceso y el desplazamiento de las personas dentro de la escuela. Estos obstáculos tienen un impacto particular en el estudiantado que presentan diversidad funcional física, ya sea de manera temporal o permanente. Eliminarlas, o al menos buscar las mejores formas para mitigar su efecto, se hace necesario para promover y facilitar la participación en el aprendizaje, las actividades culturales y las comunitarias de todo el estudiantado. Algunos ejemplos son las escaleras, bordillos, falta de baños adaptados, pasillo de circulación y puertas estrechas, entre otras (Ruiz Botero, 2022).

Este tipo de barreras no solo puede impactar en el acceso, sino que pueden afectar el desarrollo social del estudiantado. Por ejemplo, Pivik et al. (2002) en unos de sus trabajos mencionan que la falta de acceso al gimnasio de la escuela no sólo impidió la oportunidad de realizar actividad física, sino que también impactó en actividades sociales, como los bailes escolares.

Se debe agregar que trabajar en su eliminación no solo aporta un beneficio para el estudiantado. Es un aspecto que puede redundar en el bienestar de la planta docente, administrativa, acudientes, visitantes, permitiendo el acceso y desplazamiento a todos (Ruiz Botero, 2022).

2.5 Prácticas de educación inclusiva en el aula.

A partir de la pandemia del COVID-19 se han observado grandes cambios en el comportamiento del estudiantado. Se ha dado un aumento en los casos de depresión, ansiedad, falta de tolerancia, etc. Todo esto se refleja en el aula de clase y en la comunidad educativa, pudiendo, incluso, incidir el incremento de la tasa media de abandono, lo que limita, entre otras cosas, la consecución de uno de los Objetivos de Desarrollo Sostenible, ODS: Garantizar una educación inclusiva, equitativa y de calidad y promover oportunidades de aprendizaje durante toda la vida para todos (Organización de las Naciones Unidas-ONU, 2015), acuerdo al que Colombia, entre otras naciones, está suscrita.

Un requerimiento indispensable para ello es que la escuela cree los espacios para que todos los que pertenecen a su comunidad asistan a ella, pero, además, deseen permanecer en su interior. Lo anterior exige del docente adaptar su práctica educativa a las necesidades, no solo de sus estudiantes, sino también de su entorno y, más aún, de su contexto histórico. Por ejemplo, responder ante los retos que implica el desarrollo de la inteligencia artificial y con ello la disminución del empleo; o, a la influencia de las redes sociales en los hábitos de consumo y la construcción de una percepción filtrada de la realidad en cuanto a lo que está socialmente aceptado. Es claro que esta y muchas otras cuestiones permean el aula y deben ser consideradas como parte de un currículo propuesto desde una educación inclusiva. Por supuesto, esto implica que se debe investigar en el aula, tal como plantea Freire (2004):

Mientras enseño continúo buscando, indagando. Enseño porque busco, porque indagué, porque indago y me indagó. Investigo para comprobar, comprobando intervengo, interviniendo educo y me educo. Investigo para conocer lo que aún no conozco y comunicar o anunciar la novedad (p.14).

Es necesario resaltar que a partir de la investigación e innovación es posible aportar desde el quehacer diario a la consecución de una educación inclusiva de calidad adaptada a la necesidad y contexto de la comunidad a la que pertenece la escuela. En tal sentido, sería oportuno centrar la atención en identificar prácticas que permitan atender de la forma más adecuada posible la diversidad presente en el aula, de manera que se eliminen o mitiguen las barreras para la participación y el aprendizaje de todo el estudiantado, en especial los que pertenecen a grupos tradicionalmente marginados o excluidos (UNESCO, 2009). Conviene subrayar que estas deben procurar no sólo transmitir conocimiento, sino también implantar la semilla para la construcción de sociedades más democráticas, equitativas e inclusivas, pues, como lo expresa Fátima Álvares (Álvarez, 2022). El aula ha de ser una escuela para la vida, un lugar para ensayar el mundo deseable al que aspiramos. Y ello, más allá del deber legal, como deber moral de nuestras sociedades en las que todos hemos de tener cabida. (p. 114)

2.5.1 Diálogo y observación de la práctica entre colegas docentes

Se inicia este apartado con una anécdota personal del investigador: En una ocasión dentro del aula realicé una práctica de reducción de términos semejantes con coeficientes fraccionarios, y luego de agrupar los términos semejantes procedí a realizar la adición de los coeficientes. Por más que lo intentaba, no lograba que los estudiantes entendieran el método que estaba desarrollando. Procedí entonces a pedirles que hicieran una adición con

otro grupo de fraccionarios, sin muchas expectativas sobre su desempeño, encontrándome con la sorpresa de que llegaron a la solución correcta de los ejercicios sin mayores dificultades. Cuando indagué la razón de esto, descubrí que uno de mis colegas realizó su práctica con otro método. Esto me condujo a plantear un diálogo con los demás docentes del área y, desde un análisis contextual, concertar de manera grupal los pasos a seguir en la enseñanza de este tema, logrando mitigar las barreras de aprendizaje que se presentaban. Lo anterior permite establecer cómo un mismo concepto puede ser abordado de múltiples maneras por los docentes de la misma área, lo que puede conllevar al desarrollo de barreras, situación que puede ser aminorada a partir de un trabajo colectivo por parte del equipo docente. De ahí que, tal como lo señala Ainscow (2005):

El desarrollo de prácticas inclusivas implica procesos de aprendizaje social dentro de un lugar de trabajo determinado que influyen en las acciones de las personas y, de hecho, en el pensamiento que informa estas acciones.

La metodología para desarrollar prácticas inclusivas debe, por lo tanto, tomar en cuenta estos procesos sociales de aprendizaje que ocurren dentro de contextos particulares. Requiere que un grupo de actores dentro de un contexto particular busque una agenda común para guiar sus discusiones de práctica y, al mismo tiempo, una serie de luchas para establecer formas de trabajo que les permitan recopilar y encontrar significado en diferentes tipos de información (p.115).

Acerca de las prácticas en el aula, el autor menciona que gran parte de lo que hacen los docentes, lo llevan a cabo en un nivel automático e intuitivo, involucrando el uso de conocimiento tácito, pudiendo ser esta quizás la razón, por la que tener la oportunidad de ver a los colegas en el trabajo llegue a ser crucial para el éxito del desarrollo de prácticas inclusivas.

En estas experiencias compartidas pueden ayudarse unos a otros a articular lo que hacen actualmente y al reconocimiento de situaciones que han pasado desapercibidas, además de definir lo que les gustaría hacer (Hiebert et al., 2002). También puede ser el medio por el cual las ideas preconcebidas que se han dado sobre grupos de estudiantes particulares sean objeto de críticas mutuas. Por tanto, se mitigan las barreras experimentadas por los alumnos que tienen su origen en las formas de pensar existentes. De la misma forma Ainscow (2005) deduce que “las estrategias para desarrollar prácticas inclusivas deben involucrar interrupciones en el pensamiento, con el fin de alentar a los "internos" a explorar posibilidades pasadas por alto para hacer avanzar la práctica.” (p. 121-122) Sin embargo, este diálogo y observación debe procurar la búsqueda y análisis conjunto de documentos de investigación. Prácticas recomendadas deben probarse y observarse, y desde una actitud de docente investigador, los resultados deben acumularse y compartirse a lo largo del tiempo y el lugar, superando de esta forma la insularidad de los contextos locales. Los docentes deben ser conscientes que el conocimiento debe hacerse público en un sentido amplio, este debe crearse con la intención de examen público, con el objetivo de hacerlo compartible entre los docentes, abierto a “discusión, verificación y refutación o modificación” (Hiebert et al., 2002, p.7).

Ainscow (2005) recomienda para fomentar el diálogo crear espacios para la reevaluación y las interrupciones en el pensamiento de los discursos existentes en favor de hacer avanzar la práctica. Para este fin propone los siguientes enfoques:

a) Encuestas de puntos de vista del personal, del estudiantado y de los padres.

b) Observación mutua de las prácticas en el aula, seguidas de discusión detallada de lo que

sucedió.

c) Discusión grupal de una grabación de video de un colega enseñando.

d) Discusión de evidencia estadística con respecto a los resultados de las pruebas, registros

de asistencia o registros de exclusión.

e) Datos de entrevistas con estudiantes.

f) Ejercicios de desarrollo del personal basados en material de estudio de casos o datos de

entrevistas.

g) Cooperación de escuela a escuela, incluyendo visitas mutuas para ayudar a recolectar

evidencia.

Para Ainscow (2005) bajo ciertas condiciones, todos estos enfoques pueden proporcionar interrupciones en el pensamiento que ayuden a hacer que lo familiar no sea familiar en formas que estimulen el auto cuestionamiento, la creatividad y la acción.

2.5.2 Aprendizaje cooperativo

Con el objetivo de contribuir a una educación inclusiva en la cual todo el estudiantado se sienta valorado, acogido e, independientemente de su diversidad, aprendan juntos, se debe dejar de lado las clases con estructura individualista y/o competitiva para dar lugar a una estructura cooperativa como un elemento trascendental para la inclusión de todo el alumnado en un aula común. En este sentido, autores como Pujolás Maset (2012) afirman que: Sólo pueden aprender juntos alumnos diferentes (en capacidad, interés, motivación, cultura, lengua, origen social) en una clase organizada, cooperativamente, en la cual todos colaboran y cooperan, se ayudan, para alcanzar el objetivo común de progresar en el aprendizaje, cada uno hasta el máximo de sus posibilidades. Y, por otra parte, no puede haber propiamente cooperación –con el desarrollo de la solidaridad y el respeto a las diferencias que la cooperación supone– si previamente se han excluido de un aula a los que son “diferentes”, si el aula no es inclusiva (p. 91) (Comillas en el texto original).

Pensamientos que de una u otra forma son compartidos por Vargas et al. (2020) cuando concluyen que Esta estrategia aporta en la humanización de nuestro sistema educativo y con ello destierra el concepto de “soledad académica”. No obstante, una educación individualista que quita la sensibilidad humana de los estudiantes, elitizan y deshumanizan la educación no aporta a la meta deseada: Educación de calidad (p. 375) (Comillas en el texto original). Los métodos de aprendizaje cooperativo aportan a una educación inclusiva porque valoran la diversidad que se puede dar en el aula y la aprovechan a través de la interacción, a partir del principio básico de trabajar juntos para aprender, que promueve en cada individuo tanto la responsabilidad del aprendizaje de sus compañeros como el propio, para garantizar el alcance de las metas y la realización individual y colectiva. Así pues, con estos se reconoce al otro como interlocutor y se asume el aprendizaje como un proceso socio constructivo, en el que el respeto, la solidaridad y la tolerancia hacia los demás, son valores inherentes (Monge Rodríguez, 2009; Slavin, 1999). También se garantizan los principios de igualdad y equidad. Su concepción no contempla la exclusión del aula de los que son diferentes, sino que valora la diversidad y la asume como oportunidades, hecho que, sin duda, beneficia el desarrollo de todos. Se debe agregar que estos métodos deben ser asumidos con mucho cuidado, para evitar que se genere el efecto polizón, por el cual algunos integrantes del grupo hacen la mayor parte del trabajo (o todo) mientras que otros viajan gratis. Esto se puede presentar, entre otras causas, porque los alumnos considerados menos hábiles son ignorados por los demás y los participantes más activos pueden tener pocos incentivos para responsabilizarse del aprendizaje de los demás, así no dedican tiempo para apoyarlos, lo cual termina en un detrimento de las posibilidades que ofrece el aprendizaje cooperativo (Slavin, 1999) y, en consecuencia, la aparición de barreras para el aprendizaje y la participación.

Para implementar el trabajo cooperativo en el aula, Pujolás Maset (2012), concibe la necesidad de buscar, desarrollar y adaptar recursos didácticos que lo permitan. Además, precisa su articulación desde tres ámbitos de intervención: a) cohesión de grupo, b) trabajo en equipo como recurso para enseñar y, c) trabajo en equipo como competencia a enseñar. Adicional menciona que deben ser trabajados de forma continua y simultánea, con una retroalimentación en función de las necesidades o vacíos observados.

Para originar verdaderos aprendizajes cooperativos entre los grupos, hay cinco elementos esenciales que deberán ser explícitamente incorporados en cada clase (Johnson et al., 1999) a) La interdependencia positiva. La comprensión por parte de todos los integrantes del grupo que los objetivos, metas y tareas, no se pueden considerar alcanzados a menos que todos tengan éxito. Cuando esto sucede, los estudiantes se dan cuenta de que el trabajo de todos es indispensable para el logro de los objetivos trazados (es decir, que nadie puede ser polizón) y que el aporte de cada uno de ellos es importante para el esfuerzo conjunto debido a la información con que cuenta, el papel que desempeña y a su responsabilidad en la tarea (Johnson et al., 1999; Slavin, 1999).

b) La responsabilidad individual y grupal. Significa que el éxito del equipo depende del

aprendizaje individual de cada uno de sus integrantes. Nadie puede aprovecharse del trabajo de otros. El grupo, a partir de unos objetivos bien definidos y asumidos por todos, debe ser capaz de evaluar el progreso realizado en cuanto al cumplimiento de estos y los esfuerzos individuales de cada miembro (Johnson et al., 1999; Slavin, 1999).

c) Interacción estimuladora, preferentemente cara a cara. Los integrantes del grupo se

alientan entre ellos a través de actitudes que incentivan la motivación personal. Cada uno promueve el éxito de los demás, poniendo a disposición del grupo los recursos con los que cuenta, ayudando, respaldando, alentando y felicitando a sus compañeros por los aportes al

grupo y el empeño por aprender. Los grupos de aprendizaje son, a la vez, un sistema de apoyo escolar y un sistema de respaldo personal (Johnson et al., 1999).

d) Prácticas interpersonales y grupales, necesarias para funcionar como parte de un grupo

(trabajo de equipo). El docente tendrá que enseñarles las prácticas con la misma seriedad y precisión con la cual les enseña las materias escolares. Así mismo, procurar el desarrollo de las competencias sociales, personales, actitudinales y cognitivas para ello. (Johnson et al., 1999; Perlado et al., 2021)

e) El procesamiento grupal o evaluación grupal. Partiendo de un análisis del trabajo

realizado por cada integrante del grupo para lograr las metas y el mantenimiento de relaciones de trabajo eficaces. Los grupos deben procurar determinar cómo las acciones de sus miembros le aportan o afectan, para tomar decisiones conjuntas de cuáles preservar y modificar (Johnson et al., 1999).

Otros dos aspectos que se ponen en funcionamiento además de los listados son: la participación equitativa, la igualdad de oportunidades, destrezas y habilidades sociales. Es así que, para el desarrollo de las actividades se debe procurar una participación de todos los integrantes, permitiéndole a cada uno dar su opinión, en un intento de generar una igualdad de oportunidades para cada miembro del grupo.

2.5.3 Comunidades de aprendizaje, CA

Como se ha dicho durante el capítulo, una educación inclusiva debe:

a) Procurar aumentar la participación en el aprendizaje y la cultura escolar.

b) Entenderse como un proceso sin fin de buscar las mejores formas de responder a la

diversidad.

c) Ser un espacio para aprender a vivir con la diferencia y a la vez estudiar cómo aprovechar

las experiencias derivadas de esta.

Todo esto teniendo presente que las Comunidades de Aprendizaje, CA, son proyectos de transformación social y cultural de la escuela y de su entorno, basados en el aprendizaje dialógico, con la finalidad de vincular a toda la comunidad al proceso educativo en espacios donde la interacción social sea respetuosa con la diversidad, escuchando diferentes perspectivas, tanto convergentes como divergentes. (Beltrán et al., 2015; Mello y Braga, 2018). Vincular a la comunidad educativa en el acto educativo es apartarse de la idea exclusiva de educación formal y escolar, además de reconocer la responsabilidad de la sociedad. De hecho, las prácticas sociales permiten promover el desarrollo y la socialización de sus miembros, por lo que es posible aprovechar las conexiones que se desarrollan para promover la colaboración e intercambio de ideas y opiniones (Watkins, 2005). Hay que mencionar, además, que la comunicación y la ejecución de compromisos entre los sujetos son elementos centrales para la ruptura de las desigualdades, desde la autonomía y las elecciones propias como motor de transformación. Así mismo, la comunidad educativa puede llegar a ser un motor para ayudar a sus miembros a emprender acciones colectivas.

No se debe olvidar que la educación inclusiva debe ser un espacio para aprender a vivir con la diferencia y a la vez estudiar cómo aprovechar las experiencias derivadas de ella. Además, el contexto actual se caracteriza por la construcción de trayectorias e identidades propias. De hecho, Watkins (2005) defiende el hecho que las aulas y la enseñanza son multidimensionales, dado que:

Los alumnos (y también los profesores) traen al aula múltiples inquietudes, intereses y experiencias de vida, pero manejan esta multiplicidad y en medio de ella, por ejemplo, aprenden matemáticas. Para el docente, la naturaleza multidimensional de la vida en el aula significa que están continuamente involucrados en actos de equilibrio, dilemas y compensaciones (p. 8).

Al mismo tiempo, en el contexto actual, es necesario apreciar las interacciones basadas en la diversidad como fuente de conocimiento, escuchando diferentes perspectivas, tanto convergentes como divergentes, dialogando y discutiendo sobre estas perspectivas. En contraparte, se vive en tiempos en que para algunas personas todo lo que importa es el desempeño medido en las pruebas externas, lo cual pudo ser apropiado para el siglo XX, más centrado en construir máquinas de aprendizaje, pero hoy se reconoce cada vez más la importancia de prestar atención a otros elementos que no necesariamente pueden ser potenciados a través de la consecución netamente de resultados. En este sentido, autores como Beltrán et al. (2015) hacen referencia a las aulas como CA, en la medida en que potencian la interacción y la construcción conjunta del conocimiento. Así, identifican cuatro características fundamentales para su funcionamiento:

a) Se da gran valor a la inteligencia cultural de todas las personas, entendida como la

capacidad para actuar en diferentes contextos y trasladar el conocimiento a otros que sean nuevos, favoreciendo con ello los medios para expresarla en condiciones de igualdad.

b) No deben estar focalizadas en la adaptación al entorno cultural: por el contrario, deben

procurar transformarlo. Una CA debe promover interacciones que lleven a cambios en la vida de las personas, desde interacciones basadas en un diálogo igualitario, tomando como base que las condiciones iniciales desfavorables de alguien no pueden condenarlo a permanecer en estado de desigualdad.

c) Basan su pedagogía en el aprendizaje dialógico, desde una perspectiva en la cual la

fuerza está en los argumentos más que en la posición jerárquica de quien está hablando, y el cooperativismo.

d) Se orientan bajo el principio de inclusión escolar, eliminando prácticas segregacionistas

al considerar que todos pueden aprender y aportar su propio conocimiento y experiencia en un mismo entorno escolar.

Por otra parte, Watkins (2005) identifica a partir de investigaciones de otros autores los aportes que se pueden dar en el aula, entendiéndose como CA:

a) Se desarrolla un discurso acorde a la disciplina de estudio. Los estudiantes buscan dar

respuestas a sus preguntas desde la búsqueda en varias fuentes de conocimiento y sus estudios empíricos.

b) La responsabilidad y el control del conocimiento se comparten. Los estudiantes asumen

la responsabilidad de sí mismos y de los demás, además de conocer lo que se necesita saber y garantizar que los demás también lo sepan.

c) Las concepciones del aprendizaje son más ricas y co-constructivas. Se desarrolla una

interacción de la reflexión privada y pública, los estudiantes cambian su enfoque de aprendizaje de uno pasivo superficial a uno activo más profundo, llegando a comprender que el aprendizaje y el conocimiento debe ser compartido con los demás, buscando la forma adecuada de transmitirlo.

d) Comprenden su aprendizaje juntos. A partir de la discusión de lo que cada uno entiende,

construyen un conocimiento más avanzado, logrando incorporar los resultados de estas discusiones en sus interpretaciones escritas.

Con base a lo anterior, el aula como CA se gestiona con la convicción de todos los miembros de que el crecimiento del conocimiento implica procesos individuales y sociales, en los cuales el objetivo es avanzar en él de manera colectiva e igualmente apoyar el crecimiento individual.

Siendo así, el docente debe procurar revisar y revivir su propia voz sobre el aprendizaje. Atendiendo a esto, es necesario su mayor compromiso con el estudiantado sobre el aprendizaje, para lograr una motivación intrínseca que permita generar un crecimiento del conocimiento con prácticas de aula interesantes, novedosas, desafiantes y con valor estético para el individuo, sin olvidar la naturaleza de ésta como entidad social.

Como se puede observar, las CA son acordes con la educación inclusiva porque con ellas se aumenta la participación en el aprendizaje y la cultura escolar. Además, mitigan la deserción y promueven el aumento de matrícula (Mello y Braga, 2018). Igualmente, se ha documentado que la participación comunitaria y las CA en las escuelas promueven mejoras académicas en los niños. Por otra parte, el estudiantado en escuelas de este tipo son más propensos a actuar de manera ética y altruista, y a desarrollar competencias sociales y emocionales (Watkins, 2005).

Coll et al. (2008) basados en el contexto sociocultural y las actividades que se desarrollan, establece tres tipos de CA. Las dos primeras son referidas a las aulas e instituciones educativas organizadas como tal y las terceras al contexto social y comunitario: a) aulas organizadas como CA. Se encuentran conformadas habitualmente por el docente y sus alumnos en un ambiente donde todos aprenden juntos gracias a la colaboración que se establece y a la diversidad de ayudas que se prestan. Esta visión alternativa del aprendizaje y la enseñanza, se caracteriza por la existencia de una cultura del aprendizaje que supone la implicación de todos los participantes en un esfuerzo conjunto para la comprensión y construcción de un conocimiento colectivo. b) Las instituciones educativas organizadas como CA. Estas se configuran a partir de la extrapolación al plano institucional de los principios que caracterizan el aula como CA, siendo el foco la cultura del aprendizaje, la cual pretende extenderse a todas sus instancias y a la comunidad educativa. De igual forma, dentro de las mismas las estructuras jerárquicas y burocráticas se diluyen, siendo reemplazadas por el trabajo colaborativo, el liderazgo compartido, la participación y la

coordinación. c) Las CA como estrategia de desarrollo social y comunitario. Estas se encuentran orientadas al desarrollo económico y social a través de la educación para adultos, el aprendizaje a lo largo de la vida, la formación y la inserción laboral.

Adicional a esto, las CA no solo pueden desarrollarse en escenarios físicos, también pueden establecerse Comunidades Virtuales de Aprendizaje, CVA. Las CVA, se dan gracias a las posibilidades que ofrecen las TIC para crear un entorno virtual.

2.5.4 Flexibilización del currículo

En una educación inclusiva el currículo no debe ser rígido, luego, el interés máximo no debe ser compartir la cultura dominante, sino procurar una educación óptima para cada uno, desde la atención en un marco de diversidad, procurando eliminar o mitigar las barreras para el acceso a la participación y el aprendizaje, tanto en el contexto social como educativo. De hecho, es menester entender que uno de los fines de la educación inclusiva es formar ciudadanos para el progreso social e individual, en oposición a la concepción de hacerlo para el bienestar del Estado. Después de todo, la segunda concepción segrega y justifica acciones de exclusión por el bien institucional.

La educación inclusiva requiere que el alumnado que experimenta barreras no sea infravalorado o percibido como carente de capacidades para lograrlo. Se debe tener siempre presente que, para todos los casos, se trata de ir construyendo una nueva realidad en el contexto educativo que se reafirme mediante las prácticas, la accesibilidad, la participación, el logro y el desarrollo individual y colectivo. Lo fundamental es comprender que es la formación de los educandos, no los contenidos curriculares, lo que debería convertirse en el eje de la organización del trabajo escolar. Así mismo, el aula debe ser el campo desde donde se propicie la justicia social y se promueva el desarrollo de sociedades más justas, acogedoras, abiertas y respetuosas con la diversidad humana y en ella se debe buscar que todos tengan acceso al conocimiento en

igualdad de oportunidades, apostando por la calidad. Todo esto exige del docente la convicción que las semillas sembradas en este campo darán frutos:

Cuando creíamos que los niños y niñas con Síndrome de Down no podían aprender a leer y a escribir, no les enseñábamos, no porque tuviéramos mala intención sino porque de buena fe creíamos que no lo podían hacer, y pensábamos que no había por qué someterlos a tal tensión y frustración (Martin, 2006, p. 114).

Es claro que las preconcepciones docentes pueden crear barreras, no obstante, el hecho de dar un currículo que no se ajuste al contexto y que no aborde la diversidad puede contribuir a ampliar las desigualdades entre grupos. Es decir, no basta con que todo el estudiantado que pertenece a una comunidad asista a la misma escuela, sino que se deben garantizar medidas de atención que echen por tierra la invisibilización de las diferencias sociales, culturales e individuales. Un currículo donde todos se sientan valorados y se le garantice el derecho a una educación de calidad acorde a sus expectativas, con las mismas oportunidades de aprendizaje que sus compañeros, procurando el desarrollo máximo de sus talentos y capacidades, contando con los apoyos que les permitan alcanzar un desarrollo integral.

La atención a la diversidad desde una mirada curricular implica comprender que este puede llegar a ser una barrera para el aprendizaje, lo que exige procesos de flexibilización y transformación de las prácticas educativas, a partir de la modificación de los currículos comunes. Las flexibilizaciones implican comprender cuáles son las competencias del escolar, sus intereses, necesidades, estilos cognitivos y ritmos de aprendizaje, y de acuerdo a esto, determinar cómo potencializar sus habilidades, dejando de lado una mirada peyorativa alrededor de estos aspectos (Duk, C. y Loren, 2010). A su vez, debe fundamentarse en: lo que las características del entorno y del alumnado suponen en términos de necesidades educativas. No se trata de hacer sólo buenos análisis sociológicos, sino de

saber inferir a partir de ellos qué necesidades específicas tiene ese alumnado en concreto; leer las características sociales en términos de demandas educativas. El acierto en la definición y la selección de los aprendizajes básicos es esencial para atender a la diversidad. Currículos sobrecargados, que no están adaptados a las verdaderas necesidades, son una dificultad para atender a la diversidad (Martin, 2006, p. 116). No se puede confundir flexibilización curricular con no curricularidad, es decir, alumnos que no desarrollan un currículo formalizado en el aula, lo que es sinónimo de negación del derecho al aprendizaje. Los objetivos educativos en el aula del grupo han de estar definidos en términos de enseñanza-aprendizaje para que todos participen de forma plena. En consecuencia, es responsabilidad del docente evitar la dualidad académica que lleva a la exclusión. Cuanto más adaptada esté la actividad didáctica que desarrollarán todos los alumnos y los objetivos instructivo-formativos a conseguir a la diversidad en el aula, se tendrá menos necesidad de hacer adaptaciones individuales (Parrilla, 2005). Por el contrario, dar un tratamiento individual de la diversidad puede llevar al inicio de un proceso que acabe generando segregación. En consecuencia, la respuesta a la diversidad exige otras a nivel de aula: replanteamientos, modificaciones, mejoras organizativas y grupales (Parrilla, 2005). Pero el reconocimiento de esta diversidad pasa también por reconocer que la misma no se da sólo en los estudiantes. Como docente se debe ser consciente que no se puede enseñar a un sujeto distinto –desde el punto de vista de sus características cognitiva, emocionales, culturales y sociales– de la misma manera que se enseñaba a los sujetos psicológicos que se construyeron en otro tiempo. Este elemento es tan central como el de la existente entre los alumnos, porque permite explicar gran parte de los problemas que se presentan a la hora de eliminar o mitigar las barreras para la participación y el aprendizaje en las aulas (Martin, 2006).

2.5.5 Diseño Universal para el Aprendizaje, DUA

El Diseño Universal para el Aprendizaje, DUA, tiene sus orígenes en las investigaciones desarrolladas por el Centro de Tecnología Especial Aplicada, en inglés, CAST, durante la década de 1990. Entre los investigadores que aportaron se encuentran David H. Rose, neuropsicólogo del desarrollo, y Anne Meyer, experta en educación, psicología clínica y diseño gráfico. Aprovechando los conocimientos acumulados desde las neurociencias sobre el aprendizaje, investigación educativa, tecnología y medios digitales, buscaron generar aportes para que se construyan currículos que respondan adecuadamente a la diversidad presente en el aula (Castro y Rodriguez, 2017; Pastor et al., 2014).

El DUA fue diseñado para actuar directamente sobre el currículo y sus limitaciones, de manera que los investigadores del CAST señalaron que:

El peso de la adaptación debe recaer en primer lugar sobre el currículum y no sobre el estudiante. Puesto que la mayoría de los currículos no se pueden adaptar a las diferencias individuales, tenemos que reconocer que son dichos currículos, y no los estudiantes, los que están “discapacitados”. Por tanto, debemos “arreglar” currículos y no estudiantes (Wakefield, 2013, p.1).

De ahí se desprende la crítica que el Centro realizó a la práctica tradicional de elaborar currículos para atender a estudiantes promedio, lo cual los hace elementos carentes de flexibilidad y con un fuerte componente de estandarización, convirtiéndolos en una herramienta de exclusión para aquellos con distintas capacidades, conocimientos previos y motivaciones. Es decir, quienes presentan diversidad en relación con el criterio ilusorio de promedio. No obstante, debido a su rigidez, es posible que incluso en estudiantes que entran en dicha categoría, no cuente con los parámetros que le permitan atender sus necesidades reales. Con el DUA no se

busca eliminar los desafíos específicos que implica el aprendizaje según el área del conocimiento, sino las barreras innecesarias que se construyen alrededor del mismo. Cabe señalar que no tiene como propósito centrar sus esfuerzos en todos los tipos de barreras. Su foco de acción está en los aspectos relacionados con el aprendizaje, por lo que se deslinda de todas las herramientas que dentro de la noción de inclusión se encasillan en orientaciones limitadas únicamente a facilitar el acceso a la educación (Wakefield 2013). El DUA es un instrumento que facilita el diseño de un currículo, pensando en las necesidades potenciales de quienes deben acceder a él, teniendo en cuenta la variabilidad del estudiantado al sugerir flexibilidad en los objetivos, métodos, materiales y evaluación, de forma que los docentes puedan satisfacerlas para todos, presentando opciones personalizables que les permitan progresar desde su realidad y no desde la que el docente o la institución idealizan, razón por la cual los cambios posteriores, así como el coste y tiempo vinculados a los mismos, sean innecesarios (Wakefield, 2013; C. A. Pastor et al., 2014).

2.5.5.1 Principios del DUA.

La base investigativa de los principios generales del DUA tiene su fundamento en la neurociencia moderna. Gracias a su desarrollo, el CAST pudo establecer que en el cerebro existen tres tipos de redes que intervienen de modo preponderante en el proceso de aprendizaje: de reconocimiento, estratégicas y afectivas (Rose et al., 2006).

El funcionamiento de cada una es distinto en cada persona. Así, hay estudiantes que reconocen y procesan mejor la información por la vía auditiva que por la visual y viceversa. Otros, por ejemplo, serán buenos al diseñar estrategias, pero no al ejecutarlas o evaluarlas; algunos aprenderán mejor de manera práctica, mientras que otros asimilarán los contenidos curriculares de forma vicaria (a través de modelos). Del mismo modo, no todo el alumnado se motivará de

igual forma y presentará diferencias en el modo de implicarse en su propio aprendizaje (Pastor et al., 2014) Estos elementos son los que constituyen la base del DUA al momento de postular el diseño de un currículo. (Wakefield, 2013). De ahí que cada red cerebral implicada se corresponda con cada uno de sus principios, los cuales son:

a) Principio I. Proporcionar múltiples formas de representación (el qué del aprendizaje).

Partiendo del hecho de que cada individuo percibe y comprende la información de forma particular, encontrando incluso estudiantes para los cuales algunas formas de representación son inaccesibles.

b) Principio II. Proporcionar múltiples formas de acción y expresión (el cómo del aprendizaje). Cada persona difiere en las formas en que pueden desenvolverse en un entorno de aprendizaje y en cómo expresar lo que saben.

c) Principio III. Proporcionar múltiples formas de implicación (el porqué del aprendizaje). Procurar que todos los alumnos se sientan comprometidos y motivados en el proceso (Wakefield, 2013; Rose et al., 2006).

Así mismo, para cada principio establecen tres pautas que presentan puntos de verificación para ser articulados en las propuestas didácticas, los cuales se describen en la Tabla 4:

Tabla 4 Principios y pautas del DUA Principios y pautas del DUA

PRINCIPIO

Proporcionar múltiples medios de representación. Proporcionar múltiples formas de acción y expresión.

Proporcionar múltiples formas de implicación.

PAUTAS

Proporcionar diferentes opciones para la percepción. Proporcionar opciones para la interacción física. Proporcionar opciones para captar el interés.

Proporcionar múltiples opciones para el lenguaje, las expresiones matemáticas y los símbolos.

Proporcionar opciones para la expresión y la comunicación.

Proporcionar opciones para mantener el esfuerzo y la persistencia.

Proporcionar opciones para la comprensión.

Proporcionar opciones para las funciones ejecutivas. Proporcionar opciones para la auto-regulación.

Nota. Construida con base a la propuesta de CAST (Wakefield, 2013). 2.5.5.2 El DUA y la educación inclusiva. A lo largo del capítulo se ha puesto de manifiesto en múltiples ocasiones que hablar de educación inclusiva implica eliminar o mitigar las barreras para la participación y el aprendizaje, desarrollar prácticas que puedan conducir a resultados satisfactorios para todo el estudiantado, comprender la labor del docente como un proceso sin fin en búsqueda de las mejores formas de responder a la diversidad, entre otras. El DUA es coherente con estos postulados porque reconoce la diferencia como un elemento clave de la planificación didáctica y procura que todo

el alumnado tenga oportunidades para aprender. Además, facilita a los docentes un marco para enriquecer y flexibilizar el diseño del currículo.

En esa medida es acorde a una educación inclusiva, ya que su marco de actuación contempla modificaciones para acomodar la escuela al estudiantado, al plantear que el currículo es el que debe adaptarse al estudiante, y no al contrario, y al postularse como un elemento que, si no se construye de forma adecuada a las necesidades de todos, puede convertirse en una barrera (Wakefield, 2013; Pastor, 2019).

Los tres principios sobre los que está fundamentado el DUA reconocen la diversidad presente en el aula de clase, por lo tanto, ofrecen alternativas para acceder al aprendizaje, permitiendo que cada estudiante escoja aquella opción con la que va a aprender mejor (Wakefield, 2013; Pastor, 2019; Pastor et al., 2014).

El DUA da respuesta a la diversidad rompiendo con el esquema tradicional que todos los alumnos hacen lo mismo, con los mismos materiales, al mismo tiempo. Procura la flexibilidad en las formas en que la información es presentada, en los materiales y métodos utilizados, en los modos en los que el estudiantado es evaluado y en las maneras en que es motivado y se compromete con su propio aprendizaje, por lo que, en síntesis, promueve propuestas de enseñanza inclusiva (Pastor, 2019, p. 58).

2.6 Conclusiones

En el sistema educativo existe frecuentemente una confusión en torno al significado de la educación inclusiva, ya que a menudo está asociado exclusivamente con personas con discapacidad y necesidades educativas especiales (Echeita & Cuevas, 2011). Es importante aclarar que con una educación inclusiva se busca que todo el estudiantado, independientemente de su diversidad y características, participe en igualdad de oportunidades de una educación de

calidad, a través de la identificación y la eliminación de las barreras para el aprendizaje y la participación.

La educación es un derecho humano intrínseco y un medio indispensable para el ejercicio de otros derechos. Como reconoce el Comité de Derechos Económicos, Sociales y Culturales (1999a, párr. 2) “el derecho a la educación es el epítome de la indivisibilidad y la interdependencia de todos los derechos humanos” (cursivas propias). Por tanto, es un compromiso ético de toda la sociedad garantizar la disponibilidad, la accesibilidad, la aceptabilidad y la adaptabilidad del servicio educativo.

La educación inclusiva no solo es un fin en sí misma, sino también un medio para que los individuos puedan disfrutar plenamente de sus derechos, participar activamente en la sociedad y lograr su desarrollo personal. A partir de la convención de los derechos de las personas con discapacidad, la educación inclusiva se reconoce como un derecho positivo, con ello se establece la obligatoriedad de los gobiernos de ofrecer una educación de calidad en igualdad de oportunidades a todo el estudiantado, independientemente de su diversidad funcional, cognitiva, étnica, cultural u otras diversidades. Esto implica que los gobiernos para garantizar el ejercicio pleno del derecho fundamental a una educación inclusiva debe procurar cumplir las cuatro características interrelacionadas, a saber: la disponibilidad, la accesibilidad, la aceptabilidad y la adaptabilidad (Tomasevski, 2004).

Sin embargo, la responsabilidad de lograr una educación inclusiva y de calidad para todo el estudiantado no recae únicamente en el gobierno. Es un compromiso compartido por cada uno de los cuatro actores en la educación: el estado, la familia, la escuela y los propios estudiantes (Tomasevski, 2004). Es así, que cada uno de estos actores desempeñan un papel fundamental en el establecimiento de una educación inclusiva, garantizando el derecho igualitario de todas las personas a la educación y promoviendo un ambiente inclusivo, buscando que la enseñanza se adapte a la diversidad presente en el aula, atendiendo a las necesidades educativas de todos

y procurando de forma continua la identificación y eliminación de las diferentes barreras que se presenten.

Es importante destacar que la integración y la inclusión son dos conceptos distintos en el ámbito educativo. Mientras la integración implica que el estudiante tiene que adaptarse a las dinámicas de la escuela (Blanco, 2006), la educación inclusiva va más allá y busca una transformación del sistema educativo y otros entornos de aprendizaje para responder de manera adecuada a la diversidad funcional, cognitiva, étnica, y otros aspectos presentes en el aula. Es fundamental comprender que la educación inclusiva no busca que el estudiantado tenga que “adaptarse a la normalidad, pues no son anormales, sino que el entorno y el medio les entorpecen su vivir” (Padilla, 2011, p.678). La educación inclusiva busca ir más allá de la mera integración, promoviendo cambios estructurales y culturales que permitan la plena participación de todo el estudiantado.

La educación inclusiva trasciende el simple acceso a la escuela; implica aprender a vivir con la diferencia y a la vez estudiar cómo aprovechar las experiencias derivadas de ella, buscando garantizar una educación de calidad y en igualdad de oportunidades para todo el estudiantado. Para lograrlo, es esencial que el alumnado que experimenta barreras para el aprendizaje, no sea infravalorado o percibido como carentes de capacidades. Así mismo, es fundamental comprender que es la formación plena de los educandos, y no únicamente los contenidos curriculares, lo que debería convertirse en el eje de la organización del trabajo escolar. De igual forma, es importante que los docentes entiendan que son ellos los encargados de dar vida a la educación inclusiva en el aula, a través del ejercicio cotidiano de su labor, debe propiciar una actitud y acciones que permitan que el aula sea el espacio donde se propicie la justicia social y se promueva el desarrollo de sociedades más justas, acogedoras, abiertas y respetuosas con la diversidad humana. Todo esto exige del docente procurar no solo transmitir

conocimiento, sino también implantar la semilla para la construcción de sociedades más democráticas, equitativas e inclusivas, pues, como lo expresa Fátima Álvarez (Álvarez, 2022). El aula ha de ser una escuela para la vida, un lugar para ensayar el mundo deseable al que aspiramos. Y ello, más allá del deber legal, como deber moral de nuestras sociedades en las que todos hemos de tener cabida.

La educación inclusiva desde una mirada del currículo implica comprender que este puede llegar a ser una barrera para el aprendizaje. Esto implica que el currículo no debe ser rígido ni centrarse exclusivamente en transmitir la cultura dominante, sino adaptarse a las necesidades cognitivas individuales y ritmos de aprendizaje del estudiantado, adaptando el currículo en consecuencia. Se deben realizar adaptaciones y modificaciones en el currículo para atender a la diversidad, promoviendo una enseñanza inclusiva y evitando la necesidad de adaptaciones individuales. Es así, que el docente debe procurar adaptar las actividades didácticas para atender a la diversidad, evitando tratamientos individualizados que puedan generar segregación. En consecuencia, la respuesta a la diversidad exige replanteamientos, modificaciones, mejoras organizativas y grupales a nivel de aula, buscando una educación más inclusiva y respetuosa con las diferencias individuales (Parrilla, 2005). Solo realizando los cambios requeridos en el currículo y las prácticas se podrá avanzar hacia una educación que promueva el respeto y la acogida a la diversidad, además de la realización plena de cada estudiante.

El Diseño Universal para el Aprendizaje (DUA) surge como una respuesta necesaria para abordar la diversidad presente en el aula y superar las limitaciones y barreras que los currículos tradicionales pueden implicar. Estos currículos, al carecer de flexibilidad y ser altamente estandarizados, perpetúan el criterio ilusorio de estudiantes promedio y excluyen la diversidad de capacidades, conocimientos previos y motivaciones. Al hacer uso del DUA como herramienta para diseñar el currículo, se busca tener en cuenta la variabilidad del estudiantado al sugerir

flexibilidad en los objetivos, métodos, materiales y evaluación, de forma que los docentes puedan satisfacer las necesidades de todo el estudiantado.

Los principios del DUA, tienen su fundamento en la neurociencia, que reconoce en el proceso de aprendizaje tres tipos de redes cerebrales (reconocimiento, estratégicas y afectivas) (Rose et al., 2006), que interviene de forma única en cada estudiante. Incluso, la forma como se motiva el estudiantado no se da de la misma forma y presenta diferencias en el modo de implicarse en su propio aprendizaje (Pastor et al., 2014). Estas diferencias individuales se traducen en los tres principios esenciales del DUA: Proporcionar múltiples formas de representación (el qué del aprendizaje), proporcionar múltiples formas de acción y expresión (el cómo del aprendizaje) y proporcionar múltiples formas de implicación (el porqué del aprendizaje). En coherencia con una educación inclusiva, el DUA reconoce la diferencia como un elemento clave de la planificación didáctica y procura que todo el alumnado tenga oportunidades para aprender y facilita a los docentes un marco para enriquecer y flexibilizar el diseño del currículo, fomentando así una educación equitativa y verdaderamente inclusiva.

3. Las Dificultades en el Aprendizaje (DA)

En este capítulo se centrará la atención en realizar una descripción general de las Dificultades de Aprendizaje, DA, puesto que, tal como se ha establecido a lo largo del documento, en el marco de una educación inclusiva es necesario realizar procesos para una planificación de clase que lleve a una enseñanza efectiva en la que se proyecte mitigar las barreras para el aprendizaje y la participación, siendo estas un factor determinante en ese proceso. Aunque las DA deben ser diagnosticadas por profesionales, de acuerdo con criterios previamente establecidos, esto puede crear cánones clasificatorios que pueden terminar generando acciones de segregación y discriminación en el aula. Por esta razón es importante resaltar lo que menciona López (2012):

El desarrollo humano no consiste sólo en señalar lo que uno es ahora, sino lo que puede ser con la ayuda educativa de los demás. El desarrollo depende del devenir. Es algo que está por hacer. Es decir que el desarrollo depende de la oferta educativa, y si ésta es de calidad, el desarrollo será de calidad. De ahí el carácter educativo y ético del diagnóstico. Por eso el diagnóstico al orientarnos de las competencias cognitivas y culturales del alumnado requiere que el profesorado cambie sus sistemas de enseñanza (p.145). Dicho lo anterior, es importante reconocer que el diagnóstico debe emplearse como punto de partida, no como referente.

En cuanto a la definición de las DA, Hammill (1990) realizó un estudio en el que concluyó que la ofrecida por la National Joint Committee on Learning Disabilities, NJCLD, (1991) es probablemente la que mejor describe su naturaleza y tiene la mejor oportunidad de convertirse en la de consenso, pudiendo llegar a ser utilizada tanto por profesionales, investigadores y padres (Bertrán, 2014). La misma establece lo siguiente:

Dificultad de aprendizaje es un término general que se refiere a un grupo heterogéneo de trastornos que se manifiestan por dificultades significativas en la adquisición y el uso de la comprensión auditiva, el habla, la lectura, la escritura, el razonamiento o las habilidades matemáticas. Estos trastornos son intrínsecos al individuo. Existe el supuesto de que se deben a una disfunción del sistema nervioso central por lo que pueden ocurrir a lo largo de la vida. Los problemas en los comportamientos de autorregulación, la percepción social y la interacción social pueden darse junto a ella, pero por sí mismas, no se constituyen una.

Aunque las dificultades de aprendizaje pueden ocurrir concomitantemente con una diversidad funcional (por ejemplo, diversidad funcional sensorial, diversidad funcional intelectual, trastorno emocional) o con influencias extrínsecas (tales como las diferencias culturales o lingüísticas, instrucción insuficiente o inapropiada), no son el resultado de esas condiciones o influencias (National Joint Committee on Learning Disabilities, NJCLD, 2016, párr.1) (Traducido al español).1

1 Texto original de la definición presentada por la NJCLD en su página oficial, la cual fue actualizada en 2016, pero, cuya adopción se hizo desde el año de 1990: Learning disabilities is a general term that refers to a heterogeneous group of disorders manifested by significant difficulties in the acquisition and use of listening, speaking, reading, writing, reasoning, or mathematical abilities. These disorders are intrinsic to the individual, presumed to be due to central nervous system dysfunction, and may occur across the life span. Problems in self-regulatory behaviors, social perception, and social interaction may exist with learning disabilities but do not by themselves constitute a learning disability. Although learning disabilities may occur concomitantly with other disabilities (for example, sensory impairment, intellectual disabilities, emotional disturbance), or with extrinsic influences (such as cultural or linguistic differences, insufficient or inappropriate instruction), they are not the result of those conditions or influences.

Para el docente se hace necesario tener conocimiento sobre las mismas, puesto que le permitirá comprender mejor la diversidad presente en el aula y el desarrollo de acciones que potencien la participación y el aprendizaje de todo el estudiantado. No se debe olvidar que es él quien da vida a la educación inclusiva, al ser el encargado de monitorear y realizar las intervenciones que considere necesarias para lograr una educación de calidad.

3.1 Los cinco constructos de la definición de la NJCLD

La American Speech-Language-Hearing Association (1998) desarrolló un documento con el propósito de resaltar los cinco constructos subyacentes a la definición de DA, los cuales la NJCLD complementa con la formulación de una serie de procedimientos a seguir acordes con estos:

a) Son heterogéneas, tanto dentro como entre individuos. Las diferencias intra-individuales

implican perfiles variados de fortalezas (formas de pensar, sentir o actuar que se pueden utilizar con eficacia) y necesidades a lo largo de su vida, que implican distintas manifestaciones para cada individuo.

b) Resultan dificultades significativas en la adquisición y el uso de habilidades para

escuchar, hablar, leer, escribir, razonar y/o habilidades matemáticas. Estas son evidentes cuando para niveles apropiados de esfuerzo de un individuo no se da como resultado un progreso razonable. Una dificultad significativa no puede ser determinada únicamente mediante la puntuación de una prueba cuantitativa.

c) Pueden ocurrir de forma concomitante con otras discapacidades que, por sí mismas, no

constituyen una dificultad de aprendizaje. Por ejemplo, dificultades con los comportamientos de autorregulación, la percepción y las interacciones sociales. Las personas con otras diversidades funcionales, como sensorial, trastornos por déficit de atención con hiperactividad, cognitiva y trastornos emocionales graves, también pueden tener dificultades de aprendizaje, sin que estas en sí sean la causa de las mismas.

d) No son ocasionadas por influencias extrínsecas. La instrucción inconsistente o

insuficiente o la falta de experiencia educativa causan problemas de aprendizaje, pero no DA. Sin embargo, las personas que han tenido una instrucción de este tipo también las pueden desarrollar. El desafío es no documentarse como causa principal. Cabe señalar que las personas de diferentes orígenes culturales y lingüísticos también pueden presentar DA. Por lo tanto, las evaluaciones deben diseñarse reconociendo esta diversidad en la cultura y el idioma, y los examinadores deben ser sensibles a dichos factores y utilizar prácticas que sean incluyentes y apropiadas para cada niño.

e) Los problemas de aprendizaje son intrínsecos al individuo. Están relacionados con

diferencias en el desarrollo del sistema nervioso central y no desaparecen con el tiempo, pero pueden variar en expresión y gravedad en diferentes etapas de la vida.

3.2 Clasificación de las DA

Cuando se habla de clasificar, automáticamente se viene a la mente agrupar bajo un criterio previamente preestablecido. En lo que compete a las DA, posiblemente evoque acomodar grupos de estudiantes con características similares, lo que automáticamente estaría en contravía de una educación inclusiva, en la medida en que implicaría una acción de segregación. Por ello, si bien los sistemas de clasificación, al igual que el diagnóstico, son necesarios, deben estar permeados por un componente educativo y ético.

Al respecto, Morris (1988) sugiere que hay dos razones principales para usar un sistema de clasificación:

a) Mejorar la comunicación entre los profesionales que intervienen en el diagnóstico y

educación del estudiantado, aportando a que se disminuya la confusión existente con relación a las DA por parte de la comunidad en general, lo cual debe ser complementado con el uso del lenguaje adecuado dentro del reporte de investigaciones en el aula.

b) Facilitar la predicción, proporcionando información diferencial que permita la identificación

de las barreras y recomendaciones para su eliminación o mitigación en diferentes tipos de estudiantes.

De ahí que, si el sistema de clasificación no cumple con estos aspectos, se debe cuestionar su utilidad.

Así mismo Morris (1988) concluye que este debe generarse a partir del estudio de grupos contrastantes entre conjuntos de alumnos con dificultades y no de grupos contrastantes conformados por estudiantes con y sin dificultades de aprendizaje. De igual forma, el enfoque de la investigación debe ser multivariable para dar cuenta de la heterogeneidad. Como complemento a lo anterior, Anderson y Stanley (1992) sostienen que las DA tradicionalmente han sido percibidas como un problema homogéneo, buscando explicaciones unitarias, como factores genéticos, retraso en el desarrollo, diversidad funcional intelectual, dificultades en el lenguaje o diversidad funcional sensorial. Por ello, un estudio de subtipos es una herramienta que permite dar a conocer múltiples explicaciones, llevando a una comprensión cada vez mayor de la complejidad de las tareas educativas, como lo son leer, escribir y deletrear. No obstante, señalan que también es muy importante procurar minimizar la clasificación excesiva, considerando cuidadosamente la necesidad real de crear subgrupos. Por otra parte, a partir de diferentes enfoques, entre otros, los procedimientos de clasificación psicométrica, como el análisis factorial con la técnica Q o el análisis de Clúster (Satz y Morris, 1981), se han identificado perfiles de habilidades dentro de las cuales se pueden agrupar tipos de dificultades que suele presentar el estudiantado, que se pueden relacionar así:

a) Dificultades de aprendizaje del lenguaje.

b) Dificultades de aprendizaje de la lectura.

c) Dificultades de aprendizaje de la escritura.

d) Dificultades de aprendizaje de las matemáticas.

Como se puede observar, las dificultades se pueden presentar en diferentes formas, con distintos efectos, los cuales a su vez varían de persona a persona, dada la diversidad cognitiva que se presenta y las posibles alteraciones en el funcionamiento cerebral de quienes los padecen (Romero y Lavigne, 2005).

Aunado a esto, se debe tener presente que factores adicionales, como las alteraciones neurológicas o cerebrales, afectan una o más formas en que una persona toma, almacena o usa información (Integra, 2009) y los efectos pueden ser percibidos en las formas en que:

• Se introduce en el cerebro (entrada).

• Se le da sentido (organización).

• Se almacena y recupera(memoria).

• Se produce (producción).

Por último, es importante añadir que la duración de las dificultades de aprendizaje es relativa. Si se logran identificar a edades tempranas (cuando se inician los aprendizajes de la lectura, la escritura y las matemáticas) y se aplican estrategias adecuadas para mitigar las barreras que se detectan, los alumnos logran avances significativos. Sin embargo, cuando la detección es muy tardía o no se realizan estrategias adecuadas, suelen tener un comportamiento progresivo, haciéndose más difícil eliminarlas o minimizarlas, lo que deviene en un aprendizaje cada vez más limitado (Romero y Lavigne, 2005). Esto debe ser puesto como un elemento relevante que impulse el desarrollo de una propuesta pedagógica en pro de satisfacer las necesidades de todo el estudiantado.

En el caso específico de la regla de tres, que es el tema seleccionado en el marco de este trabajo, se exige del alumno un buen manejo de habilidades vinculadas al lenguaje, la lectura, la escritura y las matemáticas, que, como se ha explicado ya, pueden verse afectadas con las DA. Los problemas de esta clase se plantean en lenguaje natural, exigiendo del alumno, entre otras cuestiones, que identifique las variables involucradas, los verbos implicados y si la acción que se está ejecutando es proporcional o inversamente proporcional. De ahí que a continuación se pretenda abordarlas, procurando identificar las que más suelen presentarse al momento de realizar problemas de proporcionalidad directa e inversa y darles solución a través del uso de la regla de tres.

3.3 Dificultades de aprendizaje de la lectura.

Las dificultades de aprendizaje de la lectura se relacionan con un déficit en el desarrollo del reconocimiento y comprensión de los textos escritos. Pueden manifestarse como una lectura oral lenta, con omisiones o confusión de letras y fonemas, generando distorsiones o sustituciones de palabras. Esto produce una afectación también de la comprensión lectora y la escritura. Pueden clasificarse como:

a) De superficie.

b) Fonológicas.

c) Mixtas.

d) De comprensión.

Si las equivocaciones que se presentan son de percepción y discriminación viso-espacial, entonces se les denomina de superficie; si son lingüísticas, se les conoce como fonológicas; si combinan ambos tipos, se les llama mixtas; finalmente, si afectan exclusivamente los procesos de comprensión, se denominan de comprensión lectora. Si bien, cuando un estudiante presenta errores de superficie o fonológicos, se sabe que como consecuencia tendrá dificultades para

entender, es necesario diferenciar esto de las dificultades específicas que pueden presentar algunos lectores sólo en aspectos ligados a la comprensión (Romero y Lavigne, 2005). Romero y Lavigne C. (2005) listan los procesos afectados por las dificultades aprendizaje de la lectura de la siguiente manera (ver Figura 4):

Figura 4 Procesos afectados por las dificultades aprendizaje de la lectura Procesos afectados por las dificultades aprendizaje de la lectura

Nota. Imagen tomada de “Dificultades en el Aprendizaje: Unificación de Criterios Diagnósticos” (Romero y Lavigne, 2005, p. 53).

Como es de suponer, las dificultades de aprendizaje en la lectura generan barreras para el aprendizaje y la participación porque esta es una habilidad fundamental para la adquisición de información y su procesamiento en un entorno escolar, la cual se suele dar en diferentes medios tradicionales (libros, revistas, notas escritas a mano) o de manera electrónica y digital (correo electrónico, sitios web, mensajes de texto de teléfonos móviles, etc.).

Además, en el mundo moderno se cuenta con aplicaciones donde se puede interactuar con un grupo, por ejemplo, WhatsApp, Facebook, entre otras, que requieren de un alto componente de escritura y comprensión para lograr una participación efectiva en los espacios que se proponen desde estas plataformas, razón por la cual es necesario profundizar un poco al interior de estas si se busca generar una propuesta vinculada a la educación inclusiva, aun cuando la misma pretenda profundizar en un tema ligado al área de matemáticas.

3.3.1 Barreras debidas a dificultades de aprendizaje lectoras de base visual o de

superficie En relación con las dificultades de aprendizaje lectoras de base visual o de superficie, se pueden mencionar las siguientes que pueden influir en el aprendizaje de matemáticas:

a) La precisión perceptivo-visual de letras, palabras, signos ortográficos, símbolos y

números. Por ejemplo, el estudiante puede confundir símbolos como + con ×, o ÷ por − (Hudson et al., 2017; Romero y Lavigne, 2005).

b) El análisis visual de la forma de las letras y los números, y la extracción de los rasgos

invariantes, por ejemplo, con respecto a las diferencias de tipografía, etc., lo cual puede afectar la transcripción de ejercicios tomados de libros o del tablero.

c) La confusión de consonantes o grupos de letras similares, por ejemplo, entre h y n, n y

m, entre otras, lo que afectará la lectura y comprensión de variables que las contengan (Hudson et al., 2017; Romero y Lavigne, 2005).

d) Inversión en la lectura de números o sílabas de palabras, por ejemplo, leer 82 en lugar

de 28, o casa por saca (Hudson et al., 2017).

e) Dificultades para reconocer patrones y grupos de letras en la memoria de trabajo visual y

en la de largo plazo, que impidan distinguir de forma óptima unas palabras de otras, lo que entorpece el acceso directo a la forma y el significado de las palabras, los números, los signos y símbolos matemáticos.

f) Afectación en la comprensión del problema que se lee, al concentrar los esfuerzos en el

proceso de descifrar las letras, pasando por alto el significado global (Hudson et al., 2017; Polya,

1965).

g) Dificultades en los procesos de inhibición de estímulos en los que la discriminación

perceptiva visual está estrechamente vinculada a la atención.

h) Formulación de respuestas inadecuadas a la pregunta, las cuales se pueden presentar

por una mala lectura del enunciado o una comprensión incorrecta a causa del pensamiento lateral, que produce un alejamiento del tema (Hudson et al., 2017).

i) Una mala interpretación de los enunciados, debido a que el vocabulario matemático es

bastante amplio y puede resultar confuso (Hudson et al., 2017).

j) Una lectura equívoca de palabras homófonas, ya que el método usado para acceder al

significado de las escritas es la vía fonológica. Si se presentan dificultades para leerlas de forma completa (lexical), porque no se reconocen, o no se forma una representación adecuada en la memoria de trabajo, se produce un error en el sentido con el que son interpretadas. Dicho de otro modo, ante una palabra como hora, si el alumno no la puede reconocer por la vía visual, la leerá por la vía fonológica, juntándolas en un sonido completo, que suena igual, acomodándolo al significado más familiar para él, que se vincule con su léxico particular. (Romero y Lavigne,

2005).

k) Dificultades para recordar procesos que impliquen una secuencia de pasos.

3.3.2 Barreras debidas a dificultades de aprendizaje lectoras de base fonológica

Los alumnos con este tipo de dificultades pueden leer perfectamente las palabras que le son familiares, pero confundirse cuando se enfrentan a aquellas que les sean desconocidas o pseudopalabras (palabras inventadas). Su patrón de lectura resulta ser una mezcla entre su dificultad y su capacidad lectora, procurando compensarlo con palabras similares, pero que no corresponden a las que tienen delante.

Estas dificultades pueden influir en procesos vinculados con el área de matemáticas en las siguientes situaciones:

a) Al momento de usar palabras aisladas, desprovistas del contexto lingüístico.

b) Al usar palabras poco conocidas, nuevas o que no hagan parte de la cotidianidad de los

alumnos en la formulación de problemas. (Rueda Sánchez y Sánchez, 2006).

c) Al realizar la lectura de los enunciados, puesto que a estos estudiantes se les dificulta

automatizar el reconocimiento de las palabras, lo cual, hace que el proceso sea más lento y se desarrollen inseguridades (Rueda Sánchez y Sánchez, 2006).

d) Al alterarse los procesos fonológicos propios de la lectura, puesto que estos pueden influir

en habilidades del dominio matemático. Por ejemplo, para resolver expresiones aritméticas básicas como 7 + 8 = 15, los estudiantes deben procesar los sonidos del habla, es decir, primero deben convertir los términos y operadores del problema en un código hablado, a la vez que seleccionan e implementan estrategias de solución. Codificar y mantener la representación fonológica exacta de los términos y los operadores en la memoria de trabajo implica dedicar una gran cantidad de recursos de atención para intentar dar solución el problema, que pueden ser más complejos para estudiantado con dificultades (Solsona et al., 2006).

e) Problemas para construir una representación en la memoria de trabajo fonológica y en la

memoria de largo plazo de los fonemas, grafemas y morfemas, que permita la recodificación fonológica de las letras, las sílabas, las palabras y los números, y así realizar tareas de segmentación y reconocimiento implicadas en la lectura (Romero y Lavigne, 2005). En este sentido, Romero y Lavigne (2005) reconocen la utilización de pseudopalabras como la técnica más apropiada y segura para detectar posibles dificultades de este tipo, debido a que estas sólo pueden ser leídas mediante la recodificación fonológica.

3.3.3 Barreras debidas a dificultades de aprendizaje lectoras mixtas

Para Romero y Lavigne (2005) estas se sitúan en torno al 25% de aquellas que suelen presentarse. Se dan cuando el alumno no puede ser clasificado entre las de superficie o fonológicas. Es decir, las dificultades en la lectura normalmente presentan trazos de ambas, pero frecuentemente se puede observar dominancia de una de las dos dificultades, con lo cual se clasifican de un modo u otro.

Si bien, puede pensarse que su abordaje puede ser más complejo, una forma de hacerlo es identificar las barreras que se presentan en cada estudiante y obrar en consecuencia. Algunas recomendaciones para ello son:

a) Seleccionar o diseñar problemas con un contexto similar al del grupo de alumnos y con

un nivel de lectura acorde al grado del curso y del alumno que presenta las dificultades.

b) Crear problemas con ilustraciones que permitan entender el contexto e incentivar un

diálogo alrededor de este.

c) Evitar que el estudiante realice lecturas orales frente a la clase.

d) Solicitar al estudiantado que no presenta dificultades, leer los problemas propuestos.

e) Animar al estudiante a usar una regla o una ficha pequeña para seguir la lectura.

f) Hacer que el alumno resalte o subraye palabras y frases importantes en textos, folletos y notas.

g) Ayudar al alumno a crear un cuaderno de vocabulario. Animarlo a incluir ilustraciones en él.

3.4 Dificultades de aprendizaje de la escritura.

La lectura y la escritura son aprendizajes relacionados. Cuando el estudiante lee, reconoce las palabras que se han escrito. En cambio, cuando escribe, produce palabras que serán leídas. De ahí que ambas habilidades se encuentren interrelacionadas. Frente a esto,

algunos autores manifiestan que la lectura y la escritura se aprenden de manera simultánea (Romero y Lavigne, 2005), mientras otros aluden a que primero se enseña a leer (reconocer) y luego a escribir (Maruny et al., 1997). Habría que decir también qué lectura y escritura comparten procesos, de tal modo que aprender lo uno ayuda a lo otro y viceversa. Por tal motivo, las dificultades que se presenten en una habilidad afectan a la otra.

Con respecto a la lectura, no se puede pretender que un alumno comprenda un texto si previamente tuvo dificultades para decodificarlo. De igual forma, no se puede procurar que tenga un proceso de creación textual si le cuesta codificar. Para precisar esto, es necesario tener presente que cuando se lleva a cabo un proceso de escritura de una palabra, se debe recurrir a dos rutas: la fonológica o la léxica. Por ejemplo, al escribir la palabra hierba, si se usa la primera, se corre el riesgo de escribir ierva o ierba. De ahí que para evitar dicho error se debe hacer uso de la representación mental, es decir, la ruta léxica, ya que de esta manera se pueden precisar aspectos ortográficos ligados a lo visual (Rueda Sánchez y Sánchez, 2006). Las dificultades que se presentan en escritura son de dos tipos: de escritura a mano y de creación de texto. Para los efectos de esta investigación se estudiarán solo aquellas vinculadas a la recuperación de la forma de las letras, palabras y números, conocidas como disgrafías. Estas se pueden clasificar como superficiales, fonológicas o mixtas. La disgrafía se da por una alteración neuropsicológica que induce retrasos en el desarrollo y en el aprendizaje de la escritura, por lo que puede ser adquirida o evolutiva. Las adquiridas son consecuencia de una lesión neurológica sucedida una vez se aprendió a escribir. En contraposición, cuando el origen se debe a dificultades de aprendizaje de la escritura, se habla de evolutivas. Estas dificultades se presentan principalmente en la creación de texto (o escritura libre), durante un dictado o en lo que se denomina copia con lectura (García, 2014; Romero y Lavigne, 2005).

3.4.1 Dificultades de aprendizaje por disgrafía superficial

Los alumnos que presentan disgrafía superficial tienen dificultades para utilizar la ruta visual o lexical, valiéndose de vías fonológicas, segmentado así la palabra en sonidos para luego codificarla aplicando las reglas de conversión fonema-grafema. Debido a esto, al realizar actividades en el aula de copia con lectura, dictado y escritura libre, presentan discrepancias o errores en aquellas que son irregulares (que se escriben de forma diferente a como se pronuncian), homófonas y poligráficas (que pueden escribirse de más de una forma fonéticamente correcta, pero sólo de una forma correcta desde el punto de vista ortográfico, como es el caso de barco que suena igual si se escribe varco). No obstante, son capaces de escribir bien palabras regulares o que les son familiares. Las dificultades de aprendizaje por disgrafía superficial pueden influir en que dentro de las actividades de escritura sucedan situaciones como:

a) Escritura lenta. Ya que para la codificación en la lectura se ven obligados a usar la vía

fonológica, por lo cual deletrean, haciendo que el proceso de escritura sea más lento.

b) Errores en palabras con fonemas similares. En la conversión de fonemas a grafemas

pueden presentar dificultades para usar el grafema adecuado para fonemas similares (c/q/k, g/j, etc.) o el grafema h. Por ejemplo, puede escribir cojer en lugar de coger, ola en vez de hola. En general presenta dificultades en palabras donde no tiene asociada su forma con una pronunciación completa.

c) Aparición de varios errores en ejercicios de escritura que involucran escucha, como

dictados. Cuando escriben muchas palabras seguidas por vía fonológica, tienden a cometer pequeños errores (omisión de letras, alguna sustitución, etc.) que ponen de manifiesto el esfuerzo atencional que la tarea les exige.

3.4.2 Dificultades de aprendizaje por disgrafía fonológica

Al contrario que en el caso anterior, los alumnos que presentan esta disgrafía tienen dificultades para utilizar la ruta indirecta o fonológica, por lo que utilizan la lexical, dado que les cuesta aprender y dominar la conversión fonema-grafema. Por tal motivo, presentarán problemas al momento de escribir pseudopalabras, palabras largas o nuevas. A su vez, tienden a realizar la escritura en espejo y cometen numerosos errores de omisión, sustitución, inversión y adicción de grafemas y grupos consonánticos. Esto se puede reflejar en acciones como:

a) Escritura con sustituciones, omisiones, adiciones. El alumno realiza, cambia, omite o

añade grafemas. También puede dividir o unir palabras.

b) Errores en la escritura de derivativos. Por ejemplo, redactar zapato en lugar de zapatero.

c) Dificultades para escribir pseudopalabras. La explicación es que debido a que únicamente

disponen de la ruta léxica para la escritura, presentan un buen rendimiento en palabras familiares de ortografía arbitraria y no-arbitraria. En el caso de las pseudopalabras, realizan una codificación de representaciones similares, por ejemplo, cárcel por cárcer (García Orza et al., 2002).

d) Errores frecuentes en grafemas específicos. Por ejemplo, en los grafemas ch, ll, qu, gu,

rr. Al redactar palabras que contengan las sílabas gue, gui (gepardo por guepardo, gía por guía, etc.), en los grafemas k y c seguidos de la vocal a, en el uso de la diéresis, sustituciones y omisiones entre los grafemas l y r (por ejemplo, escribir poglama por programa).

e) Inversiones y escritura en espejo. En el caso de las inversiones, la causa está en la

dificultad para adquirir una representación estable de las características de las letras, sobre todo en aquellas que tienen una semejanza gráfica y/o en el sonido (por ejemplo, b/d, p/q, f/t, u/v). En lo que respecta a la escritura en espejo (por ejemplo, ave por eva, las por sal, se por es, entre otras.) la causa se atribuye a la dificultad para mantener la representación adecuada de la forma de las palabras, es decir, en realidad el alumno no presenta dificultades para realizar una conversión adecuada de fonema-grafema, pero dada la alta exigencia de recursos atencionales

y de memoria de trabajo, se le olvida el orden en que fueron inicialmente representados (Romero y Lavigne, 2005).

3.4.3 Dificultades de aprendizaje por disgrafía mixta

Lo común es que las disgrafías evolutivas tengan su origen en una mixta. Estos estudiantes no adquieren o desarrollan de forma adecuada ambas rutas (léxica y fonológica) y, por lo general, lo que afecta la adquisición de una vía, se manifiesta también en la otra. Por tanto, los disgráficos mixtos llegan a cometer ambos tipos de errores. En lo concerniente a las disgrafías adquiridas, se pueden encontrar dificultades en una vía sin afectar la otra.

3.5 Dificultades en el Aprendizaje de las Matemáticas, DAM

La amplitud y complejidad intrínseca del campo de las matemáticas hacen que el estudio de las Dificultades en el Aprendizaje de las Matemáticas, DAM, se constituya en un ejercicio complejo. Estas pueden ser el resultado de un déficit en la capacidad de representar o procesar información en uno o algunos de los dominios matemáticos (aritmética, geometría, álgebra, etc.), o en un conjunto de competencias relacionadas con cada uno de estos dominios (sumar, restar, graficar, teoremas, etc.). Lo cual se puede complicar aún más si se añade la presencia de algún tipo de diversidad funcional cognitiva (Geary, 2004). Además, también pueden estar vinculados otros factores que pueden ser de orden biológico (una alimentación inadecuada) y socio afectivo (falta de motivación por tareas escolares o ansiedad hacia estas).

En la literatura se puede encontrar una amplia gama de terminología usada para referirse a la población de niños que tienen algún tipo de DAM. En el idioma inglés se suelen encontrar términos como maths disabled (D. Geary et al., n.d.; Ostad, 1998), disabilities of arithmetic and mathematical reasoning (Rourke y Conway, 1997), mathematics learning disability (D. C. Geary, 2004; Ginsburg, 1997), math difficulties, mathematics difficulties, mathematics disabilities. En lo que respecta al español se habla de dificultades del aprendizaje de las matemáticas (Casas et

al., 2005), dificultades de aprendizaje en aritmética (Orrantia et al., 2002), dificultades de aprendizaje del cálculo (Balbi y Dansilio, 2010).

En términos generales, la palabra dificultad suele aludir a niños que presentan bajo rendimiento en el área por diferentes factores, por ejemplo, una mala instrucción, situaciones socio ambientales, motivación, entre otros, lo cual abarca a una población más amplía que aquella que se engloba dentro del término discapacidad (D. Hammill, 1990). Es importante subrayar que no todas las dificultades necesariamente están vinculadas a una discapacidad, aunque algunas puedan estar asociadas a esta última. La discapacidad tiene relación con una debilidad intrínseca en la cognición matemática no atribuible a una mala instrucción u otras causas extrínsecas (D. C. Geary, 1993, 2004; Ginsburg, 1997; D. D. Hammill et al., 1981). Ahora bien, es importante referir también que dentro de la literatura científica ambos términos suelen ser utilizados muchas veces como sinónimos, lo cual lleva a que su caracterización sea confusa. Otro elemento que genera imprecisiones es que cuando son analizados aspectos neuropsicológicos vinculados a las dificultades, se suele hacer uso de la palabra discalculia o discalculia del desarrollo (development dyscalculia) (Butterworth et al., 2011; Shalev et al., 2005), o el término acalculia. El prefijo dis- refiere a alguna dificultad en el desarrollo de la habilidad o el área, o por lo menos un retraso. En cambio, el prefijo a- supone una pérdida de esta una vez adquirida o en proceso de adquisición. Por ejemplo, la disfasia se da cuando un niño no desarrolla el lenguaje adecuadamente. Por otra parte, una afasia alude a la pérdida del lenguaje posterior a su adquisición a causa de una lesión cerebral constatada.

De ahí que, con el ánimo de ofrecer una mayor precisión a nivel teórico, y de obviar las posibles confusiones que podrían dar lugar los términos discalculia, entre otros, se considere mejor hacer uso dentro del marco de este trabajo de la denominación Dificultades en el Aprendizaje de las Matemáticas, DAM, por considerarse más acorde con la idea de una educación inclusiva (Canimas Brugué, 2015; Romañach y Lobato, 2005).

Aunque los alumnos con DAM tienen un bajo rendimiento académico en comparación con sus compañeros que no las presentan, es importante hacer una distinción entre ambos grupos para poder diseñar acciones efectivas que ayuden a la superación de las barreras para el aprendizaje que presentan cada uno de ellos. Por ejemplo, un efecto de no llevar a cabo esta labor es que se podrían estar calificando los alumnos con bajo rendimiento como uno con DAM, provocando que estos se acomoden a un trato diferencial y no se esfuercen para superar su retraso académico. Por otro lado, si no se determina qué alumnos presentan DAM y cómo les afecta su desempeño, se les puede estar demandando más de lo que está en sus capacidades del momento, con lo cual se estarían generando escuelas incapaces de responder a las necesidades de todo el alumnado Westling (1995), Citado en (Siegel, 1999) y que generan barreras en lugar de mitigarlas o eliminarlas.

Es importante señalar que una situación frecuente al momento de establecer las DAM como un parámetro a tener en cuenta dentro del aula es que normalmente se piensa en ellas con relación a dificultades en aspectos matemáticos básicos, como el conteo o el desarrollo de ejercicios (situaciones conocidas accesibles para el alumno y que es solucionable por la aplicación de una secuencia de pasos o algoritmo matemático previamente conocido), pero poco se mencionan o hacen referencia a procesos matemáticos de orden superior, como la solución de problemas (Melia, 2008).

Las DAM, ya sean evolutivas o adquiridas, tiene una relación directa con posibles alteraciones de las partes del cerebro donde se desarrollan procesos neuropsicológicos que se ocupan de conceptos matemáticos y hechos aritméticos, sin que ello implique un desorden simultáneo de las funciones mentales (Romero y Lavigne, 2005). Dicho esto, se debe tener presente que estas no pueden ser eliminadas, lo que implica una barrera para el aprendizaje persistente para quien las presente. Sin embargo, con una enseñanza adecuada, los alumnos

pueden lograr el dominio de algunas habilidades aritméticas y diseñar unas estrategias de adaptación eficaces que les permitirán tener éxito en su vida adulta (Hudson et al., 2017). Comprender las DAM que presentan los alumnos en el momento de desarrollar ejercicios y en un estado más avanzado, es decir, en la solución de problemas, permitirá desarrollar formas adecuadas de generar estrategias didáticas para dar una respuesta educativa a todos los alumnos. Así mismo, se generarán aulas de matemáticas más inclusivas en las que se procure atender de forma adecuada a los alumnos que, por un motivo u otro, no obtienen los resultados esperados.

Niss (2003) define la competencia matemática como la “habilidad para comprender, juzgar, hacer y usar las matemáticas en una variedad de contextos intra y extra matemáticos” (p. 218). En consecuencia, un desarrollo pobre de la misma puede tener un impacto en el futuro desempeño del estudiante a nivel social y económico, y ponerlo en una situación de inferioridad con respecto a otros individuos (Ritchie y Bates, 2013).

Ahora bien, parece existir un consenso generalizado con relación a que las mayores dificultades del estudiantado se centran fundamentalmente en la aritmética, concretamente en los aspectos relacionados con el cálculo y la resolución de problemas. Adicionalmente, a ello, investigadores como Geary (1994) reconocen que aquellas que se presenten en operaciones aritméticas básicas pueden conducir a que se entorpezca la adquisición, uso y aplicación de áreas más complejas de las matemáticas, por ejemplo, álgebra.

Figura 5 Principales dificultades específicas en el aprendizaje de las matemáticas Principales dificultades específicas en el aprendizaje de las matemáticas

Nota. Imagen tomada de “Dificultades en el Aprendizaje: Unificación de Criterios Diagnósticos” (Romero y Lavigne, 2005, p. 77).

3.5.1 Dificultades en el aprendizaje del cálculo

Se estima que entre el 5% y el 8 % de los niños tienen alguna dificultad de aprendizaje del cálculo (Geary y Hoard, 2005). Esto implica que 1 de 4 alumnos con dificultades tienen problemas con esta área. Cuando a esto se le añaden problemas lectoescritores la razón aumenta hasta 5,5 alumnos de cada 10 (es decir que 4,5 solo presentan problemas de lectura y escritura) (Romero y Lavigne, 2005).

3.5.1.1 Características de los alumnos con dificultades de aprendizaje del cálculo. Dada su diversidad funcional cognitiva, los alumnos con dificultades de aprendizaje en el cálculo suelen presentar retrasos en el desarrollo de habilidades para el uso de procedimientos de conteo y la recuperación y/o representación de hechos básicos de la memoria a largo plazo. Así, tienden a usar estrategias de conteo evolutivamente inmaduras. Por ejemplo, usan con mayor frecuencia la estrategia contar todo en comparación con los alumnos sin dificultades, que tienden a contar con.

También pueden tener errores de comprensión: “ocurre que los niños saben contar verbalmente o, incluso, sumar, pero, sin embargo, no saben el significado de los números que manejan” (Romero y Lavigne, 2005, p.79). Además, en la escritura de los números presentan dificultades con el valor posicional de los números, por ejemplo, si se les pide que escriban 205, pueden escribir 2005, es decir, la unidad 2 con los ceros correspondientes de 100 y el 5 (Romero y Lavigne, 2005). De ahí que la falta de comprensión del significado o dificultades en aprender los algoritmos o procedimientos termina por entorpecer el desarrollo adecuado de las actividades que se les planteen.

Con respecto a la correcta ejecución de los procedimientos, estos se pueden ver entorpecidos por varios factores, desde la falta de mecanizar las tablas hasta problemas para identificar la operación requerida en una expresión algebraica. De igual forma, se pueden presentar dificultades para seguir la secuencia de los pasos al realizar una operación fundamental, la organización de la información numérica y la representación espacial, con lo cual el alumno puede cometer diferentes errores.

Figura 6 Errores más frecuentes en el cálculo Errores más frecuentes en el cálculo

Nota. Imagen tomada de “Dificultades en el Aprendizaje: Unificación de Criterios Diagnósticos” (Romero y Lavigne, 2005, p. 80).

En este sentido, Hudson (2017) amplía un poco más el tipo de situaciones que pueden presentar los alumnos con este tipo de dificultades:

a) Con los números. Estos estudiantes carecen de la habilidad para captar intuitivamente el

orden de los números. No saben qué número es mayor o menor que otro, por lo que no confían en sus respuestas matemáticas. Si aprenden un determinado procedimiento aritmético, lo seguirán mecánicamente, sin comprenderlo.

b) En la comprensión de los enunciados escritos. Tienden a entrar en pánico y quedarse en

blanco con preguntas de operaciones básicas aritméticas, especialmente bajo presión. En expresiones aritméticas, malinterpretan, símbolos matemáticos como ÷ y –, + y ×, < y >.

c) Presentan problemas en la memoria a corto plazo (dificultades de secuenciación). Les

causa dificultad recordar los números con los que está trabajando durante los cálculos, así como algunos procesos o instrucciones.

d) En la representación gráfica. Les cuesta comprender e interpretar gráficos. No entienden

en qué dirección de los ejes hay que dibujar, por lo que crean escalas en la recta numérica incongruentes con puntos ubicados gráficamente de forma incorrecta.

e) En sus reacciones emocionales. Estos alumnos pueden sentir ansiedad en clase,

temerosos de que se les dirija una pregunta que los exponga frente a sus compañeros.

3.5.2 Dificultades en la solución de problemas

La solución de problemas es una de las áreas de la matemática que mayor dificultad implica para el estudiantado en general. Estos aprenden sin comprender y de forma mecánica los algoritmos de las operaciones básicas (suma, resta, multiplicación y división), con lo cual pueden resolver las situaciones presentadas, pero no saben cómo aplicarlas cuando se dan en un problema (Calvo, 2008). Una razón para ello es que la enseñanza se centra en las operaciones aritméticas básicas, en la que se proponen ejercicios matemáticos, donde a través

de la práctica el alumno logra comprender teorías y procedimientos rutinarios que lo llevan a la respuesta.

Por el contrario, un problema implica un proceso más complejo, ya que plantea una situación nueva que exige una pausa, reflexión y comprensión de la situación presentada (no solo desde lo matemático, sino desde lo textual), y posteriormente combinar los conocimientos que se poseen para diseñar un plan, el cual una vez ejecutado permitirá darle solución (Polya,

1965).

Por tal motivo, en el contexto de una educación inclusiva, el docente debe procurar plantear los problemas teniendo presente el reto que los mismos generan para el grupo, pero, además, relacionando al proceso de planeación la gran diversidad cognitiva que puede estar inmersa en el aula, siendo lógico que entiendan y aborden los problemas de forma diferente y en tal sentido también los resuelvan con distintos niveles de dificultad (Calvo, 2008). Cabe aquí señalar que en lo que respecta al estudiantado con DAM Romero y Lavigne (2005) reconocen que los obstáculos están más relacionados con los procesos implicados traducción, integración, planificación, operar, revisión y control- que con la ejecución de operaciones, aunque autores como Geary (1994) reconocen que las dificultades en operaciones básicas puede generar otras en la resolución de problemas.

A continuación, se relacionarán algunas de las problemáticas que se suelen presentar en el caso de estudiantes con este tipo de dificultad:

a) Dificultades en los procesos de traducción. Lo primero en la solución de un problema es

comprenderlo, de ahí que el alumno debe trasladar las proposiciones del problema a una representación mental interna de la misma. En este sentido, antes de determinar qué estrategia seguir, debe crear una representación del enunciado del problema en la memoria, donde las partes principales (las incógnitas, los datos y Ias condiciones) (Polya, 1965) estén relacionados

con hechos de su cotidianidad, ya sea formal o informal. En consecuencia, la clave es que el alumno entienda el enunciado, y que ello le permita traducirlo de lenguaje natural a uno matemático (Romero y Lavigne, 2005).

b) Dificultades en los procesos de integración de los datos. La traducción de los datos exige

su integración en una estructura coherente, lo que implica conocimientos específicos acerca de diferentes tipos de problemas (categorizar problemas en tipos, tomar decisión con relación al tipo de problema que es), tareas matemáticas, distinguir la información relevante de la que no lo es, representar la información por medio de diagramas, dibujos o algún otro sistema que facilite su realización (Mayer, 1986). En esta fase, el alumno debe combinar los modelos creados por él, con el fin de prepararse para la siguiente fase, que es la solución El estudiantado que tiene dificultades de ese tipo usan una integración que se caracteriza por lo que se denomina traslación directa o literal (Hegarty et al., 1995), es decir, se centran en seleccionar los números y palabras clave de tipo relacional en el enunciado del problema (por ejemplo, adición si la palabra clave es más o agregar, o sustracción si la palabra clave es menos o reducir). Así, al solucionar problemas intentará traducir directamente las proposiciones clave en el enunciado a un conjunto de cálculos que producirán la respuesta, en lugar de correlacionar los datos a partir de gráficos, diagramas, etc. que le permitirán escoger un modelo adecuado para el problema. Al respecto, Hegarty et al., (1995) expresan que el enfoque de traducción directa tiene demandas mínimas en la memoria de trabajo y no depende de extensos conocimientos de los tipos de problemas, por lo que para estos estudiantes se constituye en la vía a la que se les facilita acudir.

Por su parte, Montague y Applegate (1993) reconocen que la dificultad más destacada parecen estar en procesos y estrategias específicamente asociados con el problema. Por esta razón se debe procurar la enseñanza de estrategias de representación para procesar la

información lingüística y numérica, formar representaciones internas en la memoria, comprender e integrar información del problema y desarrollar planes de solución.

c) Dificultades en los procesos de planificación. La planificación exige conocimientos previos

sobre la tarea a realizar, es decir, el alumno tiene un plan cuando, al menos grosso modo, posee conocimientos acerca de procedimientos, estrategias, algoritmos, etc., que le permitan proyectar sus pasos y llevar el control de las diferentes acciones encaminadas a la solución del problema. No obstante, esto se convierte en una tarea compleja si los conocimientos del alumno son pobres. La realización de un plan es un proceso que depende de varios aspectos heurísticos: encontrar una tarea relacionada, replantearse (cambiar, transformar o modificar) el problema y descomponer la tarea en pequeñas submetas.

En este sentido, Romero y Lavigne (2005) listan los errores más frecuentes que cometen los alumnos con estas dificultades de aprendizaje.

i. Su aprendizaje es mecanizado. Memorizan fórmulas, incluso estrategias y

procedimientos para realizar los problemas de forma mecánica. La falta de conceptualización unida a su predisposición a realizar lo primero que se le viene a la mente, produce una disociación entre los conocimientos matemáticos que poseen y lo que el problema plantea. ii. Son pasivos. En general, los alumnos con DAM se caracterizan por su inactividad, o falta de espontaneidad, para la elaboración oportuna y eficaz de estrategias y procedimientos que les permitan liberar recursos cognitivos -de atención y de memoria de trabajo, sobre todoque les faciliten la realización de las operaciones.

iii. Poseen una serie de creencias con relación a sus procedimientos y su vínculo con el área de matemáticas. Por esta razón suelen manifestar:

a. Una baja motivación al momento de realizar los problemas. Un historial de fracaso

académico puede detener el deseo del alumno de valorar las matemáticas y

adquirir confianza en su capacidad para adquirir conocimientos matemáticos. (Montague y Applegate, 1993).

b. La creencia de que sólo existe un modo correcto para realizar los problemas y que

si falla es que este no puede resolverse.

c. Las matemáticas se consideran un conjunto de reglas, por lo que no requieren

reflexión, sino un aprendizaje memorístico, por ende, la aplicación de dichas reglas dará lugar a la solución de problemas.

d. Dificultades para describir los procedimientos, desarrollar un plan apropiado para

resolver problemas, predecir las operaciones necesarias y luego seleccionar los algoritmos correspondientes para que coincidan con sus predicciones (Montague y Bos, 1990)

e. Una menor habilidad en las tareas de comparación y extracción de reglas,

principios, procedimientos para resolver problemas a partir de otros ya resueltos.

f. Tienden a conformarse con la primera respuesta. Siendo reacios a volver a revisar

su trabajo una vez llegan a la solución final (Bryant et al., 2000). Su autopercepción del desempeño es más baja que la de los alumnos más competentes.

g. Cuando aborda tareas desafiantes de resolución de problemas, tiene

percepciones más pobres de su habilidad y conocimiento. Además, pasan más tiempo y esfuerzo mental experimentando pensamientos negativos sobre su capacidad y rendimiento, que en la resolución del problema (Deshpande et al.,

2021).

h. Les resulta especialmente difícil considerar de modo conjunto todos los

componentes del problema para elaborar con ellos un plan de acción. De ahí que

lo que hagan sea tomar elementos aislados -por ejemplo, datos numéricos- y operar con ellos sin pensar en por qué y para qué lo hacen, con lo que es complicado que logren una solución adecuada.

d) Dificultades en la realización de las operaciones. Los métodos u operaciones se refieren

a los procedimientos utilizados para resolver el problema, esto implica que el alumno tenga conocimientos sobre operaciones aritméticas, algoritmos de cálculos, entre otros. El estudiantado con DAM tiene más problemas que sus compañeros de rendimiento promedio para seleccionar los números relevantes, las operaciones apropiadas y todos los pasos adecuados. (Kingsdorf y Krawec, 2014).

Normalmente, con la experiencia, las formas de operar se van volviendo más elaboradas y, lo que es más importante, más automáticas, al tiempo que se desarrollan procedimientos que pueden aplicarse en otras situaciones (Gonzalez Gil et al., 2019). Montague y Bos (1990) refieren que la resolución deficiente de problemas del estudiantado con DAM se debe a habilidades computacionales inferiores, relacionadas con seleccionar los algoritmos correspondientes para que coincidan con sus predicciones. Por ello, cuando participan activamente y tienen un marco de referencia (por ejemplo, un problema que resolvieron recientemente, ya sea correcta o incorrectamente), son capaces de articular las estrategias que conocen y utilizan. Sin embargo, también son propensos a realizar operaciones sin sentido (Romero y Lavigne, 2005), en las que suelen cometer los siguientes errores:

 Seleccionar la información numérica como datos importantes y representarla internamente en operaciones aritméticas.

 Dificultad para eliminar información poco relevante en los cálculos.  Tendencia a operar directamente sobre los datos explicitados en el enunciado del problema.

 Dificultad para encontrar los datos intermedios, no explícitos en el enunciado del problema.

 Tendencia a mantenerse dentro de lo que exige el problema, sin ir más allá de su planteamiento.

 Los errores de cálculo incluyen varias categorías: operación equivocada, algoritmo defectuoso o incompleto, error de agrupamiento, inversión inapropiada, error de identificación, respuesta al azar o error por descuido.

De esta manera, se puede establecer que el aprendizaje con relación a los problemas se encuentra fuertemente cimentado en la práctica a través de ejercicios similares. Por ello, en el marco de una educación inclusiva, el docente debe plantear problemas que impliquen retos para sus estudiantes, frente a los cuales debe procurar mitigar la tendencia a la mecanización, en tanto esta es una estrategia a la que acuden el estudiantado con DAM, que no buscan comprenderlos, sino identificar el tipo de operación al que hace referencia el problema.

e) Dificultades en los procesos de revisión y control. Es importante tener en cuenta que

el proceso de resolución de problemas es iterativo. Es decir, aunque el alumno se mueve secuencialmente a través de las etapas de solución (Polya, 1965), el autocontrol y las autocorrecciones pueden requerir que vuelva sobre las etapas anteriores a medida que se modifica el plan de solución. Por lo tanto, es secuencial, pero no siempre lineal. Esto exige: 1) controlar que todo el proceso desemboque en una solución acorde con el plan y los procedimientos seguidos y, 2) realizar revisiones de lo que se lleva hecho y del resultado final para comprobar si se ajusta a lo planificado y detectar posibles errores. Para ello, el alumno con DAM debe ser más expuesto durante su ciclo de aprendizaje a problemas que a simples rutinas de algoritmos aritméticos, a fin de contar con señales externas o referencias a estrategias específicas que dirijan y guíen sus procesos de pensamiento. No

obstante, esto es insuficiente. Para tener éxito, el estudiantado también necesita desarrollar habilidades metacognitivas, conocimiento sobre las estrategias y desarrollar la capacidad de dirigir, monitorear y controlar su uso. Las deficiencias en el funcionamiento metacognitivo, particularmente en el conocimiento y control, parecen tener una influencia negativa en la resolución de problemas matemáticos de los estudiantes (Montague y Applegate, 1993).

3.5.3 Tipologías de las DAM

El estudio de las DAM ha conducido a la creación de diversas clasificaciones relacionadas con respecto al área de las matemáticas. El propósito de este apartado es realizar una descripción de las que se consideran más relevantes, entre las que se encuentran la propuesta por Kosc (1974), la cual es considerada clásica, y la de Geary (1994) que posee gran aceptación en el ámbito científico.

La investigación continua, tal vez, permita en un futuro contar con más tipologías en este campo que enriquezcan el desarrollo de trabajos en este campo, tal como se da en el caso de las dificultades de aprendizaje en el lenguaje.

3.5.3.1 Tipología de Ladislav Kosc.

El psicólogo checoslovaco Ladislav Kosc (1974) introdujo por primera vez el término discalculia del desarrollo, definiéndola como:

trastorno estructural de las habilidades matemáticas que tiene su origen en un trastorno genético o congénito de aquellas partes del cerebro que son los órganos anatómico-fisiológicos directos sustrato de la maduración de las habilidades matemáticas adecuadas a la edad, sin un trastorno simultáneo de las funciones mentales generales (Kosc, 1970, p. 192) Adicional a lo anterior, Kosc (1974) identifica una falta de uniformidad y unas contradicciones directas en la terminología y las clasificaciones propuestas, por esta razón

desarrolló un sistema propio, siendo una de las primeras taxonomías y una de las más citadas en las investigaciones con relación a este tema:

a) Discalculia verbal. Dificultad para designar verbalmente términos y relaciones

matemáticas, tales como cantidades, dígitos, números, símbolos operacionales y expresiones matemáticas.

b) Discalculia léxica. Dificultad para leer símbolos matemáticos, tales como dígitos,

números, signos operativos y expresiones matemáticas escritas. Su forma más seria es la incapacidad de leer los dígitos aislados y/o simples símbolos operacionales (+, −, ÷, ×). En algunos casos el niño intercambia dígitos de aspecto similar (3 por 8, 6 por 9, y viceversa), o lee al revés los números de dos dígitos (12 como 21).

c) Discalculia gráfica. Dificultad en la escritura de símbolos matemáticos. Ocurre

normalmente en niños que presentan disgrafía y dislexia con las letras. Esto entorpece la escritura de números dictados, usando grafemas en vez de números (por ejemplo, en el dictado 8 escribe ocho), incluso cuando se trata de un ejercicio de transcripción. Así mismo, pueden comprender ideas matemáticas presentadas oralmente y leer información numérica.

d) Discalculia operativa. Dificultad para llevar a cabo operaciones matemáticas. Suelen

intercambiar operaciones, por ejemplo, hacer sumas en lugar de multiplicaciones, restas en lugar de divisiones. También tienden a sustituir operaciones más complicadas por unas más simples (por ejemplo, 12+15= (10+10) + (2+5); 3 x 7=7+7+7=21; o en dificultad grave: 777). A su vez, existe una preferencia por los cálculos escritos de sumas que podría realizar fácilmente en silencio, o realizar el cálculo usando los dedos para contar en sumas que podría resolver fácilmente en silencio o por escrito, sin contarlos.

e) Discalculia practognóstica. Dificultades para manipulación matemática con objetos reales

o dibujados (dedos, cubos, entre otros) con fines de: enumerar, estimar (sin suma) y comparar

cantidades, ordenar por magnitudes, decir qué objeto es más grande o pequeño, indicar correctamente cuándo dos objetos son del mismo tamaño, etc.

f) Discalculia ideognóstica. Dificultad para comprender ideas y relaciones matemáticas

necesarias para realizar operaciones mentales. En los casos más graves no es capaz de realizar sumas muy fáciles mentalmente. A menudo leen y escriben números, pero no comprenden lo que han escrito o leído, por ejemplo, saben que la cifra 9 es igual a la palabra nueve, pero no que es 1 menos que 10, o 3 x 3, o la mitad de 18, etc. En general, los síntomas pueden ocurrir en forma aislada o en combinación.

3.5.3.2 Subtipos propuestos por David Geary.

Para David Geary (1994) las DAM son debidas a la presencia de uno o más déficits cognitivos o neuropsicológicos, algunos de los cuales pueden heredarse. Así mismo, reconoce que se expresan en un contexto ambiental, por lo que el bajo rendimiento se da por una combinación ambiental y de influencias genéticas. De la misma forma, la adquisición de cualquier habilidad compleja implica la sincronía entre la maduración del sistema nervioso de soporte y un ambiente lleno de experiencias apropiadas. De nuevo, si las experiencias tempranas de los individuos no proporcionan una retroalimentación apropiada a la maduración, entonces no pueden desarrollarse con normalidad.

Aunque su tipología es relativamente compleja, producto del análisis de investigaciones procedentes de diferentes fuentes, está concentrada en el ámbito de las habilidades de cálculo y la aritmética, dejando al margen temas la resolución de problemas o dificultades en áreas matemáticas más complejas como el álgebra o geometría.

Su clasificación divide a los niños con DAM específicamente en el área de aritmética en tres subtipos: memoria semántica, procedimental y viso espacial.

a) Subtipo 1: Memoria Semántica. Los estudiantes suelen tener dificultades para almacenar

hechos aritméticos accediendo a la memoria a largo plazo. Presentan características de desempeño tales como tiempos de respuesta asistemáticos que difieren de estudiantes más jóvenes que no presentan DA. Además, de múltiples errores cuando responden a tareas de cálculo sencillo del tipo ¿cuánto es 9+8?, empleando el recuerdo. Aunque los resultados no son concluyentes, se ha observado que tienen patrones similares de tiempo de respuesta que aquellos que han sufrido una lesión cerebral en el hemisferio izquierdo o regiones subcorticales, sugiriendo que las dificultades en la memoria semántica podrían estar relacionados con estas regiones (D. C. Geary, 2004).

Geary (2004) reconoce que existen dos posibilidades para que un estudiante presente dificultades al representar y recuperar la información aritmética. Por un lado, se tiene que la recuperación de hechos aritméticos está apoyada en los sistemas de estructuras neuronales que apoyan la representación de la información fonética y semántica que se activa durante procesos de incremento, por ejemplo, contar 9 al sumar 4+5. Una segunda forma de déficit de recuperación se da por una dificultad para inhibir asociaciones irrelevantes, lo cual se ha podido verificar en personas con pocos recursos de memoria de trabajo o en el ejecutivo central. Por ejemplo, la solicitud de solucionar la expresión aritmética 4 × 5 no solo incita la recuperación de 20, sino que también puede solicitar números relacionados, pero irrelevantes para esta expresión, como 9 (4 + 5), 25 (5 × 5) o 16 (4 × 4), haciendo que la tasa de error del estudiantado con dificultades sea más elevada(Geary y Hoard, 2005).

b) Subtipo 2: Procedimental. Las dificultades se producen en la ejecución de procedimientos

aritméticos, tales como el conteo para hacer una suma o pedir prestado para resolver una resta, así como en la secuenciación de los pasos en procedimientos complejos, aunado a una pobre comprensión conceptual de los procedimientos.

En lo que refiere al conteo, los déficits pueden deberse a los problemas para acceder a la memoria de trabajo o en los procesos ejecutivos. Además, una inadecuada comprensión de los conceptos subyacentes puede contribuir al retraso en la adopción de procedimientos más sofisticados y reducir la capacidad de detectar errores. Por ejemplo, el cambiar de contar todo a contar con se requiere que el estudiante comprenda que es necesario iniciar en 1. El conocimiento inmaduro de contar también puede contribuir a una mayor frecuencia de errores junto a una pobre capacidad para su detección y autocorrección (D. C. Geary, 2004).

c) Subtipo 3: Visoespacial. Estos estudiantes suelen presentar problemas relacionados con

las habilidades espaciales. Por ejemplo, suelen escribir los números desalineados y fallar en la interpretación del significado del valor posicional de un decimal (Geary y Hoard, 2005). Respecto a esto, Geary (2004) refiere que aunque la relación entre las competencias visoespaciales y las DAM no ha sido explorada sistemáticamente, es factible suponer que cualquier déficit en los sistemas viso espaciales resultan en un correspondiente entorpecimiento en ciertas áreas de la geometría y la solución de problemas verbales complejos.

En la Tabla 5 se realiza el resumen de las características de los subtipos propuestos por Geary (1994):

Tabla 5 Características de los subtipos de DAM Características de los subtipos de DAM

Subtipo de Memoria Semántica Subtipo de Procedimientos Subtipo Visoespacial Características de ejecución y cognitivas Dificultades para recuperar de la memoria hechos matemáticos, como respuestas a problemas aritméticos simples Presenta muchos errores en los hechos que puede recuperar.

Para la aritmética, los errores de recuperación son a menudo asociados a los números en el problema (¿por ejemplo, al resolver 2 + 3 =?, responde 4. Esto se debe a que su memoria recupera el conteo de la secuencia de caracteres asociados 2,

3)

Los tiempos de respuesta para la recuperación correcta son asistemáticos.

Uso relativamente frecuente de procedimientos inmaduros desde el punto de vista del desarrollo (que son comúnmente utilizados por niños más pequeños sin dificultades).

Frecuentes errores en la ejecución de procedimientos.

Poca comprensión de los conceptos que son la base para el uso de procedimientos.

Dificultades para secuenciar múltiples pasos en un procedimiento complejo.

Dificultades en la representación espacial de la información numérica, tales como alineación de números en múltiples columnas o rotación de números. Una frecuente mala interpretación de la información numérica representada espacialmente, por ejemplo, en el valor posicional de los números decimales.

Características de desarrollo Parece representar un modelo de desarrollo diferente (es decir, las características cognitivas y de rendimiento difieren de logros típicos de los niños más jóvenes sin dificultades, y muestra una mejora mínima al avanzar en edad o grado).

En muchos casos parece seguir un modelo de desarrollo de retraso (el rendimiento es similar que los niños más jóvenes sin dificultades, logrando típicamente una mejora a través de la edad o grado). En algunos no parece una dificultad en matemáticas per se, sino una habilidad baja (punto bajo de la distribución normal).

No clara.

Características neuropsicológicas Parece estar asociado con disfunción en el hemisferio izquierdo, posiblemente la región posterior para una forma de déficit de recuperación, y la región prefrontal para la otra.

Posible afectación subcortical, como los ganglios basales.

Es poco claro, aunque algunos datos sugieren una asociación con una disfunción del hemisferio izquierdo y, en algunos casos (especialmente al secuenciar múltiples pasos en un procedimiento complejo), una del prefrontal.

Parece estar asociado con disfunciones del hemisferio derecho, en particular, la región posterior, aunque también puede estar implicado el córtex parietal del hemisferio izquierdo

Características genéticas Parece ser un déficit hereditario.

Aparentemente, está relacionado con ciertas formas de dificultades en lectura heredables.

No clara.

No está claro, aunque en las características cognitivas y de rendimiento es común ciertos déficits genéticos (por ejemplo, Síndrome de Turner) Relación con dificultades en la lectura Se relaciona con dificultades de lectura asociadas a déficits fonológicos.

No clara.

No parece estar asociada con dificultades en lectura, al menos con déficits fonológicos.

Nota. Tomado de: Geary, 1994; 2004; Geary y Hoard, 2005.

3.6 Barreras asociadas a las DA para una educación inclusiva

Aunque previamente se han identificado algunas barreras para el aprendizaje y la participación, no se pueden dejar de lado aquellas que se generan a partir de las DA, ya que visibilizarlas permite iniciar un proceso de eliminación o mitigación de estas como parte de una propuesta en educación inclusiva.

Si bien, como se puede concluir a partir de lo abordado hasta el momento en el presente capítulo, algunas a las que se enfrenta el estudiantado con DA están relacionadas con sus habilidades para recuperar información verbal y sus capacidades en el área de matemáticas, autores como Bruefach y Reynolds (2022), a partir del análisis de los datos provenientes del Estudio Longitudinal Nacional de Salud de Adolescentes, encontraron que el estudiantado de secundaria y preparatoria con esta condición también experimentan barreras sociales en forma de aislamiento, las cuales son más representativas para condicionar los logros educativos que las debidas a las DA.

Estos autores centraron su estudio en tres formas de aislamiento social experimentadas por ellos: falta de capital social, desconexión social y percepciones de aislamiento. Con relación al primer tipo, establecieron que tienen menos amigos en promedio que los otros estudiantes (6.2 vs. 7.9) desarrollando redes menores de amistad, lo que reduce la capacidad de su capital social, reflejándose en un menor intercambio de información y apoyo. Además, estas redes tienen expectativas más bajas para los planes educativos futuros en un tercio de una desviación estándar. Esto conlleva que el índice de egreso sea menor al promedio (74 % frente a 88 %). Los análisis de los datos permitieron a los autores sugerir que el aspecto más importante para predecir qué estudiantes culminarán el ciclo escolar y/o egresarán es el capital social con el que estos cuentan, medido en la cantidad de amigos que posean.

Con relación al segundo tipo, determinaron que alrededor del 31 % del estudiantado con DA experimentan algún tipo de desconexión social, en comparación con un 16 % de sus compañeros. Esto deviene en una interacción social poco frecuente y falta de participación en actividades de este tipo. Por último, frente al tercer tipo, estos perciben niveles más altos de aislamiento que sus compañeros, en alrededor de un quinto de desviaciones estándar en promedio.

Por su parte, Shifrer (2016) reportó que estos tenían más probabilidades de abandonar la escuela. Así mismo, presentan más desventajas sociales y exhiben actitudes y comportamientos académicos más negativos. Lo anterior se respalda en la teoría de etiquetado modificado (Link et al., 1989), en la que los peores resultados del estudiantado designado con DA parecen atribuirse parcialmente al estigma relacionado con la imposición de un rótulo. Esta acción conlleva a que tanto estudiantes como profesores liberen cierta responsabilidad frente a este tema. De hecho, con este estudio se encontró que los docentes tienen expectativas de logro educativo significativamente más bajas con los grupos clasificados con DA que con aquellos no designados que poseen patrones idénticos de desempeño y comportamiento. Por otra parte, en una investigación realizada por Denhart (2008) el estudiantado con DA reportaba que para lograr comprender, desarrollar y cumplir con los trabajos requerían más tiempo, por lo que una carga de trabajo excesiva les impedía cumplir con estos, lo cual era interpretado como una manifestación de pereza, sin llegar a reconocerse el esfuerzo invertido. A este respecto se reconoce el papel crucial que juega la intervención de un especialista en DA, quien está capacitado para explicar las particularidades de cada estudiante al docente, siendo reconocido como una figura transformadora. Además, señala la importancia de que los docentes realicen las adaptaciones de manera previa a las actividades a proponer en el aula, y no posterior a su ejecución, en la medida en que de esta manera se puede generar sentimiento de culpa, frustración, miedo a la discriminación, entre otros. De ahí la importancia de que los docentes

reciban una formación y apoyo con relación a las DA, para poder brindar una atención adecuada a este grupo de estudiantes y lograr que consigan un aprendizaje exitoso.

3.7 Conclusiones

En el marco de una educación inclusiva, es fundamental abordar las Dificultades de Aprendizaje (DA) y las Dificultades de Aprendizaje en Matemáticas (DAM), ya que, si en el aula de clase no son tratadas adecuadamente, pueden generan barreras significativas para el aprendizaje y la participación del estudiantado, tanto a nivel académico como social. Estas dificultades no solo afectan al rendimiento educativo, sino que también pueden dar lugar a tres formas de aislamiento social que el estudiantado que presente DA y DAM puede experimentar: falta de capital social, desconexión social y percepciones de aislamiento, lo cual influye negativamente en su experiencia de aprendizaje.

Es importante destacar que las Dificultades de Aprendizaje deben ser comprendidas como aspectos intrínsecos al individuo, relacionados con el sistema nervioso central. Aunque estas pueden ocurrir junto con una diversidad funcional (por ejemplo, diversidad funcional sensorial, diversidad funcional intelectual, trastorno emocional) o con influencias extrínsecas (tales como las diferencias culturales o lingüísticas, instrucción insuficiente o inapropiada), no son el resultado de esas condiciones o influencias extrínsecas. Una vez identificada y diagnosticada una DA, esta no debe usarse como referente de clasificación en el aula, sino como punto de partida para que el docente cambie sus sistemas de enseñanza (López, 2012). Cada estudiante presenta fortalezas y necesidades específicas, y las Dificultades de Aprendizaje pueden manifestarse de manera heterogénea en cada individuo. Esta comprensión permitirá a los docentes adoptar un enfoque inclusivo y proporcionar el apoyo adecuado al estudiantado con Dificultades de Aprendizaje.

En la medida en que los docentes sean los encargados de dar vida a la educación inclusiva en el aula, para desarrollar adecuadamente este papel fundamental requieren recibir formación y adquirir un buen conocimiento tanto sobre las Dificultades de Aprendizaje, DA, en general, así como específicamente sobre las dificultades de aprendizaje de las matemáticas, DAM. Contar con docentes informados acerca de las Dificultades de Aprendizaje, permite que estos comprendan la diversidad presente en el aula y desarrollen acciones pedagógicas efectivas que promuevan la participación y el aprendizaje de todo el estudiantado. Este conocimiento de las DA y DAM posibilita que los docentes realicen las adaptaciones de manera previa a las actividades a proponer en el aula, y no posterior a su ejecución, evitando así generar sentimiento de culpa, frustración, miedo a la discriminación, entre otros. Además, el monitoreo y las intervenciones docentes son esenciales para lograr una educación inclusiva y de calidad para el estudiantado con Dificultades de Aprendizaje. En definitiva, el conocimiento de las DA y DAM permite planificar clases efectivas que mitiguen las barreras para el aprendizaje y la participación, promoviendo un aprendizaje de calidad y evitando las repercusiones negativas antes mencionadas.

En relación específicamente con las Dificultades de Aprendizaje en Matemáticas, se ha evidenciado que estas dificultades tienen un impacto significativo en el estudiantado. Aquellos con dificultades en el cálculo experimentan retrasos en el desarrollo de habilidades fundamentales como el conteo, la comprensión del significado de los números y la ejecución correcta de los procedimientos matemáticos. Estas dificultades no solo afectan al rendimiento académico, sino que también pueden tener repercusiones en otras áreas, como la comprensión de enunciados escritos, la memoria a corto plazo y la representación gráfica. En el contexto de una educación inclusiva, el docente debe procurar plantear los problemas teniendo presente el reto que los mismos generan para el grupo, pero, además, relacionando al proceso de planeación la gran diversidad cognitiva que puede estar inmersa en

el aula, siendo lógico que entiendan y aborden los problemas de forma diferente y en tal sentido también los resuelvan con distintos niveles de dificultad (Calvo, 2008). No hacerlo puede iniciar un historial de fracaso académico que puede detener el deseo del alumno de valorar las matemáticas y adquirir confianza en su capacidad para adquirir conocimientos matemáticos. (Montague y Applegate, 1993).

Además, es importante reconocer que las Dificultades de Aprendizaje en Matemáticas pueden generar reacciones emocionales negativas, como la ansiedad. El estudiantado puede experimentar frustración, baja autoestima y estrés relacionados con sus dificultades para comprender y aplicar conceptos matemáticos. Estas emociones negativas pueden crear un círculo vicioso que afecta aún más a su desempeño y su actitud hacia las matemáticas. Es fundamental, por tanto, brindar un ambiente de apoyo y comprensión que permita al estudiantado superar estas barreras emocionales y desarrollar una actitud más positiva hacia las matemáticas. Al abordar tareas desafiantes de resolución de problemas es importante fomentar una percepción más positiva de su habilidad y conocimiento. Disminuyendo de esta forma tiempo y esfuerzo mental dedicado a los pensamientos negativos, aumentando su confianza en sus capacidades matemáticas (Deshpande et al., 2021).

4. Claves para una educación matemática inclusiva: revisión bibliográfica y

principios fundamentales A lo largo de los capítulos previos se ha enfatizado la importancia de la educación inclusiva y la forma en que a través de esta se busca asegurar la igualdad de oportunidades de aprendizaje y la participación plena en el proceso educativo para todo el alumnado, independientemente de su diversidad funcional, cognitiva, étnica y de otro tipo. A su vez, es importante reconocer que las matemáticas juegan un papel significativo en el proyecto futuro de vida del estudiantado (Ritchie y Bates, 2013), por lo que pensar su enseñanza desde un abordaje de este tipo se encuentra en consonancia con la idea de aportar en la construcción de una sociedad inclusiva en su conjunto, lo cual hace parte de los fines de esta perspectiva. De esta forma, identificar las claves para lograr adecuaciones que permitan la integración de este enfoque en dicha área permitirá superar las barreras que limitan la participación de ciertos grupos al interior de las aulas y contribuir a la construcción de una sociedad más justa y equitativa, donde toda la población tenga la oportunidad de desarrollar su potencial matemático y alcanzar el éxito académico.

Por esta razón, en este capítulo se llevará a cabo una revisión bibliográfica con el objetivo de determinar las claves fundamentales necesarias para alcanzar una educación inclusiva dentro de este campo.

En línea con lo planteado, es fundamental examinar elementos que permiten fomentar un entorno inclusivo en el aula. Según Boaler y Staples (2008), quienes destacan la importancia de adoptar enfoques pedagógicos que valoren la diversidad, se ha observado que en aquellos entornos educativos de corte tradicional pueden surgir dinámicas perjudiciales, como lo es la categorización del estudiantado en términos de inteligencia o habilidad matemática, los cuales suelen derivar en la construcción de barreras que impiden un adecuado desarrollo de habilidades

en asignaturas relacionadas con esta materia. Estas pueden mitigarse si se recurre a estrategias enmarcadas dentro de la educación inclusiva en matemáticas.

En este sentido, la investigación desarrollada por estos autores proporciona valiosas claves, las cuales se relacionan a continuación:

a) Diseño curricular inclusivo: es fundamental diseñar un currículo que refleje y valore la

diversidad presente en el aula. Esto implica incorporar perspectivas culturales, considerar las prácticas extracurriculares del estudiantado y brindarle oportunidades para conectar diferentes ideas matemáticas (Duk, C. y Loren, 2010; Martin, 2006).

b) Respeto y aceptación de la diversidad: se debe fomentar un ambiente en el aula donde

el grupo aprenda a tratarse con equidad, mostrando respeto y aceptación hacia la diversidad cultural, funcional y otras características de sus compañeros. Esto contribuye a crear una atmósfera inclusiva y promueve una actitud positiva hacia las matemáticas. Sin embargo, esta actitud no debe limitarse solo a las aulas, sino que debe extenderse a toda la comunidad educativa, si lo que se desea es actuar en consonancia con el objetivo de contar con sociedades incluyentes, como proponen Gozálvez y Cortijo (2022).

Así, las escuelas deben erigirse como aquel espacio de la sociedad en el que todos y cada uno de sus miembros, independiente de sus condiciones y características, sientan que son reconocidos como seres valiosos en sí mismos, y con la tranquilidad de expresar sus necesidades, temores, alegrías y esperanzas. Para que esto sea posible, estas deben ser ambientes en los que se cultive humanidad y se establezcan relaciones de respeto que permitan configurarlos como espacios apreciados y seguros (Gozálvez y Cortijo, 2022).

c) Enfoque en habilidades múltiples: valorar y reconocer una amplia gama de habilidades

matemáticas es esencial para promover la equidad y modificar las expectativas de éxito y fracaso. El docente debe explicar al estudiantado que, aunque pueden ser buenos en muchas

habilidades, seguramente pueden presentar dificultades con algunas de ellas. Además, debe destacar que cada miembro tiene diferentes fortalezas las cuales son igualmente valiosas para lograr un trabajo en equipo sobresaliente (E. Cohen y Lotan, 1997).

d) Enseñanza colaborativa y dedicada: la colaboración entre los docentes y la dedicación a

mejorar la práctica educativa son claves para promover la equidad en el aula de matemáticas. Los maestros deben trabajar juntos en la planificación del currículo, discutir decisiones y acciones de enseñanza, y comprometerse con el avance de la equidad (Hiebert et al., 2002).

e) Prácticas de evaluación equitativas: es importante utilizar prácticas de evaluación que

sean públicas, intelectuales, específicas y relevantes para el trabajo matemático del grupo. Esto garantiza que la retroalimentación y la evaluación reflejen las dimensiones generales valoradas y promueve la equidad al interior de las mismas.

f) Promoción de la persistencia, confianza y autonomía: fomentar la persistencia en el

aprendizaje matemático, cultivar la confianza del estudiantado y promover su autonomía son aspectos fundamentales. Los maestros desempeñan un papel crucial al apoyarlo en la superación de desafíos y proporcionarles oportunidades para desarrollar su persistencia y confianza. Sin embargo, es igualmente importante equilibrar esta orientación con momentos en los que este pueda pensar de manera más autónoma y aplicar estrategias propias para resolver problemas matemáticos. De esta manera, se fomenta su independencia y capacidad para enfrentar desafíos de forma creativa (Boaler y Staples, 2008).

Estas claves pueden complementarse con los planteamientos de Broitman et al. (2023), que destacan la importancia de las prácticas docentes equilibradas en esta clase de educación. a) Prácticas docentes equilibradas: los docentes desempeñan un papel central en la orientación y corrección del estudiantado (Broitman et al., 2023). Por ello, si bien es importante buscar respuestas correctas, es fundamental que equilibren esta orientación con oportunidades para que se desarrollen habilidades de pensamiento autónomo y resolución de problemas. Al

proporcionar espacios para pensar de manera independiente, se promueve la creatividad y la capacidad para abordar desafíos matemáticos desde perspectivas diversas. Esto contribuye a una educación matemática inclusiva en la cual el alumnado se siente capacitado y confiado para enfrentar y resolver problemas matemáticos de manera eficiente.

b) Utilizar soportes concretos y manipulables: Uno de los supuestos es que el estudiantado con diversidad funcional cognitiva requiere soportes concretos y manipulables debido a su dificultad para acceder a nociones abstractas. Es importante cuestionar y ampliar esta perspectiva para evitar limitarlos en su desarrollo. En lugar de centrarse solo en esta acción, es necesario promover estrategias didácticas que fomenten la comprensión y producción de ideas, permitiéndole involucrarse en el pensamiento matemático de manera activa y significativa. Además, se debe destacar que en la década de 1990 las preocupaciones por la equidad educativa fueron relegadas a un segundo plano en favor del discurso de éxito académico, lo que justificó y promovió prácticas de agrupamiento por habilidades, especialmente para estudiantes considerados más capaces. Sin embargo, al hacerlo, se pasó por alto las oportunidades de aprendizaje que brinda la diversidad en el aula. Por otro lado, el propio estudiantado es uno de los primeros en reconocer la importancia de los grupos con diversidad al permitirle aprender de sus compañeros y fomentar la solidaridad entre ellos, reconociendo que cada individuo tiene fortalezas y debilidades diferentes, y la mezcla de habilidades en un grupo le permite aprender unos de otros (Boaler et al., 2000).

Así, en las clases donde se reconoce la diversidad presente en el aula y se diseñan tareas o problemas que valoran una amplia gama de habilidades, las cuales se complementan con un enfoque cooperativo que promueve dos responsabilidades fundamentales: ayudar a aquellos que lo soliciten y fomentar el pedir apoyo cuando sea requerido, se logra avanzar de forma significativa hacia una educación inclusiva. Según Boaler y Staples (2008), esto se debe a que el estudiantado:

a) No se refieren a sus compañeros utilizando términos como inteligentes, lentos, tontos

o estúpidos. Esto no significa que consideren que todos son iguales, sino que aprenden a apreciar la diversidad en el aula y las oportunidades de aprendizaje que ofrecen sus compañeros.

b) Se sienten exitosos al poder sobresalir en alguna habilidad, lo que les brinda confianza

y una actitud más positiva hacia las matemáticas.

c) Se responsabilizan mutuamente y se les alienta a contribuir de manera equitativa en

las tareas y actividades del aula.

4.1 Principios clave para una enseñanza efectiva de las matemáticas

En la enseñanza de las matemáticas es fundamental adoptar un enfoque que fomente el cuidado, el aprendizaje activo y la construcción del conocimiento por parte del estudiantado. Los docentes deben crear un ambiente de confianza donde este se sienta capaz de pensar, razonar y expresar sus ideas matemáticas. Además, deben brindar oportunidades para que trabaje de forma independiente y colaborativa, utilizando herramientas y representaciones adecuadas. Así mismo, es esencial tener en cuenta su conocimiento previo y adaptar las estrategias de enseñanza para satisfacer sus necesidades individuales.

Por tal motivo, la evaluación formativa y la comunicación efectiva desempeñan un papel clave en este proceso, al igual que el desarrollo continuo del conocimiento y las habilidades de los docentes (Anthony y Walshaw, 2009). En este sentido, los siguientes principios fundamentales ofrecen una guía valiosa para lograr una enseñanza efectiva de las matemáticas.

4.1.1 Principio 1: ética de cuidado y diversidad

Los docentes tienen la responsabilidad de cultivar un entorno de aula inclusivo donde el estudiantado se sienta seguro para participar activamente en el desarrollo de competencias matemáticas y su identidad como estudiante de esta área. Esto implica valorar y respetar su diversidad y experiencias, fomentando la confianza, la reflexión, la comunicación y el

cuestionamiento de las ideas matemáticas. Por tanto, deben promover la participación de cada miembro y generar relaciones en el aula que permiten el pensar de forma independiente, formular preguntas y asumir riesgos intelectuales (Watson, 2001).

4.1.2 Principio 2: aprendizaje colaborativo y autónomo

Los docentes eficaces ofrecen oportunidades de aprendizaje independiente y colaborativo para que el estudiantado construya significado en torno a las ideas matemáticas. Esto implica permitirle trabajar individualmente, en parejas o en grupos pequeños, tanto en momentos de reflexión individual como en discusiones con toda la clase. Los docentes deben gestionar y facilitar estas interacciones, fomentando la explicación de soluciones, el respeto a diferentes perspectivas y la participación activa en el intercambio de ideas. Los grupos pequeños también brindan apoyo emocional y práctico, facilitando el intercambio y el análisis de ideas, promoviendo así un pensamiento de alto nivel (Hunter, 2005).

4.1.3 Principio 3: construir sobre el pensamiento del estudiantado y adaptar la

enseñanza Los docentes consideran el conocimiento actual, los intereses y las experiencias del estudiantado al planificar las experiencias de aprendizaje de matemáticas. En lugar de centrarse en las debilidades y lagunas, planean sobre las competencias existentes y adaptan su instrucción para satisfacer sus necesidades de aprendizaje (Sullivan et al., 2006). Además, utilizan su pensamiento como un recurso valioso para el aprendizaje posterior y son sensibles tanto a las expectativas del estudiantado como a las demandas de la disciplina matemática. Por ejemplo, en el caso que presenta dificultades en matemáticas, desarrollan formas de reducir la complejidad de las tareas y el trabajo arduo, sin caer en la repetición ni comprometer la integridad matemática de la actividad (Sullivan et al., 2006). Con esto se crea un entorno de aprendizaje inclusivo con el cual se promueve el crecimiento y éxito de cada individuo.

4.1.4 Principio 4: tareas matemáticas significativas y desafiantes

Los docentes diseñan tareas y ejemplos basados en conceptos matemáticos sólidos y significativos. Estas ofrecen oportunidades para que el estudiantado se enfrente a desafíos, desarrolle procesos matemáticos y explore diferentes enfoques y soluciones. Es importante que las tareas no se centren únicamente en obtener respuestas correctas, sino que se centren en el proceso de pensamiento y la comprensión matemática (Watson y Geest, 2005).

4.1.5 Principio 5: establecer conexiones entre ideas y contextos

Los docentes efectivos apoyan al estudiantado en la creación de conexiones entre diferentes formas de resolver problemas, diversas representaciones matemáticas y las relaciones de las matemáticas y las experiencias cotidianas. Enfatizan los vínculos entre los diferentes sistemas de representación (por ejemplo, ½ = 0,5), hacen conexiones entre ideas aparentemente separadas (por ejemplo,1/2 = 50%) y usan las matemáticas como una herramienta para la solución de problemas que están situados en contextos cotidianos, permitiendo ver al estudiante lo relevante e interesante que son. De ahí que proporcionen múltiples representaciones y la posibilidad de traducir entre ellas, lo que ayuda tanto a su comprensión conceptual como a su flexibilidad computacional (Watson y Mason, 2006).

4.1.6 Principio 6: evaluación formativa y comprensiva

Los docentes eficaces utilizan una variedad de prácticas de evaluación, tanto formales como informales, para visibilizar el pensamiento del estudiantado y apoyar su aprendizaje. Para ellos, la evaluación es un instrumento para diagnosticar barreras de aprendizaje, monitorear el progreso y tomar decisiones informadas sobre la enseñanza.

Lo observan mientras trabaja y conversa con este para evaluar su comprensión, estrategias preferidas y lenguaje utilizado. Las entrevistas individuales brindan información valiosa sobre su pensamiento y necesidades de aprendizaje. Los docentes hacen preguntas que

lo involucran en el pensamiento matemático y la resolución de problemas, prestando atención tanto a las respuestas correctas como a su pensamiento matemático. Así mismo, la retroalimentación no se basa en puntajes o calificaciones de la tarea, sino en describir lo que está bien o mal, además, proporciona orientación y apoyo cuando se encuentra atascado.

También brindan oportunidades para que evalúe su propio trabajo y se coevalúe, fomentando el diálogo entre el estudiantado y la conciencia personal del aprendizaje.

4.1.7 Principio 7: comunicación matemática y argumentación

Los docentes efectivos fomentan el diálogo centrado en la argumentación matemática en el aula.

Animan al estudiantado a explicar y justificar sus soluciones, tomar una posición y defenderla frente a demandas matemáticas contrarias. Supervisan sus intentos de examinar conjeturas, desacuerdos y contraargumentos, y lo guían en el uso de ideas matemáticas, lenguaje y métodos.

Así mismo, le animan a comunicar sus ideas de forma oral, escrita y utilizando una variedad de representaciones. Utilizan estrategias de reafirmación para resaltar sus ideas, ayudar a desarrollar su comprensión implícita y agregar nuevas conjeturas o dirigir la discusión en otra dirección. De igual manera, desarrollan habilidades de argumentación matemática al animarlo a tomar y defender posiciones en contra de ideas alternativas, escuchar las de otros y utilizar el debate para resolver conflictos y llegar a acuerdos comunes. Los docentes sostienen el flujo de ideas del estudiantado, interviniendo cuando es necesario y escuchando atentamente. Se abstienen de proporcionar sus propias explicaciones hasta que sean necesarias, permitiéndole descubrir y desarrollar su comprensión a través de la argumentación matemática.

4.1.8 Principio 8: lenguaje matemático accesible y significativo

Los docentes eficientes fomentan el uso y comprensión de la terminología matemática respaldada por la comunidad de este campo.

Establecen conexiones entre el lenguaje matemático, la comprensión intuitiva del estudiantado y su lengua materna. Explican y presentan los conceptos y términos técnicos de manera que tengan sentido para este y se ajusten al significado subyacente. Realizan una cuidadosa distinción entre los términos matemáticos, ayudándole a ser consciente de las variaciones y sutilezas. Utilizan indicaciones explícitas y modelos para enseñar el significado del lenguaje, como el uso de palabras o símbolos con sentido equivalente para ayudar a comprender un concepto. Prestan especial atención al uso de palabras que pueden tener diferentes acepciones en el hogar y en el contexto matemático, como menos que, más, tal vez y mitad. En ambientes multilingües, los docentes presentan y utilizan una lengua materna especializada para facilitar la comprensión del estudiantado. Reconocen las posibles barreras de comprensión que aquel de diferentes culturas e idiomas pueden enfrentar y utilizan estrategias de alternancia para ayudarle a entender el significado subyacente.

4.1.9 Principio 9: uso efectivo de herramientas y representaciones

Los docentes eligen cuidadosamente herramientas y representaciones que apoyen el pensamiento del estudiantado. Estas pueden incluir números, símbolos algebraicos, gráficos, diagramas, modelos, ecuaciones, notaciones, imágenes, entre otros. Estas deben ser más que simples ayudas externas y convertirse en parte integral de su razonamiento matemático. Las tecnologías, como calculadoras, computadoras, pizarras, dispositivos móviles e Internet, ofrecen nuevas oportunidades para explorar y representar conceptos matemáticos. Los docentes deben tomar decisiones informadas sobre cuándo y cómo utilizarlas para apoyar el aprendizaje (Menéndez, 2017). Por esta razón es importante que desarrollen continuamente su

competencia en el uso efectivo de las tecnologías y su rol en la promoción del pensamiento matemático del estudiantado. Así mismo, este también debe monitorear su propio uso.

4.1.10 Principio 10: conocimiento profundo y actualizado de los docentes

Los docentes eficaces tienen un sólido conocimiento del contenido curricular matemático relevante y saben cómo enseñarlo. Comprenden las grandes ideas y conceptos matemáticos y pueden explicarlos de manera efectiva. Además, son capaces de evaluar críticamente los procesos y soluciones del estudiantado y brindar retroalimentación adecuada. a) Conocimiento pedagógico del contenido curricular: es esencial para enseñar matemáticas de manera efectiva. Los docentes con un profundo conocimiento comprenden cómo construir el conocimiento procedimental del estudiantado y cómo ampliar y desafiar sus ideas. Lo utilizan para tomar decisiones pedagógicas informadas, seleccionando tareas, recursos, conversaciones y acciones que fomenten el aprendizaje.

b) Comprender al estudiantado como aprendices: para enseñar matemáticas de manera efectiva, los docentes necesitan comprender cómo aprende el estudiantado. Esto implica estar conscientes de las concepciones y conceptos erróneos que puede tener y utilizar esto para fortalecer su comprensión conceptual. En este sentido, es necesario que adapten su enfoque pedagógico en función de sus necesidades individuales.

c) Desarrollo profesional continuo de los docentes: este se ve beneficiado por el apoyo de una comunidad educativa amplia. Los docentes necesitan el acompañamiento de otros, como colegas, recursos materiales, así como apoyo emocional y humano. Las iniciativas de desarrollo profesional, tanto a nivel personal como colaborativo, son fundamentales para impulsar un cambio significativo en la práctica docente.

4.2 Componentes clave para promover una educación matemática inclusiva

Como se ha explicado, la educación matemática inclusiva es un enfoque pedagógico fundamental que busca garantizar igualdad de oportunidades para que todo el estudiantado acceda a una educación de calidad en matemáticas. En este contexto, un estudio realizado por Gersten et al., (2009) a través de un meta análisis, pudo identificar cinco componentes clave que han demostrado tener un impacto significativo en la mejora de la práctica educativa, los cuales e relacionan a continuación:

a) Instrucción explícita: se refiere a que el maestro demuestre un plan paso a paso para

resolver un problema matemático, de manera específica y no genérica. Con ello, se anima al estudiantado a utilizar el mismo procedimiento mostrado por el maestro.

b) Representaciones visuales: el uso de representaciones visuales, como gráficos o

diagramas, para ilustrar estrategias de resolución de problemas matemáticos. Estas pueden ser utilizadas de forma aislada o combinadas con otros componentes de instrucción.

c) Secuencia y/o rango de ejemplos: la planificación cuidadosa de la instrucción mediante

la selección y secuenciación de ejemplos de instrucción. Es importante presentar una variedad de ejemplos con una complejidad creciente para promover la transferencia de conocimiento a diferentes tipos de problemas.

d) Verbalizaciones del estudiantado: animar al estudiantado a verbalizar su pensamiento o

estrategias al resolver problemas matemáticos. Esto ayuda a abordar su impulsividad y promueve la autorregulación durante la resolución de problemas.

e) Proporcionar retroalimentación continua: brindar a los maestros información específica

sobre el desempeño de cada estudiante en matemáticas. Esto incluye proporcionar orientación sobre cómo abordar las necesidades de instrucción del alumnado y ofrecer material didáctico pertinente.

Estos cinco componentes de instrucción, cuando se implementan de manera efectiva, pueden mejorar la práctica de la educación matemática inclusiva y ayudar al estudiantado con problemas de aprendizaje y desarrollar habilidades matemáticas.

4.3 Beneficios del aprendizaje cooperativo en la educación matemática inclusiva

El enfoque de aprendizaje cooperativo en el aula puede tener un impacto significativo en la educación matemática inclusiva (Garcia y Ramos, 2017). Este ofrece diversas ventajas que contribuyen al desarrollo integral del estudiantado. En primer lugar, el aprendizaje cooperativo fomenta la motivación intrínseca, lo que implica que se siente motivado por la propia actividad y no por recompensas externas. El trabajo en grupos cooperativos le permite comprometerse activamente en su aprendizaje y encontrar satisfacción al colaborar con otros para alcanzar metas comunes.

Además, este enfoque promueve la participación activa de cada miembro, sin importar sus diferencias o barreras de aprendizaje. Al trabajar en equipos heterogéneos se crea un ambiente inclusivo donde cada uno tiene un papel relevante y contribuye al aprendizaje conjunto. También brinda la oportunidad de desarrollar habilidades socioemocionales, como la empatía, la comunicación y la resolución de problemas de manera colaborativa (Monge R., 2009; Slavin, 1999). Estas son fundamentales tanto en el ámbito matemático como en la vida cotidiana, ya que fortalecen las relaciones interpersonales y la convivencia pacífica. Aunado a lo anterior, facilita la adquisición de valores morales y promueve la convivencia social. Al trabajar en equipo, el estudiantado aprende a valorar y respetar las ideas y perspectivas de los demás, fomentando conductas de ayuda mutua y comunicación efectiva (Pujolás Maset, 2012). Esto contribuye a la formación integral y fomenta un ambiente de respeto y tolerancia. Por último, puede desafiar estereotipos de género y promover la igualdad al desarrollar el potencial de cada participante, independientemente de si es hombre o mujer. Al diseñar

actividades y proyectos que requieren la colaboración y el aprovechamiento de las habilidades individuales en beneficio del grupo, se fomenta la igualdad y se superan las barreras tradicionales en la educación matemática.

En síntesis, el aprendizaje cooperativo aporta significativamente a una educación matemática inclusiva al promover un ambiente de aula donde todo el estudiantado se siente valorado y acoge la diversidad.

Para implementarlo con éxito se deben incorporar explícitamente los cinco elementos esenciales propuestos por Johnson et al. (1999): 1) la interdependencia positiva, donde todos comprenden que los objetivos, metas y tareas, no se pueden considerar alcanzados a menos que todos tengan éxito. 2) la responsabilidad individual y grupal, todos los miembros del equipo deben ser conscientes de que su compromiso con el aprendizaje y sus aportes son indispensables para el éxito del equipo. 3) La interacción estimuladora, preferente cara a cara, fomenta el apoyo entre el estudiantado, incentivando la motivación personal y el apoyo mutuo en el proceso de aprendizaje. 4) Prácticas interpersonales y grupales, necesarias para funcionar como parte de un grupo, que el docente debe procurar enseñar y desarrollar con la misma precisión con la cual enseña las materias escolares. 5) El procesamiento o evaluación grupal, donde determinen cuáles acciones aportan o afectan el desempeño del equipo, para tomar decisiones conjuntas, de cuáles modificar y preservar.

4.4 Beneficios del Diseño Universal para el Aprendizaje en la educación matemática

inclusiva La implementación del Diseño Universal para el Aprendizaje (DUA) en la educación matemática desempeña un papel fundamental en la promoción de una educación matemática inclusiva. El DUA, como enfoque pedagógico, busca garantizar igualdad de oportunidades y abordar la diversidad en el aula a través de la planificación flexible (M. Blanco et al., 2017; CAST,

2013). En este sentido, el DUA tiene el potencial de contribuir a una educación matemática inclusiva por varias razones.

En primer lugar, proporciona múltiples formas de representación, lo cual implica presentar los contenidos curriculares matemáticos de diferentes maneras para facilitar el acceso al aprendizaje. Esto se logra mediante el uso de diversos recursos y materiales (manipulativos, gráficos, videos y actividades interactivas) que permitan al estudiantado comprender los conceptos matemáticos desde diversas perspectivas.

En segundo, el DUA ofrece múltiples formas de acción y expresión, lo que implica brindar al estudiantado diferentes oportunidades para demostrar su comprensión y habilidades matemáticas. Esto se traduce en permitirles utilizar estrategias de resolución de problemas variadas, expresar sus ideas matemáticas de forma oral, escrita o visual, y emplear herramientas digitales para representar y comunicar conceptos matemáticos.

Por último, también ofrece múltiples formas de implicación, buscando motivar y mantener el interés en el aprendizaje matemático. Esto se logra a través del uso de estrategias y recursos que capten su atención y promuevan la participación activa, tales como situaciones problemáticas contextualizadas, juegos matemáticos, desafíos o proyectos relacionados con la vida real. Al proporcionar opciones flexibles de acción y expresión, el DUA reconoce y valora la diversidad de habilidades y estilos de aprendizaje, creando así un ambiente inclusivo en el aula. Por ende, su aplicación ofrece un enfoque que promueve la igualdad de oportunidades y atiende a la diversidad del estudiantado, permitiéndoles acceder, participar y tener éxito.

4.5 Estrategias para fomentar la participación de las familias en la educación matemática

inclusiva La participación activa de los padres, madres y/o las familias en la educación matemática inclusiva es esencial para el éxito académico del estudiantado. En este sentido, resulta crucial

establecer una relación de colaboración entre la escuela y las familias, donde se promueva la comunicación abierta, se compartan recursos y se brinde orientación adecuada (Austin, 2009). A continuación, se presentan seis estrategias efectivas para fomentar la participación de las familias en la educación matemática, resaltando la importancia de cada una de ellas.

a) Establecer una comunicación abierta: mantener una comunicación regular con los padres

resulta fundamental para compartir información relevante sobre el progreso académico de sus hijos en matemáticas. Se pueden utilizar diversas formas de comunicación, como reuniones presenciales, correo electrónico, mensajes de texto o aplicaciones móviles escolares. Es de vital importancia que los padres, madres y/o familias se sientan escuchados y valorados en todo momento, alentando así su participación activa en el proceso educativo. Al establecer canales efectivos, se logra mantener una retroalimentación constante entre la escuela y las familias, fortaleciendo la colaboración y facilitando la comprensión de las necesidades y logros del estudiantado en el área de matemáticas.

b) Ofrecer talleres y sesiones informativas: organizar talleres y sesiones informativas

dirigidos a los padres, madres y/o familias enfocados en estrategias de enseñanza de matemáticas inclusivas, métodos para respaldar el aprendizaje en el hogar y actividades prácticas que puedan realizar conjuntamente con sus hijos. Estos eventos tienen como objetivo proporcionar herramientas y recursos necesarios para que puedan involucrarse de manera efectiva en la educación matemática de sus hijos. A través de los mismos se busca fomentar la comprensión de los conceptos matemáticos, promover la confianza en el apoyo académico en el hogar y fortalecer la colaboración entre la escuela y las familias. De esta manera, estas obtienen conocimientos prácticos y estrategias pedagógicas que les permiten brindar un acompañamiento sólido y enriquecedor en el proceso de aprendizaje de sus hijos en matemáticas.

c) Proporcionar materiales y recursos adicionales: facilitar a los padres, madres y/o familias

una amplia gama de materiales y recursos relacionados con las matemáticas, como libros,

juegos, aplicaciones educativas, sitios web o videos, que les permitan enriquecer el aprendizaje de sus hijos en casa. Junto con estos recursos, se brinda orientación detallada sobre cómo utilizarlos de manera efectiva para potenciar el proceso de aprendizaje. Es importante asegurarse de que estén plenamente informados acerca de la disponibilidad de estos recursos y se sientan cómodos al acceder a ellos, además de animarlos a plantear cualquier duda o pregunta que puedan tener, para ofrecerles el apoyo necesario que garantice un uso óptimo de estos materiales. Al proporcionar materiales y recursos adicionales, se busca empoderarles como colaboradores activos en la educación matemática, fortaleciendo así el vínculo entre la escuela y las familias en beneficio del éxito académico.

d) Invitar a los padres, madres y/o familia como recursos en el aula: motivarles a compartir

sus conocimientos y habilidades relacionados con las matemáticas con el estudiantado dentro del entorno escolar. Con ellos se busca fomentar su participación activa a través de charlas, demostraciones prácticas y la colaboración en actividades grupales. Esta valiosa contribución no sólo enriquecerá la experiencia de aprendizaje del estudiantado, sino que también fortalecerá la colaboración y la conexión entre la escuela y las familias. Al involucrar a los padres, madres y/o familias como recursos en el aula, se crea un ambiente enriquecedor donde el intercambio de conocimientos y experiencias se convierte en un puente que promueve el éxito académico y la cohesión comunitaria.

e) Promover el aprendizaje en casa: facilitar a los padres, madres y/o familias actividades y

tareas específicas para realizar con sus hijos, enfocadas en los conceptos matemáticos abordados en el aula. Además, es fundamental establecer pautas claras y ofrecer apoyo adicional para asegurar que estos se sientan cómodos al brindar ayuda en el ámbito de las matemáticas. Al proporcionar recursos y directrices claras, se fomenta la participación activa en el proceso educativo y se les empodera para promover el aprendizaje continuo en un entorno

familiar. Esto crea una sinergia positiva entre la escuela y el hogar, donde el desarrollo matemático se fortalece tanto dentro como fuera del aula.

f) Celebrar el progreso y los logros: reconociendo y celebrando los avances matemáticos del

estudiantado en conjunto con los padres, madres y/o familias. Mediante la organización de eventos y ceremonias se brinda la oportunidad al estudiantado de exhibir y compartir su aprendizaje con sus seres queridos. Estas actividades fomentan un sentido de orgullo y motivación, al tiempo que fortalecen la relación entre la escuela y las familias. Uniendo esfuerzos, se crea un ambiente en el que los logros se valoran y se celebran, incentivando al estudiantado a continuar su desarrollo académico en matemáticas con confianza y entusiasmo.

4.6 Fomentando la sensibilidad en educación matemática inclusiva

En el ámbito de la educación matemática inclusiva es fundamental promover la sensibilidad y el compromiso de los docentes hacia la creación de entornos de aprendizaje inclusivos. Para lograrlo, se requiere implementar una serie de estrategias que abarcan desde la observación y retroalimentación en el aula, hasta el acceso a materiales y recursos inclusivos, la formación continua, el seguimiento y evaluación, así como la promoción de buenas prácticas. Estas acciones se complementan entre sí, permitiendo mejorar la enseñanza de las matemáticas, identificar barreras y oportunidades de mejora, brindar retroalimentación constructiva y fomentar un ambiente colaborativo en el que se valoran y comparten experiencias positivas de inclusión (Ainscow, 2005; Barton, 2003; González, 2011). A continuación, se amplía de manera más detallada el impacto que puede tener y la forma en que pueden implementarse.

a) Observación y retroalimentación: mediante la realización de observaciones en el aula se

busca identificar tanto las barreras existentes como las oportunidades de mejora en la enseñanza de las matemáticas. Así mismo, se brinda retroalimentación constructiva a los docentes, destacando los aspectos positivos y ofreciendo sugerencias para implementar estrategias

inclusivas adicionales. Este enfoque promueve la reflexión y el análisis colaborativo de las prácticas docentes (Ainscow, 2005; Hiebert et al., 2002).

b) Acceso a materiales y recursos inclusivos: se proporcionan a los docentes materiales y

recursos didácticos que fomentan la inclusión en la enseñanza de las matemáticas. Estos pueden incluir adecuaciones curriculares, herramientas tecnológicas, juegos y actividades que estimulan la participación activa de todo el estudiantado, independientemente de sus habilidades o características individuales.

c) Formación continua: se ofrecen oportunidades de desarrollo profesional constante en

educación matemática inclusiva, tanto a nivel individual como en comunidades de aprendizaje. Se organizan talleres, seminarios y cursos que abordan temas relevantes, como estrategias de enseñanza inclusiva, evaluación y adaptaciones curriculares. Con esto se pretende estimular la participación de los mismos en conferencias y eventos relacionados con la inclusión y la educación matemática (Gonzalez-Gil et al., 2019).

d) Seguimiento y evaluación: se realiza un seguimiento constante del progreso de los

docentes en la implementación de prácticas inclusivas en la enseñanza de las matemáticas, donde se evalúa el impacto de las acciones formativas y de asesoramiento en los resultados de aprendizaje del estudiantado y en el ambiente inclusivo del centro. La información recopilada se utiliza para realizar ajustes y mejoras continuas en el enfoque de sensibilización y apoyo a los docentes, asegurando así una mejora constante (Booth y Ainscow, 2015).

e) Promoción y difusión de buenas prácticas: se reconoce y celebra las prácticas docentes

destacadas en educación matemática inclusiva. Se resaltan ejemplos exitosos de inclusión y se comparten experiencias positivas tanto dentro como fuera del centro educativo. Esta iniciativa tiene como objetivo motivar a los docentes y fomentar una cultura de trabajo colaborativo y comprometido con la inclusión (Muntaner Guasp et al., 2016).

4.7 Promoviendo una evaluación inclusiva y centrada en el aprendizaje

En el ámbito de la educación inclusiva la evaluación continua juega un papel fundamental en el proceso de aprendizaje del estudiantado. Por ello, con el objetivo de asegurar una evaluación equitativa que fomenta el desarrollo pleno de todo el alumnado es necesario adoptar enfoques inclusivos y centrados en el aprendizaje. Esto implica que esta no se limite a momentos específicos, sino que se lleve a cabo de manera regular a lo largo de toda la vida escolar con el propósito de identificar y superar las barreras que dificultan el acceso y participación en el aprendizaje.

Además, es crucial que sea diversificada, flexible y compartida, teniendo en cuenta las diferencias individuales y permitiendo adaptar la enseñanza a sus necesidades. En este contexto, la evaluación se convierte en una herramienta poderosa que proporciona oportunidades significativas de aprendizaje, empodera al estudiantado en su proceso de autorregulación y promueve la creación de un plan educativo adaptado a sus requerimientos. Para llevar a cabo una evaluación en el ámbito de la educación matemática inclusiva, Giné y Piqué (2007) sugieren considerar los siguientes aspectos:

a) Evaluación continua: la evaluación debe ser un proceso constante a lo largo de la vida

escolar del estudiante, presente de forma regular y no solo en momentos puntuales. El objetivo es observar el avance y valorar el proceso de aprendizaje. Debe permitir detectar errores, aciertos, dificultades y obstáculos, para reforzar lo que mejora el aprendizaje y modificar lo que dificulta dicho proceso.

b) Identificación y eliminación de barreras: la evaluación no debe ser diseñada para crear

etiquetas. Debe contribuir a identificar y superar las barreras que dificultan el acceso y la participación del estudiantado en el aprendizaje. Esto implica adoptar una respuesta a la

diversidad que brinde suficientes oportunidades para aprender y en la cual la responsabilidad recaiga en toda la comunidad educativa.

c) Participación de toda la comunidad: la evaluación no debe ser responsabilidad exclusiva

del estudiante, sino que debe involucrar a toda la comunidad educativa. Es necesario que esta participe en el diseño de los criterios del proceso de evaluación, dando respuesta a cuestiones como a quién se evaluará, qué, quién, con quién, cómo, para qué, cuándo se hará y a qué conducirán los resultados. Lograrlo requiere abrir espacios de participación y diálogo.

d) Evaluación como proceso negociador para mejorar el aprendizaje: con el objetivo de

aportar a una educación de calidad, la evaluación debe ser un proceso negociado que involucre tanto al docente como al estudiante en todas las etapas. Durante la fase inicial, el profesorado realiza diagnósticos y el alumnado se concientiza de sus conocimientos previos. En la fase de desarrollo, el docente identifica aciertos, errores y obstáculos en el proceso de aprendizaje, mientras que el estudiantado obtiene información para autorregular su aprendizaje. Al finalizar, se realiza una evaluación sumativa para el profesorado y una reflexiva para el alumnado, enfocando su acción en los futuros aprendizajes. Para que se cumplan estos objetivos, ambas partes deben compartir criterios e indicadores, así como las consecuencias.

e) Evaluación como instrumento que fomente la autonomía: la evaluación debe permitir que

el estudiantado progresivamente tome decisiones acertadas sobre su capacidad autónoma de aprender, por ello tiene que ayudar a aprender a evaluar su proceso de aprendizaje y a tomar decisiones para mejorarlo como parte esencial del aprender a aprender. Además, es importante evaluar al profesorado en términos de los recursos utilizados, la metodología y el tratamiento de la diversidad, asegurándose de que la evaluación promueva la autonomía del estudiante en lugar de depender exclusivamente de este para los criterios y el conocimiento.

f) De la evaluación única y homogénea a la evaluación diversificada y flexible: la evaluación

debe ser flexible, diversificada y continua para atender la individualidad y diversidad. Se deben utilizar diferentes técnicas de evaluación, como exámenes, actividades individuales y en grupo, observación de la actitud, entre otras, que permitan evaluar aprendizaje de competencias, aciertos, errores, dificultades, y aspectos emocionales. Además, es importante compartir los criterios de evaluación y realizar la retroalimentación necesaria.

g) Evaluación para valorar el acto de aprender: el objetivo principal de la evaluación debe ser

asegurar que todo el estudiantado aprende y progresa. De esta manera, necesita ayudar a proporcionar información sobre las competencias adquiridas y aquellos que aún quedan por aprender, pero, sobre todo, debe permitir realizar un seguimiento personalizado para adaptar las competencias y las estrategias a necesidades particulares. Además, debe brindar información que permita hacer partícipe a las familias.

4.8 Conclusiones

La educación inclusiva en matemáticas es fundamental para garantizar igualdad de oportunidades de aprendizaje y participación plena en el proceso educativo para todo el estudiantado, sin importar su diversidad funcional, cognitiva, étnica o de otras características. Aunque se han logrado avances, todavía existen desafíos para garantizar un acceso equitativo a una educación matemática de calidad, especialmente para el estudiantado con diversidad. Estos grupos a menudo enfrentan barreras en su aprendizaje y participación en las clases de matemáticas. Por tal razón, es crucial reconocer que estas barreras desempeñan un papel significativo en el proyecto de vida del estudiantado y que el objetivo final de la educación inclusiva debe ser construir una sociedad con estas características en su conjunto. La educación matemática inclusiva desempeña un papel fundamental en pro de dicha meta. Al implementar las claves y los principios mencionados (el diseño curricular inclusivo, el

respeto a la diversidad, el enfoque en habilidades múltiples, la enseñanza colaborativa y dedicada, las prácticas de evaluación equitativas, así como la promoción de la persistencia, confianza y autonomía), se pueden mitigar o eliminar las barreras que limitan la participación y el aprendizaje de ciertos grupos. Estas acciones contribuyen a crear un entorno inclusivo. Adicional a lo anterior, es vital tener presente que mediante la educación matemática inclusiva se establecen las bases para empoderar a todo el estudiantado y garantizar su pleno desarrollo. Los docentes desempeñan un papel crucial en la enseñanza efectiva de las matemáticas inclusivas. Para lograrlo, es fundamental que adopten un enfoque ético de cuidado y diversidad, fomenten el aprendizaje colaborativo y autónomo, construyan sobre el pensamiento del estudiantado y adapten la enseñanza de acuerdo con sus necesidades. Además, deben utilizar tareas matemáticas significativas y desafiantes, establecer conexiones entre ideas y contextos, emplear un lenguaje matemático accesible y significativo, hacer un uso efectivo de herramientas y representaciones, integrar nuevas tecnologías en su práctica docente y poseer un conocimiento profundo y actualizado tanto de las matemáticas como de la pedagogía del currículo. Al hacerlo, los docentes pueden ofrecer una experiencia de aprendizaje en matemáticas inclusiva y enriquecedora que promueva el desarrollo integral de todo el estudiantado y les brinde las herramientas necesarias para enfrentar los desafíos del mundo actual. Los cinco componentes clave identificados por Gersten et al. (2009) son fundamentales para promover una educación matemática inclusiva. Estos incluyen la instrucción explícita, las representaciones visuales, la secuencia y/o rango de ejemplos, las verbalizaciones del estudiantado y la retroalimentación continua. Al implementarlos de manera efectiva se puede mejorar la práctica de la educación matemática inclusiva y ayudar al estudiantado con problemas de aprendizaje a desarrollar habilidades en esta área.

El enfoque de aprendizaje cooperativo en el aula tiene beneficios significativos. Este fomenta la motivación intrínseca, la participación activa de cada miembro, el desarrollo de

habilidades socioemocionales y la promoción de la igualdad de género. Al trabajar en grupos cooperativos, el estudiantado colabora entre sí para alcanzar metas comunes, lo que crea un ambiente inclusivo donde cada persona tiene un papel relevante.

El DUA se presenta como una herramienta con un gran potencial. Proporciona múltiples formas de representación, acción y expresión, y de implicación, lo que permite que todo el estudiantado acceda, participe y tenga éxito en su aprendizaje matemático. Al utilizar diversas formas de presentación de contenidos curriculares, adaptar las actividades de aprendizaje y promover la participación activa, crea un ambiente inclusivo en el aula. La participación activa de las familias desempeña un papel fundamental. Para lograrlo, es crucial implementar estrategias que promuevan esta participación. Estas incluyen establecer una comunicación abierta y fluida entre la escuela y las familias, ofrecer talleres y sesiones informativas que brinden herramientas y recursos para apoyar el aprendizaje en casa, proporcionar materiales y recursos adicionales que enriquezcan el proceso del estudiantado, invitar a los padres como recursos en el aula para compartir sus conocimientos y habilidades, promover el aprendizaje en casa a través de actividades y tareas específicas, y celebrar el progreso y los logros del estudiantado en conjunto con las familias. Todo lo anterior fortalece la colaboración entre la escuela y las familias, creando un ambiente de aprendizaje enriquecedor. De igual forma, la colaboración entre ambos actores no solo consolida el apoyo académico en el hogar, sino que también fomenta un sentido de comunidad y responsabilidad compartida en la educación. Al trabajar juntos, la escuela y las familias pueden brindar un apoyo integral y coherente, lo que contribuye a un mayor éxito y desarrollo del estudiantado en matemáticas y en su educación en general.

Para promover la educación matemática inclusiva es necesario también desarrollar prácticas inclusivas en las escuelas. Esto implica superar las barreras existentes y trabajar en colaboración con académicos y otros interesados.

La sensibilidad en la educación matemática inclusiva se promueve a través de estrategias como la observación y retroalimentación en el aula, el acceso a materiales y recursos inclusivos, la formación continua, el seguimiento y la evaluación, y la promoción de buenas prácticas. Estas estrategias permiten mejorar la enseñanza de las matemáticas, identificar barreras y oportunidades de mejora, brindar retroalimentación constructiva y fomentar un ambiente colaborativo.

La evaluación inclusiva y centrada en el aprendizaje desempeña un papel fundamental en la educación matemática inclusiva. Para lograr una evaluación equitativa y efectiva es necesario tener en cuenta diversos aspectos clave.

En primer lugar, la evaluación debe ser continua, realizada de manera regular a lo largo de la vida escolar. Además, es fundamental identificar y eliminar barreras que puedan dificultar la participación en el aprendizaje. También debe integrar a toda la comunidad educativa, incluyendo docentes, padres y otros miembros del entorno en pro de su fortalecimiento. Así mismo, debe ser diversificada y flexible, adaptándose a las necesidades individuales del estudiantado.

En este contexto, la evaluación debe estar centrada en el aprendizaje y valorar el acto de aprender en sí mismo. Es importante que proporcione información sobre el progreso y desarrollo para contribuir a la creación de un plan educativo adaptado a sus necesidades específicas.

5. Desde la razón hasta la proporcionalidad

Una vez analizados los elementos vinculados a las Dificultades de Aprendizaje (DA) y Dificultades de Aprendizaje en Matemáticas (DAM), en este capítulo se pasará a estudiar los conceptos de razón, proporción y proporcionalidad, identificando las barreras específicas que se presentan para su aprendizaje. Pero antes es necesario abordar la noción de fracción debido a su estrecha relación con estos.

En las investigaciones desarrolladas por Hart (1984) acerca del aprendizaje de la razón y la proporción se sugiere que la falta de conceptualización de fracciones repercute en las dificultades y métodos utilizados durante el desarrollo de problemas de proporcionalidad. Por su parte, Susan Lamon (2006) reconoce que este concepto se encuentra en muchos contextos del mundo real, como lo son situaciones que van desde la creación de un sistema de medidas, hasta fragmentar una unidad, derivándose de ello los números racionales. En este sentido, la autora señala que la instrucción tradicional de fracciones no ha sido eficaz, lo que exige a los investigadores como una de sus tareas más apremiantes descubrir cómo esta puede facilitar el desarrollo de la comprensión de los números racionales y el pensamiento proporcional. La falta de comprensión de conceptos sobre fracciones y proporciones afecta directa o indirectamente las actitudes de la persona hacia las matemáticas: el disfrute y la motivación en su aprendizaje. Incluso, repercute en el rendimiento, flexibilidad profesional y la capacidad de apreciar plenamente algunos de los fenómenos más simples de la vida cotidiana (Lamon, 2006). De ahí que una estrategia de enseñanza y aprendizaje con un enfoque inclusivo del método de regla de tres para la solución de problemas de proporcionalidad debe velar por garantizar que todos los estudiantes estén en capacidad de determinar si existe una variación proporcional entre dos magnitudes y su tipo, además de verificar que se cumpla el principio de

regularidad, en aras a evitar lo que se ha llamado la sobre-generalización de la linealidad, noción sobre la que se volverá más adelante para explicarla con mayor detalle.

5.1 La fracción

El conocimiento de las fracciones es fundamental para comprender el álgebra, la geometría y otras áreas de la matemática (Siegler et al., 2012), las cuales permiten el desarrollo de disciplinas que hacen parte de las ciencias naturales, tecnología e ingeniería. Sin embargo, las fracciones han demostrado ser muy difíciles de entender para la mayoría de estudiantes (Fazio y Siegler, 2011), convirtiéndose incluso en un obstáculo después de completar la instrucción formal.

Con respecto a esto, es importante señalar que aun en poblaciones de universitarios con buen conocimiento matemático se dan tasas de error del 6% con relación a actividades vinculadas a identificar cuál fracción es mayor entre dos cantidades. Esta proporción aumenta a un 30 % en el caso de estudiantes de colegio. Cabe señalar que estas diferencias estadísticas no se dan en el caso de números enteros (Schneider y Siegler, 2010). De forma similar, en una evaluación realizada por U. S. Department of Education (2007) en Puerto Rico a estudiantes de grado octavo, se encontró que, ordenando fracciones en orden ascendente o llevándolas a su representación decimal, estos reportan una tasa de error para la muestra nacional mayor al 50% y a nivel local al 90%. En el caso de fracciones representadas de forma pictórica, el 89 % de los estudiantes de la muestra nacional y 67 % de la muestra puertorriqueña reconocen correctamente su representación numérica. Datos como estos demuestran que las fracciones son difíciles para una generalidad de la población, pero según el contexto o campo de aplicación esto puede variar.

Aunque en este momento existe poca comprensión desde el ámbito científico con relación a los precursores del desarrollo del conocimiento de este tema y las competencias cognitivas

que sustentan el salto conceptual de los números enteros a las fracciones (Vukovic et al., 2014), es conveniente resaltar que la falta de una conceptualización adecuada por parte de los estudiantes generará una barrera para el aprendizaje y la participación frente a otros aspectos de las matemáticas que están ligados.

A este respecto, Siegler et al. (2012) reconocen que el conocimiento de fracciones está más relacionado con el rendimiento en matemáticas que el de la suma, resta y multiplicación de números enteros. Además, estos autores manifiestan que una baja comprensión de esta temática genera dificultades para desarrollar la competencia matemática, con las consecuentes implicaciones que esto tiene en las oportunidades económicas y sociales que se darán en la edad adulta. Llegando incluso a concluir que el rendimiento en matemáticas de los estudiantes de secundaria predice la matrícula y graduación universitaria, al igual que el crecimiento de ingresos que pueda tener una persona, por lo que es un elemento clave en la construcción de una sociedad incluyente.

Con respecto a la enseñanza de fracciones, es importante que el docente sea consciente que su conceptualización no se da de forma espontánea y que sus algoritmos de cálculo difieren mucho de los usados con números enteros. Así, un conocimiento superficial de las mismas genera dificultades para realizar conversión entre los diferentes registros de representación semiótica (Duval, 2017), puesto que los procedimientos utilizados en fracciones aritméticas parecen arbitrarios y resulta fácil confundirlos unos con otros. Esto exige del docente estar preparado no solo para explicar cómo resolver un problema, sino también para argumentar por qué el procedimiento que usa es el apropiado y los errores que conllevan enfoques no adecuados.

Así mismo, las fracciones constituyen un conocimiento base que se abordará a lo largo de diferentes etapas del ciclo escolar, por lo cual una enseñanza inadecuada potencia la construcción de barreras en el desempeño futuro de los estudiantes. En este sentido, Fazio y

Siegler (2011) reconocen que el docente no solo debe comprender los conceptos de estas que se abordan en su nivel de grado, sino que debe procurar desarrollar también los que los anteceden y devienen. De ahí la importancia de establecer un diálogo entre los profesores del área con el propósito de construir una trazabilidad con relación a lo que el estudiante pudo aprender y de qué forma a largo de su vida escolar y así facilitar su proceso.

5.1.1 Fenomenología de las fracciones

En el nivel de educación primaria dentro del contexto colombiano se estipula la enseñanza primero del concepto de fracción que el de número racional (MEN, 2016). De acuerdo con Freudenthal (1985) el objeto matemático que importa es el número racional en lugar de la fracción, sin embargo, estas son la fuente fenomenológica del mismo, lo que tiene sentido, ya que su origen se encuentra en dicha noción, y da coherencia a lo planteado desde el Ministerio de Educación Nacional, MEN.

De hecho, para este autor ellas tienen mucho que ver con la razón, existiendo diversas situaciones en las que tienen aplicación. En el lenguaje cotidiano se utilizan en diversos escenarios: para comparar (X es la mitad de pesado que Y), describir una cantidad (mitad de X), formar múltiplos (dos tercios de X) expresar cantidad (X es dos y tres cuartos de veces tan largo que Y), determinar ciclos (X es medio tiempo alrededor de Y), expresar mezclas (X es una parte de Y y dos partes de Z) y relaciones (de cada X hombres Y es chino). A su vez, Freudenthal (1985) en su análisis fenomenológico reconoce que la fracción puede ser vista desde dos perspectivas, como un quebrado o fracturador y como un comparador: Cuando se analiza como fracturador se parte del hecho que se inicia con un todo, el cual se pretende dividir en partes equivalentes, haciendo uso de diferentes métodos disponibles, con lo cual la división o quiebre puede ser irreversible (por ejemplo, una varilla de acero que se corta por la mitad para obtener dos partes equivalentes), reversible (por ejemplo, 1000 g de azúcar, de

los cuales se obtienen dos partes equivalentes de 500 g) o meramente simbólico (por ejemplo, dos tercios, que de forma simbólica se representa como 2/3). Durante este proceso la equivalencia de las partes se juzga a través de la vista (como puede ser el caso de doblar una hoja a la mitad o en tres partes equivalentes) o el tacto (al reducir a la mitad dos masas comparándolas a través de la sensación de peso), aunque también se pueden usar métodos más sofisticados (con una balanza). Es decir, lo que se busca es obtener partes equivalentes, a través de una magnitud común (por ejemplo, longitud para segmentos de recta, área para superficies, entre otros).

Una vez el todo es descompuesto, cortado, rebanado, roto o coloreado, imaginado, etc., en partes equivalentes, se puede concretar la fracción e interpretar como parte- todo. Esto involucra entender una fracción como una o más partes iguales de un solo objeto (por ejemplo, tres de cuatro partes equivalentes de una pizza). Por otra parte, como se puede detallar en la Figura 7, el todo puede ser discreto, continuo, definido, estructurado y no estructurado. Figura 7 Representaciones de la forma en que se concreta el todo en una fracción analizada desde la relación parte -todo Representaciones de la forma en que se concreta el todo en una fracción analizada desde la relación parte -todo

Discreto Continuo

Definido Indefinido

Estructurado No estructurado

Nota. Adaptada de "Didactical Phenomenology of Mathematical Structures” (Freudenthal, H.,1985, p. 141.)

Es necesario mencionar que cuando a partir de las partes se desea construir el todo se debe tener claridad de cuántas lo conforman, lo cual solo tiene sentido si se ha acordado previamente la condición bajo la cual estas deben ser consideradas como equivalentes. El criterio puede ser un número o valor de cierta magnitud.

La conceptualización de las fracciones no se detiene con romper un todo en partes. Como se ha dicho, estas también funcionan como comparadores. Así se pueden comparar objetos que son separados unos de otros (en este salón hay la mitad de las mujeres que en el de enseguida), experimentarse (en este salón hay la mitad de mujeres), imaginarse (Ana María pesa la mitad que el perro del colegio) o pensarse (el andén es por lo menos cuatro veces y medio más pequeño que la calle). Para ello se deben establecer ciertos criterios que se pueden dar de forma directa (cuando los objetos que se están comparando se acercan entre sí, o los más pequeños son parte de los más grandes, entre otros) o indirecta (cuando un tercer objeto media entre los dos para efectuar la comparación).

5.1.2 Diferentes formas de entender el concepto de fracción

Detrás del término fracción se esconden varias acepciones que pueden generar confusión. El uso coloquial de la palabra es bastante complicado, pero sus múltiples significados

en la enseñanza matemática no suelen facilitar su acercamiento. Algunas veces se utiliza para referirse específicamente a una comparación parte-todo, en otras a cualquier número escrito en la forma simbólica a/b, incluso se hace alusión a las palabras fracción y número racional indistintamente (Fandiño, 2015; Lamon, 2006).

Lo anterior debe ser considerado dentro de los procesos de enseñanza propios de una educación inclusiva, en la medida en que estas múltiples acepciones y usos en el aula pueden llevar a la generación de barreras de aprendizaje para los estudiantes. En tal sentido, se considera pertinente listar los principales significados atribuidos al término dentro de las matemáticas de acuerdo con las investigaciones realizadas por Mancera (1992) y Fandiño (2015):

a) Parte de una unidad-todo, a veces continua, a veces discreta.

b) Cociente.

c) Relación.

d) Operador.

e) Probabilidad.

f) Puntaje.

g) Número racional.

h) Punto de una recta numérica.

i) Medida.

j) Indicador de cantidad de elección.

k) Porcentaje.

l) En el lenguaje cotidiano.

5.1.3 Barreras para el aprendizaje del concepto de fracción desde la enseñanza

A partir de su investigación, Obando (2003) reconoce que las estrategias metodológicas y de aproximación conceptual de las fracciones normalmente inician con regiones geométricas y centran su estrategia de enseñanza en lo que denomina trabajo centrado en la partición y el conteo y no en la medición de las partes, lo cual genera las siguientes barreras para el aprendizaje a) El alumno centra su aprendizaje en los números naturales implicados en el denominador (en lo que se divide un todo) y el numerador (la parte que toma del todo), reforzando un pensamiento aditivo o absoluto, lo que impide que comprenda la relación cuantitativa de las partes y, por consiguiente, el desarrollo de un pensamiento relativo o multiplicativo (Lamon, 2006). Por ejemplo, en la Figura 8 la relación

1

8 representada tiende a pensarse como tomar una

parte de las ocho posibles y no como la relación cuantitativa entre la cantidad de magnitud de esa parte y la total (se comerá:

1

8 de la pizza o un 12,5% de la pizza).

Figura 8 Representación gráfica de la fracción 1/8 para ejemplificar la barrera de aprendizaje vinculada un refuerzo del pensamiento aditivo Representación gráfica de la fracción 1/8 para ejemplificar la barrera de aprendizaje vinculada un refuerzo del pensamiento aditivo

Nota. Imagen tomada de https://bit.ly/3Gw4pG

b) Se piensa la fracción como dos números naturales separados por una rayita (vínculo) y no como una relación cuantitativa entre la parte y el todo. En otras palabras, el símbolo de las fracciones en sí no tiene sentido y se entiende el numerador y el denominador como números separados, en lugar de comprenderlos como un todo unificado. Esto se da por una falta de comprensión conceptual, la cual no puede lograrse si el docente, además de resolver un problema, no argumenta la razón por la que el procedimiento que siguió es el correcto, incluyendo en su explicación diferentes tipos de conversiones entre las distintas representaciones, puesto que una de ellas puede ser más o menos apropiadas según la situación (Fazio y Siegler, 2011). c) Cuando la enseñanza del proceso de partición de una región geométrica no está basada en la medida de la magnitud (en este caso superficie) que se desea partir, y se centra en procesos visuales que privilegian la congruencia geométrica entre las partes, garantizando su igualdad. Esto llevará a que el alumno tenga dificultades aceptando particiones poco regulares. Por ejemplo, en la Figura 9 el alumno podría no aceptar que la región en negro corresponde a la mitad de la cantidad de superficie del círculo.

Figura 9 Ejemplo de una situación en la que la partición se da de forma poco regular Ejemplo de una situación en la que la partición se da de forma poco regular

Nota. Imagen tomada de: https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Yin_and_Yang_symbol.svg

d) Otra consecuencia de no centrar la enseñanza y las actividades haciendo énfasis en la

partición de la medida, sino en el conteo, se da con el concepto de equivalencia. El alumno

atiende el tamaño del numerador y el denominador, haciendo énfasis en el conteo y no la relación entre ambos. Por tanto, la noción de equivalencia queda significada en la congruencia que existe entre las partes en las que se dividió cada unidad, lo cual constituye un significado muy débil, basado en la percepción y no en las relaciones numéricas. Por ejemplo, en la Figura 10 cada una de las figuras geométricas representa la unidad y las partes coloreadas hacen alusión a la mitad de las mismas (

1

2 de, 50 % de) dado que la relación entre la cantidad de superficie

sombreada con respecto a la total de estas es igual. Sin embargo, esto es difícilmente aceptado por los alumnos debido a que las partes sombreadas no son congruentes entre sí. Para que esto se logre, el docente al explicar la suma también debe hacer claridad que, aunque las fracciones representan la misma parte (1 2 ⁄ de la superficie), no se pueden sumar por qué la unidad de superficie que representan es diferente, en otras palabras, la cantidad es igual, pero la magnitud es distinta.

Figura 10 La misma fracción, diferentes unidades: ¿por qué no se pueden sumar? La misma fracción, diferentes unidades: ¿por qué no se pueden sumar?

Nota. Imagen tomada de "La enseñanza de los números racionales a partir de la relación partetodo" (Obando, G.,2003, p. 170)

e) El trabajo centrado en la partición y el conteo hace que el proceso de conceptualizar las

fracciones impropias sea de difícil comprensión para los alumnos, por lo que en aquellas de tipo a > b, la definición (dividir b en partes iguales y tomar a partes) pierde su significado intuitivo. Por ejemplo, ante la situación: compramos 5 4 ⁄ de pizza, el estudiante suele confundirse ante la idea

de que 1 pizza fue dividida en 4 y luego se tomaron 5 partes. Si por casualidad llega a la conclusión de que para que dicha situación sea posible debe tratarse de 2 pizzas y no de 1, surge la pregunta de si la unidad es la pizza o son las pizzas. Para el caso del ejemplo, se está hablando de que la unidad es cada pizza, las cuales se dividieron en partes iguales para luego tomar 5 pedazos. En el caso de fracciones impropias, la unidad es una pizza, pero se dividen dos pizzas (ver Figura 11).

Figura 11 Representación gráfica de la fracción impropia 5

4

Representación gráfica de la fracción impropia 5

4

Nota.

Imagen tomada y modificada a partir de https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Pizza_(48751579638).jpg Por su parte, Susan Lamon (2006) reconoce que el pensamiento absoluto o aditivo se ve reforzado por el tipo de preguntas que formula el docente en el aula o que se presentan en los libros de texto. Por ejemplo:

 ¿Quién tiene más galletas: Manuel o Ana?

 ¿Cuántas galletas menos tiene Manuel?

 ¿Cuántas galletas más tiene Ana?

 ¿Cuántas galletas tienen ambos en total?

Lamon (2006) reconoce que las primeras actividades para introducir a los alumnos a las fracciones a menudo incluyen regiones geométricas seguidas de preguntas sobre estas. Como el objetivo es conceptualizar fracciones y desarrollar un pensamiento relativo, el docente debe ser cuidadoso al hacerlas, ya que los estudiantes son dados a responder cuántas partes (elementos de la unidad) tomaron, en lugar de cuánto (porcentaje de la unidad). Cuando el estudiante simplemente determina el número de pedazos, está realizando un conteo. En cambio, cuando se habla de cuánto de la unidad se tomó, eso implica considerar la cantidad original como un dato relevante en la pregunta, lo cual implica un pensamiento relativo. Por tal motivo, si se busca el desarrollo del mismo, se debe procurar realizar preguntas como:

 ¿Cuántas veces tendrías que apilar las galletas de Manuel para obtener una pila tan alta como la de Ana?

 ¿Qué parte de una docena de galletas tiene Manuel?

 Cada niño tiene tres galletas con chispas de chocolate. ¿Qué porcentaje de las galletas de cada niño son de chispas de chocolate?

 Si Manuel comiera una galleta cada día, ¿cuántas semanas durarán sus galletas?  Manuel David y Ana María juntaron todas sus galletas y las compartieron a la hora del almuerzo con sus 3 amigos. ¿Qué parte de las galletas comerá cada niño? De los aportes de Susan Lamon (2006) se logra identificar que en el paso de los números naturales a las fracciones existen barreras para el aprendizaje generadas por la sofisticación de los métodos para sumar, restar, multiplicar y dividir, entre otros. Por ejemplo, en los primeros años de escolaridad se aprende a contar haciendo coincidir un número por cada objeto. Es decir,

la unidad uno siempre se refiere a un solo objeto. En fracciones, sin embargo, la unidad puede consistir en más de un objeto o puede ser compuesta, es decir, constar de varios objetos empaquetados como uno solo. De igual manera, Obando (2003) menciona que el docente en muchas ocasiones asume que el proceso que realiza el alumno para hallar una magnitud continua y discreta es el mismo, por lo que no se percata que para el caso de discretas es más complejo. Un ejemplo de lo anterior se da en las actividades propuestas en la Figura 12: Figura 12 Ejemplo de actividad con magnitudes continuas y discretas Ejemplo de actividad con magnitudes continuas y discretas |

Nota. Imagen tomada de “La enseñanza de los números racionales a partir de la relación partetodo” (Obando, G., 2003, p. 171) Al respecto, Obando (2003) describe que para poder dar solución a las mismas, un alumno debe:

Para el caso de los bombillos (magnitudes discretas). (i) Comprender que el “doce” es una unidad; (ii) hacer la repartición de dicha unidad, en cuatro partes iguales; (iii) conceptualizar cada parte obtenida, como la cuarta parte de la unidad (i.e., de doce); y, (iv) juntar tres de esas cuatro partes obtenidas para obtener las tres cuartas partes de la unidad. En el caso del rectángulo, éste es asumido como una unidad simple y por tanto las tres cuartas partes del mismo se obtienen de manera

directa partiendo la unidad en cuatro partes (congruentes o de igual cantidad de superficie) y juntando tres de éstas (Obando, 2003, p. 171).

Así, existe una gran diferencia cuando el ejercicio implica que la unidad está constituida por algo continuo o por un conjunto discreto. Una magnitud continua permite al alumno ver el todo como la unidad y una partición puede hacerse siempre en teoría. En el caso de la unidad compuesta discreta, encontrar los a b-ésimos depende de la relación entre a y b. Por ejemplo, el alumno puede hallar 3 4 ⁄ de los 12 bombillos son 9, pero es imposible darle sentido concreto a los 3 5 ⁄ . Se hace necesario entonces distinguir la existencia de fracciones que tienen un sentido concreto y otras que no lo tienen (Fandiño, 2015).

En este sentido, Fandiño (2015) apunta a que el docente en ocasiones da por hecho que el alumno ya comprende un concepto que apenas está en construcción y orienta su enseñanza bajo este supuesto. Por ejemplo, si se pide al alumno que halle los 6 8 ⁄ de los 12 bombillos, este posiblemente manifieste que no es posible dividir 12 bombillos. En ese caso, el docente podría decir que la fracción 6 8 ⁄ se puede simplificar y convertirla en 3 4 ⁄ , que es equivalente, lo cual posibilita hallar los 3 4 ⁄ de 12 bombillos “Pero esta transición da por hecho un argumento que está en proceso de construcción; con frecuencia las construcciones de los dos conocimientos (fracción propia de un conjunto discreto y fracciones llamadas equivalentes) se sobreponen” (Fandiño, 2015, p. 27).

De esta forma, la enseñanza se basa en la mecanización de reglas y algoritmos, lo que desemboca en un aprendizaje superficial donde los procedimientos utilizados en fracciones aritméticas parecen arbitrarios y resulta fácil confundirlos con otros (Fazio y Siegler, 2011; Obando, 2003).

Así mismo, es tradicional que el maestro se concentre en explicar fracciones desde figuras geométricas sin tener en cuenta las otras formas de entender el concepto. En

consecuencia, al preguntar al estudiante por cualquier fracción, por ejemplo, ¾, la imagen mental que surge inmediatamente es la de un círculo dividido en cuatro partes, de las cuales tres están sombreadas. Esto conlleva que pueda resultar difícil para él “ajustarse a una imagen alternativa de tres círculos y cuatro personas” (Kerslake, 1986).

Otra barrera para el aprendizaje de las fracciones es su símbolo 𝑎/𝑏, el cual está asociado a diversos significados (homonimia), ya que puede representar una razón, un número racional, un operador, entre otros. En el sentido inverso, el concepto de fracción puede darse en su representación decimal o como un cociente de enteros (sinonimia) (Mancera, 1992). Para el caso de estudiantes con DAM, Im y Jitendra (2020) proponen que se deben identificar prácticas educativas enfocadas en la intervención temprana que permitan prevenir conceptos erróneos en lugar de remediarlos, en la medida en que resultan ser más eficientes. Por lo tanto, identificar aquellas que construyan una comprensión sólida del conocimiento fundamental de las fracciones es crucial para la enseñanza.

5.2 Razón

Una razón es una comparación de dos cantidades cualquiera. Se suele usar para transmitir una idea que no se puede expresar como un solo número (Lamon, 2006). Por ejemplo: en un periódico se presenta el siguiente titular “Para lo corrido del año en Pereira tres de cada mil mujeres de 20 a 39 años son víctimas de violencia machista y en Dosquebradas siete de cada dos mil”, mientras que en otro se presenta como: “Para lo corrido del año hay 750 mujeres víctimas de violencia en Pereira y 420 mujeres en Dosquebradas” Ante la pregunta ¿en qué municipio se presenta mayor violencia contra las mujeres de 20 a 39 años?, una posible respuesta podría ser que Pereira, ya que se relacionan 750 casos en lo corrido del año. No obstante, la misma está un poco alejada de la realidad porque no está teniendo en cuenta la población de mujeres de ambos municipios. En cambio, el primer titular

reporta la razón de mujeres que sufren violencia con relación a la población de la ciudad, con lo cual da una idea del grado que sufren en cada uno de ellos, permitiendo concluir que es Dosquebradas.

Lo anterior permite referir ciertos aspectos que algunas veces no son abordados dentro de los procesos de enseñanza, en la medida en que el docente se concentra en aplicaciones matemáticas que conservan la razón y no verbaliza otras situaciones del contexto que pueden ser vistas, experimentadas o construidas como razón. Es más, en muchas situaciones la comparación es relativa a otra magnitud no dada de forma explícita (Freudenthal, 1985). Por ejemplo, en el problema: durante las Fiestas de la Cosecha, en los pueblos A y B arribaron visitantes de todas las áreas circundantes. El pueblo A reportó 4,000 autos y el B 3.000. ¿Qué pueblo estuvo más congestionado durante el festival? La respuesta a esta pregunta es relativa a otras magnitudes, entre las que se puede nombrar el área del casco urbano, la capacidad de parqueaderos, entre otras. Es decir, la razón con la cual se compara el grado de congestión es relativa a otra magnitud no dada en el problema.

Lo cierto es que diferentes autores (Freudenthal, 1985; Lamon, 2006; Puig, 1997) reconocen que las razones representan un desafío en el aula dado los muchos matices y contextos en los cuales se usan. Esto requiere que en la enseñanza se involucren problemas de este tipo, donde el docente no solo trabaje los algoritmos de solución, sino que discuta todos los por menores en detalle. Las razones tienen un amplio uso en contextos reales e implicaciones para temas como muestreo, estadística y probabilidad. Aún es más, con relación al propósito de este trabajo, Freudenthal (1985) reconoce que el criterio para una enseñanza adecuada sobre el uso de la regla de tres no es otro que el principio de conservación de la razón: “Dos parámetros que son extensivos bajo la misma operación de combinación están en una relación que conserva la razón” (p.203). Dicho todo lo anterior es claro que son muchos los matices que se deben

abordar en el aula, por lo que en este apartado se recogerán los conceptos y barreras para el aprendizaje relativos a la razón.

5.2.1 Noción de razón

Ward(1977) la define como:

La relación de tamaño entre una cantidad y otra. Es un número, y no intervienen unidades (por ejemplo, gramos o centímetros) (se simplifican), pero las cantidades involucradas deben ser del mismo tipo y expresarse en las mismas unidades. Si están expresados en unidades diferentes, deben convertirse a unidades similares antes de poder hacer una comparación (p.36).

Esto implica que las cantidades deben ser homogéneas, es decir, tener la misma magnitud, lo que es consistente con la tradición geométrica de la antigüedad griega en la que solo se permitían formulaciones de razones con estas características (Obando, 2003). Para Lesh et al. (1983) la razón como número racional es “una relación que transmite la noción de magnitud relativa; por lo tanto, es más correcto considerarlo como un índice comparativo que como un número” (p.94). Esta definición es acorde al pensamiento de Freudenthal (1985) quien concibe que su sentido lógico es pensarla como una función de un par ordenado de números o valores de magnitud. Aunque, también las operaciones aritméticas básicas son funciones de este tipo, en ellas se da una mecanización para obtener un par dado. Ciertamente, la razón también puede obtenerse transformándola en un cociente, pero deberá ser leída como 3 es a 4 en vez de 3 dividido por 4, ya que esto último es la violación de la razón, es más, si a esta se la hace corresponder el número o valor de magnitud que se obtiene al efectuar la división, desaparecerá. Por ejemplo, tomando dos situaciones distintas: tres alumnos de cada cuatro pasan la materia, frente a en la clase los alumnos y las alumnas están en razón 3 a 4, ambas pueden ser representadas mediante la misma fracción, 3 4 ⁄ , sin embargo, se trata de

situaciones totalmente distintas: la primera representa una relación parte-todo, mientras la segunda es parte–parte (Fernández y Puig, 2002).

Para Freudenthal (1985) el sentido de la razón no reside en asignarle un número o magnitud, sino en la posibilidad de comparar dos elementos de este tipo independientemente de su tamaño. De ahí que una representación de la forma a/b=c/d se lea a es a b como c es a d, (lo que implica que a/b podría reducirse a un valor de magnitud igual a c/d). Aquí es importante resaltar que para este caso los valores a/b se leen a es a b y el signo de igualdad (=) se lee como, por lo que las significaciones que se les dan usualmente no coinciden. El estatuto lógico de la razón desde el punto de vista fenomenológico ha de describirse entonces en términos de la relación tener la misma razón (Fernández y Puig, 2002), cuya representación formal es a:b=c:d. Para Fernández y Puig (2002) este punto de vista es acorde a la visión de Euclides, ya que en el libro V de “Los Elementos” lo que define no es razón, sino guardar la misma razón: se dice que unas magnitudes “están en la misma razón, esto es la primera á la segunda, y la tercera á la quarta, quando…” (Euclides, 1774, p. 111). A su vez, Freudenthal (1985) expresa que la proporcionalidad es una proposición sobre razones donde, de la misma forma que la razón depende en principio de dos datos, la proporcionalidad depende de cuatro. Concluyendo a su vez que el estatuto lógico de esta implica que razón y proporcionalidad están a un nivel más elevado que el de número, fracciones, longitudes y otros conceptos con los que los alumnos se han encontrado previamente y dentro de los cuales pueden haber desarrollado barreras para el aprendizaje, lo cual lleva a que, en muchas ocasiones, para reducirlas se recurra a cocientes y fracciones, sacrificando su intuición. Ahora bien, dentro de diversos libros de texto (Aguilar et al., 2009; Diaz, 2015; Instituto de Ciencias Matemáticas, 2006; MEN, 2010; 2017) la razón se entiende como una expresión numérica de comparación entre dos medidas de magnitud. De tal manera que la razón entre a y

b se escribe 𝑎 𝑏 o a:b, y se lee a es a b con 𝑏≠0. Por tanto, en una razón se identifican dos términos: el numerador a, que recibe el nombre de antecedente, y el denominador b, llamado consecuente.

Bajo esta perspectiva se tiene que dentro de este tipo de publicaciones se hace alusión a esta como una comparación entre dos medidas de magnitud, colocándose énfasis en su escritura como cociente 𝑎 𝑏 sobre la notación a:b. Esto se puede deber a que existe una tendencia en ellos a trabajarla con el cociente de las medidas, recuperando solo al final las magnitudes con las cuales se planteó la razón.

Ahora bien, aunque es cierto que en la aritmética de razones, a pesar de ser diferente a la de fracciones (Díaz, 2015), no se establece claramente un comparativo, si se da una tendencia a transformar la razón en un cociente y tratarla como si fuera una fracción (ya sea en su representación decimal o fraccionaria) resaltando el valor numérico sobre la comparación establecida, privando a la razón de todo lo que la hace valiosa (Freudenthal, 1985), además de posibilitar barreras incipientes para intuir situaciones de cambio. En este punto resulta importante establecer que con relación a este tema, dentro de este trabajo se adoptará la noción propuesta por Freudenthal (1985), considerando que, dados dos números o valores de magnitudes con los que se puede establecer una relación, y sobre los que se pretende realizar una comparación entre estos o generar un índice comparativo, se definirá la razón como: una función de par ordenado de estos números o valores de magnitud, que se representa como 𝑎: 𝑏 y se lee 𝑎 es a 𝑏, donde el primer componente del par (𝑎) se llama antecedente y el segundo (𝑏) consecuente. Muchas veces suele cambiarse de la representación 𝑎: 𝑏 a una como cociente 𝑎 𝑏 , lo que no implica necesariamente que la razón se pueda operar e interpretar como una fracción.

5.2.2 Diferencias entre fracciones y razones

Cuando se trabaja con razones se deben enfatizar las diferencias que existen con las fracciones. Por un lado, tal como se ha mencionado de manera previa, la fracción tiene diferentes denominaciones, dentro de las que se incluye la de razón (Mancera, 1992). No obstante, aunque toda fracción puede ser considerada como una razón, no toda razón es una fracción. Es importante recordar que la fracción se relaciona con una rotura o fractura (Freudenthal, 1985), por lo que se entiende como razón en un contexto de parte-todo. En fracciones la notación 𝑎 𝑏 significa 𝑎 partes de 𝑏 partes, lo cual se obtiene al segmentar en partes iguales una unidad (que puede ser simple o compuesta) o un todo. Así, el denominador siempre indica en cuántas partes se segmentó, lo que conduce a concluir que una fracción nunca puede ser una comparación parte-parte. Por otro lado, la razón se concibe como una comparación entre dos números o valores de magnitud y permite comparaciones parte-parte y parte-todo. De ahí que no se puedan tomar como operaciones semejantes. Para aclarar mejor este punto, en la Tabla 6 se explicitan varias de las características en las que difieren:

Tabla 6 Diferencias entre fracción y razón Diferencias entre fracción y razón

FRACCIÓN

RAZÓN

Cualquier par ordenado de números enteros, donde el primer componente es el numerador y el segundo el denominador, los cuales tienen que ser diferentes de cero. Las fracciones no se puede realizar la división por cero.

Un par ordenado de magnitudes donde el primer componente es el antecedente y el segundo el consecuente.

Las razones pueden tener un cero como su segundo componente.

Las fracciones parte-todo, operador, medida y cociente, son siempre números racionales.

Las razones no siempre son números racionales. Por ejemplo, la razón del lado de un cuadrado a su diagonal es 1 ∶√2 que es un número irracional.

Toda fracción puede ser considerada como una razón, pero no toda razón es una fracción.

Las fracciones se usan para comparar el mismo tipo de objeto, como tres de cinco partes:

3

5

Las razones comparan entre sí objetos heterogéneos, es decir, objetos con magnitudes diferentes. Por ejemplo: 4 niños es a 3 niñas:

4 niños

3 niñas

Una fracción es un par ordenado. Si se invierte el orden de a y b en la fracción a/b, se escribe una completamente diferente. Las razones son pares ordenados, es decir, al invertir el antecedente y consecuente, las razones son diferentes. Por ejemplo: 4 niños :

3 niñas no es lo mismo que 3 niñas : 4 niños.

Sin embargo, las razones 4 niños : 3 niñas y 3 niñas : 4 niños dan la misma información sobre una situación.

Las operaciones con fracciones. Una suma de fracciones no es la misma que una de razones.

3

5 + 2

6 ≠ 5

11

Las operaciones con razones Por ejemplo, al resolver el problema Ana María, ayer tuvo 3 aciertos en 5 turnos al arco. Hoy tuvo 2 aciertos en 6 turnos con el arco. ¿Cuántos aciertos tuvo en relación con los turnos al arco de los dos días? Esto se combina para producir 5 aciertos en un total de 11 turnos al arco. Con lo cual con estas razones se puede definir una suma de razones del siguiente modo

3 ∶5 + 2 ∶6 = 5 ∶11

Si se estuvieran adicionando fracciones, no se procedería de esta forma. Es decir, las operaciones con razones, en general, no se realizan de igual manera que las fracciones. Las razones se pueden designar mediante símbolos distintos de las fracciones. La razón

4 es a 7 se puede escribir como 4 ∶7, o 4 →

7.

Algunas razones no se representan con la notación fraccional. Por ejemplo, 10 litros por metro cuadrado.

Nota. Adaptada de Lamon (2006, p. 226)

5.2.3 Razones internas y externas

Las razones pueden ser usadas en gran número de situaciones técnicas y comunes de la vida, por ejemplo, en temas como muestreo, estadística y probabilidad. Así mismo, en la enseñanza del uso de la razón es preciso tomar en cuenta esta puede ser en o entre espacios de medida o en o entre sistemas (Lamon, 2006). Esto se debe considerar, ya que las razones en o entre espacios de medida se basan en el análisis fenomenológico de razón de Freudenthal (1985) que clasificó una razón como interna si sus elementos (antecedente y consecuente) comparten el mismo espacio de medida, es decir, provienen del mismo sistema. Sin embargo, surge cierta confusión debido a que en las investigaciones que tuvieron origen en la tradición científica (Karplus et al., 1983; Noelting, 1980a; 1980b) se usó una definición alterna de este, donde la razón interna corresponde a una comparación de elementos en (o dentro de) un estado científico o sistema (correspondiente a la razón externa de Freudenthal). 5.2.3.1 Razones en o entre espacios de medida.

Para ilustrar esta situación se tomará como ejemplo el movimiento rectilíneo uniforme, del cual en lenguaje cotidiano se habla con expresiones como en tiempos iguales se recorren espacios iguales, lo cual equivale a decir que los espacios son proporcionales al tiempo. Así mismo, se aprovechará esta coyuntura para usar las ideas de Vergnaud (1983) con relación a una proporción directa simple entre dos espacios de medida M1 (tiempo) y M2 (espacio) (ver Figura 13).

Figura 13 Representación de la proporción directa propuesta por Vergnaud Representación de la proporción directa propuesta por Vergnaud

Nota. Adaptada de “Multiplicative Structures” (Vergnaud, G., 1983, p.132) De esta manera, para dar solución a problemas de proporcionalidad existen dos caminos:

a) Proponer razones escalares (adimensional), es decir, razones internas, lo que

corresponde a las formadas en el mismo espacio de medida, por ejemplo, 𝑡1 𝑡2 y 𝑠1 𝑠2. Así, si se interpretan las razones como cocientes, se simplifican las unidades y, en consecuencia, se obtiene un número. Basándose en esto, la solución se da a través de la comparación de las razones 𝑡1 𝑡2 = 𝑠1 𝑠2, quedando la proporción como 𝑡1 𝑡2 = 𝑠1 𝑠2.

b) Tratando la razón como una función lineal. En ese caso, en la figura 13 se puede

identificar que están implicados dos espacios de medida -el tiempo y el espacio- y una función (f) del tiempo, que asigna un espacio a un tiempo. Para determinar esta función lineal 𝑠= 𝑓(𝑡) = 𝛼𝑡 de 𝑀1 a 𝑀2, Vergnaud (1983) explica que el coeficiente 𝛼 es igual a la razón que se establece entre los dos espacios de medida, lo que para el ejemplo se puede representar en 𝛼= 𝑠1

𝑡1 o 𝛼=

𝑠2 𝑡2, además, si se interpretan la razones como cocientes se obtiene una magnitud, esto es, en el caso actual del movimiento rectilíneo uniforme, el cociente de espacio y tiempo: rapidez (que es constante).

Para sintetizar, en situaciones de proporcionalidad, las razones que se forman en el mismo espacio de medida son internas, con lo cual equivalen a un número (razón adimensional

e invarianza), es decir, son invariantes. Las razones externas son las que se forman entre dos espacios de medida y, por consiguiente, se obtiene una magnitud (que es constante). Al considerar la razón como una función se satisface una serie de relaciones que se relacionan en la Tabla 7:

Tabla 7 Síntesis razón como función Síntesis razón como función Interpretación Razones internas Razones externas f es una función lineal Invarianza 𝑡∶𝑡0 ∷𝑓(𝑡) ∶ 𝑓(𝑡0)

Constancia 𝑓(𝑡1) ∶𝑡1 ∷ 𝑓(𝑡2) ∶𝑡2

Linealidad Implícita (postulatoriamente) 𝑓(𝑡+ 𝑡0) = 𝑓(𝑡) + 𝑓(𝑡0)

Explícita (algorítmicamente) 𝑓(𝑡) = 𝛼 𝑡 Cociente Número Cantidad intensiva Ej.: Escalar

Magnitud Cantidad intensiva Ej.: Rapidez, densidad.

Nota. Adaptada de Fernández y Puig (2002) y Freudenthal(1985)

5.2.3.2 Razones en o entre sistemas

Si se considera la definición científica de sistema como conjunto de elementos que interactúan (Karplus et al., 1983; Noelting, 1980a; 1980b), la razón interna se da entre estos elementos que están interactuando en (o dentro de) un sistema. Así mismo, la razón externa se define como aquella que implica elementos de dos sistemas diferentes. Es así que, dado que el sistema en la figura 13 se da por la relación que se establece entre el tiempo y el espacio,

entonces las razones internas quedan determinadas como 𝑓(𝑡1) ∶𝑡1 ∷ 𝑓(𝑡2) ∶𝑡2, lo que corresponde a las razones externas de Freudenthal (1985). Ahora bien, las razones externas se dan entre elementos de diferentes sistemas, entonces con ayuda de la figura 13 estas quedan en 𝑡∶𝑡0 ∷𝑓(𝑡) ∶ 𝑓(𝑡0), lo que corresponde a las razones internas de Freudenthal (1985). Según Lamon (2006) la confusión es fácilmente eliminada usando la terminología en o entre sistemas o en o entre espacios de medida. Lo cierto es que la misma se presenta porque lo que Freudenthal (1985) considera sistema difiere de la definición de la comunidad científica, ya que este lo concibe como los elementos que interactúan en el mismo espacio de medida. Sin embargo, la definición de razón interna y externa es la misma desde ambas posturas, pero su resultado varía debido a la concepción distinta de ambos con la idea de sistema. Es decir, la ambigüedad no se da en la definición de razón interna o externa, sino que se genera después de establecer lo que se considera como el sistema.

5.2.4 Las barreras aprendizaje vinculadas a la razón

Los procesos de enseñanza de la razón en muchas ocasiones están dirigidos directamente hacia los algoritmos o la automatización, por lo que el docente no busca crear modelos para que el alumno construya objetos mentales (Freudenthal, 1985) o explicado por Puig (1997) un campo semántico personal lo suficientemente rico como para permitirle interpretar de forma adecuada todas las situaciones (o al menos los que más se le presenten en su cotidianidad) en las que deba hacer uso de la razón.

Adicionalmente, como se ha explicado, la razón se suele escribir en forma de fracción o cociente, dejando de lado la notación de dos puntos. Al hacer esto, el alumno puede llegar a interpretar las razones como fracciones o cocientes, llegando incluso a ser posible que no sea consciente que la aritmética de las razones puede ser muy diferente de las fracciones (Guacaneme, 2002; Lamon, 2006).

Por otra parte, en su enseñanza se la presenta como un número desconectado de las magnitudes. Es decir, en la práctica docente existe una tendencia a ocuparse solamente de los aspectos numéricos, desatendiendo la naturaleza de las magnitudes implicadas y sus correspondientes unidades de medida, priorizando los cálculos en detrimento de los aspectos conceptuales (Gairín y Escolano, 2009). En consecuencia, el alumno puede no llegar a distinguir entre razones parte-parte o parte-todo.

De igual forma, mientras que se explicitan un gran número de aplicaciones que conservan la razón en situaciones de comparación, no se procura que el estudiante verbalice la interpretación de los resultados. De hecho, poco se diseñan o discuten situaciones que le permitan comprender que estas son comparaciones relativas. Por ejemplo, hablar de que el departamento de Risaralda tiene relativamente mayor población que el departamento de Caldas. Lo cierto es que la población de Caldas es mayor que la de Risaralda si se compara en términos absolutos (DANE, 2019). Pero si se establece la razón población: área del departamento, las cosas cambian. En este caso, la población de Risaralda es relativamente mayor en relación con la superficie del departamento de Caldas.

Al tratar las razones como cocientes, se tiene que las internas (según la definición de Freudenthal (1985)) son números adimensionales, mientras que con las externas surge el reconocimiento de un nuevo tipo de unidades (cociente de unidades) que implican otra forma de matematizar una magnitud (las magnitudes de este tipo se denominan intensivas). Esta diferencia conceptual puede llegar a ser un gran salto mental para el alumno (Freudenthal, 1985). Por este motivo se requiere un paso conceptual adicional desde el cual pueda comprender que las externas (o entre espacios de medida) constituyen una nueva magnitud obtenida por el cociente de dos unidades (por ejemplo, [𝑚𝑠 ⁄ ], [$ 𝑔 ⁄ ]), pudiendo incluso obtener algunas no consideradas ni definidas previamente por la ciencia (Im y Jitendra, 2020).

Para finalizar, en la enseñanza se suele presentar la razón como un número, no como una medida, un ente abstracto desconectado de las magnitudes. De esta manera, se ocupa solamente de los aspectos numéricos y desatiende la delimitación de la magnitud resultante y de sus unidades (Gairín y Escolano, 2009).

Esto se puede deber a varios factores. Uno de ellos estaría vinculado con que en la etapa de formación el docente no conceptualizó lo suficiente la razón, considerándola una relación imprecisa que no se ha hecho consciente, o un fenómeno completamente algoritmizado o automatizado — en el caso más favorable, expresado mediante matrices de proporción. Por lo cual al trabajarlo en el aula de clases expone su definición sin llevarla a situaciones de la vida real debido a las dificultades que posee para crear modelos adecuados. A este respecto, Fennema y Franke (1992) concluyen que los docentes deben poseer un conocimiento adecuado de los contenidos curriculares matemáticos, procedimientos, las representaciones y la relación entre estos elementos, es decir, un conocimiento interrelacionado. Puesto que, si los profesores no saben cómo trasladar dichas abstracciones a los alumnos de manera que estos sean capaces de relacionar las matemáticas con lo que ya saben, ellos no podrán entender los contenidos curriculares de las que se les enseñan.

5.3 Proporcionalidad

La proporcionalidad es un concepto ampliamente utilizado en las matemáticas, ciencias y en la vida cotidiana. Con su ayuda, los alumnos ponen en juego aprendizajes escolares (fracciones, medidas, razones, entre otros) para modelar diferentes situaciones de su contexto o de la vida adulta (porcentajes, cambio de moneda, mezclas o aleaciones, descuentos, etc.). Sin embargo, a pesar de su uso generalizado, puede convertirse en una barrera permanente para una educación inclusiva y de calidad, al constituirse en un concepto de mayor complejidad que otros que lo han antecedido (Freudenthal, 1985; Torres y Deulofeu, 2018).

De hecho, aunque en los currículos se da gran importancia a la proporción y aplicaciones relacionadas, existe un consenso general en la comunidad científica de que los estudiantes no están desarrollándolo en un nivel adecuado. Con respecto a esto, Noelting (1980a) sugirió que los problemas con razones enteras resultan más fáciles de tratar que aquellos cuyas razones no lo eran. Así mismo, Hart (1988) señaló que la capacidad de razonar sobre proporciones en un sentido cuantitativo no se manifiesta hasta después de los 11-13 años. De igual forma, Vergnaud (1983) manifestó que la mayoría de estudiantes logran un progreso, aunque el nivel de los problemas que dominan es muy básico, incluso en etapas finales de la educación secundaria (14-15 años).

Es más, aun a nivel universitario se presentan dificultades en este sentido. Gairín y Oller (2012) luego de proponer un problema a sus alumnos, describen la tendencia a elegir una técnica de resolución basada en la estructura del enunciado, independientemente de si esta se ajusta o no a las condiciones del mismo. De ahí que, en situaciones en las que se conocen dos magnitudes relacionadas y se desea determinar una cantidad desconocida asociada a un valor conocido de una de estas, se tienda a utilizar la regla de tres sin considerar previamente la existencia o no de proporcionalidad entre las magnitudes implicadas. Los autores creen que este fenómeno tiene sus orígenes en la práctica didáctica, más allá de la complejidad de los conceptos involucrados o la diversidad funcional cognitiva de los alumnos.

En general, la enseñanza de la proporcionalidad requiere de una práctica que permita la aprehensión de los aspectos conceptuales relacionados, de los cuales se pueden destacar: verificar la condición de regularidad (Gairín y Escolano, 2009; Gairín y Oller, 2012), reconocer la diferencia entre magnitudes proporcionales y no proporcionales (Torres y Deulofeu, 2018) y el razonamiento proporcional. Además, para que el mismo se dé en condiciones óptimas, es necesario haber desarrollado de manera adecuada habilidades vinculadas a las temáticas de fracciones y razones por parte de los alumnos de manera previa. Sin embargo, como ya se ha

dicho, los conceptos de proporcionalidad a menudo se malinterpretan y reemplazan por estrategias mecanizadas de técnicas algorítmicas de resolución de problemas, dentro de las que se incluye la regla de tres (Ramírez y Block, 2009), priorizando el hacer sobre el comprender. En síntesis, en el aprendizaje de solución de problemas de proporcionalidad se presentan barreras desde aspectos conceptuales, curriculares, práctica didáctica, etc., que se debe procurar eliminar o mitigar en el aula. Por ello, en este apartado se agruparán aquellas ligadas a la proporcionalidad, para lo cual es necesario realizar algunas conceptualizaciones previas sobre este tópico.

5.3.1 Razonamiento proporcional

El razonamiento proporcional abre la puerta a las matemáticas y a las ciencias, estableciendo los pilares para las carreras relacionadas con esta área. Por ello, no se debe favorecer el uso de reglas mecanicistas y algorítmicas que se imprimen de forma indeleble en la memoria del alumno (Lamon, 2006). De hecho, obtener la respuesta correcta a un problema de proporcionalidad es una condición necesaria, pero no suficiente para determinar si un alumno está utilizando el razonamiento proporcional, ya que muchos pueden generar respuestas puramente algorítmicas; incluso la estructura de estos puede llevar al alumno a recurrir a algoritmos plasmados en su memoria aún en contextos no proporcionales (Gairín y Oller, 2012; Lesh et al., 1988).

Lamon (2006) define el razonamiento proporcional como la capacidad de razonar hacia arriba y hacia abajo en situaciones apropiadas y proporcionar justificaciones para afirmaciones hechas sobre relaciones que involucran proporciones directas o inversas simples. Es decir, implica descubrir, expresar, analizar, interpretar y presentar evidencia para respaldar afirmaciones sobre relaciones proporcionales. El uso de la palabra razonamiento sugiere que se debe utilizar cuantos medios permita el bagaje cognitivo, sentido común, buen juicio y enfoque

reflexivo para la resolución, en lugar de identificar las cantidades en problemas verbales (o situaciones de la vida real) y aplicar ciegamente reglas y operaciones. Para Karplus et al. (1983) es un término que denota el razonamiento en un sistema de dos variables donde existe una relación funcional lineal, a partir de la cual se pueden realizar inferencias sobre situaciones o fenómenos caracterizados por una razón constante (pendiente de la recta), por ejemplo, la velocidad (en un movimiento rectilíneo uniforme), la forma u otra característica, cuya especificación lleve a una relación de razón constante llamada tasa o variable intensiva, para distinguirla de variables extensivas, como la duración, el tiempo, peso u otra descripción cuantitativa de la extensión de un objeto o evento.

Según Karplus et al. (1983) bajo esta condición se puede conceptualizar en los siguientes pasos: identificación de dos variables extensivas relacionadas que varíen linealmente, reconocimiento de la tasa (pendiente de la recta) de variable intensiva cuya constancia determina la función lineal y aplicación de los datos junto con las relaciones dadas para encontrar a) un valor adicional para uno variable extensiva (problemas de valores perdidos) o b) una comparación de la variable intensiva para dos valores calculados a partir de los datos (problema de comparación).

Volviendo al aporte fenomenológico de Freudenthal (1985) se debe recordar que la proporcionalidad es una proposición sobre razones que depende de cuatro datos. De esta manera se podría decir que un alumno tiene razonamiento proporcional cuando sabe detectar, expresar, analizar, explicar y demostrar relaciones proporcionales. Así, puede dar solución tanto a problemas de comparación, como a problemas de valor –incógnita (equivalencias). De hecho, cuando se le pide realizar problemas de comparaciones, se procura que a partir de 4 valores conocidos (a, b, c y d), encuentre la relación de orden entre las razones a:b y

c:d (esto es, explicar si a:b  c:d; o a:b = c:d; o a:b  c:d). Por ejemplo, cuando se plantea la

situación: Ana María hizo naranjada utilizando 2 vasos de zumo de naranja y 12 vasos de agua. Manuel David también, pero utilizando 5 y 20 vasos respectivamente. ¿Ambas tienen la misma concentración?, ¿cuál es más concentrada?

O cuando se presenta el problema: Ana María hace naranjada utilizando 3 vasos de zumo de naranja y 12 vasos de agua. ¿Cuántos vasos de agua necesitará añadir Manuel David a 5 vasos de zumo de naranja si quiere que cuando alguien pruebe la suya sepa exactamente igual que la de Ana María? Aquí se le pide dar solución a un problema de valor-incógnita, donde se conocen 3 de los 4 valores en la proporción a: b = c: d y el objetivo es encontrar la faltante (Torres,

2015).

Por otra parte, decir que el alumno razona proporcionalmente también implica que este tiene la capacidad de reconocer si dos cantidades están o no relacionadas, o si están relacionadas de forma inversa (al aumentar el número de personas disminuye el tiempo necesario para hacer un trabajo) o que el cambio en una es proporcional al que se da en la otra. Además, dada la complejidad conceptual, existe una tendencia a modelar muchas situaciones como proporcionales o lineales, cuando no lo son en absoluto, siendo importante que se aprenda a reconocer la diferencia. Lo cierto es que para el alumno la relación lineal parece apropiada en muchos casos, ya que una gran variedad de fenómenos sugieren que esta, la proporcionalidad y la conservación de la razón son modelos universales, lo que se refuerza con el uso frecuente de estos como una herramienta de descripción (Freudenthal, 1985). Lamon (2006) reconoce que una enseñanza adecuada de fracciones mejora y puede facilitar el desarrollo a largo plazo de la comprensión de los números racionales y el razonamiento proporcional, por lo que identifica algunas ideas que deben abordarse en su instrucción. Estos conceptos, contextos, representaciones y formas de pensar altamente interrelacionados se muestran en la Figura 14:

Figura 14 Diagrama sobre ideas que deben abordarse en la instrucción de fracciones según Lamon (2006) Diagrama sobre ideas que deben abordarse en la instrucción de fracciones según Lamon (2006)

Nota. Imagen tomada de “Teaching Fractions and Ratios for Understanding” (Lamon, S. J., 2006, p.10) A su vez, la autora reconoce la complejidad del proceso de construcción de conocimiento, señalando que estos comprenden un conjunto mínimo de conceptos iniciales, los cuales no necesariamente se abordan en un orden secuencial sino en red, por lo que su apropiación se da en un largo periodo de tiempo. No obstante, los denomina centrales, ya que constituyen parte de la columna vertebral de dominios matemáticos y científicos: ideas, procesos y representaciones que son recurrentes, recursivas y de complejidad creciente en estudios elementales y avanzados.

5.3.2 Barreras para el aprendizaje de razonamiento proporcional

Entre las barreras para el aprendizaje vinculadas al razonamiento proporcional se pueden encontrar las siguientes:

a) Una conceptualización insuficiente del razonamiento proporcional. Esto genera

dificultades en la comprensión de contextos y aplicaciones basadas en la proporcionalidad.

Lamon (2006) relaciona que muchas personas que no han desarrollado su capacidad de razonamiento proporcional han podido compensarlo usando reglas en cursos de álgebra, geometría y trigonometría, pero, al final, estas son un pobre sustituto de la construcción de sentido. Por tal motivo, no existe una preparación para aplicaciones reales en estadística, biología, geografía o física.

b) Una enseñanza deficiente del concepto de fracciones. Lo cual está sustentado en el

apartado dedicado a este tema.

c) Problemas mal estructurados. Donde las preguntas reafirman o conducen a un

pensamiento absoluto o aditivo.

Para Obando et al. (2014) la persistencia de las barreras de aprendizaje de razones, proporciones y proporcionalidad son una muestra de la complejidad propia de estos conceptos, las cuales, lejos de disminuir, se ven afectadas por falta de orientaciones claras a los docentes para su acción en el aula, además de la diversidad de marcos conceptuales desde donde se busca entender los conceptos, las situaciones y los procedimientos relacionados con los mismos. En términos coloquiales, razonar no se asocia con procedimientos guiados por reglas o mecanizados, sino más bien con procesos mentales que fluyen libremente y requieren un análisis consciente de las relaciones. Ciertamente, parte de comprender un concepto es saber qué no es y cuándo lo es.

5.4 Proporción

Es importante para este punto reiterar un aspecto que ya se ha señalado varias veces en este apartado: una razón depende de dos datos y una proposición sobre razones (equivalencia o desigualdad) de cuatro (Freudenthal,1985).

Dicho lo anterior, una proporción es una proposición de equivalencia de dos razones. Así, en: 𝑎∶𝑏∶∶𝑐∶𝑑, si se interpretan las razones como cociente, entonces se escribe 𝑎 𝑏= 𝑐 𝑑 y se lee

𝑎 es 𝑏 como 𝑐 es a 𝑑 (Fernandez y Puig, 2002; Freudenthal, 1985). De ahí que la razón entre dos cantidades de magnitudes distintas se interpreta como una cantidad de una nueva magnitud. A su vez, no se debe olvidar que una proporción con razones internas lleva a invariancia (cantidad adimensional) en ambos lados de la igualdad y una proporción con razones externas genera constancia (cantidad constante de una nueva magnitud, producto del cociente de las magnitudes del antecedente y consecuente que al simplificarse debe entenderse tanto por uno (Freudenthal, 1985). Es decir, una razón externa al efectuar el cociente mide la cantidad de la primera magnitud que le corresponde a una unidad de la segunda (Gairín y Oller, 2012). En resumen, se puede acudir al menos a dos modelos matemáticos para expresar una proporción: uno que se basa en la idea de la conservación de las razones internas y las propiedades de las proporciones, y otro donde a partir de una proporción con las razones externas es posible establecer una función lineal entre las dos magnitudes. De hecho, el concepto de razón (como toda la proporcionalidad aritmética) está asociado al concepto de función de proporcionalidad. Sin embargo, cuando se abordan en los primeros grados de secundaria, los alumnos apenas tienen nociones sobre funciones. Estos vacíos obligan a articular un recurso didáctico que Gairín y Oller (2012) denominaron condición de regularidad. Esta sería la condición indispensable que debe darse para que la razón pueda calcularse. Con relación a esto, los autores establecen que en la enseñanza de la proporcionalidad es necesario conceptualizarla claramente, explicar sus causas, indicar su porqué, así como las consecuencias que su consideración (o no) tienen en una situación concreta. Más aún procurar su comprensión previa, incluso, a la modelización de los problemas. Por su parte, Godino et al. (2017) reconocen que aunque parece razonable que los procesos de instrucción tiendan a lograr un enfoque funcional para el razonamiento proporcional, no parece idóneo, desde el punto de vista cognitivo y afectivo, prescindir de los niveles

precedentes. Además, la solución de problemas de proporción en la vida cotidiana y profesional suele darse mediante la aplicación de procedimientos propios de los cursos de aritmética recibidos en los primeros grados de secundaria.

5.4.1 Magnitudes directamente proporcionales

Existen múltiples definiciones acerca de lo que son las magnitudes directamente proporcionales desde la enseñanza de la razón y proporción (Godino et al., 2017; Guacaneme, 2002). Sin embargo, dentro de esta propuesta se asumirán desde la siguiente perspectiva: dadas dos magnitudes, P y Q, sobre las que se puede establecer una relación, se dirá que son directamente proporcionales, si al aumentar una magnitud, la otra también aumenta, o cuando una decrece, la otra también, mientras la razón entre medidas de magnitud correspondientes permanece constante. Es decir: dados 𝑎, 𝑐, medidas de la magnitud P, y 𝑏, 𝑑 , medidas de la magnitud Q, P y Q son directamente proporcionales si se cumple que las razones 𝑎: 𝑏= 𝑘 y 𝑐: 𝑑= 𝑘. Lo anterior implica que, en una proporcionalidad directa, las razones de las cantidades que se corresponden son equivalentes, 𝑎: 𝑏∷𝑐: 𝑑. .

Por medio del siguiente problema de valor faltante propuesto por Godino et al. (2017) se ilustra cómo abordar la solución con los conceptos de razón y proporción: Un paquete de 500 gramos de café se vende a 5 euros. ¿A qué precio se debe vender un paquete de 450 gramos? (p.5).

Para su solución el alumno

1.

Primero debe identificar la condición de regularidad, para este problema se podría decir que:

 El paquete de 450 gramos es de las mismas características del paquete de 500 gramos (calidad, marca, entre otras).

2.

Luego se procede a condicionar o verificar que:

 Más gramos deben costar más dinero, menos gramos deben costar menos dinero.

3.

Finalmente, se debe explicitar que la relación que se establece entre las cantidades compradas del producto y el precio pagado es de proporcionalidad directa. Lo que implica que las cantidades que se corresponden son equivalentes.

5 𝑒𝑢𝑟𝑜𝑠

500 𝑔𝑟𝑎𝑚𝑜𝑠=

𝑥

450 𝑔𝑟𝑎𝑚𝑜𝑠

5.4.2 Magnitudes inversamente proporcionales

Continuando con el ejemplo anterior, dos magnitudes se consideran inversamente proporcionales cuando: dadas dos magnitudes, P y Q, sobre las que se puede establecer una relación, si al aumentar una, la otra disminuye, y viceversa, su producto permanece constante.

Es decir: dados 𝑎, 𝑐, medidas de la magnitud P, y 𝑏, 𝑑, medidas de la magnitud Q, se cumple que

los productos 𝑎× 𝑏= 𝑘 y 𝑐× 𝑑= 𝑘, donde k recibe el nombre de constante de proporcionalidad.

Lo anterior implica que en una proporcionalidad inversa los productos de las cantidades que se corresponden son iguales 𝑎× 𝑏= 𝑐× 𝑑.

Por medio del siguiente problema de valor faltante propuesto por Gairín y Escolano (2009) se ilustra cómo abordar la solución con los conceptos de razón y proporción: Para llenar un depósito de agua 3 grifos tardan 17 horas. Si se abren 5 grifos, ¿cuánto tiempo tardarán en llenar ese depósito? (p.46) Para su solución el alumno

1.

Primero debe identificar la condición de regularidad, para este problema se podría decir que:

 Todos los grifos de agua vierten el mismo caudal; es decir, cada grifo vierte la misma cantidad de agua en cada hora. Además, el tamaño del depósito no varía.

2.

Luego se procede a analizar la variación entre las magnitudes:  Más grifos deben disminuir el tiempo de llenado del depósito, es decir, el número de grifos y el tiempo tienen variación inversa.

3.

Finalmente, se debe explicitar que la relación que se establece entre los grifos y el tiempo de llenado es de proporcionalidad inversa.

 Lo que implica que los productos de las cantidades que se corresponden son iguales 𝑎× 𝑏= 𝑐× 𝑑.

3 𝑔𝑟𝑖𝑓𝑜𝑠 ∙17 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠= 5 𝑔𝑟𝑖𝑓𝑜𝑠 ∙𝑥

5.4.3 Barreras aprendizaje de la proporcionalidad

Algunas de las barreras de aprendizaje asociadas al concepto de proporcionalidad que se presentan son:

a) Unidades didácticas de proporcionalidad con competencias no adecuados a la edad de

los alumnos. A este respecto, Torres (2015) recomienda que a la hora de introducir el tema de proporcionalidad se aproveche los conocimientos previos intuitivos que los alumnos poseen. Además, en esta introducción se debe procurar el uso de procedimientos con los cuales ellos estén habituados, ya que a la dificultad conceptual no se le debería añadir otra de procedimiento. Así mismo, el docente debe procurar evitar prácticas que refuercen los problemas que tienen los estudiantes con la proporcionalidad e incluso se debe propender potenciar la conexión de la proporcionalidad con otros temas.

b) El tratamiento del tema en los libros de texto. Al respecto, Gairín y Escolano

(2009) resaltan que, al tratar con magnitudes proporcionales, no existe una preocupación

explícita por situar la práctica docente en su fenomenología. Es decir, la enseñanza no se ocupa de precisar y delimitar las condiciones necesarias de dos cantidades de magnitud para poder establecer una relación de proporcionalidad entre ellas.

c) Un desarrollo inapropiado del concepto de magnitudes proporcionales. Por ejemplo,

dadas dos magnitudes, el tipo de proporcionalidad directa o inversa entre estas tiene un valor relativo, porque existe una dependencia del contexto en que se sitúen, de esta forma las mismas pueden ser directa o inversamente proporcionales. Esto en la enseñanza puede pasar muchas veces desapercibido debido a que se centra más en definir las magnitudes directas o inversamente proporcionales que en explicitar las auténticas dimensiones del concepto. Por ello, una conceptualización adecuada del tipo de proporcionalidad es esencial para evitar que los alumnos acepten como situaciones proporcionales aquellas que no lo son, tanto en el ámbito matemático, como en el de las magnitudes (Gairín y Escolano, 2009).

d) La enseñanza de la regla de tres como una técnica. Aunque es un algoritmo eficaz para

dar solución a problemas de valor perdido, Gairín y Escolano (2009) señalan que su enseñanza se limita a la descripción de las técnicas, sin justificar los aspectos conceptuales. En consecuencia, los alumnos no disponen del conocimiento suficiente para valorar la pertinencia y validez de las manipulaciones que realizan, lo que los lleva a aplicarla en contextos no proporcionales (Gairín y Oller, 2012; Lesh et al., 1988).

e) La enseñanza de solución de problemas de proporción mediante la aplicación de los

procedimientos propios de los cursos de aritmética (proporciones, regla de tres, entre otras). Dadas las pocas nociones sobre funciones con los que cuentan los alumnos en estos grados, obligan a articular el recurso didáctico que Gairín y Oller (2012) denominaron condición de regularidad, la cual debe darse para que la razón pueda calcularse, siendo necesario conceptualizarla claramente, explicando las causas y consecuencias que tienen en una situación concreta. Más aún procurar su comprensión previa, incluso, a la modelización de los problemas.

A este respecto, Im y Jitendra (2020) relacionan a partir de la revisión de la literatura lo siguiente:

1. El razonamiento proporcional requiere una comprensión de múltiples conceptos

matemáticos como operaciones de multiplicación y división, fracciones, razones, entre otros.

2. La solución adecuada de un problema se ve afectada por el número de pasos

involucrados.

3. La estructura de los problemas de proporciones es tal que dependiendo de esta el alumno

puede usar múltiples estrategias de solución e incluso las medidas de la magnitud involucradas influyen sobre la elección de estas (razones enteras y no enteras). Incluso identifican que los estudiantes con diversidad cognitiva presentan mayores barreras, puesto que pueden presentar dificultades conceptuales relacionadas con la estructura fundamental de la multiplicación y división de números enteros, o para entender fracciones, además, de la posible incapacidad de entender el significado de decimales y porcentajes (es decir, un tipo especial de proporción) y sus conexiones con las fracciones. Para Karplus et al., (1983) las estrategias utilizadas por los estudiantes y el tipo de comparación en las tareas de razonamiento proporcional se ven afectadas por el contexto y el contenido numérico del problema e incluso por la tarea inmediatamente anterior. Así mismo, concluyen que la aparición de dimensiones inhibe la estrategia aditiva, lo cual indica que muchos estudiantes son sensibles al significado de los datos y no solo a sus magnitudes numéricas En este sentido, Ramírez y Block (2009) reconocen que se tiene una carencia de un marco claro que sirva de referencia para los maestros y los diseñadores de materiales curriculares, se cuenta con una gran heterogeneidad en las prácticas concretas de la enseñanza. Para finalizar, el repertorio de estrategias para proporcionar apoyo a estudiantes con DAM en la solución de problemas de proporcionalidad debe ser limitado, en la medida en que la

premisa es que enseñar una variedad de métodos puede ser inapropiado para su limitada capacidad de memoria de trabajo (D. C. Geary, 2004).

5.5 Acerca de la sobre-generalización de la linealidad

La enseñanza de la linealidad y las razones directamente proporcionales reciben gran atención en el ciclo escolar debido a que las relaciones lineales son modelos adecuados para emular numerosas situaciones de problemas prácticos y teóricos en la ciencia (Bock De et al., 2007). A este respecto, Freudenthal (1985) advierte que el alumno desarrolla una “Fe, adquirida por una práctica prolongada, en la linealidad (o la regla de tres), cuando ¡nuevos principios estaban en juego!” (p. 205), que lo llevan a tratar cada relación entre dos magnitudes como si fuera lineal o proporcional, incluso en situaciones donde no son aplicables. Este fenómeno a veces se denomina la sobre-generalización de la linealidad, la ilusión de linealidad, la trampa de la linealidad, el obstáculo lineal, etc. Por ejemplo, en geometría se sabe que muchos alumnos creen que si los lados de una figura se duplican, el área también lo hace (Dooren Van et al.,

2003).

Sin embargo, esto no solo ocurre en la educación regular. Existen registros históricos que demuestran la tendencia a una sobre-generalización de la linealidad. Una muestra de esto es como Aristóteles (384-322 A.C.), el famoso filósofo griego, afirmaba que la velocidad a la que cae un objeto es proporcional a su peso. Entonces, si se tiene una pelota que pesa 100 g y otra de 1 kg, la más pesada caerá diez veces más rápido al soltarlas desde la misma altura. Esta idea se aceptó durante casi 2000 años hasta que Galileo (1564- 1642) a partir de un experimento que consistió en dejar caer objetos pesados y ligeros en la Torre Inclinada de Pisa, verificó que estos lo hacían con velocidades casi iguales, demostrando la falsedad de tal afirmación (Hewitt, 2007). Por ello, esta tendencia no debe pensarse como una dificultad, sino como un impulso que requiere de una mayor atención dentro del aula con el objetivo de eliminar o mitigar las barreras relacionadas con la misma.

Bock De et al. (2007) mencionan que, aunque existen numerosas prácticas, documentos e informes donde se alude a esta, solo hasta años cercanos al 2007 se reportan investigaciones sistemáticas de este fenómeno. En consecuencia, poco se sabe acerca de los factores matemáticos, psicológicos y didácticos que son responsables de la ocurrencia y persistencia de este fenómeno y de cómo puede contrarrestarse mediante una instrucción adecuada.

5.5.1 Barreras aprendizaje sobre-generalización de la linealidad

Entre las barreras para el aprendizaje que genera este fenómeno se encuentran las siguientes:

a) En los libros de texto no existe una preocupación explícita por situar al docente en una

enseñanza que permita al estudiante desarrollar la capacidad de discriminar entre situaciones proporcionales y no proporcionales. De hecho, estos enfatizan el desarrollo de habilidades procedimentales más que conceptuales, con lo cual se fomenta el aprendizaje de memoria y se inhibe el significado (Cramer et al., 1993). Por tanto, Cramer et al. (1993) proponen que en la enseñanza hay momentos en que se debe dejar de lado el libro de texto y desarrollar experiencias prácticas y/o problemas acordes al contexto del alumno con razones y situaciones proporcionales. De hecho, estos autores reconocen que las actividades iniciales deben centrarse en el desarrollo de significado, posponiendo los algoritmos de solución hasta que tales comprensiones sean internas.

b) El amplio uso y familiaridad con modelos lineales. Esto puede llevar a un serio

inconveniente, y es que el estudiante trate cada relación numérica entre dos magnitudes como si fuera lineal. Dado su amplio uso y aplicabilidad para modelar problemas en matemáticas, ciencias y en la vida cotidiana, estos modelos aparentemente tienen un carácter tan general y evidente, que aparecen inmediatamente en la mente de los estudiantes como válidos y universales, llegando al punto de desarrollarse una fe en ellos que se refuerza por una práctica

prolongada, en la cual no se cuestiona la existencia o no de la proporcionalidad (Freudenthal, 1985; Dooren Van et al., 2003).

c) La estructura misma de los problemas. La forma en que se plantean puede llevar al

alumno a dar soluciones no adecuadas, por ejemplo, existe la tendencia ante uno de valor faltante de considerar que es una proporción, con lo cual se recurre a algoritmos plasmados en la memoria aún en contextos no proporcionales (Gairín y Oller, 2012; Lesh et al., 1988; Dooren Van et al., 2005).

d) Un aprendizaje mecanizado, donde se priorizan los cálculos algorítmicos, despojando de

sentido el aula de matemáticas. De ahí que, cuando los alumnos se enfrentan a los llamados problemas de pseudo proporcionalidad, no logren comprenderlos. Por ejemplo, una camisa se tarda 45 minutos en secar afuera en un tendedero. ¿Cuánto tiempo llevará secar 3 camisas? En tal caso, muchos dan respuestas basadas en la proporcionalidad directa (es decir, triplicando el tiempo de secado porque el número de camisetas se triplica). Incluso no reconocen que la aplicación de esta ofrece solo una aproximación a la respuesta real, como se puede observar en este otro ejemplo: el mejor tiempo de John para correr 100 metros es de 17 segundos. ¿Cuánto tardará en correr 1 kilómetro? Muy pocos reconocen que no es lo mismo correr 100 metros que un kilómetro, por lo cual la proporcionalidad directa dará solo una aproximación. En consecuencia, los problemas se deben formular para que sean acordes al contexto de los estudiantes, a su realidad científica y social (De Bock et al., 2002).

e) Las formas tradicionales de evaluación. Cramer et al. (1993) identifican que la manera

tradicional de evaluar los resultados, centrada en una puntuación numérica con la cual se refleja la cantidad de elementos correctos proporcionados por los alumnos, no les permite desarrollar una comprensión alrededor de sus resultados que facilite un verdadero aprendizaje centrado en el desarrollo de un razonamiento vinculado a la proporcionalidad. Por ello, en oposición,

proponen evaluar lo que los estudiantes están pensando y cómo resuelven los problemas, con lo cual se puede mitigar la tendencia de estos a hacer uso de modelos lineales.

5.6 Conclusiones

La comprensión de las fracciones representa un desafío para la mayoría de los estudiantes (Fazio y Siegler, 2011), incluso para aquellos con buen conocimiento en matemáticas. Autores como Siegler et al. (2012) resaltan que una baja comprensión de esta temática genera dificultades en el desarrollo de la competencia matemática, lo cual tiene implicaciones significativas en las oportunidades económicas y sociales que se darán en la edad adulta, entre los que se incluyen menores ingresos y egresos universitarios. Con todo esto, resulta fundamental reconocer que la competencia matemática es un factor determinante en la construcción de una sociedad inclusiva.

La falta de comprensión de fracciones tiene un impacto significativo en las actitudes de los estudiantes hacia las matemáticas, el disfrute y la motivación en el aprendizaje, así como el rendimiento académico y la capacidad de apreciar fenómenos cotidianos. La comprensión conceptual sienta las bases del pensamiento proporcional, el álgebra, la geometría y otras áreas de las matemáticas, y del conocimiento, Una enseñanza inadecuada de fracciones puede generar barreras significativas para el aprendizaje, dificultando la comprensión de temas matemáticos posteriores y limitando el desarrollo de habilidades fundamentales. Por tanto, es crucial que los profesores adquieran una comprensión sólida de los conceptos de fracciones y desarrollen estrategias efectivas para enseñar este tema a lo largo del ciclo escolar. Todo esto resalta la importancia de establecer un diálogo entre los docentes del área para construir una trazabilidad con relación a lo que el estudiante pudo aprender y de qué forma a largo de su vida escolar y así facilitar su proceso de aprendizaje. Minimizando las barreras para el aprendizaje relacionadas con el tema.

El concepto de fracción engloba múltiples interpretaciones y significados asociados, revelando su complejidad y la posibilidad de generar confusión tanto en el uso coloquial como en la enseñanza de las matemáticas. Estas diversas acepciones representan potenciales barreras para el aprendizaje de los estudiantes. Por lo tanto, resulta crucial que los educadores a lo largo del ciclo escolar reconozcan y aborden estas diferentes interpretaciones al enseñar las fracciones, con el fin de fomentar una comprensión sólida y facilitar el dominio de este concepto por parte de los estudiantes. Al hacerlo, se promoverá un mejor aprendizaje de las matemáticas y se mitigarán las dificultades asociadas con la comprensión de las fracciones. Las barreras para el aprendizaje de las fracciones incluyen el enfoque en el pensamiento aditivo en lugar del pensamiento relativo, la falta de comprensión de la relación cuantitativa de las partes y el todo, la dificultad para comprender fracciones impropias y la falta de claridad en la conceptualización de las fracciones como parte-todo. Además, un enfoque de la enseñanza de las fracciones, basado en la partición y el conteo, puede limitar la comprensión conceptual y la capacidad de trabajar con fracciones de manera significativa.

La comprensión de las fracciones y el pensamiento proporcional están estrechamente relacionados. Las fracciones son herramientas fundamentales para representar y manipular relaciones proporcionales entre las partes y el todo. El dominio de las fracciones proporciona una base sólida para el desarrollo del pensamiento proporcional en matemáticas, lo que a su vez facilita la comprensión de conceptos matemáticos más avanzados. Al reconocer esta relación y promover la enseñanza efectiva de las fracciones, los educadores pueden fomentar el desarrollo del pensamiento proporcional en los estudiantes, fortaleciendo así su comprensión matemática y su capacidad para resolver problemas de manera significativa.

La razón se presenta como una herramienta matemática esencial para la comparación de magnitudes y la transmisión de ideas complejas. Sin embargo, es crucial considerar el contexto y la población involucrada al analizar las razones. Basar las comparaciones únicamente

en cantidades absolutas, sin tener en cuenta otros factores relevantes, puede conducir a errores, toma de malas decisiones o interpretaciones de la información proporcionada. En el ámbito educativo, al reconocer la importancia del contexto y adoptar un enfoque integral en el uso de las razones, se fomenta un análisis más preciso y significativo de las relaciones matemáticas. Este enfoque podría permitir comprender de manera más efectiva los fenómenos y tomar decisiones informadas en diversos contextos. Es decir, comprender y aplicar correctamente las razones es fundamental para desarrollar habilidades matemáticas sólidas y aplicarlas en situaciones del mundo real, evitando así posibles malentendidos y errores en la interpretación de los datos. Existe una diferencia entre fracciones y razones. Aunque todas las fracciones pueden considerarse como razones, no todas las razones son fracciones. La razón es una comparación entre dos números o valores de magnitud, mientras que la fracción representa una relación partetodo.

La comprensión y el razonamiento sobre proporciones son habilidades fundamentales en matemáticas, ciencias y la vida cotidiana. Sin embargo, los estudiantes enfrentan dificultades para comprender y razonar de manera cuantitativa acerca de las proporciones. La enseñanza de la proporcionalidad requiere enfoques que promuevan la comprensión conceptual y el razonamiento proporcional. Es necesario superar las barreras asociadas con la mecanización de técnicas algorítmicas y priorizar la comprensión de los conceptos involucrados. Al hacerlo, se facilitará el desarrollo de habilidades proporcionales sólidas y se promoverá una aplicación efectiva de las proporciones en diversos contextos.

El razonamiento proporcional requiere el uso de recursos cognitivos, el sentido común y una reflexión activa, en lugar de depender exclusivamente de reglas y operaciones mecánicas. La enseñanza del razonamiento proporcional debe evitar priorizar reglas y algoritmos, ya que esto puede dar como resultado respuestas automáticas y carecer de un verdadero razonamiento proporcional.

Para desarrollar el razonamiento proporcional, es fundamental identificar y analizar relaciones proporcionales, así como resolver problemas de comparación y valor-incógnita. Además, se deben abordar las barreras de aprendizaje relacionadas con el razonamiento proporcional, como la falta de conceptualización, la enseñanza inadecuada de las fracciones y la resolución inapropiada de problemas de proporción.

La tendencia a sobre generalizar la linealidad y considerar todas las relaciones numéricas como lineales o proporcionales, incluso cuando no lo son, representa una barrera significativa para el aprendizaje del razonamiento proporcional. Es fundamental prestar una atención especial en el aula a esta problemática para fomentar un entendimiento preciso y adecuado de las diferentes relaciones numéricas.

La falta de comprensión del razonamiento proporcional puede llevar a que los estudiantes planteen incorrectamente una situación de valor faltante como una proporción y apliquen algoritmos memorizados incluso en contextos no proporcionales. Por lo tanto, es fundamental en la enseñanza de la proporción aritmética verificar condiciones mínimas, como la existencia de una relación entre las magnitudes que permita establecer una razón, y aplicar el principio de regularidad, entre otros aspectos. Estos criterios son indispensables para promover un razonamiento proporcional adecuado y garantizar una comprensión sólida de este concepto por parte de los estudiantes.

En síntesis, la proporcionalidad es un concepto ampliamente utilizado en matemáticas, ciencias y en la vida cotidiana. Sin embargo, su enseñanza presenta barreras que dificultan el logro de una educación inclusiva y de calidad. Para promover una educación inclusiva, se requiere el desarrollo de estrategias didácticas que permitan a todos los estudiantes comprender y aplicar el concepto de proporcionalidad de manera efectiva.

El aprendizaje de la proporcionalidad presenta diversas barreras, como una conceptualización insuficiente del razonamiento proporcional, una enseñanza deficiente del concepto de fracciones, problemas mal estructurados y la enseñanza de la regla de tres como una técnica mecanizada. Estas barreras dificultan la comprensión y aplicación de la proporcionalidad, afectando la calidad de la educación inclusiva. La enseñanza de la proporcionalidad requiere estrategias que permitan a los estudiantes comprender y aplicar conceptos relacionados, como la condición de regularidad, el reconocimiento de diferencias entre magnitudes proporcionales y no proporcionales, y el razonamiento proporcional. Es necesario abordar el tema de manera clara y contextualizada, fomentando la comprensión previa y evitando prácticas que refuercen los problemas que los estudiantes tienen con la proporcionalidad.

Para avanzar hacia una educación más inclusiva, es crucial desarrollar propuestas didácticas que mejoren la comprensión y aplicación de la proporcionalidad. Estas propuestas deberían tomar en cuenta los conocimientos previos de los estudiantes y buscar conectar la proporcionalidad con otros temas relevantes. Asimismo, es importante que la enseñanza trascienda las técnicas mecánicas para fomentar el razonamiento proporcional y la construcción de sentido. Este enfoque no solo contribuye a mejorar la comprensión matemática, sino que también apoya los principios de una educación inclusiva al proporcionar herramientas que permiten a todos los estudiantes participar más plenamente en el aprendizaje matemático.

6. Propuesta para la enseñanza de la regla de tres

En este capítulo se presenta una propuesta para la enseñanza de la regla de tres, partiendo de los análisis desarrollados de forma previa con el objetivo de permitir que todo el estudiantado adquiera las competencias necesarias en la resolución de problemas de proporcionalidad, independientemente de sus circunstancias o habilidades. Para ello, se procurará establecer un enfoque de educación inclusiva en una búsqueda por generar una conciencia colectiva con la cual aportar en la construcción de una sociedad donde se elimine cualquier tipo de exclusión.

En este sentido, uno de sus elementos centrales será el plantear mecanismos para lograr un abordaje efectivo de las barreras de aprendizaje y la participación que se han relacionado a lo largo del documento, así como aquellas que puedan surgir durante el desarrollo de la investigación. Por tal motivo, dentro de este trabajo, se planteará de manera permanente la necesidad de llevar a cabo un proceso de autoevaluación y análisis profundo, tanto desde el rol docente como del investigador, a partir del cual se establecerá un proceso de retroalimentación que incluirá ambos escenarios.

Así, en lo que se refiere a la perspectiva docente es crucial internalizar el principio fundamental de la educación inclusiva, el cual busca que todo el estudiantado pueda participar y aprender de manera significativa en la escuela y en su comunidad educativa. Esta premisa sostiene su valor incluso en contextos desafiantes, como lo son salones numerosos con situaciones de extra edad, entornos familiares complejos, etc., que convierten la enseñanza en un reto con alto nivel intelectual.

Las aulas caracterizadas por diversidad académica, lingüística, étnica, social, funcional y/o incluso cognitiva, demandan diferentes estrategias para mejorar el aprendizaje y reducir los

obstáculos que se presentan, atendiendo la diversidad de necesidades que posee cada miembro del estudiantado.

Es a partir de todo lo anterior que el investigador propone dentro del presente texto un método alternativo de enseñanza de la regla de tres, tanto en su versión simple como compuesta, el cual se fundamenta en el análisis detallado de los diversos procesos observados en el aula, lo cual proporciona una base sólida para su implementación en la resolución de problemas relacionados con proporcionalidad directa e inversa (Rios Rojas y Ruiz Botero, 2021). Con su adopción se busca una enseñanza que se adapte y ajuste al alumnado, permitiendo la comprensión y éxito en el aprendizaje de esta área crucial.

Por tal motivo, se expondrán distintos métodos desde los cuales se sugiere desarrollar los procesos de enseñanza encaminados a la consecución de este objetivo y que se podrían llevar a cabo antes de implementar la propuesta.

6.1 Recoger la voz del estudiantado

Un primer paso para la consecución de esa meta consiste en la necesidad de realizar modificaciones en la práctica educativa, de forma tal que se pueda gestionar y dar respuesta a la diversidad rompiendo con el esquema tradicional que todo el grupo de aprendices hace lo mismo, con los mismos materiales, al mismo tiempo. Esto implica llevar a cabo acciones que procuren la flexibilización en la forma en que la información es presentada, en los modos de evaluación y en las maneras en que se motiva y compromete al estudiando en su propio aprendizaje.

Es así como se considera un aspecto relevante en esta reconfiguración de las prácticas el hecho de involucrar al alumnado a través de un ejercicio inicial que permita reconocer desde su propia voz los puntos de vista y experiencias alrededor de las clases de matemáticas, con el

objetivo de identificar y mitigar y/o eliminar las barreras para el aprendizaje y la participación (Unión Europea, 2014).

En una investigación patrocinada y financiada por la Unión Europea denominada “Respondiendo a la diversidad contando con las voces de los estudiantes, una estrategia para el desarrollo docente” (2014) se recopilan algunas actividades que pueden ser utilizadas con este propósito. Aunque de ninguna manera esta lista es exhaustiva, si constituye un aporte efectivo para que los docentes comprendan los problemas de la enseñanza y el aprendizaje. Es conveniente resaltar que de acuerdo con la Unión Europea (2014) estas deben ir orientadas a responder la pregunta: “¿Cómo podemos hacer que la enseñanza y el aprendizaje sean más efectivos para todos?” (p. 12), en la medida en que reflejar las inquietudes y perspectivas del estudiantado resulta ser el factor que marca la diferencia en lo concerniente a responder a la diversidad presente en el aula.

De igual forma, este tipo de ejercicios permite “interrupciones en el pensamiento” (Ainscow, 2005, p. 121) desde las cuales el docente explora aspectos pasados por alto con el objetivo de desarrollar prácticas inclusivas.

Para ejemplificar de una forma más detallada y concreta lo expuesto se pasará a explicar una de ellas.

6.1.1 Notas post-it

En esta actividad, se proporciona a cada estudiante notas post-it o en papel adhesivo, con el objetivo que consignen comentarios vinculados con preguntas de interés, las cuales pueden ser:

 ¿Qué actividades le ayudan a aprender?

 ¿En qué actividades no se siente incluido en el aprendizaje?

 ¿Qué temas se le dificultan en matemáticas?

 ¿Qué haría de forma diferente si fuera el profesor?

 ¿Qué se puede cambiar en clase de matemáticas?

 Durante su vida escolar, ¿cuál es el mejor recuerdo que tiene de las clases de matemáticas?

 Cuándo se queda atascado en un problema de matemáticas, ¿qué hace el maestro que le ayuda a resolverla?

 Durante su vida escolar, ¿cuál es el episodio de las clases de matemáticas que desearía no haber vivido o presenciado?

 Se siente excluido en (el colegio, la clase) cuando…  Los profesores le hacen sentir excluido cuando…  Siente acoso escolar en clase cuando…  Se siente intimidado en clase cuando… Una vez se entrega a cada miembro del grupo las notas se procede a explicarles el fin de la actividad y la dinámica a seguir. Para permitir que exista claridad en el tipo de comentarios que se esperan, se realizan ejemplos de respuestas a algunas de las preguntas. Luego se procede a darles tiempo para que escriban sus comentarios, incentivándolos a ser concretos y claros.

Terminada la sección de preguntas se les solicitará que peguen sus notas en una cartelera previamente ubicada en un área estratégica que garantice la confidencialidad de las respuestas (detrás de una cortina o por fuera del aula), asegurando un ambiente seguro donde puedan expresarse libremente. Cada respuesta debe ser colocada junto a la pregunta correspondiente.

Posterior a esto, se abre un espacio para dialogar en torno a las mismas y verificar cuáles concuerdan con las de otros compañeros. Finalmente, se fomentará que la conversación se

encauce de manera abierta sobre los elementos que les gustaría aprender y las actividades o situaciones que consideran les ayudan en dicho proceso, así como las que se lo dificultan. En el caso de estudiantes que presenten dificultad para hablar en público, se propone que puedan escribir sus respuestas adicionales o compartirlas en pequeños grupos. Esto permite que todos participen, respetando sus necesidades y brindando las adaptaciones necesarias para que su voz sea escuchada, de acuerdo con los principios del Diseño Universal para el Aprendizaje

(DUA).

Este enfoque asegura que todos los estudiantes, sin importar sus capacidades cognitivas, puedan participar y expresar sus opiniones de manera segura y efectiva, fomentando un entorno inclusivo en el que sus experiencias sean valoradas.

6.2 Construcción de los conceptos previos

En el ámbito educativo, la enseñanza y aprendizaje de proporciones sigue a la de fracciones. No obstante, como se ha señalado, un desarrollo adecuado del pensamiento proporcional requiere una comprensión sólida de los conceptos relacionados con las fracciones (Lamon, 2006). Por lo tanto, antes de introducir la estrategia didáctica, es indispensable que el docente evalúe si el estudiantado se ha apropiado lo suficiente de los conceptos de fracciones. De esta manera, se contará con las bases necesarias para abordar de forma adecuada las nociones de proporciones y la solución de problemas de proporcionalidad. Además de lo anterior, y en línea con una educación inclusiva, es vital considerar las diversas necesidades y capacidades del estudiantado, para que todos tengan la oportunidad de tener una educación matemática de calidad, mitigando las barreras que se pueden generar en este proceso.

Por tal motivo, en el siguiente apartado se desarrollarán las nociones previas que se consideran necesarias para lograr una conceptualización adecuada en el estudio de

proporciones aritméticas junto con algunos ejemplos de cómo se pueden abordar en el aula de manera más efectiva y acorde con una perspectiva de educación inclusiva.

6.2.1 Relación

Es probable que, al analizar el contenido currícular, el docente observe que en cursos anteriores se le ha enseñado el concepto de relación a cada estudiante. Sin embargo, no se puede garantizar que todo el alumnado lo hayan comprendido o si estos podrían expresarlo con sus palabras, ya sea en matemáticas o en su contexto personal. La realidad es que, si esto no a ocurrido, es factible que se esté generando una barrera para el aprendizaje. Por lo tanto, se proponen cuatro momentos para el abordaje del mismo.

6.2.1.1 Primer momento: acercamiento al concepto de relación.

En este primer momento se busca un acercamiento al concepto de relación de forma que se pueda comprender la definición matemática cuando sea requerida más adelante. Para lograr esto se realizará una activación de los saberes previos a través de las siguientes preguntas: ¿qué es una relación?, ¿cuándo se considera que existe una? Para estudiantes que tienen dificultades para expresarse verbalmente, se sugiere el uso de representaciones visuales (dibujos, diagramas) o manipulativas que permitan visualizar las relaciones de manera concreta. Esto facilitará la comprensión y permitirá que todo el estudiantado pueda participar activamente en la actividad. Con esto se estimula la reflexión y se permite expresar los conocimientos y perspectivas sobre el tema.

6.2.1.2 Segundo momento: acercamiento contextual al concepto de relación. Aquí se pretende un acercamiento desde lo contextual. De ahí que sea importante compartir algunas acepciones del mismo, tomando como referente las ofrecidas por el Diccionario de la lengua española (DLE) de la Real Academia Española (s.f.): “2. f.

Conexión, correspondencia de algo con otra cosa. 3. f. Conexión, correspondencia, trato, comunicación de alguien con otra persona” (párr. 2).

Una vez hecho esto, el docente aprovecha la oportunidad y resalta dos peculiaridades acerca de estas: 1) una relación siempre se da entre dos o más elementos, ya sea algo con algo, algo con alguien, es decir, se puede dar entre objetos, objetos y personas, personas, etc. Además, 2) está supeditada a condiciones, normas, reglas, intereses y otras variables, en resumen, se establece cuando se formula una expresión que vincula dos o más elementos entre sí, lo cual necesariamente no se tiene que dar en un contexto matemático. Para explicar mejor estas ideas se sugiere acudir a ejemplos concretos, y en la medida de lo posible ofrecer representaciones visuales o cercanas al contexto de los estudiantes, tales como relaciones que vean en su vida cotidiana:

a) Al decir que Jairo es padre de Ana María y Manuel David se está construyendo una

relación entre ambos, que es la de padre e hijos.

b) En la cafetería del colegio cada artículo está relacionado con su precio. Es decir, a cada

uno le corresponde un precio específico.

c) En los contactos del teléfono celular cada nombre está relacionado con un número (en

algunos casos más de uno). Es decir, a cada nombre le corresponde al menos una cifra de este tipo.

De esta manera, se hace énfasis en las dos condiciones de la definición: el reconocimiento de los dos elementos y la expresión o regla que las une. 6.2.1.3 Tercer momento: actividad de trabajo cooperativo.

Una vez abordados los ejemplos se recomienda desarrollar una actividad de trabajo cooperativo en la cual se determine si existe o no una relación, verificando las dos condiciones previamente explicadas. Para facilitar la participación de estudiantes con diferentes niveles de

comprensión, se pueden formar grupos heterogéneos donde unos estudiantes ayuden a otros, y ofrecer apoyo adicional a quienes lo necesiten, ya sea mediante recursos visuales o el uso de manipulativos. Además, el docente puede ir supervisando el progreso y aclarando dudas según las necesidades específicas del grupo. Es importante que el docente utilice un lenguaje claro y accesible para que todo el estudiantado comprenda las instrucciones y los objetivos de la actividad.

A continuación, se presentan una serie de enunciados que pueden ser utilizados al interior de la misma:

a) Una manzana cuesta 1.200 pesos. ¿Qué tipo de relación o correspondencia existe?

b) Juan es amigo de Esteban. Pedro también lo es. ¿Considera que existe una relación entre

Esteban y Juan?

c) Pablo es el padre de Camila y Juan. ¿Qué relación existe entre Camila y Juan?

d) En la cafetería del colegio una empanada cuesta 1.000 pesos. ¿Cuál es la relación que

se establece? Utilizando esta información, ¿sería posible determinar cuánto costaría una empanada en la tienda de la esquina? Justifique su respuesta.

Esto brindará la oportunidad al estudiantado de aplicar los conceptos previamente aprendidos. Así mismo, se dará un espacio para la comprensión y el análisis de las relaciones desde una perspectiva práctica y contextual. Adicional a esto, al hacerlo de forma cooperativa se podrán identificar los elementos, objetos, personas, etc., así como la expresión o regla que los une a través de un ejercicio de diálogo y discusión, abriendo escenarios para el intercambio de ideas y la participación activa.

Ahora, avanzaremos al siguiente nivel de comprensión. Para facilitar la asimilación de la definición matemática de relación, proponemos la representación visual a través de un diagrama de flujo. Este diagrama puede ser útil para estudiantes que tienen dificultades para comprender

conceptos abstractos, ya que organiza la información de manera accesible. Los diagramas de flujo permiten visualizar las relaciones entre diferentes elementos y procesar la información de manera más estructurada (ver Figura 15).

Figura 15 Proceso de evaluación y representación gráfica de una relación Proceso de evaluación y representación gráfica de una relación

Nota. La figura ilustra el proceso de identificación de magnitudes en una expresión y la posterior toma de decisiones para determinar si existe una relación. En caso afirmativo, se procede a la Identificar Magnitudes en una Expresión Representación Gráfica de la Relación Si No ¿Existe una Relación entre las Magnitudes?

Magnitud 1 Magnitud 2

Relación o correspondencia

representación gráfica de dicha relación. En el escenario en que no se cumple con la relación, el flujo dirige hacia final del proceso. Fuente: elaboración propia. 6.2.1.4 Cuarto momento: definición matemática del concepto de relación. A partir de este momento se sugiere introducir la definición matemática de relación de forma escrita u oral, dependiendo del nivel del grupo.

Así, es importante establecer que en matemáticas, al poner en correspondencia los elementos de un conjunto A con los de otro B se dice que se establece una relación. Usualmente, al A se lo denomina conjunto de partida y al B de llegada.

Partiendo de esto y tomando como referencia los ejercicios abordados en el tercer segmento, se plantea que una estrategia apropiada para que se logre una comprensión adecuada de esta definición es la de organizar la información de forma gráfica, puesto que constituye un medio ideal para facilitar la comprensión, especialmente para estudiantes con dificultades cognitivas o de aprendizaje, mitigando las barreras que podrían surgir de aquí en adelante. Las representaciones visuales permiten organizar las ideas de manera más accesible para todo el estudiantado y brindan múltiples vías de acceso al contenido, alineándose con los principios del Diseño Universal para el Aprendizaje (DUA). Por ejemplo, si se presenta la siguiente expresión: en un colegio hay 50 profesores y 1.000 estudiantes, lo primero que se debe hacer es reconocer las tres magnitudes que la componen, a saber, el colegio, la cantidad de profesores y la cantidad de estudiantes. Para estudiantes que tienen dificultades en el procesamiento abstracto, se recomienda utilizar materiales manipulativos o recursos visuales adicionales para ilustrar esta relación de manera más concreta. Posteriormente, es importante destacar el vínculo que las conecta (que en este caso se expresa en el fragmento del enunciado que dice en un colegio hay) y la forma cómo a través de esta formulación se establece una conexión entre esos elementos.

Ahora bien, este planteamiento en específico permite la elaboración de dos representaciones visuales . Así, cuando la relación se establece tomando a los profesores como punto de partida y a los estudiantes de llegada, se ilustra de la manera en que se presenta la Figura 16:

Figura 16 Relación profesores – estudiantes que hay en el colegio Relación profesores – estudiantes que hay en el colegio

Nota. La figura muestra una de las formas gráficas de representar la relación entre profesores – estudiantes establecida en el ejemplo. Fuente: elaboración propia. La segunda forma se da cuando los datos se vinculan de manera contraria, lo cual dará como resultado una representación como la de la Figura 17 : Figura 17 Relación estudiante – profesores que hay en el colegio Relación estudiante – profesores que hay en el colegio

Nota. La figura muestra una de las formas gráficas de representar la relación entre estudiantes profesores establecida en el ejemplo. Fuente: elaboración propia. Teniendo en cuenta esto, sería importante permitir al estudiantado analizar esta situación, al articular en un mismo gráfico ambas representaciones (ver Figura 18):

Figura 18 Representación relación profesores – estudiantes que hay en un colegio Representación relación profesores – estudiantes que hay en un colegio

Nota. La figura muestra una de las formas gráficas de representar la relación establecida en el ejemplo. Fuente: elaboración propia.

De igual manera, se deben realizar los ejemplos que se consideren necesarios para asegurar que el estudiantado esté en capacidad de:1) identificar las dos magnitudes involucradas en el problema, 2) establecer la relación entre estas (es decir, la expresión que las une) y 3) representar esta información gráficamente.

Finalmente, el docente debe proponer una actividad de trabajo cooperativo para reforzar los conocimientos adquiridos. Es importante que el docente supervise y ofrezca apoyo adicional a aquellos estudiantes que presenten dificultades para identificar y representar gráficamente las relaciones, ya sea mediante la repetición de los conceptos o el uso de recursos visuales adicionales. Con esto se logrará que se apliquen de forma práctica los conceptos, fortalezciendo la comprensión de las relaciones y de su representación gráfica.

6.2.2 Magnitud, verbo y sujeto

La regla de tres es ampliamente usada para la solución de problemas de proporcionalidad simple, directa e inversa, y compuesta. Al tratarse de situaciones de este tipo se cuenta con un escenario complejo porque cada uno puede plantear aspectos que exigen una pausa, reflexión

y comprensión de lo presentado, no solo desde el punto de vista matemático, sino también del textual. Con el fin de mitigar las barreras de aprendizaje debidas a los procesos de traducción, es decir, la conversión de las proposiciones del problema a una representación mental interna, se propone realizar actividades que permitan reconocer las magnitudes, verbos y sujetos en una proposición. Para ello es importante que se brinden algunas definiciones, como las que se presenten a continuación:

a) Magnitud: Es cualquier característica que puede ser medida y su valor expresado

mediante un número (Ballen & Salazar, 2011).

b) Verbo: Es la palabra que expresa una acción, movimiento, existencia, consecución,

condición o estado del sujeto (Pasek de Pinto & Briceño de Sánchez, 2015).

c) Sujeto: Puede ser una persona, animal, objeto o cualquier entidad que realice la acción

del verbo (Fleitas, 2020).

El objetivo de aprender a reconocer en una expresión o problema estos elementos es que el estudiantado entienda el enunciado y que ello le permita traducirlo de lenguaje natural a uno matemático (Romero y Lavigne, 2005). Para facilitar esta tarea, se sugiere proporcionar ejemplos visuales que representen cada uno de estos conceptos, o realizar actividades con manipulativos que permitan a los estudiantes relacionar palabras y acciones con objetos físicos, reforzando la comprensión del proceso. Esto es especialmente útil para aquellos estudiantes que tengan dificultades para procesar el lenguaje abstracto.

A continuación, se ilustrará una forma de hacerlo a través del siguiente ejemplo: un camión que carga 3 toneladas necesita 15 viajes para transportar 45 toneladas de arena. El paso inicial que se recomienda es el de identificar los verbos. Así, si estos son las palabras que expresan acciones, se puede determinar que al interior del problema los términos que corresponde con esto son carga, necesita, transportar.

Una vez llevada a cabo esta tarea es importante establecer las relaciones de jerarquía que se dan entre los mismos, para de esta forma poder ubicar cuál es el sujeto. En este caso, el verbo principal es transportar. Con base en esta información se pasa a descifrar cuál es el sujeto, lo que se hace teniendo presente que este es quien realiza la acción, es decir, el camión. Después de cumplir con este ejercicio es momento de identificar las magnitudes, entendidas como las características que pueden medirse y cuyo valor se expresa mediante un número. En la situación se pueden observar tres: 1) la capacidad de carga del camión, que corresponde a 3 toneladas, 2) la cantidad de viajes que realiza, donde se especifica que son 15, y, 3) la cantidad de arena, la cual consiste en 45 toneladas. Para apoyar a los estudiantes que tengan dificultades con la identificación de estos elementos, se recomienda realizar una actividad guiada en la que el docente proporcione problemas más sencillos, para que los estudiantes puedan practicar paso a paso la identificación de verbos, sujetos y magnitudes antes de enfrentarse a problemas más complejos.

Así se puede observar cómo el desarrollo de esta habilidad facilita al estudiantado el realizar una traducción más precisa de la expresión o problema del lenguaje natural a uno matemático. Este proceso no solo mejora la comprensión del problema, sino que también refuerza las bases necesarias para comprender el razonamiento proporcional, lo cual es esencial para la enseñanza de la regla de tres. Además, con el desarrollo de esta competencia se proporciona una base sólida para aprender a reconocer el tipo de relación entre las diferentes variables involucradas en un problema, permitiendo posteriormente resolverlo de forma efectiva. Nota sobre elementos inclusivos en la enseñanza: Para reforzar la enseñanza de la magnitud, verbo y sujeto, se propone resaltar estos elementos con diferentes colores durante las actividades en clase. Esta estrategia permite que tanto los compañeros como el docente realicen una retroalimentación más rápida y efectiva al identificar errores en el reconocimiento de estos elementos. Al resaltar las magnitudes, verbos y sujetos con los mismos colores, todos los

estudiantes pueden "hablar el mismo idioma" visualmente. Si existe un error en la identificación de alguno de estos elementos, este se puede detectar rápidamente mediante un cambio en la forma en que se han coloreado.

Para asegurar que esta estrategia sea inclusiva y efectiva para todos los estudiantes, incluidos aquellos con daltonismo, se recomienda el uso de combinaciones de colores que sean fácilmente distinguibles (Wakita & Shimamura, 2005). Una combinación efectiva podría ser: Verbo: Azul, ya que no se confunde fácilmente con otros colores en ninguna forma de daltonismo.

Magnitud: Naranja, que ofrece un buen contraste con el azul y generalmente no se confunde con otros colores.

Sujeto: Gris oscuro, un color neutro que ofrece buen contraste y no se confunde con otros colores en ninguna forma de daltonismo.

Estas combinaciones no solo permiten una retroalimentación rápida, sino que también garantizan que todos los estudiantes puedan participar plenamente en las actividades. Además, para reforzar esta estrategia, se puede acompañar el uso de colores con símbolos o subrayados diferentes para cada elemento. Por ejemplo, los verbos podrían subrayarse con líneas onduladas, las magnitudes con líneas dobles, y los sujetos con líneas punteadas. Esta estrategia visual no solo permite identificar errores de forma más rápida, sino que también facilita la comunicación y la retroalimentación entre compañeros durante las etapas de aprendizaje cooperativo, así como la intervención del docente, favoreciendo una corrección inmediata y precisa.

6.2.2.1 Magnitudes correlacionadas.

Cuando se estudia la relación entre dos magnitudes, es posible que los valores de una dependan de la otra. Para determinar esto con mayor precisión, es fundamental realizar primero un ejercicio de identificación, en el cual se reconozcan los elementos clave que forman parte de la proposición.

Por ejemplo, si se plantea el problema 12 vacas se comen un granero lleno de paja en 80 días, tal como se ha explicado, el primer paso consistiría en identificar los verbos, el sujeto y las magnitudes, así:

a) Verbo principal: comer.

b) Sujeto: vacas.

c) Magnitudes: 12 vacas, 80 días, 1 granero lleno de paja.

Una vez hecho esto, se procedería a verificar si es posible establecer una relación entre las magnitudes a través de una representación gráfica, como la que se muestra en la Figura 19: Figura 19 Relación consumo alimento vacas - día Relación consumo alimento vacas - día

Nota. La figura muestra una de las formas gráficas de representar la relación entre vacas - días establecida en el ejemplo. Fuente: elaboración propia.

Acto seguido, se analizarían las dinámicas entre las magnitudes cuando una de ellas experimenta cambios, lo cual puede ser integrado a la representación construida, tal como se puede observar en la Figura 20 Figura 20:

Figura 20 Efecto del aumento de las vacas en los días que dura el alimento Efecto del aumento de las vacas en los días que dura el alimento

Nota. La figura muestra como la representación gráfica ayuda a establecer la manera en que la duración de la paja depende de la cantidad de vacas. Fuente: elaboración propia. En esta relación se observa que, si aumenta el número de vacas, se puede inferir que estas comerán más paja por día, por lo tanto, disminuirán los días que pueden ser alimentadas. En conclusión, se puede decir que dos magnitudes están correlacionadas cuando una de ellas depende de la otra, es decir, si la primera magnitud cambia, la segunda también debe variar y viceversa.

6.2.2.2 Magnitudes directamente correlacionadas.

Dos magnitudes están directamente correlacionadas cuando al aumentar una de ellas, la otra también lo hace, o si una disminuye, la otra lo hace también. . Por ejemplo, cuando se plantea una situación en la que para pintar 180 metros de pared se necesitan 24 kilogramos de pintura, en el caso de que la superficie a pintar aumente, será necesario también aumentar la cantidad de pintura. Esto establece una relación de codependencia entre ambas magnitudes.

Siguiendo el procedimiento establecido, el análisis realizado con el estudiantado se daría de la siguiente forma:

a) Verbo principal: pintar.

b) Magnitudes: 180 metros de pared, 24 kilogramos pintura.

c) Representación gráfica (ver Figura 21):

Figura 21 Relación metros pared –kilogramos de pintura Relación metros pared –kilogramos de pintura

Nota. La figura muestra la representación gráfica de la relación entre las magnitudes metros – kilogramos. Fuente: elaboración propia.

De esta manera, al analizar ambas magnitudes se puede determinar la relación expuesta al inicio de este apartado, la cual a su vez puede ser incluida dentro del gráfico como una manera de ayudar en el proceso de observación, tal como se muestra en la Figura 22, donde se determina qué sucede si la cantidad de superficie aumenta:

Figura 22 Efecto del aumento de los metros de pared en los kilogramos de pintura requeridos Efecto del aumento de los metros de pared en los kilogramos de pintura requeridos

Nota. La figura muestra la representación gráfica de la relación entre las magnitudes metros – kilogramos y su relación de codependencia. Fuente: elaboración propia. Esta situación también se puede graficar de forma inversa para precisar de manera más clara esta relación, lo cual se expresa en la Figura 23:

Figura 23 Efecto de la disminución de los metros de pared en los kilogramos de pintura requeridos Efecto de la disminución de los metros de pared en los kilogramos de pintura requeridos

Nota. La figura muestra la representación gráfica de la relación entre las magnitudes metros – kilogramos y su relación de codependencia. Fuente: elaboración propia.

Con todo lo anterior, será posible establecer que cuando dos magnitudes están directamente correlacionadas, si una aumenta, la otra también lo hace, y si una disminuye, la otra también lo hará.

6.2.2.3 Magnitudes inversamente correlacionadas.

Dos magnitudes están inversamente correlacionadas cuando, al aumentar una de ellas, la otra disminuye; o, si una disminuye, la otra aumenta.

Esto se puede entender de manera más clara a través del siguiente ejemplo: 5 pintores pintan un muro de la fábrica en 2 días. Si se incrementa el número de pintores, ¿aumentará o disminuirá el tiempo que tardan en cumplir con su tarea? Si se aplica el paso a paso expuesto, la solución al mismo se daría de la siguiente manera:

a) Verbo principal: pintar.

b) Magnitudes: 5 pintores, 2 días.

c) Representación gráfica (ver Figura 24):

Figura 24 Relación cantidad pintores con días obra Relación cantidad pintores con días obra

Nota. La figura muestra la representación gráfica de la relación entre las magnitudes pintores – días. Fuente: elaboración propia.

Al examinar la relación entre las magnitudes es posible concluir que, si se aumenta la cantidad de pintores, el tiempo necesario para pintar el muro de la fábrica disminuirá. Esto se ilustra en la Figura 25:

:

Figura 25 Efecto del aumento pintores en los días duración obra Efecto del aumento pintores en los días duración obra

Nota. La figura muestra la representación gráfica de la relación entre las magnitudes pintores – días y la manera en que al aumentar una, la otra disminuye. Fuente: elaboración propia. Por el contario, si se disminuye el número de pintores, el tiempo requerido para pintar el muro de la fábrica aumenta. Esto se refleja en la Figura 26: Figura 26 Efecto de la disminución de los pintores en los días de duración obra Efecto de la disminución de los pintores en los días de duración obra

Nota. La figura muestra la representación gráfica de la relación entre las magnitudes pintores – días y la manera en que al disminuir una, la otra aumenta. Fuente: elaboración propia. De esta forma es posible determinar cómo entre las magnitudes observadas se construye una relación de dependencia en un sentido inverso.

6.2.2.4 Actividad.

Una vez desarrollados ejemplos como los anteriores y habiendo orientado su análisis siguiendo el procedimiento planteado, el siguiente paso consiste en proponer una actividad de trabajo cooperativo. El objetivo es consolidar el aprendizaje y detectar posibles barreras. La actividad de trabajo cooperativo se ejemplifica a continuación, y debe ser adaptada al contexto de los estudiantes según corresponda 6.2.2.4.1 Actividad de trabajo cooperativo.

Para las diferentes situaciones o fenómenos proporcionados, el estudiantado debe seguir los siguientes pasos:

1. Identificar el verbo principal.

2. Reconocer las magnitudes involucradas.

3. Verificar la existencia de una relación entre las magnitudes y el verbo. Si se cumple,

representar dicha relación gráficamente.

4. A partir del análisis de la representación gráfica de la relación, determinar el tipo de

correlación entre las magnitudes (directa o inversa). Ejemplos de situaciones a trabajar:

a) Juanita tarda 1 hora en desplazarse de su casa a la escuela en bus, la ruta es

siempre la misma y el conductor hace casi siempre las mismas paradas.

i. Si Juanita decidiera ir caminando, ¿aumentaría o disminuiría el tiempo

que tarda en llegar a la escuela?

ii. Si Juanita tomara un taxi, ¿aumentaría o disminuiría el tiempo que tarda en llegar a la escuela?

b) Pedro es un excelente tatuador, sin embargo, gasta demasiado tiempo

sombreando algunos de los diseños, en especial si son a color. Él invierte cerca de media hora en un tatuaje básico, pero cerca de 4 horas agregando color.

i.Si Pedro decidiera trabajar solo blanco y negro, ¿aumentaría o disminuiría el tiempo que tarda en realizar un tatuaje completo? ii.Si Pedro consiguiera algún asistente, ¿aumentaría o disminuiría su tiempo de trabajo en un solo tatuaje?

iii.¿Qué estrategias podría desarrollar para disminuir sus horas de trabajo?

c) Andrés ama jugar fútbol con su amigo Jeison, en especial en las tardes

soleadas. Sin embargo, la cancha está lejos y tienen que caminar hasta allá, más de 1 hora.

i.Si Andrés y su amigo corrieran a una velocidad de 5 km por hora, ¿aumentaría o disminuiría el tiempo que tardan en llegar a los partidos? ii.Siendo que ya habrán calentado por haber corrido hacia el partido, ¿aumentaría o disminuiría su rendimiento en un juego de 90 minutos?

iii.¿Qué otras estrategias podrían emplear Andrés y su amigo para no gastar tanto tiempo o energía en llegar a los partidos?

d) Don Francisco tiene un galpón y semanalmente saca su producido en su

camioneta, realizando 2 viajes para entregarla.

i.Si esta semana realizó un solo viaje, ¿se puede decir que la producción aumentó o disminuyó?

ii.Si aumenta el número de viajes, ¿la producción aumentó o disminuyó?

e) Ayer 2 camiones transportaron una mercancía desde la zona franca de Puerto

Caldas hasta el almacén. Hoy 3 camiones, iguales a los de ayer, tendrán que hacer 6 viajes para transportarla al centro comercial.

i.Si disminuyen los camiones, ¿deben aumentar o disminuir los viajes?

f) En un día de trabajo de 8 horas un obrero ha hecho 10 cajas.

i.Si aumenta el número de cajas, ¿debe trabajar más o menos horas?

g) Para pintar 180 metros de pared se necesitan 24 kg. de pintura.

i.Si aumenta el tamaño de la pared, ¿se debe aumentar o disminuir los kg.?

h) Un automóvil recorre 50 km en 5 horas.

i. Si disminuye la distancia, ¿requiere más o menos tiempo?

i) Si se abren tres desagües de una piscina esta tarda en vaciarse dos horas.

i.Al acrecentar el número de desagües, ¿aumenta o disminuye el tiempo que tarda en vaciarse?

j) Tres obreros descargan un camión en 2 horas.

i.Si sube el número de obreros, ¿aumenta o disminuye el tiempo que se demoran en descargar el camión?

k) Una libra de queso cuesta 7.000 pesos.

i.Si hay menos dinero, ¿aumenta o disminuye la cantidad de queso que se puede comprar?

l) Un camión a 60 km/h tarda 40 minutos en cubrir cierto recorrido.

i.Si se incrementa la velocidad, ¿aumentará o disminuirá el tiempo?

m) Por tres horas de trabajo, Alberto ha cobrado 24.000 pesos.

i.Si trabaja más horas, ¿aumentará o disminuirá su paga?

n) Por 5 días de trabajo alguien se ha ganado 390 euros.

i.Si se trabaja más días, ¿se ganará más o menos dinero?

o) Una máquina embotelladora llena 240 botellas en 20 minutos.

i.Si se incrementa el tiempo, ¿aumentarán la cantidad de botellas envasadas o disminuirá?

p) Un coche que va a 100 km/h necesita 20 minutos para recorrer la distancia entre

dos pueblos.

i.Si disminuye el tiempo, ¿debe aumentar o disminuir la velocidad?

q) Un camión que carga 3 toneladas necesita 15 viajes para transportar cierta

cantidad de arena.

i.Si se acrecienta la capacidad del camión, ¿aumentarán o disminuirán la cantidad de viajes?

r) Un ganadero tiene 20 vacas y heno para alimentarlas durante 30 días.

i.Si rebaja el número de vacas, ¿aumentarán o disminuirán los números de días que puede alimentarlas?

s) En un campamento de 25 niños hay provisiones para 30 días.

i.Si se incrementan los niños, ¿aumentarán o disminuirán los días que duran las provisiones?

t) En un taller de ebanistería, si se trabaja 8 horas diarias, puede terminar un

pedido en 6 días.

i.Si disminuye el tiempo de entrega, ¿deberá aumentar o disminuir las horas de trabajo por día?

ii.Si se incrementan los operarios, ¿deberán aumentar o disminuir las horas que deben trabajar por días?

iii.Si disminuyen las horas de trabajo por día, ¿deberá aumentar o disminuir los operarios?

u) Llaves abiertas durante 5 horas diarias han consumido agua por valor de

10.000 pesos.

i.Si se acrecienta el número de las llaves abiertas, ¿deberá aumentar o disminuir la factura?

ii.Si disminuye el tiempo que permanecen abiertas, ¿deberá aumentar o disminuir la factura?

v) Unos pintores trabajan 6 horas diarias en una fábrica en un muro durante 3

días.

i. Si se incrementan los pintores, ¿deberá aumentar o disminuir los días

que se demoran?

ii.Si se acrecientan las horas que trabajan por día, ¿deberá aumentar o disminuir los días que demoran?

Durante el desarrollo de la actividad, el docente debe asegurarse que los estudiantes logren:

1) Reconocer las magnitudes y el verbo principal en la proposición o problema.

2) Determinar si las magnitudes están relacionadas, y de ser así, organizar la información

gráficamente.

3) Identificar el tipo de correlación (directa o inversa) entre las magnitudes.

Es fundamental que todo el estudiantado desarrolle estas habilidades, ya que son esenciales para la estrategia didáctica. Sin embargo, en un contexto de educación inclusiva, y teniendo en cuenta la diversidad funcional cognitiva que puede existir en el aula, es importante reconocer que cada estudiante abordará los problemas de forma diferente y los resolverá en distintos niveles de dificultad (Calvo, 2008). Para facilitar este análisis, puede ser conveniente adaptar los problemas al contexto de estos estudiantes, por ejemplo, utilizando situaciones relacionadas con sus labores diarias o las de sus familiares.

6.2.3 Verbos generadores y conversión de problemas

Una vez el estudiantado logre determinar que existe una relación entre las dos magnitudes de una situación o fenómeno y la represente de forma gráfica, se pueden presentar dificultades para determinar el tipo de corresponsabilidad (directa o inversa) entre estas. Lo anterior se debe al hecho de que el análisis implica la necesidad de comprender la información desde lo textual (Polya, 1965).

Para abordar este reto, es importante concientizar a los estudiantes de que, en el contexto extraescolar, se enfrenta constantemente a situaciones en las cuales se realiza alguna acción, es decir, en las que hay un verbo principal, que puede variar. Por ejemplo, una construcción, una compra, una venta, fabricar un producto, etc. Estas acciones involucran magnitudes que se pueden analizar matemáticamente.

Por tal motivo, es necesario facilitar el análisis del tipo de corresponsabilidad que se presenta en situaciones desconocidas o poco trabajadas para el estudiantado mediante la comparación con otras que les resulten familiares, donde se involucran magnitudes iguales con acciones semejantes. Es decir, el conocimiento de la corresponsabilidad existente entre las

magnitudes de una situación conocida se extrapola para analizar una nueva situación en la cual las mismas magnitudes están involucradas, pero con una acción (verbo principal) diferente. En este sentido, propongo analizar a profundidad los verbos hacer, consumir, comprar y pagar, ya que considero que, aunque no abarcan todas las posibilidades, permiten modelar un gran número de situaciones matemáticas en las que se involucran magnitudes. Esta selección surge como un aporte original dentro de esta tesis, con el objetivo de facilitar el análisis de la corresponsabilidad entre magnitudes. Además, es importante destacar que, aunque estos verbos no contemplan todas las situaciones posibles (por ejemplo, problemas de distancias recorridas a velocidad constante), con un uso adecuado permiten modelar un amplio rango de contextos relevantes.

6.2.3.1 Verbo o acción de hacer.

En primer lugar, es necesario aclarar que, en el marco de esta propuesta, se considera vital trabajar el verbo hacer a partir de dos significados principales: producir o fabricar, y realizar o ejecutar. De esta manera, es posible establecer de manera más adecuada el tipo de situaciones que pueden presentarse, las cuales se listan a continuación:

a) Mano de obra.

b) Tiempo.

c) Cantidad o tamaño.

d) Remuneración

Sin embargo, se debe tener en cuenta que, dado que este verbo puede configurar múltiples tipos de relaciones con las magnitudes involucradas, es importante utilizar este método con cuidado al enseñar el tipo de correspondencia. Listar todas las posibles relaciones existentes no es práctico y podría generar barreras para el aprendizaje al tratar de abarcar todas las

dimensiones del concepto. No obstante, su uso adecuado facilita la comprensión y permite modelar diversas situaciones de manera efectiva.

Por ello, teniendo en cuenta las significaciones que se determinaron, se sugiere seguir el procedimiento que se describirá a continuación:

a) Representar de forma gráfica la relación entre dos de estas magnitudes con el verbo

hacer.

b) Aumentar la magnitud de entrada y observar el efecto en la otra (si aumenta o disminuye)

c) A partir de la gráfica obtenida, establecer el tipo de correspondencia que se presenta.

Como ejemplo de la puesta en práctica de esta estrategia se analizará el tipo de correspondencia que se presenta cuando en la expresión o problema la relación se establece entre la mano de obra y el tiempo, y el verbo principal es hacer (ver Figura 27): Figura 27 Relación mano obra- tiempo con verbo hacer Relación mano obra- tiempo con verbo hacer

Nota. La figura muestra la representación gráfica de la relación entre las magnitudes mano de obra– tiempo, en donde el verbo principal es hacer. Fuente: elaboración propia. Para lograrlo se debe aumentar o disminuir una de las magnitudes y determinar cómo cambia la otra. Así, si la mano de obra aumenta, lo que se pretenderá observar es qué pasaría con el tiempo que se demora en hacer ese algo, tal como se refleja en la Figura 28: Figura 28 Efecto del aumento mano de obra en el tiempo con verbo hacer Efecto del aumento mano de obra en el tiempo con verbo hacer

Nota. La figura muestra la representación gráfica del aumento de la magnitud mano de obra en la de tiempo, con relación al verbo hacer. Fuente: elaboración propia. Para analizar esta situación de una forma más fácil se sugiere proponer al estudiantado otra relacionada con la acción hacer que les sea más familiar, por ejemplo, hacer oficio en la casa. Nótese que se incluye este verbo en ambas situaciones, por lo tanto, son semejantes. Es decir, el tipo de corresponsabilidad que se obtenga en la situación conocida será similar al de la desconocida, siempre y cuando se analicen las mismas magnitudes. Pare ello, es importante realizar el problema alterno en primer lugar.

Por ejemplo, cuando yo hago el oficio en mi casa me demoro 5 horas. Nótese que aquí la mano de obra es una persona (yo) y el tiempo requerido para hacer el oficio son 5 horas. Esto se representaría de manera gráfica tal como lo muestra la Figura 29: Figura 29 Representación gráfica del ejemplo del contexto propio Representación gráfica del ejemplo del contexto propio

Nota. La figura muestra la representación gráfica de la relación entre la magnitud persona y tiempo, con relación al verbo hacer. Fuente: elaboración propia.

Mano de obra tiempo hacer Aumenta ?

En esta relación se propone un aumento en la mano de obra, para determinar cómo está correlacionado el tiempo.

Ahora, piénsese en qué pasaría si en la situación planteada una persona ayudara, es decir, si aumenta la mano de obra. La respuesta sería que disminuye el tiempo que se tarda hacer el oficio. Esto se puede ver gráficamente en la Figura 30.

Figura 30 Efecto de aumentar la mano de obra en el tiempo de duración de un hacer Efecto de aumentar la mano de obra en el tiempo de duración de un hacer

Nota. La figura muestra la representación gráfica del efecto del aumento de la magnitud persona y en la de tiempo, con relación al verbo hacer. Fuente: elaboración propia. De acuerdo con eso, se puede concluir lo siguiente: si aumenta la mano de obra, disminuye el tiempo, y viceversa. Lo que se representa en la Figura 31: Figura 31 Tipo de corresponsabilidad, mano de obra y tiempo con el verbo hacer Tipo de corresponsabilidad, mano de obra y tiempo con el verbo hacer

Nota. La figura muestra la representación gráfica del efecto del aumento de la magnitud persona y en la de tiempo, con relación al verbo hacer. Fuente: elaboración propia. Una vez explicado este ejemplo se propone una actividad de trabajo cooperativo en la cual los estudiantes comprueben que, en general, en las situaciones relacionadas con el verbo hacer se cumplen las siguientes correspondencias entre las magnitudes:

a) La mano de obra y el tiempo están inversamente correlacionados.

b) El tamaño y el tiempo son magnitudes directamente correlacionadas.

c) El tamaño y los materiales están directamente correlacionados.

Así, desde una perspectiva teórica, todas las acciones que involucran la realización de una tarea conllevan a una compensación.

Luego se debe explicitar que el verbo hacer está relacionado con un oficio u arte. Por ende, entre las acciones que se pueden considerar con respecto al mismo se encuentran las siguientes:

a) Construir.

b) Pintar.

c) Cargar algo (una volqueta, un carro, un camión, etc.).

d) Planchar.

e) Lavar.

f) Fabricar, entre otros.

Mano de obra tiempo hacer Aumenta Disminuye

Finalmente, se debe poner énfasis en que cada vez que se analice el tipo de corresponsabilidad entre dos magnitudes, debe procurarse aprender a relacionarlos con situaciones semejantes propias del contexto a partir del tipo de acción planteada en la situación. 6.2.3.2 Verbo o acción de consumir.

Para los objetivos de esta propuesta, las acciones de consumir estarán relacionadas con una materia prima inicial que será usada en una actividad, por lo que se irá agotando con el paso del tiempo. Es decir, si no se aporta más, se llegará a un punto donde la situación no podrá continuar o la tarea se habrá terminado. A continuación, se presentan tres definiciones del DLE (Real Academia Española, s.f.), junto con anotaciones dentro de paréntesis y en cursiva de elaboración propia, para explicar cómo usarla en el análisis de situaciones en contexto:

1. tr. Destruir, extinguir (Esta definición se relaciona con situaciones en las que se tiene

una materia prima inicial y se usa hasta agotarla).

2. tr. Utilizar comestibles u otros bienes para satisfacer necesidades o deseos.

(Problemas que están relacionados con este contexto vinculan al verbo comer. También pueden ser situaciones donde se analiza la evolución de la materia prima)

3. tr. Gastar energía o un producto energético (Situaciones enmarcada dentro del

consumo de algo, por ejemplo, el combustible de un automóvil) (párr. 1). Entre las acciones que se pueden considerar con relación a este verbo se encuentran las siguientes:

a) Alimentar (consumo de un alimento).

b) Desocupar (un espacio).

c) Vaciar (un recipiente).

d) Cargar (un espacio).

Adicional a lo anterior, las magnitudes relacionadas con este verbo incluyen:

a) Mano de obra o consumidores.

b) Tiempo.

c) Cantidad o tamaño.

En consecuencia, al realizar la permutación de estas magnitudes se pueden establecer seis tipos de relaciones, dentro de las cuales se pueden resaltar estos elementos:

a) Si aumenta el número de trabajadores (en otros contextos, los consumidores) se gasta

más rápido la materia prima. Es decir, más trabajadores requieren más materia prima para que se mantenga la acción en el tiempo.

b) Entre más se consuma menos dura la materia prima. En el caso de un alimento, por

ejemplo, entre más comensales, menos dura el alimento.

c) Entre más grande sea la cantidad de la materia prima, mayor será su duración.

En conclusión, en las situaciones de consumir:

a) Los consumidores y el tiempo están inversamente correlacionados.

b) El tamaño y el tiempo están directamente correlacionados.

Para establecer de manera más precisa lo anteriormente abordado se acudirá nuevamente a un ejemplo a partir del cual se realizará un análisis siguiendo el método planteado. Entonces, si se presenta la situación 12 vacas se comen un granero lleno de paja en 80 días. Si disminuye el número de vacas, ¿la paja durará más o menos días?, lo primero que se debe hacer es identificar el verbo principal y las magnitudes y se procede a realizar la representación gráfica (ver Figura 32):

a) Verbo principal: comer.

b) Magnitudes: 12 vacas, 80 días.

Figura 32 Relación vacas y días que dura la paja Relación vacas y días que dura la paja

Nota: La figura muestra la representación gráfica de las magnitudes vacas y días, con relación al verbo consumir. Fuente: elaboración propia.

Del análisis de la relación se extrae lo siguiente: comer un granero lleno de paja es equivalente a la acción de consumir.

Ahora bien, si se disminuye la primera magnitud, a la que también se puede denominar de entrada, es posible determinar lo que sucede con la otra, tal como se representa en la Figura 33:

Figura 33 Efecto disminución de las vacas en los días que dura la paja Efecto disminución de las vacas en los días que dura la paja

Nota. La figura muestra la representación gráfica de la manera en que el aumento de la magnitud vacas afecta a la de días, con relación al verbo consumir. Fuente: elaboración propia. De esta manera se puede observar que cuando disminuyen los consumidores aumenta los días que dura el alimento. Es decir, ambas magnitudes están inversamente relacionadas.

12 vacas

80 días

comer un granero lleno de paja

12 vacas

80 días

comer un granero lleno de paja Disminuye Aumenta

6.2.3.3 Acción de comprar o pagar.

De acuerdo con el DLE (Real Academia Española, s.f.) se puede encontrar la siguiente definición del verbo comprar, la cual se considera pertinente para el desarrollo de esta propuesta: “1. tr. Obtener algo por un precio” (párr.1).

En el caso del término pagar, se dice lo siguiente: “1. tr. Dicho de una persona: Dar a otra, o satisfacer, lo que le debe”. En el marco de esta propuesta, interpretaremos pagar como el acto de entregar una cantidad de dinero para liquidar una deuda pendiente o para compensar un bien o servicio recibido.

Es importante señalar es que estas dos acciones se encuentran estrechamente relacionadas, ya que los efectos sobre las magnitudes son semejantes. Es decir, si se paga más, es porque se compró una cantidad mayor de un producto y viceversa. Por tal motivo se hablará de ambas de manera simultánea.

Ahora bien, las magnitudes relacionadas con estos verbos son.

a) Cantidad (puede representar unidades, materiales, días de hospedaje, entre otros).

b) Dinero (hace referencia a su disponibilidad).

En lo que respecta a situaciones relacionadas, se pueden mencionar las siguientes:

a) Entre más cantidad se compre, mayor es el pago.

b) Entre más dinero se tenga, más cantidad de algo se puede adquirir.

El acercamiento a estos elementos se realizaría a través del análisis de situaciones, tal como ya se ha mostrado con los verbos anteriores, por lo que no se llevará a cabo un ejemplo, considerándose que ya se ha ilustrado de forma suficiente el proceso. No obstante, es necesario indicar la necesidad de que al final de estos ejercicios se lleve a cabo una actividad de trabajo cooperativo donde se determine el tipo de corresponsabilidad

existente entre las magnitudes de cada uno de los problemas, para de esta forma garantizar que el estudiantado aprenda a representar relaciones en forma gráfica y determinar cómo están correlacionadas las magnitudes.

Para facilitar la comprensión de la propuesta, a continuación, presentamos un diagrama de flujo que captura de manera visual el proceso de análisis y determinación del tipo de correlación entre magnitudes, tal como lo hemos discutido previamente. Este diagrama se convierte en una herramienta clave para que los estudiantes comprendan y apliquen estos conceptos de manera práctica (ver Figura 34).

Figura 34 Proceso de Análisis y Determinación del Tipo de Correlación Proceso de Análisis y Determinación del Tipo de Correlación

Nota. La figura representa un procedimiento integral diseñado para analizar la existencia y el tipo de correlación entre magnitudes. Para simplificar el proceso, la representación Determinar Tipo de Correlación ¿las Magnitudes están correlacionadas?

Magnitud 1 Magnitud 2

Relación o correspondencia Conversión del Verbo de la expresión a los verbos "Hacer," "Consumir," "Comprar o Pagar" Magnitud 1 Magnitud 2

"Hacer," "Consumir," "Comprar o Pagar" Hacer la nueva representación gráfica No Si Directamente correlacionados Inversamente correlacionadas

gráfica de una relación se somete a una conversión del verbo de la expresión a acciones específicas más familiares para los estudiantes, como "Hacer," "Consumir," "Comprar," o "Pagar."

En la etapa clave del análisis, se evalúa si las magnitudes representadas están correlacionadas. Este paso es fundamental para comprender la relación entre las variables. La culminación del proceso incluye la clasificación de la correlación identificada como directa o inversa, proporcionando así una comprensión completa y significativa de la relación entre las magnitudes.

Este enfoque no solo simplifica el proceso para los estudiantes, sino que también facilita la identificación y comprensión de las correlaciones, fomentando un análisis más profundo y una toma de decisiones informada en contextos matemáticos y analíticos. Fuente: elaboración propia.

6.3 Razón

Como parte del ejercicio previo al desarrollo de la propuesta, se considera importante un acercamiento al concepto de razón. Para ello se proponen cinco momentos:

6.3.1 Primer momento: discusión alrededor de situaciones problema

Para ejemplificar este primer momento se retomarán ejemplos compartidos en uno de los capítulos anteriores con el fin de especificar la manera en que se puede hacer un abordaje inicial del mismo.

Prosiguiendo con esto, se iniciaría por compartir al estudiantado el siguiente titular: Para lo corrido del año, 750 mujeres de 20 a 39 años han sido víctimas de violencia en Pereira y 420 mujeres en Dosquebradas.

Una vez realizada tal acción, se procedería a plantear la siguiente pregunta: ¿en qué municipio se presenta mayor violencia contra las mujeres de 20 a 39 años?, dando un espacio al grupo para expresar sus opiniones y puntos de vista.

Cuando terminen las intervenciones se pasaría a informar que otro medio de comunicación reportó la misma información de la siguiente manera: Para lo corrido del año en Pereira tres de cada mil mujeres de 20 a 39 años son víctimas de violencia machista y en Dosquebradas siete de cada dos mil mujeres.

Acto seguido, se repetiría la dinámica anterior con el objetivo de permitir al alumnado determinar las diferencias entre los dos titulares. La finalidad de esta actividad debe ser el orientarlo a entender por qué razón el segundo de ellos debería considerarse más adecuado. Finalmente, se propone una nueva situación: durante las Fiestas de la Cosecha en los pueblos A y B arribaron visitantes de todas las áreas circundantes. El pueblo A reportó 4.000 autos y el B 3.000. ¿Qué pueblo estuvo más congestionado durante el festival? A partir del análisis del primer ejercicio se espera que reconozcan cómo la respuesta a esta pregunta depende de otras magnitudes desconocidas, entre las que se puede nombrar el área del casco urbano, la capacidad de parqueaderos, etc. Es decir, el grado de congestión es una comparación relativa a otra magnitud no dada en el problema.

6.3.2 Segundo momento: definición de razón

Una vez planteado lo anterior, se continúa con la introducción de la definición de razón que se pretende trabajar, la cual se formula de la siguiente manera: dados dos números o valores de magnitudes con los que se puede establecer una relación, y sobre los que se pretende realizar un ejercicio de similitud, se puede generar un índice comparativo. En este sentido, se definirá la razón como una función de par ordenado de estos números o valores de magnitud, que se representa como 𝑎: 𝑏 y se lee 𝑎 es a 𝑏, donde el primer componente del par (𝑎) se llama

antecedente y el segundo (𝑏) consecuente. Muchas veces suele cambiarse de la representación 𝑎: 𝑏 a una como cociente 𝑎 𝑏 , lo que no implica necesariamente que la razón se pueda operar e interpretar como una fracción.

Para facilitar su comprensión y esclarecer lo expuesto se sugiere realizar preguntas a partir de la información suministrada, como las que se ejemplifican a continuación:

a) ¿Cuál es la primera condición para poder establecer una razón?

b) ¿Qué es un par ordenado?

Una vez hecho esto, es importante dar un espacio para responder dudas que surjan.

6.3.3 Tercer momento: establecer una razón a partir de una relación gráfica

En este punto se buscará que el estudiantado aprenda a establecer una razón a partir de una relación dada en forma gráfica. Para explicar mejor, se acudirá a describir el proceso a través de un ejemplo.

Se plantea la siguiente situación, transforme la relación dada en la siguiente figura (ver Figura 35) en una razón.

Figura 35 Relación estudiantes – profesores en un colegio Relación estudiantes – profesores en un colegio

Nota. La figura muestra la representación gráfica del ejemplo a abordar para explicar el tercer momento del proceso, el cual retoma la situación en la que se exponía la relación entre profesores -estudiantes. Fuente: elaboración propia.

Para dar solución es necesario que se siga este procedimiento: 1) identificar el antecedente y el consecuente. En el caso de la situación expuesta el primero sería la cantidad de estudiantes y el segundo la de profesores, 2) establecer la razón, en un colegio hay 1.000 estudiantes: 50 profesores, siendo en esta parte del ejercicio fundamental que el docente tenga en cuenta la forma de leer el enunciado: 1.000 estudiantes es a 50 profesores. Por otro lado, se debe explicar que la información también se puede representar como un cociente, no queriendo decir con esto que se obtiene una fracción, como se puede observar en la Figura 36:

Figura 36 Representación como razón de la relación estudiantes – profesores Representación como razón de la relación estudiantes – profesores

Nota. La figura muestra la representación gráfica de la razón en la relación de las magnitudes estudiantes -profesores . Fuente: elaboración propia.

6.3.4 Cuarto momento: diferencias entre una relación y una razón

Para este momento se conformarán equipos de trabajo y se pedirá que resuelvan la siguiente pregunta de forma cooperativa: ¿cuál es la diferencia entre una relación y una razón? Acto seguido, se les solicitará plasmar sus respuestas en una tabla comparativa como la que se presenta a continuación (ver Tabla 8):

Tabla 8 Comparativo relación y razón Comparativo relación y razón

RELACIÓN

RAZÓN

_______________________________ _______________________________ _______________________________ ______________________________ ______________________________ ______________________________ Nota. La tabla presentada sirve como ejemplo para indicar cómo el estudiantado debe registrar los datos que darán respuesta a la pregunta planteada. Fuente: Elaboración propia. El objetivo de esto es que comprendan las diferencias conceptuales existentes entre relación y razón.

6.3.5 Quinto momento: actividad de trabajo cooperativo sobre razones

Como se ha establecido en los métodos sugeridos anteriormente, es importante integrar una actividad de trabajo cooperativo con el propósito de ayudar al estudiantado a afianzar sus aprendizajes. Para especificar mejor el desarrollo de la misma con relación a este concepto, se procederá a retomar el ejemplo de los titulares, relacionando el paso a paso a seguir. Se empieza por plantear la situación: en el periódico se encuentra el siguiente titular, Tres de cada mil mujeres de 20 a 39 años son víctimas de violencia. A continuación, se solicita que establezca la relación y la razón, para lo cual deberá recurrirse a construir una representación gráfica como la que se muestra en la Figura 37

Figura 37:

Figura 37 Relación entre mujeres víctimas de violencia y mujeres Relación entre mujeres víctimas de violencia y mujeres

Nota. La figura muestra la representación gráfica de la relación en las magnitudes mujeres. Fuente: elaboración propia.

Esto permite observar una correspondencia entre la magnitud de salida (3 mujeres víctimas de violencia) con la de llegada (1.000 mujeres). De esta manera es posible establecer que la razón dada entre las dos es la que se evidencia en la Figura 38: Figura 38 Razón entre mujeres víctimas de violencia y mujeres Razón entre mujeres víctimas de violencia y mujeres

Nota. La figura muestra la representación gráfica de la razón en la relación de las magnitudes mujeres . Fuente: elaboración propia.

En este punto se debe explicitar al estudiantado que, al establecer la razón entre estas dos cantidades (mujeres víctimas de violencia y mujeres) se está realizando una comparación, la cual permite construir una interpretación de los datos Así, al comparar las cantidades que se relacionan es posible concluir que, en una población conformada por 1.000 mujeres de 20 a 39 años, 3 de ellas serán víctimas de violencia.

Así mismo, si se hacen cambios en las magnitudes, se podrá observar que existe una relación de correspondencia, donde si el grupo se aumenta a 2.000, 6 de ellas serán víctimas de violencia, si se lleva a 3.000, serán 9, y así sucesivamente.

Aquí es importante especificar que, en términos de razón, dicha relación se expresa bajo la fórmula las mujeres víctimas de violencia se presentan en una razón de 3 por cada 1.000 mujeres. Esto a su vez se puede representar gráficamente, como se muestra en la Figura 39: Figura 39 Comparativo entre relación y razón con el ejemplo de mujeres víctimas de violencia Comparativo entre relación y razón con el ejemplo de mujeres víctimas de violencia

Relación Razón

Nota. La figura muestra la comparación entre la relación y la razón en el ejemplo desarrollado. Fuente: elaboración propia.

Finalmente, es importante dejar en claro que toda relación puede ser escrita como una razón y viceversa.

6.4 Proporcionalidad

Luego de que el estudiantado ha adquirido la capacidad de crear e interpretar razones, es tiempo de adentrarse en el concepto de proporcionalidad. Pare ello es conveniente explicitar que esta es una proposición sobre razones donde se depende de cuatro datos. Esto es esencial para la consecución del objetivo de impulsar una educación inclusiva, puesto que, si el alumnado sabe detectar, expresar, analizar, explicar y demostrar relaciones proporcionales, podrá dar con solución tanto a problemas de comparación y como de valor –incógnita (equivalencias). Para el primer caso, a partir de cuatro valores conocidos (a, b, c y d), el estudiantado debe encontrar la relación de orden entre las razones a:b y c:d (esto es, explicar si a:b  c:d; o a:b = c:d; o a:b  c:d). Un ejemplo de esto es la siguiente situación: Ana María hizo naranjada utilizando 2 vasos de zumo de naranja y 12 vasos de agua. Manuel David también, pero usando

5 y 20 vasos respectivamente. ¿Ambas tienen la misma concentración?, ¿cuál es más

concentrada?

En uno tipo valor-incógnita se conocen tres de los cuatro valores, por lo que el ejercicio requiere que se encuentre el faltante. Tal sería el caso del problema: Ana María hace naranjada utilizando 3 vasos de zumo de naranja y 12 vasos de agua. ¿Cuántos vasos de agua necesitará añadir Manuel David a 5 de zumo de naranja si quiere que cuando alguien pruebe la suya sepa exactamente igual a la de Ana María?

Sin embargo, afirmar que se razona proporcionalmente implica que se tiene la capacidad de reconocer si dos magnitudes están o no relacionadas, o si al cambiar una de estas la otra lo hace en proporción directa o inversa.

De igual forma, dada la complejidad conceptual, existe una tendencia a solucionar problemas de valor –incógnita como proporcionales cuando realmente no lo son. De hecho, obtener la respuesta correcta a uno de proporcionalidad es una condición necesaria, pero no suficiente, para determinar si un alumno está utilizando esta clase de razonamiento (Lesh et al., 1988), ya que se pueden generar respuestas recurriendo a algoritmos plasmados en la memoria, aún en contextos no proporcionales.

Por esta razón, para enseñar el método propuesto se procurará que el estudiantado desarrolle un pensamiento proporcional sólido. Con esto se mitigarán las barreras debidas a un aprendizaje y uso del método sin una conceptualización adecuada. Es así que, con respecto al desarrollo del pensamiento proporcional se propone seguir la propuesta de Freudenthal (1985) donde se estimula la comprensión de la manera en que las comparaciones entre dos magnitudes algunas veces deben plantearse como problemas de proporcionalidad, ya que su análisis es relativo a otras magnitudes. En el caso de problemas de valor-incógnita se iniciará por determinar su solución a partir de la definición de proporción, para luego explicar el principio de regularidad y finalizar exponiendo el método alternativo de regla de tres.

6.4.1 Proporción

Dentro de este contexto una proporción es una proposición de equivalencia de dos razones, como esta: 𝑎∶𝑏∶∶𝑐∶𝑑 (Fernandez y Puig, 2002; Freudenthal, 1985). Si se interpretan las razones como cociente, entonces la proporción entre ellas es 𝑎 𝑏 𝑦 𝑐 𝑑, la cual se escribe 𝑎 𝑏= 𝑐 𝑑 y se lee a es a b como c es a d.

6.4.1.1 Demostración de una proporción.

Un método que se puede trabajar con el alumnado para demostrar la existencia de una proporción es el que se va a ilustrar a continuación:

Se plantea la siguiente situación: 3 huevos cuestan 1.200 pesos y 10 huevos cuestan 4.000 pesos.

Para darle solución se sugiere primero identificar las magnitudes existentes dentro del mismo, las cuales son la cantidad de huevos y el costo en pesos de estos. Una vez hecho esto se debe pasar a graficar las relaciones que se establecen entre las mismas, como se hace en la Figura 40:

Figura 40 Procedimiento a seguir para determinar proporciones Procedimiento a seguir para determinar proporciones

Nota. El gráfico ilustra el procedimiento para identificar la relación que se establece entre las magnitudes cantidad de huevos – costo en pesos. Fuente: elaboración propia. A partir de estas relaciones se pueden establecer dos razones desde las cuales plantear una proporción al darse una equivalencia. Luego la proporción es verdadera si, y sólo si, la igualdad entre las razones se cumple.

Ahora bien, en el caso de que el enunciado hubiese sido el siguiente: 5 huevos cuestan 2.000 pesos. ¿Cuántos huevos podemos comprar con 6.400 pesos? Al ser un problema

de valor -incógnita, el procedimiento requiere que se solucione iniciando por el lado izquierdo de la representación gráfica, plasmando las relaciones entre las magnitudes, para, de esta forma establecerlas como una razón y plantear la proporción de las mismas (ver Figura 41):

Figura 41 Parte 1 del procedimiento a seguir para solucionar problema de valor –incógnita Parte 1 del procedimiento a seguir para solucionar problema de valor –incógnita

Figura 42 Parte 2 del procedimiento a seguir para solucionar problema de valor –incógnita Parte 2 del procedimiento a seguir para solucionar problema de valor –incógnita

Nota. Las figuras 41 y 42 se representan el procedimiento que se debe llevar a cabo para solucionar problemas de valor - incógnita. Fuente: elaboración propia. Una vez se realicen ejemplos similares a los descritos, se sugiere afianzar el proceso de aprendizaje realizando preguntas como estas:

a) ¿Qué diferencia existe entre la situación 1 y la 2?

b) ¿Cuáles son las condiciones para que se pueda plantear una proporción?

Ahora bien, antes de continuar es imprescindible abordar también la condición de regularidad.

6.4.2 Condición de regularidad

El concepto de razón está asociado al de función de proporcionalidad. Sin embargo, cuando se trabaja en los primeros grados de secundaria apenas se tienen nociones sobre funciones, y aunque parece razonable que los procesos de instrucción tiendan a lograr un enfoque funcional para el razonamiento proporcional, Godino et al. (2017) reconocen que no parece idóneo desde el punto de vista cognitivo y afectivo prescindir de los niveles precedentes.

De igual manera, la solución de problemas de proporción en la vida cotidiana y profesional suele darse mediante la aplicación de procedimientos aritméticos recibidos en esos niveles escolares. No obstante, si la proporcionalidad aritmética no se conceptualiza claramente, explicando sus causas, origen y consecuencias en situaciones concretas, y no se establecen criterios para identificar correctamente las situaciones que pertenecen al campo de la proporcionalidad, se desarrolla una tendencia —impulsada por la práctica prolongada— del uso de la regla de tres (Freudenthal, 1985), que llevan a tratar cada relación entre dos magnitudes como si fuera lineal o proporcional, incluso en situaciones donde esto no se aplica.

Por esto, para llenar estos vacíos y los producidos por la falta de nociones de funciones, Gairín y Oller (2012) aluden a la obligatoriedad de articular un recurso didáctico denominado condición de regularidad (Gairín y Escolano, 2009), la cual se define como aquella que es indispensable y dependiente de la situación concreta para que la proporción pueda calcularse, si se dan el resto de condiciones necesarias, es decir, si permanece constante la razón entre una unidad de una de las magnitudes y la cantidad correspondiente de la otra. 6.4.2.1 Formas en que se presenta la condición de regularidad.

Se aprovecha la oportunidad para realizar ejemplos que la ilustran. Así, en la situación que plantea: 8 obreros pintan una pared en 4 días, la condición de regularidad es que cada obrero pinta la misma superficie cada día, o sea, todos trabajan al mismo ritmo. Ahora bien, puede darse casos en los cuales esta se encuentre explícita en el enunciado. Por ejemplo, si se dice que el profesor Juan pagó 120.000 pesos por 20 diccionarios de inglés para sus alumnos. ¿Cuánto dinero debe pagar la profesora Maira por 15 diccionarios iguales?, la misma plantea que los diccionarios deben ser iguales y comprados en el mismo sitio, por ende, tendrán el mismo valor unitario.

En otros se encontrará de manera implícita, como en el problema si 10 botellas contienen 15 litros de agua, ¿cuál es la capacidad de 7 botellas?, donde el hecho de que la capacidad de las botellas debe ser igual para todas no se establece dentro de los argumentos, pero se da por sentado.

Enseñar al estudiantado a comprender esta condición es fundamental para que aborden problemas de proporción de manera adecuada y puedan emplear el razonamiento proporcional en diversas situaciones de su contexto a lo largo de su vida adulta, laboral y profesional. 6.4.2.2 Consideraciones adicionales para que exista proporcionalidad aritmética. Como se ha resaltado en capítulos previos, las relaciones lineales tienen un carácter tan general y evidente que muchos estudiantes tienden a considerarla como válida y universal para resolver problemas. Sin embargo, esto no siempre es correcto. Por tanto, en esta estrategia didáctica se busca que el estudiantado comprenda y conceptualice las condiciones requeridas para que exista proporcionalidad aritmética, con el objetivo de mitigar y/o eliminar las barreras relacionadas.

Para comprobar la existencia de proporcionalidad aritmética, el estudiantado debe verificar lo siguiente:

a) Relación entre magnitudes mensurables: La relación debe establecerse entre dos

magnitudes que se puedan medir. Por ejemplo, no es posible construir una relación proporcional entre el número de una casa y el número de personas que viven en ella, ya que el primero es un código y no una cantidad. De igual forma, cuando se establece que Juan es padre de Pedro, existe una relación entre ambos elementos, basada en su vínculo filial, aunque esta no sea una relación proporcional en términos matemáticos.

b) Magnitudes extensivas: Ambas magnitudes deben ser extensivas. Por ejemplo, la

temperatura no es una magnitud extensiva porque esta no se incrementa al añadir un elemento con la misma graduación.

c) Condiciones de regularidad: Las condiciones de regularidad deben cumplirse según el

contexto. Por ejemplo, en un intercambio de láminas y bolas de un álbum de chocolatinas, si siempre se obtiene el mismo número de bolas por cada lámina, existe una razón proporcional. Si no es así (por ejemplo, se piden más bolas por las láminas más difíciles), no se puede establecer una proporción. Es decir, “la condición de regularidad supone asumir que todos los objetos involucrados en el intercambio son “iguales” y que el intercambio se hace siempre “de la misma forma”” (Oller Marcen, 2012, p. 137).

d) Determinar el tipo de proporcionalidad: El estudiante debe ser capaz de identificar si la

relación entre las magnitudes es directa o inversa.

6.5 Método alternativo de solución de problemas por regla de tres

Dar respuesta a la diversidad en el aula exige replantear estrategias que permitan el desarrollo máximo de los talentos y capacidades de todo el estudiantado, al tiempo que se mitigan las barreras para el aprendizaje. En este contexto, propongo un método no tradicional de mi propia creación para resolver problemas de valor incógnita. Este método está basado en las observaciones y regularidades que se presentan en la aplicación de la regla de tres. El objetivo de este enfoque es simplificar los despejes matemáticos, abordando el problema desde una perspectiva gráfico-visual, lo que facilita la solución de problemas de valor incógnita. La justificación para implementar este método se basa en el hecho de que el alumnado normalmente aplica la regla de tres de manera mecánica, sin profundizar en el proceso matemático subyacente. Además, su uso no solo facilita la solución de problemas de regla de tres simple (tanto directa como inversa), sino que también permite extrapolar lo aprendido para para abordar problemas más complejos, como los de regla de tres compuesta.

6.5.1 Método propuesto a través del uso de la regla de tres simple directa

La regla de tres simple es una operación que ayuda a resolver rápidamente problemas de proporcionalidad tanto directa como inversa.

Para hacer uso de la misma se necesitan tres datos: dos magnitudes proporcionales entre sí, y una tercera que posea las mismas unidades que las dos primeras. A partir de esto es posible averiguar el cuarto término de la proporcionalidad.

Por ejemplo, si se tiene la situación suponga que usted paga 10.000 pesos por 4 metros cúbicos de agua. ¿Cuántos metros cúbicos se pagan con 25.000 peso? La solución a este problema mediante el método gráfico propuesto se lleva a cabo de la siguiente manera: Se inicia por reconocer que existe una relación entre las dos magnitudes de la primera expresión, la cual se representa gráficamente (ver Figura 43): Figura 43 Relación dinero a pagar -metros cúbicos de agua Relación dinero a pagar -metros cúbicos de agua

Nota. Representación gráfica de la relación entre las magnitudes pesos – metros cúbicos de agua. Fuente: elaboración propia.

Acto seguido se pasa a analizar la segunda parte de la situación y se establece una relación, asignando a la cantidad desconocida la variable x. Esta relación se representa gráficamente como en la Figura 44:

Figura 44 Relación dinero a pagar - incógnita Relación dinero a pagar - incógnita Relación o Correspondencia Pagar

10000 pesos

4 metros cúbicos de agua.

Nota. Representación gráfica de la relación entre las magnitudes pesos – x. Fuente: elaboración propia.

Con lo anterior se puede observar que el problema involucra cuatro cantidades, las cuales están relacionadas de dos en dos. En este caso, se conocen tres de ellas y falta determinar una. Por tanto, es necesario verificar si es posible resolverlo mediante el método de regla de tres antes de proceder con la solución.

Para ello, es recomendable seguir los siguientes pasos:

6.5.1.1 Paso 1: representación gráfica del problema.

Para comenzar, se deben organizar las relaciones que se pueden establecer y escribirlas una debajo de la otra, asegurando que en la parte superior queden las que contienen todos los valores conocidos.

En la Figura 45 es posible apreciar una estructura que puede ser abordada mediante el uso de la regla de tres, puesto que esta establece la relación entre dos magnitudes (en este caso, el costo y el consumo de agua), a la vez que involucra una tercera con las mismas unidades que las dos anteriores (el costo y la variable x):

Figura 45 Representación gráfica del problema costo del agua Representación gráfica del problema costo del agua Relación o Correspondencia Pagar

25000 pesos

x

Nota. Representación gráfica de las relaciones identificadas en el problema. Fuente: elaboración propia.

Sin embargo, es fundamental resaltar que esta condición no es suficiente para determinar si este método es el apropiado para dar solución a la situación, aunque sea necesaria. Por tanto, resulta indispensable verificar si se cumplen otras condiciones, evitando así hacer una sobregeneralización de la linealidad.

Siguiendo minuciosamente los pasos que se presentarán a continuación, el estudiantado estará capacitado para hacerlo.

6.5.1.2 Paso 2: principio de regularidad y condiciones mínimas. Como se mencionó en líneas anteriores, es necesario determinar que el problema cumpla con otras condiciones para garantizar que efectivamente corresponde a una situación que se da en término de la proporcionalidad aritmética, las cuales son:

a) La relación que se establece debe ser entre magnitudes mensurables. Si se analiza la

situación, se puede ver que proporciona información específica sobre la cantidad de metros cúbicos de agua que se obtienen por un determinado monto de dinero, con lo cual permite establecer una relación entre las dos magnitudes. De esta forma se observa que cumple con esta condición.

Relación o Correspondencia Pagar

10000 pesos

4 metros cúbicos de agua.

25000 pesos

x

b) Ambas magnitudes deben ser extensivas. En el problema dado se puede corroborar que

el valor de ambas cambia en función de la cantidad que se tenga de la sustancia o del objeto relacionado, por lo cual es posible afirmar que son extensivas.

c) Garantizar las condiciones de regularidad según el contexto. El costo de cada metro

cúbico es igual, independientemente de la cantidad que se consuma, por lo que también cumple con esta.

6.5.1.3 Paso 3: aplicación de criterios para el uso de aumenta y disminuye. Lo siguiente es determinar el tipo de corresponsabilidad entre las variables (directa o inversa), para poder definir en qué clase de proporcionalidad se clasifica. Esto se realizará a través del siguiente proceso:

Lo primero es determinar si una magnitud aumenta o disminuye al realizar cambios en la otra. Esto se puede llevar a cabo a través de la realización de una representación gráfica como la que se presenta en la Figura 46

Figura 46:

Figura 46 Aplicación criterio de cambio en la magnitud de entrada pago de dinero Aplicación criterio de cambio en la magnitud de entrada pago de dinero

Relación o Correspondencia Pagar

10000 pesos

4 metros cúbicos de agua.

25000 pesos

x Aumenta

Nota. Representación gráfica de la aplicación del criterio de cambio en el análisis de la situación. Fuente: elaboración propia.

Obsérvese que se hace uso de la palabra aumenta en la medida en que en la segunda relación que se ilustró, el valor de la magnitud se incrementó. Es así como, en este punto lo que se pasa a determinar es si los metros cúbicos que se pagan con ese dinero también aumentan o disminuyen.

6.5.1.4 Paso 4: análisis de la correspondencia y determinación del tipo de

proporcionalidad.

En este paso se realiza el razonamiento necesario para establecer el tipo de correspondencia. Al incrementar el dinero de 10.000 pesos a 25.000 se observa cómo los metros cúbicos de agua que se pueden pagar aumentan. Esta información es incorporada en la representación gráfica del problema (ver Figura 47):

Figura 47 Análisis del tipo de correspondencia con la magnitud de salida metros cúbicos de agua Análisis del tipo de correspondencia con la magnitud de salida metros cúbicos de agua

Nota. Representación gráfica de la manera en que el aumento de la variable cantidad de pesos afecta a la de cantidad de agua. Fuente: elaboración propia. Ahora, antes de continuar, se procede a determinar si la correspondencia entre las cantidades es directa o inversamente proporcional.

6.5.1.4.1Análisis de correspondencia.

Una vez establecida la forma en que el cambio de una magnitud incide en la otra, es necesario revisar cuál de los siguientes enunciados se cumple, para, de esta manera, poder esclarecer el tipo de correspondencia que se da en la situación:

a) Si en ambos planteamientos los resultados son iguales (es decir, aumentan o

disminuyen), existe una correspondencia directamente proporcional entre los elementos del problema.

b) Si en el planteamiento, al aumentar una, la otra disminuye, o viceversa, la

correspondencia es inversamente proporcional.

De esta manera es posible concluir que en este caso la relación es directamente proporcional, ya que, el incremento en el dinero se refleja en un aumento proporcional de los metros cúbicos de agua que a pagar.

Relación o Correspondencia Pagar

10000 pesos

4 metros cúbicos de agua.

25000 pesos

x Aumenta Aumenta

6.5.1.5 Paso 5: Método facilitador para problemas de regla de tres, superando

barreras de aprendizaje.

Hasta el paso anterior, el estudiantado podría resolver problemas utilizando métodos tradicionales de regla de tres, logrando evitar la sobre-generalización de la linealidad. Sin embargo, a partir de este punto, como estrategia complementaria al procedimiento desarrollado, se sugiere al docente incorporar el método gráfico-visual propuesto en esta tesis. Este enfoque no solo facilita la resolución de problemas de proporcionalidad directa e inversa, sino que también está diseñado para disminuir la carga cognitiva en estudiantes con diversidad funcional cognitiva. Además, su implementación puede generalizarse para abordar problemas de proporcionalidad compuesta.

Al comprender y aplicar este método gráfico-visual, el estudiantado podrá adquirir una mayor habilidad para resolver problemas de manera más efectiva, evitando caer en la sobregeneralización de la linealidad al seguir adecuadamente los pasos previos. Esto fomenta un aprendizaje más profundo y significativo, al tiempo que se reducen las barreras de aprendizaje. De igual forma, se espera que, con este enfoque, los estudiantes se sientan más seguros y motivados, lo que les permitirá desarrollar destrezas matemáticas fundamentales de una manera más fluida y eficaz, especialmente aquellos con diversidad funcional cognitiva. A continuación, se procederá a explicarlo de manera detallada:

1.

Identificación de la proporción: Es fundamental asegurarse de que las magnitudes involucradas en el problema sean directamente proporcionales. Si las magnitudes son inversamente proporcionales, se deberá realizar un proceso de adecuación para ajustarlas a los requerimientos del método gráfico-visual antes de proceder con el desarrollo del problema.

2.

Resaltar las magnitudes clave: A continuación, se deben identificar las magnitudes que se encuentran frente a la variable incógnita (x). Estas magnitudes se identificarán mediante una cruz en la incógnita y deben resaltarse visualmente para atraer la atención del estudiantado. En este trabajo, se propone sombrearlas con un tono gris para diferenciarlas claramente del resto y facilitar su comprensión.

3.

Ubicación en las representaciones gráficas: Para organizar correctamente las magnitudes, existen dos enfoques:

I.

Alineación con la incógnita: Aquellas magnitudes que estén alineadas con la incógnita "x" se colocarán en el numerador. Las que no lo estén, se ubicarán en el denominador.

II.

Uso de la cruz: Otra forma de verlo es trazando una cruz sobre la incógnita "x". Las magnitudes que sean atravesadas por las líneas de la cruz se colocarán en el numerador, mientras que las restantes irán al denominador. En este trabajo, las magnitudes alineadas con la incógnita estarán sombreadas en gris para facilitar su diferenciación.

4.

Una vez se establecen estos aspectos, se lleva a cabo el proceso de simplificación y se determina la solución.

Para explicar mejor los pasos anteriores, se presentará un gráfico construido a partir de la situación problema que hemos estado trabajando, comenzando en el punto 1 del procedimiento anterior. Es importante señalar que, antes de llegar a este punto, el estudiantado debe haber completado el proceso descrito en los pasos previos del método facilitador para problemas de regla de tres, superando barreras de aprendizaje, con el fin de evitar la sobregeneralización de la linealidad. No obstante, en aras de la brevedad y para facilitar una mejor exposición del método, estos pasos se omitirán en esta explicación (ver Figura 48):

Figura 48 Aplicación método facilitador problemas regla de tres, relación dinero pagado – metros cúbicos de agua Aplicación método facilitador problemas regla de tres, relación dinero pagado – metros cúbicos de agua

Nota. Representación gráfica en la que se ilustra la aplicación del método. Fuente: elaboración propia.

A continuación, se muestra la ecuación resultante de la aplicación de los pasos 2 y 3, donde se puede observar que en el primer miembro se ubica la variable “x”. En el segundo miembro, en el numerador se acomodarán los datos sombreados con gris, mientras que en el denominador se ubican las otras cantidades (ver Figura 49).

Figura 49 Ecuación resultante tras aplicar los pasos 2 y 3 del método facilitador problemas regla de tres Ecuación resultante tras aplicar los pasos 2 y 3 del método facilitador problemas regla de tres 𝑋= 25.000 pesos × 4 metros cúbicos de agua

10.000 pesos

Nota. Representación de la ecuación que se construiría producto de los pasos 2 y 3 del método. Fuente: elaboración propia

Una vez cumplida esta parte, se pasará a aplicar el último paso, consistente en simplificar los datos obtenidos en la ecuación (ver Figura 50):

Relación o Correspondencia Pagar

10000 pesos

4 metros cúbicos de agua.

25000 pesos

x Aumenta Aumenta

Figura 50 Simplificación de la ecuación Simplificación de la ecuación 𝑋= 10 metros cúbicos de agua Nota. Esta figura muestra el resultado final de la simplificación de la ecuación, donde “𝑋= 10 metros cúbicos de agua" representa la cantidad de agua calculada. Fuente: Elaboración propia. De esta forma es posible determinar que la solución al problema es que con un monto de 25.000 pesos es posible pagar 10 metros cúbicos de agua. Esto se puede definir en la medida en que la relación entre el dinero y la cantidad de agua es directamente proporcional, lo que significa que a medida que aumenta el dinero disponible, también lo hace la cantidad de metros cúbicos de agua que se pueden adquirir. Es una solución simple y clara para un problema de regla de tres directa, donde se busca establecer la relación entre dos magnitudes proporcionales. Ahora bien, en el caso de un problema de regla de tres inversas se puede hacer uso del mismo método grafico-visual, pero añadiendo un punto adicional, como se detallará a través del siguiente ejemplo: 10 estudiantes del grado once planean salir de campamento, por lo que entre todos recogen los víveres necesarios para 4 días. Llegado el día, 2 no pueden ir ¿Para cuántos días les alcanzarán los víveres recolectados?

En primer lugar, se procederá a construir un gráfico (ver Figura 51) en el que se organicen los datos ofrecidos dentro de la situación para facilitar su análisis:

Figura 51 Representación gráfica del problema consumo alimentos estudiantes- días de víveres Representación gráfica del problema consumo alimentos estudiantes- días de víveres

Nota: Representación gráfica de la relación entre las magnitudes alimentos estudiantes-días de víveres. Fuente: elaboración propia.

Así, una vez aplicado el respectivo análisis con el fin de validar si se cumplen las condiciones para que exista una correspondencia entre las magnitudes, así, si se disminuye la cantidad de estudiantes, el número de días que se puede acampar con los víveres aumenta. Esto permite concluir, por un lado, que efectivamente existe una correspondencia, y por el otro, que es inversamente proporcional.

Con esta información, se procede a realizar el paso adicional del método, que consiste en intercambiar la posición de las magnitudes completamente conocidas en la representación gráfica, un aspecto clave en los problemas de proporcionalidad inversa. Este paso es crucial para evitar errores al aplicar el método facilitador, ya que, de no hacerlo, estaríamos desarrollando el problema como si fuera directamente proporcional, lo que resultaría en una solución incorrecta. De esta forma, en la Figura 52 se resaltan las magnitudes a invertir agregando una flecha bidireccional:

Figura 52 Técnica de Inversión en Problemas Inversamente Proporcionales Técnica de Inversión en Problemas Inversamente Proporcionales Relación o Correspondencia Consumir alimento

10 estudiantes

4 días de víveres

x

8 estudiantes

Nota. Representación de la adición de la flecha bidireccional entre las magnitudes a invertir. Fuente: elaboración propia.

A continuación, se procederá a ubicar las magnitudes en sus nuevas posiciones, tal como se muestra en la Figura 53:

Figura 53 Representación gráfica luego de aplicar la técnica de Inversión en el problema inversamente proporcional estudiantes- días de víveres campamento Representación gráfica luego de aplicar la técnica de Inversión en el problema inversamente proporcional estudiantes- días de víveres campamento Nota. Representación de la posterior inversión de las magnitudes en la gráfica. Fuente: elaboración propia.

Así, la inversión de posiciones en este tipo de problemas permite abordarlos como si se tratara de situaciones directamente proporcionales, lo que facilita su solución por medio de la regla de tres simple directa, simplificando el proceso de cálculo y análisis. Una vez hecho esto, se puede proceder a aplicar el Método facilitador para problemas de regla de tres: superando barreras de aprendizaje de manera efectiva. Relación o Correspondencia Consumir alimento

10 estudiantes

4 días de víveres

x

8 estudiantes

Disminuye Aumenta Magnitudes a invertir entre sí Relación o Correspondencia Consumir alimento

8 estudiantes

4 días de víveres

x

10 estudiantes

Magnitudes invertidas entre sí

En la Figura 54, se observa claramente que, tras la inversión de las magnitudes, el problema puede abordarse como si las relaciones fueran directamente proporcionales, lo que permite continuar con el procedimiento sin inconvenientes. En esta representación, se destacan con un sombreado gris las magnitudes alineadas con la variable incógnita "x", como se había indicado previamente en el método.

Figura 54 Aplicación método facilitador problemas regla de tres relaciones cantidad de estudiantes- días de víveres Aplicación método facilitador problemas regla de tres relaciones cantidad de estudiantes- días de víveres

Nota. Representación gráfica de la aplicación del método facilitador de la regla de tres en el problema desarrollado. Fuente: elaboración propia.

Después, se pasa a elaborar la ecuación correspondiente, ubicando la incógnita “x” y los datos que corresponden en el numerador y el denominador.

Figura 55 Ecuación producto del análisis de los magnitudes estudiantes- días de víveres Ecuación producto del análisis de los magnitudes estudiantes- días de víveres. 𝑥= 10 estudiantes × 4 días de víveres

8 estudiantes

Nota. El gráfico representa la ecuación construida de acuerdo con la información dada en el ejemplo. Fuente: elaboración propia.

Relación o Correspondencia Consumir alimento

8 estudiantes

4 días de víveres

x

10 estudiantes

Una vez realizada esta parte, se procederá a simplificar la ecuación:

Figura 56 Resultado de la simplificación de la ecuación Resultado de la simplificación de la ecuación 𝑥= 5 días de víveres Nota. El gráfico representa el resultado de la simplificación de la ecuación. Fuente: elaboración propia.

De esta forma es posible establecer que, si al campamento asisten 8 estudiantes, los víveres iniciales les alcanzarán para 5 días.

Ahora bien, de acuerdo con lo anterior se puede evidenciar que al aplicar el Método facilitador para problemas de regla de tres se enfatiza la comprensión profunda de los conceptos matemáticos subyacentes y se fomenta un aprendizaje sólido y significativo. Este método no solo es una herramienta efectiva para la resolución de problemas de proporcionalidad simple, tanto directa como inversa, y de proporcionalidad compuesta, sino que también ofrece elementos clave para ayudar al estudiantado a superar las barreras en el aprendizaje. Al reducir la carga cognitiva requerida para resolver estos problemas, el método proporciona un enfoque gráfico-visual que facilita la comprensión y el análisis de las relaciones entre las magnitudes. De esta manera, se alinea con los objetivos de la investigación, que buscan no solo mejorar las habilidades matemáticas del estudiantado, sino también garantizar que todo el alumnado, incluidas aquellas personas con diversidad funcional cognitiva, pueda participar plenamente en el proceso de aprendizaje, promoviendo así un aprendizaje inclusivo, profundo y significativo.

Además, este enfoque abarca diversas situaciones de proporcionalidad, lo que le permite ser muy versátil. Por tal motivo, contribuye a reforzar las habilidades matemáticas de manera integral, mejorando su razonamiento y confianza.

En el marco de un enfoque pedagógico inclusivo, hemos desarrollado un método alternativo para abordar la resolución de problemas de proporcionalida, a partir de un Método facilitador para problemas de regla de tres, del cual estamos convencidos que ayuda a superar la barreras de aprendizaje para estudiantes con diversidad funcional cognitiva. Esta estrategia didactica, detalladamente descrito en las secciones anteriores, busca proporcionar a los estudiantes una comprensión clara de los conceptos de proporcionalidad y facilitar la resolucion de problemas relacionados mediante una herramienta visual y práctica. A continuación, presentamos un diagrama de flujo que captura de manera visual el proceso de análisis y resolución de problemas de regla de tres utilizando nuestro método propuesto. Este diagrama no solo sirve como una guía práctica para los estudiantes, sino que también refleja la integración fluida de nuestro enfoque pedagógico inclusivo en la enseñanza de la proporcionalidad.

Figura 57 Proceso de Análisis y Resolución de Problemas de Regla de Tres con el Método Alternativo Propuesto Proceso de Análisis y Resolución de Problemas de Regla de Tres con el Método Alternativo Propuesto

Representación gráfica del problema Aplicación de criterios para el uso de aumenta y disminuye ¿Se cumple el principio de regularidad y las condiciones mínimas?

Directamente Proporcionales Inversamente Proporcionales Método facilitador para problemas de regla de tres, superando barreras de aprendizaje.

Aplicar Técnica de Inversión en Problemas Inversamente Proporcionales Método facilitador para problemas de regla de tres, superando barreras de aprendizaje.

Análisis de correspondencia Si No

Nota. El proceso de análisis y resolución de problemas de regla de tres con el método alternativo propuesto implica una serie de pasos clave para abordar situaciones de manera efectiva. Comienza con la representación gráfica del problema, seguido de la evaluación del cumplimiento del principio de regularidad y condiciones mínimas. Si se cumplen, se aplican criterios para el uso de aumenta y disminuye, seguido por un análisis de correspondencia que determina si la relación es directamente o inversamente proporcional. En caso de ser directamente proporcional, se aplica el método facilitador para superar barreras de aprendizaje. Para relaciones inversamente proporcionales, se implementa la técnica de inversión y, finalmente, se concluye con la aplicación del método facilitador para resolver problemas de regla de tres. Con este enfoque, se establece una estructura clara y efectiva para analizar y resolver problemas de regla de tres, generando mejoras significativas en la comprensión. Además, este método contribuye a mitigar la tendencia a sobre generalizar la linealidad, reduciendo así las barreras que puedan surgir en el proceso de aprendizaje. Fuente: elaboración propia.

6.5.1.5.1 Aplicación del Método facilitador para problemas de regla de tres:

superando barreras de aprendizaje en problemas de regla de tres compuestos. A continuación, se explicará cómo este método puede ser utilizado para resolver problemas de regla de tres compuestos.

Para comenzar, es importante destacar que la regla de tres simple difiere de la compuesta por el número de magnitudes relacionadas. Mientras que en la primera solo se hace con dos, en la segunda se relacionan tres o más.

Para ilustrar mejor esto se abordará el siguiente problema: 4 granjeros recolectan 10.000 kilogramos de cerezas en 9 días. ¿Cuántos kilogramos recolectarán 6 en 15 días?

Debido a que en este caso la cantidad de magnitudes involucradas es mayor, se procederá a realizar el procedimiento previo a la aplicación del método para facilitar mejor la comprensión de la solución al problema.

a) Representación gráfica del problema: Se debe organizar las relaciones entre las

magnitudes que se pueden establecer y escribirlas una debajo de la otra, asegurando que en la parte superior queden las magnitudes que contienen los valores conocidos. Figura 58 Representación gráfica del problema de cosecha de cerezas Representación gráfica del problema de cosecha de cerezas

Nota. Representación gráfica de las magnitudes contenidas en el problema. Fuente: elaboración propia.

b) Aplicación del principio de regularidad y de las condiciones mínimas. Se pasa a establecer

si existe correspondencia entre las magnitudes, validando las condiciones esenciales y el principio de regularidad.

i. La relación que se establece debe ser entre magnitudes mensurables. Las

magnitudes son: kilogramos de cerezas recolectados, días de recolección, número de granjeros. Las tres pueden ser medidas en unidades específicas y numéricamente expresadas.

Relación o Correspondencia recolectar

4 granjeros

10.000 Kg. cereza

x

9 días

6 granjeros

15 días

ii. Las magnitudes relacionadas deben ser extensivas. Lo son en la medida en que su valor depende de la cantidad total que se cuenta del sujeto u objeto en consideración. Así, si recolectan más kilogramos, la cantidad total de cerezas aumenta. Si se añaden más días de recolección, se acumulan más al proceso. Si se suman granjeros, aumenta la cantidad total de trabajadores involucrados. iii. Condiciones de regularidad: Se logra a través de dos condiciones fundamentales. Primero, se asume que los granjeros trabajan al mismo ritmo, lo que conlleva que cada uno recolecta una cantidad igual de cerezas por día. Además, para mantener la regularidad, se requiere que las condiciones del cultivo sean uniformes en todas las áreas. Esto garantiza que los terrenos tengan condiciones de producción similares entre sí.

c) Aplicación de criterios para el uso de aumenta y disminuye: Al utilizar el término aumenta

en cada una de las cantidades, se puede observar que sucede lo mismo en las otras, y viceversa. Figura 59 Aplicación criterio de cambio en las magnitudes granjero y días de cosecha Aplicación criterio de cambio en las magnitudes granjero y días de cosecha

Nota. Representación gráfica de la forma en que la aplicación del criterio afecta a las magnitudes. Fuente: elaboración propia.

Ahora bien, se ha escrito el término aumenta en la parte izquierda de la gráfica debido a que, partiendo de 4 granjeros se han llegado a 6, lo cual corresponde a una mayor cantidad de estos. Situación similar que sucede en el lado derecho con las magnitudes de días. Relación o Correspondencia recolectar

4 granjeros

10.000 Kg. cereza

x

9 días

6 granjeros

15 días

Aumenta Aumenta

d) Análisis de la correspondencia y determinación del tipo de proporcionalidad. Dado que

estamos tratando con un problema de regla de tres compuesto, donde existen 3 o más magnitudes relacionadas, es fundamental seguir un análisis por etapas, similar al enfoque de la regla de tres simple. Para ello, se seleccionará una de las magnitudes que tenga valores en ambas relaciones y que contenga la incógnita “x”. Este enfoque permitirá descomponer el problema complejo en partes más manejables, facilitando su comprensión y resolución. Para este ejemplo se dará inicio al análisis centrando la atención en el tipo de relación existente entre el número de granjeros y los kilogramos de cerezas recolectados. A partir de la lo observado en la Figura 60 se puede establecer la siguiente pregunta: ¿si se aumenta el número de granjeros, incrementarán o disminuirán los kilogramos de cerezas recolectados? Figura 60 Efecto del aumento granjeros en los kilogramos de cereza cosechada Efecto del aumento granjeros en los kilogramos de cereza cosechada

Nota. Representación de la inclusión de la pregunta resultante del análisis realizado en la gráfica. Fuente: elaboración propia.

En este caso, se espera que los kilogramos recolectados aumenten al incrementar el número de granjeros. Ello se basa en la suposición de que una mayor cantidad de granjeros implica una mayor capacidad para recolectar cerezas, lo que, en consecuencia, se traducirá en un aumento en la cantidad total de la cosecha.

Relación o Correspondencia recolectar

4 granjeros

10000 Kg cereza

x

6 granjeros

Aumenta ¿Aumenta o disminuye?

Por lo tanto, se puede concluir que la relación entre estas dos magnitudes es directamente proporcional, dado que ambas magnitudes aumentan, como se observa en la Figura 61:

Figura 61 Análisis del tipo de correspondencia de la magnitud granjero con kilogramos de cereza cosechada Análisis del tipo de correspondencia de la magnitud granjero con kilogramos de cereza cosechada

Nota. Representación del análisis de la correspondencia de las magnitudes dentro del gráfico. Fuente: elaboración propia.

Seguido, se procederá a analizar la relación existente entre los kilogramos de cerezas recolectados y los días de cosecha. Así surge el siguiente interrogante: ¿si se aumenta el número de días para recolectar cerezas, se reducirán o disminuirán los kilogramos recolectados? Este cuestionamiento se integra al análisis visual, como se muestra en la Figura 62: Figura 62 Efecto del aumento días de cosecha en los kilogramos de cereza cosechada Efecto del aumento días de cosecha en los kilogramos de cereza cosechada

Relación o Correspondencia recolectar

4 granjeros

10.000 Kg. cereza

x

6 granjeros

Aumenta Aumenta Relación o Correspondencia recolectar

10.000 Kg. cereza

x

9 días

15 días

¿Aumenta o disminuye?

Aumenta

Nota. Representación de la inclusión de la pregunta resultante del análisis realizado en el gráfico. Fuente: elaboración propia.

Este análisis permitirá comprender cómo el factor tiempo influye en la cantidad de cerezas recolectadas, brindando una perspectiva clara sobre el comportamiento de ambas magnitudes en este problema específico de regla de tres compuestas.

En este caso, se espera que los kilogramos de cerezas recolectados aumenten al incrementar los días destinados a la cosecha. Esto se fundamenta en la suposición de que, al contar con un mayor número de días disponibles habrá más tiempo para llevar a cabo esta tarea, lo que redundará en un aumento progresivo de la cosecha a medida que pasa el tiempo. En consecuencia, esto se traducirá en un aumento en la cantidad total de cerezas recolectadas. Figura 63 Análisis del tipo de correspondencia de la magnitud días de cosecha con kilogramos de cereza cosechada Análisis del tipo de correspondencia de la magnitud días de cosecha con kilogramos de cereza cosechada Nota. Representación del análisis de la manera en que se da la correspondencia entre las magnitudes. Fuente: elaboración propia.

Por lo tanto, se puede concluir que la relación entre estas dos magnitudes, días de cosecha y kilogramos recolectados es directamente proporcional, dado que ambas aumentan de manera simultánea. A medida que se incrementan los días disponibles para la cosecha, también se incrementa la cantidad de cerezas recolectadas, lo que confirma la naturaleza proporcional de estas magnitudes.

Relación o Correspondencia recolectar

10.000 Kg. cereza

x

9 días

15 días

Aumenta Aumenta

Finalmente, esta información es trasladada a la representación gráfica del problema (ver Figura 64):

Figura 64 Tipo de correspondencia entre las magnitudes granjeros y días de cosecha con la magnitud kilogramos de cereza cosechada Tipo de correspondencia entre las magnitudes granjeros y días de cosecha con la magnitud kilogramos de cereza cosechada

Nota. Representación de la inclusión del tipo de correspondencia dada entre las magnitudes en el gráfico. Fuente: elaboración propia.

Una vez se constata la correspondencia directa entre ambas magnitudes, se puede proceder a aplicar el Método facilitador para problemas de regla de tres: superando barreras de aprendizaje.

Es fundamental destacar que, si alguna de las relaciones del problema involucra magnitudes inversamente proporcionales, se debería realizar el paso previo de conversión, como se explicó anteriormente, para evitar errores en la resolución. Esto se ejemplificará más adelante en un problema de regla de tres compuestos con etapas inversamente proporcionales. Este enfoque simplificado permite desglosar el problema original en etapas más manejables, facilitando la comprensión de la proporcionalidad entre las magnitudes y la Magnitudes directamente proporcionales Magnitudes directamente proporcionales Relación o Correspondencia recolectar

4 granjeros

10000 Kg cereza

x

9 días

6 granjeros

15 días

Aumenta Aumenta

aplicación del Método facilitador para problemas de regla de tres, diseñado para superar barreras de aprendizaje. Esta herramienta favorece tanto a estudiantes con diversidad funcional cognitiva como al resto del estudiantado.

De esta forma, se pasa a resaltar en gris las cantidades que se sitúan alineadas con la incógnita “x”. tal como se puede observar en la Figura 65:

Figura 65 Aplicación método facilitador problemas regla de tres relaciones cantidad de estudiantes- días de víveres Aplicación método facilitador problemas regla de tres relaciones cantidad de estudiantes- días de víveres Nota. Representación de la aplicación del primer paso del método en el análisis del gráfico. Fuente: elaboración propia.

A partir de este punto, se procede a construir la ecuación, ubicando la incógnita "x" en el primer miembro. En el segundo miembro, los datos resaltados durante el análisis gráfico se colocarán en el numerador, mientras que las magnitudes restantes irán al denominador. Otra forma de determinar el segundo miembro de la ecuación es trazando una cruz sobre la incógnita "x" en la representación gráfica del problema (Figura 65). Las magnitudes que sean atravesadas Magnitudes directamente proporcionales Magnitudes directamente proporcionales Relación o Correspondencia recolectar

4 granjeros

10000 Kg cereza

x

9 días

6 granjeros

15 días

Aumenta Aumenta

por las líneas de la cruz se colocarán en el numerador, mientras que las restantes se ubicarán en el denominador, completando así la ecuación que permitirá resolver el problema. Figura 66 Ecuación construida a partir del análisis de las magnitudes Ecuación construida a partir del análisis de las magnitudes 𝑥= 6 granjeros × 15 días × 10000 Kg cereza

4 granjeros × 9 días

Nota. Representación de la ecuación construida a partir del análisis e identificación de términos realizado en el gráfico anterior. Fuente: elaboración propia. Finalmente, se pasa a realizar el ejercicio de simplificación: Figura 67 Resultado de la simplificación Resultado de la simplificación 𝑥= 25000 Kg cereza Nota. Esta figura muestra el resultado final de la simplificación de la ecuación, donde “X= 25000 Kg cereza” representa la cantidad de cereza recolectada. Fuente: Elaboración propia.

6.5.1.5.2 Ejemplo de la aplicación del Método facilitador para problemas de regla de

tres: superando barreras de aprendizaje en problemas de regla de tres compuestos en el caso de situaciones inversamente proporcionales.

Con el propósito de ilustrar el método mediante ejemplos que involucren proporcionalidad inversa, se abordará la siguiente situación: 8 obreros logran construir un muro de 30 metros en 9 días, trabajando 6 horas al día. ¿Cuántos días requerirán 10 obreros, trabajando 8 horas al día, para completar los 50 metros restantes del muro?

Para ello se pasa a ilustrar el paso a paso previo a la aplicación del método que se ha estado desarrollando:

a) Representación gráfica del problema

Figura 68 Representación gráfica del problema de construcción de muro Representación gráfica del problema de construcción de muro

Nota. Representación gráfica inicial del problema. Fuente: elaboración propia.

b) Principio de regularidad y condiciones mínimas

i.

La relación que se establece debe ser entre magnitudes mensurables. Las magnitudes en el problema son: longitud del muro (la cantidad de metros que se construyen o quedan por construir), días de trabajo (la cantidad de días que se dedican a la construcción), horas de trabajo diarias (el número de horas que los obreros trabajan en un día), número de obreros (la cantidad de trabajadores que participan en la construcción). Estas cuatro magnitudes son mensurables, ya que pueden expresarse numéricamente en unidades específicas de medida y cambiarán en función de cómo se ajustan las condiciones del trabajo. ii. Las magnitudes relacionadas deben ser extensivas. Así, la longitud del muro lo es, en la medida en que si se construyen más metros, la cantidad total aumenta; los días de trabajo también lo son, puesto que, cuantos más días de trabajo se acumulen, mayor será su cantidad total; las horas de trabajo diarias también lo son, puesto que a medida que se trabaja más horas cada día, la cantidad total de horas se incrementa; el número de obreros igual, puesto que cuantos más obreros Relación o Correspondencia construcción

8 obreros

30 m muro

x

9 días

6 horas/ día

10 obreros

50 m muro

8 horas/ día

trabajen en la construcción, mayor será la cantidad total que han participado. Las magnitudes relacionadas son extensivas porque su valor depende de la cantidad total con que se cuenta del sujeto u objeto en consideración. iii. Garantizar las condiciones de regularidad según el contexto. Se establece mediante dos aspectos fundamentales: uniformidad en el ritmo de trabajo (se requiere que todos los obreros laboren al mismo ritmo, independientemente de los que estén involucrados), uniformidad en las condiciones del trabajo (para mantener la regularidad, es esencial que las condiciones de construcción del muro sean similares). Esto significa que el terreno, el clima y otros factores deben ser comparables para garantizar que los resultados sean consistentes. Bajo estas consideraciones, una vez que se haya identificado el tipo de relación o corresponsabilidad entre las variables (ya sea directa o inversa), se comprenderá que la relación establecida es de proporcionalidad directa o inversa, según corresponda. Esta conclusión será determinada en los siguientes pasos del proceso.

c) Aplicación de criterios para el uso de aumenta y disminuye.

En la representación gráfica (ver Figura 69) se realiza un análisis de estos criterios. Figura 69 Aplicación criterio de cambio en las magnitudes obreros, metros de muro y horas/día Aplicación criterio de cambio en las magnitudes obreros, metros de muro y horas/día

Aumenta Aumenta Relación o Correspondencia construcción

8 obreros

30 m. muro

x

9 días

6 horas/ día

10 obreros

50 m. muro

8 horas/ día

Aumenta

Nota. Representación de la aplicación de los criterios aumenta y disminuye a las magnitudes para establecer la correspondencia. Fuente: elaboración propia. Así, en la parte izquierda del gráfico se ha incluido el término aumenta debido a que, partiendo de 8 obreros se ha llegado a 10, lo cual implica una mayor cantidad de estos. De manera análoga, al avanzar hacia la derecha se ha colocado la misma palabra para describir que, partiendo de 30 metros de muro se propone construir 50, lo cual también implica un incremento.

En lo que respecta a la derecha, se ha hecho uso de esta para señalar que, partiendo de 6 horas por día se propone trabajar 8.

De esta forma, la pegunta que se origina a partir de este análisis es: el incremento del número de obreros, la longitud del muro a construir y la cantidad de horas trabajadas por día, ¿tendrá como consecuencia un aumento o disminución en la cantidad de días necesarios para completar la construcción?

d) Análisis de la correspondencia y determinación del tipo de proporcionalidad.

En el proceso de análisis se elige una de las magnitudes que presenta valores en ambas relaciones, junto con la que contiene la variable a resolver. Inicialmente, se trabajará con una perspectiva de regla de tres simple, para luego expandirse al análisis compuesto. En el ejemplo se dará inicio al análisis centrándose en la relación entre el número de obreros y los días necesarios para completar la obra.

Figura 70 Efecto del aumento de los obreros en los días construcción del muro Efecto del aumento de los obreros en los días construcción del muro

Nota. Análisis de la correspondencia entre las magnitudes seleccionadas para esta parte del ejercicio. Fuente: elaboración propia.

Al examinar detenidamente la figura se plantea la siguiente pregunta: ¿si se incrementa el número de obreros, aumentarán o disminuirán los días que dura la construcción? En esta situación, se espera que la duración de la construcción disminuya, lo cual se fundamenta en que, aumentando el número de obreros, se acelera el avance en la obra. Esto se basa en la premisa de que un incremento en la cantidad de obreros conlleva un aumento en la capacidad de construcción diaria.

Figura 71 Análisis del tipo de correspondencia de la magnitud obreros con días construcción muro Análisis del tipo de correspondencia de la magnitud obreros con días construcción muro

Nota. Análisis de la correspondencia que se da entre las magnitudes seleccionadas. Fuente: elaboración propia.

Aumenta Relación o correspondencia construcción

8 obreros

x

9 días

10 obreros

¿Aumenta o disminuye?

Aumenta Relación o correspondencia construcción

8 obreros

x

9 días

10 obreros

Disminuye

Por lo tanto, se puede concluir que la relación entre estas dos magnitudes es inversamente proporcional, dado que una aumenta mientras la otra disminuye. A continuación, se pasa a observar la relación que existe entre la longitud del muro a construir y el tiempo necesario para completar la obra. De ahí se plantea la pregunta: ¿si se incrementa la longitud del muro a construir, aumentará o disminuirán los días que dura la obra? Figura 72 Efecto del aumento de la longitud del muro en los días dura la obra Efecto del aumento de la longitud del muro en los días dura la obra

Nota. Representación del análisis de las magnitudes seleccionadas. Fuente: elaboración propia. En esta situación se anticipa que, a mayor longitud del muro a construir, los días necesarios aumentarán. Esto se basa en la premisa de que desarrollar una obra de mayor envergadura demandará un periodo de tiempo más extenso para su finalización. Figura 73 Análisis del tipo de correspondencia de la magnitud longitud muro con días dura la obra Análisis del tipo de correspondencia de la magnitud longitud muro con días dura la obra

Nota. Análisis del tipo de correspondencia que se da entre las magnitudes. Fuente: elaboración propia.

Aumenta Relación o Correspondencia construcción

30 m. muro

x

9 días

¿Aumenta o disminuye?

50 m. muro

Aumenta Relación o Correspondencia construcción

30 m. muro

x

9 días

Aumenta

50 m. muro

Por lo tanto, se puede concluir que la relación entre estas dos magnitudes es directamente proporcional. De esto se desprende la pregunta: ¿si se incrementan las horas que se trabajarán por día, aumentará o disminuirán los días que dura la obra? Figura 74 Efecto del aumento de las horas/ día en los días dura la obra Efecto del aumento de las horas/ día en los días dura la obra

Nota. Representación de la inclusión de la pregunta en el análisis de la correspondencia. Fuente: elaboración propia.

En este contexto, se espera que, al aumentar el tiempo de trabajo diario, se reducirá el número de días necesarios para completar la construcción del muro. Esto se explica en la suposición de que un incremento en las horas laborales diarias contribuirá a un mayor avance en la obra, lo que a su vez implica una disminución en el tiempo requerido para su finalización. Figura 75 Análisis del tipo de correspondencia de la magnitud horas con los días de duración de la obra Análisis del tipo de correspondencia de la magnitud horas con los días de duración de la obra

Relación o Correspondencia construcción

x

9 días

6 horas/ día

8 horas/ día

Aumenta ¿Aumenta o disminuye?

Relación o Correspondencia construcción

x

9 días

6 horas/ día

8 horas/ día

Aumenta Disminuye

Nota: Análisis del tipo de correspondencia entre las magnitudes seleccionadas. Fuente: elaboración propia.

Por lo tanto, se puede concluir que la relación entre estas dos magnitudes es inversamente proporcional. Dado que mientras una magnitud disminuye la otra aumenta. Finalmente, esta información lleva a la representación gráfica del problema: Figura 76 Tipo de correspondencia entre las magnitudes obreros, metros de muro y horas/día con días dura la obra Tipo de correspondencia entre las magnitudes obreros, metros de muro y horas/día con días dura la obra

Nota. análisis del tipo de correspondencia entre las magnitudes seleccionadas. Fuente: elaboración propia.

Como se puede apreciar en la Figura 76, se establecen diferentes tipos de relaciones entre las magnitudes. Así, la relación existente entre el número de obreros y la duración de la Magnitudes inversamente proporcionales Magnitudes inversamente proporcionales

MDP

Aumenta Aumenta Relación o Correspondencia construcción

8 obreros

30 m. muro

x

9 días

6 horas/ día

10 obreros

50 m. muro

8 horas/ día

Aumenta

MDP: Magnitudes directamente proporcionales

obra es inversamente proporcional, mientras que entre la longitud del muro y los días es directamente proporcional. Además, la que se establece entre las horas trabajadas por día y la duración de la obra también es inversamente proporcional, por lo cual es fundamental llevar el cambio entre estas.

e) Inversión en problemas inversamente proporcionales

Siguiendo lo explicado en ejemplos anteriores, se procede a invertir las magnitudes correspondientes. En la Figura 77 se han añadido flechas bidireccionales para ilustrar las magnitudes que deben invertir:

Figura 77 Técnica de inversión en problemas inversamente proporcionales aplicada al problema de construcción de muro Técnica de inversión en problemas inversamente proporcionales aplicada al problema de construcción de muro

Nota. Representación de la técnica de inversión aplicada al problema analizado. Fuente: elaboración propia.

Debido a que las magnitudes son inversamente proporcionales, es necesario llevar a cabo una nueva representación gráfica del problema. Esta acción asegura la implementación de los ajustes en las posiciones de las magnitudes. Es relevante resaltar que esto se aplica exclusivamente a las posiciones que no están asociadas con la incógnita en cuestión (en este caso, x).

Magnitudes inversamente proporcionales Magnitudes inversamente proporcionales Relación o Correspondencia construcción

MDP: Magnitudes directamente proporcionales

MDP

8 obreros

30 m. muro

x

9 días

6 horas/ día

10 obreros

50 m. muro

8 horas/ día

Magnitudes a invertir entre sí Magnitudes a invertir entre sí

Figura 78 Representación gráfica luego de aplicar la técnica de Inversión en las magnitudes inversamente proporcional del problema de construcción de muro Representación gráfica luego de aplicar la técnica de Inversión en las magnitudes inversamente proporcional del problema de construcción de muro

Nota. Representación de la inversión de las magnitudes al aplicar la técnica. Fuente: elaboración propia.

De esta forma, se puede observar cómo después de realizado el procedimiento se origina un cambio en las posiciones de las magnitudes correlacionadas de forma inversa. Por ende, mediante la técnica de inversión los 8 obreros pasan a ser parte de la relación inferior, mientras que los 10 se ubican en la superior.

Siguiendo el mismo procedimiento, se efectúa la inversión en las posiciones de las cantidades que involucran las horas trabajadas por día.

Una vez hecho lo anterior, se puede proseguir con el método.

f) Método Facilitador para Problemas de Regla de Tres: Superando Barreras de Aprendizaje

Se procede a resaltar en tono gris las cantidades que se sitúan alineadas a la incógnita “x”:

Relación o Correspondencia construcción

x

8 obreros

50 m. muro

8 horas/ día

10 obreros

30 m. muro

9 días

6 horas/ día

Magnitudes invertidas entre sí Magnitudes invertidas entre sí

Figura 79 Aplicación Método facilitador problemas regla de tres compuesta en el problema de la construcción del muro Aplicación Método facilitador problemas regla de tres compuesta en el problema de la construcción del muro

Nota. Representación de la aplicación del primer paso del método en el problema. Fuente: elaboración propia.

De ahí se pasa a la construcción de la ecuación apoyándose en la información obtenida en el gráfico anterior (ver Figura 79):

Figura 80 Ecuación producto del problema de la construcción del muro Ecuación producto del problema de la construcción del muro 𝑥= 8 obreros × 50 m. muro × 8 horas día ⁄ × 9 días

10 obreros × 30 m. muro × 6 horas día

⁄

Nota. Ecuación construida a partir de la información obtenida del gráfico de análisis de correspondencia. Fuente: elaboración propia.

Figura 81 Resultado de la simplificación Resultado de la simplificación 𝑥= 16 días

50 m. muro

Relación o Correspondencia construcción

10 obreros

30 m. muro

x

9 días

6 horas/ día

8 obreros

8 horas/ día

Nota: La figura muestra el resultado final de la simplificación de la ecuación, donde “x = 16 días “representa la cantidad total de días requeridos para hacer los 50 metros de muro restante. Fuente: Elaboración propia."

Solución al problema producto del ejercicio de simplificación. Fuente: elaboración propia. De esta manera se puede definir que 8 obreros, trabajando 8 horas al día, pueden finalizar los 50 metros del muro que restan en 16 días.

6.6 Conclusiones

Como se ha destacado a lo largo de este documento, la educación inclusiva se orienta hacia la eliminación de las barreras para el aprendizaje y la participación de todo el estudiantado. Este enfoque no solo está dirigido a quienes enfrentan desafíos, sino también a aquellos con un sólido dominio de las matemáticas.

De ahí que el propósito fundamental de esta propuesta es fomentar un aprendizaje significativo y duradero mediante el cual se puedan comprender los conceptos matemáticos relacionados con la proporcionalidad y aplicarlos de manera significativa en diversas situaciones, independientemente del nivel de habilidad.

No obstante, dada la heterogeneidad presente en el entorno educativo, es probable que surjan barreras durante el proceso. Por lo tanto, es crucial identificarlas y abordarlas de manera efectiva.

Es por ello que, como un primer paso, se propone la recolección de las perspectivas y experiencias del alumnado con el fin de conocer sus desafíos y necesidades. Esto debe ir acompañado de un ejercicio de reflexión llevado a cabo en paralelo por el docente, cuyo objetivo sea ajustar y mejorar continuamente la estrategia didáctica, adaptándola a las diversas realidades que presenta el grupo.

En resumen, la educación inclusiva no solo se centra en transmitir conocimientos. Requiere también generar un entorno donde cada miembro presente en el aula pueda prosperar y alcanzar su máximo potencial en el aprendizaje de la proporcionalidad, a través de un enfoque pedagógico adaptable y sensible a las necesidades individuales y colectivas. La estrategia didáctica propuesta plantea un enfoque gradual que busca desarrollar los conceptos necesarios para abordar problemas de proporcionalidad. En este contexto, se destaca la importancia de reconocer y comprender las magnitudes, los verbos y los sujetos en una proposición o problema. El desarrollo de esta habilidad permite traducir con precisión los enunciados del lenguaje natural al lenguaje matemático, lo que es esencial para lograr hallar la solución a las situaciones presentadas de manera exitosa.

Además, la estrategia también se enfoca en el reconocimiento de los distintos tipos de correlación presentes entre dos magnitudes relacionadas y la identificación de las condiciones mínimas necesarias para que exista proporcionalidad directa o inversa entre estas, como el principio de regularidad. Al dominar estos conceptos, el estudiantado estará mejor preparado para abordar con confianza problemas de proporcionalidad y relacionar las variables involucradas de manera más precisa y significativa.

Considerando lo desafiante que puede ser este último punto para algunos estudiantes, se plantea la implementación de verbos generativos. Verbos como hacer, consumir, comprar y pagar, que se convierten en herramientas esenciales para ayudar al análisis y comprensión de la corresponsabilidad entre diferentes magnitudes en variados contextos. En este sentido, se propone el reemplazo del verbo original del problema con uno de ellos, puesto que esta metodología brinda una estrategia efectiva para desentrañar la relación entre magnitudes y aterrizar los conceptos de proporcionalidad en un contexto más realista y aplicable.

Finalmente, la propuesta culmina con la exposición detallada del Método facilitador para problemas de regla de tres: superando barreras de aprendizaje. Este método, desarrollado en el marco de esta tesis, permite simplificar la solución de problemas de proporcionalidad directa o inversa, tanto en su forma simple como compuesta. Su aplicación ofrece una guía sólida y efectiva para superar los desafíos que surgen con un enfoque aritmético tradicional, evitando la sobre-generalización de la linealidad y asegurando una comprensión más profunda y una mayor habilidad para resolver este tipo de problemas.

7. Fases de implementación y observación

En los capítulos anteriores, hemos proporcionado los pasos necesarios para abordar la fase de planificación, culminando con el desarrollo de una propuesta didáctica para la enseñanza de la proporcionalidad aritmética en estudiantes de secundaria con diversidad funcional. Esta propuesta se ha diseñado con el objetivo de eliminar o mitigar las barreras para el aprendizaje y la participación, promoviendo así una educación inclusiva.

Este capítulo detalla la implementación y observación de dicha estrategia en el aula con dos grupos de estudiantes de grado séptimo, acorde a los objetivos de la tesis. Se describen las actividades implementadas como parte de la estrategia didáctica, así como el proceso de recolección de los datos. También detallan las estrategias didácticas utilizadas y el papel del investigador-docente, quien asume un rol activo en la ejecución de la fase de implementación, evaluando y ajustando las intervenciones en función de la respuesta y las necesidades del estudiantado. Este enfoque auto reflexivo permite al docente adaptar las intervenciones en respuesta a las barreras identificadas en los estudiantes, facilitando así una reflexión continua que refina y perfecciona la estrategia didáctica a lo largo del proceso de implementación.

7.1 Planificación de la fase de implementacion

Se diseñó una propuesta de 16 sesiones, cada una con una duración de 55 minutos. Estas sesiones están organizadas de la siguiente manera: la primera sesión se dedica a recoger la voz del estudiante, la segunda a evaluar su estado inicial mediante un pre-test, once sesiones se centran en el trabajo en clase con intervenciones iniciales y finales por parte del investigador, quien desarrolla y guía las "Actividades de aula". Dos sesiones (la duodécima y la decimoquinta) se destinan a evaluaciones formativas, y la última sesión se enfoca en la reflexión y consolidación final de los conceptos trabajados.

En su práctica habitual, los alumnos deben completar en casa las actividades de aula que no terminan y, para algunas sesiones, se han diseñado "Tareas de casa" con el propósito de reforzar lo trabajado en clase y, en algunos casos, introducir conceptos nuevos. Estas tareas se distribuyen a lo largo de las sesiones, alineándose con los temas tratados en clase.

7.1.1 Temporización

La implementación se desarrolló a lo largo de 16 sesiones de clase de 55 minutos cada una, recopilando información que permitiera evaluar la efectividad de la propuesta didáctica en la enseñanza de la proporcionalidad, tanto directa como inversa. Las sesiones están alineadas con los objetivos de la tesis, enfocándose en mitigar las barreras para el aprendizaje y la participación. La estructura de estas sesiones favorece una conceptualización gradual, que, a través de la observación participante, el proceso auto-reflexivo del docente-investigador y los aportes de los estudiantes, permita identificar y abordar las barreras de aprendizaje, buscando su eliminación o mitigación, promoviendo así una educación inclusiva.

7.1.2 Distribución Temporal de las Sesiones

A continuación, se presenta un cuadro detallado de la secuenciación de las sesiones, incluyendo temática, actividades y tareas. correspondientes. La Tabla 9 facilita la comprensión de la implementación y asegura la coherencia metodológica del estudio de caso: Tabla 9 Secuenciación de las sesiones: Temática, Actividades y Tareas Secuenciación de las sesiones: Temática, Actividades y Tareas Sesión Tematica Actividades Tareas

1

Recogiendo la voz del estudiantado Actividad de notas post-it para recoger la voz del estudiantado.

2

Pre-test Aplicación del pre-test para evaluar los conocimientos previos

3

Construcción conceptos previos- Explorando Análisis de ejemplos prácticos.

Discusión en grupo, para aprender a identificar las dos

Relaciones en la Vida Cotidiana condiciones para que exista una relación.

4

Definición matemática y representación gráfica de una relación.

Actividad de trabajo cooperativo para la representación gráfica de una relación

Resolver problemas adicionales sobre identificación y representación gráfica de relaciones

5

Magnitud, verbo y sujeto Explicar y discutir las definiciones de magnitud, verbo y sujeto. Proporcionar ejemplos simples para ilustrar como identificar estos elementos. Actividad de trabajo cooperativo.

6

Magnitudes correlacionadas Definiciones, ejemplos y discusión en grupo Identificación del tipo de correspondencia directa o inversa entre magnitudes. Actividad de trabajo cooperativo

7

Verbos generadores y conversión de problemas.

Ejemplos de conversión del verbo del problema a los verbos generadores para facilitar el análisis del tipo de corresponsabilidad al estudiar una situación semejante del contexto del estudiante. Actividad de trabajo cooperativo.

8

Explicación de la condición de regularidad y magnitudes directamente e inversamente proporcionales Ejemplos y ejercicios prácticos. Resolver problemas adicionales para identificar la condición de regularidad e identificar si las magnitudes están directamente o inversamente correlacionados

9

Método facilitador de regla de tres para la solución de problema de magnitudes directamente e inversamente proporcionales.

Introducción del método facilitador. Ejemplos y ejercicios prácticos para solucionar en grupo.

10

Solución de problemas directamente e inversamente Actividad de trabajo cooperativo. Solución de problema de valor incógnita.

proporcionales con el método facilitador

11

Evaluación Formativa Evaluación formativa de los conceptos y procedimientos aprendidos. Retroalimentación y discusión.

Reflexionar sobre las áreas de mejora y los conceptos aprendidos.

12

Consolidación y Cierre Revisión general de los conceptos. Actividad final para consolidar el aprendizaje. Preparar un resumen de los conceptos aprendidos y su aplicación práctica.

13

Regla de tres compuesta Conceptualización de regla de tres compuesta y ejemplos de extensión del uso del método facilitador para su solución.

14

Solución de problemas de regla de tres compuesta con el uso del método facilitador Actividad de trabajo cooperativo sobre la regla de tres compuesta

15

Evaluación Formativa Evaluación formativa final de los conceptos y procedimientos aprendidos.

16

Reflexión y consolidación final de los conceptos trabajados.

Reflexión sobre el aprendizaje, retroalimentación de las evaluaciones y consolidación de los conceptos aprendidos.

Nota: La tabla muestra el plan detallado de cada sesión del proyecto, incluyendo los temas, actividades y tareas. Este resumen sirve como mapa de ruta para entender cómo se llevará a cabo la enseñanza y qué se esperaba lograr en cada encuentro, asegurando que todas las actividades estén alineadas y enfocadas en los objetivos del estudio. Fuente: elaboración propia. Las sesiones están diseñadas para que todos los estudiantes, sin importar su diversidad o habilidades, puedan participar activamente y desarrollar una conceptualización adecuada de la proporcionalidad aritmética. La planificación cuidadosa de las actividades y tareas busca eliminar las barreras para el aprendizaje y promover una educación inclusiva.

7.1.3 Secuenciación

A continuación, se detalla la proyección de la secuenciación prevista, con los tiempos estimados para cada parte de las sesiones:

Sesión 1: Recogiendo la voz del estudiantado (55 minutos) Actividad de notas post-it para recoger la voz del estudiantado  Introducción, explicación de la actividad y entrega de notas post-it (10 min)  Realización de las preguntas y pegado de notas post-it con las respuestas en la cartelera correspondiente (30 min)  Discusión en grupo sobre las respuestas (10 min)  Intervención del profesor para recoger las carteleras con las notas (5 min) Sesión 2: Pre-test (55 minutos)  Explicación de los objetivos y entrega del pre-test (10 min)  Realización del pre-test por los alumnos (40 min)  Recogida de pruebas y cierre de la sesión (5 min) Sesión 3: Construcción de conceptos previos - Explorando relaciones en la vida cotidiana (55 minutos)  Introducción y explicación del objetivo de la sesión (10 min)  Presentación de ejemplos de relaciones en la vida cotidiana (25 min)  Actividad de trabajo cooperativo (15 min)  Conclusión y cierre de la sesión (5 min)

Sesión 4: Definición matemática y representación gráfica de una relación (55 minutos)  Introducción a la definición matemática de relaciones (10 min)  Presentación de ejemplos prácticos (10 min)  Representación gráfica de relaciones (15 min)  Actividad de trabajo cooperativo (15 min)  Evaluación oral de los aprendizajes y conclusiones finales (5 min) Trabajo en casa Se pide a los alumnos que realicen individualmente la tarea de casa 1 (Resolver problemas adicionales sobre identificación y representación gráfica de relaciones) Sesión 5: Magnitud, verbo y sujeto (55 minutos)  Introducción y Explicación de los Conceptos de magnitud, verbo y sujeto (15 min)  Practica Guiada para identificar estos elementos (20 min)  Actividad de trabajo cooperativo para reforzar los conceptos (20 min) Sesión 6: Magnitudes correlacionadas (55 minutos)  Introducción del tema y explicación de los tipos de correlación (10 min)  Ejemplos y trabajo guiado para identificar tipo de correlación (15 min)  Practica para identificar correlaciones en diferentes situaciones (15 min)  Actividad de trabajo cooperativo para analizar el tipo de correlación entre las magnitudes (15 min)

Sesión 7: Verbos generadores y conversión de problemas (55 minutos)  Introducción y explicación de la utilidad de los verbos generadores en problemas matemáticos (15 min)  Análisis y practica con los verbos “hacer”, “consumir”, “comprar” y “pagar” (30 min)  Actividad de trabajo cooperativo para aplicar los verbos generadores en la conversión de problemas (10 min) Sesión 8: Explicación de la condición de regularidad y magnitudes directamente e inversamente proporcionales (55 minutos)  Introducción y explicación del concepto de condición de regularidad (10 min)  Ejemplos ilustrativos de condición de regularidad (15 min)  Identificación de la condición de regularidad en problemas dados (15 min)  Consideraciones adicionales para que exista proporcionalidad aritmética (10 min)  Actividad guiada (5min) Sesión 9: Método facilitador de regla de tres para la solución de problemas de magnitudes directamente e inversamente proporcionales (55 minutos)  Introducción al método alternativo (8 min)  Ejemplo: Solución de un problema de magnitudes directamente proporcionales aplicando el método facilitador  Paso 1: Representación gráfica del problema (7 min)  Paso 2: Verificación de las condiciones de regularidad (5 min)  Paso 3: Aplicación de criterios para el uso de aumenta y disminuye (5 min)  Paso 4: Análisis de la correspondencia y determinación del tipo de proporcionalidad (5 min)

 Paso 5: Aplicación del método facilitador en problemas directamente proporcionales (10 min)  Actividad guiada: Solución de un problema (10 min)  Ejemplo solución problema magnitudes inversamente proporcional aplicando la técnica de inversión y el método facilitador (5 min)  Ejercicio de aplicación práctica (5 min)

Trabajo en casa Se pide a los alumnos que realicen individualmente la tarea de casa 2 (Resolver problemas de proporcionalidad) Sesión 10: Solución de problemas directamente e inversamente proporcionales con el método facilitador (55 minutos)  Revisión e identificación de las barreras de aprendizaje y corrección de la tarea (10 min)  Explicación, socialización de la actividad y conformación de equipos (5 min)  Trabajo cooperativo: Solución de problemas, retroalimentación docente y evaluación grupal (30 min)  Conclusión y cierre (10 min) Sesión 11: Evaluación Formativa (55 minutos)  Explicación y entrega de la evaluación (5 min)  Realización de la evaluación formativa (40 min)  Recogida de evaluaciones y retroalimentación inicial (10 min)

Sesión 12: Consolidación y Cierre (55 minutos)  Revisión y resumen de los conceptos aprendidos (15 min)  Actividad final para consolidar el aprendizaje, retroalimentación grupal de la evaluación formativa (30 min)  Discusión y cierre (10 min) Sesión 13: Regla de tres compuesta (55 minutos)  Explicación de la regla de tres compuesta (15 min)  Ejemplo: Solución de un problema de regla de tres compuestos con el método facilitador (15 min)  Practica guiada de solución de un problema de regla de tres compuestos combinado (15 min)  Discusión, Retroalimentación, conclusión y cierre (10 min) Sesión 14: Solución de problemas de regla de tres compuesta con el uso del método facilitador (55 minutos)  Ejemplo problema genérico (10 min)  Explicación, socialización de la actividad y conformación de equipos (5 min)  Trabajo cooperativo: Solución de problemas, retroalimentación docente y evaluación grupal (30 min)  Presentación de soluciones y retroalimentación (10 min) Sesión 15: Evaluación Formativa (55 minutos)  Explicación y entrega de la evaluación (5 min)  Realización de la evaluación formativa (40 min)

 Recogida de evaluaciones y retroalimentación inicial (10 min) Sesión 16: Reflexión y consolidación final de los conceptos trabajados (55 minutos)  Reflexión y discusión sobre el aprendizaje (20 min)  Retroalimentación de las evaluaciones (20 min)  Consolidación final de los conceptos (15 min)

7.3 Implementacion de la estrategia didactica

Durante la implementación, el docente-investigador desempeña un rol activo como observador participante, lo cual es esencial en el estudio de caso. Este enfoque permitió ajustar las estrategias en tiempo real, basándose en la retroalimentación directa de los estudiantes y en la observación de las barreras y dificultades que surgen durante la ejecución de las actividades. Las sesiones se caracterizan por un enfoque cooperativo, que promovió el trabajo en equipo, el uso de representaciones gráficas y el empleo de verbos generadores para facilitar la comprensión de la proporcionalidad.

7.3.1 Implementación de las notas Post-it

La fase de implementación dio inició con la actividad de las notas post-it, diseñada con el propósito de recoger la voz del estudiantado y visibilizar sus experiencias, percepciones y concepciones sobre las clases de matemáticas. Este ejercicio se diseñó con un doble propósito: identificar barreras para el aprendizaje y la participación, las cuales fueron discutidas en detalle en los capítulos 2 y 3. Inspirado en la filosofía de Booth y Ainscow (2015), se buscó escuchar la voz de los estudiantes y actuar para responder a sus necesidades, alineándose así con el objetivo de promover una educación inclusiva. La actividad se llevó a cabo siguiendo las etapas que se describen a continuación.

7.3.1.1 Preparación. En la etapa de preparación, se elaboraron carteleras con preguntas

clave diseñadas para visibilizar y recopilar información sobre las experiencias y percepciones de los estudiantes respecto a las clases de matemáticas. Estas preguntas formuladas abordan aspectos como la inclusión en el aprendizaje y las dificultades especificas en matemáticas, reflejando las discusiones previas sobre las múltiples dimensiones de las barreras para el aprendizaje y la participación. Las preguntas formuladas fueron las siguientes:  ¿Qué actividades le ayudan a aprender?

 ¿En qué actividades no se siente incluido en el aprendizaje?  ¿Qué temas se le dificultan en matemáticas?

 ¿Qué haría de forma diferente si fuera el profesor?

 ¿Qué se puede cambiar en clase de matemáticas?

 Durante su vida escolar, ¿cuál es el mejor recuerdo que tiene de las clases de matemáticas?

 ¿Cuándo se queda atascado en un problema de matemáticas, qué hace el maestro que le ayuda a resolverlo?

 Durante su vida escolar, ¿cuál es el episodio de las clases de matemáticas que desearía no haber vivido o presenciado?

 ¿Se siente excluido en (el colegio, la clase) cuando...?

 ¿Los profesores le hacen sentir excluido cuando...?

 ¿Siente acoso escolar en clase cuando...?

 ¿Se siente intimidado en clase cuando...?

7.3.1.2 Ejecución. Se explicó a los estudiantes los objetivos y propósito de la actividad, además de proporcionar ejemplos de respuestas para que entendieran como se desarrollara y lo que sé que se espera. Seguido, se les entregaron notas post-it para que escribieran sus comentarios y los pegaran en la cartelera que contenía la pregunta de interés, la cual era ubicada

una a la vez en el tablero. Durante la etapa que los estudiantes disponían sus respuestas en las carteleras, el docente evito mirar hacia estas para permitir que los estudiantes expresaran sus opiniones y experiencias de manera anónima, favoreciendo un ambiente de confianza y sinceridad. Esta medida fue esencial para permitir que los estudiantes expresaran libremente sus opiniones y experiencias, especialmente útil para abordar las barreras emocionales y sociales previamente identificadas en el capítulo 3. Muestra del desarrollo de la actividad se puede observar en las siguientes fotos.

Figura 82 Actividad notas Post-It Actividad notas Post-It

Nota. La figura muestra del desarrollo de las notas post-it donde se observa la ´participación activa de los estudiantes. Fuente: elaboración propia.

7.3.1.3 Discusión. Una vez concluidas las preguntas, se abrió un espacio de discusión

colectiva, en el cual los estudiantes compartieron sus experiencias y reflexiones en torno a lo escrito en las notas post-it. Esta etapa fue crucial para generar empatía y fomentar la reflexión conjunta, vinculando directamente con las reflexiones sobre prácticas educativas inclusivas discutidas en el capítulo 4. Esta etapa permitió identificar tanto sentimientos como situaciones comunes y discrepancias en las experiencias de aprendizaje.

7.3.1.4 Cierre. Finalmente, se orientó la conversación hacia las actividades y situaciones que los estudiantes consideran más útiles para su aprendizaje y aquellas que presentan dificultades, con el fin de obtener una visión clara de las barreras que enfrentan. Esta información se utilizó posteriormente para la planificación de estrategias de intervención diseñadas para mitigar las barreras identificadas durante las sesiones de clase. Este enfoque se alinea con los principios de una educación inclusiva establecidos al inicio de la tesis, garantizando que las intervenciones propuestas estén profundamente conectadas con las necesidades reales y percibidas de los estudiantes.

7.3.1.5 Analisis de las respuestas.

Las respuestas de los estudiantes se organizaron en categorías para facilitar su análisis. Para clarificar la prevalencia de cada categoría, se han utilizado los siguientes términos basados en los porcentajes de respuesta recibidas:

 Raro: 0% < 𝑥 ≤10% de las respuestas  Ocasional: 10% < 𝑥 ≤20% de las respuestas  Frecuente: 20% < 𝑥 ≤50% de las respuestas  Muy frecuente: 50% < 𝑥 ≤100% de las respuestas A continuación, se presentan los principales hallazgos de la actividad:

1. Actividades que ayudan a aprender

 Preferencia por actividades lúdicas y deportivas (frecuente).  Valoración de métodos de enseñanza tradicionales, trabajo cooperativo y atención personalizada (frecuente).

 Comentarios no específicos (ocasional).

2. Actividades en las que se sienten excluidos

 Exclusión en actividades académicas generales (frecuente).

 Exclusión en actividades específicas como exposiciones y trabajos en equipo (muy frecuente).

 Mención de dinámicas problemáticas con el profesor (ocasional).

3. Temas difíciles en matemáticas

 Dificultades específicas con divisiones (muy frecuente).  Percepción general de que "todo" en matemáticas es difícil para algunos (frecuente).

 No encuentra dificultades (ocasional).

4. Sugerencias si fueran el profesor

 Deseo de más actividades físicas y recreativas (frecuente).  Propuestas para hacer las clases más divertidas y menos centradas en tareas y exámenes (muy frecuente).

 Cambios en la actitud y método de enseñanza del profesor (raro).

5. Mejores recuerdos en matemáticas

 Logros académicos como aprender operaciones básicas (frecuente).  Interacciones sociales positivas y actividades lúdicas (frecuente).  Indiferencia o desagrado (raro)

6. Deseos de cambio en las clases de matemáticas

 Reducción de penalizaciones y tareas (frecuente).  Más actividades al aire libre y recreativas (frecuente).  Métodos de enseñanza y evaluación (ocasional)  Cambios en la actitud del profesor (ocasional).

7. Ayuda del profesor con dificultades en matemáticas

 Valoración de la explicación directa y personalizada (muy frecuente).  Uso de recursos adicionales como videos de YouTube (ocasional).

 Mención de poca ayuda en un caso (raro).

8. Experiencias negativas en clases de matemáticas

 Problemas con penalizaciones y observaciones injustas (muy frecuente).  Comentarios despectivos de compañeros (frecuente).

 Un estudiante no recuerda incidentes negativos (raro).

9. Sentimiento de exclusión en la clase

 Exclusión social y comentarios hirientes (frecuente).

 Participación ignorada o no permitida (frecuente).

 Dificultad en comprender el tema (ocasional).

7.3.1.6 Expansión del alcance de la actividad: entrevistas a otras docentes

Después de implementar la actividad de las notas post-it y analizar las respuestas obtenidas de los estudiantes en mis clases de matemáticas, surgió la inquietud de determinar si esta metodología podría ayudar a otros docentes a identificar barreras para el aprendizaje y situaciones que dificulten el pensamiento en sus propias prácticas. Este esfuerzo es crucial para promover una enseñanza colaborativa y dedicada, aspectos destacados por Hiebert et al. (2002), como se menciona en el capítulo 4, y son claves para una mejora continua que es fundamental para transformar la práctica educativa. Para ello, amplié el alcance de la investigación solicitando a una docente de matemáticas y a una docente de artes que implementaran la actividad en sus respectivas clases.

Posteriormente, las entrevisté para evaluar si esta herramienta les permitió identificar barreras y cómo influyeron las percepciones de los estudiantes sobre la exclusión y las dinámicas de clase en distintos contextos educativos. Las entrevistas revelaron que, para avanzar hacia una escuela más inclusiva, es esencial que los docentes transformen su mentalidad. Deben dejar de centrarse exclusivamente en el sujeto de aprendizaje y sus peculiaridades, como se discutió

en el capítulo 3, para enfocarse en modificar los procesos de enseñanza y aprendizaje, superando así las barreras impuestas por las prácticas docentes. A continuación, se detallan los hallazgos de estas entrevistas y reflexiones, visibilizando cómo las notas post-it se constituyen en una herramienta práctica para identificar barreras en la práctica docente y generar procesos de reflexión sobre la misma.

7.3.1.6.1 Análisis de la entrevista a la docente de matemáticas. La entrevista con la docente de matemáticas permitió extraer diversos elementos clave que reflejan la importancia de los conceptos discutidos en los Capítulos 2 y 3 sobre las barreras curriculares y la necesidad de una enseñanza inclusiva. Estos elementos incluyen: I.

Preparación y contexto Preparación para la Actividad: La docente de matemáticas se preparó leyendo la guía proporcionada (Véase Anexo A) y decidió no hacer cambios para no alterar el objetivo de la actividad.

Explicación de la Actividad a los Estudiantes: Les explicó a los estudiantes que iban a responder preguntas usando notas post-it y que deberían pegar sus respuestas en la cartelera correspondiente.

II.

Desarrollo de la actividad Respuesta de los Estudiantes: Los estudiantes mostraron interés y participación, aunque hubo un poco de desorden inicial, especialmente en el grupo de noveno C, conocido por ser complicado.

Dificultades o Desafíos: Inicialmente, la docente tuvo que reorganizar la dinámica porque los estudiantes no seguían las instrucciones de forma ordenada. Optó por que los estudiantes se levantaran por filas para pegar sus notas.

III.

Recolección y análisis de los datos Comentarios y Respuestas Observadas:

 Un patrón recurrente fue la dificultad con la división.

 Los estudiantes mencionaron preferir explicaciones directas y personalizadas.  Hubo una percepción de que las matemáticas deberían ser más lúdicas. Método de Organización y Análisis: La docente leyó todas las respuestas en voz alta y recordó las observaciones sin tomar notas específicas, usando su memoria para el análisis. IV.

Reflexión sobre la Inclusión y Participación Barreras Significativas:

 El tono de voz fuerte de la docente fue mencionado como una barrera, ya que varios estudiantes manifestaron sentirse intimidados.

 Los estudiantes no han sido enseñados a ver la matemática de manera didáctica y lúdica.

Dificultades en la participación: Una estudiante con diversidad cognitiva ha expresado dificultades de comprensión, mencionando que en algunas ocasiones siente que no se adaptan los métodos de enseñanza a su manera de aprender. Este comentario no solo resalta que los estudiantes se sintieron seguros para expresar sus preocupaciones, sino que también sugiere la posibilidad de que algunas prácticas educativas puedan reflejar más un proceso de integración que de educación inclusiva, enfrentándose a desafíos como la colocación física sin adaptaciones profundas y significativas a las necesidades individuales, una problemática discutida en el capítulo 2. Además, refleja la necesidad, explorada en el capítulo 4, de que los docentes evalúen y adapten sus estrategias didácticas para atender la diversidad de formas de aprender de los estudiantes. Este cambio de enfoque no solo mejora el aprendizaje, sino que también fomenta la inclusión y pertenencia en el aula.

V.

Reflexión sobre la Metodología Efectividad de la Actividad: la docente considera que la actividad es útil para recoger la voz de los estudiantes, pero sugiere que se debe buscar la forma que exista más privacidad la hora de consignar las respuestas para obtener respuestas más sinceras. Ella reconoce que del todo los estudiantes no sentían que hubiera mucha privacidad en la forma como lo implemento y posiblemente los estudiantes se pudieron sentir intimidades, aunque igual resalta que la actividad si le genero procesos auto reflexivos, sobre su propia práctica docente y la necesidad de cambiar ciertos aspectos.

VI.

Impacto en la Práctica Docente Cambios Implementados: Aún no ha implementado cambios específicos, pero reconoce la necesidad de hacer clases más dinámicas y menos rígidas.

VII.

Recomendaciones y Sugerencias Recomendaciones a Otros Docentes: Sugiere replantear la actividad para dar más privacidad a los estudiantes al pegar sus notas. Recomienda pensar en cómo implementar la actividad en función de los objetivos específicos de cada docente.

VIII.

Comentarios y Reflexiones Adicionales La docente valora la actividad como una oportunidad para repensar su práctica docente y destaca la importancia de hacer sentir a los estudiantes escuchados y valorados. Este enfoque refleja el “Principio 1: ética de cuidado y diversidad” discutido en el capítulo 4, y resalta la relevancia del desarrollo profesional como una necesidad apremiante para promover un ambiente educativo inclusivo, tema discutido en capítulos anteriores.

IX.

Aplicabilidad a Otras Áreas La docente cree que esta metodología puede aplicarse a otras áreas o asignaturas, no solo matemáticas, ya que facilita la expresión de los estudiantes y la recogida de sus perspectivas.

X.

Principal interrupción en el pensamiento Con base en la perspectiva de Ainscow (2005), que subraya la importancia de generar interrupciones en el pensamiento para desarrollar prácticas inclusivas, la actividad de las notas post-it sirvió efectivamente como un catalizador en este proceso para la docente. La docente se dio cuenta de que su tono de voz y la forma de dirigir la clase podrían estar generando una barrera para la participación de algunos estudiantes, lo que le llevó a reflexionar sobre la necesidad de un cambio en su metodología para hacer las clases más inclusivas y participativa, reflejando así el potencial de las interrupciones de pensamiento para catalizar cambios significativos en las prácticas educativas.

7.3.1.6.2 Análisis de la entrevista a la docente de Artes

La entrevista con la docente de artes arrojó conclusiones que enriquecieron el análisis sobre la actividad de las notas post-it, mostrando una perspectiva diferente debido a las características de la asignatura de arte. A continuación, se presenta un resumen de los hallazgos: I.

Preparación y Contexto La docente mostró un alto nivel de interés en conocer las percepciones de sus estudiantes, dado que lleva varios años trabajando con los mismos grupos. Su preparación incluyó la lectura de la guía (Véase Anexo B) y la organización de la actividad, buscando garantizar que los estudiantes se sintieran seguros y sin temor a represalias. Esto es importante ya que su objetivo era recibir respuestas sinceras y constructivas.

II.

Desarrollo de la Actividad Los estudiantes respondieron de manera positiva y participaron activamente en la actividad. Algunos mostraron resistencia inicial debido al cierre del periodo académico, pero en general, la actividad fue bien recibida. La docente destacó que la actividad permitió identificar aspectos rutinarios que podrían mejorarse.

III.

Recolección y Análisis de Datos Los comentarios recogidos en las notas post-it revelaron que los estudiantes consideran que la docente es muy estricta, especialmente para ser la asignatura de arte que ellos la ven como una materia más relajada y fresca. Este patrón fue recurrente en los dos grupos que realizo la actividad, indicando una percepción clara sobre su método de enseñanza. La docente organizó y analizó las respuestas de manera visual y con la ayuda de estudiantes de servicio social, a través de entrevista realizada a estos confirmo la validez de las observaciones. IV.

Observaciones sobre la Inclusión y Participación Las principales barreras identificadas fueron curriculares y logísticas, como el tamaño de los grupos y la percepción de ser demasiado estricta. La docente notó que la percepción de los estudiantes de octavo fue más crítica y directa en comparación con los estudiantes de once, que están más acostumbrados a su metodología.

V.

Reflexión sobre la Metodología La docente considera que la actividad de las notas post-it es efectiva para recoger la voz de los estudiantes, especialmente debido a su naturaleza anónima. Esto permitió obtener comentarios honestos y directos. La docente reconoció la necesidad de evaluar su práctica y hacer ajustes para mejorar la experiencia educativa de sus estudiantes, particularmente en lo que respecta a la percepción de la asignatura como más estricta de lo necesario.

VI.

Impacto en la Práctica Docente:

La docente implementó cambios basados en las respuestas de los estudiantes, como la flexibilización en la elección de la ubicación dentro de la clase y la reintroducción de actividades al aire libre. Observó una respuesta positiva por parte de los estudiantes, quienes mostraron más disposición y alegría al participar en las nuevas dinámicas.

VII.

Recomendaciones y Sugerencias La docente sugiere que otros docentes no tomaran los comentarios de los estudiantes como críticas personales, sino como aportes para mejorar su práctica pedagógica. También enfatiza la importancia de realizar algunos de los cambios sugeridos por los estudiantes para probar su efectividad.

VIII.

Comentarios y Reflexiones Adicionales La docente concluye que la actividad de las notas post-it permite reflexionar sobre la práctica docente y adaptar métodos para crear un ambiente de aprendizaje más inclusivo y efectivo. Además, destacó que la actividad la hizo consciente de la importancia de permitir a los estudiantes expresar sus percepciones y experiencias de manera anónima para obtener un panorama más honesto y claro de sus necesidades.

IX.

Aplicabilidad a Otras Áreas Considera que esta metodología puede aplicarse a otras áreas y asignaturas para identificar barreras y mejorar la experiencia educativa. Además, destacó que la actividad también podría ser utilizada como una herramienta para el desarrollo de habilidades socioemocionales y el fomento de la empatía entre los estudiantes.

X.

Principales Interrupciones en el Pensamiento de la Docente Flexibilización de la evaluación: La docente se dio cuenta que su enfoque tradicional de evaluación podría estar limitando la creatividad y participación de sus estudiantes. La actividad de las notas post-it le permitió ver que los estudiantes podrían estarse sintiendo demasiado presionados por su evaluación, pero reconoce que es algo que debe investigar más a fondo, para observar las verdaderas implicaciones de esto. Esta interrupción en su pensamiento la llevó a reconsiderar la posibilidad de flexibilizar sus métodos de evaluación. Este cambio se alinea con el "Principio 6: evaluación formativa y comprensiva", presentado en el capítulo 4, que promueve la evaluación no solo como una herramienta de medición, sino como un medio para fomentar una práctica educativa inclusiva y centrada en el aprendizaje, según el enfoque de Giné y Piqué

(2007).

Percepción de Estricta: Una de las barreras más significativas identificadas fue la percepción de los estudiantes sobre su estricto manejo de la clase. La docente reflexionó sobre cómo su enfoque podría estar creando una atmósfera de miedo y restricción, para algunos estudiantes, llevándola a reconsiderar su actitud y la dinámica de las clases. Necesidad de Mayor Flexibilidad: La docente visibilizo a través de las notas post it que sus clases podrían beneficiarse al flexibilizarla un poco, tanto en la estructura de las actividades como en la organización del aula. La actividad resaltó la importancia de permitir a los estudiantes cierta autonomía en la elección de su ubicación en el aula y la incorporación de actividades al aire libre. Esta interrupción en su pensamiento la impulso a realizar clases al aire libre, lo que fue bien recibido por los estudiantes ya que observaron que su voz fue escuchada, aumentando la apertura e interés por el aprendizaje. Este cambio está alineado con el “Principio 3: construir sobre el pensamiento del estudiantado y adaptar la enseñanza”, discutido en el capítulo 4, lo que destaca la importancia de escuchar y actuar conforme a las necesidades de los estudiantes.

Aunque estas clases le exigen mayor concentración en la ubicación de los estudiantes, la docente notó un aumento significativo en la apertura e interés por el aprendizaje. Enfoque en la Inclusión: La reflexión sobre las respuestas de los estudiantes subrayó la necesidad de un mayor enfoque en la inclusión y la comprensión. La docente reconoció que debía hacer un esfuerzo consciente para garantizar que todos los estudiantes a la hora de la evaluación de su trabajo se sintieran valorados y comprendidos, independientemente de sus habilidades o diversidad. Además, identifico la necesidad de promover el trabajo cooperativo, la corresponsabilidad y empatía entre los estudiantes, y asegurar que sus prácticas docentes no contribuyan a la exclusión o el acoso. Esta perspectiva está alineada con la idea de que el docente es quien da vida a la educación inclusiva en el aula, un concepto discutido en sesiones anteriores de la tesis.

Importancia de las Interacciones Sociales: La actividad también reveló que las interacciones sociales en el aula son percibidas por los estudiantes como un impacto significativo en su experiencia de aprendizaje. La docente comprendió que fomentar un ambiente de apoyo y cooperación entre los estudiantes es crucial para su bienestar y éxito académico. Esta realización la llevó a buscar estrategias para mejorar las dinámicas sociales en su clase, lo que está alineado con los principios discutidos a lo largo del capítulo 4, incluyendo el fomento del aprendizaje cooperativo y la valoración de la diversidad como una oportunidad de aprendizaje.

7.3.1.7 Reflexiones Finales: Notas Post-it y Contribuciones hacia la Consecución de una

Educación Inclusiva Los resultados de la actividad de las notas post-it, tanto en mis clases de matemáticas como en las experiencias compartidas con las docentes de matemáticas y artes, reflejan la importancia de la participación activa como una herramienta de mejora constante en la práctica educativa. Este enfoque permitió involucrar a los estudiantes no solo como receptores del

conocimiento, sino también como actores activos en la identificación de barreras y propuestas de cambio.

Esta reflexión conjunta se presenta como un paso esencial dentro del ciclo de mejora continua, proporcionando una continuidad fluida a las actividades realizadas en la fase de implementación, donde se promovió la participación activa del estudiantado y la colaboración docente. La implementación de las notas post-it y las entrevistas a las docentes evidenciaron las siguientes contribuciones clave al proceso:

Recogida de la Voz del Estudiantado: El uso de notas post-it permitió a los estudiantes expresar sus opiniones y sentimientos en un ambiente seguro y anónimo, visibilizando las barreras percibidas y promoviendo un entorno más inclusivo. Este aspecto fortalece la visión de que escuchar activamente a los estudiantes es fundamental para una educación inclusiva, como se exploró en el capítulo 2.

Reflexión Crítica de la Práctica Docente: Tanto las docentes participantes como yo pudimos analizar las respuestas de los estudiantes y reflexionar sobre nuestras propias prácticas, reconociendo áreas de mejora y tomando decisiones informadas sobre cambios necesarios en el ambiente de aula. Este proceso de autoevaluación y ajuste continuo es esencial para el desarrollo profesional continúo discutido en el capítulo 4.

Enfoque Inclusivo: La actividad promovió un enfoque inclusivo, visibilizando las necesidades particulares de los estudiantes y permitiendo adaptar las estrategias didácticas para que todos pudieran participar y aprender, independientemente de sus habilidades o desafíos. Este enfoque está alineado con los principios de educación inclusiva detallados en el capítulo 2 Fortalecimiento del Compromiso con la Innovación Educativa: Las docentes participantes destacaron cómo la actividad fomentó una actitud de apertura hacia la experimentación y la innovación, lo cual generó interrupciones en el pensamiento y replanteamientos significativos en

sus prácticas, siendo esencial en un proceso orientado a la mejora continua. Este enfoque se alinea con las Prácticas de educación inclusiva en el aula, discutidas en el capítulo 2, resaltando la importancia de adaptar y revisar continuamente las metodologías educativas para atender eficazmente la diversidad en el aula.

Empoderamiento del Estudiantado: A través de la actividad, los estudiantes tuvieron la oportunidad de participar activamente en la construcción de su experiencia de aprendizaje, lo cual fortaleció su sentido de pertenencia y responsabilidad en el aula.

7.3.2 Pre test

Después de haber implementado la actividad de las notas post-it y analizado tanto las respuestas de los estudiantes como las entrevistas realizadas a las docentes, se identificaron diversas barreras y factores que influyen en el aprendizaje y la participación en las clases de matemáticas, resonando con las discusiones del capítulo 2 sobre desafíos en educación inclusiva. Con el fin de profundizar en la comprensión de estas barreras y evaluar el nivel de conocimiento de los estudiantes, se procedió a la aplicación de un pre-test. El pre-test es una herramienta fundamental en esta investigación, ya que permite no solo identificar las dificultades específicas de los estudiantes en el razonamiento proporcional, discutidas ampliamente en el capítulo 5, sino también establecer una línea base para medir el impacto de las estrategias didácticas adaptadas en la eliminación de barreras para el aprendizaje. Su aplicación proporciona una perspectiva inicial sobre la comprensión de los estudiantes y ayuda a orientar las intervenciones posteriores de manera más precisa y efectiva. El pre-test se diseñó para cumplir varios objetivos:

Valorar los conocimientos previos: Determinar la capacidad de los estudiantes para dar solución a problemas de proporcionalidad.

Identificar dificultades específicas: Detectar aspectos específicos en los que los estudiantes presentan mayores dificultades, como las mencionadas en la actividad de las notas post-it (por ejemplo, dificultades en la división), así como identificar problemas en los procesos de traducción, que actúan como una barrera para el aprendizaje. Establecer un punto de comparación: Proporcionar datos cuantitativos que permitan evaluar el progreso de los estudiantes una vez se implementó la estrategia didáctica en la fase de implementación.

La siguiente sección detalla el diseño, implementación y análisis del pre-test aplicado a los estudiantes, incluyendo las preguntas utilizadas y los resultados obtenidos.

7.3.2.1 Implementación del Pre-test

El pre-test se aplicó en ambos grupos de grado séptimo, siguiendo una secuencia ordenada para garantizar una aplicación uniforme. La actividad se inició con una explicación de los objetivos del pre-test, destacando que su propósito era valorar sus conocimientos y detectar áreas que podrían requerir apoyo adicional.

La prueba incluyó una serie de problemas de proporcionalidad diseñados para evaluar diversas habilidades relacionadas con este concepto matemático. Se seleccionaron problemas que reflejan situaciones cotidianas y contextos reales para facilitar la comprensión y fomentar un entorno de evaluación menos intimidante. Los problemas incluidos fueron los siguientes:

1. Un coche recorre 150 km en 3 horas. ¿Cuántos kilómetros recorrerá en 10 horas a la

misma velocidad?

Muestra todos tus cálculos y explica cómo llegaste a tu respuesta.

2. El coche A recorre 120 km en 2 horas. El coche B recorre 300 km en 5 horas. ¿Cuál

coche va más rápido o ambos tienen la misma velocidad?

Muestra todos tus cálculos y explica cómo llegaste a tu respuesta.

3. María compra 4 manzanas por 8 pesos. ¿Cuánto costarán 10 manzanas al mismo

precio por unidad?

Muestra todos tus cálculos y explica cómo llegaste a tu respuesta.

4. receta requiere 2 tazas de azúcar por cada 3 tazas de harina. Si usas 9 tazas de harina,

¿cuántas tazas de azúcar necesitarás?

Muestra todos tus cálculos y explica cómo llegaste a tu respuesta.

5. El Señor Alto mide 18 clips. El Señor Bajo mide 12 clips.

Si se necesita colocar un clip cada 2 cm de altura, ¿cuál es la altura de cada uno en centímetros? ¿Quién es más alto y cuál es la diferencia en altura? Muestra todos tus cálculos y explica cómo llegaste a tu respuesta.

6. Tres camisas se secan en una hora. ¿Cuántas horas se requieren para secar 6

camisas? Explica tu razonamiento y determina si es válido aplicar la proporcionalidad en este caso.

7. Juan corre 100 metros en 20 segundos en clase de educación física. ¿Cuánto tiempo

tomaría para correr 200 metros al mismo ritmo? Explica tu razonamiento y determina si es válido aplicar la proporcionalidad en este caso.

Para los estudiantes con dificultades de aprendizaje y diversidad funcional cognitiva, el pre-test se adaptó mediante la incorporación de imágenes que ilustraban cada problema, con el fin de facilitar la comprensión visual y mejorar el acceso a la información. Esta adaptación se alinea con el enfoque inclusivo de la investigación y con el “Principio 1 del DUA: Proporcionar múltiples medios de representación”, ofreciendo un apoyo visual que permite a los estudiantes

interpretar más fácilmente las situaciones planteadas en los problemas. (Véase Anexo C para la evaluación con imágenes).

7.3.2.2 Resultado del Pre-test

Los resultados obtenidos del pre-test en ambos grupos se agruparon en tres categorías:  Correctas con razonamiento claro: Respuestas correctas acompañadas de un razonamiento matemático coherente y detallado.

 Incorrectas con errores identificables: Respuestas incorrectas con errores que pueden ser rastreados a una falta de comprensión específica o a un proceso de traducción incorrecto.  Indeterminadas o confusas: Respuestas donde los estudiantes no lograron estructurar un razonamiento claro, evidenciando barreras más profundas en la comprensión de la proporcionalidad.

A continuación, se presentan los resultados desglosados por grupo: Para el grupo7A los resultados que se obtuvieron se consignan en la siguiente tabla de frecuencia (ver Tabla 10):

Tabla 10 Tabla de frecuencia del Pre-test del grupo 7A Tabla de frecuencia del Pre-test del grupo 7A Numero de Pregunta Correctas con razonamiento claro:

Incorrectas con errores identificables Indeterminadas o confusas Pregunta 1

11

18

6

Pregunta 2

6

15

14

Pregunta 3

11

17

7

Pregunta 4

10

14

11

Pregunta 5

Pregunta 6

2

22

11

Pregunta 7

13

7

15

Nota. Esta tabla muestra los resultados del pre-test para el grupo 7A, desglosados en tres categorías: respuestas correctas con razonamiento claro, respuestas incorrectas con errores identificables, y respuestas indeterminadas o confusas. Cada categoría en esta tabla ayuda a identificar el nivel de comprensión en cada una de estas categorías y permite visibilizar las posibles barreras en el aprendizaje de la proporcionalidad. Fuente: elaboración propia. La Tabla 11 es la tabla de frecuencias del Pre-test del grupo 7B Tabla 11 Tabla de frecuencia del Pre-test del grupo 7B Tabla de frecuencia del Pre-test del grupo 7B Numero de Pregunta Correctas con razonamiento claro:

Incorrectas con errores identificables Indeterminadas o confusas Pregunta 1

10

20

6

Pregunta 2

8

18

10

Pregunta 3

13

14

9

Pregunta 4

15

12

9

Pregunta 5

9

15

12

Pregunta 6

3

29

4

Pregunta 7

16

10

10

Nota. Esta tabla muestra los resultados del pre-test para el grupo 7B, desglosados en tres categorías: respuestas correctas con razonamiento claro, respuestas incorrectas con errores identificables, y respuestas indeterminadas o confusas. Cada categoría en esta tabla ayuda a identificar el nivel de comprensión en cada una de estas categorías y permite visibilizar las posibles barreras en el aprendizaje de la proporcionalidad. Fuente: elaboración propia

7.3.2.3 Análisis de Resultados del Pre-test

I.

Grupo 7A:

Pregunta 1 (Kilómetros recorridos): El 68,6 % de los estudiantes no logró resolver el problema correctamente. Entre los errores más frecuentes se identificaron fallos en los procesos de traducción, lo que resalta una comprensión deficiente de la proporcionalidad básica. Además, estos errores se ven agravados por dificultades en las operaciones básicas. Esto se puede evidenciar en la Figura 83 Figura 83 Fallas en los procesos de traducción de los estudiantes Fallas en los procesos de traducción de los estudiantes

Nota. Visualización de los errores cometidos por los estudiantes en los procesos de traducción del problema, como se observa en la Pregunta 1 del pre-test. Este gráfico destaca cómo las dificultades en operaciones aritméticas básicas agravan los errores de traducción, afectando la precisión de los cálculos realizados por los estudiantes. Este análisis refuerza la necesidad de abordar tanto las competencias lingüísticas como matemáticas para mejorar la comprensión y aplicación de conceptos proporcionalidad, tal como se discutió en los capítulos anteriores de esta investigación Fuente: elaboración propia.

Pregunta 2 (Velocidad del coche): Solo 6 de los 35 estudiantes, es decir, el 17 %, resolvieron el problema correctamente. Es importante destacar que 4 de estos 6 estudiantes también resolvieron correctamente el primer punto. Los otros dos estudiantes presentaron errores: uno en el proceso de traducción del primer punto y el otro en las operaciones básicas. Esto demuestra una dificultad general para calcular y comparar velocidades. Pregunta 3 (Costo de manzanas): El 68 % de los estudiantes no resolvió el problema correctamente, lo que indica dificultades en la aplicación de la proporcionalidad directa en contextos cotidianos, un desafío destacado en el capítulo 5 en relación con la transición del pensamiento aditivo al multiplicativo. Fue observado que algunos estudiantes llegaban a la respuesta mediante un pensamiento aditivo en lugar de multiplicativo, como se puede ver en la Figura 84. Además, incluso aquellos estudiantes que habían resuelto correctamente los dos problemas previos presentaron problemas en los procesos de traducción, como se muestra en la Figura 85.

Figura 84 Evidencia de solución a través de pensamiento aditivo Evidencia de solución a través de pensamiento aditivo

Nota. La figura refleja los enfoques aditivos adoptados por algunos estudiantes al resolver la Pregunta 3 del pre-test sobre el costo de las manzanas. Destaca la falta de un pensamiento multiplicativo o proporcionalidad en la aplicación de estrategias de solución prácticas en situaciones de contexto. Fuente: elaboración propia

Figura 85 Evidencia de errores de traducción Evidencia de errores de traducción.

.

Nota. Muestra ejemplos específicos de errores en los procesos de traducción realizados por un estudiante que, a pesar de resolver correctamente problemas anteriores, falló en este contexto. Resalta la falta de análisis en la solución del problema, como se ve en el comentario 'es muy fácil', sugiriendo una solución mecanicista al problema. Fuente: elaboración propia Pregunta 4 (Tazas de azúcar): Solo el 28 % de los estudiantes resolvió correctamente, sugiriendo dificultades con la proporcionalidad en recetas.

Pregunta 5 (Altura en lápices): El 80 % de los estudiantes no comprendió bien la conversión de unidades, destacando una barrera específica en la traducción de problemas. Pregunta 6 (Secado de camisas): Solo 2 de los 35 estudiantes dieron la solución correcta, mientras que la mayoría respondió que se demorarían 2 horas. Esto demuestra dificultades para aplicar la proporcionalidad correctamente y destaca la necesidad de reforzar el principio de regularidad como un factor clave para mitigar la sobre-generalización de la linealidad. Pregunta 7 (Tiempo para correr): Solo el 36% de los estudiantes resolvió el problema correctamente. Sin embargo, es importante destacar que la mayoría de los estudiantes no considero la condición de regularidad necesaria para validar su respuesta. Es decir, no mencionaron que la solución de 40 segundos seria valida únicamente si se asegura que el estudiante mantendría el mismo ritmo durante los otros 100 metros. Esta omisión refleja una compresión insuficiente de la proporcionalidad, donde se requiere garantizar el principio de

regularidad para garantizar resultados acertados y además evitar la sobre-generalización de la linealidad, como se discute en profundidad en el capítulo 5..

Grupo 7B:

Pregunta 1 (Kilómetros recorridos): El 71% de los estudiantes no resolvió correctamente el problema lo que representa un aumento en comparación con el grupo 7A. Esto refleja mayores dificultades del grupo 7B para traducir el problema y llegar a una solución adecuada. Pregunta 2 (Velocidad del coche): Solo el 22% de los estudiantes resolvió correctamente el problema. El resto de estudiantes un 50% cometió errores identificables y el 28 % restante respuestas confusas. Aunque el porcentaje de respuestas confusas de 28% en comparación del 40 % del grupo 7A es más bajo, los resultados indican que en ambos grupos existen dificultades para comparar velocidades.

Pregunta 3 (Costo de manzanas): El 37% de los estudiantes resolvió correctamente este problema. Sin embargo, al igual que en el grupo 7A, se observó que muchos de estos estudiantes llegaron a la solución mediante un pensamiento aditivo en lugar de uno multiplicativo. Lo que indica una comprensión inadecuada de la proporcionalidad directa. Estos resultados sugieren además que persiste una confusión entre enfoques aditivos y multiplicativos al resolver problemas de proporcionalidad, destacando la necesidad de reforzar la conceptualización de la proporcionalidad directa en contextos cotidianos.

Pregunta 4 (Tazas de azúcar): El 42% de los estudiantes resolvió correctamente este problema, evidenciando una mejora en problemas de este tipo en comparación con otras preguntas.

Pregunta 5 (Altura en clics): Al igual que la mayoría de las preguntas se observaron dificultades, en este problema solo el 25 % de los estudiantes la resolvió correctamente, lo que indica dificultades en la conversión de unidades y en la traducción de problemas no tradicionales.

Sin embargo, se debe resaltar que algunos estudiantes manifestaron dificultades durante la evaluación con el proceso de traducción al no comprender a que se refería el problema con “clips”, destacando un fallo en la consideración del contexto lingüístico y social actual de los estudiantes. Esta selección del problema, aunque común en contextos académicos, contradice los planteamientos del capítulo 3 sobre la importancia de adaptar la enseñanza a los contextos lingüísticos y culturales de los estudiantes para fomentar una mejor comprensión y una educación más inclusiva.Pregunta 6 (Secado de camisas): Al igual que en el grupo 7A, solo 3 de los 36 estudiantes presentaron una respuesta correcta, mientras que la mayoría respondió que se demoraría 2 horas, esto confirma la necesidad de abordar y conceptualizar el principio de regularidad. Este resultado en ambos grupos evidencia una sobre-generalización de la linealidad, lo cual destaca la importancia de abordar explícitamente la regularidad como una condición clave para aplicar la proporcionalidad de forma adecuada.

Pregunta 7 (Tiempo para correr): El 44% de los estudiantes resolvió correctamente el problema, sin embargo, la mayoría de estos no explicitó que su respuesta es valedera bajo la condición de regularidad necesaria, es decir, “mantiene el ritmo con el cual realizo los primeros 10 metros”.

Observaciones cualitativas de los grupos de grados séptimos y estudiantes con diversidad funcional cognitiva Observaciones generales del grupo 7A y caso de la estudiante con autismo Durante la aplicación del pre-test en el grupo 7A, el docente-investigador tuvo que ausentarse por una situación personal, siendo reemplazado por otra docente. La docente suplente reportó que varios estudiantes mostraban apatía hacia la prueba, lo cual se reflejó en respuesta incompletas o evaluaciones en blanco. Posteriormente, al indagar sobre esta falta de

interés, algunos estudiantes mencionaron que consideraban la evaluación demasiado difícil, lo que sugiere un desafío percibido en la comprensión de los problemas planteados. En el caso específico de la estudiante con autismo del grupo 7A, se observó una actitud diferente. A pesar de las dificultades, la estudiante mostró un interés notable al intentar responder todos los problemas del pre-test. Sin embargo, al revisar su evaluación, se identificaron dificultades significativas en los procesos de traducción de los enunciados. Como se muestra en la Figura 86, en los problemas 5, 6 y 7, la estudiante interpretó erróneamente que se le preguntaba por el precio de las camisas y los pantalones, a pesar de que estos términos no formaban parte de enunciados de los problemas, Es importante señalar que las imágenes asociadas a estos problemas incluían camisas y/o pantalones, lo que pudo haber influido en su interpretación.

Este error es consistente en las respuestas de la estudiante, quien parece utilizar las magnitudes mencionadas en el enunciado para adaptarlas a lo que percibe como una respuesta plausible, aunque no se alinee con lo solicitado. Por ejemplo:

En el problema 5, la respuesta de la estudiante fue: “la camiseta valió 9.00 y el pantalón 12.000”.

En el problema 6, respondió: “las camisetas valieron 6.000”.

En el problema 7, su respuesta fue: “la camiseta valió 20 y el pantalón 200”.

Figura 86 Imagen del Pre-Test desarrollado por la estudiante con autismo Imagen del Pre-Test desarrollado por la estudiante con autismo

Nota. La figura muestra el trabajo desarrollado por la estudiante con autismo en las preguntas 5, 6 y 7 del pre-test. A pesar de sus esfuerzos para resolver los problemas, las respuestas evidencian dificultades significativas en los procesos de traducción de los enunciados, particularmente en la interpretación de elementos visuales que no corresponden directamente a las preguntas planteadas, evidenciando también problemas en la integración de datos. Este fenómeno, discutido en el capítulo 3, sugiere la necesidad de estrategias didácticas que disminuyan la carga cognitiva para facilitar los procesos de traducción, mejorando la comprensión y participación de estudiantes con diversidad funcional cognitiva. Fuente: elaboración propia.

Aunque estas respuestas no corresponden con lo solicitado en los problemas, reflejan un intento de relacionar las magnitudes con conceptos familiares, como el precio de productos, mostrando un esfuerzo activo por participar. Es importante destacar que la estudiante fue coherente en asignar un valor más alto a los pantalones que a las camisetas, lo que indica una lógica interna consistente, aunque equivocada.

Estos hallazgos subrayan la necesidad de diseñar estrategias más visuales y explícitas, además de un lenguaje más sencillo puede ser determinante para mejorar la comprensión y traducción de los enunciados en problemas matemáticos, especialmente para estudiantes con diversidad funcional cognitiva como la estudiante con autismo. La disposición de la estudiante a intentar resolver los problemas representa una oportunidad significativa para fortalecer su comprensión a través de métodos más adaptados y accesibles.

Observaciones del grupo 7B y estudiantes con dificultades de aprendizaje En el grupo 7B, varios estudiantes con dificultades de aprendizaje manifestaron apatía hacia el pre-test, argumentando que "siempre pierden en los exámenes". Esta actitud revela

barreras tanto cognitivas como emocionales, lo que sugiere que la percepción negativa de su rendimiento impacta directamente en su disposición para enfrentar la evaluación. Además, una de las estudiantes con dificultades de aprendizaje comentó que cambió el examen con un compañero porque "no me gustan con dibujitos, ya soy grande". Cuando el docente le preguntó si pensaría lo mismo si todos hubieran recibido exámenes con dibujos, ella respondió: "como no todos tienen dibujitos, por eso me siento así". Esta respuesta, junto con las percepciones similares de otros estudiantes que recibieron el examen adaptado, destaca un sentimiento de diferencia o exclusión cuando las actividades se presentan de manera distinta para ciertos estudiantes, incluso si se hace con la intención de facilitar la comprensión. Asimismo, otra estudiante preguntó al docente cómo veía su examen al entregarlo. Al recibir la respuesta de que presentaba varios errores, la estudiante expresó: "ya no quiero hacer la tesis", y, al ser indagada sobre su reacción, mencionó sentir frustración. Esta situación evidencia cómo la percepción de errores puede generar emociones de desmotivación, lo cual afecta no solo el desempeño, sino también la disposición a participar en futuras actividades. Estos hallazgos sugieren la necesidad de implementar estrategias de evaluación y enseñanza que fomenten una sensación de pertenencia y equidad en el aula, evitando diferencias percibidas que puedan influir en la autoestima y motivación de los estudiantes. Es fundamental considerar enfoques más inclusivos que mantengan el mismo tipo de material para todos, adaptando las explicaciones de manera verbal o mediante apoyo docente adicional, para que los estudiantes con diversidad funcional no sientan que se les da un trato diferente, lo cual puede derivar en sentimientos de exclusión.

Implicaciones para la investigación:

Las observaciones obtenidas durante el pre-test destacan la necesidad de:

Mejorar las representaciones visuales y simplificar enunciados: Acorde con el "Principio 1 del DUA: Proporcionar múltiples medios de representación", es crucial reducir la carga cognitiva en la traducción de problemas mediante el uso de representaciones visuales claras y enunciados simplificados. Este enfoque facilita la comprensión en estudiantes con diversidad funcional cognitiva, reduciendo la carga cognitiva necesaria para la traducción de los problemas. Fortalecer la motivación y autoestima: Mediante retroalimentación positiva y reconocimiento de logros, creando un ambiente más alentador y colaborativo para todos los estudiantes. Este enfoque, esencial para mejorar la participación y rendimiento estudiantil, se alinea con las discusiones sobre la importancia de la motivación en el aprendizaje. Mantener una equidad perceptiva: Es fundamental diseñar evaluaciones que parezcan similares para todos, de modo que los estudiantes no se sientan diferentes o excluidos por recibir materiales adaptados, reforzando la inclusión y la equidad en el aula Fomentar espacios de diálogo reflexivo: Procurar que los estudiantes puedan expresar sus emociones y percepciones sobre las actividades, lo que permitirá ajustar las estrategias de manera más precisa y empática, reforzando así los principios de la educación inclusiva.

7.3.2.4 Proceso reflexivo

Barreras Específicas Identificadas: Se han identificado barreras para el aprendizaje relacionadas con dificultades en la traducción de problemas y en la aplicación práctica de la proporcionalidad. Las dificultades en las operaciones básicas también contribuyeron a una comprensión deficiente de la proporcionalidad en ambos grupos, aunque fueron más notorias en el grupo 7B.

Diferencias entre grupos: Los resultados indican que el grupo 7B tiene un menor desempeño general en la comprensión de la proporcionalidad básica en comparación con el

grupo 7A. Sin embargo, ciertos conceptos, como la condición de regularidad, siguen siendo problemáticos en ambos grupos.

Recomendaciones:

Refuerzo en la Traducción de Problemas: Dado que las dificultades en los procesos de traducción han sido una constante en años anteriores, se propone una estrategia de análisis de verbos generadores para eliminar o mitigar las barreras relacionadas con la interpretación y traducción de problemas. Este enfoque permitirá que los estudiantes comprendan mejor el problema y apliquen correctamente los conceptos de proporcionalidad. Problemas de Contexto de Proporcionalidad: Desarrollar problemas y ejemplos cotidianos que permitan a los estudiantes identificar la existencia de la proporcionalidad en contextos reales. Es fundamental que los estudiantes comprendan la diferencia entre situaciones de correlación y de proporcionalidad, entendiendo que la proporcionalidad implica la existencia de una condición de regularidad, mientras que la correlación solo implica codependencia entre las magnitudes. Retroalimentación Individualizada:

Proporcionar retroalimentación detallada y personalizada a los estudiantes que muestren dificultades persistentes, utilizando ejemplos, problemas adicionales o un cambio de perspectiva en la enseñanza, conforme a lo discutido en el capítulo 4. La retroalimentación individualizada permitirá abordar las dificultades y mejorar la comprensión y aplicación de los conceptos relacionados con la estrategia didáctica desarrollada.

7.3.3 Sección 3: Construcción de conceptos previos - Explorando relaciones en la vida

cotidiana (55 minutos)

7.3.3.1 Introducción y explicación del objetivo de la sesión (10 min)

La sesión inicio con el encuadre y el llamado a lista. Seguido, se procedió a explicar a los estudiantes el objetivo del día: “comprender y apropiarnos del concepto de relación desde lo cotidiano hasta llegar a la definición del DLE, permitiendo identificar la existencia o no de una

relación en diferentes situaciones cotidianas”. Se destacó la importancia de comprender y reconocer las condiciones que deben darse para que exista una relación, con el objetivo de aplicar lo aprendido en la resolución de problemas tanto dentro del aula como en el contexto extraescolar.

7.3.3.2 Presentación de ejemplos de relaciones en la vida cotidiana (25 min)

En esta parte de la sesión, se activaron los saberes previos, seguido de un recorrido desde ejemplos cotidianos hasta las definiciones del DLE. Con el fin de lograr explicitar las condiciones necesarias para que exista una relación:

1) Una relación siempre se da entre dos o más elementos, ya sea algo con algo, algo

con alguien, es decir, se puede dar entre objetos, objetos y personas, personas, entre otros.

2) Está supeditada a condiciones, normas, reglas, intereses y otras variables, en

resumen, se establece cuando se formula una expresión que vincula dos o más elementos entre sí, no necesariamente en un contexto matemático. Para reforzar la identificación de estas condiciones, se presentaron diversos ejemplos prácticos de relaciones cotidianas:

a. Al decir que “Jairo es padre de Ana María y Manuel David” se está

construyendo una relación entre ambos, que es la de padre e hijos.

b. En la cafetería del colegio cada artículo está relacionado con su precio. Es

decir, a cada uno le corresponde un precio específico.

c. En los contactos del teléfono celular cada nombre está relacionado con al

menos un número telefónico.

Un ejemplo específico fue "Doña Rosa es la abuela de Pedro", que generó un momento de diversión entre los estudiantes debido a una canción popular que repetía el nombre "Pedro".

Además, los estudiantes señalaron lo frecuente que es el nombre "María" en los ejemplos, lo que causó algunas risas.

7.3.3.3 Actividad de Trabajo Cooperativo (15 min)

Grupo 7A: Los estudiantes se organizaron en grupos de 4 personas para trabajar en ejercicios del contexto que permitieran identificar y analizar relaciones en ejemplos prácticos. Este enfoque de grupo reducido facilitó la participación de la estudiante con autismo, quien inicialmente tuvo dificultades para reconocer los elementos y la correspondencia entre ellos. Sin embargo, con el apoyo del compañero y la guía del docente, logró identificar los elementos de la relación de manera efectiva.

Grupo 7B: Por razones de tiempo, no se pudo implementar la actividad de trabajo cooperativo. En su lugar, se realizó una actividad guiada por el docente, en la cual presentaba unos ejercicios y guiaba a los estudiantes para llegar a la solución, incluyendo espacios intermedios para el diálogo y la retroalimentación. Esta estrategia permitió que todos los estudiantes pudieran comprender los conceptos a pesar de las limitaciones de tiempo.

7.3.3.4 Conclusión y Cierre de la Sesión (5 min)

Se finalizó la sesión con una breve discusión en grupo sobre los resultados y conclusiones obtenidas de la actividad cooperativa. Se destacaron los elementos clave aprendidos, específicamente las dos condiciones para que exista una relación en una expresión, y se resolvieron dudas. Además, se resaltó la importancia de reconocer y aplicar las relaciones en la vida cotidiana como una herramienta para mejorar la comprensión y resolución de problemas.

7.3.3.5 Observaciones y reflexión

La sesión cumplió con los objetivos establecidos, a pesar de los ajustes necesarios para el grupo 7B. La estrategia de trabajo en parejas implementada en el grupo 7A, particularmente para la estudiante con autismo, facilitó realizar un trabajo acorde a las expectativas de la sesión

y logro promover el aprendizaje y la participación de la estudiante, quien mostró progresos significativos en la identificación de elementos y relaciones. La intervención conjunta de su compañero y del docente permitió guiarla en la comprensión de los conceptos de manera efectiva.

En el grupo 7B, la actividad se debió realizar de forma más dirigida debido a que el tiempo fue más limitado, con esto se logró que los estudiantes comprendieran los conceptos clave a través de la intervención guiada. Sin embargo, la falta de trabajo cooperativo limitó la interacción entre pares, lo que es fundamental para generar un ambiente más inclusivo aprendiendo desde la diversidad de punto de vista y generando además aprendizajes más profundos. Como se discutió en el capítulo 2, el aprendizaje cooperativo no solo enriquece la experiencia educativa, sino que también contribuye a la construcción de aulas más inclusivas. Por consiguiente, se recomienda ajustar los tiempos de la sesión para asegurar la implementación efectiva del trabajo cooperativo en el futuro, con lo cual se contribuye a un aprendizaje más inclusivo y participativo. A pesar de las dificultades presentadas durante la sesión, esta cumplió con los objetivos establecidos. Aunque algunos ejemplos causaron risas generando distracciones, los estudiantes lograron centrarse en los ejercicios propuestos, además de participar activamente en las actividades cooperativas. Aunque los momentos de risas pueden llegar a ser desbordantes y dañar las dinámicas de la clase, también contribuyeron a un ambiente más relajado y positivo siempre y cuando no sean excesivos, favoreciendo la participación y el aprendizaje. En importante destacar que, en otras ocasiones, los ejemplos han coincidido con el nombre de algún estudiante, causado un efecto similar. Nombres como “Pepito” o “Juanito” a menudo parecen demasiado hipotéticos y generan el mismo efecto que el nombre de “María” en esta sección. Si objetivo es evitar esos momentos de diversión y esparcimiento, se debe considerar cambiar los nombres y ejemplos para que sean más acordes al contexto del grupo.

Asimismo, se logró observar que ejemplos como “una empanada cuesta 500 pesos” pueden llegar a generar controversias, discusiones y risas entre los estudiantes. Dado que, expresiones como esta no están adaptados al entorno de los estudiantes y de la comunidad educativa, donde una empanada puede llegar a valer entre 1500 y 2300 pesos. De este modo, situaciones como la presentada resaltan la necesidad de adaptar los ejemplos al contexto de los estudiantes y la comunidad educativa, en consonancia con el “Principio 5: establecer conexiones entre ideas y contextos”. Esta adaptación no solo se pueden evitar las distracciones innecesarias, sino que también facilitan la comprensión de los conceptos presentados, reforzando así un aprendizaje más relevante y significativo.

A pesar de las diferentes situaciones y distracciones presentadas, en la sesión se logró el objetivo de enseñar a los estudiantes a identificar y reconocer las dos condiciones necesarias para que exista una relación en una situación cotidiana. Además, las observaciones y reflexiones obtenidas de esta sesión proporcionan valiosas ideas para mejorar el impacto en las futuras lecciones, alineándose con el objetivo de la tesis de promover un entorno de aprendizaje inclusivo y centrado en el estudiante.

7.3.4 Sesión 4: Definición matemática y representación gráfica de una relación (55

minutos)

7.3.4.1 Introducción a la definición matemática de relaciones (10 min)

La sesión comenzó con la explicación de la definición matemática de una relación. Se introdujo el concepto destacando que, en matemáticas, al poner en correspondencia los elementos de un conjunto A con los de otro B, se establece una relación. Usualmente, A se denomina conjunto de partida y B, conjunto de llegada. Este enfoque inicial permitió a los estudiantes conectar con la definición de manera concreta.

Para la estudiante con autismo, esta introducción pudo haber resultado abstracta, por lo que el docente incluyó de inmediato representaciones gráficas de los conjuntos. Esto no solo mejoró su comprensión inicial, sino que también evitó una posible pérdida de atención, la cual podría agravar sus dificultades en la solución de problemas, un tema tratado de forma general en el capítulo 3. La inclusión de gráficos contribuyó a una mayor claridad en la explicación, permitiendo a la estudiante visualizar cómo se conectan los conjuntos de partida y llegada, disminuyendo las dificultades que puede presentar en la solución de problemas discutidas. Este enfoque aplica el "Principio 1 del DUA: Proporcionar múltiples medios de representación", facilitando así un acceso más equitativo al aprendizaje y reforzando los principios de una educación realmente inclusiva.

7.3.4.2 Ejemplos prácticos (10 min)

Con el fin de reforzar la comprensión, se presentaron ejemplos prácticos basados en situaciones cotidianas, permitiendo a los estudiantes relacionar los conceptos aprendidos con experiencias de su vida diaria. Uno de los ejemplos empleados fue. Ejemplo 1: Relación entre Animales y el Número de Patas Se definió un conjunto de salida A, compuesto por animales como:

perro, gato, codorniz, iguana, serpiente y gallinazo. A su vez, se definió el conjunto de llegada formado por el número de patas (0, 2, 4). En este caso, se establece una relación entre los animales y el número de patas que poseen. Para facilitar la comprensión se proyectó un diagrama sagital que ayudó a los estudiantes a visualizar cómo se conectan los elementos de ambos conjuntos (ver Figura 87

Figura 87).

Figura 87 Relación entre animales y el número de patas Relación entre animales y el número de patas

Nota: la Figura muestra un diagrama sagital que ilustra la relación entre diferentes animales y el número de patas que poseen. Este gráfico facilita la comprensión visual de cómo se conectan los elementos de los conjuntos de animales (como perros, gatos, codornices, iguanas, serpientes y gallinazos) y sus correspondientes números de patas (0, 2, 4). Fuente elaboración propia. El uso de este recurso optimizo el tiempo de clase y facilito la comprensión de todos los estudiantes, incluidos aquellos con diversidad funcional cognitiva, al tratarse de un contexto más concreto y visual. La representación gráfica les permitió entender de manera organizada las características físicas de cada animal. La inclusión del "0" en el conjunto de llegada ayudó a la estudiante con autismo a entender que ciertos animales, como la serpiente, no tienen patas, lo cual evitó confusiones y frustraciones.

El docente aprovechó los diagramas sagitales para mostrar que un conjunto de partida puede vincularse con diferentes conjuntos de llegada, permitiendo establecer diferente tipo de relaciones entre conjuntos. Por ejemplo, los mismos animales del conjunto de partida se relacionaron tanto con el número de patas como con su clasificación como vertebrados, ofreciendo una perspectiva más amplia sobre las conexiones posibles entre conjuntos (ver Figura 87 y Figura 88).

Este enfoque permitió a los estudiantes entender que dos o más elementos del conjunto de salida pueden coincidir con el mismo elemento del conjunto de llegada, dependiendo del tipo de relación establecida. Por ejemplo, la iguana y el perro, que tienen 4 patas, coinciden en el mismo elemento del conjunto de llegada cuando la relación es el número de patas. Sin embargo, en una relación diferente, como la clasificación de vertebrados, no coinciden en los mismos elementos (ver Figura 88). Esto demuestra que los elementos del conjunto de salida pueden coincidir o no en los elementos del conjunto de llegada, según los criterios aplicados. Para los estudiantes con diversidad funcional cognitiva, especialmente para la estudiante con autismo, la explicación inicial resultó algo confusa debido a la variabilidad y complejidad de las múltiples relaciones. Para facilitar la comprensión, el docente simplificó el conjunto de partida dejándolo solo con dos elementos: serpiente y ballena. Esta simplificación facilita a la estudiante comprender de forma más clara las coincidencias y diferencias entre los elementos de dos conjuntos en una relación. El uso de un lenguaje sencillo y de representaciones graficas claras ayudó a la estudiante a visualizar cómo los elementos de dos conjuntos pueden relacionarse de distintas formas, mitigando así la confusión inicial. lo que está en consonancia con lo discutido en el capítulo 4, subrayando la importancia de adaptar la enseñanza para mejorar la accesibilidad y comprensión de los conceptos matemáticos para todos los estudiantes.

Figura 88 Relación entre animales y su clasificación como vertebrados Relación entre animales y su clasificación como vertebrados

Nota. La figura muestra un diagrama sagital que ilustra la relación entre diferentes animales y la clasificación de los animales vertebrados. Este gráfico facilita la comprensión visual de cómo se conectan los elementos de los conjuntos de animales (como perros, gatos, codornices, iguanas, serpientes y gallinazos) con su correspondiente clasificación como animales vertebrados (Reptiles, mamíferos, aves, peces, anfibios). Fuente: elaboración propia. Ejemplo 2: Relación entre Profesores y Estudiantes Otro ejemplo fue la expresión "En un colegio hay 50 profesores y 1,000 estudiantes", la cual se trabajó de forma guiada con los estudiantes. De esta forma, ellos identificaron las tres

magnitudes involucradas: el colegio, la cantidad de profesores y la cantidad de estudiantes. Se destacó el vínculo que los conecta “en un colegio hay” y cómo esta frase establece una relación entre estos elementos. Posteriormente, se explicó cómo realizar la representación gráfica de dicha relación

7.3.4.3 Representación Gráfica de Relaciones (15 min)

A partir de los ejemplos prácticos, se mostró cómo organizar la información de forma gráfica. Para el ejemplo del colegio:

Figura 89 Relación profesores – estudiantes que hay en el colegio Relación profesores – estudiantes que hay en el colegio

Nota: La figura muestra la representación gráfica que ilustra la relación entre los estudiantes del colegio y la cantidad de profesores. El diagrama visualiza cómo se conectan los conjuntos, donde el conjunto de salida corresponde a los profesores y el conjunto de llegada a los estudiantes. Fuente: elaboración propia.

Figura 90 Relación estudiante – profesores que hay en el colegio Relación estudiante – profesores que hay en el colegio

Nota: La figura muestra cómo se pueden intercambiar los conjuntos de partida y de llegada en una representación gráfica, utilizando como ejemplo la relación entre los estudiantes y los profesores. Este enfoque didáctico ayuda a los estudiantes a entender que, en cualquier relación, los elementos pueden alternar entre ser el conjunto de partida o de llegada, facilitando así una mayor flexibilidad en la comprensión de las relaciones matemáticas. Fuente: elaboración propia. Al comenzar la explicación sobre la representación gráfica de una relación, se realizaron diversos ejemplos con el objetivo de asegurar que los estudiantes comprendieran que, en una relación, cualquiera de los dos elementos puede hacer las veces de conjunto de partida. Para ilustrarlo, se intercambiaron los elementos de partida en las representaciones gráficas, permitiendo a los estudiantes visualizar cómo el conjunto de partida y de llegada pueden intercambiar sus posiciones.

Con el fin de facilitar la comprensión de la estudiante con autismo, el docente optó por reducir la complejidad de los enunciados, asegurando de esta forma que todos los estudiantes trabajaran con los mismos ejemplos y evitando así que se sintiera excluidos, como había ocurrido en sesiones anteriores. Para lograrlo, se simplificaron los ejemplos y se eligieron situaciones más familiares y cotidianas, promoviendo un ambiente inclusivo y accesible para todos. Por ejemplo, se empleó la expresión: "3 mentas cuestan 300 pesos", un contexto que la estudiante reconoció rápidamente por su experiencia en la cafetería del colegio. Este ejemplo presentaba solo los dos elementos esenciales: mentas como conjunto de partida y precio como conjunto de llegada, con una relación directa y clara.

La simplicidad del ejemplo, junto con una correspondencia más directa y visual, permitió a la estudiante construir la representación gráfica sin dificultad, estableciendo una conexión efectiva con el concepto de relación. La familiaridad del contexto y la claridad de la explicación facilitaron su comprensión, minimizando la confusión. Esto demuestra cómo las adaptaciones adecuadas pueden mejorar la participación y el aprendizaje de los estudiantes con diversidad

funcional cognitiva, alineándose con las estrategias de educación inclusiva discutidas en la investigación.

7.3.4.4 Actividad de trabajo cooperativo (15 min)

Los estudiantes se organizaron en pequeños grupos para trabajar en ejercicios diseñadas para:

1) identificar las dos magnitudes involucradas en el problema.

2) Establecer la relación entre estas (es decir, la expresión que las une)

3) representar esta información gráficamente.

Algunos ejemplos de las expresiones utilizadas incluyen:  2 lápices cuestan 2000 pesos.

 4 galletas cuestan 3200 pesos.

 5 chocolates cuestan 3000 pesos.

 3 jugos se preparan con 3 naranjas.

 Para hacer arroz se requieren 2 tazas de agua por 1 taza de arroz.  El pasto de la cancha del colegio lo cortan 5 trabajadores en 6 horas.  En la cafetería para preparar 50 tazas en la greca utilizan 250 gramos de café. Se buscó recrear ejemplos basados en el contexto cotidiano de los estudiantes, con el fin de eliminar o, al menos, mitigar las barreras para el aprendizaje y la participación de aquellos con diversidad funcional cognitiva. La simplificación de las expresiones y su conexión con situaciones familiares facilitaron no solo la comprensión individual, sino también el trabajo cooperativo, promoviendo una participación más efectiva de todos los estudiantes en la actividad.

7.3.4.5 Evaluación oral de los aprendizajes y conclusiones finales (5 min)

Para concluir la sesión, se realizó una evaluación oral en la que algunos estudiantes fueron invitados a compartir sus gráficos y explicar el proceso que siguieron para representarlos. Se discutieron las conclusiones finales y se resolvieron dudas. Además, el docente resaltó la importancia de las habilidades adquiridas, destacando la utilidad para abordar futuros temas en matemáticas, en especial en la resolución de problemas de proporcionalidad, un aspecto clave discutido en el capítulo 5. Finalmente, se enfatizó que una representación gráfica adecuada es fundamental para el propósito de esta investigación, ya que facilita la comprensión de las relaciones matemáticas y su aplicación. Incluso, el docente propuso un método basado en esta estrategia para resolver problemas de proporcionalidad.

7.3.4.6 Observaciones y reflexiones

En general, la sesión se desarrolló de manera adecuada, logrando cumplir con los objetivos planteados. Los estudiantes participaron activamente en cada una de las actividades, y la combinación entre teoría y práctica les facilitó comprender el tema con mayor claridad. Las actividades cooperativas fueron especialmente útiles para fortalecer sus habilidades en la representación gráfica, estableciendo así una base sólida para abordar futuros conceptos matemáticos y avanzar de forma adecuada en el desarrollo de la propuesta de investigación. 7.3.4.6.1 Consideraciones para estudiantes con autismo.

Estructura y claridad: La estructura clara y organizada de la sesión, con pasos bien definidos y ejemplos concretos, benefició a la estudiante con autismo, ya que suele prosperar en entornos con expectativas claramente establecidas Visualización gráfica: Las representaciones gráficas, alineadas con el "Principio 1 del DUA: Proporcionar múltiples medios de representación", fueron especialmente útiles para la estudiante, brindándole una alternativa para organizar y presentar la información. Estas

herramientas facilitaron su comprensión de conceptos abstractos, reduciendo la confusión y fomentando una mayor participación.

Trabajo cooperativo: Las actividades cooperativas representaron tanto una oportunidad como un reto. En esta sesión, la estudiante se mostró dispuesta a trabajar con sus compañeros, lo que facilitó la interacción y el intercambio de ideas con sus compañeros. Sin embargo, en ocasiones previas ha mostrado resistencia a trabajar en equipo, por lo que el docente ha debido ofrecerle un apoyo más personalizado para evitar que surjan barreras en su aprendizaje y participación en futuras sesiones.

Adaptaciones sensitivas: Es fundamental considerar las sensibilidades sociales de la estudiante, ya que a veces percibe ciertas interacciones como juicios hacia su persona. En esta sesión, el entorno controlado y los ejemplos familiares ayudaron a mitigar esta percepción, lo que le permitió enfocarse en la tarea sin sentir incomodidad o ansiedad.

7.3.5 Sesión 5: Magnitud, verbo y sujeto (55 minutos)

7.3.5.1 Introducción y Explicación de Conceptos (15 min)

La sesión comenzó con un repaso de los conceptos trabajados en las sesiones previas, reforzando las bases necesarias para la comprensión de los nuevos conceptos y el desarrollo de las sesiones futuras sesiones. Posteriormente, se continuó con una explicación detallada de los conceptos clave: magnitud, verbo y sujeto, destacando su importancia en la comprensión y solución de problemas de proporcionalidad.

Se presentaron las siguientes definiciones:

Magnitud: Cualquier característica que puede ser medida y su valor expresado mediante un número (Ballen & Salazar, 2011).

Verbo: La palabra que expresa una acción, movimiento, existencia, consecución, condición o estado del sujeto (Pasek de Pinto & Briceño de Sánchez, 2015). Sujeto: Puede ser una persona, animal, objeto o cualquier entidad que realice la acción del verbo (Fleitas, 2020).

El objetivo de la sesión era que los estudiantes aprendieran a identificar estos elementos en una expresión o problema, para traducirlo de lenguaje natural al matemático, facilitando así la solución de problemas de proporcionalidad. Estos elementos fueron resaltados en la propuesta de la tesis como herramientas clave para mitigar las dificultades en la resolución de problemas que enfrentan algunos estudiantes, un aspecto ampliamente documentado y discutido en el capítulo 3.

Esta enseñanza de traducción y representación de conceptos es fundamental para construir una comprensión sólida de la proporcionalidad, abordando directamente las barreras para el aprendizaje identificadas y contribuyendo al desarrollo de una estrategia didáctica con enfoque inclusivo, conforme a los principios establecidos en los capítulos anteriores de la tesis Ejemplo Ilustrativo Para facilitar el reconocimiento de los elementos clave (magnitud, verbo y sujeto), se utilizaron ejemplos con una estructura simple como:

 En la fábrica se construyen 50 motos en una semana  Doña rosa hace 200 arepas en una hora  La señora Adriana cocina 50 dedos en 30 minutos Estos ejemplos fueron elegidos por su sencillez y conexión con situaciones cotidianas, lo que permitió trabajar con todos los estudiantes sin necesidad de focalizar la enseñanza ni realizar ajustes adicionales, mitigando sentimientos de exclusión. A diferencia de otros ejemplos más complejos, como: "Un camión que carga 3 toneladas necesita 15 viajes para transportar 45

toneladas de arena”, que habían sido empleados en pruebas pilotos con grupos menos heterogéneos. Se observó que los problemas con múltiples magnitudes generaban dificultades de comprensión, sobre todo en estudiantes con diversidad funcional cognitiva, lo que llevó a optar por enunciados y situaciones más simples para mitigar las barreras de aprendizaje. estas barreras detalladas en el capítulo 3, incluyen dificultades para procesar información lingüística y numérica, formar representaciones internas en la memoria, comprender e integrar la información del problema y desarrollar planes de solución.

Al igual que en las pruebas piloto, algunos estudiantes expresaron su confusión respecto a la conexión de estos conceptos con las matemáticas, realizando preguntas como: “¿Profe, esto no tiene nada que ver con matemáticas, esto es de la clase de español?”. Ante esta inquietud, el docente explicó que, aunque la identificación de elementos lingüísticos es más común en el área de lenguaje, en matemáticas resulta esencial para comprender adecuadamente los problemas de proporcionalidad. El docente señalo que la mayor dificultad para resolver problemas se encuentra en la traducción del enunciado a una representación mental clara, por lo que trabajar estos elementos facilita la comprensión lectora y ayuda a identificar con mayor precisión lo que se requiere en el problema, mejorando así la solución.

Al revisar la tarea, la mayoría de los estudiantes la desarrollaron como se pedía y completaron todos los elementos. Incluso la estudiante con autismo logró desarrollarla en compañía de su acudiente, quien la apoyó.

7.3.5.2 Práctica Guiada (20 min)

En el grupo 7B, los estudiantes practicaron con problemas adicionales, trabajando en parejas para fomentar el intercambio de ideas. El docente ofreció retroalimentación en tiempo real, asegurando una correcta comprensión de los conceptos. En el grupo 7A, la práctica se limitó a una sesión guiada debido a la falta de motivación, lo que impidió un mayor avance.

7.3.5.3 Actividad de Trabajo Cooperativo (20 min)

En el grupo 7B, los estudiantes se organizaron en grupos de cuatro miembros y se les asignaron problemas que involucraran dos magnitudes, un verbo y un sujeto, con el propósito de identificar la relación y realizar la representación gráfica. Uno de los objetivos de esta actividad es ir generando las bases para un trabajo cooperativo efectivo. Dado que la actividad genero discusiones animadas y una participación activa, se puede considera que la sesión fue exitosa, logrando los objetivos planteados.

En el grupo 7A, los estudiantes mostraron una actitud muy apática durante esta sección. Es posible que este comportamiento se deba a que venían de tres días de descanso previo, lo cual, según comentaron otros docentes, afectó su actitud a lo largo de la jornada escolar. La sesión de matemáticas, además, se realizó en la última hora del día, con una sensación térmica alta que podría haber influido negativamente en su disposición.

A pesar de estas dificultades, el docente intentó llevar a cabo la actividad lo mejor posible. Sin embargo, dado que no se lograron alcanzar todos los objetivos previstos, optó por asignar una tarea para la casa. Para apoyar la nivelación de los estudiantes en el conocimiento, el docente compartió con padres, madres y acudientes, a través de un grupo común en WhatsApp, la explicación de un ejemplo trabajado en clase, la tarea asignada y un video explicativo. Esta acción está alineada con las “Estrategias para fomentar la participación de las familias en la educación matemática inclusiva” que se exploran en el capítulo 4. Además, se contactó de manera directa con la madre de la estudiante con autismo, solicitándole su apoyo para que la niña pudiera realizar la tarea en casa. La madre confirmó que ya estaban trabajando en ello. La Figura 91 se muestra el ejemplo enviado a los padres para explicar los conceptos de magnitud, verbo y sujeto, mientras que la Figura 92 ilustra la tarea propuesta para ser desarrollada por los estudiantes.

Figura 91 Ejemplo compartido a los acudientes y estudiantes vía WhatsApp Ejemplo compartido a los acudientes y estudiantes vía WhatsApp

Nota: La figura presenta el ejemplo enviado a los padres para explicar los conceptos de magnitud, verbo y sujeto, mostrando la aplicación práctica de estos conceptos en un contexto cotidiano. Esta herramienta didáctica fue diseñada para facilitar la comprensión y el apoyo en casa en la realización de la tarea. Fuente: elaboración propia.

Figura 92 Tarea compartida a los acudientes y estudiantes a través de WhatsApp Tarea compartida a los acudientes y estudiantes a través de WhatsApp

Nota. La figura muestra la tarea asignada a los estudiantes, diseñada para reforzar la comprensión y aplicación de los conceptos trabajados en clase. Esta actividad busca fomentar la práctica independiente de los estudiantes y facilitar la participación activa de los padres y

acudientes en el proceso educativo, permitiéndoles apoyar el aprendizaje continuo de sus hijos en casa. Fuente: elaboración propia.

7.3.5.4 Análisis de las tareas recibidas en el grupo 7A

Al inicio de la jornada escolar del día siguiente, el docente recogió las tareas, tal como se había anunciado previamente, con el propósito de prevenir la copia entre estudiantes, un problema común que afecta negativamente el proceso de aprendizaje. La tarea de matemáticas fue diseñada para ser breve y manejable, promoviendo el trabajo autónomo y facilitando la comprensión de los conceptos.

De los 20 trabajos entregados, la mayoría demostró resultados satisfactorios, lo que sugiere que los estudiantes que completaron la tarea probablemente lograron los objetivos establecidos. Esto despertó la necesidad de evaluar el impacto del video explicativo compartido con los padres y acudientes. Con este fin, se formuló la siguiente pregunta: ¿Considera que el video compartido por el docente sobre los conceptos de magnitud, verbo y sujeto fue útil para que usted o su hijo desarrollaran adecuadamente la tarea propuesta? Además, ¿cree que sería beneficioso seguir recibiendo videos explicativos sobre los temas vistos en clase?

El objetivo de esta pregunta era validar observaciones obtenidas en pruebas piloto, que indicaban la necesidad de estrategias de nivelación, entre las cuales se consideró la inclusión de videos como herramienta para apoyar a los estudiantes que no asistieron a clases o que enfrentan dificultades para asimilar nuevos conceptos en una secuencia temática. Las respuestas recibidas por parte de los padres fueron mayoritariamente positivas, con comentarios como: “sí fue útil el video explicativo y es de suma importancia seguir recibiéndolos”, “costó trabajo comprender, pero fue muy educativo”, y “considero que fue esencial para que mi

hijo tuviese un entendimiento más claro del tema; después de ver el video, mi hijo comprendió el tema y desarrolló la actividad sin dificultad”.

Estos comentarios sugieren que los videos pueden ser una herramienta valiosa para la nivelación de estudiantes. Aunque en clase no se lograron todos los objetivos planteados, el video permitió que los estudiantes completaran la tarea con el apoyo de sus padres. Incluso, la estudiante con autismo logró identificar correctamente los elementos y representarlos gráficamente de manera adecuada. Sin embargo, la efectividad real del aprendizaje se evaluará en la próxima sesión, cuando se aplique lo aprendido hasta el momento para realizar el análisis de correlación.

La Figura 93 muestra la solución presentada por la estudiante con autismo, donde se observa la correcta identificación de las magnitudes, verbos y sujetos, así como su representación gráfica adecuada. Esto evidencia el impacto positivo del video explicativo y el acompañamiento de los padres en su proceso de aprendizaje Figura 93 Solución de la tarea realizada por la estudiante con autismo Solución de la tarea realizada por la estudiante con autismo

Nota. La figura muestra la solución de la tarea realizada por la estudiante con autismo, evidenciando una correcta identificación de las magnitudes, verbos y sujetos, así como una

representación gráfica adecuada. Este progreso destaca el impacto positivo del video explicativo y el apoyo continuo de los padres en el proceso educativo de la estudiante. Fuente: elaboración propia.

Al finalizar la sesión, el docente realizó una pregunta a dos estudiantes con dificultades de aprendizaje para obtener sus impresiones:

¿Consideras que trabajar en identificar el verbo, las magnitudes y el sujeto en los problemas de matemáticas te ayudó a comprender mejor cómo representar relaciones con mayor claridad? ¿Por qué?

Una de las estudiantes respondió que el uso de colores fue crucial para entender mejor el problema, comentando: "Me daba claridad. Antes me ponían el texto y no entendía nada, pero con los colores fue más fácil empezar." La otra estudiante manifestó que el ejercicio le hizo ver su falta de comprensión lectora y que trabajar en la identificación de magnitudes, verbo y sujeto le ayudó a entender de qué trataba el problema, mejorando así su comprensión lectora. Estas estrategias didácticas están en perfecta consonancia con el “Principio III del DUA: Proporcionar múltiples formas de implicación”, que promueve estrategias que faciliten el acceso y la comprensión de los estudiantes, incrementando su interés y participación en el aprendizaje.

7.3.5.5 Observaciones y reflexiones

La sesión logró cumplir parcialmente con los objetivos propuestos, ya que se presentaron variaciones en la participación y en el nivel de comprensión entre los grupos 7A y 7B. La práctica guiada y las actividades cooperativas fueron bien recibidas por los estudiantes del grupo 7B, quienes mostraron una participación activa y un interés constante, lo que facilitó el alcanzar los objetivos. En cambio, los estudiantes del grupo 7A presentaron dificultades de atención y disposición, posiblemente influenciadas por los días de receso previos y las condiciones ambientales de la jornada.

En cuanto al trabajo individual y la tarea asignada, el uso de videos explicativos y el acompañamiento de los padres resultaron ser estrategias eficaces para mejorar la comprensión de los conceptos y mitigar barreras de aprendizaje, especialmente para estudiantes con diversidad funcional cognitiva, como la estudiante con autismo. La respuesta positiva de los padres y los resultados satisfactorios en la tarea sugieren que la incorporación de herramientas audiovisuales puede ser un recurso valioso para nivelar y reforzar el aprendizaje. Estos hallazgos resaltan la importancia de ajustar las estrategias didácticas para abordar la diversidad del aula. Además, sugieren la necesidad de implementar de manera continua recursos como videos y guías de estudio ajustadas a las necesidades de los estudiantes que propendan mitigar las barreras para el aprendizaje identificadas en el contexto, para garantizar una comprensión más sólida y un acceso equitativo al aprendizaje para todos los estudiantes, independientemente de sus necesidades específicas o de la regularidad de su asistencia. Observaciones Relevantes de Pruebas Piloto Es importante mencionar algunas observaciones relevantes obtenidas en pruebas piloto, ya que proporcionan información útil para la implementación actual. En una de estas pruebas, un estudiante con Asperger tuvo dificultades iniciales para identificar los verbos, lo que ralentizó su progreso. Ante esta situación, el docente decidió empezar con la identificación de las magnitudes, lo que resultó ser más efectivo para este estudiante. Esto demuestra que, aunque la propuesta inicial sugiere comenzar por identificar los verbos, no siempre es el enfoque más adecuado, ya que puede variar según las necesidades del estudiante. En este ciclo, se aclaró que también se podía iniciar con otros elementos, lo que brinda flexibilidad al proceso de enseñanza. Para remediar la ausencia de la estudiante con autismo en una clase de una sesión futura, se realizó un encuentro en horas libres del docente. Durante esta sesión individual, observé que también a esta estudiante le resultaba difícil comenzar con el verbo. Al igual que el estudiante

con Asperger, ella encontraba más fácil identificar primero las magnitudes y, con un poco de guía, lograba luego identificar el verbo de forma adecuada al quedar menos elementos por analizar. Esta observación confirma la efectividad de adaptar la secuencia de identificación de elementos en función de las necesidades de cada estudiante, promoviendo una comprensión más accesible y una progresión personalizada en el aprendizaje de la proporcionalidad. En contraste, una estudiante indicó en una entrevista que prefería empezar por los verbos (ver Figura 94). Se observó que la estudiante se expresaba mejor de manera escrita, lo que ejemplifica el “Principio II del Diseño Universal para el Aprendizaje (DUA): Proporcionar múltiples formas de acción y expresión". Este principio enfatiza la importancia de ofrecer diversas opciones para la expresión y la comunicación, adaptándose a las necesidades y preferencias individuales de los estudiantes.

Figura 94 Respuesta sobre la preferencia entre verbo y magnitud de una estudiante Respuesta sobre la preferencia entre verbo y magnitud de una estudiante

Nota: La figura muestra una entrevista con una estudiante que expresó preferencia por comenzar la identificación de elementos en problemas de proporcionalidad con los verbos. Esta respuesta subraya la importancia de adaptar las estrategias didácticas para acomodar las diferentes maneras en que los estudiantes procesan la información. Esta adaptabilidad facilita un entorno de aprendizaje inclusivo y personalizado. Fuente: elaboración propia. Durante la prueba piloto, el mismo estudiante con Asperger no quiso integrarse a un grupo, lo cual llevó al docente a alternar entre la retroalimentación grupal y la atención

individualizada. En un momento de dificultad, el estudiante expresó: “Profe, yo no sé qué es un verbo”, lo que fue abordado con paciencia, priorizando inicialmente la identificación de las magnitudes para facilitar su comprensión, un enfoque que está en consonancia con el “Principio 3: construir sobre el pensamiento del estudiantado y adaptar la enseñanza” como se discute en el capítulo 4. Esta adaptación en el proceso educativo a las necesidades específicas del estudiante enfatiza una enseñanza personalizada que promueve la comprensión y el aprendizaje efectivos.

Una estrategia que surgió durante estas pruebas piloto fue el uso de colores para resaltar las magnitudes, verbos y sujetos, lo que facilitó la retroalimentación y la identificación de errores. Los estudiantes propusieron destacar los verbos en rojo, las magnitudes en azul y los sujetos en verde, lo que mejoró el intercambio de ideas y la comprensión. Sin embargo, en la sesión actual no se pudo aplicar este enfoque, ya que los estudiantes no llevaron los colores requeridos y el docente no contaba con los marcadores apropiados. Se espera que se implemente en la próxima sesión para mejorar la identificación de los elementos clave en los problemas. Estas observaciones, tanto de la sesión actual como de pruebas piloto, ofrecen ideas valiosas para mejorar la efectividad de futuras lecciones. Además, se alinean con el objetivo de la tesis de fomentar un entorno de aprendizaje inclusivo y centrado en el estudiante, asegurando que todos puedan participar plenamente y beneficiarse del proceso educativo.

7.3.5.6 Consideraciones para Estudiantes Daltónicos

Para asegurar que los estudiantes daltónicos también se beneficien de la estrategia de resaltar con colores las magnitudes, verbos y sujeto, es recomendable usar combinaciones de colores que sean fácilmente distinguibles (Wakita & Shimamura, 2005). Una combinación efectiva podría ser:

Verbo: Azul: Es un color que no se confunde fácilmente con otros colores en ninguna forma de daltonismo.

Magnitud: Naranja: Ofrece un buen contraste con el azul y generalmente no se confunde con otros colores.

Sujeto: Gris Oscuro: Es un color neutro que ofrece buen contraste y no se confunde con otros colores en ninguna forma de daltonismo.

Estas combinaciones suelen ser más visibles para personas con daltonismo y ayudan a garantizar que todos los estudiantes puedan participar plenamente en las actividades. En la sesión 6, se espera que los estudiantes puedan contar con los colores recomendados para continuar con la estrategia de identificación de elementos en problemas de proporcionalidad. Aunque el docente no pudo conseguir un marcador gris para esta sesión, se utilizó una alternativa temporal con otro color, garantizando la continuidad de la actividad. No obstante, se continuará buscando la herramienta adecuada para futuras sesiones, con el objetivo de minimizar cualquier posible dificultad en el aprendizaje de los estudiantes.

7.3.6 Sesión 6: Magnitudes correlacionadas (55 minutos)

La sesión 6 se vio afectada por diversas situaciones que interrumpieron la ejecución programada de la secuenciación. La sesión, se realizó inicialmente en el grupo 7B; sin embargo, no fue posible llevarla a cabo con los estudiantes del grupo 7A, ya que una izada de bandera coincidió con el encuentro programado con este grupo. Por lo tanto, se reprogramado la sesión en 7A para el próximo encuentro.

Durante el desarrollo de la actividad en el grupo 7B, surgieron necesidades de apoyo adicional en algunos aspectos clave como se detalla más adelante. Por esta razón se decidió incluir una sesión complementaria de trabajo cooperativo para mitigar las barreras de aprendizaje que pudieran surgir. Es importante que quienes deseen replicar esta estrategia didáctica

consideren que la adición de esta sesión responde a las particularidades observadas en esta ocasión y no necesariamente implica una modificación en la secuencia estándar. El objetivo de esta sesión adicional de trabajo cooperativo fue asegurar que los estudiantes pudieran identificar en una expresión el verbo, las magnitudes y el sujeto, además de realizar de manera adecuada la representación gráfica y el análisis del tipo de correlación correspondiente.

Para facilitar la compresión de lo sucedido en la sesión 6 dividiéramos su explicación en dos partes.

Primera Parte de la Sesión 6:

7.3.6.1 Introducción del tema y explicación de tipos de correlación (10 min)

La sesión en ambos grupos, 7A y 7B, se inició con una introducción al concepto de magnitudes correlacionadas, destacando cómo los valores de una magnitud pueden depender de los cambios en la otra. Se explicó que dos magnitudes están correlacionadas cuando el cambio de una implica un cambio de la otra.

Ejemplo y discusión grupal:

 Doña rosa hace 100 arepas en 1 hora.

 Pregunta para el análisis ¿qué sucede si disminuimos el número de arepas?" Pasos para el análisis:

1. Identificar verbos, sujeto y magnitudes:

 Verbo principal: hace.

 Sujeto: Doña Rosa.

 Magnitudes: 100 arepas, 1 hora.

2. Representación gráfica: Se explicó cómo construir una representación gráfica de esta

relación (ver Figura 95), que ayuda a visualizar cómo cambiaría el tiempo que requerirá doña rosa para hacer las arepas si disminuye la cantidad que debe hacer. Figura 95 Impacto de la cantidad de arepas en el tiempo de preparación de Doña Rosa Impacto de la cantidad de arepas en el tiempo de preparación de Doña Rosa

Nota: La figura ilustra el impacto en el tiempo requerido por Doña Rosa si disminuye la cantidad de arepas que requiere preparar, permitiendo visualizar la correlación entre el número de arepas y el tiempo de preparación. Este gráfico facilita la comprensión de cómo las magnitudes están correlacionadas y el cambio de una influye en la otra, apoyando así el aprendizaje visual del concepto discutido. Fuente: elaboración propia.

A partir de esta representación gráfica, se explicó que una disminución en la cantidad de arepas que debe preparar Doña rosa genera una disminución en el tiempo necesario para prepararlas. Para facilitar la compresión de los estudiantes, se les pidió que exageraran la situación: por ejemplo, imaginar que sucedería si Doña Rosa decidiera hacer solo una arepa. ¿Tomaría el mismo tiempo que hacer 100 arepas, o sería menor o tal vez mayor? Este enfoque permitió que muchos estudiantes respondieran correctamente que el tiempo disminuiría Finalmente, se procedió a consignar esta información en la representación gráfica, tal como se muestra en la Figura 33, consolidando la comprensión del concepto de correlación entre magnitudes A continuación, se recordo un ejemplo previo “Jairo es padre de Ana María y Manuel David”. A través de este caso, se explicó que la existencia de una relación no implica

100 Arepas

1 hora

hace Doña Rosa Disminuye Disminuye

necesariamente una correlación, pero que toda correlación sí implica una relación entre elementos.

Para ilustrar este concepto, se planteó la siguiente pregunta: ¿Es posible aumentar o disminuir la “magnitud o elemento de entrada” en este caso representada por Jairo? Esto permitió a los estudiantes comprender que no todas las relaciones involucran magnitudes variables que puedan estar correlacionadas.

A partir de esta aclaración, se explicó que, en adelante, al analizar la existencia de correlación entre magnitudes, es fundamental preguntarnos si las magnitudes involucradas pueden variar. Esto es clave, ya que solo es posible hablar de correlación cuando la relación se establece entre magnitudes que son medibles y variables.

7.3.6.2 Ejemplos y trabajo guiado para identificar tipo de correlación (15 min)

Se presentaron más ejemplos prácticos para identificar los tipos de correlación entre magnitudes:

Ejemplo 1:

"Para pintar 180 metros de pared se necesitan 24 kilogramos de pintura. ¿Qué sucede si aumenta la superficie?" Pasos para el análisis:

1. Identificar verbos y magnitudes:

 Verbo principal: pintar.

 Magnitudes: 180 metros de pared, 24 kilogramos de pintura.

2. Representación gráfica:

Se ilustró cómo al aumentar los metros de pared, también aumenta la cantidad de pintura necesaria (ver Figura 96).

Figura 96 Correlación entre el aumento de metros de pared y los kilogramos de pintura requeridos Correlación entre el aumento de metros de pared y los kilogramos de pintura requeridos

Nota. La figura muestra la representación gráfica de la relación entre las magnitudes metros – kilogramos y su relación de codependencia. Fuente: elaboración propia. Ejemplo 2:

"5 pintores pintan un muro en 2 días. ¿Qué sucede si aumentamos el número de pintores?" Pasos para el análisis:

1. Identificar verbos y magnitudes:

 Verbo principal: pintar.

 Magnitudes: 5 pintores, 2 días.

2. Representación gráfica:

Se explicó que, al aumentar el número de pintores, disminuye el tiempo necesario para pintar el muro (ver Figura 97).

Figura 97 Correlación entre el aumento de pintores y la duración en días de la obra Correlación entre el aumento de pintores y la duración en días de la obra

Nota. La figura muestra la representación gráfica de la relación entre las magnitudes pintores – días y la manera en que al aumentar una, la otra disminuye. Fuente: elaboración propia. Para facilitar el aprendizaje, se pidio a algunos estudiantes que realizaran carteleras sobre las figuras (Figura 96 y Figura 97) para la proxima sesión y los colocaran el aula. Esto permitirá que los estudiantes se familiaricen visualmente con ejemplos de magnitudes directamente correlacionadas e inversamente correlacionadas. Además, podrán acceder a la representación gráfica de estas dos situaciones mientras dure la estrategia didáctica, ayudándoles a afianzar estos conceptos en desarrollo.

7.3.6.3 Práctica de correlaciones (15 min)

Tanto los estudiantes de 7A como de 7B trabajaron en problemas adicionales para identificar el tipo de correlación entre magnitudes, practicando tanto con magnitudes directamente correlacionadas como inversamente correlacionadas. El docente supervisó y ofreció retroalimentación para asegurar la correcta comprensión de los conceptos. A continuación, se realiza la descripción de lo ocurrido en la Segunda Parte de la Sesión 6, esta parte sucedió específicamente en la actividad de trabajo cooperativo

7.3.6.4 Actividad de trabajo cooperativo (15 min)

En la sesión con el grupo 7B, el docente solicito que los estudiantes se reunieran en grupos para desarrollar la actividad de trabajo cooperativo planeada. Esta actividad incluía enunciados como el siguiente:

a) Juanita tarda 1 hora en desplazarse de su casa a la escuela en bus, la ruta es

siempre la misma y el conductor hace casi siempre las mismas paradas.

i. Si Juanita decidiera ir caminando, ¿aumentaría o disminuiría el tiempo que

tarda en llegar a la escuela?

ii. Si Juanita tomara un taxi, ¿aumentaría o disminuiría el tiempo que tarda en llegar a la escuela?

En sesiones previas, los estudiantes habían trabajado en enunciados más simples, a la hora de solicitarles que realizaran la representación gráfica de la situación planteada para analizar el tipo de correlación, algunos estudiantes experimentaron dificultades para realizar la representación gráfica. A pesar de esto los estudiantes reconocieron que esta actividad les permitía reconocer la correlación entre las variables de forma lógica, pero les resultaba complejo expresarlo gráficamente.

Aunque esto difiere de los objetivos específicos de la sesión, sigue alineado con el objetivo general inicialmente trazado para este tipo de enunciados, que consistía en recrear situaciones de contexto que facilitaran a los estudiantes reconocer el tipo de correlación entre las magnitudes. Sin embargo, es importante reconocer que esta actividad no se actualizó para reflejar los cambios implementados en sesiones previas, que se adaptaron para responder a las particularidades y necesidades observadas en el proceso.

Este caso destaca la importancia de revisar cada actividad y asegurar que esté acorde con el nivel de aprendizaje del grupo. La introducción de actividades que no correspondan con el progreso del grupo puede generar sentimientos de impotencia y desasosiego en matemáticas, una asignatura que en general ya está permeada por estos sentimientos en muchos estudiantes. Esto puede retrasar los avances logrados, impactando el progreso en la secuencia planeada, como ocurrió en este caso. Sin embargo, es relevante señalar que, en esta ocasión, el retraso fue únicamente en tiempo y no generó frustración en los estudiantes, ya que los enunciados fueron comprendidos y analizados con facilidad por los estudiantes. Ante esta dificultad, se les indicó que completaran la actividad de acuerdo con su comprensión actual, sin preocuparse por la representación gráfica. En la próxima clase, se realizará una nueva actividad de trabajo cooperativo para reforzar el aprendizaje, con énfasis en la identificación de magnitudes, verbos y sujetos, así como en la representación gráfica y el análisis de correlación.

En el caso del grupo 7A, esta parte de la sesión no presento las mismas dificultades observadas el grupo 7B, dado que la actividad para el grupo 7B se realizó el día anterior. El grupo 7A no pudo llevar a cabo su sesión simultáneamente debido a que asistieron a la izada de bandera durante el horario del encuentro programado. Aprovechando esta circunstancia, y basándose en las observaciones realizadas con el grupo 7B, se preparó una actividad diferente

de trabajo cooperativo para el grupo 7A. Esta actividad fue diseñada con enunciados más accesibles y específicos, ajustados para facilitar la comprensión y participación de los estudiantes

1. Unos 15 albañiles tardan 65 días en hacer un chalet.

2. Leyendo 25 páginas cada día terminé un libro en 33 días.

3. 12 electricistas hacen una instalación en 60 días,

4. Seis grifos, tardan 10 horas en llenar un depósito

5. En 50 litros de agua de mar hay 1300 gramos de sal

Durante esta actividad, se observaron algunas dificultades con el vocabulario en ciertos enunciados. En el primero, la palabra “chalet” generó confusión, por lo que se solicitó reemplazarla por “cabaña”. Aunque “grifo” no es un término común en el contexto local (siendo “llave” el término habitual), los estudiantes lo comprendieron sin problemas. Igualmente, “albañiles” se cambió por “oficiales”, un término más familiar en el contexto de los estudiantes. A pesar de estas adaptaciones, es importante señalar que términos como “albañiles” y “grifo” son comunes en los libros de texto y no generaron mayores dificultades para los estudiantes.

En el trabajo cooperativo, se observó que, en general, los estudiantes trabajaban de forma ordenada, reforzando las habilidades adquiridas y aplicando lo aprendido. En la mayoría de los grupos se presentándose discusiones animadas y una buena participación. No obstante, se notó que algunos estudiantes aún requerían un seguimiento constante para evitar el “efecto polizón,” en el que algunos miembros tienden a depender del esfuerzo de sus compañeros sin participar activamente.

7.3.6.5 Observaciones y reflexiones

Observaciones generales: La sesión 6 logró cumplir parcialmente con los objetivos planteados inicialmente, aunque estuvo influenciada por factores externos propios de la dinámica de una institución educativa. Este contexto permitió ajustar la planificación de la sesión, generando un punto de inflexión hacia la implementación adecuada de la práctica de trabajo cooperativo. La práctica cooperativa demostró nuevamente ser una estrategia positiva, donde se observa que, en la medida que los estudiantes interiorizan elementos como la interdependencia positiva, comienzan a reducir el “efecto polizón,” promoviendo una participación más equitativa y responsable en los grupos.

Incorporación de recursos adicionales: Permitir que los estudiantes colaboren en la creación de material didáctico como carteleras, ha resultado ser una estrategia enriquecedora que les brinda la oportunidad de mostrar sus talentos en la clase de matemáticas, mejorar sus calificaciones y fomentar la empatía hacia la materia. Además, esta estrategia fomenta el interés por participar activamente, valorando las habilidades de los estudiantes en otras áreas. Se espera que el uso continuo de recursos visuales, como las carteleras, en las próximas sesiones sea enriquecedora para el aprendizaje, como lo ha sido la implementación de los colores para identificar elementos clave (verbo en azul, magnitudes en naranja, sujeto en gris). No obstante, es importante reconocer que estos recursos no siempre están disponibles, lo cual debe considerarse al replicar la estrategia.

Ajustes en el trabajo cooperativo: Para consolidar el concepto de correlación y mejorar la representación gráfica de las relaciones, se incluyó una sesión adicional de trabajo cooperativo. Este ajuste responde a las barreras observadas durante el desarrollo de la sesión, sin que esto implique una modificación estructural en las secuencias para otros contextos.

Estas reflexiones resaltan la importancia de la flexibilidad en el diseño de las secuencias didácticas, permitiendo que las actividades se adapten a las necesidades y particularidades del grupo, lo cual resulta fundamental para lograr una educación inclusiva y efectiva Observación de pruebas piloto: Es relevante señalar que en las pruebas piloto se introdujo un problema similar al de “3 obreros podan la cancha del colegio en 6 horas. Si se incrementa el número de obreros, ¿aumentará o disminuirá el tiempo que tardan en cumplir con su tarea?”. En este caso, se observaron algunas dificultades de traducción, ya que los estudiantes no comprendían que "podar la cancha" hacía referencia a cortar el pasto. Además, la repetitiva mención de "obreros" generó comentarios entre los estudiantes sobre la inclusión de otros oficios, como mecánicos, electricistas, carpinteros, sastres o costureras, sugiriendo que una mayor variedad de profesiones en los enunciados podría mejorar la conexión de los estudiantes con el contexto de los problemas.

7.3.6.6 Sesión adicional de trabajo cooperativo: magnitudes correlacionadas y tipos de

correlación Considerando las dificultades observadas en la sesión 6, donde la actividad de trabajo cooperativo diseñada en la propuesta inicial no se ajustó a la metodología utilizada hasta el momento, se decidió realizar una sesión adicional de trabajo cooperativo. Esta sesión buscó reforzar los aprendizajes sobre correlación y tipos de correlación entre magnitudes, trabajando en problemas con estructuras simples que se alinearan con el enfoque de las sesiones anteriores. Es decir, enunciados lo más simples posible que incluyeran dos magnitudes, un verbo y un sujeto.

Además, debido a imprevistos externos como la declaración de calamidad pública en el municipio de Dosquebradas causados por daños en el acueducto municipal, se implementó de forma temporal un modelo de atención en casa. En este contexto, el docente planificó una

actividad de trabajo autónomo para reforzar los conceptos tratados en clase, apoyando el aprendizaje con videos explicativos compartidos por los grupos de WhatsApp, los cuales permiten mantener el contacto con los estudiantes. La inclusión de estas actividades adicionales responde tanto a las necesidades observadas en la sesión seis como a los imprevistos externos, sin que ello implique un cambio permanente en la secuencia estructural de la estrategia didáctica. Este ajuste simplemente se adapta a las barreras de aprendizaje específicas del grupo y su contexto

Actividad de trabajo cooperativo presencial Objetivo: Consolidar el aprendizaje de los conceptos de correlación y tipo de correlación entre magnitudes, fomentar la práctica del trabajo cooperativo, mitigando barreras de aprendizaje y contribuir a una educación inclusiva en la que todos los estudiantes participen activamente. La sesión comenzó con una explicación clara sobre el propósito de la actividad, resaltando la importancia de la interdependencia positiva y la responsabilidad compartida. En el grupo 7B, los estudiantes mostraron una actitud positiva hacia el trabajo cooperativo; sin embargo, se observó una tendencia a agruparse con sus amigos, lo que puede limitar las oportunidades de aprendizaje desde la diversidad. Ante esta situación, el docente intervino para formar grupos heterogéneos, promoviendo un entorno de aprendizaje desde la diversidad que permita ir avanzando hacia aulas más inclusivas. En esta ocasión, una estudiante demostró empatía hacia unas compañeras de otro grupo y tomo la iniciativa de ofrecerse para explicar la actividad a este grupo de compañeras. En general se observó que la colaboración entre pares fue significativa, sin embargo, la sesión demostró que el aprendizaje cooperativo

requiere enseñarse y practicarse, especialmente en contextos como los grupos de estudio donde los estudiantes tienden a adoptar el “efecto polizón” en los trabajos grupales. Aunque aún se debe trabajar en términos de aprendizaje cooperativo, la sesión fue exitosa en términos de aprendizaje, ya que los estudiantes lograron identificar la correlación y el tipo de correlación entre magnitudes, progresando en la comprensión del concepto.

En el grupo 7A, la sesión se llevó a cabo un día después, ya que los estudiantes habían asistido a una exposición de Ciencias Naturales sobre especies de frutas autóctonas desaparecidas en la región. Esta sesión coincidió con el día después de la celebración de Halloween, y aproximadamente el 30% de los estudiantes no asistieron. No obstante, los estudiantes que sí asistieron mostraron buena disposición y participaron activamente en la actividad de trabajo cooperativo, contribuyendo al aprendizaje colectivo de manera significativa. En este grupo, se solicitó a un estudiante que trabajara con la estudiante con autismo, quien mostró dificultades para diferenciar entre correlación directa e inversa. Aunque logró entender que el aumento de una magnitud podía influir en la otra, no siempre entendía la naturaleza especifica de esta relación. Al finalizar la actividad, el docente entrevisto al estudiante compañero, quien comento: “se le dificulta analizar la correlación entre las magnitudes; es decir, si una aumenta, no sabe qué pasa con la otra. Pero al ver la representación gráfica le resulta más fácil identificar si son directamente o inversamente proporcionales.” Esta situación pone en evidencia que la estudiante requiere un apoyo continuo en los procesos de traducción e interpretación de información, lo cual plantea la necesidad de explorar cómo la incorporación de verbos generadores podría ayudar en su aprendizaje.

Para facilitar a la estudiante el análisis del tipo de correlación, el docente compartió con ella una hoja de apoyo visual (ver Figura 98), con el fin de disminuir la carga cognitiva y ayudarle a identificar de manera más sencilla el tipo de correlación existente entre las magnitudes.

Figura 98 Hoja de apoyo visual para facilitar el análisis de correlación entre magnitudes Hoja de apoyo visual para facilitar el análisis de correlación entre magnitudes

Nota: La figura proporciona una hoja de apoyo visual utilizada para facilitar a la estudiante con autismo la identificación del tipo de correlación entre magnitudes. Esta herramienta pedagógica está diseñada para reducir la carga cognitiva y permitir una comprensión más clara de cómo una magnitud puede influir en otra, haciendo el aprendizaje más accesible para ella. Este recurso ilustra tanto correlaciones directas como inversas, ayudando a los estudiantes a visualizar y entender mejor las relaciones matemáticas implicadas. Fuente: elaboración propia. Además, en este grupo, otra estudiante se ofreció a explicar a sus compañeros el análisis de correlación. Al finalizar, el docente le preguntó sobre su experiencia al ayudar a sus compañeros, y ella respondió: “para mí fue un poco estresante tener que repetir, pero fue gratificante ver su cara de felicidad cuando comenzó a entender.” Este tipo de interacciones no solo fortalecen la comprensión de los conceptos, sino que también fomentan el desarrollo de habilidades sociales y empatía.

Ejercicios Desarrollados en Ambos Grupos  Un coche recorre 200 kilómetros en 4 horas.  Ocho pinceles pintan un mural en 10 días.  Una fotocopiadora imprime 500 hojas en 25 minutos.  Una vaca produce 15 litros de leche en un día.  Un jardinero poda 10 árboles en 2 horas.  En 100 gramos de café hay 50 mg de cafeína.  Un pintor pinta una pared en 5 horas.

 Una máquina envasadora llena 100 botellas en una hora.  Para hacer 50 galletas se necesita 1 kg de harina.  Una obrera ensambla 40 piezas en 4 horas. Consideraciones en el trabajo cooperativo

Durante la sesión, algunos estudiantes con habilidades destacadas en matemáticas, a solicitud del docente o de sus compañeros, apoyaron a varios grupos en el análisis de correlación. Este intercambio de conocimientos fue sumamente valioso, evidenciando el potencial del aprendizaje cooperativo para fomentar una comprensión compartida, y disminuir las barreras de aprendizaje y participación, generando una experiencia educativa más inclusiva. Sin embargo, es importante señalar que el trabajo cooperativo en ambos grupos aún requiere la intervención constante del docente para evitar el “efecto polizón” y asegurar que todos los estudiantes asuman su responsabilidad dentro del grupo, fortaleciendo así un ambiente de aprendizaje desde la diversidad.

Actividad de Atención en Casa Debido a imprevistos externos, como la declaración de calamidad pública en el municipio de Dosquebradas por daños en el acueducto, se implementó temporalmente un modelo de atención en casa. Durante el primer día, el docente diseñó una actividad de trabajo autónomo para reforzar los conceptos de magnitud, verbo y sujeto, así como la identificación de tipos de correlación entre magnitudes. Para el segundo día, se propuso una actividad opcional basada en un cuento, con el objetivo de fomentar el uso de la plataforma Classroom como una herramienta de apoyo para la educación en casa en situaciones de emergencia. Solo el 40% de los estudiantes accedieron a la plataforma, lo que subraya la necesidad de fortalecer la competencia digital en el contexto educativo, sin embargo, esto también puede ser debido a limitaciones de acceso a internet.

Observaciones y reflexiones Esta sesión adicional cumplió su propósito de consolidar el trabajo cooperativo y reforzar el aprendizaje de los conceptos de correlación y tipo de correlación entre magnitudes en un entorno cooperativo. Se observó un aumento en la empatía y apoyo mutuo entre estudiantes, lo

cual tuvo un impacto positivo en el proceso de aprendizaje. Las situaciones que se presentaron en la sesión resaltan la importancia de la flexibilidad en el diseño de una secuencia didáctica. Procurar identificar y abordar las barreras para el aprendizaje, es fundamental combinado con una planificación adaptable a las condiciones del grupo y el contexto, para mantener el enfoque de una educación inclusiva El trabajo cooperativo ha demostrado ser una estrategia eficaz para fomentar la participación activa, aunque requiere ser enseñado en un contexto como los de los grupos de estudio que no se encuentran familiarizados con este. Es necesario procurar una intervención continua por parte del docente para evitar el “efecto polizón” y fomentar tanto la responsabilidad individual como grupal. De cara a futuras sesiones, es recomendable seguir aprovechando el deseo de algunos estudiantes de apoyar a sus compañeros, promoviendo un aprendizaje recíproco y participativo en un entorno inclusivo.

La actividad de atención en casa puso en evidencia ciertas limitaciones en términos de infraestructura tecnológica, en particular la falta de una plataforma estandarizada que permita continuar con las dinámicas de enseñanza de manera efectiva en situaciones de emergencia. A pesar de los esfuerzos por promover el uso de Classroom, el acceso fue limitado, alcanzando solo el 40% de los estudiantes. El resto de la atención en casa se manejó a través de WhatsApp, lo cual resultó en un incremento en la carga de trabajo y estrés del docente, dado que esta plataforma no está diseñada para la enseñanza formal. Sin embargo, WhatsApp demostró ser efectiva como medio de difusión para videos de apoyo y tareas, lo que puede ser aprovechado como un recurso complementario en futuras actividades de refuerzo.

7.3.7 Sesión 7: Verbos generadores y conversión de problemas (55 minutos)

7.3.7.1 Introducción y explicación de la utilidad de los verbos generadores (15 min)

En general los estudiantes se mostraron apáticos al inicio de la sesión manifestando que porque continuamos en lo mismo, esto puede ser debido al hecho que ellos consideran que ya entienden el tipo de correlación que se da entre las magnitudes y dado que este tema se vio influenciado por varios factores entre los que podemos destacar, la asistencia de ambos grupos a eventos programados por el área de ciencias naturales en la hora de matemáticas, la calamidad pública entre otras cuestiones que obligo al docente a realizar actividades para la casa que los estudiantes interpretaron de alguna forma como sobrecarga de trabajo. La sesión comenzó con una explicación sobre la importancia de los verbos generadores en la resolución de problemas de proporcionalidad. Se destacó que, una vez identificada la relación entre dos magnitudes, los verbos generadores ayudan a determinar el tipo de correlación (directa o inversa). Se enfatizó que verbos como "hacer," "consumir," "comprar," y "pagar" permiten modelar una variedad de situaciones cotidianas, facilitando el análisis y la comprensión de los problemas.

También se debe resaltar que la estudiante con autismo no asistió al colegio, en comunicación con la acudiente manifestó que la niña no asistió porque ella se encontraba enferma y le toco irse para el hospital y no tenía quien despachara la niña para el colegio.

7.3.7.2 Análisis del verbo “hacer” (10 min)

Se introdujo el verbo "hacer" en contextos como producir, fabricar, realizar o ejecutar. El ejemplo ilustrado fue: "Si se aumenta la mano de obra, ¿qué sucede con el tiempo necesario para hacer una tarea?" Figura 99 Introducción del verbo 'hacer' para analizar el impacto del aumento de mano de obra en el tiempo requerido

Introducción del verbo 'hacer' para analizar el impacto del aumento de mano de obra en el tiempo requerido

Nota. La figura muestra la representación gráfica del aumento de la magnitud mano de obra en la de tiempo, con relación al verbo hacer. Fuente: elaboración propia. Verbo principal: hacer.

Magnitudes: mano de obra, tiempo.

Representación gráfica: Se mostró cómo al aumentar la mano de obra, disminuye el tiempo necesario (ver Figura 100) a partir del cambio de la situación a una más familiar para el estudiante por ejemplo realizar oficio o aseo en su hogar. Figura 100 Efecto de aumentar la mano de obra en el tiempo de duración en un hacer cotidiano Efecto de aumentar la mano de obra en el tiempo de duración en un hacer cotidiano

Mano de obra tiempo hacer Aumenta ?

En esta relación se propone un aumento en la mano de obra, para determinar cómo está correlacionado el tiempo.

Nota. La figura muestra la representación gráfica del efecto del aumento de la magnitud persona y en la de tiempo, con relación al verbo hacer. Fuente: elaboración propia. Comprendido como es la correlación de dos magnitudes con el verbo hacer. Se explicó que el verbo hacer nos servirá para analizar multiplicidad de situaciones cuyos verbos se puede considerar tienen el mismo efecto del verbo hacer, entre estos verbos son todos aquellos que están relacionados con un oficio, producir, fabricar, realizar o ejecuta

7.3.7.3 Análisis del verbo “consumir” (10 min)

El verbo "consumir" se analizó en contextos de agotamiento de recursos. El ejemplo fue: "Si 12 vacas se comen un granero lleno de paja en 80 días, ¿qué sucede si disminuimos el número de vacas?" Verbo principal: consumir.

Magnitudes: vacas, días.

Representación gráfica: Se explicó cómo al disminuir el número de vacas, aumenta el tiempo que dura la paja (ver Figura 101).

Figura 101 Efecto de la disminución de las vacas en los días de duración de la paja Efecto de la disminución de las vacas en los días de duración de la paja

Nota. La figura muestra la representación gráfica de la manera en que el aumento de la magnitud vacas afecta a la de días, con relación al verbo consumir. Fuente: elaboración propia. Para contextualizar el consumo, se les dijo a los estudiantes piensen en la nevera de su casa llena o en el inicio de mes recién hacen mercado. ¿Qué pasa si le llegan visitas? Es decir,

12 vacas

80 días

comer un granero lleno de paja Disminuye Aumenta

si aumentan los consumidores. La respuesta lógica para muchos fue “se vacía más rápido la nevera” o “se acaba más rápido el mercado”.

7.3.7.4 Análisis de los verbos “comprar” y “pagar” (10 min)

Se discutieron los verbos "comprar" y "pagar" como acciones que se relacionan estrechamente. Ejemplo: "Si aumentamos la cantidad de un producto comprado, ¿qué sucede con el dinero necesario para pagar?" Verbo principal: comprar/pagar.

Magnitudes: cantidad, dinero.

Representación gráfica: Se mostró que, al aumentar la cantidad comprada, aumenta el dinero necesario para pagar (ver Figura 102).

Figura 102 Relación entre comprar y pagar: efecto del aumento en la cantidad sobre el dinero necesario Relación entre comprar y pagar: efecto del aumento en la cantidad sobre el dinero necesario Nota: La figura ilustra gráficamente que la relación entre la cantidad de un producto comprado y el dinero necesario para pagarlo. Este gráfico aclara que, al aumentar la cantidad de producto, el costo correspondiente también aumenta. Este ejemplo sirve para enseñar a los estudiantes cómo las acciones de comprar y pagar están correlacionadas en la vida cotidiana, facilitando así la comprensión de conceptos matemáticos esenciales en situaciones reales. Fuente: elaboración propia.

5 Huevos

4250 Pesos

Compra/Pago Aumenta Aumenta

7.3.7.5 Actividad de trabajo cooperativo (15 min)

Los estudiantes se organizaron en grupos pequeños y se les asignaron problemas más complejos que involucraban diferentes magnitudes y relaciones. El objetivo era reforzar las habilidades adquiridas a través de la solución en un contexto cooperativo. Se observó que algunos estudiantes presentaban dificultades para determinar el tipo de correlación entre las magnitudes involucradas en el problema, lo que gracias al compromiso de los estudiantes y la retroalimentación constante permitió a muchos superar estas barreras que presentaban, sin embargo, se seguían observando estudiantes que no trabajaban, en especial aquellos que debido a su ausentismo en días previos no se lograba poner al día con sus compañeros, este tipo de situaciones ponen de manifiesto que se deben implementar estrategias de nivelación para estudiantes que presentan alto ausentismo.

7.3.7.6 Observaciones y reflexiones

La sesión se desarrolló de manera adecuada y cumplió con los objetivos trazados para la mayoría de los estudiantes. Aunque el cambio de los verbos de un problema por los verbos generadores "hacer", "consumir" y "comprar o pagar" permite a los estudiantes analizar con mayor facilidad el tipo de correlación existente entre dos magnitudes, inicialmente se presenta una barrera para determinar cuál de los verbos generadores es más adecuado para analizar el problema.

Tomemos como ejemplo la situación: "Juan, leyendo 45 páginas por día, lee un libro en 20 días. Si leyera más páginas por día, ¿se demoraría más o menos días?" Algunos estudiantes relacionaron esta acción con el verbo "hacer" y otros con "consumir". Si bien ambos enfoques son válidos, resulta más adecuado y fácil de analizar cambiar el verbo "leer" por "consumir". Por otro lado, se observó que, para facilitar la comprensión del motivo del cambio de verbo por uno de los generadores, es importante buscar ejemplos relacionados con el contexto

de los estudiantes. En ambos grupos, el verbo "hacer" se explicó a partir de la acción de hacer oficio, el verbo "consumir" se relacionó inicialmente con el mercado, y "comprar" o "pagar" se ejemplificaron con una compra en la tienda. En el caso de ejemplificar una compra o un pago con productos de la tienda, es recomendable trabajar con aquellos que en el contexto de la comunidad educativa tengan costos con valores en centenas (100, 200, 300, 400, etc.) para facilitar los cálculos mentales y la discusión en grupo. Este enfoque está alineado con el “Principio 5: establecer conexiones entre ideas y contextos” discutido en el capítulo 4. Además, esta estrategia ayuda a disminuir las dificultades relacionadas con la carga cognitiva, las cuales se analizaron en el capítulo 3 como una barrera significativa para algunos estudiantes La disposición de estudiantes que faltaron a clase y se perdieron las explicaciones puede generar barreras para el aprendizaje. Para nivelar a estos estudiantes, se deben diseñar estrategias de apoyo que permitan su inclusión adecuada a los equipos de trabajo y a las dinámicas del grupo. Por ejemplo, videos explicativos de YouTube sobre lo trabajado en clase pueden ser una herramienta útil. También es esencial fomentar la interdependencia positiva en el trabajo cooperativo y la responsabilidad grupal. Sin embargo, dado que apenas se está trabajando en el compromiso de los estudiantes con el trabajo cooperativo, los estudiantes atrasados tienden a ser "polizones", posiblemente por la desmotivación generada debido a la falta de comprensión. Esto exige al docente mayor retroalimentación al grupo que acoge a los estudiantes con alto ausentismo y mayor compromiso de todos los estudiantes para lograr que todos aprendan.

Como la estudiante con autismo no asistió a esta sesión, el docente decidió hacer un seguimiento personalizado durante una de sus horas libres, en la cual ella podía asistir sin dificultades. Este encuentro permitió confirmar que, al igual que el estudiante con Asperger mencionado en las pruebas piloto, a la estudiante le resultaba más fácil comenzar identificando primero las magnitudes y luego el verbo. Además, se observó que ella requiere apoyo visual y

ejemplos concretos que pueda seguir para facilitarle la representación gráfica de las relaciones. Su comprensión de la correlación entre magnitudes mejoró al explicarle que podía reemplazar el verbo original por uno de los verbos generadores trabajados en clase. Para facilitar este proceso, se utilizaron ejemplos cercanos a su contexto: para el verbo "hacer," se usó la actividad de realizar los oficios del hogar; para "consumir," se relacionó con el consumo del mercado familiar; y para "comprar/pagar," se empleó la compra de arepas para el desayuno. La exageración de estas situaciones, como imaginar cuánto tiempo tardaría si realizara los oficios sola frente a hacerlo con diez personas, le ayudó a comprender de forma intuitiva cómo se correlacionan las magnitudes.

Durante una entrevista a una estudiante, se le pregunto ¿Cree usted que el cambio del verbo del problema por uno de los verbos generadores facilita o dificulta el análisis del tipo de correlación entre dos magnitudes? El estudiante respondió “Es mucho más fácil porque son palabras ya trabajadas. En cambio, la palabra original puede ser una palabra nueva o que requiere mucho tiempo y concentración para aprender”.

Esta apreciación demuestra que el cambio por los verbos generadores crea familiaridad para los estudiantes en diferentes contextos, facilitando su análisis de correlación y mitigando las barreras para el aprendizaje.

Estas observaciones subrayan la importancia de adaptar los ejemplos y verbos generadores al contexto cotidiano de los estudiantes para mejorar la comprensión y el análisis de las correlaciones entre magnitudes.

7.3.8 Sesión 8: Explicación de la condición de regularidad (55 minutos)

7.3.8.1 Introducción y explicación del concepto de condición de regularidad (10 min)

La sesión comenzó con una introducción al concepto de condición de regularidad. Se explicó que esta condición es indispensable para que una proporción pueda calcularse de

manera correcta, como se discutió en el capítulo 5. Se enfatizó que no comprender adecuadamente la condición de regularidad puede llevarnos a lo que se conoce como la sobregeneralización de la linealidad. Para ilustrar este error, se planteó en ambos grupos la siguiente pregunta: "Juan, en su mejor tiempo de educación física, realiza los 100 metros planos en 20 segundos. ¿Cuánto tiempo se demoraría para hacer los 200 metros planos?" La respuesta casi generalizada fue: "40 segundos". En este punto, se explicó a los estudiantes que la respuesta era incorrecta, ya que no consideraron que Juan se cansaría, lo que significa que los siguientes 100 metros los haría a un ritmo más lento. Se aprovechó para explicar que la respuesta dada por ellos es lo que se considera una sobre-generalización de la linealidad (un concepto que se explora a fondo en grados superiores). Sin embargo, en el contexto aritmético, este caso se refleja en un uso incorrecto de la proporcionalidad, pues no se verifico previamente si se cumple la condición de regularidad.

Tras esta introducción, se procedió a definir la condición de regularidad como aquella característica indispensable y dependiente de la situación concreta para que la proporción pueda calcularse, siempre y cuando se cumplan las demás condiciones necesarias.

7.3.8.2 Ejemplos ilustrativos de condición de regularidad (15 min)

Se presentaron varios ejemplos para ilustrar cómo se manifiesta la condición de regularidad:

 Ejemplo explícito: "El profesor Juan pagó 120.000 pesos por 20 diccionarios de inglés. ¿Cuánto debe pagar la profesora Mabel por 15 diccionarios iguales?" Aquí, la regularidad es clara, ya que se especifica que los diccionarios son iguales y provienen del mismo lugar.

 Ejemplo implícito: "Si 10 botellas contienen 15 litros de agua, ¿cuál es la capacidad de 7 botellas?" Aquí se asume que la capacidad de todas las botellas es igual, aunque no se menciona explícitamente.

Luego se propuso un problema “4 manzanas cuestan 4000 pesos. ¿Cuánto costaran 10 manzanas?” La mayoría respondieron 10000 pesos, sin embargo, ninguno manifestó que eso era verdad solo si se asumía que todas las manzanas costaran igual. Seguido se propuso otro problema “Juan recorre los 100 metros en 25 segundos siendo este su mejor tiempo. ¿en cuánto tiempo hará los 200 metros planos? A esta pregunta muchos estudiantes respondieron 50 segundos y algunos estudiantes respondieron de forma tímida que se cansa y no puede ser posible que lo haga en 50 segundos. Finalmente se propuso un ejemplo que ha sido recurrente en clase con pequeñas variaciones a manera de problema “5 camisas se secan en 1 hora. ¿Cuánto tiempo se demorarán 10 camisas?” Aquí la mayoría respondió “se demoran lo mismo”, evidenciando cómo, una vez conocido el contexto los estudiantes son capaces de responder de forma adecuada.

Para profundizar la comprensión, el docente organizó una tabla en el tablero con las condiciones de regularidad para ciertos verbos generadores (ver Tabla 12). Esta idea surgió de pruebas piloto, ya que la condición de regularidad había demostrado ser un concepto complejo de asimilar. A partir de esta reflexión, el docente decidió aprovechar los verbos generadores ("hacer", "consumir", y "comprar o pagar") como una guía:

Tabla 12 Tabla de condiciones de regularidad asociadas a verbos generadores Tabla de condiciones de regularidad asociadas a verbos generadores Verbo Generador Condición de regularidad Hacer Mismo ritmo Consumo Consumen igual Comprar o vender Productos semejantes y valen igual

Nota. Esta tabla presenta los verbos generadores y las condiciones de regularidad asociadas, diseñada para apoyar a los estudiantes en la comprensión de cómo estas condiciones afectan la solución de problemas de proporcionalidad. El objetivo de esta tabla es reducir las dificultades que han experimentado los estudiantes con este concepto matemático, utilizando un enfoque que combina la teoría con ejemplos prácticos, facilitando así el reconocimiento y la aplicación correcta de la condición regularidad en contextos matemáticos variados. Fuente: elaboración propia.

El docente ejemplificó cómo estos principios se aplican en diferentes contextos:

1. Trabajar es un verbo generador "hacer". La condición de

regularidad es que todos trabajan al mismo ritmo. Por ejemplo, si un grupo de trabajadores está construyendo sillas, todos deben construir la misma cantidad de sillas por unidad de tiempo.

2. Fabricar también es un verbo generador "hacer". Si se fabrican 100

productos en una hora, en otra hora se deben fabricar los mismos

100 productos. Si se analizan los obreros o maquinaria, se debe

explicitar que todos fabrican las mismas unidades por unidad de tiempo, es decir, nadie produce más que otro.

Las explicaciones y ejemplos contextualizados, combinados con el uso del aprendizaje previo sobre del uso de los verbos generadores, resultaron fundamentales para clarificar la condición de regularidad y facilitar la comprensión entre los estudiantes. Sin embargo, aunque la inclusión de la tabla de la condición de regularidad basada en los verbos generadores ayudo a mitigar las barreras de aprendizaje observadas en la prueba piloto, se observó que algunos

estudiantes en especial los estudiantes con diversidad funcional, aun presentaban dificultades para identificar y expresar de manera correcta la condición de regularidad.

7.3.8.3 Identificación de la condición de regularidad en problemas dados (15 min)

Los estudiantes trabajaron en varios problemas para identificar la condición de regularidad en cada caso. Esto les ayudó a comprender mejor cómo aplicar este concepto en diferentes situaciones de contexto. Se discutieron ejemplos como el trabajo de obreros pintando una pared, donde se explicó la necesidad de asumir que todos trabajan al mismo ritmo.

7.3.8.4 Consideraciones adicionales para que exista proporcionalidad aritmética (10 min)

Se explicaron las condiciones necesarias para que exista proporcionalidad aritmética:

1.

Magnitudes mensurables: Las magnitudes deben ser mensurables. Por ejemplo, el número de una casa no es una magnitud mensurable.

2.

Magnitudes extensivas: Ambas magnitudes deben ser extensivas. La temperatura, por ejemplo, no es extensiva porque no se incrementa al añadir más del mismo elemento.

3.

Condiciones de regularidad: Deben garantizarse las condiciones de regularidad según el contexto. Por ejemplo, en un intercambio de bolas por láminas, si las condiciones son iguales para todos los objetos involucrados.

4.

Tipo de proporcionalidad: Determinar si la proporcionalidad es directa o inversa.

7.3.8.5 Actividad guiada (5 min)

Para cerrar la sesión, se realizó una actividad guiada donde los estudiantes aplicaron lo aprendido a un problema nuevo. Esto les permitió reforzar los conceptos y asegurarse de que comprendieran bien la condición de regularidad y las magnitudes proporcionales

7.3.8.6 Observaciones y reflexiones

En general, la actitud del grupo durante la sesión fue asertiva y participativa. Los ejemplos contextualizados, como la carrera de Juan y el problema del secado de camisas, captaron el interés de los estudiantes. Un momento significativo ocurrió cuando la mayoría de estudiantes, tras responder incorrectamente el primer problema de Juan, acertó en el problema de secado de camisas. Esta experiencia motivó a los estudiantes a prestar mayor atención al concepto de condición de regularidad y sus aplicaciones, lo cual permite resaltar la importancia de los ejemplos cercanos a su contexto para captar su interés y facilitar la comprensión de ideas abstractas como la proporcionalidad. Esto demuestra cómo las emociones influyen en el disfrute y la confianza en las capacidades matemáticas, un aspecto discutido en el capítulo 3.

7.3.9 Sesión 9: Método facilitador de regla de tres para la solución de problemas de

magnitudes directamente e inversamente proporcionales (55 minutos)

7.3.9.1 Introducción y explicación del método facilitador (8 min)

La sesión comenzó con una introducción al método facilitador para resolver problemas de proporcionalidad mediante la regla de tres. Se destacó la importancia de este método visual y gráfico para ayudar a los estudiantes a comprender y aplicar la regla de tres de manera más efectiva. Se explicó que todo lo que trabajamos hasta este momento era con el objetivo de aplicar de forma correcta todos los pasos del método facilitador que el docente está proponiendo en su investigación para la resolución de problemas tanto de proporcionalidad directa como inversa. Se resaltó que el uso de este método de forma sistemática y reflexiva reduce la tendencia a sobregeneralizar la linealidad.

Ejemplo: Solución de un problema de magnitudes directamente proporcionales aplicando el método facilitador Paso 1: Representación gráfica del problema (7 min)

Se ilustró un problema simple de proporcionalidad directa: "Suponga que usted paga 10,000 pesos por 4 metros cúbicos de agua. ¿Cuántos metros cúbicos se pagan con 25,000 pesos?" El problema se representó gráficamente, destacando la relación entre las magnitudes dinero y metros cúbicos de agua (ver Figura 103).

Figura 103 Representación gráfica del problema costo del agua Representación gráfica del problema costo del agua

Nota: Representación gráfica de las relaciones identificadas en el problema. Fuente: elaboración propia.

Paso 2: Aplicación de criterios para el uso de aumenta y disminuye (5 min) En esta sesión se explicó cómo determinar si las magnitudes aumentan o disminuyen al realizar cambios en una de ellas. Este análisis se realizó mediante una representación gráfica que ayudó a los estudiantes a visualizar y analizar los efectos de los cambios en una magnitud Relación o Correspondencia Pagar

10000 pesos

4 metros cúbicos de agua.

25000 pesos

x

sobre la otra (ver Figura 104), esto facilito el análisis del tipo de correlación existente entre las magnitudes.

En la prueba piloto previa, se identificó que la mayoría de estudiantes lograban desarrollar la capacidad de determinar cuándo dos magnitudes estaban correlacionadas y el tipo de correlación entre ellas. Sin embargo, también se determinó que realizar el análisis de la condición de regularidad antes de este paso generaba confusión. Por esta razón, se decidió invertir el orden propuesto originalmente: primero se analiza el tipo de correlación entre las magnitudes y, posteriormente, verifica la condición de regularidad y los demás criterios para determinar si las magnitudes son proporcionales y es adecuado aplicar el método facilitador para hallar la solución al problema propuesto.

Además, durante las pruebas piloto, se detectó que el análisis del tipo de correlación entre las magnitudes en la regla de tres compuesta presentaba barreras de aprendizaje significativas. Estas barreras surgían porque, al descomponer la regla de tres compuesta en reglas de tres simples, los estudiantes se les dificultaba entender que magnitudes se debían emparejar durante este análisis. Esto generaba confusión en la etapa de análisis de correlación y en la representación gráfica, afectando el aprendizaje y llevando a obtener respuestas erróneas por parte de los estudiantes.

Para abordar esta dificultad, se incluyó un elemento adicional en las explicaciones de la regla de tres simples, este elemento no fue considerado en la propuesta original. Este ajuste, en la enseñanza y representación gráfica resaltado en azul en la Figura 104 permitió a los estudiantes comprender mejor el proceso y resolver problemas relacionados con la regla de tres compuesta de manera más efectiva.

Por esta razón, se decidió incluir estos ajustes desde la enseñanza de la regla de tres simple, integrando este enfoque gráfico en las explicaciones para mitigar las barrearas de

aprendizaje al abordar posteriormente la regla de tres compuesta. Este cambio busca ofrecer un enfoque más consistente y accesible a lo largo de las diferentes sesiones, facilitando el aprendizaje y la aplicación de los conceptos. Todo esto se alinea con uno de los principios fundamentales de una educación inclusiva, que establece que, una vez identificadas las barreras para el aprendizaje, se debe trabajar para eliminarlas o, al menos, mitigarlas.

Figura 104 Aplicación del criterio de cambio en la magnitud de entrada “pago de dinero” Aplicación del criterio de cambio en la magnitud de entrada “pago de dinero” Nota: Representación gráfica de la aplicación del criterio de cambio en el análisis de la situación. Fuente: elaboración propia.

Paso 3: Análisis de tipo correspondencia Se analizó la correspondencia entre las magnitudes ya que el aumento en el dinero resultaba en un aumento proporcional en los metros cúbicos de agua. A Relación o Correspondencia Pagar

10000 pesos

4 metros cúbicos de agua.

25000 pesos

x Aumenta

Figura 105 Análisis del tipo de correspondencia con la magnitud de salida “metros cúbicos de agua” Análisis del tipo de correspondencia con la magnitud de salida “metros cúbicos de agua”

Nota: Representación gráfica de la manera en que el aumento de la variable cantidad de pesos afecta a la de cantidad de agua. Fuente: elaboración propia Paso 4: Verificación de las condiciones de regularidad y determinación del tipo de proporcionalidad (5 min) Se verificó que el problema cumpliera con las condiciones necesarias para ser considerado proporcional, tales como tener magnitudes mensurables y extensivas, además de garantizar una condición de regularidad. Seguido, se procedió, a explicitar que en este caso la condición de regularidad es que “el costo de cada metro cúbico de agua fuera igual”. A continuación, se procedió a explicar que, al garantizar que estas condiciones se cumplen, las magnitudes no solo pueden considerarse directamente correlacionadas, sino que también directamente proporcionales, lo cual se agregó en la representación gráfica como se puede ver en la Figura 106.

Este explicitación en la representación gráfica fue una mejora implementada a partir de observaciones realizadas durante la prueba piloto. En dicha etapa, se detectó que muchos estudiantes desarrollaban los problemas sin explicitar la condición de regularidad en sus A A Relación o Correspondencia Pagar

10000 pesos

4 metros cúbicos de agua.

25000 pesos

x Aumenta Magnitudes directamente correlacionadas

soluciones. Esto generaba dudas sobre si los estudiantes realmente comprendían cómo determinarla o si simplemente la omitían porque, en la enseñanza previa, solo se mencionaba y se marcaba con el acrónimo “C.R.” seguido de un chulo o una marca apropiada para indicar su cumplimiento. Además, algunos estudiantes ni siquiera realizaban esta verificación mínima. Esta omisión podría interpretarse como una barrera de aprendizaje generada por una mala práctica en la enseñanza, ya que conducía a los estudiantes a aplicar el método facilitador incluso en contextos que no eran proporcionales. Esto derivaba en el problema conocido como la sobre-generalización de la linealidad, es decir, aplicar la proporcionalidad de manera inapropiada en situaciones donde no corresponde Paso 5: Aplicación del método facilitador en problemas directamente proporcionales (10 min) Una vez se verifico que las magnitudes eran directamente proporcionales se procedió a ejemplificar como usar el método facilitador para resolver el problema, obteniendo la respuesta: con 25,000 pesos se pueden pagar 10 metros cúbicos de agua. Para llegar a la solución se simplificando la ecuación resultante (ver Figura 107) y obtuvo la respuesta. Figura 106 Aplicación del método facilitador problemas regla de tres: relación entre dinero pagado y metros cúbicos de agua Aplicación del método facilitador problemas regla de tres: relación entre dinero pagado y metros cúbicos de agua

Nota: Representación gráfica en la que se ilustra la aplicación del método. Fuente: elaboración propia

Figura 107 Ecuación obtenida mediante la aplicación del método facilitador Ecuación obtenida mediante la aplicación del método facilitador 𝑋= 25.000 pesos × 4 metros cúbicos de agua

10.000 pesos

Nota: Planteamiento de la solución acorde al método facilitador. Fuente: elaboración propia.

A A Relación o Correspondencia Pagar

10000 pesos

4 metros cúbicos de agua.

25000 pesos

x Aumenta Aumenta Magnitudes directamente correlacionadas Condición de regularidad: todos los metros cúbicos cuestan igual Magnitudes directamente proporcionales

Finalmente, se explicó que, al solucionar la expresión obtenida por el uso del método facilitador, se puede determinar que con un monto de 25.000 pesos es posible pagar 10 metros cúbicos de agua.

En este punto, es importante resaltar un aporte significativo que surgió en la prueba piloto, el cual contribuyo a mejorar la enseñanza y aprendizaje del método facilitador. Durante la prueba piloto, algunos estudiantes manifestaron que no entendían como se llegaba a la expresión representada en la Figura 107. Tras dialogar con ellos, se logró determinar que tenían dificultades con algunos aspectos mencionados en el paso tres del método facilitador, específicamente en el paso tres del método facilitador en la instrucción que indicaba: “Aquellas magnitudes que estén alineadas con la incógnita "x" se colocarán en el numerador. Las que no lo estén, se ubicarán en el denominador. (indicado por el sombreado gris en la Figura 106), y las otras en el denominador (es decir, aquellas que no están sombreadas)” Muchos estudiantes no comprendían claramente a qué se refería la expresión “alineados a la incógnita x”. Después de un dialogo en grupo, para abordar esta dificultad un estudiante propuso una alternativa más clara y practica: en lugar de decir " Aquellas magnitudes que estén alineadas con la incógnita "x" se colocarán en el numerador ", sugirió decir "nos ubicamos sobre la x y trazamos una cruz; todas las magnitudes atravesadas por esta cruz quedarán en el numerador y las otras quedarán en el denominador". Este aporte, fue implementado con éxito en la prueba piloto, aclarando con éxito el proceso para los estudiantes y mejorando significativamente la aplicación correcta del método facilitador. Por esta razón, fue incluida formalmente en la propuesta del método facilitador y aplicado nuevamente con estos grupos, demostrando su efectividad para facilitar la comprensión y uso del método facilitador por parte de los estudiantes. Al estar alineada con la representación gráfica del método facilitador, esta modificación permitió a los estudiantes

7.3.9.2 Actividad guiada: Solución de un problema (10 min)

Los estudiantes trabajaron en el siguiente problema bajo la supervisión del docente, “10 arepas cuestan 6000 pesos. ¿Cuánto costaran 5 arepas?”, en general los estudiantes lograron aplicar de forma adecuada el método facilitador.

Observaciones relacionadas con la estudiante con autismo Durante esta parte de la sesión, la estudiante con autismo enfrentó desafíos específicos relacionados con la identificación del tipo de correlación entre las magnitudes. Aunque logró determinar los verbos y magnitudes involucradas, así como realizar la representación gráfica con algo de apoyo por parte del docente (ver Figura 108), requirió de apoyo continuo para reconocer si la magnitud de entrada (en este caso, la cantidad de dinero) aumentaba o disminuía, lo cual es un paso crítico en el análisis.

Figura 108 Trabajo de la estudiante con autismo en la representación gráfica y análisis de correlación entre magnitudes Trabajo de la estudiante con autismo en la representación gráfica y análisis de correlación entre magnitudes visualizar el procedimiento de forma más intuitiva, aplicándolo de forma más efectiva. Esta contribución contribuyo a eliminar barreras de aprendizaje, alineándose con el análisis grafico del método y promoviendo una mayor participación y una experiencia enriquecedora en los estudiantes. Además, esto está en consonancia con el “Principio 7: comunicación matemática y argumentación”, reforzando la búsqueda constante de eliminar barreras para el aprendizaje y demostrando que los aportes de los estudiantes pueden ser valiosos para mitigarlas.

Nota: En la imagen se observa el trabajo realizado por una estudiante con autismo para resolver el problema: "10 arepas cuestan 6000 pesos. ¿Cuánto costarán 5 arepas?". Durante el dictado, la estudiante escribió de forma parcial el enunciado del problema, omitiendo las palabras "pesos" e "incógnita", lo que puede reflejar dificultades para seguir dictados extensos. En su análisis inicial, la estudiante identificó correctamente el verbo generador "cuestan" y las magnitudes "10 arepas" y "6000 pesos," pero no estableció la relación entre "5 arepas" y su costo desconocido. El docente intervino para organizar la información faltante y guiarla en la representación gráfica.

Al preguntarle si la magnitud de entrada aumentaba o disminuía, la estudiante respondió en repetidas ocasiones que “aumentaba,” incluso después de que la pregunta se le realizo de diferentes maneras para facilitar su comprensión. Finalmente, al sugerirle que pensara en el orden de los números del 1 al 10 y con base en esto pensara cuál era menor entre el 5 y el 10,

la estudiante logró determinar que el 5 era menor y que, en el problema planteado, se pasaba de una cantidad mayor de dinero a una cantidad menor.

Una vez superada esta barrera, y con el apoyo de la hoja visual diseñada para facilitar el análisis de la correlación entre magnitudes (ver Figura 98), proporcionada en sesiones previas,, la estudiante logró diferenciar el tipo de correlación (directa o inversa) entre las magnitudes. Sin embargo, enfrentó dificultades para identificar la condición de regularidad de manera independiente, lo que requirió explicaciones adicionales por parte del docente. Finalmente, aunque pudo ubicar los valores en la estructura del método facilitador y resolver el problema con apoyo de una calculadora, estas barreras iniciales evidenciaron la importancia de la interacción entre pares, un recurso que no pudo ser aprovechado en esta sesión. La falta de trabajo cooperativo afectó particularmente a la estudiante, quien podría haber recibido apoyo de sus compañeros para superar estas dificultades. Esto pone de manifiesto la necesidad de implementar actividades de trabajo cooperativo de manera recurrente durante las clases. Aunque la atención personalizada del docente ha demostrado ser una herramienta eficaz, los recursos para proporcionarla son limitados, como se ha evidenciado en sesiones previas. El trabajo cooperativo es una herramienta eficaz que impulsa el aprendizaje y la inclusión, mitigando las barreras para el aprendizaje y la participación. Sin embargo, requiere ser trabajado y enseñado con intención, además de promover una conciencia colectiva de aprendizaje desde la diversidad. Es fundamental que todos los estudiantes se sientan valorados y perciban que sus aportes son importantes dentro del grupo, lo que fortalecerá no solo el aprendizaje individual, sino también el sentido de comunidad en el aula.

7.3.9.3 Ejemplo de solución de problema de magnitudes inversamente proporcionales

aplicando la técnica de inversión y el método facilitador (5 min) Se presentó un problema de proporcionalidad inversa: "10 estudiantes planean salir de campamento y recogen víveres para 4 días. Si 2 estudiantes no pueden ir, ¿para cuántos días les alcanzarán los víveres recolectados?" Se mostró cómo aplicar la técnica de inversión y el método facilitador para resolver el problema.

7.3.9.4 Ejercicio de aplicación práctica (5 min)

En esta etapa de la sesión, los estudiantes practicaron la resolución de problemas de proporcionalidad inversa utilizando el método facilitador. Se les planteo un problema de proporcionalidad inversa diseñado para reforzar y consolidar el uso del método facilitador. Durante el desarrollo, el docente ofreció retroalimentación puntual para aclarar las dudas que presentaban, en especial aquellos estudiantes que mostraron dificultades para determinar el tipo de correlación o aplicar la técnica de inversión.

Para cerrar la sesión, el docente compartió una tarea compuesta por 10 problemas de proporcionalidad directa e inversa, con distintos niveles de complejidad. Esta tarea fue diseñada para que los estudiantes practicaran y reforzaran lo aprendido de manera autónoma. Además, se les recordó que aprovecharan los ejemplos de clase como guía para resolver los problemas.

7.3.9.5 Observaciones y reflexiones

Algunos estudiantes, especialmente aquellos con diversidad funcional cognitiva, presentaron dificultades al aplicar el método facilitador para resolver problemas de proporcionalidad. Estas dificultades se debieron principalmente por la inclusión de múltiples pasos en el desarrollo del método y a la falta de oportunidades para explicaciones individualizadas o participar en actividades de trabajo cooperativo. Esta situación ya se había observado en la prueba piloto, lo que sugiere la necesidad de reestructurar las sesiones 9 y 10.

Se propone dividir la sesión actual dos sesiones para mitigar las barreras de aprendizaje:

1. Sesión 9: Enfocada exclusivamente en la aplicación del método facilitador para solucionar

problemas de proporcionalidad directa: trabajando ejemplo, problemas guiados por el docente y actividades de trabajo cooperativo para reforzar la aplicación del método.

2. Sesión 10: Mientras que la sesión 10 se dedica en la aplicación del método facilitador

para solucionar problemas de proporcionalidad inversa: siguiendo las mismas prácticas enseñanza y trabajo cooperativo.

Además, según el avance se determina la necesidad o no de incluir una sesión adicional donde se procure mitigar las barreras para el aprendizaje que se hayan identificado durante las sesiones anteriores. Esta sesión podría culminar con una actividad cooperativa donde los estudiantes soluciones tanto problemas de proporcionalidad directa como inversa. Esta reorganización no solo proporcionaría un enfoque más claro y estructurado, sino que también garantizaría que se fomente la interacción entre pares, promoviendo un aprendizaje desde la diversidad y fortaleciendo el sentido de colaboración en el aula. Cabe recordar, como se discutió en el capítulo 3, que los estudiantes con dificultades en el aprendizaje de matemáticas pueden enfrentar barreras significativas para secuenciar múltiples pasos en procedimientos complejos. Por otro lado, fomentar un ambiente donde los estudiantes se sintieran libres y confiados para opinar resultó altamente beneficioso. Durante la prueba piloto, un estudiante propuso una modificación al paso 3 del método facilitador, lo que ayudó a superar una barrera significativa en su aplicación. Este aporte no solo mejoró la comprensión del método durante la prueba piloto, sino que también demostró ser efectivo en la implementación actual, validando la importancia de incorporar las ideas y propuestas de los estudiantes en el diseño de las estrategias didácticas. Además, se debe resaltar que en esta sección no se programó una actividad de trabajo cooperativo, lo que demostró limitar las oportunidades de aprendizaje para algunos estudiantes.

Aunque la sección se diseñó más como un espacio para conceptualizar todo lo referente a la aplicación del método facilitador, las observaciones tanto en la prueba piloto como en la investigación actual, demostraron que la falta de oportunidades de interacción entre pares, disminuyo la oportunidad para que los estudiantes compartieran sus ideas y se apoyaran mutuamente en la comprensión de los conceptos. Esta observación es especialmente importante dado que la capacidad docente para atender de forma personalizada a los estudiantes es limitada, especialmente cuando debe atender a los estudiantes que presentan mayores dificultades. Además, este tipo de actuación puede generar desorden si no se propone una actividad significativa al resto de estudiantes.

La sesión 9 marcó un avance significativo en la implementación del método facilitador, mostrando mejoras respecto a las dificultades identificadas en la prueba piloto. Sin embargo, el caso de la estudiante con autismo resalta la necesidad de fomentar el trabajo cooperativo entre pares combinado con explicaciones individualizadas cuando sea necesario para mitigar las barreras de aprendizaje de manera más efectiva. Esto no solo ayudará a asegurar que todos los estudiantes comprendan y apliquen el método facilitador de manera efectiva, sino que también promoverá un entorno de aprendizaje más inclusivo y colaborativo. En este contexto, el caso de la estudiante con autismo fue particularmente relevante. Aunque mostró avances significativos, como la identificación de verbos y magnitudes, y la capacidad de realizar representaciones gráficas con apoyo, enfrentó barreras para determinar si una magnitud aumentaba o disminuía. Además, requirió explicaciones adicionales para identificar la condición de regularidad y necesitó calculadora para resolver el problema planteado. La ausencia de trabajo cooperativo limitó su aprendizaje, ya que la interacción con sus compañeros podría haber sido clave para superar estas barreras.

Por estas razones, se recomienda una reestructuración de la sesión 9 para dividirla en dos sesiones enfocadas separadamente en proporcionalidad directa e inversa. Asimismo, se

debe considerar una sesión adicional que combine actividades para mitigar barreras de aprendizaje con una dinámica cooperativa que permita a los estudiantes resolver problemas de ambos tipos de proporcionalidad.

En conclusión, la sesión 9 marcó un avance significativo en la implementación del método facilitador, mostrando mejoras respecto a las dificultades identificadas en la prueba piloto. Sin embargo, los resultados también subrayan la importancia de fomentar el trabajo cooperativo combinado con explicaciones individualizadas para abordar de manera más efectiva las necesidades específicas de los estudiantes, especialmente aquellos con diversidad funcional cognitiva. Con esto no solo se procura asegurar que todos los estudiantes comprendan y apliquen el método facilitador de manera efectiva, sino que también contribuirá a un entorno de aprendizaje más inclusivo y colaborativo.

7.3.10 Sesión 10: Solución de problemas directamente e inversamente proporcionales

con el método facilitador (55 minutos) Objetivo de la sesión: Aplicar los conceptos de proporcionalidad directa e inversa mediante la resolución de problemas en un entorno cooperativo, identificando y superando las barreras de aprendizaje.

7.3.10.1 Revisión, identificación de las barreras de aprendizaje y corrección de la tarea

(15 min) Se da la bienvenida a los estudiantes prosiguiendo con compartirles y explicarle el objetivo de la sesión. A continuación, se recopilan las tareas asignadas en la sesión previa y se revisan en conjunto algunos de los problemas resueltos. Durante esta revisión, se pidió a los estudiantes que compartieran las dificultades encontradas al resolver los problemas. Entre las barreras más comunes se identificaron:

 Falta de comprensión de la proporcionalidad inversa.

 Errores en la aplicación del método facilitador en problemas de proporcionalidad inversa.

Para ayudar a superar estas dificultades, se analizaron en el tablero los errores más frecuentes y se explicó detalladamente el desarrollo correcto, asegurándose de que todos comprendieran los pasos necesarios para llegar a la solución.

Durante la revisión de las tareas, se observó que muchos estudiantes presentaban dificultades específicas para realizar la inversión en los problemas de proporcionalidad inversa. Por esta razón, se retomó la explicación de la diferencia entre el uso del método facilitador en problemas de proporcionalidad directa e inversa. Esta situación subraya la importancia de adoptar una evaluación centrada en el aprendizaje e inclusiva, tal como se discutió en el capítulo 4 de la tesis. Este enfoque resalta la necesidad de abordar de manera efectiva las barreras para el aprendizaje detectadas, conforme a los principios de una educación inclusiva. Se escribieron dos ejemplos simplificados en el tablero, que ya contaban con la representación gráfica y en los que se especificaba que asumiríamos que se había realizado todo el análisis previo, determinado que las magnitudes eran directa e inversamente proporcionales, lo que se indicaba al lado de la representación gráfica (ver Figura 109). Posteriormente, se explicó paso a paso cómo realizar la solución en cada caso utilizando el método facilitador. Para reforzar este aprendizaje, se propusieron varios ejemplos adicionales con la misma estructura. De esta forma, los estudiantes pudieron concentrarse exclusivamente en practicar la solución, sin preocuparse por el análisis previo, lo que les facilito enfocarse en afianzar el procedimiento del método facilitador de forma más efectiva.

Figura 109 Ejemplos simplificados para practicar el método facilitador con magnitudes directa e inversamente proporcionales Ejemplos simplificados para practicar el método facilitador con magnitudes directa e inversamente proporcionales

Nota: La figura muestra ejemplos simplificados donde se proporciona la representación gráfica y se especifica si las magnitudes son directa o inversamente proporcionales. Estos ejemplos permitieron a los estudiantes concentrarse en practicar la aplicación del “Método facilitador para problemas de regla de tres, superando barreras de aprendizaje” sin preocuparse por el análisis previo de correlación o la condición de regularidad. Esta técnica de enseñanza facilita un aprendizaje más efectivo del procedimiento, permitiendo a los estudiantes mejorar su destreza

para aplicar correctamente el método en diferentes contextos de proporcionalidad directa e inversa. Fuente: Elaboración propia Observaciones durante la actividad:

Los estudiantes participan activamente, haciendo preguntas y compartiendo sus dificultades.

Se aclararon de forma conjunta las dudas específicas, proporcionando ejemplos adicionales cuando se consideró necesario.

Consideración de la estudiante con autismo:

Durante la revisión de las tareas, el docente notó que la estudiante con autismo enfrentaba dificultades para seguir algunos pasos del método facilitador. En respuesta, se elaboraron notas claras y visuales basadas en los ejemplos del tablero, resaltando cada paso del procedimiento. Además, se procuró facilitar su comprensión mediante recursos visuales, como esquemas y colores. Además, para fomentar su participación y asegurar que comprendiera el material, se solicitó a un compañero que había trabajado con ella en sesiones anteriores que le brindara apoyo durante la actividad. Este enfoque no solo ayudó a la estudiante a participar activamente, sino que también reforzó la importancia de las adaptaciones personalizadas y el trabajo cooperativo en un entorno educativo inclusivo.

7.3.10.2 Explicación, socialización de la actividad y conformación de equipos (5 min)

El docente explicó que nuevamente se trabajará en equipos de forma cooperativa, formados por grupos de 4-5 estudiantes, procurando que en cada uno de los equipos se cuente con una combinación adecuada de integrantes, de forma que en cada uno de los equipos aquellos estudiantes que presentan dificultades estuvieran acompañados por estudiantes que han demostrado dominar mejor los conceptos. El objetivo era resolver una serie de problemas de proporcionalidad directa e inversa, incluyendo algunos de pseudoproporcionalidad para

fomentar el análisis crítico. Además, se recuerda que, como en días anteriores, el trabajo cooperativo solo puede aportar a la consecución de los objetivos si todos participan activamente, reconociendo la interdependencia positiva y valorando los aportes de los demás. Se enfatiza la importancia de evitar el efecto polizón.

Observaciones durante la actividad:

Los estudiantes muestran entusiasmo y se agrupan rápidamente, prefiriendo ubicarse con sus equipos acostumbrados, sin embargo, cuando el docente solicita cambios de miembros de los equipos para equilibrar los conocimientos y habilidades, los estudiantes fueron asertivos y se cambiaron de equipo de trabajo.

La estudiante con autismo fue ubicada en un grupo de compañeros, los cuales a lo largo de la actividad fueron comprensivos y mostraron disposición a apoyarla durante el desarrollo de la actividad, fomentando su participación activa. Esto demuestra que los estudiantes reconocen y valoran la diversidad como un aspecto enriquecedor del ambiente educativo, lo que refleja las discusiones en capítulos previos de la tesis. Aprenden a convivir con las diferencias y a aprovechar las experiencias derivadas de esta diversidad, contribuyendo a un entorno de aprendizaje más inclusivo y colaborativo.

7.3.10.3 Trabajo cooperativo: Solución de problemas, retroalimentación docente y

evaluación grupal (25 min) Se entrega a cada equipo una hoja con los problemas a resolver, que incluían proporcionalidad directa e inversa, además de problemas de pseudoproporcionalidad. Los equipos discutieron y trabajaron juntos para resolver los problemas. Observándose que la mayoría de los equipos mostraron dinámicas activas y positivas de trabajo. El docente ofreció constantemente ayuda y retroalimentación a los diferentes grupos, observando cómo trabajan juntos y guiando a aquellos que presentan dificultades. Además,

alterna la retroalimentación con evaluaciones grupales para afianzar el trabajo cooperativo y determinar el avance de cada equipo.

En el grupo de la estudiante con autismo se observó que los compañeros para alentar su participación activa, la impulsaron a leer los enunciados en voz alta para el grupo, pese a que su lectura presenta un tono un poco monosílabo, similar a los niños que están iniciando este proceso. Además, la animaron a involucrarse en la construcción de la representación gráfica de los problemas, promoviendo así su inclusion y participación en las actividades grupales. Observaciones a problemas específicos:

Problema 5: Algunos equipos no identificaron correctamente que no se trataba de un problema de proporcionalidad. El docente tuvo que explicar por qué no se puede aplicar la proporcionalidad en este caso, aclarando que la condición de regularidad no se cumple. Problema 8: Algunos equipos presentan dificultades al plantear la representación gráfica de la situación, no interpretaron de forma adecuada que en la representación gráfica la incógnita se relaciona con 8 personas (5 miembros de la familia + 3 visitantes) y la realizaron solo con las 3 personas. Sin embargo, realizan correctamente el análisis de correlación, determinando que es una relación inversa.

Problema 9: Al igual que el problema 5, algunos equipos lo resolvieron como si se tratase de un problema de proporcionalidad. Sin embargo, la mayoría de los equipos consideraron que la duración de una canción no cambia con el número de músicos Problema 12: Varios equipos no suman los 10 pollos adicionales a la cantidad original de 20 pollos, para obtener un total de 30 pollos por alimentar. Sin embargo, realizan correctamente el análisis de correlación, entendiendo que un aumento en el número de pollos disminuye los días que se pueden alimentar. Además, se debe resaltar que, los grupos que se les había realizado la retroalimentación del problema 8 realizaron de forma adecuada este problema.

Observaciones sobre la estudiante con autismo Con el apoyo de los compañeros de su equipo, la estudiante con autismo participo de forma activa en las actividades, siendo un miembro activo dentro del grupo. Al igual que sus compañeros, leyó los enunciados de los problemas y colaboró en la construcción de las representaciones gráficas, reflejando un avance significativo en su nivel de participación. Sin embargo, se observó que la estudiante presento dificultades para comprender algunos de los problemas en especial lo que implicaban un aumento no explícito, como los planteados en los problemas 8 y 12. Estas barreras fueron superadas parcialmente con el apoyo visual que proporcionaba la representación gráfica, elaboradas con la ayuda de sus compañeros, y por la hoja guía sobre los tipos de correlación entre magnitudes. Estos recursos le permitieron identificar correctamente el tipo de correlación existente entre las magnitudes y avanzar en la solución de los problemas con mayor seguridad y confianza.

7.3.10.4 Conclusión y cierre (10 min)

Los puntos clave de la sesión se resumen, enfatizando las diferencias entre la proporcionalidad directa e inversa, y resaltando la importancia de considerar la condición de regularidad para no cometer el error de aplicar la regla de tres en contextos no proporcionales como los problemas 5 y 9. A continuación, se abre un espacio para que los estudiantes reflexionen sobre lo que aprendieron y compartan sus experiencias de trabajo en equipo. Varios estudiantes manifestaron que trabajar de forma cooperativa les ayuda a comprender mejor los conceptos y a superar las barreras de aprendizaje que presentaba. Luego, se asigna una tarea para reforzar los conceptos aprendidos, proporcionando problemas adicionales para resolver en casa. Finalmente, la sesión se cierra con palabras de aliento, felicitando a los estudiantes por la buena disposición que mostraron durante la sesión de trabajo cooperativo, motivándolos a seguir trabajando de esta forma y seguir practicando para mejorar

Observaciones durante la actividad:

Los estudiantes expresaron lo que aprendieron y cómo mejoraron sus habilidades. Además, se observó que se despiden con entusiasmo y están motivados para continuar aprendiendo.

La estudiante con autismo manifestó que en esta sesión se sintió más cómoda con sus compañeros y avanzo un poco con el apoyo brindado por ellos. Por su parte, los miembros del equipo que trabajaron con la estudiante, manifestó que la experiencia los llevó a pensar en otras formas diferentes de abordar los problemas, adaptándose para que la compañera comprendiera. También resaltaron que fue alentador ver a la compañera sentirse motivada y cómoda participando activamente de las lecturas y actividades del grupo. Problemas para desarrollar de forma cooperativa:

Los problemas que se propusieron para desarrollar de forma cooperativa son los siguientes

1. Huevos y costo: Si 5 huevos cuestan 4250 pesos, ¿cuánto costarán 12 huevos al

mismo precio por huevo?

2. Juguetes y producción: Una máquina produce 150 juguetes en 5 horas. ¿Cuántos

juguetes producirá en 12 horas, trabajando al mismo ritmo?

3. Instalación de electricistas: Si 12 electricistas completan una instalación en 60

días, ¿cuánto tiempo tardarán 3 electricistas en completar la misma instalación?

4. Leyendo páginas: Leyendo 25 páginas al día terminé un libro en 33 días.

¿Cuántos días tardaré en terminar el mismo libro si leo 30 páginas diarias?

5. Peso y altura: El arquero del equipo de fútbol del colegio pesa 55 kilogramos y

mide 150 cm. ¿Cuánto debería pesar el defensa si mide 160 cm? (Este problema no cumple el principio de regularidad, pero se usa para discutir su inaplicabilidad).

6. Manzanas y costo: En una tienda, 3 kg de manzanas cuestan 24000 pesos.

¿Cuánto costarán 7 kg de manzanas?

7. Pasteles y harina: Si 4 pasteles requieren 8 kg de harina, ¿cuántos kg de harina

se necesitarán para hacer 10 pasteles?

8. Mercado y familia: En una familia de 5 personas, el mercado dura 15 días. Si

llegan de visita tres personas más para pasar una temporada de vacaciones, ¿para cuántos días alcanzará el mercado?

9. Duración de una canción por un grupo de músicos: Un grupo de 5 músicos tarda

10 minutos en tocar una canción. ¿Cuánto tardará un grupo de 35 músicos en

tocar la misma canción? (Torres, 2015). (Este problema no cumple el principio de regularidad, pero se usa para discutir su inaplicabilidad).

10. Sal en agua de mar: En 50 litros de agua de mar hay 1300 gramos de sal. ¿En

cuántos litros de agua de mar estarán contenidos 3900 gramos de sal?

11. Arroz y receta: Una receta para 4 personas requiere 2 kg de arroz. ¿Cuántos kg

de arroz se necesitarán para 10 personas?

12. Pollos y alimento: Si un bulto de 50 kg me alcanza para alimentar a 20 pollos en

un galpón, ¿cuántos kilos más debo comprar si agrego 12 pollos más al galpón?

Reflexión sobre la actividad Esta sesión fue diseñada para maximizar el aprendizaje a través del trabajo cooperativo, permitiendo a los estudiantes identificar y superar sus barreras de aprendizaje, mientras aplicaban los conceptos matemáticos aprendidos en problemas de la vida cotidiana.

En general la sesión demostró que el trabajo cooperativo, bajo un enfoque de educación inclusiva, potencia el aprendizaje desde la diversidad y ayuda a superar las barreras para el aprendizaje y la participación que experimentan algunos estudiantes. La participación activa de la estudiante con autismo y su inclusión efectiva en el grupo son un testimonio claro del impacto positivo de estas estrategias. Su inclusión no solo enriqueció su propio aprendizaje, sino que también llevo a sus compañeros a reflexionar sobre diferentes formas de abordar los problemas para facilitar su comprensión.

Todo esto resalta la importancia de promover ambientes de aprendizaje cooperativo dentro del aula, con un enfoque inclusivo donde todos los estudiantes se sientan valorados y apoyados. Reconocer la diversidad como una oportunidad para el aprendizaje no solo contribuye construir un entorno más inclusivo y participativo, sino que también fomenta hábitos que contribuyen a la construcción de sociedades inclusivas. En este contexto, los estudiantes no solo adquieren conceptos académicos, sino que experimentan como la escuela se convierte en un laboratorio para la vida, preparándolos para convivir y crecer en una comunidad diversa y equitativa. Esta sesión, junto con las reflexiones y aprendizajes generados, establece las bases para continuar fortaleciendo estas dinámicas en las próximas sesiones de la investigación.

7.3.11 Sesión 11: Evaluación Formativa (55 minutos)

Objetivo de la sesión: Evaluar formativamente los conceptos y procedimientos aprendidos sobre proporcionalidad directa e inversa a través de una serie de problemas prácticos. Secuencia de la sesión:

7.3.11.1 Explicación y entrega de la evaluación (5 min)

Se da la bienvenida a los estudiantes y se explica el propósito de la evaluación formativa. Se detalla cómo se estructuran los problemas y se les recuerda que deben aplicar los conceptos

de proporcionalidad directa e inversa que han aprendido. Luego, se entregan las hojas de evaluación a cada estudiante, asegurándose de que todos comprendan las instrucciones.

7.3.11.2 Realización de la evaluación formativa (40 min)

Los estudiantes comienzan a resolver los problemas de la evaluación de manera individual. Durante este tiempo, el docente permanece disponible para responder preguntas puntuales y proporcionar aclaraciones necesarias, sin ofrecer soluciones directas. Se observa el progreso de los estudiantes y se toma nota de cualquier dificultad común que surja durante la evaluación.

Observaciones generales:

La mayoría de los estudiantes se observaron concentrados y activos durante la evaluación, sin embargo, los que presentaban un alto ausentismo no se observaban tan cómodos y requirieron más apoyo.

Consideración de la estudiante con autismo:

Desde el inicio, la estudiante con autismo mostró señales de nerviosismo, manifestándolo a través de su lenguaje corporal, como movimientos repetitivos de autoestimulación, y una postura de apatía e incertidumbre hacia la evaluación. El docente observó que, tras varios minutos, la estudiante no había comenzado a realizar la evaluación. Para tranquilizarla, le recordó que la evaluación tenía un carácter formativo y que el propósito principal era determinar los avances que había logrado hasta el momento e identificar las áreas en las cuales requería mayor atención. Este enfoque, discutido en el capítulo 4, destaca la importancia de usar las evaluaciones como herramientas para informar sobre el progreso y desarrollar planes personalizados que superen las barreras de aprendizaje. Se le animo a utilizar sus apuntes de clase, con las anotaciones previas de ejemplos trabajados en sesiones anteriores, especialmente diseñadas para recordarle cómo aplicar el método facilitador. También se le permitió usar una

calculadora, ya que se había identificado que la estudiante presentaba dificultades en operaciones básicas, situación que se intensificaba si requería hacer cálculos más complejos, como las multiplicaciones seguidas de divisiones o procesos de simplificación requeridos para resolver algunos problemas.

Durante la aplicación del método facilitador para dar solución a los problemas, mostro mayor autonomía en aquellos cuyas magnitudes estaban directamente correlacionados., pero presento dificultades y requirió mayor apoyo en los que sus magnitudes eran inversamente proporcionales. Se observó una tendencia a aplicar el procedimiento para problemas directamente correlacionados incluso cuando no era adecuado. Además, le resultó complejo expresar adecuadamente la condición de regularidad, a pesar del apoyo recibido y en algunos casos le resulto difícil comprender completamente lo que se le estaba solicitando.  Avances identificados:

La estudiante identifico correctamente los verbos y magnitudes de la mayoría de los problemas, marcando un avance significativo en comparación con lo observado en el pre-test, Este progreso evidencia una mejora en los procesos de traducción y de integración de los datos, reflejando la aplicación exitosa de las estrategias didácticas propuesta enfocadas en estas áreas discutidas en el capítulo 3.

Con estos elementos, organizo la información para realizar una representación gráfica del problema, lo que le facilita identificar el tipo de correlación entre las magnitudes en la mayoría de los problemas. Este avance fue posible gracias al apoyo proporcionado por la hoja de análisis de correlación y la representación gráfica, que jugaron un papel crucial para estructurar sus respuestas.

 Aspectos por mejorar:

La estudiante aún necesita apoyo para todo el proceso de resolución de un problema completo, especialmente en la identificación de la condición de regularidad y solución de problemas de proporcionalidad inversa.

Mostro una tendencia a seguir procedimientos inadecuados para dar solución a problemas de proporcionalidad inversa, con una tendencia a aplicar el método facilitador como si fueran directamente proporcionales.

Reflexiones y recomendaciones:

Aunque la estudiante con autismo sigue enfrentando barreras para completar problemas de manera independiente, los apoyos implementados han demostrado ser efectivos para promover avances significativos en habilidades fundamentales. Estos progresos subrayan la importancia de trabajar en la identificación de las barreras que experimentan los estudiantes y reflexionar continuamente sobre como mitigarlos mediante estrategias didácticas con enfoques inclusivas. Si bien las adecuaciones que se han implementado han sido adecuadas para la estudiante, es necesario reconocer que las barreras de aprendizaje varían entre estudiantes, lo que implica que las estrategias deben ajustarse constantes para adaptarse a la diversidad funcional cognitiva de los estudiantes.

En el caso particular de la estudiante, es importante prever que, dada la complejidad creciente en el análisis de problemas de regla de tres compuesta, es factible que la estudiante requiera un apoyo más constante en esta etapa. Este apoyo no solo exige abordar las dificultades actuales, sino también prevenir que se conviertan en barreras mayores en etapas futuras. En síntesis, si bien se ha logrado avances significativos en la regla de tres simple, es fundamental continuar explorando y perfeccionando estrategias para abordar las barreras de aprendizaje que la estudiante experimenta. Con esto se procura asegurar que sus necesidades

sean atendidas de manera efectiva, promoviendo su inclusión y participación activa en el proceso de aprendizaje, acorde a los principios de una educación inclusiva discutidos en el capítulo 2.

7.3.11.3 Recogida de evaluaciones y retroalimentación inicial (10 min)

Una vez finalizado el tiempo asignado, se recogen las evaluaciones. Se realiza una breve retroalimentación inicial, destacando los problemas que podrían haber resultado más desafiantes y ofreciendo una breve explicación de los conceptos clave involucrados. Se informa a los estudiantes que recibirán una retroalimentación más detallada en la próxima sesión, reforzando de esta manera el carácter inclusivo y centrado en el aprendizaje que debe tener la evaluación.

7.3.11.4 Evaluación Formativa

Con el objetivo de evaluar el progreso de los estudiantes en la comprensión y aplicación de conceptos relacionados con la proporcionalidad simple directa e inversa, se diseñaron dos examenes diferentes. Ambos exámenes incluían las mismas preguntas en los problemas 1, 2 y 3, pero presentaban variaciones en las preguntas 4, 5, 6 y 7 para cubrir un espectro más amplio de situaciones prácticas y contextos diversos.

A continuación, se detallan los problemas incluidos en las evaluaciones: Problema 1: Seis obreros demoran pintando una casa en 21 días. Si se contratan 3 obreros más, ¿cuántos días demorarán?

Problema 2: En una familia de 4 personas hacen un mercado para 15 días. Si le llegan de visita tres personas más a pasar una temporada de vacaciones, ¿para cuántos días alcanza el mercado?

Problema 3: Una receta para 50 personas utiliza 3 tazas de azúcar. ¿Cuántas tazas de azúcar se necesitarán para 75 personas?

Problemas específicos del primer examen:

Problema 4: Si la descarga de un archivo tarda 20 minutos utilizando una conexión de 10 Mbps, ¿cuánto tardará en descargar el mismo archivo con una conexión de 40 Mbps? Problema 5: Una impresora tarda 8 minutos en imprimir 32 páginas. ¿Cuánto tiempo tardará en imprimir 100 páginas?

Problema 6: Si 3 personas pueden repartir todos los folletos en 9 horas, ¿cuánto tiempo les tomará a 6 personas repartir los mismos folletos?

Problema 7: Una máquina produce 150 camisetas en 3 horas. ¿Cuántas camisetas puede producir en 10 horas?

Problemas específicos del segundo examen:

4. Si 5 kilogramos de manzanas cuestan 75 pesos, ¿cuánto costarán 12 kilogramos de

manzanas?

5. 8 trabajadores pueden completar una tarea en 6 horas, ¿cuántas horas tardarán 12

trabajadores en completar la misma tarea?

6. En una escuela, 300 estudiantes consumen 450 litros de agua en un día. ¿Cuántos

litros de agua consumirán 500 estudiantes en un día?

7. Un usuario de teléfono móvil utiliza 2 GB de datos en 4 días, ¿cuántos GB utilizará en

20 días si su uso de datos sigue siendo constante?

Estos problemas fueron diseñados no solo para evaluar el dominio de los estudiantes en la aplicación de la regla de tres simple, sino también para identificar las barreras conceptuales y procedimentales que puedan surgir en la implementación de la estrategia didáctica propuesta. Además, se buscó analizar la capacidad de los estudiantes para aplicar lo aprendido en la resolución de problemas situacionales cotidianos. Los resultados de estas evaluaciones ofrecerán información valiosa sobre la efectividad de la estrategia didáctica y permitirán realizar

los ajustes necesarios para mitigar las barreras de aprendizaje, en consonancia con los principios de educación inclusiva que orientan esta investigación.

7.3.11.5 Observaciones durante la actividad

Durante la realización de la evaluación formativa, se observaron varios comportamientos y patrones en los estudiantes que proporcionan información valiosa para la mejora de la estrategia didáctica. La mayoría de los estudiantes trabajaron de manera concentrada, esforzándose por aplicar los conceptos aprendidos. Sin embargo, algunos estudiantes, especialmente aquellos que tuvieron un alto ausentismo en las sesiones, mostraron menos esfuerzo o incluso evitaron realizar la evaluación. Otros estudiantes solicitaron aclaraciones puntuales, lo que demuestra un interés en comprender plenamente los problemas planteados. La retroalimentación inicial proporcionada durante esta sesión sirvió como punto de partida para una revisión más detallada en futuras sesiones. Esta evaluación fue diseñada con un enfoque formativo, no solo para medir el dominio de los conceptos de proporcionalidad, sino también para identificar barreras de aprendizaje y realizar ajustes en la estrategia didáctica que se consideren necesarios. El análisis de las respuestas de los estudiantes tiene como objetivo profundizar en la comprensión de dichas barreras y mejorar la eficacia de la estrategia didáctica, en línea con los principios de educación inclusiva que guían esta investigación.

7.3.11.6 Observaciones y reflexiones sobre la evaluación formativa

El análisis de las respuestas de los estudiantes en la evaluación formativa tiene como objetivo identificar los errores más relevantes que cometieron, con el fin de detectar las barreras de aprendizaje que surgieron durante la implementación de la estrategia didáctica propuesta. Estos errores están directamente relacionados con la estrategia didáctica utilizada y reflejan las dificultades que los estudiantes enfrentan. Este análisis proporciona información valiosa sobre qué aspectos de la implementación necesitan ajustes para avanzar hacia una educación inclusiva

de calidad, donde todos los estudiantes logren apropiarse efectivamente de los conceptos trabajados.

Es importante aclarar que este análisis no busca clasificar exhaustivamente todos los errores posibles que los estudiantes pueden cometer al resolver problemas de proporcionalidad. En lugar de eso, se enfoca en aquellos errores que son más relevantes dentro del contexto de la propuesta didáctica implementada, ya que estos errores ofrecen información crucial para mejorar continuamente la estrategia de enseñanza. Para organizar los resultados, se utilizaron dos variables principales: C (errores conceptual) y P (errores procedimentales), además de una categoría adicional para ejercicios no respondidos.

Variable C: Errores Conceptuales Esta variable reúne los errores de carácter conceptual que son fundamentales para una comprensión adecuada de los contenidos trabajados en la propuesta didáctica. Los errores se clasifican en diferentes categorías, cada una reflejando una dificultad específica en la comprensión y aplicación de los conceptos de proporcionalidad abordados durante las sesiones de clase. Identificar estos errores conceptuales es clave, ya que revelan áreas donde la estrategia didáctica podría necesitar ajustes para mejorar la comprensión y el aprendizaje de los estudiantes.

C0: Comprensión incompleta Esta categoría agrupa los errores en los que los estudiantes no logran entender completamente la situación planteada, lo que les impide identificar correctamente las magnitudes involucradas en el problema. Esto refleja una barrera significativa en la interpretación inicial del problema.

C1: Identificación incorrecta de magnitudes y verbos

Aquí se incluyen los errores en los que los estudiantes no identifican correctamente las magnitudes relevantes o el verbo principal del problema, lo que les lleva a un enfoque incorrecto desde el inicio de la resolución.

C2: Representación gráfica inadecuada Esta categoría se refiere a los errores relacionados con la incapacidad de los estudiantes para utilizar adecuadamente la representación gráfica de las relaciones entre magnitudes, lo que dificulta la visualización de las conexiones necesarias para resolver el problema. C3: Determinación incorrecta de la correlación En esta categoría se agrupan los errores en los que los estudiantes confunden las correlaciones entre magnitudes, como confundir una correlación directa con una inversa, lo que afecta profundamente la correcta aplicación de la proporcionalidad. C4: Omisión de la condición de regularidad Los errores bajo esta categoría se presentan cuando los estudiantes omiten verificar si las condiciones de regularidad se cumplen, lo cual es esencial para aplicar correctamente la proporcionalidad en el contexto del problema.

C5: Inversión incorrecta Esta categoría abarca los errores en los que los estudiantes enfrentan dificultades al realizar la inversión necesaria en problemas de proporcionalidad inversa, lo que afecta la obtención de una solución adecuada. En general, aquellos estudiantes que identificaron correctamente la correlación entre las magnitudes como inversa realizaron la inversión de manera adecuada. Sin embargo, los altos porcentajes observados en esta categoría se deben principalmente a errores en el paso previo de identificación del tipo de correlación, especialmente en problemas de proporcionalidad inversa, donde muchos estudiantes identificaron

incorrectamente las magnitudes como directamente proporcionales. Como resultado, aunque en su análisis no debían realizar la inversión, sus respuestas fueron clasificadas incorrectamente como errores en este paso del método facilitador. Tras un análisis posterior, se determinó que el porcentaje elevado no refleja una incomprensión del paso de inversión del método facilitador, sino más bien un error en la determinación del tipo de proporcionalidad. Variable P: Errores Procedimentales Esta variable agrupa todos aquellos errores relacionados con los procedimientos aplicados por los estudiantes al resolver los problemas. Cada categoría dentro de esta variable refleja una dificultad específica en la ejecución de los pasos necesarios para llegar a la solución correcta. Estos errores procedimentales son importantes porque indican áreas donde los estudiantes podrían estar siguiendo un enfoque incorrecto o incompleto, lo que sugiere la necesidad de ajustes en la estrategia didáctica para mejorar su capacidad de aplicar lo aprendido de manera efectiva.

P0: Procedimiento inadecuado Esta categoría incluye los errores en los que los estudiantes utilizan un procedimiento incorrecto o ineficaz para resolver el problema, lo que indica confusión o falta de claridad en los pasos necesarios para llegar a la solución.

P1: Aplicación incorrecta del método facilitador Los errores bajo esta categoría se producen cuando los estudiantes no aplican correctamente los pasos del método facilitador, reflejando una comprensión incompleta o incorrecta del mismo.

P2: Errores aritméticos

Aquí se agrupan los errores que surgen durante los cálculos aritméticos, tales como sumas, restas, multiplicaciones o divisiones incorrectas, lo que impide llegar a la solución correcta del problema.

P3: Ejercicio incompleto Esta categoría se refiere a los casos en los que los estudiantes comienzan el proceso de resolución del problema, pero no lo completan, lo que puede ser indicativo de dificultades en el seguimiento de los procedimientos o en la aplicación de los conceptos. Adicionalmente, codificaremos como “A” aquellos alumnos que dejen el problema sin responder.

A: Ejercicio Sin Responder Esta categoría recoge los casos en los que los estudiantes dejan el ejercicio sin responder, lo cual puede estar relacionado con una falta de comprensión del problema, inseguridad o falta de tiempo.

Análisis de los resultados Los resultados obtenidos en la evaluación de la regla de tres simple aplicada al grupo 7A, divididos según las categorías de errores conceptuales y procedimentales, se presentan en la Tabla 13

Tabla 13:

Tabla 13 Resultados de la evaluación de la regla de tres simple en el grupo 7A, categorizados por errores conceptuales y procedimentales Resultados de la evaluación de la regla de tres simple en el grupo 7A, categorizados por errores conceptuales y procedimentales

Errores Conceptuales Errores Procedimentales Pregunta C0

(%)

C1

(%)

C2

(%)

C3

(%)

C4

(%)

C5

(%)

P0

(%)

P1

(%)

P2

(%)

P3

(%)

A

(%)

1

25

2,7

0

0

52,8 13,8 11,1 16,7 16,7 8,3

2,7

2

22,2 8,3

11,1 11,1 50

16,7 8,3

5,5

8,3

8,3

8,3

3

5,5

2,7

5,5

0

52,8 NA

2,7

0

2,7

0

5,5

4-1

8,3

8,3

11,1 25

44,4 33,3 8,3

17,6

11,7 2,7

5-1

13,8 0

11,1 11,1 58,3 NA

2,7

5,5

0

17,6 13,8

6-1

0

2,7

2,7

11,1 41,6 16,7 0

0

0

5,5

13,8

7-1

13,8 0

8,3

13,8 47,2 NA

16,7 0

0

11,1 16,7

4-2

0

0

0

16,7 30,5 NA

8,3

0

0

0

16,7

5-2

2,7

2,7

2,7

0

47,2 16,7 0

5,5

5,5

0

16,7

6-2

8,3

0

0

11,1 58,3 NA

0

5,5

5,5

11,1 22,2

7-2

25

19,4 19,4 33,3 61,1 NA

5,5

5,5

0

11,1 25

Nota: La tabla muestra los resultados del pos-test de problemas de proporcionalidad simple. Este análisis, centrado en los errores más significativos identificados durante la implementación de nuestra estrategia didáctica, clasifica los errores en dos categorías principales: conceptuales (C) y procedimentales (P), con una categoría adicional para problemas sin responder (A). El objetivo es obtener información esencial para ajustar y mejorar continuamente nuestras técnicas de enseñanza. Al enfocarse en estas áreas, se busca fortalecer la capacidad de los estudiantes para superar barreras de aprendizaje, mejorando su comprensión y aplicación de conceptos matemáticos clave. Fuente: elaboración propia.

Alta prevalencia de errores conceptuales (C4: omisión de la condición de regularidad)

El error de omisión de la condición de regularidad aparece con una alta frecuencia en casi todas las preguntas, con porcentajes que oscilan entre el 30,5% y el 61,1% aunque hubo una mejora con relación a la prueba piloto donde los valores oscilaban entre 38.8% y el 69.4%. Estos valores indican que una gran parte de los estudiantes no comprende completamente cuándo es apropiado aplicar la proporcionalidad, lo que revela una barrera significativa en la enseñanza de este concepto.

Es importante señalar que en la prueba piloto, muchos estudiantes demostraron cierta comprensión de la importancia de la condición de regularidad, sin embargo, en lugar de explicar cuál es esa condición, simplemente escribían "C.R." (ver Figura 110) como indicativo de su existencia y luego indicaban si el problema era directamente o inversamente proporcional, según correspondiera. Este error puede atribuirse a un aspecto de la enseñanza, ya que, por razones de tiempo, el docente mencionaba la condición de regularidad de manera oral y escribía "C.R." en el tablero. Posteriormente, explicaba que, al asumir la condición de regularidad, se podía determinar el tipo de proporcionalidad (directa o inversa) y, a partir de ahí, aplicar el método facilitador para obtener la solución al problema.

Figura 110 Indicador "C.R." en las respuestas de los estudiantes sobre la condición de regularidad Indicador "C.R." en las respuestas de los estudiantes sobre la condición de regularidad

Nota: La figura ilustra el uso del indicador "C.R." por parte de los estudiantes al referirse a la condición de regularidad. Este fenómeno surge de la instrucción oral del docente, que frecuentemente emplea esta abreviatura durante las explicaciones. La imagen revela la necesidad de profundizar en la enseñanza de este concepto crucial, para que los estudiantes no solo lo identifiquen, sino que lo apliquen efectivamente. La enseñanza de la condición de regularidad debe ser más explícita y detallada, evitando supuestos que puedan conducir a confusiones. Fuente: elaboración propia.

En la evaluación actual, los resultados indican una mejora parcial en la comprensión de la condición de regularidad: algunos estudiantes lograron identificarla con mayor precisión y reflejaron adecuadamente en sus respuestas. Sin embargo, este concepto sigue representando una barrera significativa para el aprendizaje, como lo demuestra el alto porcentaje de estudiantes, que aun demuestran dificultades para reconocer y aplicar la condición de regularidad de forma consistente en diferentes contextos. Aunque se observa una disminución de los errores entre la prueba piloto y la evaluación actual, el análisis deja claro que se debe reforzar la enseñanza de la condición de regularidad.

Para abordar esta necesidad, se sugiere incluir actividades específicas y contextualizadas que integren problemas de pseudoproporcionalidad, proporcionalidad directa e inversa. Estas actividades pueden fortalecerse mediante el uso de la Tabla 12 basada en los verbos generadores, que ha demostrado ser efectiva para ayudar a los estudiantes a explicitar y aplicar este concepto de manera más adecuada.

Además, se observó que algunos estudiantes omiten la condición de regularidad o no la identifican adecuadamente (ver Figura 111). La prevalencia de este error sugiere la necesidad de fortalecer la enseñanza de este concepto clave mediante estrategias que incluyan ejemplos concretos y repetitivos, junto con actividades cooperativas que combines problemas pseudoproporcionales combinado con una actividad cooperativa que integren tanto problemas

proporcionales como pseudoproporcionales. Estas estrategias ayudarían a los estudiantes a conceptualizar adecuadamente la importancia de identificar la condición de regularidad, evitando así la sobre-generalización de la linealidad. Este aspecto es crítico, ya que la falta de comprensión de la condición de regularidad afecta directamente la capacidad de los estudiantes para resolver problemas de proporcionalidad de manera efectiva.

Figura 111 Errores en la identificación de la condición de regularidad Errores en la identificación de la condición de regularidad

Nota: La figura muestra la prevalencia del error de omitir o identificar incorrectamente la condición de regularidad entre los estudiantes. Esta observación subraya la necesidad de reforzar la enseñanza de este concepto crucial a través de ejemplos concretos y repetitivos, y mediante actividades cooperativas que integren problemas proporcionales y pseudoproporcionales. Estas estrategias son fundamentales para ayudar a los estudiantes a comprender y aplicar

correctamente la condición de regularidad, evitando la sobre-generalización de la linealidad, que es esencial para resolver problemas de proporcionalidad de manera efectiva. Fuente: elaboración propia.

Errores por comprensión incompleta (C0) En el caso de los problemas 1 y 2, el porcentaje de errores alcanza hasta el 25 %. Esta prevalencia se debe a que los estudiantes no reconocieron que en la magnitud de salida era necesario sumar los nuevos miembros antes de proceder con los cálculos. En lugar de ello, trabajaron con los datos de forma literal, sin realizar el ajuste necesario. Sin embargo, es importante destacar que algunos estudiantes seguían el procedimiento correcto en otros aspectos del problema, como se puede observar en la Figura 112.

Figura 112 Errores de comprensión incompleta en el ajuste de la magnitud de salida Errores de comprensión incompleta en el ajuste de la magnitud de salida

Nota: La figura muestra cómo algunos estudiantes cometieron errores al no ajustar correctamente la magnitud de salida, trabajando con 3 obreros en lugar del número correcto. A pesar de este error, muchos lograron identificar correctamente el tipo de correlación entre las magnitudes involucradas. Este patrón sugiere una comprensión parcial de los conceptos de proporcionalidad, aunque se necesitan refuerzos específicos en los procesos de traducción y ajuste de las magnitudes antes de proceder con los cálculos. Fuente: Elaboración propia. En el caso del problema 7-2, se observó que el error de comprensión surgió a partir de la forma en que los datos fueron presentados y cómo los estudiantes los organizaron en la

representación gráfica. Los estudiantes tendieron a ordenar los datos tal como se les presentaron, sin darse cuenta de que, en la representación gráfica, las magnitudes correspondientes deben alinearse correctamente debajo de la magnitud equivalente. Este error es evidente en la Figura 113 Figura 113 Errores en la organización de datos en la representación gráfica del problema 7-2 Errores en la organización de datos en la representación gráfica del problema 7-2

Nota: La figura ilustra los errores en la organización de los datos en la representación gráfica del problema 7-2, donde los estudiantes ordenaron incorrectamente las magnitudes. Este error demuestra la necesidad de explicitar más en la enseñanza a los estudiantes la alineación correcta de las magnitudes en las representaciones gráficas. Subraya la importancia de practicar más con ejemplos y ejercicios que enfaticen la correcta disposición de los datos antes de proceder con los cálculos, mejorando así su habilidad para interpretar y resolver problemas de proporcionalidad de manera precisa. Fuente: Elaboración propia Los errores identificados en los problemas 1, 2 y 7-2 subrayan la necesidad de reforzar la comprensión de cómo manipular y representar adecuadamente las magnitudes en problemas de proporcionalidad. Es fundamental realizar más ejemplos y proponer ejercicios similares a la estructura de los problemas 1 y 2, ya que los ejercicios propuestos anteriormente podrían haber sido insuficientes. En particular, es crucial que los estudiantes comprendan la importancia de ajustar los datos antes de proceder con los cálculos, como en el caso de la magnitud de salida, donde es necesario sumar los nuevos miembros en los problemas 1 y 2. Además, se debe poner

énfasis en la correcta organización de los datos en la representación gráfica, asegurando que las magnitudes correspondientes estén alineadas correctamente. Durante las clases, se observó una tendencia de los estudiantes a organizar los datos tal como se les presentaban, lo que indica la necesidad de proponer más ejercicios con la estructura del problema 7-2 para ayudarles a desarrollar un modelo mental adecuado para la solución Errores en la Identificación de Magnitudes y Verbos (C1) En general, los errores relacionados con C1 (Identificación Incorrecta de Magnitudes y Verbos) se presentan en porcentajes bajos, superando el 10% solo en la pregunta 4-1. Esto sugiere que los estudiantes, en su mayoría, no tienen dificultades significativas para identificar correctamente las magnitudes y los verbos en un problema.

Los errores observados en el problema 4-1 podrían deberse a que no se habían presentado previamente ejercicios que implicaran magnitudes similares a las manejadas en este problema. Esto sugiere que, cuanto mayor sea la variabilidad de las magnitudes y los ejercicios propuestos a los estudiantes, mayor será el desarrollo de su capacidad para identificar correctamente magnitudes y verbos.

Errores en la Representación Gráfica (C2) y en la Determinación de la Correlación (C3) C2 (Representación Gráfica Inadecuada) En el caso del problema 7-2, se observó un error del 22,2%, originado por la manera en que los datos fueron presentados y cómo los estudiantes los organizaron en la representación gráfica. Los estudiantes tendieron a organizar los datos exactamente como se les presentaron, sin reconocer que, en la representación gráfica, las magnitudes correspondientes deben alinearse correctamente debajo de la magnitud equivalente. Este error es evidente en la Figura

113.

C3 (Determinación Incorrecta de la Correlación)

Los errores conceptuales en la identificación del tipo de correlación también se presentan con cierta frecuencia, especialmente cuando se combinan con una representación gráfica deficiente y la dificultad para reconocer magnitudes inversamente correlacionadas. A lo largo del desarrollo de la estrategia didáctica, se observó que los estudiantes enfrentan desafíos significativos al determinar el tipo de correlación, especialmente en casos de correlaciones inversas. Aunque el uso de verbos generadores en lugar de los originales ayudó a mitigar algunas de estas barreras, aún persisten dificultades. Por ejemplo, en el problema 7-2, una alta tasa de errores en la representación gráfica (22,2%) exacerbó la incapacidad de los estudiantes para identificar correctamente el tipo de correlación, lo que elevó los errores en esta categoría al 36,1%. Este problema se agravó por la falta de cambio del verbo “utilizar” por el verbo generador “consumir”, complicando aún más el análisis, a pesar de que el contexto del ejercicio debería haber sido familiar para los estudiantes.

Los resultados obtenidos indican que, aunque los verbos generadores han demostrado ser efectivos en mitigar algunas de las dificultades que los estudiantes enfrentan al identificar el tipo de correlación entre magnitudes, persisten desafíos significativos, especialmente en la representación gráfica y en la correcta identificación de las correlaciones inversamente proporcionales. Estos desafíos sugieren la necesidad de extender y reforzar los espacios dedicados a trabajar estas correlaciones dentro de la secuenciación de la estrategia didáctica. Dado que la correcta determinación del tipo de correlación entre magnitudes es fundamental no solo para la comprensión de la proporcionalidad, sino también para abordar con éxito futuros temas matemáticos más complejos como el análisis funcional, resulta esencial invertir el tiempo necesario para que los estudiantes dominen este aspecto. La estrategia didáctica se beneficiaría de una secuenciación más detallada y prolongada en este punto, lo que permitiría a los estudiantes consolidar su comprensión de cómo las magnitudes se relacionan entre sí en diferentes contextos.

Además, la incorporación de herramientas visuales más dinámicas e interactivas, junto con actividades que utilicen material concreto, podría reforzar la relación entre la representación gráfica y la conceptualización de la correlación, facilitando una comprensión más profunda y duradera. Este enfoque no solo abordaría las dificultades actuales, sino que también prepararía a los estudiantes para enfrentar con éxito futuros desafíos matemáticos, donde la habilidad para identificar y trabajar con diferentes tipos de correlaciones es esencial. En resumen, es crucial ampliar y reforzar los esfuerzos en esta área, reconociendo su importancia a largo plazo en la formación matemática de los estudiantes. Al hacerlo, la estrategia didáctica no solo mejorará la comprensión de la proporcionalidad en el corto plazo, sino que también sentará una base sólida para el éxito en temas matemáticos más avanzados, alineándose con los objetivos de promover una educación inclusiva y efectiva. Errores de inversión incorrecta (C5) Esta categoría abarca los errores en los que los estudiantes enfrentan dificultades al realizar la inversión necesaria en problemas de proporcionalidad inversa, lo que afecta la obtención de una solución adecuada. En general, aquellos estudiantes que identificaron correctamente la correlación entre las magnitudes como inversa realizaron la inversión de manera adecuada. Sin embargo, los altos porcentajes observados en esta categoría se deben principalmente a errores en el paso previo de identificación del tipo de correlación, especialmente en problemas de proporcionalidad inversa, donde muchos estudiantes identificaron incorrectamente las magnitudes como directamente proporcionales. Como resultado, aunque en su análisis no debían realizar la inversión, sus respuestas fueron clasificadas incorrectamente como errores en este paso del método facilitador. Tras un análisis posterior, se determinó que el porcentaje elevado no refleja una incomprensión del paso de inversión del método facilitador, sino más bien un error en la determinación del tipo de proporcionalidad.

Errores en la Aplicación del Método Facilitador (P1) P1 (Aplicación Incorrecta del Método Facilitador) Aunque los estudiantes presentan algunos errores en las componentes procedimentales, los datos sugieren que el método facilitador tiene un gran potencial. La mayoría de los errores no se encuentran en la aplicación del método facilitador en sí, sino en la identificación del tipo de correlación entre las magnitudes. Esto se refleja en los porcentajes observados: por ejemplo, en el problema 7-2, el 36,1% de los estudiantes cometieron errores en la identificación del tipo de correlación, lo que llevó a una incorrecta aplicación del método facilitador, dado que lo categorizaron como un problema de proporcionalidad directa en lugar de inversa. Los altos porcentajes de error procedimental, como el 27,7 % en la pregunta 7-2, no reflejan fallas en la ejecución del método facilitador, sino en la fase previa de conceptualización. Los estudiantes aplicaron el método facilitador bajo la suposición incorrecta del tipo de correlación, y al hacerlo, procedieron correctamente según esa suposición. En contraste, cuando los estudiantes identificaron correctamente una correlación inversa, aplicaron adecuadamente la versión del método facilitador con la inversión necesaria, logrando la solución correcta. En contraste los resultados indican que el método facilitador es efectivo, pero su éxito depende de una correcta conceptualización previa por parte de los estudiantes. Es esencial reforzar la enseñanza de cómo identificar correctamente el tipo de correlación (directa o inversa) antes de que los estudiantes apliquen el método facilitador. Esto sugiere que la estrategia didáctica debe ajustarse en esta fase de identificación para mejorar aún más los resultados en la resolución de problemas de proporcionalidad.

Es interesante contrastar estos hallazgos con la experiencia en la enseñanza del método facilitador a los estudiantes de grado quinto que participaron en las olimpiadas de matemáticas. En este caso, debido a limitaciones de tiempo, no se siguió toda la secuenciación propuesta en

la estrategia didáctica. En lugar de ello, nos concentramos en enseñar el procedimiento del método facilitador, dado que estos estudiantes presentaban grandes dificultades al trabajar con expresiones fraccionarias. Para superar estas barreras, se emplearon múltiples ejercicios donde se proporcionaba la representación gráfica y se indicaba el tipo de proporcionalidad existente entre las magnitudes. Una vez que los estudiantes lograron dominar el procedimiento del método facilitador, se introdujeron ejercicios completos, desde la formulación del problema hasta su solución.

Esta experiencia sugiere que, si se detectan dificultades específicas en la aplicación del método facilitador, es posible trabajar instantáneamente en su procedimiento mediante actividades focalizadas. La estrategia de brindar apoyo en las áreas más desafiantes, como la representación gráfica y el manejo de fracciones, demostró ser efectiva para que los estudiantes comprendieran y aplicaran correctamente el método facilitador. Esto refuerza la idea de que, aunque la conceptualización inicial es fundamental, el éxito del método facilitador también puede depender de intervenciones puntuales y adaptaciones en función de las necesidades del grupo de estudiantes.

.

Frecuencia de Ejercicios Sin Responder (A) A (Ejercicio Sin Responder) aparece en una proporción significativa de casos, especialmente en preguntas más complejas. Esto podría indicar una falta de confianza o comprensión suficiente para abordar los problemas.

Un análisis más profundo revela que la mayoría de los estudiantes que no respondieron a estas preguntas presentaron un alto nivel de ausentismo durante la implementación de la secuencia didáctica.

Esto subraya la necesidad de desarrollar métodos de nivelación específicos para estudiantes en circunstancias similares. Propuestas como cartillas de estudio acompañadas de videos educativos podrían ser particularmente útiles para estos estudiantes. Durante esta fase, tanto el docente como los compañeros de clase no abordaron suficientemente las necesidades de estos alumnos, lo que pone de manifiesto las dificultades encontradas en la construcción de una dinámica adecuada de trabajo cooperativo. En su lugar, prevaleció un enfoque de trabajo en grupo con efecto polizón, una situación que contrasta con los principios del trabajo cooperativo y en equipo que se debían enseñar.

Asimismo, el investigador no logró implementar plenamente el trabajo cooperativo en las clases previas, ya que el tiempo necesario para supervisar que esta estrategia fuera comprendida por los estudiantes y verificar que se apropiaran de los elementos del trabajo cooperativo limitó su capacidad para realizar intervenciones individualizadas.

Reconociendo esta limitación, se plantea la necesidad de un acompañamiento más cercano para estos estudiantes, con el objetivo de nivelarlos y mitigar las barreras de aprendizaje que han experimentado. Este ajuste en la estrategia didáctica es fundamental para asegurar que todos los estudiantes puedan beneficiarse equitativamente de las oportunidades de aprendizaje, independientemente de las circunstancias personales que enfrenten. De este modo, se garantiza una educación inclusiva que fomente el aprendizaje desde la diversidad y contribuya a una educación de calidad, en línea con los objetivos de la tesis.

Reflexiones y Recomendaciones:

La ejecución de la estrategia didáctica en la fase de implementación permitió identificar barreras significativas para el aprendizaje y la participación, lo cual es crucial para proponer ajustes en diversas áreas de la estrategia. Los resultados demuestran que, aunque el método facilitador es efectivo y fácil de comprender y ejecutar para los estudiantes, su éxito depende en

gran medida de una conceptualización previa adecuada. A pesar de los esfuerzos realizados en la estrategia para garantizar una conceptualización sólida, la implementación evidenció la necesidad imperiosa de reforzar la enseñanza sobre la identificación del tipo de correlación entre magnitudes, ya que errores en esta fase afectan de manera significativa la correcta aplicación del método.

En contraste con mis experiencias personales como estudiante de colegio, donde enfrenté dificultades para entender la regla de tres y las correlaciones entre magnitudes, especialmente en casos de proporcionalidad inversa, observo que los estudiantes actuales muestran un mejor entendimiento en su mayoría. Sin embargo, es necesario reconocer que estos conceptos aun requieren refuerzo. Los estudiantes lograron reconocer una disminución en la carga cognitiva con la inclusión de los verbos facilitadores, lo que demuestra una mejora significativa. A pesar de esto, debido a la gran variabilidad de problemas que existen, siguen surgiendo dificultades en situaciones poco conocidas o que no estén relacionadas con su contexto.

Además, se hace evidente la necesidad de ajustar la secuenciación e incluir herramientas pedagógicas más dinámicas, especialmente en áreas como la representación gráfica y el trabajo con fracciones. Estas intervenciones no solo tienen el potencial de mejorar la comprensión de los estudiantes a corto plazo, sino que también preparan el terreno para un aprendizaje más profundo y duradero, alineado con los objetivos de promover una educación inclusiva y de calidad.

El análisis también resalta la importancia de atender de manera más específica a los estudiantes que enfrentan barreras adicionales, como el ausentismo o problemas personales. La implementación de métodos de nivelación y de estrategias de apoyo, como el uso de cartillas de estudio y recursos multimedia, podría ser clave para mitigar estas barreras y asegurar que todos los estudiantes tengan la oportunidad de alcanzar el éxito académico. Dado que este es un

método novedoso, no utilizado en otras instituciones educativas, su implementación en el aula, y la inclusión de estudiantes nuevos podría generar barreras similares. Esto subraya la necesidad urgente de contar con una cartilla de apoyo y la creación de videos en un canal docente, por ejemplo, de YouTube, para facilitar el acceso y la comprensión de los conceptos. La integración del trabajo cooperativo también emerge como un área de mejora significativa. Aunque se debe reconocer los aportes e importancia de esta metodología en la propuesta, es necesario asegurar que los estudiantes comprendan y se apropien de los principios del trabajo cooperativo para evitar dinámicas de grupo ineficaces, como el efecto polizón. Esto requiere una inversión de tiempo y recursos para establecer una base sólida en estas habilidades antes de implementar la estrategia en su totalidad para mejorar los resultados obtenidos. En este contexto, la estrategia didáctica propuesta muestra un gran potencial, pero para mejorar su efectividad a la hora de mitigar o eliminar las barreras para el aprendizaje, se deben realizar ajustes específicos en la fase de conceptualización, en la adaptación a las necesidades individuales de los estudiantes y en la implementación de prácticas de trabajo cooperativo. Al hacer estos ajustes, se podrá avanzar hacia una educación más inclusiva y efectiva, que no solo mejore la comprensión de la proporcionalidad en los estudiantes, sino que también contribuya a su éxito en futuras áreas matemáticas más complejas, en consonancia con los objetivos generales de la tesis.

Comparación de resultados entre los grupos 7A y 7B Para analizar el progreso y las diferencias en la comprensión y aplicación de la proporcionalidad, se realizó una evaluación similar en el grupo 7B, con la participación de 36 estudiantes. A continuación, en la Tabla 14 se presentan los resultados reportados por los estudiantes bajo las mismas variables de análisis:

Tabla 14 Resultados de la evaluación de la regla de tres simple en el grupo 7B, categorizados por errores conceptuales y procedimentales

Resultados de la evaluación de la regla de tres simple en el grupo 7B, categorizados por errores conceptuales y procedimentales

Errores Conceptuales Errores Procedimentales Pregunta C0

(%)

C1

(%)

C2

(%)

C3

(%)

C4

(%)

C5

(%)

P0

(%)

P1

(%)

P2

(%)

P3

(%)

A

(%)

1

27,7 5.,5

5,5

8,3

50

19,4 16,7 19,4 16,7 8,3

5,5

2

27,7 8,3

11,1 13,8 52,73 27,7 16,7 19,4 8,3

11,1 13,8

3

8,3

2,7

5,5

5,5

55,5

NA

5,5

5,5

13,8 5,5

13,8

4-1

11,1 11,1 11,1 22,2 41,7

8,9

2,7

8,3

8,3

2,7

5,5

5-1

13,8 11,1 11,1 11,1 58,3

NA

5,5

5,5

2,5

8,3

8,3

6-1

2,7

5,5

8,3

11,1 36,1

27,7 11,1 8,3

2,5

5,5

5,5

7-1

13,8 8,3

5,5

13,8 52,7

NA

11,1 2,7

8,3

2,7

11,1

4-2

2,7

2,7

2,7

16,7 61,1

NA

5,5

5,5

8,3

8,3

11,1

5-2

5,5

5,5

8,3

8,3

52,7

16,7 2,7

8,3

11,1 5,5

13,8

6-2

13,8 0

2,7

11,1 55,5

NA

8,3

5,5

8,3

8,3

13,8

7-2

25

8,5

25

33,3 61,1

NA

11,1 16,7 13,8 11,1 16,8

Nota: Esta tabla muestra los resultados del análisis de errores en la evaluación de la regla de tres simple para el grupo 7B, clasificados en errores conceptuales (C) y errores procedimentales (P), con una categoría adicional para ejercicios sin responder (A). Fuente: elaboración propia. Análisis General Al comparar los resultados obtenidos en las evaluaciones de los grupos 7A y 7B, se observa que, aunque las diferencias son sutiles, en el grupo 7B se presentan porcentajes ligeramente más altos en errores conceptuales y procedimentales, reflejando una mayor dificultad para comprender y aplicar los conceptos.

Errores Conceptuales Comprensión Incompleta (C0): Los porcentajes son levemente superiores en el grupo 7B, en la mayoría de los problemas, sugiriendo que este grupo presenta mayores dificultades para comprender los problemas.

Omisión de la Condición de Regularidad (C4): El porcentaje de errores en la omisión de la condición de regularidad es consistentemente alto en ambos grupos, lo que indica que la

condición de regularidad sigue siendo una barrera significativa para el aprendizaje. Por tanto, es esencial ampliar la conceptualización de este tema a dos sesiones inicialmente en la secuenciación, además de explicitarla y enfatizarla aún más en las lecciones subsiguientes. Además, la falta de contextualización adecuada de este concepto puede llevar a los estudiantes a una sobre-generalización de la linealidad, afectando negativamente su comprensión de los temas tratados Errores Procedimentales En general los errores procedimentales son notablemente más altos en el grupo 7B, como se evidencia al comparar las tablas de resultados de ambos grupos. En particular, los porcentajes de errores aritméticos (P2), son mayores en el grupo 7B. Este hallazgo indica la necesidad de reforzar las habilidades en operaciones básicas para este grupo, asegurando una comprensión más sólida y consistente de los conceptos matemáticos fundamentales. Aplicación Incorrecta del Método Facilitador (P1): Aunque los errores en esta categoría son bajos en general, son algo más prevalentes en el grupo 7B, lo que sugiere entre otras cosas que los estudiantes de este grupo podrían beneficiarse de un refuerzo adicional en habilidades matemáticas básicas.

Ejercicio Sin Responder (A): En estas categorías, los estudiantes de ambos grupos muestran un alto porcentaje de errores en algunas de las preguntas, lo que podría atribuirse a varios factores potenciales como la falta de confianza, insuficiente tiempo asignado o una comprensión deficiente de los problemas, especialmente los más complejos. Esta situación subraya la necesidad de realizar evaluaciones más continuas del progreso de los estudiantes y de revisar el tiempo asignado para las evaluaciones. Estas medidas podrían asegurar que todos los estudiantes tengan la oportunidad de abordar y completar los ejercicios de manera efectiva. Reflexión General

Los resultados reflejan que, aunque los estudiantes de grupo 7B presentan más dificultades en la aplicación de conceptos y procedimientos matemáticos en comparación con los del grupo 7A, el método facilitador sigue siendo un enfoque prometedor. Sin embargo, es evidente que se necesitan ajustes para mejorar la enseñanza de ciertos aspectos fundamentales, como la identificación de magnitudes, la representación gráfica y la comprensión de la condición de regularidad, con mayor énfasis en este último, que ha demostrado ser el concepto que presenta una barrera significativa, indicando la necesidad de actividades específicas para fortalecer su comprensión, incluyendo problemas de pseudoproporcionalidad y el uso de herramientas como los verbos generadores y representaciones gráficas. No procurar mejorar en este aspecto puede llevar a una sobre-generalización de la linealidad y la aplicación del método facilitador incluso en contextos donde no es adecuado.

7.3.12 Sesión 12: Consolidación y Cierre (55 minutos)

7.3.12.1 Revisión y resumen de los conceptos aprendidos (15 min)

La sesión comenzó con una revisión integral de los conceptos abordados a lo largo del desarrollo del proceso investigativo. Se repasaron temas clave como el concepto de relación, enfatizando las condiciones necesarias para que exista una relación: dos o más elementos unidos por una ley de correspondencia. En el contexto de la proporcionalidad, esto se traduce en dos o más magnitudes unidas por una acción o verbo.

El docente recordó la importancia de identificar y cambiar los verbos originales del problema por los verbos generadores "hacer", "consumir", "comprar" o "pagar", ya que estos simplifican la identificación de las correlaciones entre las magnitudes, y servirán como guía para identificar la condición de regularidad. Además, se reforzó el concepto de correlación entre magnitudes introduciendo nuevamente la condición de regularidad y como esta varía según el verbo generador. Se resaltó que, si esta condición se cumple, las magnitudes se pueden

clasificar como directamente proporcionales o inversamente proporcionales, lo que nos permite el uso del método facilitador de regla de tres para resolver problemas de proporcionalidad. Durante este segmento, el docente procuro resumir cada concepto, apoyándose de ejemplos concretos y visuales para procurar que todos los estudiantes comprendieran los puntos principales y fueran capaces de comprender la interconexión entre ellos. Para alentar la comprensión y el debate el docente alentó a los estudiantes a que realizaran preguntas y compartieran ejemplos de cómo aplicar lo aprendido.

Observación de la estudiante con autismo: La estudiante con autismo mostró inicialmente algo de ansiedad durante el repaso, lo que se evidenció en su lenguaje corporal (movimientos repetitivos de autoestimulación). El docente se dirigió al grupo y solicito que fueran más ordenados a la hora de expresar sus opiniones, luego se acercó a la estudiante y le recordó que esta era una actividad de cierre y que era natural sentirse abrumada por la cantidad de conceptos repasados al mismo tiempo, pero le recordó que era una oportunidad para consolidar lo aprendido, no una evaluación. También la llamo a ver sus apuntes de las sesiones previas, para que reflexionara en lo que ha aprendido, lo que le permitió relajarse y ganar confianza. Aunque no participó verbalmente en las discusiones, su atención al material y los ejemplos del docente sugirieron que estaba procurando seguir la discusión de clase.

7.3.12.2 Actividad final para consolidar el aprendizaje, retroalimentación grupal de la

evaluación formativa (30 min) En esta fase, se llevó a cabo una actividad final diseñada para consolidar el aprendizaje. Los estudiantes fueron divididos en grupos pequeños y se les asignaron problemas que abarcaban todos los conceptos trabajados en sesiones previas. A cada estudiante se le entrego una hoja con problemas diferentes a los de sus compañeros, incentivando la individualidad en la

resolución y el trabajo cooperativo cuando fuera necesario. Se alentó a los estudiantes a preguntar a sus compañeros o al docente en caso de dudas.

El docente siguió activamente el desarrollo de la actividad, observando que los estudiantes trabajaran con atención tanto de forma individual como grupal, demostrando disposición a cooperar entre sí en caso de que alguno de ellos lo requiriera. El docente, mientras supervisaba el trabajo de los diferentes grupos, buscaba observar la aplicación de los conceptos a la vez que realizaba la retroalimentación en tiempo real. Cuando identificaba dificultades comunes, solicitaba la atención de todos los integrantes del grupo para realizar una retroalimentación grupal, discutiendo los errores y destacando las estrategias efectivas para resolver los problemas, destacando las fortalezas de las soluciones correctas y abordando los conceptos que generaban confusión, como la condición de regularidad y la identificación de magnitudes correlacionadas.

Observación de la estudiante con autismo: La estudiante con autismo se observó cómoda dentro de su grupo y se observó un trabajo activo en la resolución de los problemas, aunque se mostró temerosa de compartir sus avances al grupo. En los problemas directamente proporcionales, mostró un progreso notable en la identificación de verbos generadores y tipo de correlación, logrando aplicar el método facilitador con apoyo moderado. Sin embargo, en los problemas inversamente proporcionales, necesitó asistencia directa del docente para identificar correctamente el tipo de correlación y verificar la condición de regularidad. El grupo de trabajo de la estudiante también desempeñó un papel crucial, mostrándose comprensivo y dispuesto a apoyarla en momentos de duda, lo que fortaleció su confianza y participación. Esto reforzó su participación, aunque sus contribuciones fueron más evidentes en la fase de resolución individual que en la discusión grupal. El docente destacó sus avances y reforzó la importancia de continuar trabajando en los aspectos más desafiantes.

7.3.12.3 Discusión y cierre (10 min)

Para concluir la sesión, se llevó a cabo una discusión con el grupo donde los estudiantes reflexionaron y compartieron sus experiencias y progresos durante las sesiones. El docente procuró incentivar el dialogo, animando a los estudiantes a reflexionar sobre cómo han mejorado en su comprensión y aplicación de la proporcionalidad. También se discutieron posibles áreas de mejora y se destacaron los logros alcanzados durante las sesiones. Se destacó especialmente la importancia de evitar la sobre-generalización de la linealidad y de usar la regla de tres solo en contextos apropiados, subrayando la relevancia de la condición de regularidad como elemento esencial para determinar la proporcionalidad entre magnitudes y decidir cuándo es factible aplicar esta estrategia.

Finalmente, el docente agradeció a los estudiantes por su participación activa y esfuerzo a lo largo del desarrollo de la investigación, enfatizando como lo aprendido no solo tiene aplicaciones en el ámbito académico, sino que también les permitirá dar solución a múltiples situaciones de la vida diaria.

Observación de la estudiante con autismo La estudiante con autismo mostró atención activa durante la discusión, aunque no participó verbalmente. Cuando el docente le pidió compartir algo, optó por expresar su agradecimiento mediante una sonrisa y un asentimiento. Este gesto fue interpretado como un indicio positivo de que se sentía incluida en la dinámica grupal, aunque su participación activa seguía siendo limitada. Esta interacción subrayó la importancia de seguir fomentando un ambiente accesible y seguro que le permita expresar sus ideas con mayor confianza en el futuro. Transición a sesiones basadas en la prueba piloto Debido a circunstancias externas, como la calamidad pública y los ajustes en las dinámicas escolares del municipio, no fue posible implementar las sesiones posteriores según lo

planeado. Esto impidió avanzar en la consolidación del aprendizaje relacionado con los problemas de regla de tres compuesta en las últimas etapas de la estrategia didáctica. No obstante, los resultados obtenidos durante la prueba piloto, realizada con un grupo de séptimo grado y un grupo de octavo grado, proporcionan una base sólida para describir y analizar las etapas no implementadas. Por ello, esta sección presenta las sesiones 13, 14 y 15 basándose en los aprendizajes, ajustes y observación realizadas durante la prueba piloto. Dichas sesiones reflejan su alineación con los objetivos de la propuesta investigativa y permiten proyectar los posibles resultados y el impacto de la estrategia didáctica propuesta. La inclusión de estas sesiones en el documento tiene como propósito ofrecer una visión integral de la estrategia didáctica, resaltando su coherencia interna, alcance y potencial. Este enfoque refuerza el propósito central de la propuesta: desarrollar una herramienta didáctica inclusiva que facilite el aprendizaje de la proporcionalidad, promoviendo no solo la comprensión matemática, sino también la transición hacia una educación más inclusiva

7.3.13 Sesión 13: Regla de tres compuesta (55 minutos)

7.3.13.1 Explicación de la regla de tres compuesta (15 min)

La sesión comenzó con una explicación detallada de la regla de tres compuesta, diferenciándola de la regla de tres simples por la cantidad de magnitudes involucradas. Se destacó que mientras la regla de tres simples relaciona dos magnitudes, la regla de tres compuesta relaciona tres o más. Se ejemplificó con el problema: "4 granjeros recolectan 10,000 kilogramos de cerezas en 9 días. ¿Cuántos kilogramos recolectarán 6 granjeros en 15 días?" Esta introducción sentó las bases para la aplicación del método facilitador.

7.3.13.2 Ejemplo: Solución de un problema de regla de tres compuestos con el método

facilitador (15 min) El docente ilustró cómo resolver el problema anterior utilizando el método facilitador, detallando los siguientes pasos:

Paso 1: Representación gráfica del problema (5 min) Se organizó la relación entre las magnitudes conocidas y la incógnita mediante una representación gráfica. Esta representación gráfica permitió a los estudiantes visualizar la relación entre las magnitudes de forma clara y comprensible (ver Figura 114). Figura 114 Representación gráfica del problema de la cosecha de cerezas: análisis de organización de datos Representación gráfica del problema de la cosecha de cerezas: análisis de organización de datos

Nota. Representación gráfica de las magnitudes contenidas en el problema. Fuente: elaboración propia.

Paso 2: Verificación de las condiciones de regularidad (5 min) Se validó que las magnitudes fueran mensurables y extensivas, y que existiera una condición de regularidad. Primero, se explicó a los estudiantes que garantizar una condición de regularidad exige asumir que los granjeros trabajen al mismo ritmo, recolectando una cantidad igual de cerezas por día. Además, para mantener la regularidad, se debe garantizar que las condiciones del cultivo sean uniformes en todas las áreas, asegurando que los lotes de cultivo tengan condiciones de producción similares entre sí.

Relación o Correspondencia recolectar

4 granjeros

10.000 Kg. cereza

x

9 días

6 granjeros

15 días

Luego se procedió a explicar que en la regla de tres compuesta es necesario determinar el tipo de corresponsabilidad existente entre las magnitudes. Para ello, se analizan los cambios entre las magnitudes conocidas. Como se puede observar en la Figura 115, tanto el número de granjeros como los días aumentan. Se formaron reglas de tres simples que sirvieron de base para analizar el tipo de correlación que existe entre cada una de estas magnitudes y la magnitud que involucra la incógnita.

Figura 115 Aplicación del criterio de cambio en las magnitudes: granjero y días de cosecha Aplicación del criterio de cambio en las magnitudes: granjero y días de cosecha

Nota. Representación gráfica de la forma en que la aplicación del criterio afecta a las magnitudes. Fuente: elaboración propia.

Paso 3: Análisis de la correspondencia y determinación del tipo de proporcionalidad (10 min) Se explicó a los estudiantes cómo analizar el tipo de corresponsabilidad entre las magnitudes por el análisis de reglas de tres simples.

Figura 116 Tipo de correspondencia: relación entre la cantidad de granjeros y los kg de cerezas recolectados, y entre los días de cosecha y los kg de cerezas recolectados Relación o Correspondencia recolectar

4 granjeros

10.000 Kg. cereza

x

9 días

6 granjeros

15 días

Aumenta Aumenta

Tipo de correspondencia: relación entre la cantidad de granjeros y los kg de cerezas recolectados, y entre los días de cosecha y los kg de cerezas recolectados

Nota. Representación de la inclusión del tipo de correspondencia dada entre las magnitudes en el gráfico. Fuente: elaboración propia Dado que en este punto la explicación inicial no facilitó a los estudiantes el análisis del tipo de corresponsabilidad, ya que no lograban comprender cómo combinar las magnitudes para determinar si eran directa o inversamente correlacionadas. Tras una aclaración del docente sobre el objetivo del ejercicio, y con el aporte de los estudiantes, se determinó que la forma más adecuada era realizar conexiones auxiliares entre cada una de las magnitudes con datos conocidos de ambas relaciones y la magnitud que contiene la incógnita. Este enfoque demostró que, en un ambiente regido por el 'Principio 7: comunicación matemática y argumentación', los estudiantes pueden contribuir significativamente a la mitigación de las barreras para el aprendizaje.

Sobre estas líneas auxiliares, se procede a determinar si las magnitudes conocidas aumentaron y cuál es la corresponsabilidad con la magnitud que contiene la incógnita. Finalmente, se analiza si ambas aumentan o disminuyen, lo que indica que son directamente Magnitudes directamente proporcionales Magnitudes directamente proporcionales Relación o Correspondencia recolectar

4 granjeros

10000 Kg cereza

x

9 días

6 granjeros

15 días

Aumenta Aumenta

correlacionadas (D.C.), o si una aumenta y la otra disminuye (o viceversa), lo que indica que son inversamente correlacionadas (I.C.), como se puede observar en el desarrollo de otro problema realizado por los estudiantes en las figura (ver Figura 117).

Figura 117 Determinación de la correlación entre magnitudes: directa (D.C.) o inversa (I.C.) en un problema resuelto por estudiantes Determinación de la correlación entre magnitudes: directa (D.C.) o inversa (I.C.) en un problema resuelto por estudiantes

Nota. la figura muestra la representación gráfica y análisis desarrollados por estudiantes para dar solución al problema: “Una fábrica produce 500 unidades de un producto en 10 días con 5 máquinas funcionando 8 horas diarias. ¿Cuántas unidades producirá en 15 días con 6 máquinas funcionando 10 horas diarias?”

Paso 4: Método facilitador para problemas de regla de tres: superando barreras de aprendizaje (3 min) Se explicó que el método facilitador para problemas de regla de tres compuesta es una extensión del método facilitador para problemas de regla de tres simples. La principal diferencia radica en que, al igual que en los problemas de proporcionalidad inversa, se deben invertir las magnitudes inversamente correlacionadas. Luego, se ubican en la incógnita y se traza una cruz Figura 117, como se había explicado previamente en la solución de problemas de regla de tres simples. Se finaliza el ejemplo, explicitando a los estudiantes que este método permite desarrollar problemas complejos de manera más clara, facilitando la comprensión y la resolución efectiva de problemas con de proporcionalidad compuesta.

7.3.13.3 Práctica guiada de solución de un problema de regla de tres compuestos

combinado (12 min) Los estudiantes trabajaron en grupos pequeños para resolver problemas adicionales utilizando el método facilitador. Se les proporciono a los integrantes de cada equipo de trabajo una hoja con problemas similares para reforzar su comprensión y aplicación del método. El docente supervisó y ofreció retroalimentación en tiempo real, asegurándose de que los estudiantes comprendieran cada paso del proceso.

7.3.13.4 Discusión, retroalimentación, conclusión y cierre (5 min)

Esta parte de la práctica estaba programada para 10 minutos, pero debido a las dificultades que presentaron los estudiantes con la explicación del análisis del tipo de corresponsabilidad entre las magnitudes, se redujo a aproximadamente 5 minutos. Para concluir la sesión, se llevó a cabo una discusión grupal donde los estudiantes compartieron sus experiencias y aprendizajes. El docente alentó a los estudiantes a reflexionar sobre cómo han mejorado en su comprensión y aplicación de la regla de tres compuesta, lo que les permitirá

resolver problemas complejos de proporcionalidad en diversos contextos. Finalmente, el docente agradeció las áreas de mejora aportadas en esta sesión y alentó a seguir realizando aportes en futuras sesiones.

7.3.13.5 Observaciones y Reflexiones

Algunos estudiantes presentaron dificultades para analizar el tipo de corresponsabilidad entre las magnitudes. Sin embargo, el interés del docente por evaluar la efectividad del método y su disposición para incorporar los aportes de los estudiantes permitió identificar estrategias más adecuadas para enseñar este análisis. Estos ajustes se introdujeron tanto en esta sesión como en las sesiones iniciales de la estrategia didáctica, demostrando que la participación activa de los estudiantes puede ser una herramienta valiosa para mitigar o eliminar barreras para el aprendizaje y la participación.

Contar con un ambiente donde los estudiantes se sintieran libres y confiados para opinar resultó clave para facilitar estos avances. Este entorno inclusivo y participativo permitió que los estudiantes contribuyeran significativamente al diseño y ajuste del proceso de enseñanza. A partir de los aportes de los estudiantes, el docente, en colaboración con el grupo, propuso modificaciones en la explicación y la implementación del análisis del tipo de correlación entre las magnitudes relacionadas. Estas modificaciones no solo ayudaron a superar las barreras que se estaban presentando en la comprensión, sino que también demostraron ser efectivas para facilitar el aprendizaje y la aplicación del método en esta clase, las posteriores y las sesiones iniciales.

7.3.14 Sesión 14: Solución de problemas de regla de tres compuesta con el uso del

método facilitador (55 minutos)

7.3.14.1 Ejemplo problema genérico (10 min)

La sesión inicio con un ejemplo diseñado para ayudar a los estudiantes a comprender el uso del método facilitador en situaciones que involucran tanto proporcionalidad directa como inversa. El problema presentado fue: "8 obreros logran construir un muro de 30 metros en 9 días, trabajando 6 horas al día. ¿Cuántos días requerirán 10 obreros, trabajando 8 horas al día, para completar los 50 metros restantes del muro?" Se ilustró paso a paso la aplicación del método facilitador, comenzando con:

1. Representación gráfica del problema

Se presentó una representación gráfica inicial del problema, destacando las magnitudes involucradas: obreros, metros de muro, días y horas de trabajo por día, identificando como verbo principal “construcción”, lo que nos llevará a analizar el problema con el verbo generador “hacer”. Figura 118 Representación gráfica del problema de construcción de muro Representación gráfica del problema de construcción de muro

Nota. Representación gráfica inicial del problema. Fuente: elaboración propia.

2. Principio de regularidad y condiciones mínimas

Se verificó que las magnitudes fueran mensurables y extensivas, y que existiera una condición de regularidad. Se explicó que todos los obreros debían trabajar al mismo ritmo y que Relación o Correspondencia construcción o un hacer

8 obreros

30 m muro

x

9 días

6 horas/ día

10 obreros

50 m muro

8 horas/ día

las condiciones de construcción deben ser uniformes para mantener la regularidad. Esto significa que el terreno, el clima y otros factores deben ser comparables para garantizar que los resultados sean uniformes.

3. Aplicación de criterios para el uso de aumenta y disminuye

Se explicó que sobre las flechas auxiliares con las cuales se forma una regla de tres simple, se ha incluido el término “aumenta” y “disminuye” debido a que, partiendo de 8 obreros, se ha llegado a 10, lo que indica un aumento de la cantidad de obreros. De igual forma, se señaló que el muro incrementa de 30 a 50 metros, De igual forma, con la otra magnitud, se señaló que, partiendo de 6 horas por día, se propone trabajar 8 horas por día. Esto es crucial para el análisis posterior del tipo de corresponsabilidad (ver Figura 119).

Figura 119 Aplicación criterio de cambio en las magnitudes obreros, metros de muro y horas/día Aplicación criterio de cambio en las magnitudes obreros, metros de muro y horas/día

Nota. Representación de la aplicación de los criterios aumenta y disminuye a las magnitudes para establecer la correspondencia. En el gráfico, “A” representa un aumento de la magnitud (por ejemplo, de 8 obreros a 10). Fuente: elaboración propia.

50 m. muro

Aumenta A Aumenta A

Aumenta A Relación o Correspondencia construcción o hacer

8 obreros

30 m. muro

x

9 días

6 horas/ día

10 obreros

8 horas/ día

4. Análisis de la correspondencia y determinación del tipo de proporcionalidad

Se realizó un análisis participativo para determinar cómo el aumento de los obreros, la longitud del muro y las horas de trabajo diarias afectaban los días necesarios para completar la construcción. Con el apoyo del verbo “hacer”, los estudiantes identificaron las siguientes correlaciones:

 Un aumento en el número de obreros reduce los días requeridos para completar un "hacer". Esto se consigno en la flecha correspondiente con la letra “D”, lo que indica una disminución en la magnitud (magnitudes inversamente correlacionadas)  Un aumento en la longitud del muro (es decir, un incremento en el “hacer”) incrementa los días necesarios. Esto se reflejó en la flecha correspondiente con la letra “A”, señalando un aumento en la magnitud (magnitudes directamente correlacionadas).

 Más horas de trabajo por día implica menos días requeridos, ya que incrementa el tiempo dedicado al "hacer" diariamente. Esto se consignó en la flecha correspondiente con la letra “D” (magnitudes inversamente correlacionadas). Esta anotaciones, plasmadas en el gráfico y las líneas auxiliares, facilitaron el análisis del tipo de correlación existente entre las magnitudes del problema, como se ilustra en la Figura

120.

.

Figura 120 Análisis del efecto en los días que demora la obra con el cambio de las otras magnitudes Análisis del efecto en los días que demora la obra con el cambio de las otras magnitudes

Nota. Representación de la aplicación de los criterios aumenta y disminuye a las magnitudes para establecer la correspondencia. En el gráfico, “A” representa un aumento de la magnitud y “D” una disminución en la magnitud. “D.C.” es directamente correlacionado y “I.C.” inversamente correlacionado. Fuente: elaboración propia.

Una vez se cuenta con el análisis de cada una de las reglas de tres simples que conforman la regla de tres compuesta o de forma simultánea, se procede a indicar si las magnitudes están directamente o inversamente correlacionadas.

50 m. muro

Aumenta A Aumenta D A D A Aumenta A Relación o Correspondencia construcción o hacer

8 obreros

30 m. muro

x

9 días

6 horas/ día

10 obreros

8 horas/ día

Figura 121 Análisis de las correlaciones en las reglas de tres simples para resolver una regla de tres compuesta Análisis de las correlaciones en las reglas de tres simples para resolver una regla de tres compuesta

Nota. Representación de la aplicación de los criterios aumenta y disminuye a las magnitudes para establecer la correspondencia. En el grafico “A” representa un aumento de la magnitud y “D” una disminución en la magnitud. “D.C.” es directamente correlacionado y “I.C.” inversamente correlacionado. Fuente: elaboración propia Con el uso del gráfico, se enfatizó nuevamente a los estudiantes que dos magnitudes que aumentan o disminuyen son directamente correlacionadas, mientras que, si una aumenta y la otra disminuye o viceversa, son inversamente correlacionadas. Se destacó que la relación existente entre el número de obreros y la duración de la obra es inversamente correlacionada, mientras que entre la longitud del muro y los días es directamente correlacionada. Además, la relación entre las horas trabajadas por día y la duración de la obra también es inversamente correlacionada. Llegados a este punto, se recordó a los estudiantes que, si podemos garantizar o asumir como verdaderas las condiciones mínimas y la condición de regularidad, podemos considerar que las magnitudes pasan de ser directamente correlacionadas a directamente I.C.

D.C I.C

50 m. muro

Aumenta A Aumenta D A D A Aumenta A Relación o Correspondencia construcción o hacer

8 obreros

30 m. muro

x

9 días

6 horas/ día

10 obreros

8 horas/ día

proporcionales, de igual forma que de inversamente correlacionadas a inversamente proporcionales, lo que permitirá realizar la solución como un problema de regla de tres compuesta.

5. Inversión en problemas inversamente proporcionales

Se explicó a los estudiantes que, para aplicar el método facilitador, primero se deben invertir las magnitudes inversamente proporcionales antes de hacer los cálculos, de la misma forma que se hizo en la solución de problemas de proporcionalidad simple. Esto se representó gráficamente como se muestra en la Figura 122, mostrando cómo esta técnica simplifica el análisis.

Figura 122 Técnica de inversión en problemas inversamente proporcionales aplicada al problema de construcción de muro Técnica de inversión en problemas inversamente proporcionales aplicada al problema de construcción de muro

Nota. Representación de la técnica de inversión aplicada al problema analizado. Fuente: elaboración propia.

Una vez realizada la inversión de las magnitudes inversamente proporcionales, se obtiene una representación gráfica como la de la Figura 123.

Magnitudes inversamente proporcionales Magnitudes inversamente proporcionales

MDP

Relación o Correspondencia Construcción o hacer

8 obreros

30 m. muro

x

9 días

6 horas/ día

10 obreros

50 m. muro

8 horas/ día

MDP: Magnitudes directamente proporcionales Magnitudes a invertir entre sí Magnitudes a invertir entre sí

Figura 123 Representación gráfica luego de aplicar la técnica de Inversión en las magnitudes inversamente proporcional del problema de construcción de muro Representación gráfica luego de aplicar la técnica de Inversión en las magnitudes inversamente proporcional del problema de construcción de muro

Nota. representación de la inversión de las magnitudes al aplicar la técnica. Fuente: elaboración propia.

6. Aplicación del método facilitador para problemas de regla de tres: superando barreras

de aprendizaje Se comenzó agradeciendo nuevamente a los estudiantes, destacando cómo sus aportes contribuyeron a mejorar el método facilitador propuesto por el docente, logrando así que la enseñanza y el aprendizaje fueran más accesibles y efectivos. Esto para reforzar la confianza y actitud hacia las matemáticas siguiendo los “Principio III del DUA: Proporcionar múltiples formas de implicación” reforzando sus aportes como algo positivo para mejorar el aprendizaje del grupo, y reconociendo su valía como pensador en matemático. Seguido, se les recordó que, tomando como origen la incógnita x de la representación gráfica, se debe trazar una cruz sobre esta para proceder con la solución del problema de regla de tres compuesta, tal como se indica en la Figura

124.

Relación o Correspondencia construcción

10 obreros

30 m. muro

x

9 días

6 horas/ día

8 obreros

50 m. muro

8 horas/ día

Magnitudes invertidas entre sí Magnitudes invertidas entre sí

Figura 124 Aplicación Método facilitador problemas regla de tres compuesta en el problema de la construcción del muro Aplicación Método facilitador problemas regla de tres compuesta en el problema de la construcción del muro

Nota. representación de la aplicación del primer paso del método en el problema. Fuente: elaboración propia.

Se explicó cómo, a partir de la representación gráfica, los estudiantes podían construir una ecuación para resolver el problema. Se les recordó que las magnitudes cruzadas por la cruz se colocan en el numerador en la ecuación, mientras que las restantes se ubican en el denominador, tal como se muestras en la Figura 125.

Figura 125 Ecuación resultante de aplicar el método facilitador en el problema de la construcción del muro Ecuación resultante de aplicar el método facilitador en el problema de la construcción del muro 𝑥= 8 obreros × 50 m. muro × 8 horas día ⁄ × 9 días

10 obreros × 30 m. muro × 6 horas día

⁄

Nota. ecuación construida a partir de la información obtenida del gráfico de análisis de correspondencia. Fuente: elaboración propia.

50 m. muro

Relación o Correspondencia construcción

10 obreros

30 m. muro

x

9 días

6 horas/ día

8 obreros

8 horas/ día

Una vez se tiene la ecuación, se pasa al proceso de simplificación y se determina que la solución es “16 días”.

De esta manera, se puede definir que 8 obreros, trabajando 8 horas al día, pueden finalizar los 50 metros del muro que restan en 16 días.

7.3.14.2 Explicación, socialización de la actividad y conformación de equipos (5 min)

El docente explicó la actividad, destacando la importancia del trabajo cooperativo. Se conformaron equipos de trabajo y se recordó que la participación activa de cada integrante es esencial para asegurar una colaboración efectiva.

7.3.14.3 Trabajo cooperativo: Solución de problemas, retroalimentación docente y

evaluación grupal (30 min) Como novedad en esta sección, cada estudiante dentro de un equipo recibió una hoja con diferentes problemas que los de sus compañeros, promoviendo la colaboración sin que ningún estudiante cargara con todo el trabajo. Esta metodología resultó ser positiva, como lo manifestó una de las estudiantes: "Nos colaboramos entre todos, pero no se vio que nadie estuviera cargando a nadie, y de esta manera fue más productivo para todos". De esta forma, se evitó el efecto polizón, un tema ampliamente discutido en el capítulo 2. El docente supervisó el trabajo de los grupos, ofreciendo retroalimentación en tiempo real y asegurándose de que cada estudiante comprendiera los pasos del método facilitador.

7.3.14.4 Presentación de soluciones y retroalimentación (10 min)

Los estudiantes presentaron las soluciones a los problemas, explicando el razonamiento detrás de cada paso. Durante esta actividad el docente y los compañeros ofrecieron retroalimentación constructiva, destacando los puntos fuertes y áreas de mejora en cada

presentación, especialmente en la identificación del tipo de correlación y la verificación de condiciones de regularidad.

7.3.14.5 Observaciones y Reflexiones

En esta oportunidad, se observó un gran compromiso de todos los estudiantes en el desarrollo de los problemas proporcionados. Además, demostraron disposición para cooperar con sus compañeros cuando estos lo requerían.

Asimismo, se notó que algunos estudiantes que no habían participado activamente durante las sesiones de regla de tres simple, empezaron a entender la importancia del trabajo cooperativo y asumieron su participación con responsabilidad dentro de sus grupos. Estudiantes que habían presentado dificultades por problemas familiares también participaron activamente en esta sesión. En cuanto al estudiante con Asperger, aunque se negó a trabajar con los otros estudiantes, la actividad cooperativa del resto del grupo permitió al docente dedicar más tiempo de la clase a atenderlo de manera personalizada. Esto evidenció que una ventaja del trabajo cooperativo es la flexibilidad que ofrece al tiempo del docente, permitiendo atender a quienes más lo necesitan.

7.3.14.6 Reflexiones Adicionales

Mejora de la Inclusión: La estructura del trabajo cooperativo permitió que todos los estudiantes, incluyendo aquellos con dificultades previas, se sintieran parte del proceso. Esto fomentó un ambiente inclusivo y motivador.

Desarrollo de Habilidades Sociales: Al colaborar y ayudarse entre ellos, los estudiantes desarrollaron habilidades sociales importantes, como la empatía, la comunicación asertiva y el trabajo en equipo. Este proceso demostró cómo el aprendizaje cooperativo y la interacción en contextos diversos contribuyen significativamente a la consecución de una educación inclusiva, alineándose perfectamente con los principios fundamentales de este enfoque educativo.

Autonomía en el Aprendizaje: La responsabilidad individual dentro del grupo fomentó la autonomía de los estudiantes en su propio aprendizaje, permitiéndoles tomar un rol más activo en su educación.

Eficiencia del Tiempo del Docente: La posibilidad de atender de manera personalizada a los estudiantes que más lo necesitaban, mientras los demás trabajaban cooperativamente, optimizó el uso del tiempo del docente.

Estas observaciones refuerzan la importancia de implementar metodologías inclusivas como el trabajo cooperativo en el aula, ya que no solo disminuyen las barreras para el aprendizaje, sino que también fomentan habilidades sociales y una mayor participación activa de los estudiantes. Esto mejora tanto el aprendizaje académico como el desarrollo personal de los estudiantes.

7.3.15 Sesión 15: evaluación formativa (55 minutos)

Evaluación formativa final de los conceptos y procedimientos aprendidos

7.3.15.1 Explicación y entrega de la evaluación (5 min)

La sesión comenzó con una breve explicación del propósito de la evaluación formativa, resaltando que en esta se busca determinar y medir la comprensión de los estudiantes sobre los conceptos y procedimientos aprendidos durante las sesiones de regla de tres compuesta. El docente entregó las evaluaciones y explicó la importancia de mostrar todos los pasos y el razonamiento utilizado para llegar a las respuestas. Se enfatizó la importancia de ser ordenados y procurar en la medida de lo posible una explicación detallada de los pasos realizados para ayudar a evaluar mejor la comprensión de cada estudiante.

7.3.15.2 Realización de la Evaluación Formativa (40 min)

Durante este tiempo, los estudiantes trabajaron de manera individual en las siguientes preguntas:

1.

Un equipo de 8 personas puede ensamblar 16 bicicletas en 4 días trabajando 6 horas al día. ¿Cuántas bicicletas ensamblará un equipo de 12 personas en 3 días trabajando 8 horas al día?

2.

Una fábrica produce 500 unidades de un producto en 10 días con 5 máquinas funcionando 8 horas diarias. ¿Cuántas unidades producirá en 15 días con 6 máquinas funcionando 10 horas diarias?

3.

Un grupo de 4 jardineros puede plantar 200 árboles en 5 días trabajando 7 horas al día. ¿Cuántos jardineros se necesitarán para plantar 600 árboles en 3 días trabajando 8 horas al día?

4.

Seis pintores pueden pintar 3 casas en 9 días trabajando 5 horas al día. ¿Cuántos días necesitarán 4 pintores para pintar 4 casas trabajando 6 horas al día?

5.

Un granjero tiene 10 hectáreas de tierra y 15 trabajadores que pueden cosecharla en 12 días trabajando 6 horas al día. ¿Cuántos días necesitarán 20 trabajadores para cosechar 25 hectáreas trabajando 8 horas al día?

7.3.15.3 Recogida de Evaluaciones y Retroalimentación Inicial (10 min)

Después de los 40 minutos asignados para la evaluación, el docente recogió las evaluaciones. Se dedicaron los últimos minutos de la sesión a proporcionar una retroalimentación inicial. Para lograr una retroalimentación adecuada, el docente revisó rápidamente algunas respuestas para identificar errores comunes y ofreció aclaraciones generales sobre los conceptos que parecían presentar mayores dificultades.

7.3.15.4 Observaciones y Reflexiones durante la actividad

Al recoger las evaluaciones, se observó que la mayoría de los estudiantes no indicaron la condición de regularidad en sus respuestas. Debido a esto, el docente recordó a sus estudiantes que omitir este paso podría llevar a una fe adquirida en la linealidad, lo que resultaría en una sobre-generalización de la misma y en la aplicación incorrecta de los conceptos aprendidos en situaciones no apropiadas. Este problema, y sus implicaciones en la resolución de problemas de proporcionalidad, se tratan ampliamente en el capítulo 5. Para ilustrar este punto, el docente volvió a mencionar el ejemplo de la persona que recorre 100 metros en un tiempo determinado y se pregunta cuánto tardaría en recorrer los siguientes 100 metros, así como el problema del secado de las camisas. Estas situaciones resaltan la importancia de siempre verificar la condición de regularidad para evitar errores comunes en el análisis proporcional.

Compromiso y Participación: La mayoría de los estudiantes demostraron un alto nivel de compromiso y concentración durante la evaluación, aunque hubo momentos en los que intentaron hacer preguntas al docente. Este, con el objetivo de no sesgar los resultados, les recordó que no podía responder durante la evaluación. Se observó una notable mejora en la capacidad de los estudiantes para desglosar los problemas y aplicar el método facilitador de manera sistemática, lo que refleja un progreso significativo en la comprensión de los conceptos de proporcionalidad y la habilidad para resolver problemas complejos, cumpliendo con los objetivos planteados en la tesis sobre el desarrollo de estrategias pedagógicas efectivas para la enseñanza de la regla de tres.

Desempeño General: La mayoría de los estudiantes lograron identificar correctamente las magnitudes e indicar adecuadamente el tipo de correlación entre las magnitudes como directa o inversa. Sin embargo, algunos estudiantes mostraron dudas cuando se incrementó el número de magnitudes involucradas, lo que dificultó el análisis de su interrelación. En particular, en el

problema 5, la referencia a "un granjero" llevó a algunos estudiantes a considerarlo erróneamente como una magnitud adicional, lo cual puede deberse a la falta de familiaridad con problemas estructurados de manera similar. Aunque inicialmente estos estudiantes pensaron en no desarrollarlo, el aliento del docente y su solicitud de intentarlo para ver los resultados motivó a estos estudiantes a esforzarse por resolver el problema. Esto demuestra que el apoyo y la motivación del docente pueden mejorar significativamente la actitud de los estudiantes hacia la resolución de desafíos más complejos, alineándose con los objetivos de eliminar o mitigar las barreras para el aprendizaje.

Atención a la Diversidad: Los estudiantes con dificultades de aprendizaje y aquellos con Asperger pudieron completar la evaluación con el apoyo adecuado, lo que refuerza la importancia de implementar estrategias inclusivas que respeten los ritmos individuales de aprendizaje. Reflexión sobre la Metodología: La implementación del método facilitador ha sido beneficiosa para la mayoría de los estudiantes. Sin embargo, es evidente que se necesita más práctica en los problemas de proporcionalidad compuesta y reforzar conceptos clave, como la condición de regularidad y la inversión en problemas de proporcionalidad inversa, para asegurar una comprensión más sólida y uniforme en todo el grupo. Aunque se debe reconocer que para esta parte solo se contó con un espacio de trabajo cooperativo, es fundamental expandir estos espacios y ofrecer más oportunidades para que los estudiantes practiquen y refuercen estos conceptos de manera efectiva.

Estas observaciones refuerzan la importancia de seguir implementando y refinando estrategias didácticas que no solo faciliten el aprendizaje de conceptos matemáticos, sino que también promuevan la participación activa y el desarrollo de habilidades de razonamiento crítico entre los estudiantes.

7.3.15.5 Observaciones y reflexiones sobre la evaluación formativa

El análisis de las respuestas de los estudiantes en la evaluación formativa para la regla de tres compuesta busca identificar los errores más críticos que cometieron. Este proceso resulta fundamental para detectar las barreras de aprendizaje que surgen al implementar la estrategia didáctica en una fase que incrementa la complejidad en comparación con la regla de tres simple. Estos errores no solo están vinculados a la estrategia didáctica utilizada, sino que también revelan las dificultades específicas que los estudiantes enfrentan al abordar problemas que involucran múltiples magnitudes interrelacionadas.

Este análisis proporciona una perspectiva valiosa sobre los aspectos de la estrategia didáctica que requieren ajustes para avanzar hacia una educación inclusiva de calidad, permitiendo que todos los estudiantes logren apropiarse eficazmente de los conceptos trabajados. Es crucial destacar que este análisis no pretende clasificar exhaustivamente todos los posibles errores que los estudiantes pueden cometer al resolver problemas de proporcionalidad compuesta. En cambio, se enfoca en los errores más relevantes en el contexto específico de la estrategia didáctica implementada, ya que estos proporcionan información esencial para la mejora continua de la estrategia.

Variables Principales para el Análisis de Errores Para estructurar el análisis de los errores en la regla de tres compuesta, se han considerado dos variables principales:

Variable C: Errores Conceptuales Al igual que en la regla de tres simple, en la regla de tres compuesta se identifican errores conceptuales que dificultan una correcta comprensión y aplicación de los conceptos trabajados durante la propuesta didáctica. Sin embargo, la complejidad añadida en los problemas de regla

de tres compuesta exige un enfoque más detallado. Los errores se clasifican en las siguientes categorías:

C0: Comprensión Incompleta Este error se manifiesta cuando el estudiante no logra comprender completamente la situación planteada, lo que le impide identificar correctamente las magnitudes involucradas, similar a lo observado en la regla de tres simple.

C1: Identificación Incorrecta de Magnitudes y Relación entre Ellas Aquí se incluyen los errores en los que el estudiante no identifica correctamente todas las magnitudes relevantes o la relación existente ellas, lo cual es crucial en problemas donde se manejan múltiples magnitudes, como en la regla de tres compuesta. C2: Representación Gráfica Inadecuada La incapacidad de utilizar adecuadamente la representación gráfica para visualizar las relaciones entre magnitudes es un error crítico en este tipo de problemas, afectando la correcta interpretación del problema.

C3: Determinación Incorrecta del Tipo de Correlación Este error ocurre cuando el estudiante confunde la correlación entre dos magnitudes, ya sea considerando incorrectamente una correlación directa como inversa o viceversa. C4: Error en la Descomposición de la Proporcionalidad Compuesta Este error, específico de la regla de tres compuesta, se presenta cuando el estudiante no descompone el problema en partes manejables, confundiendo las relaciones que deben analizarse y aplicarse secuencialmente o en paralelo.

C5: Omisión de la Condición de Regularidad

Al igual que en la regla de tres simple, este error se presenta cuando el estudiante no verifica si se cumplen las condiciones de regularidad necesarias al relacionar varias magnitudes, para que exista una proporcionalidad compuesta.

C6: Inversión Incorrecta Esta categoría abarca los errores en los que los estudiantes enfrentan dificultades al realizar la inversión necesaria en las magnitudes inversamente correlacionadas en problemas de proporcionalidad compuesta, lo que afecta la obtención de una solución adecuada. Variable P: Errores Procedimentales Los errores procedimentales se refieren a las dificultades que los estudiantes enfrentan al aplicar los pasos necesarios para resolver problemas de proporcionalidad compuesta. Estos errores son indicativos de una falta de claridad o comprensión en la ejecución del método facilitador y otros procedimientos relacionados. A continuación, se presentan las categorías de errores procedimentales identificadas:

P1: Procedimiento Inadecuado para la Solución del Problema Este error se presenta cuando el estudiante utiliza un procedimiento incorrecto o no sigue los pasos adecuados para resolver el problema. Esto puede incluir una secuenciación incorrecta de los pasos o la aplicación de un método inapropiado para la situación particular del problema. P2: Aplicación Incorrecta del Método Facilitador En esta categoría se agrupan los errores que ocurren cuando los estudiantes no aplican correctamente los pasos del método facilitador. Esto puede deberse a una comprensión incompleta del método o a una ejecución inadecuada de los pasos secuenciales necesarios para llegar a la solución correcta.

P3: Errores Aritméticos

Los errores aritméticos incluyen fallos en los cálculos necesarios durante la resolución del problema, tales como multiplicaciones, divisiones, sumas o restas incorrectas. Aunque estos errores pueden parecer de ejecución, tienen un impacto significativo en la obtención de la solución correcta.

A: Ejercicio Sin Responder Esta categoría recoge los casos en los que los estudiantes dejan el ejercicio sin responder, lo cual puede estar relacionado con una falta de comprensión del problema, inseguridad o falta de tiempo  Análisis de los resultados Los resultados obtenidos en la evaluación de la regla de tres compuesta para el grupo de grado octavo, según las categorías de errores conceptuales y procedimentales, se presentan en la siguiente Tabla 15:

Tabla 15 Resultados de la evaluación de la regla de tres compuesta en la prueba piloto del grupo de grado octavo, categorizados por errores conceptuales y procedimentales Resultados de la evaluación de la regla de tres compuesta en la prueba piloto del grupo de grado octavo, categorizados por errores conceptuales y procedimentales

Errores Conceptuales Errores Procedimentales Pregunta C0

(%)

C1

(%)

C2

(%)

C3

(%)

C4

(%)

C5

(%)

C6

(%)

P1

(%)

P2

(%)

P3

(%)

A

(%)

1

5,7

2,8

5,7

40

17,1

62,8

NA

17,1

17,1

20

2,8

2

0

0

0

17,1

11,4

57

NA

25,7

14,2

14,2

2,8

3

0

0

0

60

8,5

51,4

22,8

31,4

34,3

40

0

4

0

0

0

31,4

8,5

37,1

28,6

28,6

8,5

31,4

14,2

5

2,8

2,8

2,8

37,1

8,5

48,5

31,4

37,1

14,2

45,7

20

Nota. La tabla presenta los resultados del análisis de errores en la evaluación de la regla de tres compuesta en el grupo de grado octavo, clasificados por errores conceptuales (C) y procedimentales (P), con una categoría adicional para problemas no respondidos (A). Este análisis refleja las dificultades específicas que los estudiantes enfrentan al resolver problemas

de proporcionalidad compuesta, destacando especialmente la frecuencia de omisiones en la condición de regularidad (C5) y errores en la inversión necesaria (C6). Los errores procedimentales subrayan desafíos en la aplicación del método facilitador (P2) y errores aritméticos (P3), resaltando la necesidad de ajustes pedagógicos para fortalecer la comprensión y aplicación efectiva de conceptos matemáticos avanzados. Este enfoque permite una mejora continua en la estrategia de enseñanza para abordar las barreras identificadas y mejorar la capacidad de resolución de problemas de proporcionalidad compuesta por parte de los estudiantes. Fuente: elaboración propia.

 Observaciones clave Al analizar estos resultados, se destacan las siguientes observaciones clave, alineadas con el análisis previamente realizado para la regla de tres simple: Errores conceptuales significativos (C3, C5):

C3: Determinación incorrecta del tipo de correlación (40% - 60%): Se observa un porcentaje elevado de errores en la determinación del tipo de correlación entre magnitudes, especialmente en la pregunta 3 (60%) y la pregunta 1 (40%). Esta diferencia puede deberse a que, en la pregunta 1, aunque todas las magnitudes están directamente correlacionadas, algunas fueron incorrectamente clasificadas como inversamente correlacionadas. En cambio, en la pregunta 3, dos de las magnitudes están inversamente correlacionadas con la cantidad de jardineros generando mayores dificultades para los estudiantes. Como se ha observado, identificar correctamente las magnitudes inversamente correlacionadas presenta un mayor desafío para los estudiantes, lo que sugiere que estos enfrentan dificultades significativas para diferenciar entre correlaciones directas e inversas en la regla de tres compuesta.

Sin embargo, en la variable C4: Error en la descomposición de la proporcionalidad compuesta, los resultados indican que los estudiantes, en general, saben descomponer el problema de proporcionalidad compuesta para analizarlo como problemas simples. Esto sugiere que, si se corrige la barrera de aprendizaje que impide a los estudiantes determinar adecuadamente el tipo de correlación entre dos magnitudes en la fase de proporcionalidad simple, podría reducirse la cantidad de errores en esta variable durante la fase de proporcionalidad compuesta. Este tipo de error es crítico, ya que afecta de manera significativa la correcta aplicación del método facilitador.

C5: Omisión de la condición de regularidad (57% - 62,8%):

Al igual que en la proporcionalidad simple, la omisión de la condición de regularidad es otro error conceptual dominante, con un 62,8% en la pregunta 1 y un 57% en la pregunta 2, y valores cercanos al 50% en las preguntas 3 y 5. Este patrón indica que los estudiantes no están verificando adecuadamente las condiciones necesarias para aplicar la proporcionalidad compuesta, lo que genera errores conceptuales significativos. Estos errores pueden llevar a la aplicación automática del método facilitador en problemas con estructuras similares, sin considerar si las magnitudes son directamente o inversamente proporcionales. Esto resulta en soluciones algorítmicas que no tienen en cuenta la estructura específica del problema, lo que compromete la correcta comprensión y aplicación del concepto de proporcionalidad compuesta. C6: Inversión incorrecta (21,8% - 31,4%):

Los errores en la inversión necesaria para resolver problemas con magnitudes inversamente proporcionales oscilan entre un 21,8% y un 31,4%. Estos porcentajes indican que, aunque algunos estudiantes identificaron correctamente el tipo de correlación, no están realizando adecuadamente la inversión en magnitudes inversamente correlacionadas, lo que lleva a resultados incorrectos. Este patrón sugiere que, a pesar de la correcta categorización de

las magnitudes, persisten dificultades en la ejecución del paso crítico de inversión, lo que subraya la necesidad de reforzar este aspecto en la enseñanza de la proporcionalidad compuesta. Errores conceptuales no significativos (C0, C1 y C2) C0: Comprensión incompleta, C1: Identificación incorrecta de magnitudes y relación entre ellas, C2: Representación gráfica inadecuada:

los errores en estas variables son relativamente bajos, con un máximo de 5,7 %. Esto sugiere que la mayoría de estudiantes no presentan dificultades con estos conceptos, lo que indica que la estrategia didáctica en la enseñanza de estos conceptos no requiere modificaciones sustanciales.

C4: Error en la descomposición de la proporcionalidad compuesta (8,5% - 17,1%) Los errores en esta categoría son un poco más frecuentes que en las categorías C0, C1 y C2 con un máximo de 17,1% en la pregunta 1 y un 8,5 % en las preguntas 3, 4 y 5. Esto sugiere que, en general, los estudiantes son capaces de descomponer correctamente los problemas de proporcionalidad compuesta en partes más manejables, aunque algunos aún enfrentan dificultades en situaciones más complejas.

Errores procedimentales P1: Procedimiento inadecuado para la solución del problema Los errores en el procedimiento, como la secuenciación incorrecta de los pasos, presentan errores que oscilan entre el 17,1 % (pregunta 1) hasta valores muy significativos de 37,1 % (pregunta 5). Esto combinado con los resultados de los errores conceptuales, sugiere que, aunque los estudiantes pueden comprender los conceptos, la aplicación secuencial correcta en problemas de mayor complejidad o más pasos sigue siendo un desafío considerable.

P2: Aplicación Incorrecta del Método Facilitador La aplicación incorrecta del método facilitador se manifiesta de manera notable, con un error máximo del 37,1% en la pregunta 3. Es importante destacar que en esta pregunta el 60% de los estudiantes fallaron en la determinación correcta del tipo de correlación debido a la presencia de dos magnitudes inversamente correlacionadas con el número de jardineros. La aplicación correcta del método facilitador requería que los estudiantes identificaran correctamente el tipo de correlación y luego realizaran la inversión adecuada de estas dos magnitudes durante el paso del método facilitador. En contraste, en otros problemas, el porcentaje de errores varió entre el 8,5% y el 17,1%, lo que sugiere que, aunque los estudiantes comprenden cómo aplicar el método facilitador, su éxito depende en gran medida de la correcta identificación del tipo de correlación entre las magnitudes y de su capacidad para realizar la inversión adecuada en case de magnitudes inversamente proporcionales. P3: Errores aritméticos Los errores aritméticos, que alcanzan hasta un 45,7% en la pregunta 5, son una fuente significativa de errores procedimentales. Estos errores pueden parecer menores, pero tienen un impacto considerable en la obtención de la solución correcta, lo que indica que es necesario un refuerzo en las habilidades básicas de cálculo.

A: Ejercicio Sin Responder Los ejercicios sin responder son poco comunes en los problemas 1, 2, y 3, con un máximo del 2,8% en algunas preguntas, lo que indica que la mayoría de los estudiantes intentan resolver los problemas, aunque no siempre con éxito. Sin embargo, en las preguntas 4 y 5, los porcentajes de ejercicios sin responder aumentan significativamente a 14,2% y 20%, respectivamente. Esto sugiere que la falta de tiempo o de comprensión podría haber sido un factor, dado que en las

primeras tres preguntas se observa un esfuerzo consistente por parte de los estudiantes para resolver los problemas.

Reflexiones y recomendaciones sobre la regla de tres compuesta La implementación de la estrategia didáctica en la etapa de regla de tres compuesta ha revelado barreras significativas en el aprendizaje, las cuales deben ser abordadas para mejorar la efectividad del proceso educativo. Los errores identificados proporcionan una visión clara de las áreas que requieren ajustes para avanzar hacia una educación inclusiva y de calidad. Errores conceptuales:

Los resultados indican que la correcta determinación del tipo de correlación entre magnitudes es un área crítica de mejora, especialmente en problemas con magnitudes inversamente correlacionadas. La omisión de la condición de regularidad y los errores en la inversión de magnitudes también representan desafíos significativos, lo que sugiere la necesidad de un refuerzo específico en estos aspectos para asegurar una aplicación efectiva del método facilitador:

Errores procedimentales:

Los errores procedimentales, particularmente aquellos relacionados con la secuenciación de pasos y la aplicación del método facilitador, demuestran que, aunque los estudiantes entienden los conceptos, su capacidad para aplicarlos de manera efectiva en problemas más complejos necesita ser mejorada. La alta incidencia de errores aritméticos también destaca la importancia de fortalecer las habilidades de cálculo básico.

Recomendaciones:

Refuerzo en la determinación del tipo de correlación: Aunque se observó una mejora en la identificación del tipo de correlación entre magnitudes gracias a la inclusión de los verbos

generadores, sigue siendo necesario desarrollar actividades que ayuden a los estudiantes a diferenciar correctamente entre correlaciones directas e inversas. Esta necesidad se hace más evidente en la gran diversidad de escenarios, especialmente en contextos más complejos, como los que plantea la regla de tres compuesta.

Fortalecimiento de la comprensión de la condición de regularidad: Los resultados demuestran la necesidad de implementar problemas de pseudoproporcionalidad que resalten y refuercen la importancia de verificar las condiciones de regularidad antes de aplicar el método facilitador. Esto ayudará a evitar errores asociados con la aplicación automática e incorrecta del método facilitador.

Enfoque en la corrección de errores aritméticos: Es recomendable integrar más prácticas de cálculo básico en el contexto de problemas de proporcionalidad compuesta, con el objetivo de reducir la incidencia de errores aritméticos. Esto incluye la práctica de simplificaciones previas, lo que permitirá disminuir la complejidad de los cálculos Ajustes en el Ritmo de Enseñanza y Recursos Adicionales: Dado que el objetivo de una educación inclusiva de calidad es garantizar que todos los estudiantes alcancen una educación de calidad, se debe considerar la flexibilización de la secuenciación, incluyendo tiempos adicionales para la resolución de problemas complejos. Además, es fundamental proporcionar materiales de apoyo que permitan a los estudiantes reforzar los conceptos a su propio ritmo, utilizando una variedad de herramientas, como textos y videos de YouTube. Esto asegurará que todos los estudiantes tengan la oportunidad de acceder a los recursos que mejor se adapten a sus necesidades individuales.

Con estas reflexiones y recomendaciones, se busca mitigar y/o eliminar las barreras para el aprendizaje identificadas durante la ejecución de la estrategia didáctica, con el objetivo de mejorar la comprensión y aplicación de la regla de tres compuesta. El propósito es asegurar que

todos los estudiantes, independientemente de sus habilidades iniciales, tengan la oportunidad de alcanzar el éxito académico en este ámbito matemático.

Comparación de resultados entre el grupo de octavo y el grupo de séptimo Para analizar el progreso y las diferencias en la comprensión y aplicación de la proporcionalidad compuesta, se realizó una evaluación similar en el grupo de grado séptimo, en la que participaron 36 estudiantes. A continuación, en la Tabla 16 se presentan los resultados reportados por los estudiantes bajo las mismas variables de análisis: Tabla 16 Resultados de la evaluación de la regla de tres compuesta en la prueba piloto en el grupo de séptimo, categorizados por errores conceptuales y procedimentales Resultados de la evaluación de la regla de tres compuesta en la prueba piloto en el grupo de séptimo, categorizados por errores conceptuales y procedimentales

Errores Conceptuales Errores Procedimentales Pregunta C0

(%)

C1

(%)

C2

(%)

C3

(%)

C4

(%)

C5

(%)

C6

(%)

P1

(%)

P2

(%)

P3

(%)

A

(%)

1

13,4

8,7

13,4

30,4

13,4

34,8

NA

30,4

4,3

39,1

4,3

2

8,7

4,3

8,7

26,1

17,4

43,4

NA

30,4

17,4

17,4

21,7

3

13,4

13,4

13,4

60,9

47,8

73,9

13

39,1

0

52,2

21,7

4

4,3

4,3

4,3

39,1

39,1

56,5

8,7

26

0

47,8

39,2

5

0

0

8,7

47,8

34,8

56,5

0

30,4

8,7

34,8

39,2

Nota. La Tabla presenta los resultados del análisis de errores en la evaluación de la regla de tres compuesta para el séptimo, clasificados por errores conceptuales (C) y procedimentales (P), con una categoría adicional para problemas no respondidos (A). Este análisis refleja las dificultades específicas que los estudiantes enfrentan al resolver problemas de proporcionalidad compuesta, destacando especialmente la frecuencia de omisiones en la condición de regularidad (C5). Fuente: elaboración propia.

Análisis general de la comparación entre el grupo de octavo y el grupo de séptimo Al comparar los resultados de la evaluación de proporcionalidad compuesta entre los estudiantes de los grupos de séptimo y octavo, se pueden observar algunas tendencias y

diferencias clave que arrojan luz sobre el progreso y las dificultades de los estudiantes en ambos grupos.

Errores Conceptuales:

C0: Comprensión Incompleta Los estudiantes del grupo de séptimo presentan un mayor porcentaje de errores de comprensión incompleta en comparación con los del grupo de octavo. Por ejemplo, en la pregunta 1, los errores en el grupo de séptimo grado son del 13,4%, mientras que en el grupo de octavo grado son del 5,7%. Esto sugiere que los estudiantes del grupo de séptimo enfrentan más dificultades para comprender plenamente los problemas planteados, lo que podría estar relacionado con su menor exposición y familiaridad previa con la proporcionalidad compuesta. C1: Identificación incorrecta de magnitudes y relación entre ellas, C2: Representación gráfica inadecuada:

En ambos grupos, en el de séptimo y octavo, se observan errores en la identificación incorrecta de las magnitudes y en la representación gráfica de las relaciones entre ellas. Sin embargo, en el grupo de octavo, estos errores pueden considerarse conceptualmente no significativos, mientras que en el grupo de séptimo se presentan con mayor frecuencia, lo que sugiere que los estudiantes de séptimo enfrentan dificultades significativas en la interpretación y visualización de las relaciones entre las magnitudes involucradas en los problemas de proporcionalidad compuesta. Por ejemplo, en la pregunta 3, los errores en el grupo de séptimo alcanzan un 13,4% tanto en C1 como en C2, mientras que en el grupo de octavo estos errores no superan el 5,7%. Esto indica que los estudiantes del grupo de séptimo tienen más problemas para identificar correctamente las magnitudes clave y para representarlas gráficamente, lo que es crucial para resolver problemas complejos de proporcionalidad. Estas dificultades subrayan la

necesidad de un enfoque más profundo y sistemático a la hora de abordar la regla de tres compuesta en el grupo de séptimo.

C3: Determinación Incorrecta del Tipo de Correlación Ambos grupos muestran un alto porcentaje de errores en la determinación del tipo de correlación, especialmente en problemas más complejos como la pregunta 3 (60,9% en el grupo de séptimo frente 60% en el grupo de octavo). Aunque los errores de este tipo son mayores en todas las preguntas en el grupo de séptimo, excepto en la en la pregunta 1, donde el grupo de séptimo grado tiene un 30,4% de errores frente al 40% de los del grupo de octavo grado. Esto sugiere que, si bien los estudiantes del grupo de séptimo grado presentan una ventaja en la determinación el tipo de correlación en esa pregunta específica, la dificultad para identificar correctamente el tipo de correlación persiste en ambos grupos.

C4: Error en la descomposición de la proporcionalidad compuesta (13,4% - 47,8%) Los errores en esta categoría son más frecuentes en el grupo de grado séptimo, con un máximo del 47,8%, en comparación con los del grupo de grado octavo, donde el máximo fue del 17,1%. Esto sugiere que, en general, los estudiantes de grado séptimo tienen mayores dificultades para descomponer correctamente los problemas de proporcionalidad compuesta en partes más manejables. Por lo tanto, es necesario ampliar la secuenciación y profundizar en la enseñanza de la regla de tres compuesta en grados inferiores, con el objetivo de asegurar que los estudiantes comprendan plenamente los procedimientos y conceptos relacionados. C5: Omisión de la Condición de Regularidad:

La omisión de la condición de regularidad es un error recurrente en ambos grupos, pero es más pronunciado entre los estudiantes del grupo de séptimo, donde los errores alcanzan hasta un 73,9% en la pregunta 3, frente al 51,4% por parte de los estudiantes del grupo de octavo. Este patrón indica que los estudiantes de séptimo presentan mayores dificultades para aplicar este

concepto clave, lo que sugiere la necesidad de un mayor énfasis en la enseñanza de la condición de regularidad desde etapas tempranas educativas.

Errores Procedimentales:

P1: Procedimiento Inadecuado para la Solución del Problema:

En general, los estudiantes del grupo de séptimo grado muestran un porcentaje más alto de errores en procedimientos inadecuados, alcanzando un 39,1% en la pregunta 3 en comparación con el 31,4% de los del grupo de octavo grado. En las preguntas 4 y 5, los errores aparentemente son menores; sin embargo, esto podría no reflejar una menor tasa de errores, sino más bien el hecho de que un porcentaje considerable de estudiantes (39,2%) no respondió estas preguntas. Esto sugiere que los estudiantes de séptimo enfrentan mayores dificultades para seguir los pasos secuenciales correctos en problemas de mayor complejidad. P2: Aplicación Incorrecta del Método Facilitador:

En el grupo de séptimo grado, los errores en la aplicación del método facilitador alcanzan su máximo en la pregunta 2, con un 17,4%. Esto sugiere que, aunque los estudiantes comprenden cómo utilizar el método, persisten errores conceptuales que necesitan ser abordados para lograr una aplicación adecuada del mismo. Entre estos errores se encuentran la omisión de la condición de regularidad y la determinación incorrecta del tipo de correlación, lo que subraya la necesidad de reforzar tanto la comprensión como la ejecución del método facilitador en el grupo de séptimo.

P3: Errores aritméticos:

Los errores aritméticos también son más comunes en los estudiantes del grupo de séptimo, con un 52,2% en la pregunta 3, en comparación con un 40% por parte de los estudiantes del grupo de octavo. Este porcentaje podría ser incluso mayor, considerando que el 21,7% de los estudiantes de séptimo no respondió esta pregunta. Esto sugiere que los estudiantes más

jóvenes podrían beneficiarse de un refuerzo adicional en habilidades aritméticas básicas para mejorar su rendimiento general en la resolución de problemas de proporcionalidad compuesta. A: Ejercicios Sin Responder:

Los estudiantes del grupo de séptimo grado tienen un porcentaje significativamente mayor de ejercicios sin responder, con hasta un 39,2% en las preguntas 4 y 5, frente al 20% máximo los estudiantes del grupo de octavo grado. Este hallazgo sugiere que los estudiantes más jóvenes pueden experimentar una mayor falta de tiempo, comprensión o confianza para completar los problemas más complejos, lo que destaca la importancia de proporcionarles más apoyo y tiempo para abordar estas tareas.

Reflexión sobre la Comparación:

Al comparar los resultados entre los estudiantes del grupo de séptimo grado y el grupo de octavo, se evidencian mayores barreras para el aprendizaje y la aplicación de los conceptos de proporcionalidad compuesta en los estudiantes de séptimo. Los errores, tanto conceptuales como procedimentales, son más frecuentes y pronunciados en este grupo, lo que refleja su menor familiaridad y experiencia con estos temas. La disparidad existente entre ambos grupos resalta la necesidad de una intervención educativa más flexible, intensiva y adaptativa en séptimo grado, que permita abordar estas barreras de manera temprana. Además, la incorporación de recursos adicionales como guías de estudio, videos educativos y ejercicios aritméticos podría ser fundamental para mitigar estas barreras de aprendizaje y preparar mejor a los estudiantes para enfrentar los desafíos que representan los problemas de proporcionalidad compuesta, tanto en grados posteriores como en situaciones de la vida cotidiana.

7.3.16 Sesión 16: Reflexión y Consolidación Final de los Conceptos Trabajados (55

minutos)

7.3.16.1 Introducción y Objetivos de la Sesión (5 min)

El docente inició la sesión con una breve introducción en la que explicó el propósito principal de esta última etapa: reflexionar sobre los aprendizajes adquiridos a lo largo de la estrategia didáctica, brindar retroalimentación sobre las evaluaciones realizadas y consolidar los conceptos clave relacionados con la proporcionalidad simple y compuesta. De igual forma, destacó la importancia de esta reflexión para fortalecer la comprensión de los estudiantes y su capacidad para aplicar lo aprendido tanto en contextos académicos como en situaciones de la vida cotidiana.

7.3.16.2 Reflexión Guiada sobre el Aprendizaje (20 min)

El docente fomento una reflexión grupal, invitando a los estudiantes a compartir sus experiencias y aprendizajes adquiridos durante el desarrollo de las sesiones. Para guiar esta reflexión, empleó preguntas abiertas como:

 ¿Qué conceptos se les dificultaron y cómo lo superaron?

 ¿Qué estrategias les ayudaron a comprender mejor los problemas de proporcionalidad?

 ¿Cómo podrían aplicar lo aprendido en situaciones de la vida cotidiana? Durante esta actividad, se promovió un ambiente inclusivo en el que todos los estudiantes, incluyendo aquellos con dificultades previas, pudieran expresar sus opiniones y experiencias. Varios estudiantes destacaron la utilidad del método facilitador y el enfoque visual para abordar problemas de proporcionalidad. Una estudiante en particular señaló que se apoyaba en la representación gráfica de los ejemplos y problemas desarrollados previamente, afirmando que "el trabajo cooperativo me ayudó a superar varias barreras de aprendizaje".

La estudiante puso como ejemplo una experiencia personal: "Yo pensaba en hacer una cruz que no cruzara la x, y en el trabajo cooperativo un compañero me hizo ver que la cruz se trazaba sobre la x. No le entendí al profesor porque, la verdad, no puse atención. Más adelante, pensé que el profesor debería ser más conciso, porque uno no sabe a qué quiere llegar y se distrae". Esta apreciación coincidió con la de otros estudiantes, quienes manifestaron que las discusiones grupales y el trabajo cooperativo facilitaron significativamente su aprendizaje.

7.3.16.3 Retroalimentación de las Evaluaciones y Aprendizajes Clave (15 min)

El docente presentó un análisis general de los resultados obtenidos en las evaluaciones realizadas, destacando tanto los logros del grupo como las áreas que requerían un refuerzo adicional. Entre los puntos clave abordados, se destacaron:

La importancia de verificar la condición de regularidad antes de aplicar el método facilitador: Se enfatizó que la omisión de este paso puede llevar a la aplicación del método en contextos inapropiados, generando una sobre-generalización de la linealidad y, en consecuencia, soluciones erróneas, un tema extensamente discutido en el capítulo 5. La necesidad de reforzar la diferenciación entre correlaciones directas e inversas. Algunos estudiantes, especialmente en problemas más complejos, demostraron dificultades para identificar adecuadamente estas correlaciones. El docente recordó que el análisis se facilita utilizando los verbos generadores como herramienta clave para interpretar las relaciones entre las magnitudes.

La relevancia de evitar errores aritméticos y tomarse el tiempo necesario en las soluciones. Se destacó que, aunque estos errores puedan parecer menores, tienen un impacto significativo en las soluciones finales y en la comprensión general de los problemas. Durante esta etapa, se promovió un espacio de diálogo en el que los estudiantes plantearon preguntas específicas sobre sus evaluaciones. El docente respondió a estas

inquietudes proporcionando explicaciones adicionales y utilizando ejemplos concretos para abordar los errores comunes detectados, facilitando así una comprensión más clara de los conceptos trabajados.

7.3.16.4 Consolidación final de los conceptos trabajados (10 min)

En la fase final, el docente realizó un resumen integral de los conceptos clave trabajados a lo largo de todas las sesiones, destacando los siguientes aspectos:  La definición y el uso de verbos generadores: Estos se presentaron como herramientas fundamentales para identificar la correlación entre las magnitudes involucradas y facilitar la comprensión de los problemas planteados.

 La representación gráfica: Se resaltó su utilidad como una herramienta visual para analizar y comprender las relaciones entre las magnitudes, permitiendo a los estudiantes interpretar con mayor claridad los problemas de proporcionalidad.  La condición de regularidad: Se destacó la necesidad de verificar esta condición antes de aplicar el método facilitador, recordando que su omisión puede conducir a errores importantes, como la sobre-generalización de la linealidad o la aplicación del método en contextos inadecuados.

 La aplicación del método facilitador: Se revisaron los pasos necesarios para resolver problemas de proporcionalidad simple y compuesta, destacando su versatilidad para abordar situaciones académicas y cotidianas.

El docente empleo un esquema visual en el tablero para sintetizar los pasos del método facilitador, mostrando de manera explícita cómo los conceptos aprendidos se conectan con problemas del mundo real. Durante esta actividad, se invitó a los estudiantes a tomar notas, formular preguntas finales y aclarar cualquier duda pendiente, asegurando así una consolidación efectiva de los aprendizajes.

7.3.16.5 Cierre y Agradecimientos (5 min)

Para cerrar la sesión y concluir las actividades de la estrategia didáctica, el docente expresó su agradecimiento a los estudiantes por su esfuerzo, compromiso y participación activa a lo largo de todo el proceso investigativo. Se resaltó cómo las contribuciones de los estudiantes fueron fundamentales para identificar y superar barreras para el aprendizaje y la participación, así como para perfeccionar el método facilitador, destacando el impacto positivo de estas mejoras en su implementación.

Además, el docente reconoció que, aunque hay aspectos por mejorar en el aprendizaje cooperativo, la actitud de los estudiantes demostró que esta estrategia es adecuada para promover un aprendizaje significativo y avanzar hacia una educación inclusiva más inclusiva. Este reconocimiento sirvió como un estímulo y una invitación para continuar utilizando y perfeccionando este enfoque en futuras experiencias educativas.

Finalmente, el docente motivó a los estudiantes a continuar aplicando los aprendizajes adquiridos en diferentes contextos. Se enfatizó que los conceptos trabajados y aprendidos durante esta investigación no solo son fundamentales en matemáticas, sino también herramientas prácticas y valiosas para abordar problemas en situaciones cotidianas y profesionales. Este mensaje final buscó fortalecer la conexión entre lo aprendido en el aula y su utilidad en la vida diaria, cerrando la estrategia con un enfoque positivo, motivador y orientado hacia el futuro.

Observaciones y Reflexiones de la Sesión La sesión 16 marcó el cierre del ciclo de aprendizaje, brindando un espacio para una reflexión significativa y una consolidación efectiva de los conceptos trabajados. La participación activa de los estudiantes, incluyendo aquellos que enfrentaron barreras de aprendizaje al inicio del proceso, destacó el impacto positivo de la estrategia didáctica implementada.

Entre los logros principales de esta sesión se encuentran:

Creación de un ambiente inclusivo: Se propició un espacio en el que todos los estudiantes se sintieron motivados a participar y compartir sus experiencias, fortaleciendo la colaboración y el respeto mutuo.

Identificación de logros y áreas de mejora: Los estudiantes reflexionaron sobre su progreso, reconociendo sus avances y señalando aspectos en los que pueden seguir trabajando. Conexión con contextos prácticos: El grupo evidenció su capacidad para aplicar los conceptos y estrategias aprendidos durante las sesiones en diversos contextos, fortaleciendo el aprendizaje significativo y su utilidad más allá del aula.

8. Resultados y análisis

En el capítulo 7 se detallaron reflexiones y observaciones al concluir cada sesión de nuestra intervención, proporcionando una evaluación preliminar de la estrategia didáctica propuesta. Sin embargo, para comprender de forma integral la influencia y efectividad de nuestra intervención, es crucial abordar cuestiones aún pendientes y explorar las conexiones entre los objetivos de la tesis, la metodología implementada y los resultados obtenidos. En este capítulo, se presentarán las percepciones directas de los estudiantes, fundamentales para evaluar la eficacia de nuestra propuesta educativa, además, realizaremos un análisis comparativo de los resultados del pre-test y pos-test, ofreciendo una evaluación cuantitativa de la estrategia y concluiremos con un resumen de los hallazgos cualitativos, resaltando tanto los logros como los desafíos encontrados durante el proceso investigativo.

8.1 Conexión entre objetivos, metodología y resultados

8.1.1 Identificar las barreras para la educación inclusiva.

Proceso de revisión bibliográfica:

Se realizó una revisión sistemática de la literatura en diversas fuentes de información como Google Académico y bases de datos institucionales, entre las que se destacan ScienceDirect, Scopus, SpringerLink, y Taylor & Francis Group. Para ello, se definieron criterios de búsqueda específicos, como palabras clave relacionadas con "educación inclusiva", "barreras para el aprendizaje" y "estrategias inclusivas". Inicialmente se consideraron estudios publicados en un rango temporal de los últimos 10 años para garantizar la relevancia de los datos; sin embargo, en algunos casos fue necesario recurrir a fuentes primarias que ofrecieran perspectivas esenciales para generar reflexiones más profundas.

Resultados:

El rastreo de la literatura permitió comprender y conceptualizar el término “educación inclusiva”, así como identificar barreras estructurales, curriculares, sociales y emocionales que dificultan su implementación efectiva. Los hallazgos de la revisión de la literatura se integraron de manera transversal en la construcción de los capítulos 2, 3, 4 y 5. En estos capítulos, se abordaron las barreras para el aprendizaje y la participación desde múltiples perspectivas, organizando y sintetizando los principales desafíos identificados en la literatura. Además, cada capítulo concluyó con reflexiones clave que sirvieron como bases sólidas para el diseño de la estrategia didáctica con un enfoque inclusivo. Estas conclusiones garantizaron que las barreras para el aprendizaje y la participación fueran abordadas de manera efectiva y contextualizada en la estrategia didáctica, promoviendo una respuesta educativa acorde con las necesidades identificadas.

8.1.2 Análisis de la enseñanza y el aprendizaje de la proporcionalidad

Procedimientos de investigación:

En el capítulo 5 se llevó a cabo un análisis exhaustivo de la literatura relacionada con la enseñanza y el aprendizaje de la proporcionalidad. Este análisis incluyó una conceptualización detallada de conceptos clave como fracción, razón, proporcionalidad, proporción y la sobregeneralización de la linealidad. Se revisaron estudios que exploraron las interacciones de los estudiantes con estos conceptos, así como las estrategias pedagógicas utilizadas en su enseñanza.

Resultado:

El rastreo y seguimiento de la literatura permitió identificar barreras específicas en el aprendizaje de los conceptos mencionados, tales como dificultades en la comprensión de la

fracción como una relación, confusiones entre razón y proporción, y la tendencia a sobregeneralizar la linealidad en situaciones no proporcionales. El capítulo culminó con conclusiones que sintetizan estas barreras y ofrecen aportes significativos para la construcción de una propuesta didáctica inclusiva, orientada a superar los desafíos identificados en el aprendizaje de la proporcionalidad.

8.1.3 Diseño de una estrategia adaptada de la regla de tres

Proceso de diseño:

Con base en las barreras identificadas en el aprendizaje y la participación, se diseñó una estrategia didáctica inclusiva que aborda los desafíos encontrados de manera secuencial y estructurada. La propuesta se desarrolla en las siguientes etapas:

1) Visibilización de la voz del estudiante: Se inicia con una actividad basada en notas

adhesivas (post-it), permitiendo a los estudiantes expresar sus ideas y conocimientos previos, lo cual favorece su participación activa y contextualiza el proceso de enseñanza.

2) Construcción de conceptos previos: Se introducen conceptos esenciales como

relación, magnitud, verbo y sujeto. A partir de estos elementos, los estudiantes aprenden a realizar una representación gráfica del problema, lo cual facilita la comprensión visual y conceptual del mismo.

3) Trabajo con magnitudes correlacionadas: Se abordan las magnitudes

correlacionadas directa e inversamente, introduciendo herramientas para analizar el tipo de correlación. Para ello, se propone el uso de "verbos generadores" como hacer, consumir, comprar o pagar, que simplifican la comprensión de las relaciones establecidas en los problemas.

4) Evitar la sobre-generalización de la linealidad: Se conceptualiza la condición de

regularidad como un criterio fundamental para prevenir errores comunes asociados con la sobre-generalización de la linealidad.

5) Enseñanza de un método alternativo: Se introduce un método alternativo para la

solución de problemas de proporcionalidad por regla de tres, adaptado a las necesidades y características cognitivas de los estudiantes.

6) Extensión del aprendizaje: Finalmente, se amplía la aplicación del método para

resolver problemas de proporcionalidad compuesta, aprovechando los conocimientos adquiridos en las etapas previas.

Resultados:

La estrategia didáctica se describe detalladamente en el capítulo 6, destacando cómo cada una de las etapas responde a las barreras identificadas en los capítulos anteriores. Este enfoque busca no solo mitigar las barreras de aprendizaje, sino también promover la participación activa y el desarrollo de habilidades matemáticas en un contexto inclusivo. 8.1.4 Evaluación de la efectividad de la estrategia didáctica. Proceso de evaluación:

Para evaluar la efectividad de la estrategia didáctica, se optó por un enfoque de estudio de caso, con los estudiantes de dos grupos de grado séptimo como unidades de análisis. Estos grupos incluyen estudiantes con diversidad funcional cognitiva, lo que permite valorar la aplicabilidad de la propuesta en un contexto inclusivo.

Se utilizaron las siguientes técnicas de recopilación y análisis de datos:

1) Observación participante: El investigador participó activamente en las sesiones,

registrando interacciones, comportamientos y respuestas de los estudiantes para analizar su nivel de involucramiento y progreso.

2) Entrevistas puntuales: Se realizaron entrevistas específicas cuando fue necesario,

con el objetivo de obtener retroalimentación directa sobre la percepción de los estudiantes respecto a la estrategia y las dificultades encontradas durante su implementación.

3) Análisis de la producción escrita: Se analizaron los trabajos escritos de los

estudiantes, incluidas las actividades realizadas durante las sesiones y los resultados de las evaluaciones.

4) Instrumentos cuantitativos:

 Pre-test y pos-test: Se diseñaron dos evaluaciones específicas para medir la efectividad de la estrategia:

 Pre-test: Aplicado al inicio del proceso para valorar las condiciones de partida en relación con la regla de tres simple.

 Pos-test: Realizado en la sesión 11 para evaluar la solución de problemas relacionados con la regla de tres simple y en la sesión 15 para valorar la resolución de problemas de regla de tres compuesta.

 Análisis de tablas de frecuencia: Los resultados del pre-test y pos-test fueron organizados en tablas de frecuencia para identificar patrones de mejora.  Gráficos comparativos: Se elaboraron gráficos para visualizar las diferencias entre el desempeño inicial y final de los estudiantes.

Resultados:

La evaluación se detalla en el capítulo 7, donde se presentan los hallazgos obtenidos a partir del análisis cualitativo y cuantitativo. Estos resultados permitieron determinar el impacto de la estrategia en el aprendizaje de los estudiantes, así como su aplicabilidad en contextos educativos inclusivos. Los datos recopilados no solo confirmaron el progreso en las habilidades

matemáticas, sino que también proporcionaron insumos valiosos para futuras adaptaciones y mejoras de la propuesta.

8.2 Percepción de estudiantes y familias sobre la estrategia didáctica propuesta

En el marco de la evaluación de la implementación de la estrategia didáctica inclusiva centrada en la enseñanza y aprendizaje de problemas de proporcionalidad mediante un método alternativo de regla de tres, se solicitó a través de WhatsApp a los estudiantes y sus familias compartir sus percepciones sobre las actividades realizadas en clase. Estas percepciones, fundamentales para el enfoque inclusivo, refuerzan la importancia de ajustar las estrategias pedagógicas a las necesidades y características de los estudiantes, ya que sus dificultades son factores que se deben tener en cuenta en la enseñanza y aprendizaje (Booth & Ainscow, 2015; Kim et al., 2022). Los comentarios obtenidos resaltaron el impacto positivo de las estrategias didácticas implementadas, confirmando su pertinencia en la eliminación o mitigación de barreras para el aprendizaje y la participación, tal como se planteó en los objetivos de esta investigación.

8.2.1 Utilidad de las actividades y métodos

Los estudiantes reconocieron las actividades propuestas como herramientas efectivas para mejorar su comprensión matemática. Estas percepciones reflejan el alineamiento con el objetivo de proporcionar herramientas didácticas adaptadas que faciliten el aprendizaje inclusivo. Entre las opiniones más destacadas se encuentran:

 “Me parecieron muy útiles, ya que aprendí a resolver problemas matemáticos de otra manera.”

 “Fueron muy útiles porque permiten reforzar y practicar lo enseñado.”  “los métodos que usamos para resolver los problemas fueron sencillos y entendibles.”

Estas respuestas respaldan la importancia de diseñar estrategias didácticas accesibles y prácticas, enfocadas en actividades que aborden directamente las comprensiones iniciales de los estudiantes. En este sentido, Hattie (2008) destaca que las estrategias activas y adaptadas a las necesidades específicas son mucho más efectivas que los métodos pasivos, como la simple presentación de información o tareas conceptuales, para mejorar la comprensión y fomentar un aprendizaje significativo. Además, en el contexto de una educación inclusiva, el docente debe procurar plantear los problemas teniendo presente el reto que los mismos generan para el grupo, pero, además, relacionando al proceso de planeación la gran diversidad cognitiva que puede estar inmersa en el aula, siendo lógico que entiendan y aborden los problemas de forma diferente y en tal sentido también los resuelvan con distintos niveles de dificultad (Calvo, 2008).

8.2.2 Barreras superadas gracias a las actividades

Las estrategias implementadas lograron mitigar barreras emocionales y conceptuales frente a la asignatura, un aspecto central para la eliminación de obstáculos en entornos educativos inclusivos. Algunos testimonios reflejan este impacto:  “Al principio del año me sentí perdido, ya que no comprendía los temas. Pero después del segundo periodo, con las explicaciones, los videos y la paciencia del profesor, reforcé mi entendimiento y pude finalizar con éxito la materia.”

 “Superé el miedo a las nuevas cosas. Descubrí que la matemática es mucho más que sumas y restas y que se puede aprender de manera dinámica.”

 “Me ayudó a resolver problemas solo y con confianza.”

Esto refuerza lo mencionado por CAST (2013), quienes enfatizan que las estrategias didácticas inclusivas deben estar diseñadas para abordar tanto barreras emocionales como cognitivas en los estudiantes. El principio de proporcionar múltiples formas de implicación resalta que las diferencias individuales, como las preferencias por trabajar en grupo o de forma

individual, la necesidad de novedad o rutina, y otros factores culturales y emocionales, juegan un rol crucial en el aprendizaje. Diseñar actividades que consideren esta diversidad permite motivar a los estudiantes de maneras más efectivas y promueve un entorno de aprendizaje más equitativo.

Además, es importante reconocer que las Dificultades de Aprendizaje en Matemáticas pueden generar reacciones emocionales negativas, como la ansiedad, frustración o baja autoestima. Estas emociones negativas pueden crear un círculo vicioso que afecta aún más a su desempeño y su actitud hacia las matemáticas. Es fundamental, por tanto, brindar un ambiente de apoyo y comprensión que permita al estudiantado superar estas barreras emocionales y desarrollar una actitud más positiva hacia las matemáticas.

8.2.3 Impacto del uso de representaciones gráficas

El uso de representaciones gráficas se destacó como un recurso valioso que facilitó la comprensión y el aprendizaje de los problemas matemáticos. Este recurso, alineado con los objetivos del estudio, permitió simplificar conceptos abstractos y reforzar el razonamiento lógico de los estudiantes. Algunas respuestas incluyeron:

 “Es mucho más fácil de aprender y entender.”

 “Al principio fue algo que generó un poco de susto al no conocerlo, pero después se me hizo fácil y práctico.”

 “Me ayudó a entender y comprender mejor los enunciados de los problemas, para posteriormente responder con seguridad.”

Estos hallazgos destacan que las representaciones visuales son una herramienta poderosa para abordar barreras en el aprendizaje matemático al transformar el material en representaciones mentales claras y organizadas. Según diversos enfoques pedagógicos para la educación inclusiva, como los de Mitchell (2007), el uso de organizadores gráficos como mapas

conceptuales, mapas mentales, diagramas de flujo o tableros de historias, permite a los estudiantes visualizar las relaciones entre conceptos y procesos matemáticos. Estas representaciones no solo ayudan a dirigir la atención hacia las características críticas de una tarea, reduciendo el "ruido" (eventos irrelevantes que pueden ocurrir dentro y fuera del aula), sino que también fortalecen la memoria de trabajo mediante la práctica y la repetición efectiva. Además, el principio de proporcionar múltiples formas de representación, según CAST (2013), subraya que no hay un medio único que sea adecuado para todos los estudiantes. Incorporar diversas maneras de presentar la información, ya sea visual, auditiva o mediante otros formatos, permite a los alumnos con diversidad (cultural, cognitiva, sensorial entre otras) acceder al contenido y hacer conexiones significativas entre conceptos, mejorando así su comprensión y transferencia del aprendizaje.

8.2.4 Confianza e interés en matemáticas

Las familias también notaron cambios significativos en la actitud de sus hijos hacia las matemáticas, destacando cómo las estrategias inclusivas impactaron positivamente su confianza e interés en la asignatura:

 “Sí, hasta el punto que el niño comenzó a hacer sus tareas solo y rápido, y sobre todo vi mucha confianza en sí mismo.”

 “Al principio de este año veía a mi hijo perdido y sin interés. Después del segundo periodo ya se mostró más interesado en las matemáticas, y creo que este cambio se debe a la metodología empleada, ya que había videos y otras herramientas que hicieron posible que se interesara por aprender y vi cómo se sentía en confianza al realizar actividades e incluso en los exámenes.”

 “En el caso de nombre del estudiante, resaltó más interés en la matemática, incluso realizaba todas sus actividades con más entusiasmo.”

Esto se alinea con las ideas de (Mitchell, 2007), quien argumenta que la motivación de los estudiantes se construye a partir de la combinación de metas, emociones y creencias de agencia personal. Las metas centradas en la tarea fomentan el desarrollo de competencias, el esfuerzo y la resolución de tareas desafiantes. Los estudiantes que adoptan este enfoque suelen creer que la competencia se adquiere a través del esfuerzo, lo que facilita la adopción de estrategias de aprendizaje profundo, incrementa la creatividad y fomenta una mayor persistencia frente a los obstáculos.

Por otro lado, diseñar experiencias de aprendizaje que generen emociones positivas, como la curiosidad y el entusiasmo, es fundamental para evitar respuestas negativas como la ansiedad o el desaliento. Además, es esencial fortalecer las creencias de capacidad personal de los estudiantes, asegurándoles que poseen las habilidades necesarias y que cuentan con el apoyo del docente y de sus compañeros. Este respaldo debe enfatizarse a través de la interdependencia positiva en el trabajo cooperativo, reforzando la colaboración como un elemento clave del aprendizaje.

Al abordar tareas desafiantes de resolución de problemas es importante fomentar una percepción más positiva de su habilidad y conocimiento, disminuyendo el tiempo y esfuerzo mental dedicado a pensamientos negativos y aumentando su confianza en sus capacidades matemáticas (Deshpande et al., 2021).

8.2.5 Reflexiones sobre las percepciones recogidas

Los comentarios recopilados resaltan la relevancia de las estrategias didácticas inclusivas, confirmando que:

1) El uso de representaciones gráficas y materiales contextualizados mejora la comprensión

matemática.

2) El trabajo cooperativo y la reflexión docente constante son claves para abordar las

barreras percibidas por los estudiantes y fomentar la participación activa.

3) La apertura a escuchar a los estudiantes y sus familias permite ajustar las estrategias y

valorar sus aportes, fortaleciendo un enfoque inclusivo.

Estos hallazgos demuestran que las estrategias implementadas no solo favorecen el aprendizaje matemático, sino que también impactan positivamente en la confianza y el interés de los estudiantes por la asignatura, alineándose con los objetivos de esta investigación. De esta manera, el estudio reafirma la importancia de identificar y eliminar las barreras para el aprendizaje y la participación, promoviendo una educación inclusiva dentro de contextos escolares heterogéneos. Además, subraya la necesidad de continuar perfeccionando estas estrategias para garantizar no solo el acceso al aprendizaje, sino también para construir entornos educativos en los que todos los estudiantes se sientan valorados y puedan desarrollar su máximo potencial.

8.3 Análisis entre el pre-test y pos-test

El propósito de este segmento es evaluar los avances generales de los estudiantes de los grupos 7A y 7B de la Institución Educativa Juan Manuel Gonzalez, tras la implementación de nuestra estrategia didáctica. Esta estrategia, diseñada específicamente para abordar y superar barreras en el aprendizaje de la proporcionalidad y fomentar una educación inclusiva, se enfoca en estudiantes con diversidad funcional cognitiva. Mediante las Figuras 126 y 127, se presenta un análisis comparativo de los resultados obtenidos en los pre-tests y pos-tests, los cuales fueron diseñados para evaluar específicamente las habilidades de los estudiantes en resolver problemas de magnitudes directamente e inversamente proporcionales. Este análisis busca evaluar los avances comparativos generales en la solución de problemas de proporcionalidad, teniendo en cuenta que el pos-test fue analizado en detalle en

el capítulo 7. En dicho capítulo, se identificaron áreas específicas de mejora y barreras de aprendizaje especificas observadas durante la aplicación de la estrategia didáctica. Esta sección se centra en verificar si existen avances significativos entre el pre-test y el pos-test, proporcionando así una evaluación general del impacto de la estrategia didáctica propuesta. Este enfoque nos permite entender mejor cómo las modificaciones en nuestra estrategia didáctica han influido en el progreso académico de los estudiantes, y determinar de forma general que cuánto han avanzaron, ofreciéndonos la oportunidad de cuantificar la eficacia de nuestra propuesta educativa inclusiva.

Figura 126 Comparación de Resultados: Pre-test vs. Post-test 7A Comparación de Resultados: Pre-test vs. Post-test 7A

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Pre-Test Pos -Test Pre -Test Pos-Test Correctas Incorrectas Correctas Magnitudes Directamente proporcionales Incorrectas Magnitudes Directamente proporcionales Pos-Test Magnitudes Inversamente proporcionales Comparación de Resultados: Pre-test vs. Posttest 7A

Nota: Esta figura muestra los cambios en las habilidades de los estudiantes del grupo 7A en la resolución de problemas de magnitudes directamente e inversamente proporcionales entre el pre-test y el pos-test. Aunque se observa una mejora en la capacidad de resolver problemas directamente proporcionales, es crucial seguir las recomendaciones y hallazgos del análisis de errores del pos-test para reforzar y profundizar el aprendizaje. Fuente: Elaboración propia. Figura 127 Comparación de Resultados: Pre-test vs. Post-test 7B Comparación de Resultados: Pre-test vs. Post-test 7B

Nota: Esta figura muestra la comparación de los resultados del pre-test y pos-test de los estudiantes del grupo 7B en la resolución de problemas de proporcionalidad. Se observa una mejora en la comprensión y aplicación tanto de la proporcionalidad directa como de la inversa.

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Pre-Test Pos -Test Pre -Test Pos-Test Correctas Incorrectas Correctas Magnitudes Directamente proporcionales Incorrectas Magnitudes Directamente proporcionales Pos-Test Magnitudes Inversamente proporcionales Comparación de Resultados : Pre-test vs. Posttest 7B

Sin embargo, los datos subrayan la importancia de seguir refinando nuestras estrategias didácticas para consolidar estos avances y superar las barreras restantes en el aprendizaje. Fuente: elaboración propia En el análisis de las Figura 126 y Figura 127, correspondientes a los 7A y 7B respectivamente, se observa una mejora notable en las respuestas correctas a problemas de magnitudes directamente proporcionales, con porcentajes de acierto mejorados del pre-test al post-test (de 26% a 54% en 7A y de 35% a 57% en 7B). Este análisis general resalta las diferencias en el rendimiento de los estudiantes entre los dos exámenes, totalizando tanto las respuestas correctas como las incorrectas.

Es crucial destacar que, aunque los problemas del pre-test eran generalmente de menor dificultad y estaban diseñados para abordar razones enteras sin problemas inversamente proporcionales, los problemas del post-test presentaron una mayor complejidad, incluyendo magnitudes inversamente proporcionales. Esta variación en la dificultad puede haber contribuido a la cantidad de errores aritméticos cometidos por los estudiantes, afectando su rendimiento global. A pesar de estos retos, es destacable la mejora significativa en la habilidad de los estudiantes para realizar representaciones gráficas y analizar correlaciones, lo que refleja un progreso importante en su comprensión matemática.

En cuanto a las magnitudes inversamente proporcionales, las Figura 126 y Figura 127 revelan que persisten desafíos importantes en ambos grupos. Aunque muchos estudiantes identificaron correctamente la existencia de una correlación inversa, fallaron al realizar la inversión necesaria para aplicar correctamente el "Método facilitador para problemas de regla de tres, superando barreras de aprendizaje", resultando en respuestas incorrectas. Este hallazgo sugiere una clara oportunidad para ajustar la estrategia didáctica,

reforzando la comprensión y aplicación adecuada de las magnitudes inversamente proporcionales. La implementación de estas mejoras debería incluir una mayor atención en la identificación y manejo del tipo de correlación, particularmente en la inversión para magnitudes inversamente proporcionales, asegurando que los estudiantes no solo reconozcan la relación entre las magnitudes, sino que también apliquen correctamente los procedimientos matemáticos requeridos para obtener soluciones correctas.

Este análisis subraya la necesidad de seguir ajustando la estrategia didáctica para fortalecer aún más las competencias matemáticas de los estudiantes, especialmente en la identificación y resolución de problemas con magnitudes inversamente proporcionales, donde aún se observan desafíos significativos.

8.4 Análisis cualitativo Final: evaluación de la estrategia didáctica

En este capítulo, se ha explorado detalladamente la implementación de una estrategia didáctica diseñada para enseñar y facilitar el aprendizaje en la solución de problemas de proporcionalidad aritmética.

Esta estrategia se caracteriza por una secuenciación cuidadosamente planificada y la inclusión de un método innovador que hemos denominado “Método facilitador para problemas de regla de tres, superando barreras de aprendizaje”. Este método integra un tratamiento gráfico novedoso y el uso de “verbos generadores” como “hacer”, “consumir”, “comprar” y “pagar”, para analizar y determinar el tipo de correlación entre las magnitudes. Fue concebido específicamente para mitigar las barreras de aprendizaje en estudiantes de secundaria con diversidad funcional. A través de observaciones y reflexiones sistemáticas realizadas en cada sesión, hemos acumulado una serie de perspectivas que nos permiten evaluar la efectividad de la propuesta y su impacto significativo en el aprendizaje y la participación de los estudiantes.

8.4.1 Condición de regularidad y riesgos de sobre-generalización de la linealidad:

Durante la implementación de nuestra estrategia didáctica, se observó que muchos estudiantes omitían verificar la condición de regularidad, un paso crítico para evitar la sobregeneralización de la linealidad, un fenómeno bien documentado en la literatura (Freudenthal, 1985; Dooren Van et al., 2003). La frecuencia de este error subraya la necesidad de reforzar este concepto dentro de nuestra propuesta. Para abordar esta barrera, se propone la inclusión de una sesión adicional después de la fase de conceptualización. Esta sesión adicional de trabajo cooperativo debe dedicarse a asegurar que los estudiantes interioricen la importancia de verificar la condición de regularidad mediante actividades específicas diseñadas para este fin. Se deben utilizar ejemplos prácticos y contextualizados que ilustren las consecuencias de ignorar este aspecto crucial del análisis proporcional.

Además, esta sesión debe diseñarse para exponer a los estudiantes a situaciones proporcionales, pseudoproporcionales y no proporcionales. Como referencia, se pueden consultar los problemas que propone Torres (2015, p. 70) en su tesis doctoral, adaptándolos al contexto científico y social de los estudiantes, según lo recomendado por De Bock et al. (2002). A pesar de que el diseño original y la secuenciación de la propuesta didáctica buscaban explícitamente desarrollar la capacidad de los estudiantes para discriminar entre situaciones proporcionales y no proporcionales, reconocemos la necesidad de ofrecer más actividades proactivas y contextualizadas. Estas actividades deben enfatizar la importancia de verificar la condición de regularidad para evitar la aplicación errónea del método como un algoritmo en situaciones inapropiadas.

Especialmente para estudiantes con diversidad funcional cognitiva, la repetición de experiencias enfocadas en este aspecto es crucial para consolidar la comprensión del concepto, conforme a las prácticas efectivas descritas por Mitchell (2007), Además, es esencial asegurar que haya suficiente tiempo para prácticas distribuidas en las sesiones posteriores,

complementadas con retroalimentación constante y evaluaciones periódicas del progreso. Durante la sesión donde se introdujo el concepto de condición de regularidad, se notó un desequilibrio entre el tiempo de instrucción y el de práctica, lo cual indica la necesidad de ajustes para facilitar una mejor asimilación de este concepto nuevo y complejo por parte de los estudiantes.

8.4.2 Compromiso y participación de los estudiantes:

Durante las sesiones, se notó un aumento constante en el compromiso y concentración de los estudiantes, indicando una respuesta positiva hacia la estrategia didáctica empleada. Sin embargo, también se observó una tendencia a buscar apoyo durante las evaluaciones, lo que sugiere la necesidad de estrategias adicionales que fomenten la autonomía y la independencia en el aprendizaje. Por ello es crucial ayudar a los estudiantes a aprender a evaluar su proceso de aprendizaje y a tomar decisiones para mejorarlo, como parte esencial del aprender a aprender. Además, es necesario hacer consiente al estudiantado de que el objetivo de la evaluación es observar el avance y valorar el proceso de aprendizaje, como afirman Giné y Piqué (2007). Las evaluaciones deben informar sobre las competencias adquiridas y las que quedan por aprender, pero, sobre todo, permite realizar un seguimiento personalizado para adaptar las competencias y las estrategias a necesidades particulares. Desde esta perspectiva, la evaluación nos permite determinar la necesidad implementar sesiones de práctica adicionales y proporcionar retroalimentación formativa regular, lo que podría ayudar a los estudiantes a sentirse más seguros y autónomos.

8.4.3 Desempeño en problemas de mayor complejidad:

El desempeño variado en problemas de proporcionalidad compuesta, que involucraban múltiples magnitudes, subraya un área de mejora en la enseñanza de conceptos más complejos. Aunque los estudiantes mostraron progreso al pasar de tener dificultades con problemas de

proporcionalidad simple, como se evidenció en el pre-test, a resolver problemas de proporcionalidad compuesta con magnitudes directa e inversamente proporcionales, aún existen áreas que requieren atención.

La mayoría de las dificultades observadas están relacionadas con la regla de tres simple, indicando que una falta de apropiación de estos conceptos básicos puede obstaculizar el entendimiento de problemas más avanzados. Sin embargo, no necesariamente significa que los estudiantes que no dominan la regla de tres simple no puedan progresar; como se observó en la prueba piloto, incluso aquellos estudiantes con dificultades personales y apatía, con el apoyo adecuado y a través del trabajo cooperativo, lograron comprender tanto la regla de tres simple como la compuesta.

Además, los resultados en la regla de tres compuesta podrían mejorar con la inclusión de más sesiones dedicadas específicamente a esta área. Se recomienda diseñar módulos de aprendizaje que escalen gradualmente en dificultad y que incluyan una variedad de ejemplos y ejercicios prácticos que abarquen situaciones complejas y realistas.

8.4.4 Apoyo y motivación del docente:

Durante el desarrollo de la investigación, mantuvimos la firme convicción de que el docente es esencial para dar vida en el aula a una educación inclusiva. Por lo tanto, se debe procurar no solo transmitir conocimiento, sino también sembrar la semilla para la construcción de sociedades más democráticas, equitativas e inclusivas. Las observaciones y comentarios de los estudiantes demostraron que un papel activo y motivador del docente, así como la apertura a escuchar sus observaciones y recomendaciones, son cruciales para superar las barreras de aprendizaje, especialmente en un contexto inclusivo. Estos hallazgos reafirman la importancia del apoyo emocional y académico del educador en el proceso de aprendizaje. Como reflexiona la docente Fátima Álvarez, el aula debe ser una escuela para la vida, un lugar para ensayar un

mundo deseable, extendiéndose más allá del deber legal a un deber moral en nuestras sociedades inclusivas (Álvarez, 2022, p.114). En el ámbito de una educación matemática inclusiva, es fundamental fomentar la sensibilidad y el compromiso de los docentes hacia la creación de entornos de aprendizaje inclusivos. Por ello, se recomienda fortalecer los programas de desarrollo profesional continuo que equipen a los docentes con estrategias efectivas para apoyar y motivar a estudiantes con diversas necesidades educativas, tal como se ha detallado en secciones anteriores del documento y como se reporta en diferentes textos académicos (González Gil et al 2019, Ruiz Botero, 2022).

Dicho esto se sugiere continuar y expandir las iniciativas que incluyen observación y retroalimentación, acceso a materiales y recursos inclusivos, formación continua, seguimiento y evaluación, así como la promoción y difusión de buenas prácticas (Ainscow, 2005; Barton, 2003; González, 2011). Estas iniciativas son vitales no solo para mejorar la enseñanza de las matemáticas, sino también para garantizar un ambiente educativo donde todos los estudiantes, independientemente de sus capacidades, puedan prosperar. La implementación efectiva de estas estrategias permite a los docentes realizar ajustes personalizados y oportunamente, lo que es esencial para adaptar las competencias y estrategias a las necesidades particulares de cada estudiante.

8.4.5 Reflexiones sobre la diversidad y la inclusión

La capacidad de adaptar la evaluación y la instrucción para atender a estudiantes con Asperger, autismo y dificultades de aprendizaje resalta el valor de la estrategia didáctica inclusiva. Este enfoque no solo respeta los ritmos individuales de aprendizaje, sino que también promueve el aprendizaje con y desde la diversidad, alineado con el “principio 1: ética del cuidado y la diversidad” para una enseñanza efectiva en matemáticas. Durante todas las fases de la investigación siempre existió un esfuerzo continuo por cultivar un entorno de aula inclusivo, donde los estudiantes se sintieran seguros para participar. Esto se reflejó en el cambio de actitud

de los estudiantes con diversidad funcional cognitiva hacia sus compañeros y viceversa, observando una mayor inclusión y participación en los grupos de trabajo cooperativo y en el aula en general.

En los diferentes grupos, se observó un mayor respeto y valoración de la diversidad, lo que fomentó la participación equitativa de todos los compañeros. Además, se alentó a pensar de forma independiente, formular preguntas y asumir riesgos intelectuales, en línea con las ideas propuesto por Watson (2001). De cara al futuro, es esencial continuar desarrollando y refinando estas estrategias para asegurar que todos los estudiantes puedan acceder y participar de una educación inclusiva y de calidad, donde se procure eliminar las barreras para el aprendizaje y la participación.

8.4.6 Evaluación de la estrategia didáctica basada en la evaluación formativa

La evaluación formativa ha permitido identificar errores críticos, como la falta de apropiación del concepto de condición de regularidad, y barreras de aprendizaje. A partir de estos hallazgos, se han realizado ajustes en la estrategia didáctica implementada y se han propuesto mejoras para futuras intervenciones. La observación, análisis exhaustivo, junto con aportes de los estudiantes y un proceso auto reflexivo, han proporcionaron una base sólida para realizar ajustes en la estrategia didáctica. Los patrones de error revelados por esta evaluación indican que, aunque la estrategia ha sido en gran parte efectiva, aún requiere algunos ajustes específicos para mejorar la comprensión y aplicación de los conceptos de proporcionalidad por todos los estudiantes. Estos ajustes son esenciales para evitar la sobre-generalización de la linealidad, asegurando de esta forma una comprensión más precisa de los conceptos matemáticos.

8.5 Conclusiones y recomendaciones para mejoras futuras

Conclusiones:

Este capítulo consolidó los hallazgos sobre la efectividad de la estrategia didáctica propuesta, destacando cómo su aplicación ha mejorado significativamente la comprensión y solución de problemas de proporcionalidad. El uso de representaciones gráficas y verbos generadores como “hacer”, “consumir”, “comprar” y “pagar” ha permitido a los estudiantes analizar el tipo de correlación entre las magnitudes. Estos elementos son fundamentales para la aplicación efectiva del “Método facilitador para problemas de regla de tres, superando barreras de aprendizaje”, diseñado para resolver problemas de proporcionalidad simple y compuesta. Durante la implementación, se identificaron dificultades relacionadas con la omisión de la condición de regularidad por parte de los estudiantes, lo que subraya la necesidad de intensificar la enseñanza de este concepto crítico para prevenir la sobre-generalización de la linealidad. A través de evaluaciones y la retroalimentación directa, se validó la relevancia de nuestra propuesta pedagógica. Se destacó como los estudiantes valoraban y respetaban la diversidad presente en el aula, viéndola como una oportunidad para el aprendizaje, asimismo, se reiteró la importancia del apoyo docente en este contexto.

Recomendaciones:

Proceso continuo de identificación y eliminación de barreras de aprendizaje: El proceso continuo de identificación y eliminación de barreras para el aprendizaje es un componente esencial de nuestra estrategia educativa. Aunque se identificaron barreras significativas durante la implementación de nuestra propuesta didáctica y se formularon recomendaciones para mitigar su impacto, es crucial reconocer que los cambios en el entorno educativo pueden revelar nuevos

desafíos. De ahí que, debe ser un compromiso constante del docente encaminar un proceso continuo de identificación y eliminación de las barreras para el aprendizaje, en concordancia con los planteamiento de Booth & Ainscow (2015), para fomentar una verdadera educación inclusiva. Esto implica que nuestra estrategia debe seguir siendo evaluada y ajustada de forma sistemática, con el fin de responder de manera precisa y oportuna a las necesidades educativas emergentes y asegurar que todos los estudiantes tengan la oportunidad de alcanzar su máximo potencial. Capacitación Docente: En nuestro estudio, hemos destacado repetidamente el papel esencial del docente en dar vida a la educación inclusiva dentro del aula. Sin embargo, se ha identificado que una barrera significativa para el aprendizaje y la participación efectiva de los estudiantes es la falta de formación adecuada de los docentes en educación inclusiva. Para abordar esta situación, se hace necesario ampliar y enriquecer los programas de formación docente y organizar seminarios actualización continuos para los docentes en servicio. Es crucial que estos programas incluyan formación avanzada en educación inclusiva y en el manejo eficaz de tecnologías adaptativas. Este enfoque no solo equipará a los docentes con las herramientas necesarias para atender una diversidad de necesidades educativas, sino que también fortalecerá su capacidad para crear un entorno de aprendizaje más inclusivo y participativo. Fomento de la Colaboración Educativa: La cooperación entre docentes y el intercambio de experiencias y mejores prácticas son fundamentales para enriquecer la enseñanza matemática inclusiva. Esta colaboración es crucial para superar el aislamiento que frecuentemente experimentan los docentes en sus prácticas diarias. Además, se recomienda e invita a los docentes a documentar y compartir sus experiencias y estrategias en el aula a través de publicaciones. Hacer esto no solo enriquecerá su desarrollo profesional, sino que también contribuirá significativamente al avance hacia una enseñanza matemática más inclusiva, promoviendo el intercambio de conocimientos y fomentar la innovación colaborativa en el campo educativo.

9. Conclusiones generales

La educación constituye un pilar fundamental en la formación de cada individuo. Como lo señala el Comité de Derechos Económicos, Sociales y Culturales (1999a) “El derecho a la educación es el epítome de la indivisibilidad y la interdependencia de todos los derechos humanos” (párr. 2). Por lo tanto, asegurar un sistema educativo de calidad y en igualdad de oportunidades debe ser un compromiso compartido entre el Estado, las familias, las escuelas y los estudiantes.

No obstante, asumir esta responsabilidad implica garantizar una educación inclusiva que promueva la participación activa y escuche a todos los actores involucrados. Este enfoque busca asegurar que cada estudiante pueda desarrollar al máximo su potencial en un entorno donde se sienta aceptado, valorado y seguro.

Para avanzar hacia este objetivo, es fundamental que el sistema educativo sea flexible y se adapte a la diversidad de necesidades presentes en el estudiantado. Esto exige un proceso continuo de identificación y eliminación de las barreras existentes que dificultan el aprendizaje y la participación, tanto en el entorno escolar como en el extraescolar. En este proceso, el docente desempeña un papel clave, actuando como mediador y facilitador de estas adaptaciones, dando vida al enfoque inclusivo dentro del aula.

A partir de este análisis, la investigación ha permitido identificar la importancia de diferenciar entre un modelo integrador y uno verdaderamente inclusivo. Mientras que el primero busca simplemente incorporar a los estudiantes con diversidad al entorno escolar, el segundo promueve una transformación social más amplia, donde todos los individuos puedan ejercer plenamente sus derechos, participar activamente en la sociedad y alcanzar su desarrollo personal.

Principios fundamentales para la educación inclusiva. Del análisis desarrollado en esta investigación, se destacan tres principios esenciales que guían el tránsito hacia una educación inclusiva:

1.

Erradicación de la segregación escolar: Es necesario luchar activamente contra la segregación escolar, ya que desde esta se perpetúa las desigualdades sociales y se fomenta la marginación en la vida adulta. Esto implica fomentar la convivencia con la diversidad, promoviendo el respeto por las diferencias y reconociendo “que todos somos igualmente dignos” (Gracia, 2022, p. 39).

2.

El aula como laboratorio para un mundo inclusivo: Más allá de un espacio para la transmisión de conocimiento, el aula debe ser concebida como un espacio donde se cultive una educación para la vida, un lugar donde se dé una preparación para un mundo inclusivo y deseable. Esta visión no solo responde a una obligación legal, sino que también representa un deber moral, esencial para garantizar la inclusión y construir una sociedad más equitativa y respetuosa de la diversidad (Álvarez et al., 2022).

3.

Identificación y eliminación de barreras para el aprendizaje: Es necesario instaurar un proceso continuo de identificación y eliminación de las barreras que dificultan aprendizaje y la participación del estudiantado. Esto requiere una observación cuidadosa no solo del estudiantado, sino también de la propia práctica docente, mediante la reflexión constante y la búsqueda de la mejora continua. Solo así se puede avanzar hacia un modelo de mejora continua que garantice la participación plena de todo el estudiantado. Además, es fundamental reconocer que la responsabilidad de lograr una educación inclusiva y de calidad no recae únicamente en el docente. Este compromiso involucra también al estado, la familia, la escuela e, incluso, al propio estudiantado, quien debe reconocer su papel y corresponsabilidad en la creación y consolidación de un entorno educativo verdaderamente

inclusivo. Este esfuerzo colectivo es vital para el desarrollo de un modelo educativo inclusivo sostenible y transformador.

El aprendizaje cooperativo surgió como una estrategia clave durante esta investigación. Esta metodología no solo fomentó la transición hacia una educación inclusiva, sino que también ayudó a mitigar y, en algunos casos, eliminar barreras para el aprendizaje. Al fortalecer la participación activa de todos los estudiantes, el aprendizaje cooperativo consolidó un ambiente en el que la diversidad es valorada y respetada.

Desde este contexto, se implementó una estrategia didáctica centrada en la enseñanza de la proporcionalidad, Este enfoque no solo buscó fortalecer el dominio de esta competencia matemática esencial, sino también fomentar el entendimiento y la valoración de la diversidad, promoviendo un entorno donde cada estudiante se sintiera valorado. Sin embargo, los aprendizajes obtenidos durante el desarrollo de esta estrategia han evidenciado la necesidad de realizar ajustes en su secuenciación para abordar de manera más efectiva conceptos clave que generaron barreras para el aprendizaje y la participación. Estas revisiones se fundamentan en la experiencia práctica y en el análisis de las dificultades encontradas, lo que permitió identificar áreas de mejora específicas, como las siguientes: Condición de regularidad: Este concepto evidenció ser una barrera significativa para el aprendizaje y la participación de los estudiantes, destacándose como un aspecto clave que requiere mayor atención en el diseño de la estrategia didáctica. Se recomienda dividir la sesión 8 en dos sesiones específicas para abordar este tema de manera más efectiva.  La primera sesión debe centrarse en explicar y ejemplificar la condición de regularidad, asegurando que los estudiantes comprendan su importancia y cómo identificarla.

 La segunda sesión debe enfocarse en reforzar este aprendizaje mediante el análisis de problemas de proporcionalidad en contraste con problemas de pseudoproporcionalidad. Este enfoque permitirá a los estudiantes diferenciar situaciones donde la condición de regularidad está presente y aplicarla correctamente, fortaleciendo su comprensión y habilidades en contextos variados. Regla de tres simple directa e inversa: Se identificó que los estudiantes enfrentaron desafíos al abordar ambos tipos de proporcionalidad en una sola sesión. Por ello, se sugiere dividir la sesión 9 en dos: una para trabajar exclusivamente con la proporcionalidad directa y otra con la inversa, asegurando que cada tema se aborde con suficiente profundidad. Es a partir de lo anterior que se establecen las siguientes conclusiones específicas, derivadas de los objetivos planteados. Estas reflexiones buscan aportar a una comprensión integral del tránsito hacia una educación inclusiva y destacar el papel de la proporcionalidad como un agente transformador dentro de este proceso.

9.1 Identificación de barreras para la educación inclusiva

A través del análisis desarrollado en esta investigación, se identificaron barreras para el aprendizaje de distinta naturaleza: físicas, cognitivas, emocionales, culturales, entre otras. Frente a estas barreras, la propuesta desarrollada busca brindar herramientas al estudiantado y al cuerpo docente que permitan mitigar sus efectos. Estas herramientas y estrategias didácticas están diseñadas para promover la participación plena de todos los estudiantes en el proceso de enseñanza y aprendizaje, con un enfoque particular en el área de matemáticas.

9.2 Estrategia didáctica para la educación inclusiva

Una vez identificadas estas barreras para el aprendizaje y la participación, el siguiente propósito fue diseñar una estrategia didáctica que promueva la transición de un modelo educativo integrador a uno inclusivo. Esta estrategia tiene como eje central la participación y aprendizaje

en igualdad de oportunidades para todo el estudiantado. Al reconocer la diversidad como un valor, se adapta a las prácticas pedagógicas con el objetivo de garantizar que ningún estudiante quede excluido del aprendizaje, respondiendo de manera efectiva a las necesidades individuales y colectivas.

9.3 Enseñanza y aprendizaje de la proporcionalidad

En este estudio se exploró cómo enseñar y aprender el concepto de proporcionalidad de manera inclusiva. Este proceso requirió la consideración de diversos enfoques, atendiendo a la diversidad de estilos de aprendizaje, ritmos y necesidades del estudiantado. La adaptación curricular y metodológica demostró ser una clave esencial para asegurar que todos los estudiantes comprendieran este concepto fundamental y a la vez pudieran aplicarlo en contextos académicos y cotidianos.

9.4 Propuesta didáctica para la inclusión

Como resultado de este trabajo, se diseñó una propuesta didáctica que integra la enseñanza de la proporcionalidad con los principios de educación inclusiva. Esta propuesta representa un paso significativo hacia la construcción de entornos de aprendizaje donde cada estudiante se sienta valorado, apoyado y motivado para alcanzar todo su potencial Su enfoque no solo se centra en la transmisión de conceptos matemáticos, sino también en fomentar la participación activa y el compromiso de todo el estudiantado, respetando y respondiendo a su diversidad.

De manera concreta, esta propuesta contribuye al objetivo de transitar de un modelo educativo integrador a uno plenamente inclusivo, con un énfasis particular en la regla de tres. Esto se logra mediante la inclusión de herramientas didácticas clave, como los verbos generadores y el método facilitador, que han demostrado ser eficaces para promover la

participación y el aprendizaje significativo de todos los estudiantes, incluyendo aquellos con diversidad funcional cognitiva.

9.5 Reflexión final

En síntesis, esta investigación demuestra que la educación inclusiva es un proceso continuo que demanda compromiso, flexibilidad y creatividad por parte de todos los actores involucrados. Al implementar una estrategia didáctica centrada en la proporcionalidad y fundamentada en los principios de inclusión, se han establecidos bases sólidas para promover una educación que no solo sea más equitativa, sino también transformadora. Esta propuesta no solo apunta a eliminar barreras y promover la participación de todos los estudiantes, sino también a generar un impacto significativo en su rendimiento académico y habilidades para la vida. Además, permite visualizar cómo las herramientas didácticas adecuadamente adaptadas, como los verbos generadores y el método facilitador, logran consolidar aprendizajes significativos y fomentar la colaboración, el respeto mutuo y el reconocimiento de la diversidad.

De este modo, los hallazgos de este estudio contribuyen a una visión integral del tránsito hacia una educación inclusiva, donde cada estudiante pueda acceder a las mismas oportunidades de desarrollo, independientemente de sus características individuales. Más allá de los logros académicos, esta propuesta busca sentar las bases de una ciudadanía inclusiva y reflexiva, capaz de contribuir activamente a una sociedad plural y equitativa.

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11. ANEXOS

Anexo A. Guía de trabajo para clase de matemáticas: recogiendo la voz del estudiantado a través de notas post-it Objetivo:

El objetivo de esta actividad es recopilar las opiniones, experiencias y perspectivas de los estudiantes sobre las clases de matemáticas para identificar las barreras para el aprendizaje y la participación que hayan experimentado. Esto nos permitirá abordar la pregunta: “¿Cómo podemos mejorar la efectividad de la enseñanza para que todo el estudiantado pueda participar y aprender de manera significativa en nuestra aula de clase?”. Este ejercicio busca reflexionar sobre la práctica docente y mejorar las estrategias de enseñanza, fomentando una educación más inclusiva y adaptada a las necesidades del estudiantado.

Pasos:

1. Introducción:

 Explica a los estudiantes el propósito de la actividad: recoger sus opiniones y experiencias para mejorar las clases de matemáticas y hacerlas más inclusivas.  Presenta las preguntas sugeridas en la actividad de "Notas post-it" y ejemplos de posibles respuestas.

a. ¿Qué cosas hacemos en la clase de matemáticas que te ayudan a aprender

mejor?

b. ¿Hay actividades en las que no puedes participar o que te hacen sentir que no

eres parte del grupo? ¿Cuáles son?

c. ¿Qué temas de matemáticas encuentras más difíciles de entender?

d. Si tú fueras el profesor, ¿qué cosas harías de manera diferente en la clase de

matemáticas?

e. ¿Qué te gustaría que fuera diferente en nuestras clases de matemáticas?

f. ¿Cuál es el mejor recuerdo que tienes de una clase de matemáticas desde que

empezaste la escuela?

g. Cuando tienes dificultades con un problema de matemáticas, ¿cómo te ayuda el

profesor a resolverlo?

h. ¿Alguna vez te han hecho sentir mal en una clase de matemáticas? ¿Qué pasó?

i.

¿Hay momentos en clase de matemáticas en los que te sientes dejado de lado o que no eres parte de lo que estamos haciendo? ¿Cuándo pasa eso? j.

¿Qué cosas hacen los profesores que te hacen sentir que no eres parte de la clase?

k. ¿Alguna vez has sentido que te acosaban en clase de matemáticas? ¿Cuándo

pasó eso?

l.

¿Hay momentos en los que te sientes intimidado en clase? ¿Cuándo sucede eso?

2. Distribución de materiales:

Entrega a cada estudiante notas post-it o papel adhesivo y pídeles que tengan un bolígrafo.

3. Instrucciones:

Explica a los estudiantes que deberán responder a las preguntas planteadas en las notas post-it, siendo específicos y concretos en sus respuestas.

Asegúrate de que comprendan que sus respuestas son confidenciales y que no se juzgarán.

4. Tiempo para escribir:

Da a los estudiantes un tiempo suficiente para que escriban sus respuestas en las notas post-it, alentándolos a reflexionar y expresar sus opiniones libremente.

5. Colocación de notas:

Una vez que los estudiantes hayan completado sus notas, pídeles que las coloquen en una cartelera previamente ubicada en un área estratégica, garantizando la confidencialidad de las respuestas.

6. Diálogo y discusión:

Abre un espacio para que los estudiantes compartan y discutan sus respuestas. Fomenta la comparación de respuestas entre compañeros y busca patrones o temas comunes.

Incentiva una conversación abierta sobre lo que les gustaría aprender en matemáticas, las actividades que les ayudan y las que les dificultan.

7. Reflexión final:

Cierra la actividad con una reflexión sobre las opiniones y experiencias compartidas por los estudiantes.

Anima a los estudiantes a pensar en cómo pueden utilizar esta retroalimentación para mejorar las clases de matemáticas y promover un ambiente de aprendizaje más inclusivo.

Observaciones:

 Cree un ambiente de confianza para que los estudiantes se sientan cómodos al expresar sus opiniones.

 Sé sensible a las respuestas de los estudiantes y fomenta un ambiente de respeto y confianza durante toda la actividad.

 Utilice la información recopilada para reflexionar sobre las dinámicas de la clase y proponer cambios que promuevan una mayor inclusión y participación.

Anexo B. Guía de trabajo para clase de artes: recogiendo la voz del estudiantado a través de notas post-it Objetivo:

El objetivo de esta actividad es recopilar las opiniones, experiencias y perspectivas de los estudiantes sobre las clases de artes para identificar las barreras para el aprendizaje y la participación que hayan experimentado. Esto nos permitirá abordar la pregunta: “¿Cómo podemos mejorar la efectividad de la enseñanza para que todo el estudiantado pueda participar y aprender de manera significativa en nuestra aula de clase?”. Este ejercicio busca reflexionar sobre la práctica docente y mejorar las estrategias de enseñanza, fomentando una educación más inclusiva y adaptada a las necesidades del estudiantado.

Pasos:

1. Introducción:

 Explica a los estudiantes el propósito de la actividad: recoger sus opiniones y experiencias para mejorar las clases de artes y hacerlas más inclusivas.

 Presenta las preguntas sugeridas en la actividad de "Notas post-it" y ejemplos de posibles respuestas.

a. ¿Qué actividades en la clase de artes disfrutas más y por qué?

b. ¿Hay actividades o momentos en los que no te sientes incluido/a? ¿Cuáles son?

c. ¿Qué aspectos de la clase de artes encuentras más difíciles o desafiantes?

d. Si tú fueras el profesor/a de artes, ¿qué harías de manera diferente?

e. ¿Qué sugerencias tienes para hacer la clase de artes más interesante y útil?

f. ¿Cuál es tu mejor recuerdo en una clase de artes?

g. ¿Qué haces cuando sientes que algo en la clase de artes es muy complicado o

no sabes cómo avanzar?

h. ¿Alguna vez has sentido que las actividades de artes no están adaptadas a tus

intereses o habilidades? ¿Cómo podría mejorarse eso?

i.

¿Has experimentado situaciones en la clase de artes que te hagan sentir incómodo/a o excluido/a? ¿Cuáles han sido j.

¿Qué podría hacer el/la docente para que todos se sientan parte del grupo?

2. Distribución de materiales:

Entrega a cada estudiante notas post-it o papel adhesivo y pídeles que tengan un bolígrafo.

3. Instrucciones:

Explica a los estudiantes que deberán responder a las preguntas planteadas en las notas post-it, siendo específicos y concretos en sus respuestas. Asegúrate de que comprendan que sus respuestas son confidenciales y que no se juzgarán.

4. Tiempo para escribir:

Da a los estudiantes un tiempo suficiente para que escriban sus respuestas en las notas post-it, alentándolos a reflexionar y expresar sus opiniones libremente.

5. Colocación de notas:

Una vez que los estudiantes hayan completado sus notas, pídeles que las coloquen en una cartelera previamente ubicada en un área estratégica, garantizando la confidencialidad de las respuestas.

6. Diálogo y discusión:

Abre un espacio para que los estudiantes compartan y discutan sus respuestas.

Fomenta la comparación de respuestas entre compañeros y busca patrones o temas comunes.

Incentiva una conversación abierta sobre lo que les gustaría aprender en artes, las actividades que les ayudan y las que les dificultan.

7. Reflexión final:

Cierra la actividad con una reflexión sobre las opiniones y experiencias compartidas por los estudiantes.

Anima a los estudiantes a pensar en cómo pueden utilizar esta retroalimentación para mejorar las clases de artes y promover un ambiente de aprendizaje más inclusivo. Observaciones:

 Cree un ambiente de confianza para que los estudiantes se sientan cómodos al expresar sus opiniones.

 Sé sensible a las respuestas de los estudiantes y fomenta un ambiente de respeto y confianza durante toda la actividad.

 Utilice la información recopilada para reflexionar sobre las dinámicas de la clase y proponer cambios que promuevan una mayor inclusión y participación.

Anexo C. Pre-test con apoyos visuales para evaluar razonamiento proporcional y dificultades matemáticas Nombre: ____________________________ _________________ Pre-test de Razonamiento Proporcional y Dificultades en Matemáticas Instrucciones:

Este pre-test tiene como objetivo evaluar tu comprensión y habilidades en el razonamiento proporcional y otras áreas de matemáticas. Lee cada pregunta cuidadosamente y muestra todos los pasos que realizas para llegar a la respuesta.

Preguntas

1. Si un coche viaja 150 km en 3 horas, ¿cuántos kilómetros viajará en

10 horas a la misma velocidad? Dibuja y calcula tu respuesta

2. El coche A viaja 120 km en 2 horas, y el coche B viaja 300 km en 5

horas. ¿Cuál de los dos es más rápido o ambos van a la misma velocidad? Usa un dibujo para ayudarte

3. María compra 4 manzanas por 8 pesos. Si quiere comprar 10

manzanas al mismo precio por cada una, ¿cuánto costará? Dibuja las manzanas y escribe el precio."

Ayuda Calcula el precio de una manzana: Divide el costo total de 4 manzanas entre 4 para encontrar el precio de una manzana. Calcula el precio de 10 manzanas: Multiplica el precio de una manzana por 10 para encontrar el costo total de 10 manzanas.

|

4. Una receta usa 2 tazas de azúcar por cada 3 tazas de harina. Si

usas 9 tazas de harina, ¿cuántas tazas de azúcar necesitas? Dibuja las tazas para ayudarte

5. El Señor Alto mide 18 clips y el Señor Bajo mide 12 clips. Si cada clip

mide 2 cm, ¿cuánto mide cada uno? Dibuja los clips y escribe la respuesta.

6. Si 3 camisas se secan en 1 hora, ¿cuántas horas se necesitan para

secar 6 camisas? Dibuja las camisas y responde.

7. Juan corre 100 metros en 20 segundos. ¿Cuánto tiempo tomará

correr 200 metros al mismo ritmo? Dibuja y calcula tu respuesta.