PROCESOS DE OBJETIVACIÓN

EMERGENTES EN EL

ENCUENTRO DE LOS

ESTUDIANTES CON EL SABER DE

FUNCIÓN TRIGONOMÉTRICA

Mauricio Arango González

Universidad Tecnológica de Pereira Facultad de Ciencias de la Educación Pereira, Colombia

2025

Objetivación del Saber de Función Trigonométrica 2

Procesos de objetivación emergentes en el encuentro de los estudiantes con el saber de función trigonométrica

Mauricio Arango González

Tesis presentada como requisito para optar por el título de Doctor en Didáctica

Director Dr. Diego Alejandro Pérez Galeano

Universidad Tecnológica de Pereira Facultad de Ciencias de la Educación Pereira, Colombia

2025

Objetivación del Saber de Función Trigonométrica 3

Dedicatoria

A mi pequeño Thomás, a través de su andamiaje académico, a través de su transformación objetiva y subjetiva me permitió no solo teorizar la TO, sino vivirla y ser testigo de ella … A mis padres. Su apoyo incondicional en todos los aspectos fue, es y será mi gran baluarte.

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Agradecimientos Una tesis doctoral no es solo una investigación académica rigurosa y más aún con el telón de fondo del materialismo dialéctico de la TO. Tras la culminación de esta investigación se realizó una ardua labor en muchas de las dimensiones ontológicas, así como en la de terceros que tuvieron que soportar paciente y prudentemente este esfuerzo.

Mi pequeño Thomás: ya acabé de escribir “el libro” ya podemos salir a jugar con mayor frecuencia. De nuevo, a mis padres que tuvieron que soportar años de ver un sujeto sentado horas en un computador.

Agradezco la confianza del Dr. Diego, quien siempre con su actitud positiva, con su sonrisa y sabios consejos me permitieron empoderarme y confiar en la evolución de mi proceso. En la pasantía, la guía y precisos enunciados del Dr. Radford posibilitaron escudriñar profundamente sobre la TO. Al Dr. Vergel y al Dr. Miranda, quienes desinteresadamente abrieron sus agendas para atender cuestiones específicas de mi investigación, asesorando y encaminando a un buen término. Al doctorado en didáctica de la UTP, especialmente al Dr. Oscar y al Dr. Francisco, quienes siempre estuvieron prestos en los encuentros de línea para dar apreciaciones pertinentes y efectivas.

Y obviamente, a mis estudiantes, a Danna, Carol, Samuel y Michell, gracias infinitas por su compromiso y dedicación innata, esos momentos de frustración, de risas y de aprendizaje siempre estarán en nuestra construcción común.

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Resumen Los obstáculos epistemológicos inherentes al aprendizaje del saber matemático de las funciones trigonométricas, debido a su carga histórico-cultural, son evidentes; unidos a una dinámica de clase alienante en la que el estudiante no se reconoce (individual y socialmente), constituyen el complejo conglomerado en el que radica el problema de esta investigación. La revisión de la literatura evidenció que el proceso de enseñanza-aprendizaje de las funciones trigonométricas en la educación secundaria, desde un enfoque histórico-cultural, es limitado. El objetivo fue analizar los procesos de objetivación que desarrollan los estudiantes al enfrentarse a tareas relacionadas con el saber de la función trigonométrica. El diseño metodológico siguió una práctica filosófica inquisitiva y reflexiva, a la luz del paradigma cualitativo y bajo un enfoque crítico-dialéctico que incorpora la perspectiva semiótica vygotskiana, a partir del cual se realizó un análisis multimodal y multisemiótico de cuatro estudiantes de una institución educativa oficial del municipio de Dosquebradas (Risaralda/Colombia). Se realizó una unidad didáctica compuesta por 5 problemas de unidad conceptual ascendente enmarcada en las directrices de la TO. Los resultados permitieron comprender que bajo los presupuestos ontológicos, gnoseológicos y epistemológicos asumidos en el marco teórico y a través de la actividad de aula enmarcada en una unidad contextual, conceptual y problematizadora, donde se comprendió la naturaleza y evolución de los procesos de objetivación emergentes en el encuentro de las formas histórico-culturales de pensar matemáticamente sobre fenómenos periódicos a través de las funciones trigonométricas, es decir, se comprendió el encuentro gradual y complejo de los estudiantes con el saber histórico-cultural mencionado. Se concluyó que la articulación de procesos educativos concebidos desde el TO permite a los estudiantes comprender la realidad y aprender a partir del contexto. Palabras clave: Actividad, función trigonométrica, objetivación, toma de conciencia.

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Abstract The epistemological obstacles inherent in learning the mathematical knowledge of trigonometric functions, due to its historical-cultural burden, are evident; linked to an alienating class dynamic in which the student does not recognize himself (individually and socially), constitute the complex conglomerate in which the problem of this research lies. The literature review showed that the teaching-learning process of trigonometric functions in secondary education, from a historicalcultural approach, is limited. The objective was to analyze the processes of objectification that students develop when facing tasks related to knowledge of trigonometric function. The methodological design followed an enquiring and reflective philosophical practice, in light of the qualitative paradigm and under a critical-dialectical approach that incorporates the Vygotskian semiotic perspective, from which a multimodal and multisemiotic analysis of four students of an official educational institution of the municipality of Dosquebradas (Risaralda/Colombia) was carried out. A didactic unit was made composed of 5 problems of ascending conceptual unity framed in the guidelines of the TO. The results allowed us to understand that under the ontological, gnoseological and epistemological assumptions assumed in the theoretical framework and through classroom activity framed in a contextual, conceptual and problematizing unit, where the nature and evolution of the processes of objectification emerging in the encounter of historical-cultural ways of thinking mathematically about periodic phenomena through trigonometric functions were understood, that is, the gradual and complex encounter of the students with the mentioned historical-cultural knowledge was understood. It was concluded that the articulation of educational processes conceived from the TO allows students to understand reality and learn from context. Keywords: Activity, trigonometric function, objectification, awareness.

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Contenido Pág.

Introducción .................................................................................................................................. 17 Estado Del Arte ............................................................................................................................. 19 Teoría De La Objetivación ................................................................................................ 19 Función Trigonométrica .................................................................................................... 22 Planteamiento Del Problema ......................................................................................................... 28 Dificultades Para El Aprendizaje De Las Funciones Trigonométricas ............................ 28 Alienación En El Aula De Matemáticas ........................................................................... 34 Individualismo ...................................................................................................... 35 Alienación ............................................................................................................. 41 Una posibilidad: La Teoría De La Objetivación ............................................................... 42 Pregunta De Investigación ................................................................................................ 44 Objetivos ........................................................................................................................... 45 Marco Teórico ............................................................................................................................... 49 Teoría De La Objetivación (TO): Una Propuesta Histórico-Cultural En Investigación Matemática ........................................................................................................................ 50 Saber y Conocimiento ........................................................................................... 51 Actividad En La TO .............................................................................................. 57 Objetivación .......................................................................................................... 68 Subjetivación ......................................................................................................... 83 Corporalidad ......................................................................................................... 96 Ética ...................................................................................................................... 99

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Función Trigonométrica .................................................................................................. 102 Enfoque Histórico-Cultural y Epistemológico Del Saber De Función Trigonométrica .................................................................................................... 103 Objetivación Del Saber De Función Trigonométrica ......................................... 114 Cuestiones Didácticas ......................................................................................... 122 Marco Metodológico ................................................................................................................... 140 Fase 0 – Preparación ....................................................................................................... 143 Unidad De Análisis ............................................................................................. 145 Unidad De Estudio .............................................................................................. 146 Unidad De Trabajo .............................................................................................. 147 Fase 1 – Diseño De La Actividad ................................................................................... 148 Actividad En Sí – Componente Θ ....................................................................... 149 Proyecto Didáctico – Componente Φ ................................................................. 151 Fase 2 – Implementación De La Actividad ..................................................................... 158 Fase 3 – Interpretación (Sistematización) De Los Datos ................................................ 159 Fase 4 – Análisis ............................................................................................................. 160 Categorías De Análisis ........................................................................................ 161 Categorías Estructurales ...................................................................................... 165 Resultados y Análisis .................................................................................................................. 173 Variación de Magnitudes En Una Relación de Dependencia Periódica ......................... 173 Actividad 1 (Pregunta 2-1) .................................................................................. 173 Actividad 15 (Pregunta 5-2) ................................................................................ 182 Análisis General .................................................................................................. 185

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Representación Gráfica De Un Movimiento Periódico .................................................. 189 Actividad 4 y 5 (Pregunta 1-2) ............................................................................ 190 Actividad 9 (Pregunta 4.1-2) ............................................................................... 202 Actividad 10 y 11 (Pregunta 4.3-2) ..................................................................... 208 Actividad 14 (Pregunta 4.6-2) ............................................................................. 220 Análisis General .................................................................................................. 226 Periodo En Un Fenómeno Cíclico .................................................................................. 230 Actividad 2 (Pregunta 3-1) .................................................................................. 231 Actividad 12, 13 y 16 (Pregunta 4.5-2 y 1-3) ..................................................... 235 Actividad 17 (Pregunta 1-3) ................................................................................ 255 Actividad 35 (Pregunta 1-5) ................................................................................ 262 Actividad 36 (Pregunta 1-5) ................................................................................ 272 Análisis General .................................................................................................. 278 Identificación De Patrones De Las Magnitudes De Un Fenómeno Periódico ................ 283 Actividad 7 (Pregunta 3-2) .................................................................................. 286 Actividad 18 (Pregunta 1-3) ................................................................................ 289 Análisis General (Tiempo) .................................................................................. 296 Actividad 6 (Pregunta 2-2) .................................................................................. 299 Actividad 20, 21, 22 y 24 (Pregunta 6.1-3) ......................................................... 304 Análisis General (Ángulo) .................................................................................. 319 Variación De La Distancia Vertical (Media Cuerda) En Un Fenómeno Periódico ........ 320 Actividad 8 (Pregunta 3-2) .................................................................................. 321 Actividad 19 (Pregunta 4-3) ................................................................................ 334

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Actividad 25 y 26 (Pregunta 7-3) ........................................................................ 342 Análisis General .................................................................................................. 352 Síntesis De La Representación Algebraica De La Relación Trigonométrica 𝒅𝒗𝒕 ......... 354 Actividad 27 (Pregunta 1.1-4) ............................................................................. 354 Actividad 28 (Pregunta 1.2-4) ............................................................................. 358 Actividad 30 y 31 (Pregunta 4.1-4 y 4.2-4) ........................................................ 368 Actividad 32 y 33 (Pregunta 6-4) ........................................................................ 375 Análisis General .................................................................................................. 386 Síntesis Del Saber De Función Trigonométrica .............................................................. 389 Actividad 3 (Pregunta 4-1) .................................................................................. 389 Actividad 23 (Pregunta 6.1-3) ............................................................................. 393 Actividad 29 (Pregunta 4.1-4) ............................................................................. 399 Actividad 34 (Pregunta 7-4) ................................................................................ 405 Análisis General .............................................................................................................. 409 Conclusiones ............................................................................................................................... 413 Horizontes Investigativos y Derivaciones Futuras ..................................................................... 424 Limitaciones ................................................................................................................................ 428 Referencias .................................................................................................................................. 431 Anexos ........................................................................................................................................ 449

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Lista de Figuras Figura 1 Dialéctica entre saber y conocimiento ........................................................................... 53 Figura 2 Imbricación entre objetivación y subjetivación en la actividad .................................... 58 Figura 3 Relación entre el general, el particular y el singular ..................................................... 61 Figura 4 Estructura (objeto-meta-tarea) de la actividad .............................................................. 63 Figura 5 Fases de la Actividad conjunta ...................................................................................... 68 Figura 6 Interacciones SSSC – Actividad – Territorio del artefacto ........................................... 86 Figura 7 Relación dialéctica entre lo abstracto y lo concreto .................................................... 120 Figura 8 Ciclo metodológico ..................................................................................................... 141 Figura 9 Unidad de trabajo: estudiantes participantes en la actividad ....................................... 148 Figura 10 Cartografía del diseño metodológico ........................................................................ 162 Figura 11 Respuesta pregunta 1-2. Bosquejo (cualitativo) del fenómeno periódico ................. 193 Figura 12 Respuesta pregunta 2-2. Tabla de valores de dv y t recopilados del video .............. 204 Figura 13 Respuesta pregunta 4.1-2. Significado contextual de un punto en el plano cartesiano

..................................................................................................................................................... 207

Figura 14 Respuesta pregunta 4.2-2. Representación gráfica en el plano cartesiano de la relación dvt al ubicar los 13 puntos de la tabla de valores ....................................................................... 210 Figura 15 Respuesta pregunta 4.5-2. Grafica en el plan cartesiano de la relación dvt de las infinitas posiciones que puede tomar la piedra en dos ciclos. .................................................................. 218 Figura 16 Respuesta pregunta 4.6-2. Concepción del movimiento continuo del movimiento periódico de la piedra en la representación tabular y grafica. ..................................................... 225 Figura 17 Respuesta pregunta 5-2. Evolución de la concepción del movimiento continuo del movimiento periódico de la piedra en la representación tabular y grafica. ................................ 230

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Figura 18 Respuesta pregunta 1-3. Cálculo de valores específicos de tiempo a partir del periodo

..................................................................................................................................................... 258

Figura 19 Respuesta pregunta 1-5. Calculo analítico del periodo de Nina ................................ 264 Figura 20 Respuesta pregunta 1-5. Grafica de Niko .................................................................. 273 Figura 21 Respuesta pregunta 1-5. Cálculo del periodo de Niko .............................................. 277 Figura 22 Respuesta pregunta 3-2. Bosquejo del patrón de la relación tiempo y ángulo .......... 288 Figura 23 Respuesta pregunta 6.1-3. Bosquejo del patrón de la relación tiempo y ángulo ....... 307 Figura 24 Respuesta pregunta 6.1-3. Generalización del patrón de la relación tiempo y ángulo

..................................................................................................................................................... 317

Figura 25 Respuesta pregunta 3-2. Variación de la distancia vertical ....................................... 328 Figura 26 Respuesta pregunta 1.1-4. Generalización de la variación de dv respecto a θ .......... 358 Figura 27. Respuesta pregunta 1.2-4. Expresión algebraica de la función trigonométrica dvt . 365 Figura 28 Respuesta pregunta 4.1-4. Contextualización del coeficiente de t en la expresión algebraica dv(t) ........................................................................................................................... 370 Figura 29 Respuesta pregunta 4-1. ¿Qué es una función? ......................................................... 393

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Lista de Tablas Tabla 1 Orden y presentación de los resultados y análisis a través de las categorías estructurales.

..................................................................................................................................................... 170

Tabla 2 Actividad 1: Lenguaje multimodal al encuentro de la relación de magnitudes en una relación de dependencia periódica. Pregunta 2-1 ....................................................................... 174 Tabla 3 Actividad 15: Lenguaje multimodal al encuentro de la relación de magnitudes en una relación de dependencia periódica. Pregunta 5-2 ....................................................................... 183 Tabla 4 Actividad 4 y 5: Lenguaje multimodal al encuentro de la representación gráfica del movimiento periódico. Preguntas 1-2 ......................................................................................... 191 Tabla 5 Actividad 9: Lenguaje multimodal al encuentro de la representación gráfica del movimiento periódico. Preguntas 4.1-2 ...................................................................................... 203 Tabla 6 Actividad 10 y 11: Lenguaje multimodal al encuentro de la representación gráfica del movimiento periódico. Pregunta 4.3-2 ........................................................................................ 209 Tabla 7 Actividad 14: Lenguaje multimodal al encuentro de la representación gráfica del movimiento periódico. Preguntas 4.6-2 ...................................................................................... 221 Tabla 8. Actividad 2: Lenguaje multimodal al encuentro del fenómeno periódico. Pregunta 3-1

..................................................................................................................................................... 231

Tabla 9 Actividad 12, 13 y 16: Lenguaje multimodal al encuentro del fenómeno periódico. Pregunta 4.5-2 y 1-3 .................................................................................................................... 236 Tabla 10 Actividad 17: Lenguaje multimodal al encuentro del fenómeno periódico. Pregunta 1-3

..................................................................................................................................................... 256

Tabla 11 Actividad 35: Lenguaje multimodal al encuentro del fenómeno periódico. Pregunta 1-5

..................................................................................................................................................... 263

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Tabla 12 Actividad 36: Lenguaje multimodal al encuentro del fenómeno periódico. Pregunta 1-5

..................................................................................................................................................... 272

Tabla 13 Actividad 7: Lenguaje multimodal al encuentro de la identificación de patrones de las magnitudes de un fenómeno periódico cíclico. Pregunta 3-2 ..................................................... 286 Tabla 14 Actividad 18: Lenguaje multimodal al encuentro de la identificación de patrones de las magnitudes de un fenómeno periódico cíclico. Pregunta 1-3 ..................................................... 289 Tabla 15 Actividad 6: Lenguaje multimodal al encuentro de la identificación de patrones de las magnitudes de un fenómeno periódico cíclico. Pregunta 2-2 ..................................................... 299 Tabla 16 Actividad 20, 21, 22 y 24: Lenguaje multimodal al encuentro de la identificación de patrones de las magnitudes de un fenómeno periódico cíclico. Pregunta 6.1-3 ......................... 305 Tabla 17 Actividad 8: Lenguaje multimodal al encuentro de la variación de la distancia vertical (media cuerda) en un fenómeno periódico cíclico. Pregunta 3-2 ............................................... 321 Tabla 18 Actividad 19: Lenguaje multimodal al encuentro de la variación de la distancia vertical (media cuerda) en un fenómeno periódico cíclico. Pregunta 4-3 ............................................... 334 Tabla 19 Actividad 25 y 26: Lenguaje multimodal al encuentro de la variación de la distancia vertical (media cuerda) en un fenómeno periódico cíclico. Pregunta 7-3 .................................. 342 Tabla 20 Actividad 27: Lenguaje multimodal al encuentro de la representación algebraica de la relación trigonométrica dvt. Pregunta 1.1-4 ............................................................................... 355 Tabla 21 Actividad 28: Lenguaje multimodal al encuentro de la representación algebraica de la relación trigonométrica dvt. Pregunta 1.2-4 ............................................................................... 358 Tabla 22 Actividad 30 y 31: Lenguaje multimodal al encuentro de la representación algebraica de la relación trigonométrica dvt. Pregunta 4.1-4 y 4.2-4 ............................................................... 369

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Tabla 23 Actividad 32 y 33: Lenguaje multimodal al encuentro de la representación algebraica de la relación trigonométrica dvt. Pregunta 6-4 .............................................................................. 376 Tabla 24 Actividad 3: Síntesis del pensamiento funcional trigonométrico. Pregunta 4-1 ......... 389 Tabla 25 Actividad 23: Síntesis del pensamiento funcional trigonométrico. Pregunta 6.1-3 .... 394 Tabla 26 Actividad 29: Síntesis del pensamiento funcional trigonométrico. Pregunta 4.1-4 .... 399 Tabla 27 Actividad 34: Síntesis del pensamiento funcional trigonométrico. Pregunta 7-4 ....... 406

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Lista de Anexos Anexo A. Consentimiento informado ......................................................................................... 449 Anexo B. Problema 1: ¿Qué magnitudes intervienen en el movimiento de la piedra? ¿Cómo se relacionan? .................................................................................................................................. 451 Anexo C. Problema 2: ¿Cómo se mide el movimiento cíclico de la piedra? .............................. 453 Anexo D. Problema 3: ¿Y ahora qué hacemos con estas medidas? ............................................ 456 Anexo E. Problema 4. ¿Cómo hallar la posición exacta de la piedra (distancia vertical) en cualquier tiempo o cualquier ángulo? ......................................................................................... 459 Anexo F. Problema 5: ¿Cómo se altera la relación entre distancia vertical y tiempo en llantas más grandes o pequeñas? ¿Y cuándo la bicicleta va más rápido? ...................................................... 461

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Introducción La investigación partió de la preocupación latente en la I. E. Pablo Sexto ubicada en el municipio de Dosquebradas en el departamento de Risaralda, de la concepción de los estudiantes de que los objetos matemáticos son ajenos a la actividad del hombre, son entidades platónicas ya dadas, como si fueran fuera de este mundo (tal y como lo mencionaron en el aula de clases). Esta problemática se extrapola a otros contextos y se configura en un obstáculo en el aula de matemáticas (Weber et al., 2008; Kamber y Takaci, 2017; Altman y Kidron, 2016; Hatt,

2024).

Para ello se establecieron ciertas preguntas desencadenadoras: ¿Cómo se enseñan los objetos matemáticos inherentemente abstractos? ¿Cómo se aprenden? Es claro que no hay una forma única para enseñar y aprender los saberes matemáticos, sin embargo, después de la revisión de la literatura se estableció que el enfoque histórico-cultural de la Teoría de la Objetivación (TO) de Luis Radford podría quebrantar las barreras predispuestas que invisibilizaban el desarrollo histórico-cultural de los saberes matemáticos, dicha teoría los considera como productos de la actividad humana en aras de solucionar una necesidad histórica, social y cultural.

El saber1 de las funciones trigonométricas en el contexto de la educación secundaria aún es introducido bajo fundamentos tecnócratas (Radford, 2016), lo cual impide que el estudiante las reconozca como un producto de la actividad del hombre y menos como un saber significativo. De este modo, se centró la atención en la concepción del saber de la función trigonométrica a la

1 En esta investigación entendemos la categoría “saber de función trigonométrica” desde la teoría de la objetivación: como un sistema de arquetipos (formas de pensar y actuar) constituidos histórica y culturalmente a partir de la labor colectiva (Radford, 2023a), esto es, formas histórico-culturales de pensar matemáticamente sobre fenómenos periódicos a través de las funciones trigonométricas. Esta categoría será abordada y profundizada en el marco teórico.

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luz de la TO; así, se generó una imbricación epistemológica y didáctica que configuró el problema de investigación.

A través de una unidad contextual, problematizadora y conceptual, se analizaron los procesos de objetivación emergentes en 4 estudiantes de grado décimo. Esto, al comprender la dialéctica entre los procesos de objetivación y subjetivación, así como la ética comunitaria emergente en los procesos de actividad realizados por el grupo de estudio y el profesor, que podrían presentar signos o rasgos característicos para ser denotados como labor conjunta según la TO.

Los resultados permitieron establecer que, al ir al encuentro del saber de la función trigonométrica de una manera contextual de descubrimiento, emergieron saberes causa y efecto en el camino del saber de la función trigonométrica, a partir de los cuales se desarrollaron procesos de objetivación que se relacionaron dialécticamente, en el marco de una ética comunitaria, que conllevaron un aprendizaje no impuesto, con sentido y contextual, esto es, no alienante.

El documento a continuación se divide en 6 capítulos principales: en primera instancia de aborda el estado del arte, en el cual se esboza un recorrido por diferentes investigaciones que permitieron un acercamiento al problema de investigación. Como segundo capítulo se aborda el problema de investigación donde se reconocen los vacíos epistemológicos y conceptuales que dan vida a la presente investigación. Seguidamente el marco teórico, presenta las categorías centrales del proceso investigativo el cual se articula con el marco metodológico, allí se presenta la propuesta de intervención educativa y la secuencia requerida para el alcance de los objetivos propuestos, por último, se presentan los resultados, así como su respectivo análisis y las conclusiones (en donde se incluyen recomendaciones y limitaciones en la investigación).

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Estado Del Arte A continuación, se exponen algunos antecedentes de investigaciones referentes al saber de funciones trigonométricas y de la teoría de la objetivación que permitirán al lector visualizar los trabajos realizados al respecto e implícitamente establecer las necesidades actuales e iniciar el proceso de delimitar el problema de investigación.

Teoría De La Objetivación De las 180 publicaciones encontradas entre 2006 y 2021 por Castro (2023) en su investigación sobre el estado del arte sobre la Teoría de la Objetivación en educación matemática, solo 31 se configuran como documentos de investigación de posgrado, específicamente se encontraron 7 tesis doctorales, que por su naturaleza aportan cuestiones y modelos específicos en el marco de la TO, es decir, son fuente de generación de conocimiento nuevo que amplía y enriquece teórica y metodológicamente la TO.

Dichas investigaciones apuntan por lo general a comprender los procesos de objetivación en objetos matemáticos específicos como el pensamiento matemático algebraico, aditivo, multiplicativo, variacional, probabilístico, gráfico y más, pero ninguna de ellas analiza los procesos de objetivación emergentes respecto al saber de función trigonométrica (Castro, 2023), lo cual justifica implícitamente una necesidad investigativa y practica en las didácticas de las matemáticas. Así pues, la presente investigación se suma a las expuestas a continuación en aras de enriquecer el marco de la Teoría de la Objetivación2, las cuales al problematizar sus alcances, tensiones internas y vacíos permiten delimitar con mayor precisión el problema de investigación que se presenta.

2 A continuación, se listan más investigaciones en la TO: Cadavid y Quintero (2011), Lasprilla y León (2020), Pantano (2020a), Moreno y Vergel (2024), Castilho y Moretti (2020) y Lasprilla et al. (2021).

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Los estudios de Miranda et al. (2007), así como el de Vergel et al. (2020) en el contexto colombiano, ofrecen una base sólida para comprender cómo los estudiantes construyen significados en torno a objetos matemáticos – en particular, gráficas cartesianas y relaciones de dependencia respectivamente – a través de procesos semióticos de objetivación, corporales y discursivos. Su principal fortaleza radica en desplazar la mirada desde una concepción individual-cognitiva del aprendizaje hacia una perspectiva socio-cultural, donde el conocimiento emerge en la actividad conjunta mediada por signos. A lo cual se llega al analizar la evolución de los significados con los que los estudiantes dotan el objeto matemático, es decir, al comprender la evolución de los procesos de objetivación (progreso de los medios semióticos de objetivación). En ese sentido, estos trabajos amplían el campo al mostrar que interpretar una gráfica o comprender la dependencia entre variables no se reduce a leer información, sino a participar en prácticas culturales específicas.

No obstante, una limitación relevante de estos estudios es que, aunque profundizan en la descripción de procesos de objetivación, tienden a centrarse en episodios microgenéticos específicos. Esto dificulta extrapolar sus hallazgos a escalas más amplias del currículo o a trayectorias de aprendizaje prolongadas. Además, el énfasis en la descripción densa de interacciones puede dejar en segundo plano preguntas por la sistematicidad didáctica: ¿cómo diseñar secuencias de enseñanza que garanticen la emergencia de estos procesos de objetivación de manera sostenida?

Por su parte, el trabajo de Joya y Vergel (2024)3 introduce el concepto de “labor conjunta” como una categoría analítica que permite comprender con mayor precisión la

3 Esta fuente está incluida en Noronha et al. (2025), el cual es un libro que recopiló investigaciones fruto de tesis doctorales a través de una pasantía realizada con el Dr. Luis Radford en 2023. De igual manera, la presente investigación hizo parte de dicha pasantía y también se vinculó como un capítulo del mencionado libro (paginas 61-

80).

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dimensión colectiva del aprendizaje. Este aporte resulta complementario a los estudios anteriores, ya que enfatiza no solo la mediación semiótica, sino la coordinación de acciones, intenciones y significados entre los participantes. Aquí se observa un avance teórico importante: se pasa de analizar la objetivación como proceso a considerar la arquitectura de la actividad que la hace posible.

Sin embargo, este enfoque también presenta desafíos. La noción de labor conjunta, aunque potente, requiere una mayor operacionalización para ser utilizada como herramienta de diseño didáctico. Además, persiste una tensión entre la riqueza descriptiva del análisis y la necesidad de formular principios transferibles a diversos contextos educativos. El estudio de Quintero (2018), centrado en el concepto de límite de función, introduce un elemento clave de contraste: el paso hacia objetos matemáticos de mayor abstracción dentro del Análisis Matemático. Este trabajo muestra que la teoría de la objetivación no solo es pertinente para fenómenos más “concretos” como el movimiento o las gráficas, sino también para conceptos altamente formales. Su principal aporte es mostrar cómo el pensamiento teórico de los estudiantes puede desarrollarse mediante procesos de objetivación cuidadosamente diseñados. No obstante, aquí emerge una limitación transversal a los estudios en mención: aunque se reconoce la relevancia del desarrollo del pensamiento teórico, no siempre queda claro cómo se articulan los distintos niveles de generalidad matemática (empírico, funcional, teórico) en trayectorias de largo plazo. En otras palabras, se problematiza poco la continuidad entre distintos conceptos matemáticos y entre distintos momentos del aprendizaje. En conjunto, los trabajos revisados presentan una fuerte complementariedad: contribuyen a consolidar una visión del aprendizaje matemático como un proceso social, semiótico y culturalmente mediado.

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Desde esta perspectiva analítica, el problema de investigación que se plantea se posiciona con mayor claridad en la intersección entre estos vacíos: avanzar desde la descripción de procesos de objetivación en situaciones puntuales hacia la comprensión y diseño de trayectorias didácticas que favorezcan el desarrollo progresivo del pensamiento teórico en torno a conceptos matemáticos clave (a partir de unidades didácticas). Esto implica no solo analizar cómo los estudiantes objetivan ciertos conceptos, sino cómo estas objetivaciones se encadenan, se transforman y se institucionalizan en el tiempo dentro de prácticas educativas concretas. Función Trigonométrica En su tesis doctoral sobre el entendimiento del estudiante sobre funciones trigonométricas a través de una didáctica realista y vivencial, Hatt (2024) justifica la necesidad de explorar cómo los estudiantes entienden las funciones trigonométricas cuando trabajan con tareas contextualizadas, y cómo estas tareas influyen en el desarrollo de una comprensión más significativa del concepto de función trigonométrica. El uso de tareas contextualizadas con 14 estudiantes de secundaria en un curso de precálculo en Estados Unidos promovió procesos de razonamiento más complejos, lo que permitió a los estudiantes establecer conexiones conceptuales y desarrollar una comprensión más significativa de las funciones trigonométricas. Asimismo, el estudio destaca la necesidad de replantear las prácticas de enseñanza y orientarlas hacia enfoques que privilegien la construcción de significado y la resolución de problemas contextualizados (López-Ramírez y Parra-Bernal, 2025).

Asimismo, la investigación de Orhani (2024) expuso que los enfoques tradicionales de enseñanza privilegian el aprendizaje procedimental y algorítmico, lo cual limita la comprensión conceptual y la capacidad de los estudiantes para aplicar la trigonometría en contextos significativos. El autor propone una aproximación didáctica fundamentada en principios teóricos,

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metodológicos y analíticos que promueven la comprensión de las funciones trigonométricas como objetos matemáticos con sentido funcional. A través del diseño e implementación de una unidad didáctica, se aprecia cómo el uso de situaciones contextualizadas y el énfasis en la reflexión matemática favorecen el desarrollo del razonamiento y la interpretación de las relaciones trigonométricas. Los resultados del estudio muestran avances significativos en la comprensión conceptual de los estudiantes, particularmente en la articulación entre distintas representaciones (geométrica, gráfica y analítica) y en la transferencia del conocimiento a problemas reales vinculados con la sostenibilidad.

Weber et al. (2008) establecen que el tradicional abordaje para enseñar trigonometría a partir de la compresión de funciones trigonométricas como razones no permite a los estudiantes relacionarlas con funciones. Añaden a su vez que el acercamiento a las funciones trigonométricas a partir del triángulo rectángulo no ayuda a determinar, por ejemplo, si la función es creciente o decreciente al estimar el valor de una función trigonométrica (a través de razones) para algún valor de 𝑥.

Los datos de la investigación de Weber et al. (2008) sugieren que los acercamientos geométricos a la trigonometría permiten a los estudiantes entender las operaciones trigonométricas, como funciones, mientras que la instrucción tradicional no lo permite. En dicha investigación se identificó que los estudiantes que tuvieron un acercamiento a las operaciones trigonométricas a través de razones trigonométricas en la solución de un triángulo rectángulo dado tuvieron un desarrollo conceptual trigonométrico superfluo. En el estudio de Weber et al. (2008) la comprensión de los estudiantes del proceso utilizado para crear representaciones de expresiones trigonométricas en círculos unitarios resultó ser parte integral de su comprensión de

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estas funciones. Paradójicamente, Moore et al. (2016) encontraron que hay pocas investigaciones relacionadas con el círculo unitario y su entendimiento.

Dicho proceso usado por Weber et al. (2008) – para calcular el seno – consistió en construir una circunferencia unitaria en un plano cartesiano, usar un transportador para dibujar un rayo que emane del origen, de tal modo que el ángulo entre la mitad positiva del eje 𝑥 y el rayo sea el ángulo de entrada, localizar el punto de intersección entre el rayo y la circunferencia y determinar el valor de 𝑦, o altura, de dicha intersección. Esta forma de construir la gráfica en el plano cartesiano a partir del círculo unitario, mediante la medición de la distancia vertical (con regla) y del ángulo (con transportador), se tuvo en cuenta para diseñar la unidad didáctica de la presente investigación. De este modo, se involucró a los estudiantes de forma kinestésica mediante el uso de instrumentos, la obtención de medidas y su extrapolación al plano cartesiano. Weber et al. (2008) plantean que investigaciones recientes4 en educación matemática indican que los estudiantes tienen dificultades para imaginar la aplicación de un proceso sin la experiencia de aplicarlo realmente, en cambio, los estudiantes pueden desarrollar una comprensión más profunda de los procesos si primero los aplican y luego reflexionan sobre sus acciones. Kamber y Takaci (2017) a través de la percepción, operación y razonamiento, analizaron el aprendizaje de conceptos trigonométricos en el contexto del triángulo y circulo unitario, así como la transición entre ambos. Algunos hallazgos fueron que la mayoría de los estudiantes tienen dificultades en entender la periodicidad de funciones trigonométricas y ya que dichas funciones no son inyectivas genera problemas en la solución de ecuaciones. También encontraron que los estudiantes no saben exactamente cómo la trigonometría es usada en

4 Las investigaciones a las que se refieren los autores son las de Weber (2005), Tall et al. (2000), Kendal and Stacey

(1997)

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situaciones prácticas, por lo que es clara la necesidad de trabajar en problemas de la vida real basados en trigonometría.

Sin embargo, ellas añaden que la enseñanza de funciones trigonométricas a partir de un objeto abstracto como lo es el circulo unitario carece de significado. Ellas plantean que los estudiantes tienen una mejor retención de conocimiento en un contexto geométrico y funcional de trigonometría comparado con el contexto del círculo unitario. Según las autoras, el abordaje del saber de función trigonométrica a través de una unidad contextual y conceptual posibilita la atribución de significativo y privilegia – desde un enfoque operacional – la característica histórica e innata de dicho saber: la variación de fenómenos periódicos. Como un caso especial a discutir, la propuesta de Montiel (2011) plantea centrar la actividad del estudiante en construcciones geométricas a partir de las cuales se reconozca lo trigonométrico en la relación ángulo-cuerda y en cómo las razones trigonométricas son la herramienta para cuantificar dicha relación. Por consiguiente, el círculo no es una estrategia didáctica para pasar de las razones a las funciones, sino el contexto en donde se realizan las construcciones geométricas y que da significado, uso y sentido al triángulo rectángulo. Este planteamiento había sido previamente validado por Kendal y Stacey (1997) al sugerir la combinación pedagógica de iniciar con definiciones desde el círculo unitario para aportar significado conceptual, y luego emplear el método de razón para resolver problemas y consolidar habilidades.

En el caso de la presente investigación, al reconocer el carácter específico de las funciones trigonométricas de modelar fenómenos periódicos (lo que invisibiliza la naturaleza estática de las razones trigonométricas), el movimiento circular no fue solo el contexto sino la

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estrategia didáctica de la investigación, fue la unidad contextual y conceptual a través de la cual los estudiantes tuvieron la posibilidad de atribuir sentido a los objetos matemáticos emergentes. Ahora bien, al comparar dos profesores con dos formas diferentes de instrucción, uno con un método tradicional allegado a postulados conductistas y el otro con una propuesta experimental basado en las teorías de aprendizaje de proceso-objeto, Weber (2005) encontró que el entendimiento de los estudiantes sobre funciones trigonométricas fue limitado para el primer caso, mientras que los estudiantes que recibieron una instrucción experimental desarrollaron un profundo entendimiento sobre funciones trigonométricas.

Altman y Kidron (2016) investigaron los procesos de construcción de conocimiento de un estudiante sobre las funciones trigonométricas y su significado geométrico en la circunferencia unitaria. El análisis se basó en el modelo de acción epistémica anidada dinámicamente para la abstracción en contexto. A partir de diferentes tareas, se tuvo oportunidad de comprender el proceso utilizado para crear representaciones de expresiones trigonométricas en la circunferencia unitaria. Su estudio concluyó en que el aprendiz en su investigación tuvo la capacidad de construir significado geométrico de las funciones trigonométricas en el circulo unitario. Cabe señalar que las dificultades al abordar el saber de función trigonométrica fueron sintetizadas por Altman y Kidron (2016) a partir de otros autores. Kendal y Stacey (1997) señalan que la instrucción que enfatiza la comprensión de las funciones trigonométricas como proporciones (razones trigonométricas) no desarrolla su comprensión como funciones. Por ejemplo, una dificultad es el enorme cambio de significado entre la trigonometría de "triángulos" y la trigonometría de "círculos", donde en la segunda un ángulo puede tomar cualquier valor, positivo o negativo, mientras que en la primera eso sería incoherente. Los obstáculos que presentan estos dos enfoques conceptuales diferentes de la trigonometría se analizan

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detalladamente en Bressoud (2010). En la trigonometría de triángulos, los ángulos se miden comúnmente en grados sexagesimales y las funciones trigonométricas se definen como proporciones de los lados de un triángulo rectángulo. En trigonometría circular, los ángulos se miden comúnmente en radianes y las funciones trigonométricas se expresan en términos de las coordenadas de un punto en la circunferencia unitaria con centro en el origen. Bressoud (2010) incluso ofrece un resumen histórico del desarrollo de la trigonometría para presentar un argumento a favor de comenzar el estudio de la trigonometría con las definiciones circulares de las funciones trigonométricas y la medición de ángulos.

A partir de esta revisión literaria es claro que se debe privilegiar un enfoque didáctico alejado de los enfoques tradicionales, que según las investigaciones mencionadas repercuten en una comprensión del pensamiento trigonométrico y visibiliza la trigonometría como una serie de fórmulas estáticas que enajenan el pensamiento trigonométrico de su desarrollo históricocultural: la variación de magnitudes en fenómenos periódicos. Por ende, se recomienda el uso de una unidad didáctica que privilegie esta característica primigenia del pensamiento trigonométrico y que se enfoque en el pensamiento funcional (matemático) mediante tareas contextualizadas, como el uso del círculo unitario en contextos específicos. Según los resultados de dichas investigaciones, este enfoque posibilita conexiones conceptuales y la articulación entre distintas representaciones, lo que fomenta un lenguaje multisemiótico y contribuye a un aprendizaje profundo y con sentido

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Planteamiento Del Problema

“No creo que sea una exageración decir que, en la actualidad, lo que la mayoría de los estudiantes encuentran en la clase de matemáticas es alienación. Estar en la clase de matemáticas, es encontrarse en un espacio en el que el estudiante no se reconoce; es estar en un espacio ajeno” (Radford, 2017c, p. 141)

Posterior a conocer las investigaciones pertinentes referentes a las funciones trigonométricas como objeto de estudio y a la teoría de la objetivación, a continuación se esbozan las cuestiones que permitieron delimitar el problema de investigación y posibilitaron construir la pregunta de investigación Dificultades Para El Aprendizaje De Las Funciones Trigonométricas Primeramente, es claro establecer que muchas de las apreciaciones, características, obstáculos y demás de las funciones se extrapolan a las funciones trigonométricas. La función es el principal objeto matemático que debe considerarse en el currículo de secundaria (Burnett, 2007), ya que constituye la puerta de entrada al cálculo y a las matemáticas avanzadas. Como plantea Quintero (2018): “el concepto de [función] es una construcción social, producto de un devenir en el que interviene un colectivo con características propias de cada momento históricocultural” (p. 13).

Los obstáculos epistemológicos5 en el aprendizaje del saber de función están indagados y conceptualizados por Breidenbach et al. (1992), Dubinsky y Harel (1992), Burnett (2007), Sierpinska (1992), Sfard (1992), Vinner (1992), entre otros6. Y aunque existen múltiples investigaciones en el estudio del saber de función (como las investigaciones anteriormente

5 Entiéndase obstáculo epistemológico como un obstáculo que no es individual o de unos pocos, sino amplio (o lo ha sido alguna vez en cierta cultura). Este es superado si se tiene la capacidad de tomar conciencia de tomar distancia de las creencias o esquemas de pensamiento propios (Sierpinska, 1992). 6 Se puntualizará en dichos obstáculos epistemológicos en la sección de función trigonométrica en el marco teórico.

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referenciadas), no existe, o por lo menos no se encontró en la revisión de la literatura alguna investigación que analice la solución de dichos obstáculos específicamente desde la perspectiva histórico-cultural de la Teoría de la Objetivación que se centre en funciones trigonométricas. Por ello, el presente proyecto constituye una fuente potencial de investigación científica a nivel internacional, ya que aporta resultados y contribuye a la generación de nuevo conocimiento teórico y metodológico en el campo de la didáctica de las matemáticas y en la Teoría de la Objetivación de Luis Radford.

En el siglo XIX después de la separación de las matemáticas con el mundo sensible (formalismo instaurado por Cantor y Dedekind), las escuelas de pensamiento de la época realizaron esfuerzos por desarrollar estructuras teóricas sobre bases axiomáticas, estas posiciones filosóficas influenciaron el currículo de la escuela actual (Chaves y Salazar, 2003). Es por ello por lo que aún hoy en día se les quiere incorporar en los dominios conceptuales de los estudiantes entes abstractos (matemáticos) sin considerar el bagaje por el que pasó la humanidad para asimilarlos, por lo que se desconoce toda esa carga histórico-epistemológica que acarrean dichos entes matemáticos (Bidwell, 1993; Bressoud, 2010; D’Ambrosio, 1997; Fauvel, 1991; Freudenthal, 1981; Furinghetti y Radford, 2002, Kleiner, 1989, Lizcano, 1993). Al hacer esto, el estudiante no es capaz de realizar un aprendizaje con sentido, espontáneo y duradero ¿y cómo hacerlo con objetos de enseñanza descontextualizados de su realidad, con objetos de otro planeta (cómo muchas veces llaman los estudiantes a las matemáticas)? ¿cómo hacerlo sin atribuirle sentido a dichos objetos? ¿cómo hacerlo en un paradigma educativo alienante?

En parte los estudiantes no relacionan el desarrollo de las matemáticas con el consecuente desarrollo histórico y social. En el aula de matemáticas algunos estudiantes consideran las

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matemáticas como fuera de su alcance (Cantoral, 2013), las rotulan como algo fuera de este mundo.

En matemáticas, específicamente el saber de función (trigonométrica), además de los obstáculos epistemológicos en el proceso enseñanza-aprendizaje perpetuado en el tiempo en las aulas de clase (de educación media) inherentes en gran medida a un acercamiento estructural7 (Sfard, 1992), es enseñado y “aprendido” desde y para las matemáticas, es decir, desde una perspectiva abstracta. Cantoral (1995) afirma que antes de iniciar el abordaje del cálculo, donde el estudio de funciones es parte esencial, los educandos se enfrentan a matemáticas elementales asequibles para ellos, para luego, de forma abrupta, se encuentran ante una matemática avanzada que exige un alto nivel de abstracción.

Esta concepción estructural desconoce el tejido histórico-cultural y epistemológico en el que se desarrolló el saber de función a través de la labor del hombre durante más de 3500 años; por ello, difícilmente se establece una interrelación con las experiencias individuales, incluso al ignorar el medio cultural del sujeto. En consecuencia, dicho objeto es poco probable de convertirse en un objeto de conciencia para el estudiante.

Este fenómeno educativo y cultural afecta a la mayoría de los estudiantes, quienes, al estar expuestos a dicho imaginario colectivo, tienden a percibir una expresión no algorítmica de función como un postulado sin importancia, o incluso como un ruido sin sonido (Sfard, 1992). En consecuencia, aceptan como verdaderos —casi sin cuestionamiento— únicamente los postulados abstractos, los cuales invisibilizan los vestigios del desarrollo histórico-cultural que contienen.

7 Definiciones estructurales como “una función es una correspondencia entre dos conjuntos de elementos tales que…”, cuando se imponen a estudiantes novatos, generan serios obstáculos epistemológicos. Los nuevos conceptos matemáticos no deben introducirse en términos estructurales; además, no se debe exigir una concepción estructural mientras el estudiante pueda prescindir de ella (Sfard, 1992).

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Entre los obstáculos epistemológicos identificados por Sierpinska (1992) en el aprendizaje del concepto de función se encuentran los siguientes: la focalización en cómo cambian las cosas, sin atender a qué es lo que cambia; la falta de distinción clara entre magnitud, número, variable, cantidad y constante; en la representación gráfica de una función en el plano cartesiano, la atención se centra en su forma, lo que oculta el carácter dinámico de la noción de función; dificultades en la relación entre distintas formas de representación; y limitaciones del lenguaje asociado a las funciones, ya que la notación 𝑓(𝑥) puede evocar tanto el valor de la función como el nombre de la función.

Paralelo a los obstáculos epistemológicos inherentes al aprendizaje del saber de función se erigen ciertas dificultades propias al abordar las funciones trigonométricas. Hatt (2024) plantea que algunos estudiantes poseen una comprensión fragmentada de la trigonometría, limitada al uso mecánico de fórmulas y procedimientos, sin una apropiación conceptual del significado de las funciones seno, coseno y tangente; lo cual repercute en dificultades recurrentes en los estudiantes, como la confusión entre ángulos y razones trigonométricas, la interpretación incorrecta de gráficas trigonométricas, y la desconexión entre las representaciones geométrica, algebraica y funcional. Estas dificultades se atribuyen, en gran parte, a enfoques de enseñanza tradicionales centrados en la memorización y el cálculo.

Por su parte Weber (2005) establece que las prácticas de enseñanza en clases de trigonometría (que responden a los enfoques pedagógicos imperantes) no parecen engranar con el desarrollo del entendimiento de las funciones trigonométricas de los estudiantes. A continuación, se mencionan algunas dificultades en el estudio de las funciones trigonométricas principalmente epistemológicas.

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La instrucción que enfatiza el entendimiento de funciones trigonométricas mediante razones (trigonométricas) no desarrolla un entendimiento de dichas funciones (Kendal y Stacey, 1997; Weber et al., 2008; Altman y Kidron, 2016).

El abordaje del triángulo rectángulo, en el que el ángulo se concibe únicamente en función de su magnitud, sin dirección y medido en grados, contrasta con el tratamiento en el círculo unitario, donde el ángulo puede asumir cualquier valor, positivo o negativo, lo que da lugar a distintos signos en las razones trigonométricas. Este cambio epistemológico genera confusiones significativas8 (Altman y Kidron, 2016; Weber, 2005; Kamber y Takaci, 2017). En el desarrollo histórico cultural y epistemológico de la trigonometría se abordaron primero cuestiones sobre análisis de cuerdas en circunferencias (cálculo de trayectorias en la esfera terrestre) y luego se abordaron cuestiones sobre el cálculo de los lados de triángulos (especialmente rectángulos), por lo que no se puede desconocer el desarrollo histórico-cultural (a través de la labor del hombre) en la que las civilizaciones desarrollaron estos pensamientos matemáticos (Kamber y Takaci, 2017).

Ambos acercamientos son distintos, desde las razones trigonométricas las funciones trigonométricas son definidas como razones entre sus lados, pero desde el círculo unitario las funciones trigonométricas son expresadas en términos de las coordenadas de un punto (Altman y Kidron, 2016), sin desconocer que “algunas de las dificultades radican en una pobre relación entre el círculo unitario y funciones trigonométricas” (Kamber y Takaci, 2017, p. 162). Por lo anterior, el enfoque tradicional de enseñanza de la trigonometría, centrado en el entendimiento de las funciones trigonométricas a partir de razones, no permite al estudiante

8 Confusiones como falta de contextualización de un resultado negativo, la trigonometría de ángulos obtusos es compleja con razones trigonométricas, una visión estática y no dinámica (funcional) del pensamiento trigonométrico, entre otros problemas generados que se exponen en las “cuestiones didácticas” de la función trigonométrica del marco teórico.

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comprender dichas funciones (Kendal y Stacey, 1997; Kamber y Takaci, 2017). Asimismo, existe un número reducido de investigaciones que abordan el círculo unitario y su comprensión (Moore et al., 2016, como se citó en Kamber y Takaci, 2017).

Es claro entonces que no se debe desconocer la manera progresiva y espontánea de cómo se aprenden conceptos nuevos, esto es, se hace necesario reconocer que el hombre se hizo y se hace a conceptos nuevos al dar solución a una necesidad histórica, cultural y social. Por lo que analizar cómo fueron erigidos los conceptos matemáticos implícitamente abstractos sería humanizar la educación matemática (Bidwell, 1993; Furinghetti, 1997; Fauvel, 1991; Liu, 2003; Furinghetti y Radford, 2002; Anacona, 2003; Freudenthal, 1981). En consecuencia, la presente investigación focalizó y privilegió la característica principal con la que el saber de función trigonométrica se abrió paso en el desarrollo histórico-cultural-matemático: relación de dependencia entre magnitudes variables inmersas en fenómenos que describen movimientos periódicos.

Se hace necesario reconocer que el análisis histórico-cultural de los objetos matemáticos cuestiona su carácter inmutable, inexorable e irrefutable, bajo la cual las matemáticas – en este caso, el saber de función trigonométrica – suelen ser percibidas por los estudiantes de secundaria. Este enfoque posibilita la interrelación entre la experiencia del estudiante y el objeto abstracto en cuestión9; en otras palabras, favorece un aprendizaje contextualizado que, mediante una serie de actividades intencionadas, aún inscritas en un enfoque histórico-cultural, promueve la atribución de sentido por parte del estudiante sobre el saber de función trigonométrica (Hatt, 2024). Asimismo, permite que el estudiante se reconozca en los objetos producidos como resultado de

9 Esto debido principalmente a las bondades cognoscitivas, individuales, liberadoras, significativas y culturales al usar un enfoque histórico-cultural en la enseñanza de un saber matemático.

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su trabajo conjunto con sus pares y el profesor, lo que contribuye a disminuir posibles formas de alienación en el aula.

De igual manera, este enfoque incorpora la reflexión en contexto, implícita en la experiencia empírica del estudiante y posibilitada por un acercamiento histórico-epistemológico al objeto de estudio. Se trata de un aprendizaje de carácter emocional, en tanto establece vínculos entre la experiencia vivida del estudiante y un ente abstracto. Este proceso favorece, entre otras formas de representación semiótica (Tamayo, 2006), la construcción de metáforas conceptuales – en gran medida inconscientes – que relacionan dicho ente abstracto con referentes concretos, lo que otorga verosimilitud al saber de función trigonométrica (Soriano, 2012). En el problema de investigación estos obstáculos históricos/epistemológicos inherentes a la naturaleza misma del aprendizaje y estudio del saber de función trigonométrica se fusionan con el problema didáctico heredado de una concepción extrema individualista, la cual hacen suya los imperantes enfoques pedagógicos como referente teórico, filosófico y epistemológico. Alienación En El Aula De Matemáticas La alienación escolar se entiende como una extensión de la alienación social. Desde la perspectiva de Marx (1988), la alienación surge cuando los sujetos pierden control sobre los productos y procesos de su actividad, lo que permite comprender cómo, en el ámbito educativo, el conocimiento puede presentarse como algo externo y ajeno a la experiencia del estudiante. En este sentido, la escuela puede convertirse en un aparato reproductor del sistema económico, como un aparato ideológico del Estado que reproduce las estructuras sociales. Así, los estudiantes son concebidos como futuros trabajadores más que como sujetos críticos (Freire,

1972).

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Desde la perspectiva de la Teoría de la Objetivación de Luis Radford, esta situación puede interpretarse como una forma de alienación del saber, en la medida en que los objetos matemáticos se presentan desprovistos de su dimensión histórica, cultural y colectiva, lo que dificulta que los estudiantes los reconozcan como producciones histórico-epistemológicas. En contraposición, esta teoría propone comprender el aprendizaje como un proceso de objetivación en el que los sujetos, a través de la actividad conjunta, el uso de signos y la interacción social, se apropian de los saberes al tiempo que se constituyen como sujetos históricos. En consecuencia, una enseñanza que recupere el carácter histórico-cultural del conocimiento matemático y promueva formas de participación colectiva puede contribuir a disminuir la alienación en el aula, al favorecer que los estudiantes se reconozcan en los saberes que producen y les atribuyan significado.

Individualismo Como plantea Radford (2016), no es nuevo el malestar existente con el actual paradigma educativo del que dispone las actuales políticas educativas que repercuten en dinámicas de aula que se pueden considerar como una fusión del paradigma transmisivo del saber y el constructivista. En el primero, promovido por pedagogos burocráticos quienes se focalizaron en implementar una educación en masa que apuntaban a las demandas de la industria, negocios y producción (Radford, 2016), el docente y el saber son el centro de atención donde el primero es el dueño del segundo, por lo que se establecen tácitamente relaciones de poder en el aula (Anacona, 2003; Largo-Taborda et al., 2025b). En el paradigma constructivista (o progresivo), el eje de la dinámica de clase se centra en el estudiante, el cual es responsable de su aprendizaje debido al auge del individualismo, autoexpresión, libertad y autonomía como fundamento que emergió debido a los procesos de subjetivación en la modernidad que datan de la alta edad media

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y el renacimiento occidental (Radford, 2016, 2021a), por lo que la libertad y la autonomía son considerados la condición central para el auténtico aprendizaje de los estudiantes al permitir desarrollar la capacidad individual para crear autoexpresión.

Los enfoques pedagógicos y didácticos predominantes en la educación – transmisivo, constructivista y socioconstructivista, especialmente aquellos de herencia norteamericana – pueden presentar rasgos alienantes, en la medida en que no siempre favorecen una inclusión plena del individuo en su entorno social a través de los objetos (matemáticos, en el caso de esta investigación) que produce. Independiente del enfoque educativo en el que se sitúe el estudiante, a veces no se reconoce en los objetos matemáticos que produce y/o no logran integrarse en la dinámica social de su entorno histórico-cultural (Radford, 2016). Asimismo, con independencia del paradigma educativo, parece persistir una concepción de corte platónico10 que tiende a idealizar al individuo, lo que puede derivar en una minimización del rol del profesor. En este sentido, Radford (2021a) afirma que “la concepción humanista del individuo que data del siglo de las luces no puede concebir al profesor más que como un guía” (p. 52). Esta visión puede constituir un factor de alienación tanto para el estudiante como para el profesor en el aula. Ahora bien, en las aulas de clase contemporáneas enmarcadas en los enfoques pedagógicos y didácticos descritos, se considera que el profesor […] es el protagonista principal del proceso de enseñanza–aprendizaje y que el alumno se limita a aceptar pasivamente aquello que se le propone, sin tener una participación activa en la construcción de lo que aprende. Hoy sabemos que los conocimientos así adquiridos se olvidan fácilmente y no quedan integrados en las estructuras lógicas de los alumnos ni parecen fortalecer su pensamiento matemático. Como consecuencia, estos conocimientos

10 Platónico desde el cotidiano, como ideal, teórico, utópico o poco realista.

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sólo pueden utilizarse en condiciones muy similares a las que fueron recibidos. (Cantoral, 2013, p. 15)

El individualismo (según el cual el saber emana del individuo mismo), idea central de las actuales corrientes pedagógicas (Radford, 2016), data de nuevas concepciones acerca del conocimiento que surgieron en el siglo XVI. Allí hubo un cambio epistemológico en el que el foco de atención paso del objeto en sí mismo (como lo había sido en los griegos de la antigüedad) a los procesos de producción de los objetos, por lo que la posibilidad del conocimiento radicó en la idea de que la cognición de cierto objeto está supeditada a como ese objeto ha llegado a ser ¡El individuo ya no es un receptor del conocimiento, sino un constructor del mismo!

Desde una perspectiva histórico-cultural (Radford, 2013, 2017a), la emergencia de la industria manufacturera en los siglos XVI y XVII favoreció la concepción del saber cómo una forma de producción, en la que el conocimiento se vinculó con los objetos del mundo y con la actividad humana. En este marco, autores como Kant (2007) contribuyeron a situar el conocimiento en estructuras del sujeto, aunque desde una perspectiva trascendental. Posteriormente, Piaget (1986) desarrolló una epistemología genética que consolidó la idea del sujeto como constructor de su propio conocimiento, enfoque que ha influido significativamente en las corrientes pedagógicas contemporáneas. No obstante, diversos autores señalan que estas perspectivas pueden privilegiar una visión individual del aprendizaje, en detrimento de su dimensión histórico-cultural (Radford, 2013).

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Esta concepción, que tuvo su apogeo en la ilustración, en la que se considera al individuo como un sujeto soberano (creador de conocimiento)11, es la postura teórica que tomó el constructivismo y el socio-constructivismo (ambos de herencia anglosajón), además de la corriente humanista en la que los individuos son producidos desde adentro. En el caso específico de la didáctica de las matemáticas, por ejemplo, uno de los principios de la Teoría de las Situaciones Didácticas de Brousseau (2007), es que la autonomía del estudiante es una condición necesaria para el auténtico aprendizaje de las matemáticas; según este principio, si el proceso de aprendizaje no se realiza de forma autónoma respecto al profesor, el aprendizaje no se ha producido (Radford, 2023a).

El constructivismo europeo suele vincularse con la noción kantiana de esquema, la cual fue reelaborada por Jean Piaget en su teoría del desarrollo cognitivo. En este marco, el constructivismo piagetiano se orienta hacia un sujeto epistémico de carácter abstracto, perspectiva que ha influido en diversas propuestas didácticas, entre ellas la Teoría de las Situaciones Didácticas. En algunos desarrollos del constructivismo en Norteamérica, ciertos planteamientos piagetianos han sido reinterpretados, lo que ha favorecido un mayor énfasis en el sujeto concreto y situado. Esta reorientación no implica una ruptura total con el enfoque original, pero sí introduce variaciones en la forma de concebir al aprendiz y su relación con el conocimiento.

Desde una perspectiva crítica, puede argumentarse que, en determinados contextos educativos, esta concepción tiende a ubicar al docente en una posición de guía del proceso de

11 Uno de los pilares del individualismo es la libertad del sujeto, pero la libertad del niño para efectuar sus propias construcciones conceptuales es tan solo el efecto de una ilusión. A través de las decisiones del docente y los diseños pedagógicos, de manera involuntaria, se empuja a los estudiantes hacia actividades intelectuales y conceptualizaciones matemáticas establecidas de antemano. Sin quererlo, se genera un efecto topaze y se piensa ingenuamente que los estudiantes producen su propio saber (Radford, 2017c).

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aprendizaje, bajo el supuesto de que el conocimiento ya se encuentra estructurado y disponible. No obstante, esta caracterización no es homogénea ni aplicable a todas las prácticas pedagógicas. Más bien, constituye una tendencia que diversos autores han problematizado por su posible contribución a la consolidación de relaciones asimétricas en el aula Como se aprecia, este enfoque individualista retumbó no solo en la contemplación diferente de los procesos cognoscitivos del individuo, sino en una modificación contundente de los procesos de subjetivación al posicionarse él mismo en su centro ontológico. Estas ideas encuentran su articulación en el trabajo de Vico y Kant. Estos filósofos plasmaron con fuerza y claridad la visión social del sujeto burgués de su tiempo, en particular la idea de un sujeto autónomo —visión que, históricamente refinada, se convirtió en la piedra angular de la epistemología genética de Piaget. Dentro de esta visión, el saber llegó a ser considerado no como algo que otra persona crea y pasa a otra persona. Es el individuo y sólo el individuo el que construye su propio saber. Desde este punto de vista, el saber es lo que resulta de la propia experiencia del individuo. (Radford, 2017c, p. 151)

Esta es la hipótesis racionalista que Piaget adoptó al seguir los postulados filosóficos kantianos respecto a una razón universal omnipresente e invariante (Radford, 2017c), a la cual se le atribuye cierta pureza por ser cosas o ideas ajenas al hombre (Freire, 1972). Dicha postura extremadamente subjetivista termina por encerrar al individuo en sus propias cavilaciones y aislado del mundo, es decir, el individuo termina alienado, alejado del mundo concreto e histórico (Radford, 2017c).

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Al igual que las ideas (generalizaciones) – a partir del particular (labor del hombre) – los desarrollos matemáticos no son datos puros, lejos de ser absolutistas y netamente objetivos, están cargados de diferentes imaginarios culturales a lo largo de la historia ¡Las matemáticas son un constructo social! ¿De qué forma explicar la ausencia del número cero en el pensamiento matemático de la Grecia antigua y la sí concepción de este en el desarrollo chino? ¿De igual forma con los números negativos entre ambas culturas? ¿De qué forma explicar los múltiples lenguajes y formas de representación numéricas a lo largo de diferentes culturas? Los imaginarios sociales cargaron a las matemáticas de sus propias costumbres, cosmovisiones, e inclusive de tabúes y prejuicios, por lo que el lenguaje matemático y su conceptualización está cargado del “mito del objetivismo [que] ha dominado la cultura occidental, y particularmente la filosofía occidental, desde los presocráticos hasta hoy. La consideración de que tenemos acceso a verdades absolutas e incondicionales sobre el mundo es la piedra angular de la tradición filosófica occidental” (Lakoff y Johnson, 2004, p.238).

Con frecuencia, las matemáticas se han concebido desde una tradición europea como un saber único y universal. No obstante, la etnomatemática ha cuestionado esta perspectiva al señalar que las prácticas matemáticas se expresan de manera diversa según los contextos culturales; en consecuencia, su significado no es invariable ni su desarrollo sigue una única dirección (Lizcano, 1999; D’Ambrosio, 1997). En esta línea, Radford (2003, 2006, 2023a) integra estos planteamientos en la noción de sistemas semióticos de significación cultural, entendidos como una superestructura simbólica que articula saber, cultura y procesos de subjetivación (véase sección correspondiente).

A partir de una lectura de Marx (1988), centrada en las relaciones entre trabajo, sujetos y productos, es posible problematizar las premisas epistemológicas que conciben el saber cómo

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una construcción exclusivamente individual. Desde esta perspectiva, el objeto conceptual producido por el estudiante puede interpretarse como una forma de expresión subjetiva vinculada a su actividad. Sin embargo, en el contexto escolar, el saber cultural – inscrito en el currículo y en los libros de texto – suele presentarse como una entidad relativamente independiente del estudiante (Radford, 2017c). Esta tensión puede dificultar que el estudiante se reconozca en los objetos matemáticos que produce y, en determinados casos, propiciar formas incipientes de alienación en el aula.

Alienación El primero en teorizar acerca de la alienación fue Hegel, quien la consideró “una condición generalizada en la sociedad moderna, definida como la separación de los sujetos de su trabajo, de su espíritu y del mundo natural” (Moreno y Vergel, 2024, p. 29). Por su parte, Leontiev (1978), de trascendencia ideológica marxista, plantea que la alienación es la ruptura entre los sentidos y los significados. El término alienación lo usa Marx en su célebre y revolucionario Manuscrito de Economía y Filosofía de 1844, y se puede entender inicialmente como ajeno al ser humano (Marx, 1988). El individuo que no tiene la posibilidad de plasmar en el producto de su trabajo su expresión humana (su subjetividad) es un individuo alienado (Radford, 2016, 2017c; Radford y Roth, 2017).

Este término se incorpora a la educación matemática a partir de la analogía entre ciertas prácticas y dinámicas laborales y escolares. Desde una perspectiva crítica, algunos autores sostienen que la educación, en contextos de capitalismo avanzado, se ha institucionalizado como parte de estructuras económicas y políticas más amplias. En este marco, Freire (1972) critica la concepción bancaria de la educación, al señalar que puede constituir una forma de dominación que reduce a los sujetos a posiciones pasivas. En una línea afín, y a partir de una lectura de Marx

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(1988), se ha planteado que, en determinados contextos, la escuela puede llegar a operar como si fuera una “fábrica de embutidos”, metáfora que alude a procesos de estandarización del conocimiento (Radford, 2016).

Los estudiantes en el aula de clase de matemáticas se sienten alienados, ya que los objetos creados por estos no los representan individual o socialmente, las ecuaciones que crean, las gráficas que realizan, los problemas que realizan se encuentran en un mundo intangible que no es susceptible para ellos12 (Radford y Roth, 2017). De ahí que los “conocimientos” que se adquieren en este sentido son efímeros y por qué no decirlo, fútiles. Radford (2017c) plantea que el objeto conceptual que la labor del estudiante produce, se opone al saber cultural que (inscrito en el currículo y en los libros de texto) es visto como un poder independiente del estudiante, este a su vez añade:

No creo que sea una exageración decir que, en la actualidad, lo que la mayoría de los estudiantes encuentran en la clase de matemáticas es alienación. Estar en la clase de matemáticas, es encontrarse en un espacio en el que el estudiante no se reconoce; es estar en un espacio ajeno. (p. 141)

Una posibilidad: La Teoría De La Objetivación Para eliminar o menguar el problema de la alineación (que responde a prácticas individualistas) en el aula de clases, en el marco del proceso enseñanza/aprendizaje del saber de función trigonométrica y en el marco del enfoque histórico cultural de la presente investigación, se debe centrar la atención en la apropiación de los objetos histórico-culturales. En ese orden de

12 Desde una perspectiva filosófica, modernamente el problema de la alienación en el aula de clase se rastrea hasta Kant al dividir el mundo en dos: sensible y no sensible, es decir, material y el mundo de las ideas platónicas (universales e invariantes) el cual es ajeno a la actividad humana.

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ideas, en búsqueda de eliminar o menguar la alienación en la enseñanza y aprendizaje de la función trigonométrica y que a su vez propenda por el encuentro de los estudiantes con el encuentro de saberes histórico-culturales, se apostó por la Teoría de la Objetivación (TO) de Luis Radford como marco teórico y epistemológico.

Desde la TO, alienación hace referencia a la falta de objetivación, a la producción de objetos que no son autoexpresiones del individuo en el entorno histórico-cultural en el que se desenvuelve, por lo que la labor hecha por el sujeto es destinada a satisfacer necesidades externas a él mismo (Radford, 2016; Radford y Roth, 2017).

La TO establece que cualquier aprendizaje que se considere significativo, por lo general, estará atado al sujeto (implícitamente, a las emociones) y al ambiente histórico-cultural en el que se desarrolle. Por lo tanto, un aprendizaje netamente subjetivo, donde el individualismo tenga su máxima expresión, fomenta igualmente la alienación en el estudiante, ya que su subjetividad representada en el objeto matemático suyo no está acorde con el medio histórico-cultural en el que se desenvuelve. Radford (2021a) plantea que “en gran medida, la escuela se ha convertido en sitio de producción de sujetos alienados” (p. 45). El problema de la apropiación de los saberes en la educación matemática puede atenuarse si se fomenta la desalienación en el aula de clases de matemáticas (Radford, 2016).

Es clara entonces la necesidad latente por presentar las matemáticas al estudiante como en realidad son, un producto del trasegar humano por diferentes épocas y contextos que fueron transformadoras y a su vez transformadas en su interacción con la cultura, ontología, economía y política de cada época. Al reconocer esto, se pueden desvanecer las barreras epistemológicas, “misconceptions” en términos de Sierpinska (1992) instauradas por el statu quo de la educación en el aula de clase. Radford (2016) plantea la “posibilidad de superar la alienación a través de la

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reconceptualización de la enseñanza y aprendizaje de las matemáticas basada en una ética comunitaria histórico-cultural, solidaria y crítica” (p. 258).

Para la TO – como se ampliará en el marco teórico – la actividad es la categoría ontológica central (en ella ocurren los procesos de objetivación y subjetivación), por lo que es hacia ella donde deben apuntar los esfuerzos de investigación en el aula de clase. Esta actividad se orienta hacia el encuentro con el saber de función trigonométrica y promueve procesos de objetivación (entendidos como procesos graduales de toma de conciencia), así como procesos de subjetivación. Del saber en mención, se centró en comprender las relaciones de dependencia entre magnitudes (variables) en fenómenos periódicos y no su concepción estructural netamente abstracta13. Por lo que, en la presente investigación, la actividad que ocurre en el aula de matemáticas tiene un objeto: el encuentro de los estudiantes con formas histórico-culturales de pensar matemáticamente sobre fenómenos periódicos a través de las funciones trigonométricas.

Pregunta De Investigación Los obstáculos histórico-culturales y epistemológicos asociados al proceso de enseñanza y aprendizaje del saber de función trigonométrica, junto con ciertas concepciones individualistas que privilegian la idea de un sujeto autónomo y desvinculado de su contexto histórico-cultural, configuran una problemática compleja. Estas concepciones pueden dificultar la articulación entre el conocimiento matemático y la experiencia social del estudiante, lo que, en algunos casos, limita su reconocimiento en los saberes que aprende.

13 No se pretende eliminar el enfoque estructural, lo que se quiere evitar es iniciar el abordaje desde este enfoque. Para que la comprensión de cierto saber sea más significativa se deben relacionar dialécticamente ambos enfoques: operacional y estructural (ver apartado “Objetivación Del Saber De Función Trigonométrica” en el marco teórico)

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Se planteó que el abordaje de estas problemáticas desde el enfoque histórico-cultural de la Teoría de la Objetivación podría contribuir a su comprensión y, potencialmente, a su atenuación. En este marco, el encuentro con el saber cultural, mediado por una actividad conjunta, favorecería el desarrollo de procesos de objetivación que permiten interpretar dicho saber en términos dialécticos. En este contexto, la pregunta de investigación fue la siguiente: ¿Cómo son los procesos de objetivación que desarrollan los estudiantes cuando se enfrentan a tareas referentes al saber de la función trigonométrica?

De acuerdo con los planteamientos de Radford (2023a), Sfard (1992) y Sierpinska (1992), y en consonancia con las orientaciones del National Council of Teachers of Mathematics

- NCTM (2020) – que destacan la necesidad de transitar de una enseñanza centrada en la

memorización de procedimientos hacia enfoques que promuevan el desarrollo conceptual, el uso de múltiples representaciones, el modelamiento matemático y la resolución de problemas, esta investigación se centró en el análisis de los procesos de objetivación más que en los resultados finales del aprendizaje.

Objetivos La categoría ontológica central sobre la cual se centran los esfuerzos metodológicos e investigativos es la actividad entendida como labor conjunta (Radford, 2023a). A raíz de esto se tejió el objetivo general de investigación: Analizar los procesos de objetivación que desarrollan los estudiantes cuando se enfrentan a tareas respecto al saber de función trigonométrica, en donde el interés no radicó en el resultado final del aprendizaje de los estudiantes, sino en la evolución y desarrollo gradual de los procesos de objetivación emergentes en el encuentro de las formas histórico-culturales de pensar matemáticamente sobre fenómenos periódicos a través de las funciones trigonométricas.

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Desde el materialismo dialéctico de la TO los procesos de objetivación no están aislados. En un mismo proceso de actividad donde emergen procesos de objetivación implícitamente también emergen procesos de subjetivación, en consecuencia, para analizar dichos procesos de objetivación se debe considerar la dialéctica emergente entre los procesos de objetivación y subjetivación en el encuentro del saber de función trigonométrica. No obstante, es pertinente precisar que el foco central de esta investigación se sitúa en los procesos de objetivación. En concordancia con esto, a continuación se sintetizan los objetivos específicos:

● Analizar los saberes que son causa y efecto de los procesos de toma de conciencia en

el encuentro de los estudiantes con el saber de función trigonométrica al reconocer su carácter dual de proceso/objeto.

● Analizar los procesos de subjetivación, en el marco de la ética comunitaria, que

emergen en el encuentro de los estudiantes con el saber de función trigonométrica.

Ahora bien, enseguida se explicará por qué el objetivo general y los objetivos específicos inician con el verbo “analizar”, lo cual algunos investigadores de la comunidad científica consideran incoherente en una investigación de enfoque histórico-cultural. En términos generales, la Teoría de la Objetivación (TO) puede rastrearse en una serie de investigaciones desarrolladas durante la década de 1990. En estos trabajos, autores como Bartolini-Bussi (1991), Lerman (1992) y Boero et al. (1995), entre otros, se interesaron por comprender el papel de la cultura, la historia y la sociedad en el aprendizaje. Como señala Radford (2014), estos estudios comparten, en distinta medida, una afinidad con la tradición intelectual soviética del siglo XX, la cual estuvo influida por los planteamientos de Lev Vygotski, quien constituye un referente central en el desarrollo de la TO.

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Desde esta perspectiva, el análisis no se limita a la descomposición de un fenómeno en sus partes, sino que implica el estudio de dichas partes en relación con el todo del que forman parte. Este enfoque resalta la importancia de las relaciones entre los distintos elementos que configuran un fenómeno y favorece una comprensión de carácter relacional. En este sentido, el enfoque histórico-cultural, en el que se inscribe la TO, ha contribuido a incorporar perspectivas de carácter holístico en la didáctica de las matemáticas. En contraste con aproximaciones que privilegian el análisis fragmentado, Vygotski (2001) propone la comprensión mediante unidades que conservan propiedades del todo. A lo que señala:

[…] buscamos sustituir el análisis que aplica el método de la descomposición en elementos por el análisis que desmiembra la unidad compleja del pensamiento discursivo en varias unidades, entendidas estas como productos del análisis que, a diferencia de los elementos, no son momentos primarios constituyentes en relación con todo el fenómeno estudiado sino a algunos de sus elementos y propiedades concretas, los cuales, a diferencia también de los elementos, no pierden las propiedades inherentes a la totalidad y son susceptibles de explicación y contienen, en su forma más primaria y simple, aquellas propiedades del todo en función de las cuales se emprende el análisis. (p. 397)

Vygotski (2009) plantea que analizar un proceso implica “que la tarea básica de la investigación se convierte en una reconstrucción de cada estadio en el desarrollo del proceso: éste debe ser devuelto a sus estadios iniciales” (p. 100), Desde la perspectiva histórico-cultural, esta concepción del análisis permite identificar dimensiones del fenómeno que pueden contribuir a la generación de nuevo conocimiento en el campo de la educación matemática.

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Finalmente, Vygotski (2009) en dos de los tres principios planteados para analizar un fenómeno, particularmente la actividad, plantea que se deben analizar procesos y no objetos (este principio explica la necesidad de superar el carácter estático de los análisis de los fenómenos), respecto a lo cual menciona que “el análisis psicológico de los objetos debería contrastarse con el análisis de los procesos, que requiere un despliegue dinámico de los principales puntos que constituyen la historia de los procesos” (p. 99). Otro principio es el de explicar y transformar los fenómenos en vez de solo describirlos (este segundo principio indica que la investigación debe superar el carácter descriptivo sobre el objeto), dado que “la simple descripción no revela las relaciones dinámico-causales reales que subyacen a los fenómenos” (p. 99). En síntesis, en esta investigación, el analizar implica más que realizar la etapa de análisis que una investigación implica, analizar, tiene una carga conceptual y metodológica a luz del enfoque histórico-cultural de Lev Vygotski (Pérez, 2020), en donde la realidad solo se puede comprender como totalidad y no como una suma de análisis de elementos aislados (Pérez, 2020, p.95). El análisis posibilita entonces el acercamiento hacia los fenómenos, precisamente por la capacidad de no únicamente distinguir el movimiento, sino, además, interpretarlo y transformarlo.

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Marco Teórico Cuanto más asuman los hombres una postura activa en la investigación temática, tanto más profundizan su toma de conciencia en torno de la realidad y explicando su temática significativa, se apropian por ella (Freire, 1972, p. 131)

El complejo entramado teórico que sustenta la investigación se fundamentó en la imbricación conceptual entre la Teoría de la Objetivación (Radford, 2006, 2013, 2014, 2015, 2017a, 2017b, 2017c, 2018, 2020b, 2023a) y el saber histórico-cultural de función trigonométrica (Sierpinska, 1992; Sfard, 1992; Weber et al., 2008; Bressoud, 2010; Kendal y Stacey, 1997; Altman y Kidron, 2016 y Kamber y Takaci, 2017). Esta imbricación teórica tuvo como fundamento epistemológico el materialismo histórico-dialéctico de Hegel (2011, 1966) y Marx (1988), el concepto de educación emancipatoria de Freire (1972) y la escuela de pensamiento de Vygotski (2001, 2009), así como los enfoques de la teoría de la actividad de Leóntiev (1969, 1984) y la perspectiva ética de Lévinas (2005).

En consecuencia, la TO concibe la enseñanza y el aprendizaje como un único proceso que implica tanto el saber cómo el devenir de los individuos (Radford, 2023a), por lo que, al contrario del paradigma individualista, “en la teoría de la objetivación no hacemos una distinción entre la actividad del profesor y la actividad del estudiante en el aula” (Radford, 2021b, p. 116), existe una única actividad de enseñanza-aprendizaje realizada por ambos denominada labor conjunta en pos de una obra en común.

La TO se fundamenta en el proyecto educativo/emancipatorio freireano al concebir la educación como práctica de la libertad (Freire, 1972), el cual no se centra solo en el saber, sino también en el devenir del ser, por lo que el foco de atención (respecto a las corrientes pedagógicas predominantes) se desplaza de cómo los estudiantes reciben el saber (enseñanza por

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transmisión de saberes) y de cómo los estudiantes construyen su propio saber (constructivismo), a cómo los profesores y los estudiantes, al trabajar juntos, producen saberes en el aula apoyados siempre en su historia y su cultura. Pero el enfoque también se desplaza a cómo los profesores y los estudiantes se coproducen a sí mismos como sujetos, en general, y como sujetos de la educación, en particular. (Radford, 2023a, p. 30) Particularmente, para teorizar sobre ese saber histórico-cultural, la TO se inspira en el materialismo dialéctico, en la fusión entre el idealismo y el materialismo. La TO toma del idealismo de Hegel la dialéctica y del materialismo de Marx la actividad entendida como labor conjunta. El materialismo y la dialéctica se funden en la TO en la concepción de eso que objeta al individuo, ese objeto es histórico-cultural, es abstracto y potencial, no tiene determinaciones, pero en su relación con los individuos al entrar en actividad (es decir mediante la labor conjunta) se modifica dicho objeto y los sujetos, por lo que la relación expuesta es una relación dialéctica, de forma tal que el individuo después del encuentro con ese objeto histórico-cultural se transforma, a su vez que se transforma eso que lo objeta.

En consecuencia, la producción de ideas (objetivación) y las formas de colaboración humana (subjetivación) no operan de manera indiferente a la otra parte. Estos dos procesos están entrelazados (objetivación y subjetivación); son dos caras de la misma moneda, no se puede tener la una sin la otra.

Teoría De La Objetivación (TO): Una Propuesta Histórico-Cultural En Investigación Matemática Esta investigación adopta la Teoría de la Objetivación (TO) como referente teórico fundamental. Dicha perspectiva no solo articula el sustento conceptual, sino que también define

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las directrices del diseño metodológico. En consonancia con lo expuesto previamente, el objetivo general se centra en el análisis de los procesos de objetivación, cuya implementación metodológica se fundamenta en los planteamientos de Radford (2017b, 2022b, 2023a). Saber y Conocimiento Para llegar a analizar los procesos de objetivación (procesos de toma de conciencia, aprendizaje) cómo lo plantea la pregunta de investigación, primero se debe dar una “explicación satisfactoria del objeto del aprendizaje y de la naturaleza de ese objeto” (Radford, 2017a, p. 97). Generalmente los conceptos de saber y conocimiento muchas veces no son teorizados en la didáctica de las matemáticas, generalmente ambos se toman como sinónimos. En la TO, además de que ambos conceptos se deben concebir en un sentido dinámico, como procesos y no como productos, ambos tienen un significado diferente.

Saber. Radford (2017a) considera el saber “no como objeto que se construye o se transmite [o se posee], sino como posibilidad, es decir, algo potencial que emerge de la actividad humana y que se imbrica en un proceso de devenir” (p. 100). Dicha potencialidad no se debe concebir de una forma platónica: universal y atemporal independiente de la labor humana, sino como algo amorfo, indefinido e imperceptible por la conciencia, como el sonido antes de producirse, como el concepto del teorema de Pitágoras, o en este caso, el concepto de función trigonométrica.

El saber es en efecto potencialidad. Las culturas generan formas de hacer cosas, estas son el saber, el cual es potencialidad ya que un individuo de dicha cultura tiene la posibilidad (la potencialidad) de encontrar esas formas de hacer perfilándose como potencialidad de pensamiento (hasta que el individuo no encuentre esas formas de hacer, no se familiarice con ellas, son solamente potencialidades). Estas formas de hacer (saber) constituidos histórica y

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culturalmente se deben entender como el producto de la labor conjunta de individuos que se funden en una necesidad común y no como “formas platónicas universales y atemporales independientes del trabajo humano” (Radford, 2017a, p. 101), esto es, los saberes “no están ahí, en un cierto espacio, como cosas petrificadas, sino que están siendo. Son tan históricas como los hombres” (Freire, 1972, p. 132).

Saber también debe ser entendido como algo que se le opone al individuo, algo que se le objeta; precisamente de allí viene el nombre de la teoría de la objetivación14, no como una acumulación de objetos que simbolizan pensamiento o conceptos abstractos que en su interrelación o acumulación se fomenta una aprensión más elaborada de un fenómeno, sino en la concepción de un Objekt que está en curso de ser un Gegenstand, es decir, un objeto que se le antepone al sujeto, un objeto “en sí” que mediante un proceso de actividad se convierte en un objeto de conciencia Gegenstand, un objeto “para sí” (ver sección de objetivación). En síntesis, la Teoría de la Objetivación (TO) sostiene que el saber posee una existencia independiente del individuo singular; los sujetos se encuentran con estas formas estandarizadas de ser, hacer y actuar en el curso de la vida. Lo anterior no sugiere que los saberes constituyan entes platónicos universales ajenos a la humanidad. Por el contrario, el saber se cristaliza en la labor humana como respuesta a necesidades comunes. Una vez que la cultura legitima estas prácticas, tales formas de acción y pensamiento se consolidan como potencialidades para las generaciones futuras. En consecuencia, el saber permanece en constante transformación y movimiento mediante procesos de actualización (ver Figura 1). Asimismo, su naturaleza es contingente a cada contexto (Lizcano, 1993, 2006), de modo que el saber se encuentra vinculado

14 “El nombre ‘objetivación’ trata de expresar la idea de que los sistemas de pensamiento cultural e históricamente constituidos que, al nacer, ya existen, en nuestra cultura, pero que aún no hemos encontrado, al principio nos objetan (es decir, nos ponen resistencia, se oponen a nosotros)” (Radford, 2020, p. 20).

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y supeditado a la superestructura simbólica o visión cosmológica de la cultura respectiva (Radford, 2020b).

Figura 1 Dialéctica entre saber y conocimiento

Nota: El saber K (Knowledge) se pone en movimiento por la actividad humana (simbolizada por las flechas) y se actualiza en una forma desarrollada: conocimiento k (knowing). Ya con el conocimiento, los individuos de cierta cultura mediante la labor conjunta pueden refinar, ajustar y transformar el saber K, obteniendo un nuevo saber K’. Este nuevo saber, puede ahora, mediado por otras actividades, actualizarse en otro conocimiento k’; esto es, al actualizar el saber en un objeto de conciencia después de un proceso de legitimación cultural puede transformarse en un nuevo saber. Tomado de Radford (2023a)

Se advierte que el saber se da tras un proceso cultural de legitimación. Según el materialismo dialéctico, el saber está en continuo movimiento y transformación. Este proceso de movimiento, transformación y refinamiento del saber se produce por medio de un proceso de determinaciones que se suceden entre sí y en el que aparecen nuevas conexiones. Las nuevas conexiones del saber no se limitan a sustituir a las antiguas; las nuevas conexiones vehiculan, de forma condensada y con tensiones, los significados de las formaciones teóricas previas. (Radford, 2023a, p. 59)

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En este proceso histórico, los significados anteriores quedan subsumidos en los nuevos significados; Hegel (1966) plantea que el saber pasa de algo abstracto a algo concreto mediante un proceso continuo de determinaciones, de forma tal que las nuevas determinaciones no reemplazan las antiguas, por lo que el saber lleva la huella de la actividad humana históricocultural por la que pasaron dichas determinaciones (ver Figura 1). Sin embargo, no se puede invisibilizar el curso social y político de las revoluciones científicas (Kuhn, 1971) que se ha llevado a lo largo de la historia, en donde ciertas propiedades iniciales de los objetos son desechadas ya que entran en contradicciones con esquemas de pensamiento culturales (Piaget,

1986).

Bajo esta perspectiva, se ha relegado una parte significativa de la génesis procesual de diversos objetos matemáticos contemporáneos. En numerosos casos, el interés se concentra en los desarrollos estructurales y abstractos característicos de la matemática formal, desplazando a un segundo plano las construcciones inscritas en procesos de actividad. Estas emergen de necesidades históricas y culturales concretas, las cuales constituyen el fundamento del desarrollo del conocimiento matemático.

Es claro entonces que el saber no se debe concebir como un fenómeno natural sino cultural, por lo que de forma concreta el saber matemático “se ha creado mediante un largo proceso de refinamientos y concreciones (lenguaje natural, simbolismo alfanumérico, gráficos, etc.) y se ha codificado en la memoria y en las prácticas culturales” (Radford, 2023a, p. 61). Ahora bien, al actualizarse a través de procesos de actividad intencionados, el saber se muestra y se materializa en algo perceptible, sensible y concreto: el conocimiento.

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Conocimiento. Para la TO, al inscribirse en un enfoque histórico-cultural, el conocimiento está lejos de ser algo netamente subjetivo, es algo más complejo, el conocimiento es una obra común.

Es prudente reconocer que las palabras castellanas saber y conocimiento, debido a larga tradición epistemológica arraigada, dificulta la verdadera concepción de ambas desde la TO, saber y conocimiento se ocultan tras una barrera invariante, inamovible y totalmente subjetiva. En la TO, desde el inglés, saber es knowledge y conocimiento es knowing (Radford, 2017a), es decir, algo sensible que está ocurriendo, una acción (ver Figura 1). Esto es, el conocimiento es la materialización de una manera de hacer, cuando estas se ponen en marcha es cuando se empieza a materializar el saber, empieza a aparecer el conocimiento. Saber y conocimiento están entrelazados: el primero es una manera de hacer y el segundo es realizar esa manera de hacer, llevarla a cabo, efectuar dicha manera de hacer (ponerla en marcha). Así como la música no son las notas musicales sino la ejecución de estas a través de los instrumentos, las matemáticas (saber/general) no son los símbolos en las páginas de un libro, es lo que se hace sensible a través de la obra común de profesores y estudiantes en el aula de clase (conocimiento/singular), en el caso de la presente investigación, el conocimiento es el contenido concreto que se muestra de las formas histórico-culturales de pensar matemáticamente sobre fenómenos periódicos a través de las funciones trigonométricas en una reflexión teórica o practica sensible, es la manera como esos arquetipos de pensamiento adquieren actualidad. El saber de función trigonométrica no es un ente sensible, pero adquiere dicha característica al entrar en actividad, al relacionarse dialécticamente con estudiantes y profesores en el marco de una ética comunitaria, la función trigonométrica es lo general (saber), la actualización y materialización (de este) a través de la actividad es singular (conocimiento).

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Al llevar los planteamientos de Hegel (1966) a la TO, se puede establecer que el saber (lo “en sí”) al ser actualizado adquiere connotaciones sensibles que permiten que se configure como un “ser para la conciencia” (proceso de toma de conciencia), es decir, lo “en sí” se convierte en “para sí”, en conocimiento. El conocimiento es algo susceptible por la conciencia, el saber no, es potencialidad pura.

Ahora bien, esa manera de hacer, ese saber es posibilidad pura carente de existencia por sí mismo, lo general, lo abstracto, la potencialidad no tiene el poder de aparecer por sí mismo a la realidad objetiva del hombre, no puede ser objeto de conciencia (Hegel, 1966). Al ser sometido a un proceso de actividad (entendida como labor conjunta) ciertas características del saber se tornan sensibles de forma gradual para los individuos involucrados en la actividad, dando cabida al conocimiento (al actualizar el saber), en otras palabras “el conocimiento es resultado de una mediación. No existe el conocimiento sin mediación: todo conocimiento es mediado, y lo que lo media es una actividad” (Radford, 2023a, P. 63), dicha mediación se realiza en la labor conjunta entre profesores y estudiantes por medio de artefactos y modos de interacción humana que son históricos y culturales.

Es claro entonces que el conocimiento lleva la huella de la actividad que lo media (Ilyenkov, 1977), esto es, la manera como se llega al saber es consustancial con las especificidades del proceso de conocimiento (Radford, 2013). El conocimiento está impregnado de la actividad que lo media, “la actividad demarca la manera en la que el saber se manifiesta en el conocimiento” (Radford, 2017a, p. 109), por ende, la forma como se llega al conocimiento está determinada no de manera causal, sino dialéctica (la actividad media el saber y conocimiento, a su vez estos dos median a la actividad).

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Actividad En La TO ¿Se puede tratar la noción de triángulo o de función trigonométrica? Como se ha establecido, desde la TO, cualquier saber matemático solo puede llegar a la existencia sensible mediante la actividad práctica y colectiva que a su vez es contextual-sensual-intelectual y material (Radford, 2023a). Es solo mediante la actividad que las características abstractas del saber adquieren una determinación contextual sensible y se transforma en una forma singular (conocimiento), “solamente como tal, como conocimiento, el saber puede ser un objeto sensible de pensamiento y como tal ser modificado y ampliado” (Radford, 2017a, p. 109), el saber por sí mismo no tiene poder de revelarse a la conciencia (Hegel, 1966).

En la terminología hegeliana se dice que el objeto “en sí” mediante un proceso de actividad se convierte en un objeto “para sí” (Radford, 2023a). En síntesis “la actividad actualiza el saber, le da vida, como la actividad de tocar un violín da vida a las notas musicales” (Radford, 2023a, p. 63), por lo que no se puede concebir el saber de función trigonométrica, pero mediante la actividad humana esta idea abstracta, general e inmaterial se torna como un fenómeno sensible “una forma singular desarrollada de algo general que antes de ser puesto en movimiento por la actividad en el aula era potencialidad, pura posibilidad” (Radford, 2023a, p. 73). De lo anterior se establece tácitamente que una misma actividad puede ir al encuentro del saber y a su vez ir al encuentro de las formas de interacción humanas históricas y culturalmente constituidas, es decir, en los procesos de actividad están inmersos procesos de objetivación y subjetivación indisociables (ambos conceptos se ampliarán más adelante). Una misma actividad puede tener procesos de objetivación y subjetivación en relación dialéctica entre saber/conocimiento y a su vez entre ser/subjetividad (ver Figura 2), así pues, la actividad no es un mecanismo causal entre saber y conocimiento y entre ser y subjetividad.

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Figura 2 Imbricación entre objetivación y subjetivación en la actividad

Nota: tomado de Alves y Noronha (2020). El proceso de objetivación (saber - conocimiento) y subjetivación (ser subjetividad) se coproducen dialécticamente, no puede darse uno sin el otro.

Labor Conjunta.

La actividad en la TO es fenomenológica, quiere decir que actúa en el espacio y el tiempo, es actual, sensual y práctica, es lo que pone en movimiento el saber histórico-cultural y lo transforma en conocimiento a través de las formas de colaboración humana. En la TO, la actividad no se reduce a una concepción funcional y técnica, a una secuencia de acciones que un individuo realiza, al hecho de estar ocupado en algo o a una interacción elemental entre personas (como lo es para algunas teorías pedagógicas). La actividad en la TO es un evento creado por una búsqueda común (con otros) cognitiva, emocional y ética de la solución de un problema planteado (Radford, 2017b), la actividad en la TO “se refiere a un sistema dinámico orientado a la satisfacción de necesidades colectivas” (Radford, 2020b, p. 23)

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por lo que los productos de dicha actividad también son colectivos. Esta actividad en la TO se denomina labor conjunta15 (Radford, 2020b, 2023a).

En la actividad del aula de clase, profesores y estudiantes laboran juntos hacia la producción de una obra común, la cual se refiere a la necesidad que tiene un grupo social en lograr ciertos objetivos donde se implican las subjetividades que se movilizan (Hegel, 2001). En la presente investigación la obra común se configura como la aparición sensual o sensible del saber de función trigonométrica mediante la solución de problemas enmarcados en una unidad contextual significativa que privilegie el análisis de fenómenos periódicos variables. Es claro entonces que la categoría ontológica central en la TO es la actividad (entendida como labor conjunta)16, y ya que en la TO los procesos cognoscitivos están ligados a procesos de devenir (Radford, 2020b), la actividad media el saber y el conocimiento (procesos de objetivación), así como el ser y la subjetividad (procesos de subjetivación), en una relación dialéctica materialista.

Desde este enfoque filosófico la actividad permite concebir el proceso enseñanzaaprendizaje no como dos actividades aisladas, la primera realizada por el docente y la segunda por el estudiante, “sino como una única y misma actividad: la misma labor conjunta de profesory-estudiantes” (Radford, 2023a, p. 38), en dicha actividad profesor y estudiante no hacen lo mismo, pero esto no impide que ambos trabajen juntos hombro a hombro de una forma comunitaria y ética, por lo que así como en cualquier relación social “la obra común del profesor

15 Radford (2023a) diferencia dos tipos de actividad con base a su traducción del alemán: aktivität y tätigkeit. En la primera, la actividad es reducida a una concepción funcional y técnica, a una secuencia de acciones que un individuo realiza, al simple hecho de estar ocupado en algo o a una simple interacción entre personas (como lo es para algunas teorías pedagógicas). En la segunda la actividad se considera una labor conjunta. 16 En las teorías neo-vygotskianas y las teorías que se centran en los desarrollos de Vygotski, ponen al lenguaje como eje central, como la unidad de análisis, como la unidad fundamental a investigar en los procesos de cognición debido a su rol epistemológico. Para la TO el lenguaje es un medio más, no es el eje central; el eje central es la actividad (según los planteamientos del materialismo dialéctico). En la TO el lenguaje, así como la entonación, los géneros discursivos y demás, hace parte de la actividad, es un medio semiótico más.

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y de los estudiantes es portadora de tensiones dialécticas debido a las contradicciones emocionales y conceptuales de las que está hecha” (Radford, 2023a, p. 29). Al atender a su naturaleza dialéctica, esta actividad enseñanza-aprendizaje se basa en dos ejes entrelazados “(a) las formas históricas y culturales de producción material, intelectual y espiritual de la vida colectiva y (b) las formas de colaboración humana” (Radford, 2032a, p. 67). Ambos ejes: la legitimación del saber y el carácter ético de la interacción en el aula (respectivamente), que son la esencia del aprendizaje en la TO, “están asociados dialécticamente a la forma en que profesores y estudiantes entienden su compromiso y sus responsabilidades en el aula de matemáticas y se ven a sí mismos como practicantes de la matemática escolar” (Radford, 2023a, p. 256).

En consecuencia, para que una actividad se configure como labor conjunta, direccionados hacia el saber en cuestión, emergen procesos de objetivación y subjetivación, por lo que inherentemente las formas éticas de interacción serán predominantes para que se configure la labor conjunta. Estos tres factores (procesos de objetivación, subjetivación enrutados hacia el saber histórico-cultural) se configuran como las categorías de análisis en la presente investigación (ver capítulo de categorías de análisis del marco metodológico). Componentes De La Actividad. A raíz de la influencia del famoso triángulo de Vygotski, así como el signo media el estímulo y la respuesta (Vygotski y Luria, 1994) en el marco de las leyes genéticas del desarrollo cultural, en la TO la actividad media el saber y el conocimiento, esto es, a través de la actividad es que el saber se actualiza en conocimiento, el saber no está en relación directa con el conocimiento. En consecuencia, a partir de la relación dialéctica entre saber (general), actividad (particular) y conocimiento (singular), se reconocen dos componentes de la actividad enseñanza-aprendizaje (ver Figura 3): una es relativa a la

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organización didáctica (componente Φ) y la otro tiene que ver con la actividad en sí misma (componente Θ), como un sistema en movimiento.

Figura 3 Relación entre el general, el particular y el singular

Nota: Tomado de Radford (2013).

Estructura Objeto-Meta-Tarea – Componente Φ (Didáctica). Desde la componente didáctica, la actividad se enfoca en la estructura objeto-meta-tarea de la misma, es decir, en la estructura de la actividad propuesta por Leontiev (1984), la cual consta de una necesidad (apropiación de la cultura), un motivo real (apropiación del saber históricamente acumulado), objetivos (enseñar y aprender) y propone acciones que consideran las condiciones objetivas de la institución escolar (Moura et al., 2016).

La particularización del general por el particular, considerado como actividad, es lo que Leontiev (1978) llamó el objeto de la actividad, el cual está atado a un motivo, a una necesidad, “no hay actividad sin motivo” (Leontiev, 1984, p. 84). El particular como actividad se mueve hacia el objeto a través de la identificación de metas, a las que se llegan mediante tareas específicas. Esta estructura objeto-meta-tarea corresponde a la relación Φ de la Figura 3, la cual trata de la intención pedagógica de la actividad en el aula de clase (Radford, 2013).

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El objeto de la actividad se enfoca al encuentro con el saber en cuestión, la meta guía la actividad hacia su objeto y las tareas son las acciones específicas para llegar a la meta (en la Figura 4 se especifica la estructura objeto/meta/tarea – Componente Φ didáctica – de la presente investigación). Radford (2023a) plantea que esta estructura de la actividad objeto-meta-tarea fue introducida por Leontiev (1984, 2005) pero en la TO se añadió un análisis epistemológico del contenido matemático complementado con un análisis a priori (estudio anticipado de la situación de enseñanza).

Ahora bien, la TO no es una teoría prescriptiva, determinista y prediseñada (en cuanto a la planificación metodológica), no realiza una planificación en un sentido tecnológico e instrumentalista (como sí lo hacen las corrientes francesas, por ejemplo, la ingeniería didáctica). La TO planifica; en esta el profesor es más bien como un artista: va moldeando la piedra con un cincel a medida que se va mostrando. El diseño metodológico adquiere una naturaleza flexible, donde lo relevante ocurre en la actividad en si (en la labor conjunta). Sin embargo, la imposibilidad de realizar un eficaz–idealizado diseño de la actividad (esto es, que los resultados esperados correspondan con los reportados realmente), no debe repercutir en un empirismo absoluto y en una anarquía didáctica.

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Figura 4 Estructura (objeto-meta-tarea) de la actividad

La planificación en la TO se inicia desde la componente de la organización o estructura de la actividad, donde el diseño de tareas es central. Este diseño debe tener el objetivo de posibilitar el encuentro de los estudiantes con el saber, para ello la meta de la estructura de la actividad debe encaminarse hacia dicho objetivo y a su vez para dar cumplimiento a la meta se diseña la tarea, la cual se compone de una serie de problemas (configurados por preguntas y acciones) que son de dificultad conceptual creciente, están entrelazados con la unidad contextual y en donde las soluciones de los problemas previos son insumos para proporcionar soluciones a problemas más complejos (esto se amplía en el marco metodológico).

Respecto al diseño de la tarea (problemas matemáticos) Radford (2023a) plantea las siguientes consideraciones:

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● Tareas interesantes. “Concebir problemas matemáticos en un contexto lúdico o

narrativo en el que las acciones de los individuos motiven la reflexión matemática” (p. 165)

● Niveles de conceptualización. Los problemas de la tarea deben ser de unidad

contextual creciente, para esto se establecen 3 niveles de conceptualización: el primero se basa en una experiencia sensual mediante el uso de artefactos concretos; el segundo se configura en una reflexión teórica básica y el tercero se enfatiza en la manipulación de símbolos matemáticos

● Unidad conceptual y contextual. Organizar los problemas en una unidad contextual

narrativa, alrededor de la cual se formulen las preguntas. De esta forma se pueden generar interconexiones interdisciplinares y atribuirle sentido a la estructura de la actividad.

● Complejidad conceptual creciente. Los problemas de complejidad conceptual

creciente contribuyen a la creación de un espacio de reflexión y debate entre estudiantes y profesores en pro de la producción de una obra común.

Actividad En Sí – Componente Θ. La otra componente de la actividad enseñanzaaprendizaje es la actividad en sí misma, entendida como el proceso situado en el espacio-tiempo que materializa el saber en algo inteligible (Radford, 2023a). El particular como actividad que actualiza el general en una forma individual o singular es lo que la relación Θ expresa en la Figura 3, actividad como movimiento actualizado y concreto, lo cual permite que emerja paulatinamente el singular a medida que ciertas características del general van tomando determinaciones sensibles (Radford, 2013). Esto constata la característica de indeterminación de

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la actividad en sí, la forma en que los profesores y estudiantes interactúan no puede ser determinado de antemano, la manera en cómo se de la actividad en sí, y por ende la manera en que el singular va tomando forma, dependerá de la manera en que se impliquen profesores y estudiantes en la labor conjunta, de cómo se comprometan, cómo se respondan unos a otros, etc. Al actualizar la potencialidad (general: saber) mediante lo particular (la actividad en sí), ese saber (esa forma de acción y reflexión histórico-cultural) adquiere determinaciones concretas y específicas que permiten convertir ese objeto sin forma, ese objeto en sí en un objeto para sí, en un objeto de conciencia, es decir en conocimiento (singular). La Figura 3 no da fe de la naturaleza del particular, la actividad no es estática, por lo contrario, es movimiento, mientras el general es pura posibilidad, el particular es un paso hacia la concreción del general (Radford,

2013).

En el caso específico de la presente investigación, el general consiste en las formas histórico-culturales de pensar matemáticamente sobre fenómenos periódicos a través de las funciones trigonométricas, el particular es la actividad, la cual se enmarca en el aparecimiento sensual o sensible de dicho saber mediante la solución de problemas atados en una unidad contextual significativa que privilegie el análisis de fenómenos periódicos variables y el singular es el contenido concreto que se muestra de las formas histórico-culturales de pensar matemáticamente sobre fenómenos periódicos a través de las funciones trigonométricas en una reflexión teórica-practica sensible.

Es relevante analizar que el conocimiento (como se aprecia en la Figura 3) está supeditado a la actividad, depende de cómo la actividad ocurra en el aula de clase. Esto es, el saber se va develando (a medida que va emergiendo el conocimiento) a través de una actividad

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única e irrepetible en el aula de clase y según cómo esta actividad tome forma incidirá en cómo el conocimiento (lo singular) se materialice en dicha actividad.

En síntesis, el conocimiento emerge de la actividad en el aula, la cual se encuentra estrechamente vinculada al saber. Debido a la naturaleza dialéctica entre estos tres elementos, la actividad funciona como mediadora entre el saber y el conocimiento, mientras que estos, simultáneamente, condicionan la naturaleza de la actividad. Bajo esta premisa, la actualización del saber y la manifestación del conocimiento transforman la dinámica del aula. En consecuencia, la actividad misma depende tanto del saber cómo de la presencia progresiva del conocimiento y de la forma en que las determinaciones del saber adquieren sensibilidad para los sujetos.

Ahora bien, la actividad en si también dependerá de su componente didáctica. La forma en cómo se impliquen estudiantes y profesores en el aula de clase estará sujeta al proyecto didáctico (a la estructura objeto-meta-tarea) prediseñada por el profesor y a su vez el proyecto didáctico puede ser modificado según la forma como se impliquen estudiantes y profesores, es decir, la actividad en sí. Por tanto, el proyecto didáctico parte de prediseños, pero como tal no es un diseño definitivo e invariante y a su vez la actividad en sí tampoco puede ser determinada de antemano (Radford, 2017b), ya que además de la relación variacional dialéctica constante entre la actividad en sí, conocimiento y saber, también:

[…] dependerá de cómo se impliquen los estudiantes y los profesores en la actividad, de cómo se respondan unos a otros y de sus relaciones dinámicas con el saber en general y con las instituciones, etc. (Radford, 2023a, p. 111)

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Entonces la actividad en sí, la labor conjunta, está en función de su componente didáctica (proyecto didáctico) y otras variables; se puede entender entonces, la actividad enseñanzaaprendizaje como si fuera una función multivariable17. Esto sin olvidar que toda actividad está sumida en un contexto histórico-cultual, toda actividad está supeditada por una superestructura simbólica denominada sistemas semióticos de significación cultural (SSSC), los cuales son sistemas dinámicos que se originan en la actividad practica y sensual de los individuos que encapsulan los rasgos distintivos de la cultura18 (Radford, 2023a). Esta exposición deja claro el rol constitutivo del materialismo dialéctico en la TO, donde los procesos de objetivación están en función de múltiples variables relacionadas dialécticamente (una afirmación atrevida pero curiosa y totalmente acorde con el objeto matemático de estudio de la presente investigación). Desde un enfoque simplista y un tanto ingenuo, se podrían entender estas relaciones dialécticas como el efecto mariposa de la teoría del caos, donde una pequeña variación en el sistema puede ocasionar incontables efectos en diferentes partes del mismo, por lo que los diseños rígidos son impensables, y para ir acorde con la naturaleza de los fenómenos, se debe abordar la TO como lo que es, una teoría que expone un sistema completamente variable con imposibilidad de determinaciones y predicciones.

Sin dejar a un lado la imposibilidad de planeación en la actividad en sí, la TO plantea algunos momentos de clase (ver Figura 5) que fomentan una actividad acorde a sus postulados (no de una forma estructurada y lineal sino como recomendación). Estos son: presentación de la actividad por parte del profesor, trabajo en pequeños grupos, discusión profesor-estudiantes, discusión entre pequeños grupos, discusión general (Radford, 2023a).

17 Esto sin olvidar que, debido a la dialéctica en la TO, la componente didáctica también se encuentra en función de la actividad en sí.

18 Ver apartado de SSSC en la sección de subjetivación.

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Figura 5 Fases de la Actividad conjunta

Nota: Tomado de Radford (2020b, 2023a) Objetivación Después de este complejo recorrido conceptual es pertinente retomar y cuestionarse: ¿Cómo ese objeto cultural se convierte en objeto de conciencia? ¿Cómo se aprenden los arquetipos de pensamiento que constituyen el saber de cierta cultura? En esta sección se esbozará que la objetivación en la TO se puede entender como el esfuerzo del individuo por aprehender un objeto, como el esfuerzo por atrapar algo que lo interpela, que lo objeta (saber). Cuando el saber se actualiza de forma sensible como conocimiento, “por medio de procesos de objetivación, el saber puede convertirse en un tema de conciencia y pensamiento, y el aprendizaje puede finalmente ocurrir” (Radford, 2023a, p. 92).

Aprendizaje. Puesto que el aprendizaje se fundamenta en las interacciones sociales – las cuales incluyen dinámicas de poder, sujeción, solidaridad y emancipación – y conlleva puntos de conflicto al legitimar formas específicas de conocimiento, la TO adopta una perspectiva sociocultural. Bajo los planteamientos vygotskianos, específicamente el concepto de interiorización, esta teoría define el aprendizaje como un problema de consciencia. De acuerdo

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con Radford (2023a), dicho concepto se entiende en un sentido dialéctico-materialista: como el acto de tomar consciencia de un objeto y la consecuente transformación del sujeto durante este proceso.

El aprendizaje es entonces un encuentro tenso de transformación dialéctica entre el mundo cultural (objetos) y los sujetos que lo encuentran mediatizado por la cultura (Radford, 2006, 2013, 2017b, 2021a, 2023a), por ende, en el encuentro del individuo con el saber se produce una transformación del saber y una transformación de la consciencia de los individuos, por lo que en la TO “el aprendizaje no consiste simplemente en llegar al saber, sino también en el devenir del ser (la transformación de los sujetos)” (Radford, 2023a, p. 101). Al contemplar el aprendizaje como la actividad a través de la cual el individuo entra en relación no solo con el mundo de los objetos culturales sino con otros individuos el cual está enmarcado por los sistemas semióticos de significación cultural (SSSC) – ver apartado de SSSC en la sección de subjetivación – que avalan las formas de cuestionamiento y de investigación del mundo, se puede establecer el aprendizaje de los objetos matemáticos y en sí de las matemáticas como tal, como “la adquisición comunitaria de una forma de reflexión del mundo guiada por modos epistémicos-culturales históricamente formados” (Radford, 2006, p. 124). El aprendizaje consiste precisamente en encontrar esas formas de acción y reflexión codificadas culturalmente (saber) y “agarrarlas”19. El aprendizaje es la refracción del saber en la conciencia del conocimiento. Son las tomas de conciencia a medida que las cosas se van discutiendo en el aula, de forma tal que poco a poco el saber va tomando forma, eso que va apareciendo, que se va mostrando, se vuelve susceptible, sensible para la conciencia, y es allí

19 “Aprender viene del latín apprehendere, compuesto de dos prefijos: ad, que quiere decir hacia, y prae-, que quiere decir antes, y el verbo hendere, que quiere decir atrapar, agarrar” (Radford, 2017b, p. 120).

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donde se da el aprendizaje; en síntesis, el aprendizaje es eso del estudiante de darse cuenta de esa forma tangible (conocimiento) fruto de la actualización del saber.

Aprendizaje, Conocimiento y Saber. Estos conceptos evolucionan de manera constante y se coproducen dialécticamente mediante la labor conjunta; por consiguiente, el aprendizaje se define como un proceso continuo y dinámico. A diferencia de las corrientes pedagógicas tradicionales, que sitúan el aprendizaje como el resultado final de un ciclo académico (Radford, 2017b, 2023a), la TO sostiene que este ocurre desde el inicio de la actividad, pues el proceso de toma de consciencia es permanente.

Resulta relevante precisar que el aprendizaje no constituye un producto derivado del conocimiento ni del saber. Debido a que los tres elementos poseen naturalezas fenomenológicas distintas, establecer una secuencia lineal – donde un componente precede y produce al otro – resulta insuficiente para explicar la complejidad de la cognición humana. En la TO, el conocimiento y el aprendizaje carecen de un orden jerárquico o temporal; ambos emergen de forma simultánea en la actividad, dado que los procesos de toma de consciencia se manifiestan de principio a fin.

Aprendizaje Como Objetivación. Aprendizaje es la transformación subjetiva e idiosincrática del saber “en sí” en un saber “para sí”, es la transformación de un objeto cultural en un objeto de conciencia (Radford, 2013), esto es “el aprendizaje es el encuentro entre el saber y su transformación subjetiva (conocimiento) en algo que aparece en la conciencia” (Radford, 2017b, p. 120), esta transformación es lo que Radford llama objetivación. Radford (2017b) establece que en la TO el aprendizaje “se concibe como el encuentro consciente y deliberado con formas histórica y culturalmente codificadas de pensamiento y acción. Más precisamente, el aprendizaje se describe como procesos de objetivación” (p. 133).

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Por lo anterior, es necesario centrar la atención en la objetivación como tal ya que es través de esta que el aprendizaje se inscribe finalmente: el aprendizaje es un movimiento hacia el encuentro con lo que objeta al individuo. “El aprendizaje en la TO se visualiza como procesos de objetivación y como su producto” (Radford, 2023a, p. 96), es decir, aprendizaje no es más que el resultado de los procesos de objetivación.

Marx (1988) plantea que Objetivación (Vergegenständlichung en alemán), es el proceso de inscribirse y reconocerse uno mismo en los productos de la labor del hombre, añade además que objetivación es el proceso de expresión del individuo a través de su labor. El saber es algo que está en la cultura y que enfrenta, objeta a los individuos, de forma tal que estos pueden (o no) encontrarlo a lo largo de su vida, dicho encuentro – que no es solo abstracto e ideacional sino material y corpóreo – con esos sistemas pensamiento cultural e históricamente constituidos es lo que se denomina objetivación (Radford, 2020). En consecuencia, a partir de dicho encuentro no solo se transforma la conciencia sino el sujeto.

Radford (2017b) establece que “la objetivación es precisamente el proceso de reconocimiento de lo que nos objeta: sistemas de ideas, significados culturales, formas de pensamiento, etc.” (p. 118), por lo que “objetivación es un proceso social a través del cual el individuo progresivamente se hace críticamente consciente de las formas codificadas de pensar y hacer; durante dicho proceso se forma y se transforma la conciencia” (Radford, 2017b, p. 123). Es necesario tener especial cuidado al abordar la idea de objeto ya que este hace mención a diferentes concepciones hechas por Hegel, esto debido a su traducción del alemán al español. Objeto se puede referir a un objeto general e independiente del individuo (un objeto históricocultural): Objekt, y también se puede referir a un objeto de conciencia (a un obstáculo), mediado por ella y continuamente cambiante: Gegenstand. Por tanto, el saber potencial, independiente al

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individuo, se presenta como un Objekt; el cual mediante un proceso de actividad el individuo empieza a notarlo, a aprehenderlo, por lo que se convierte en objeto de conciencia, es decir Gegenstand. A partir de esta diferenciación se puede afirmar que la objetivación es “un proceso en el curso del cual el objeto cultural (Objekt), hasta ahora no reconocido o encontrado, se transforma en un objeto de consciencia (Gegenstand)” (Radford, 2023a, p. 96). Es así como la concepción de objetivación de la TO es una idea fenomenológica:

[…] un proceso que incluye el esfuerzo del individuo por aprehender un objeto (Objekt) que ya está ahí (objeto dinámico, cambiante, siempre relacionado con la cultura); un proceso en el que el individuo se expresa precisamente por medio del esfuerzo que realiza por aprehender el objeto (Objekt). (Radford, 2023a, p. 95)

Al reconocer que la objetivación como un encuentro material y corpóreo con el Objekt, y que este “forma parte de una realidad histórico-cultural elaborada, de modo que lo que encuentran los cuerpos y los sentidos de los estudiantes no es pura materia, concreta o ideal, sino materia ya transformada por la actividad humana concreta” (Radford, 2023a, p. 159), en el encuentro con estos objetos, la percepción, gestos y la corporalidad en sí de los estudiantes se transforma: “al sentir el objeto, este se transforma en objeto de consciencia y pensamiento [Gegenstand], con lo que se transforma así no solo la consciencia, sino el cuerpo que lo siente y sus sentidos” (Radford, 2023a, p. 159), por lo que objetivación se puede entender sucintamente como la toma de conciencia subjetiva de un objeto cultural (Radford, 2006). Procesos De Objetivación. Son procesos de objetivación aquellos actos de notar significativamente algo que se revela a la conciencia por medio de la actividad corpórea, sensorial y artefactual, es decir, “son procesos de actividad por medio de los cuales el saber ‘en

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sí’ adquiere una forma particular desarrollada, siendo la única manera de convertirse en objeto de conciencia, y por lo tanto en conocimiento (saber ‘para sí’)” (Radford, 2017b, p. 133). Por medio de los procesos de objetivación, y a través de la labor conjunta, las matemáticas se revelan a la conciencia de los alumnos (Radford, 2023a), esto es, el aprendizaje es el resultado de los procesos de objetivación.

Medios Semióticos De Objetivación (MSO). Al tener en cuenta que los procesos de objetivación son esos procesos sociales progresivos de toma de conciencia, de notar el objeto, donde ese notar se devela en el gesto del estudiante que cuenta o señala algo y se exterioriza en la intención “que se plasma en el signo o en el movimiento kinestésico que mediatiza el artefacto en el curso de la actividad práctica sensorial, algo susceptible de convertirse en acción reproducible” (Radford, 2006, p. 116), una de las formas de evidenciar la objetivación desde la TO es mediante los medios semióticos de objetivación MSO, estos son pieza clave en la producción de significados incrustados en los procesos de objetivación, convirtiéndose entonces en parte fundamental del diseño metodológico y análisis de los resultados. Los MSO son los medios por los que el individuo manifiesta el encuentro con el saber histórico-cultural, mediante estos, el individuo exterioriza la toma de conciencia progresiva, “son los medios a través de los cuales el alumno alcanza esas formas relativamente estables de conciencia del objeto conceptual” (Miranda et al., 2007, p. 10).

En los procesos de objetivación los individuos utilizan objetos, herramientas, lenguaje natural, gestos, prosodia (como la entonación), posición del cuerpo, ritmo y signos en los procesos de creación de significados sociales para lograr una forma estable de conciencia y materializar sus intenciones, estos se denominan Medios Semióticos de Objetivación (MSO) y son pieza clave en la producción de significados (Radford, 2023a), por lo que se convierten en

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“constituyentes mismos del acto cognitivo que posiciona el objeto conceptual no dentro de la cabeza sino en el plano social” (Radford, 2006, p. 125).

Los objetos, herramientas, dispositivos lingüísticos y signos que los individuos utilizan intencionadamente en los procesos de creación de significados sociales para lograr una forma estable de consciencia, hacer evidentes sus intenciones y llevar a cabo sus acciones para alcanzar la meta de sus actividades se denominan medios semióticos de objetivación. (Radford, 2023a, p. 122)

Particularmente, Tamayo et al. (2018) – al seguir la conceptualización de McNeill (1992) y Kress et al. (2001) – plantean que “los gestos son unidades de significado capaces de transmitir un contenido específico y es gracias a esto que cobran particular interés en el contexto educativo” (p. 90), a su vez establecen que entre los diferentes modos semióticos el lenguaje gestual se puede clasificar en: gesto icónico (GI), gesto metafórico (GM) y gesto deíctico. El primero se relaciona de manera directa con el discurso al exhibir los mismos aspectos que se describen en este.

Este tipo de gesto representa atributos de los objetos, acciones y relaciones espaciales. La iconicidad del gesto es determinada por el hecho de que exhibe los mismos aspectos que se describen en el discurso. Hay entonces menos grados de libertad entre el lenguaje oral y el gesto. (Tamayo et al., 2018, p. 87)

El gesto metafórico (GM) por su parte representa un concepto o proceso abstracto, el cual no simboliza a través de la acción lo expresado en el discurso, de forma tal que “convierte una idea abstracta en una idea concreta. Esta clase de gestos aporta claridad a la representación de un

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concepto abstracto. Existe por lo tanto un grado mayor de libertad entre el discurso y el gesto” (Tamayo et al., 2018, p. 87). Este GM corporiza la intención inconsciente del sujeto por otorgar de características concretas un objeto abstracto, a través de la metáfora conceptual el sujeto relaciona el dominio meta (abstracto) con uno fuente (concreto) estableciendo relaciones de verosimilitud en el marco de su imaginario colectivo para otorgar de determinaciones concretas ese objeto abstracto que le hace frente (Lizcano, 2006; Lakoff y Johnson, 2004; Soriano, 2012). Por otra parte, el gesto deíctico “se conecta con algún aspecto del discurso, o con otra idea, objeto, locación o acción. Se realiza con el fin de focalizar la atención o para resaltar algún aspecto importante” (Tamayo et al., 2018, p. 87). Al seguir los planteamientos conceptuales y metodológicos de Radford (2023a), el gesto deíctico puede ser: gesto indexical deíctico ocular (GIDO) en el sentido que indica o apunta a algo tangible, o puede ser gesto indexical deíctico am phantasma (GIDAP) el cual no apuntan a nada en el ámbito de la percepción sensorial, estos últimos “son cruciales en la constitución de un nuevo reflejo psíquico: la imaginación” (Radford, 2023a, p. 151).

Los Medios Semióticos de Objetivación (MSO) se caracterizan por su funcionamiento conjunto y su naturaleza evolutiva. En este sentido, el gesto se transforma y adquiere nuevos significados a lo largo de la actividad. Bajo un enfoque dialéctico-materialista, los elementos de un fenómeno establecen relaciones recíprocas cuya interacción genera categorías inéditas. Ningún medio semiótico opera de manera aislada; por el contrario, el gesto se vincula dialécticamente con la palabra y el símbolo, entre otros. Estos elementos evolucionan hacia configuraciones de mayor complejidad. Cabe precisar que, en una relación dialéctica, los componentes no solo se afectan mutuamente, sino que su síntesis constituye una entidad cualitativamente nueva (ver sección de corporalidad).

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Al respecto Leontiev (1969) plantea que, con la asimilación de la utilización de las herramientas, el hombre modifica sus movimientos naturales e instintivos y adquiere, en el curso de su vida, nuevas facultades motrices más perfeccionadas, esto ya que, por ejemplo, la mano que sostiene una herramienta forma parte del sistema – desarrollado en el curso de la historia social – de las operaciones encarnadas por la herramienta y está sometida a ella. Lenguaje, Signos y Artefactos. El lenguaje, los signos y los artefactos no se consideran mediadores de la actividad (como ocurre en otros enfoques socioculturales), son parte de esta, “son portadores de significados producidos por la actividad intelectual de generaciones humanas anteriores” (Radford, 2023a, p. 32), esto es, son objetos que incorporan patrones fijos de actividad reflexiva insertados en un mundo en constante transformación mediados por la práctica social (Radford, 2006). Particularmente y como se planteó anteriormente, el lenguaje no es el centro de investigación en la TO, el lenguaje es un medio semiótico de objetivación más al ir al encuentro del saber abstracto.

Al reconocer este lenguaje desde su dimensión multimodal y multisemiótica, Tamayo et al. (2018) plantean que “la relación del lenguaje oral con el lenguaje escrito, visual y gestual amplía las posibilidades de representación, ya que lo que no queda contenido en las palabras puede ser comprendido a partir de imágenes, símbolos y gestos” (p. 120). Vygotsky (2009) establece que los signos sirven para realizar operaciones psicológicas y, al hacerlo, alteran la cognición humana, es decir, el uso de artefactos no solo modifica los procesos de objetivación, cuando se habla de la dimensión epistemológica de los mismos, también se habla de los procesos de subjetivación.

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Ya que los signos y artefactos son parte de la actividad, y dado que la actividad y el pensamiento están entrelazados en la TO, el lenguaje, los signos y los artefactos también se consideran parte del pensamiento – de su textura material – (Radford, 2023a), por lo que: […] una de las fuentes de adquisición del saber resulta de nuestro contacto con el mundo material, el mundo de artefactos culturales de nuestro entorno (objetos, instrumentos, etc.) y en el que se encuentra depositada la sabiduría histórica de la actividad cognitiva de las generaciones pasadas. (Radford, 2006, p. 113)

Particularmente el lenguaje aparece como el índice de una diferencia en las corrientes socioculturales; y por su naturaleza tangible y sensible es más fácil de “medir” que las creencias o prácticas. En la mayoría de las teorías socioculturales el lenguaje es la piedra angular, las cuales defienden que a través de este se refractan otros campos culturales y se puede mapear el proceso de cognición del individuo, Tamayo et al. (2018) añaden que “mientras desde algunas vertientes de la psicología cognoscitiva se considera el lenguaje como un vehículo para expresar el pensamiento, en algunas tendencias dentro de la perspectiva histórico-cultural, el lenguaje es visto como el medio para desarrollar el pensamiento” (p. 43).

El posicionamiento teórico del lenguaje en la TO es diferente al que se le da en otras teorías socioculturales (Radford, 2023a). Para la TO el lenguaje es esencial, pero no es la piedra angular como si lo es para las demás corrientes socio-culturales, “la categoría ontológica central en la TO no es el lenguaje sino la actividad (entendida como labor conjunta)” (Radford, 2023a,

p. 32), el lenguaje es una de las componentes de la actividad.

Este es un punto de inflexión de la TO con uno de sus pilares teóricos centrales: las ideas vygotskianas plantean el lenguaje como eje central, teórico y metodológico, pero para la TO el

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lenguaje es un Medio Semiótico de Objetivación (MSO) más. Es diferente teorizar a partir de la actividad humana que a partir del lenguaje (Leontiev, 1984, 2005). Al respecto Leontiev (2005) establece que “la comunicación es el aspecto de la labor que hace que el habla o lenguaje sea esencial, pero el habla y el lenguaje surgen en conexión directa con la propia labor, y por lo tanto lo propio del habla o lenguaje solo se hace posible en el proceso de la labor” (p. 69). El lenguaje, que es de naturaleza multimodal (Tamayo et al., 2018), al configurarse como un MSO se convierte en un medio a través del cual el individuo manifiesta el encuentro con el saber histórico-cultural al exteriorizar la toma de conciencia progresiva. Esto es posible ya que la actividad sensual que lleva a los individuos a notar o darse cuenta de algo (un objeto matemático) queda fija en el lenguaje, que en ultimas es una representación de los significados culturales originales (Radford, 2006).

Ahora bien, es necesario reconocer que hay cosas de las que se están más conscientes que de otras, inclusive hay cosas que se hacen mecánicamente, por tanto, hay tomas de conciencia más profundas que otras. Cuando se articula a través del lenguaje, ese algo adquiere una claridad que no tenía antes (allí se hace una toma de conciencia más profunda). Vygotski (2009, 2015) establecía que un sujeto se puede hacer el nudo de los cordones, pero no necesariamente puede saber cómo lo hizo, ya que su atención estaba más en la acción, que en la razón de la acción. Igual sucede en escuela, el niño sabe hacerlo (solucionar un problema, por ejemplo) y lo hace bien, pero se le dificulta articularlo con palabras. Vygotski expone que lo más difícil y profundo es la toma de conciencia sobre ella misma, de igual Freire (1972) establece, al seguir el concepto de escisión esbozado por Jaspers, que se debe concebir que “la conciencia es conciencia de la conciencia” (p. 89). Este es el rol primario del lenguaje en la TO: como un medio semiótico más para analizar esa toma de conciencia.

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En la TO, el lenguaje, los signos, los artefactos y el cuerpo sensible se entienden no como mediadores sino como parte de la actividad de los individuos, por ende, posibilitan la materialización del saber. Y puesto que el pensamiento y la actividad se consideran entrelazados, el lenguaje, los signos, los artefactos y el cuerpo también son considerados como parte del pensamiento; son parte de la textura material del pensamiento de los individuos (Radford, 2020b).

El carácter mediatizado del pensamiento se refiere al papel, en el sentido de Vygotsky (2009), que desempeñan los artefactos (objetos, instrumentos, sistemas de signos, etc.) en la realización de la práctica social. Los artefactos no son simples ayudas al pensamiento (como lo plantea la psicología cognitiva) ni simples amplificadores, sino partes constitutivas y consustanciales de éste.

El uso práctico de artefactos y la actividad simbólica posibilitan la conformación de unidades psicológicas complejas. En este sentido, los signos – tales como las palabras y otros objetos físicos – se constituyen como herramientas mediadoras mediante su manipulación en la actividad simbólica. Dicha interacción transforma funciones como la percepción, la memoria y la atención (Vygotski y Luria, 1994).

Al igual que toda acción humana, todo objeto (signos y artefactos) está subsumido en una dimensión simbólica que lo trasciende (SSSC). Un objeto no puede reducirse a la materialidad que lo compone, “alrededor del objeto hay un halo simbólico que le confiere un significado cultural específico. Esta dimensión simbólica abarca no solo los objetos concretos, sino también todos los procesos de pensamiento” (Radford, 2023a, p. 205). El individuo entonces es afectado por el artefacto, al contacto con éste, el ser humano reestructura sus movimientos y forma capacidades motrices e intelectuales nuevas, como la anticipación, la memoria, la percepción

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(Vygotski y Luria, 1994; Radford, 2006), es decir, en el encuentro con los artefactos y signos a través de la labor conjunta, no solo emergen procesos de objetivación sino de subjetivación. Nodo Semiótico y Contracción Semiótica. Ahora bien, no necesariamente en cada momento de la actividad – en el encuentro del saber histórico-cultural depositado en signos, artefactos y el lenguaje mismo – ocurren procesos de objetivación, el movimiento de la conciencia hacia el saber cultural no es lineal “la conciencia de los estudiantes va en diferentes direcciones, a veces notando alguno de los componentes y conexiones del objeto del saber, y a veces en direcciones diferentes a las esperadas por el objeto del proyecto didáctico” (Radford, 2023a, p. 124), por lo que los procesos de objetivación durante la actividad pueden interrumpirse y volver a iniciar más adelante (tal y como se profundiza en la en el apartado de categorías estructurales en el marco metodológico) por lo que la actividad en si no implica irrefutablemente un proceso de objetivación.

Los momentos de la actividad en que sí se evidencia procesos de objetivación, “en el que la atención, conciencia y comprensión matemática de los estudiantes se mueven hacia el objeto de la actividad” (Radford, 2023a, p. 124), en el que los recursos semióticos de distinto tipo pasan a desempeñar un papel crucial, se denominan nodos semióticos. Este es una especie de núcleo de un proceso de objetivación. En términos más precisos, un nodo semiótico es una parte de la actividad del aula en la que se produce una compleja coordinación de diversos registros sensoriales y semióticos en un proceso de objetivación.

La concepción de nodo semiótico se encuentra fuertemente relacionada con la propuesta de orquestación de los modos semióticos de Kress et al. (2001), estos plantean que en la orquestación (relaciones armónicas intersemióticas) se configuran múltiples lenguajes (multimodalidad) que son puestos en juego simultáneamente al permitir la construcción de

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significado (Tamayo et al., 2018), complementa Radford (2022b) al plantear que la actividad semiótica multimodal permiten la emergencia del sentido matemático. En la TO, los conceptos de nodo semiótico y contracción semiótica aseguran el anclaje entre el aparato conceptual y el análisis de los datos. El concepto de contracción semiótica trata de responder una pregunta diferente a la del nodo semiótico, el primero le interesa entender cómo evolucionan los signos, al segundo le interesa la toma de conciencia. Para la TO el nodo semiótico es un segmento de actividad en el que participan diferentes modalidades sensoriales y simbólicas en la toma de conciencia. Al ser el nodo semiótico un segmento del sistema (de actividad), este es un subsistema en el que se mueven unidades de significación. Por su parte, la contracción semiótica constituye un refinamiento de los MSO (Radford, 2022b) y se consolida como una evidencia tangible del proceso de objetivación. Este fenómeno ocurre cuando un proceso previo se repite en un segmento posterior de la actividad de forma más ágil y condensada. Dicha transición da lugar a “una vinculación más refinada de los recursos semióticos. La importancia de este proceso es que refleja un nivel más profundo de conciencia e inteligibilidad del problema en cuestión” (Radford, 2023a, p. 126). El análisis semiótico proporcionado por el nodo semiótico y la contracción semiótica son determinantes en la TO (Radford, 2022b), estos son conceptos de armazón de la teoría que posibilitan el análisis y son cruciales para comprender los procesos de objetivación. Concepto. Ahora bien, es necesario establecer que es eso que le queda al individuo tras un proceso de objetivación, eso es lo que se denomina en la TO como concepto. La idea de concepto va en contravía a la establecida por la tradición occidental, que inició Spinoza, continuó Kant (2007) y reapareció en Davídov (1988), en la que es entendido como una reproducción mental de la esencia del objeto (Radford, 2023a).

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La TO aborda el concepto desde una relación dialéctico-materialista entre el sujeto y el objeto. Esta unión genera una síntesis que permite al individuo involucrarse, inscribirse y posicionarse de maneras específicas en el mundo. A través de este proceso, el sujeto reconoce la alteridad, se vincula con la cultura y la historia, y se constituye como un sujeto histórico-cultural (Radford, 2023a). En consecuencia, esta perspectiva otorga al individuo una capacidad de agencia que trasciende su estado inicial, al situarlo como un actor consciente dentro de su contexto social.

Un concepto se entiende como una entidad que es al mismo tiempo subjetiva y objetiva, material e ideal, y que se expresa en la actividad práctica y concreta del estudiante. Un concepto es algo que ofrece posibilidades reales de acción: algo que permite al sujeto hacer cosas en un contexto cultural con otros. (Radford, 2023a, p. 126)

A raíz de los planteamientos de Foucault, Gaitán (2022) establece que los conceptos son creaciones que difícilmente se separan de la experiencia, por lo que la filosofía no es suficiente para abordar los problemas del conocimiento; la experiencia, el sujeto en sí y el devenir son cruciales en el encuentro con el saber. El concepto está lejos de ser una fiel copia del saber, es más bien una transformación parcial de dicho saber en la conciencia del educando, es un reflejo objetivo del saber en sus aspectos esenciales y diversos, el cual se forma como resultado del desarrollo racional de las representaciones al descubrir nexos y relaciones con otros (Vygotski,

2015).

Es preciso retomar que en Hegel (2011) el saber (lo general) se mueve hacia el conocimiento (singular) y luego se mueve hasta el concepto (en el marco de la actividad), esto es lo que se llama movimiento (un antes y un después). El saber es pura posibilidad, cuando este

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aparece en el mundo fenomenológico en conocimiento, cuando esto sucede, el saber se revela a la conciencia de los sujetos concretos, y esto es lo que se llama concepto. No se puede hablar del conocimiento del sujeto, pero sí de su concepto. El conocimiento es cómo el sujeto pone en marcha el saber en esa relación idiosincrática; en cambio el concepto es lo que le queda al individuo de dicho saber, es la refracción20 en la conciencia del sujeto del saber cultural, es la versión subjetiva de ese saber cultural (y va a estar en constante evolución); de la misma forma, el conocimiento es la realización del saber y a medida que se va dando el conocimiento, se va reflejando en la conciencia (el concepto se va mostrando gradualmente). Subjetivación Como se ha establecido repetidamente, los procesos de objetivación están imbricados con los procesos de subjetivación, por consiguiente, el aprendizaje no solo consiste en “en llegar al saber, sino también en el devenir del ser (la transformación de los sujetos)” (Radford, 2023a, p. 101). De ahí que el concepto de subjetivación ocupa un lugar central para comprender los procesos de aprendizaje y de constitución del sujeto en contextos educativos. La subjetivación no se entiende como la expresión de una interioridad individual previa, sino como un proceso histórico, cultural y social mediante el cual los estudiantes se configuran como sujetos en la actividad conjunta de producción de conocimiento. Así, en estrecha relación con la objetivación —que alude a la apropiación de formas culturales de pensamiento y acción—, la subjetivación

20 Cuando se dice que los conceptos “se reflejan en la mente de los estudiantes” el lector podría reconocer que el objeto es percibido por la mente de los estudiantes y aparece en ella tal cual lo explicó el profesor, lo cual no es cierto. Más que reflexión es una refracción: hay cosas que se transforman del objeto, pero también el sujeto empieza a transformarse. Los sujetos son entidades inacabadas, cambiantes, relacionales. Hay una idea estrecha entre la idea de sujeto, de saber, de conocimiento. La reflexión evoca una idea pasiva de los sujetos: evoca la idea de un sujeto que recibe información y deja huella en la mente, de un sujeto incólumes, acabado, no cambiante; contrario es en la refracción: el objeto cambia, así como lo hace el sujeto.

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remite a la manera en que los individuos se reconocen y son reconocidos en el entramado de prácticas, valores y significados que configuran la experiencia educativa. Cultura. Para la TO, la cultura se debe entender como una entidad dinámica que es el producto de varios procesos sociales complejos de naturaleza múltiple que se afectan y modifican mutuamente, por lo que incorpora cuestiones de poder y la reconstrucción dialéctica del significado (Radford, 2023a). La TO, desde un enfoque dialéctico materialista, concibe la cultura no únicamente desde la materialidad o desde el mundo de las ideas, sino desde ambos: la cara de una misma moneda; “lo ideal no se opone a lo material, porque pensar es poner la materia en movimiento” (Godelier, 2010, p. 199, como se citó en Radford, 2023a). Desde este enfoque dialéctico, los individuos crean las culturas y a su vez las culturas crean los individuos (Radford, 2023a). La cultura puede verse entonces como […] un patrón de significados históricamente transmitido y plasmado en símbolos, un sistema de concepciones heredadas expresadas en formas simbólicas por medio de las cuales los hombres se comunican, perpetúan y desarrollan sus saberes sobre la vida y sus actitudes hacia ella. (Geertz, 1973, p. 89, como se citó en Radford, 2023a)

Sistemas Semióticos de Significación Cultural (SSSC). Ahora bien, las maneras como se instauran, y a su vez como se llega a pensar y conocer, ciertos arquetipos de pensamiento, acción y reflexión (las maneras ideales de hacer y pensar), es decir, el saber, están supeditadas a algo más allá de la actividad misma ¿Por qué el pensamiento del escriba babilónico tomo lugar de esa manera? ¿al igual que el pensamiento del geómetra agrimensor? ¿el del calculista practico griego? ¿el del teórico-matemático griego? ¿el del algebrista árabe? ¿el del matemático chino? ¿Por qué el pensamiento matemático en el mismo país toma lugar de maneras diferentes?

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Todas estas cuestiones tienen respuesta en el hecho de que cualquier actividad está enmarcada por una superestructura simbólica21 (visión cosmológica del mundo) denominada Sistemas Semióticos de Significación Cultural (SSSC), los cuales son sistemas dinámicos que se originan en la actividad practica y sensual de los individuos que encapsulan los rasgos distintivos de la cultura (Radford, 2023a), por lo que incluye “significados culturales tales como concepciones en torno a los objetos matemáticos (su naturaleza, su modo de existencia, su relación con el mundo concreto, etc.) y patrones sociales de producción de significados” (Radford, 2006, p. 109), además de análisis de la verdad22, naturaleza de los individuos y más (Radford, 2023a). En síntesis, los SSSC son “una superestructura simbólica dinámica que ofrece concepciones culturales sobre la naturaleza del mundo y la naturaleza de los individuos. Esta superestructura simbólica da forma al espacio agéntico de los individuos que es fundamental para el consiguiente sentido del yo” (Radford, 2023a, p. 249); ver Figura 6. El triángulo de la Figura 6 muestra la complejidad de la actividad en la TO, además a raíz de este se entiende que la interacción de los SSSC con la actividad (desde sus dos componentes) da lugar a maneras particulares en que las actividades son realizadas en un momento histórico, mientras que la interacción de los SSSC con el territorio del artefacto (punto de encuentro entre la subjetividad y la objetividad) da lugar a modos específicos del saber que demarcan los métodos, argumentos y evidencias que serán consideradas validas en la reflexión de problemas y situaciones en la cultura dada, es decir, procesos culturales de legitimación (Radford, 2003, 2006), esto significa que:

21 Desde el enfoque dialéctico al abordar la cultura en sí, la superestructura (simbólica) no es única, no es pura, está entrelazada con la infraestructura (material).

22 La verdad es relativa a un sistema conceptual, que es definido en gran medida por medio de metáforas (Lakoff y Johnson, 2004).

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[…] la manera en que llegamos a pensar y conocer los objetos del saber está enmarcada por significados culturales que van más allá del contenido mismo de la actividad en cuyo interior ocurre el acto de pensar. Estos significados culturales actúan como enlaces mediadores entre la conciencia individual y la realidad cultural objetiva, y se constituyen en prerrequisito y condición de la actividad individual mental. (Radford, 2006, p. 108)

Figura 6 Interacciones SSSC – Actividad – Territorio del artefacto

Nota: Las flechas muestran la interacción entre los Sistemas Semióticos de Significación Cultural con la actividad y el territorio del artefacto. Dicha interacción genera los modos de la actividad y del saber, modos que, en un movimiento dialéctico, vienen a su vez a alimentar a los vértices del triángulo. Tomado de Radford (2006).

Dicha interacción entre los SSSC con el territorio del artefacto (Figura 6) se establece a su vez que el signo adquiere significado a razón de los sistemas semióticos de significación cultural (SSSC), es decir, con aquellos sistemas sociales históricamente constituidos en los que encontramos las creencias de una cultura y los patrones generativos de creación de significado. Estos SSSC dotan de sentido al signo, de forma tal que el significado del signo varíe según sus

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especificaciones. En este orden de ideas, por ejemplo, en el sistema de nudos que utilizaban los Incas para contar, los nudos aparecen como signos, como artefactos (herramientas) psicológicas para realizar cálculos aritméticos (Radford, 2003).

Debido a su interacción con la actividad y a la naturaleza semiótica de esta última, los SSSC manifiestan las reglas de uso de los signos. Este proceso transmite una dimensión normativa respecto a la comprensión, producción y empleo de los signos y acciones. Asimismo, en su vínculo con el territorio del signo – entendido como el espacio de encuentro entre la subjetividad y la objetividad – los SSSC constituyen la base para la generación de modos de conocimiento. Dichos modos, a su vez, configuran marcos ideológicos específicos (Radford,

2003).

Lo anterior manifiesta de nuevo la problemática expuesta en el planteamiento del problema respecto al individualismo, la acción del sujeto no es la constituyente única de los esquemas conceptuales, como lo planteaba Piaget (1986) e implícitamente Kant (2007), son los significados de la acción en determinados momentos de la actividad histórico-cultural; dichos significados culturales orientan la actividad y le dan cierta forma (Radford, 2006). Pensamiento. Ahora bien, la interfaz entre lo cultural y lo subjetivo es el pensamiento, es eso que se va moviendo y permite al individuo hacer las cosas de cierta manera. El pensamiento es una entidad emergente, lo que implica que lo que se dice no está en la cabeza sino en el plano social; las ideas no están en la cabeza, las ideas están en movimiento, en la materialidad, pero está apoyada en un plano inmaterial (es lo que Marx llama la dimensión no orgánica de la cultura); Radford (2023a) afirma que “el pensamiento es mucho más que las cavilaciones cognitivas de la mente” (p. 156).

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Ilyenkov (1977) entiende el pensamiento “como el componente ideal de la actividad real de las personas sociales que transforman tanto la naturaleza externa como a sí mismas por su trabajo” (p. 8), esto es, el pensamiento “es una re-flexión, es decir, un movimiento dialéctico entre una realidad constituida histórica y culturalmente y un individuo que la refracta (y la modifica) según las interpretaciones y sentidos subjetivos propios” (Radford, 2006, p. 108) a través de artefactos, corporalidad, signos, etc. Por consiguiente, el individuo genera el pensamiento y los objetos derivados de este; no obstante, se encuentra condicionado por la estructura cultural e histórica del pensamiento humano. En este proceso, el individuo se integra en una realidad preexistente que orienta y delimita su propio pensamiento. Conciencia. De forma similar que el pensamiento, Radford (2023a) esboza que “la conciencia no se considera en la teoría de la objetivación como una construcción metafísica escondida en algún lugar de una supuesta interioridad con la que todos habríamos nacido”23 (p. 97), más bien, esta va en concordancia con la concepción de Freire (1972) al establecer que “la conciencia emerge del mundo vivido, lo objetiva, lo problematiza, lo comprende como proyecto humano” (p. 20).

En la TO la conciencia se entiende como el producto de relaciones y mediaciones histórico-culturales en el establecimiento y desarrollo de la sociedad, la cual emerge de la actividad histórico-cultural humana y, desde el contexto dialéctico-materialista, se concibe como una relación y posicionamiento subjetivo respecto al mundo, un caso particular de la experiencia social (Radford, 2023a; Vergel et al., 2020; Ilyenkov, 1977), específicamente (Freire, 1972, p.

93) establece que “conciencia y mundo se dan simultáneamente”.

23 Esta metáfora de interioridad data del final de la antigüedad cuando Agustino, desde su cosmovisión religiosa, sentó los cimentos para que posteriormente fuera articulada por Descartes en su famoso análisis dicotómico del mundo: el de la interioridad y el de la exterioridad, el mundo de las ideas, mente y conciencia y el mundo concreto respectivamente (Radford, 2013).

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Es pertinente señalar que la conciencia se desarrolla en la actividad y a su vez direcciona al individuo, y ya que desde la TO los procesos de objetivación son procesos graduales de toma de conciencia que se dan en la actividad, la conciencia es el producto del aprendizaje y un indicador de que el aprendizaje tuvo lugar.

Sentido y Significado. El significado es a saber/ser cómo sentido es a conocimiento/subjetividad, de forma tal que la manera como el individuo se apropia de determinados significados depende del sentido personal atribuido por el sujeto (es allí donde juega un rol importante las emociones, sentimientos, motivaciones y demás). En el campo educativo estudiar cobra sentido cuando las actividades están acordes con las necesidades subjetivas del estudiante en el marco de ciertas formas culturales de estar y vivir en el mundo (ser), y ya que las actividades tienen procesos de objetivación y subjetivación, el sentido personal atribuido en cierta actividad no solo tiene efecto sobre la subjetividad sino sobre el conocimiento.

Para Vygotski (2001) los significados son productos históricos y transitorios de las relaciones sociales que se reflejan en ellos. Son productos de las condiciones objetivas que les da origen y reflejan la realidad objetivamente existente de un modo especial, por medio de una generalización. Para Leontiev (1978) los significados son “la generalización de la realidad que está cristalizada y fija en un vector sensible, generalmente la palabra o la locución. Es la forma ideal, espiritual de cristalización de la experiencia y las prácticas sociales de la humanidad”24 (p. 94). Por su parte, Gaitán (2022), al referirse a la cultura como un sistema, plantea que el significado se despliega desde la lógica misma del sistema, afirma que el significado no es previo

24 Aunque los planteamientos de Leontiev son un fuerte pilar de la TO, no la reflejan a cabalidad. Leontiev, aunque no desconoce la dialéctica y el materialismo, no los ve como caras de una misma moneda, por lo que sus afirmaciones pueden distar en cierta medida de lo teorizado en la TO.

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(universal), por lo que los sistemas posibilitan significar, esto es, el significado depende del sistema.

Por otra parte, Retamozo (2012), a partir de los enfoques de Schütz, afirma que “el sentido es una construcción relacionada con la intersubjetividad y las estructuras significativas del mundo social, y no en la psique de los sujetos” (p. 334), esto es, el sentido se expresa en los significados, se concretiza en los significados25. Asbahr (2011) plantea que: “la forma como el individuo se apropia de determinados significados, depende del sentido personal que tiene para el sujeto” (p. 86), a su vez Leontiev (1984) establece que el sentido personal está relacionado directamente con la conciencia humana, este además propone el siguiente ejemplo para entender la diferencia entre ambos conceptos: un individuo puede comprender ampliamente el significado de la muerte (desde su naturaleza biológica, filosófica, religiosa, etc.), pero en el plano personal la muerte no necesariamente tiene sentido para este, es algo distante (probablemente por la juventud y buena salud del individuo, o, además, porque ningún ser querido ha muerto). Para algunos estudiantes, el sentido de su labor (estudiar) no es aprender matemáticas 26, para ellos, estudiar cobra sentido, por ejemplo, al ver una posibilidad económica palpable (a raíz de situaciones económicas precarias en sus hogares); en general estudiar cobra sentido cuando las actividades están acordes con las necesidades (motivos) del sujeto en el marco de ciertas formas culturales de estar y vivir en el mundo (ser)27, y ya que en dichas actividades los procesos

25 “En contextos diferentes, la palabra cambia fácilmente de sentido. El significado, al contrario, es un punto inmóvil e inmutable que permanece estable en todos los cambios de sentido de la palabra en diferentes contextos” (Vygotski, 2000, p. 465). De nuevo, significado es a saber (a la cosa en sí) como sentido es a conocimiento (la cosa para sí).

26 Esto genera la desintegración, fragmentación, alineación de la conciencia del estudiante (Leontiev, 1978). 27 “Según Leontiev, el sentido es generado por la relación objetiva entre aquello que incita la acción en el sujeto (motivo de actividad) y aquello para lo cual su acción se orienta como resultado inmediato (fin de la acción). El sentido personal traduce la relación del motivo con el fin. Por tanto, para encontrar el sentido personal, es necesario descubrir su motivo correspondiente” (Asbahr, 2011, p. 89).

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de subjetivación y objetivación están entrelazados, el sentido personal atribuido a determinada actividad y determinado objeto de estudio no solo tiene efecto sobre la subjetividad sino sobre el conocimiento.

De este modo las acciones del estudiante deben estar dotadas de sentido personal atribuido por este para posibilitar la concreción de los significados (productos históricos y transitorios de las relaciones sociales que se reflejan en ellos) en la conciencia, por tanto los motivos del estudiante respecto a la actividad de estudio deben estar en concordancia con sus acciones (los fines de la acción del estudiante deben ir al encuentro de la actividad), de esta forma los saberes inmersos en la actividad puedan ser susceptibles a su conciencia, es decir, puedan ser actualizados en conocimiento.

No basta con que el sujeto asimile la significación del objeto dado, es necesario que el fin de la acción, con la que se impregnó la actividad, tenga sentido personal para él mismo, así “los conocimientos adquiridos se convertirán para él, en conocimientos vivos, serán ‘órganos de su individualidad’ genuinos y, a su vez, determinarán su relación respecto al mundo” (Leontiev, 1984, p. 246), a lo anterior Asbahr (2011) añade:

[…] el aprendizaje consciente es efectivo cuando los conocimientos son vivos para el sujeto, o sea, ocupan un lugar en la vida real del sujeto, tienen un sentido vital, y no son solamente respuestas a condiciones externas, impuestas por otras personas o situaciones. (p. 98)

Ser, Subjetividad y Devenir. El ser es una categoría ontológica, no metafísica, “es una capacidad generativa general, cultural, dinámica (es decir, siempre cambiante) constituida por las concepciones culturales de vivir en el mundo: formas de conceptualizarse y de ser

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conceptualizado; formas de posicionarse y de ser posicionado” (Radford, 2023a, p. 235). Tal como el saber, el ser es potencialidad, por lo que “solo puede mostrarse por medio de sus materializaciones en el mundo concreto, en el que puede ser reconocido como lo que es” (Radford, 2023a, p. 235), a lo cual se llega por medio de la actividad. Esta materialización del ser se denomina devenir, entendido como un llegar a ser siempre inconcluso ya que se encuentra en constante movimiento (Radford, 2023a). Es, en efecto, a través de la actividad humana que nos ponemos en devenir y nos convertimos en individuos inacabados, en flujo constante, y que nos producimos a nosotros mismos con, y a través, de otros, dentro de las posibilidades y límites que ofrece la cultura. (Radford, 2017c, p. 143)

Por lo que mientras el conocimiento se centra en los procesos de objetivación, el devenir se centra en los procesos de subjetivación. Ambas estructuras ontológicas (conocimiento y devenir) son similares: “el conocimiento es la instanciación del saber, en el mismo sentido que la subjetividad es la instanciación del ser. Ambos ocurren en la labor conjunta” (Radford, 2017c, p.

160).

Ahora bien, la TO adopta el término subjetividad para referirse al individuo en el sentido de una entidad agéntica concreta, dinámica y siempre en flujo, en transformación, cuya dimensión agéntica solo puede entenderse con el telón de fondo de la cultura y la historia, donde en una relación dialéctica con dicha dimensión, el sujeto y su espacio se reconstruyen constantemente a partir de las ideas portadas por los SSSC, lo que repercute en la reconstrucción constante de un sujeto diferente a los demás y a sí mismo.

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La subjetividad es la actualización o materialización en curso del ser, esta actualización o materialización siempre está en curso de un sujeto en devenir: un proyecto de vida inacabado e inacabable; por lo que subjetivación es posicionarse en el mundo (Radford, 2017c). La subjetividad está en constante construcción, es considerada una entidad en perpetuo devenir (llegar a ser), concretamente la subjetividad:

[…] es el producto siempre parcial e inalcanzable de los procesos colectivos de subjetivación. No es un sujeto epistemológico, ni uno cognitivo. Una subjetividad es, desde este punto de vista, el sujeto concreto que respira, transpira, sueña, sufre y anhela y espera con otros. (Radford, 2023a, p. 249)

Procesos De Subjetivación. En la TO es hace visible la componente emocional y afectiva en los procesos de aprendizaje. De los planteamientos de Spinoza y Vygotski y al establecer que cuerpo y mente son dos caras de la misma moneda, la TO afirma que en el aula de clase no solo se producen saberes sino subjetividades, esto es, sujetos emergentes de una experiencia historizada, donde estudiantes y profesores se coproducen (al reconocerse como subjetividades inacabadas) en el contexto de la cultura y la historia y llegan a ser presencia en el mundo, a posicionarse y tomar una perspectiva en él en un movimiento dialéctico entre cultura e individuo (Radford, 2020b).

Por tanto, los procesos de subjetivación son esos procesos en curso del ser en el marco de los SSSC y que se enfocan en el eje del ser y del devenir. Son los procesos en los que el ser se muestra en incesante movimiento y diferente. En el aula de clases, “se definen como aquellos procesos por los que los profesores y los estudiantes se posicionan a sí mismos, a la vez que son

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posicionados por los demás en el siempre controvertido telón de fondo de la cultura y la historia” (Radford, 2023a, p. 235).

Tal y como se ha expuesto repetidamente, el aprendizaje no es solo un fenómeno cognitivo sino emocional, es decir, es imposible teorizar sobre los procesos de objetivación sin los procesos de subjetivación y viceversa. En el aprendizaje están imbricados procesos de objetivación y subjetivación (Figura 2) debido a la naturaleza misma del aprendizaje de las matemáticas.

En un proceso de subjetivación —al intentar posicionarse en una práctica matemática— los estudiantes recurren al saber matemático. Y precisamente aquí entran en juego los procesos de objetivación. Recíprocamente, al participar en un proceso de objetivación — al tratar de encontrarse con el saber cultural— los estudiantes son llevados a posicionarse frente al saber, y este posicionamiento es parte de los procesos de subjetivación. Este entrelazamiento de los procesos de objetivación y subjetivación no es más que una expresión práctica del hecho de que el aprendizaje consiste inevitablemente en conocer y llegar a ser. (Radford, 2023a, p. 250)

Sin importar el modelo pedagógico, en el entorno escolar se configuran subjetividades permanentemente. No obstante, cada modelo pedagógico orienta esta configuración hacia perfiles distintos. Mientras que los enfoques tradicionales pueden fomentar individuos con tendencias hacia la sumisión y el individualismo, la TO propone un proyecto educativo emancipatorio. Bajo esta perspectiva, se busca promover subjetividades críticas y sociales que asuman una posición definida en su realidad histórico-cultural. Se persigue la formación de

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sujetos alejados de visiones individualistas, con un sentido profundo de la labor conjunta y fundamentados en una ética comunitaria de responsabilidad y cuidado del otro. Es claro entonces que para la TO “aprender matemáticas no es simplemente aprender a hacer matemáticas (resolver problemas) sino aprender a ser en matemáticas” (Radford, 2006, p. 114); por lo que la naturaleza social del saber y del pensamiento matemático llevan a concebir el aula de clases no como un espacio de negociación de significados personales sino como una comunidad de aprendizaje, respecto a lo cual Radford (2006, p. 117) señala unos índices de formas de ser en matemáticas y por consiguiente de saber en matemáticas (estos índices pueden ser considerados, desde una forma rudimentaria y metodológica, como evidencias de procesos de subjetivación en el aula de clases).

● La comunidad permite la realización personal de cada individuo

● Cada miembro de la comunidad tiene su lugar

● Cada miembro es respetado

● La comunidad es flexible de las ideas y sus formas de expresión

● La comunidad abre espacio a la subversión a fin de asegurar: la modificación, el

cambio y su transformación

● Los miembros de la comunidad se implican en las acciones del salón de clases,

comunicándose activamente y compartiendo los objetivos de la misma.

Con esto y al reconocer que los procesos de objetivación y subjetivación son procesos sociales (no individualistas) de toma de conciencia del saber y el ser respectivamente, tiene sentido plantear que el alumno brillante que resuelve problemas con mayor facilidad que sus compañeros pero que es incapaz de explicar o entender o interesarse en las soluciones de los

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otros o de ayudar a los otros a comprender sus planteamientos, está apenas a medio camino del aprendizaje a luz de la TO (Radford, 2006).

Corporalidad A lo largo de esta teorización dialéctico materialista e histórico cultural de la TO, la relación del cuerpo (de los sentidos con el medio) no se reduce a una concepción netamente evolutiva, biológica o idealista. La tradición idealista occidental concibe el cuerpo como “una versión ampliada de la mente de individuo” (Radford, 2023a, p. 134), de forma tal que los gestos (y demás modos semióticos) se consideran una especie de ventana que permiten vislumbrar la mente del individuo. Bajo esta filosofía el individuo se concibe sin contexto cuya relación con el mundo concreto no lo afecta; esta concepción que separa el sujeto del objeto desconoce que la actividad humana (idealista y sensual) fusiona lo subjetivo con lo objetivo, es el vínculo entre ambos, por lo que posibilita la formación cultural-biológica de los sentidos humanos. La TO reconoce la evolución biológica del cuerpo humano, pero sostiene que la corporalidad posee una complejidad mayor al integrar la dimensión histórico-cultural en una relación dialéctica con la biología. Bajo esta perspectiva, los sentidos constituyen una labor de la naturaleza humanizada; por consiguiente, tanto estos, como el cuerpo y el mundo material se producen histórica y culturalmente (Radford, 2023a; Marx, 1988). La corporalidad está relacionada con la idea de la cognición sensual que se basa en una comprensión histórica específica de los sentidos, la sensación, el mundo material (como productos históricos y culturales) y su entrelazamiento con el ámbito conceptual en una relación dialéctica que se logra en la actividad practica y sensible (Radford, 2023a), al respecto Geertz (1973, como se citó en Radford, 2006) añade que “el cerebro humano es completamente dependiente de recursos

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culturales para su propia operación; y esos recursos no son, en consecuencia, [objetos] añadidos a la actividad mental sino constituyentes de ésta” (p. 107).

De los planteamientos de Vygotski (2001, 2015), Ilyenkov (1977) y Leontiev (1969, 1984, 2005), la TO establece que las formas de percibir al mundo son entrelazamientos históricos del cuerpo y la cultura material e ideacional, en consecuencia “nuestros sentidos cambian junto con los cambios en nuestra cultura material e ideacional (saber, espiritualidad, etc.)” (Radford, 2023a, p. 135); es claro entonces que la corporalidad se entiende en un sentido dialéctico materialista:

[…] no como entidades que evolucionan de forma natural, sino como formas histórica y culturalmente constituidas, corpóreas y materialmente sensibles de actuar, sentir, imaginar, transformar, responder y dar sentido al mundo en forma creativa. (Radford, 2023a, p. 43)

Desde este enfoque, la corporalidad se manifiesta en el encuentro del individuo con el cuerpo y los sentidos con el saber; por lo que la corporalidad se configura como una variable decisiva en los procesos de objetivación.

Al igual que en el caso de los signos y las herramientas, en la teoría de la objetivación, las acciones corpóreas (gestos, postura corporal, movimiento corporal, percepción, tactilidad, prosodia) no se consideran dispositivos mediadores de la actividad, sino partes de la actividad y parte del pensamiento desplegado del profesor y de los estudiantes. (Radford, 2023a, p. 41)

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Percepción y Domesticación Del Ojo. Como se ha esbozado, desde el enfoque históricocultural / dialéctico-materialista, la cognición sensual “también afirma que la cognición y los sentidos humanos son transformados por la labor humana y la práctica social. Es decir, la cognición humana y nuestro cuerpo y sentidos no son un fenómeno natural, sino históricocultural” (Radford, 2023a, p. 41). Es por esto que la percepción humana es un artefacto cultural moldeado por las practicas históricamente cambiantes, respecto al sentido de la vista Radford (2023a) plantea que “lo que vemos no es el resultado de entradas directas, sino de estímulos ya filtrados por significados e información sobre los objetos y los acontecimientos del mundo, significados transmitidos por el lenguaje y otros sistemas semióticos culturales” (p. 141). En concordancia con lo anterior, Radford (2023a) plantea el concepto de domesticación del ojo: los ojos de los especialistas no es el resultado de un proceso natural (biológico) de evolución, han sido educados culturalmente, han sido domesticados. Los matemáticos, artistas y lingüistas ven de forma diferente, la percepción visual de cada uno se debe a un saber cultural que han llegado a asir, por lo que se centran en rasgos distintivos y diferentes. Mediante largos y específicos procesos histórico culturales es como el ojo y otros sentidos humanos se convierten en órganos intelectuales sofisticados; el ojo no es solo un órgano biológico, es un órgano cultural. Es por ello que al abordar un problema matemático a los estudiantes se les dificulta percibir lo que es tan obvio para el profesor.

Es claro entonces que la percepción humana es selectiva o intencional, centra su atención en características del objeto según su subjetividad, por lo que emerge un problema: para realizar una objetivación acertada y coherente en la TO se deben realizar procesos de tomas de conciencia graduales y profundos, pero ¿Cómo hacer que el estudiante centre su atención más allá de lo que es evidente para su percepción? La respuesta es clara y a la vez compleja, la

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actividad desde sus dos componentes es la encargada de permitir al estudiante focalizar su percepción en rasgos del objeto no tan evidentes, más abstractos, lo que posibilita una toma de conciencia profunda. El diseño de una coherente y adecuada organización didáctica que permita dar cumplimiento a la meta del proyecto didáctico entrelazada con la actividad en sí permitirá realizar percepciones profundas, no tan obvias para su subjetividad y que posibilitarán el desarrollo de procesos de objetivación.

Por tanto, el sujeto, guiado por su intencionalidad, al percibir un rasgo específico del objeto dota de características sensibles dicha parte del objeto, lo cual permite ser producto de conciencia. Radford (2023a) plantea que “la intención y el objeto co-emergen en el proceso perceptual de objetivación” (p. 146) y ya que dichos procesos son relacionales y dinámicos “cambian a medida que cambia el foco de atención” (p. 155).

Ética Primeramente, es relevante mencionar que la TO parte de los postulados éticos de Lévinas (2005). Este distingue dos tipos de lenguaje: lo dicho y el decir, “la distinción entre lo dicho y el decir es el esfuerzo de Lévinas por explorar un ámbito semiótico en el que la significación va más allá de los recintos de la cognición” (Radford, 2023a, p. 264). El lenguaje de lo dicho es el lenguaje de la cognición, el cual nombra, fija y cosifica las cosas, en suma, es un lenguaje que designa, este es insuficiente para acercarse al otro (Fenomenología y hermenéutica, 2023). El lenguaje del decir no puede encontrase en la palabra lingüística de lo dicho (o en su signo), es lo que no se dice, esto es, en el ámbito de lo no dicho, no existen conceptos para expresar lo que sucede (es una injusticia hermenéutica), este se configura en los límites de lo decible (Fenomenología y hermenéutica, 2023); el lenguaje del decir no nombra, es silencioso, “en el lenguaje del decir no hay inscripción que se vea ni sonido

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que se oiga; lo que hay es la vibración o resonancia del Ser” (Radford, 2023a, p. 267). Mediante el decir, el individuo demuestra su proximidad, su exposición con el otro (mostrando su vulnerabilidad, su desnudez); por lo que la comunicación con el otro (desde el decir), no debe verse como un intercambio de ideas, sino como una exposición significada del individuo con el otro, es decir, es comunicación como exposición.

Ética En La TO. La ética en la TO no es un sencillo encuentro entre el yo y el otro, y tampoco se concibe como una deontología, como una teoría basada en reglas y principios morales que deban seguirse (Radford, 2020b). A partir de la perspectiva de Lévinas (2005)28 y los planteamientos de Freire (1972), la ética en la TO se constituye como una fuerza liberadora de estructuras históricas, políticas y económicas de opresión que visibiliza las practicas colectivas para transformar dichas estructuras (Radford, 2023a). En este orden de ideas la escuela es la llamada a llevar la batuta en este cambio de paradigma, por lo que esta ética liberadora debe formar parte de un proyecto educativo emancipador donde reivindique la escuela en sus fundamentos sociales y no limitarse a la esfera económica en la preparación del niño para entrar al mundo laboral.

En la TO la lente se enfoca en “la transformación del aula de clases de matemáticas en un espacio político, es decir, un espacio de cooperación critico reflexivo” (Radford, 2023b, p. 62) donde los estudiantes se suman en procesos democráticos, de colectividad, solidaridad e inclusividad. Por consiguiente, la TO enfatiza sobre una ética comunitaria (Radford, 2023b). La TO se refiere a esta ética como una ética comunitaria, que se fundamenta en la alteridad como un producto historio-cultural y no como la evolución natural de las relaciones

28 La postura ética de la TO difiere de la propuesta por Lévinas (2005) principalmente en que "para la TO las condiciones sociales e históricas particulares son parte fundamental de un verdadero encuentro con el otro" (Lasprilla et al., 2021, p. 231).

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sociales. Los sujetos acarrean de forma natural ideas individualistas en relación con el otro, en la predominante ética tradicional hay relaciones de sujeción (de sumisión) en el aula de clase, por lo que esta ética comunitaria no emergerá naturalmente en las relaciones actuales, la ética comunitaria no puede darse a priori en el aula de clase (Radford, 2022a), esta solo se materializará en la práctica de la actividad diaria, en la obra común entre estudiantes y profesor impulsados por sus necesidades individuales y sociales. Se debe buscar entonces por propender de forma constante, gradual, consciente e intencional por los ideales de la ética comunitaria, buscar su legitimación para que finalmente sean parte del desarrollo natural de las relaciones sociales en el aula de clase.

Los 3 Vectores De La Ética Comunitaria. Está ética comunitaria “se configura a partir de tres vectores que constituyen la estructura esencial de la subjetividad, estos son: la responsabilidad, el compromiso hacia los demás y el cuidado del otro” (Lasprilla et al., 2021, p. 232), los cuales en últimas son los que orientan “la labor conjunta y vienen a configurar la estructura esencial de la subjetividad” (Radford, 2023a, p. 276).

El vector responsabilidad, “desde el cual emergemos como subjetividades siempre en cambio, en flujo, en transformación” (Radford, 2023b, p. 63), se interpreta como una solicitud ética hacia el otro al reconocer su fragilidad y la propia. Este vector se expresa en la respuesta del llamado del otro, en la acción de responder, atender, cuidar o estar al servicio del otro (Lasprilla et al., 2021).

El vector cuidado del otro “permite reconocer la vulnerabilidad propia y del otro” (Lasprilla et al., 2021, p. 233), enfatiza que las necesidades de ambos no son solo naturales sino culturales y que se dan en relación al otro, lo cual se manifiesta en “las acciones que realizamos (verbales, pero no necesariamente) para hacer sentir al otro nuestra presencia, nuestro apoyo,

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nuestra solidaridad y respeto” (Radford, 2023b, p. 63). Este vector hace alusión a la proximidad (Lévinas, 2005), a un encuentro en apertura a la bondad y la acogida, el cual se define a partir del diálogo, es decir, la no indiferencia y el sentimiento desinteresado. El vector compromiso se vincula a la sensibilidad (Lévinas, 2005) “en la medida que se escucha atentamente la exigencia del otro, antes de que se de cualquier apertura y relación intencional” (Lasprilla et al., 2021, p. 234), en atender al otro en su singularidad y diferencia. El vector compromiso es un ofrecimiento, una actitud, de hacer lo posible en el curso de la actividad (Radford, 2023b); para lo cual es necesario que los involucrados se sientan en la libertad de expresarse abierta y naturalmente. En este orden de ideas, desde el decir, se interpreta la exposición, la vulnerabilidad hacia el otro, lo cual significa acercarse al otro. Esta ética se basa en un compromiso incondicional hacia los demás, el cual se configura en el esfuerzo por implicarse en la labor conjunta, esto implicado en el cuidado del otro, no desde un acto patriarcal o condescendiente, sino desde una posición de reconocimiento de vulnerabilidad mediante la cual se pueda ir más allá del yo y poder posicionarse con el otro (Radford, 2023a).

Función Trigonométrica Por lo general un curso de funciones inicia con la representación estructural 𝑓(𝑥), o con una grafica en el plano cartesiano dada y se verbaliza como: una función es una relación entre dos conjuntos, A (dominio) y B (codominio), que asigna a cada elemento de A exactamente un elemento de B, “hoy en día, con esas palabras son con las que el concepto de función es introducido a los estudiantes de la escuela secundaria en muchas partes del mundo” (Sfard, 1992,

p. 68).

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Como se ha estipulado en el planteamiento del problema, estas formas estructurales de introducir el saber de función a los estudiantes en el aula de clase pueden fomentar alienación, dificultan el poder atribuir de sentido y significado dicho saber al enfrentarse con un objeto matemático descontextualizado y ajeno a su subjetividad (Pérez-Mojica y Osorio-Gutiérrez, 2025). En contraparte, La concepción del saber de función trigonométrica a través de los lentes de la TO posibilita una práctica educativa orientada al reconocimiento de dicho saber cómo un objeto histórico-cultural cristalizado en las formas de actuar y pensar de la sociedad. Enfoque Histórico-Cultural y Epistemológico Del Saber De Función Trigonométrica Desde la perspectiva histórico-cultural de la TO, el análisis histórico y epistemológico del saber de función es relevante ya que, por medio de este, además de eliminar el carácter inmutable y abstracto de las matemáticas (Marshall y Rich, 2000) se puede actualizar dicho saber. En el enfoque histórico-cultural de la TO, se debe entender el pensamiento funcional como una forma particular de reflexionar matemáticamente, como “un sistema codificado de procesos corpóreos, sensibles y materiales de acción y de reflexión, constituidos histórica y culturalmente” (Radford, 2017a, p. 101), como “una explicación sobre la construcción de los significados que le dan uso y sentido a esta función al seno de la actividad humana organizada en prácticas y normada por prácticas sociales” (Montiel, 2013, p. 47). Se deben entender entonces una función matemática como un saber matemático potencial codificado en la labor cristalizada y cambiante a lo largo de los años a través de procesos de objetivación que posibilitaron reconocer y visibilizar la construcción del saber de función en el tiempo como un producto de la interacción del hombre con sus pares, la sociedad, el medio, las matemáticas y la historia. Cada dato, cada hecho, cada concepto, nunca es así un ‘mero dato’, un ‘hecho desnudo’, un ‘concepto puro’[...] Pues está cargado con las significaciones imaginarias que lo han

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hecho, in-corpora en su propio cuerpo los presupuestos desde los que ha sido concebido, está revestido del tejido magmático cuyo flujo ha quedado en él embalsado. (Lizcano, 2006, p.56)

La historia de las matemáticas ofrece un tipo de laboratorio epistemológico (Radford, 1997), lo cual niega la concepción del saber de función desde un punto de vista platónico, como la herencia matemática debida al esfuerzo intencionado de matemáticos celebres e históricos que construyeron dicho saber actual, sino desde la relación entre los individuos (implicados), sociedad, cultura y el saber de función del momento. Anacona (2003) plantea que las matemáticas son:

[…] una actividad humana, una construcción social compleja edificada durante miles de años en arduos procesos de interrelación cultural. Esto significa que las matemáticas se encuentran ineludiblemente ligadas a su historia; una historia que da cuenta de su desarrollo conceptual, sobre la base de que tal desarrollo tiene lugar en medio de complejas dinámicas sociales. (p. 32)

Así pues, a través de la actividad, inmersa en un enfoque histórico y epistemológico del saber de función, se elimina el carácter abstracto e irreconocible de las matemáticas respecto a la individualidad del estudiante (características inherentemente alienantes), lo que posibilita la atribución de sentido personal por parte del mismo (rasgo distintivo para llegar al aprendizaje y al conocimiento), por lo tanto, “un fenómeno se debe entender en su devenir, en su historicidad, en su complejidad; no puede ser comprendido en su inmediatez ni en su mera apariencia” (Quintero, 2018, p. 84).

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Al reconocer el saber de función trigonométrica “como un instrumento matemático construido – socialmente a través del devenir histórico – a partir de la necesidad imperante de hallar regularidades observables en la manifestación del fenómeno de estudio” (Quintero, 2018,

p. 112), cuya esencia “es la correspondencia entre variables que poseen una relación de

dependencia” (Cadavid y Quintero, 2011, p. 105), se hace necesario establecer que en la presente investigación el foco de atención referente a la función trigonométrica sea la relación de dependencia entre magnitudes físicas variables en fenómenos periódicos, en donde el centro de atención es la variación (en fenómenos periódicos), por lo que algunos planteamientos sofisticados (matemáticamente) que no tengan cabida en el currículo de nivel de secundaria no serán tenidos en cuenta para analizar el acercamiento de los estudiantes al saber en cuestión: las formas histórico-culturales de pensar y actuar matemáticamente sobre fenómenos periódicos a través de las funciones trigonométricas. Además, se enfatiza el hecho de que al ser una función trigonométrica un tipo específico de función, la conceptualización de la noción de función se extrapola a las funciones trigonométricas añadiendo las especificidades de estas. Al realizar un recorrido histórico-cultural y epistemológico sobre el saber función (trigonométrica) a través de Boyer (1999), Burnett (2007), Kleiner (1989), Katz (2009), Sierpinska (1992), Reed (2007) y Siu (1995) se infiere que no hay consensos claros y concretos respecto al inicio del saber de función. Al profundizar al respecto, quienes plantean que su inicio fue a partir de Newton y Leibniz privilegian el pensamiento estructural y axiomático en las matemáticas, mientras que los que concluyen – así no haya sido de forma intencionada – que se encuentran vestigios rudimentarios del saber de función desde las civilizaciones antiguas (a raíz de procesos computacionales con tablas de valores29) arguyen sobre un pensamiento histórico y

29 Los babilonios habían compilado tablas para raíces cuadradas y recíprocas que muestran de cierta forma una relación funcional entre conjuntos de cantidades, sin embargo, solo se interesaron por valores discretos (Katz, 2009).

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cultural del desarrollo del pensamiento de función (esto sin desconocer la innegable característica del pensamiento abstracto y axiomático inherente a este objeto matemático). La cuestión en la presente investigación no es revivir el inacabado debate en cuanto al inicio como tal del saber de función (trigonométrica), es más bien reconocer y exponer el desarrollo histórico-cultural y epistemológico del pensamiento variacional en fenómenos periódicos (y sus múltiples procesos de legitimación cultural por diferentes SSSC a través de procesos de actividad en busca de resolver necesidades individuales y colectivas) que llevó a reconocer las funciones trigonométricas como lo son en la actualidad, como esa forma de actuar y pensar sobre fenómenos periódicos que se reconocen actualmente.

El recorrido histórico epistemológico del saber de función esclarece una pregunta en cierta medida es universal en las didácticas de las matemáticas ¿De dónde vienen los objetos matemáticos (inherentemente abstractos)? Dichos objetos no provienen de definiciones formales, “los objetos conceptuales son generados por los individuos en el curso del desarrollo históricocultural” (Miranda et al., 2007, p. 8). El saber de función trigonométrica, como otros objetos matemáticos, se derivan de acciones para satisfacer necesidades sociales que pasaron por un largo proceso de legitimación cultural en el marco de los SSSC en los que se rastrean tensiones culturales y cognoscitivas. Por lo que antes de ser objeto (estructural) pasó por múltiples procesos (operacionales) de actividad y por múltiples contextos históricos epistemológicos y culturales (SSSC) transversalizados por las necesidades de los individuos y colectivos (Radford, 2023a; Sfard, 1992).

Las formas histórico-culturales de pensar matemáticamente sobre fenómenos periódicos a través de las funciones trigonométricas se constituyeron en un saber, en formas codificadas de pensar y hacer, es decir, en un “sistema dinámico de arquetipos de pensamiento, acción y

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reflexión constituidos histórica y culturalmente a partir de la labor colectiva material, sensual y sensible” (Radford, 2023a, p. 51). Ese saber (ese arquetipo), esa cosa sin forma denominada función trigonométrica, se fue moldeando con los imaginarios colectivos (Lizcano, 1993) atados a los respectivos SSSC, lo que permite entender ese objeto matemático como un “patrón o patrones fijos de actividad reflexiva incrustados en el mundo constantemente en cambio de la práctica social que no podrá ser percibido, sino es a través de la actividad reflexiva misma” (Radford, 2006, p. 115).

La naturaleza del saber de función es compleja, “su desarrollo se ha hecho casi a la par que evoluciona la cultural humana” (Cantoral y Montiel, 2014, p. 19). Particularmente los babilonios en su necesidad comercial desarrollaron tablas de valores para raíces cuadradas y recíprocas, de igual manera se interesaron en problemas de medición de ángulos, dividieron el circulo en 360 partes “a las que ahora llamamos grados y denotamos con el símbolo °” (Cantoral y Montiel, 2014, p. 162).

Los griegos fueron los mentores en esta forma de medir giros. A partir de sus necesidades culturales que se fundamentaron en problemas del calendario, de estaciones, de predicción de eclipses y del calendario lunar (Katz, 2009), tabularon las diferentes variaciones de las posiciones de los cuerpos celestes al determinar las cuerdas en la “esfera celeste” en la obra astronómica más influyente desde el momento en que fue escrita hasta el siglo XVI: el Almagesto30, “así, encontramos que la periodicidad y el valor de las cuerdas (valores acotados)

30 Tolomeo no sólo presentó sofisticadas tablas de cuerdas (más completas que las de Hiparco) de todos los arcos desde ½° hasta 180° en intervalos de ½°, sino que mostró cómo interpolar para proporcionar valores funcionales para cualquier valor dado de la variable independiente; “para la construcción de algunas de esas tablas [almagesto] fue necesario interpolar funciones de dos variables” (Sierpinska, 1992, p. 31). Tolomeo en sus tablas, en ocasiones realizaba el trabajo inverso (iba de la posición del cuerpo al ángulo), lo que se puede catalogar como vestigios rudimentarios del saber de función inversa al determinar, mediante interpolaciones, la variable independiente a partir de la variable dependiente; también hallaba el arco a partir de la cuerda por ejemplo (Katz, 2009). Pese a esto, y aunque Tolomeo en su Almagesto determinó que las posiciones de los planetas cambian con el paso del tiempo compilando sus hallazgos en sus tablas astronómicas (Balacheff, 2017), Tolomeo no discutió la noción general de

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estaban vinculados a la repetición de fenómenos astronómicos y a la posición de los cuerpos celestes” (Montiel, 2013, p. 25).

El problema general del trabajo astronómico requiere determinar la longitud de la cuerda para cualquier longitud de arco. Este es casi con certeza el primer ejemplo en la historia de las matemáticas de una relación funcional sin una fórmula explícita para calcular el valor de salida para cada valor de entrada. (Bressoud, 2010, p. 108)

Influenciados por la astronomía griega, los indios también necesitaron de la trigonometría para poder calcular las posiciones de los cuerpos celestes, la trigonometría griega se fundamentó en el estudio de cuerdas (segmento de recta que une dos puntos cualesquiera de la circunferencia.), mientras que los indios y árabes se enfocaron en analizar la media cuerda (lo que actualmente es el seno). Al igual que en Grecia e India, la trigonometría para los árabes (concernientes al islam) estaba atada íntimamente con la astronomía, los matemáticos árabes estaban particularmente interesados en la trigonometría para resolver triángulos esféricos ya que la ley islámica exigía que los musulmanes rezaran en dirección a La Meca (relacionando el amanecer y el crepúsculo, así como con la duración de la luz diurna y la altitud del sol en un día dado), en donde a través de tablas resolvían problemas de astronomía y geografía31. Por su parte, los chinos en el siglo VIII desarrollaron la primera tabulación de la función tangente. (Katz, 2009; Burnett, 2007; Kleiner, 1989; Sierpinska, 1992).

función. Es necesario recalcar que, tras la fachada geométrica de las matemáticas griegas, yacen matemáticas prácticas que no es más que la repercusión de una preocupación, de una necesidad cultural. 31 Los vestigios de las funciones tangente, cotangente, secante y cosecante aparecieron en las obras islámicas en el siglo IX por medio de un tratado exhaustivo de sombras, a través del cual también se establecieron relaciones entre ellas.

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Es claro que las nociones primarias de funciones trigonométricas databan de épocas y culturas en las que era necesario, por sus requerimientos sociales, culturales e idiosincráticos, estudiar la astronomía: el movimiento de los cuerpos celestes en los que la característica principal era la variación de movimientos periódicos, inclusive Cantoral y Montiel (2014) denominan las funciones trigonométricas como “funciones circulares” (p. 162), al sobresaltar su particular carácter de modelación de fenómenos periódicos físicos a raíz de su bagaje históricocultural. Por lo que la astronomía hasta antes del renacimiento era fuertemente dependiente de la trigonometría, ambas se coprodujeron dialécticamente por cientos de años a lo largo de diferentes culturas y respondieron a diferentes necesidades sociales que se configuraron en necesidades científicas (Katz, 2009).

Los babilonios, griegos, indios, chinos y árabes no pretendían llegar a una definición matemática de función, sería absurdo pensarlo, ni tampoco intencionalmente fijaron las bases para los desarrollos conceptuales de futuros matemáticos como si fueran conscientes de su posición – impuesta por los científicos actuales – en la eterna escalera de la evolución de las matemáticas, como si fueran conscientes de su aporte en el desarrollo gradual de cierto concepto matemático; esta concepción romántica (platónica) de la historia de las matemáticas solo invisibiliza el verdadero carácter histórico-cultural y epistemológico de las mismas (Bråting y Pejlare, 2015).

Radford (1997) reconoce que la historia no debe ser vista como una secuencia de torpes esfuerzos que conducen a las conceptualizaciones modernas (como se evocó en la sección de subjetivación de la TO). El significado real de un saber histórico es inalcanzable ya que siempre será filtrado por: las concepciones socioculturales modernas, por sus imaginarios colectivos (Lizcano, 1993, 1999; Radford, 1997) que invisibilizan la sofisticación del mismo y por las

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verdaderas necesidades histórico culturales – en el marco de los SSSC – que impulsaron a los matemáticos de ese entonces. Desde este punto de vista es necesario reconocer que el pasado no es irrevocable e invariante, la historia continuamente será reescrita, al cambiar el presente cambia el pasado (e inclusive el futuro), al cambiar las maneras de concebir el mundo cambian las maneras de concebir el pasado (Radford, 1997).

Los babilonios, griegos y demás civilizaciones y culturas en las que se encuentran vestigios rudimentarios de lo que puede llamarse función (trigonométrica), en el marco de su cosmovisión, idiosincrasia, es decir, SSSC, realizaron desarrollos – que en su contexto eran considerados sofisticados – a través de procesos de actividad para atender a necesidades individuales y colectivas. Con el paso del tiempo, esas formas de medir y contar, de pensar y actuar se legitimaron en la cultura, por lo que se convirtieron en un objeto potencial de convertirse en objeto de conciencia para cualquier individuo de dicha sociedad, es decir, saber. Al cambiar las necesidades – que se encuentran en relación dialéctica con los SSSC, en las mismas culturas u otras –, el saber (inherentemente potencial), mediante procesos de actividad, sufría alteraciones al ser determinado de múltiples formas según las nuevas necesidades; esto es, conocimiento. Este paulatinamente se sometía a un nuevo proceso de legitimación cultural, modificando (parcialmente) esas formas de medir, pensar y actuar (saber). Dichas maneras de pensar el movimiento de los cuerpos celestes, dichas formas de medir, se convirtieron en arquetipos de pensamiento (saberes) que al ser actualizados en regiones de India, China e Italia principalmente, generaron ciertos conocimientos (como en el caso de Johannes Kepler y Galileo Galilei32 a principios del siglo XVII), los cuales a su vez, después de

32 A partir de los planteamientos de Nicolás Oresme al relacionar gráficamente velocidad y aceleración (con lo que se desarrolló una idea vaga de relación dependencia funcional al concebir leyes cuantitativas de la naturaleza como leyes de dependencia funcional), Galileo calculó varias tablas que daban la altura y la distancia recorrida por cierto proyectil en función del ángulo inicial de elevación, con lo que demostró, por ejemplo, que el alcance máximo se

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un proceso de legitimación social se convirtieron en nuevos saberes tal y como plantea Radford (2023a) en cuanto a la dialéctica entre saber, actividad y conocimiento (ver Figura 1). Bajo esta perspectiva el saber de función pasó por una serie de culturas a lo largo de la historia, por lo que dicho saber tiene una inexorable carga histórico-epistemológica innegable y se manifiesta en las formas en que actualmente se piensa sobre fenómenos periódicos.

Kleiner (1989) resumió sucintamente el desarrollo del saber de función al afirmar que las manifestaciones implícitas del mismo se remontan al año 2000 A.C., aunque su forma explícita no surgió hasta finales del siglo XVII y principios del XVIII. En 1692, Leibniz introdujo la palabra "función" para designar un objeto geométrico asociado a una curva, por ejemplo escribió: "una tangente es una función de una curva" (Kleiner, 1989 p. 283). Es claro entonces que en el contexto de la geometría analítica fue que Leibniz introdujo las nociones del cálculo y nombró por primera vez la palabra función; en este mismo contexto fue que Jean Bernoulli acuñó la primera definición de función (Sierpinska, 1992): "Llamo función de una magnitud variable a una cantidad compuesta de cualquier manera a partir de esta magnitud variable y de constantes" (Katz, 2009, p. 724).

Para Kleiner (1989) la evolución del saber de función fue "un tira y afloja entre dos elementos, dos imágenes mentales: la geométrica (expresada en la forma de una curva) y la algebraica (expresada como una fórmula–primero finita y después con infinitos términos)" (p. 282). La concepción geométrica arribó en el siglo XVII con la magnitud variable de Descartes – y con ella el movimiento y la dialéctica a las matemáticas – y posteriormente con el cálculo de Newton y Leibniz con su análisis de curvas geométricas, estas dos ideas – la geometría analítica

alcanza con un ángulo inicial de 45° (Katz, 2009). A su vez, el estudio del movimiento por Johannes Kepler y Galileo Galilei les permitió investigar la relación entre dos cantidades variables, lo que proporcionó el impulso para el desarrollo del saber de función (Siu, 1995).

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(de Descartes) y el cálculo (de Newton y Leibniz) – juntas, crearon el ambiente propicio para el desarrollo del saber lógico y algebraico de función. Finalmente prevaleció la definición “lógica” de función y se abandonó gradualmente la concepción geométrica (Burnett, 2007; Sierpinska, 1992; Katz, 2009).

Sin embargo, no solo se dio paulatinamente la espalda a la imagen mental geométrica en la concepción del saber de función. De este recorrido histórico a través del saber de función (trigonométrica) se identifica cómo, el desarrollo de este inicia a raíz de fenómenos físicos sensibles para el individuo y paulatinamente se desarrolla a través de postulados axiomáticos (inherentemente abstractos). Las matemáticas se configuraron progresivamente a partir de postulados axiomáticos y de los planteamientos logicistas de los griegos, para modelar el pensamiento lógico de las matemáticas.

En el siglo XIX se dio en las matemáticas un cambio de paradigma notorio (Kuhn, 1971), este planteamiento abstracto tuvo su auge al definir muchos de los demás conceptos matemáticos a través de límites, lo que posibilitó el arribo del análisis (como rama de las matemáticas). Difícilmente ya se podían rastrear los vestigios de las necesidades histórico culturales precursoras de estos desarrollos; los matemáticos de la época se sumaron al nuevo paradigma y se volcaron a este pensamiento estructural desligando hasta cierto punto las matemáticas con las demás ciencias.

Bourbaki inmerso en el formalismo por el cambio de paradigma matemático de correspondencia entre conjuntos instaurado por Cantor, recoge las características primariasinnatas del saber de función (variación, variables, relación, par ordenado33) y las reúne en su definición, que es conocida como la definición de Dirichlet–Bourbaki (unificando los enfoques:

33 Una idea popular de la época (siglo XX) fue la de Hausdorff, de reducir el saber de función al concepto de par ordenado.

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correspondencia arbitraria–par ordenado respectivamente): “Una función 𝑓 : 𝑆 → 𝑇 consiste en dos conjuntos 𝑆 y 𝑇 juntos con una regla que asigna a cada 𝑥∈𝑆 un elemento específico de 𝑇, denotada 𝑓(𝑥)” (Malik, 1980, p. 491). Esta definición que trata la correspondencia entre conjuntos sin especificar su naturaleza, es en últimas “la definición moderna del concepto de función que domina en la literatura escolar” (Cantoral y Montiel, 2014, p. 29), la cual se sintetiza en las aulas de clase contemporáneas de educación secundaria (y superior inclusive) como: “Sean 𝑋 y 𝑌 dos conjuntos no vacíos. Una función de 𝑋 a 𝑌 es una relación que asocia a cada elemento de 𝑋 exactamente un elemento de 𝑌” (Sullivan, 2013, p. 201). Sfard (1992) plantea que en los saberes matemáticos se encuentran concepciones operacionales y estructurales – tal y como se ha esbozado en el planteamiento del problema, se ha vislumbrado en este recorrido histórico-epistemológico y se profundizará más adelantes. Ella plantea que la visión operacional de las funciones comenzó con el álgebra simbólica, recién inventada a finales del siglo XVII, donde estas se vincularon a la noción de un proceso computacional. La visión estructural de las funciones surgió con las ideas de Dirichlet sobre la teoría de conjuntos y la correspondencia arbitraria a principios del siglo XIX, así como con las ideas de Bourbaki sobre los pares ordenados a principios del siglo XX. En el planteamiento del problema de este documento se realizó la crítica sobre el abordaje inicial a partir de un enfoque estructural de cualquier objeto matemático, y aunque es impertinente un estudio de las matemáticas sin un enfoque estructural, se deben reivindicar las características histórico epistemológicas que ese objeto abstracto acarrea y así quebrantar – prudentemente34 – la inexorable barrera del estructuralismo para ver las entrañas sociales y

34 Prudentemente ya que como cuestiona Lizcano (2006) “¿Cómo afecta entonces el imaginario del propio investigador a la percepción de ese otro imaginario que está investigando? ¿Cómo pueden estar mediatizándole los fantasmas de su imaginario personal, poblado de sus particulares temores, anhelos e intereses?” (p.44), por lo cual Lizcano (2006) propone un proceso de extrañamiento del investigador. A su vez Lévinas (2005) plantea que es

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culturales de los objetos matemáticos. Con esto no se plantea que el abordaje estructural es un mal a erradicar, esto sería una afirmación atrevida e imprudente, lo que se busca es escudriñar en la historia y cultura y reconocer las necesidades y desarrollos humanos en los objetos abstractos matemáticos. La propuesta en la presente investigación es realizarlo a partir de la TO. Objetivación Del Saber De Función Trigonométrica A continuación, se esbozan fundamentos teóricos del saber de función trigonométrica permeado por los postulados de la TO (especialmente por el materialismo histórico dialéctico) en cuanto a la dialéctica entre el enfoque operacional y estructural del mismo y cuestiones didácticas como sus representaciones semióticas e indicios de entendimientos y obstáculos epistemológicos.

Proceso – Objeto. Del recorrido histórico-cultural y epistemológico del saber de función trigonométrica se debe reconocer que, dependiendo de los imaginarios culturales, épocas, matemáticos influyentes y especialmente de las necesidades histórico-culturales, se pone de manifiesto una concepción procesual (operacional) y otra estructural del saber de función trigonométrica. Ambas concepciones están allí, están en esa potencialidad, en esas formas histórico-culturales de pensar matemáticamente sobre fenómenos periódicos a través de las funciones trigonométricas, a la cual los estudiantes contemporáneos (y especialmente los que fueron la unidad de trabajo de la presente investigación) van a su encuentro. Por tal motivo y debido a su reconocimiento en la comunidad científica matemática en el estudio del saber de función, se tuvieron presentes los planteamientos conceptuales de Sierpinska (1992), Sfard (1992), Dubinsky y Harel (1992) y Breidenbach et al. (1992), quienes abogan por la naturaleza

imposible relacionarse con el mundo sin deformarlo, el individuo no puede despojarse de su aparato y categorías conceptual ¿Cómo hacerlo? Dejaría de ser un sujeto histórico-cultural y sería un cascaron), esto implica que, en el acto cognoscitivo entre el sujeto y su objeto de estudio, el sujeto transforma al objeto (acarreando reminiscencias subjetivas) y a su vez el objeto transforma al sujeto.

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dialéctica (operacional y estructural) del saber de función, ellos plantean que en dicho saber hay características de proceso y objeto (diferentes lados de una misma moneda), lo que es sin duda un requisito para poder objetivar el saber matemático de función trigonométrica, tal y como Radford (2023a) teoriza de forma implícita.

La naturaleza dual de la concepción matemática de fla unción se basa en los enfoques proceso/objeto u operacional/estructural35. La naturaleza operacional de la concepción matemática de función (trigonométrica) se debe a la noción de que puede ser percibida como un proceso computacional (contar o calcular algo numéricamente), el cual es dinámico, mientras que la naturaleza estructural se debe a la noción de un objeto, una entidad estática (Sfard, 1992). Por su parte, para Dubinsky y Harel (1992), proceso es una forma de comprensión de un concepto que implica imaginar una transformación de objetos mentales o físicos que el sujeto percibe como relativamente internos y totalmente bajo su control, mientras que objeto es una forma de entender un concepto que lo considera como algo a lo que se pueden aplicar acciones y procesos.

Así pues, no se pueden categorizar los enfoques operacional y estructural como antagónicos, ambos son procesos dialécticos, ambas concepciones se complementan entre sí y son necesarias en el proceso de aprendizaje (Sfard, 1992; Burnett, 2007). Sfard (1992) plantea que estos deben ser entendidos como “diferentes facetas de una misma cosa, más que cosas totalmente distintas” (p. 60) y añade que “los objetos abstractos [enfoque estructural] son para los procesos [enfoque operacional] como imágenes, así como los símbolos lo son para las descripciones verbales” (p. 66), lo que Sierpinska (1992) complementa al establecer que el

35 Esta dicotomía de los objetos matemáticos ha sido ampliamente abordada por diferentes investigadores nombrándolos de forma diferente, pero mantienen la naturaleza de ambos enfoques: operacional / estructural, proceso / objeto, procedimientos de razonamiento / entidades conceptuales, interpretación dinámica / interpretación estática (Sfard, 1992).

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significado de un objeto matemático, incluido el de función, debe ser una relación símboloobjeto, sin olvidar que “el concepto de función puede ser definido en una forma simbólica, casi sin usar palabras” (p. 29).

Estas investigadoras, entre otros, convergen al establecer que el abordaje del saber de función (trigonométrica) debe hacerse inicialmente de forma operacional. Sfard (1992) añade que inicialmente, de forma espontánea, la concepción de función para la mayoría de los estudiantes obedece a un enfoque operativo e intuitivo para los estudiantes. Sfard (1992) expone algunos fenómenos que emergen cuando un estudiante tiende a pensar una función desde un punto de vista operacional sobre una concepción abstracta. Uno de ellos es concebir una función dese el percepto de la variación, es decir, un cambio en la variable independiente debe ser seguido por un cambio en la variable dependiente (por lo que los estudiantes presentan una dificultad general con la función constante). Pese que al introducir un concepto nuevo se debe privilegiar un enfoque operacional, Sfard (1992) establece que se debe buscar una dualidad en la concepción de dicho objeto. Al respecto Sierpinska (1992) establece que “el concepto de función debe ir más allá de la etapa de ‘proceso’ – al usar la terminología de Dubinsky – y llegar a ser un objeto que la mente pueda manipular como un elemento” (p. 47), esto ya que la formación de concepciones estructurales es esencial para un aprendizaje más complejo, lo que permite que los procesos matemáticos sean más significativos, inclusive Sfard (1992) afirma que “sin la habilidad de pensar estructuralmente, el aprendiz se sentiría a menudo perdido” (p. 66). Sfard (1992) establece que para pasar de la concepción operacional a la estructural del saber de función (trigonométrica) se debe privilegiar inicialmente un trabajo con objetos familiares entorno al saber de función, lo cual permite un proceso más compacto de donde se

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tenga la posibilidad de que emerja un objeto de conciencia. Estas actividades contextuales y significativas facilitarán el pensamiento gradual sobre funciones como un proceso (entradas y salidas, algo entra y algo sale), para finalmente concebir las funciones como un objeto (como una entidad), en donde la concepción operacional no se elimina, sino que se complementa con la visión estructural.

Es necesario recordar que esta concepción dual del saber de función (trigonométrica) de Sfard (1992), Dubinsky y Harel (1992) y Breidenbach et al. (1992) entre otros, debe ser entendida como una evidencia de la objetivación de dicho objeto matemático. La connotación estructural y operacional hace parte de las formas de hacer y actuar (del saber en sí) y la agilidad al moverse entre ambos esquemas de pensamiento se consideran un acercamiento gradual al saber, es decir, objetivación.

De lo Abstracto A Lo Concreto y Viceversa. Ahora bien, al realizar la analogía donde estructura es a saber (abstracto) cómo proceso es a conocimiento (concreto), se podría presentar una contradicción para el lector en el sentido en que se dan los procesos de acuerdo a lo expuesto en capítulo de la teoría de la objetivación y en el capítulo de función trigonométrica del marco teórico.

Como se ha esbozado a lo largo del documento, para la TO la dirección del aprendizaje se da del saber al conocimiento, “el saber aparece primero de manera general o abstracta. A medida que se desarrolla, el saber va adquiriendo un contenido específico o concreto” (Radford, 2023a, p. 1), esto sin desconocer que el conocimiento no es resultado, sino que emerge paulatinamente a medida que el saber adquiere determinaciones concretas implícitamente sensibles (ver apartado “actividad en sí” en la sección de “Actividad en la TO: labor conjunta”

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del marco teórico), es decir, el ascenso fenomenológico de lo abstracto a lo concreto en el sentido hegeliano (Radford, 2023a).

Sin embargo, no se debe desconocer el carácter dialéctico y la naturaleza misma del saber de función trigonométrica, el cual como se ha planteado, debe iniciar mediante un enfoque operacional a partir de determinaciones concretas para finalizar en un enfoque estructural netamente abstracto. Esto plantea una incoherencia evidente: ¿Cómo armonizar estas contradicciones teóricas?

La TO establece que el movimiento es de lo abstracto a lo concreto en el sentido que el saber (abstracto) mediante procesos de actividad (labor conjunta), paulatinamente se va haciendo con características sensibles, cognoscibles, por lo que lo concreto (conocimiento) pueda tomar su lugar como un objeto sensible a la conciencia. No obstante, al seguir el carácter dialéctico presentado en la Figura 1, este conocimiento, de nuevo, a partir de procesos de actividad, configura un nuevo saber, es decir, el sentido ahora es de lo concreto a lo abstracto. Por otra parte, y como se había mencionado, Sierpinska (1992), Sfard (1992), Dubinsky y Harel (1992), Breidenbach et al. (1992), Kendal y Stacey (1997), Altman y Kidron (2016), Weber et al. (2008), Cantoral (1995) y Quintero et al. (2022) plantean que al abordar el saber de función trigonométrica se debe iniciar desde una concepción operacional, “los nuevos conceptos no deben ser introducidos en términos estructurales” (Sfard, 1992, p. 69). Esto no quiere decir que el recorrido para llegar al aprendizaje inicia en el conocimiento para llegar al saber; tal interpretación resultaría contradictoria con los principios de la TO. Se debe entender que “utilizamos nuestro conocimiento de un campo conceptual, por lo general concreto o cercano a la experiencia física, para estructurar otro campo que suele ser más abstracto” (Soriano, 2012, p. 1). En consecuencia, el abordaje primigenio de la función trigonométrica debe iniciar a partir de

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concepciones sensibles (concretas) de forma tal que en el encuentro con el saber (abstracto) paulatinamente se configure un pensamiento estructural de dicho saber, es decir, en este caso se observa que el sentido es de lo concreto a lo abstracto.

El enfoque únicamente operacional es insuficiente para una comprensión profunda del saber, se deben generar objetos matemáticos abstractos que se puedan interrelacionar mediante la etapa previa procesual a través de una unidad didáctica contextual y conceptual para poder dotar dicho objeto de significado y generar así tomas de conciencia profundas (procesos de objetivación), por lo que el proceso operacional es la base para llegar al pensamiento estructural de dicho saber.

Esto no quiere decir que el pensamiento operacional es tan solo un medio para llegar al fin último que es el pensamiento estructural, lo que daría a entender que este es el punto de llegada para el aprendizaje de cierto saber. Con esto tampoco se pretende desdeñar o satanizar el enfoque estructural (como ya se abordó en el último párrafo de la sección: Enfoque históricocultural y epistemológico del saber de función trigonométrica), lo que se busca es cuestionar cómo se llega a este, al cual, en muchas aulas de clase no se llega, sino que se inicia en él. El enfoque estructural es necesario para desarrollar un adecuado pensamiento matemático, pero este no es un fin al que llegar, es un enfoque que se debe permear y armonizar con el operacional, ambos deben estar concatenados dialécticamente como facetas de un todo, de una misma realidad, lo cual se logra mediante un acto educativo problematizador y contextual, a través del cual se construyan relaciones constantes entre ambos enfoques. De esta manera se configura un pertinente saber de función trigonométrica.

En síntesis, se debe concebir de lo abstracto a lo concreto en un sentido fenomenológico (en el sentido de la TO) y de lo concreto a lo abstracto en un sentido epistemológico (operacional

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de abstracción), donde ambos procesos – aunque opuestos – se relacionan dialécticamente en el acto de pensar (Freire, 1972), ver Figura 7.

Estos procesos imbricados de ir de lo abstracto a lo concreto y viceversa, se pueden entender desde un ejemplo común. Al momento en que el niño empieza a aprender a sumar, cuando el niño va al encuentro con formas de actuar y pensar sobre la adición de cantidades discretas con simbología numérica (saber-abstracto), el niño inicia dicho recorrido desde su agenciamiento, desde su zona de desarrollo próximo, que en este caso sería la agrupación de unidades concretas (lápices, dedos, palos, etc.). El niño parte de algo concreto (de un concepto previamente adquirido) para ir al encuentro del saber en cuestión, “la mayoría de conceptos se entienden parcialmente en términos de otros conceptos” (Lakoff y Johnson, 2004, p. 96), lo que constata el trayecto epistemológico al ir de lo concreto a lo abstracto, esto al iniciar procesos de generalización en simbología aritmética y poder sumar dichos objetos abstractos a partir de procesos de objetivación previos de agrupación de unidades concretas. Figura 7 Relación dialéctica entre lo abstracto y lo concreto

Nota: Elaboración propia.

A medida que el niño realiza procesos de objetivación respecto a dicho arquetipo de pensamiento (abstracto), a medida que el niño se sume en procesos de actividad en aras de

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realizar sumas a partir de la representación simbólica de los números cardinales (al relacionar esto con su experiencia y procesos de objetivación previamente realizados respecto a la agrupación de material concreto), dicho saber va tomando determinaciones concretas, lo que permite que el saber se materialice en el sujeto, tome connotaciones sensibles y pueda ser objeto de conciencia, lo cual posibilita la aparición subjetiva del concepto en el niño, es decir, la reflexión subjetiva y concreta del saber, en síntesis: el proceso fenomenológico del ascenso de lo abstracto a lo concreto (Radford, 2023a). De ahí que estos procesos (fenomenológicos y epistemológicos que se dan según la dirección de ir de lo abstracto a lo concreto y viceversa) se coproducen y forman algo nuevo objetiva y subjetivamente.

Es preciso advertir que ambos “concretos” son de naturaleza distinta. El niño no parte del conocimiento o concepto fruto del saber para ir al mismo saber, tal planteamiento carecería de sentido lógico. El niño parte de un concepto (concreto) fruto de procesos de objetivación de un saber previo, por lo que para ir al encuentro del saber que se le antepone actualmente (abstracto), de manera gradual a su actualización mediante procesos de actividad y objetivación, dicho saber es dotado con determinaciones concretas y sensibles que dan paso al conocimiento y al concepto, es decir, a lo concreto. Por lo tanto, resulta imperativo diferenciar entre el concreto necesario para ir al encuentro del saber y el concreto que es fruto de la objetivación de dicho saber. Ahora bien, desde los componentes dialécticos de la actividad se debe mencionar que en la medida que el saber (abstracto) va adquiriendo determinaciones concretas (conocimiento) a través de procesos de actividad (labor conjunta) – es decir, de lo abstracto a lo concreto (en el sentido hegeliano, es decir, fenomenológico) – va marcando la pauta de como el proyecto didáctico (componente Φ de la actividad) se va desarrollando en el aula de clase, esto es, como se debe ir organizando dicho proyecto para que se pueda redireccionar y autorregular de acuerdo

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a su objeto y meta. Lo que finalmente permite llegar armónica y dialécticamente a un enfoque estructural del saber sin perder la naturaleza operacional de su génesis. Por otra parte, a través de la labor conjunta inmersa en una unidad contextual y problematizadora, a medida que se van dando procesos concretos y sensibles por el educando (conocimientos previos) se van generando procesos de toma de conciencia que posibilitan paulatinamente la aparición de objetos de conciencia abstractos (enfoque estructural/objeto), es decir, de lo concreto a lo abstracto (al realizar procesos de abstracción y generalización en el sentido operacional), lo que marca entonces la pauta de como la actividad en sí (componente Θ de la actividad) se va manifestando36 en el aula de clase.

Finalmente, a raíz del carácter dialéctico entre ambas componentes de la actividad, donde una depende de la otra y viceversa, expuesto en la Figura 3 (apartado: componentes de la actividad de la sección “Actividad en la TO: labor conjunta” del marco teórico), se puede establecer que ambas componentes de la actividad, así como ambos procesos: fenomenológico y epistemológico (de acuerdo al sentido abstracto↔concreto) se coproducen dialécticamente, por lo que en la terminología de Freire:

[…] este movimiento de ida y vuelta de lo abstracto a lo concreto, que se da en el análisis de una situación codificada, si se hace bien la descodificación, conduce a la superación de la abstracción con la percepción crítica de lo concreto. (Freire, 1972, p. 129)

Cuestiones Didácticas Ahora bien, después de enfatizar sobre la naturaleza dialéctica entre los enfoques operacional (concreto) y estructural (abstracto) del saber de función trigonométrica, así como sus

36 Ver metáfora del escultor, del director de la orquesta o del navegante en Radford (2023a).

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relaciones fenomenológicas y epistemológicas, para finalizar este capítulo teórico del saber de función trigonométrica se continua con algunas cuestiones didácticas puntuales que se pueden considerar indicios de entendimiento, indicios de procesos de objetivación al ir al encuentro del mencionado saber.

Sierpinska (1992) plantea cuatro categorías de actos de entendimiento de saberes matemáticos: la identificación (de un objeto entre otros), la discriminación (entre objetos) permite notar la existencia y diferencias entre dos objetos, la generalización posibilita extender el rango de aplicaciones, la síntesis posibilita establecer lazos con hechos aislados y la última categoría es uso, en la cual mediante la actividad el estudiante puede usar los conceptos como herramientas para propósitos funcionales en la consecución de objetivos particulares. Específicamente en el caso del estudio de funciones, Sierpinska (1992) establece que se deben diferenciar ciertos mundos: los conjuntos 𝑋 y 𝑌 (dominio y rango) se refieren al mundo de los cambios (o el mundo de los objetos cambiantes), el símbolo 𝑓 se refiere al mundo de las relaciones entre los objetos cambiantes o al mundo de los procesos que transforma objetos en otros. Estas relaciones o procesos ocurren bajo unas especificaciones claras y concretas, es decir, el mundo de las leyes.

Por ejemplo, cuando un estudiante dice “el camino recorrido por el cuerpo está en función del tiempo y de la velocidad” o “el precio es una función del aumento de mercancía en el mercado” se habla de leyes físicas y de mercado respectivamente, en estos casos se concibe una función como una relación entre esas magnitudes variables. Asimismo, cuando se piensa en una curva representada en un sistema de coordenadas se concibe la función como una relación entre las coordenadas de los puntos que están bajo la curva (Sierpinska, 1992).

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Estos dos mundos, el de los cambios (u objetos cambiantes) y el de las relaciones entre dichos objetos cambiantes, coexisten simultáneamente en el saber de función trigonométrica, de manera que se deben diferenciar y armonizar. La discriminación entre estos dos mundos, entre estas dos concepciones del saber de función trigonométrica abordada por Sierpinska (1992) obedece a su génesis histórico-cultural.

Tras el recorrido histórico-epistemológico del saber de función trigonométrica, es innegable reconocer que “la noción de función puede ser considerada como el resultado del esfuerzo humano de lidiar con objetos cambiantes observados y vividos en su alrededor” (Sierpinska, 1992, p. 31), por lo que “aparecieron como herramientas para predecir y describir fenómenos de la naturaleza” (Maldonado et al., 2004, p. 373). Por consiguiente, en las relaciones entre las magnitudes variables concerniente a problemas prácticos, los estudiantes deben estar más interesados en la variabilidad y búsqueda de regularidades y relaciones (antes que en ejemplos y definiciones elementales de funciones que son introducidos en el aula de clases) ya que es pertinente para llegar a asir progresivamente al saber de función, el cual se debe concebir a través de fenómenos de variación de magnitudes en ciencias “como la relación entre dichas magnitudes variables” (Sierpinska, 1992, p. 29).

Sin embargo, a menudo los estudiantes se enfocan en cómo cambian las cosas, pero tienen problemas en identificar que está cambiando o cuáles son los objetos cambiantes, lo que repercute en dificultad (o imposibilidad) de diferenciar entre cantidades conocidas y desconocidas y cantidades constantes y variables, así mismo en la discriminación entre variable dependiente e independiente (Sierpinska, 1992).

Paulatinamente el foco de atención en la variación de magnitudes pasó al análisis geométrico de curvas y posteriormente se volcó hacia el algebra. En los siglos XVII y XVIII

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proporciones e igualdades eran usadas para representar alguna representación funcional, sin embargo, gradualmente se perdió este significado y se llegó a expresiones algebraicas sin sentido (sin contexto, abstractas) para estudiantes neófitos. En cierta medida esto dificulta la concepción del saber de función, ya que aún hoy en día se tiene una fuerte creencia en el poder de las operaciones formales en expresiones algebraicas, lo que repercute en que solo las relaciones describibles por fórmulas analíticas son dignas de ser llamadas funciones (Sierpinska, 1992). Por lo tanto, es crucial distinguir entre una función y las herramientas analíticas utilizadas para describirla.

Por consiguiente, resulta conveniente relacionar las leyes (físicas) con las funciones matemáticas, esto al discriminar entre variable física y matemática, entre número y magnitud física y al percibir las relaciones entre leyes físicas y las funciones matemáticas; estas tres son necesarias para un entendimiento completo de función (Sierpinska, 1992). Cuando las relaciones están dadas por una ecuación que describe una curva en el plano cartesiano ya dibujada, dicha ecuación devela la relación preexistente entre las coordenadas de la curva, por lo que se presenta una imagen estática de la función ya que la ley no fue definida por el estudiante, sino que ya estaba preestablecida. Por el contrario, cuando una cosa es mapeada en otra cosa (es transformada en otra representación)37, cuando se procesan objetos o conjuntos de objetos para obtener otros, emerge la imagen dinámica de la función; por lo que dicho dinamismo se presenta cuando se traza la gráfica al procesar la variable independiente para obtener su respectiva variable dependiente (Sierpinska, 1992).

Como se ha mencionado, al ser la función trigonométrica un tipo específico de función, las generalidades de estas últimas – como las ya expuestas – se extrapolan a las funciones

37 Mapeo hace referencia a una aplicación de un conjunto a otro, por lo que cada elemento de un conjunto se empareja con el de otro. En ciertas esferas de las matemáticas el término mapeo es sinónimo de función.

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trigonométricas, sin embargo, hay cuestiones didácticas que son propias a estas. Aunque el currículo tradicional de secundaria de trigonometría inicia con el estudio de las proporciones entre los lados de un triángulo rectángulo (razones trigonométricas), para continuar con el círculo unitario y pasar a las funciones trigonométricas, Bressoud (2010) sostiene que este planteamiento contraviene su desarrollo histórico y cultural.

La introducción a la trigonometría a través del estudio del triángulo rectángulo despoja a las razones trigonométricas de todo aquello que le da origen, sentido y significado; es decir, hay una pérdida del proceso geométrico en la construcción de lo trigonométrico. (Montiel, 2013, p. 27)

Bressoud (2010) manifiesta que este orden temático tradicional con el que se aborda la trigonometría inicialmente en las aulas de clase genera confusiones en el estudiante ya que, por un lado, en el triángulo trigonométrico, los ángulos son medidos en grados sexagesimales y las funciones trigonométricas son definidas por razones entre los lados del triángulo rectángulo y por otro lado, en el circulo trigonométrico los ángulos son medidos comúnmente en radianes y las funciones trigonométricas son expresadas en términos de coordenadas de un punto en el circulo unitario centrado en el origen. Por tanto, lidiar con estas concepciones es a lo que se enfrentan los estudiantes de secundaria de trigonometría ¿Cómo no esperar confusión en ellos? Weber et al. (2008), Bressoud (2010), Kendal y Stacey (1997), Largo-Taborda et al., (2025b), Altman y Kidron (2016) y Kamber y Takaci (2017) concuerdan al establecer que el tradicional abordaje para enseñar trigonometría a partir de la compresión de funciones trigonométricas como razones no permite a los estudiantes relacionarlas con funciones ya que “para los estudiantes que primero memorizan las funciones trigonométricas como razones, hacer

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la transición para concebirlas como longitudes es mucho más difícil” (Bresooud, 2010, p. 112). Se debe privilegiar un abordaje geométrico a la trigonometría que permita entender este tipo de funciones desde un enfoque circular periódico antes de sumir al estudiante en una concepción a partir de la proporción entre los lados de un triángulo rectángulo que invisibiliza la característica principal histórico-cultural de las funciones trigonométricas: modelar fenómenos físicos periódicos (por lo general circulares). Dicho abordaje geométrico debe darse en un marco contextual y significativo en donde se debatan problemas de la vida real basados en trigonometría.

Representación De Funciones. Dicho esto, es necesario anotar que en general una función es una relación entre magnitudes variables de un conjunto a otro, es algo inmaterial, una idea abstracta tan general que no significa nada a una persona sin experiencia; pero su representación es visible, palpable, es un objeto susceptible de toma de conciencia. Subrayamos el hecho de que los objetos conceptuales de las matemáticas resultan ser entes simbólicos y abstractos, razón por la cual sus diferentes representaciones semióticas son fundamentales e imprescindibles para su comprensión de manera que cada una de ellas pone de relieve atributos diferentes a propósito del objeto matemático. (Vergel et al., 2020, p. 70)

Del recorrido histórico-epistemológico del saber de función trigonométrica se erigen varias formas de representación de una función aceptadas por la comunidad científica matemática. Esto conlleva a concebir una función “como una regla de correspondencia, como una formula explicita, una curva representativa, una tabla de valores, una correspondencia arbitraria y una relación de dependencia” (Cantoral y Montiel, 2014, p. 29), complementa

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Sierpinska (1992) al establecer que “el concepto de función puede ser definido de una manera formal simbólica casi sin usar palabras” (p. 29) y añade que el lenguaje informal puede ser usado y traer consigo significados que trascienden la definición lógica (abstracta) que dependen del contexto.

Se debe tener cautela al relacionar la función con sus representaciones; regularmente los estudiantes se confunden y caen en serios obstáculos epistemológicos, por consiguiente, se debe enfatizar que “la representación no es lo mismo que lo representado” (Sierpinska, 1992, p. 53). Se debe discriminar entre las diferentes formas de representar funciones y las funciones en sí, además de sintetizar la forma en que se aborda el saber de función: de una forma dinámica (mapeos), estática (relaciones), operacional o constructiva (Sierpinska, 1992). Por otra parte, a menudo los estudiantes tienen problemas en hacer relación entre diferentes representaciones de funciones, por lo que “tener conciencia de las limitaciones de cada una de las representaciones y del hecho de que ellas representan el mismo concepto en general son ciertamente condiciones fundamentales de entendimiento de funciones” (Sierpinska, 1992, p.

49).

Las tablas son consideradas las formas de representación de relaciones más antiguas (Sierpinska, 1992). Sin embargo, si las tablas son identificadas con funciones es posible que estas sean percibidas como secuencias, lo que conllevaría a un obstáculo epistemológico. Otra posible consecuencia de identificar tablas de funciones con las funciones en sí es la creencia que los métodos de interpolación dan valores exactos de las funciones en puntos intermedios (Sierpinska, 1992).

El estudio de curvas es significativo en el saber de función. Una gráfica representa una función en una forma simbólica indirecta, de donde Sierpinska (1992) establece que se debe

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discriminar entre la forma sintética y analítica de abordar la curva en un gráfico (buscando esta última concepción).

En la primera, la función es identificada con su representación en el plano de forma concreta (ya dada), esto es, la función es concebida como un objeto geométrico, como una idealización de líneas en un papel, o trayectorias, “un gráfico [desde el punto de vista sintético] es una representación estática que esconde todo el dinamismo de las funciones” (Sierpinska, 1992, p. 52).

En la segunda, donde la curva se concibe analíticamente, una función es una relación entre dos conjuntos de elementos, donde cada elemento del conjunto de partida corresponde a un único elemento del conjunto de llegada; en la gráfica del plano cartesiano, la curva representa la relación (ecuación), no la línea. En la primera forma de concebir un gráfico en el plano cartesiano, la representación algebraica está asociada a un gráfico que debe poder representarse, mientras que en la segunda la curva se representa mediante una ecuación. De esta dicotomía, al abordar la representación gráfica de una función, Sierpinska (1992) además añade que se debe discriminar entre coordenadas de un punto de una curva y los segmentos de línea. A través del recorrido histórico-epistemológico se ha expuesto que el obstáculo de identificar funciones con expresiones algebraicas fue causado por focalizar la atención en la búsqueda de herramientas (analíticas) que describieran las relaciones funcionales. Actualmente, el lenguaje simbólico usado en conexiones con funciones es confuso: 𝑓(𝑥) evoca el valor de la función y el nombre de la función (Sierpinska, 1992), además que la sola representación analítica de la función (o la sola representación gráfica ya dada) describe una imagen estática del saber de función, por lo que “las funciones en su forma analítica deben aparecer primero como herramientas para modelar ciertas situaciones alrededor de la vida real o ciencia” (Sierpinska,

Objetivación del Saber de Función Trigonométrica 130

1992, p. 57), es decir, deben aparecer inicialmente desde un ambiente operacional y no estructural.

Sin embargo, no se debe estigmatizar la representación algebraica de una función. Sin mencionar el impacto del lenguaje algebraico (instaurado por Viete y desarrollado posteriormente por Descartes, Newton y Leibniz) en el desarrollo histórico-epistemológico de la función matemática, Chazan y Yerushalmy (2003) establecen que el álgebra, con funciones como objeto principal, permite: interpretar las letras como variables más que como incógnitas, interpretar las expresiones algebraicas como reglas de correspondencia para funciones, interpretar el sistema de coordenadas cartesianas como un espacio para mostrar los resultados de los calculo numéricos más que puntos inmóviles e interpretar el signo igual como la asignación del nombre de un cálculo numérico particular, es decir, de la función. Obstáculos y Entendimientos. Ahora bien, en contraparte a los indicios de entendimientos respecto al saber de función trigonométrica esbozados anteriormente, a continuación, se analizan ciertos errores, ciertas dificultades, obstáculos (epistemológicos) que se presentan al estudiar funciones que podrían catalogarse como medidores de la toma de conciencia gradual (objetivación) del saber de función trigonométrica. Primeramente, entiéndase el obstáculo epistemológico como un obstáculo que no es individual o de unos pocos, sino amplio (o lo ha sido alguna vez en cierta cultura). Este es superado si se tiene la capacidad de tomar conciencia, de tomar distancia de esas creencias a ciegas y esquemas de pensamiento inconscientes (Sierpinska, 1992). Las formas de hacer y pensar instauradas en la sociedad (saber), muchas veces acarrean obstáculos epistemológicos que operan como unos lentes que desvían la mirada (Lizcano, 1993, 1999), por lo que es necesario tomar conciencia y sobrepasar dichos prejuicios para no solo ver con los ojos que han sido

Objetivación del Saber de Función Trigonométrica 131

domesticados en la cultura actual (ver apartado de “Percepción y domesticación del ojo” en la sección Corporalidad del marco teórico), sino con ojos indagatorios, curiosos y analíticos que busquen más allá de lo que esa “domesticación” les permita.

A continuación, se resumirán dichos “medidores” del acercamiento gradual al saber de función (trigonométrica). Los obstáculos epistemológicos (y/o entendimientos) respecto al estudio de funciones conceptualizados por Sierpinska (1992) ya fueron abordados en detalle, estos se condensan seguidamente:

● Al estudiar funciones es coherente llevar a los estudiantes a percibir y verbalizar los

objetos cambiantes: los estudiantes deben ser capaces de decir no solo cómo cambian, sino que cambia.

● Estudiantes deben estar interesados en la identificación de cambios observados en su

mundo circundante como problemas prácticos a resolver. Además de la identificación de regularidades en relaciones entre esos cambios.

● Discriminación entre dos modos de pensamiento matemático: uno en términos de

cantidades conocidas y desconocidas, la otra en términos de cantidades constantes y variables (dependientes e independientes)

● Generalización de la noción de variable.

● Funciones deben aparecer como modelos de relaciones que se puedan observar

(contexto).

● Funciones en su forma analítica deben aparecer primero como una herramienta para

modelar ciertas situaciones de la vida real.

Objetivación del Saber de Función Trigonométrica 132

● La producción de tablas es relevante en la concepción del saber de función. Además,

los métodos de interpolación al usar y construir tablas proveen contextos matemáticos con los cuales se llega a niveles profundos de la noción de función.

● Discriminación entre la noción de función y secuencia.

● Es necesario cierto pensamiento algebraico para el entendimiento de funciones.

● Se debe proveer al estudiante un amplio espectro de formas de expresar funciones.

Los estudiantes deben tener la oportunidad de adquirir cierta flexibilidad de usar esos modos de expresión y representación.

● Las definiciones del saber de función basada en la teoría de conjuntos no se

recomiendan para el nivel de secundaria. Es suficiente con definiciones informales.

● Síntesis del concepto de ley [física] y el saber de función al tomar conciencia del

posible uso de funciones en el modelado de relaciones entre magnitudes físicas (u otras).

● Discriminación entre una función y las herramientas analíticas usadas a veces para

describir sus leyes.

● Síntesis de la concepción general de función como objeto.

● Discriminación entre los conceptos de función y relación.

● Discriminación entre las diferentes representaciones de las funciones y las funciones

en sí.

● Síntesis de las diferentes formas en que se dan las funciones, en que se representan y

en que se habla de funciones.

Objetivación del Saber de Función Trigonométrica 133

Sfard (1992) obtuvo hallazgos similares a los teorizados por Sierpinska (1992) y otros investigadores al manifestar que los estudiantes en el entorno tradicional del aula desarrollan a menudo concepciones pseudoestructurales, tales como dificultades al pensar que una función es su representación y la incapacidad para relacionar distintas representaciones de funciones (gráfica, simbólica, tabular). Además, notó las siguientes concepciones erróneas y dificultades

● Dar soluciones independientes a problemas básicamente equivalentes cuando sólo

cambios superficiales en la notación.

● Inhabilidad de construir un puente razonable entre las representaciones gráficas y

algebraicas de las funciones.

● Descuido general del dominio y el rango.

● Errores conceptuales con funciones a trozos

● Incapacidad para tratar de manera formal y general las operaciones con funciones.

Por su parte Carlson (1998) señaló otras

● Creer que todas las funciones son continuas.

● Dificultad con la notación de funciones, es decir, el papel del paréntesis en la

representación de funciones 𝑓(𝑥).

● No entender que el "valor de la función" se refiere al valor y (en el rotulado

convencional de un plano cartesiano).

● No entender lo que significa que una cantidad sea función de otra.

● Dificultad para interpretar la información sobre la tasa de cambio de una situación.

● Dificultad para demostrar que se es consciente del impacto que el cambio de una

variable tiene sobre otra.

Objetivación del Saber de Función Trigonométrica 134

● Interpretación y representación gráfica de los aspectos covariantes de una situación

del mundo real.

Eisenberg (1992) observó problemas en la representación algebraica de una función al poner de manifiesto la creencia común de que la visualización no es central en la naturaleza de las matemáticas. Al igual que Sfard (1992) y Sierpinska (1992), observó que los estudiantes tienen una fuerte tendencia a pensar en las funciones algebraicamente en lugar de visualmente y tienen dificultades para relacionar la gráfica de una función con su representación analítica. Bell y Janvier (1981), al igual que Sierpinska (1992), notaron la tendencia de los estudiantes en tratar un gráfico como una imagen literal (estática) de una situación problema. Dubinsky y Harel (1992) descubrieron que la concepción operacional de la función es compleja e identificaron ciertos factores que evolucionaron a partir de sus interpretaciones de las observaciones de las formas aparentes de pensar de los alumnos sobre la función.

● Restricciones que poseen los alumnos sobre lo que es una función. Observaron tres

restricciones principales: la restricción de manipulación (se debe ser capaz de realizar una manipulación explícita para que exista una función), la restricción de cantidad (las entradas y salidas deben ser números) y la restricción de continuidad (una gráfica que represente una función debe ser continua), como lo plantea también Sfard (1992).

● Capacidad para construir un proceso cuando no hay ninguno explícito en la situación.

● Unicidad a la condición correcta, lo cual genera confusión entre la definición de

función con la de función 1-1.

Objetivación del Saber de Función Trigonométrica 135

Breidenbach et al. (1992) observaron confusión entre el requisito de ser una función y la definición de una función univoca (uno a uno). Algunos profesores, y así lo transmiten a sus alumnos, establecen que todas las funciones son uno a uno y que sus representaciones graficas deben ser “bonitas” (es decir, suaves y sin esquinas puntiagudas), además de tender a utilizar la prueba de la línea vertical como una regla que los alumnos debían seguir, no necesariamente con comprensión. No consideraban funciones constantes, funciones a trozos o una función obtenida por composición.

Breidenbach et al. (1992) discriminan las concepciones de los estudiantes a partir de las formas de pensar el saber de función en prefunción, acción y proceso; las cuales no son estados de desarrollo del mismo, son formas diferentes de pensar y concebir las funciones. Estas categorías no son inconsistentes entre sí, por lo que pueden coexistir. Prefunción: es cuando el sujeto no muestra evidencia concreta sobre la noción de función, por lo que establece por ejemplo que una función es “una ecuación matemática con variables” o “que es un postulado matemático que describe algo”.

Acción: es cuando se evidencia una manipulación física o mental repetible de objetos. Esta es una concepción estática en la que los sujetos tienden a pensar (acerca de funciones) un paso a la vez (como una receta) al demostrar habilidad en poner números en una expresión algebraica y evaluarla (sustituir). De forma tal que en la concepción de función se enfatiza el acto de sustituir números por variables y calcularlos para obtener un número pero sin referirse al proceso, se centra la atención en el inicio y el fin, pero no en el proceso. Esto se hace presente cuando se reflejan en los estudiantes concepciones de una función como

● algo que evalúa una expresión en términos de 𝑥,

Objetivación del Saber de Función Trigonométrica 136

● una ecuación en la cual una variable es manipulada de forma tal que la respuesta es

calculada al usar números en lugar de una variable

● una combinación de operaciones usadas para hallar una respuesta

● una expresión que al evaluar algo con variables o números es introducida en la

función

Proceso: Una concepción operacional de una función está envuelta en una transformación dinámica de objetos acorde con algún significado repetible que, dado el mismo objeto original, produce el mismo objeto transformado. El sujeto es capaz de pensar acerca de la transformación como una completa actividad al iniciar con objetos de algún tipo, haciendo algo a esos objetos, y obteniendo nuevos objetos como resultado de lo que hizo.

Un proceso representa transformación que no necesita ser explicito (la acción sí es explícita, con un paso a paso, como una receta), solo es necesario que la transformación sea imaginada en la mente del sujeto como si fuera una cierta posibilidad. Esta forma operacional de pensar sobre funciones se evidencia

● cuando los objetos tienen una concepción operacional, el estudiante es capaz, por

ejemplo, de combinarlo con otros procesos, o inclusive a la inversa.

● El uso de la terminología 𝑓(𝑥) indica una concepción operacional

● El sujeto no está restringido a números para los dominios y rangos de la función

● El estudiante es capaz de imaginar ciertas operaciones con funciones (inclusive si no

hay fórmulas explicitas) tales como añadir o componer dos funciones, o revertir una función

Objetivación del Saber de Función Trigonométrica 137

En la forma operacional de pensar sobre funciones, el valor que ingresa, la transformación y el valor que sale están presentes de forma integral y general, lo que permite concebir una función como

● un postulado que cuando valores dados se operan devuelven ciertos resultados

● algo a lo que le ingresa algo y es proceso de cierta forma para obtener algo a la salida

● un algoritmo que mapea un valor de ingreso y se le designa un valor de salida

● una operación que acepta un valor dado y retorna un valor correspondiente.

Las concepciones de los estudiantes respecto al saber de función han sido ampliamente estudiadas. Por ejemplo, la investigación de Vinner (1992) sobre la imagen conceptual que tienen los alumnos de la función es clásico, reporta por ejemplo que se tiene cierto rechazo a las fórmulas y gráficas de funciones definidas por intervalos, a las fórmulas y gráficas de funciones constantes (por la ausencia de la variable independiente o la falta de variación en el bosquejo de la gráfica) y además identificó ocho características de las formas que tienen los alumnos de entender la función:

● La correspondencia que constituye la función debe ser sistemática, debe establecerse

mediante una regla y la propia regla debe tener sus propias regularidades.

● Una función debe ser un término algebraico.

● Una función se identifica con una de sus representaciones gráficas o simbólicas.

● Una función debe estar dada por una regla.

● Una función puede tener diferentes reglas de correspondencia para dominios disjuntos

siempre que estos dominios sean dominios regulares (como semirrectas o intervalos), lo que implica que una curva discontinua representa varias funciones y no una.

Objetivación del Saber de Función Trigonométrica 138

● Una regla de correspondencia que no sea una regla algebraica es una función sólo si

la comunidad matemática la anuncia oficialmente como función.

● La gráfica de una función debe ser regular y sistemática.

● Una función es una correspondencia uno a uno.

Por su parte, Sfard (1992) dictaminó que la mayoría de estudiantes reconoce una función como “una cierta formula computacional” (p. 75), lo que sugiere la fuerte tendencia de asociar las funciones con expresiones algebraicas. En esta concepción de los estudiantes se puede observar la dualidad del saber de función, al reconocer una formula como una corta descripción de un algoritmo computacional (proceso de contar o calcular algo numéricamente) y como un objeto estático que relaciona cantidades.

Sin embargo, en las concepciones de los estudiantes expuestas por Vinner (1992) y Sfard (1992) es implícito el carácter estructural del saber de función, el cual como se ha manifestado repetidamente, invisibiliza la evolución histórica, cultural y epistemológica de dicho objeto matemático. Este enfoque no permite reconocer el objeto matemático como el resultado de innumerables tensiones culturales y cognoscitivas, identificándolo finalmente como un objeto ajeno al trasegar humano, a sus necesidades. Esto obedece al abordaje estructural del objeto de función matemática en el aula de clase enmarcadas en gran medida por las relaciones éticas emergentes entre estudiantes y profesores de sumisión/autoridad y autonomía bajo los paradigmas de transmisión de saberes y constructivista respectivamente. ¿Cuál es la definición de función en el aula de clase? Algunos estudiantes – a nivel de educación secundaria – recitan tal definición de la misma forma como se las dicen los profesores

– o libros de texto – de una manera formal y estructural: “Sean 𝑋 y 𝑌 dos conjuntos no vacíos.

Objetivación del Saber de Función Trigonométrica 139

Una función de 𝑋 a 𝑌 es una relación [correspondencia] que asocia a cada elemento de 𝑋 exactamente un elemento de 𝑌” (Sullivan, 2013, p. 201). Aunque dicha definición es una adecuación curricular al nivel escolar de la definición de Dirichlet-Bourbaki (abordada en la sección Enfoque Histórico-Cultural y Epistemológico del Saber de Función Trigonométrica) invisibiliza el dinamismo (y desarrollo histórico y cultural) a los estudiantes de educación secundaria.

El problema no es sencillamente ofrecer una definición del saber de función ajustada a los requerimientos específicos. El problema es que este abordaje estructural y abstracto – como se detalló en el planteamiento del problema – no es sensible para el estudiante, no es un objeto matemático con posibilidades de interiorización y agenciamiento para este; por lo que el aula de clase se convierte en un lugar de alineación. La presente investigación ofrece una alternativa para esta problemática, ofrece una forma espontánea de abordar la potencialidad abstracta de función trigonométrica (desde su desarrollo histórico-cultural), a través de la cual los estudiantes pueden reconocerse (y ser reconocidos) en los objetos producidos por ellos en el marco de la actividad realizada (entendida como labor conjunta).

Objetivación del Saber de Función Trigonométrica 140

Marco Metodológico

“[La metáfora del navegante] plantea al investigador la necesidad de una lectura de un fenómeno con objetividad ya que no concibe la metodología como la aplicación de un procedimiento fijo, sino que parte de una concepción dialéctico-materialista de la realidad, según la cual la realidad se compone de fenómenos fluidos, en movimiento, que, afectándose mutuamente, dependen de su historia y su cultura. Luego, para aprender los fenómenos en cuestión es necesario irlos reconociendo en la medida que se navega en ellos” (Lasprilla et al., 2021, p. 235)

La TO busca que docentes y estudiantes se fundan en una labor conjunta mediada por una relación ética, responsable y comunitaria para alcanzar el objeto (o meta) de la actividad donde “la actividad puede interpretarse como un proceso de humanización a través del cual, el sujeto identifica las necesidades que surgen de su relación con el entorno” (Quintero, 2018, p. 41). Se entiende humanización no como una palabra más, hueca o mitificante, sino como “praxis que implica la acción y reflexión de los hombres sobre el mundo para transformarlo” (Freire, 1972, p.

88).

En este orden de ideas, mediante problemas desarrollados a partir de la evolución histórico-cultural del saber de función trigonométrica, donde su característica primigenia es la variación de fenómenos periódicos, se posibilita desnudar las barreras epistemológicas38 y emocionales que impiden que el estudiante reconozca el saber de función trigonométrica como un constructo histórico y cultural.

38 Se debe concebir el hecho de eliminar las barreras epistemológicas no desde un punto de vista platónico: como el simple acto de quitar un velo que oculta el saber universal, platónico ya dado y poder hacernos a él. Se debe concebir el hecho de eliminar las barreras epistemológicas en el sentido que a medida que se va tomando conciencia (de forma progresiva) de cierto saber, a través de una actividad intencionada, ese saber histórico y cultural va tomando actualidad, va tomando características sensuales, por lo que puede ser percibido, notado, por el sujeto.

Objetivación del Saber de Función Trigonométrica 141

Conforme a las consideraciones anteriores y a las directrices de Miranda et al. (2007), la presente investigación se ciñe al ciclo longitudinal de Radford (2010) y Moreno y Vergel (2024). Dicho ciclo sustenta la naturaleza cíclica y dialéctica de la TO (ver Figura 8), bajo la cual se estructuró el siguiente método:

Figura 8 Ciclo metodológico

Nota: Adecuado de Moreno y Vergel (2024).

De forma escueta, se realizó primero una fase 0 de preparación teórica y metodológica que no se muestra en la Figura 8. Luego se realizó el diseño de la actividad (Fase 1) de acuerdo a los principios de la TO. Posteriormente se realizó la implementación (Fase 2) en un grupo de estudiantes de igual nivel de escolaridad, se interpretaron los datos y se analizaron a la luz de la TO, para realizar ajustes y consolidar finalmente el diseño de la actividad. Se continuó con la experimentación de la actividad de clase con los momentos de clase expuestos en la Figura 5 por Radford (2023a). Luego se buscó transformar (Fase 3) la información recolectada a través de distintas fuentes en la constitución de los datos a través de la sistematización de los mismos. Finalmente, en la etapa de análisis (Fase 4), a través de las categorías de análisis y la dialéctica entre las categorías estructurales, la discusión teórica y metodológica, se establecen aspectos

1. Diseño de la

actividad

2. Implementación

de la actividad

3. Interpretación

de los datos

4. Generación de

la teoría

Objetivación del Saber de Función Trigonométrica 142

teóricos concluyentes al encuentro del objetivo de la presente investigación (Moreno y Vergel,

2024).

A su vez, el ciclo metodológico diseñado siguió los procesos de tamizajes realizados por Lasprilla et al. (2021). Al realizar la transcripción del lenguaje multimodal de todas las sesiones de la investigación, se realizaron procesos de tamizaje de estas transcripciones respecto al lenguaje multimodal en sí, identificando MSO emergentes, interacción con artefactos, e identificación de las formas de interacción social y cooperación humana. Posteriormente, los episodios seleccionados se sometieron a un segundo filtro de pertinencia en relación con el saber matemático en cuestión. Esta fase tuvo como propósito favorecer procesos de objetivación que fueran al encuentro con dicho saber, propiciando la coherencia entre la actividad observada y los objetivos de aprendizaje. Finalmente, el último tamizaje consistió en la cartografía u organización de las actividades previamente filtradas en categorías estructurales emergentes que dieran muestra de aspectos específicos de la toma de conciencia del saber de función trigonométrica, dichas categorías estructurales no son más que saberes necesarios y fruto de ir al encuentro del saber “macro” denominado las formas histórico-culturales de pensar matemáticamente sobre fenómenos periódicos a través de las funciones trigonométricas.

Con el propósito de esclarecer y puntualizar algunos conceptos metodológicos y analíticos, que se abordan a lo largo de las fases metodológicas, a continuación se presentan sus definiciones.

● Unidad de trabajo (¿Quiénes serán analizados?): 4 estudiantes de grado décimo.

● Unidad de análisis (¿Qué se analizará de la unidad de la unidad de trabajo?):

Actividad de la unidad de trabajo (y el profesor).

Objetivación del Saber de Función Trigonométrica 143

● Unidad de estudio (¿Qué se analizará de la unidad de análisis?): La dialéctica

emergente entre los procesos de objetivación y subjetivación (formas de interacción social y cooperación humana) al ir al encuentro del saber de función trigonométrica.

● Categorías de análisis (¿Cómo se puede comprender la unidad de estudio?): A través

de la triangulación (análisis multimodal y multisemiótico) entre los MSO (procesos de objetivación), los vectores de la ética comunitaria y otros indicios de ir al encuentro del ser histórico-cultural (procesos de subjetivación) y los indicios teóricos y empíricos de acercamiento al saber de función trigonométrica (saber históricocultural).

● Categorías estructurales (¿Cómo se estructuran, se organizan, estas categorías de

análisis?): Estas categorías fueron inductivas (emergentes) de acuerdo al foco de atención conceptual sobre el que se centraron las actividades al ir al encuentro del saber de función trigonométrica. En la fase 4 se amplían estas categorías: variación de magnitudes, periodo, representación gráfica, identificación de patrones, variación de la distancia vertical y síntesis de la representación algebraica. Fase 0 – Preparación En aras de dar trazabilidad en cuanto a los planteamientos generales de la investigación didáctica, la presente investigación se realizó desde un paradigma cualitativo bajo un enfoque critico dialéctico (Denzin y Lincoln, 2012).

Al partir del hecho de que el método es único a las particularidades teóricas y especialmente contextuales, se establece que el diseño metodológico de esta investigación cualitativa, de corte descriptivo, interpretativo y comprensivo, incorpora la perspectiva vygotskiana en la cual “los diversos canales sensoriales y signos semióticos (lingüísticos,

Objetivación del Saber de Función Trigonométrica 144

símbolos escritos, artefactos, diagramas, etc.) se relacionan, coordinan y subsumen en un nuevo pensamiento o unidad psíquica” (Radford, 2023a, p. 151) desde la cual se incorpora el enfoque multimodal de análisis empleado por Tamayo et al. (2018) y Kress et al. (2001), lo cual posibilita la producción de datos descriptivos ricos y su posterior análisis reflexivo y holístico a través de los postulados vygotskianos, dialéctico-materialistas y emancipatorios – al encuentro de un saber histórico cultural – de Radford (2023a).

Al estudiar las cosmovisiones culturales implícitamente no homogéneas, el método debe ser ajustable y polémico. La presente investigación sigue la perspectiva semiótica basada en la idea de método de Vygotski, pensador dialéctico marxista, al plantear que tanto el objeto de estudio como la manera en que se estudia están en movimiento, lo cual permite “formar una unidad dialéctica dónde los componentes se afectan entre sí de manera dinámica” (Lasprilla et al., 2021, p. 235).

El proceso que se lleva dentro de una actividad escolar está compuesto a la vez por múltiples procesos y que el interés de investigarlos requiere que los métodos que se empleen tengan en cuenta este factor importante de su complejidad y carácter procesual del objeto que se estudia. (Lasprilla et al., 2021, p. 234)

Para Vygotski el método no es la aplicación sistémica de un conjunto de principios, sino una práctica filosófica inquisitiva y reflexiva. Es en este sentido, no estructurado, complejo, multisemiótico y en movimiento, que el presente diseño metodológico se desarrolló hacia la comprensión de los procesos de objetivación que desarrollan los estudiantes cuando se enfrentan a tareas referentes al saber de función trigonométrica desde la perspectiva de la TO.

Objetivación del Saber de Función Trigonométrica 145

Al ser la expansión de la TO un objetivo implícito de esta investigación, se siguen sus lineamientos metodológicos generales reconocidos en la comunidad científica, por lo que los procedimientos de recolección y análisis de los datos son validados implícitamente por las múltiples investigaciones realizadas donde la TO es central y las cuales se caracterizan por ser no estructuradas, flexibles y profundas al analizar los diferentes MSO al encuentro con un saber que se antepone al estudiante, tales como las realizadas por Lasprilla (2022), Vergel et al. (2020), Miranda et al. (2007), Quintero (2018) y Joya y Vergel (2024) ampliadas en los antecedentes. A su vez, los instrumentos (tareas y técnicas de recolección de datos) fueron validados previamente mediante la aplicación de estos con otros estudiantes (otro grupo del mismo grado de escolaridad), lo cual permitió eliminar y/o modificar preguntas que no promovían una discusión crítica, que proponían acciones o reflexiones que no iban al encuentro del objeto de la actividad o que no propiciaban una adecuada interacción dinamizadora intra y extra: entre los compañeros del grupo y entre el grupo y el profesor. Por otra parte, se modificó el lenguaje en las instrucciones para que involucrara a todos los estudiantes en el desarrollo de la actividad y se limitaron los recursos o materiales de trabajo para propiciar la interacción social desde la necesidad de los sujetos (Moreno y Vergel, 2024).

Unidad De Análisis Al seguir lo teorizado respecto a la naturaleza dialéctica de la actividad, metodológicamente no es posible “elaborar la ruta de investigación del universo temático en base a puntos prestablecidos por los investigadores” (Freire, 1972, p. 133), así pues, Radford (2023a) establece que la TO es no estructurada, no es una teoría prescriptiva o instrumentalista al proponer un diseño metodológico flexible al centrarse en su categoría ontológica central (unidad de análisis): la actividad entendida como labor conjunta, ya que “solo a través del prisma de esa

Objetivación del Saber de Función Trigonométrica 146

unidad de análisis podemos mirar conceptualmente a los estudiantes y proponer interpretaciones a las maneras en que ellos se encuentran con formas culturales de pensar y actuar” (Radford, 2015, p. 563).

Unidad De Estudio En consonancia con los presupuestos de la TO, la unidad de estudio – ¿Qué se analiza de la unidad de análisis? – se constituye a partir de la dialéctica entre los procesos de objetivación y subjetivación que emergen durante la interacción con el saber de la función trigonométrica. A la luz de esta premisa, y considerando que el conocimiento científico posee una naturaleza multimodal (Tamayo et al., 2018), se implementó la metodología multisemiótica de la TO (Radford, 2015). Este enfoque se centra en […] la atención analítica en la emergencia, en ciertos momentos de la actividad semiótica, de los gestos, el habla, la escritura, y el movimiento corporal, que son activados por los estudiantes para evidenciar y materializar su pensamiento al abordar una situación de tipo matemático. (Vergel et al., 2020, p. 72)

Se hace necesario entonces identificar datos que permitan un análisis multimodal y multisemiótico. Por lo que las técnicas usadas para recolectar la información fueron a través de medios audiovisuales (registro de audio y video), observaciones y productos escritos (solución de los problemas), esto al tener acceso al lenguaje corporal, gestual, verbal y escrito, es decir, al lenguaje multimodal de los estudiantes (Tamayo et al., 2018; Kress et al., 2001), que en últimas se configura en la TO como medios semióticos de objetivación (MSO). El lenguaje multimodal no se reduce a un listado de los diferentes modos de lenguaje que se dan en el aula de clases, por lo que se aleja del análisis aislado de cada uno de ellos. El

Objetivación del Saber de Función Trigonométrica 147

lenguaje multimodal se debe entender como una unidad dialéctica, como la orquestación entre los diferentes modos de lenguaje, se concibe entonces como “la articulación o integración de diversos modos semióticos, así como la forma en la que se establecen relaciones entre ellos, reforzando la construcción de significado mutuamente, decir lo mismo de múltiples maneras, cumplir roles complementarios” (Kress & van Leeuwen, 2001, como se citó en Tamayo et al., 2018, p. 62).

Unidad De Trabajo Se realizó un muestreo acorde a una investigación cualitativa, de tipo homogéneo según los planteamientos de Miles y Huberman (1994). De los grupos conformados se seleccionó, subjetivamente, el grupo que representara la “media aritmética” (de una forma cualitativa) según la interacción entre los miembros del grupo, la capacidad de análisis y argumentación. La unidad de trabajo (¿quién?) fueron 4 estudiantes de grado décimo39 (entre 14 y 15 años) de estrato 2 y 3 de barrios populares aledaños a una institución educativa oficial de Dosquebradas (Risaralda/Colombia): Carol, Michell, Samuel y Danna (ver Figura 9), donde en aras de economizar texto, en el análisis se hará mención a ellos a través de sus iniciales en las transcripciones, es decir, C, M, S y D respectivamente; asimismo el profesor será referenciado con la letra P.

39 Se seleccionó este nivel de escolaridad ya que es en grado décimo en el que surge el pensamiento funcional trigonométrico para los estudiantes según el currículo colombiano.

Objetivación del Saber de Función Trigonométrica 148

Figura 9 Unidad de trabajo: estudiantes participantes en la actividad

Debido a la relación ética, que implica el trabajo comunitario y responsable de la TO, los estudiantes implicados no fueron perjudicados desde ningún punto de vista, además se contó con el consentimiento firmado por sus acudientes para el tratamiento de los registros de sus intervenciones (Anexo A).

Fase 1 – Diseño De La Actividad Como se ha mencionado, la actividad entendida como labor conjunta es la categoría ontológica central en la TO, sobre la que hay que volcar los esfuerzos teóricos, metodológicos y didácticos, por lo que “desde el punto de vista didáctico, el problema del aprendizaje se reduce, por lo menos en gran medida, al diseño correcto de la actividad que será dada al alumno en clase” (Miranda et al., 2007, p. 6).

Se hace necesario entonces traer a colación que a raíz de la naturaleza dialéctica de la actividad (bajo fundamentos vygotskianos) y a partir de lo establecido por Radford (2023a) en cuanto que la actividad está conformada por “(a) las formas históricas y culturales de producción material, intelectual y espiritual de la vida colectiva y (b) las formas de colaboración humana” (p. 67), en la TO la actividad (tätigkeit)40 se entiende como un sistema dinámico, como un evento

40 Ambas componentes de la actividad (labor conjunta), "tanto las formas de producción del saber cómo los modos de interacción social, están íntimamente relacionados con los procesos de objetivación y subjetivación que subyacen al aprendizaje" (Lasprilla et al., 2021, p. 231).

Carol Samuel Michell Danna

Objetivación del Saber de Función Trigonométrica 149

creado por una búsqueda común (con otros) cognitiva, emocional y ética de la solución de un problema planteado que va al encuentro de un saber histórico-cultural (Radford, 2017b). Por lo que se deben reconocer dos componentes de la actividad en su proceso de diseño metodológico: una es relativa con la actividad en sí misma (componente Θ) y la otra con la organización didáctica (componente Φ).

Actividad En Sí – Componente Θ Por razones particulares del contexto, temporalidad, saber histórico-cultural y de los sujetos, dicha actividad en si no puede ser determinista ni repetitiva, no se podrán dar dos actividades iguales.

Radford (2023a), metafóricamente, establece que la actividad en la TO es como una obra musical, se analiza a medida que se va dando, o es como una escultura que se va haciendo presente a medida que el escultor la va esculpiendo, o como cuando el navegante se hace a la mar, estas metáforas plantean al investigador.

[…] la necesidad de una lectura de un fenómeno con objetividad ya que no concibe la metodología como la aplicación de un procedimiento fijo, sino que parte de una concepción dialéctico-materialista de la realidad, según la cual la realidad se compone de fenómenos fluidos, en movimiento, que, afectándose mutuamente, dependen de su historia y su cultura. Luego, para aprender los fenómenos en cuestión es necesario irlos reconociendo en la medida que se navega en ellos. (Lasprilla et al., 2021, p. 234)

Por esta razón la TO no es instrumentalista, no está previamente determinada, sigue algunas premisas que direccionan la actividad y la investigación como tal (en el trabajo de campo) al ser flexible y variable. Por tanto, no hay un método único e invariante para investigar

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la TO, inclusive, según lo planteado en el marco teórico sería absurdo e incoherente encasillar la TO a un método universal.

Radford (2020b, 2023a) establece las fases de la componente Θ de la actividad en la Figura 5, las cuales deben ser consideradas como recomendaciones estructurales de la organización de la dinámica de aula y no como una secuencia de pasos que se deben cumplir sin objeción. La dinámica de clase consistió entonces en la ambientación inicial y general al problema a discutir en la sesión, luego este se discute críticamente en el grupo (unidad de trabajo), en el que el profesor realiza intervenciones al sumarse a la obra común del grupo. En nuestro modelo, el profesor circula entre los grupos y discute con los alumnos. Aunque en general el profesor deja a los alumnos discutir entre ellos sin intervenir innecesariamente, éste va intervenir en momentos en que, por ejemplo, cree que la discusión se ha estancado o que los alumnos no han ido suficientemente lejos como se esperaba. (Radford, 2006, p. 118)

Posteriormente se posibilita una interacción entre los pequeños grupos y se finaliza con una plenaria intergrupal y el profesor.

Ahora bien, respecto al muestreo que se explicitó en la fase 0 de este diseño metodológico, ya que se deben privilegiar situaciones en pro de una actividad desde la TO (labor conjunta) no es suficiente con formar grupos de trabajo, la cercanía espacial de los niños no garantiza el trabajo grupal buscado en la TO. También se prescindió de la asignación de roles preestablecidos para evitar interferencias en la dinámica intragrupal. Esta decisión buscó prevenir limitaciones en la participación libre y evitar que el accionar de algunos estudiantes se circunscribiera a tareas mecánicas, como la transcripción de ideas, las cuales no propician un

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compromiso consciente con la tarea. De este modo, se procuró que los estudiantes lograran reconocerse en el objeto fruto de su trabajo, contrarrestando así los fenómenos de alienación que suelen emerger en estas dinámicas escolares.

Con lo anterior, se buscó la participación activa en las discusiones del grupo, lo cual fomenta un compromiso (ofrecimiento) a hacer lo posible en el curso de la actividad y propicia – no solo que cada estudiante sea responsable de sí mismo sino también – que responda, atienda, cuide o esté al servicio del otro, esto refleja la no indiferencia y el sentimiento desinteresado a través del diálogo y demás lenguajes multimodales (Lasprilla et al., 2021). En este orden de ideas, los estudiantes formaron grupos con los que tuvieran afinidad, es decir, con los que congeniaran social y emocionalmente, lo que permitió discusiones críticas de los problemas y la visibilización de todas sus voces, repercutiendo en datos ricos y profundos en el marco de la TO.

Proyecto Didáctico – Componente Φ La actividad en sí (Θ), la manera en que la obra común se materializa en el aula de clase, se desarrolla según el proyecto didáctico (y viceversa), esto es, la componente didáctica de la actividad (Φ), la cual se refiere al objeto, meta y tareas – de la componente Φ didáctica de la actividad – a las que el grupo (unidad de trabajo) se debe enfrentar para ir al encuentro del saber. Para la recolección de datos, se planificó y experimentó en el aula una secuencia de 5 problemas que buscaban movilizar conocimientos matemáticos referentes a la relación de dependencia emergente en magnitudes físicas variables en un fenómeno periódico. Dichos problemas fueron diseñados con base en los principios de la TO de Radford (2023a), lo que repercutió en la centralidad en la actividad y permitió la vivencia en la estructura de la forma objeto-meta-tarea en la que “el objeto hace referencia al conocimiento matemático movilizado, la

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meta trae intencionalidad y los objetivos a alcanzar en la actividad y la tarea son las acciones y problemas secuenciales que son movilizados por estudiantes y profesores en la actividad” (Alves y Noronha, 2020, p. 160).

Desde la componente didáctica (ver Figura 4), la actividad en la presente investigación tiene un objeto: El encuentro de los estudiantes con formas histórico-culturales de pensar matemáticamente sobre fenómenos periódicos a través de las funciones trigonométricas. Ahora bien “mientras el saber es pura posibilidad, la actividad que lo media es un paso hacia la concreción de ese saber. La actividad (que es sistema en movimiento) se mueve hacia su objeto” (Radford, 2017b, p. 125). En consecuencia, para que la actividad se desarrolle en dirección de dicho objeto se plantea la meta de resolver problemas que requieran interpretar y analizar sobre fenómenos periódicos a través de las funciones trigonométricas.

La materialización de la meta y el objeto del proyecto didáctico se realiza a través de la tarea de la actividad, la cual consiste en el conjunto de 5 problemas interconectados de dificultad creciente (atados a una unidad contextual), este diseño se muestra a continuación. Diseño De La Tarea. Primeramente, es necesario mencionar que desde el diseño de la tarea se hace visible la relación ética comunitaria del docente. La intencionalidad en este diseño también se debe entender como un esfuerzo del docente de responder al compromiso y responsabilidad comunitaria hacia el estudiante. En el diseño de las tareas, el docente plasma su subjetividad e implícitamente se puede leer su preocupación para que el estudiante objetive lo imperceptible en un principio, con lo cual se demuestra la preocupación del docente por […] apuntar a la promoción de una actitud científica dentro del aula, puesto que en la medida en que se despierte un espíritu inquisidor y reflexivo en los sujetos educables

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frente a los acontecimientos de la vida real, será posible que se apropien el lenguaje científico. (Tamayo et al., 2018, p. 50)

Al contemplar los planteamientos teóricos y – los indicios – metodológicos de las funciones trigonométricas esbozadas en el planteamiento del problema y el marco teórico, el diseño de la tarea realizado siguió parcialmente las mismas preocupaciones y fundamentos teóricos y epistemológicos que los desarrollados por Weber (2005) y Weber et al. (2008). Por lo que se basó en la idea de que las operaciones trigonométricas, como seno, pueden ser entendidas como procesos geométricos, lo cual concuerda con lo establecido por Kamber y Takaci (2017) al afirmar que “los estudiantes tienen mejor retención de conocimiento en un contexto geométrico y funcional de trigonometría comparado con el contexto del círculo unitario” (p. 162). En consecuencia, se propone un diseño metodológico basado no solo en conceptos, sino “poniendo énfasis a la construcción de la relación y la funcionalidad trigonométricas y sus respectivos desarrollos del pensamiento geométrico-proporcional y analítico-funcional” (Montiel, 2013, p.

23).

Bajo esta perspectiva, los problemas diseñados visibilizan la característica innata e histórico-cultural oculta tras el velo de la concepción didáctica estructural del saber de función trigonométrica. Al abordar el saber de función desde una concepción operacional, en contexto y que propicie la atribución de sentido, se puede visibilizar el carácter sensible del desarrollo histórico-cultural de dicho saber matemático, esto es, la materialización del saber en el aula de clase.

En este orden de ideas se abordó el saber de función trigonométrica desde la relación de dependencia entre magnitudes físicas variables en fenómenos periódicos, lo cual, en el contexto,

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se percibe y se dota de significado a partir de la geometría de dichos fenómenos y de la variación (espacial de las magnitudes físicas).

Se debe hacer la salvedad que “resolver esos problemas se convierte en fines que guían las acciones de los alumnos” (Radford, 2006, p. 114). Desde la TO hacer matemáticas no se reduce a resolver problemas, la resolución de estos no es un fin sino un medio para alcanzar una reflexión cultural específica denominada pensamiento matemático (Radford, 2006). En este orden de ideas se propone “un diseño didáctico para aprender el concepto de función trigonométrica, sino una serie de tareas que le dan coherencia al uso de múltiples nociones matemáticas relacionadas con ella” (Montiel, 2013, p. 23), lo que promueve acciones necesarias hacia una reflexión científica en los estudiantes: observar, analizar, describir, comparar, concluir, discutir, argumentar, etc. (Tamayo et al., 2018, p. 51).

El diseño didáctico debe fundamentarse en una unidad conceptual y contextual que posibilite la atribución de sentido por parte de los estudiantes y permita interrelacionar la dimensión conceptual de los problemas (Radford, 2023a). En concordancia, la función debe aparecer como una herramienta para: modelar situaciones científicas o de la vida real, desarrollar contextos para usar y construir tablas, además de usar múltiples representaciones y definiciones formales e informales, las cuales requieren ciertas habilidades algebraicas (Sierpinska, 1992). Unidad Conceptual y Contextual. La unidad narrativa conceptual y contextual, situación desencadenadora de aprendizaje en la terminología de Moura et al. (2016), a la que se enfrentaron los estudiantes ante una situación propia de su cotidianidad para que en la búsqueda de la solución confirieran de sentido personal el significado cultural presente en el objeto matemático de la situación (Quintero, 2018) fue: “Thomás se desplaza a velocidad constante en

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su bicicleta desde su casa hasta su colegio. Él se percata de una pequeña piedra incrustada en la rueda de su bicicleta”.

La simplicidad de esta unidad contextual oculta la naturaleza primigenia del saber trigonométrico funcional, por lo que no debe ser sinónimo de mezquindad textual y/o conceptual. Esta unidad conceptual y contextual se fundamenta en el hecho de que el desarrollo históricocultural y epistemológico del saber de función trigonométrica está atado a fenómenos físicos en movimientos circulares periódicos (Kendal y Stacey, 1997; Weber, 2005; Weber et al., 2008; Katz, 2009; Altma y Kidron, 2016), lo cual es coherente con el interés de generar en los estudiantes la “necesidad de problematizar, a la luz de conceptos del cálculo, un aspecto de sus vidas y dotarlo de significado y sentido al realizar las acciones” (Quintero, 2018, p. 56), por lo que el uso de la bicicleta para analizar fenómenos periódicos es concreto y significativo para estudiantes y profesores, ya que el uso de la misma es parte vivencial y evoca emociones y experiencias en el contexto social y cultural en el que cohabitan.

Esta unidad contextual y conceptual que se exhibe como práctica problematizadora antepone al estudiante una situación familiar como un problema, “no como una realidad estática sino como una realidad en transformación, en proceso” (Freire, 1972, p. 94). Así pues, dicha unidad contextual y conceptual se configura como crítica ya que permite la dialogicidad, creatividad y reflexión del estudiante, lo cual es relevante en la educación emancipatoria para develar la realidad.

Tarea De La Actividad. Como se ha esbozado, en la TO los saberes culturales requieren procesos de toma de conciencia específicos (graduales y ascendentes en profundidad) para encontrarlos, por lo que al tener presente lo expuesto teórica y metodológicamente respecto a la unidad contextual y conceptual, se privilegió el pensamiento operacional antes del

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estructural/objeto (Dubinsky y Harel, 1992; Sfard, 1992; Sierpinska, 1992, Breidenbach et al.,1992) por medio de artefactos histórico-culturales (Radford, 2023a). En el problema 1 los estudiantes se enfrentaron – de una forma principalmente cualitativa y vivencial – al movimiento de la piedra que se encuentra incrustada en la rueda de la bicicleta de Thomás (unidad conceptual y contextual), en el cual el grupo se enfocó en analizar las diferentes variables que pueden surgir en dicho movimiento y su interrelación de dependencia, lo cual posibilita la “identificación de cambios observados en los alrededores como un problema practico a resolver” (Sierpinska, 1992, p. 31).

El problema 2, desde un enfoque operacional, se enfocó en dos variables: la distancia vertical de la piedra (respecto una línea horizontal imaginaria que pasa por el centro de la llanta) y el tiempo, donde a través de un video41 del movimiento de la piedra (en la rueda de la bicicleta), el grupo obtuvo datos de distancia y tiempo los cuales se tabularon y migraron a una gráfica en un plano cartesiano – la cual “representa la función en una forma simbólica indirecta” (Sierpinska, 1992, p. 52) – a través de la cual analizaron el fenómeno periódico en sí, de la interrelación entre ambas representaciones, análisis infinitesimal, relación de dependencia y búsqueda de patrones y generalidades ya que “los estudiantes deben estar más interesados en la variabilidad y búsqueda de regularidades antes que en ejemplos y definiciones matemáticas bien elaboradas” (Sierpinska, 1992, p. 32).

El problema 3 se centró en dos cosas: un análisis grafico a través de la gráfica en el plano cartesiano del movimiento de la piedra de la distancia vertical en función del tiempo, donde debían extrapolar los hallazgos y conjeturas realizados en el problema 2 para realizar tomas de

41 Dicho video fue proyectado en el tablero del aula de clases, de manera que los estudiantes podían rayar y medir sobre el tablero. A su vez, los estudiantes tenían libertad de manipular el video al pausarlo, adelantarlo o retrocederlo.

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conciencia más profundas respecto a la característica periódica del movimiento y en la interrelación emergente entre la distancia vertical, el tiempo y el ángulo de giro de la piedra en donde al igual que en el problema 2 (y en general en el diseño de la tarea) debían analizar la interrelación entre: distintas representaciones del movimiento, el fenómeno periódico en sí, las relaciones de dependencia emergentes y la búsqueda de patrones y generalidades. Desde un enfoque estructural (sin renunciar a su génesis operacional atada a la unidad conceptual y contextual), el problema 4 se fundamentó en generalizar el movimiento de la piedra a través de la representación algebraica, estructural e implícitamente abstracta, de la variación de la distancia vertical de la piedra en función del ángulo de giro y posteriormente en función del tiempo.

Finalmente, el problema 5 consistió en una síntesis, en donde 4 amigos se unen a Thomás en su recorrido hacia el colegio, todos van en bicicleta y, al igual que Thomás, tienen una piedra incrustada en una de las ruedas de sus bicicletas. La información que describe la relación del movimiento de cada una de las piedras respecto a la distancia vertical en función del tiempo se proporcionó desde diferentes formas de representación: algebraica, cualitativa, gráfica y tabular. El problema consistía en determinar que amigo llegaba primero al colegio, lo cual exigía un análisis periódico de un movimiento circular desde diferentes representaciones. Se propendió entonces a iniciar en un enfoque operacional susceptible para los estudiantes, para ir gradualmente refinando procesos de abstracción con el respectivo nivel de complejidad y conceptual creciente del diseño de tareas, para llegar a un nivel estructural de pensamiento, armonizado y permeado por el operacional. Sin embargo, aunque se vislumbra un recorrido lineal, está lejos de serlo. Debido a que los procesos de objetivación se interrumpen y reanudan a lo largo de la actividad, especialmente en una unidad contextual problematizadora y

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cohesionada como es en este caso, se pueden dar procesos operacionales en el problema 5 (final), los cuales se podrían tomar como contracciones semióticas de procesos de objetivación iniciados previamente.

Así pues, a partir de la conceptualización teórica del diseño de la tarea (apartado componentes de la actividad en el marco teórico) y de las consideraciones al respecto realizadas por Radford (2023a) en cuanto a la concepción de tareas interesantes, niveles de conceptualización, unidad conceptual y contextual y complejidad conceptual creciente, en los anexos se muestran los 5 problemas (y sus respectivas preguntas) que guiaron la actualización del saber histórico-cultural en cuestión (en aras de simplicidad y abreviación, en el análisis se usó una codificación para referirse a las preguntas de la siguiente manera: la pregunta 6.1-3, por ejemplo, se refiere a la pregunta 6.1 del problema 3).

Fase 2 – Implementación De La Actividad Posterior a la fase preparatoria, al diseño de la actividad y elaboración de instrumentos, se procedió con la experimentación. Antes de este, se realizó la validación de los instrumentos con un grupo de características similares a la unidad de trabajo (tal y cómo se expuso en la fase 0: Preparación) y luego se procedió con la implementación de la actividad. La fase de implementación se dio en el segundo semestre del 2023, durante 15 sesiones (videograbaciones) de 110 minutos cada una en el marco de 1 tarea compuesta de 5 problemas y múltiples preguntas sobre variación de magnitudes físicas en una relación de dependencia en un fenómeno periódico (ver Anexos).

La experimentación consistió en el registro las grabaciones de vídeo (voces de los estudiantes y profesor, entonación, prosodia y demás lenguajes multimodales) y de las producciones escritas de los estudiantes y del profesor (Moreno y Vergel, 2024) al afrontar estos

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5 problemas de forma conjunta. El grupo de estudio se organizó alrededor de dos mesas bajo una configuración circular. Esta proximidad física permitió el contacto visual entre los participantes, lo cual favoreció el diálogo y la interacción social42 (ver Figura 9). Fase 3 – Interpretación (Sistematización) De Los Datos La sistematización de los datos consistió en delimitar episodios de actividad que presentaran características susceptibles de configurar, o de ir configurando, una labor conjunta. En consecuencia, se buscaron episodios de actividad que dieran muestra de procesos de objetivación (1) y de la ética comunitaria (2) al ir al encuentro del saber de función trigonométrica (3). Esto es, al filtrar los episodios de actividad a través de la triangulación mencionada se imbricaron diferentes elementos que se configuraron en los datos de análisis, lo cual propició la existencia y pertinencia de la unidad de estudio.

En un primer momento se transcribe todo lo que acontece en el video, tratando de capturar mediante las transcripciones cada una de las interacciones que los niños y profesor ponen en juego. Posteriormente se seleccionan los segmentos que más información aportan de acuerdo con los objetivos de la investigación. (Lasprilla, 2020, p.

120)

Es de esta manera que, de los registros de más de 27 horas de grabación y la solución de 5 cuestionarios, se identificaron 36 episodios de actividad43 – de extensión temporal variada – que se constituyeron en últimas en la unidad de análisis, de dónde se analizaron los procesos de

42 Esta disposición espacial no garantiza una actividad colectiva, se puede dar que entre los integrantes del grupo se distribuyan las preguntas o sencillamente se rote el cuestionario para que cada uno de forma individual responda una pregunta.

43 Estos 36 episodios de actividad corresponden a 3 horas y media efectivas (aproximadamente).

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objetivación – imbricados con procesos de devenir (subjetivación) – al encuentro de la función trigonométrica.

En síntesis, el proceso de sistematización de datos permitió que la investigación se focalizara en los episodios de la actividad que evidenciaran MSO y formas de interacción social y cooperación humana al ir al encuentro del saber de función trigonométrica. Este proceso se puede considerar como una triangulación inicial de los datos, lo cual es coherente con la unidad de estudio declarada: la dialéctica entre los procesos de objetivación, subjetivación al ir al encuentro de la función trigonométrica.

Fase 4 – Análisis Como se ha vislumbrado, para analizar los procesos de objetivación, el esfuerzo didáctico debe centrarse en la actividad entendida como labor conjunta, ahora bien ¿Cómo analizar una categoría tan general como la actividad? ¿Cómo analizar este tipo de actividad particular (a la que se refiere la TO) para entender y comprender los procesos de objetivación que se dan en ella? ¿Cómo identificar y poder analizar dichos procesos de objetivación? Se debe reconocer que la actividad está conformada por las formas históricas y culturales de producción material, intelectual y espiritual de la vida colectiva y las formas de colaboración humana (Radford, 2023a), por lo que “las formas de interacción y modos de circulación del saber, provenientes de la Teoría de la Objetivación organizan el dispositivo técnico del análisis” (Lasprilla y León, 2020, p. 133).

En consecuencia, una vez que la actividad del grupo (unidad de trabajo) – a través de la sistematización de los datos – se configura como unidad de análisis, se investiga a través de la unidad de estudio: la dialéctica emergente entre los procesos de objetivación y subjetivación en el encuentro con el saber de función trigonométrica. Estos procesos de objetivación y

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subjetivación se materializan a través del lenguaje multimodal de los estudiantes, en donde “cada modo tiene sus propias posibilidades y limitaciones en virtud de su naturaleza … cada registro semiótico le aporta algo diferente al concepto aprendido” (Tamayo et al., 2018, p. 35), en consecuencia, esa unidad dialéctica denominada lenguaje multimodal “se constituye en estructurador del pensamiento” (Tamayo et al., 2018, p. 37).

Categorías De Análisis Ahora bien, para estudiar dicha dialéctica (unidad de estudio), se sigue el análisis vygotskiano (como se ha mencionado) en la que se divide el todo en partes sin que estas pierdan la naturaleza dialéctica del todo, en donde las partes que componen la unidad de estudio se constituyen como las categorías de análisis: MSO (procesos de objetivación), los vectores de la ética comunitaria y otros indicios de ir al encuentro del ser histórico-cultural (procesos de subjetivación) y los indicios teóricos y empíricos de acercamiento al saber de función trigonométrica (saber histórico-cultural). En donde el análisis multimodal y multisemiótico permite analizar profundamente dichas categorías de análisis y poder establecer procesos dialécticos de objetivación y subjetivación al ir al encuentro del saber de función trigonométrica. La Figura 10 expone gráficamente la cartografía descrita entre la unidad de trabajo, la unidad de análisis, la unidad de estudio, las categorías de análisis y las categorías estructurales (ver sección siguiente: categorías estructurales), las cuales son las categorías mediante las cuales se estructuró, se organizó el análisis, de forma tal que las actividades analizadas se agruparon según dichas categorías estructurales.

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Figura 10 Cartografía del diseño metodológico

Nota: La cantidad de actividades agrupadas en las categorías estructurales no son reales, solo sirven de ejemplo para establecer el hecho de que las actividades se agrupan según dichas categorías estructurales. En la figura se muestran 16 actividades (rectángulos), en realidad fueron 36.

Dicho esto, desde el rol de docente-investigador asumido, se tomaron partes de la realidad observada al utilizar diferentes herramientas y técnicas, que se unieron al interpretarlas – subjetivamente – para realizar una construcción progresiva de una amalgama de la imbricación dialéctica de los datos (objetivación y subjetivación del grupo de estudio) al ir al encuentro del saber de función trigonométrica en las actividades desarrolladas a través de diferentes saberes previos.

Por consiguiente, para cada uno de los 36 episodios de actividad delimitados en la sistematización de los datos (en la fase 3) se analizó dialécticamente (categorías de análisis):

● el lenguaje multisemiótico en la objetivación de los estudiantes al identificar los MSO

perceptibles: objetos, herramientas, lenguaje verbal y escrito, prosodia (como la entonación), posición del cuerpo, ritmo, gestos: indexicales deícticos am phantasma y oculares, icónicos, y metafóricos (Radford, 2023a; McNeill, 1992) – GIAP, GIDO, GI

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y GM respectivamente – y demás signos en los procesos de creación de significados sociales para lograr una forma estable de conciencia y hacer evidentes sus intenciones.

● los procesos de subjetivación a través a los tres vectores de la ética comunitaria:

responsabilidad, compromiso y cuidado del otro (Radford, 2023a). Para concebir la actividad como labor conjunta debe tomar presencia las formas de interacción social y cooperación humana en el marco de la ética comunitaria descrita por la TO, de lo contrario se configuraría como una actividad solipsista y enajenadora, es decir, alienante. De igual manera se tuvieron en cuenta otros indicios de ir al encuentro del ser histórico-cultural, como lo es la percepción a través de la domesticación del ojo.

● los indicios que evocan señales de aprehensión gradual de las formas histórico-

culturales de pensar y actuar matemáticamente sobre fenómenos periódicos a través de las funciones trigonométricas según los planteamientos de Sierpinska (1992), Sfard (1992), Bell y Janvier (1981), Breidenbach et al. (1992), Dubinsky y Harel (1992) discutidos en el marco teórico. Estos indicios son en últimas las mismas categorías estructurales.

Inicialmente se tenían prediseñadas que las categorías de análisis fueran los 5 problemas descritos. Se buscaba analizar cómo se movilizaban y desarrollaban los procesos de objetivación al aumentar el nivel de complejidad de los problemas al ir al encuentro con el saber de función trigonométrica. Sin embargo, posterior a la fase de implementación (fase 2), se tomó mayor conciencia al categorizar la actividad en la TO como labor conjunta, por lo que no toda actividad en el aula conlleva a una obra en común. En este orden de ideas, las categorías de análisis

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emergentes (previamente mencionadas) buscaron dar coherencia con dicha actividad (unidad de análisis) y en cómo analizarla (unidad de estudio).

MSO. Es necesario mencionar que aunque los procesos de objetivación están imbricados con los procesos de subjetivación (Radford, 2023a) – lo que implica que no se puede desconocer el carácter del ser en la actividad –, el objetivo de la presente investigación se centra en analizar los procesos de objetivación que se dan con el encuentro de las formas histórico-culturales de pensar y actuar matemáticamente sobre fenómenos periódicos a través de las funciones trigonométricas, por lo que el foco de atención didáctico e investigativo privilegia dichos procesos.

Al reconocer que el conocimiento científico tiene una naturaleza multimodal, donde los diferentes modos del lenguaje tienen “características y funciones comunicativas específicas y en su conjunto conforman un sistema integrado de comunicación y significado” (Tamayo et al., 2018, p. 29) y que los MSO se conciben como “procesos de creación de significados sociales para lograr una forma estable de conciencia” (Radford, 2023a, p. 123), de la naturaleza multisemiótica de la TO y de la conceptualización esbozada en el marco teórico por Radford (2023a) y Tamayo et al. (2018), los MSO se investigan a través del lenguaje gestual: gestos metafóricos (GM), gestos icónicos (GI), gestos indexicales deícticos oculares (GIDO), gestos indexicales deícticos am phantasma (GIAP), lenguaje verbal y escrito, prosodia (como la entonación), posición del cuerpo, ritmo y demás.

Además de los MSO como categoría de análisis de los procesos de objetivación, Radford (2023a) plantea que en el proceso de investigación de los procesos de objetivación se deben atender también las contracciones semióticas y a los nodos semióticos descritos en el marco

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teórico. Respecto a este último, Radford (2023) plantea que el concepto de nodo semiótico se basa:

[…] en la idea de que la comprensión de la acción multimodal no consiste en hacer un inventario de los signos y canales sensoriales que actúan en un determinado contexto. Desde un punto de vista metodológico, el problema consiste en comprender cómo los diversos canales sensoriales y signos semióticos (lingüísticos, símbolos escritos, artefactos, diagramas, etc.) se relacionan, coordinan y subsumen en un nuevo pensamiento o unidad psíquica. (p. 151) Categorías Estructurales Estas categorías dan estructura, orden, organización y presentación del análisis de los datos, por lo que no se pueden confundir con las categorías de análisis ya expuestas. Estas categorías estructurales son de naturaleza emergente: no fueron preconcebidas y se ajustaron y modificaron gradualmente a lo largo del diseño metodológico (especialmente en la sistematización de los datos).

La génesis de estas categorías estructurales parte al tener en cuenta que "si intentamos trazar un gráfico de los procesos de objetivación en una clase determinada, podemos encontrar que se producen en determinadas partes de la actividad; pueden interrumpirse y volver a iniciarse más adelante” (Radford, 2023a, p. 124). De ahí que los episodios de actividad mostrados según la estructura organizativa no son necesariamente ininterrumpidos, estos se dieron en diferentes problemas y preguntas a lo largo de la tarea; lo cual en gran medida se da gracias a la riqueza contextual y conceptual de la unidad didáctica expuesta en el proyecto didáctico (componente Φ de la actividad).

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Debido a que el objetivo general de la investigación consiste en analizar los procesos de objetivación que desarrollan los estudiantes cuando se enfrentan a tareas referentes al saber de función trigonométrica (desde la perspectiva de la TO) y bajo los concepciones históricoculturales ya expuestas de Sfard (1992), Bell y Janvier (1981), Breidenbach et al. (1992) y Dubinsky y Harel (1992) – para ir al encuentro de las formas histórico-culturales de pensar matemáticamente sobre fenómenos periódicos a través de las funciones trigonométricas – implícitamente se deben abordar otros saberes (como si fueran presaberes) necesarios para ir al encuentro del saber principal de la investigación, los cuales se mantuvieron entrelazados dialécticamente de principio a fin.

Esto es, para ir al encuentro del saber de las formas histórico-culturales de pensar matemáticamente sobre fenómenos periódicos a través de las funciones trigonométricas emergen otros saberes de forma espontánea, es decir, saberes histórico-culturales que básicamente son las categorías estructurales, los cuales – como ya se esbozó – no tienen inicio ni un fin, no obedecen a una secuencia específica, son potencialidades que están en flujo constante a lo largo de toda la tarea, las cuales van tomando determinaciones sensibles a través de procesos de actividad no continuos de acuerdo a las necesidades del grupo.

En consecuencia, la toma de conciencia gradual enfocada en una característica específica del saber de función trigonométrica por parte de los educandos se pausaba y reanudaba regularmente a lo largo de los 5 problemas dependiendo del enfoque de la pregunta y del foco de atención dispuesto por el grupo.

Los episodios de actividad identificados en la fase de la sistematización de los datos se dispusieron en torno a unos presaberes. Como los procesos de objetivación (que se manifestaban en el encuentro de estos presaberes) se pausaban y reanudaban posteriormente en otras preguntas

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(e inclusive en otros problemas), donde el objeto de la pregunta direccionaba la actividad hacia otros presaberes, se agruparon dichas actividades según el presaber al que apuntaba la objetivación del grupo de estudiantes (conformando lo que se puede denominar una macro actividad), donde dicho presaber en cuestión se enriquecía dialéctica y gradualmente con otros presaberes.

Por ejemplo, el objeto del problema 1 giraba en torno a la variación de magnitudes en fenómenos periódicos, hacia el cual el grupo de educandos se enfocó; al aumentar el nivel de complejidad de las preguntas, en el problema 2 y 3, por ejemplo, se veían en la necesidad de analizar patrones de dichas magnitudes, lo que repercutió en procesos de toma de conciencia de la variabilidad de dichas magnitudes respecto a los patrones que describían en el contexto de la unidad problematizadora.

Esto infiere un proceso dialéctico de toma de conciencia (lo cual fue corroborado de forma empírica en los análisis de los resultados y en las conclusiones), donde estas potencialidades (saberes) que rondan el aula de clase no son lineales: se aprende A, para luego aprender B, no – como se teorizó en el apartado “Aprendizaje, conocimiento y saber” de la sección de Objetivación en el marco teórico – A y B se afectan dialécticamente dotando de determinaciones gradualmente el saber, de forma que el conocimiento y el aprendizaje tomen presencia paulatinamente, lo cual posibilita realizar tomas de conciencia profundas y significativas al estar inmersas en situaciones en contexto problematizadoras. Lo expuesto hasta el momento no es solo un reporte teórico, son hallazgos a partir de los datos obtenidos. En la sistematización de los datos (fase 3) se identificó que aunque la intención de cierta pregunta se enfocara en la interpretación y representación en el plano cartesiano del fenómeno, por ejemplo, en cierto momento de la actividad (de la misma pregunta) los estudiantes

Objetivación del Saber de Función Trigonométrica 168

hacían uso de procesos de objetivación ya realizados o realizaban nuevos44, en cualquiera de los dos casos el foco de atención de los estudiantes no apuntaba al manejo del plano cartesiano, sino a la identificación y contextualización del periodo del fenómeno o a la variación de magnitudes o a la identificación de patrones, en cualquier caso, los procesos de objetivación emergentes se relacionaban dialécticamente con el saber presupuestado en el diseño didáctico, lo que permitió enriquecer objetivaciones antiguas y/o facilitar procesos de objetivación que estuvieran en progreso.

Al dar coherencia a lo esbozado en el marco teórico y metodológico, el análisis se muestra y organiza a partir de la agrupación de los 36 episodios de actividad, delimitados en la sistematización de los datos, que siguen las directrices teórico epistemológicas de Sierpinska (1992), Sfard (1992), Bell y Janvier (1981), Breidenbach et al. (1992) y Dubinsky y Harel (1992) y los procesos de objetivación emergentes al ir al encuentro de dichos presaberes, los cuales, en últimas se configuran como las categorías estructurales que dan orden y coherencia en la presentación de la investigación. A continuación, se muestran dichas categorías estructurales, las cuales se definen como las formas de pensar y actuar matemáticamente sobre:

● la variación de magnitudes en una relación de dependencia periódica (enfoque

operacional)

● el periodo en un fenómeno cíclico (enfoque operacional-estructural)

● la representación gráfica de un movimiento periódico cíclico (enfoque operacional-

estructural)

● la identificación de patrones de las magnitudes de un fenómeno periódico cíclico

(enfoque operacional-estructural)

44 Específicamente y solo por exponer un caso: En la pregunta 1-3 (ver Anexo C), los estudiantes realizaron procesos de objetivación respecto al análisis del fenómeno periódico y respecto a la identificación de patrones.

Objetivación del Saber de Función Trigonométrica 169

● la variación de la distancia vertical (media cuerda) en un fenómeno periódico cíclico

(enfoque estructural)

● la síntesis de la representación algebraica de la relación trigonométrica 𝑑!(𝑡)

(enfoque estructural) Se aprecia que la presentación de la información en estas categorías estructurales permite dar trazabilidad en el análisis respecto al refinamiento de los procesos de objetivación del saber de función trigonométrica. Lo cual confiere transparencia al proceso de análisis como tal (desde su génesis hasta los hallazgos y conclusiones) y permite realizar procesos de seguimiento investigativo con mayor claridad, a su vez fomenta cierto grado de reproducibilidad metodológica (sin olvidar el claro hecho ya expuesto de la inexorable irrepetibilidad de una misma actividad).

Se debe añadir que a través de estas categorías estructurales se puede apreciar el nivel ascendente del grado de toma de conciencia de estos saberes emergentes, así como la evolución del lenguaje multimodal específico a dichos saberes, que se configuran como evidencias plausibles de procesos de objetivación; lo cual sería complejo de apreciar en un análisis vertical cronológico, en el que el seguimiento de la evolución de los saberes, lenguajes multimodales y demás sería más dispendioso.

Efectivamente la presentación de los datos y análisis de los mismos no siguió un análisis temporal (vertical). En la forma vertical de escribir documentos se preconcibe un orden temporal en el mismo orden en el que dichas categorías aparecen en el documento, lo que insinúa un análisis secuencial en el orden en que la unidad didáctica se desarrolló. La presentación a través de las categorías estructurales exhibe una dinámica de escritura horizontal que revela el verdadero proceso dialéctico de flujo de saberes y permite comprender con mayor claridad los

Objetivación del Saber de Función Trigonométrica 170

procesos de objetivación concatenados entre las diferentes categorías estructurales son un proceso dialéctico conjunto y no una limitada secuencia temporal de desarrollo de problemas y preguntas.

Para dar mayor claridad al lector entre el análisis organizado en las categorías estructurales y la secuencia temporal del desarrollo de la tarea, se expusieron una serie de hilos conductores previo a cada tabla del análisis que unen estas dos formas de presentar los datos, lo cual da claridad, coherencia y cohesión al análisis. En concordancia con lo anterior, en la Tabla 1 se exponen los episodios de actividad agrupados en las categorías estructurales, así como las preguntas de la unidad didáctica respectivas.

De la Tabla 1 se debe apreciar que sí se siguió parcialmente una secuencia temporal. No se siguió una exposición de los datos según el orden temporal en que se abordó el desarrollo de las tareas (orden ascendente de las preguntas de la unidad didáctica), pero sí se siguió dicho orden de la unidad didáctica de forma parcializada según cada categoría estructural expuesta, esto es, cada saber se expuso cronológicamente.

Tabla 1 Orden y presentación de los resultados y análisis a través de las categorías estructurales. Categoría estructural Actividad Pregunta Categoría estructural Actividad Pregunta

1. Variación de

magnitudes

1

2-1

4. Identificación

de Patrones

7

3-2 (Tiempo)

15

5-2

18

1-3 (Tiempo)

2. Representación

Grafica

4 y 5

1-2

6

2-2 (Angulo)

9

4.1-2

20, 21, 22 y 24 6.1-3 (Angulo)

10 y 11

4.3-2

5. Variación de

la distancia vertical

8

3-2

14

4.6-2

19

4-3

3. Periodo

2

3-1

25 y 26

7-3

12, 13 y 16 4.5-2 y 1-3

6. Síntesis de la

representación algebraica

27

1.1-4

17

1-3

28

1.2-4

35

1-5

30 y 31

4.1-4 y 4.2-4

36

1-5

32 y 33

6-4

Objetivación del Saber de Función Trigonométrica 171

Nota: Todas las actividades están enumeradas consecutivamente según el orden cronológico de desarrollo en la unidad didáctica, por lo que la actividad 12 sucedió después que la actividad 11. Se analizaron 36 episodios de actividad (en la tabla se muestran 32), las 4 actividades restantes se agruparon en un apartado (al final del análisis) para dar sustento y reforzar los procesos de objetivación realizados. Recordar la codificación de las preguntas, por ejemplo, Pregunta 7-3, es la pregunta 7 del problema número 3 (ver todas las preguntas y problemas del diseño de la tarea en los Anexos)

Si se hubiera realizado una exposición temporal de los resultados según el orden de la unidad didáctica, primero se analizaría un proceso de objetivación (parcial) sobre la variación de magnitudes (pregunta 2-1), luego sobre el periodo en un fenómeno cíclico (pregunta 3-1), seguidamente respecto a la representación gráfica de un fenómeno periódico (pregunta 1-2), etc. Es claro que de esta forma hubiese sido más complejo analizar el desarrollo y evolución de los procesos de objetivación (que es el objetivo general de la investigación)45 A su vez, al buscar mayor claridad temporal y conceptual en la lectura del análisis, se debe entender que la numeración de las actividades realizadas sigue la cronología de la unidad didáctica (orden temporal), mientras que las transcripciones (las líneas) siguen el orden en que aparecen en el documento. Por ejemplo, cronológicamente la actividad 8 sucedió antes que la 35, sin embargo, las líneas (transcripciones) de la actividad 8 van de la 314 a la 327 y de la actividad 35 van de la 211 a la 223, esto quiere decir que en la presentación del documento primero se analizó la actividad 35 y luego la actividad 8, esto ya que al seguir el orden en el que se dispusieron las categorías estructurales en el documento, primero se analizó la categoría

45 Lo que se quiso mostrar fue una “película” con 6 actores, como en cualquier película cada uno tenía escenas con uno o más actores y escenas en solitario, pero todas las escenas en solitario o en compañía (así pareciera que fueran escenas aisladas) iban al encuentro de la trama principal de la película. Lo que se decidió en la investigación, fue mostrar el camino de cada uno de los actores (categorías estructurales – saberes emergentes) y establecer sus relaciones, en lugar de mostrar el orden temporal de las escenas (episodios de actividad) sin importar los actores, sería una película difícil de comprender ¿no?

Objetivación del Saber de Función Trigonométrica 172

estructural en la que se enfocó la actividad 35 y luego la categoría estructural a la que apuntaba la actividad 8.

Para dar cierre a la fase del análisis del diseño metodológico, se sintetiza su estructura: Primero se realizó una somera triangulación inicial según las categorías de análisis para filtrar las actividades que se configuraron como los datos de la investigación (Fase 3). Segundo, dichas actividades se agruparon en saberes emergentes (categorías estructurales). Tercero, cada actividad pasó por una triangulación que consistió en el análisis a través de las categorías de análisis (ver Figura 10): un análisis vygotskiano, en el que cada parte no pierde las características primigenias del todo (ver sección de Objetivos). Cuarto, se realizó un análisis intra: entre los diferentes episodios de actividad de una misma categoría estructural al analizar su desarrollo y evolución temporal. Quinto, paralelo al cuarto paso, se realizó un análisis inter: se analizó la relación dialéctica entre actividades de diferentes categorías estructurales. Este diseño metodológico propendió un análisis profuso de la génesis y desarrollo de los procesos de objetivación que se dan en el encuentro con las formas histórico-culturales de pensar matemáticamente sobre fenómenos periódicos a través de las funciones trigonométricas.

Objetivación del Saber de Función Trigonométrica 173

Resultados y Análisis En la teoría de la objetivación, añadimos un análisis epistemológico del contenido matemático que nos parece útil complementar con un análisis a priori (Radford, 2023a, p. 109)

De lo esbozado en la fase 4 (análisis) del diseño metodológico, el análisis no se presenta según el orden temporal en el que la unidad didáctica se desarrolló (preguntas y problemas – ver Anexos). Este se presentó en el documento a través de las categorías estructurales (saberes emergentes al ir al encuentro con el saber de funciones trigonométricas) en el orden expuesto en la Tabla 1. A continuación, se presentan los datos (las tablas en las que se muestra el lenguaje multimodal de las actividades) y el análisis realizado.

Variación de Magnitudes En Una Relación de Dependencia Periódica En esta categoría se centra la atención en el análisis de las actividades que se considera fueron al encuentro de las formas histórico-culturales de pensar matemáticamente sobre la variación de magnitudes en una relación de dependencia periódica, esto al considerarlo como un modo de reflexión acerca del saber general de función trigonométrica. Como se ha establecido, esta categoría estructural, aunque es la primera en ser analizada, no implica un inicio y un fin de la misma, esta se relaciona dialécticamente con los demás saberes (categorías estructurales) a lo largo de la unidad didáctica.

Actividad 1 (Pregunta 2-1) El problema número 1 (Anexo B) buscaba que los estudiantes argumentaran y debatieran como es la variación de las magnitudes en un fenómeno periódico, esto es, se pretendió hacer una inmersión empírica y experiencial respecto al movimiento circular que realiza la piedra en la bicicleta de Thomás. Se buscaba entonces que a través de preguntas abiertas los estudiantes

Objetivación del Saber de Función Trigonométrica 174

razonaran sobre un movimiento tan común para ellos como lo es el movimiento rotacional, por lo que en la pregunta 2-1, después de analizar qué magnitudes intervienen en el movimiento, cuáles varían y cuáles permanecen constantes, establecieron una relación en particular: distancia rotacional y tiempo, seguidamente la analizaron desde su experiencia en cuanto a la relación de dependencia que emerge en este contexto entre ambas magnitudes. Es necesario recordar la codificación de las preguntas, por lo que la pregunta 2-1 se refiere a la pregunta 2 del problema

1.

Tabla 2 Actividad 1: Lenguaje multimodal al encuentro de la relación de magnitudes en una relación de dependencia periódica. Pregunta 2-1 Actividad 1 / Sesión 1 / Tiempo 09:25 – 42:32 / Pregunta 2-1 Línea Lenguaje multimodal

(1) P: El tiempo depende de la distancia rotacional [GIDO – esto lo lee el profesor del

cuaderno de los estudiantes señala lo escrito a medida que lee] ¿Qué quiere decir eso? El tiempo depende de la distancia rotacional ¡Escuchen lo que están diciendo! ¿Quiere decir que, si la distancia rotacional aumenta, el tiempo aumenta y si la distancia rotacional disminuye el tiempo disminuye?

(2) M: ¡ay nooo! (exclama efusivamente)

(3) D y C (al unísono): ¡sí!

(4) P: Entonces, la distancia rotacional es la distancia que da la vuelta así [GI – Realiza un

movimiento circular en el aire] entonces si doy una vuelta muy pequeñita [GM] el tiempo transcurre más pequeñito ¿Eso pasa?

(5) M y S (al unísono): No.

(6) M (intenta convencer a Carol ya que no está de acuerdo con el planteamiento del profesor

y suyo): Usted la misma vuelta la va a dar [GI – Realiza un movimiento circular en el aire] y el tiempo va a seguir corriendo [GM] y no va a seguir corriendo al mismo

Objetivación del Saber de Función Trigonométrica 175

sentido que no va con la llanta (además de los gestos, su entonación aumenta, su posición cambia y se balanza hacia Carol).

(7) D: ¡ahhh!

(8) P (le dice a Angie): una cosa es que tú vayas lento pero el tiempo siempre va a transcurrir

igual [GM – Realiza un gesto con el brazo que significa seguir, que continúa].

(9) M: ¡sí! Siempre va transcurrir igual (lo dice al unísono con el profesor en la línea

anterior).

(10) D: Entonces el tiempo es constante.

(11) M: Sí.

(12) P: Por muy lento o rápido que tú vayas el tiempo no va a ir más lento.

(13) D: Entonces la pusimos al revés.

(14) P: Ustedes están diciendo que pueden manipular el tiempo.

(15) M: Es al revés [GI – con un gesto contundente]

(16) D: Entonces entre más tiempo transcurra más distancia rotacional va a haber.

(17) P: Tiene más sentido. Dialoguen (invitando al grupo a discernir y aclarar la idea que está

surgiendo en esta parte de actividad).

(18) S: (le pregunta a Carol): No entendiste ¿cierto?

(19) C: No.

(20) S: Entonces, entre usted más poquita distancia rotacional haga, que es la vuelta, menos

tiempo va a hacer según lo que habíamos escrito, y eso no va a pasar.

(21) M (le dice a Carol e interrumpe a Samuel): Pero usted no puede manipular el tiempo.

(22) D (le dice a Carol): el tiempo siempre va a seguir corriendo.

(23) M: El tiempo si o si va a seguir corriendo constantemente porque el tiempo usted no lo va

a poder manipular de ninguna forma.

(24) C: ¡ahhh ya entendí!

Objetivación del Saber de Función Trigonométrica 176

En la pregunta 2-1, al analizar la relación dependencia entre las magnitudes distancia rotacional y tiempo (las cuales el grupo identificó en el movimiento de la piedra), los estudiantes establecieron que el tiempo depende de la distancia rotacional (línea 1). Es claro que están equivocados, aunque según apreciaciones del profesor ellos saben que el tiempo no depende de ninguna otra magnitud. Se puede apreciar entonces que la atención en este momento está enfocada en la acción y no en la razón de la acción; en su afán por dar solución a un problema que a su parecer es trivial, genera que la atención a los detalles en profundidad se haga innecesaria (inconscientemente), lo que permite que la acción, sin razón, se verbalice (Arango y Pérez, 2024).

Es necesario mencionar que la contradicción a la que se llegó en el proceso de actividad por parte del profesor y el grupo respecto a esta relación de dependencia (líneas 1 a 17) no es un fallo “por el contrario, la contradicción es vista como el motor que empuja la actividad hacia adelante y la mantiene en movimiento” (Radford, 2023, p. 114), tal y como se apreció en las deliberaciones entre el grupo y el profesor expuestas en la Tabla 1 (y como se profundiza en el análisis a continuación), se aprecia que el diseño didáctico propuesto por el profesor, al movilizar recursos semióticos claves, creó las condiciones de posibilidad para que los estudiantes percibieran relaciones de dependencia entre magnitudes variables en fenómenos periódicos. Al profesor leer la relación de dependencia planteada por los estudiantes entre distancia rotacional y tiempo en el cuaderno (línea 1) Michell reacciona rápidamente: “¡ay nooo! (exclama efusivamente)” (línea 2), toma conciencia que la relación dependencia previamente establecida no está bien.

El profesor intenta reforzar el saber que está empezando a tomar determinaciones concretas a través de su lenguaje multimodal: “entonces, la distancia rotacional es la distancia

Objetivación del Saber de Función Trigonométrica 177

que da la vuelta así [GI – Realiza un movimiento circular en el aire] entonces si doy una vuelta muy pequeñita [GM] el tiempo transcurre más pequeñito ¿Eso pasa?” (línea 4). El GI del movimiento de la llanta materializa la trayectoria de la piedra y el GM de “una vuelta muy pequeñita” es la exteriorización corporal involuntaria de lo verbalizado, este “gesto metafórico el docente lo emplea con el fin de representar conceptos abstractos que pueden ser comprendidos empleando una representación adicional” (Tamayo et al., 2018, p. 139). Al implicarse en la actividad, el profesor intenta estabilizar ese saber que cada vez va tomando determinaciones sensibles, el saber de las relaciones de dependencias inherentes en un movimiento circular, por lo que estos gestos transmitieron información semántica al grupo, permitieron reforzar el significado y ampliar la comprensión del objeto de estudio, de manera que […] estos gestos, en todas sus dimensiones físicas y kinestésicas, así como las palabras pronuncia-das tanto en su significado abstracto como en la emoción que transmiten, que reconocemos en la entonación y otros mecanismos prosódicos como el acento y el tono, son también, y sobre todo, una invitación a los estudiantes a explorar juntos … [las relaciones de dependencia entre magnitudes variables en un fenómeno periódico] de una manera diferente. (Radford, 2020a, p. 24)

Lo expuesto por el profesor en la línea 4 surte efecto cuando Michell y Samuel verbalizan que en realidad la relación de dependencia expuesta no era de esa manera (línea 5). Al percatarse que Carol no ha logrado entender, Michell se abalanza sobre ella para explicarle su razonamiento: cambia su posición, la mira fijamente y variando su entonación se dirige hacia ella con un lenguaje multimodal al decirle “usted la misma vuelta la va a dar [GI – Realiza un

Objetivación del Saber de Función Trigonométrica 178

movimiento circular en el aire] y el tiempo va a seguir corriendo [GM] y no va a seguir corriendo al mismo sentido que no va con la llanta” (línea 6).

Michell hubiera podido guardado silencio y dejar que su compañera no entendiera o sencillamente que el profesor le explicara, sin embargo, cobija a Carol, la reconoce, no la margina de la actividad que se está materializando, se preocupa por ella, por no relegarla. Es así como lo verbalizado por Michell en la línea 6 es una de “las acciones que realizamos (verbales, pero no necesariamente) para hacer sentir al otro nuestra presencia, nuestro apoyo, nuestra solidaridad y respeto” (Radford, 2023b, p. 63), lo cual es muestra del vector responsabilidad y cuidado del otro; asimismo se aprecia el no acogimiento de una actitud solipsista por parte de Michell y a su vez es muestra del compromiso hacia la actividad ya que al realizar el esfuerzo por reconocer al otro implícitamente se esfuerza por intentar dar solución al problema. La línea 6 da muestra de un proceso de toma de conciencia orquestado por múltiples registros semióticos y modales. Michell manifiesta correctamente la relación de dependencia entre tiempo y distancia rotacional con un gesto icónico (GI) y un gesto metafórico (GM), el primero se relaciona directamente con el discurso al materializar la vuelta circular que realiza la piedra a través del movimiento circular de sus manos, mientras que el segundo, se emplea inconscientemente para representar y aportar claridad a la idea abstracta (Tamayo et al., 2018) de que la variación del tiempo no implica una variación en la distancia rotacional, esto desde una perspectiva vivencial debido a la imposibilidad de manipular el tiempo. A medida que ella orquesta dichos gestos con su lenguaje verbal, su entonación e inclinación cambian, formando un entramado de MSO que repercuten en una toma de conciencia de la mencionada relación de dependencia.

Objetivación del Saber de Función Trigonométrica 179

Lo expuesto por Michell es reafirmado por el profesor “una cosa es que tú vayas lento pero el tiempo siempre va a transcurrir igual [GM – Realiza un gesto con el brazo que significa seguir, que continúa]” (línea 8), lo cual influye en Danna al establecer que “entonces el tiempo es constante” (línea 10), en donde ella reconoce la característica de variabilidad continua y constante del tiempo, lo que permite iniciar un proceso de toma conciencia de la identificación de patrones de la variable tiempo, a lo que Michell replica que la relación que habían establecido “es al revés [GI – con un gesto contundente]” (línea 15) y finiquitado por Danna: “entonces entre más tiempo transcurra más distancia rotacional va a haber” (línea 16). El lenguaje multimodal entre profesor y estudiantes mostrado en la Tabla 1 muestra como hace presencia un nodo semiótico al orquestasen múltiples MSO (una sinfonía didáctica), los cuales confluyen al objeto del proyecto didáctico en el marco de una ética comunitaria. Se aprecia como la labor entre estudiantes y profesor cambia lo que estaba pensando el grupo respecto a las magnitudes dependientes e independientes (creando una obra en común), no de una forma impuesta sino de una forma negociada, en consenso, sin minimizar la posición del otro demostrando una relación dialéctica de compromiso y cuidado del otro (Arango y Pérez, 2024). A partir “de ese despliegue de gestos, palabras, percepción y símbolos, la profesora [el profesor] y sus estudiantes producen colectivamente un significado multisemiótico que da sentido al proceso” (Radford, 2020a, p. 23), a través del cual aparece en el aula una forma histórico-cultural de pensar la variación de magnitudes en una relación de dependencia periódica. A su vez se hace visible el compromiso adquirido por el docente al asumir su responsabilidad, al hacerse presente y mostrarse vulnerable (líneas 1 a 17). Habría resultado más sencillo para él señalar desde el inicio la equivocación del grupo e indicar el procedimiento correcto, manteniendo así el carácter alienante de las formas convencionales de hacer

Objetivación del Saber de Función Trigonométrica 180

matemáticas en el aula de clase. Sin embargo, se compromete con el grupo al ocupar un lugar con su cuerpo y sus acciones, abre un espacio para que los estudiantes se involucren en el encuentro con un formas histórico-culturales de actuar y pensar sobre la variación de magnitudes en una relación de dependencia periódica, inclusive en la línea 17, el profesor los invita a dialogar, a que continúen su camino al encuentro de este objeto (Arango y Pérez, 2024). Este mismo compromiso, que es muestra del cuidado del otro (vector de la ética comunitaria en la TO), se manifiesta en los estudiantes de la línea 18 a 24. Los compañeros acogen a Carol que después de la intervención del profesor no queda satisfecha, sin embargo, los 3 compañeros se percatan de ello y se esfuerzan en que ella también se encamine a esa cosa que los objeta, desarrollando por tanto no solo procesos de objetivación en torno a dicho objeto matemático, sino procesos de subjetivación, la Carol de la línea 19 no es la misma que la Carol de la línea 24.

La insistencia por el grupo en llegar a la solución de la pregunta de una forma consensuada y no impuesta, son muestras de la resiliencia y del esfuerzo realizado, de la responsabilidad, del cuidado del otro y del compromiso de los estudiantes por dar solución a la pregunta (que se antepone a ellos como una necesidad histórica y cultural), este último vector se reconoce como un ofrecimiento, una actitud, de hacer lo posible en el curso de la actividad (Radford, 2023b), para lo cual es necesario que los involucrados se sientan en la libertad de expresarse abierta y naturalmente.

El GI de Michell en la línea 15 fue catalogado como contundente, fue claro y conciso. Este GI es la exteriorización inconscientemente del cuerpo para realizar un movimiento que corrobore y apoye lo verbalizado, son gestos con “menos grados de libertad entre el lenguaje oral y el gesto” (Tamayo et al., 2018, p. 87), esto es, son gestos que describen de cierta manera lo

Objetivación del Saber de Función Trigonométrica 181

enunciado verbalmente, son movimientos corporales generalmente involuntarios que se realizan regularmente y están aceptados en el SSSC en el que cohabitan, por lo que su proceso de reconocimiento y legitimación histórico-cultural los ha hecho gestos – notorios y claros – de comunicación pertinentes en el contexto en el que viven. Los estudiantes los usan de forma espontánea intentando exteriorizar una idea, y lo hacen con gestos espontáneos (sin reflexionar sobre ellos) ya que van al ritmo de lo verbalizado, por lo que el uso de dichos gestos da fuerza, potencia y validez al discurso.

Es importante añadir que las exclamaciones “ahhh” de las líneas 7 y 24 de Danna y Carol respectivamente se deben tomar como una ocurrencia, como el aparecimiento repentino en la mente, como el “punto final de un largo proceso de toma de conciencia” (Radford, 2006, p. 116). Ya que al final de la actividad las relaciones de dependencia iniciales de magnitudes variables en fenómenos periódicos habitan en los integrantes del grupo (no solo en Carol), aunque frágil, este concepto originado en la actividad se convierte en un órgano del cuerpo de cada uno de ellos (Arango y Pérez, 2024). Como se estipuló, los procesos de objetivación están imbricados en procesos de subjetivación (son dos caras de la misma moneda), por lo que al habitar un nuevo concepto, cada uno ha cambiado como sugieren los datos. El concepto los conecta con la cultura y la historia y los transforma al mismo tiempo como sujetos históricoculturales (Radford, 2023).

Este episodio de actividad presentado refleja un inicio de un proceso de toma de conciencia de la relación de dependencia que se genera entre magnitudes. Es un abre bocas, de un proceso de toma de conciencia que se realizará a profundidad a lo largo de los problemas. Con esto los estudiantes se implican en un proceso de objetivación respecto a la relación de dependencia entre magnitudes; si una magnitud afecta a otra de determinada manera, no

Objetivación del Saber de Función Trigonométrica 182

necesariamente la última afectara en la misma medida a la primera. Por lo que el análisis que se realiza posteriormente de los patrones que se identifican en las variables es pertinente para una consecuente toma de conciencia más profunda de esta relación de dependencia, que en últimas es la construcción inicial para interiorizar el saber de función desde un enfoque operacional. Actividad 15 (Pregunta 5-2) Después de finalizar la inmersión empírica y experiencial del problema 1, en el problema 2 se le solicitó al grupo centrar su atención en dos magnitudes del movimiento circular que describe la piedra en la llanta de la bicicleta de Thomás: la distancia vertical (respecto a una línea horizontal imaginaria que pasa por el centro de la llanta) y el tiempo. A partir de estas dos magnitudes y a través de un video proyectado en el tablero (el cual manipularon y dibujaron sobre él en el tablero) en la pregunta 2-2, el grupo cuantificó datos específicos para un ciclo disponiéndolos en una tabla de valores (pregunta 4.1-2, Tabla 5), seguidamente realizó procesos enfocados en la razón antes que la acción (Vygotski, 2009) y construyó de manera significativa (en el marco de la unidad contextual y conceptual) la gráfica en el plano cartesiano acorde con los datos de la tabla de valores (pregunta 4.3-2, Tabla 6) para luego graficar en el plano cartesiano el movimiento completo de la piedra para un ciclo según la infinidad de ubicaciones posibles de la piedra sobre la rueda (pregunta 4.5-2 y 1-3, Tabla 9). En la actual pregunta 5-2, el grupo debía componer un escrito explicativo en el que relacionen las palabras: Tabla, grafica (en el plano cartesiano), puntos y función, en la cual debatieron sobre la relación de dependencia existente entre la distancia vertical y el tiempo, pero ya con cierto nivel de agenciamiento tras el recorrido temporal y secuencial hasta la pregunta 5- 2, el grupo establece claramente la relación de dependencia al hacer uso de la palabra “función”

Objetivación del Saber de Función Trigonométrica 183

y de unos GM que evocan las magnitudes en cuestión, como si fueran los conjuntos de dominio y rango.

Tabla 3 Actividad 15: Lenguaje multimodal al encuentro de la relación de magnitudes en una relación de dependencia periódica. Pregunta 5-2 Actividad 15 / Sesión 7 / Tiempo 1:21:43 – 1:24:50 / Pregunta 5-2 Línea Lenguaje multimodal

(25) D (le pregunta a Carol): ¿Cuál es el que se obtiene en función de qué? ¿El tiempo en

función de la distancia o la distancia en función del tiempo?

(26) C: No, eso es la dependencia, no función de

(27) C (le dice al profesor): Ella (Danna) entendió que, por ejemplo, el tiempo depende de la

distancia y que eso era función de [GM]

(28) P: Sí

(29) C: O sea el tiempo en función de distancia

(30) P: Lo que acaba de decir es lo mismo

(31) C y D: Ahh

(32) D: Entonces ya sabemos

(33) P (le dice a Carol): Pero no confunda lo que dijo. Usted dijo que el tiempo depende de la

distancia

(34) D (le dice al profesor de forma enfática): No, la distancia depende del tiempo. La

distancia se obtiene en función del tiempo [GM].

El proceso de objetivación iniciado en la actividad 1 (Tabla 1) continúa, el grupo incluye la palabra función a sus razonamientos, ahora ya en la relación entre distancia vertical de la piedra (respecto a la línea horizontal que pasa por el centro de la llanta) y el tiempo.

Objetivación del Saber de Función Trigonométrica 184

Al final de la línea 27, Carol de forma rítmica y cambiando la entonación dice “función de” describiendo un movimiento de brazos catalogado como un gesto metafórico. Este gesto se divide en dos partes, en la palabra “función” ella usa la mano izquierda para denotar algo, un objeto no sensible, y cuando dice “de” utiliza la mano derecha con la misma connotación. Ella usa movimientos de manos para, reforzar su idea (que está verbalizando) de que una magnitud está en función de la otra, es decir, reconoce ambas magnitudes (en un lado y la otra en el otro), además reconoce la relación que hay entre ambas. De una forma empírica, es como si Carol relacionara el dominio y el rango, ella no es consciente de ello, pero al verse obligada a intentar explicar algo que no es obvio para ellos, establece la relación de dos magnitudes, de dos conjuntos numéricos que se relacionan a través de dicho gesto metafórico. Es claro que la relación de dependencia establecida por Carol “el tiempo en función de distancia” (línea 29) está al contrario, sin embargo esto se corrige en las líneas 33 y 34. Es de notar que esta corrección fue rápida y casi de inmediato, lo cual difiere a lo realizado en la actividad 1 (Tabla 1), donde también establecieron una relación de dependencia contraria y tomaron más tiempo (desde la línea 1 a la 17) y esfuerzo para identificar su error y tomar conciencia de la correcta variación de la relación de dependencia, esto es, las líneas 33 y 34 denotan “una contracción de la actividad semiótica anterior, lo que da lugar a una vinculación más refinada de los recursos semióticos” (Radford, 2023a, p. 125), es decir, una contracción semítica, la cual la cataloga Radford (2023a) como “un fenómeno que considero una prueba del aprendizaje” (p. 125).

Gracias al proceso de objetivación realizado previamente en la Actividad 1, el grupo corrigió rápidamente el mismo error en esta Actividad 15 (Tabla 3, líneas 33 y 34) realizando un proceso de contracción semiótica en el encuentro con las formas histórico culturales de pensar y

Objetivación del Saber de Función Trigonométrica 185

actuar matemáticamente sobre la variación de magnitudes en una relación de dependencia periódica.

Más adelante en la línea 34, Danna replica de cierta manera el GM de Carol. Danna establece que “la distancia se obtiene en función del tiempo”, ella tiene su brazo derecho apoyado en la mesa de forma vertical, cuando dice “tiempo” mueve el brazo alejándolo del cuerpo, lo que permite entender de cierta forma que el tiempo está allá y la distancia está acá y que algo llamado función está entre ambos, por lo que el movimiento del brazo de ir del conjunto de partida al de llegada se puede considerar como el movimiento entre estos conjuntos, como la relación entre sí.

Danna considera esta relación como una ley de correspondencia entre magnitudes variables de una forma dinámica y no como una elemental secuencia de pares ordenados, la cual describe una imagen estática del concepto de función (Sierpinska, 1992). Danna replicó el gestó de Carol, por lo que este gesto se configuró como un transmisor de información, reforzó lo que le quería decir Carol al profesor, de forma que tuvo su impacto en Danna, por lo que ella corporizó su discurso de forma similar para evocar la misma.

Análisis General El abordaje inicial del saber de función trigonométrica a partir de un análisis contextual y empírico de las relaciones de dependencia emergentes en fenómenos periódicos, propone una didáctica diferente a la desarrollada normalmente en clase de trigonometría (Arango y Pérez, 2024). En este se privilegia el razonamiento intuitivo más que el axiomático, como plantea Sierpinska (1992, p. 28) respecto a los preliminares a la función matemática: “los estudiantes deben estar más interesados en variabilidad y búsqueda de las regularidades antes que en ejemplos y definiciones elementales de funciones que son introducidos en el aula de clases”, por

Objetivación del Saber de Función Trigonométrica 186

lo que ella manifiesta que la primera condición para el entendimiento de las funciones es tomar conciencia de la existencia del mundo de los cambios o de cambio de los objetos y de las relaciones entre estos.

Cabe precisar que, un enfoque operacional precede naturalmente al estructural, por lo que en el aula de clase “los nuevos conceptos no deben ser introducidos en términos estructurales” (Sfard, 1992, p. 69), esto ya que la idea de función se da naturalmente de forma intuitiva, lo que obedece a un enfoque operativo y no abstracto o axiomático. El problema al que se enfrentaron los estudiantes se acoge fuertemente a estos planteamientos al privilegiar la habilidad del estudiante de pensar en un objeto como un proceso antes de considerar la habilidad de pensar en dicho objeto como una entidad abstracta ya dada (Arango y Pérez, 2024). En esta categoría estructural se privilegió la experiencia sensual de los estudiantes al enfrentarse a sucesos de variabilidad periódica (en lugar de comprensiones analíticas o axiomáticas) al buscar una toma de conciencia de un suceso periódico tan normalizado que los estudiantes, inicialmente (y como era de esperarse), se enfocaron más en la acción que en la razón de la acción (Arango y Pérez, 2024). Para llegar a procesos de objetivación de tomas de conciencia profundas, se debe hacer énfasis en la razón de la acción, al respecto Vygotski plantea que lo más complejo y significativo es la toma de conciencia sobre ella misma. Cuando lo abstracto, se articula a través del lenguaje y otros MSO (y aún más si están orquestados), adquiere una claridad que no tenía antes, lo que posibilita una toma de conciencia profunda. Es claro el proceso de objetivación que se realizó. El saber referente a la relación entre magnitudes variables periódicas, hace parte de un saber de mayor envergadura denominado funciones trigonométricas (Arango y Pérez, 2024). De esta actividad aparece el conocimiento: una forma intelectual-material de hacer y reflexionar sobre lo que se necesita para comprender

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relaciones de magnitudes variables periódicas y que es al mismo tiempo sensual y sensible, material e ideal (Radford, 2023). Lo que se reveló es una forma singular, una forma desarrollada y permitirá al profesor y a los alumnos continuar su aventura en su investigación del saber matemático de funciones trigonométricas (Radford, 2023).

Mediante la actividad desarrollada, y al seguir los planteamientos de Sierpinska (1992), los estudiantes realizaron procesos de objetivación necesarios para abordar el saber de función trigonométrica: al mostrar a los estudiantes la conceptualización inicial de una función, no de forma explícita, sino a partir de modelos de relaciones que se pueden observar en el contexto, los estudiantes realizaron procesos de objetivación iniciales (respecto a este objeto matemático) al verbalizar los objetos cambiantes (qué y cómo lo hacen) y al diferenciar cantidades constantes de las variables y en estas últimas diferenciar la relación de dependencia entre dichas cantidades variables. Aunque de una forma tal vez escueta, los estudiantes razonaron sobre la acción, tomaron conciencia, percibieron y verbalizaron (además del uso de otros MSO) objetos cambiantes, fueron capaces de decir no sólo que cambia sino como lo hacen (Sierpinska, 1992). En síntesis, los estudiantes realizaron procesos de objetivación enrutados a la objetivación del saber de función trigonométrica, al realizar procesos de toma de conciencia gradual respecto a las relaciones de dependencia de magnitudes variables en contextos periódicos, ya que cuando se habla de magnitudes variables en ciencias se debe concebir una función como la relación entre dichas magnitudes variables (Sierpinska, 1992). Por lo que este pequeño pero significativo proceso de objetivación inicial respecto a fenómenos de variación periódica, es innegablemente necesario para poder analizar los procesos de objetivación respecto al saber de función trigonométrica (Arango y Pérez, 2024).

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Cabe recordar el carácter dialéctico e interconectado entre las diferentes categorías estructurales, con lo que en esta categoría estructural, la objetivación de este saber denominado las formas histórico-culturales de pensar y actuar matemáticamente sobre la variación de magnitudes en una relación de dependencia periódica no finaliza con esta actividad, se permea y enriquece en el encuentro con los demás saberes emergentes en el desarrollo de la unidad didáctica, Cantoral (2013) plantea que:

[…] la construcción del concepto de variación es un proceso difícil y lento, pues requiere la integración de distintos campos simbólicos, numéricos, algebraicos, analíticos, visuales, gráficos y geométricos, así como una adecuada comprensión de procesos matemáticos específicos, como: número, variable, constante, parámetro, función, límite, continuidad, derivada, integral, convergencia, representación e infinito para tener una adecuada construcción de las nociones de cambio y la variación. (p. 45)

Por otro lado, aunque las formas histórico-culturales de actuar y pensar matemáticamente sobre la variación de las magnitudes en una relación de dependencia periódica emergieron indirectamente a lo largo de la unidad didáctica, esta se desarrolló de manera experiencial y empírica durante el problema 1 (e inicio del 2), por lo que los GM y GI fueron protagonistas. Al estabilizar las formas de pensamiento que estaban emergiendo, el lenguaje multimodal se hizo necesario e inconsciente a través del gesto al reforzar el discurso verbal, esto es, el pensamiento se movió al encuentro de dicho saber a través de la actividad fenomenológica, esto al reconocer el pensamiento como “una re-flexión, es decir, un movimiento dialéctico entre una realidad constituida histórica y culturalmente y un individuo que la refracta (y la modifica) según las

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interpretaciones y sentidos subjetivos propios” (Radford, 2006, p. 108) a través de artefactos, corporalidad, signos, etc.

Esto era de esperarse ya que, como se planteó en el marco teórico y metodológico, el orden epistemológico en el que se dan los procesos de tomas de conciencia es de lo concreto a lo abstracto (Sierpinska, 1992; Sfard, 1992; Dubinsky y Harel, 1992; Breidenbach et al.,1992; Weber et al., 2008). En concordancia, en los procesos de objetivación identificados (de carácter operacional) los estudiantes hicieron uso del lenguaje corporal para explicar cosas que no son tan evidentes, cosas que están en sus mentes, pero son complejas de comunicar debido a su nivel de agenciamiento.

En consecuencia, los estudiantes lo manifestaron a través de sus cuerpos, con gestos no obvios ya que no existe un lenguaje corporal legitimado para corporizar sus ideas, por lo que se dan implícitamente una serie de gestos metafóricos e icónicos que intentan dar coherencia al discurso verbal. Además, en estos procesos de objetivación, primaron los debates críticos y las reflexiones antes que los cálculos (o los análisis a los cálculos), por lo que no había oportunidad para realizar gestos deícticos; sin embargo, al corporeizar el lenguaje, que es implícito de la naturaleza humana, se veían obligados a usar dichos gestos metafóricos e icónicos, de nuevo, para darle peso, validez y claridad a su lenguaje verbal.

Representación Gráfica De Un Movimiento Periódico La representación gráfica en el plano cartesiano del saber de función trigonométrica, además de ser un MSO que merece especial atención (Alves y Noronha, 2020), es un requisito para ir al encuentro de dicho saber (Sierpinska, 1992; Cantoral, 2013; Montiel, 2013; Weber et al., 2008). A lo largo de esta categoría se puede apreciar que, al seguir el objetivo de las preguntas, el grupo se enfocó en analizar y comprender el movimiento periódico de la piedra en

Objetivación del Saber de Función Trigonométrica 190

la llanta de la bicicleta de Thomás mediante la construcción (principalmente empírica) y síntesis de su representación en un plano cartesiano (que relacionara las magnitudes distancia vertical y tiempo) antes de privilegiar el limitado hecho de construir dicha gráfica, por lo que no se desconoce el enfoque operacional de la unidad conceptual y contextual. Esto es, no se centró en obtener la curva en el plano cartesiano sino en lograr “el conjunto de ideas, apoyos geométricos, mediciones, razonamientos numéricos, tablas y operaciones que se realizan para llegar a la gráfica” (Montiel, 2013, p. 47).

Actividad 4 y 5 (Pregunta 1-2) Después de finalizar el problema uno el cual fomentó de forma general una exploración empírica del movimiento circular que realiza la piedra en la bicicleta de Thomás en el que el grupo estuvo atento a la variación de las posibles magnitudes que intervienen en el fenómeno periódico cíclico descrito en la unidad contextual y conceptual, el grupo se adentró en la pregunta 1-2. A partir del problema 2, el análisis se centró en dos magnitudes: el tiempo y la distancia vertical de la piedra respecto a la línea horizontal imaginaria que pasa por el centro de la llanta, la pregunta 1-2 se enfocó entonces en bosquejar en un plano cartesiano dicha relación, sin datos cuantitativos, solo a partir de los procesos de objetivación realizado y al hacer uso de su experiencia, de lo que puedan razonar de un movimiento común y familiar para ellos, el movimiento circular de la llanta de una bicicleta.

Al inicio el grupo se sentía cohibido ya que planteaban que era problemático describir dicho comportamiento sin cuantificadores, a lo que el profesor les manifiesta que dicha descripción se puede hacer cualitativamente y migrar dicho comportamiento a un plano cartesiano sin cuantificadores ¡es un bosquejo! (decía el profesor), el profesor para facilitar el análisis, les dice que se enfoquen en los 4 puntos especiales (cada 90°): les dice que dividan la

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llanta en cuartos e inicien el movimiento desde la posición que se encuentra más a la derecha que puede tomar la piedra en la llanta (0°) y a partir de ahí, seguir una dirección antihoraria cada 90°, establecer un valor arbitrario de tiempo y distancia vertical para cada punto hasta dar una vuelta completa. Ahí inicia el análisis el grupo.

Tabla 4 Actividad 4 y 5: Lenguaje multimodal al encuentro de la representación gráfica del movimiento periódico. Preguntas 1-2 Actividad 4 / Sesión 3 / Tiempo 1:08:07 – 1:08:37 / Pregunta 1-2 Línea Lenguaje multimodal

(35) P: Toda esta es la línea horizontal [GIDO – señala con un lápiz la línea horizontal en el

bosquejo de la rueda que ellos hicieron, Figura 11]. Cuando la piedra está acá [GIDO

– señala con un lápiz la posición con altura máxima que puede tomar la piedra,

Figura 11] la distancia vertical es de acá hasta acá [GIDO – señala con un lápiz primero la posición con altura máxima que puede tomar la piedra y luego el centro de la rueda, Figura 11]. Si la piedra estuviera acá [GIDO – señala con un lápiz un punto arbitrario en la circunferencia de la rueda entre 90° y 180°, Figura 11] ¿Cuál sería la distancia que estamos midiendo?

(36) M: No sé

(37) C (No dice nada, pero hace un gesto): [GI – ubica su mano y antebrazo derecho en

posición vertical]

(38) P: Pues de acá hasta acá sí [GIDO – señala primero la posición arbitraria en la

circunferencia de la rueda entre 90° y 180° y luego verticalmente baja y señala el punto sobre la línea horizontal]

(39) C y M (al unísono): Ahhh

(40) P: Pero ahora acá ¿cuál es la distancia de ahí hasta la línea horizontal? [GIDO – señala

posición más a la izquierda que puede tomar la piedra en la rueda, Figura 11].

(41) C: ¿De aquí hasta la línea horizontal? Cero

(42) P: Cero, sigan pensando (y se retira, invitando al grupo, implícitamente, seguir y a

realizar un mayor esfuerzo abstracción) Actividad 5 / Sesión 3 / Tiempo 1:13:54 – 1:18:25 / Pregunta 1-2 Línea Lenguaje multimodal

(43) P (el profesor vuelve y al ver que no tienen un proceso claro dice): Digamos que empiece

desde acá [GIDO – señala posición más a la derecha que puede tomar la piedra en la rueda, Figura 11] ¿Ahí cuánto es la distancia?

Objetivación del Saber de Función Trigonométrica 192

(44) S: Cero [GIDO – señala posición más a la derecha que puede tomar la piedra en la

rueda, Figura 11]

(45) M, C y D: Cero

(46) P: Cero, listo. Digamos que esto (el movimiento de la llanta) empieza así [GI – realiza

una flecha en sentido antihorario], cuando llegue acá [GIDO – señala con un lápiz la posición con altura máxima que puede tomar la piedra, Figura 11] pasó un tiempo ¿Ahí cuánto es la distancia?

(47) S: [GIDO – señala el centro de la rueda y luego lo mueve en forma vertical hasta el

punto con altura máxima que puede tomar la piedra en la llanta, Figura 11] seria el radio

(48) P: Seria radio. Ahora sigue acá [GIDO – señala posición más a la izquierda que puede

tomar la piedra en la rueda, Figura 11] ¿Y ahí la distancia es cuánto?

(49) D, C y M (al unísono): Cero

(50) M: Bien (con entonación efusiva)

(51) P: Sigan [GIDO – señala con un lápiz la posición más inferior que puede tomar la

piedra, Figura 11] ¿Dónde ponen ese?

(52) C y D: Otro tiempo y vuelve a subir a radio (en el plano cartesiano)

(53) M: ¿No bajaría? (contradiciendo a Danna y Carol)

(54) C (entiende lo que dice Michell): Si este es positivo ¿Este no sería negativo? (compara la

distancia vertical de la posición de la piedra con altura máxima con su posición más inferior)

(55) D: según ellos baja radio (le dice al profesor)

(56) P: Haga ese dibujo a ver como seria

(57) D: (GI - Danna intenta hacer el bosquejo de la gráfica en el plano cartesiano en el

cuaderno)

(58) P: ¿Eso es para una vuelta?

(59) D: Si

(60) P: Casi pero no. Vuelva a pensar, les quedo muy cerca. Una clave ¿Cuándo da una vuelta

completa dónde termina?

(61) S: Acá [GIDO – señala posición más a la derecha que puede tomar la piedra en la rueda,

Figura 11]. Terminaría en cero

(62) P: Terminaría en cero

(63) M: Entonces esto se eliminaría [GIDO – señala en el plano cartesiano la parte que

representa un cuarto de vuelta después de dar una vuelta, Figura 11], yo creo que terminaría acá [GIDO – señala en el plano cartesiano el punto que representa correctamente el final de una vuelta, Figura 11]

(64) P: Esa es la gráfica para una vuelta

(65) M: Lo logramos [GI – Se ríe y aplaude]

Objetivación del Saber de Función Trigonométrica 193

(66) D: Entendimos chicos [GI – chocan sus manos en signo de aprobación]

(67) M: Entre todos

Figura 11 Respuesta pregunta 1-2. Bosquejo (cualitativo) del fenómeno periódico

En la Actividad 4 y 5 los estudiantes construyen un bosquejo en el plano cartesiano a partir de la representación de la llanta de la bicicleta de Thomás sin hacer uso de herramientas complejas dadas, sin uso de tabla de valores, expresiones algebraicas o razones trigonométricas. Es decir, hacen una construcción con base al movimiento de la piedra en sí, con base a la

Objetivación del Saber de Función Trigonométrica 194

experiencia del movimiento circular de la rueda de la llanta. Por consiguiente, dicho proceso de construcción del comportamiento de la piedra en la rueda de Thomás fue significativo. Inicialmente la actividad se enfoca en materializar la variable distancia vertical (𝑑!) ¿exactamente desde donde a donde se mide? ¿exactamente cuál es la 𝑑! a la que se refiere la pregunta? El grupo inicia entonces un proceso empírico de análisis sobre la 𝑑!, específicamente sobre su característica periódica. La actividad se desarrolla en torno a describir el comportamiento de la distancia vertical de la piedra cada 90° en la el bosquejo circular de la llanta para poder extrapolar ese comportamiento a la representación abstracta que ofrece el plano cartesiano.

Es así como en la línea 35 el profesor establece la distancia vertical no numéricamente sino geométricamente. Él corporiza eso que ajeno a los sentidos, a través de sus gestos él convierte ese objeto abstracto “distancia vertical” en un objeto concreto, sensible para los estudiantes al mostrar gráficamente la distancia vertical de la piedra cuando está se encuentra a 90° (para el resto de la tarea, los 5 problemas, en la representación circular de la llanta se tomará como punto de inicio del movimiento el punto que se encuentra más a la derecha, 0°, al seguir una dirección antihoraria).

Al preguntar el profesor por la distancia vertical en la posición 180° Carol no dice nada (línea 37), pero el solo hecho de hacer el gesto icónico de poner su mano y antebrazo derecho en posición vertical, demuestra entendimiento y sincronía con lo enunciado el profesor al exteriorizar a través de su cuerpo la respuesta de forma gráfica (geométrica) no numérica, lo anterior está en concordancia con el proyecto didáctico planteado en esta pregunta, al favorecer un proceso de toma de conciencia gráfica más que numérica.

Objetivación del Saber de Función Trigonométrica 195

Sin embargo, su respuesta no es correcta, al disponer su brazo en posición vertical inherentemente asigna un valor a dicha distancia vertical, por lo que el profesor dice “pues de acá hasta acá sí [GIDO – señala primero la posición arbitraria en la circunferencia de la rueda entre 90° y 180° y luego verticalmente baja y señala el punto sobre la línea horizontal]” (línea 38), esto con la intención de no coartar la actividad y el conocimiento que está emergiendo. Esto repercute en una toma de conciencia, al relacionar la distancia vertical de la piedra atribuida a una posición arbitraria sobre la circunferencia con su representación corporizada a través de un GI, Carol y Michell toman conciencia de dicha la representación en la circunferencia de la distancia vertical, esto con la expresión “ahhh” (línea 39), lo cual se debe tomar como el punto final de un proceso de toma de conciencia, como el aparecimiento repentino en sus conciencias, entendiendo esta como “el proceso subjetivo emocional, afectivo, por medio del cual cada uno de nosotros como individuos reflexiona sobre el mundo y se orienta en él” (Radford, 2017b, p. 122).

Resulta pertinente subraya que este GI realizado por Carol en la línea 37 transmitió más información que el realizado por el segundo GIDO realizado por el profesor en la línea 35, en ambos casos se pretendió representar la distancia vertical, pero el GI conlleva un nivel de corporeización de mayor complejidad que el solo hecho de señalar, el GIDO realizado por el profesor consistió en señalar la distancia vertical al buscar focalizar la atención del grupo en ella, mientras que el GI realizado por Carol buscaba representar un atributo de ella: representar – materializar corporalmente – la orientación de dicha distancia vertical (Tamayo et al., 2018). Al darle tramite a la pregunta del profesor respecto a la distancia vertical de la piedra después de haber recorrido 180° y después de realizar el proceso de toma de conciencia esbozado, Carol establece que dicha distancia vertical (𝑑!) es “cero” (línea 41), lo cual es

Objetivación del Saber de Función Trigonométrica 196

correcto. El profesor entonces se retira e invita al grupo continuar con el compromiso hacia la actividad (línea 42).

Posteriormente el grupo al intentar representar el movimiento en el plano cartesiano, el profesor se percata que aún el proceso de toma de conciencia del grupo no es claro. La actividad se retoma de una forma más rápida y concisa al establecer eficazmente la 𝑑! para 0° (líneas 43 a 46). Inclusive al preguntar por la 𝑑! para 90° (línea 46), Samuel a través de un GIDO representa que dicha distancia en la circunferencia simboliza “el radio” (línea 47), lo cual advierte sobre la interrelación contextual entre la variable distancia vertical en el movimiento circular de la piedra con su representación a través de objetos geométricos-simbólicos y abstractos, a su vez que al hacer uso del cuerpo, específicamente con un gesto icónico deíctico ocular (GIDO) promueve y estabiliza el aprendizaje al dar redundancia en el mensaje (Tamayo et al., 2018). Al verbalizar que dicha distancia vertical es el radio, Samuel relaciona su representación geométrica (un segmento de recta vertical) con un objeto concreto, con el radio de la bicicleta de Thomás, lo cual se puede considerar un inicio del proceso de objetivación hacia el reconocimiento de las formas histórico culturales de pensar y actuar matemáticamente sobre la variación de la distancia vertical en un fenómeno periódico cíclico, hecho que a su vez es primordial para poder extrapolar su comportamiento (de forma empírica) al plano cartesiano. Montiel (2013) establece que “la cantidad trigonométrica se despojará de su carácter geométrico-estático cuando pase de ser la medida de una línea en el círculo a una cantidad cuya ley de variación describa un movimiento particular” (p. 26). Con este planteamiento, se puede apreciar que el grupo identificó la variación (geométrica) de la distancia vertical (media cuerda) cada 90°, descartó el carácter estático de dicha distancia vertical y le otorgó su real connotación

Objetivación del Saber de Función Trigonométrica 197

dinámica al visualizar su movimiento y su variación, con lo que se inició un proceso dinámicoperiódico de variación en donde la función trigonométrica está implícita. La actividad continúa, el profesor de nuevo pregunta por la 𝑑! asociada a 180° (línea 48), a lo que Danna, Carol y Michell no dudan en responder al unísono: “cero” (línea 49), al percatarse que su respuesta es correcta a través de la expresión del profesor, Michell responde con efusividad “bien” (línea 50). A partir de estas formas de interacción social y cooperación humana evidenciadas, se infiere el interés y compromiso de Michell en la actividad conjunta, a su vez que exhibe un proceso de toma de conciencia y un proceso de subjetivación manifiesto. En un proceso de subjetivación —al intentar posicionarse en una práctica matemática— los estudiantes recurren al saber matemático. Y precisamente aquí entran en juego los procesos de objetivación. Recíprocamente, al participar en un proceso de objetivación — al tratar de encontrarse con el saber cultural— los estudiantes son llevados a posicionarse frente al saber, y este posicionamiento es parte de los procesos de subjetivación. Este entrelazamiento de los procesos de objetivación y subjetivación no es más que una expresión práctica del hecho de que el aprendizaje consiste inevitablemente en conocer y llegar a ser. (Radford, 2023a, p. 250)

El profesor continúa y les pregunta por la 𝑑! para 270° (línea 51), a lo que responden “otro tiempo y vuelve a subir a radio (en el plano cartesiano)” (línea 52), lo cual genera debate en el grupo, Michell replica “¿No bajaría? (contradiciendo a Danna y Carol)” (línea 53), a lo que Carol plantea “si este es positivo ¿Este no sería negativo?” (línea 54), admitiendo como razonable y verdadero lo establecido por Michell. Es así como ella establece la correspondencia entre la parte de arriba en el esquema de la llanta con lo positivo en el eje y en el plano cartesiano

Objetivación del Saber de Función Trigonométrica 198

y lo negativo en el mismo con la parte inferior (la que está abajo de la línea horizontal imaginaria) de la llanta. Se insinúan entonces procesos iniciales de objetivación en cuanto a la representación en el plano cartesiano del fenómeno periódico, esto al reconocer la objetivación como “un proceso social a través del cual el individuo progresivamente se hace críticamente consciente de las formas codificadas de pensar y hacer; durante dicho proceso se forma y se transforma la conciencia” (Radford, 2017b, p. 123).

En aras de dar continuidad a este proceso de actualización del dicho saber, el profesor los invita a realiza el bosquejo en el plano cartesiano nuevamente (línea 56). Danna toma la vocería y realiza el bosquejo en el plano cartesiano de 𝑑!(𝑡), ella hace un cuarto de vuelta más, es decir, ella graficó una vuelta y un cuarto de vuelta y estableció que ese bosquejo era el de una vuelta completa. Por lo que para finalizar el profesor pregunta “¿Cuándo da una vuelta completa dónde termina?” (línea 60), a lo que Samuel se apresura, señala y establece que “terminaría en cero” (línea 61), refiriéndose a 0° (o lo que es lo mismo 360°), a lo que Michell concluye “entonces esto se eliminaría [GIDO – señala en el plano cartesiano la parte que representa un cuarto de vuelta después de dar una vuelta, Figura 11], yo creo que terminaría acá [GIDO – señala en el plano cartesiano el punto que representa correctamente el final de una vuelta, Figura 11]” (línea 63).

Se aprecian los procesos de objetivación mencionados ya que, al enfocarse en la distancia vertical y el tiempo, los estudiantes iniciaron un proceso de abstracción (de toma de conciencia inicial) al iniciar un proceso simbólico geométrico de imaginar distancias verticales respecto a la línea horizontal en la llanta que evidentemente no está (no son objetos sensibles, concretos) pero a través de la actividad conjunta van adquiriendo dicha característica. La distancia vertical y la línea horizontal inician un proceso de convertirse en objetos de conciencia, es así como este

Objetivación del Saber de Función Trigonométrica 199

proceso de objetivación se configura como “un proceso colectivo, sensual, sensible y material a través del cual se produce la aparición y toma de conciencia” (Radford, 2020a, p. 24) de una forma histórico-cultural de representar en el plano cartesiano la variación de la distancia vertical (media cuerda) respecto al tiempo.

Este episodio de actividad esbozado en estas líneas se puede considerar el inicio del proceso de toma de conciencia, de objetivación, de la representación gráfica en el plano cartesiano de un fenómeno periódico de magnitudes variables y dependientes ya que se debe entender “la graficación como una forma de interpretar el sentido y significado de las funciones y de sus propiedades desde una perspectiva cognitiva” (Cantoral, 2013, p. 46). Es de añadir que esta representación gráfica se construye a partir de un análisis verbal, cualitativo, no cuantitativo, lo que supone un análisis profundo al comprender de diferentes formas: verbal, gráfico y esquemático la variación de la distancia vertical al variar el tiempo. Al reconocer en las líneas de las transcripciones el compromiso del grupo hacia la actividad, al reconocer su esfuerzo por resolver la necesidad común que se les anteponía, es claro que esta actividad se configura como un nodo semiótico, esto ya que “la atención, conciencia y comprensión matemática de los estudiantes se mueven hacia el objeto de la actividad” (Radford, 2023a, p. 124), en el que los recursos semióticos de distinto tipo pasaron a desempeñar un papel crucial en el encuentro con las formas histórico-culturales de pensar y actuar matemáticamente sobre la representación gráfica de un movimiento periódico.

El grupo hizo uso del esquema de la piedra en la llanta (registro semiótico) para intentar comprender mejor la variación de la relación distancia vertical y tiempo (Figura 11). Esto indica que el video causó un impacto positivo (pregunta 2-2, Actividad 6), fue significativo, no solo por recrear algo susceptible al contexto y experiencia de los estudiantes, sino al tenerlo allí en el

Objetivación del Saber de Función Trigonométrica 200

tablero, al ser un material concreto que pudieron manipular, reproducir, avanzar, retroceder, pausar y dibujar en él, se convirtió en un artefacto, en una herramienta, que utilizaron en esta Actividad 4 y 5 para llegar dar solución a la necesidad colectiva que se les antepone, migrar el comportamiento de esta relación 𝑑!(𝑡) a una grafica en el plano cartesiano. De este modo, tras la actividad entre el docente y el grupo, fue posible bosquejar el comportamiento de la relación 𝑑!(𝑡) de la piedra en el plano cartesiano. En este proceso de objetivación (gradual que apenas empieza) de la representación en el plano cartesiano de un fenómeno periódico cíclico, por la característica dialéctica del mismo saber, emergieron procesos de tomas de conciencia en cuanto al reconocimiento geométrico de la distancia vertical que va al encuentro del saber mayor que es la variación de la distancia vertical en un fenómeno periódico cíclico y el reconocimiento grafico de la periodicidad de la piedra en la llanta de la bicicleta de Thomas desde dos representaciones: el bosquejo de la llanta y su representación en el plano cartesiano.

Finalmente, las líneas 65 a 67 dan muestra clara de procesos de subjetivación, de la manifestación de la ética comunitaria en esta actividad. A lo largo de la actividad realizada, el grupo estuvo enfocado a su necesidad común de resolver la pregunta, el grupo y el profesor fueron al encuentro de ciertas determinaciones del saber de función trigonométrica, en donde paralelamente se dieron muestras de la ética comunitaria: cuidado del otro, atención al llamado del otro y reconocimiento de cada sujeto; lo cual da muestra a su vez de procesos de subjetivación al mostrar la flexibilidad del grupo a las ideas y formas de expresión de cada uno de los integrantes, donde cada uno tiene su lugar y es respetado al comunicarse activamente. De este modo, se promueve un espacio para la subversión que permite la transformación del sujeto y su realidad (Radford, 2006).

Objetivación del Saber de Función Trigonométrica 201

Al final de la actividad, cuando los estudiantes ven reflejado que su esfuerzo, su obra común fue satisfactoria, después de altibajos y por qué no decirlo, de frustraciones, ese esfuerzo, esa actividad se concretó en un objeto de conciencia, en un concepto que ahora habita en cada uno de ellos al revelarse el saber en la conciencia de los estudiantes, a su vez al materializarse el conocimiento a través de la actividad (Radford, 2023a).

Ese objeto de conciencia (Gegenstand), es un objeto que fue fruto de una actividad – que se estaba configurando como labor conjunta –, es un objeto en el cual los estudiantes se reflejan y lo sienten como la exteriorización de sus necesidades, es decir, un objeto no alienante; este objeto es la representación (bosquejo) en el plano cartesiano de la variación de la relación 𝑑!(𝑡) de la piedra en la bicicleta de Thomás (Figura 11), el cual se convirtió para cada uno de los estudiantes en “conocimientos vivos, [que] serán ‘órganos de su individualidad’ genuinos y, a su vez, determinarán su relación respecto al mundo” (Leontiev, 1984, p. 246). Es así como se realizó un proceso de objetivación al transformar parcialmente ese objeto cultural denominado formas histórico-culturales de pensar matemáticamente sobre fenómenos periódicos a través de las funciones trigonométricas, en un objeto de conciencia denominado formas histórico-culturales de pensar y actuar matemáticamente sobre la representación gráfica de un movimiento periódico cíclico.

Dicho objeto es significativo no solo por dar solución a la necesidad común (solución de la pregunta), sino porque dicha representación no solo es la del movimiento circular de la llanta de la bicicleta de Thomás, es de cada uno – constituido por el uso de múltiples modos de lenguaje (Tamayo et al., 2018) – este objeto se extrapola a experiencias vivenciales en fenómenos circulares de cada uno.

Objetivación del Saber de Función Trigonométrica 202

Esa felicidad, esas risas, esos signos de satisfacción y aprobación (líneas 65 a 67) son una muestra clara y sincera de aprobación común, de solución a una necesidad grupal, es el punto final de un largo proceso de objetivación y subjetivación, es sencillamente, alegría (alegría en el salón de clases de matemáticas).

Esto es la concreción de un proceso de subjetivación (y por ende de objetivación): es el cierre de una “transformación en el aula de clases de matemáticas en un espacio político, es decir, un espacio de cooperación critico reflexivo” (Radford, 2023b, p. 62) donde los estudiantes se suman en procesos democráticos, de colectividad, solidaridad e inclusividad. De esta forma, a partir de una necesidad común, la actividad fue tomando connotaciones de constituirse en labor conjunta caracterizada por “las formas de cooperación humana que están emergiendo entre los integrantes. Formas de cooperación humana que están basadas en el compromiso, la solidaridad y la responsabilidad hacia el otro” (Pantano, 2020a, p. 125). Actividad 9 (Pregunta 4.1-2) Posterior a la actividad realizada en la que el grupo recreó la relación 𝑑!(𝑡) de forma empírica y sin datos cuantitativos en el plano cartesiano, ahora se les solicita migrar la información de la tabla de valores obtenida a partir del video proyectado en el tablero del aula de clases (pregunta 2-2) a un plano cartesiano, pero antes de hacerlo, en esta pregunta (4.1-2) deben reflexionar sobre el significado contextual de un punto en el plano cartesiano: ¿Qué representa un par de datos registrados en la tabla (de distancia y tiempo en este caso) en el plano cartesiano? ¿Qué representa en el contexto del ejercicio? Esto con el fin de dotar de significado la gráfica en el plano cartesiano que posteriormente construirán con los datos de la tabla de valores, la cual “es considerada la forma más antigua de representar relaciones o mapeos” (Sierpinska, 1992, p.

49).

Objetivación del Saber de Función Trigonométrica 203

Tabla 5 Actividad 9: Lenguaje multimodal al encuentro de la representación gráfica del movimiento periódico. Preguntas 4.1-2 Actividad 9 / Sesión 5 / Tiempo 41:15 – 1:02:48 / Pregunta 4.1-2 Línea Lenguaje multimodal

(68) P: ¿Un par de datos (de la tabla) en el plano cartesiano qué es? Por ejemplo, estos dos

datos [GIDO – señala el primer par de datos de la tabla construida en la pregunta 2-2, Figura 12] en un plano cartesiano ¿qué es?

(69) C: Distancia y tiempo [GI – con los brazos y de forma rítmica, primero levanta el brazo

izquierdo en forma vertical y luego el derecho de forma horizontal]

(70) P: ¿Pero esos dos datos en el plan cartesiano qué es? ¿Qué representa en el plano

cartesiano?

(71) S: Un punto

(72) P: Un punto. Y ese punto ¿Qué representa en el contexto del ejercicio?

(73) C: Es algo que tiene que ver con la piedra

(74) P: Claro

(75) C: El punto en el que está ubicada la piedra en ese momento [GM], en ese tiempo

(76) P: Si le entiendo, pero eso que estás diciendo se resume con otra palabra ¿Qué otra cosa

podría ser?

(77) C (le dice a Danna): Danna piensa, estás elevada

(78) D: Perdón ya [GI – se ríe]

(79) P: Así como lo están planteando, bien (se retira)

(80) C: En una palabra ¿Cuál palabra?

(81) P (el profesor regresa después de unos minutos y al ver que aún están divagando dice):

Ese punto en el plano cartesiano, entre los demás representa

(82) C: Un movimiento

(83) P: Un movimiento no, porque el movimiento sería todo

(84) S (interrumpe al profesor): Una ubicación

(85) P: Una ubicación ¿una ubicación de qué?

(86) C y S (al unísono): de la piedra

(87) P: ¿entre cuántos?

(88) C: ¿12 o 13?

(89) P: Entre las 13 distintas posiciones que están registradas en la tabla

Objetivación del Saber de Función Trigonométrica 204

(90) C: Ahh, vale

Figura 12 Respuesta pregunta 2-2. Tabla de valores de 𝑑! y 𝑡 recopilados del video

En la línea 68 el profesor busca que el grupo conceptualice sobre el significado contextual de un par de datos de la tabla de valores (Figura 12), a lo que Carol a partir de su corporalidad (GI) establece que representa una distancia vertical y un tiempo específico (línea 69), de forma rítmica ella al decir “distancia” pone su brazo izquierdo de forma vertical y luego cuando dice “tiempo” pone el brazo derecho en forma horizontal junto al izquierdo, formando así un cuadrante del plano cartesiano, por lo que este GI le permitió atribuir de determinaciones concretas el significado contextual de un punto en el plano cartesiano. Es preciso indicar que esta determinación concreta al materializar el plano cartesiano con un GI (línea 69) – al igual que todas las demás determinaciones expuestas – da muestra del carácter impredecible de la actividad. La manera en que el saber se va haciendo presente a través de la actividad en sí (componente Θ), guía el proyecto didáctico (componente Φ), donde ambas componentes de la actividad están en relación dialéctica, coproduciéndose y materializándose en una obra común, es la forma particular de concebir el saber en cuestión. De ahí que, según los hallazgos, las determinaciones concretas fruto de procesos de objetivación (y subjetivación) son causa y efecto de las formas en cómo el saber se materializa y como se da la actividad en sí, es decir, de la refracción particular del saber en los estudiantes.

Objetivación del Saber de Función Trigonométrica 205

Aunque esta respuesta se sale del propósito de la pregunta, el lenguaje multimodal de Carol en la línea 69 es un inicio de una toma de conciencia de la relación entre representaciones: la tabular y grafica. Ella asocia la distancia vertical con el eje de las ordenadas y el tiempo con el eje de las abscisas, con lo que, implícitamente, reconoció el tiempo como la variable independiente y la distancia como la variable dependiente.

Así, esta parte de la actividad puede considerarse un nodo semiótico (enriquecido por la representación abstracta de la tabla y de la gráfica en el plano cartesiano) respecto a la variación de magnitudes en una relación de dependencia periódica, al establecer implícitamente una relación de dependencia entre las variables en el plano cartesiano. Es de mencionar que dicho plano cartesiano no está graficado, no es un objeto concreto, está en el campo de las ideas, de la imaginación, lo que exige un nivel de abstracción mayor.

El profesor busca tomas de conciencia profundas, por lo que pregunta “¿Pero esos dos datos en el plan cartesiano qué es? ¿Qué representa en el plano cartesiano?” (línea 70), a lo que Samuel plantea “un punto” (71) y es complementado por Carol “el punto en el que está ubicada la piedra en ese momento [GM], en ese tiempo” (línea 75). El GM de Carol es un esfuerzo por exteriorizar su idea en el momento, de identificar un momento, un instante inherentemente puntual, estacionario, estático, en el movimiento dinámico de la piedra, a través de este GM Carol dota de características concretas ese ente abstracto denominado “punto en el plano cartesiano” en el marco de la unidad contextual y conceptual, esto ya que: […] los estudiantes emplean los gestos metafóricos para expresar y representar conceptos al incorporarles un significado, lo que los convierte en una representación complementaria del lenguaje oral. Por lo tanto, los gestos metafóricos pueden contribuir

Objetivación del Saber de Función Trigonométrica 206

al andamiaje de conceptos científicos, esto recae principalmente en su característica altamente representativa. (Tamayo et al., 2018, p. 95)

En la línea 76 el profesor sabía que el planteamiento de Carol era correcto, sin embargo, insistió, la presionó, no para manipular su modo de pensar, sino para buscar tomas de conciencia profundas. El profesor ofrece al grupo una forma diferente de abordar el problema, una forma intencionada hacia el objeto de la actividad, hacia su desarrollo espontáneo, histórico y cultural, el profesor ofrece “a los estudiantes otra forma de ver el problema (una forma histórica y culturalmente constituida de pensar los problemas matemáticos) para que los estudiantes lo consideren desde su perspectiva emergente” (Radford, 2023a, p. 248). Lo cual permite reconocer la invitación del profesor al grupo a comprometerse con el proyecto didáctico, a su vez reconoce la otredad y el interés en la subjetividad del estudiante.

Aunque de cierta forma el profesor tenía claro que el pensamiento de Carol estaba correcto, él buscaba una toma de conciencia más clara a través de la verbalización coherente e intencionada, esto al reconocer que hay cosas de las que se están más conscientes que otras, inclusive hay cosas que se hacen mecánicamente, por tanto, hay tomas de conciencia más profundas que otras, las cuales cuando se articula a través del lenguaje multimodal, ese algo adquiere una claridad que no tenía antes, allí se hace una toma de conciencia más profunda (Vygotski, 2015) al reconocer que “la actividad intelectual del estudiante, mediada por el empleo de diferentes modos del lenguaje, estructura el pensamiento” (Tamayo et al., 2018, p. 38). El profesor entonces, invita al grupo a realizar una toma de conciencia profunda, comprometiéndose con la actividad.

Objetivación del Saber de Función Trigonométrica 207

Al continuar con el análisis de los procesos de subjetivación emergentes, en la línea 77 Carol dice: “Danna piensa, estas elevada”, esto se toma como una invitación de Carol a Danna para que se integre, la percibe ajena a la dinámica del grupo, la invita a ser parte activa de él, la reconoce como parte del mismo (Lasprilla et al., 2021).

Entre las líneas 82 y 90, el grupo y el profesor llegan a un consenso sobre el significado contextual de la representación de un par de puntos en la tabla de valores en el plano cartesiano, por lo que estudiantes a través de la unidad contextual, conceptual y problematizadora, confirieron de sentido los puntos en el plano cartesiano, concebido este como un objeto matemático que está aún en la imaginación.

El grupo atribuyó de sentido este objeto matemático abstracto: punto en el plano cartesiano, a través del proceso de objetivación realizado, el grupo conceptualizó un punto en el plano cartesiano como “una ubicación” (línea 84) “entre las 13 distintas posiciones que están registradas en la tabla” (línea 89), el grupo reconoció un punto en el plano cartesiano como una posición específica (𝑑!) de la piedra en un tiempo determinado, lo cual lo explican con el segundo par de datos de la tabla (ver Figura 13).

Figura 13 Respuesta pregunta 4.1-2. Significado contextual de un punto en el plano cartesiano

Objetivación del Saber de Función Trigonométrica 208

Al determinar qué representa en el contexto de la unidad didáctica un par de datos en la tabla en el plano cartesiano, el proceso de objetivación se configuró a través de la actividad realizada mediante la cual se realizó un proceso de abstracción al relacionar una representación matemática como lo que es un punto en el plano cartesiano con un fenómeno contextual y susceptible a la realidad histórica-cultural de los estudiantes, esto es, al interrelacionar dos formas abstractas de representar un movimiento periódico y posteriormente al relacionar esta representación con la unidad contextual.

Se generan entonces dos indicios que van al encuentro del saber de función trigonométrica según Sierpinska (1992), Cantoral y Montiel (2014), Altman y Kidron (2016), Maldonado et al. (2004) y Weber (2005): primero la interrelación entre diferentes representaciones de una función trigonométrica y segundo la interrelación dichas representaciones y el contexto, donde este último da sentido y significado a la representación abstracta del fenómeno periódico.

Actividad 10 y 11 (Pregunta 4.3-2) Ya haber tomado ya conciencia del significado contextual de un punto en el plano cartesiano (Actividad 9 – pregunta 4.1-2), los estudiantes procedieron a ubicar los 13 puntos en el mismo (pregunta 4.2-2), ahora en la pregunta 4.3-2 se disponen a debatir si esos 13 puntos registrados en el plano cartesiano representan el movimiento completo de la piedra. Esto con el objetivo de iniciar un proceso de pensamiento infinitesimal hacia la construcción de la función trigonométrica de variable real, en donde se debe tener cierto grado de conciencia en cuanto al carácter denso y continuo de los números reales, en este caso, desde un contexto significativo y a partir de magnitudes físicas.

Objetivación del Saber de Función Trigonométrica 209

Tabla 6 Actividad 10 y 11: Lenguaje multimodal al encuentro de la representación gráfica del movimiento periódico. Pregunta 4.3-2 Actividad 10 / Sesión 6 / Tiempo 10:26 – 20:53 / Pregunta 4.3-2 Línea Lenguaje multimodal

(91) C: Entonces, escribimos que sí (respondiendo la pregunta 4.3-2: ¿Esos 13 puntos

representan el movimiento completo de la piedra?)

(92) S: ¿Pero si es el movimiento completo?

(93) C: Claro ¿Esto es qué? La vuelta de arriba y ¿Esto es qué? la vuelta de abajo [GIDO –

primero recorre con el dedo los puntos que están sobre el eje x, luego recorre con el dedo los puntos que están debajo del eje x, Figura 14]. Eso es una sola vuelta ¿Nosotros de donde sacamos los 13 puntos? De la vuelta completa

(94) C: Ahora ¿Por qué?

(95) S: Porque empieza en el punto cero y termina en el punto cero

(96) C (le pregunta a Danna): Entonces ¿Esos 13 puntos representan el movimiento completo

de la piedra?

(97) D: Sí, porque cada punto representa una fracción del recorrido de la piedra

(98) C: Cada punto representa un segmento del recorrido de la piedra

(99) P (el profesor se acerca y lee lo escrito en el cuaderno): “Sí porque cada punto representa

un segmento del recorrido”. Las preguntas de hoy van a estar entrelazadas, de manera que una pregunta posterior puede modificar lo escrito acá. Entonces avancemos con las demás preguntas Actividad 11 / Sesión 7 / Tiempo 2:30 – 11:56 / Pregunta 4.3-2 Línea Lenguaje multimodal (100) P (El profesor realiza una sesión grupal respecto a la pregunta 4.3-2): Entonces ¿Qué representa un par de datos registrados en la tabla (Figura 12)? (101) X (Un estudiante de otro grupo): un punto en el plano cartesiano (102) P: Bien, ahora un punto en el plano cartesiano ¿Qué representa? (103) X (Un estudiante de otro grupo): Una ubicación (104) P: Una ubicación, una posición de la piedra en un tiempo específico. Al construir una gráfica donde ubicaron 13 puntos … (105) C: Ahhh (106) P: Entonces ¿Esos 13 puntos qué representan?

(107) C: Las 13 posiciones … (108) P (Aún en plenaria grupal): Las 13 posiciones de la piedra en una vuelta. Ahora bien ¿Será que esas 13 posiciones representan el movimiento completo? ¿Entre dos tiempos consecutivos de la tabla la piedra se teletransporta? ¿Entre esos dos puntos no existe nada? Obviamente sí. Faltaban muchos más puntos, faltaban muchas posiciones por graficar ¿cuántas posiciones faltaban?

Objetivación del Saber de Función Trigonométrica 210

(109) D: Infinitas (110) P: Infinitas posiciones (111) P (ahora ya en la pregunta 4.5-2, el profesor se acerca al grupo): Recuerden que tienen que graficar la gráfica completa para dos vueltas y recuerden que eso (refiriéndose a la gráfica de la pregunta 4.2-2, Figura 14) no es la gráfica completa (112) D: Es la mitad (113) C: Una sola vuelta (114) P: Pero igual no es completa (115) D: Ah, porque los puntos son infinitos (116) P: ¿Cómo harían para hacer eso?

(117) D: ¿Entonces cómo graficamos infinitos puntos? (118) P: ¿Infinitos puntos qué es?

(119) C: Varias posiciones (120) D: Una línea (121) P: Sí ¿Qué es una línea? Una sucesión de infinitos puntos (122) D: Ahh (123) P: Y ahora sí esta (refiriéndose a unir los puntos de la gráfica de la pregunta 4.2-2, Figura 14] sería una vuelta completa

Nota: Los sujetos X son estudiantes de otros grupos que participaron en la plenaria grupal.

Figura 14 Respuesta pregunta 4.2-2. Representación gráfica en el plano cartesiano de la relación 𝑑!(𝑡) al ubicar los 13 puntos de la tabla de valores

Después de realizar un bosquejo de la relación distancia vertical y tiempo solo a través de razonamientos intuitivos y experienciales sin herramientas matemáticas como tablas de valores o

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expresiones algebraicas (Figura 11) y después de otorgar de significado un punto en el plano cartesiano (par ordenado entre distancia vertical y tiempo) al contextualizarlo en el fenómeno periódico que describe la piedra en la llanta de la bicicleta de Thomás (Actividad 9), el grupo en la pregunta 4.2-2 migró los datos de la tabla de valores a un plano cartesiano (Figura 14), lo cual no debe tomarse como un proceso somero, ya que la conversión de un registro a otro: […] requiere una acción intencionada y consciente del profesor. De la misma manera exige del estudiante una regulación metacognitiva para su aprendizaje. Los cambios de registro forman parte de una buena enseñanza y no pueden considerarse procesos automáticos de quien enseña y de quien aprende. (Tamayo et al., 2018, p. 38)

El grupo sigue de esta manera el desarrollo histórico-cultural del saber, inicialmente a partir de la geometría del fenómeno en el marco de un enfoque operacional agéntico (sin entrar en detalle y posibilitado por la capacidad del individuo) seguido por atribuciones más complejas a dicho fenómeno, como lo es la cuantificación del mismo que posibilita un análisis profundo de la variación. Cantoral (2013) plantea que después de una inmersión inicial topológica “el niño está capacitado para transferir a su espacio representacional atributos euclidianos de los objetos, tales como longitudes de líneas o tamaño de ángulos” (p. 46), es a partir de este momento que se inicia un análisis profundo respecto a la variación de las magnitudes ya que como él mismo plantea “la construcción del concepto de variación es un proceso difícil y lento, pues requiere la integración de distintos campos simbólicos, numéricos, algebraicos, analíticos, visuales, gráficos y geométricos” (p. 45).

Con esta grafica (Figura 14) que esboza no solo una variación geométrica y comportamental – como en la Figura 11 – sino aritmética, los estudiantes desarrollaron una

Objetivación del Saber de Función Trigonométrica 212

“visión analítica de la representación gráfica de la función (…) identificando la función con su representación geométrica (…) esta representación fue concebida como una composición de puntos (𝑥, 𝑦) donde 𝑥 y 𝑦 están relacionados cada uno de alguna forma” (Sierpinska, 1992, p. 52), en donde este proceso de graficar la relación periódica entre distancia vertical y tiempo en el plano cartesiano exhibe no solo una visión analítica sino dinámica de una función, esto al procesar – gráficamente – las variables independientes para obtener las variables dependientes (Sierpinska, 1992), lo que permite obtener la representación gráfica (discreta) de la relación funcional entre distancia vertical y tiempo.

Es así como los procesos de objetivación realizados hasta el momento bajo un enfoque operacional se materializaron en esta representación gráfica estructural de la relación distancia vertical y tiempo. Este objeto de conciencia fue posible gracias a su previo enfoque operacional a raíz del trabajo con objetos familiares entorno al saber de función trigonometría (Sfard, 1992), tales como las vivencias previas y propias al montar bicicleta, el video proyectado en el tablero (el cual pudieron manipular, medir y dibujar en él al ser proyectado en el tablero) y la tabla de valores fruto del mismo. Sin embargo, es claro que “sin la habilidad de pensar estructuralmente, el aprendiz se sentiría a menudo perdido” (Sfard, 1992, p. 66), la exclusión del enfoque estructural o del operacional del desarrollo conceptual del saber repercute en un agenciamiento pobre del estudiante, en una objetivación efímera y con vacíos que invisibilizan el carácter dialéctico entre ambos enfoques, lo cual no ocurrió en este caso.

Al continuar con la pregunta 4.3-2, aunque su intención era tomar conciencia sobre la densidad de los puntos en el plano cartesiano asociados a un valor de distancia vertical y tiempo específicos en el movimiento circular de la piedra en la bicicleta de Thomas, Carol en la línea 93 realiza un proceso de toma de conciencia diferente.

Objetivación del Saber de Función Trigonométrica 213

En su lenguaje multimodal ella plantea “¿Esto es qué? La vuelta de arriba y ¿Esto es qué? la vuelta de abajo [GIDO – primero recorre con el dedo los puntos que están sobre el eje x, luego recorre con el dedo los puntos que están debajo del eje x, Figura 14]. Eso es una sola vuelta ¿Nosotros de donde sacamos los 13 puntos? De la vuelta completa” (línea 93). Carol continúa así el proceso de objetivación de ir al encuentro de la representación gráfica en el plano cartesiano del movimiento circular iniciado en la Actividad 4 y 5 al bosquejar cualitativa y empíricamente dicho movimiento (Figura 11).

Carol en la presente Actividad 10 relaciona la parte superior de la gráfica en el plano cartesiano (Figura 14) con el respectivo movimiento de la piedra en la parte superior de la llanta y de igual manera relaciona la parte inferior de la gráfica en el plano cartesiano (Figura 14) con el respectivo movimiento de la piedra en la parte inferior de la llanta. Según los planteamientos de la TO, mediante su lenguaje multimodal (verbal y gestual), Carol dota de determinaciones concretas esa potencialidad, materializándose de esa manera el conocimiento respecto a la identificación de un ciclo en la representación gráfica de un movimiento periódico y es “solamente como tal, como conocimiento, que el saber puede ser un objeto sensible de pensamiento y como tal ser modificado y ampliado” (Radford, 2017a, p. 109). Esto es, ese general, ese “saber en sí” denominado las formas histórico culturales de pensar y actuar matemáticamente sobre la representación gráfica de un movimiento periódico cíclico se configuró parcialmente en un singular, en un “saber para sí” al materializar – verbal y gestualmente – la forma senoidal en el plano cartesiano para un ciclo del fenómeno periódico (Radford, 2017b).

Carol identifica entonces la representación gráfica en el plano cartesiano de dicho movimiento circular, esto posibilitado por la inmersión vivencial en el video proyectado en el

Objetivación del Saber de Función Trigonométrica 214

aula de clases del movimiento de la piedra ya que ella finaliza su exposición al exponer que “eso es una sola vuelta” (línea 93) – refiriéndose a los dos movimientos realizados en el plano cartesiano – y continúa: “¿Nosotros de donde sacamos los 13 puntos? De la vuelta completa” (línea 93), es decir, del video del cual se obtuvo la tabla de valores y a través de la cual se ubicaron los 13 puntos en el plano cartesiano. De ahí que, el proceso de objetivación de la identificación de esta forma particular y específica en el plano cartesiano de un ciclo de un movimiento circular, es fruto del enfoque operacional y de la riqueza conceptual, contextual y problematizadora de la unidad didáctica.

Ahora bien, referente al significado contextual de un punto en el plano cartesiano, en la línea 98 el grupo establece que “cada punto representa un segmento del recorrido de la piedra”, lo que se puede interpretar como una desconexión del grupo respecto a lo realizado en la pregunta 4.1-2 (Actividad 9) donde establecieron que un punto en el plano cartesiano representa “el punto en el que está ubicada la piedra en ese momento [GM], en ese tiempo” (línea 75), o lo que es lo mismo “una ubicación” (línea 84) “entre las 13 distintas posiciones que están registradas en la tabla” (línea 89).

El proceso de toma de conciencia realizado en la Actividad 9 sufre un revés, el materialismo dialéctico lo llama contradicción, lo cual como ya se ha establecido, en el marco de la TO un error no implica una falla sino una oportunidad de realizar procesos de objetivación profundos y significativos “la contradicción es vista como el motor que empuja la actividad hacia adelante y la mantiene en movimiento” (Radford, 2023a, p. 115). Los datos constatan lo referenciado en el marco teórico respecto a que los procesos de objetivación no son lineales o constantes y a veces tampoco secuenciales, estos pueden pausarse, sufrir retrocesos al disminuir

Objetivación del Saber de Función Trigonométrica 215

su grado de toma de conciencia, potenciarse estrepitosamente a través de una actividad coherente y significativa y más.

En las líneas 97 y 98 el grupo no continuaron la senda iniciada en el proceso de objetivación realizado en la Actividad 9 respecto a la magnitud distancia vertical, en estas líneas el grupo reconoció solo la palabra “distancia” y la relacionaron inconscientemente con distancia rotacional (como un arco de la circunferencia en la trayectoria circular que realiza la piedra en la llanta), la cual sí se podría tomar (de cierta manera) como ellos plantean : “cada punto representa un segmento del recorrido de la piedra” (línea 98).

Esto puede ser debido a que al final del problema uno, en su inmersión empírica y general al movimiento circular, tenían la posibilidad de escoger dos magnitudes variables identificadas en el movimiento y analizarlas, ellos en ese momento escogieron distancia rotacional y tiempo (Actividad 1) o distancia rotacional y ángulo (Actividad 2) para realizar algún un acercamiento matemático atado a sus vivencias al movimiento circular que reproduce la piedra en la llanta.

Por lo que los procesos de tomas de conciencia respecto a la distancia vertical aún conllevan reminiscencias de los análisis empíricos previos de la distancia rotacional, esta diferenciación entre los comportamientos de ambas distancias se acentuará con el transcurso del desarrollo de la unidad conceptual y contextual.

El profesor al leer la respuesta del grupo de la pregunta 4.3-2, les dice: “las preguntas de hoy van a estar entrelazadas, de manera que una pregunta posterior puede modificar lo escrito acá. Entonces avancemos con las demás preguntas” (línea 99). Esto no se debe tomar como desinterés del profesor, o como una renuncia en la obra común que realiza con el grupo; el profesor como bien lo menciona, les dice que el análisis de las siguientes preguntas otorgará

Objetivación del Saber de Función Trigonométrica 216

claridad a esta pregunta (lo cual es normal en un proceso didáctico dialéctico de este tipo que está inmerso en una unidad contextual y conceptual), los invita así a estar atentos a los siguientes debates que surjan, a las siguientes argumentaciones que se den en el grupo para poder retomar esta pregunta.

De la línea 100 a 110 el profesor realiza una plenaria grupal (discusión general, Figura 5) en donde compañeros de otros grupos hacen aportes a dicha discusión (línea 101 y 103) y a su vez los integrantes del grupo (unidad de estudio) también hacen aportes y entre todos sintetizan lo desarrollado en la pregunta 4.3-2.

Al realizar la retroalimentación sintáctica se estableció que “un punto en el plano cartesiano” (línea 101) representa “una ubicación” (línea 103), “una posición de la piedra en un tiempo específico” (línea 104), por lo que al construir el plano cartesiano a partir de los 13 puntos de la tabla de valores representan “13 posiciones” (línea 107) dice Carol. El profesor continúa “¿Será que esas 13 posiciones representan el movimiento completo? ¿Entre dos tiempos consecutivos de la tabla la piedra se teletransporta? ¿Entre esos dos puntos no existe nada? Obviamente sí. Faltaban muchos más puntos, faltaban muchas posiciones por graficar ¿cuántas posiciones faltaban?” (línea 108), a lo que Danna responde – aún en la plenaria grupal – “infinitas” (109). El discurso sintético del profesor en la línea (108) no se debe considerar como una clase magistral conductual, se debe considerar como el punto final de una construcción intergrupal de la actividad.

El grupo en la línea 93 había establecido que el movimiento completo de la piedra es representado en el plano cartesiano por los 13 puntos ubicados en él (Figura 14) debido a su coherente análisis respecto a la relación entre los diferentes registros semióticos que representan un ciclo de la piedra, es decir: contexto (histórico-cultural), representación circular (potenciada

Objetivación del Saber de Función Trigonométrica 217

por el video), tabla de valores y grafica en el plano cartesiano, lo cual repercutió en una omisión del carácter infinitesimal del movimiento y por ende en la densidad de los puntos en el plano cartesiano, sin embargo, en la plenaria grupal – al conocer las perspectivas de sus pares de otros grupos – iniciaron un proceso de toma de conciencia respecto a la inconmensurabilidad de los puntos en el plano cartesiano (posiciones que toma la piedra en su movimiento circular). Al finalizar la plenaria grupal el profesor se acerca al grupo. Desde la línea 111 a la 123 se materializa finalmente un proceso de toma de conciencia al reconocer la inconmensurabilidad de los datos registrados en un plano cartesiano iniciado en la Actividad 9 (Tabla 5), esto al realizar procesos de objetivación “en el curso del cual el objeto cultural (Objekt), hasta ahora no reconocido o encontrado, se transforma en un objeto de consciencia (Gegenstand)” (Radford, 2023a, p. 96).

Esto es, en el curso del saber denominado las formas histórico-culturales de actuar y pensar matemáticamente sobre la representación gráfica de un movimiento periódico cíclico, a través de procesos de actividad este saber adquirió connotaciones concretas – como el reconocimiento contextual de la inconmensurabilidad de los datos registrados en un plano cartesiano (y la identificación de la forma senoidal que representa un ciclo en el plano cartesiano) – lo que permitió su transformación de un objeto cultural (potencial) en un objeto de conciencia, lo cual es muestra del proceso de toma de objetivación realizado. Así pues, ante la necesidad de responder a la pregunta, los estudiantes se introdujeron en una actividad intelectual, por lo que se generó “una movilización de una de las funciones psíquicas superiores, el pensamiento (…) [el cual] es consecuencia de la dialéctica existente entre sujeto y la realidad objetiva”. (Quintero, 2018, p. 72)

Objetivación del Saber de Función Trigonométrica 218

El grupo logró tomar conciencia, antes de graficar en el plano cartesiano, que un par ordenado de datos de la tabla de distancia vertical y tiempo (Figura 12) representan un punto en el plano cartesiano, a su vez, este representa una ubicación específica de la piedra en un tiempo determinado, por lo que al graficar los 13 puntos en el plano, se obtienen 13 posiciones específicas, los cuales no representan el movimiento completo de la piedra en la llanta, para ello se deben graficar infinitos puntos “¿Entonces cómo graficamos infinitos puntos?” (línea 117), Danna cuestiona, respondiéndose seguidamente “una línea” (línea 120), lo cual es reafirmado por el profesor “sí ¿Qué es una línea? Una sucesión de infinitos puntos” (línea 121). Seguidamente el grupo une los 13 puntos de la gráfica de la pregunta 4.2-2 (Figura 14) con una línea ondulada y traza la gráfica completa (Figura 15).

Figura 15 Respuesta pregunta 4.5-2. Grafica en el plan cartesiano de la relación 𝑑!(𝑡) de las infinitas posiciones que puede tomar la piedra en dos ciclos.

Nota: Los números naturales del 1 al 24 fueron añadidos para facilitar el análisis.

1 5 13 17

2 4 14 16

3 15

6 12 18 24

7 11 19 23

8 10 20 22

9 21

Objetivación del Saber de Función Trigonométrica 219

El proceso de objetivación iniciado al migrar los datos de la tabla de valores en los 13 puntos dispuestos en el plano cartesiano que permitían entrever la forma ondulada (Figura 14) – que no representaba un movimiento continuo sino discreto – se complementó a través de determinaciones más complejas con este análisis infinitesimal.

Los estudiantes al tomar conciencia de que la gráfica de la Figura 14 no representaba el movimiento completo de la piedra y al contextualizar un punto en el plano cartesiano con “una ubicación” (línea 84) específica de la piedra en un tiempo específico, posibilitó desarrollar una compleja “visión analítica de la representación gráfica de la función … identificando la función con su representación geométrica … esta representación fue concebida como una composición de puntos (𝑥, 𝑦) donde 𝑥 y 𝑦 están relacionados cada uno de alguna forma” (Sierpinska, 1992, p. 52), lo que permite obtener la representación gráfica continua de la relación funcional entre distancia vertical y tiempo (Figura 15).

En consecuencia, lejos de tener como objetivo principal la acción de graficar el comportamiento de 𝑑!(𝑡) en el plano cartesiano, el grupo, al superar el impase de las líneas 91 a 98, logró tomar conciencia (de una forma significativa) de la representación gráfica en el plano cartesiano del movimiento de la piedra respecto a las variables 𝑑! y 𝑡 (inicialmente de una forma empírica y luego a través de la tabla de valores), a su vez lograron iniciar un proceso de reconocimiento complejo del carácter infinitesimal de dicho movimiento. Esto permitió encuentro con el saber de función trigonométrica de variable real y sentó los primeros cimientos en cuanto a la densidad y continuidad de una función de variable real (Quintero, 2018). Es necesario mencionar que entre las líneas 100 y 123, al igual que en la Actividad 9, se dio un proceso de significación contextual y cultural de un punto en el plano cartesiano, lo cual, según los planteamientos de Sfard (1991, 1992), permitió una concepción operacional del saber

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de función trigonométrica al esbozarse un proceso computacional grafico (dinámico) al ubicar punto por punto (previamente contextualizado en el marco de la unidad didáctica) en el plano cartesiano.

Posteriormente, en este mismo proceso, se puede apreciar una concepción estructural del saber de función trigonométrica al concluir ese objeto concreto, esa curva discreta en el plano cartesiano (Figura 14), que es en síntesis la composición de dichos puntos, de dichos pares ordenados dotados de significado.

Finalmente, luego de tomar conciencia del carácter infinito de los puntos (de las ubicaciones de la piedra) que componen dicha gráfica, en la pregunta 4.5-2, el grupo graficó la curva completa “generada por el movimiento de un punto” (Caraça, 1951, p. 195), un punto en el plano cartesiano que seguía una trayectoria senoidal (ondulada) que obedecía las ubicaciones de un punto contextual, es decir, de la piedra en la llanta de la bicicleta de Thomás al realizar una trayectoria circular.

Esta curva entonces se configura como un artefacto y una herramienta significativa, como una obra común desalienante en la que cada uno de los integrantes del grupo se ven reflejados (Radford, 2023a), constituida a través de su lenguaje multimodal el cual permite construir significado (Tamayo et al., 2018, p. 58), a su vez que se entiende el proceso de graficación (en el plano cartesiano en este caso) “como una forma de interpretar el sentido y significado de las funciones y de sus propiedades desde una perspectiva cognitiva” (Cantoral, 2013, p. 46). Actividad 14 (Pregunta 4.6-2) Después de que el grupo llevara a cabo un proceso de toma de conciencia sobre el significado contextual de un punto en el plano cartesiano al atribuir de significado la gráfica en el plano cartesiano (Actividad 9), procedieron a ubicar los 13 pares de datos de la tabla (Figura 12)

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en el plano cartesiano (Figura 14) y luego, al reconocer el carácter infinitesimal del movimiento de la piedra (Actividad 10 y 11), trazaron la gráfica completa para dos ciclos. Ahora – en la pregunta 4.6-2 – procedieron a analizar de qué manera dicha gráfica completa para dos ciclos modifica la tabla realizada previamente en la pregunta 2-2, lo que da continuidad a la toma de conciencia respecto a que el movimiento de la piedra se basa en posiciones infinitas asociadas a infinitos puntos en el plano cartesiano.

En esta Actividad 14 se continúa el proceso de objetivación de las Actividades 10 y 11 respecto a la infinidad de posiciones (y tiempos) que puede tomar la piedra en la llanta de la bicicleta de Thomás al cuestionar cómo afecta la infinidad de puntos – valores de distancia vertical y tiempo – en la gráfica en el plano cartesiano a la tabla de valores que fue su precursora. Tabla 7 Actividad 14: Lenguaje multimodal al encuentro de la representación gráfica del movimiento periódico. Preguntas 4.6-2 Actividad 14 / Sesión 7 / Tiempo 1:08:46 – 1:14:35 / Pregunta 4.6-2 Línea Lenguaje multimodal (124) P: ¿Cómo es la 4.6?

(125) D: Se le agregan los datos en la misma secuencia como se obtuvieron los datos de la primera vuelta (126) P: ¿Entonces cómo quedaría la tabla (Figura 12)?

(127) C: Con 26 datos (128) P: Piensen en eso, pero hagan de cuenta que la tabla está así [GI – con la mano izquierda tapa la segunda vuelta del plano cartesiano] hasta ahí. Ahora ¿Cómo altera esta grafica completa la tabla? [GIDO – con un lápiz el profesor recorre la gráfica de la primera vuelta de la piedra en el plano cartesiano]

(129) P: ¿Qué le pasa a la tabla con esta grafica? Porque la tabla (Figura 12) es esta gráfica [GIDO – señala con el dedo la gráfica de la pregunta 4.2-2, Figura 14]. Y esta grafica corresponde perfectamente con la tabla de ustedes (130) C: Sí y esta también ¿No?

(131) P: No

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(132) M: Puntos infinitos (133) P: (a medida que se aleja del grupo) ¡Va por ahí, va por ahí! (134) S: Sí, yo pensé en eso (riéndose) (135) C: ¿Cómo altera? Que podemos observar que estos puntos no son los únicos que recorre la piedra (136) D: Eso, eso, eso (efusivamente) (137) C: Que hay más puntos… (138) D: (interrumpe a Carol) Que esos puntos representan solo una ubicación de la piedra no la representa toda (139) P: (el profesor se acerca y lee la respuesta) Eso está muy bien ¿Entonces cómo debería ser la tabla?

(140) D: Infinita (141) C: Claro (142) P: Infinita

El grupo al establecer que la gráfica completa – de la relación 𝑑!(𝑡) – de la piedra para dos ciclos altera la tabla de valores con 13 pares de datos más, por lo que quedaría con “con 26 datos” (línea 127), exhibe un proceso de toma de conciencia insuficiente en cuanto a la densidad de los números reales (atribuidos a valores de distancia vertical y tiempo) en la gráfica en el plano cartesiano. Ese era el objetivo de esta pregunta 4.6-2 (que esta concatenada con las preguntas 4.3-2 y 4.4-2), continuar dicho proceso de toma de conciencia, que no se da en un solo momento o en una sola pregunta, es un proceso gradual.

Las líneas 128 y 129 dan fe de la preocupación y esfuerzo del profesor por conferir determinaciones sensibles a esa potencialidad y posibilitar el conocimiento y con ello la objetivación del reconocimiento del carácter infinito del movimiento (de la piedra). Ambos gestos realizados por el profesor en la línea 128 se pueden considerar gestos icónico deícticos oculares (GIDO) ya que corporizan la intención del profesor por centrar la atención de los estudiantes en un objeto concreto, estos gestos “muestran la importancia de la coherencia del discurso oral con la información que el docente señala y sobre la que quiere llamar la atención” (Tamayo et al., 2018, p. 121).

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En consecuencia, estos gestos: ocultar la parte de la gráfica que representa la segunda vuelta y recorrer con el dedo la gráfica que representa un ciclo (lo cual el grupo, en el orden cronológico del desarrollo de la unidad didáctica, ya había hecho en las líneas 57, 93 y 154 en las Actividades 5, 10 y 12, respectivamente) dotaron de sentido la potencialidad que se soslaya a sus sentidos, materializaron esa “forma inmaterial de la cultura, siempre cambiante, que se entrelaza con el mundo material de los objetos y las acciones humanas” (Radford, 2023a, p. 71), denominada las formas de pensar y actuar matemáticamente sobre la representación gráfica de un movimiento periódico cíclico.

Esta verbalización del profesor con su consecuente corporización, no solo es muestra del compromiso del profesor para llegar al encuentro del saber, sino de responsabilidad al mostrarse vulnerable con el grupo a raíz de su preocupación para llegar a una construcción común que posibilite ir al encuentro de tal saber (Lasprilla et al., 2021), sin mencionar que “en el uso del lenguaje del profesor, en el esfuerzo que realiza para hacerlo comprensible para los estudiantes, en los gestos que utiliza para mostrar las variables, etc., se refleja una expresión del cuidado del otro” (Radford, 2023b, p. 64).

A su vez, dicho lenguaje multimodal propició la objetivación del grupo, el gesto de recorrer con el dedo la gráfica para un ciclo en el plano cartesiano es ya común para el grupo, es sensible ya que ellos mismos lo hacen, por lo que la intercomunicación se realiza de forma simbólica con signos comunes, lo que posibilita ir al encuentro del saber. El profesor se percata que el razonamiento del grupo no está de acuerdo a lo buscado en esta pregunta (especialmente ya que esto de alguna forma ya se había debatido en las Actividades 10 y 11). Por lo tanto, con sus gestos exhibe la primera vuelta (del movimiento de la piedra) dibujada en el cuaderno con el fin de compararla con la tabla (Figura 12). El objetivo de esta acción consiste en que los

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estudiantes identifiquen de manera recurrente la densidad de puntos en la gráfica, en contraste con los trece valores registrados en la tabla.

En la línea 129 el profesor establece que la tabla de valores (Figura 12) corresponde perfectamente con la gráfica de la Figura 14, entonces “¿Qué le pasa a la tabla con esta grafica (completa)?” (línea 129). Michell y Samuel al verbalizar que la clave de la pregunta ronda el concepto de la infinidad de los puntos (líneas 132 y 134), se exponen al resto del grupo; a su vez Carol y Danna los reconocen y acogen, lo cual exhibe el vector responsabilidad en la respuesta del llamado del otro, en la acción de “responder, atender, cuidar o estar al servicio del otro” (Lasprilla et al., 2021, p. 232).

Carol y Danna analizan que el planteamiento de Michell y Samuel estaba acorde con lo esbozado en las Actividades 10 y 11, Carol complementa sus planteamientos al responder la pregunta 4.6-2 ¿Cómo altera la gráfica completa la tabla (Figura 12)?: “podemos observar que estos puntos no son los únicos que recorre la piedra” (línea 135), a lo que Danna responde efusivamente “eso, eso, eso” (línea 136). Danna manifiesta de esa manera su aprobación con lo planteado por sus tres compañeros, reconoce en lo planteado por ellos una estructura coherente respecto a los procesos de objetivación realizados, a lo que añade: “esos puntos representan solo una ubicación de la piedra no la representa toda” (línea 138).

De esta manera el grupo retoma y continúa el proceso de objetivación iniciado en las Actividades 10 y 11, el grupo toma conciencia de una potencialidad inherente y necesaria para ir al encuentro del saber de función trigonométrica: la densidad y continuidad del movimiento (de la piedra) – de forma empírica, con sentido y contextualizada, no abstracta – a través de la representación gráfica en el plano cartesiano de la relación de dependencia 𝑑!(𝑡) de la piedra

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que realiza una trayectoria circular, lo cual lo sintetizaron y concretaron textualmente en la solución de la pregunta 4.6-2 (Figura 16).

Figura 16 Respuesta pregunta 4.6-2. Concepción del movimiento continuo del movimiento periódico de la piedra en la representación tabular y grafica.

En síntesis, se puede establecer que los estudiantes realizaron procesos de objetivación contextuales respecto a la infinidad de puntos en la gráfica en un plano cartesiano, los cuales son circunstanciales al ir al encuentro del saber de función trigonométrica ya que “esta representación [Figura 15] fue concebida como una composición de puntos (𝑥, 𝑦) donde 𝑥 y 𝑦 están relacionados cada uno de alguna forma” (Sierpinska, 1992, p. 52). Este proceso de toma de conciencia permitió a los estudiantes relacionar y discriminar estas dos formas de representar dicho movimiento: la tabla y la gráfica en el plano cartesiano, de forma operacional los estudiantes iniciaron una inherente toma de conciencia entre las diferencias, ventajas y desventajas entre estos dos modos de representación del saber de función trigonométrica, lo cual es relevante ya que “tener conciencia de las limitaciones de cada una de las representaciones y del hecho de que ellas representan el mismo concepto en general son ciertamente condiciones fundamentales de entendimiento de funciones” (Sierpinska, 1992, p. 49), a lo que Tamayo et al. (2018) añaden:

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[…] en la adquisición del conocimiento tanto el uso de diferentes representaciones semióticas como el tránsito de manera consciente e intencionada entre ellas es fundamental, de tal manera que dominar varias representaciones, elegir cuál usar en cierto momento y hacer procesos de conversión y tratamiento, forma parte del aprendizaje. (p. 38)

A su vez, el análisis infinitesimal del movimiento circular se encuentra en relación dialéctica con el saber de las formas histórico-culturales de pensar matemáticamente sobre la representación gráfica de un movimiento periódico circular. Por lo que este proceso de objetivación realizado, al reconocer el carácter infinito del movimiento de la piedra representado por infinitos puntos en el plano cartesiano, fomentó tomas de conciencia profundas respecto a esa representación gráfica, en consecuencia, dicho “saber puede convertirse en un tema de conciencia y pensamiento, y el aprendizaje puede finalmente ocurrir” (Radford, 2023a, p. 92). Análisis General Del recorrido por esta categoría estructural, donde los estudiantes fueron al encuentro de del sistema de arquetipos (Radford, 2023a) denominado formas histórico-culturales de actuar y pensar sobre la representación gráfica del movimiento periódico (circular), es pertinente resaltar que la necesidad primordial del grupo no fue construir dicha representación. Los estudiantes guiados por las metas y objetivos de las preguntas (que responden a la meta y objetivo general de la actividad), a partir de la percepción empírica (debida la naturaleza familiar y común a su naturaleza social de la unidad contextual y conceptual), de forma procesual establecieron conjeturas que fueron legitimadas por ellos mismos a través de criterios de razón (SSSC) y de la ética comunitaria emergente (Radford, 2023a), lo que posibilitó manipular ese conocimiento que

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se les actualizaba gradualmente a través de la actividad, respecto a la variación de magnitudes en una relación de dependencia periódica (específicamente las magnitudes distancia vertical y tiempo).

De esta forma, el grupo y el profesor gradualmente otorgaron determinaciones sensibles – a través del lenguaje multimodal (Tamayo et al., 2018) – a esa potencialidad denominada función trigonométrica que emerge de la relación entre distancia vertical y tiempo. Esta interacción semiótica favoreció la materialización del conocimiento a través de una representación gráfica en el plano cartesiano, esto, ya que “las representaciones gráficas acercan a los alumnos a una mejor comprensión de la noción de función” (Cadavid y Quintero, 2011, p. 104). De nuevo, lejos de construir, como tal, la representación gráfica en el plano cartesiano del movimiento periódico que describe la piedra en la llanta de la bicicleta de Thomás, los estudiantes se enfocaron más en la razón de la acción que en la acción por sí misma (Vygotski, 2009). Debatieron y argumentaron a través de la unidad contextual y conceptual el significado de dicha representación abstracta en el plano cartesiano, esto es, el saber de las formas de pensar y actuar matemáticamente sobre la representación gráfica de un movimiento periódico cíclico se hizo presente en el aula de clase al ponerse en movimiento por el profesor y los estudiantes a través de la actividad, en la cual dicho saber se materializó y se transformó en objeto de conciencia (Radford, 2020b), en una gráfica que representa una función en una forma simbólica e indirecta. Resulta pertinente mencionar que cuando se piensa en una curva representada en un sistema de coordenadas se concibe la función como una relación entre las coordenadas de los puntos de la curva (Sierpinska, 1992).

Es así como el enfoque operacional en el que se sumió el grupo inicialmente – gracias al diseño de la unidad didáctica – repercutió en una representación estructural concreta: la gráfica

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en el plano cartesiano, esto es “los objetos abstractos [enfoque estructural] son para los procesos [enfoque operacional] como imágenes, así como los símbolos lo son para las descripciones verbales” (Sfard, 1992, p. 66)”, en donde el grupo a través de dicha representación gráfica concreta realizó procesos de objetivación más complejos debido a la posibilidad de manipular un objeto concreto fruto de su actividad, es decir, una obra común.

En este orden de ideas y a raíz de los planteamientos de Sierpinska (1992), se establece que los estudiantes concibieron la curva en el plano cartesiano desde una concepción analítica antes que la sintética. A partir de los procesos de objetivación realizados y al reconocer que un gráfico desde el enfoque sintético “es una representación estática que esconde todo el dinamismo de las funciones” (Sierpinska, 1992, p. 52), se establece que los estudiantes no identificaron la relación entre 𝑑! y 𝑡 con su representación en el plano de forma concreta (ya dada), no concibieron dicha relación como objetos geométricos o idealizaciones de líneas en un papel. Mas bien los estudiantes concibieron la función (la relación entre 𝑑! y 𝑡) a través de una curva abstracta en un sistema de coordenadas – que ellos mismos construyeron y dotaron de sentido a través de la unidad contextual y problematizadora – lo que implica que está compuesta de puntos (𝑥, 𝑦), donde 𝑥 y 𝑦 están relacionados de alguna forma, esta composición a partir de puntos se realizó de forma contextual inicialmente de forma discriminada al migrar los datos de la tabla de valores y ubicarlos en el plano cartesiano (Figura 14) y finalmente al analizar la inconmensurabilidad de puntos que componen la gráfica asociados con una posición específica de la piedra incrustada en la llanta de la bicicleta de Thomás en un tiempo específico (Actividad

9, 10, 11, 14).

Al abordar la gráfica desde este enfoque (como una composición dinámica de puntos en el plano cartesiano) se distinguieron las coordenadas de un punto de una curva – al atribuir a

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dicho objeto significado a través de la unidad contextual y narrativa – y los segmentos de línea, lo cual es un indicio hacia el entendimiento del saber de función según Sierpinska (1992). Simultáneamente, el grupo discriminó gradualmente las representaciones de la función trigonométrica (gráfica y tabla). En este proceso, los estudiantes identificaron las posibilidades y limitaciones de cada registro, así como sus relaciones contextuales, lo cual les permitió analizar cómo la variación en una representación repercutía en la otra.

Ahora bien, En la Actividad 15 (pregunta 5-2), los estudiantes debían realizar un escrito que relacionaran las palabras “tabla, grafica (en el plano cartesiano), puntos y función”, en esta Actividad 15 los estudiantes al momento de debatir se enfocaron en la relación de dependencia entre distancia vertical y tiempo, por ello esta Actividad 15 se encuentra en la categoría estructural de variación de magnitudes en una relación de dependencia periódica (Tabla 3). Sin embargo, la respuesta consignada en el cuaderno de esta pregunta (Figura 17), se puede considerar una síntesis del proceso realizado hasta el momento, claramente establecen la relación variacional de dependencia en el fenómeno cíclico, de la cual se obtienen datos de distancia y tiempo que consignaron en la tabla de valores (Figura 12), los cuales migraron al plano cartesiano donde cada punto representa una ubicación específica de la piedra (Figura 14) y al considerar las infinitas posiciones que la piedra puede tomar en el trayecto en la periferia de la rueda de la bicicleta de Thomas (no solo los 13 puntos consignados en la tabla), se puede establecer el movimiento completo de la piedra para un ciclo en el plano cartesiano. A partir de las actividades ya analizadas y de su síntesis esbozada en la pregunta 5-2 (final del problema 2), se puede concebir que, hasta esta parte del análisis (en orden temporal), el grupo ya ha realizado procesos de objetivación graduales en el encuentro con las formas histórico-culturales de pensar matemáticamente sobre: la variación de magnitudes en una

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relación de dependencia periódica, el periodo de la magnitud dependiente en un fenómeno cíclico y la representación gráfica del movimiento periódico. Donde – el flujo dialéctico entre – estos saberes, que en esta parte del análisis ya han sido actualizados para dar paso al conocimiento y aprendizaje, es decir, objetivación, se consideran parte y necesarios para ir al encuentro gradual, procesual y luego estructural de las formas histórico-culturales de pensar matemáticamente sobre fenómenos periódicos a través de las funciones trigonométricas. Figura 17 Respuesta pregunta 5-2. Evolución de la concepción del movimiento continuo del movimiento periódico de la piedra en la representación tabular y grafica.

Periodo En Un Fenómeno Cíclico Una de las categorías estructurales es la de las formas histórico culturales de pensar y actuar matemáticamente sobre el periodo en un fenómeno cíclico. Esto ya que en el proceso de sistematización de datos se identificó que es uno de los saberes que toma mayor presencia a lo largo de los 5 problemas, lo cual se puede explicar a través del diseño histórico-cultural de la unidad didáctica, que se enfocó inicialmente a través de un abordaje operacional, donde era imprescindible privilegiar la característica distintiva de las funciones trigonométricas, su facultad

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de modelar fenómenos periódicos. Por lo que la emergencia de esta categoría estructural es síntoma de un coherente diseño de la unidad didáctica y su consecuente y pertinente abordaje por parte del grupo al sumirse en una perspectiva experiencial y significativa a través de un enfoque operacional (inicialmente).

Actividad 2 (Pregunta 3-1) En el contexto exploratorio empírico del problema uno, en la pregunta 3-1, el grupo seleccionó la magnitud distancia rotacional y ángulo de giro, para explicar su relación en un plano cartesiano. En este episodio de la actividad inician un proceso de toma de conciencia del fenómeno periódico, en el que la magnitud distancia rotacional se repite cada cierto ángulo de giro.

Tabla 8.

Actividad 2: Lenguaje multimodal al encuentro del fenómeno periódico. Pregunta 3-1 Actividad 2 / Sesión 3 / Tiempo 07:50 – 10:00 / Pregunta 3-1 Línea Lenguaje multimodal (143) C (le dice a Carol): Grafique las dos vueltas (144) D: La distancia rotatoria va a llegar a dar la vuelta completa y va a pasar 1 m [GI – hace un movimiento circular en el cuaderno], van a pasar 2 m [GI – continúa el movimiento circular], van a pasar 3 m [GI – realiza un tercer movimiento circular]

(145) C: Ahhh, ahí sí.

(146) C: O sea, el tamaño de la rueda no… (147) D (interrumpe a Carol): No cambia (148) C y D (al unísono): pero sí la distancia que recorre la piedra [GI – ambas hacen el movimiento circular en el aire al tiempo]

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A la luz de la TO el alumno brillante que resuelve problemas con mayor facilidad que sus compañeros pero que es incapaz de explicar o entender o interesarse en las soluciones de los otros o de ayudar a los otros a comprender sus planteamientos está apenas a medio camino del aprendizaje (Radford, 2006), sin embargo, esto no sucede en el grupo. Al percatarse que Carol no entiende la relación entre distancia rotacional y el ángulo de giro que el grupo ha establecido, Danna toma la vocería de explicarle, se muestra resiliente, reconoce sus limitaciones y la cobija, la mira a los ojos y se balanza sobre ella. A su vez Carol, Michell y Samuel responden a esta actitud de Daniela con una actitud de escucha y compromiso, la reconocen con su presencia. Es bajo esta dinámica de grupo, que la actividad va adquiriendo connotaciones de labor conjunta. Al establecer la relación distancia rotacional y ángulo en la pregunta 3-1 (entre las múltiples relaciones entre magnitudes donde una sí varie al variar otra, seleccionen una y recréenla en un plano cartesiano. Expliquen dicha relación a través del grafico del plano cartesiano), el grupo asume que la distancia rotacional en un ciclo de la piedra es de 1 m. Al intentarle explicar dicha relación a Carol, Danna mediante un GI corporiza su explicación, de forma tal que la información que transmite verbalmente se ve potencializada por el gesto, que tiene características rítmicas, el cual se configura como un MSO (Radford, 2023a). Cuando Danna dice “la distancia rotatoria va a llegar a dar la vuelta completa y va a pasar 1 m” (línea 144) recorre una circunferencia que está dibujada en el cuaderno, al decir “2 m” hace el mismo movimiento y al decir “3 m” hace el mismo movimiento, esta cadencia en el gesto, este ritmo que se lleva, esta repetición, genera una congruencia, una orquestación dialéctica entre los distintos lenguajes multimodales exteriorizados, lo cual materializa y evoca tácitamente la

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periodicidad en el fenómeno a través de “un proceso dinámico, sensible, rítmico, concreto, lingüístico, simbólico, corporal” (Radford, 2020a, p. 28).

El lenguaje multimodal realizado por Danna en la línea 144, se configura como un MSO, el cual repercutió en, primero, la toma de conciencia de Carol respecto a lo explicado por Danna: “ahhh, ahí sí” (línea 145), debido a su exposición apoyada por la riqueza conceptual del gesto. Segundo, la dinámica que emerge en la actividad cuando Carol inicia la frase: “o sea, el tamaño de la rueda no (…)” (línea 146) y Danna la complementa: “no cambia” (línea 147), expone la ética comunitaria de cuidado de otro y compromiso hacia la actividad, es decir, exhibe “una actitud y un compromiso de ‘voy a estar’ y ‘voy a hacer lo posible y lo imposible’ para desarrollar de la mejor forma la actividad conjunta” (Lasprilla et al., 2021, p. 234). Y tercero, esta última dinámica dónde ambas compañeras se complementan entre sí, en donde la misma idea que se está materializando, repercute en un gesto sincrónico del mismo saber. En la línea 148, tanto Danna como Carol, describen el mismo GI sincronizado, ambas realizan el mismo movimiento circular en el aire (el cual lo asocian implícitamente con la característica periódica del movimiento) al establecer que “la distancia que recorre la piedra” en su trayectoria circular sí va a variar, pero no el tamaño de la rueda (línea 146). Este gesto (línea 148) se configura como significativo ya que ambas lo realizan de forma independiente y sincronizadas, por lo que se convierte entonces en un potente transmisor – y receptor – de información. Además, refleja de cierta manera la energía que circula en el aula de clase al materializarse dicho saber a través de la actividad que se está desarrollando, actividad que al ir configurándose como labor conjunta es concebida como una “forma de energía que incorpora el flujo de componentes emocionales, afectivos, éticos, intelectuales y materiales, y a partir de la cual las matemáticas aparecen sensiblemente en el aula” (Radford, 2023a, p. 113) a

Objetivación del Saber de Función Trigonométrica 234

través de la cual Danna y Carol fueron al encuentro – tomando a su vez conciencia de ellas gradualmente – de las formas histórico-culturales constituidas de pensamiento matemático sobre el periodo en un fenómeno cíclico.

Se realiza entonces un interesante proceso de toma de conciencia, al mostrar una sincronía corporal – y porque no decirlo, de conciencia – donde ambas estudiantes se sumen en un proceso de objetivación en el encuentro con las formas de hacer y actuar matemáticamente sobre el periodo en un fenómeno cíclico a través de estos MSO. Cabe señalar que: […] objetivación no es el resultado de una simple asimilación de una práctica y de los significados que ésta moviliza; no es tampoco el resultado del quehacer de un individuo que cogita solo, sino un proceso social, en el que nuestra voz y nuestros gestos se enredan en las voces y gestos de los otros. (Miranda et al., 2007, p. 27)

Es de añadir que el gesto inicial (gesto icónico – GI) realizado por Danna en su intervención multimodal (línea 144) que desencadenó la actividad, fue realizado siguiendo la trayectoria de una circunferencia dibujada en el cuaderno, sin embargo, también se puede relacionar con un GIDO ya que apunta a un objeto concreto, sensible. Diferente a la sincronización gestual realizada por Danna y Carol (línea 148) – fruto de su sincronización verbal (líneas 146 y 147) – en la que ambas estudiantes realizaron el mismo gesto (movimiento) en el aire (no hay objeto sensible), por lo que este GI de la línea 148 se puede relacionar con un GIDAP al apuntar y recrear el movimiento circular de un objeto no concreto (la piedra), dicho gesto es crucial “en la constitución de un nuevo reflejo psíquico: la imaginación” (Radford, 2023a, p. 151). Se muestra el paso de un GIDO a un GIDAP, lo cual es un claro proceso de ir de lo concreto a lo abstracto en el sentido epistemológico de dicha relación (Figura 7).

Objetivación del Saber de Función Trigonométrica 235

Estos hallazgos sugieren un proceso de objetivación al ir al encuentro con las formas histórico culturales de pensar y actuar matemáticamente sobre el periodo en un fenómeno cíclico, el cual corresponde a esa “toma de conciencia en el curso de un proceso social, emocional y sensible, mediatizado por la cultura material (signos, artefactos, lenguaje, etc.), los sentidos y el cuerpo (a través de los gestos, acciones kinestésicas, etc.)” (Radford, 2014, p. 142). Esto a partir de una inmersión empírica, experiencial y emocional, que posibilitó la evolución de las ideas cotidianas del grupo hacia ideas científicas, es decir, hacia formas de pensamiento matemático (Cantoral, 2013). Aunque en ningún momento de la actividad se verbaliza exactamente dicha palabra (periódico), sí lo explican e interiorizan. Se entiende la interiorización desde una perspectiva vygotskiana como “un constructo teórico para dar cuenta del vínculo entre el individuo y su entorno” (Radford, 2013, p. 21). Inclusive, pese a que el grupo seleccionó las magnitudes distancia rotacional y ángulo para analizar su relación en la pregunta 3-1, cuya relación es lineal, hicieron una interesante discusión del movimiento circular (donde está implícito el periodo), por lo que, aunque la relación establecida por ellos no apuntaba exactamente a un rasgo oscilatorio, característica propia del saber de función trigonométrica, debatieron sobre el movimiento circular de la piedra, tomando conciencia de ello y de la característica periódica del mismo al identificar sucesos repetitivos. Por lo que el análisis del movimiento circular de la piedra con artefactos simbólicos y especialmente sensibles a su diario vivir privilegiaron y facilitaron una toma de conciencia más compleja del fenómeno periódico del movimiento.

Actividad 12, 13 y 16 (Pregunta 4.5-2 y 1-3) Al sumergirse en el problema 2, donde se debían enfocar en las variables distancia vertical y tiempo, posterior a cuantificar datos específicos del movimiento de la piedra en un

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video proyectado en el tablero del aula de clases en una tabla de valores y migrar dichos datos a un plano cartesiano, en la pregunta 4.5-2 debían trazar la gráfica completa siguiendo el comportamiento del movimiento de la piedra (para dos ciclos) y determinar los valores de 𝑑! y 𝑡 del punto 18 en el plano cartesiano (Figura 15).

En la Actividad 12 y 13 (Tabla 9) se enfocaron en cómo determinar los valores de 𝑑! y 𝑡 para el punto 17 (Figura 15) por solicitud del profesor (línea 161), para lo cual los estudiantes se enfocaron en la simetría de la gráfica para establecer un patrón de comportamiento, es decir, el periodo, para así poder hacer conjeturas coherentes y predecir valores y en general el comportamiento de la gráfica.

Posteriormente, la pregunta 1-3 (Actividad 16 / Tabla 9) debían determinar los puntos de corte con el eje 𝑥, máximos y mínimos de una gráfica ideal dada a partir del periodo conocido, sin embargo, en aras de solucionar esta pregunta, parten de lo ya construido por ellos, parten de la reflexión realizada en la Actividad 12 y 13, donde determinaron valores de tiempo para puntos de la gráfica superiores a una vuelta por medio de los valores de tiempo conocidos para un ciclo que se obtuvieron a partir de la tabla de valores. Estas 3 actividades obedecen a la misma necesidad cultural-académica, determinar los valores de tiempo para los puntos de la gráfica correspondientes a la segunda vuelta de la piedra al reconocer gráfica y numéricamente el patrón de comportamiento periódico del movimiento circular de la piedra. De ahí que estas 3 actividades se configuraron en una sola tabla.

Tabla 9 Actividad 12, 13 y 16: Lenguaje multimodal al encuentro del fenómeno periódico. Pregunta 4.5-

2 y 1-3

Actividad 12 / Sesión 7 / Tiempo 13:34 – 13:57 / Pregunta 4.5-2 Línea Lenguaje multimodal (149) M: Entonces va de 4 (cuadritos) en 5 (cuadritos) (150) S: ¿Como así?

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Actividad 12 / Sesión 7 / Tiempo 13:34 – 13:57 / Pregunta 4.5-2 (151) M: Sí, del origen al primer punto hay 4 cuadritos y de ese punto al segundo hay 5. (152) S: Ahh ya.

(153) D (interrumpe a Michell): Es que depende (154) C (interrumpe a Danna): Pero entonces si la vuelta vuelve al principio entonces el mismo tiempo que se recorre. O sea, digamos que esta es la vuelta [GIDO – recorre la curva senoidal en la con el dedo], sería lo mismo que de acá a acá [GIDO – señala el punto 1 y 12 en la gráfica, Figura 15]

(155) D: ¿Los tiempos?

(156) C: Sí, los tiempos. Si acá hay un 56 (refiriéndose al tiempo 0,56 s) [GIDO – señala el punto 12 en la gráfica, Figura 15]… (157) D: acá aumenta 4 (cuadritos) [GIDO – señala el punto 13 en la gráfica, Figura 15] (158) C (valida el planteamiento de Danna): Acá aumentaría 4 [GI – asiente con la cabeza] (159) D: Acá aumentaría 5 (cuadritos) [GIDO – señala el punto 14 en la gráfica, Figura 15] y así seguiría (160) C: Aumenta los mismos que acá [GIDO – recorre con el dedo los tiempos del punto 1 al 12, Figura 15] Actividad 13 / Sesión 7 / Tiempo 52:47 – 56:56 / Pregunta 4.5-2 Línea Lenguaje multimodal (161) P: ¿Y cómo hallaron los demás tiempos (de la segunda vuelta)? ¿los de aquí para allá [GIDO - en el cuaderno, en el plano cartesiano, señala el final de la primera vuelta y desliza el dedo hasta el final de la segunda vuelta, Figura 15]? Por ejemplo, este punto [GIDO - señala el punto 17 en la gráfica, Figura 15] ¿Cómo lo hallaron? (162) D: Utilizando de referencia el tiempo de la primera vuelta (163) P: ¿Y cómo hicieron?

(164) C: De acá a acá hay 0,04 (segundos) [GIDO – señala con el lápiz el tiempo del punto 0 y el tiempo del punto 1, Figura 15] (165) D: Al final, cuando se acabe la vuelta le sumamos ese tiempo (166) P: Pero yo les estoy preguntando por este punto [GIDO – señala el punto 17 en la gráfica, Figura 15] (167) C: Siguiendo la secuencia que va acá [GIDO – señala los puntos de la primera vuelta, Figura 15] (168) P: Pero si le sumas 0.04 (segundos) no hallas este punto (169) C (interrumpe al profesor): No, se le suma es a este [GIDO – señala con el lápiz el punto 12 que hace referencia al punto final de la primera vuelta, Figura 15]. (170) P: Ah ¿y entonces?

(171) C: ya de ahí seguimos agregando el tiempo en secuencia, así como se hizo la primera vuelta (172) D: aja [GI – asiente con la cabeza] (173) P: ¿Específicamente que número se le sumo a este? [GIDO – señala en punto 12 en la

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Actividad 12 / Sesión 7 / Tiempo 13:34 – 13:57 / Pregunta 4.5-2 gráfica, Figura 15] (174) C: 0.05 (segundos) (175) D: Aja (176) P: Noo (177) C: No, espere, espere ¡Ya me estresé! [GI – se lleva las manos a la cara]

(178) D, M y S: [GI – Se ríen] (179) C: Este punto de aquí [GIDO – señala el punto 13 en la gráfica, Figura 15], empieza de nuevo la vuelta

(180) D (complementa a Carol): Es como si empezáramos otra vez acá [GIDO – señala el punto 0 en la gráfica, Figura 15] (181) C: Entonces este punto de acá es este punto de acá [GIDO – señala primero el punto 17 y luego el 5, Figura 15]. Entonces este punto de acá [GIDO – señala el punto 17, Figura 15] … [se queda muda un momento] … Es que no sé cómo explicarle si ya le dijimos que seguimos una secuencia.

(182) D: Otra forma de explicarlo. Usted quiere este punto ¿cierto? [GIDO – señala el punto 17, Figura 15]. Este punto [GIDO – señala el punto 17, Figura 15] está relacionado con este punto [GIDO – señala el punto 5, Figura 15].

(183) D: Desde 0 hasta este punto [GIDO – señala el punto 5, Figura 15] se recorrieron 0,23 segundos. La primera vuelta termina en el tiempo de 0,56 (segundos) entonces se le vuelve a sumar 0,23 (segundos) y le da el tiempo que buscamos (184) P: ¿y la distancia?

(185) C y D (al unísono): es la misma (186) P: Ahora sí, muy bien.

Actividad 16 / Sesión 8 / Tiempo 1:02:22 – 1:03:13 / Pregunta 1-3 Línea Lenguaje multimodal (187) C (le pregunta a Samuel): ¿Usted me ha entendido lo que yo le quiero decir?

Objetivación del Saber de Función Trigonométrica 239

Actividad 12 / Sesión 7 / Tiempo 13:34 – 13:57 / Pregunta 4.5-2 (188) S: No (189) C: Este primer tiempo [GIDO – en el cuaderno señala con el lápiz el primer tiempo de la tabla (Figura 12) obtenido del video en la pregunta 2-2] es el primer punto, es este primer punto [GIDO – señala el tiempo – en el eje x – del punto 1, Figura 15] (190) S: Aja (191) C: Lo que vamos a hacer es sumar este segmento (refiriéndose al tiempo que hay entre 0 s el tiempo del punto 1 de la Figura 15), a este de acá [GIDO – señala el tiempo – en el eje x – del punto 12, Figura 15] para que nos dé el resultado

(192) (Hay un silencio y Samuel y Michell se miran, evidenciando que no entienden) (193) C (al ver que no es claro les pregunta a ambos): ¿si me entienden? (194) M: No (195) C: Esta es una vuelta [GIDO – señala la gráfica de la pregunta 4.5-2, ver Figura 15] y esta tabla es de una sola vuelta [GIDO – señala la tabla construida en la pregunta 2- 2]. Entonces el tiempo que se recorrió acá [GIDO – señala el tiempo – en el eje x – del punto 1, Figura 15] … (196) M: Ahh, ok (197) C: se lo vamos a sumar al final [GIDO – señala la gráfica de la pregunta 4.5-2, Figura 15] (198) S: Ahh

Primeramente se debe mencionar que hay una energía en este pequeño segmento de actividad, se notan a los integrantes del grupo implicados en resolver el problema, se encuentran atentos; la imagen y las transcripciones no dan fe del compromiso ético, cuando hablan no dan tiempo para que siga el otro, se están interrumpiendo constantemente, continuando y complementando la idea del otro, esto es, todos están en la misma sintonía, se escuchan y se complementan entre sí, exponiendo la ética comunitaria en esta actividad. También se debe mencionar que, aunque el análisis lo realizan correctamente cometen el error inicial de no dividir el eje 𝑥 (tiempo) bajo la misma escala, sino que ubican marcaciones en este en diferentes espacios (cuadritos en la hoja cuadriculada), sin embargo, esto obliga que su

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análisis y su argumentación sean de mayor profundidad y posibilita al investigador tener plena confianza de lo percibido en esta toma de conciencia.

En la línea 149 Michell hace referencia a que el primer punto demarcado en el eje 𝑥 se encuentra a 4 cuadritos del origen, mientras que el que le sigue se encuentra a 5 cuadritos del primero. Lo que ella establece es que después de que se da una vuelta, el primer punto que sigue después estará a 4 cuadritos del punto final que demarca el tiempo de una vuelta y posteriormente el punto siguiente estará otros 5 cuadritos más.

Esta concordancia, este análisis simétrico permite constatar la toma de conciencia de la periodicidad del fenómeno, así como la apertura hacia procesos de objetivación profundos respecto a la identificación de regularidades, de patrones de la variable independiente. Carol da continuidad a lo esbozado por Michell de una forma gráfica. Inicialmente se debe establecer que Carol reconoce la representación gráfica para un ciclo del movimiento de la piedra al determinar que “esta es la vuelta [GIDO – señala el punto 12 en la gráfica, Figura 15]” (línea 154).

Se debe mencionar que en el desarrollo secuencial y temporal de la unidad didáctica ya se había iniciado dicho proceso de objetivación, de ir al encuentro de las formas histórico culturales de pensar y actuar matemáticamente sobre la representación gráfica de un movimiento periódico cíclico: en la Actividad 4, 5, 9, 10, 11 (ver categoría estructural representación gráfica de un movimiento periódico cíclico). Por lo que el reconocimiento casi de inmediato por parte de Carol en la línea 154, de esa forma ondulatoria en el plano cartesiano y relacionarlo con un ciclo de la piedra, se puede considerar como una contracción semiótica del saber en cuestión. Es pertinente señalar que la habilidad de reconocer la parte de la curva en el plano cartesiano que representa un ciclo por parte de Carol, es decir, el reconocimiento grafico del

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periodo, no se dio repentinamente, es fruto de procesos de objetivaciones graduales enmarcados en el esfuerzo y resiliencia del grupo bajo un enfoque operacional (hasta el momento) donde realizaron tomas de conciencia respecto a la variación de magnitudes en una relación de dependencia periódica, identificación de patrones y representación de dicho movimiento al migrar la tabla de valores y responder preguntas problematizadoras (preguntas 1-2 a 4.4-2) en aras de tomas de conciencia respecto a dicha representación abstracta. Por consiguiente, como se verifica en la línea 154 – así como en las líneas 93, 165, 183, 195, 200, 205, 208, 216, 226, entre otras – Carol reconoció una vuelta de la piedra en la llanta de la bicicleta de Thomás en la curva del plano cartesiano (estableciendo implícitamente una relación intersemiótica entre ambos registros), por lo que gracias a los procesos de objetivación realizados en el marco de la representación gráfica en el plano cartesiano, Carol extrajo información de dicha curva a través de la visualización, la cual se debe entender como “la habilidad para representar, transformar, generar, comunicar, documentar y reflejar información visual. En este sentido, se trata de un proceso mental demasiado útil en diversas áreas del conocimiento matemático y científico” (Cantoral, 2013, p. 47).

Es así como el grupo fundamentó sus análisis en el rasgo más relevante de las funciones trigonométricas: el periodo. Esta característica no fue introducida a priori, adquirió determinaciones concretas de una forma espontánea e intuitivita a través del desarrollo de múltiples actividades, específicamente fue a través de la materialización del comportamiento de la relación distancia vertical y tiempo en el plano cartesiano, en este la naturaleza periódica del fenómeno adquirió determinaciones concretas y sensibles, lo que le posibilitó hacer uso de la simetría de dicha grafica para realizar conjeturas aritméticas, predicciones y establecer patrones.

Objetivación del Saber de Función Trigonométrica 242

Con este gesto (línea 154) – atado a su expresión verbal, a su entonación y disposición corporal – denotó claridad y seguridad en su planteamiento. Al reconocer que el pensamiento es indisociable del cuerpo (Ilyenkov, 1977), se aprecia una clara la toma de conciencia en cuanto a la relación de un ciclo en un movimiento periódico (en este caso circular) con su respectiva representación gráfica en el plano cartesiano que, aunque sensible no deja de ser abstracta, por ende, empiezan a crearse los cimientos para un paso de un pensamiento operacional a uno estructural.

Al continuar este proceso de toma de conciencia del reconocimiento de fenómenos periódicos en su representación abstracta en el plano cartesiano (que inició indirectamente en la Actividad 4 y continuó en las Actividades 5, 9, 10, 11), el grupo (especialmente Carol) estableció relaciones y patrones: “O sea, digamos que esta es la vuelta, sería lo mismo que de acá a acá [GIDO – señala el punto 1 y 12 en la gráfica, Figura 15]” (línea 154), por lo que “si acá hay un 56 (refiriéndose al tiempo 0,56 s) [GIDO – señala el punto 12 en la gráfica, Figura 15]” (línea 156) “acá aumentaría 4 (cuadritos) [GIDO – señala el punto 13 en la gráfica, Figura 15]” (línea

158).

Al reconocer en la gráfica ondulatoria el punto final de la primera vuelta – es decir, el periodo – como punto inicial para la segunda, el grupo puede determinar que el tiempo que toma la piedra en llegar al punto 1 (Figura 15), es el mismo tiempo en llegar al punto 13 desde el punto 12 (Figura 15), inclusive establecen que en el tiempo (representado como cuadritos en la hoja de trabajo) entre el punto 13 y 14 es el mismo tiempo entre los puntos 1 y 2: “acá aumentaría 5 (cuadritos) [GIDO – señala el punto 14 en la gráfica, Figura 15]” (línea 159), lo cual facultó al grupo para predecir el comportamiento del movimiento y establecer patrones: “y

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así seguiría” (línea 159), “aumenta los mismos que acá [GIDO – recorre con el dedo los tiempos del punto 1 al 12, Figura 15]” (línea 160).

Según Montiel (2013) “hablamos entonces del desarrollo de un pensamiento funcionaltrigonométrico cuando el estudiante reconoce, en un comportamiento periódico-acotado, una herramienta predictiva” (p. 48), por lo que se hace visible un proceso de objetivación respecto a las formas histórico-culturales de pensar y actuar matemáticamente sobre el periodo en un fenómeno cíclico.

A su vez, esta conjetura, basada en la simetría de la gráfica es un claro proceso de objetivación, no solo por su proceso cognitivo correcto, sino por la disposición del grupo de llegar a una respuesta coherente que los satisfaga a través del debate y análisis. La participación de Carol, respaldada por la escucha activa de sus compañeros, permite identificar los vectores de la ética comunitaria y un compromiso compartido en la resolución del conflicto. La dinámica de diálogo y reconocimiento mutuo subraya un sentido de pertenencia donde el cuidado del otro se expresa en la atención a su llamado. Dichas interacciones operan como indicadores del vector de responsabilidad, en consonancia con los planteamientos de Lasprilla et al. (2021). Esta actitud de compromiso que toma el grupo se expresa especialmente entre las líneas

156 y 160, en donde Carol y Danna se implican fuertemente en la actividad (desde sus dos

componentes según la TO): Respecto a la exposición conceptual de Carol, Danna se antepone a los planteamientos de Carol, respondiendo antes que ella y complementándose mutuamente, “la responsabilidad aparece aquí como unión, nexo, vinculación, conexión y enlace con el prójimo, que se expresa en la respuesta que hacemos al llamado del otro” (Radford, 2020b, p. 35). A partir de la imbricación inherente entre los procesos de objetivación y subjetivación, estos hallazgos infieren el inicio de una toma de conciencia respecto a la característica periódica

Objetivación del Saber de Función Trigonométrica 244

en fenómenos oscilatorios armónicos circulares (por lo menos en su representación gráfica), lo cual a su vez va atado dialécticamente con la toma de conciencia de patrones de la variable independiente (el tiempo), que es requisito para el desarrollo de tomas de conciencia del saber de función trigonométrica.

En las líneas 157, 158 y 159 (y general en toda la actividad), como se había manifestado previamente, se percibe una falencia conceptual respecto al manejo del plano cartesiano. En la línea 157 y 158 el grupo establece una separación temporal de 4 cuadritos y en la línea 158 de 5 cuadritos; esto se debió a una falencia en cuanto a la construcción de los ejes coordenados, no construyeron el eje 𝑥 a escala, lo que ocasionó esta confusión, sin embargo con una corta pero eficaz intervención del profesor corrigieron esto (garantizando la homogeneidad y un solo patrón en el eje de las abscisas), por lo que este pequeño impase no alteró la obra común desarrollada o las conjeturas establecidas hasta el momento.

En la Actividad 12 (líneas 149 a 160), aunque parece que se enfoca más en ir al encuentro del análisis de patrones de la variable independiente (tiempo), la atención de los estudiantes estaba centrada en la forma, en la simetría de la gráfica en el plano cartesiano que representa la relación distancia vertical y tiempo, esto ya que dicha grafica fue una construcción realizada por ellos a través de su actividad, un signo, es la exteriorización de su esfuerzo conjunto, es una obra común, por lo que dicha grafica (Figura 15) se configura en una herramienta significativa y concreta de la que pueden hacer uso, esto al reconocer que dicho signo, del reconocimiento de la característica periódica de la gráfica ondulatoria en el plano cartesiano, es “parte integrante del pensamiento y la actividad humana” (Radford, 2023a, p. 35).

Ellos se basaron en la forma de esta curva, en su simetría para identificar patrones generales para relacionar puntos del plano cartesiano entre distintas vueltas, lo que les permitió

Objetivación del Saber de Función Trigonométrica 245

hallar valores de tiempos de vueltas posteriores al primer ciclo (donde conocían algunos valores de tiempo). Esto no quiere decir que objetivaron la periodicidad de la variable independiente (tiempo), no, esta no es periódica, es lineal; lo que ellos lograron identificar, a través de la simetría de la gráfica, es que el comportamiento del tiempo en cada ciclo se repite tras 0,56 𝑠 (línea 156), por lo que al reconocer la naturaleza periódica y repetitiva del movimiento circular que describe la piedra en la llanta de la bicicleta de Thomás, podían predecir los valores del tiempo posteriores a una vuelta.

Por ejemplo, si el periodo es 0,56 s, y la piedra en el tiempo 0,1 𝑠 está en cierta posición, entonces para la segunda vuelta, es decir, 0,56 + 0,1 = 0,66 estará en la misma posición que en la vuelta 1 y así mismo para la tercera vuelta: 0,56 + 0,56 + 0,1 = 1,22 la piedra estará en la misma posición que en la vuelta 2 y en la vuelta 1.

Por ende, este análisis que los estudiantes hacen, parte y es una toma de conciencia de la concepción de un movimiento periódico, de forma que esta actividad es el punto de partida para establecer patrones de la variable independiente en este caso (que no es periódica), lo cual se analizará a profundidad en la categoría estructural de la identificación de patrones de las magnitudes en un fenómeno periódico cíclico.

Ahora bien, la Actividad 13 (líneas 161 - 186) se considera una contracción semiótica de la Actividad 12. Al indagar sobre el tiempo de un punto específico del segundo ciclo, el grupo se sume en un debate donde – a través del lenguaje multimodal, MSO y la ética comunitaria – emergen procesos de objetivación de mayor complejidad en aras de ir al encuentro de los arquetipos de pensamiento respecto al reconocimiento del periodo en un fenómeno cíclico a través de la simetría de la gráfica de una forma más rápida y concisa, refinando procesos de tomas de conciencia previos donde “los recursos semióticos de distinto tipo pasan a desempeñar

Objetivación del Saber de Función Trigonométrica 246

un papel crucial” (Radford, 2023a, p. 125, por lo que esta actividad también adquiere la connotación de nodo semiótico.

Al preguntarle el profesor al grupo ¿cómo calcularon el tiempo del punto 17 (Figura 15)? (línea 161), él es consciente de que el análisis y los cálculos del grupo son correctos, sin embargo, hace la pregunta para buscar una argumentación más profunda, esto en busca una toma de conciencia más profunda.

El profesor inclusive se vuelve incisivo, con preguntas que buscan esclarecer detalles minuciosos en el análisis de los estudiantes, en procura de que ese saber tome determinaciones más claras. Esto se observa en la cadencia de las preguntas del profesor en las líneas 163, 170, 173 y 184 (lo cual es muestra de un MSO): ¿y cómo lo hicieron? ¿Y entonces? ¿Específicamente que número se le sumo a este? ¿Y la distancia? Es así como “la estrategia del profesor mueve las piezas discursivas de los alumnos dentro de lo que sería una nueva configuración conceptual de la cual podría esperarse una nueva vía de atacar el problema” (Miranda et al., 2007, p. 20). Esto repercute en la frustración de Carol, que lo manifiesta al llevar sus manos a la cara (GI) al tiempo que lo verbaliza: “ya me estresé” (línea 177), lo cual no se debe tomar como algo negativo en la actividad. Al cuestionar sobre la razón de la acción, el profesor sabía que dicha explicación, que dicha toma de conciencia, en el momento no era parte del grupo, por lo que al intentar direccionar la actividad hacia el objeto de la misma generó frustración en el grupo. Al realizar una analogía con la teoría de las situaciones didácticas de Brousseau se podría decir que se llegó a una situación adidáctica (Brousseau, 2007). Como se manifestó en el marco teórico, a diferencia de la teoría de las situaciones didácticas, el profesor no se retiró para que el grupo se enfrentara solo a esta frustración, ya que en la TO el profesor no se reconoce como un obstructor de la generación o construcción platónica e individual del estudiante, el profesor acompaña el

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grupo, hace que sientan su presencia, se reconoce como parte de él y expone su compromiso hacia la actividad y el cuidado del otro.

El interés del profesor no es generar frustración, ansiedad o estrés en el grupo, se vuelve incisivo con sus preguntas de forma intencional ya que busca generar un debate y un análisis profundo, a su vez, espera que el grupo no se suma en la frustración, sino que, a través del compromiso, la responsabilidad y del cuidado del otro puedan superar dicha situación. Sin embargo, esta no es una situación de frustración por no saber la respuesta, inclusive sus compañeros se ríen (línea 178) ya que el grupo sabe la respuesta, pero no saben verbalizarla. Su frustración no se debe a una preocupación sino a una incapacidad que ella misma reconoce: “es que no se explicarle” (línea 181), lo cual da muestras del vector responsabilidad ya que el reconocimiento propio “se interpreta como una solicitud ética, un gesto hacia el otro que parte de la conceptualización de la fragilidad humana, esto es de reconocer la propia fragilidad” (Lasprilla et al., 2021, p. 232). Al reconocer sus propias limitaciones da lugar a la solidaridad y cuidado del otro del grupo, lo cual fue precisamente lo que ocurrió en las siguientes líneas. Sin embargo, así Carol exteriorice su incapacidad de explicación, su planteamiento a través de su lenguaje multimodal es correcto. En la misma línea 181 Carol con gestos icónicos deícticos oculares capta la atención de sus compañeros y del profesor al enfatizar en puntos en la gráfica del plano cartesiano espaciados temporalmente por una vuelta, es decir, el periodo (Tamayo et al., 2018). Carol relaciona el punto (que el profesor indaga) al señalar el punto 17 de la curva en el plano cartesiano (Figura 15) con el punto 5 de la misma curva, lo cual infiere un proceso dialéctico de objetivación en el encuentro con las formas histórico culturales de pensar matemáticamente sobre el periodo en un fenómeno cíclico a través de su representación gráfica en el plano cartesiano. De nuevo, el grupo sabe la respuesta, su análisis es correcto, pero no tiene

Objetivación del Saber de Función Trigonométrica 248

aún el refinamiento para verbalizar su razonamiento y esclarecer la operación aritmética concreta para determinar el tiempo de dicho punto.

En un acto de cuidado, responsabilidad y compromiso, Danna interviene para dar continuidad al análisis de Carol. En este proceso, recupera sus ideas y expresiones para otorgarle reconocimiento y voz. A través del decir, Danna manifiesta su proximidad y exposición ante el otro, lo cual revela una apertura hacia la vulnerabilidad (Lévinas, 2005). Danna primero realiza unas cuentas en la calculadora y al reconocer que lo que estaba pensando fue corroborado por los resultados de la calculadora es capaz de explicar con claridad (y aritméticamente) la pregunta del profesor: “Este punto [GIDO – señala el punto 17, Figura 15] está relacionado con este punto [GIDO – señala el punto 5, Figura 15]” (línea 182), entonces “desde 0 hasta este punto [GIDO – señala el punto 5, Figura 15] se recorrieron 0,23 segundos. La primera vuelta termina en el tiempo de 0,56 (segundos) entonces se le vuelve a sumar 0,23 (segundos) y le da el tiempo que buscamos”. A lo que el profesor responde: “Ahora sí, muy bien” (línea 186).

Se debe mencionar que esta última toma de conciencia de Danna, no es de Danna solamente, ella no hubiese podido llegar al punto de corroborar sus ideas con la calculadora sin los análisis y debates previos realizados en el grupo (que no se exponen en el documento por economía textual y de espacio), por lo que este proceso de objetivación realizado se debe a su génesis en la actividad desarrollada.

Inclusive, Danna realiza los mismos gestos que Carol usó al relacionar los puntos en cuestión (línea 182 y 181 respectivamente), señala los mismos puntos y reconoce que el planteamiento que se realizó previamente estaba correcto. Finalmente da una explicación coherente y clara, que se puede tomar como una contracción semiótica de la objetivación de la

Objetivación del Saber de Función Trigonométrica 249

característica periódica de un fenómeno cíclico al reconocerlo a partir de la simetría de la gráfica en el plano cartesiano. Dicho proceso de objetivación finaliza cuando el profesor le pregunta al grupo sobre la distancia vertical entre los puntos 5 y 17 de la Figura 15 (línea 184), a lo que Carol y Danna responden al unísono: “es la misma” (línea 185), lo que demuestra una respuesta concreta, conjunta y rápida, en síntesis, un claro proceso de economía semántica al ser concreto, que a su vez se configura como un inicio para el análisis de la variación de la distancia vertical en un fenómeno periódico.

Al continuar con Actividad 16, aunque esta fue realizada en el marco de la pregunta 1-3, donde el objetivo era diferente al de la pregunta 4.5-2, el grupo retoma lo analizado en esta última pregunta – como una herramienta conceptual – para tener bases conceptuales claras y arraigadas y poder hacer frente a la pregunta 1-3. Por lo que aunque esta Actividad 16 se realizó en la pregunta 1-3, el grupo realizó un proceso de objetivación que continuo y estabilizó los procesos de tomas de conciencia que estaban emergiendo gradualmente en las actividades previas (pregunta 4.5-2), específicamente el grupo retoma lo expuesto en la Actividad 13 (líneas 182 y 183) y estabiliza esa forma concreta de concebir la característica periódica del movimiento circular de la piedra a través de la simetría de la figura en el plano cartesiano. Antes de iniciar la Actividad 16 – y aunque no es el objetivo de la pregunta 1-3 – Carol esboza una forma generalizada de calcular los valores de los tiempos mayores a una vuelta, a partir de los procesos de objetivación realizados en las actividades previas, sin embargo, su planteamiento no fue claro. Por lo que Carol le pregunta a Samuel “¿Usted me ha entendido lo que yo le quiero decir?” (línea 187), lo cual es una muestra del cuidado del otro, de una preocupación ya que la voz de Carol no ha llegado a sus compañeros y en el mismo sentido, preocupación en cuanto que sus compañeros no están realizando el proceso de toma de

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conciencia que está surgiendo, por lo que Carol muestra su preocupación para que Samuel comprenda el saber que está emergiendo.

A su vez, Samuel responde al llamado de Carol, al momento de escuchar a Carol levanta su cabeza, la mira a los ojos y le responde “No” (línea 188). La interrupción de la tarea individual en favor de la atención y respuesta hacia la compañera constituye una manifestación de responsabilidad relacional: reconoce a Carol, la visibiliza, la acoge, reconoce su presencia a través de su voz y a su vez reconoce sus limitaciones (Lasprilla et al., 2021, p. 232). Este desplazamiento del interés propio hacia la necesidad del otro revela un compromiso con la actividad.

Carol se esfuerza por hacer partícipes a sus compañeros, para que esa idea que está tomando determinaciones concretas no sea suya sino de todos. Ese esfuerzo se concreta en una contracción semiótica de las actividades previas: “este primer tiempo [GIDO – en el cuaderno señala con el lápiz el primer tiempo de la tabla (Figura 12) obtenido del video en la pregunta 2- 2] es el primer punto, es este primer punto [GIDO – señala el tiempo – en el eje x – del punto 1, Figura 15]” (línea 81), “lo que vamos a hacer es sumar este segmento (refiriéndose al tiempo que hay entre 0 s el tiempo del punto 1 de la Figura 15), a este de acá [GIDO – señala el tiempo

– en el eje x – del punto 12, Figura 15] para que nos dé el resultado” (línea 191). Del lenguaje

multimodal se pueden establecer los siguientes análisis:

En la línea 189 se expone la interrelación entre diferentes registros semióticos. Se relacionó el primer tiempo de la tabla obtenida del video en la pregunta 2-2 (Figura 12) con el primer tiempo de la gráfica en el plano cartesiano (punto 1, Figura 15). Esto es, los procesos de objetivación realizados al migrar los datos de la tabla al plano cartesiano (Actividad 9, 10 y 11) repercutieron en una correcta discriminación e interrelación entre estos distintos registros

Objetivación del Saber de Función Trigonométrica 251

semióticos, lo cual es un índice de acercamiento al saber de función trigonométrica según Sierpinska (1992), a esto se suma que:

[…] en la medida en que empleamos más modos semióticos (registros semióticos según Duval 1999) en el proceso de enseñar un concepto, el aprendizaje logrado puede ser de mayor profundidad (Kress, 2005). Existe, al parecer, una relación entre el empleo de diferentes modos del lenguaje y la adquisición del conocimiento. (Tamayo et al., 2018, p.

34)

El lenguaje multimodal esbozado en la línea 191 es muestra clara de un proceso de generalización verbal. Claramente el grupo estableció predicciones: para hallar los tiempos de la segunda vuelta se deben relacionar con los respectivos tiempos de la primera vuelta, es decir, el tiempo atribuido a cierta distancia vertical está en relación directa con el tiempo para cuando la piedra se encuentre a la misma distancia, esto al abstraer la forma de la gráfica senoidal que representa un ciclo y hacer la similitud con otras partes de la gráfica. En consecuencia, a partir del proceso de reconocimiento de la forma periódica, a través de su simetría, se determinó una forma generalizada para calcular valores de tiempo que no son concretos en los registros semióticos dados, por lo que se evidenció “la identificación de regularidades en relaciones cambiantes como una manera de lidiar con los cambios” (Sierpinska, 1992, p. 31), lo cual se considera un acercamiento respecto al saber de función trigonométrica. Sumado a lo anterior, a través del reconocimiento del carácter periódico del movimiento de la piedra a partir de la simetría de la forma gráfica en el plano cartesiano (y de la inherente identificación grafica para un ciclo en su registro circular) se establecieron relaciones entre registros semióticos y procesos de generalización de la variable independiente (tiempo).

Objetivación del Saber de Función Trigonométrica 252

Por lo que esta actividad se configura como un nodo semiótico, donde múltiples registros se fusionaron de una forma coherente al ir al encuentro de las formas histórico-culturales de pensar y actuar matemáticamente sobre la periodicidad de un fenómeno cíclico, esto al reconocer que “el conocimiento se construye en base a múltiples recursos semióticos como gráficos, mapas, imágenes, entre otros” (Manghi, 2010, como se citó en Tamayo et al., 2018, p. 58). Con este análisis el grupo permite observar la interiorización en progreso de la característica de periodicidad de este fenómeno, ya que reconoce que el fenómeno se repetirá cada cierto tiempo y sus características (e inclusive sus medidas) no variarán, por lo que se puede anticipar y realizar predicciones comportamentales y aritméticas a través de la generalización del comportamiento periódico del movimiento.

El grupo no solo estableció un periodo en la variación del tiempo, sino en la variación de la curva en el plano cartesiano, que no es más que la forma gráfica de la variación de la distancia vertical. La variación, está atada con la predicción. Se puede entrever que cuando los estudiantes establecen conjeturas o ideas a raíz de procesos de variación donde identifican patrones y otras características del movimiento periódico, realizan predicciones, por lo que al estudiar el cambio los estudiantes logran:

[…] anticipar el comportamiento de sistemas complejos, de tal modo que la idea de predicción se vuelve una herramienta fundamental en el desarrollo y construcción de algunos resultados y conceptos matemáticos, y que al igual que el pensamiento variacional, se construye socialmente a partir de las vivencias y experiencias de los individuos y grupos sociales. (Cantoral, 2013, p. 45)

Objetivación del Saber de Función Trigonométrica 253

El lenguaje multimodal de las líneas 189 y 191 fue esbozado de nuevo en las líneas 195 y 197. Esto da muestra del compromiso no solo de Carol sino del grupo en la actividad que está emergiendo y el refinamiento de los procesos cognitivos al materializar en la actividad dos formas diferentes de pensar y actuar matemáticamente sobre fenómenos periódicos a partir de su representación gráfica en el plano cartesiano. Al enunciar “esto es una vuelta” (línea 195), Carol especifica que parte de la gráfica representa una vuelta de la piedra en la llanta (a su vez representa una contracción semiótica de la toma de conciencia de la representación gráfica de un ciclo y de su característica periódica). Inclusive, en la misma línea 195, Carol dice “(…) se lo vamos a sumar al final”, reconoce el fin de una vuelta de la piedra en la bicicleta de Thomás a través de la representación abstracta de su representación gráfica en el plano cartesiano, lo que hace visibles tomas de conciencia profundas, contextuales y significativas. Es claro entonces el proceso de objetivación en realizado respecto a la toma de conciencia de la característica periódica de un fenómeno a través de su representación abstracta en el plano cartesiano (por lo que, al representar un fenómeno físico a través de una representación abstracta en el plano cartesiano, el grupo puede realizar manipulaciones abstractas, estructurales y algebraicas). También se aprecian procesos de objetivación emergentes respecto a la toma de conciencia de patrones en fenómenos periódicos, específicamente, identificación de patrones de la variable independiente (tiempo) a través del análisis de la simetría de la gráfica.

El grupo sabe que según el objetivo de la pregunta 1-3, no deben usar la tabla (Figura 12) y gráfica (Figura 15) construidas previamente en el problema 2 (2-2 y 4.5-2 respectivamente), sin embargo, Carol las usa como carta de navegación, ella hace uso de las herramientas pasadas – un

Objetivación del Saber de Función Trigonométrica 254

planteamiento vygotskiano de usar las herramientas construidas y que están a su alcance – para trazar una ruta de trabajo.

Al reconocer que se piensa con y a través de los artefactos culturales (Radford, 2023a), estas dos herramientas se convirtieron para el grupo en herramientas y artefactos significativos, en signos al que le atribuyeron sentido y significado mediante su actividad. En consecuencia, a través de la obra colectiva, el grupo se vio representado al atender sus necesidades mediante una búsqueda compartida; en este proceso, cada estudiante proyectó su subjetividad en los artefactos elaborados, en la medida en que “actúan, piensan y sienten juntas, uniendo su energía, sus capacidades, sus actuaciones y sus formas de pensar” (Pantano, 2020b, p. 80). Por consiguiente, se da muestra de una práctica que lejos de ser alienante, es humanizante, es decir, una labor en la que los estudiantes “se expresan en lo que producen y encuentran al mismo tiempo la realización humana en lo que producen y en el proceso de su producción” (Radford, 2023a, p. 273). Es así como estas herramientas no se pueden desconocer ¿Cómo desconocer algo significativo?, sin embargo, como la pregunta los orienta a realizar la reflexión sin estas, Carol obstinadamente realiza una relación entre la gráfica de la pregunta 4.5-2 y la actual (pregunta 1-

3) en busca de extrapolar relaciones simétricas, de comportamiento y conjeturas realizadas

previamente. Es así como los artefactos creados por ellos anteriormente, sin utilizarlos directamente, influyeron y catapultaron el análisis y reflexión para dar solución a la pregunta 1-3 (Actividad 17), esto es, a través de herramientas significativas.

En consecuencia, sin importar que la pregunta les indique que deben solucionar sin hacer uso de la gráfica anterior, este acercamiento de realizar planteamientos y análisis previos con las herramientas construidas por ellos mismos previamente no se considera como un fallo, ya que en esas herramientas, en esos artefactos se encuentran ellos mismos, en esas líneas y números

Objetivación del Saber de Función Trigonométrica 255

trazados por ellos se encuentra el conocimiento al materializar subjetivamente ese saber, por lo que retomar los artefactos preconcebidos se puede considerar una muestra de lógica matemática al establecer conexiones con saberes pasados, esto es:

[…] una de las fuentes de adquisición del saber resulta de nuestro contacto con el mundo material, el mundo de artefactos culturales de nuestro entorno (objetos, instrumentos, etc.) y en el que se encuentra depositada la sabiduría histórica de la actividad cognitiva de las generaciones pasadas. (Radford, 2006, p. 113)

Es en este marco del uso de artefactos significativos, que Carol al intentar dar solución a la pregunta 1-3, no mancilla la abstracción grafica del movimiento circular de la piedra que gradualmente toma un mayor grado de conciencia respecto a las formas histórico-culturales de pensar matemáticamente sobre el periodo de la magnitud dependiente fenómenos cíclicos, inclusive fomenta un proceso de contracción semiótica al reconocer la periodicidad del movimiento cíclico a partir de su representación gráfica en el plano cartesiano, lo cual permite la identificación patrones y la generalización de las variables involucradas. Actividad 17 (Pregunta 1-3) Ahora en la Actividad 17 el grupo se implica en la pregunta 1-3, en donde a partir de una gráfica ideal dada donde solo se conoce el valor del periodo, debían hacer un pensamiento similar al realizado en la pregunta 4.5-2 para determinar valores de 𝑑! y 𝑡 para puntos (ubicaciones) menores a una vuelta (máximos, mínimos y cortes con el eje 𝑥), lo que les exigió un nivel de abstracción mayor ya que debían porcionar el movimiento en la gráfica y en la llanta de la bicicleta de Thomás. Sin embargo, intentan retomar lo asimilado en las actividades previas 12, 13 y 16 (tal y como se había explicado): los estudiantes intentan partir de la tabla de valores

Objetivación del Saber de Función Trigonométrica 256

(Figura 12) y de la correspondiente grafica del movimiento de la piedra (Figura 15) para determinar los valores de tiempo para los puntos máximos, mínimos y para cuando la gráfica corta el eje 𝑥.

Tras observar que la interacción del grupo se aleja del propósito analítico de la pregunta – reconocer el segmento de la gráfica que representa el periodo (un ciclo) y a partir de allí hacer graduaciones en la gráfica y en la rueda cada 90° para establecer proporciones y patrones – el profesor menciona que deben realizar dichos cálculos sin hacer uso de la tabla de valores, ya que la gráfica de la pregunta 1-3 es una gráfica ideal, la cual difiere a la gráfica sintetizada por ellos (Figura 15), por lo que los valores tendrán pequeñas variaciones, además de fomentar el pensamiento de determinar valores de tiempo a partir, únicamente, del valor del periodo. Tabla 10 Actividad 17: Lenguaje multimodal al encuentro del fenómeno periódico. Pregunta 1-3 Actividad 17 / Sesión 8 / Tiempo 1:13:27 – 1:15:50 / Pregunta 1-3 Línea Lenguaje multimodal (199) P (Al ver que el grupo hace referencia a la tabla anterior, les dice): Lo único que tienen que tener en cuenta es este valor [GIDO – señala con el dedo en el cuaderno el valor de 56,44 cs que está escrito en la pregunta 1-3] (200) S: O sea que sabemos que todo este movimiento vale los (0,5644 s) [GIDO – A medida que habla recorre con el dedo la gráfica describiendo una onda]

(201) M (Interrumpe a Samuel): Una vuelta [GI – levanta el dedo índice expresando el número 1]

(202) P: Escuche a Michell (le dice a Samuel) (203) C: Eso es una vuelta.

Objetivación del Saber de Función Trigonométrica 257

(204) M (le dice a Samuel): Acá hay dos vueltas [GIDO – señala la gráfica del cuaderno, Figura 18] (205) C: Esos 56,44 son acá [GIDO – señala sobre la gráfica correctamente la ubicación en el eje x del periodo] (206) M [GIDO – no dice nada, pero también señala el mismo punto que Carol al mismo tiempo que ella al referirse al tiempo que representa una vuelta en la gráfica] (207) P: Exacto. Esa es la clave, ya la tienen toda. Ya la acaban, yo sé que son capaces (208) S: Tenemos que darles el tiempo a los otros puntos (refiriéndose a los tiempos para 1/4, 1/2 y 3/4 de vuelta). Entonces, si de acá a acá … [GIDO – con el dedo señala en el eje x el punto t=0 y con el lápiz el punto t=0,5644, Figura 18]

(209) M (complementa a Samuel): Hay 56,44 segundos (210) S: Si esto es proporcional [GIDO – recorre con el dedo la parte de la gráfica, Figura 18, que representa una vuelta], entonces seria dividido 4

Objetivación del Saber de Función Trigonométrica 258

Figura 18 Respuesta pregunta 1-3. Cálculo de valores específicos de tiempo a partir del periodo

Tras la toma de conciencia realizada en cuanto a la interrelación entre las representaciones tabular y gráfica (Actividades 9, 10 y 11) – configuradas como registros semióticos derivados de la observación del movimiento de la piedra en la rueda de Thomás – el grupo empleó dichos signos como instrumentos para la resolución de los objetivos planteados. En consecuencia, la pregunta 1-3 y el problema 3 se orientaron hacia el inicio de un análisis estructural-gráfico del movimiento periódico establecido.

La pregunta 1-3 buscaba que los estudiantes determinaran valores de tiempo a partir del periodo (0,5644 s) y no de la tabla o gráfica construidas en el problema 2, se pretendía que a partir de este valor y de la abstracción geométrica, continuaran los procesos de tomas de conciencia de reconocimiento e identificación de la forma de la onda (grafica senoidal) con la circunferencia que representa la llanta de la bicicleta, iniciados en las Actividades 4, 5, 9, 10, 11, 12, 13, 14 y 16, asimismo, se pretendía establecer patrones y valores específicos de tiempos (al igual que distancias verticales y ángulos en las siguientes preguntas del problema 3).

Objetivación del Saber de Función Trigonométrica 259

Así pues, la intencionalidad en cuanto al manejo de la gráfica cambia del problema 2 al problema 3: transita de la identificación figural del movimiento circular que describe la piedra a un análisis profundo y aritmético del mismo.

Esto fomenta el paso gradual – del pensamiento operacional – hacia un pensamiento estructural, en el que los conocimientos previos del problema 1 y 2 eran requeridos, para ser extrapolados y mutados. Esta pregunta 1-3 (y el problema 3 en general) no pretendía desconocer lo construido por el grupo en los problemas 1 y 2, al contrario, este era necesario, pero no se debía usar de forma directa ya que no fomentaría un análisis aritmético y comportamental profundo respecto al movimiento periódico.

De ahí que, al buscar los tiempos para cuando la piedra recorre 1/4, 1/2 y 3/4 de vuelta y ubicar dichos valores en la gráfica ideal del movimiento de la piedra en un plano cartesiano a partir del periodo dado (pregunta 1-3), los estudiantes intentaron retomar sus pensamientos previos (Actividad 12, 13 y 16). Así pues, en la Actividad 17, al sintetizar los procesos de toma de conciencia mencionados, derivaron en procesos de objetivación refinados, complejos y profundos al privilegiar el uso aritmético del periodo como herramienta, donde a partir únicamente de este determinaron diferentes valores de tiempo.

Ahora bien, esta Actividad 17 permite apreciar la objetivación realizada por el grupo respecto al reconocimiento de la característica periódica de un fenómeno que describe una trayectoria circular a través de diferentes registros semióticos. Esto ya que entre varias ondas de la representación senoidal en el plano cartesiano (Figura 18), a través de su lenguaje multimodal el grupo identificó la parte que representa un ciclo (representación circular del movimiento) y por ende el punto sobre el eje de la variable independiente que representa el periodo, es decir, el tiempo de “una vuelta [GI – levanta el dedo índice expresando el número 1]” (línea 201), tal y

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como lo verbaliza Michell y reafirma Carol: “eso es una vuelta” (línea 203), “esos 56,44 son acá [GIDO – señala sobre la gráfica correctamente la ubicación en el eje x del periodo]”, a lo que Tamayo et al. (2018) plantean que “tanto el concepto como sus significados se construyen con el uso de múltiples modos semióticos en los cuales participan los diferentes usos de los lenguajes en las clases de ciencias” (p. 47).

Lo anterior se debe a que el grupo ya reconoce la forma, asociada a la simetría, del movimiento circular de la piedra, es decir, los estudiantes están en la capacidad de relacionar la trayectoria circular que describe la piedra en la llanta con la forma senoidal (en su representación) en el plano cartesiano al graficar la distancia vertical respecto al tiempo. Estos análisis permiten reconocer la objetivación de la distinción del periodo a partir de la representación abstracta en el plano cartesiano del movimiento cíclico, en donde es implícita la interrelación dialéctica entre las categorías estructurales de periodo de un fenómeno cíclico y representación gráfica de un movimiento periódico.

Ahora bien, en aras de resolver la pregunta 1-3 sin el uso de la tabla previamente construida en la pregunta 2-2, como era la intención de la pregunta y lo cual se los hizo saber el profesor (línea 199), Samuel reconoce que deben completar los tiempos para valores específicos de la gráfica a partir de un solo tiempo (el periodo).

Para ello continúa el proceso de objetivación iniciado por Michell y Carol entre las líneas 201 y 206 (previamente analizado) al establecer que “entonces, si de acá a acá … [GIDO – con el dedo señala en el eje x el punto t=0 y con el lápiz el punto t=0,5644, Figura 18]” (línea 208), hay una vuelta, o sea “56,44 segundos” (línea 209). Samuel le da contundencia visual y geométrica a lo que intenta exteriorizar con su GIDO al acotar la forma de la parte de la gráfica

Objetivación del Saber de Función Trigonométrica 261

que representa un ciclo (línea 210), establece implícitamente el periodo al final de dicha parte de la gráfica.

La presencia de estos MSO (de estos lenguajes multimodales) y el hecho de que Samuel complementa la idea a Michell al anteponerse a ella exhibe el compromiso del grupo con la actividad, así como el cuidado del otro al reconocerse mutuamente e interesarse por su entendimiento. Las cuales son muestras de la configuración gradual de una labor conjunta donde se escuchan, se complementan, se respetan y cuidan.

Fruto de ello, Samuel expone que para determinar los tiempos buscados “entonces seria dividido 4” (línea 210). Lo que Samuel esboza en la línea 210 es cobra relevancia ya que caracteriza el tiempo con la palabra “proporcional”, esto apoyado del GIDO de recorrer con el dedo la parte de la gráfica que representa un ciclo de la piedra, lo cual exhibe el comportamiento del fenómeno periódico y el potencial hallazgo de patrones de la variable independiente. De este modo se fomenta el latente proceso de objetivación de ir al encuentro de la identificación de patrones de las magnitudes en un fenómeno periódico (específicamente del tiempo), lo que permite reconocer (de forma inconsciente) una tendencia lineal en la variación del tiempo. A partir del proceso de objetivación del reconocimiento del periodo en un fenómeno cíclico realizado, el cual a su vez se vio potencializado por los procesos de objetivación imbricados de la síntesis de la representación gráfica de un movimiento periódico en un fenómeno cíclico, se inició un proceso de toma conciencia del patrón de la magnitud independiente: tiempo, con lo que se expone la inherente dialéctica entre estas tres categorías estructurales.

Es de anotar que los tiempos – de los puntos máximos, mínimos y corte con el eje 𝑥 para una vuelta – de la gráfica del problema 3 – se obtienen al dividir el periodo entre 4, por lo que

Objetivación del Saber de Función Trigonométrica 262

implícitamente Samuel no solo reconoció la parte de la gráfica que representa un ciclo, sino que inició una toma de conciencia grafica que le permitió relacionar partes de dicha representación gráfica de un ciclo con partes del movimiento de la piedra, específicamente en cuartos (cada 90°).

Samuel es capaz de hacer tal conjetura al exhibir la característica simétrica y el patrón que se repite de la forma de la gráfica para cada ciclo, extrapolando que dicho comportamiento no solo es para partes mayores a una vuelta, sino también menores. A raíz de estos datos se puede apreciar un proceso de objetivación – más exactamente un proceso de contracción semiótica – del reconocimiento de la forma gráfica en el plano cartesiano de un ciclo completo en un movimiento circular.

Al realizar estos procesos minuciosos de análisis grafico para relacionarlos con el movimiento de la piedra, se posibilita un proceso de objetivación respecto a la toma de conciencia de la característica del periodo, donde al reconocer la característica “proporcional” de la variación del tiempo, puede hacer uso de esquemas aritméticos tales como repartir un segmento asignado (periodo) en un fenómeno periódico en contexto. Finalmente, por el proceso de objetivación realizado (profundo y complejo) de una forma sintética y refinada (en pocas líneas), este segmento de actividad se considera una contracción semiótica al ir al encuentro del reconocimiento de la característica periódica de un fenómeno en su representación gráfica abstracta.

Actividad 35 (Pregunta 1-5) Luego de realizar procesos de tomas de conciencia graduales al ir al encuentro del reconocimiento del fenómeno del periódico a partir de la representación gráfica en el plano cartesiano del movimiento cíclico que describe la piedra en la llanta de la bicicleta de Thomás en

Objetivación del Saber de Función Trigonométrica 263

las Actividades 2, 12, 13, 16 y 17, en la Actividad 35 (pregunta 1-5), después de reflexionar sobre el significado contextual de la gráfica en el plano cartesiano, la búsqueda de patrones, la relación entre distancia vertical-tiempo-ángulo de giro y realizar análisis de la representación algebraica de la relación 𝑑!(𝑡) de la piedra en la llanta de la bicicleta de Thomás (en el problema 4), el grupo se enfrenta al hecho de reconocer el periodo de la función trigonométrica que modela la relación 𝑑!(𝑡) de Nina (amiga de Thomás que sale al mismo tiempo con velocidad y tamaño de la rueda diferente), a partir de su representación algebraica. Tabla 11 Actividad 35: Lenguaje multimodal al encuentro del fenómeno periódico. Pregunta 1-5 Actividad 35 / Sesión 15 / Tiempo 50:04 – 55:15 / Pregunta 1-5 Línea Lenguaje multimodal (211) M: El periodo es el tiempo en que tarda en dar un ciclo, o sea, una vuelta (212) C: Es con regla de tres (213) M: Sí, con regla de tres. Velocidad angular (214) C: Entonces, un pi es igual a (0,1411 s), entonces 2 pi cuánto tiempo seria ¿si entienden? (215) S: Ah, ok. Ya entendí (216) C: Si la ubicásemos (si se graficara la función de Nina) seria media vuelta hasta aquí y media vuelta hasta aquí [GIDO – con el dedo realiza el recorrido sobre la gráfica senoidal de Niko, enunciado problema 5]

(217) D: ¿Qué estás relacionando? Estás diciendo que media vuelta se demora esto [GIDO – señala el 0,1411 s escrito en la regla de tres del cuaderno, Figura 19] entonces una vuelta …

(218) C: ¿Cuándo nos aclararon que eso es media vuelta?

(219) M: Por el uno (refiriéndose al coeficiente del símbolo pi) [GI – levanta un solo dedo en señal del número uno]

Objetivación del Saber de Función Trigonométrica 264

(220) C: ¿Y eso equivaldría?

(221) D: 180° (222) C: Sí, eso sería media vuelta (223) D: Prácticamente multiplicar esto [GIDO – señala el 0,1411 s escrito en la regla de tres del cuaderno, Figura 19] por dos y ya

Figura 19 Respuesta pregunta 1-5. Calculo analítico del periodo de Nina

En este segmento de actividad se puede analizar como a través del análisis construido a lo largo de los problemas, los estudiantes tuvieron la experticia suficiente para relacionar dos expresiones algebraicas diferentes y establecer relaciones entre ambas. La acción de extraer información de una fuente netamente estructural a un contexto real y tangible para el estudiante es una prueba de la objetivación y del avance del grupo en el reconocimiento del saber de la

Objetivación del Saber de Función Trigonométrica 265

característica periódica de la función trigonométrica en su parte algorítmica y estructural matemática.

En este momento es pertinente hacer una síntesis. El recorrido por la unidad didáctica conceptual y problematizadora del grupo inició en un análisis empírico y experiencial del movimiento circular que describe la piedra incrustada en la llanta de la bicicleta de Thomás (Problema 1), para luego ver dicha piedra en el video proyectado en el tablero del aula de clases, representar las variables involucradas en una tabla de valores y migrar dicha información a una gráfica en el plano cartesiano (problema 2) con su implícito análisis infinitesimal y análisis de la variación entre tiempo y ángulo (problema 3) y luego pasar a la síntesis de otra representación de la relación distancia vertical respecto al tiempo, la representación algebraica 𝑑!(𝑡) = 25𝑠𝑒𝑛?

"#$ %.'())@, sobre la que hicieron procesos de análisis contextuales y contextuales (problema

4).

Del recorrido por el diseño didáctico hasta el problema 5, el grupo ya ha interiorizado las diferentes formas de representar una función trigonométrica y ya tienen cierto grado de conciencia de lo que es una función trigonométrica (esto enriquecido por el transito dialectico del enfoque operacional al estructural). En esta parte concreta de la pregunta 1-5, los estudiantes debían determinar el periodo a partir de un enfoque estructural, abstracto, desde la expresión algebraica de una función trigonométrica diferente a la de Thomás, de Nina, de quien no habían escuchado hablar y no tenían registros de video, tablas de datos y gráficas como si fue posible hacer a lo largo del recorrido operacional -estructural con Thomás, por lo que este problema les exigía una contracción semiótica profunda desde un enfoque estructural respecto a la característica periódica de un movimiento circular.

Objetivación del Saber de Función Trigonométrica 266

El grupo ya en el problema 5 están familiarizados con la representación algebraica de una función trigonométrica. En este punto ellos deben determinar el periodo de Nina, una amiga de Thomás que también tiene una piedra incrustada en su bicicleta y que tiene un tamaño de rueda diferente y se desplaza a una velocidad diferente, en donde a partir de su expresión algebraica, 𝑦(𝑡) = 26,5𝑠𝑒𝑛?

# %,+)++ 𝑡@, los estudiantes fueron capaces de determinar el periodo de la piedra incrustada en la llanta de Nina (Figura 19).

El grupo pasó de un enfoque operacional al determinar el periodo de un móvil que describe una trayectoria circular a partir de un análisis grafico a determinar el periodo netamente a partir de la expresión algebraica (estructural). Con esto se muestra la génesis, el desarrollo del grupo en su proceso de objetivación respecto a las formas histórico-culturales de pensar matemáticamente sobre el periodo en un fenómeno cíclico. Pasaron de un enfoque operacional a uno estructural, lo que permite reconocer un proceso de toma de conciencia profunda de dicho saber, a lo largo del cual se entrelazaron con diferentes saberes necesarios para poder llegar a concebir una idea clara y compleja del saber general de función trigonométrica a partir de una relación de dependencia entre magnitudes físicas variables en fenómenos periódicos. Se debe enfatizar en que el grupo determinó el periodo – el tiempo que tarda en dar un ciclo – de la llanta de Nina solo a través de su expresión algebraica, esto al extrapolar los procesos de objetivación realizados en el recorrido operacional -estructural en la síntesis de la expresión algebraica para Thomás.

En esta Actividad 35 (pregunta 1-5) el grupo debía hallar el periodo a partir de una expresión algebraica diferente a la de Thomás, lo que demuestra un proceso de objetivación avanzado ya que se configura a raíz de una pregunta estructural diferente al trabajo que venían desarrollando en los demás problemas, sin embargo, el proceso de toma de conciencia gradual

Objetivación del Saber de Función Trigonométrica 267

desarrollado en los problemas anteriores, coadyuvado por la síntesis de la representación abstracta algebraica de la relación 𝑑!(𝑡) de Thomás, les permitió determinar el periodo a partir de una notación algebraica (netamente abstracta y estructural).

Los procesos de objetivación realizados por el grupo en la Actividad 30 al identificar en el contexto de la unidad didáctica el significado del coeficiente de 𝑡 en la expresión algebraica de la piedra de Thomás, fueron extrapolados a la expresión algebraica de Nina. Esto, gracias a las similitudes estructurales (comparación de forma) entre las dos expresiones algebraicas, la de Thomás y la de Nina (donde la primera estaba ya dotada de sentido). A partir de ello los estudiantes establecieron relaciones en cuanto al tiempo en que tarda Nina en recorrer cierta distancia angular.

Este proceso de objetivación de ir al encuentro de las formas de pensar y actuar matemáticamente sobre la característica periódica de un fenómeno cíclico a través de su representación algebraica, está en relación dialéctica con el saber de las formas de pensar sobre la síntesis – a través de un enfoque operacional – de la representación algebraica de la relación trigonométrica: distancia vertical en función del tiempo.

Los enunciados de las líneas 214 a 217ofrecen una respuesta la interrogante planteada. Específicamente, en la línea 214 se establece la equivalencia de que “un pi es igual a (0,1411 s)”, lo cual se fundamenta en el análisis previo del movimiento de la piedra de Thomás, mediante el cual se determinó que “en una vuelta, de 360°, hay 0,5644 segundos” (línea 311)46, por lo que al realizar la relación 360° = 2𝜋 𝑟𝑎𝑑, se puede concretar que en 𝜋 𝑟𝑎𝑑 (180°) se recorre medio ciclo.

46 Se debe recordar la diferencia entre el orden cronológico de la actividad y el orden en el que se presenta el análisis a través de las categorías estructurales. La línea 311 sucedió antes que la línea 214, sin embargo, se presenta después que la línea 214 ya que su categoría estructural se analiza después que se analiza la categoría estructural de la línea 214 (periodo).

Objetivación del Saber de Función Trigonométrica 268

A su vez, es se debe notar que, en aras de determinar el periodo de la piedra incrustada en la llanta de la bicicleta de Nina, el grupo centró su atención en una parte específica de la expresión algebraica de la piedra de Nina, en la expresión # %,+)++ (línea 214), es decir, el coeficiente de la variable independiente 𝑡. Esto, fruto de los procesos de objetivación realizados por el grupo al identificar y contextualizar el coeficiente de la variable tiempo en la expresión algebraica de Thomás (Actividad 32), lo cual posibilitó un proceso de domesticación del ojo, un proceso de percepción visual que “aparece como parte de un saber cultural que han llegado a habitar” (Radford, 2023a, p. 147).

El hecho de percibir visualmente algo que antes no distinguían, es una muestra del proceso de domesticación del ojo. El grupo inicia entonces un proceso de observar con ojos de expertos cosas que antes no apreciaban, esto es, mediante largos y específicos procesos histórico culturales (procesos de objetivación) el ojo de los estudiantes fue adquiriendo connotaciones de un órgano intelectual sofisticado (Radford, 2023a). De ahí que el grupo identificó y priorizó su atención sobre partes específicas de la expresión algebraica; de este modo extrajo información pertinente en aras de dar solución a las demandas de la tarea47.

Sin embargo, el grupo se dispersa cuando Carol pregunta “¿Cuándo nos aclararon que eso es media vuelta?” (línea 218), es decir ¿Por qué 𝜋 representa media vuelta? A lo que Michell sin dudarlo, por el afán de reconocer a Carol y resolver su duda y por el efectivo proceso de objetivación realizado en el problema 4, establece: “por el uno (refiriéndose al coeficiente del

47 Los procesos de domesticación del ojo son evidencia de un saber que se pudo asir (Radford, 2023a). Estos se desarrollaron a lo largo de la unidad contextual y conceptual, no solo respecto a la identificación contextual del coeficiente de 𝑡 en la expresión algebraica, sino en la delimitación de la parte de un ciclo (periodo) en una gráfica senoidal en el plano cartesiano (como se muestra en el análisis general al final de esta categoría estructural), entre otros.

Objetivación del Saber de Función Trigonométrica 269

símbolo pi) [GI – levanta un solo dedo en señal del número uno]” (línea 219), esto lo dice rápidamente, sin titubear.

Esta refinación en sus procesos cognitivos se debe al paso por el análisis profundo de la expresión algebraica de la función trigonométrica de Thomás (problema 4) sin perder el enfoque de la unidad contextual y conceptual, el cual lo abordaron desde una connotación susceptible para ellos y con base a los constructos teóricos y herramientas desarrollados por ellos en el transcurso de los problemas previos.

Michell tiene claro que 𝜋 𝑟𝑎𝑑 representa media vuelta y 2𝜋 𝑟𝑎𝑑 una vuelta completa, de nuevo, esto fruto del proceso de objetivación en la síntesis y construcción contextual de la expresión algebraica de la función trigonométrica que describe el movimiento de la piedra en la rueda de Thomás en el problema 4, lo cual – como se mencionó previamente se reforzó – se potencializó con un análisis comparativo entre las formas de las expresiones algebraicas de Nina y Thomás: 𝑦(𝑡) = 26,5𝑠𝑒𝑛?

# %,+)++ 𝑡@ y 𝑑!(𝑡) = 25𝑠𝑒𝑛?

"# %.'()) 𝑡@ respectivamente.

Por lo que al saber que la piedra en la bicicleta de Thomás recorre 2𝜋 𝑟𝑎𝑑 en 0,5644 s y al comparar los coeficientes de 𝑡 de ambas expresiones algebraicas, se puede apreciar que en el numerador de dicho coeficiente en la expresión de Thomás es 2𝜋 y en la de Nina es 𝜋 (línea 219). Lo que permitió al grupo establecer que 𝜋 𝑟𝑎𝑑 – en grados sexagesimales es 180° (línea 221) – “sería media vuelta” (línea 222), por lo que la piedra en la bicicleta de Nina realiza medio ciclo (𝜋 𝑟𝑎𝑑) en 0,1411 𝑠.

Inclusive Michell en la línea 213 enunció la frase “velocidad angular”, con lo cual otorgó nombre y contexto a la relación 𝜔= # %.+)++, esto al identificarla como una proporción y haciéndola suya al nombrarla, lo que les posibilitó finalmente establecer que para hallar el

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periodo de Nina se debería “multiplicar esto [GIDO – señala el 0,1411 s escrito en la regla de tres del cuaderno, Figura 19] por dos y ya” (línea 223).

Por consiguiente, el cálculo del periodo (de la piedra incrustada en la llanta de la bicicleta de Nina) a partir de una representación algebraica diferente a la sintetizada para Thomás, no solo se configura como un proceso de objetivación en el encuentro con las formas de pensar y actuar matemáticamente sobre la característica periódica de un movimiento circular, sino que fomenta un grado de conciencia de la discriminación y reconocimiento de las partes de la representación algebraica de una función trigonométrica en general.

El grupo al tener la capacidad de establecer relaciones cuantitativas entre ambas representaciones algebraicas, potenciado por el enfoque operacional que repercutió en su materialización en la expresión algebraica del movimiento de la piedra de Thomás, demuestra un proceso de objetivación en el encuentro con las formas de pensar y actuar matemáticamente sobre la síntesis de la representación algebraica de la relación trigonométrica 𝑑!(𝑡). No se puede pasar por alto que en la línea 216 Carol extrapola el análisis grafico de la función de Nina a otra, esto es, imagina – lo cual ya es un proceso psíquico superior, un desarrollo mental y abstracto superior (Vygotski, 2009) – que si la gráfica del movimiento de la piedra en la rueda de Niko (del problema 5), fuese la de Nina se podría establecer el periodo gráficamente. Carol delimita de toda la gráfica una sección de ella que le puede representar un ciclo y a su vez determina el punto medio, donde la gráfica está en simetría y divide la gráfica en dos, a lo que dice “media vuelta hasta aquí” y “media vuelta hasta aquí” a su vez que recorre con el dedo media gráfica y luego hace lo mismo en la otra media grafica sin mover el otro dedo del punto medio, estableciendo que cada recorrido, si esa fuera la gráfica de Nina, tardarían 0,1411 s.

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Este es un proceso abstracto de refinamiento de procesos cognoscitivos, al imaginar herramientas que no están tangibles para ella, pero al hacer uso de un símil, establece correctamente conjeturas de verosimilitud – a su vez que de un forma eficaz y concreta relaciona el periodo en la expresión algebraica con su representación gráfica – lo cual da muestras de un avanzado proceso de toma de conciencia en cuanto a la interrelación entre los diferentes modos de representación de las funciones trigonométricas.

Estos hallazgos infieren un proceso de objetivación de la representación gráfica de una función trigonométrica, así como la interrelación entre dicha representación gráfica y algebraica. Se muestra entonces una contracción semiótica respecto a: la interrelación entre la expresión algebraica y la representación gráfica en el plano cartesiano de una función trigonométrica respecto al periodo y la identificación grafica de un periodo de un fenómeno cíclico en su representación gráfica en el plano cartesiano.

Ahora bien, en la línea 212 y 213 el grupo establece que se puede usar regla de tres. Esta conclusión la hacen y validan rápidamente después de un proceso de toma de conciencia ya realizado (Actividad 7, 13, 16, 17, 18) al analizar como varía el tiempo y buscar patrones de comportamiento. Potenciado por el análisis tabular, al migrar su información a la tabla y luego al verse forzados a determinar los valores de tiempo solo a partir del periodo, es decir, por el paso del problema 2 y 3 los estudiantes llegaron a establecer eficazmente que se podía resolver con una regla de tres (relación lineal). Inclusive en la Actividad 17, Samuel establece que “si esto es proporcional [GIDO – recorre con el dedo la parte de la gráfica, Figura 18, que representa una vuelta], entonces seria dividido 4” (línea 210), esto al intentar calcular los tiempos para 1/4, 1/2 y 3/4 de vuelta a partir únicamente del periodo, lo que le permite concluir que el tiempo es proporcional, es lineal.

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Actividad 36 (Pregunta 1-5) Similar y en continuidad con la Actividad 35, en esta Actividad 36 (pregunta 1-5), el grupo debía determinar el periodo del movimiento circular que describe una piedra incrustada en la llanta de la bicicleta de Niko (amigo de Thomás que sale al mismo tiempo – con otros 3 amigos más – con velocidad y tamaño de la rueda diferente) a partir de la representación gráfica en el plano cartesiano de la relación 𝑑!(𝑡) del movimiento de dicha piedra. Tabla 12 Actividad 36: Lenguaje multimodal al encuentro del fenómeno periódico. Pregunta 1-5 Actividad 36 / Sesión 15 / Tiempo 1:15:54 – 1:26:05 / Pregunta 1-5 Línea Lenguaje multimodal (224) C: Este [GIDO – señala el tiempo 0,1411 s, Figura 20] es el tiempo total que demora Niko en dar una vuelta (225) D y M: No, no (226) C: Ah no, es este de acá [GIDO – señala el punto correcto que representa una vuelta, Figura 20] (227) M: Sí (228) C: Entonces nosotros este tiempo lo dividiríamos en tres partes [GIDO – señala el tiempo 0,1411 s, Figura 20] (229) P (busca mayor claridad contextual en su planteamiento): ¿Ese tiempo 0,1411 representa qué?

(230) D: tres cuartas … (231) C (complementa a Danna): Sí, tres cuartas partes de la vuelta (232) D: Falta un cuarto (233) P: Así es, muy bien. Por ahí es (el profesor se retira) (234) D: ¿Cuántos cuartos son? 5 (235) M: Sí, 5 (236) C (usa la calculadora y observa la gráfica): ¿están seguros que es así? (237) D (al ver que no hay consenso en el grupo, coge la gráfica): uno, dos, tres, cuatro [GIDO – a medida que cuenta, recorre la gráfica, Figura 20, contando los cuartos de una vuelta de una forma rítmica]. Esto (una vuelta) acaba acá [GIDO – tapa con una mano la parte de la gráfica donde inicia la segunda vuelta y señala con el dedo índice de la otra mano el punto donde finaliza la primera vuelta]

(238) D: Ya no sé ¿De dónde sacamos que era 5?

(239) C (al ver que no hay un consenso en el grupo): Mi otra hipótesis era, esto [GIDO –

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señala el tiempo 0,2822 s, Figura 20] dividirlo entre 6 partes y multiplicarlo por 4 (240) C: es que ustedes no pueden coger 0,1411 y dividirlo entre 4 porque no hay cuatro partes (241) M: Ahí seria dividido entre 3 (242) C: Ajá

Figura 20 Respuesta pregunta 1-5. Grafica de Niko

En esta parte del problema, el grupo debía determinar el periodo a partir de una gráfica diferente a la que representa la relación distancia vertical en función del tiempo de la piedra en la llanta de la bicicleta de Thomás, debían determinar el periodo de Niko. Sin embargo, las graduaciones de los valores del eje 𝑥 (tiempo) en la gráfica de Niko estaban dispuestas de tal manera que no se podía determinar el periodo solo con discriminar la parte de la gráfica en el plano cartesiano que representa un ciclo.

Al igual que en la Actividad 35, al extrapolar los análisis de la expresión algebraica de la piedra de Thomás a Nina, en esta Actividad 36 se debían extrapolar los análisis respecto a la

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comprensión y síntesis de la representación gráfica de la relación distancia vertical en función del tiempo de la piedra de Thomás en la gráfica que representa el movimiento de la piedra en la bicicleta de Niko, específicamente se requería particionar una vuelta en partes y hacer cálculos aritméticos sencillos para determinar finalmente el periodo.

Tras la resolución de cuatro problemas, los cuales transitaron desde lo concreto hacia lo estructural, el grupo desarrolló múltiples procesos de objetivación. Dicha dinámica favoreció un agenciamiento consolidado que permitió alcanzar conceptualizaciones sintácticas superiores. Estos niveles de abstracción fueron esenciales para determinar el periodo de la piedra en la bicicleta de Niko, lo que da cuenta de la evolución en los procesos de objetivación respecto a las formas histórico culturales de actuar y pensar matemáticamente sobre el periodo en fenómenos cíclicos.

Cuando Carol menciona que el periodo es el punto en el eje 𝑥 con tiempo de 0,1411 s (línea 224), de forma casi inmediata, sus compañeros dicen “No, no” (línea 225), Carol rápidamente lo reconoce y establece el correcto punto que representa un ciclo de la piedra en la rueda de la bicicleta de Niko (línea 226). En realidad, Carol no tuvo un error conceptual, se puede apreciar que ella tiene claro cuál es la forma senoidal en el plano cartesiano que representa un ciclo en un movimiento circular, se considera más bien que tuvo un error en señalar, o un error de apreciación en cuanto a la graduación del eje 𝑥 en el plano cartesiano, no un error conceptual.

Carol continúa su intervención: “Ah no, es este de acá [GIDO – señala el punto correcto que representa una vuelta, Figura 20]” (línea 226), al referirse a la piedra en la bicicleta de Niko. Esto se puede considerar como una confirmación de las múltiples contracciones semióticas que se han llevado a cabo en esta categoría estructural, es más, el hecho del reconocimiento de la

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figura senoidal que representa un ciclo y su respectivo periodo se configura como un signo, como una herramienta y finalmente como un concepto, como “la versión subjetiva del saber cultural” (Radford, 2023a, p. 131). Después de los múltiples procesos de objetivación en los que el grupo reconoció la forma geométrica en el plano cartesiano de un ciclo de un movimiento circular, identificó a su vez el punto en que termina dicha vuelta, es decir, el periodo. Por lo que al de tener esto interiorizado, se convirtió en un concepto que les permite posicionarse en el mundo (Radford, 2023a), al cual se hicieron a través de una unidad conceptual, contextual, histórica y cultural.

Dicho concepto, dicha versión subjetiva del saber cultural (Radford, 2023a) referente a la identificación de la parte de la gráfica senoidal que representa un ciclo del fenómeno periódico, es “una transformación parcial de dicho saber en la conciencia del educando, es un reflejo objetivo del saber en sus aspectos esenciales y diversos, el cual se forma como resultado del desarrollo racional de las representaciones al descubrir nexos y relaciones con otros” (Vygotski,

2015).

Este concepto se constituye entonces como una herramienta significativa ya que fue construida por el grupo, ellos se vieron reflejados en ese concepto puesto que fue a través de su labor – al ser reconocido en su SSSC – que dicho concepto fue interiorizado, esto sin olvidar que la noción de interiorización “está íntimamente relacionada con el concepto de Vygotsky sobre el desarrollo humano y el rol que tienen los signos en este desarrollo” (Radford, 2017b, p. 116). De igual forma, el grupo al reconocer un ciclo en un fenómeno circular en su representación gráfica en el plano cartesiano pueden establecer ciertas conjeturas, como ya lo habían hecho antes cuando establecieron que “este tiempo lo dividiríamos en tres partes [GIDO – señala el tiempo 0,1411 s, Figura 20]” (línea 228) ya que representa las tres cuartas partes de

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una vuelta completa (línea 230 y 231). Inclusive verbalizan y contextualizan su razonamiento, al preguntar el profesor “¿Ese tiempo 0,1411 representa qué?” (línea 229), Danna le responde correctamente “tres cuartas (…)” (línea 230) y es complementada por Carol “tres cuartas partes de la vuelta” (línea 231), por lo que “falta un cuarto” (línea 232) para completar el ciclo. Es claro el compromiso del grupo con la actividad, están implicados en ella y la idea que emerge, no es ajena para ninguno, se reconocen como parte del grupo, se responden, se complementan, se percibe el compromiso del grupo en “la promesa de hacer todo lo posible y lo imposible, en el transcurso de la actividad conjunta en la realización de la ‘obra en común’” (Radford, 2017c, p. 157).

Posteriormente el grupo cae en una confusión, aunque había establecido correctamente que el tiempo 0.1411 representa tres cuartos de vuelta, por lo que faltaría un cuarto para determinar el periodo (líneas 231 y 232 respectivamente), se confundieron al ejecutar la acción de contar en el plano cartesiano; sin embargo, en la línea 237, al acotar solo la parte de la gráfica que representa la primera vuelta, contar de forma rítmica los cuartos de vuelta en dicha parte de la gráfica y señalar el punto que representa el periodo, se cuestiona “ya no sé ¿De dónde sacamos que era 5?” (línea 238). El segmento de actividad entre las líneas 234 - 241 es relevante ya que, debido al impase al que llegó el grupo (líneas 234 a 238) se vieron obligados a pensar de otra forma y tomar caminos diferentes de análisis.

Es en ese punto que Carol plantea una forma diferente de abordar la pregunta: “mi otra hipótesis era, esto [GIDO – señala el tiempo 0,2822 s, Figura 20] dividirlo entre 6 partes y multiplicarlo por 4” (línea 239). Debido al planteamiento concreto, coherente y cohesionado, permite al grupo reencaminarse e inclusive percatarse finalmente de las inconsistencias en el razonamiento (línea 240 y 241) y retomar lo planteado en la línea 231 cuando Carol establece

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que el 0,1411 s representa “tres cuartas partes de la vuelta”, de esta manera determinan el periodo de Niko (Figura 21).

Figura 21 Respuesta pregunta 1-5. Cálculo del periodo de Niko

El planteamiento para determinar el periodo de la piedra en la bicicleta de Niko es correcto, sin mencionar que al incluir el nombre de los sujetos es una muestra de una interiorización más profunda del contexto (línea 224). Por otra parte, en la manera de expresarse del grupo se nota apropiación, fluidez y pensamientos más arraigados en términos claves que caracterizan el pensamiento funcional trigonométrico, como lo es el periodo: tiempo en completar un ciclo (T), representación de un ciclo en un plano cartesiano y patrones de comportamiento de las variables (en este caso del tiempo).

El hecho de haber manipulado la gráfica de Thomás, así como su relación con la unidad contextual y la relación entre las otras diferentes representaciones del saber de función trigonométrica, permite al grupo tener un arraigo, un nivel de agenciamiento considerable, lo que posibilita una toma de conciencia más profunda en la argumentación de la gráfica en el contexto del ejercicio y en análisis más estructural.

Por lo que este episodio de actividad se puede tomar como una contracción semiótica del cálculo del periodo en la representación gráfica, además de considerarse como una toma de conciencia profunda – en cuanto a la característica periódica del movimiento circular en su representación gráfica en el plano cartesiano – al determinar y argumentar dos procesos para llegar a la misma respuesta correcta.

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Análisis General Se debe apreciar que las formas histórico-culturales de pensar matemáticamente sobre fenómenos periódicos en un movimiento cíclico, que adquirieron connotaciones concretas a través de la actividad de clase, están estrechamente relacionadas con las formas históricoculturales de pensar matemáticamente sobre la identificación de patrones de las magnitudes en un fenómeno periódico y con las formas histórico-culturales de pensar matemáticamente sobre la representación gráfica de un movimiento circular.

Al establecer el periodo de forma cuantitativa – inicialmente – a través de la simetría y forma particular y característica de la gráfica en el plano cartesiano para un ciclo del movimiento cíclico, el grupo implícitamente se vio en la necesidad de examinar la variación de la magnitud independiente (tiempo) al determinar una relación de proporcionalidad. En consecuencia, estas tres categorías estructurales mantienen una relación dialéctica de influencia recíproca y coproducción. Esta dinámica constituye un entramado complejo de determinaciones multidimensionales sobre el saber objeto de la investigación: las formas histórico-culturales de pensar matemáticamente sobre fenómenos periódicos a través de las funciones trigonométricas. Ahora bien, para finalizar el análisis de la categoría estructural del periodo en un fenómeno cíclico, es relevante notar que a partir del recorrido histórico-cultural y contextual del movimiento circular, específicamente en este caso del movimiento circular de la rueda de una bicicleta, sin reflexionar sobre este, el grupo reconoce que dicho movimiento al terminarse (un ciclo) continúa el mismo patrón constantemente hasta que se detiene, lo cual fue corporizado por ellos previamente a través de gestos icónicos al realizar movimientos circulares en el aire en las Actividades 1 y 2.

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Estos gestos en los que se describe una trayectoria circular con el dedo, en el marco de la unidad contextual y problematizadora se transformaron. Los GI de movimiento circular realizados en las Actividades 1 y 2 mutaron a otro gesto que describe una onda en el plano cartesiano (Actividad 10, 12, 14, 17, 35, 36). Esto no implica que los gestos circulares desaparecieron, esto sería desconocería del enfoque operacional tras el arribo del estructural, lo cual no ocurrió, ya que en las Actividades 20, 22, 26 y 28 dichos gestos emergieron de nuevo. El grupo inicialmente hacia GI de movimiento circular, es decir, gestos en el aire que no apuntaban a algo concreto, esto ya que a través de estos exteriorizaban un fenómeno natural para ellos, un movimiento sensible que es reconocido en su SSSC, un fenómeno normal y natural para ellos, por lo que recrearlo a través de su cuerpo es natural, por ende, no necesitaban recrearlo sobre algo concreto para ellos, podían dibujar dicho movimiento en el aire (esto no implica que no realizaron gestos circulares siguiendo la trayectoria sobre un objeto concreto y sensible). Dicho gesto al evolucionar gradualmente a su representación senoidal – según las necesidades conceptuales de la unidad didáctica – tenían inicialmente una tipología de GIDO, es decir, los realizaron sobre una gráfica en el cuaderno, concreta y sensible, lo que demuestra que este nuevo gesto, esta nueva forma de representar un movimiento circular, este registro semiótico corporizado, representaba los primeros indicios de la toma de conciencia sobre el objeto, aun no es natural para ellos ¿y cómo serlo si el movimiento circular está en su contexto durante toda su vida (más de 14 años) mientras que este nuevo gesto ondulatorio apenas lleva 1 mes? De lo anterior se entiende el hecho de que el grupo usó gestos ondulatorios cuando se abordaba la representación gráfica en el plano cartesiano del movimiento de la piedra, pero en contextos cuando no se usaba dicha representación, por ejemplo, en la categoría de patrones, se

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volvía al gesto circular, esto es, naturalmente el hombre hace uso de la herramienta que tiene más arraigo, sobre la que tiene mayor grado de agenciamiento, sin importar su nivel de complejidad. Por lo que de cierta manera la unidad didáctica orienta la gesticulación de los estudiantes, cuando el signo mediador en la pregunta era la llanta, el gesto que prevalecía era el movimiento circular (lo que sucedió en el caso de la categoría de los patrones), mientras que cuando el signo de la forma de la gráfica en el plano cartesiano primaba, el gesto oscilatorio hacia presencia, por lo que el signo (e implícitamente la manera en que se presente la pregunta) guía la actividad y el objeto de la misma.

En este sentido es relevante entender el proceso de evolución del gesto. Los estudiantes al adentrase en la representación gráfica del movimiento circular que realiza la piedra centraron su atención más allá de lo que es evidente para su percepción, esto al ir al objeto de la actividad posibilitado por un coherente diseño de la unidad didáctica. Gracias a la repetición de los gestos del movimiento circular que transmitió información y confirió determinaciones concretas a saberes específicos, los cuales mutaron en el gesto icónico ondulatorio, gracias a la intencionalidad en la dirección operacional a estructural de la unidad didáctica, se posibilitó un proceso gradual de domesticación del ojo.

Este se debe concebir como un órgano no solo biológico sino cultural, por lo que la percepción visual lograda – materializada en el gesto ondulatorio – de cada uno de los estudiantes se debe a un saber cultural que han llegado a asir (Radford, 2023a), por ende “lo que vemos no es el resultado de entradas directas, sino de estímulos ya filtrados por significados e información sobre los objetos y los acontecimientos del mundo, significados transmitidos por el lenguaje y otros sistemas semióticos culturales” (Radford, 2023a, p. 141).

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Esto es, gracias a los procesos de objetivación emergentes en el recorrido de la unidad conceptual y contextual, los estudiantes lograron identificar visualmente rasgos distintivos y específicos en la representación gráfica de la relación periódica 𝑑!(𝑡). Es así como se logró discriminar y asociar la parte específica de la forma ondulatoria en el plano cartesiano con el movimiento circular de la piedra para un ciclo. Por lo que el gesto histórico y cultural inicial (gesto circular) aún está presente en los estudiantes, solo que mutó en otro, pero su significado se mantiene al hacer interrelaciones entre estos, lo cual posibilita procesos de objetivaciones profundos y multisemióticos.

Dicho proceso de domesticación del ojo actúa como unos lentes con los cuales los estudiantes observan el mundo, particularmente las curvas en el plano cartesiano que representan un fenómeno periódico. Dichos lentes (esquemas) fueron construidos en un proceso continuo subjetivo-objetivo-imaginario a partir de la experiencia de los estudiantes a través de la unidad contextual y conceptual (Lizcano, 1993).

Estos lentes ponen de manifiesto una toma de conciencia, un proceso de objetivación y subjetivación realizado; al anteponerse a la mirada, se orienta la atención y se refina la percepción sensorial (visual en este caso). De este modo, el estudiante reconoce y discrimina con mayor precisión la sección de la curva en el plano cartesiano que representa un ciclo en el fenómeno periódico.

En efecto, el imaginario de cada uno de los estudiantes se configura como lentes que domestican el ojo y lo convierten en un órgano intelectual sofisticado (Radford, 2023a), como una herramienta histórica y biológica con los que los estudiantes observan y analizan (y analizarán) las representaciones geométricas de los fenómenos periódicos, por lo que “el imaginario en que cada uno habitamos, el imaginario que nos habita, nos obstruye así ciertas

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percepciones, nos hurta ciertos caminos, pero también pone gratuitamente a nuestra disposición toda su potencia” (Lizcano, 2006, p. 43). Asimismo:

Dicho proceso de evolución del gesto no es definitivo, continúa su construcción. La movilización y articulación de medios semióticos de objetivación no es estable, inmutable; todo lo contrario, es dinámica, se encuentra en constate transformación. La movilización y articulación de los medios evoluciona a medida que evoluciona la labor conjunta y, por ende, las formas de pensamiento. (Pantano, 2020b, p. 90)

A medida que los estudiantes continuaron su trayecto a través de la unidad didáctica, de nivel conceptual creciente, percibieron con claridad esa forma ondulatoria de la gráfica en el plano cartesiano y la relacionaron pertinentemente con el movimiento circular, lo cual posibilitó que dicho gesto se convirtiera en un transmisor y receptor de información en el grupo. Y ya que ese gesto fue legitimado por su SSSC, se configuró en un MSO significativo para el grupo. Este signo (gesto ondulatorio) se convirtió en un registro semiótico (Duval 1999), en un signo que habitaba en cada uno, ya era parte de ellos, es decir, un concepto (Radford, 2023a) que es entendido desde el materialismo dialéctico como un sistema compuesto de unidades interrelacionadas (intra), a su vez concebido como parte de un sistema en el que se encuentran interrelacionados con otros conceptos (inter) en donde los conceptos cotidianos afectan los científicos y viceversa (Vygotski, 2015).

El proceso de domesticación del ojo, respecto al gesto senoidal – a partir del gesto circular – se desarrolló cuando los estudiantes fueron afectados por los artefactos de la representación circular del movimiento de la piedra y especialmente por su representación senoidal en el plano cartesiano. Al contacto con este último, los estudiantes reestructuraron sus

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movimientos y generaron capacidades motrices e intelectuales nuevas: como la anticipación, la memoria y la percepción (Vygotski y Luria, 1994; Radford, 2006).

Esto permitió, en el marco de la unidad conceptual y problematizadora, que los estudiantes identificaran y percibieran paulatinamente con claridad el objeto cultural en cuestión: la parte de la gráfica en el plano cartesiano que representaba un ciclo, por lo que al sentirlo “este se transforma en objeto de consciencia y pensamiento [Gegenstand], con lo que se transforma así no solo la consciencia, sino el cuerpo que lo siente y sus sentidos” (Radford, 2023a, p. 159). En consecuencia, se puede apreciar que la percepción de esta forma senoidal es más consciente y clara, es como si fuera un proceso de contracción semiótica gestual. Identificación De Patrones De Las Magnitudes De Un Fenómeno Periódico La identificación de patrones es causa y efecto de los procesos de objetivación al ir al encuentro de las formas histórico-culturales de pensar matemáticamente sobre fenómenos periódicos a través de las funciones trigonométricas. La identificación de patrones es un saber necesario para ir al encuentro del saber de función trigonométrica, la determinación de patrones en procesos de variación es relevante en el constructo del saber de función ya que se considera “la identificación de regularidades en relaciones cambiantes como una manera de lidiar con los cambios” (Sierpinska, 1992, p. 31).

Al ir al encuentro de otros saberes necesarios como la representación en el plano cartesiano del movimiento periódico, o la identificación y reconocimiento del periodo en un fenómeno cíclico, la identificación de patrones de diferentes variables emerge. Es así como las categorías estructurales previas están en relación dialéctica con la identificación de patrones de las magnitudes de un fenómeno periódico cíclico, por lo que no se debe limitar el análisis de

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patrones (especialmente el de la variable tiempo) a esta sección del documento, su análisis ya inició en dichas categorías.

Ahora bien, el saber matemático último de la presente investigación corresponde a las formas histórico-culturales de pensar matemáticamente sobre fenómenos periódicos a través de las funciones trigonométricas, esto a través de la relación periódica distancia vertical en función del tiempo 𝑑!(𝑡), como se ha logrado entrever en el transcurso de las categorías estructurales abordadas y en general en el diseño de la tarea. Con base a estas variables se concretaron (hasta este momento del análisis) sus conjeturas, reflexiones y debates a través de la tabla de valores (Figura 12) y la gráfica en el plano cartesiano (Figura 15), entonces, particularmente ¿Por qué es importante el ángulo θ atribuido a determinada posición de la piedra? Primeramente, es necesario establecer que los estudiantes al enfrentarse al fenómeno cíclico, ellos mismos se vieron en la necesidad de hacer uso de herramientas matemáticas para modelar y concebir dicho fenómeno y esto lo realizaron a partir del ángulo de giro atribuido al movimiento de la piedra. De ahí que el análisis del patrón de la magnitud ángulo de giro no fue algo previsto en el diseño metodológico, fue una categoría emergente debido al esfuerzo espontáneo e intencionado de los estudiantes por ir al encuentro del fenómeno periódico. En segunda instancia, al anteponerse al inherente enfoque estructural al que se encamina el diseño de la tarea según el objetivo de la actividad y al reconocer que la representación mental originada del enfoque operacional no es suficiente para realizar tomas de conciencia profunda ya que “sin la habilidad de pensar estructuralmente, el aprendiz se sentiría a menudo perdido” (Sfard, 1992, p. 66), en el problema número 4 se buscó sintetizar la representación estructural algebraica de la relación 𝑑!(𝑡).

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Esta se denota con la función trigonométrica seno cuyo argumento es un número real (en este caso el tiempo), diferente a la naturaleza angular del argumento en operaciones trigonométricas normalmente usado debido a la génesis operacional de la relación funcional 𝑑!(𝑡) a través de giros (ángulo) en la llanta de la bicicleta de Thomás extrapolados a la curva en el plano cartesiano, por lo que para los estudiantes era familiar y consistente determinar el seno o coseno de un ángulo cualquiera, pero por ejemplo ¿determinar el seno de 5 segundos? Es algo que carece de sentido según sus conceptos preconcebidos.

Sin embargo, dado que en los cursos de precálculo y de cálculo diferencial e integral se trabaja con funciones reales de variable real, no podemos usar las definiciones trigonométricas que hemos descrito anteriormente, hasta que no estén propiamente definidas sobre números reales. (Cantoral y Montiel, 2014, p. 165)

En ese orden de ideas, en aras de sintetizar la representación estructural algebraica de la relación 𝑑!(𝑡) y al reconocer su génesis operacional y significativa antes que su estatus de objeto matemático abstracto (Sfard, 1991; Dubinsky y Harel, 1992), en el diseño de la actividad en su componente didáctica (Φ), se consideró la necesidad del paso de la magnitud del argumento de la función trigonométrica de un ángulo a un número real (atribuido a la variable tiempo). Esto en busca de tomas de conciencia respecto a las relaciones emergentes entre las variables tiempo, distancia vertical y ángulo, de donde también pueden emerger procesos de objetivación respecto a las regularidades y patrones de la variación del ángulo.

En la estructura del análisis a continuación, inicialmente se analizará la magnitud tiempo en las Actividades 7 y 18 seguido de su análisis general y posteriormente se analizará la magnitud ángulo de giro en las Actividades 6, 20, 21, 22 y 24 seguido de su análisis general.

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Actividad 7 (Pregunta 3-2) Posterior a la vivencia con el video de la llanta y de la piedra proyectado en el tablero del aula de clase (pregunta 2-2), el grupo inicia la pregunta 3-2, donde deben identificar si hay algún tipo de patrón o patrones que se evidencie en la tabla de valores. En este segmento de actividad se enfocaron en la magnitud tiempo.

Tabla 13 Actividad 7: Lenguaje multimodal al encuentro de la identificación de patrones de las magnitudes de un fenómeno periódico cíclico. Pregunta 3-2 Actividad 7 / Sesión 5 / Tiempo 02:10 – 03:52 / Pregunta 3-2 Línea Lenguaje multimodal (243) S: Sí. Hay un patrón (244) C: ¿Cuál?

(245) S (observa la tabla de valores pensativo) (246) C: Podría ser ver cuánto transcurre de esto a esto [GIDO – señala con el dedo en la tabla de valores (Figura 12) dos valores consecutivos de tiempo arbitrarios y luego señala otros dos valores de tiempo diferentes] Si transcurre lo mismo ahí está el patrón. (247) S: A ver … 5 … 5 … 5 (248) C: ¿Seguro?

(249) S: Obvio. De 4 a 9, 5 [GIDO – señala los tiempos de los datos 2 y 3, Figura 12] (250) C: ¿5 qué?

(251) S: 5, el patrón es 5. 5 no sé, pero son 5 (252) S: 5, 9, 14 [GIDO – señala los tiempos de los datos 2, 3 y 4, Figura 12] ¿Si me entiende? Acá hay 5, acá hay 5, acá hay 5 [GIDO – a medida que señala los valores del tiempo de la tabla de valores, de forma secuencial y rítmica dice acá hay 5, acá hay 5, acá hay 5]

En aras de identificar algún tipo de regularidad (patrón) en el comportamiento de variación del tiempo, Carol establece coherente y empíricamente la característica necesaria para establecer la existencia de un patrón: “ver cuánto transcurre de esto a esto. Si transcurre lo mismo ahí está el patrón” (línea 246), ella con un GIDO señala con el dedo en la tabla de valores

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(Figura 12) dos valores consecutivos de tiempo arbitrarios y luego señala otros dos valores de tiempo diferentes; ella determina claramente que si la variación entre dos valores de tiempo consecutivos se repite entre otros valores de tiempo consecutivos sería igual, esto es, un patrón. Samuel responde a la conjetura de Carol, dice “(…) 5 (…) 5 (…) 5” (línea 247), al exponer que “de 4 a 9, 5 [GIDO – señala los tiempos de los datos 2 y 3, Figura 12]” (línea 249) hay “5, el patrón es 5. 5 no sé, pero son 5” (línea 251). Él añade: “5, 9, 14 [GIDO – señala los tiempos de los datos 2, 3 y 4, Figura 12] ¿Si me entiende? Acá hay 5, acá hay 5, acá hay 5 [GIDO – a medida que señala los valores del tiempo de la tabla de valores, de forma secuencial y rítmica dice acá hay 5, acá hay 5, acá hay 5]” (línea 252).

En esta Actividad 7, Samuel establece una variación, un patrón, de forma aritmética (aproximada) a través de un análisis visual del comportamiento de los valores de los tiempos en la tabla de valores (Figura 12), él establece un valor aproximado de variación de 5, es decir un patrón. Esto toma mayor claridad al intentar explicarle a Carol de la línea 248 a 252, Samuel intenta convencerla con argumentos aritméticos coherentes, esta mediación no solo busca el consenso, sino que otorga estabilidad al saber que el grupo actualiza de manera progresiva. Esto el grupo lo legitima al plasmarlo en su hoja de respuestas (Figura 22), en la cual añaden otros registros semióticos que se configuran como medios para cristalizar su lenguaje multimodal. Ellos bosquejan las posiciones de la piedra registradas en la tabla de valores a través del video proyectado en el tablero; afirman que entre cada ubicación o segmento – como lo escriben en la hoja de respuestas (Figura 22) – hay un espacio temporal de “5 s”. Mediante este registro semiótico, fue posible precisar la naturaleza de la magnitud que Samuel no había logrado identificar previamente (línea 251): cinco segundos. El grupo en su registro textual (Figura 22) sorteó esta falencia, con lo que se puede apreciar un proceso de

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cognición contextual al identificar no sólo cómo cambia, sino el objeto que cambia (Sierpinska, 1992), esto al conferirle significado a través de su unidad de medida. Figura 22 Respuesta pregunta 3-2. Bosquejo del patrón de la relación tiempo y ángulo

Al manifestar que “el patrón es 5. 5 no sé, pero son 5” (línea 251), Samuel reconoce su vulnerabilidad, reconoce sus limitaciones, sin embargo, se expone al grupo con su conjetura a esperas de un acogimiento por parte de este, lo cual realiza Carol con actitud de escucha, de reconocimiento al otro y de atención a la actividad; así púes, se pone de manifiesto la ética comunitaria emergente (Lasprilla et al., 2021).

En este mismo registro (Figura 22) los estudiantes reafirman la variación del tiempo a través de un patrón, ellos escriben “para cada segmento el tiempo trascurrido es el mismo”, el cual plasman a través del número “5 s” en el bosquejo de la llanta. A su vez, en la misma respuesta sintetizan lo concluido en la Actividad 6: “cada segmento tiene un ángulo de 30°” (Figura 22), con lo que se percibe un proceso de toma de conciencia respecto a la relación entre las variables tiempo y ángulo, al poder establecer tácitamente que la piedra recorre 30° cada 5 segundos.

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Cabe resaltar que el valor aritmético determinado por el grupo es una aproximación de los valores de tiempo en la tabla de valores. Esto sin mencionar que el valor aproximado al que ellos se referían en realidad era 0,05 s, pero lo resumieron como 5 s, sin embargo, el hecho de que hayan verbalizado el número de otra forma no implica que la imagen mental de este número fuera incorrecta, estaba representado (verbalizado) de una forma diferente, por lo que en no le quita merito a la génesis e identificación del patrón de la variable tiempo. Actividad 18 (Pregunta 1-3) Posterior a la toma de conciencia inicial en cuánto al patrón de variación del tiempo del movimiento de la piedra a través de la tabla de valores, el grupo en su paso por el problema 2 se vio inmerso en la periodicidad del fenómeno a través de su representación gráfica en el plano cartesiano – y de forma implícita a la incipiente relación entre gráfica y tabla – al realizar pensamientos infinitesimales respecto a la densidad infinita de las posiciones posibles que puede tomar la piedra en la llanta. En la pregunta 1-3, donde debían determinar las graduaciones del tiempo en el plano cartesiano en una nueva grafica en el plano cartesiano dada, continuaron su proceso de objetivación respecto al patrón de la variación del tiempo del movimiento de la piedra.

Tabla 14 Actividad 18: Lenguaje multimodal al encuentro de la identificación de patrones de las magnitudes de un fenómeno periódico cíclico. Pregunta 1-3 Actividad 18 / Sesión 8 / Tiempo 1:18:23 – 1:22:53 / Pregunta 1-3 Línea Lenguaje multimodal (253) C: Podría ser dividido a la mitad [GIDO – señala el punto que representa media vuelta, Figura 18]. La mitad de eso sería un tiempo.

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(254) C: ¡Claro!

(255) C: Entonces este tiempo se podría dividir entre dos para hallar este [GIDO – primero señala el punto que representa media vuelta y luego el punto que representa un cuarto de vuelta, Figura 18].

(256) M y S (No dicen nada, pero claramente corporizan a través de su expresión que no entienden) (257) C: O sea, la mitad de este tiempo es este exactico [GIDO – primero señala el punto que representa media vuelta y luego el punto que representa un cuarto de vuelta, Figura 18].

(258) M: Ahhhh (259) C (le explica al profesor cuando se acerca): Si el total es 56, entonces lo dividimos en dos para hallar este punto [GIDO – primero señala el punto que representa una vuelta completa y luego el punto que representa media vuelta, Figura 18]. Que es la mitad de la vuelta de la piedra.

(260) P: Siii (261) C: Entonces este punto lo dividimos a la mitad para hallar este de acá [GIDO – primero señala el punto que representa media vuelta y luego el punto que representa un cuarto de vuelta, Figura 18].

(262) P: Ahí lo que está diciendo está perfecto. Con eso hallen los demás (el profesor se retira) (263) C (usa la calculadora para hallar los tiempos requeridos y mostrándole la calculadora le dice a Michell): Este es el tiempo que debe ir acá [GIDO – señala el punto que representa tres cuartos de vuelta, Figura 18] ¿Si entendió? (264) M [GI - mueve la cabeza en vaivén para decir que no] (265) S: La mitad de este … (266) C (interrumpe a Samuel): O sea, la mitad de estos dos [GIDO – señala el punto que representa media vuelta y el punto de inicio, Figura 18] se la sumé a este para que nos diera este [GIDO – primero señala el punto que representa media vuelta y luego el punto que representa tres cuartos de vuelta, Figura 18] (267) M: Ahh ok. Ya entendí.

(268) P (se acerca el profesor y le pregunta al grupo): Este punto (0.4233 s) ¿Cómo lo hallaron? [GIDO – señala el punto que representa tres cuartos de vuelta, Figura 18] (269) C: El tiempo que hay de aquí a acá [GIDO – con un dedo señala el punto que representa un cuarto de vuelta (𝒕= 𝟎, 𝟏𝟒𝟏𝟏𝒔) y con otro dedo señala el punto que representa media vuelta (𝒕= 𝟎, 𝟐𝟖𝟐𝟐𝒔), Figura 18] entonces seria la misma que hay de aquí a acá [GIDO – con un dedo señala el punto que representa media vuelta (𝒕= 𝟎, 𝟐𝟖𝟐𝟐𝒔) y con otro el punto que representa tres cuartos de vuelta (𝒕= 𝟎, 𝟒𝟐𝟑𝟑𝒔), Figura 18]. Entonces a este le sumamos este y nos dio esto [GIDO – primero señala con un dedo el punto que representa media vuelta (𝒕= 𝟎, 𝟐𝟖𝟐𝟐𝒔), luego señala el punto que representa un cuarto de vuelta (𝒕= 𝟎, 𝟏𝟒𝟏𝟏𝒔) y luego señala el punto que representa tres cuartos de vuelta (𝒕= 𝟎, 𝟒𝟐𝟑𝟑𝒔), Figura 18].

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(270) P: Muy bien.

Mientras que en la Actividad 7 los estudiantes realizaron procesos de objetivación de la identificación de la regularidad de la variable tiempo (variable independiente) a través de la tabla de valores (Figura 12) la cual se obtuvo para posiciones de la piedra cada 30° (pregunta 2-2), en la Actividad 18 se buscaba identificar el patrón del tiempo cada 90° desde la representación gráfica (ideal) en el plano cartesiano, esto con el fin de generar un arraigo, una toma de conciencia profunda en cuánto a: el manejo de la tabla y su relación con el movimiento discriminado de la piedra en la llanta y en cuanto al manejo discriminado (en otra escala que la tabla) de la gráfica.

El proceso de reconocimiento del patrón de la variable tiempo se potenció de forma paralela y dialéctica con las formas histórico culturales de actuar y pensar matemáticamente sobre el periodo en un fenómeno cíclico y sobre la representación gráfica del mismo, esto es, se fomentó una toma de conciencia profunda al identificar la regularidad de la variable tiempo desde distintas representaciones (con escalas diferentes), a su vez se generaron implícitamente conexiones entre dos registros semióticos: tabla de valores y grafica en el plano cartesiano. A lo largo del análisis presentado hasta el momento – y particularmente en este pasaje – se puede vislumbrar que, en una misma actividad, en un mismo proceso de objetivación – debido a la complejidad del saber ultimo respecto la función trigonométrica – se puede ir al encuentro uno o más saberes precursores y necesarios para este.

Objetivación del Saber de Función Trigonométrica 292

En la Actividad 17 (pregunta 1-3), en el encuentro con las formas histórico culturales de actuar y pensar matemáticamente sobre el periodo en un fenómeno cíclico, implícita y dialécticamente, el grupo también fue al encuentro de las formas histórico culturales de actuar y pensar matemáticamente sobre la identificación de regularidades de las magnitudes en dicho fenómeno.

En la Actividad 17 el grupo estableció la proporcionalidad del tiempo “si esto es proporcional [GIDO – recorre con el dedo la parte de la gráfica, Figura 18, que representa una vuelta], entonces seria dividido 4” (línea 210) a partir de la simetría y periodicidad de la forma de la gráfica que describe el movimiento de la piedra en la rueda de la bicicleta de Thomás al determinar los valores de tiempo de las posiciones cardinales de la piedra en la llanta – para 1/4, 1/2 y 3/4 de vuelta – en dicha gráfica.

De este modo, al establecer una proporcionalidad supeditada al periodo, la toma de conciencia sobre la regularidad en la variación del tiempo tiende hacia una complejidad mayor. Este proceso complementa los procesos de objetivación realizados – de forma aritmética a través de la tabla de valores – en la Actividad 7 y articula los procesos de objetivación con otras representaciones semióticas de carácter gráfico, lo cual favorece el desarrollo de tomas de conciencia complejas, estables, contextuales, interconectadas e intersemióticas. Un par de minutos después que finaliza la Actividad 17 (que se analizó en la categoría estructural del periodo de un fenómeno cíclico) continuó la Actividad 18 que se analiza actualmente en la categoría estructural la identificación de patrones de las magnitudes de un fenómeno periódico. El lenguaje multimodal de Samuel al establecer la conjetura para determinar los tiempos para cuando la piedra se encuentra a 90°, 180°, 270° a partir del periodo a

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través de la representación gráfica senoidal del movimiento (Actividad 17, línea 210) no pasa desapercibido, Carol lo reconoce, lo escucha atentamente y toma la vocería. En la presente Actividad 18, Carol entre las líneas 253 y 261 establece un método proporcional de determinar los valores de tiempo solicitados, es decir, para determinar la regularidad de la variación del tiempo en la representación gráfica en el plano cartesiano. Correctamente, ella establece que el periodo (tiempo de un ciclo) se puede dividir a la mitad para hallar el tiempo que recorre en media vuelta, esto al señalar adecuadamente el punto que representa media vuelta en el plano cartesiano: “podría ser dividido a la mitad [GIDO – señala el punto que representa media vuelta, Figura 18]. La mitad de eso sería un tiempo” (línea 253). Acto seguido, Carol exclama efusivamente “¡Claro!” (línea 254), lo que muestra la emergencia de una idea que concuerda con los planteamientos y requerimientos matemáticos de la pregunta, a su vez denota la toma de conciencia realizada en cuanto al reconocimiento del carácter periódico a partir de la representación gráfica senoidal del movimiento cíclico. Seguidamente establece que ese tiempo (el de medio ciclo) lo divide en dos para hallar el tiempo de un cuarto de vuelta, Carol señala correctamente el punto de la gráfica (líneas 255 y 261). Este proceso se desarrolla de manera cualitativa y prescinde de cálculos numéricos, pues se apoya en representaciones mentales. A través de esta abstracción, Carol predice el resultado, se enfoca más en el cómo que en el cuánto, esto es, desplaza el interés por el dato cuantitativo hacia la comprensión de la dinámica del fenómeno. En otras palabras, la atención se centra en la razón de la acción, lo cual permite una contextualización coherente con la partición del movimiento circular de la piedra, tal como propuso Samuel en la línea 210.

El docente al acercarse al grupo (línea 260), le responde positivamente la interrogante de Carol. Dicha respuesta, caracterizada por una entonación particular, indica una validación de la

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exposición realizada por Carol hasta ese momento. Ese “Siii” (línea 260) actúa como una manifestación sensible de un decir que no resuena (Lévinas, 2005), “en el lenguaje del decir no hay inscripción que se vea ni sonido que se oiga; lo que hay es la vibración o resonancia del Ser” (Radford, 2023a, p. 267), mediante este decir el profesor significa su proximidad y su exposición con Carol, de ahí que su comunicación no actúa como un intercambio de ideas sino como exposición (Radford, 2023a). Esto es refleja el vector cuidado del otro y compromiso, ya que el profesor está atento al lenguaje multimodal de Carol, está comprometido con la actividad que toma presencia en el aula de clase.

En la línea 263 Carol explica cuantitativamente el valor que debe tomar el punto en el plano cartesiano que representa tres cuartos de vuelta y le pregunta a Michell “¿Si entendió?”. Esta pregunta muestra la responsabilidad y el cuidado del otro, a Carol no le interesa un proceso solipsista, desde el momento en que les explicó su forma de resolver el problema demuestra una interacción colectiva del flujo del saber. Carol pudo hacer conservado su planteamiento para sí, evitando socializarlo con el resto del grupo, pero siente la necesidad comunitaria e históricocultural de reconocerse a través del otro.

Ahora bien, es a través del otro que se forma el yo, esto según la filosofía ética de Lévinas quien “rompió con el esquema sujeto-objeto que había sostenido la metafísica de la filosofía occidental y postuló un nuevo esquema: yo-otro” (Lasprilla et al., 2021, p. 233) lo cual se entiende de forma dialéctica, al entender que el yo se debe al otro y es el otro quien constituye ese yo.

Toma presencia el vector compromiso al atender a una necesidad colectiva: Carol les hace participe a sus compañeros de su planteamiento para que ellos también se integren en la solución de esa necesidad colectiva, los acoge. Demuestra su proceso de interacción social al

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preocuparse por el entendimiento de sus compañeros, con la pregunta “¿Si entendió?” (línea 263), Carol reafirma su preocupación en sus compañeros, se interesa porque ellos también comprendan.

Inclusive al ver que sus compañeros no entienden bien (línea 264), ella se esfuerza aún más – explica de nuevo su hipótesis (línea 266) – para que ese conocimiento que está emergiendo en el grupo no sea solamente de ella, sino de todos, los hace participes y su esfuerzo es retribuido cuando Michell de manera efusiva dice “Ahh ok. Ya entendí” (línea 267). Respecto al gesto de Michell en la línea 264, en el que no emite sonido, pero mueve su cabeza al corporizar que no entendió lo expuesto por Carol, acude al llamado de su compañera, levanta la cabeza y la mira a los ojos, la reconoce. Se debe entender que: […] el responderse el uno al otro no solamente se hace explícito a través de aquello que se dice, ni de las preguntas formuladas, ni de las respuestas dadas, sino también a través de la actividad corpórea y de las expresiones dibujadas en el rostro, es decir, de una formulación semiótica. (Pantano, 2020a, p. 123)

En pro de buscar una toma de conciencia profunda, el profesor se acerca y le pregunta al grupo “este punto ¿Cómo lo hallaron? [GIDO – señala el punto que representa tres cuartos de vuelta, Figura 18]” (línea 268). El profesor procura una verbalización sintética y clara por parte del grupo a través de los cálculos aritméticos realizados, de esa forma, al conocer el objetivo de la actividad (de la pregunta en este caso específico) busca dar continuidad a la actividad para propiciar una toma de conciencia más profunda.

En la línea 269, Carol presenta al profesor una explicación distinta a la que ofreció inicialmente a sus compañeros. En esta nueva exposición multimodal que integra elementos

Objetivación del Saber de Función Trigonométrica 296

verbales y gestuales, Carol establece inherentemente un patrón para el tiempo, establece la tasa de cambio para esta variable, con lo que se posibilita un proceso de objetivación complejo al realizar la misma acción de formas diferentes, lo cual se configura como una contracción semiótica al exponer su pensamiento de una forma diferente, clara, sintáctica y contundente. A partir del periodo, y con su proceso de divisiones consecutivas, Carol estableció que el tiempo que transcurre entre el punto que representa un cuarto de vuelta y media vuelta (0,2822 s

– 0,1411 s = 0,1411 s) es igual al tiempo que transcurre entre tres cuartos de vuelta y media

vuelta (0,4233 s – 0,2822 s = 0,1411 s), por ende, entre cada cuarto de vuelta (cada que la piedra realiza una traslación de 90°) pasan 0,1411 s.

Así pues, el grupo confirmó el carácter proporcional de la variación del tiempo en el movimiento de la piedra a través de la gráfica periódica y simétrica en el plano cartesiano (Figura 18) iniciado con el análisis visual al identificar el patrón del tiempo a través de la tabla de valores (Actividad conjunta 7).

El grupo logra establecer entonces procesos multisemióticos respecto a la toma de conciencia de la proporcionalidad con la que varía el tiempo, lo que repercute en un proceso de objetivación enriquecido en el encuentro con las formas histórico culturales de pensar y actuar matemáticamente sobre la identificación de patrones de la magnitud tiempo en un fenómeno periódico.

Análisis General (Tiempo) Es necesario aclarar que la proporcionalidad establecida de la variable tiempo se configura en el marco de una variación lineal, diferente a la variación periódica que es característica de una función trigonométrica48. Esto no quiere decir que las tomas de conciencia

48 La tasa de cambio de connotación periódica es propia de la variable dependiente, es decir, la distancia vertical, la cual se analizará en la categoría estructural: variación de la distancia vertical en un fenómeno periódico.

Objetivación del Saber de Función Trigonométrica 297

realizadas por los estudiantes son ajenas y por tanto impertinentes al objeto matemático de estudio.

Los procesos de objetivación esbozados al ir al encuentro de la regularidad del tiempo en el movimiento circular de la piedra son fruto y necesarios del análisis del fenómeno periódico, estos procesos surgieron espontáneamente de la necesidad de los estudiantes de razonar sobre dicho movimiento desde múltiples representaciones y son necesarios ya que “la identificación de regularidades en relaciones cambiantes como una manera de lidiar con los cambios” (Sierpinska, 1992, p. 31) es un indicio del entendimiento del saber de función trigonométrica, es decir, la identificación de patrones de las magnitudes implicadas en la relación funcional49; esto sin mencionar el rol de dicha variación lineal respecto a la cohesión en la dialéctica entre los saberes propios en el encuentro con el saber de función trigonométrica: las diferentes categorías estructurales expuestas en el análisis.

En la Actividad 7 y 18 no se menciona, pero las líneas 10, 23, 295 hacen alusión a la naturaleza constante del tiempo, sin embargo, se debe tener atención al contexto de dichas líneas y la intención de los estudiantes en ellas, ya que ellos se refieren es la variación de la variable y no a la variable como tal. Por ejemplo, ellos plantean que “el tiempo es constante” (línea 10), pero no se refieren a la invariabilidad del tiempo, sino a la constante variación del tiempo, esto es, el grupo reconoce que la magnitud tiempo varia, pero su variación se realiza de forma constante, regular, proporcional. Esto manifiesta que el grupo va más allá de la “discriminación entre cantidades constantes y variables” (Sierpinska, 1992, p. 36) – que es un índice de entendimiento respecto al saber de funciones – al calificar la variación de la variable tiempo

49 La identificación de regularidades – como un indicio del entendimiento del saber de función – no solo se dio en la variable tiempo, sino en el ángulo (Actividad 22 y 24) y la distancia vertical (Actividad 8, 25 y 26) y en la relación dialéctica entre estas al establecer relaciones cualitativas y cuantitativas de regularidad entre variables.

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como constante, con lo que manifiestan un complejo proceso de objetivación respecto al saber de función trigonométrica.

Se debe mencionar que en la Actividad 7, a partir de la tabla de valores el grupo concluyó implícitamente que cada 0,05 segundos la piedra recorre 30° (Figura 22), pero en la Actividad 18, a partir de una gráfica dada (no la construida por ellos a partir de la tabla de valores), determinaron también implícitamente que cada 0,1411 segundos la piedra recorre un cuarto de vuelta (90°) ¿Hay dos patrones del tiempo? La respuesta es no.

Es necesario hacer un análisis aritmético, si cada 0,05 segundos se recorre 30°, en esta variación proporcional recorrerá entonces 0,15 segundos cada 90°, similar a lo concluido por los estudiantes a partir de la gráfica en la Actividad 7, esto es, 0,15 segundos ≈ 0,1411 segundos. De este modo se pone de manifiesto la realización de un cálculo aproximado en cuanto al patrón del tiempo.

Lo anterior se explica a través de dos razones. Primero, la proporción establecida de 0,05 segundos la piedra recorre 30° se realizó a través de la tabla de valores, la cual se realizó mediante el video proyectado en el tablero del aula de clases, donde ellos realizaron mediciones pausando y adelantando el video, esta manipulación – y el solo hecho de realizar mediciones – acarrea un incipiente error de medición de los datos que fueron registrados en la tabla de valores, en donde se obtuvo un valor aproximado de la regularidad del tiempo de 0,15 segundos (cada 90°).

Segundo, en contra parte, la gráfica (Figura 18) – a partir de la cual se estableció la razón de cambio de la piedra: 0.1411 segundos cada cuarto de vuelta (90°) – obedece al objetivo de homogenizar los datos y cálculos posteriores de los grupos y de fomentar una toma de conciencia del movimiento cíclico a partir del periodo, no de la tabla de valores, por lo que a través de esta

Objetivación del Saber de Función Trigonométrica 299

gráfica ideal del movimiento cíclico de la piedra (Actividad 18, pregunta 1-3), en donde no eran necesarias mediciones, se establecieron valores aritméticos exactos (ideales). Actividad 6 (Pregunta 2-2) En esta Actividad 6 se inicia el análisis de la magnitud ángulo de giro. En esta pregunta 2-2, donde el grupo interactúa y manipula el video de la piedra que rota a la par con la llanta de la bicicleta de Thomás, inician procesos de tomas de conciencia al establecer cómo es la variación de la magnitud ángulo, es decir, la razón de cambio de su variación. El grupo al interactuar con el video proyectado en el tablero tuvo la posibilidad de avanzar, pausar y retroceder el movimiento de la piedra en la bicicleta de Thomás, de realizar mediciones de longitud, ángulo y tiempo con material concreto, a su vez consignaron signos semióticos al escribir, marcar y rayar sobre la llanta de la bicicleta de Thomás. De ahí que los estudiantes reflexionaron en forma concreto-sensorial acerca del movimiento periódico que realiza la piedra “como una fuente de conocimiento para posibilitar el movimiento de su pensamiento hacia un nivel de concreción racional” (Quintero, 2018, p. 69). Tabla 15 Actividad 6: Lenguaje multimodal al encuentro de la identificación de patrones de las magnitudes de un fenómeno periódico cíclico. Pregunta 2-2 Actividad 6 / Sesión 4 / Tiempo 09:30 – 11:39 / Pregunta 2-2 Línea Lenguaje multimodal (271) M: Seria repartir esto [GIDO – señala la llanta] en 12 (con un marcador, hace uso de los radios de la llanta para poner puntos arbitrarios sobre su circunferencia)

(272) P: La pregunta es ¿Si están equidistantes? ¿Cómo garantizan que están equidistantes? (273) S: ¡Ya sé! Tengo una suposición. Entre cada línea debe haber lo mismo (no verbaliza la palabra ángulo o grados) (274) P: ¿Cómo sería eso?

Objetivación del Saber de Función Trigonométrica 300

(275) S (ubica un transportador en el tablero sobre la llanta): Acá 30, 60, 90 …

(276) C (sigue el conteo): 120, 150, 180, 210, 240, 270, 300 y 330 (277) P: ¿Qué conclusión sacan de eso?

(278) C: Tienen la misma distancia (279) M: 30 (280) P: ¿30 qué?

(281) S: Grados

Al entender que la pregunta 2-2 busca obtener datos de distancia vertical y tiempo de 12 ubicaciones equidistantes que puede tomar la piedra en la llanta, Michell establece que “seria repartir esto [GIDO – señala la llanta] en 12” (línea 271) y con un marcador hace uso de los radios de la llanta para hacer marcas (puntos arbitrarios) sobre la llanta al intentar espaciarlos equitativamente, “estas marcas o huellas desempeñan un papel fundamental en la labor conjunta” (Pantano, 2020a, p. 126) ya que posibilita la materialización de las ubicaciones equidistantes que puede tomar la piedra en la llanta. Es así, con material concreto bajo una actividad kinestésica, se fomenta una labor conjunta dinámica, crítica y científica.

Samuel complementa a lo expuesto por Michell: “tengo una suposición. Entre cada línea debe haber lo mismo” (línea 273), luego ubica el transportador en el centro de la llanta y verbaliza “30, 60, 90 …” (línea 275) a lo que Carol complementa: “120, 150, 180, 210, 240, 270, 300 y 330” (línea 276). El hecho de continuar la idea que plantea el compañero es un indicio de la energía que circula en el aula de clases, de la ética comunitaria que emerge y del proceso de objetivación que se manifiesta.

Se observa una convergencia en el razonamiento del grupo, cuyos integrantes exteriorizan sus planteamientos de manera sincrónica y coherente. Esta dinámica da cuenta de

Objetivación del Saber de Función Trigonométrica 301

una labor conjunta que inicia un proceso de objetivación orientado a la identificación de regularidades en la magnitud del ángulo dentro del movimiento cíclico. Dicho proceso adquiere connotaciones concretas al verbalizar que entre cada uno de los 12 puntos hay la misma distancia (angular) de 30° (línea 278 a 281). Se observa el surgimiento de una concepción de la variación angular basada en una secuencia lineal, esto es, los estudiantes atribuyen una proporcionalidad lineal al cambio del ángulo.

El hecho de usar el video del movimiento de la piedra y la llanta proyectado en el tablero del aula de clases, otorgó sentido aún más a un fenómeno experiencial y natural para el grupo como es el movimiento circular de la llanta de una bicicleta, esto al tener la posibilidad de manipular el video (retroceder, avanzar, pausar, cambiar su velocidad de reproducción), poder tomar medidas a través de instrumentos de medición y poder rayar sobre el video. Al poder utilizar material concreto, permitió que lo verbalizado hasta el momento (pregunta 2-2) adquiriera determinaciones sensibles a través de las cuales esa gran potencialidad denominada formas histórico-culturales de pensar matemáticamente sobre fenómenos periódicos a través de funciones trigonométricas, empezara a actualizarse (conocimiento), lo que permite iniciar el proceso de pasar “del movimiento de la piedra” (general) a “este movimiento de la piedra” (particular) a través de la actividad realizada y del material concreto que otorgó características sensibles, esto ya que “si las funciones trigonométricas primero son introducidas como longitudes de segmentos de línea en un círculo [distancia vertical] (…) adquieren un significado concreto” (Bressoud, 2010, p. 112), además:

[…] si a los estudiantes se les da la oportunidad de aplicar y reflexionar sobre los procesos de construcción geométricos usados para evaluar operaciones trigonometrías, ellos entenderán esas operaciones en un nivel más profundo que si hubieran pensado en

Objetivación del Saber de Función Trigonométrica 302

esas operaciones solo como razones que puede ser aplicadas para un triángulo rectángulo dado. (Weber et al., 2008, p. 147)

En este caso, las operaciones trigonométricas estaban implícitas, el objetivo no se fundamentó en calcular el valor del seno para cierto ángulo, la actividad se centró en otorgar significado a los datos de tiempo y distancia vertical a través de la unidad contextual y la medición de dichos valores con material concreto ya que los estudiantes pueden desarrollar una comprensión más profunda de los procesos si primero los aplican y luego reflexionan sobre sus acciones (Weber et al., 2008).

A su vez, se debe añadir que también hay un proceso de atribución de significado a través de la unidad medida que fue verbalizada por los estudiantes: “grados” (línea 281) tras una intencionada intervención del profesor al cuestionar sobre la naturaleza de los números que enunciaban (línea 280), respecto a lo cual se debe reconocer que “el estudiante construye la funcionalidad-trigonométrica cuando (…) hace uso de la unidad de medida adecuada a la experiencia física y la reconoce en la representación gráfica de los datos obtenidos de la situación que le da origen” (Montiel, 2013, p. 47).

Los estudiantes entonces obtuvieron los valores de distancia y tiempo para posiciones de la piedra en la llanta de la bicicleta de Thomás espaciadas equitativamente cada 30°. Dichos datos los agruparon en la tabla de valores de la Figura 12 – así pues, en la búsqueda de la relación trigonométrica entre 𝑑! y 𝑡, se erigen relaciones lineales como lo es la proporcionalidad entre el ángulo y el tiempo –, la cual es “uno de los sistemas de representación de relaciones entre variables que permite estudiar la variación y el cambio” (Cadavid y Quintero, 2011, p. 74) de la relación trigonométrica entre 𝑑! y 𝑡 en este caso.

Objetivación del Saber de Función Trigonométrica 303

El primer acercamiento significativo de los estudiantes al concepto de función es, sin duda, mediante la elaboración de tablas. El método de la tabulación es una poderosa herramienta para la elaboración de conjeturas y principalmente para el bosquejo de formas gráficas que sintetizan la información. Una tabla que muestre los valores de la variable independiente 𝑥 y de la variable dependiente 𝑦, puede darle razón del comportamiento de una función, o bosquejo de su gráfica. (Cantoral y Montiel, 2014, p.

49)

En el desarrollo de la unidad didáctica, luego de la constitución de la tabla de valores, estos valores de distancia vertical y tiempo fueron migrados a un plano cartesiano y finalmente a una expresión algebraica. Así pues, a raíz de su génesis operacional y experiencial, dichas representaciones abstractas no fueron objetos ajenos a la susceptibilidad de los estudiantes, estas fueron nutridas por incipientes análisis profundos al centrarse no solo en qué varia sino en cómo varia.

Conviene enfatizar que posterior a esta Actividad 6 (pregunta 2-2), al dar respuesta a la pregunta la pregunta 3-2 (Actividad 7): “¿Hay algún tipo de patrón o patrones que se evidencie en la tabla? Expliquen”, los estudiantes plasmaron en su hoja de respuestas lo esbozado en las líneas 278 a 281 (Actividad 6), escribieron: “cada segmento tiene un ángulo de 30°” (Figura 22). De esta forma, a través de diferentes registros semióticos y a través del uso de material concreto (no solo del video si no del uso del transportador para confirmar sus conjeturas, línea 275) – para luego verbalizarlo y finalmente escribirlo – los estudiantes, a través de su proceso de actividad, hacen que esa potencialidad (patrones de las magnitudes en un movimiento cíclico) que está

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tomando presencia en aula de clases se estabilice y adquiera determinaciones concretas y actuales.

Actividad 20, 21, 22 y 24 (Pregunta 6.1-3) Después de ubicar los 12 puntos “equidistantes” en el video de la piedra y la llanta proyectados en el tablero del aula de clase, donde identificaron que se debían ubicar 12 puntos con separación igual a 30° (Actividad 6), el grupo procedió a registrar dichos datos en la tabla de valores. Posteriormente, a través del problema 2 establecieron relaciones implícitas entre la representación tabular y grafica en el plano cartesiano de dicho movimiento cíclico, permeado por un análisis significativo y contextual en el que se adelantaron procesos de objetivación respecto a la infinitud de posiciones posibles que la piedra puede tomar en la circunferencia de la llanta. Esto al establecer relaciones con el plano cartesiano y reconocer dicha infinidad de posiciones como el movimiento completo de la piedra, lo cual abre el camino para la concepción de densidad y continuidad inherentes al saber de función trigonométrica (y en general de cualquier función).

Ya en el problema 3, a partir de la gráfica ideal del movimiento de la piedra, se continúan y profundizan procesos de tomas de conciencia en cuanto al significado contextual de la gráfica y se inicia un proceso de inmersión en la magnitud distancia vertical a través de procesos gráficos (procesales) a través de la infinidad de posiciones de la piedra. En la pregunta 6.1-3 hace presencia una nueva magnitud: el ángulo de rotación de la piedra, esto con el fin de crear un puente conceptual-operacional entre la dependencia de la distancia vertical en función del ángulo de giro a la relación de dependencia de la distancia vertical en función del tiempo, relación 𝑑!(𝑡), es decir, pasar a una función de variable real.

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En esta Actividad 20 (pregunta 6.1-3), los estudiantes retoman entonces lo iniciado en la Actividad 6: establecen conjeturas de la variación del ángulo a partir de las relaciones con la generalidad de la variación del tiempo a través de un esquema circular que representa el movimiento de la piedra.

Seguidamente, en la misma pregunta 6.1-3 (Actividad 21), el grupo migra la información de la gráfica de la pregunta 1-3 (Figura 18) al bosquejo de la llanta realizado. Este procedimiento permite establecer una relación gráfica entre el tiempo y el ángulo, lo cual funciona como un vínculo conceptual entre el análisis en el plano cartesiano – donde se identificó la variación del tiempo (Actividades 17 y 18) – y la variación tiempo-ángulo representada en el esquema circular de la llanta (que opera como un registro semiótico). De este modo, se promueven conexiones entre distintos registros semióticos que favorecen la actualización progresiva del conocimiento sobre el movimiento cíclico.

Lo anterior repercutió – en la Actividad 22 (pregunta 6.1-3) – en la cuantificación de la variación de la relación tiempo-ángulo esbozada, al expresar no solo qué y cómo cambia, sino cuánto cambia (Sierpinska, 1992). Finalmente, estas tomas de conciencia respecto a la tasa de cambio de la variación de la relación ángulo-tiempo, son materializadas por el grupo en una expresión algebraica (Actividad 24) que exhibe el paso de lo operacional a lo estructural. Esto para establecer – con mayor grado de profundidad – la relación entre tiempo y ángulo a través de la generalidad de ambas magnitudes (lo cual servirá posteriormente para la síntesis de la expresión algebraica de la función trigonométrica).

Tabla 16 Actividad 20, 21, 22 y 24: Lenguaje multimodal al encuentro de la identificación de patrones de las magnitudes de un fenómeno periódico cíclico. Pregunta 6.1-3 Actividad 20 / Sesión 9 / Tiempo 1:13:52 – 1:14:37 / Pregunta 6.1-3 Línea Lenguaje multimodal (282) P: ¿Cómo varía el ángulo cuando varía el tiempo?

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Actividad 20 / Sesión 9 / Tiempo 1:13:52 – 1:14:37 / Pregunta 6.1-3 (283) M: Cada vez más grande ¿no?

(284) C: Podríamos poner el tiempo total [GIDO – realiza un giro completo alrededor de un bosquejo de la rueda realizado] y averiguar el ángulo de cada posición (285) S: Yo diría que pusiéramos los tiempos de las 4 esquinas [GIDO – señala las cuatro esquinas cardinales (cada 90°) en el bosquejo de la llanta] y con eso diríamos: de tal a tal tiempo aumenta tanto y de tales tiempos a tales disminuye (286) P: Todo me cuadro menos lo de disminuye (287) C: Si da la vuelta completa son 360°, no disminuye (288) S: Entonces va aumentando (289) P: Eso. Si ven que hablan entre todos y funciona (y se retira) Actividad 21 / Sesión 10 / Tiempo 05:54 – 07:40 / Pregunta 6.1-3 Línea Lenguaje multimodal (290) S: Entonces cuándo la piedra está acá [GIDO – señala el punto que corresponde a 90° en el bosquejo de la piedra, Figura 23] ¿Qué tiempo tiene? (291) C: ¿Cuándo llega al 25 (cm)? Miremos … seria 0,14… [GIDO – regresa unas páginas del cuaderno y señala el tiempo que corresponde a 90° en la gráfica del problema 1- 3, Figura 18]

(292) M: 11 (complementa el valor del tiempo que había dicho Carol: 0,1411 s) Actividad 22 / Sesión 10 / Tiempo 09:15 – 13:45 / Pregunta 6.1-3 Línea Lenguaje multimodal (293) S: Listo, ahora expliquemos ¿Cómo varía el ángulo θ en función del tiempo? (294) S: ¿Será que de acá a acá [GIDO – en el bosquejo de la llanta, recorre el arco de la llanta entre 0° y 90°, Figura 23] hay una secuencia de tiempo que se repita en todos los grados? Debería …

(295) M (complementa a Samuel): Porque el tiempo es constante (296) S: El tiempo no se va a devolver ni va a parar, sigue. Entonces sí (respondiéndose su pregunta de la línea 294) (297) S: Acá aumentó 0,1411 s a 90° [GIDO – señala el arco de circunferencia entre 0° y 90°, Figura 23]. Y acá a 0,2822 s [GIDO – señala el arco de circunferencia entre 90° y 180°, Figura 23] (298) M: No entiendo (299) S: O sea, recorre tanto tiempo en tantos segundos

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Actividad 20 / Sesión 9 / Tiempo 1:13:52 – 1:14:37 / Pregunta 6.1-3 (300) M: Ahh ok sí (301) C (se integra al grupo): ¿Para obtener qué? (al ver que Samuel usa la calculadora) (302) S: La variación (303) P (se acerca al grupo): ¿A qué conclusión llegaron? (304) S: Concluimos lo siguiente: de acá a acá aumento 0,1411 [GIDO – señala el arco de circunferencia entre 0° y 90°, Figura 23] y como estos son 90°, y acá hay otros 90° [GIDO – señala el arco de circunferencia entre 90° y 180°, Figura 23] tiene que aumentar el mismo tiempo (305) P: Entonces ¿Cuál es la conclusión?

(306) S: Que cada 0,1411 segundos aumenta 90° (307) P: Está muy bien, eso es.

Actividad 24 / Sesión 10 / Tiempo 37:51 – 40:22 / Pregunta 6.1-3 Línea Lenguaje multimodal (308) P: ¿En la última de la 6.1 que necesitan relacionar? ¿Qué magnitudes? (309) S: Tiempo y ángulo (310) P: Ustedes ya tienen esa relación clara ¿Qué relación dijeron en tiempo y ángulo? (311) S: Que en una vuelta, de 360°, hay 0,5644 segundos (312) P: Utilicen eso, para saber entonces qué ángulo se recorre en un segundo (313) S: Regla de tres

Figura 23 Respuesta pregunta 6.1-3. Bosquejo del patrón de la relación tiempo y ángulo

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Michell establece que la variación del ángulo respecto a la variación del tiempo es “cada vez más grande” (línea 283), con lo que se verbaliza la variación entre ambas magnitudes desde un punto de vista cualitativo. El grupo entonces hace uso de su agenciamiento creciente a través del desarrollo de la unidad didáctica al relacionar el bosquejo de la llanta – donde se exhibe el movimiento circular de la piedra – y su representación en el plano cartesiano de la relación 𝑑!(𝑡) expresada en la Figura 18.

Carol plantea que al conocer el tiempo total (periodo) se podría “averiguar el ángulo de cada posición”, a lo que Samuel le complementa al establecer que “pusiéramos los tiempos de las

4 esquinas [GIDO – señala las cuatro esquinas cardinales (cada 90°) en el bosquejo de la

llanta] y con eso diríamos: de tal a tal tiempo aumenta tanto y de tales tiempos a tales disminuye” (línea 285). Este episodio de actividad esboza un planteamiento racional, el cual actualiza la potencialidad de la relación variacional entre tiempo y ángulo al establecer conexiones entre los tiempos en el plano cartesiano de la Figura 18 (que se encuentran a una escala de 90°) con la representación circular del movimiento de la piedra. Esto al ubicar – en los cuatro puntos cardinales en el bosquejo de la llanta – los valores de tiempo determinados en la pregunta 1-3 (Actividad 17 y 18) para cada cuarto de vuelta (90°).

Aunque la ruta de trabajo delineada por el grupo es coherente y conduciría eventualmente a la solución de la pregunta al esbozar la variación (cuantitativa) de la relación ángulo-tiempo, de forma descuidada se plantea que el ángulo “de tales tiempos a tales disminuye” (línea 285), lo que con el aumento del tiempo del ángulo podría disminuir entre dos tiempos determinados. A lo que Carol discrepa: “si da la vuelta completa son 360°, no disminuye” (línea 287) en concordancia con lo esbozado inicialmente por Michell: “cada vez más grande ¿no?” (línea 283).

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Es así como el grupo a través de la actividad en sí se autorregula, el imaginario colectivo ¿o por qué no decirlo? los SSSC del grupo, filtran los enunciados que se dan en la actividad validando unos y desechando otros, “entendemos una aserción como verdadera en una situación dada, cuando nuestra comprensión de la aserción se ajusta a nuestra comprensión de la situación de una manera suficiente de acuerdo con nuestros propósitos” (Lakoff y Johnson, 2004, p. 222). De ahí que Samuel finalmente acoge la idea de sus compañeros al verbalizar que el ángulo “entonces va aumentando” (línea 288), sorteando así este pequeño impase. Por último, en la línea 289: “si ven que hablan entre todos y funciona” el profesor invita al grupo a reconocer el rol potenciador de la actividad, de no asumir un papel sumiso y tímido sino de tomar un rol activo de participación en el grupo, por lo que esta línea sintetiza el proceso de subjetivación realizado en la Actividad 20. En esta, cada uno de los integrantes exhibieron ideas encontradas que apuntaron al mismo saber: la potencialidad de la variación del ángulo respecto al tiempo en un fenómeno periódico circular; esto al constatar que la magnitud del ángulo se incrementa con el transcurso del tiempo, lo cual cobra determinaciones concretas a través de la relación grafica entre el bosquejo de la llanta y la gráfica en el plano cartesiano. Este proceso de objetivación al ir al encuentro de la variación del ángulo respecto a la variación del tiempo empieza a tomar determinaciones concretas sensibles aún más profundas en la Actividad 21 y 22 al establecer no solo relaciones cualitativas sino cuantitativas. El grupo inicia el proceso de migrar valores específicos de tiempo de la representación gráfica en el plano cartesiano a la representación circular que describe la piedra. Samuel pregunta “entonces cuándo la piedra está acá ¿Qué tiempo tiene?” (línea 290), señala (GIDO) el punto que corresponde a 90° en el bosquejo de la piedra (Figura 23), a lo cual Carol responde “¿Cuándo llega al 25 (cm)? Miremos (…) seria 0,14 (…)” (línea 291), al regresar unas páginas

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del cuaderno y señalar (GIDO) el tiempo que corresponde a 90° en la gráfica del problema 1-3 (Figura 18).

La línea 291 permite varias connotaciones. En la interacción social que emerge en el grupo, Carol se compromete con la actividad al hacerse presente y tomar protagonismo, lo que permite entrever el vector compromiso y cuidado del otro. Cuando Samuel pregunta sobre tiempo de la piedra en la parte superior de la llanta de la bicicleta (línea 290), Carol se apresura a atender su llamado: “¿Cuándo llega al 25 (cm)?” (línea 291), estas líneas exhiben una interrelación entre registros semióticos al reconocer rápidamente que el punto al que se refiere Samuel obedece a la cota superior – distancia máxima en el eje y – en la gráfica del plano cartesiano analizada por ellos previamente (Figura 18).

Al decir rápidamente “¿Cuándo llega al 25 (cm)?” (línea 291) es evidencia del grado de toma de conciencia de algunas cifras claves en el ejercicio. Debido a que esta unidad conceptual y contextual se ha trabajado ya durante 9 encuentros hasta el momento de la pregunta 6.1-3 (casi 12 horas efectivas de clase no continuas) y ha estado entrelazada entre sus diferentes problemas y preguntas, para los estudiantes ya se volvió un tema de clase consistente, coherente y racional, por lo que sus respuestas se vuelven casi mecánicas (como recitar las tablas de multiplicar). Es pertinente señalar que las respuestas rápidas – como también el tiempo de un periodo 0,5644 s – no es debido a la falta de la razón sobre la acción, son el fruto de un largo y constante proceso de objetivación, de inmersión en la unidad contextual con cantidades específicas, con situaciones claras y atadas a una realidad que es sensible para todos.

A su vez, en esa prisa, en ese reconocimiento del otro, sin pensarlo y solo al observar la Figura 18, Carol señala el tiempo en el plano cartesiano: “seria 0,14 (…)” (línea 291). Inmediatamente, Michell complementa a Carol: “11” (línea 292), igual que en el caso anterior,

Objetivación del Saber de Función Trigonométrica 311

aunque no se había manifestado hasta el momento, está presente, está comprometida con la actividad y dispuesta a interactuar con el grupo en el momento justo. De la línea 290 a 292 se observa el compromiso por parte del grupo, se manifiestan ciertas características que pueden configurar la actividad como una labor conjunta (a través de la energía que fluye en el aula de clase (Radford, 2023a).

Después de la línea 292, el grupo termina de migrar los valores de tiempo correctamente de la gráfica del problema 3 (Figura 18) a la representación gráfica de la llanta (Figura 23), lo que evoca tácitamente, aún más, la relación concreta a través de registros semióticos del movimiento cíclico al reconocer ángulos no explícitos en el plano cartesiano y tiempos, de igual manera no explícitos en el bosquejo de la llanta. Por lo que al relacionar tiempo y ángulo, los estudiantes se vieron forzados a relacionar la representación gráfica en el plano cartesiano con el esquema de la rueda, ya que en la primera no se evidencia el ángulo y en la segunda el tiempo, de manera que la interrelación entre registros semióticos es causa y efecto. Esta relación entre representaciones graficas está en relación dialéctica entre las necesidades del grupo y la forma como se devela el saber de una forma espontánea, histórica y cultural a través de la actividad, esto ya que “el uso de los múltiples registros semióticos en los procesos de enseñanza y aprendizaje es fundamental para que los estudiantes alcancen aprendizajes profundos” (Tamayo et al., 2018, p. 39).

De modo que dicho episodio de actividad permite apreciar la interrelación grafica que habita en el grupo entre distintas formas de representar el movimiento periódico de la piedra. El grupo reconoció el valor de la distancia vertical cuando la piedra ha recorrido 90° en su representación circular e identificarlo en el plano cartesiano, lo cual va al encuentro de los arquetipos de pensamiento de la variación de la distancia vertical en un fenómeno periódico. A

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su vez, a partir de la gráfica en el plano cartesiano, el grupo estableció el tiempo que tardó la piedra en recorrer 90° y atribuirlo a la parte superior de la representación circular. Este fenómeno manifiesta una cohesión sólida entre los procesos de objetivación y las formas históricoculturales del pensamiento matemático, particularmente en lo que respecta a la representación gráfica del movimiento periódico en el plano cartesiano.

Seguidamente, en la Actividad 22 el grupo concreta la idea que estaba emergiendo a lo largo de la unidad didáctica respecto a la variación de la relación ángulo-tiempo. Tras las conjeturas realizadas respecto a la variación del tiempo y en su relación con el ángulo de giro de la piedra – líneas 210 (Actividad 17, pregunta 1-3), 269 (Actividad 18, pregunta 1-3) y 285 (Actividad 20, pregunta 6.1-3) – en esta actividad el grupo cuantifica sus hipótesis. Tras el llamado anti-solipsista que hace Samuel al grupo (línea 293) mediante el cual los invita a continuar la Actividad conjunta que están desarrollando, entre las líneas 294 y 296 Samuel establece que el tiempo que transcurre entre 0° y 90° será el mismo tiempo que transcurre cada 90° ya que la variación del tiempo obedece a una regularidad lineal (línea 295 y

296).

Esto último es fruto de los procesos de objetivación realizados en el encuentro con la identificación del patrón de la magnitud tiempo en un fenómeno cíclico, coadyuvado de forma dialéctica por los procesos de objetivación realizados en el encuentro con las formas histórico culturales de pensar y actuar matemáticamente sobre el periodo de un fenómeno cíclico (sin mencionar las relaciones intersemióticas realizadas entre distintos registros semióticos que enriquecieron dichos procesos de objetivación).

Inclusive, la facilidad y naturalidad con la que el grupo percibe la variabilidad del tiempo es muestra del grado de complejidad con el que este concepto habita en el grupo, estos procesos

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de objetivación realizados actualizaron el SSSC del grupo, de forma tal que el mismo grupo legitimó la regularidad en la variación del tiempo en un fenómeno periódico como una verdad, por lo que ya se configura como un signo mediante el cual el grupo juzga postulados como racionales.

En síntesis, el grupo al hacer uso de procesos de objetivación previos, se puede determinar que el concepto respecto a la variación del tiempo en un fenómeno cíclico – y su relación con el ángulo de giro – habita ya en el grupo al entender un concepto como “una entidad que es al mismo tiempo subjetiva y objetiva, material e ideal, y que se expresa en la actividad práctica y concreta del estudiante” (Radford, 2023a, p. 126).

En el marco de esta Actividad conjunta, al recorrer el arco de la circunferencia entre 0° y 90° (GIDO) en el bosquejo de la llanta (Figura 23), Samuel establece “acá aumentó 0,1411 s a 90°, y acá a 0,2822 s” (línea 297) al recorrer el arco de la circunferencia entre 90° y 180° (GIDO). Samuel manifiesta así (línea 304) que el tiempo que transcurre entre 0° y 90° es el mismo entre 90° y 180° ya que en ambos casos el aumento angular fue de 90° y como la variación del tiempo es constante y creciente (línea 295), la variación del tiempo en ambos casos es igual, lo que permite corroborar lo planteado previamente entre las líneas 294 y 296. Es así como el grupo cuantifica finalmente la variación de la relación ángulo-tiempo al establecer “que cada 0,1411 segundos aumenta 90°” (línea 306).

Esa idea que circulaba en el grupo y que estaba materializando a través de la actividad en el aula de clases gradualmente a lo largo de los problemas y preguntas, adquirió una connotación compleja al pasar del qué y cómo varía al estipular el cuánto varía la relación ángulo-tiempo. Aunque la conclusión “cada 0,1411 segundos aumenta 90°” (línea 306) pareciera vacua o simple y que no evoca directamente un análisis periódico, es necesario reconocer su génesis. A

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esta afirmación se llegó tras un arduo y complejo proceso de objetivación en el marco del análisis de un fenómeno periódico, por lo que – como sucede con otros saberes debido al carácter dialéctico del saber histórico cultural – la variación de la relación ángulo-tiempo es causa y efecto de ir al encuentro de ese macro saber denominado funciones trigonométricas. Es de recordar que la consecución de los tiempos atribuidos a los puntos cardinales en la representación circular del movimiento de la piedra, se debió gracias a la relación intersemiótica entre la curva en el plano cartesiano y el bosquejo circular del movimiento periódico de la piedra como se esbozó en las Actividades 20 y 21, esto posibilitado por la inmersión en análisis complejos del movimiento periódico, sus representaciones, análisis infinitesimales contextualizados, variación periódica de la distancia vertical y el tiempo y más. Es de recordar que – posibilitado por la inmersión en análisis complejos del movimiento periódico, sus representaciones, análisis infinitesimales contextualizados, variación periódica de la distancia vertical y el tiempo y más – la consecución de los tiempos atribuidos a los puntos cardinales en la representación circular del movimiento de la piedra, se debió gracias a la relación intersemiótica entre la curva en el plano cartesiano y el bosquejo circular del movimiento periódico de la piedra (como se esbozó en las Actividades 20 y 21), respecto a lo cual Tamayo et al. (2018) exponen que:

[…] las relaciones intersemióticas son fundamentales dentro de los procesos de enseñanza-aprendizaje porque permiten construir significado y ampliar las posibilidades de representación de los conceptos científicos y de los fenómenos estudiados, en otras palabras, la orquestación de múltiples modos semióticos, como diría Kress, constituye una herramienta docente importante que puede derivar en enseñanzas profundas. (p. 118)

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Samuel al mencionar que “cada 0,1411 segundos aumenta 90°” (línea 306) establece no solo como cambia sino qué cambia, lo cual es un indicio de entendimiento respecto al saber de función (Sierpinska, 1992). Al nombrar la unidad de medida de lo que cambia Samuel reconoce su naturaleza, relaciona la unidad de medida con su correspondiente magnitud, con la variable, dota de significado eso que cambia a través de la unidad contextual. A su vez, al cuantificar dicho cambio Samuel fue capaz de “identificar regularidades en relaciones cambiantes” (Sierpinska, 1992, p. 31), no solo de ambas magnitudes sino de su relación proporcional. El análisis de la variación ángulo-tiempo posibilita una compresión más profunda del análisis de la variación de la distancia vertical en función del tiempo, es más, no solo da una compresión más profunda, sino que es necesaria para la compresión de la relación 𝑑!(𝑡) ya que para que esta relación se establezca algebraicamente debe pasar internamente o implícitamente por el ángulo. Por lo que el análisis de las actividades donde se analizan cuestiones supuestamente ajenas a la relación 𝑑!(𝑡) son significativas y necesarias para llegar a una compresión holística, contextual y profunda de dicha función, tales como: la identificación de patrones en la relación emergente – en dicho movimiento circular – entre tiempo y ángulo. Esto es, en el encuentro de las formas histórico-culturales de pensar matemáticamente sobre fenómenos periódicos a través de las funciones trigonométricas, el estudio de la relación entre el tiempo y el ángulo resulta considerable. Pese a que la relación que se manifiesta es lineal, lo que contrasta con la periodicidad de las funciones trigonométricas, resulta pertinente su abordaje, así como el de los demás saberes esbozados en las demás categorías estructurales. Finalmente, entre las líneas 308-313 (Actividad 24), el grupo busca determinar ¿Qué ángulo (en radianes) recorre la piedra por cada segundo? (pregunta 6.1-3), para ello hace uso de los procesos de objetivación realizados, de donde se obtuvo una proporcionalidad en la tasa de

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cambio de la relación ángulo-tiempo: “cada 0,1411 segundos aumenta 90°” (línea 306), por lo que hacen uso de ello para establecer una relación lineal (regla de tres) que les pueda determinar qué ángulo recorre la piedra en un segundo. Sin embargo, no usaron la relación 0,1411 s cada 90°, sino la relación “que, en una vuelta, de 360°, hay 0,5644 segundos” (línea 311), lo cual ya lo habían plasmado en la Figura 23, esto debido a la familiarización del grupo con el periodo (tiempo de un ciclo) cuando abordaron procesos de tomas de conciencia en el encuentro con el periodo en un fenómeno cíclico y de su representación gráfica en el plano cartesiano. A su vez, es necesario mencionar que en la línea 311 Samuel establece la relación que ya había plateado el grupo en la línea 306 con diferentes valores numéricos, lo cual se puede considerar como una toma de conciencia en cuanto la tasa de cambio de las variables tiempo y ángulo y su la variación de su relación.

El profesor, al conocer el objetivo de la actividad, la orienta hacia su logro, hacia su potencialidad respectiva, por lo que se implica en la actividad (líneas 308, 310, 312), se hace presente para que entre todos puedan construir esa forma particular de pensar sobre la relación entre tiempo y ángulo en fenómenos cíclicos. Esa intervención del profesor, lejos de ser una interferencia, es un compromiso de este hacia la actividad, y ya que en la TO el aprendizaje no es solipsista en el sentido que se concibe en relación dialéctica con la enseñanza (Radford, 2023a), su intervención repercute en la respuesta rápida y contundente de Samuel: “regla de tres” (línea

313).

Esa respuesta rápida de Samuel posibilita – y da continuidad a – procesos de objetivación expuestos previamente, lo cual demuestra que esa potencialidad ya no era ajena para el grupo, ya había pasado por procesos de actualización, de forma tal que ese conocimiento rondaba el grupo, por lo que la intervención del profesor otorgó un leve direccionamiento.

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El grupo hace uso entonces del agenciamiento construido, hace uso de ese constructo, de ese signo que está representado textualmente en la respuesta de la pregunta (Figura 24), el cual es el fruto de su labor grupal. El grupo lo usa como una herramienta y repercute en su concreción a través de una expresión algebraica, que se sintetiza a través de una relación lineal (regla de tres), en una ecuación (Figura 24). Se debe precisar que la idea que rondó el grupo respecto a la relación tiempo-ángulo, se realizó concibiendo la magnitud ángulo en grados sexagesimales, pero su síntesis (ecuación) relaciona el ángulo en radianes y el tiempo en segundos, lo que posibilita la creación de puentes y conexiones intersemióticas profundas. Este proceso de objetivación realizado es pertinente ya que se puede tomar como el punto final al ir al encuentro con la tasa de cambio de la variable ángulo y con la potencialidad inherente respecto a la relación tiempo y ángulo. Al establecer la expresión algebraica entre tiempo y ángulo, el grupo sintetiza su desarrollo operacional contextualizado de la variación del ángulo (e implícitamente del tiempo) en un enfoque estructural, un cálculo abstracto y algebraico para determinar cualquier ángulo a partir de cualquier tiempo dado. Figura 24 Respuesta pregunta 6.1-3. Generalización del patrón de la relación tiempo y ángulo

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Cabe señalar que la forma rápida y sin titubear en la que el grupo reacciona y responde ante las preguntas del profesor no es síntoma de falta de razonamiento frente a la acción, no lo hacen de una forma irresponsable y sin reflexionar, lo hacen rápida y eficazmente tras un proceso de objetivación al cuantificar la variación de la relación tiempo-ángulo-número de vueltas, fruto de la identificación de sus regularidades (procesos necesarios para una toma de conciencia del saber de función trigonométrica).

Por lo que este episodio supone un proceso de contracción semiótica de la búsqueda de patrones y tasas de cambio del tiempo y el ángulo. Los estudiantes sintetizaron lo discutido y argumentado de una forma meramente matemática, donde usaron las relaciones establecidas en las actividades anteriores para hallar una solución a su necesidad, además que lo hacen de una forma aritmética y luego algebraica, es decir estructural, lo que constata el paso de lo operacional a lo estructural en cuanto al patrón de la variable ángulo y su relación con el tiempo. Se da entonces un proceso de contracción semiótica en el marco de la unidad contextual y conceptual al ir de lo concreto a lo abstracto. Esto no en el sentido fenomenológico de la TO sino en el epistemológico en el que se da el aprendizaje de forma histórico-cultural del saber de función trigonométrica según Dubinsky y Harel (1992), Sierpinska (1992) y Sfard (1992). Quienes plantean que se debe ir de lo operacional a lo estructural, no se puede quedar en el proceso, el cual es una forma de comprensión de un saber que implica imaginar una transformación de objetos mentales o físicos que el estudiante percibe como relativamente internos y totalmente bajo su control, mientras que el enfoque estructural es una forma de entender un saber que lo considera como algo a lo que se pueden aplicar acciones y procesos (Dubinsky y Harel, 1992).

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En suma, se deben generar objetos matemáticos abstractos que se puedan interrelacionar mediante la etapa previa operacional con el contexto para dotar dicho objeto de significado y poder generar así un aprendizaje profundo, esto al reconocer un objeto matemático como “un patrón fijo de actividad cuyos orígenes resultan no de la contemplación intelectual de los objetos que los primeros individuos encontraron en su entorno, sino de la actividad sensual que llevó a dichos individuos a notar o darse cuenta de él” (Radford, 2006, p. 111). Análisis General (Ángulo) Sumado al complejo análisis anterior, estas actividades analizadas dieron continuidad a la Actividad anterior (Actividad 6) y están en relación directa y dialéctica con la Actividad 17 y 18, cuando el grupo determinó los tiempos de las graduaciones específicas en el plano cartesiano (cada 90°). En estas Actividades 20, 21, 22 y 24, se realizó un proceso de toma de conciencia imbricado con los procesos de objetivación realizados en las Actividades 17 y 18, al determinar la regularidad de la variación del ángulo – en el bosquejo de la llanta – al establecer la relación con el tiempo que tarda la piedra en recorrer determinado ángulo, esto coadyuvado por los procesos de objetivación en el encuentro con la tasa de cambio de la variable tiempo (Actividades 7, 17, 18) e implícita y dialécticamente con las formas de pensar y actuar matemáticamente sobre el periodo de un fenómeno cíclico.

De esta manera, el grupo determinó una proporcionalidad aritmética entre ambas magnitudes, lo cual exhibe la regularidad en el cambio en dicha relación. Al hacerlo en el bosquejo de la llanta (una representación concreta construida por ellos), otorgaron sentido y significado a dicha relación, configurando un proceso de objetivación al encuentro de la regularidad de la variación de la magnitud ángulo.

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A su vez, dotaron de un sentido el proceso de objetivación realizado en el encuentro con la tasa de cambio de la magnitud tiempo al establecer relaciones con otras magnitudes a través de diferentes representaciones semióticas (bosquejo de la llanta, lenguaje multimodal, grafica en el plano cartesiano y tabla de valores), lo que genera un entramado poderoso que repercute en la complejización de dicho proceso de objetivación.

A su vez, dicho enfoque operacional repercutió en la representación estructural de la relación ángulo-tiempo a través de la expresión algebraica exhibida en la respuesta del grupo para la pregunta 6.1-3 (Figura 24), la cual será usada posteriormente para establecer un proceso algebraico de generalización entre las variables 𝜃 y 𝑡 para poder pasar de la relación funcional 𝑑!(𝜃) a la función de variable real 𝑑!(𝑡), esto previo a un análisis cualitativo de la relación de dependencia entre las variables 𝜃 y 𝑡 (en la Actividad 28) en el cual el grupo implícitamente retoma los procesos de objetivación realizados en la actual categoría estructural de la identificación de patrones de las magnitudes en un fenómeno periódico. Variación De La Distancia Vertical (Media Cuerda) En Un Fenómeno Periódico En el encuentro con las formas histórico culturales de pensar matemáticamente sobre fenómenos periódicos a través de las funciones trigonométricas es necesario abordar la magnitud que varía según esta característica periódica: la distancia vertical (𝑑!) de la piedra respecto a la línea horizontal imaginaria que pasa por el centro de la rueda, la llamada media-cuerda en su desarrollo histórico-cultural (Altman y Kidron, 2016; Katz, 2009; Siu, 1995; Weber et al., 2005). En el transcurso del análisis se ha apreciado que las magnitudes estudiadas varían proporcionalmente en un fenómeno periódico, esto es, el tiempo, el ángulo y el número de vueltas varían de forma lineal y ascendentemente cada 0,5644 s, 360° y una vuelta

Objetivación del Saber de Función Trigonométrica 321

respectivamente, por lo que el comportamiento en su variación lineal se puede reiniciar cada periodo según la intención de la actividad y de la pregunta.

Como se ha mencionado, aunque la variación de estas magnitudes se modela a través de funciones lineales, su análisis se configuró como causa y efecto al ir al encuentro del sistema dinámico de arquetipos de pensamiento, acción y reflexión denominado funciones trigonométricas. Por su parte, debido a la naturaleza misma de la distancia vertical, su comportamiento, su variación se modela a través de funciones trigonométricas, a través de funciones seno y coseno, lo cual exige un nivel de abstracción diferente al ya realizado por el grupo, sin embargo, gracias a los procesos de objetivación realizados – que se configuran dialécticamente – en relación con el análisis del fenómeno periódico desde las distintas magnitudes en el marco de la unidad contextual y conceptual, se posibilita la interconexión implícita de la 𝑑! con las variables tiempo y ángulo, así como un abordaje holístico y complejo del movimiento circular que describe la piedra en la llanta.

Actividad 8 (Pregunta 3-2) Posterior a la vivencia con el video de la llanta y de la piedra proyectado en el tablero del aula de clase (Actividad 6, pregunta 2-2), el grupo inicia la pregunta 3-2, donde deben identificar si hay algún tipo de patrón o patrones que en la tabla de valores. Al finalizar la Actividad 7 (pregunta 3-2), donde se enfocaron en la magnitud tiempo, continuaron con esta Actividad 8 donde se enfocaron en la distancia vertical.

Tabla 17 Actividad 8: Lenguaje multimodal al encuentro de la variación de la distancia vertical (media cuerda) en un fenómeno periódico cíclico. Pregunta 3-2 Actividad 8 / Sesión 5 / Tiempo 06:21 – 23:07 / Pregunta 3-2 Línea Lenguaje multimodal (314) S: Primero aumenta en nueve, luego aumenta (315) D (complementa a Samuel): 3,5 [GIDO – Samuel y Danna, al tiempo, señalan el valor de distancia vertical del dato 4 (dv = 25) de la tabla de valores, Figura 12]. Y luego

Objetivación del Saber de Función Trigonométrica 322

Actividad 8 / Sesión 5 / Tiempo 06:21 – 23:07 / Pregunta 3-2 sigue –3,5 y –9 [GIDO – señalan los valores de distancia vertical de los datos 5 y 6 respectivamente, Figura 12]

(316) C: Entonces las distancias no son equivalentes.

(317) D: 9; 3,5 después de eso se le vuelve a restar 3,5 después se le vuelve a restar 9 hasta llegara a cero otra vez. [GIDO – señala, respectiva y secuencialmente, las diferencias de las distancias verticales desde dv2 hasta dv6 determinadas en las líneas 314 y 315, Figura 12] (318) S: Entre 9 cm aumenta bastante, y entre 3 disminuye un poquito más. Se sigue el mismo patrón.

(319) D: Aumenta, aumenta, disminuye, disminuye [GIDO – Señala, rítmica, secuencial y respectivamente, la diferencia entre las distancias de la tabla: dv3 – dv2 = 9 cm, dv3 – dv2 = 9 cm, dv4 – dv3 = 3,5 cm, dv5 – dv4 = -3,5 cm, dv6 – dv5 = -9 cm, Figura 12]. O sea que aumenta dos veces y luego disminuye dos veces hasta llegar a cero, entonces se repite el patrón, aumenta dos veces, disminuye dos veces y llega a cero. Pero después es: disminuye, disminuye, aumenta, aumenta (320) D (el profesor se acerca y Danna le dice al profesor): aumenta, aumenta, disminuye, disminuye [GIDO – Señala, rítmica, secuencial y respectivamente, la diferencia entre las distancias de la tabla: dv3 – dv2 = 9 cm, dv3 – dv2 = 9 cm, dv4 – dv3 = 3,5 cm, dv5 – dv4 = -3,5 cm, dv6 – dv5 = -9 cm, Figura 12] Después de cero se vuelve a repetir [GIDO – señala en la tabla la distancia vertical del dato 7 (dv7 = 0), Figura 12] ¿Eso es un patrón?

(321) P: Si eso se repite sí es un patrón. Pero no es verdad. Empieza desde cero y aumenta, después disminuye y llega a cero [GIDO – recorre de forma continua con su dedo los valores de distancia vertical hasta el dato 7 (dv7 = 0) en la tabla de valores, Figura 12] ¿Y acá en cero qué?

(322) D: Ahí es al revés (323) P: Curioso cierto. Entonces exactamente ahí no es un patrón. Hay que saberlo explicar (y se retira) (324) C: Ahhh, pero espere. De acá a acá hay 12 cm (diferencia en distancia vertical) en casi 5 segundos (se refiere a 0,05 s). De aquí a aquí hay 4,5 s (se refiere a 0,045 s), pero hay

9 cm (diferencia en distancia vertical). De aquí a aquí hay 4,72 (se refiere a 0,0472

s), pero hay 3,5 (cm de diferencia en distancia vertical) [GIDO – señala los datos de

Objetivación del Saber de Función Trigonométrica 323

Actividad 8 / Sesión 5 / Tiempo 06:21 – 23:07 / Pregunta 3-2 referencia, primero señala los datos 2 y 1, luego 3 y 2 y luego los datos 4 y 3 en la tabla de valores, Figura 12] (325) D: O sea, hay menos distancia, pero el aumento (del tiempo) es el mismo. (326) P: Es como Danna lo está diciendo. El aumento del tiempo es el mismo, pero de la distancia no.

(327) S: El patrón es que, estos números van a hacer los mismos que estos [GIDO – recorre los datos con distancia vertical positiva y luego los datos con distancia vertical negativa, Figura 12], solo que va a cambiar a forma negativa por la ubicación de la llanta en el plano cartesiano. Entonces, si está en 12,5 [GIDO – en la tabla de valores señala el valor de distancia vertical del dato 2 (dv2 = 12,5 cm), Figura 12] va a repetir este mismo patrón [GIDO – recorre los datos con distancia vertical positiva, Figura 12] después de que llegue al cero (refiriéndose a dv7 = 0)

Se debe recordar que, debido a la complejidad de las formas histórico-culturales de pensar matemáticamente sobre fenómenos periódicos a través de las funciones trigonométricas, las potencialidades – que son motivo y producto de dicho saber – se relacionan dialécticamente. Estas potencialidades (que son las categorías estructurales) se coproducen, no se dan de manera aislada. Así, hasta la pregunta 3-2, ya se habían generado procesos de objetivación indirectos respecto a la variación de la distancia vertical en un fenómeno periódico. En el marco de la pregunta 1-2 (Actividad 4 y 5, Tabla ), donde el grupo debía establecer empíricamente la relación 𝑑! y 𝑡 gráficamente, con el GIDO realizado por el profesor al señalar primero de altura máxima que puede tomar la piedra y luego el centro de la rueda en la Figura 11 (línea 35) y con el GI realizado por Carol al ubicar su mano y antebrazo en posición vertical (línea 37), el grupo inició un proceso de toma de conciencia al conferir de características concretas ese objeto abstracto que se les enfrentaba.

Objetivación del Saber de Función Trigonométrica 324

El grupo consolidó geométricamente dicha distancia vertical, al establecer que cuando la piedra se encuentra sobre la línea horizontal (0°, 180°, 360°) la distancia vertical es cero (línea 41, 44, 45, 49) y cuando la piedra se encuentra en las posiciones más alejadas que puede tomar la piedra respecto a la línea horizontal (90° y 270°) la distancia vertical es el radio (línea 47). El objetivo de esta pregunta 3-2 radicaba en establecer patrones en la tabla de valores (Figura 12), como 𝑑!" = 𝑑!( = 12 𝑐𝑚 y que dicha distancia vertical es igual pero de signo contrario en el dato 8 y dato 12, es decir 𝑑!, = 𝑑!+" = −12 𝑐𝑚 y que 𝑑!, = −𝑑!" o el patrón respecto a que las 𝑑! en la parte superior del movimiento de la piedra son iguales las 𝑑! en la parte inferior del movimiento de la piedra pero de signo contrario, sin embargo, de forma no intencionada el grupo se sumió en la búsqueda de patrones a partir de la diferencia entre 𝑑! consecutivas en la tabla de valores. En consecuencia, el análisis realizado excedió los objetivos de la pregunta original, lo que revela una reflexión implícita sobre la variación de la 𝑑! en un fenómeno cíclico.

Al intentar establecer un patrón de la distancia vertical (como lo solicita la pregunta 3-2), para determinar implícitamente su variación, Samuel y Danna toman la vocería al determinar la diferencia entre cada distancia vertical de forma secuencial. Samuel establece que “primero aumenta en nueve” (línea 314), él se refiere a que 𝑑!- −𝑑!" = 9 𝑐𝑚 en la tabla de valores (Figura 12), es decir, 21,5 𝑐𝑚−12,5 𝑐𝑚= 9 cm. Del mismo modo determinaron las diferencias entre las demás distancias verticales consecutivas (línea 315) y las consignaron en la tabla de valores entre cada par de datos referenciado (Figura 12).

A partir de ello se obtuvo – entre las líneas 314 y 315 – una secuencia de las diferencias entre distancias verticales consecutivas desde 𝑑!" hasta 𝑑!(: 9 cm, 3,5 cm, -3,5cm, -9 cm; dichos

Objetivación del Saber de Función Trigonométrica 325

valores fueron reafirmados por Danna en la línea (317) al observar las diferencias de una forma secuencial y rítmica (GIDO).

Con lo cual Carol manifiesta que “las distancias no son equivalentes” (316), lo cual exhibe una variación no constante respecto a la variación constante del tiempo. En estas tres líneas (314, 315 y 316), a través del proceso de analizar el aumento de las 𝑑! consecutivas, se pudo esbozar que su incremento no es constante, es decir, la variación de la 𝑑! no es lineal o proporcional, lo cual hace que el grupo se enfrente con un nuevo proceso de variación desconocido por ellos.

En las líneas 318 y 319 el grupo intenta dar claridad sobre el patrón que se puede observar de la magnitud 𝑑! a través de la tabla de valores al manifestar que “aumenta dos veces y luego disminuye dos veces hasta llegar a cero, entonces se repite el patrón, aumenta dos veces, disminuye dos veces y llega a cero. Pero después es: disminuye, disminuye, aumenta, aumenta” (línea 319).

De este análisis se deben hacer ciertas aseveraciones: cuando el grupo plantea que la variación de la 𝑑! es “aumenta dos veces, disminuye dos veces” (línea 319) se refieren a la parte superior del movimiento de la piedra (entre 0° y 180°) y luego cuando plantean “disminuye, disminuye, aumenta, aumenta” (línea 319) se refieren a la parte inferior del movimiento de la piedra (entre 180° y 360°).

El grupo no conceptualizó sobre las diferencias: 𝑑!" −𝑑!+ y 𝑑!. −𝑑!(. Así que al continuar el análisis de la variación de la distancia vertical respecto a la diferencia aritmética entre cada valor consecutivo de 𝑑! debería ser: 12 cm, 9 cm, 3,5 cm, -3,5 cm, -9 cm, - 12 cm, es decir, aumenta-aumenta-aumenta-disminuye-disminuye-disminuye respectivamente y para la

Objetivación del Saber de Función Trigonométrica 326

parte inferior del movimiento de la piedra seria disminuye-disminuye-disminuye-aumentaaumenta-aumenta.

Ahora bien, esta verbalización de las palabras aumenta y disminuye genera un conflicto conceptual y contextual. Cuando el grupo plantea que la diferencia de 𝑑! de la piedra “aumenta dos veces, disminuye dos veces” (línea 319) al referirse a la parte superior del movimiento de la piedra, es correcto ya que entre 𝑑!- y 𝑑!" aumentó 12 cm, entre 𝑑!) y 𝑑!- aumentó 3,5 cm, entre 𝑑!' y 𝑑!) disminuyó 3,5 cm y entre 𝑑!( y 𝑑!' disminuyó 12 cm. Pero al establecer que “después disminuye, disminuye, aumenta, aumenta” (línea 319) en la parte inferior del movimiento de la piedra es incorrecto, ya que siguiendo la secuencia del análisis – que no esbozan concretamente – el grupo establece de forma implícita que entre 𝑑!/ y 𝑑!, disminuyó 9 cm ya que 𝑑!/ −𝑑!, = −9 𝑐𝑚, lo cual no es correcto, en realidad entre 𝑑!/ y 𝑑!, aumentó 9 cm. La confusión se fundamenta en el signo de las distancias verticales, el signo negativo de −9 𝑐𝑚 indica el sentido de la distancia vertical, no un número negativo como tal, el grupo omitió que los valores de distancia vertical de la tabla de valores (Figura 12) fueron extraídos del video proyectado en el tablero del aula de clases el cual estaba dispuesto en un plano cartesiano, dicha confusión es similar con la diferencia de las distancias verticales consecutivas (línea 317, 319, 320) por lo que el grupo no contextualizó ni conceptualizó claramente sobre el signo de la diferencia de 𝑑! y el signo de la 𝑑! en si.

Esto es, debido a la desconexión que el grupo tuvo con el contexto del ejercicio se fomentó una falencia en la conceptualización del signo negativo en las distancias verticales, el grupo se enfocó en analizar las secuencias numéricas sin tener presente el contexto: omitieron que representa la distancia y el tiempo en la tabla de valores, olvidaron el fenómeno periódico en el que se desenvolvían dichos datos.

Objetivación del Saber de Función Trigonométrica 327

No obstante, ellos identifican de forma aritmética a través de la simetría que se puede detectar en la tabla de valores un patrón numérico: 12,5 cm, 9 cm, 3,5 cm, -3,5 cm, -9 cm, 0 cm en la variación de la distancia vertical en la parte superior del movimiento de la piedra (Figura 25), lo cual se repite en la parte inferior del movimiento de la piedra en la llanta hasta terminar el ciclo, sin embargo se percibe aún la confusión entre las palabras aumenta y disminuye en la respuesta de la pregunta 3-2 (Figura 25).

Debido a la confusión con el signo negativo y con las palabras aumenta y disminuye, este proceso de agenciamiento aún es superfluo. El grupo no establece que este comportamiento se repita cada cierto intervalo de tiempo o de ángulo. Aunque no lo verbalizan claramente, ellos establecen una secuencia, un patrón en la variación de la distancia vertical que se percibe entre líneas en su respuesta (Figura 25), inician un proceso de toma de conciencia en el que conciben un fenómeno que no varía igual al variar otra magnitud (esto es algo que rompe paradigmas para ellos, ya que estaban acostumbrados y solo llevaban a procesos abstractos, fenómenos proporcionales), por lo que enfrentarse a un fenómeno que ofrece una variación tan “arbitraria” (para ellos) es un reto, sin embargo, con esta determinación rítmica de la variación entre dos distancias verticales consecutivas, inician dicho proceso de toma de conciencia.

Objetivación del Saber de Función Trigonométrica 328

Figura 25 Respuesta pregunta 3-2. Variación de la distancia vertical

Nota: Análisis de la variación de la distancia vertical de los puntos registrados en la tabla de valores

Danna le explica al profesor el hallazgo del grupo, el cual es correcto “aumenta, aumenta, disminuye, disminuye [GIDO – señala, rítmica, secuencial y respectivamente, la diferencia entre las 𝑑! de la tabla de valores (Figura 12) de la parte superior del movimiento de la piedra]. Después de cero se vuelve a repetir [GIDO – señala en la tabla la distancia vertical del dato 7 (𝑑!. = 0), Figura 12] ¿Eso es un patrón?” (línea 320). En esta línea no se observa alguna falencia en la conceptualización explicada previamente en cuanto a las palabras aumenta y disminuye, realmente la variación de la 𝑑! en la parte inferior del movimiento de la piedra es igual que en la parte superior: “aumenta, aumenta, disminuye, disminuye” (línea 320) solo que en sentido contrario, por lo que da muestra del proceso de objetivación que se estaba configurando en el encuentro con la variación de la distancia vertical (media cuerda) en un fenómeno periódico.

Sin embargo, en la interacción con el profesor entre las líneas 321 y 323 emerge una falencia de comunicación entre el grupo el profesor. A lo largo de la actividad, al grupo referirse a aumenta o disminuye se refiere a la diferencia entre las distancias verticales consecutivas en la

Objetivación del Saber de Función Trigonométrica 329

tabla de valores, pero cuando el profesor se refiere a aumenta o disminuye (línea 321) se refiere a la distancia vertical en sí, lo cual acarrea una falencia en comunicación y conceptualización. En la línea 321 el profesor manifiesta que lo esbozado por Danna en la línea 320 no es cierto, por lo que no es un patrón ya que no se cumple para los valores de 𝑑! que se encuentran en la parte inferior del movimiento de la piedra. Es en este punto de la actividad cuando Danna dice: “ahí es al revés” (línea 322), lo cual insinúa que en ese conjunto de datos (cuando la piedra está por debajo de la línea horizontal imaginaria) seguiría la secuencia: disminuye, disminuye, aumenta, aumenta, lo cual como ya se analizó no es correcto.

Así pues, lo planteado por el profesor generó desorientación en el grupo, si el profesor hubiese estado en sintonía con la actividad del grupo, la actividad se hubiera direccionado de otra forma, por el contrario, el profesor fomentó confusión en el grupo, sin embargo, esta falla, este tropiezo en la actividad como manifiesta la TO, no es un fallo si no una oportunidad que mantiene en movimiento la actividad (Radford, 2023a), como se mostrará más adelante. En este momento, el interés por resolver la interrogante permite observar una persistencia en la tarea (vector compromiso). Durante el análisis de las variaciones (incrementos y decrementos) de la distancia vertical en intervalos temporales equivalentes (línea 324) – proceso derivado de la objetivación en la Actividad 7 – el grupo identifica el patrón del tiempo mediante la tabla de valores. A su vez, establecen que la distancia vertical varía de forma no uniforme, mientras que “el aumento (del tiempo) es el mismo” (línea 325); lo que corrobora que “las distancias no son equivalentes” (línea 316) para periodos de tiempo constantes. Es así como el grupo determina que la variación de la distancia vertical no es igual para la misma variación del tiempo, por lo que la variación de la distancia vertical será diferente en

Objetivación del Saber de Función Trigonométrica 330

algunos sectores de la trayectoria circular que describe la piedra en la llanta, lo cual va en aras de la objetivación de la variación de la distancia vertical y por ende del patrón de su variación. Como ya se había establecido, el objetivo era establecer patrones de comportamiento aritméticos a partir de la tabla de valores de tiempo y distancia vertical, donde se buscaban pensamientos no tan elaborados. No obstante, el grupo al intentar identificar el patrón de comportamiento de la distancia vertical, se sumió en analizar cómo varía esta, lo cual es un análisis más complejo, especialmente en este momento de la actividad (cuando ni siquiera se había iniciado el análisis grafico del movimiento en el plano cartesiano). Esto es, el grupo se centró en analizar la razón de cambio para los valores de distancia vertical ¿Qué tan rápido varia la distancia vertical? Lo cual es sencillamente la derivada de la función (que aún no conciben). El grupo fue al encuentro de tomas de conciencia complejas, trasladó “el foco de atención del tiempo (o periodo) al movimiento, de lo periódico del tiempo a lo periódico del movimiento, pero siempre referido al comportamiento del objeto en cuestión” (Montiel, 2013, p. 26). El grupo se enfocó en la variación de la distancia vertical en un movimiento cíclico, para el cual es necesario procesos dialécticos de toma de conciencia respecto a la periodicidad, simetría, infinidad de posiciones adjudicadas a infinidad de puntos en el plano cartesiano, diferencia entre la variación de la distancia vertical entre diferentes segmentos del círculo, etc., por lo que el grupo no estaba preparado para realizar dicho análisis, sin embargo, el profesor permitió esto a espera de los análisis finales que pudieran emerger en esta actividad en el encuentro con las formas histórico culturales de pensar matemáticamente sobre la variación de la distancia vertical (media cuerda) en un fenómeno periódico.

Finalmente, la contradicción en la actividad entre las líneas 321 y 323 posibilitó procesos de objetivación pertinentes respecto a la variación de la distancia vertical de un fenómeno

Objetivación del Saber de Función Trigonométrica 331

periódico al analizar la variación de la distancia vertical respecto a la variación del tiempo (líneas 324 a 326).

El solo reconocimiento de que la distancia vertical no varía de forma uniforme y homogénea con el paso continuo y proporcional del tiempo, es un gran avance, es un indicio del reconocimiento de la no proporcionalidad en la relación 𝑑!(𝑡), con lo que superan un esquema de pensamiento inconsciente que se cataloga como un obstáculo epistemológico al ir al encuentro con el saber de función trigonométrica: “las proporciones es un tipo privilegiado de relación” (Sierpinska, 1992, p. 43).

El grupo realizó entonces tomas de conciencia al esbozar – de forma escueta y general – la variación periódica de la magnitud 𝑑!, ya que “apropiarse del significado de la noción de función implica formar una imagen de ella, tener estructuras cognitivas que se asocien al concepto, incluyendo representaciones mentales, procesos y propiedades asociados” (Maldonado et al., 2004, p. 372). Dicha relación entre distancia vertical y tiempo debe pasar por otros registros semióticos y entrar en relación dialéctica con otros saberes para realizar una efectiva toma de conciencia respecto a la variación de la distancia vertical (media cuerda) en un fenómeno periódico cíclico.

Según planteamientos de Sierpinska (1992), que de alguna forma se pueden considerar como medidores del proceso de toma de conciencia al ir al encuentro del saber de función (trigonométrica), al mostrar a los estudiantes la conceptualización inicial de una función, no de forma explícita, sino a partir de modelos de relaciones que se pueden observar en el contexto, los estudiantes realizaron procesos de objetivación iniciales (respecto a este objeto matemático) al verbalizar los objetos cambiantes (qué y cómo lo hacen), al interesarse por la identificación de cambios y regularidades entre estos objetos y al diferenciar cantidades constantes de las variables

Objetivación del Saber de Función Trigonométrica 332

y en estas últimas diferenciar la relación de dependencia entre dichas cantidades variables. En últimas, los estudiantes realizaron procesos de objetivación enrutados a la objetivación del saber de función trigonométrica al realizar procesos de toma de conciencia graduales respecto a la variación de la distancia vertical (media cuerda) e implícitamente respecto a la relación de dependencia entre 𝑑! y 𝑡 en un fenómeno periódico.

Además de lo expuesto en las líneas 324-326 – donde el grupo identifica que la distancia vertical medida respecto al eje horizontal central no presenta una tasa de cambio constante – en la línea 327 Samuel logra concretar un patrón de variación cualitativo de la distancia vertical al dejar a un lado las desorientantes conjeturas respecto a los signos negativos y lo esbozado respecto a los incrementos y decrementos.

Samuel logra identificar que los valores de distancia vertical en la parte superior de la llanta (desde 𝑑!" hasta 𝑑!() son los mismos que en la parte inferior – pero con signo negativo atribuido a la ubicación de la piedra en la parte inferior de la llanta – desligando así el signo (de la 𝑑!) de atribuciones como disminuye o aumenta, menor o mayor. Es así como Samuel logra predecir el comportamiento de la 𝑑! en un fenómeno periódico: “(se) va a repetir este mismo patrón [GIDO – recorre los datos con distancia vertical positiva, Figura 12] después de que llegue al cero” (línea 327), a lo que Montiel (2013) establece que: […] el estudiante construye la funcionalidad-trigonométrica cuando (…) identifica una unidad mínima de análisis del comportamiento, que le permite predecir. Al trabajar con objetos periódicos, lo que favorece la predicción es una distinción entre el ‘se repite’ y el ‘cómo se repite’. (p. 47)

Objetivación del Saber de Función Trigonométrica 333

Samuel logra entonces conjeturar un proceso de toma de conciencia inicial respecto al comportamiento de la variación de la distancia vertical a través de un análisis numérico y grafico a partir de la simetría de los números en la tabla de valores. Samuel establece que el comportamiento – y por ende los valores – se repetirán bajo un patrón: “estos números van a hacer los mismos que estos [GIDO – recorre los datos con distancia vertical positiva y luego los datos con distancia vertical negativa, Figura 12], solo que va a cambiar a forma negativa por la ubicación de la llanta en el plano cartesiano” (línea 327).

Esto es, los valores de 𝑑! de la parte superior del movimiento de la piedra serán los mismos que los valores de la 𝑑! en la parte inferior del movimiento de la piedra, pero negativos por la ubicación de la piedra en el plano cartesiano. Es así como “los alumnos hallaron un patrón que se repetía en diversas situaciones, lo cual les posibilitó apropiarse de la noción de relación de dependencia entre dos variables” (Cadavid y Quintero, 2011, p. 99). A partir de la tabla de valores (Figura 12) – que “es considerada la forma más antigua de representar relaciones o mapeos [funciones]” (Sierpinska, 1992, p. 49) – el grupo realizó procesos de toma de conciencia respecto a las variables 𝑑! y 𝑡 al determinar que la distancia vertical no varía igual que el tiempo (su variación no es constante), a su vez apreciaron el comportamiento periódico en la variación de la 𝑑!, percibieron que sus valores se repiten en casos específicos y relacionaron las 𝑑! atribuidas a la piedra en su movimiento en la parte superior de la llanta con las mismas 𝑑! pero en la parte inferior de la llanta (esto reforzado con el análisis variacional entre las 𝑑! consecutivas al catalogar su variación a través de las palabras aumenta y disminuye).

Estos procesos de objetivación se posibilitaron a partir de la representación tabular que es considerada como “una representación de la relación entre dos variables, cuantitativas en este

Objetivación del Saber de Función Trigonométrica 334

caso, que posibilitó además identificar la regularidad existente en dicha relación” (Cadavid y Quintero, 2011, p. 96) entre 𝑑! y 𝑡, lo cual repercutió en procesos de objetivación respecto a las formas histórico culturales de pensar y actuar sobre la variación de la distancia vertical (media cuerda) en un fenómeno periódico.

Actividad 19 (Pregunta 4-3) Tras el recorrido por el problema uno y dos, donde en aras de determinar patrones de comportamiento de la distancia vertical, el grupo terminó por sumirse en un proceso complejo respecto a la variación de la 𝑑! a través de la tabla de valores (Actividad 8, Tabla 17). Posteriormente continuaron con un proceso de contextualización de la unidad didáctica a través de la representación gráfica del movimiento de la piedra en el plano cartesiano, en donde se adentraron en un análisis infinitesimal en busca de una toma de conciencia mayor respecto a la variación de la distancia vertical (media cuerda) en un movimiento periódico. Al dar continuidad a lo concluido por el grupo en la Actividad 8 (pregunta 3-2): mientras que el tiempo varía igual la distancia vertical varía de forma no uniforme, en la pregunta 4-3, se solicitó a los estudiantes analizar la variabilidad de la distancia vertical en segmentos específicos del movimiento. Este ejercicio permitió exhibir la naturaleza no homogénea de dicho desplazamiento, lo que facilitó la deducción de que su comportamiento no se ajusta a un modelo lineal.

Tabla 18 Actividad 19: Lenguaje multimodal al encuentro de la variación de la distancia vertical (media cuerda) en un fenómeno periódico cíclico. Pregunta 4-3 Actividad 19 / Sesión 9 / Tiempo 35:30 – 39:35 / Pregunta 4-3 Línea Lenguaje multimodal (328) C: Seria mirar por cada segundo cuántos centímetros recorrió (la piedra) [GIAP y GI – señala con el dedo la piedra en el aire y luego mueve la mano y el dedo en forma vertical simbolizando dicha dv atribuida a ese punto]

Objetivación del Saber de Función Trigonométrica 335

Actividad 19 / Sesión 9 / Tiempo 35:30 – 39:35 / Pregunta 4-3

(329) S (al observar la gráfica de la Figura 18): Que tal si contamos milésima por milésima y subir para ver la distancia (330) C: No entendí (331) M: Yo tampoco (332) S: Lo que yo digo es, ubicar el 0,11 (refiriéndose al tiempo 0,1411 s) y subir hasta el tope de la línea y luego lo aproximamos a la distancia [GI – se mueve verticalmente desde el eje x y cuando toca la gráfica se mueve horizontalmente hasta el eje y]

(333) C: Ahhh. Ya le entendí (334) P (se acerca): Es una muy buena idea, pero va a ser muy difícil hallar esas distancias por la escala del eje x (335) C: Entonces ¿Podríamos hacer una regla de tres para hallar distancia vertical? (336) P: Esa es una de las conclusiones de esta pregunta. Pero por ahora no le puedo decir si se puede usar o no (y se retira) (337) S: Por ahora respondamos (338) C: La variación (de la distancia vertical) es igual (339) M: Ya que en ambos casos el tiempo transcurre igual

Posterior a la Actividad 8, al retomar el hilo conductor – del desarrollo temporal de la tarea – expuesto en esta pregunta y al reconocer el carácter dialéctico de los saberes que son causa y efecto del saber de función trigonométrica, el grupo al ir al encuentro de otros saberes (categorías estructurales) se enfrentaron implícitamente con la variación de la distancia vertical en un fenómeno periódico.

En la Actividad 9 (pregunta 4.1-2) el grupo estableció que un par de datos en la tabla de valores (Figura 12) es representado cómo un punto en el plano cartesiano al cual se le atribuyen

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valores de distancia y tiempo (línea 69), el cual representa “el punto en el que está ubicada la piedra en ese momento [GM], en ese tiempo” (línea 75), es decir, “una ubicación” (línea 84) específica de la piedra atribuida a un tiempo específico.

Ya en la Actividad 10 y 11 (pregunta 4.3-2) se concluyó que los 13 pares de datos de la tabla de valores (Figura 12) representados en la gráfica en el plano cartesiano (Figura 14) representan “13 posiciones” (línea 107) de la piedra en un ciclo, por lo que, al tomar conciencia del movimiento normal de la piedra (en la llanta), se concluye que la piedra puede situarse en cualquier punto intermedio entre dos posiciones dadas. Esta condición permite establecer que la piedra ocupa una cantidad “infinita” de posiciones (línea 109) en la llanta de la bicicleta; por consiguiente, dicha trayectoria se traduce en una infinidad de puntos (línea 115) dentro de la representación gráfica del plano cartesiano (Figura 15).

Por lo que, al conceptualizar sobre la inconmensurabilidad de posiciones representados en infinitos puntos en el plano cartesiano, se dio una discusión implícita – en el marco de la unidad contextual y conceptual – de la distancia vertical a través de su representación contextual como ubicaciones o posiciones de la piedra en la llanta de la bicicleta de Thomás. Seguidamente, al determinar los valores de tiempo en el plano cartesiano para el segundo ciclo de la piedra en la Actividad 12 y 13 (pregunta 4.5-2) el grupo determina que la 𝑑! del punto 17 respecto a la 𝑑! del punto 5 (Figura 15) “es la misma” (línea 185). Se exhibe así el carácter periódico de la 𝑑! – a través de la representación en el plano cartesiano – al reconocer la repetibilidad de los valores que puede tomar cada cierto tiempo.

Ahora, esta pregunta 4-3 no buscaba un análisis infinitesimal, buscaba continuar lo identificado por el grupo en la pregunta 3-2 (Actividad 8, Tabla 17): la distancia vertical de la piedra no varía igual (en todas las partes de la llanta). Se busca entonces reconocer que la

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distancia vertical en ciertos sectores de la gráfica (de la llanta) varía más rápido que en otros sectores.

Al intentar explicar cómo es la variación de la 𝑑! de la piedra – hasta la línea horizontal que pasa por el centro de la llanta de la bicicleta de Thomás – respecto al tiempo, Carol establece que “seria mirar por cada segundo cuántos centímetros recorrió (la piedra)” (línea 328), lo cual se complementa con un gesto combinado que vincula sus palabras con la representación física del fenómeno: GIAP y GI, señala con el dedo una ubicación arbitraria de la piedra en el aire, es decir, recrea la llanta y la piedra en un registro no concreto e inmaterial, en donde a partir de esta representación imaginaria mediante el GI de mover su dedo y mano verticalmente, atribuye a dicha ubicación arbitraria de la piedra, una distancia vertical (representada en su forma gráficavectorial), lo cual permite evidenciar el reconocimiento de esta magnitud. De esta manera se da continuidad a los gestos previamente realizados en aras de materializar dicha distancia vertical: línea 35, 37, 38, 46, 47 (en la Actividad 4 y 5, Tabla 4) y línea 69 (en la Actividad 9, Tabla 5), los cuales a su vez se repetirán en el desarrollo cronológico de la unidad didáctica: línea 352 (en la Actividad 26, Tabla 19), línea 378 y 379 (en la Actividad 27, Tabla 20), línea 426 (en la Actividad 30, Tabla 22) y línea 443 (en la Actividad 33, Tabla

23).

Este listado de líneas de transcripción del lenguaje multimodal donde se esbozan gestos que materializan la distancia vertical previos y posteriores al visualmente “simple” GIAP-GI realizado por Carol en la línea 328, pero complejo epistemológicamente, permite reconocer que después de pasar por el problema 1, 2 y 3 (parcialmente), después de enfrentarse dialécticamente con los saberes emergentes (categorías estructurales)50, el grupo ha realizado tomas de

50 Las formas histórico-culturales de pensar y actuar matemáticamente sobre: la variación de magnitudes en una relación de dependencia periódica, el periodo en un fenómeno cíclico, la representación gráfica (en el plano

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conciencia graduales y complejas que ha repercutido en la creación de signos y conceptos, “de algo que ofrece posibilidades reales de acción: algo que permite al sujeto hacer cosas en un contexto cultural con otros” (Radford, 2023a, p. 126).

A partir del nivel de agenciamiento que se tiene de estos conceptos – fruto de los procesos de objetivación enriquecidos por la naturaleza dialéctica de la unidad didáctica y de la naturaleza misma del saber de función trigonométrica – el grupo puede hacer uso de ellos, puede referirse a ellos e inclusive representarlos imaginariamente para transmitir información a través del lenguaje multimodal debido a que son una obra común subjetiva.

Debido a la evolución misma de estos gestos, donde se legitimaron en el marco de la actividad de aula y al notar que no necesitan ser explicados con detalle ya que el solo gesto acarrea información que el grupo por su construcción conjunta ya identifica, se puede reconocer que este gesto de la materialización de la distancia vertical se configura como un signo que muta conveniente y evoluciona en una herramienta de uso, tal y como sucedió con la evolución del gesto del movimiento circular hacia el gesto del movimiento senoidal analizado al final de la categoría estructural del periodo de un fenómeno periódico.

Tal y como establece la pregunta 4-3 (Anexo D), los estudiantes centran su atención en la vecindad del punto más alto (𝑑! = 25 𝑐𝑚, 90°) que puede tomar la piedra en su trayectoria circular, esto es, en los tiempos 0,1409 s; 0,1410 s; 0,1412 s; 0,1413 s. El grupo planea, a partir de la gráfica del problema 3 (Figura 18), contar “milésima por milésima y subir para ver la distancia” (línea 329) en el plano cartesiano.

Por ejemplo “ubicar el 0,11 (refiriéndose al tiempo 0,1411 s) y subir hasta el tope de la línea y luego lo aproximamos a la distancia” (línea 332), lo cual demuestra un adecuado manejo

cartesiano) de un movimiento periódico cíclico, la identificación de patrones de las magnitudes de un fenómeno periódico cíclico y la variación de la distancia vertical en un fenómeno periódico cíclico

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del plano cartesiano, así como en la línea 69 (Actividad 9, Tabla 5) y en general en el análisis de la categoría estructural de la representación gráfica del movimiento periódico, lo que repercute en capacidad de análisis e interpretación de la curva en el plano cartesiano. De la misma manera el grupo pensaba proceder para establecer la variación de la distancia vertical para la ubicación de la piedra que se encuentra más a la izquierda (𝑑! = 0 𝑐𝑚, 180°), esto es, al establecer en el plano cartesiano la distancia vertical para los tiempos 0,2820 s; 0,2821 s; 0,2822 s; 0,2823 s y 0,2824 s.

Aunque es una idea pertinente y coherente que va a solucionar la pregunta, tal y como dice el profesor, va a ser difícil hacerlo debido a las graduaciones de los ejes en el plano cartesiano (línea 334), esto ya que la pregunta estaba enfocada en realizar el análisis de la variación desde un enfoque operacional (a partir de la gráfica en el plano cartesiano y el bosquejo de la llanta) antes que privilegiar un enfoque estructural al determinar cada uno de los valores de distancia vertical de la piedra en cada uno de los tiempos propuestos. Al verse en la dificultad de determinar cada uno de los valores de distancia vertical atribuidos a cada uno de los tiempos propuestos, el grupo plantea “entonces ¿Podríamos hacer una regla de tres para hallar distancia vertical?” (línea 335), el profesor les dice que aún no les puede decir si se puede o no ya que es una de las conclusiones de esa pregunta (línea 336). Se debe resaltar que el grupo indirectamente – y aunque de forma superficial – ya había llegado a esta conclusión en las líneas 316, 324, 325 y 326 (y en general en la Actividad conjunta 8) al establecer que la distancia vertical de la piedra no varía igual en todos las partes de la llanta. Con este hallazgo previo del grupo se esperaría que esta aseveración concluyera consecuente en la no proporcionalidad entre la distancia vertical y el tiempo, lo cual no fue así, ya que Carol plantea hallar distancias verticales con una relación de proporcionalidad con el

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tiempo (línea 335), lo cual el grupo acepta al establecer que “la variación (de la distancia vertical) es igual” (línea 338) “ya que en ambos casos el tiempo transcurre igual” (línea 339), al referirse a que la variación de la 𝑑! en la parte superior del movimiento de la piedra (90°) es igual a la variación de la 𝑑! en la parte izquierda del movimiento de la piedra (180°) ya que en ambos casos la tasa de cambio del tiempo es constante.

En este sentido, en la variación de la relación de la distancia vertical respecto al tiempo, se aprecia una desconexión entre lo realizado en la Actividad 8 (pregunta 3-2) y la Actividad 19 (pregunta 4-3). Esto debido principalmente a que el grupo en situaciones similares cuando se ha enfrentado a la variación de una relación existente entre variables – inclusive en grados de escolaridad anteriores – dicha relación por lo general ha sido proporcional. El grupo por ende no razonó correctamente, hizo uso de su agenciamiento más próximo, realizando una acción sin pensar en la razón de la misma, al respecto Vygotski establece que lo más difícil y profundo es la toma de conciencia sobre ella misma.

Esto es, los estudiantes se adentraron en este obstáculo epistemológico ya que sus esquemas de pensamiento inconscientes actuaron como creencias ciegas al considerar la “proporción como un tipo de relación privilegiada” (Sierpinska, 1992, p. 43), lo cual en cierta medida es racional ya que dichas proporciones acarrean en su esencia un pensamiento hegemónico racional: las proporciones se expresan en razones que no son más que registros matemáticos histórico-culturales de las concepciones de verdades, de razonamientos inherentemente coherentes y razonables al establecer relaciones51.

51 Las palabras en inglés “ratio” (razón matemática) y “reason” (razón) tienen las mismas raíces latinas, cuyo registro histórico epistemológico se rastrea desde la dicotomía entre número (cantidades discretas: aritmética) y magnitud (cantidades continuas: geometría) y instaurada por Aristóteles y reafirmada por Euclides y los pitagóricos.

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Finalmente, en la plenaria grupal, el profesor reúne las conjeturas de los grupos y sintetiza la pregunta, aunque la participación de los grupos es limitada, de forma tal que dicha plenaria grupal parece más un monologo similar a una clase magistral. El profesor explica por qué la 𝑑! y el 𝑡 no se relacionan linealmente al establecer que la variación de la 𝑑! en todos los sectores del trayecto de la piedra no es necesariamente igual, tal y como el grupo había planteado en la Actividad 8.

Esto lo hace a través de las diferencias de tamaños de los segmentos de recta (vectores) adjudicados a la distancia vertical de cada uno de los puntos en ambas secuencias de tiempo, de donde se demostró que los tamaños (diferencias entre distancias verticales consecutivas en las secuencias de tiempos) es diferente, por ende, la distancia vertical varía de forma diferente para lapsos de tiempo iguales en ciertas partes de la trayectoria circular. Es claro entonces que el grupo no cumplió el objetivo de la pregunta, no hubo proceso de objetivación respecto a la variación de la distancia vertical en un fenómeno periódico. Sin embargo, como se ha estipulado en el marco teórico, no solo la TO posibilita procesos de objetivación, muchas otros enfoques pedagógicos y didácticos también generan procesos de tomas de conciencia, sin embargo ofrecen niveles de agenciamiento pobres, atados a formas de colaboración humana solipsistas y/o a formas de tomas de conciencia individualistas en las que el individuo es el poseedor del saber (Radford, 2023a), el cual adquiere características de verosimilitud respecto a un objeto físico, de forma tal que el saber se puede construir, moldear y pasar, lo que genera tácitamente relaciones de poder, ya que quien tiene el saber tiene el poder (Freire, 1972; Radford, 2023a), todas esta problemática ya fue ampliamente abordada en el planteamiento del problema.

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Sin embargo, aunque pobre y con bajos niveles de agenciamiento, ocurrió en el grupo un proceso de objetivación, posiblemente superfluo y de poca profundidad, por lo que de cierta manera dicho proceso de toma de conciencia posibilitó continuar el proceso de objetivación (en la siguiente Actividad 25) respecto a la variación de la distancia vertical (media cuerda) en el fenómeno periódico que se está revelando gradualmente.

Actividad 25 y 26 (Pregunta 7-3) Después de la plenaria grupal realizado por el profesor en la que se determinó que la relación 𝑑!(𝑡) en un fenómeno cíclico no es proporcional a raíz de los planteamientos realizados por el grupo de investigación y por otros grupos en la pregunta 4-3 (Actividad 19, Tabla 18), en la pregunta 7-3 el grupo debe determinar los valores de distancia vertical, ángulo y número de vueltas a partir de un tiempo dado (fila 1 de la tabla de la pregunta 7-3, Anexo D). Se exhibe entonces la intencionalidad didáctica del paso a un enfoque estructural en la manera de percibir la variación de la distancia vertical en un fenómeno cíclico. Después de haber realizado los cálculos de ángulo y número de vueltas a partir del tiempo, posibilitado por los procesos de objetivación realizados en la identificación de patrones de las magnitudes de un fenómeno cíclico, específicamente en la pregunta 6.1-3 (Tabla 16, Actividades 20, 21, 33 y 24), el grupo inicia el proceso para determinar la distancia vertical a partir de un tiempo mayor a una vuelta no especificado en ningún registro hasta el momento.

Tabla 19 Actividad 25 y 26: Lenguaje multimodal al encuentro de la variación de la distancia vertical (media cuerda) en un fenómeno periódico cíclico. Pregunta 7-3 Actividad 25 / Sesión 10 / Tiempo 1:25:00 – 1:26:50 / Pregunta 7-3 Línea Lenguaje multimodal (340) P: ¿Cómo planean hallar la distancia?

(341) C: 5 vueltas quedarían en el cero otra vez (342) P: Sí. Y 5 vueltas y 5/12 de vuelta terminó acá [GIDO – señala el punto que representa 5/12 en el bosquejo de la llanta hecho por el grupo en la pregunta 6.1-3, Figura 23] (343) C: Ahh, ya sé … (le da vueltas a las hojas del cuaderno) … ¿Podemos usar esta tabla?

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Actividad 25 / Sesión 10 / Tiempo 1:25:00 – 1:26:50 / Pregunta 7-3 (344) P: Que no (se ríe) ¿Cómo le ayudaría?

(345) C: Seria lógico porque dice que la quinta cierto, entonces 1, 2, 3, 4, 5 [GIDO – a medida que cuenta, de forma secuencia y rítmica, señala cada uno de los datos de distancia vertical de la tabla de valores, Figura 12]. La 5 (refiriéndose al dato 6 de la tabla de valores) está en 12,5 cm

(346) P: Mmmm, a ver ¿cómo fue la cosa? Otra vez (347) C: Acá (en la tabla de valores) hay 13 datos, sin contar este porque es el inicio (refiriéndose al dato 0 donde tiempo y distancia son cero). Entonces, escogimos 5 partes de la torta ¿se acuerda? Entonces son 1, 2, 3, 4, 5 [GIDO – a medida que cuenta, de forma secuencia y rítmica, señala cada uno de los datos de distancia vertical de la taba de valores, Figura 12], está ubicada en 12,5 cm, la piedra en ese instante ¿Está mal o está bien?

(348) P: Está bien.

Actividad 26 / Sesión 10 / Tiempo 1:27:41 – 1:30:32 / Pregunta 7-3 Línea Lenguaje multimodal (349) P: ¿Dónde está la piedra?

(350) C: Aquí [GIDO – señala el punto que corresponde a 5/12 de vueltas (150°) en el bosquejo de la llanta de la pregunta 6.1-3, Figura 23] (351) P: Hay que hallar la distancia vertical. Dibuje la distancia vertical (352) S: Seria de acá a acá [GIDO – señala el punto que corresponde a 5/12 de vueltas (150°) y luego sigue una trayectoria vertical hacia abajo hasta llegar a la línea horizontal en el bosquejo de la llanta de la pregunta 6.1-3, Figura 23]

(353) P: Ahora ¿Cómo hallan esa línea? (refiriéndose a la línea vertical atribuida al punto que corresponde a 5/12 de vueltas, es decir, 150°, Figura 23) (354) S: En ese caso podríamos usar razones trigonométricas (355) P: ¿Y cómo?

(356) S: Sabemos que este ángulo es de 90 [GIDO – señala el ángulo recto en el triángulo rectángulo formado por la distancia vertical atribuida al punto que corresponde a 5/12 de vueltas y el radio de la llanta de la bicicleta, Figura 23] (357) M: El de acá es de 30° [GIDO – en el triángulo rectángulo formado por la distancia vertical atribuida al punto que corresponde a 5/12 de vueltas y el radio de la llanta de la bicicleta, señala el ángulo interno agudo del centro de la llanta, Figura 23]

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Actividad 25 / Sesión 10 / Tiempo 1:25:00 – 1:26:50 / Pregunta 7-3

(358) P: Pero para conocer razones trigonométricas tienen que conocer un lado ¿Conocen algún lado?

(359) X (un compañero de otro grupo al ver que se demoran en responder): Sí (360) P: ¿Cuál?

(361) X: Este, la hipotenusa [GIDO – señala la hipotenusa del triángulo rectángulo que es representada por uno de los radios de la bicicleta] (362) P: ¿Si saben por qué?

(363) M y S: No (364) P: ¿Qué es esto? [GIDO – recorre la circunferencia, el contorno de la llanta, Figura 23] (365) S: La llanta (366) P: ¿En una llanta estas cosas que son? [GIDO – señala las líneas que van del centro de la llanta a un punto arbitrario de su circunferencia, los radios, Figura 23] (367) P: Los radios, cierto, los rines … ¿No saben cuánto mide el rin de la llanta? (368) X (al ver duda, le pregunta a Samuel): ¿Cuánto mide esto? [GIDO – señala el rin de la llanta que coincida con la línea vertical atribuida al punto con altura máxima que puede tomar la piedra en la llanta (90°), Figura 23] (369) S: Los 25 ¿no?

(370) M: Ahhh … O sea que cada rayita mide 25 Nota: El sujeto X es un estudiante de otro grupo que participó en la discusión entre el grupo y el profesor.

Los estudiantes habían iniciado esta pregunta 7-3 con anterioridad a esta Actividad 25 y 26, sin embargo, se enfocaron en la acción de sintetizar lo ya argumentado y debatido en acciones matemáticas para determinar los valores de ángulo y número de vueltas. Este proceso derivó en un enfoque estructural sin configurar una labor conjunta clara según la TO, por lo que este segmento de actividad no se tuvo en cuenta en las categorías estructurales de identificación de patrones (tiempo y ángulo) o en el análisis del periodo de un fenómeno cíclico. Por lo que antes de iniciar la parte de la actividad donde se enfocan en determinar la distancia vertical – al resolver solo la primera fila de la tabla de la pregunta 7-3 (Anexo D) por instrucciones del profesor – el grupo ya había determinado que después de recorrer 3,05716X 𝑠 la

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piedra giraba 1950°, por lo que realizaba 5 𝑦 5 12 ⁄ 𝑑𝑒 𝑣𝑢𝑒𝑙𝑡𝑎 – lo cual da muestra de los procesos de objetivación realizados al ir al encuentro de la identificación de patrones de las magnitudes de un fenómeno periódico sintetizados en la Actividad 20, 21, 22 y 24 – es así como el grupo hizo uso del bosquejo de la llanta realizado en la pregunta 6.1-3 (Figura 23). Esto ya que al determinar que la piedra realizó 5 𝑦 5 12 ⁄ 𝑑𝑒 𝑣𝑢𝑒𝑙𝑡𝑎 se estableció que el bosquejo de la llanta se debía porcionar en 12 partes iguales, es decir cada 30°, esto es, de la misma forma como se realizó inicialmente en el video de la llanta y la piedra proyectado en el tablero del aula de clase (Actividad 6, Tabla 15) de donde se obtuvieron los datos de la tabla de valores (Figura 12).

Es en este orden de ideas que el profesor, al preguntar por la distancia vertical de la piedra después de haber transcurrido 3,05716X 𝑠 previamente identificado en el bosquejo de la llanta (línea 340), busca dar continuidad a la actividad en dirección al objetivo de la pregunta: determinar la distancia vertical (media cuerda) en un fenómeno cíclico a partir del esquema circular que representa la trayectoria de la piedra, lo cual posibilita la transición entre el pensamiento geométrico circular (enfoque operacional) y las funciones trigonométricas en su representación algebraica (enfoque estructural).

Carol inmediatamente relaciona este proceso con la génesis de la tabla de valores (línea 343), a lo que el profesor le manifiesta que no la puede usar (línea 344) ya que, como ya se ha planteado, dicha tabla no se relaciona perfectamente con la gráfica del plano cartesiano de la pregunta 1-3 (Figura 18), a partir de la cual se ha realizado el análisis del problema 3 y su subsiguiente síntesis en su representación algebraica en el problema 4 (es de añadir que el cambio de grafica obedeció a la necesidad de interpretar el fenómeno periódico desde la concepción del periodo y no de su síntesis a través de la tabla de valores). El profesor al saber

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esta particularidad en la unidad didáctica, le manifiesta que no puede usar la tabla de valores para ello, sin embargo, le pregunta a Carol: “¿Cómo le ayudaría?” (línea 344), sin percibir el coherente análisis que está concibiendo Carol.

Tras el recorrido por la unidad didáctica, a punto de finalizar el enfoque imbricado operacional-estructural y a puertas del problema 4, el cual se enfoca en la síntesis del enfoque operacional en desarrollos estructurales a través de registros semióticos abstractos, como lo es la representación algebraica de la relación trigonométrica 𝑑!(𝑡), el grupo a través de su actividad ha construido, ha sintetizado artefactos y signos en herramientas de las que ha hecho uso a lo largo de la tarea para satisfacer sus necesidades (Leontiev, 1984). El grupo entonces se ve reflejado en estas herramientas, las cuales son la concreción de su actividad en camino de ser una labor conjunta (obra común), por lo que son herramientas significativas. En este orden de ideas, una de esas herramientas significativas es la tabla de valores (Figura 12), la cual Carol la reconoce como el medio para hallar la distancia vertical solicitada. Ella establece que el grafico de la pregunta 6.1-3 (Figura 23) que se usó para determinar la posición de la piedra tras 3,05716X 𝑠 después de iniciar su recorrido (para hallar ángulo y tiempo

– pregunta 7-3), es el mismo grafico (circular - video) a partir del cual se registraron los datos en

la tabla de valores (Actividad 6), por ende, la tabla de valores (Figura 12) se puede usar para determinar la distancia vertical a los 3,05716X 𝑠.

Es así como, al estar enriquecida con otros registros semióticos en el marco de una interacción social, la tabla de valores se configura como un MSO que dota de sentido y significado la actividad en el aula de clase, lo que posibilita una compresión enriquecida de las formas histórico-culturales de pensar matemáticamente sobre fenómenos periódicos a través de las funciones trigonométricas (Tamayo et al., 2018).

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Carol relaciona la distribución del bosquejo de la llanta realizado cada 30° de la Figura 23 con la segmentación realizada – en 12 partes iguales – en el video de la llanta proyectada en el tablero del aula de clases en la Actividad 6 del cual se obtuvieron los valores de distancia vertical y tiempo de la tabla de valores (Figura 12). Así pues, la posición 5 de las 12 posibles en las que se dividió el movimiento circular de la piedra es la posición que ocupa tras 3,05716X 𝑠 (5 𝑦 5 12 ⁄ de vuelta desde que se inició el movimiento). Es en este sentido que Carol justifica el uso de la tabla de valores: “sería lógico porque dice que la quinta cierto, entonces 1, 2, 3, 4, 5 [GIDO – a medida que cuenta, de forma secuencia y rítmica, señala cada uno de los datos de distancia vertical de la tabla de valores, Figura 12]. La 5 (refiriéndose al dato 6 de la tabla de valores) está en 12,5 cm” (línea 345), estableciendo correctamente que la 𝑑! de la piedra atribuida a su posición tras 3,05716X 𝑠 después de iniciar su recorrido es de 12,5 cm respecto a la línea horizontal imaginaria que pasa por el centro de la llanta de la bicicleta de Thomás. Este razonamiento de Carol no estaba presupuestado por el profesor, por lo que se muestra desconcertado (línea 346). El profesor, como sujeto que está consciente del objetivo de la pregunta, no se esperaba este coherente proceso para determinar la 𝑑! a través de la tabla de valores, al percatarse del razonamiento coherente de Carol, le solicita que lo explique de nuevo. Es en ese momento (línea 347), que al explicarlo de forma más clara y concreta, verbaliza la relación entre el bosquejo de la llanta usado en la pregunta 6.1-3 (Figura 23) para determinar la ubicación de la piedra tras realizar 5 𝑦 5 12 ⁄ 𝑑𝑒 𝑣𝑢𝑒𝑙𝑡𝑎 (3,05716X 𝑠) con la partición de la llanta en 12 partes iguales (en el video proyectado en el tablero del aula de clases) de donde se obtuvieron los datos de la tabla de valores (Figura 12), es que se realiza un proceso de contracción intersemiótica al relacionar el bosquejo de la llanta particionado en 12 partes con la tabla de valores, esto ya que “las relaciones intersemióticas conjugan dichas potencialidades

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[particulares y específicas entre cada modo de lenguaje y medio semiótico] y permiten ampliar las posibilidades de representación de los conceptos y reforzar la construcción de explicaciones científicas” (Tamayo et al., 2018, p. 121).

Se puede apreciar que Carol, y en general el grupo, reconoció el carácter periódico de la variación de la distancia vertical, a lo que Montiel (2013) establece que, el estudiante construye la funcionalidad-trigonométrica cuando:

[…] estudia lo trigonométrico desde un acercamiento variacional al movimiento oscilatorio, en donde se reconozca que el comportamiento trigonométrico se caracteriza, y se distingue de otros comportamientos (algebraicos o trascendentes) por su variación y sus variaciones sucesivas, esto es, por cómo cambia y cómo cambian sus cambios. (p. 47)

Es así como a través del artefacto denominado tabla de valores – fruto de la actividad, al ir al encuentro de la variación de la distancia vertical en un fenómeno cíclico – emergen a su vez relaciones dialécticas con la potencialidad del periodo en un fenómeno cíclico (a partir de su representación en una tabla de valores) lo que permite extrapolar (cuantificar) el comportamiento de las magnitudes involucradas y predecir los valores que pueda tomar. Se ve entonces reflejado que el uso practico de artefactos y la actividad simbólica posibilitan llegar a unidades psicológicas complejas; por lo que los signos (psicológicos) como palabras (y otros objetos físicos, como tablas y gráficas) se configuran como artefactos o herramientas al ser manipulados (en una actividad simbólica) que modifican la percepción, la memoria y la atención (Vygotski y Luria, 1994).

La articulación de nuevos medios semióticos objetivación a otros medios que han sido movilizados previamente por las estudiantes desempeña un papel fundamental en la

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ocurrencia concreta de nuevas formas de reflexión y acción en la labor conjunta. La movilización y articulación de medios semióticos de objetivación no es estable, inmutable; todo lo contrario, es dinámica, se encuentra en constate transformación. La movilización y articulación de los medios evoluciona a medida que evoluciona la labor conjunta y, por ende, las formas de pensamiento. (Pantano, 2020b, p. 90)

Este análisis realizado por Carol es relevante ya que permite apreciar la interiorización de las múltiples formas de registrar información matemática y la relación entre estas. Es claro que la estudiante reconoce que este fenómeno cíclico (del movimiento de la piedra) tiene múltiples representaciones por medio de las que hay que navegar y el hecho de llegar a la respuesta de una forma contundente y precisa evidencia el grado de asimilación de su proceso, del manejo de las múltiples representaciones de una función. De ahí que este segmento de actividad supone un nodo semiótico ya que “incluye una coordinación compleja de varios registros sensoriales y semióticos que los alumnos y profesores movilizan para percibir algo” (Radford et al., 2017, p.

718).

Inclusive se observa la superación del impase realizado por el grupo en la Actividad 19 al catalogar la relación entre 𝑑! y tiempo como una relación lineal al intentar determinar la 𝑑! a través de una relación de proporcionalidad con el tiempo (regla de 3). Carol fue inmediatamente a la tabla de valores que relaciona las variables 𝑑! y 𝑡, no declaró que estas se relacionaran de forma lineal o proporcional, no manifestó realizar una regla de tres. Minutos después de que el grupo planteara un modo de determinar la distancia vertical de la piedra a través de la tabla de valores (Actividad 26), el profesor los invita a realizar dicho cálculo de otra forma, de la que se esperaba que realizaran en dicha pregunta 7-3: a través de un

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triángulo rectángulo en la circunferencia que representa el movimiento de la piedra y mediante razones trigonométricas determinar la longitud de la 𝑑!, esto en aras de pasar de la característica innata de datos discretos de la tabla de valores a un proceso de generalización a través de cálculos algebraicos.

Mediante un proceso de actividad entre el grupo y el profesor, logran identificar el triángulo rectángulo inscrito en la circunferencia que representa la llanta (Figura 23): acotado por la distancia vertical y horizontal (coordenadas cartesianas) atribuidos a la ubicación particular de la piedra (después de recorrer 3,05716X 𝑠, girar 1950°, o realizar 5 𝑦 5 12 ⁄ 𝑑𝑒 𝑣𝑢𝑒𝑙𝑡𝑎) y el radio de la llanta. Al materializar el triángulo – y con él la 𝑑! (línea 351 y 352) según la ubicación de la piedra – ya no es un objeto imaginario, es concreto y sensible, esta concreción fenomenológica configura al triángulo como un artefacto potencial de ser objeto de conciencia. Ahora bien, al materializar el triángulo rectángulo inscrito en la circunferencia que representa el movimiento de la piedra en la llanta de la bicicleta de Thomás, el profesor pregunta “¿Cómo hallan esa línea? (refiriéndose a la línea vertical atribuida al punto que corresponde a 5/12 de vueltas, es decir, 150°, Figura 23)” (línea 353), a lo que Samuel responde: “podríamos usar razones trigonométricas” (línea 354), saber que ya hace parte del grupo debido a procesos de objetivación realizados por el grupo antes a dar inicio a la presente unidad conceptual y contextual.

Al plantear la ruta de trabajo, el grupo busca determinar la 𝑑! a través de razones trigonométricas. A partir del triángulo rectángulo inscrito (ya tangible), el grupo establece sus ángulos internos (línea 356 y 357) pero se les dificulta hallar la medida de la hipotenusa, necesaria para determinar la 𝑑! a través de razones trigonométricas. Es en este momento en qué uno de los compañeros (X) de otro grupo hace presencia y se compromete en dicha labor, para

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quien seria sencillo mencionarles el lado desconocido y su respectiva longitud, pero en lugar de ello se implica con el grupo al sentir su necesidad.

No se centra en el resultado si no en la génesis conceptual del mismo, por lo que en la línea 368 le pregunta a Samuel “¿Cuánto mide esto? [GIDO – señala el rin de la llanta que coincida con la línea vertical atribuida al punto con altura máxima que puede tomar la piedra en la llanta (90°), Figura 23]”, en buscas de relacionar la longitud de la hipotenusa del triángulo con un segmento de recta abordado previamente a través de otros esquemas de la llanta y su representación en el plano cartesiano en el eje de las ordenadas. La presencia de este compañero (X) no se debe reconocer como una interferencia con el grupo, se encuentra en el marco de la TO cuando los grupos discuten entre si (Figura 5), por lo que a esta actividad se le atribuyen características que la va configurando como una labor conjunta.

Es así como Samuel lo reconoce y dice “Los 25 ¿no?” (línea 369), refiriéndose al tamaño de la llanta de la bicicleta de Thomas (25 cm de radio), lo cual tiene repercusión en Michell: “Ahhh … O sea que cada rayita mide 25” (línea 370). Es así como a través del contexto de la unidad didáctica el grupo reconoció que cada una de las 12 “rayitas” del bosquejo de la llanta de la pregunta 6.1-3 (Figura 23) usado para solucionar esta pregunta 7-3, representan los radios de la bicicleta y miden 25 cm, cuyo valor ya lo habían usado en otras representaciones semióticas como tabla de valores y grafica en el plano cartesiano.

Finalmente, el grupo realiza los cálculos necesarios a través de razones trigonométricas para hallar el cateto opuesto al ángulo de 30° (la distancia vertical), 𝑑! = 25𝑠𝑒𝑛30°, con lo cual determinan que 𝑑! = 12,5 𝑐𝑚. Así entonces el grupo corrobora el planteamiento esbozado por Carol en la Actividad 25.

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Es de esta manera como, coadyuvado por procesos dialécticos de toma de conciencia previos a esta pregunta 7-3, el grupo pasó de abstraer y materializar la magnitud 𝑑! en múltiples registros semióticos (como se explicó en la Actividad 19), reflexionó respecto a su variación periódica (Actividad 8) y finalmente estableció que dicha variación no obedece a un incremento o decremento proporcional (Actividad 8, 25 y 26), sino que su variación obedece a operaciones trigonométricas. Se aprecia entonces el trayecto de lo operacional a lo estructural – a través de la unidad contextual y conceptual – que finalizó en el cálculo de la distancia vertical mediante un triángulo rectángulo inscrito en la circunferencia que representa el movimiento circular de la piedra.

Análisis General Durante el desarrollo de esta categoría estructural, el grupo manifestó una comprensión intermitente del objeto de estudio. El grupo logró identificar hallazgos significativos; no obstante, la falta de persistencia en dichos conceptos revela una toma de conciencia preliminar. Es en este sentido que el profesor al percibir esta dinámica del grupo frente al saber, realiza intervenciones más enfocadas en que él y el grupo transiten juntos al encuentro de dicho saber, pero cuando la respuesta conceptual del grupo no es la esperada, no es satisfactoria, el profesor de forma inconsciente se enfrasca en una dinámica conductual.

Esto constata que las formas colaboración humana basadas en la ética comunitaria no es un producto de la evolución natural de las relaciones sociales, no se da a priori, se deben realizar esfuerzos intencionados para su concreción en el aula de clase (Radford, 2022a). Es arduo dejar a un lado las formas éticas de interacción humanas con las que cualquier sujeto se erigió, para romper con dichas dinámicas se debe sumir en un proceso intencionado y antagónico de

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colaboración humana, de devenir, para que finalmente los vectores de la ética comunitaria sean parte normal y espontánea de la actividad en el aula de clase.

Es pertinente mencionar que, hasta el momento en la unidad didáctica, las relaciones emergentes entre variables del fenómeno obedecían a un comportamiento lineal. Cuando el grupo se enfrentó con una relación de dependencia donde sus variables no se relacionaban proporcionalmente, se generó un choque conceptual que no se borra en pocas sesiones de clase. Es diferente realizar procesos de tomas de conciencia enfocados a complejizar ideas y conceptos ya arraigados en el pensamiento del individuo a realizar tomas de conciencia para cambiar dichas ideas, es un proceso más arduo, complejo y que demanda más tiempo. Las confusiones de los estudiantes con el uso de la regla de tres (notación popular para establecer una relación de proporcionalidad), dan muestra de que los conceptos arraigados en su zona de desarrollo próximo (Vygotski, 2009) aún están vigentes e interfieren de cierta manera con este cambio de paradigma conceptual.

Se debe reconocer que los procesos de objetivación son “procesos sociales de toma de consciencia progresiva de sistemas histórico-culturales de pensamiento y de acción, algo de lo que nos damos cuenta gradualmente y a la vez lo dotamos de significado” (Radford, 2023a, p. 96). De ahí que este esfuerzo realizado por los estudiantes está lejos de ser un fracaso, es un proceso de toma de conciencia gradual al ir al encuentro con las formas histórico culturales de pensar y actuar matemáticamente sobre la variación de la distancia vertical en un fenómeno periódico, su reconocimiento paulatinamente se empieza a hacer palpable, empieza a hacerse un lugar en la conciencia de los estudiantes.

Objetivación del Saber de Función Trigonométrica 354

Síntesis De La Representación Algebraica De La Relación Trigonométrica 𝒅𝒗(𝒕) En esta categoría estructural se cataloga como el paso concreto hacia el enfoque estructural del saber de función trigonométrica. En la línea de la unidad didáctica, en el problema número 4 los estudiantes van al encuentro de las formas histórico culturales de actuar y pensar matemáticamente sobre la síntesis de la representación algebraica de la relación trigonométrica 𝑑!(𝑡), esto es, los estudiantes seran objetados por saberes que les harán hacer uso de su agenciamiento, fruto de los procesos de objetivación realizados en el trayecto por el enfoque operacional propiciado al ir al encuentro de forma dialéctica de los saberes anteriores. Al generalizar la variación de la distancia vertical (media cuerda) respecto a la variación del tiempo a través de una expresión algebraica, el grupo recoge los procesos de toma de conciencia realizados al ir al encuentro – en el marco de un enfoque operacional – de la variación de las magnitudes en una relación de dependencia periódica, especialmente la magnitud 𝑑!, imbricados con la identificación de patrones, el periodo en un fenómeno cíclico y la representación gráfica del movimiento periódico.

Actividad 27 (Pregunta 1.1-4) Tras haber realizado procesos de objetivación de la periodicidad de la distancia vertical (media cuerda) en el fenómeno cíclico del movimiento de la piedra en la llanta de la bicicleta de Thomás a través de su representación tabular y gráfica, inmersos en análisis infinitesimales y tras haber calculado valores de 𝑑! – de manera discreta – para ángulos múltiplos de 30°, 45° o 60° a través de razones trigonométricas e inclusive a través de la tabla de valores, superado la dificultad presentada en cuanto a determinar la distancia vertical a partir de una relación de proporcionalidad respecto al tiempo, el grupo ahora se enfrenta a determinar distancias verticales para cualquiera de las infinitas ubicaciones que la piedra puede tomar en la llanta (pregunta 1-4),

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para ello la unidad didáctica los guía, al iniciar en la pregunta 1.1-4 (Anexo E) donde deben determinar una relación algebraica que relacione la variable 𝜃 con 𝑑!. Tabla 20 Actividad 27: Lenguaje multimodal al encuentro de la representación algebraica de la relación trigonométrica 𝑑!(𝑡). Pregunta 1.1-4 Actividad 27 / Sesión 12 / Tiempo 04:50 – 10:30 / Pregunta 1.1-4 Línea Lenguaje multimodal (371) D: ¿Una expresión algebraica no es una ecuación? (372) P: En el ejercicio pasado (se refiere a la pregunta 7-3) cómo hacían para calcular la distancia vertical (373) D: Con un triángulo (374) P: Paso a paso qué se debe hacer (375) C: Se traza la línea desde el centro (de la llanta) … (376) D (complementa a Carol): Hasta donde está la piedra (377) P: O sea, se traza el radio, que es 25 cm.

(378) C: Luego la línea del punto hacia abajo (refiriéndose a la distancia vertical) (379) D (complementa a Carol): Perpendicular [GI – mueve el brazo de arriba hacia abajo]

(380) P: ¿Y esa viene siendo cuál?

(381) D: La distancia vertical (382) P: ¿Y después qué?

(383) D: Se marca el ángulo de 90° (384) M: El de 30° y 60° (385) P: Pero en este caso la piedra no va a caer en ningún ángulo de 30°, 45° o 60° (386) D: ¿En cuánto va a caer?

(387) P: Va a caer en cualquier punto (sobre la llanta). Entonces ¿cómo se simboliza cualquier ángulo?

(388) D: Con theta (hace alusión al símbolo θ) (389) P: Y luego, entonces que hacían (para calcular la distancia vertical) (390) M y C (al unísono) razones trigonométricas (391) P: Exacto.

En la línea 372 se observa que el docente, con el propósito de sintetizar la expresión algebraica de 𝑑!(𝑡), retoma procesos de objetivación iniciados por el grupo en la pregunta 7-3 (Actividades 25 y 26). Este procedimiento consiste en el cálculo de la distancia vertical (media

Objetivación del Saber de Función Trigonométrica 356

cuerda) para múltiplos de ángulos notables (30°, 45° y 60°) tras la ejecución de varios giros; dicha acción consolida la toma de conciencia sobre la periodicidad del movimiento cíclico. El profesor – en su interacción con el grupo – reconstruye y sintetiza una forma general para determinar dicha distancia vertical para cualquier posición de la piedra (cualquier 𝜃), no solo para los mencionados ángulos notables agudos.

Se observa entonces como el grupo y el profesor en las líneas (372 a 391), a través de la actividad de aula – y de una forma más sucinta y refinada – reconstruyen la forma de determinar la distancia vertical de la piedra a la línea horizontal que pasa el centro de la llanta. Esto al obtener la razón trigonométrica seno del triángulo rectángulo inscrito en la misma, pero en este caso, para cualquier ubicación de la piedra.

El paso a paso seguido para determinar la 𝑑! al inscribir un triángulo rectángulo en el bosquejo del movimiento circular que describe la piedra es claro. El grupo establece que para calcular la 𝑑! se hace “con un triángulo” (línea 373), identificando que la hipotenusa de dicho triángulo representa el radio de la llanta de la bicicleta de Thomás (líneas 375 a 377), lo que manifiesta el no desconocimiento del contexto de la unidad didáctica. Posteriormente reconocen y materializan la 𝑑! a través de la “la línea del punto (piedra) hacia abajo” (línea 378), lo cual es reafirmado por Danna con un gesto contundente al establecer la característica “Perpendicular [GI – mueve el brazo de arriba hacia abajo]” (línea 379) de la 𝑑! respecto a la línea horizontal que pasa por el centro de la rueda de la bicicleta. Luego de identificar los ángulos internos del triángulo rectángulo (líneas 383 a 385), el grupo establece – coadyuvado por el análisis infinitesimal en la representación de la relación 𝑑! y 𝑡 en el plano cartesiano – un ángulo cualquiera atribuido a una posición cualquiera de la piedra (línea 386 a

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388), para finalmente concluir que para determinar la 𝑑! asociado a ese punto que representa cualquier posición que puede tomar la piedra se debe usar “razones trigonométricas” (línea 390). El lenguaje multimodal usado en estas líneas (372 a 391) emula lo realizado en la pregunta 7-3 (Actividad 25 y 26) de una forma más pulcra, sucinta y refinada, inclusive lo hacen en esta ocasión (pregunta 1.1-4) para cualquier ángulo, no solo para los ángulos notables agudos especificados (como previamente se había hecho), por lo que este segmento de actividad se puede considerar una contracción semiótica respecto al cálculo numérico de la 𝑑!, imbricada a la categoría estructural de la variación de la distancia vertical en un fenómeno cíclico. Al buscar la distancia vertical atribuida a “cualquier punto (sobre la llanta)” (línea 387), el cual está asociado a un ángulo “theta (hace alusión al símbolo θ)” (línea 388), el grupo exhibe un proceso de generalización simbólico y algebraico, lo cual es un pensamiento necesario para la construcción del enfoque estructural de la función trigonométrica ya que la identificación de regularidades es una manera de lidiar con los cambios (Sierpinska, 1992), característica innata del saber de función trigonométrica.

A lo anterior se suma la intervención de Danna, quien emplea el término “theta” (línea 388) de manera espontánea e inmediata. Esta celeridad en el uso técnico del lenguaje matemático sugiere un grado de refinamiento en su pensamiento algebraico, especialmente en lo que respecta a los procesos iniciales de generalización simbólica.

Ahora bien, tras la contracción semiótica realizada atada a un proceso de generalización simbólico y algebraico, el grupo ya ha realizado un proceso pertinente de razonamiento para determinar la distancia vertical, por lo que la acción como tal, a través de la concreción en simbología matemática abstracta, hace presencia en su respuesta (ver Figura 26).

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Figura 26 Respuesta pregunta 1.1-4. Generalización de la variación de dv respecto a θ

Se debe mencionar que en la Figura 26 se aprecia el proceso de generalización – de la Actividad 25 y 26 – del cálculo de la distancia vertical (cateto opuesto) para cualquier posición de la piedra al hacer uso de razones trigonométricas mediante la inscripción de un triángulo rectángulo en la circunferencia que representa la trayectoria circular del movimiento de la piedra. Actividad 28 (Pregunta 1.2-4) Después de obtener la expresión algebraica que relacione la variable 𝜃 con 𝑑! (pregunta 1.1-4, Actividad 27), al seguir las instrucciones (en forma de preguntas) para determinar la expresión algebraica de 𝑑!(𝑡), en la pregunta 1.2-4 los estudiantes deben determinar algebraicamente cómo se relaciona 𝜃 con 𝑡, lo cual evoca los procesos de objetivación realizados en las categorías estructurales ya analizadas.

Tabla 21 Actividad 28: Lenguaje multimodal al encuentro de la representación algebraica de la relación trigonométrica 𝑑!(𝑡). Pregunta 1.2-4 Actividad 28 / Sesión 12 / Tiempo 21:38 – 39:35 / Pregunta 1.2-4 Línea Lenguaje multimodal (392) C: ¿Cómo se relaciona theta con tiempo?

(393) D: Porque mira, el tiempo se relaciona con el ángulo y al mismo tiempo con la distancia (394) S: Pero, el ángulo depende del tiempo ¿O no?

(395) D: Sí obvio, porque entre más tiempo pase más recorrido tiene la piedra y el ángulo es más grande [GM – separa sus manos angular y gradualmente]

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(396) D (le dice al profesor): Profe, cierto que mientras más tiempo pase mayor es el recorrido de la piedra por lo que aumenta el ángulo (397) P: ¿Cuál recorrido?

(398) D: El recorrido [GI - realiza un círculo con su dedo en el aire]

(399) S: Estamos diciendo si el ángulo theta es proporcional… (400) C (interrumpe a Samuel): El ángulo depende del tiempo. (401) D: Mientras más tiempo pase el ángulo va a ser mayor [GI - realiza varios giros en el aire con el dedo de una forma más rápida, en cada giro realiza un sonido “yii”]

(402) P (toma asiento con el grupo, no dice nada y asiente con la cabeza) (403) P: Ahora, en la pregunta 1.2 les dice que, esa que tienen ustedes que acabaron de hacer en la 1.1 (refiriéndose a la expresión algebraica de la pregunta 1.1-4, Figura 26) no pongan theta si no que pongan tiempo. Pero entonces para hacerlo les dicen: “Ayuda ¿Cómo se relaciona theta con tiempo?” Y esa ya la tienen ustedes. Entonces ¿Cómo se relaciona theta con tiempo?

(404) C: Con esta regla de 3 [GIDO – señala la relación lineal entre tiempo y ángulo usada en la pregunta 7-3] (405) P: Ay, que niña tan inteligente (y se retira) (406) C: ¿Pero y entonces?

(407) S: ¿Será que la expresión algebraica es la regla de tres? (refiriéndose a la expresión algebraica que relaciona ángulo con tiempo) (408) C: ¿Y entonces cómo se haría con letras?

(409) D: Haciéndolo igual, pero reemplazando. Seria hacer lo mismo, pero con letras (410) P: ¿Cómo plantearían la regla de tres entonces?

(411) S: Acá ponemos 0,5644 y acá t (mientras lo verbaliza escribe ambos símbolos en la parte correcta de la estructura de la regla de tres del cuaderno).

Objetivación del Saber de Función Trigonométrica 360

(412) D: Luego, como la ecuación de theta ya la tenemos, entonces en vez de theta sustituimos [GIDO – señala la expresión algebraica que relaciona distancia vertical con ángulo determinada en la pregunta 1.1-4, Figura 26] y listo (413) P: Muy bien [GI – Danna y el profesor chocan las manos en signo de aprobación]

El lenguaje multimodal de esta Actividad 28 entre las líneas 392 y 402 se configura como una precuela necesaria para poder relacionar las variables 𝜃 y 𝑡 para poder llegar a la expresión algebraica de 𝑑!(𝑡), sin embargo, este episodio de actividad podría ubicarse en la categoría estructural de identificación de patrones de las magnitudes ángulo y tiempo en un fenómeno periódico.

Los procesos de objetivación realizados en los diferentes episodios de actividad en dicha categoría estructural donde el grupo estableció cualitativa y cuantitativamente la variación de la relación 𝜃 y 𝑡, se retoman en estas líneas al enunciar la relación de dependencia entre las mismas al establecer que “entre más tiempo pase más recorrido tiene la piedra y el ángulo es más grande” (línea 395) a la par que realiza un GM al separar sus manos angular y gradualmente al relacionar sus manos con dos rectas.

Dicho gesto de separar sus manos evoca la idea de un aumento de la distancia angular a medida que aumenta el tiempo, ya que “el ángulo depende del tiempo” (línea 400), lo cual advierte sobre la “discriminación entre variables dependiente e independientes” (Sierpinska, 1992, p. 38) realizada y a su vez es reafirmado corporalmente por Danna con dos GI iguales al realizar movimientos circulares en el aire (líneas 398 y 401) al referirse al recorrido de la piedra.

Objetivación del Saber de Función Trigonométrica 361

Según los análisis planteados por Quintero (2018), se puede establecer que el adverbio “obvio” en la línea 395 denota claridad respecto a la relación dependencia entre el ángulo y el tiempo, lo cual es argumentado con un lenguaje multimodal en la misma línea al establecer coherentemente que la variación del tiempo repercute en una variación ascendente del ángulo de giro atribuido a la piedra en la bicicleta de Thomás. Lo cual demuestra apropiación en cuanto a esta relación de dependencia implícita en un fenómeno periódico.

Es preciso señalar que el GI realizado por Danna en la línea 401 – además de configurarse en “una unidad integral de comunicación y significado” (Tamayo et al., 2018, p. 88) al relacionarse directamente con el discurso – al realizar giros en el aire con el dedo de una forma más rápida (comparado con el mismo GI realizado en la línea 398) es reforzado con un sonido rítmico (otro MSO): “yii - yii - yii - yii” cada vez que realiza un giro, a su vez que cambia la entonación (otro MSO) cada que realiza un ciclo. De forma tal que esta orquestación de MSO es armónica y su interrelación configuran una toma de conciencia estable respecto al movimiento periódico circular en relación con las variables tiempo y ángulo.

Estos GI del movimiento circular que realiza la piedra son fruto del cuestionamiento del profesor. Cuando Danna le plantea al profesor “que mientras más tiempo pase mayor es el recorrido de la piedra por lo que aumenta el ángulo” (línea 396), el profesor le pregunta “¿Cuál recorrido?” (línea 397), dicha interrogante tiene como propósito fomentar una mayor profundidad en la toma de conciencia, con el fin de que Carol (y el grupo) reflexione sobre su propia práctica, lo cual se manifiesta en los GI – de realizar un círculo con el dedo en el aire – en las líneas 398 y 401. Por lo que el profesor no solo exhibió su compromiso con la actividad, sino que posibilitó que el grupo expresara su razonamiento de otra forma – a través de su lenguaje multimodal – lo que posibilitó un análisis profundo, intersemiótico y consciente, esto “al

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considerar los múltiples lenguajes como mediaciones para la construcción de conocimiento, es decir, al reconocer al lenguaje como artefacto epistémico” (Tamayo et al., 2018, p. 43). El profesor continúa su intervención, en la línea 402 toma un lugar (sentado) en la mesa de trabajo del grupo y asiente con la cabeza respecto al planteamiento de Danna de que “mientras más tiempo pase el ángulo va a ser mayor [GI - realiza varios giros en el aire con el dedo de una forma más rápida, en cada giro realiza un sonido “yii”]” (línea 401). El maestro exhibe su vulnerabilidad al tomar un lugar en la mesa de trabajo, se expone al intentar construir algo con el grupo, no con una posición hegemónica y patriarcal sino con una actitud de escucha, de atención al otro, de cuidado y respeto por el otro. Así se deja entrever la necesidad del grupo y del profesor de colaboración conjunta al enfrentarse juntos a algo que los objeta (Lasprilla et al.,

2021).

Entre las líneas 392 a 402 se realiza un proceso de inter-contracción semiótica al establecer la relación de dependencia entre ángulo y tiempo previamente cuantificada en la Actividad 20, 21, 22 y 24. A través de la actividad realizada entre estas líneas emergieron tomas de conciencia que refuerzan procesos anteriores en cuanto a las formas de pensar y actuar matemáticamente sobre la variación de magnitudes en una relación de dependencia periódica, lo cual está dialécticamente relacionada con la potencialidad de la identificación de patrones de las magnitudes (tiempo y ángulo) en un fenómeno periódico.

El profesor, en aras de direccionar la actividad hacia el objetivo de la pregunta, en la línea 403 le manifiesta al grupo que debe relacionar la distancia vertical con tiempo, no con el ángulo como ya lo habían hecho en la pregunta 1.1-4, por lo que primero deben establecer la relación 𝜃 y 𝑡; esto a raíz de que el grupo ya había debatido, razonado (líneas 392 a 401) y previamente cuantificado dicha relación en la Actividad 20, 21, 22 y 24 (Figura 24).

Objetivación del Saber de Función Trigonométrica 363

Carol da vuelta a las hojas del cuaderno de trabajo y señala la proporción lineal (regla de

3) usada en la pregunta 7-3 para determinar el ángulo de giro de la piedra para un tiempo dado

(mayor a un ciclo), esto fruto del proceso de objetivación realizado en la Actividad 20, 21, 22 y 24 en la pregunta 6.1-3 donde se cuantificó en una ecuación la relación 𝜃 y 𝑡 para un ciclo (Figura 24).

El saber que se está haciendo presente en el grupo lo materializa Carol con una expresión algebraica previamente construida: en la línea 404 ella señala que la relación de dependencia entre ángulo y tiempo – esbozado en el lenguaje multimodal entre las líneas 392 y 401 (que están en relación directa con lo realizado la Actividad 20, 21, 22 y 24) – es una relación de dependencia proporcional y se puede establecer mediante esta herramienta matemática denominada comúnmente regla de tres al rememorar procesos de tomas de conciencia previos. En aras de sintetizar la expresión algebraica que relacione ángulo y tiempo, Samuel al cuestionar si “¿la expresión algebraica es la regla de tres?” (línea 407), Carol establece “¿y entonces cómo se haría con letras?” (línea 408) a lo que Danna responde “haciéndolo igual, pero reemplazando. Seria hacer lo mismo, pero con letras” (línea 409). Estas líneas exponen el imaginario de relacionar una expresión algebraica con letras, a su vez demuestra que el grupo reconoce que la expresión algebraica buscada debe ser general y no específica, por lo que se necesita un proceso de generalización que se da a través de una simbología alfanumérica. El grupo entiende que para llegar a una expresión matemática general para cualquier ángulo y tiempo (en el contexto de la unidad didáctica) se deben generalizar las incógnitas, se debe pasar de incógnitas a variables. Con lo que, de una forma no verbalizada y con un nivel de conciencia superficial, se puede establecer la “discriminación entre dos modos de pensamiento matemático: uno en termino de cantidades conocidas y desconocidas y otro en termino de

Objetivación del Saber de Función Trigonométrica 364

variables y constantes” (Sierpinska, 1992, p. 37), lo cual es considerado como un entendimiento necesario para ir al encuentro con el saber de función en general. Se percibe entonces que en esta exploración de la expresión algebraica que relacione 𝜃 y 𝑡, hay una búsqueda intencionada de los procesos de generalización emergentes entre dichas variables que son claves al ir al encuentro del saber de función trigonométrica.

Samuel toma la vocería y empieza a materializar dicha relación proporcional algebraica. Cuando Samuel dice “y acá 𝑡” (línea 411), Carol dice tiempo y Danna dice 𝑥, los tres catalogan la misma variable al referirse a la generalización de la magnitud tiempo, pero la verbalizan de forma diferente, lo que demuestra la dinámica y la interacción social y cooperación que fluye en el grupo. Los estudiantes se notan conectados, responden igual, esa sincronía opera como un MSO, se nota el compromiso de todos al responder y atender el llamado del profesor (en la línea 410); finalmente el grupo establece la regla de tres 𝜃= "#$ %.'()) (Figura 27).

Se observa como los procesos de objetivación realizados en las Actividades 20, 21, 22 y 24, donde se sintetizó el comportamiento de la variación de la relación ángulo-tiempo a través de una proporcionalidad aritmética, fueron precursores para su generalización en la expresión algebraica establecida.

Así pues, en la Figura 27, el grupo plasmó la expresión algebraica que relaciona 𝜃 y 𝑡 en el movimiento periódico de la piedra incrustada en la llanta de la bicicleta de Thomás a raíz del planteamiento de su proporcionalidad lineal (regla de 3) con registros alfanuméricos.

Objetivación del Saber de Función Trigonométrica 365

Figura 27.

Respuesta pregunta 1.2-4. Expresión algebraica de la función trigonométrica 𝑑!(𝑡)

Este proceso de generalización realizado obedece a una relación lineal y no trigonométrica, sin embargo, en el marco de ir de lo concreto a lo abstracto en un sentido epistemológico (abstracción), se hacen necesarios estos procesos de objetivación respecto a la relación entre magnitudes implícitas en el fenómeno periódico – sin importar la naturaleza de dicha relación – para finalmente poder abordar la relación trigonométrica, es decir, el saber de función trigonométrica de una forma holística y compleja.

Para llegar a la generalización de la relación 𝜃 y 𝑡, el grupo hizo uso de su experiencia, de su zona de desarrollo próximo (Vygotski, 2009) gracias a los procesos de tomas de conciencia previos respecto a la relación ángulo y tiempo en el marco de un fenómeno periódico. El grupo hizo uso de artefactos (herramientas) como lo es la regla de tres (la cual fue la forma correcta de relacionar aritméticamente ángulo con tiempo previamente). Esto es, dicha regla de tres se configuró como un artefacto dotado de sentido ya que fue el mismo grupo quien la construyó y ahora es objeto de uso para ellos mismos, es decir, los estudiantes vieron reflejada su labor en

Objetivación del Saber de Función Trigonométrica 366

una herramienta construida por ellos y que pueden hacer uso de ella para satisfacer sus necesidades; lo que demuestra una dinámica de aula que lejos de ser alienante, es emancipatoria, comunitaria, histórica y cultural.

Posteriormente, en la línea 412, Danna establece que la expresión algebraica que relaciona 𝜃 y 𝑡 se debe reemplazar en la expresión algebraica de la relación 𝑑!(𝜃) hallada en la pregunta 1.1-4 (Figura 26). Al realizar dicha sustitución se obtiene la representación algebraica de la relación 𝑑!(𝑡) = 25𝑠𝑒𝑛?

"#$ %.'())@ de la Figura 27, esta “expresión analítica que representa la relación entre dos variables” (Malik, 1980, p. 490), es eso, una representación algebraica de la función, “no debemos confundir la función con su expresión analítica” (Caraça, 1951, p. 131). Esta expresión algebraica – este registro semiótico (Duval, 1999) – representa finalmente la relación entre las distancia vertical – atribuida a cualquier posición que pueda tomar la piedra en la llanta de la bicicleta de Thomás – respecto al tiempo, se configura como una función trigonométrica de variable real y sintetiza el enfoque operacional realizado a lo largo de los problemas previos en este representación estructural y abstracta. Esto permite apreciar la evolución y procesos de objetivación necesarios, graduales y profundos realizados respecto al movimiento cíclico que describe la piedra.

Es de notar también que la representación algebraica de la relación trigonométrica 𝑑!(𝑡) se materializó hasta la Actividad 28 (de los 36 episodio de actividad analizados) tras el desarrollo de tres de los cinco problemas diseñados, lo cual demuestra la dirección conceptual-didáctica diseñada y desarrollada al ir del enfoque operacional al estructural (según el carácter epistemológico entre ambos enfoques – Figura 7). Esto ya que el abordaje inicial del saber de función desde una concepción analítica describe una imagen estática del mismo, por lo que “las funciones en su forma analítica deben aparecer primero como herramientas para modelar ciertas

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situaciones alrededor de la vida real o ciencia” (Sierpinska, 1992, p. 57), posterior de una concepción inicial desde un enfoque operacional para luego llegar a su concepción estructural. Es relevante recordar que esta concepción dual del saber de función trigonométrica (a través de ambos enfoques: fenomenológico y epistemológico) debe ser entendida como una evidencia de la objetivación de dicho objeto matemático; la connotación estructural y operacional hace parte de las formas de hacer y actuar (del saber en sí) y la agilidad al moverse entre ambos esquemas de pensamiento se consideran un acercamiento gradual al saber, es decir, objetivación.

A su vez es relevante mencionar que la materialización algebraica-estructural de la relación periódica en la que se encuentran 𝑑! y 𝑡 – respecto al movimiento circular de la piedra – en la expresión concreta 𝑑!(𝑡) = 25𝑠𝑒𝑛?

"#$ %.'())@, se debe considerar como una obra común del grupo “como el aparecimiento sensual y sensible del saber” (Radford, 2023a, p. 29), como el fruto de múltiples procesos de objetivación dialécticos al ir al encuentro de las formas históricoculturales de pensar matemáticamente sobre fenómenos periódicos a través de las funciones trigonométricas en su recorrido por las diferentes categorías estructurales expuestas. Al respecto Sfard (1992) plantea que “los objetos abstractos hacen que ciertos procesos matemáticos sean más significativos” (p. 66). La representación algebraica de la relación 𝑑!(𝑡) al constituirse como una obra común de los estudiantes (en el marco de la TO) se configura como un objeto no alienante, un objeto (histórico-cultural) fruto de su labor al ir hacia una necesidad común en el que los estudiantes se ven reflejados.

Es así como al trabajar juntos, profesor y estudiantes producen (por medio de gestos, postura corporal, actividad perceptiva, lenguaje, artefactos) una obra común, que permite a los estudiantes ser progresivamente conscientes de una manera diferente de pensar sobre las formas

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histórico-culturales de pensar matemáticamente sobre fenómenos periódicos a través de las funciones trigonométricas.

En la última línea de esta actividad ocurre un gesto significativo, en la línea 413 Danna y el profesor chocan sus manos en signo de aprobación, en signo de la conclusión de una ardua labor realizada. El profesor acude al llamado de Danna, la reconoce y le responde su acto de aprobación chocando su mano con la de ella y acto seguido chocando sus puños. Este acto no es un MSO, pero si se puede reconocer un acto en el que el proceso de objetivación del grupo es reconocido y avalado por el profesor, por medio del cual su proceso de subjetivación se ve respaldado y retribuido positivamente y es que “aprender matemáticas no es simplemente aprender a hacer matemáticas (resolver problemas) sino aprender a ser en matemáticas” (Radford, 2006, p. 114).

El solo hecho de tocar las manos y puños entre sí, en el marco del SSSC, es un acto de aprobación, de respaldo, de la conclusión de un proceso que se realizó correctamente, por lo que no es un acto cualquiera, es un acto de reconocimiento histórico-cultural en el que el carácter alienante no tiene cabida en la forma de colaboración humana que se materializa. Este acto también puede ser referenciado como el “ahhh” de los estudiantes (línea 7, 24, 31, 39, 90, 105, 115 y más), como el punto final de un largo proceso de objetivación, sin embargo, este acto de chocar las manos se considera más significativo, no solo por el contacto físico entre estudiantes y profesor, sino por el uso de un signo de aprobación contextual y arraigado en el SSSC en el que ambos, proceso de objetivación y subjetivación, se ven respaldados, materializados y aprobados. Actividad 30 y 31 (Pregunta 4.1-4 y 4.2-4) Tras haber sintetizado la expresión algebraica que representa la relación trigonométrica entre la distancia vertical de la piedra y el tiempo en la Actividad 28 (Tabla 21) y haber

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discriminado correctamente el coeficiente de 𝑡 (en la pregunta 4.1-4) tras haber incurrido en un obstáculo epistemológico común y recurrente en estudiantes neófitos al conceptualizar sobre funciones en su representación algebraica (esto se aborda en la Actividad 29, en la sección: síntesis del saber de función trigonométrica).

Al responder ¿qué representa el coeficiente de 𝑡 y el de 𝑠𝑒𝑛? "# %,'()) 𝑡@? el grupo continúa la pregunta 4.1-4 (iniciada en la Actividad 29) y seguidamente continúan con la 4.2-4. Es así como el grupo se sume en un proceso de toma de conciencia contextual de la relación trigonométrica 𝑑!(𝑡) en su representación algebraica-estructural con el fin de realizar una transición armónica entre el enfoque operacional y el estructural al que se adentraron al reconocer la génesis de dicha expresión algebraica.

Tabla 22 Actividad 30 y 31: Lenguaje multimodal al encuentro de la representación algebraica de la relación trigonométrica 𝑑!(𝑡). Pregunta 4.1-4 y 4.2-4 Actividad 30 / Sesión 13 / Tiempo 18:43 – 21:10 / Pregunta 4.1-4 Línea Lenguaje multimodal (414) D: El coeficiente sería esto [GIDO – señala correctamente en el cuaderno el coeficiente de t (Figura 28), es decir, 𝟐𝝅

𝟎.𝟓𝟔𝟒𝟒 ]

(415) C: El coeficiente sería el de 𝟐𝝅 (refiriéndose a 𝟐𝝅

𝟎.𝟓𝟔𝟒𝟒 )

(416) M: Eso es lo que yo estaba diciendo hace rato (417) D: Entonces anotemos, el coeficiente del tiempo es 𝟐𝝅 sobre 0,5644 … Lo que representa … A ver ¿Esto qué es? [GIDO – en la representación algebraica de 𝒅𝒗(𝒕), señala solo el 0,5644, Figura 28]

(418) S: Ese es el tiempo y estos son los grados en radianes [GIDO – en la representación algebraica de 𝒅𝒗(𝒕), primero señala el 0,5644 y luego el 𝟐𝝅, Figura 28] Actividad 31 / Sesión 13 / Tiempo 35:05 – 37:35 / Pregunta 4.2-4 Línea Lenguaje multimodal (419) D: El coeficiente del sen es 25 porque está multiplicando el sen

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Actividad 30 / Sesión 13 / Tiempo 18:43 – 21:10 / Pregunta 4.1-4 (420) P: Correcto (421) S: Niñas, entonces ese 25 representa esto [GIDO - señala la hipotenusa del triángulo inscrito en la llanta en la Figura 26], la hipotenusa de este triángulo (422) M: El radio (423) S: Eso, el radio de la llanta (424) C: Representa la distancia del … [GIAP – enfrente de ella, en el escritorio, separando ambas manos describe una línea horizontal]

(425) D (complementa a Carol): desde el centro de la llanta hasta … (426) C (complementa a Danna): hasta la posición de la piedra [GIAP – enfrente de ella, en el escritorio, desde la mitad de la línea horizontal imaginaria trazada en la línea 424, traza una línea vertical]

Figura 28 Respuesta pregunta 4.1-4. Contextualización del coeficiente de t en la expresión algebraica dv(t)

Después de superar el obstáculo epistemológico en cuanto a la confusión entre la notación de una función en su representación algebraica con la multiplicación entre sus variables, esto es, al tomar conciencia que la notación 𝑑!(𝑡) no simboliza una multiplicación entre 𝑑! y 𝑡

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sino el nombre de la función al denotar la relación de dependencia entre estas variables (Actividad 29, sección: síntesis del saber de función trigonométrica), el grupo identifica correctamente que el coeficiente 𝑡 en la representación algebraica de la distancia vertical en función del tiempo, 𝑑!(𝑡) = 25𝑠𝑒𝑛?

"#$ %.'())@, es "# %.'()) (línea 414), lo cual relaciona los grados en radianes y el tiempo (línea 418).

Este proceso de objetivación fue extrapolado por el grupo en la Actividad 35 al identificar el coeficiente de 𝑡 en la expresión de Nina (una amiga de Thomás de la que el grupo solo tenía la expresión algebraica – Problema 5) en aras de determinar el periodo de la piedra incrustada en la llanta de su bicicleta.

El grupo tímidamente contextualiza el coeficiente de 𝑡 en la expresión algebraica de la piedra de Thomás. Samuel establece que “ese es el tiempo y estos son los grados en radianes” (línea 418) al referirse a 0,5644 s y a 2𝜋 respectivamente. Sin embargo, en la respuesta registrada en le cuaderno (Figura 28) enriquecieron esta idea al establecer que el coeficiente de t es "# %.'()), lo cual representa los radianes (2𝜋) que se recorren en 0,5644, esto gracias a los procesos de objetivación realizados en donde se relacionaron cualitativa y cuantitativamente las magnitudes ángulo y tiempo en un fenómeno periódico (categoría estructural identificación de patrones de las magnitudes en un fenómeno cíclico).

Es de añadir que tras una corta plenaria grupal, el profesor sintetizó la idea y estableció que coeficiente representa la magnitud de velocidad angular (ver Figura 28), lo cual fue verbalizado previamente Michell al identificar el periodo de Nina (línea 213 – Actividad conjunta 35).

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Seguidamente, el grupo identifica que, en la expresión 𝑑!(𝑡) = 25𝑠𝑒𝑛? "#$ %.'())@, el coeficiente de 𝑠𝑒𝑛?

"# %,'()) 𝑡@ es “25 porque está multiplicando el sen” (línea 419) – pregunta 4.2- 4 (Actividad 31) – el cual representa “la hipotenusa de este triángulo” (línea 421), al referirse a la hipotenusa del triángulo rectángulo inscrito en la circunferencia que representa el recorrido de la piedra en la Figura 26, es decir, “el radio de la llanta” (línea 422 y 423). Entre estas líneas 419 y 423 se expone la contextualización de la amplitud – coeficiente de la expresión 𝑠𝑒𝑛?

"# %,'()) 𝑡@ – dentro del marco de la unidad conceptual y contextual. Este hecho da fe de la influencia de argumentaciones centradas en el ¿por qué? y el ¿cómo? – antes de que al ¿cuánto? – realizadas en el enfoque operacional a lo largo de los problemas 1, 2 y 3. La expresión algebraica es fruto de una síntesis operacional, no es un objeto estructural sin sentido y ajeno a las necesidades culturales del grupo, por lo que a partir de ella se pueden dar procesos intersemióticos contextualizados a las necesidades del grupo a través de un lenguaje multimodal en el marco de una interacción comunitaria, como lo ocurrido entre las líneas 424 a 426. Entre estas líneas Carol y Danna complementan sus ideas mutuamente, debido al saber que se está actualizando en ese momento surge la misma idea y a medida que la verbalizan (y gestualiza Carol), complementan sus planteamientos. El solo hecho de que entre compañeros se complementen sus ideas, al anteponerse a su verbalización, es muestra de la ética comunitaria y de la concreción de la potencialidad que está rondando el grupo. Inclusive, a medida que se complementan, se miran fijamente a los ojos, lo que demuestra cuidado del otro al responder y atender a la otredad, esto es, se sienten responsables mutuamente.

Se agrega que la corporeización de Carol a través de los GIAP (línea 424 y 426) son dignos de atención, no solo porque el GIAP hace alusión a algo no material, a algo que está en la imaginación (en comparación con el GIDO) – por lo que la estabilización de las ideas a través

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del GIAP se considera más profunda respecto al GIDO – sino porque relaciona el 25 de la expresión algebraica de 𝑑!(𝑡) con algo más que el radio de la llanta de la bicicleta de Thomás. Carol primero realiza una línea horizontal imaginaria con sus manos sobre el escritorio (línea 424) y luego desde la mitad de dicha línea (centro de la llanta) traza una línea imaginaria vertical con sus manos (línea 426) hacia arriba. Ella no solo asoció el 25 – coeficiente de 𝑠𝑒𝑛?

"#$ %.'())@ en la expresión 𝑑!(𝑡) – como el radio de la llanta de la bicicleta, sino como la distancia vertical atribuida a la ubicación superior que puede ocupar la piedra (a 90°), es decir, la distancia vertical positiva máxima.

A través de su lenguaje multimodal, Carol condensó en un entramado conceptual y dialéctico de múltiples relaciones el significado del número 25 en la expresión algebraica de la función 𝑑!(𝑡), con lo que se permite establecer: primero, un proceso de objetivación profundo respecto a las múltiples representaciones inherentes en un movimiento cíclico y segundo, la atribución de sentido respecto a la representación algebraica de la relación trigonométrica 𝑑!(𝑡), lo cual se configura como una toma de conciencia hacia dicho saber en mención: las formas de pensar y actuar matemáticamente sobre la síntesis de la representación algebraica de la relación trigonométrica 𝑑!(𝑡). Respecto a las múltiples representaciones de un fenómeno Tamayo et al. (2018) establecen que:

[…] una de las características del logro de aprendizajes en profundidad se vincula de manera directa con las diversas formas de representar el fenómeno estudiado. Es claro que las representaciones semióticas no solo cumplen funciones de comunicación, como se describió anteriormente, sino también de objetivación, pues son importantes en sí mismas para la comprensión del objeto estudiado. (p. 38)

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El objetivo de esta pregunta 4-4, se enfocaba en contextualizar la expresión algebraica sintetizada en 1.2-4 (Actividad 28) a través de la unidad didáctica y problematizadora en búsqueda de no perder su génesis a lo largo del enfoque operacional de los problemas anteriores y atribuir significado a dicho objeto matemático, el cual es un “patrón fijo de actividad reflexiva incrustado en el mundo constantemente en cambio de la práctica social mediatizada por los artefactos” (Radford, 2006, p. 124).

Se considera que el grupo llegó a este objetivo de la pregunta, esto es, los estudiantes realizaron un proceso de objetivación al otorgar sentido a la expresión algebraica de la función 𝑑!(𝑡) sintetizada por ellos. Relacionaron de forma discriminada partes de dicha expresión con la unidad contextual: establecieron que “ese es el tiempo y estos son los grados en radianes” (línea 418) en el caso del coeficiente de 𝑡 y que el coeficiente de 𝑠𝑒𝑛?

"#$ %.'())@ es “el radio de la llanta” (línea 423) de la bicicleta de Thomas.

Esto último fue reforzado con un lenguaje multimodal en el que relacionaron el 25 como la distancia vertical máxima que puede tomar la piedra a través de un lenguaje gestual (línea 424 y 426). Estos gestos se efectuaron en el plano de la imaginación, prescindiendo de un objeto concreto al trazar las distancias con el dedo sobre el escritorio. En ese instante, el radio de 25 cm de la llanta se integró en la estructura conceptual de los estudiantes – especialmente de Carol – no solo como el radio de la llanta de Thomás, sino como la cota máxima. De este modo, se consolidó como el valor límite de la distancia vertical, vinculado directamente con su posición angular específica de 90°.

Al considerar una acción como una manipulación física o mental repetible que transforma objetos, Breidenbach et al. (1992) plantean que, cuando dicha acción toma lugar enteramente en la imaginación del estudiante, como en el caso de Carol, se puede establecer que dicha acción fue

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interiorizada y dio paso a una concepción operacional del saber de función trigonométrica, en este caso, de la variación periódica de la distancia vertical (media cuerda) en un fenómeno circular.

El concepto que ella tenía previamente de distancia vertical se enriqueció, se hizo más complejo a partir de la interrelación entre diferentes registros semióticos y significados particulares, lo que posibilitó la inmersión de Carol en el mundo y poder abordar así nuevas situaciones (Radford, 2023a). Esto ya que al refractarse el saber – respecto a la distancia vertical

– en la conciencia de Carol a través de – la realización de esa manera de hacer (del saber), es

decir – el conocimiento, es lo que se conoce en últimas como concepto. De este modo, a través del compromiso de los estudiantes – reflejado en su implicación ante la tarea propuesta y en una interacción respetuosa al tener en cuenta la voz del otro y acompañarlo (al escucharlo y responderle) – se observa la contextualización de una información abstracta (expresión algebraica) con la unidad contextual. Esto al reconocer parámetros reales y tangibles en expresiones abstractas, lo cual es un puente pertinente que promueve el tránsito hacia procesos de generalización y el desarrollo del pensamiento matemático riguroso. Por lo que al contextualizar – y dotar de sentido la expresión algebraica de la función 𝑑!(𝑡) – el grupo realizó un proceso de objetivación de la síntesis de la representación algebraica de la relación trigonométrica 𝑑!(𝑡).

Actividad 32 y 33 (Pregunta 6-4) Después de realizar procesos de tomas conciencia respecto a la contextualización discriminada de partes de la expresión algebraica 𝑑!(𝑡) a partir de la unidad contextual y de realizar un somero análisis sobre la relación entre tabla, gráfica y expresión algebraica de la

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relación 𝑑!(𝑡), el grupo hace uso de esta última, como una herramienta, para determinar distancias verticales a partir de tiempos dados que no se puede realizar con la tabla y la gráfica. Tabla 23 Actividad 32 y 33: Lenguaje multimodal al encuentro de la representación algebraica de la relación trigonométrica 𝑑!(𝑡). Pregunta 6-4 Actividad 32 / Sesión 14 / Tiempo 1:05:23 – 1:07:13 / Pregunta 6-4 Línea Lenguaje multimodal (427) P: La pregunta va intencionada en hallar la distancia vertical (428) C: Por eso, ubicamos la piedra con el ángulo (429) D: Y luego con tin, tin, tin [GIAP – de forma rítmica y secuencial dibuja un triángulo rectángulo en el aire y cada vez que hace el sonido “tin” dibuja un lado del triángulo]

(430) P: ¿Van a hacer eso?

(431) C, M y D: Sí (432) S: Porque si hacemos regla de tres con distancia vertical con tiempo no nos va a dar porque no es lineal (433) P: Así les queda bien, pero no es la manera más inteligente de hacerlo, porque ese proceso que ustedes dicen ya se hizo (434) P (el profesor dibuja un bosquejo circular de la llanta): Digamos que la piedra está acá, pero también puede estar acá, y acá y entonces ¿en cuántos lugares podrá estar? [GIDO – en el bosquejo de la llanta dibujada, ubica tres posiciones de la piedra arbitrarias] (435) C y D: Infinitos (436) P: O sea que hay infinitos tiempos e infantas distancias verticales. Eso ya está resumido ¿En dónde?

(437) C: En la ecuación (438) P: En la expresión algebraica. Toda esta infinidad de cosas está en la expresión algebraica (439) D: ¡Ahhh ya! Sustituyamos t por el tiempo y resolvemos la ecuación (440) P: Exacto (441) D, C, M y S: Ahhhh Actividad 33 / Sesión 14 / Tiempo 1:11:20 – 1:13:45 / Pregunta 6-4 Línea Lenguaje multimodal (442) P (el grupo calcula la distancia vertical para cuando Thomás pasa por la farmacia, el profesor ve el resultado en el cuaderno de trabajo y pregunta): ¿Qué quiere decir negativo?

(443) D: Que está abajo [GI – señala hacia abajo con el dedo]

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(444) M y C: Abajo (445) P: ¿O sea que se puede o no?

(446) D, C, M y S: Sí (447) C: La ubicación de la piedra está abajo (448) P: ¿Y hasta que número se puede?

(449) C: Hasta -25 (cm) (450) D: O sea que sí está bien.

(451) D (después de hallar la distancia vertical para cuando Thomás pasa por la panadería): Este está positivo (452) M: O sea que cuando paro en la farmacia la piedra estaba abajo y cuando estaba en la panadería estaba arriba (453) P (refiriéndose al resultado de la distancia vertical de 2,5 s): ¿Esto es -24,16 qué? (454) S y D: centímetros

El objetivo de la pregunta 6-4 era que los estudiantes tomaran conciencia que a partir de la representación algebraica de la relación trigonométrica 𝑑!(𝑡) se pueden hallar los valores de distancia vertical para cualquier tiempo de una forma exacta y sencilla, lo cual no es posible con la grafica o con la tabla; lo que permite establecer – de forma indirecta – discriminaciones, ventajas y desventajas entre las representaciones semióticas de dicha relación. Para determinar donde se encuentra la piedra en los tiempos 0,51 s y 2,5 s, el grupo plantea realizar el mismo proceso realizado en la pregunta 6.1-3 (Actividad 20, 21, 22 y 24): a partir del tiempo, determinar el ángulo atribuido a la posición de la piedra (línea 428) y luego, a través de un triángulo rectángulo inscrito en el circulo que representa la llanta (línea 429), determinar la distancia vertical con razones trigonométricas, es decir, reproducir el proceso mediante el cual sintetizaron la representación algebraica de la relación 𝑑!(𝑡). Danna al establecer que para hallar la distancia vertical (línea 427) primero se ubica la posición de la piedra con el ángulo (línea 428) “y luego con tin, tin, tin” (línea 429) – con un

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GIAP dibuja un triángulo rectángulo en el aire (materializa un objeto no concreto a partir de sus gestos) – ella reconoce que la forma de determinar la distancia vertical (media cuerda) en un fenómeno cíclico es a través de un triángulo rectángulo inscrito en la circunferencia que representa el movimiento para poder hacer uso de razones trigonométricas (mediante la proporcionalidad entre los lados de un triángulo rectángulo), de ahí que “este proceso de objetivación se basa en una coordinación colectiva de gestos, palabras, acciones perceptivas, dibujos y ritmo” (Radford, 2020a, p. 24).

Esa forma de pensar sobre la distancia vertical (magnitud periódica) en un fenómeno cíclico, es materializada, encarnada en el mundo real a través de los gestos y los sonidos (tin, tin, tin), los cuales hacen notar visual y auditivamente – a los demás integrantes del grupo – las formas (parciales) histórico-culturales de pensar matemáticamente sobre fenómenos periódicos a través de las funciones trigonométricas, específicamente, a través de la inscripción dinámica de un triángulo rectángulo en la llanta de la bicicleta de Thomás, lo cual posibilita determinar la distancia vertical para diferentes posiciones que pueda tomar la piedra; de manera que: […] esta coordinación semiótica da cuenta del pensamiento de los estudiantes, de sus formas de reflexión y acción para abordar y dar solución a la tarea propuesta. Formas de reflexión y acción que han sido constituidas histórica y culturalmente en las actividades humanas de las generaciones precedentes. (Pantano, 2020b, p. 88)

El grupo entonces reconoce la relación de 𝑑! y 𝑡 a través del movimiento del triángulo rectángulo en la circunferencia que representa la llanta, lo cual es manifestación del reconocimiento progresivo del grupo sobre la variabilidad de la 𝑑!. El grupo cada vez se hace más consciente de que la variabilidad de dicha magnitud no obedece a un incremento o

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decremento constante, lineal o proporcional, sino a la variación de la longitud correspondiente del triángulo rectángulo inmerso en un movimiento periódico en una trayectoria circular. Al considerar que el triángulo imaginario dibujado por Danna en el aire se configura como un indicio del reconocimiento de la forma de determinar la distancia vertical (media cuerda) a través de razones trigonométricas, este GIAP se puede considerar una contracción semiótica de las líneas 349 a 370 (Actividad 26), donde el grupo tomó más tiempo en contextualizar y deliberar cómo determinar la 𝑑!.

La manera implícita de relacionar 𝑑! y 𝑡 – al hallar la posición de la piedra a partir del ángulo para luego determinar la 𝑑! a través de un triángulo rectángulo inscrito – la complementa Samuel en la línea (432): “porque si hacemos regla de tres con distancia vertical con tiempo no nos va a dar porque no es lineal”. En este segmento de la actividad – entre las líneas 427 y 432 – se muestra el grado de toma de conciencia de la relación 𝑑!(𝑡), a través de la complejidad conceptual ascendente de la unidad contextual y problematizadora que tiende a un enfoque estructural y abstracto. El grupo paso gradualmente de establecer una relación proporcional entre 𝑑! y 𝑡 (Actividad 19) a concebir una relación a través del movimiento de un triángulo rectángulo inscrito en una circunferencia a partir de operaciones trigonométricas. Así pues, el obstáculo epistemológico percibido en la Actividad 19 de considerar que cualquier relación de dependencia es una relación proporcional, empieza a menguarse considerablemente, lo que abre la posibilidad al reconocimiento de diferentes relaciones entre variables. Por lo que, este segmento de actividad manifiesta una contracción semiótica en el que el grupo, de una forma refinada y corta evidencian la naturaleza de la relación de dependencia trigonométrica 𝑑!(𝑡), lo que demuestra cierto grado de refinamiento y profundidad del proceso

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de objetivación emergente al ir al encuentro de las formas de actuar y pensar matemáticamente sobre la variación de la distancia vertical en un fenómeno periódico cíclico. Ahora bien, al reconocer que el grupo pretende realizar el mismo proceso que el realizado en la pregunta 6.1-3, al dejar a un lado el proceso de generalización realizado en el problema 4 (Actividad 27 y 28), el profesor encamina la actividad según el objetivo de la pregunta. En la línea 434 el profesor realiza el bosquejo de la llanta donde ubica arbitrariamente puntos que representan la ubicación de la piedra, donde Carol y Danna al establecer que la piedra puede tomar infinitas ubicaciones, infinitos puntos de la circunferencia de la llanta (línea 435), el profesor establece que esa infinidad de distancias verticales atribuidas a las infinitas posiciones ya están condensadas (línea 436), a lo que Carol dice “en la ecuación” (línea 437). Esta línea 437 Carol establece que la ecuación sintetizada por ellos es en últimas una generalización de un proceso, es el punto final de múltiples, más bien, infinitos valores. Este pensamiento abstracto de generalización, como lo establece Sierpinska (1992), es base para un grado de toma de conciencia profundo al ir al encuentro del saber matemático de función trigonométrica (y en general de cualquier tipo de función) al identificar regularidades en relaciones cambiantes como una manera de lidiar con los cambios.

Finalmente, al rememorar que la ecuación, que la expresión algebraica sintetizada por ellos en la Actividad 28 se configura como una generalización de infinitos procesos para determinar infinitos valores de distancia vertical, Danna tiene un episodio de un aparecimiento repentino de un proceso de objetivación realizado previamente, de una epifanía, ella dice “ahhh ya” (línea 439), seguido de la verbalización de su razonamiento: “sustituyamos 𝑡 por el tiempo y resolvemos la ecuación” (línea 439).

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El razonamiento de Danna no es precisamente de ella, es del grupo; sin la actividad grupal – la forma como se implicó el grupo en la misma, las respuestas de sus compañeros y demás – es improbable (desde la TO) que ella hubiese llegado a dicho análisis, o por lo menos de la forma en que se hizo (y con dicha riqueza ética de telón de fondo). Danna no estuvo sola, Danna es el resultado de su conexión con sus compañeros y el profesor, Danna refracta, resume como aprendió el grupo, la llamamos Danna, pero es más que Danna en sí, es Danna con Michell, Carol, Samuel y el profesor. En ese orden de ideas, esa expresión algebraica que representa la relación trigonométrica 𝑑!(𝑡), en donde está sintetizado el enfoque operacional desde el problema 1 hasta esta pregunta 6 del problema 4 no es solo de Danna, es de todos, además que se configura como un artefacto, como una herramienta significativa al ser una obra común fruto de la actividad de aula a lo largo de la unidad didáctica. De este modo, el uso de esta herramienta abstracta – a la cual el grupo atribuyó significado mediante una síntesis basada en un enfoque operacional y en el desarrollo de las actividades 30 y 31 (donde se contextualizaron partes específicas de la expresión algebraica) – permitió la determinación de la distancia vertical de la piedra en los instantes de 0,51 s y 2,5 s (pregunta 6-4).

Específicamente los valores para 𝑑! se determinaron como lo expresó Danna: “sustituyamos 𝑡 por el tiempo y resolvemos la ecuación” (línea 439). Ella comprendió la generalidad en la expresión algebraica 𝑑!(𝑡) fruto del enfoque operacional realizado a partir de la inscripción del triángulo rectángulo en la llanta de la bicicleta de Thomas. Esto permite inferir que ese registro semiótico denominado representación algebraica-estructural de 𝑑!(𝑡) – obra común del grupo tras múltiples procesos de objetivación – no desconoce su génesis a partir de un enfoque operacional.

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Ahora bien, cuando Danna establece “sustituyamos 𝑡 por el tiempo” (línea 439), la palabra tiempo tiene una connotación aritmética, se refiere a los valores numéricos dados que representan los tiempos en los que Thomás pasó por la farmacia y la panadería. Al afirmar que se debe reemplazar la letra 𝑡 en la expresion algebraica de la relacion 𝑑!(𝑡) por valores numéricos específicos, Danna da cuenta de la apropiación empírica del concepto de variable al posibilitar la atribución de la característica cambiante al fenómeno en periódico al reconocer que dicha magnitud (dicha letra) puede asumir diferentes valores numéricos, es decir, una magnitud variable (Quintero, 2018).

A su vez, el hecho determinar la distancia vertical atribuida a determinado tiempo a través de la expresión algebraica de 𝑑!(𝑡) va más allá de un proceso de sustitución, se debe concebir como un mapeo. Cuando una cosa es mapeada en otra cosa (es transformada en otra cosa), cuando se procesan objetos o conjuntos de objetos para obtener otros, emerge la imagen dinámica de la función; por lo que dicho dinamismo se presenta cuando se traza la gráfica al procesar la variable independiente para obtener su respectiva variable dependiente (Sierpinska, 1992), lo cual se hizo previamente al migrar los datos de la tabla de valores al plano cartesiano (Actividad conjunta 10 y 11).

Esto es, el proceso de construir la curva en el plano cartesiano y relacionarlo con los valores de entrada (𝑡) y salida (𝑑!) – en la representación algebraica de la función – fomenta un pensamiento acorde al verdadero carácter dinámico del saber de función, lo que posibilita eliminar la connotación aparentemente estática de dichas representaciones. A su vez, Breidenbach et al., (1992) establecen que tras el hecho de evaluar una función aritméticamente para hallar el valor de salida (variable dependiente: 𝑑!) a partir del valor de ingreso (variable independiente: 𝑡) actúa una concepción catalogada por ellos como acción al

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manifestar “una manipulación física o mental repetible de objetos” (Breidenbach et al., 1992, p. 251). Ellos exponen que esta concepción de concebir una función como una acción se enfatiza en la atención del inicio y del fin, pero no del proceso, sin embargo, esta afirmación es acorde a un abordaje inicial del saber de función a través de un enfoque estructural, en el caso de la presente investigación, los estudiantes se sumieron en un enfoque operacional complejo antes de llegar al enfoque estructural – procesos de cognición empíricos enfocados en la variación de magnitudes en fenómenos periódicos, tabulación y registro de datos, mapeos en curvas en planos cartesianos, contextualización de los datos a través de la unidad contextual y conceptual y más – de manera que la acción de sustituir, de reemplazar cierto de valor de tiempo en la expresión algebraica 𝑑!(𝑡) para hallar el valor de la distancia vertical no desconoce el proceso, no desconoce la transformación de las variables.

Ahora bien, al comprender correctamente la notación 𝑓(𝑥) – al reemplazar el valor de 𝑡 para obtener el de 𝑑! en la expresión algebraica de 𝑑!(𝑡) sorteando así el obstáculo epistemológico de multiplicar 𝑑! por 𝑡 (Actividad 29) – los estudiantes entendieron una función desde una concepción operacional en la terminología de Breidenbach et al. (1992), quienes establecen que la concepción operacional del saber de función reconoce la “transformación dinámica de objetos con algún significado repetible” (Breidenbach et al., 1992, p. 251). Esto permitió a los estudiantes tener la capacidad de imaginar, de pensar en la transformación del tiempo en distancia vertical bajo una ley, como ya se mencionó, gracias al enfoque operacional en el que se sumieron y que repercutió en el enfoque estructural manifestado en la expresión algebraica 𝑑!(𝑡). Se aprecia como los estudiantes concibieron una función como “un algoritmo que mapea un valor de ingreso y se le designa un valor de salida” (Breidenbach et al., 1992, p. 252).

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El grupo realiza entonces el proceso computacional de determinar los valores de distancias verticales para tiempos específicos, esto es, reemplazan (ingresan) el valor numérico del tiempo para un obtener (salida) un valor específico de distancia vertical, por ende, cada valor de tiempo tiene asociada una distancia vertical a través de una ley (a través de la expresión algebraica. El grupo reconoció entonces la relación 𝑑!(𝑡) como una función trigonométrica, “como una regla que asigna a cada uno de ciertos números reales un número real” (Cantoral y Montiel, 2014, p. 28).

Seguidamente, tras haber determinado la distancia vertical (𝑑! = −24,16 𝑐𝑚) de la piedra en el instante que Thomás pasa por la farmacia (𝑡= 2,5 𝑠) con el uso de la expresión algebraica de 𝑑!(𝑡), el profesor se acerca al grupo y pregunta por el signo negativo de 𝑑! (línea 442). El grupo contextualiza el resultado, establece que en ese momento la piedra se encuentra abajo de la línea horizontal imaginaria que pasa por el centro de la llanta (líneas 443, 444 y 447), lo cual confiere sentido a los números que resultan de cálculos computados en la expresión algebraica de 𝑑!(𝑡).

Carol complementa al establecer que el máximo valor inferior que puede tomar la distancia vertical es “hasta -25 (cm)” (línea 449), lo cual permite establecer que el proceso realizado a través de la expresión algebraica es consistente. A su vez, establece la cota inferior de la función, lo cual es un requisito específico para la concepción de las funciones trigonométricas, Montiel (2013) establece que “el estudiante construye la funcionalidad-trigonométrica cuando … reconoce lo acotado del comportamiento en el análisis de los datos respecto a las condiciones de la situación que le da origen” (p. 47) Lo esbozado entre las líneas 442 y 454 dan fe del no rompimiento entre el enfoque estructural al que llegaron a través de la expresión algebraica y el enfoque operacional realizado

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con la tabla y gráfica de la función, lo cual lo sintetiza Michell al establecer que “cuando paro en la farmacia la piedra estaba abajo y cuando estaba en la panadería estaba arriba” (línea 452). De igual manera lo hacen Samuel y Danna al establecer que los números determinados por la expresión algebraica son “centímetros” (línea 454), lo cual es muestra de una toma de conciencia contextual ya que adjudicar la unidad de medida correctamente refuerza una comprensión holística y significativa al demostrar el análisis crítico del contexto, a lo que Montiel (2013) establece que “el estudiante construye la funcionalidad-trigonométrica cuando (…) hace uso de la unidad de medida adecuada a la experiencia física y la reconoce en la representación gráfica de los datos obtenidos de la situación que le da origen” (p. 47).

El grupo dotó de significados contextuales los resultados numéricos después del cómputo del tiempo en la expresión algebraica 𝑑!(𝑡), por lo que dichos resultados (𝑑!) se configuran en más que resultados numéricos, sino en magnitudes atribuidas a un fenómeno significativo para ellos como es el movimiento circular de la llanta de una bicicleta. En síntesis, al reconocer la naturaleza de la variación de la relación 𝑑!(𝑡) como una relación no lineal (sino a partir de operaciones trigonométricas) y al hacer uso de su expresión algebraica como una herramienta – fruto del enfoque operacional realizado – como un algoritmo computacional al cuantificar la 𝑑! a partir del tiempo, esto en el marco de relaciones comunitarias emergentes (intencionados desde el proyecto didáctica) y de devenir, el grupo realizó un análisis integral y holístico al contextualizar los datos computados por la expresión algebraica en el marco de la unidad conceptual y problematizadora. Es así como se configuró el complejo proceso de objetivación realizado por el grupo respecto a las formas históricoculturales de actuar y pensar matemáticamente sobre la variación y síntesis de la representación algebraica de la relación trigonométrica 𝑑!(𝑡).

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Es de anotar que, debido a una mala manipulación de la calculadora, los resultados numéricos de 𝑑! del grupo fueron erróneos. Sin embargo, estos resultados equívocos no menguan el análisis contextual de los mismos o la actividad realizada, el dato numérico resultado de la expresión algebraica no compromete el análisis, podrían variar algunas líneas de transcripción, pero la forma cómo se comprometieron en la actividad y las conjeturas y hallazgos del grupo (la obra común) conservaría su esencia.

Análisis General En el trasegar por las categorías estructurales a través de la unidad didáctica hasta el final del problema número 4 donde el foco de atención se centró en la expresión algebraica que representa la variación de la 𝑑! (media cuerda) respecto a 𝑡 en un fenómeno periódico, conforme el enfoque operacional evolucionó hacia una dimensión estructural, prevalecieron los GIDO, los demás gestos menguaron su frecuencia. Esto debido al enfoque estructural mismo, en el que el foco de atención se centró en objetos abstractos algebraicos, donde los algoritmos son relevantes, en donde los gestos – fruto de un análisis geométrico – carecían de relevancia. Esto es, al centrarse en la evolución del gesto, inicialmente los estudiantes mostraron gestos más llamativos al exhibir su lenguaje multimodal, tales como gestos circulares, senoidales, orientaciones, entre otros, los cuales se categorizaban según la taxonomía del gesto como: GI, GIDO, GIDAP y GM y fueron enriquecidos a su vez por otros MSO como cambios de entonación, prosodia, ritmo, postura y demás. Debido a la transición del enfoque operacional al estructural durante la unidad didáctica, se observó una reducción progresiva de los movimientos mencionados, las explicaciones, argumentos y debates del grupo carecían de estos gestos que eran tan comunes y solo quedaron los GIDO – gesto indexical deíctico ocular (GIDO) en el

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sentido que indica o apunta a algo tangible – por lo que la riqueza del lenguaje multimodal fue menguado a medida que se avanzaba por la unidad conceptual y contextual. Esto encuentra explicación ya que al inicio en la parte concreta (procesual) y en la parte mixta concreta/abstracta (problemas 1 a 3) los estudiantes se sumieron en un análisis más experiencial y gráfico, donde de manera inconsciente y natural necesitaban estabilizar y materializar las ideas que se tornaban sensibles al realizar procesos de objetivación graduales. Cuando los procesos de toma de conciencia fueron más sintácticos, profundos y refinados, dichos gestos perdieron frecuencia a medida que avanzaba la unidad didáctica y solo quedaron los GIDO. Esto ya para exponer sus hipótesis, debates, argumentos o conjeturas no lo hacían a través de gestos circulares o senoidales (por ejemplo) – de la misma forma espontánea en que emergieron, desaparecieron – inconscientemente ya no era necesario para los estudiantes realizar movimientos innecesarios. Eran innecesarios ya que ellos estaban conscientes del proceso conceptual que se había desarrollado hasta el momento, ya no era necesario estabilizar un saber abstracto a través de gestos si este ya había sufrido procesos de objetivación al estabilizar en cierto grado dicho saber en conocimiento y en un concepto (netamente subjetivo) ¿Cuándo un niño ya sabe sumar estructuralmente a través del lenguaje abstracto matemático, cuenta con los dedos al realizar una suma simple? Así como los gestos emergen en una construcción histórico-cultural, también desaparecen.

Como se ha teorizado según planteamientos vygotskianos, es necesario reconocer que hay cosas de las que se están más conscientes que otras, inclusive hay cosas que se hacen mecánicamente, por tanto, hay tomas de conciencia más profundas que otras. Cuando se articula a través del lenguaje multimodal, ese algo adquiere una claridad que no tenía antes, allí se hace una toma de conciencia más profunda (Vygotski, 2015).

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Es de añadir, y como ya se ha mencionado en el caso específico de la presente investigación, al ir al encuentro del saber complejo y profundo de función trigonométrica a través la unidad contextual, problematizadora y conceptual exigió – al reconocer su naturaleza histórica-cultural innata – la interrelación dialéctica entre otros saberes (categorías estructurales). De manera que, en la síntesis de la representación algebraica de la relación trigonométrica 𝑑!(𝑡), los saberes previos (categorías estructurales procesales) se sintetizaron en dicha representación estructural. Por lo que esta acarrea el enfoque operacional realizado, acarrea los procesos de objetivación realizados donde el lenguaje multimodal se configuró como MSO para atribuir de características concretas a dichos saberes a los que se iba a su encuentro. Es claro entonces que en este momento (enfoque estructural) no se hacían necesarios gestos para estabilizar ideas que ya estaban estables y exteriorizadas en dicha expresión algebraica. Esto es, el conocimiento lleva consigo la huella del sistema de actividad que lo media con el saber (Ilyenkov, 1977). En la obra común del grupo se percibe el enfoque operacional que en su relación dialéctica con el enfoque estructural permeó y moldeó el registro semiótico abstracto de la relación 𝑑!(𝑡) en su representación algebraica. A su vez, el debate a lo largo del problema 4 rondó la expresión algebraica de la relación 𝑑!(𝑡), por lo que al dejar a un lado (mas no olvidar o minimizar) las representaciones gráficas o tabulares, el uso del lenguaje gestual fue reducido categóricamente a los GIDO para señalar o apuntar partes de la expresión algebraica. Por tanto, los estudiantes al llegar a la etapa final del problema 4, cuando debatían, ya no hacían uso de GI, GIAP o GM, más bien hacían uso de registros semióticos más complejos, como expresiones algebraicas y representaciones gráficas (problema 5), es decir, de representaciones abstractas. Se puede apreciar una toma de conciencia de los estudiantes que obedece a un enfoque estructural, ya sus razonamientos son más complejos y necesitan

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herramientas complejas que apoyen su lenguaje multimodal, tales como objetos matemáticos estructurados que han sido permeados por una construcción operacional, por un análisis profundo, riguroso y minucioso.

Síntesis Del Saber De Función Trigonométrica La síntesis del saber de función trigonométrica no se considera una categoría estructural. La intencionalidad de esta sección es exhibir, apoyar y reforzar, los procesos de objetivación realizados en las categorías estructurales a través de episodios de actividad específicas no analizadas, esto con el propósito de evidenciar la síntesis y evolución del pensamiento funcional trigonométrico.

Actividad 3 (Pregunta 4-1) Al finalizar el problema número 1, el cual privilegió un acercamiento empírico al movimiento circular que describe la piedra en la llanta de la bicicleta de Thomás donde el grupo estableció relaciones dependencia entre diferentes magnitudes, los estudiantes se enfrentan a la pregunta 4-1: Para ustedes ¿Qué es una función? ¿Qué es una función trigonométrica? Tabla 24 Actividad 3: Síntesis del pensamiento funcional trigonométrico. Pregunta 4-1 Actividad 3 / Sesión 3 / Tiempo 40:35 – 48:10 / Pregunta 4-1 Línea Lenguaje multimodal (455) S: Una función es algo que depende de algo (456) S (le pregunta a Michell): ¿Para ti qué es función?

(457) M: No sé (458) S: (le pregunta a Carol) ¿Y para ti?

(459) C (no emite sonido y mueve la cabeza de forma horizontal evocando una negativa) (460) D: Pues para mí, una función es algo que conlleva a otra cosa. Es algo que tiene relación directa con otra cosa o que actúa como consecuencia (461) S: Es decir, depende de algo más [GM]

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(462) C: Entonces, básicamente es cuando una magnitud depende de otra

En este corto episodio de actividad el grupo se topa por primera vez con la palabra función en un contexto matemático. Sin tener aun fundamentación clara al respecto, acuden a lo realizado hasta el momento empíricamente en el problema 1: relaciones de dependencia entre magnitudes variables. En este sentido, al establecer que “una función es algo que depende de algo” (línea 455), Samuel verbaliza de forma general una relación de dependencia (según lo realizado por el grupo hasta este momento de la unidad didáctica), a su vez, implícitamente establece dos “algos” dos cosas que están en relación donde una depende de otra, lo cual en últimas es una concepción escueta y general del saber de función que se menciona en los libros de texto escolares: “Sean 𝑋 y 𝑌 dos conjuntos no vacíos. Una función de 𝑋 a 𝑌 es una relación [énfasis añadido] que asocia a cada elemento de 𝑋 exactamente un elemento de 𝑌” (Sullivan, 2013, p. 201), lo cual está acorde con la concepción de función de Peano en 1911 al afirmar que “el concepto de función debía ser reducido al concepto de relación [énfasis añadido]. Peano introdujo la idea de relación univoca y argumentó convincentemente que las funciones debían ser identificadas con tales relaciones” (Sierpinska, 1992, p. 48).

El planteamiento de Samuel es reafirmado por Danna: “una función es algo que conlleva a otra cosa. Es algo que tiene relación directa con otra cosa o que actúa como consecuencia” (línea 460). Ella concibe una función como una relación de dependencia, de manera que si: sucede algo entonces sucede otra cosa, es decir, de una forma aún superficial – debido a su abordaje empírico – Danna evoca la metáfora de la fábrica: una función es como una fábrica,

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ingresa materia prima y sale un producto, por lo que materia prima y producto están directamente relacionados, de forma tal que la materia prima “conlleva” al producto, es decir, el producto es la “consecuencia” de la materia prima en dicha “relación directa”. Se observa que Danna en su planteamiento introduce la palabra “relación” a la definición y al mencionar que actúa como consecuencia de algo Danna implícitamente concibe una relación de dependencia. Al intentar complementar la idea de Danna, Samuel verbaliza lo mismo que en la línea 455, pero lo hace de una forma multimodal. Al tiempo que dice “depende de algo más” (línea 461) mueve sus manos de forma rítmica en tres tiempos, “depende”: primer movimiento-punto de partida, “de”: segundo movimiento, “algo más” tercer movimiento-punto de llegada, en donde sus movimientos se alejan cada vez más con el transcurso de las tres partes. Con este GM, implícitamente involuntario, Samuel intenta a través de su cuerpo, dar claridad a eso que se está tomando determinaciones concretas en el acto. Estos tres movimientos señalan de forma indirecta que los puntos más extremos son las cosas que se relacionan (matemáticamente serian el dominio y el rango) y el segundo movimiento (el punto del medio) es la relación en sí, es la función, es la fábrica (en la metáfora previamente explicada). En últimas, Samuel gesticuló la naturaleza histórico-cultural de la noción de función, una relación de dependencia entre dos cosas (magnitudes). Es de señalar que dicho gesto realizado en la línea 461 (en la pregunta 5-1), repercutió en el grupo al ser replicado luego por Carol y Danna en las líneas 27 y 34 de la pregunta 5-2 (Actividad 15 – Tabla 3) respectivamente, en donde no realizaron el mismo movimiento de manos, pero sí movimientos que evocaron los tres tiempos y el carácter de dos cosas que están en una relación, lo cual revela que el significado atribuido a dichos gestos es similar al atribuido por Samuel al GM de la línea 461.

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Esto permite reconocer que el gesto realizado por Samuel no solo permitió estabilizar y conferir determinaciones concretas al saber que se estaba haciendo presente, sino que transmitió información al grupo al ser replicado con connotaciones similares. De ahí que, lo analizado en la Actividad 15 (pregunta 5-2, Tabla 3) – al ir al encuentro de las formas histórico culturales de pensar y actuar matemáticamente sobre la variación de magnitudes en una relación de dependencia periódica – se configuró también en un proceso de objetivación que permitió otorgar determinaciones concretas – a través del lenguaje multimodal – a la noción de función matemática que paulatinamente se tornó sensible y actual.

Posterior a la línea 461, donde Samuel complementa la idea de Danna a través de su lenguaje multimodal, Carol – en lo que se puede considerar la síntesis de la actividad – establece que “entonces, básicamente es cuando una magnitud depende de otra” (línea 462). Carol responde de este modo al llamado de Samuel al preguntarle sobre su concepción de función (línea 458), a pesar de que en el momento respondió con una negativa (línea 459), demostró su compromiso y responsabilidad hacia la actividad (y compañeros) al sintetizar en una corta – pero significativa frase – lo esbozado por sus compañeros.

Es claro que el grado de toma de conciencia respecto al saber general de función es aún superfluo, inclusive el grupo no tiene la capacidad de debatir profundamente, este saber verbalizado en la palabra función apenas inicia a tomar determinaciones específicas en el grupo, por lo que lo expuesto a través de su lenguaje multimodal en esta Actividad 3, netamente empírica es relevante en su camino hacia la noción de función trigonométrica. Este proceso de ir al encuentro del saber de función trigonométrica a través de un pensamiento inicialmente experiencial e intuitivo, a través de un enfoque operacional, privilegia el encuentro significativo con el mismo ya que los estudiantes se vieron en la necesidad de usar

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recursos multimodales para analizar las relaciones de dependencia en fenómenos periódicos al “identificar los cambios observados en los alrededores como un problema practico a resolver” (Sierpinska, 1992, p. 31).

Posteriormente el grupo estableció que, a partir de lo esbozado en la definición de función, una función trigonométrica es el resultado de la relación entre dos lados de un triángulo rectángulo y sus ángulos (ver Figura 29).

Figura 29 Respuesta pregunta 4-1. ¿Qué es una función?

En ambos casos, en la definición de función y función trigonométrica, los estudiantes plasman la palabra “relación”, en donde en el caso de función trigonométrica la vincularon con lo inmediatamente razonable para ellos al evocar la palabra trigonometría: ellos lo relacionaron con lo ya estudiado previamente en el tema de razones trigonométricas, es decir, la relación entre los lados de un triángulo rectángulo, donde se concretan las operaciones seno, coseno, tangente y demás, por lo que para los estudiantes tiene sentido la trigonometría al establecer relaciones entre los lados de un triángulo rectángulo.

Actividad 23 (Pregunta 6.1-3) Posterior a una inmersión empírica en la noción de función al final del problema 1, tras sumirse en la relación existente entre la distancia vertical (media cuerda) – de la piedra en la

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llanta de Thomás hasta una línea imaginaria horizontal que pasa por el centro de la llanta – y el tiempo al construir la tabla de valores a partir del video del movimiento de la piedra (y la llanta proyectado en el tablero) y tras migrar dichos valores a un plano cartesiano al establecer implícitamente relaciones entre ambas representaciones, el grupo se enfrentó a la pregunta 5-2 (Actividad 15, Tabla 3): “en el contexto del problema, creen un escrito explicativo en el que relacionen las palabras: Tabla, grafica (en el plano cartesiano), puntos y función”. En la Actividad 15 (pregunta 5-2) los estudiantes al momento de debatir se enfocaron en la naturaleza de la relación de dependencia entre 𝑑! y 𝑡, por lo que esta Actividad 15 se analizó en la categoría estructural de variación de magnitudes en una relación de dependencia periódica, sin embargo, se realizaron procesos de objetivación en cuanto al saber de función trigonométrica al exhibir la dirección de la relación entre 𝑑! y 𝑡 al establecer que “la distancia depende del tiempo. La distancia se obtiene en función del tiempo” (línea 34, Actividad 15), lo que se configura como un lenguaje multimodal al describir esto a través de GM rítmicos (línea 27 y 34) usados para materializar la relación entre ambas magnitudes, lo cual fue plasmado en la respuesta del grupo en la Figura 17 al exponer que “la distancia se obtiene en función del tiempo”.

Posteriormente el grupo se enfrentó a la pregunta 6.1-3 donde debían establecer “¿Cómo varía el ángulo (θ) en función del tiempo (t)?” Tabla 25 Actividad 23: Síntesis del pensamiento funcional trigonométrico. Pregunta 6.1-3 Actividad 23 / Sesión 10 / Tiempo 23:15 – 24:58 / Pregunta 6.1-3 Línea Lenguaje multimodal (463) S (lee la primera parte de la pregunta 6.1-3): ¿Cómo varía el ángulo theta en función del tiempo?

(464) P: En función del tiempo. Recuerden ¿Qué es una función?

(465) C: Es cuando una magnitud depende de la otra [GM]

Objetivación del Saber de Función Trigonométrica 395

(466) P: En una palabra se resume eso … ¿Básicamente una función es qué? (467) C: Una relación (468) P: Muy bien, una función es una relación

Aunque en este segmento de actividad el grupo estaba enfocado en determinar cómo se relacionan el ángulo y el tiempo en el movimiento de la piedra – y no en la relación 𝑑!(𝑡) – da muestra de la evolución del saber de función. En la línea 465 Carol retoma lo concluido por ellos en la Actividad 3 al responder “¿qué es una función?” (línea 464): “es cuando una magnitud depende de la otra” (línea 465) con un lenguaje multimodal con un GM que busca estabilizar la idea, el saber, de una relación de dependencia mediante la corporeización de ese pensamiento abstracto e inmaterial. A través de dicho gesto, Carol actualiza el saber, le otorga determinaciones concretas, sensibles, convierte el saber en un potencial objeto de conciencia. Se evidencia la manifestación del conocimiento de este saber, esto al ser considerado como “la actualización o materialización del saber” (Radford, 2017a, p. 107) en el cual se percibe el sistema de actividad que lo media con dicho saber (Ilyenkov, 1977). Esto es, una función es una relación entre magnitudes variables de un conjunto a otro, es algo inmaterial, una idea abstracta tan general que no significa nada para una persona sin experiencia; pero su representación – al hacer presencia el conocimiento con su materialización a través del gesto – es visible, palpable (Sierpinska ,1992), es un objeto susceptible de toma de conciencia.

Se debe reconocer que este GM se suma a los GM ya analizados en la Actividad 3: línea 461 (Actividad 3), línea 27 (Actividad 15) y línea 34 (Actividad 15), en donde estos 4 gestos

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metafóricos (incluyendo el de la línea 465), aunque realizados con movimientos de manos diferentes guardan la misma característica rítmica y secuencial atada a su discurso, es así como el gesto (solo el movimiento corporal) se interrelaciona no solo con el discurso verbal sino con la temporalidad, con el ritmo – otro MSO – con el que se desarrolla el lenguaje multimodal. Por consiguiente, estas líneas dan cuenta de un proceso elaborado de toma de conciencia, mediado por un entramado intersemiótica de objetivación que converge en el encuentro del saber de la noción de función trigonométrica, en donde a través del GM se convirtió “una idea abstracta en una idea concreta” (Tamayo et al., 2018, p. 87), con lo que se aporta claridad a la representación del saber eminentemente abstracto. Sumado a que:

[…] al igual que en el caso de los signos y las herramientas, en la teoría de la objetivación, las acciones corpóreas (gestos, postura corporal, movimiento corporal, percepción, tactilidad, prosodia) no se consideran dispositivos mediadores de la actividad, sino partes de la actividad y parte del pensamiento desplegado del profesor y de los estudiantes. (Radford, 2023a, p. 41)

Ahora bien, ya que los estudiantes en su afán de materializar la relación de dependencia (un ente abstracto), usaron movimientos diferentes, pero con la misma característica rítmica y secuencial, se podría suponer que esta generalidad, que este GM (rítmico y secuencial) emerge espontáneamente al objetivar la noción de función, por lo menos en su etapa inicial de estabilización en la conciencia.

En las líneas mencionadas donde se realizó el mismo GM, los estudiantes relacionaron dos dominios conceptuales, uno conocido (fuente-concreto) con otro desconocido (metaabstracto) a través de su lenguaje multimodal (Lakoff y Johnson, 2004; Soriano, 2012; Lizcano,

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1999). En el caso específico de esta Actividad 23, Carol al establecer que una función (dominio meta: abstracto) es como si fuera una relación donde “una magnitud depende de la otra [GM]” (línea 34) – lo cual fue corporizado secuencial y rítmicamente a través de un GM (dominio conceptual fuente: conocido y concreto), esto es, a través de su lenguaje corporal, del movimiento de manos – Carol otorgó connotaciones concretas y sensibles a esa potencialidad que se encuentra en un dominio conceptual abstracto a través del gesto, esto ya que “muchas metáforas conceptuales están corporeizadas” (Soriano, 2012, p. 6), lo que repercute entonces en que ese objeto (Objekt) tomará presencia en el mundo fenomenológico y podrá ser objeto de conciencia (Gegenstand).

Así pues, estos movimientos corporales, estos GM exhibidos en las líneas 461, 465, 27 y 34, se tornaron como elementos consustanciales al desarrollo del pensamiento de los estudiantes (Quintero et al., 2022). Estos GM involuntarios e inconscientes (Lizcano, 1999) se dieron de forma espontánea en la actividad al tratar de “representar conceptos o procesos abstractos” (Tamayo et al., 2018, p. 114), al tratar de representar (materializar) una potencialidad (abstracta): una relación de dependencia entre la distancia vertical y el tiempo, al respecto Tamayo et al. (2018) plantean que:

[…] los estudiantes emplean los gestos metafóricos para expresar y representar conceptos al incorporarles un significado, lo que los convierte en una representación complementaria del lenguaje oral. Por lo tanto, los gestos metafóricos pueden contribuir al andamiaje de conceptos científicos, esto recae principalmente en su característica altamente representativa. (p. 95)

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Al percatarse que el grupo retomó lo objetivado en la Actividad 3 en la línea 465 respecto a concebir una función como una relación de dependencia entre magnitudes, el profesor intenta realizar una toma de conciencia más profunda ya que después de la Actividad 3 el grupo ya había refinado ciertos procesos semióticos en cuanto a la representación tabular y grafica de la relación 𝑑!(𝑡) en donde establecieron que “la distancia se obtiene en función del tiempo” (ver Figura 17), por lo que el profesor encamina la actividad que se está materializando al preguntar “en una palabra se resume eso (…) ¿Básicamente una función es qué?” (línea 466), a lo que Carol responde “una relación” (línea 467), lo cual es acorde con la definición de función de Dirichlet– Bourbaki: “Una función 𝑓 : 𝑆 → 𝑇 consiste en dos conjuntos 𝑆 y 𝑇 juntos con una regla que asigna a cada 𝑥∈𝑆 un elemento específico de 𝑇 , denotada 𝑓(𝑥)” (Malik, 1980, p. 491), la cual es llevada al aula de clases contemporánea como:

[…] una función es una relación [énfasis añadido] entre variables tal que a cada valor de la primera variable (variable dependiente) le corresponde sólo un valor de la segunda variable (variable independiente). Si 𝑥 representa a la variable dependiente, 𝑦 describe a la variable independiente; esto se suele escribir como 𝑦 = 𝑓(𝑥) con el fin de representar el hecho de que la variable 𝑦 está en función, depende, de la variable 𝑥. (Cantoral y Montiel, 2014, p. 29)

Con esta actividad realizada y en el marco de la unidad contextual, conceptual y problematizadora del movimiento cíclico que realiza una piedra incrustada en la llanta de una bicicleta, el grupo tomó un mayor grado de conciencia del objeto teórico depositado en la cultura en cuanto a que una función es una relación de dependencia entre magnitudes variables, en concordancia con las definiciones de función de D'Alembert y Euler al considerar que una

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cantidad es una función sólo si depende de otra cantidad "de tal manera que si se modifica esta última, la primera experimenta a su vez un cambio" (Sfard, 1991, p. 15). Esta es la forma innata, histórica y cultural con la que el saber de función matemática se tornó como objeto de conciencia, al identificar “cambios observados en los alrededores como un problema practico a resolver” (Sierpinska, 1992, p. 31), ya que – como se expuso en el enfoque histórico-cultural y epistemológico del saber de función trigonométrica – “las funciones aparecieron como herramientas para predecir y describir fenómenos de la naturaleza” (Maldonado et al., 2004, p. 373) principalmente al establecer relaciones entre magnitudes cambiantes en fenómenos periódicos físicos. En este sentido se puede establecer que los estudiantes realizaron procesos de objetivación pertinentes que les permitió tomar conciencia de esa forma de pensar y actuar, de ese arquetipo de pensamiento catalogado como función matemática.

Actividad 29 (Pregunta 4.1-4) Tras haber realizado procesos de objetivación al dotar de determinaciones concretas el saber de función trigonométrica, al exponer que una función es una relación de dependencia al avanzar por la unidad didáctica al relacionar diferentes registros semióticos y realizar tomas de conciencia graduales respecto al periodo de un fenómeno cíclico, la identificación de patrones, la variación de la distancia vertical en un fenómeno cíclico y la síntesis de la representación algebraica de la relación trigonométrica 𝑑!(𝑡), en el marco de esta última, el grupo se enfrenta a la pregunta 4.1-4: “¿Qué representa el coeficiente de t (en la expresión algebraica)?”. En esta pregunta el grupo incurre en un obstáculo epistemológico común y recurrente en estudiantes neófitos al conceptualizar sobre la notación funciones en su representación algebraica. Tabla 26 Actividad 29: Síntesis del pensamiento funcional trigonométrico. Pregunta 4.1-4

Objetivación del Saber de Función Trigonométrica 400

Actividad 29 / Sesión 13 / Tiempo 10:57 – 18:11 / Pregunta 4.1-4 Línea Lenguaje multimodal (469) D: El coeficiente de t es este [GIDO – señala el termino dv de la función] (470) C: Entonces el coeficiente representa la distancia vertical … (471) D (complementa a Carol): es decir, las posiciones de la piedra (472) P (el profesor se acerca y lee la respuesta que tienen hasta el momento): Están perdidos. Primero que todo, ubiquen en coeficiente de t (473) D: t está acá [GIDO – señala la letra t en la expresión 𝒅𝒗(𝒕)] (474) P (el profesor toma asiento y pregunta): ¿Cómo se lee esto? [GIDO – señala la parte 𝒅𝒗(𝒕) de la expresión 𝒅𝒗(𝒕) = 𝟐𝟓𝒔𝒆𝒏?

𝟐𝝅𝒕 𝟎.𝟓𝟔𝟒𝟒@]

(475) C: Distancia vertical por tiempo. Lo que está entre paréntesis siempre se multiplica por lo que está afuera (476) P: O sea que aquí dice distancia vertical por tiempo [GIDO – señala la parte 𝒅𝒗(𝒕) de la expresión 𝒅𝒗(𝒕) = 𝟐𝟓𝒔𝒆𝒏?

𝟐𝝅𝒕 𝟎.𝟓𝟔𝟒𝟒@] (477) D: Pero si fuera así, la ecuación no estaría despejada (478) P: Por un lado, es verdad … Con lo que sabemos de antes si diría distancia vertical por tiempo, pero no. Por ejemplo, cuando escribes esto (escribe en el cuaderno la expresión 𝒔𝒆𝒏(𝟐𝒙) ¿Cómo se lee esto?

(479) D: seno de dos equis (479) P: Ahhh ¿Y entonces acá por qué no dice seno por dos equis? (480) C: Ahhh … Entonces seria distancia vertical … (481) D (complementa a Carol): respecto al tiempo … Lo que está mostrando acá [GIDO – señala la parte 𝒅𝒗(𝒕) de la expresión 𝒅𝒗(𝒕) = 𝟐𝟓𝒔𝒆𝒏? 𝟐𝝅𝒕 𝟎.𝟓𝟔𝟒𝟒@] es que están relacionados, no que se multiplican, si no una relación (482) P: Correcto, esto es como un nombre [GIDO – señala la parte 𝒅𝒗(𝒕) de la expresión 𝒅𝒗(𝒕) = 𝟐𝟓𝒔𝒆𝒏?

𝟐𝝅𝒕 𝟎.𝟓𝟔𝟒𝟒@], esto es uno solo. Lo que le está diciendo es que estos están relacionados y que ¿cuál depende de cuál?

(483) C: Que el tiempo depende de la distancia (484) S: Noo, al revés (485) P: Que la distancia depende del tiempo, entonces esto se lee: distancia vertical respecto al tiempo (486) C: Entonces lo que necesitamos es este [GIDO – en la expresión 𝒅𝒗(𝒕) = 𝟐𝟓𝒔𝒆𝒏?

𝟐𝝅𝒕 𝟎.𝟓𝟔𝟒𝟒@, señala 𝟐𝝅

𝟎.𝟓𝟔𝟒𝟒 ]

(487) P (GI – el profesor asiente con la cabeza)

Objetivación del Saber de Función Trigonométrica 401

Al avanzar en la unidad didáctica y en la concepción del saber de función trigonométrica, el grupo se topa con la expresión algebraica que relaciona la distancia vertical (de la piedra en la rueda de la bicicleta de Thomás) respecto al tiempo: 𝑑!(𝑡) = 25𝑠𝑒𝑛? "#$ %.'())@, la cual acarrea obstáculos epistemológicos histórico-culturales respecto a la notación de esta que dificulta la asimilación de dicho registro semiótico.

Esta actividad se enmarca en la notación de la función algebraica, donde en la expresión 𝑑!(𝑡) = 25𝑠𝑒𝑛?

"#$ %.'())@, 𝑑!(𝑡) denota el nombre y la relación entre las variables: la 𝑑! está en función (depende) de 𝑡, ambas magnitudes no se multiplican, no son factores, por lo que uno no es coeficiente del otro. Este obstáculo epistemológico está conceptualizado por Sierpinska (1992) al establecer que: “el lenguaje usado en relación con funciones no es útil, f(x) se emplea para el nombre de la función y para el valor de la función f” (p. 25), lo cual también ha sido conceptualizado por Sfard (1992) y Carlson (1998) al establecer que los estudiantes tienen dificultad con la notación de funciones respecto al papel del paréntesis en la representación 𝑓(𝑥). Desde la línea 469 hasta la 476, el grupo cae en dicho obstáculo epistemológico, al plantear que en la representación algebraica de la relación de dependencia de la distancia vertical en función del tiempo sintetizada en la pregunta 1.2-4, 𝑑!(𝑡) = 25𝑠𝑒𝑛? "#$ %.'())@, el coeficiente de 𝑡 es 𝑑! (línea 469 a 471). Se considera este obstáculo como epistemológico en el sentido de Sierpinska (1992):

Mientras nuestras creencias sean ciegas y nuestros esquemas de pensamiento inconscientes, pueden muy bien funcionar como obstáculos a nuestro pensamiento a nivel técnico (…) Si el obstáculo no es sólo nuestro o quizás de un par de otras personas, sino que está más extendido, o ha estado extendido en algún momento o en alguna cultura, entonces se denomina obstáculo epistemológico. (p. 28)

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Este es un obstáculo epistemológico común al toparse con la notación algebraica de una función y tiene su origen en los saberes previos algebraicos el cual obedece a la forma de la notación algebraica preexistente en ellos. Hasta este momento para el grupo la notación 𝑑!(𝑡) implica una multiplicación, de hecho, el grupo esbozó que dicha expresión se lee “distancia vertical por tiempo. Lo que está entre paréntesis siempre se multiplica por lo que está afuera” (línea 475), por lo que el coeficiente de 𝑡 es 𝑑!, sin embargo, al incursionar en la conceptualización de las funciones matemáticas esta notación se lee 𝑑! en función (respecto) de 𝑡, por lo que 𝑑! no puede ser el coeficiente de 𝑡, inclusive, en la conceptualización de funciones matemáticas la expresión 𝑑!(𝑡) se puede reconocer como el nombre de la función que esclarece la relación de dependencia (qué depende de qué). El grupo de investigación no fue ajeno a este error común al que se enfrentan los estudiantes neófitos en el tema de funciones, esto debido al obstáculo epistemológico esbozado inherente a la notación algebraica y estructural de una relación funcional.

Al detectar está problemática, el profesor toma asiento (línea 474), se muestra como uno más del grupo al compartir las mismas necesidades, van al encuentro del mismo objetivo, lo que evidencia su preocupación, interés y vulnerabilidad. Al tomar asiento en la mesa de trabajo, el profesor no sabe qué esperar, no sabe qué pasará, no tiene un guion, pero su preocupación por que el grupo vaya al encuentro del saber lo obliga a hacerse presente (tomar asiento) e ir (juntos) al encuentro del saber, en donde equivocarse es una posibilidad, ya que se enfrenta a algo nuevo según la naturaleza impredecible de la actividad. El profesor entonces: […] entra en una situación dialógica que lo hace necesariamente vulnerable. Puede ser refutado. Pero ser refutado no es algo que deba evitarse. Al contrario: ser refutado forma

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parte del co-posicionamiento colectivo de voces y subjetividades, las de los estudiantes, pero también la voz y subjetividad del profesor. (Radford, 2023a, p. 248)

El profesor entonces al intentar dar solución a dicho obstáculo epistemológico con su lenguaje multimodal establece: “o sea que aquí dice distancia vertical por tiempo” (línea 476), con un GIDO señala la parte 𝑑!(𝑡) de la expresión 𝑑!(𝑡) = 25𝑠𝑒𝑛?

"#$ %.'())@. De esta forma enfatiza y centra la atención en el miembro izquierdo de la función, respecto a lo cual Tamayo et al. (2018) consideran que “los gestos deícticos del docente facilitan la comprensión de los estudiantes porque capturan y mantienen la atención de estos, a la vez que proporcionan redundancia al mensaje” (p. 150), a lo que Radford (2020b) añade que no solo son redundantes, sino que “añaden un significado visual a lo que dicen las palabras” (p. 24). Al escuchar y ver el lenguaje multimodal del profesor, Danna toma conciencia y argumenta coherentemente “pero si fuera así, la ecuación no estaría despejada” (línea 477): Desde un enfoque estructural ella misma se percata que algo no está bien, inicia un proceso de toma de conciencia de que la parte 𝑑!(𝑡) en la expresión de la función 𝑑!(𝑡) = 25𝑠𝑒𝑛? "#$ %.'())@ no hace alusión a un producto, ya que, de lo contrario, como ella establece “la ecuación no estaría despejada” (línea 477).

Es en este sentido como Danna está preparada para comprender realmente el significado de la notación 𝑑!(𝑡) en la expresión algebraica en el contexto de una función (trigonométrica), por lo que el profesor acude a los saberes previos de los estudiantes respecto al estudio de las razones trigonométricas. En la línea 478 el profesor le solicita al grupo que lea la expresión 𝑠𝑒𝑛(2𝑥), quienes sin mediar palabra responden “seno de dos equis” (línea 479), por lo que este realiza un puente conceptual entre el saber que se está actualizando con un concepto

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preconcebido por el grupo al decir “ahhh ¿y entonces acá por qué no dice seno por dos equis?” (línea 479).

Esto repercutió positivamente en el grupo ya que establecen que la parte 𝑑!(𝑡) en la expresión de la función 𝑑!(𝑡) = 25𝑠𝑒𝑛?

"#$ %.'())@ se lee “distancia vertical… respecto al tiempo” (línea 480 y 481). En estas últimas líneas Danna complementa a Carol y expresa el compromiso hacia la actividad y el reconocimiento del otro al estar atenta a lo dicho (Lévinas, 2005), es decir a su presencia. El hecho de interrumpir y complementar la idea del compañero es la manera como las formas de interacción social y cooperación humana se materializan en la actividad fenomenológica y singular del grupo, se exhibe entonces el trabajo en equipo en el que la ética comunitaria es predominante.

El grupo estableció entonces relaciones entre el saber que se está haciendo presente a través de la actividad de aula (es decir, conocimiento) con un concepto ya arraigado en la conciencia de los estudiantes, esto debido a la inmediatez con la que respondieron a la pregunta “¿Cómo se lee esto?” (línea 478) al tomar conciencia que la lectura de la expresión 𝑑!(𝑡) no es 𝑑! por 𝑡 sino 𝑑! respecto a 𝑡.

Inclusive esta conexión entre el saber que se está actualizando con otro previamente objetivado, posibilitó realizar procesos de tomas de conciencia profundos respecto a la notación de la expresión algebraica de una función – y de la función en si – al establecer que: “lo que está mostrando acá es que están relacionados, no que se multiplican, si no una relación” (línea 481), con lo que se establece implícitamente que una función es una relación (como ya lo habían establecido en la Actividad 25).

Gracias al enfoque operacional realizado a través de la unidad didáctica, este obstáculo fue sorteado como se constata en la línea 486 al identificar correctamente el coeficiente de 𝑡 en la

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expresión algebraica de la relación entre 𝑑! y 𝑡, contrario al haber iniciado el abordaje del saber de función trigonométrica a partir del enfoque estructural de su representación algebraica como se realiza en la mayoría de los enfoques didácticos existentes en el aula de clase. Las acciones del profesor de señalar solo la parte de 𝑑!(𝑡) en la expresión algebraica (línea 474) y escribir 𝑠𝑒𝑛(2𝑥) en la línea 478 se configuraron como formas de objetivación respecto la notación del saber de función desde su representación estructural algebraica (Miranda et al., 2007). Por lo que se transmitió información a través de su lenguaje multimodal, información coherente y pertinente al grupo. La preocupación del profesor contribuyó a la actividad que se materializaba.

Finalmente, al sobrepasar este obstáculo epistemológico, al reconocer – que en general – en la expresión 𝑓(𝑥) = 𝑦 la expresion 𝑓(𝑥) denota la relación de dependencia entre las variables incoluvradas en la funcion, el grupo realiza un proceso de toma conciencia del saber de función a partir de su expresión algebraica, al migrar la objetivación realizada a partir del enfoque operacional (inicialmente empírico) en la Actividad 3 y 25 a un enfoque estructural en un lenguaje abstracto, reconocido y trazable en la comunidad científica. Actividad 34 (Pregunta 7-4) Seguidamente, tras reconocer que una función es una relación de dependencia entre magnitudes variables (distancia vertical y tiempo en este caso) al tomar conciencia de su notación en su expresión algebraica y hacer uso de esta última para determinar la distancia vertical en tiempos específicos y reconocer el carácter acotado de la función gracias al enfoque operacional realizado previamente en la unidad didáctica (Actividad 33), el grupo interrelaciona la operatividad de la función con un objeto contextual, es decir, hacen uso de la metáfora conceptual “una función es como si fuera una máquina” – analizada someramente en la

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Actividad 3 – para realizar una toma de conciencia mayor respecto a la noción general de función a través de objetos cotidianos, esto en el marco de la pregunta 7-4 al preguntar sobre su naturaleza computacional.

Tabla 27 Actividad 34: Síntesis del pensamiento funcional trigonométrico. Pregunta 7-4 Actividad 34 / Sesión 14 / Tiempo 1:24:15 – 1:28:35 / Pregunta 7-4 Línea Lenguaje multimodal (488) C (lee la pregunta del cuaderno): ¿Cuál es la naturaleza de las magnitudes que se relacionan en la función?

(489) P (el profesor se acerca y toma asiento): ¿Cuál es la naturaleza de esta cosa? [GIDO – señala la t en la parte 𝒅𝒗(𝒕) de la expresión 𝒅𝒗(𝒕) = 𝟐𝟓𝒔𝒆𝒏?

𝟐𝝅𝒕 𝟎.𝟓𝟔𝟒𝟒@]

(490) D: t (491) C: Tiempo (492) P: Entonces ¿Qué le ingresa a la función y qué le sale?

(493) S: Le ingresa tiempo y le sale centímetros (494) P: Ahora bien ¿Cómo se entiende eso de que ingresa una cosa y sale otra cosa? … Eso es como mágico: ingresa tiempo y sale distancia. Entonces, con algo susceptible con su realidad cotidiana ¿cómo entender eso que ingresa algo y sale otra cosa … No piensen en una acción, piensen en una cosa, en un objeto (495) C: ¡Ahhh, ya entendí! Una máquina dispensadora de alimentos o jugos. Mete el billete y sale jugo (496) P: ¿Y qué es eso?

(497) D: Una máquina

Al cuestionar sobre la naturaleza de las magnitudes que se relacionan en la función (línea 488), el profesor pregunta: “¿Qué le ingresa a la función y qué le sale?” (línea 492), a lo que Samuel responde “le ingresa tiempo y le sale centímetros” (línea 493). Samuel reconoce una función como algo a lo que le ingresa una cosa y sale otra, algo que efectúa una transformación sobre lo que ingresa, en este caso específicamente, ingresa tiempo y sale distancia vertical.

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A partir del planteamiento de Samuel, el profesor busca generar relaciones intersemióticas entre un objeto cotidiano que manifieste dicho fenómeno: ingresa una cosa y sale otra, es decir, el profesor en la línea 494 busca otorgar determinaciones concretas a la metáfora conceptual: “una función es como si fuera una máquina o una fábrica”, a la que le ingresa una cosa y sale otra. Esto evoca el pensamiento operacional de una función en el cual la variable independiente (tiempo) ingresa a la función y es manipulada a través de una ley (pensamiento estructural) para obtener la variable dependiente (distancia vertical). Esto que sucede en el interior de la “máquina”, los estudiantes ya lo han catalogado como una relación en las líneas 460 (Figura 29), 467 y 481, se puede apreciar que los estudiantes implícitamente reconocieron que esta máquina (la función) se rige bajo una ley que transforma lo que ingresa en lo que sale (que transforma el tiempo en distancia en el caso de esta investigación), lo cual trae a colación la definición de función de Dedekind en 1888 (antes de la definición de Dirichlet–Bourbaki en 1954): "una función ∅ sobre un conjunto 𝑆 es una ley [énfasis añadido] según la cual a cada elemento determinado 𝑠 de 𝑆 le corresponde una cosa determinada que se llama la transformada de 𝑠 y se denota como ∅(𝑠)" (Katz, 2009, p. 783). Por lo que se muestra así la “síntesis del concepto de ley y función, en particular la toma de conciencia del posible uso de funciones en la modelación de relaciones entre magnitudes físicas u otras magnitudes” (Sierpinska, 1992, p. 42).

Es así como Carol relaciona la noción de función con “una máquina dispensadora de alimentos o jugos. Mete el billete y sale jugo” (línea 495), esto es, implícitamente el grupo estableció la noción de función con una máquina, con lo que otorgaron características sensibles (en otro contexto) al saber de función y realizaron tomas de conciencia sobre el carácter operacional de la misma al establecer características de verosimilitud respecto a una máquina

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que opera bajo una ley preestablecida que describe cómo se comporta la magnitud de salida (variable dependiente) en relación con la magnitud de ingreso (variable independiente). El grupo al considerar la función como una máquina (líneas 495 y 497) a la que “le ingresa tiempo y le sale centímetros” (línea 493), concibe inconscientemente la metáfora conceptual: una función es una máquina. Este pensamiento inconsciente de relacionar el dominio conceptual fuente (conocido y concreto) como lo es una máquina (dispensadora de alimentos o jugos) con el dominio conceptual meta (desconocido y abstracto) como lo es una función matemática, se materializa a través del lenguaje verbal de las líneas en mención (y de los GM descritos en las líneas 27, 34, 461 y 465), esto es, “la metáfora conceptual es un fenómeno de cognición en el que un área semántica se representa conceptualmente en términos otro … las metáforas conceptuales son esquemas abstractos de pensamiento que se manifiestan de muchas formas, entre ellas el lenguaje [verbal]” (Soriano, 2012, p. 1) o el lenguaje gestual. Cabe puntualizar que, entre los diferentes tipos de metáforas conceptuales, la metáfora “una función es una máquina”, según (Lakoff y Johnson, 2004) se clasifica como una metáfora estructural-ontológica. Es estructural ya que permite organizar el conocimiento del dominio meta mediante la rica estructura conceptual importada del dominio fuente, es decir, que se estructura metafóricamente un concepto en termino de otro al relacionar campos conceptuales diferentes. A su vez esta metáfora es ontológica ya que capta una o varias características sobresalientes de un objeto o fenómeno y se las adjudica a un concepto desconocido.

Por ende, con su carácter de verosimilitud, la metáfora exteriorizada en las expresiones verbalizadas y corporizadas por los estudiantes, importó ciertas características de la máquina de jugos al saber de función, como la de ingreso de dinero (tiempo) y salida de jugo (distancia vertical), con lo cual se confirió a dicho saber determinaciones concretas y sensibles.

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Es así como la noción de función evolucionó desde un enfoque operacional a uno estructural al concebir una función como un objeto, esto es “el concepto de función debe ir más allá de la etapa de ‘proceso’ – al usar la terminología de Dubinsky – y llegar a ser un objeto que la mente pueda manipular como un elemento” (Sierpinska, 1992, p. 47), en este caso como un ente (una idea) que dictamina la relación de dependencia entre la variable de ingreso y de salida. Análisis General A partir de una matematización de la física, a través del contexto dinámico periódico del movimiento circular de la piedra incrustada en la llanta de la bicicleta de Thomás, los estudiantes analizaron desde un enfoque inicialmente geométrico-numérico (video-tabla) y luego a partir de curvas y ecuaciones la variación de las magnitudes físicas: distancia vertical – respecto a la línea horizontal imaginaria que pasa por el centro de la llanta – y tiempo, las cuales se encuentran en una relación de dependencia y que debido a la naturaleza de su variación, se modela por una función trigonométrica.

Al verse imposibilitados para determinar la 𝑑! a través de métodos proporcionales (al determinar su variación no lineal), inscribieron un triángulo rectángulo en la llanta de la bicicleta de Thomás, con lo que encontraron así una relación algebraica inicial de la variación de la 𝑑! a partir de la variación del ángulo.

Posteriormente, en aras de crear un pensamiento general y al relacionar 𝜃 con tiempo, se llegó a la expresión algebraica dónde 𝑠𝑒𝑛(𝜃) mutó a 𝑠𝑒𝑛(𝑥), esto es, se pasó de analizar el seno del ángulo en grados sexagesimales a determinar el seno del tiempo, es decir, el seno de un número real, donde implícitamente afloraron procesos infinitesimales: al establecer patrones de proporcionalidad lineal del tiempo y el ángulo y, al migrar los datos de la tabla de valores al plano cartesiano y luego al graficar "todas las posiciones" posibles que puede tomar la piedra en

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la llanta de la bicicleta de Thomás, se pasó de un enfoque discreto (ideal) a uno infinitesimal (real, denso y continuo).

Esto es una pequeña muestra del carácter complejo de las formas histórico-culturales de pensar matemáticamente sobre fenómenos periódicos a través de las funciones trigonométricas, donde los saberes que son causa y efecto al ir su encuentro se relacionan dialécticamente. De ahí que la imbricación entre estos “presaberes” se configuran en una forma en que los procesos de objetivación van al encuentro del saber de función trigonométrica, se configuran como la forma subjetiva de cada uno de los estudiantes del grupo y finalizan con la generación del concepto de función trigonométrica en cada uno de ellos, del cual se puede rastrear su trasegar por el enfoque estructural permeado dialécticamente por el enfoque operacional a través de la unidad conceptual, contextual y problematizadora.

Por lo cual un análisis secuencial (vertical o temporal) era contraproducente, el análisis que se ha realizado hasta el momento al realizar múltiples interconexiones entre diferentes saberes, entre diferentes enunciados (a través de su lenguaje multimodal) – donde inclusive un solo enunciado se relaciona con varias categorías estructurales, donde no se puede hablar de un proceso de objetivación sino de la relación entre diferentes procesos de objetivación que van al encuentro de diferentes saberes –, era pertinente y necesario debido a la naturaleza misma de la actividad: de la relación dialéctica entre “las formas históricas y culturales de producción material, intelectual y espiritual de la vida colectiva” (Radford, 2023a, p. 67) respecto a las formas histórico-culturales de pensar matemáticamente sobre fenómenos periódicos a través de las funciones trigonométricas y las formas de colaboración humana que se dieron y a su vez guiaron los procesos de objetivación emergentes.

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Ahora bien, a lo largo de la unidad didáctica se pudo identificar que al privilegiar el enfoque operacional del objeto cultural emergen naturalmente relaciones dialécticas entre los diferentes saberes necesarios e inherentes al encuentro de las formas histórico-culturales de pensar matemáticamente sobre fenómenos periódicos. Paralelamente, al ir al encuentro del saber de función trigonométrica, surgen y se hace uso de diferentes registros semióticos para estabilizar dicha toma de conciencia.

Con lo que se creó un entramado conceptual para poder concebir el saber de función trigonométrica desde el enfoque estructural, no desde la perspectiva hegemónica dónde dicho saber es platónico y ajeno a su desarrollo cultural e histórico, sino desde una concepción histórico-cultural, a partir de objetos sensibles y manipulables, los cuales se entrelazan en un enfoque operacional para atribuir sentido a la representación abstracta que emerge en el enfoque estructural.

Se deja entrever que en el enfoque procesual (operacional) del diseño de la tarea se entrelazan múltiples saberes, pero cuando se avanza al enfoque estructural esta relación dialéctica se torna tenue. Esto no quiere decir una ruptura o perdida del entramado conceptual adquirido en el enfoque operacional a partir del diseño didáctico realizado en el que el enfoque operacional permea el estructural. Esta relación dialéctica entre saberes se torna tenue en el enfoque estructural ya que en este se privilegian las representaciones abstractas, en donde se favorece el desarrollo entre objetos abstractos matemáticas, por lo que sus procesos académicos se enfocan más en la acción que en la razón.

De nuevo, esto no implica una ciega labor matemática, significa que la razón de dichas acciones ya está implícita en el enfoque estructural ya que su génesis, a partir del enfoque operacional, no se desconoce, en el cual se privilegió la razón antes que la acción.

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Finalmente, y al tomar como referencia el materialismo dialéctico, los procesos de objetivación realizados en el marco de la actividad de aula no son singulares sino particulares, ya que no es solo un trabajo grupal, se debe pensar dialécticamente: pensar en un todo, constituido de componentes, que están interrelacionados y que se afectan mutuamente. Motivados por una necesidad colectiva, los estudiantes van al encuentro de una potencialidad que los interpela en el marco de la ética comunitaria, dicha dinámica ética en los procesos cognoscitivos implica que los procesos de objetivación emergentes son fruto de la dinámica misma del grupo, por lo que no son de un sujeto sino del grupo. Así pues, cada compañero del grupo es resultado de su conexión con sus compañeros y con el profesor, cada uno está refractando, resumiendo, como aprendió el grupo.

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Conclusiones En el capítulo de los objetivos se mencionó que el objetivo general fue analizar los procesos de objetivación que desarrollan los estudiantes cuando se enfrentan a tareas referentes al saber de función trigonométrica, para lo cual se implementó una metodología basada en el paradigma cualitativo bajo un enfoque critico dialéctico (Denzin y Lincoln, 2012), de corte descriptivo, interpretativo y comprensivo que incorpora la perspectiva vygotskiana desde la cual se asume el enfoque multimodal de análisis empleado por Tamayo et al. (2018) y Kress et al.

(2001).

Esto fundamentado en un marco teórico que consistió en la imbricación conceptual entre la Teoría de la Objetivación (Radford, 2006, 2013, 2014, 2015, 2017a, 2017b, 2017c, 2018, 2020b, 2023a) y el saber histórico-cultural de función trigonométrica (Sierpinska, 1992; Sfard, 1992; Weber et al., 2008; Bressoud, 2010; Kendal y Stacey, 1997; Altman y Kidron, 2016 y Kamber y Takaci, 2017), dicha imbricación teórica tuvo como fundamento epistemológico el materialismo histórico-dialéctico de Hegel (2011, 1966) y Marx (1988), el concepto de educación emancipatoria de Freire (1972) y la escuela de pensamiento de Vygotski (2001, 2009), así como los enfoques de la teoría de la actividad de Leóntiev (1969, 1984) y la perspectiva ética de Lévinas (2005).

A partir de lo anterior, al dar coherencia y puntualizar el objetivo de la investigación, a continuación se presentan las conclusiones de los hallazgos y resultados expuestos en el capítulo del análisis.

Inicialmente el grupo de estudio se introdujo en una ambiente experiencial y empírico donde razonaron sobre las acciones ya familiares para ellos (como lo es el movimiento circular que describe una piedra en una rueda de una bicicleta) e iniciaron procesos de tomas de

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conciencia enfocados a la variación de magnitudes en una relación de dependencia en un fenómeno periódico. En donde se toparon con la necesidad de cuantificar el movimiento de la piedra a partir de la relación: distancia vertical (desde una línea horizontal imaginaria inmóvil que pasa por el centro de la llanta de la bicicleta de Thomás) y el tiempo. Al mapear los datos de ambas magnitudes en un plano cartesiano a partir de una tabla de valores que se construyó a raíz de la medición y captura de datos del video del movimiento de la piedra (proyectado en el tablero del aula de clases), el grupo privilegió el razonamiento contextual y significativo antes que la acción (sin razón): se cuestionó por el significado contextual de un par de puntos en el plano cartesiano.

Esto fomentó un pensamiento infinitesimal del movimiento circular, al discriminar ambas representaciones del pensamiento funcional trigonométrico: tabla de valores y grafica en el plano cartesiano. Lo cual permitió que los estudiantes se encontraran dialécticamente con formas histórico culturales de pensar matemática sobre: la variación de magnitudes en una relación de dependencia periódica, el periodo de la magnitud dependiente en un fenómeno cíclico y la representación gráfica del movimiento periódico.

En este proceso, los estudiantes construyeron significativamente signos y artefactos (obras comunes) que posteriormente usaron como herramientas para satisfacción de sus necesidades colectivas (solución a las preguntas). Lo cual repercutió en la atribución de sentido y en una coherente comprensión de la variación de la distancia vertical (media cuerda) en un fenómeno periódico y en su respectiva síntesis en su representación algebraica (otra obra común) a través de la unidad contextual, conceptual y problematizadora, lo que corrobora el trayecto de lo concreto a lo abstracto en el sentido epistemológico (Figura 7). Los estudiantes entonces se

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vieron reflejados en dichos artefactos, en sus obras comunes y constituyeron así una práctica didáctica no alienante.

En consecuencia, los estudiantes se vieron reflejados en dichos artefactos, en sus obras comunes, lo que manifiesta que la actividad de aula se constituyó en una práctica didáctica no alienante, lo cual favorece el contenido teórico en el que se buscaba actualizar una forma de pensar y actuar respecto a las funciones trigonométricas (Radford, 2017b). De manera que, la actividad realizada posibilitó a los 4 estudiantes realizar procesos de objetivación respecto al saber histórico-cultural de función trigonométrica, el cual se actualizó en el aula de clases a través de la mediación intencionada (entre saber y conocimiento) de la actividad mediante un diseño didáctico de una serie de tareas de dificultad conceptual creciente, cuya meta era resolver problemas que requirieran interpretar y analizar sobre fenómenos periódicos a través de las funciones trigonométricas.

Cabe destacar que el diseño de la tarea no solo mostró el trayecto del enfoque operacional al estructural, también demostró los niveles de conceptualización propuestos por Radford (2023a) esbozados en el apartado componentes de la actividad en el marco teórico, los cuales están acordes con las formas de pensar de los estudiantes investigados por Breidenbach et al. (1992) respecto a la concepción del saber de función categorizados ascendentemente en prefunción, acción y proceso.

El análisis presentado muestra la evolución de los procesos de objetivación que desarrollaron los estudiantes al enfrentarse a las formas histórico-culturales de pensar y actuar matemáticamente sobre fenómenos periódicos a través de las funciones trigonométricas, esto al considerar la dialéctica entre los saberes que son causa y efecto de los procesos de toma de

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conciencia al ir en búsqueda del saber de función trigonométrica (esto al reconocer su carácter dual de proceso/objeto).

En este sentido se presentaron algunos hallazgos empíricos en relación con las formas de pensamiento asociadas a las funciones trigonométricas a través de la relación dialéctica entre los saberes que son causa y efecto de ir al encuentro del saber general, esto es, entre las formas de pensar y actuar matemáticamente de un fenómeno periódico respecto a: la variación de magnitudes en la relación de dependencia periódica y la identificación de sus patrones, la representación gráfica del movimiento y su periodo, la variación de la distancia vertical (media cuerda) y su síntesis en una representación algebraica de la relación trigonométrica 𝑑!(𝑡). Estos no solo hacen el rol de categorías estructurales: de organizar y esquematizar la presentación del análisis, sino que actúan como saberes histórico-culturales inherentes y constructores, en su relación dialéctica, del saber de las formas histórico-culturales de pensar matemáticamente sobre fenómenos periódicos a través de las funciones trigonométricas. Esto ya que en el análisis de los procesos de objetivación es primordial el estudio histórico-cultural del saber matemático. El estudio de la forma natural y espontánea de cómo se materializa dicho saber establece las raíces y rutas hacia el mismo, de donde se configuran saberes emergentes en la actividad de aula necesarios para ir al encuentro del saber mismo. Ahora bien, debido a la complejidad del saber último, sus saberes emergentes – causa y efecto de ir en su búsqueda – se encuentran en una incipiente cohesión dialéctica, donde se imbrican entre sí en algo nuevo, en la forma actual y subjetiva de concebir el saber de función Trigonométrica. Por lo anterior, el coherente diseño de la unidad didáctica, conceptual, contextual y problematizadora, posibilitó ir al encuentro de dicha dialéctica, de esa relación entre esos saberes, no de una forma secuencial (vertical) sino de una forma dialéctica (horizontal)

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Es por ello que los saberes emergentes (categorías estructurales) al abordar los procesos de objetivación de un saber complejo son pertinentes, ellos dictaminan en gran medida el diseño metodológico y la forma, esquematización y el foco de atención en el análisis, dictaminan como se desarrolla de forma histórico-cultural y espontánea el saber último en la actividad. Cabe señalar que, tal y como se expuso, una misma actividad de aula no necesariamente va al encuentro de un solo y específico saber – potenciado por la unidad didáctica conceptual y contextual – puede ir al encuentro de más de un solo saber (categoría estructural). Esto corrobora el carácter dialéctico y cohesionado de estos saberes, los cuales se coproducen a través de la actividad de aula (no se puede dar uno sin los otros), por lo que en una misma actividad se encuentran vestigios de más de un solo saber.

Por consiguiente, dichos saberes (categorías estructurales) no operaron bajo una secuencia temporal prestablecida (secuencia de las preguntas y problemas), de ahí que, una categoría estructural no inició en una pregunta y finalizó en otra para poder iniciar el estudio de otro saber. No se fue al encuentro de estos saberes de forma vertical (como lo es el esquema general de la presentación de los documentos académicos), sino de forma horizontal. Estos saberes tomaron presencia de una forma intermitente y progresiva, esto es, se pausaban y se volvían a iniciar más adelante y en su interrelación dialéctica gradual y creciente generaron una toma de conciencia profunda, es decir, un proceso de objetivación complejo y profundo hacia el encuentro del saber final: el encuentro con las funciones trigonométricas reconocidas como herramientas histórico-culturales y abstractas que obedecen a las necesidades del hombre en cuanto a la modelación de fenómenos periódicos.

A partir de los datos y hallazgos, se puede reconocer que el análisis a través de las categorías estructurales es una pertinente, necesaria y potente herramienta para el análisis del

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saber último y complejo. A través de estas se dilucidan los procesos de objetivación realizados por los estudiantes en su actividad en el aula de clase, con lo que se posibilita realizar un análisis vygotskiano, a través de unidades que no desconocen la totalidad (el saber de función trigonométrica).

Ahora bien, es pertinente también establecer que a lo largo del análisis se evidenció la creación, manipulación, uso e interrelación del grupo respecto a las diferentes representaciones del saber de función trigonométrica, lo cual concuerda con lo expuesto por Duval (1999): la formación, tratamiento y conversión de los registros semióticos de representación del objeto de estudio posibilitan su aprendizaje. Por consiguiente, los procesos mencionados respecto a la tabla de valores, esquemas circulares, grafica en el plano cartesiano, lenguaje multimodal y expresión algebraica se configuraron como un sistema de representación semiótico específico del saber de función trigonométrica, lo que lo distingue de otros saberes matemáticos. Al reconocer que “las funciones pueden ser expresadas de diferentes formas. Algunas de esas formas son dinámicas (mapeos), algunas son estáticas (relaciones), algunas son operacionales o constructivas, algunas no” (Sierpinska, 1992, p. 53), se puede establecer que los estudiantes concibieron la función trigonométrica 𝑑!(𝑡) a través de su mapeo al componer la curva en el plano cartesiano a través de los datos de la tabla de valores de 𝑑! y 𝑡 obtenidos de forma experiencial con el video del movimiento de la piedra en la llanta de la bicicleta de Thomás. Los estudiantes también concibieron la función como una relación: líneas 460 (Figura 29), 467 y 481, en donde dicha relación tiene la connotación de ser una relación de dependencia entre dos magnitudes variables – “la distancia depende del tiempo. La distancia se obtiene en

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función del tiempo [GM]” (línea 34)52 – a lo que se llegó fruto de un abordaje inicial desde un enfoque operacional.

Al navegar a través de dichos registros semióticos desde el enfoque operacional y estructural desde una unidad contextual, conceptual, problematizadora y sensible para los estudiantes, donde cada uno de dichos registros se constituyó como una obra común, cada uno de dichos objetos matemáticos (al final del enfoque estructural permeado por el operacional) fue dotado de sentido, por lo que se configuraron en objetos no alienantes, a través de los cuales los estudiantes podrían extrapolar los hallazgos en fenómenos periódicos prácticos y sensibles. Para el caso del concepto de función, el alumno debe reconocerla como definición, relación de conjuntos, tabla de valores, fórmula, gráfica, representación icónica; y, vincular y transitar entre una y otra, pero además, deberá darle una funcionalidad al concepto dentro y fuera de escenarios escolares. Esta funcionalidad debe reconocerse en su construcción social y, por lo tanto, reproducir ciertas prácticas culturales. (Maldonado et al., 2004, p. 374)

Así pues, la interrelación entre los diferentes registros semióticos del saber de función trigonométrica (que no son más que obras comunes de la labor de los estudiantes) se permea con las múltiples relaciones dialécticas entre los diferentes saberes que son causa y efecto al ir al encuentro del saber de función trigonométrica (ya expuestos).

De este complejo entramado – inmerso en una unidad contextual, conceptual y problematizadora que posibilitó la atribución de sentido – es que los estudiantes realizaron diferentes procesos de objetivación complejos y dialécticos referentes a las formas histórico-

52 En las líneas 455, 461, 462 y 465 también se refieren a una función como una relación de dependencia entre distancia vertical y tiempo.

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culturales de pensar y actuar matemáticamente sobre fenómenos periódicos a través de las funciones trigonométricas. Se puede entonces contemplar que los estudiantes adquirieron la capacidad para extrapolar esta vivencia subjetiva y académica, lo que les permitió “tomar conciencia del hecho de las relaciones causales y funcionales son expresiones del empeño humano por entender y explicar los cambios en el mundo” (Sierpinska, 1992, p. 56). Cada uno de los integrantes del grupo habita un concepto matemático: el concepto de las formas de actuar y pensar matemáticamente sobre fenómenos periódicos a través de las funciones trigonométricas, que incluye los saberes emergentes en la actividad al ir a su encuentro (categorías estructurales). “Aunque todavía frágil, este concepto, originado en la actividad, se convierte en un ‘órgano’ del cuerpo” (Radford, 2023a, p. 127) de cada uno de ellos, al habitar un nuevo concepto, cada uno ha cambiado como sugieren los datos: la evolución del gesto acompañado de la domesticación del ojo, la evolución y sofisticación de los procesos de objetivación realizados, la interrelación entre los múltiples registros semióticos y los saberes esbozados en las categorías estructurales, así como la evolución en la concepción conceptual y contextual del saber de función trigonométrica.

En efecto, los estudiantes de los primeros pasajes no son los mismos de los últimos pasajes de la actividad en el aula. El concepto que habita en ellos los conecta con la cultura y la historia y los transforma al mismo tiempo en sujetos histórico-culturales (Radford, 2023a). Por ende, el saber cultural en sí se transformó en saber para sí (objeto de conciencia), transformándose – objetivándose – a su vez en conocimiento con la actualización del mismo como resultado de una actividad sensible, material y conjunta entre estudiantes y el profesor. Aprender siempre es un esfuerzo riesgoso, pues requiere que dejemos la comodidad de nuestro propio nicho solipsista para dirigirnos a algo que no es nosotros, una región

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desconocida donde sin embargo podemos hacer nuestro hogar. Por supuesto, aún hay muchas cosas por aprender, pues aprender no es un estado sino un proceso. Por eso hablamos de la objetivación como un momento en la constitución de la conciencia, no como un ‘estado’. (Radford, 2017b, p. 132)

Al entender la objetivación como acciones intencionadas en hacer tangible ese sistema dinámico de arquetipos de pensamiento, acción y reflexión denominado función trigonométrica, es decir, al comprender la objetivación como acciones enrutadas “a volver aparente lo potencial” (Radford, 2004, p. 18), se puede establecer que los estudiantes se aproximaron al saber de función trigonométrica al “identificar, interpretar y hacer generalizaciones de las nociones de dependencia y correspondencia en las regularidades de los fenómenos” (Cadavid y Quintero, 2011, p. 106), al materializar dicho saber a través de diferentes registros semióticos: tabla de valores, diagrama circular, curva en el plano cartesiano, expresión algebraica y su lenguaje multimodal y al conferir sentido a dicha variación periódica a través de una unidad contextual, conceptual y problematizadora que no era ajena a su nivel de agenciamiento, a su subjetividad y a su experiencia vivencial.

Y ya que los procesos de objetivación están imbricados en procesos de subjetivación enmarcados en una ética comunitaria, en dicho encuentro con el saber de función trigonométrica, al materializarse en la actividad de aula a través de los MSO expuestos, se hizo visible lo invisible a los estudiantes a través de su interacción. Se realizó entonces una reflexión consciente de su realidad, y por lo tanto, ver lo que antes estaba oculto en la cultura de la que hacen parte (Quintero, 2018).

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Cómo se observa a lo largo del documento y como plantea el materialismo históricodialéctico, el desarrollo del pensamiento matemático funcional trigonométrico no puede abordarse en términos absolutistas, admite niveles no lineales que obedecen a la complejidaddialéctica misma del saber, en donde los saberes que son causa y efecto (categorías estructurales) de este se interrelacionan dialécticamente de una forma particular y específica según las formas de interacción del saber y las formas como se materializa la actividad en sí, lo que resulta en una refracción particular y subjetiva del saber.

En ese sentido se puede afirmar que cada uno de los estudiantes protagonistas de la investigación alcanzó un nivel satisfactorio, según su grado de escolaridad, “un nivel inacabado determinado por las condiciones individuales de cada estudiante (en una dialéctica yo/otro) y, por lo tanto, por sus formas particulares de aproximarse al objeto cultural” (Quintero, 2018, p. VI) respecto a las formas histórico-culturales de actuar y pensar matemáticamente sobre fenómenos periódicos a través de las funciones trigonométricas.

Por lo que la objetivación del saber de función trigonométrica de los estudiantes no se puede dar por hecha, inclusive como establece Radford (2023a), no se debe hablar de objetivación sino de procesos de objetivación, el cual es un proceso sin fin, es “un largo proceso de refinamientos y concreciones que puede ser expresado de diferentes maneras (lenguaje natural, simbolismo alfanumérico, gráficos, etc.) y codificado en la memoria y las prácticas culturales” (Radford, 2013, p. 16).

En síntesis, al recopilar los hallazgos empíricos y contrastarlos con la teoría, se puede establecer que la presente investigación aporta cuestiones teóricas y metodológicas respecto a los procesos de objetivación de las formas de pensar y actuar matemáticamente sobre fenómenos

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periódicos (funciones trigonométricas), además, expande y enriquece conceptual y metódicamente la Teoría de la Objetivación.

Finalmente, es pertinente hacer referencia a algo particular que sucedió en la actividad, respecto a las formas de interacción social, que fue vaticinado por Radford en una de las sesiones de la pasantía que compartí con él. Por lo general cuando los estudiantes se involucran en una dinámica de clase no alienante, lejos de ser conductual, no se sentirán cómodos con dicha dinámica de clase ya que es diferente a lo que han hecho durante años, es diferente a lo que es su sociedad, por lo que seguramente solicitarán una clase magistral (como fue el caso en la presente investigación): “profesor, por qué no nos da el tema, realiza unos dos o tres ejemplos y ya, nos deja el taller para realizar en clase o en casa”, dirían los estudiantes. Pero, y lo importante acá es ¿y cómo vamos a cambiar la sociedad con eso? ¿y cómo vamos a tomar conciencia de la sociedad? Con esas pedagogías solo vamos a seguir reproduciendo la sociedad. El origen de la modificación del hombre es el cambio en las relaciones sociales entre las personas. Si estas cambian también cambiarán las ideas, las pautas de comportamiento, los requerimientos y las apetencias (…) La educación debería jugar el papel central en la transformación del hombre. (Vygotski, 1994, p. 181)

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Horizontes Investigativos y Derivaciones Futuras Los resultados de esta investigación permitieron caracterizar los procesos de objetivación que emergen cuando los estudiantes se enfrentan al saber de función trigonométrica, evidenciando un tránsito desde un enfoque operacional hacia uno estructural. En particular, se evidenció un tránsito progresivo desde formas de pensamiento de carácter operacional hacia configuraciones de tipo estructural, mediado por una serie de tensiones que orientaron la actividad matemática de los estudiantes.

Estas tensiones se manifestaron en torno a la variación de magnitudes en relaciones de dependencia periódica, la noción de periodo, la representación gráfica del movimiento cíclico, la identificación de patrones, la variación de la distancia vertical (media cuerda) y la síntesis algebraica de la relación 𝑑!(𝑡). Tal como se discutió previamente, dichos saberes no emergieron de manera aislada, sino en el marco de una dinámica dialéctica en la que operaron simultáneamente como causa y efecto de ir al encuentro del saber de función trigonométrica. Si bien estos hallazgos contribuyen a la comprensión de los procesos de objetivación en torno al saber trigonométrico, también abren un conjunto de interrogantes que trascienden el alcance del presente estudio y configuran posibles líneas de investigación futuras. Los resultados evidencian que el tránsito del enfoque operacional al estructural está mediado por tensiones específicas del trabajo con fenómenos periódicos. En este sentido, resulta pertinente indagar si dicha dinámica se mantiene en otros dominios matemáticos o si, por el contrario, adopta configuraciones particulares.

Una posible línea de investigación consiste en analizar si las tensiones identificadas – especialmente aquellas asociadas a la variación, la identificación de patrones y la síntesis algebraica – se manifiestan de manera análoga en otros saberes matemáticos. Esto permitiría

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problematizar el carácter situado o transversal de los procesos de objetivación descritos en esta investigación.

Uno de los aportes más relevantes del estudio radica en la identificación de una relación dialéctica en la que los saberes emergentes no solo son producto de la actividad, sino que, a su vez, reorientan su desarrollo. Esta doble condición fue visible, por ejemplo, en la manera en que la noción de periodo y la identificación de patrones comenzaron como recursos operativos y progresivamente adquirieron un carácter estructurante en la actividad de los estudiantes. No obstante, el análisis realizado permite apenas esbozar la complejidad de esta relación. En consecuencia, se hace necesario desarrollar investigaciones que profundicen en los mecanismos mediante los cuales los saberes se constituyen simultáneamente como condición y resultado de la actividad, en línea con los planteamientos de la TO. Los resultados mostraron que el paso de un enfoque operacional a uno estructural no ocurre de manera abrupta, sino a través de configuraciones intermedias que en este trabajo se caracterizaron como formas de pensamiento operacional-estructural. Estas se hicieron evidentes en el tratamiento del periodo, en la construcción de representaciones gráficas y en la identificación de regularidades del fenómeno.

A partir de ello, se abre una línea de investigación orientada a estudiar con mayor detalle estas zonas de transición, indagando por su estabilidad, su papel en la consolidación del pensamiento estructural y las condiciones que favorecen su emergencia dentro de la actividad matemática escolar.

Tal como se evidenció en el diseño y análisis de las situaciones propuestas, las tensiones que movilizaron los procesos de objetivación no surgieron de manera espontánea, sino que

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estuvieron estrechamente vinculadas a las características de las tareas y a la organización de la actividad.

Sin embargo, en el marco de esta investigación, el diseño de tareas operó principalmente como medio y no como objeto de estudio. En este sentido, futuras investigaciones podrían centrarse en analizar sistemáticamente cómo distintas configuraciones de tareas favorecen la emergencia de tensiones específicas —como las asociadas a la variación, la periodicidad o la modelación— y cómo estas inciden en la objetivación del saber.

Finalmente, el carácter situado de las situaciones analizadas permitió describir con detalle los procesos de objetivación en momentos específicos de la actividad. No obstante, esta aproximación no permite dar cuenta de la evolución de dichas formas de pensamiento en el tiempo.

En consecuencia, se plantea la necesidad de desarrollar estudios longitudinales que permitan seguir la trayectoria de los estudiantes más allá de una secuencia de tareas particular, con el fin de analizar la consolidación, transformación o reconfiguración de los saberes objetivados.

Es relevante enfatizar también lo expuesto por Radford (2022b): las líneas de investigación futuras y actuales en la TO se configuran alrededor de la construcción histórica del saber y el ser, génesis de la labor conjunta, la dimensión crítica y política de la TO, los conceptos de subjetividad y subjetivación, formación de profesores, ética comunitaria y responsable, evaluación desde la TO, enseñanza-aprendizaje en educación superior e infantil y TO en didácticas fuera de las matemáticas (ya que la TO ha desbordado de la didáctica de las matemáticas).

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Las líneas de investigación aquí propuestas no constituyen una lista exhaustiva, sino un conjunto de posibles direcciones que emergen de los resultados obtenidos. En conjunto, estas proyecciones permiten situar la presente investigación como parte de un programa más amplio orientado a comprender los procesos de objetivación en la actividad matemática escolar, y contribuyen al desarrollo de la Educación Matemática desde una perspectiva cultural, histórica y semiótica.

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Limitaciones La presente investigación tuvo como propósito caracterizar los procesos de objetivación que desarrollan los estudiantes al enfrentarse al saber de función trigonométrica, en el marco de situaciones diseñadas desde la perspectiva de la TO. Los resultados obtenidos permitieron evidenciar un tránsito desde las formas de pensamiento de carácter operacional hacia configuraciones estructurales, mediado por tensiones emergentes en torno a la relación distancia vertical (media cuerda) y tiempo.

No obstante, como toda investigación situada, este estudio presenta una serie de limitaciones que es necesario explicitar. Estas no deben entenderse como deficiencias, sino como condiciones propias de las decisiones teóricas y metodológicas adoptadas, las cuales delimitan el alcance de los resultados y orientan su interpretación.

Los procesos de objetivación analizados emergieron en el marco de una configuración específica de actividad, mediada por un conjunto particular de tareas, interacciones y condiciones institucionales. En este sentido, los resultados no pretenden ser generalizables en términos universales.

Desde la TO, el conocimiento es entendido como un fenómeno histórico, cultural y situado. En coherencia con esta perspectiva, las formas de objetivación identificadas – incluyendo los saberes emergentes al ir al encuentro del saber de función trigonométrica – deben interpretarse en relación con las condiciones concretas en las que tuvieron lugar. La investigación se centró específicamente en el saber de función trigonométrica, particularmente en relación distancia vertical y tiempo en un fenómeno periódico. Esta focalización permitió un análisis detallado de las tensiones asociadas a la variación, el periodo, la

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representación gráfica, la identificación de patrones, la variación de la distancia vertical y la síntesis algebraica.

Sin embargo, esta misma delimitación restringe el alcance de los resultados, en tanto no es posible afirmar que las formas de objetivación identificadas se manifiesten de igual manera en otros dominios matemáticos. En consecuencia, cualquier extrapolación a otros saberes debe realizarse con cautela.

Las tensiones identificadas en el estudio fueron construidas como categorías analíticas a partir de la interpretación de la actividad de los estudiantes. Si bien estas categorías permitieron dar cuenta de regularidades en las formas de pensamiento y acción, es importante reconocer su carácter interpretativo.

En este sentido, otras lecturas teóricas o enfoques analíticos podrían dar lugar a distintas formas de categorizar la actividad, lo cual no invalida los resultados, pero sí delimita su alcance dentro del marco conceptual adoptado.

Ahora bien, desde una forma operativa, técnica y específica a la presente investigación, se realizan las siguientes recomendaciones.

Disminuir la cantidad de preguntas (muchas de ellas no contribuyeron a la configuración de una labor conjunta efectiva). Sin embargo, se insta a reproducir a groso modo esta investigación para determinar los saberes emergentes (categorías estructurales) que se dan al ir al encuentro del saber de función trigonométrica, así como analizar sus procesos de objetivación y subjetivación para dar trazabilidad a los hallazgos y poder configurar conclusiones rigurosas, de mayor peso, perdurables y soportadas en mayor evidencia empírica.

De igual manera, se recomienda aumentar el uso de material concreto. Aunque la variable “distancia vertical” pareciera lo suficientemente clara, en ciertas partes de la actividad los

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estudiantes mostraron confusión que tal vez se hubiera menguado al aumentar el tiempo de uso con material concreto: como medir directamente la distancia vertical sobre la llanta. Ya en la parte de recopilación de la información se recomienda que el grupo de estudio sea grabado por dos cámaras de video desde diferentes angulas, así como una cámara de video que capturara los registros en el tablero, proyector o tv del aula de clases y un micrófono inalámbrico para el docente.

Estas recomendaciones y limitaciones abren la posibilidad de futuras investigaciones que corroboren o refuten los hallazgos y análisis realizados, así como refutar o corroborar los saberes emergentes, la propuesta metodológica, las relaciones sociales en el aula de clase y la complejidad de los procesos de objetivación realizados.

Las limitaciones aquí expuestas no solo delimitan el alcance de la investigación, sino que también ponen en evidencia la complejidad de los procesos de objetivación en el ámbito de la Educación Matemática. Lejos de constituir un cierre, estas delimitaciones abren nuevas posibilidades de indagación, al señalar aspectos que no fueron abordados o que requieren ser profundizados.

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Anexos Anexo A. Consentimiento informado Mi nombre es Mauricio Arango González y soy el profesor de Trigonometría del estudiante ___________________________________ en la I.E. Pablo Sexto. Actualmente estoy cursando el tercer año del Doctorado en Didáctica en la Universidad Tecnológica de Pereira. En el marco de mi investigación de tesis doctoral: “Procesos de objetivación emergentes en el encuentro de los estudiantes con el saber de función trigonométrica”, es necesario realizar un trabajo de campo, en el que se recopilan datos valiosos para dicha investigación.

Al firmar este documento autorizas la participación en esta investigación del estudiante ___________________________________, menor de edad, atendiendo a las apreciaciones que se realizan en el presente documento.

La metodología será la siguiente: Todo el grupo formará pequeños grupos de 4 estudiantes, en uno de estos grupos estará el estudiante en mención y realizará las mismas actividades que todos los demás estudiantes, no habrá una actividad diferenciadora. Este grupo focal será grabado, para obtener datos audio y video, además de las actividades escritas que ellos produzcan como grupo. Es necesario realizar las siguientes apreciaciones

• Los 4 estudiantes del grupo focal ya mostraron su aval por participar en dicha

investigación, ya que, como se pudo percibir anteriormente, el trabajo a realizar por ellos es igual al trabajo a realizar por el resto del grupo.

• Se dispondrá de una relación ética coherente y apropiada entre estudiante y profesor: No

se dañará ni perjudicará a los estudiantes ya sea en el transcurso del estudio o en el momento de la publicación de los resultados.

• La participación o la NO participación no será fuente de represalias académicas o

disciplinarias de ningún tipo.

• Es importante mencionar que, durante la investigación, la sesión de uno de los

estudiantes repercutiría en la restructuración del trabajo de campo, por lo que se solicita compromiso al respecto y minimizar el ausentismo al máximo en la medida de lo posible.

Objetivación del Saber de Función Trigonométrica 450

• La información de los estudiantes es confidencial. Los resultados podrán ser publicados o

presentados en reuniones o eventos con fines académicos sin revelar su nombre o datos de identificación.

o Las identidades de los estudiantes serán modificadas, por lo que no se publicarán en los documentos frutos de dicha investigación los nombres reales de los estudiantes.

o Se distorsionarán los rostros de los estudiantes para garantizar el anonimato de los mismos.

• Esta es una investigación académica en el marco de una investigación de tesis doctoral,

no es una investigación de carácter lucrativa.

Agradezco de antemano su colaboración, especialmente la de los estudiantes. Quedo atento a sus comentarios y presto a solucionar cualquiera de sus inquietudes. En constancia de los anterior, se firma el presente documento, en la ciudad de Dosquebradas el día _____________________ del mes _____________________ de 2023.

__________________________________ M. Sc. Mauricio Arango González Profesor Matemáticas I.E. Pablo Sexto Email: marango@utp.edu.co

Firma ___________________________________________________ Nombre _________________________________________________

C. C. No. ____________________de __________________________

Acudiente de _____________________________________________

Objetivación del Saber de Función Trigonométrica 451

Anexo B. Problema 1: ¿Qué magnitudes intervienen en el movimiento de la piedra? ¿Cómo se relacionan?

Thomás en camino de su casa a su colegio en bicicleta inicia a tomar a conciencia del movimiento de la piedra en la llanta, se pregunta ¿cómo se relacionan las magnitudes que intervienen en el movimiento de la piedra en la llanta? ¡Vamos a ayudarlo! ¡Enfóquense en el movimiento de la piedra en la rueda, ignorando el resto de la bicicleta! Acércate a la bicicleta, analiza detenidamente el movimiento de la piedra

1. Con la bicicleta de cabeza realicen una marca (con un papel y cinta transparente) sobre la

rueda de la bicicleta (la cual simbolizará la piedra). Luego, en la misma posición de la bicicleta, hagan girar la rueda y analicen. Describan el movimiento.

2. ¡Analicen las magnitudes! (recuerden que, en Física, se llaman magnitudes a aquellas

propiedades que pueden medirse y expresar su resultado mediante un número y una unidad de medida). Al analizar el movimiento de la piedra, identifiquen: ¿Qué magnitudes intervienen en el movimiento? ¿Cuáles varían y cuáles permanecen constantes? ¿Cuáles son magnitudes dependientes y cuáles independientes? ¿Por qué?

3. Entre las múltiples relaciones entre magnitudes donde una sí varie al variar otra, seleccionen

una y recréenla en un plano cartesiano. Expliquen dicha relación a través del grafico del plano cartesiano

4. Para ustedes ¿Qué es una función? ¿Qué es una función trigonométrica?

Objetivación del Saber de Función Trigonométrica 452

Nota apreciativa. Para esta sesión el profesor dispuso de una bicicleta que el grupo interactuará con ella. Sin embargo, estos no interactuaron con ella, al cuestionarlos al respecto manifestaron que el uso de la bicicleta para ellos es tan familiar que no necesitan perder tiempo haciendo algo que ellos han hecho y hacen regularmente. Esto demuestra el carácter significativo del contexto planteado en la unidad conceptual.

Objetivación del Saber de Función Trigonométrica 453

Anexo C. Problema 2: ¿Cómo se mide el movimiento cíclico de la piedra? Thomás no solo se preocupa por la relación cualitativa de las magnitudes, también se cuestiona por cuánto varían.

1. Concretemos, vamos a analizar como varía la distancia vertical de la piedra, a una línea

horizontal que pasa por el centro de la llanta, en función (dependiendo) del tiempo. Dibujen (en un esquema y en un plano cartesiano) y expliquen la variación de dicha relación

2. El video muestra la piedra en la rueda de la bicicleta de Thomás. Con el video proyectado en

el tablero, tracen la línea horizontal que pase por el centro de la rueda. A continuación, manipulen el video (adelantar, devolver, pausar, etc.) para completar la tabla de forma tal que se registren 12 puntos equidistantes entre ellos. Nota: (El tiempo que se registra está en centésimas de segundo, y las graduaciones del plano cartesiano (ambos ejes) se encuentran en cm) 𝐷𝑎𝑡𝑜𝑠

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10

11

12

13

𝑡 (𝑠)

0

𝑑 (𝑐𝑚)

3. ¿Hay algún tipo de patrón o patrones que se evidencie en la tabla? Expliquen.

4. Partiendo del hecho de que en un plano cartesiano el eje 𝑥 representa la magnitud

independiente y el eje 𝑦 la magnitud dependiente, migren la información de la tabla a un plano cartesiano analizando y siguiendo cada uno de los siguientes pasos 4.1. ¿Qué representa un par de datos registrados en la tabla (de distancia y tiempo en este caso) en el plano cartesiano? ¿Qué representa en el contexto del ejercicio?

4.2. Ubiquen los 13 puntos en un plano cartesiano

4.3. ¿Esos 13 puntos representan el movimiento completo de la piedra? Expliquen

Objetivación del Saber de Función Trigonométrica 454

4.4. Si al tercer tiempo de su tabla le añadieran los dígitos 01 y luego 001 y luego 0001 y luego 00001 (por ejemplo: 0,1123; 0,112301; 0,1123001; 0,11230001 ...), en esta secuencia de tiempos ¿Cómo variaría la distancia vertical de la piedra (respecto a la línea horizontal)? ¿Estos tiempos tienen cabida en la tabla y/o en la gráfica? Expliquen (Nota: Primero realicen una tabla de valores nueva con esos 5 valores de tiempo de forma ascendente y determinen, lógicamente, los valores de la distancia para cada tiempo)

4.5. Tracen la gráfica completa siguiendo el comportamiento del movimiento de la piedra

(para dos vueltas) ¿Cómo determinaron el 𝑡 y 𝑑! del punto 18 en el plano cartesiano? 4.6. De la gráfica anterior, analizando una vuelta ¿Cómo altera la gráfica completa a la tabla?

5. En el contexto del problema, creen un escrito explicativo en el que relacionen las palabras:

Tabla, grafica (en el plano cartesiano), puntos y función

6. Respecto a la tabla y a la gráfica

6.1. ¿La tabla y la gráfica qué representan? ¿Representan lo mismo? ¿Cuál es la diferencia entre ambas? Expliquen 6.2. ¿En qué situaciones utilizarían la tabla y en qué situaciones utilizarían la gráfica? Expliquen.

7. ¿Entre qué valores varía la distancia? ¿Entre qué valores varía el tiempo? / ¿Es posible una

distancia vertical de 12,52 cm? ¿de 25,07? ¿de -3,875? Expliquen

8. Del bosquejo del movimiento de la piedra y de la gráfica en el plano cartesiano (pregunta 4.5

– Problema 2) expliquen como varía la distancia vertical en función del tiempo.

Nota apreciativa. Para este problema (en la pregunta 2) hicieron uso de un videobeam que proyectó en el tablero el video del movimiento cíclico de la piedra en la llanta. Por lo que, a

Objetivación del Saber de Función Trigonométrica 455

través de artefactos, manipularon el video, escribir con marcadores sobre el tablero, hacer bosquejos, realizar mediciones aproximadas y demás de forma que su uso sea más significativo

Objetivación del Saber de Función Trigonométrica 456

Anexo D. Problema 3: ¿Y ahora qué hacemos con estas medidas?

Después de reconocer algunos valores claros de distancia vertical y tiempo, Thomás se pregunta ¿y ahora qué? ¿Estas medidas cómo me ayudan a comprender mejor el movimiento de la piedra en la llanta? ¿O cualquier movimiento circular?

En el siguiente grafico se muestra el movimiento de la piedra incrustada en la llanta de la bicicleta de Thomás: atendiendo a la distancia vertical (en cm - eje 𝑦) desde el eje horizontal imaginario que pasa por el centro de la llanta hasta la piedra en función del tiempo (eje 𝑥).

1. Del video del movimiento de la rueda se pudo establecer que la piedra realiza una vuelta

completa cada 56,44 𝑐𝑒𝑛𝑡é𝑠𝑖𝑚𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜, esto se denomina periodo (𝑇). Determinen los tiempos (en segundos) para las graduaciones mayores del plano cartesiano. Expliquen su razonamiento.

Objetivación del Saber de Función Trigonométrica 457

2. ¡Describan la gráfica! Listen la mayor cantidad de características posibles que se evidencien

de la gráfica atendiendo al contexto del problema / ¿Qué otros fenómenos podrían ser modelados con esta grafica? ¿Qué tienen en común con el movimiento que realiza la piedra en la rueda de la bicicleta de Thomás? Expliquen.

3. ¿Qué representa, en el contexto del problema,

3.1. los puntos más altos de la gráfica?

3.2. los puntos más bajos de la gráfica?

3.3. los cortes con el eje 𝑥?

3.4. la parte que está a la izquierda del eje 𝑦?

4. Centrando la atención en los alrededores del punto más alto y más a la izquierda que puede

tomar la piedra en su trayectoria: 0,1409 s; 0,1410 s; 0,1411 s; 0,1412 s; 0,1413 s y 0,2820 s; 0,2821 s; 0,2822 s; 0,2823 s; 0,2824 s respectivamente, analicen, al observar el movimiento de la piedra desde el frente de la bicicleta (no desde el lateral de la misma como ha sido costumbre) ¿Cómo es la variación del tiempo en ambas secuencias? ¿Cómo varía la distancia vertical de la piedra (respecto a la línea horizontal) en función del tiempo en ambas secuencias? ¡Realicen un bosquejo!

5. ¿Cómo varía la distancia vertical de la piedra cuando el tiempo varía de la siguiente manera:

0,4232 s; 0,42325 s; 0,42329 s; 0,423299 s; 0,4232999 s; 0,42329999 s? ¿Si la cantidad de nueves aumentara infinitamente cuál sería que valor tomaría la distancia vertical al final? Expliquen.

6. Al atribuirle un ángulo (𝜃) a la posición de la piedra respecto a la línea horizontal imaginaria

Objetivación del Saber de Función Trigonométrica 458

6.1. ¿Cómo varía el ángulo (𝜃) en función del tiempo (𝑡)? / ¿Cómo se relacionan las

variables 𝜃, 𝑡 y número de vueltas? ¿Qué ángulo (en radianes) recorre la piedra por cada segundo?

6.2. ¿Cómo se alteraría la gráfica si se analizara la distancia vertical de la piedra en función del ángulo (𝜃) en lugar del tiempo (𝑡)? ¡Grafíquenla!

7. Completen la siguiente tabla. Discutan su razonamiento para completar cada fila (Nota:

Utilicen razones trigonométricas para determinar ciertas distancias verticales). Seleccionen una fila y evidencien sus cálculos. Expliquen

𝑑 [𝑐𝑚] 𝑡 [𝑠] 𝜃 [𝐺𝑟𝑎𝑑𝑜𝑠] 𝑉𝑢𝑒𝑙𝑡𝑎𝑠

3,05716<

14 𝑦3

4

1050

3,6686

6000

8 𝑦 3/8

Objetivación del Saber de Función Trigonométrica 459

Anexo E. Problema 4. ¿Cómo hallar la posición exacta de la piedra (distancia vertical) en cualquier tiempo o cualquier ángulo?

Se evidencia la intriga de Thomás por conocer como varía la distancia vertical en función del tiempo. Tras haber analizado el comportamiento de estas variables en puntos específicos en diferentes vueltas, cada 30° y cada 45° a través de la representación gráfica de la llanta de la bicicleta y de la curva en el plano cartesiano, Thomás aún tiene cuestionamientos ¿cómo hallar los valores de distancia y tiempo en 55°? ¿205,437°? ¿877,06X°? … El análisis tabular y grafico ya no es suficiente.

Encontremos la representación algebraica de la variación de la distancia vertical desde la piedra hasta la línea horizontal en función (respecto) a el tiempo.

1. Si ya saben hallar la 𝑑! para cuando la piedra se encuentra a 30°, 45° 𝑦 60° respecto a línea

horizontal … Generalicen esto para cualquier valor de 𝜃 1.1. Encuentra una expresión algebraica que relacione el ángulo (𝜃) con la distancia vertical de la piedra a la línea horizontal que pasa por el centro (𝑑!) 1.2. Con base a la expresión anterior, encuentra una expresión para 𝑑!, no respecto a 𝜃 [𝑟𝑎𝑑] sino respecto al tiempo 𝑡 (Ayuda: ¿Cómo se relaciona 𝜃 con 𝑡?)

2. Analizando el movimiento de la piedra en la llanta

2.1. ¿Para un valor de 𝑡 puede haber varios valores de 𝑑!? Expliquen. 2.2. ¿Para un valor de 𝑑! puede haber varios valores de 𝑡? Expliquen.

3. Después de este recorrido conceptual, compongan un escrito en el que definan que es una

función matemática / ¿Qué es una función trigonométrica?

4. Ahora bien, analicemos cada parte de la expresión algebraica

Objetivación del Saber de Función Trigonométrica 460

4.1. ¿Qué representa el coeficiente de 𝑡?

4.2. ¿Qué representa el coeficiente de 𝑠𝑒𝑛?

"# %,'()) 𝑡@?

4.3. ¿Qué magnitud es el argumento de 𝑠𝑒𝑛? Nota: Recuerden la relación planteada entre 𝜃 y 𝑡 ¡Un análisis dimensional puede ser útil!

5. Con el segundo tiempo asignado en la tabla (que construyeron con el video del movimiento

de la piedra en la rueda de la bicicleta de Thomás) determinen la distancia vertical de la piedra a la línea horizontal imaginaria (que pasa por el centro de la rueda) con la gráfica en el plano cartesiano y con la expresión algebraica. Comparen los tres valores. Expliquen lo sucedido 5.1. ¿Qué relación encuentran entre la tabla, la gráfica y la expresión algebraica? ¿Las tres representan lo mismo? ¿Expresan cosas diferentes? ¿Qué representan? ¿Cuáles son sus ventajas y desventajas? Expliquen.

6. Al cabo de 0,51 s y 2,5 s (exactamente) que Thomás partió de su casa hacia el colegio, pasa

por la panadería y farmacia de su barrio respectivamente. A Thomás le intriga saber dónde se encuentra la piedra en esos momentos ¡Ayúdenlo!

7. ¡Reflexionen! En cualquiera de las tres representaciones de la función “ingresa” un valor y

luego “sale” otro 7.1. ¿Cuál es la naturaleza de las magnitudes que se relacionan en la función? ¿Qué magnitud “ingresa” a la función? ¿Qué magnitud “sale”?

7.2. ¿Cómo se relacionan la distancia vertical, el ángulo y el tiempo en la función

representada por la expresión algebraica?

7.3. Con algo susceptible para su realidad cotidiana, cómo entender eso que “ ’ingresa’ un valor y luego ‘sale’ otro” ¿Con qué lo relacionarían? Expliquen

Objetivación del Saber de Función Trigonométrica 461

Anexo F. Problema 5: ¿Cómo se altera la relación entre distancia vertical y tiempo en llantas más grandes o pequeñas? ¿Y cuándo la bicicleta va más rápido? En Bici con mis Amigos !

" #

$

%

& Al día siguiente tres amigos de Thomás: Nina, Niko y Orión, salen al tiempo de la casa de él. Thomás mantiene la misma velocidad que el día anterior y la piedra aún está incrustada en la llanta de su bicicleta ¡Todos van en bicicleta y todos tienen una piedra incrustada en una de sus llantas! '

(

)

* +

,

-

.

/ A continuación, se dan las características del movimiento de la piedra atendiendo a la distancia vertical (respecto a una línea horizontal imaginaria que atraviesa el centro de la llanta) en función del tiempo de cada uno de los amigos de Thomás

● Nina: 𝑦(𝑡) = 26,5𝑠𝑒𝑛?

# %,+)++ 𝑡@

● Niko: La siguiente grafica muestra la distancia vertical de la piedra (en la llanta de la

bicicleta de Niko) en función del tiempo (se mantienen las mismas unidades: eje 𝑦 en cm y eje 𝑥 en segundos)

Objetivación del Saber de Función Trigonométrica 462

● La llanta de la bicicleta de Orión se tarda 5/4 veces de lo que tarda la llanta de la

bicicleta de Thomás en dar una vuelta completa. Y la rueda de su bicicleta es igual que la de Thomás

● A continuación, se muestra la tabla de los puntos máximos, de corte con el eje 𝑥 y

mínimos (en secuencia) de Arya 𝑡 [𝑠]

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

𝑑! [𝑐𝑚] 0

20

0

−20

0

20

0

−20

0

20

1. Si la escuela se encuentra a 5 𝑘𝑚 de la casa de Thomás. Ordenen a los niños respecto al

orden de llegada al colegio (Ayuda: la distancia lineal que recorre una llanta en una vuelta es igual a 2𝜋𝑟. Por lo que Thomás, por ejemplo, se desplazará linealmente 157,08 𝑐𝑚 en 0.5644 𝑠). Expliquen claramente su proceso.

2. Para la primera vuelta de la bicicleta de Thomás ¿Aproximadamente, en qué momentos la

piedra en la llanta de Thomás y Niko se encuentra a la misma altura? Expliquen su proceso.

3. Completen la siguiente información para un solo niño evidenciando los cálculos

𝑑 [𝑐𝑚] 𝑡 [𝑠] 𝜃 [𝐺𝑟𝑎𝑑𝑜𝑠] 𝑉𝑢𝑒𝑙𝑡𝑎𝑠 𝑁𝑖𝑘𝑜

2,94742<

𝑁𝑖𝑛𝑎

9530

𝐴𝑟𝑦𝑎

11 𝑦7

10

𝑂𝑟𝑖ó𝑛

20 𝑦19

Objetivación del Saber de Función Trigonométrica 463

4. Al cabo de un minuto y medio desde que salieron de la casa. Ordenen a cada niño atendiendo

a la posición de la piedra en la llanta (de cada uno) respecto al piso. Expliquen claramente su proceso